Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор)

Излагается метод построения операторов интерлинации эрмитового типа функций двух и трех переменных в декартовой и цилиндрической системах координат для случая, когда экспериментальные данные следы функции и ее частных производных до заданного порядка по одной или двум переменным заданы на системе не...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Authors:	Сергиенко, И.В., Литвин, О.Н., Литвин, О.О., Ткаченко, А.В., Грицай, О.Л.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Series:	Кибернетика и системный анализ
Subjects:	Системный анализ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124782
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор) / И.В. Сергиенко, О.Н. Литвин, О.О. Литвин, А.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 134-144. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124782
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1247822025-02-23T20:23:51Z Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор) Інтерлінація ермітового типу на системі неперетинних ліній (Огляд) Interlineation of Hermitian type on a system of nonintersecting lines: A review. Сергиенко, И.В. Литвин, О.Н. Литвин, О.О. Ткаченко, А.В. Грицай, О.Л. Системный анализ Излагается метод построения операторов интерлинации эрмитового типа функций двух и трех переменных в декартовой и цилиндрической системах координат для случая, когда экспериментальные данные следы функции и ее частных производных до заданного порядка по одной или двум переменным заданы на системе непересекающихся линий. Эти операторы автоматически сохраняют класс дифференцирумости приближаемой функции. На их основе предложен метод построения операторов интерполяции функций двух переменных эрмитового типа в цилиндрической системе координат с сохранением класса дифференцируемости, которому принадлежит приближаемая функция. Для случая, когда производные некоторых порядков или все производные неизвестны, их значения можно считать параметрами управления изогеометрическими свойствами поверхности, которая строится. Викладено метод побудови операторів інтерлінації ермітового типу функцій двох та трьох змінних в декартовій та циліндричній системах координат для випадку, коли експериментальні дані — сліди функції та її частинні похідні до заданого порядку за однією змінною, задані на системі неперетинних ліній. Ці оператори автоматично зберігають клас диференційовності наближуваної функції. На їх основі запропоновано метод побудови операторів інтерполяції функції двох змінних ермітового типу в циліндричній системі координат із збереженням класу диференційовності, якому належить наближувана функція. Для випадку, коли похідні деяких порядків або всі похідні невідомі, їх можна вважати параметрами керування ізогеометричними властивостями поверхні, що будується. The authors present a method to construct operators of inerlineation of Hermitian type for functions of two and three variables in the Cartesian and cylindrical systems of coordinates for the case where experimental data (traces of the function and its partial derivatives to a prescribed order) are set on a system of nonintersecting lines. These operators save the class of differentiability of the approximated function. On their basis, a method is proposed to construct interpolation operators for functions of two variables of Hermitian type in cylindrical system of coordinates with automatic preservation of the class of differentiability to which the approximated function belongs. For the case where the values of derivatives of some or all orders are unknown, they can be considered control parameters of the isogeometrical properties of the surface under construction. 2015 Article Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор) / И.В. Сергиенко, О.Н. Литвин, О.О. Литвин, А.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 134-144. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124782 519.6 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Сергиенко, И.В. Литвин, О.Н. Литвин, О.О. Ткаченко, А.В. Грицай, О.Л. Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор) Кибернетика и системный анализ
description	Излагается метод построения операторов интерлинации эрмитового типа функций двух и трех переменных в декартовой и цилиндрической системах координат для случая, когда экспериментальные данные следы функции и ее частных производных до заданного порядка по одной или двум переменным заданы на системе непересекающихся линий. Эти операторы автоматически сохраняют класс дифференцирумости приближаемой функции. На их основе предложен метод построения операторов интерполяции функций двух переменных эрмитового типа в цилиндрической системе координат с сохранением класса дифференцируемости, которому принадлежит приближаемая функция. Для случая, когда производные некоторых порядков или все производные неизвестны, их значения можно считать параметрами управления изогеометрическими свойствами поверхности, которая строится.
format	Article
author	Сергиенко, И.В. Литвин, О.Н. Литвин, О.О. Ткаченко, А.В. Грицай, О.Л.
author_facet	Сергиенко, И.В. Литвин, О.Н. Литвин, О.О. Ткаченко, А.В. Грицай, О.Л.
author_sort	Сергиенко, И.В.
title	Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор)
title_short	Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор)
title_full	Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор)
title_fullStr	Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор)
title_full_unstemmed	Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор)
title_sort	интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (обзор)
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124782
citation_txt	Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор) / И.В. Сергиенко, О.Н. Литвин, О.О. Литвин, А.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 134-144. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv interlinaciâérmitovogotipanasistemeneperesekaûŝihsâlinijobzor AT litvinon interlinaciâérmitovogotipanasistemeneperesekaûŝihsâlinijobzor AT litvinoo interlinaciâérmitovogotipanasistemeneperesekaûŝihsâlinijobzor AT tkačenkoav interlinaciâérmitovogotipanasistemeneperesekaûŝihsâlinijobzor AT gricajol interlinaciâérmitovogotipanasistemeneperesekaûŝihsâlinijobzor AT sergienkoiv ínterlínacíâermítovogotipunasistemíneperetinnihlíníjoglâd AT litvinon ínterlínacíâermítovogotipunasistemíneperetinnihlíníjoglâd AT litvinoo ínterlínacíâermítovogotipunasistemíneperetinnihlíníjoglâd AT tkačenkoav ínterlínacíâermítovogotipunasistemíneperetinnihlíníjoglâd AT gricajol ínterlínacíâermítovogotipunasistemíneperetinnihlíníjoglâd AT sergienkoiv interlineationofhermitiantypeonasystemofnonintersectinglinesareview AT litvinon interlineationofhermitiantypeonasystemofnonintersectinglinesareview AT litvinoo interlineationofhermitiantypeonasystemofnonintersectinglinesareview AT tkačenkoav interlineationofhermitiantypeonasystemofnonintersectinglinesareview AT gricajol interlineationofhermitiantypeonasystemofnonintersectinglinesareview
first_indexed	2025-11-25T04:28:35Z
last_indexed	2025-11-25T04:28:35Z
_version_	1849735173502926848
fulltext	ÓÄÊ 519.6 È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Î.Í. ËÈÒÂÈÍ, Î.Î. ËÈÒÂÈÍ, À.Â. ÒÊÀ×ÅÍÊÎ, Î.Ë. ÃÐÈÖÀÉ ÈÍÒÅÐËÈÍÀÖÈß ÝÐÌÈÒÎÂÎÃÎ ÒÈÏÀ ÍÀ ÑÈÑÒÅÌÅ ÍÅÏÅÐÅÑÅÊÀÞÙÈÕÑß ËÈÍÈÉ (Îáçîð) Àííîòàöèÿ. Èçëàãàåòñÿ ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ èíòåðëèíàöèè ýðìèòîâîãî òèïà ôóíêöèé äâóõ è òðåõ ïåðåìåííûõ â äåêàðòîâîé è öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå — ñëåäû ôóíêöèè è åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîä- íûõ äî çàäàííîãî ïîðÿäêà ïî îäíîé èëè äâóì ïåðåìåííûì çàäàíû íà ñèñòåìå íåïåðåñå- êàþùèõñÿ ëèíèé. Ýòè îïåðàòîðû àâòîìàòè÷åñêè ñîõðàíÿþò êëàññ äèôôåðåíöèðóìîñòè ïðèáëèæàåìîé ôóíêöèè. Íà èõ îñíîâå ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ èíòåðïî- ëÿöèè ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ ýðìèòîâîãî òèïà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ ñîõðàíåíèåì êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ïðèáëèæàåìàÿ ôóíê- öèÿ. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðîèçâîäíûå íåêîòîðûõ ïîðÿäêîâ èëè âñå ïðîèçâîäíûå íåèçâåñò- íû, èõ çíà÷åíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ïàðàìåòðàìè óïðàâëåíèÿ èçîãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíòåðïîëÿöèÿ ýðìèòîâîãî òèïà, èíòåðëèíàöèÿ ýðìèòîâîãî òèïà, èíòåð- ëèíàöèÿ ñ ñîõðàíåíèåì êëàññà äèôôåðåíöèðîâàííîñòè, èçîãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êîí- ñòðóèðóåìîé ïîâåðõíîñòè. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â çàäà÷àõ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé äâóõ è áîëåå ïåðåìåííûõ èíôîðìàöèÿ çàäà- åòñÿ çíà÷åíèÿìè â çàäàííîé ñèñòåìå òî÷åê èëè ñëåäàìè íà ñèñòåìå ïðîñòðàí- ñòâåííûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ èëè ïåðåñåêàþùèõñÿ ëèíèé, ïðè ýòîì îïåðàòîð ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x y z( , , ) â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èëè ôóíêöèè f r z( , , )j â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííîìó ìíîæåñòâó òðåáîâàíèé. Îòìåòèì íåêîòîðûå èç íèõ: — ïðèíàäëåæíîñòü ôóíêöèé, ïðèíèìàþùèõ ó÷àñòèå â êîíñòðóèðîâàíèè ïðèáëèæàþùåãî îïåðàòîðà, òðåáóåìîìó êëàññó äèôôåðåíöèðóåìîñòè â îáëàñòè çàäàíèÿ ïåðåìåííûõ èëè ðàçëè÷íûì êëàññàì äèôôåðåíöèðóåìîñòè â ðàçëè÷íûõ åå ïîäîáëàñòÿõ; — ïðèáëèæàþùàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà èíòåðïîëèðîâàòü ôóíêöèþ f â çàäàí- íûõ òî÷êàõ, èíòåðëèíèðîâàòü ôóíêöèþ f íà çàäàííûõ ëèíèÿõ, èíòåðôëåòèðî- âàòü ôóíêöèþ f íà çàäàííûõ ïîâåðõíîñòÿõ; — ïðèáëèæàþùàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà èìåòü çàäàííûå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé — êðè- âîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ 1-ãî ðîäà îò ôóíêöèè f âäîëü çàäàííîé ñèñòåìû ïðÿìûõ; — ïðèáëèæàþùàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà ñîâïàäàòü ñ èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè â çàäàííûõ ïîäîáëàñòÿõ îáëàñòè çàäàíèÿ ôóíêöèè f ; — ïðèáëèæàþùàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà îáåñïå÷èâàòü íåîáõîäèìóþ òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ; — ïðèáëèæàþùàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà ñîõðàíÿòü èçîãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà, ïîëó÷åííûå ïóòåì àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ — âîçðàñòàíèå èëè óáû- âàíèå, âûïóêëîñòü èëè âîãíóòîñòü â íåêîòîðûõ ïîäîáëàñòÿõ çàäàííîé îáëàñòè. Óäîâëåòâîðåíèå âñåì óêàçàííûì òðåáîâàíèÿì — äîñòàòî÷íî ñëîæíàÿ çàäà- ÷à, êîòîðàÿ íà äàííîå âðåìÿ ïîëíîñòüþ íå ðåøåíà. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà îáçîðó ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé äâóõ è òðåõ ïåðåìåííûõ ñ çàäàííûìè ñëå- äàìè, à òàêæå ñëåäàìè èõ íåêîòîðûõ ïðîèçâîäíûõ íà ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå íå- ïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ â äåêàðòîâîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ àâòîìàòè÷åñêèì ñîõðàíåíèåì êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè, êîòîðîìó ïðèíàä- ëåæèò ïðèáëèæàåìàÿ ôóíêöèÿ f . 134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 © È.Â. Ñåðãèåíêî, Î.Í. Ëèòâèí, Î.Î. Ëèòâèí, À.Â. Òêà÷åíêî, Î.Ë. Ãðèöàé, 2015 Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ôóíêèèé äâóõ è áîëåå ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ çàäàí- íûì êðàåâûì óñëîâèÿì íà ñèñòåìå ëèíèé, ïðèíàäëåæàùèõ ãðàíèöå íåêîòîðîé îáëàñ- òè è ñîõðàíÿþùèõ íóæíûé êëàññ äèôôåðåíöèðóåìîñòè, ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç êëþ÷åâûõ çàäà÷ òåîðèè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ [1, 3–9,11]. Åå ðåøåíèþ ïî- ñâÿùåíû ðàáîòû [2, 12–19]. Â [16–19] èññëåäîâàëèñü îïåðàòîðû âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèé äâóõ è òðåõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâ èíòåðëèíàöèè ôóíêöèé ýð- ìèòîâîãî òèïà íà ñèñòåìå íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ, ñîõðàíÿþùèå êëàññ äèôôå- ðåíöèðóåìîñòè, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ïðèáëèæàåìàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè ýòîì èñïîëüçó- þòñÿ åå ñëåäû è ñëåäû åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî íåêîòîðûì ïåðåìåííûì íà óêàçàííîé ñèñòåìå íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ. Â êà÷åñòâå âàæíîãî ïðèëîæåíèÿ ïîñòðîåííûõ ôîðìóë èíòåðëèíàöèè ýðìè- òîâîãî òèïà ïðåäëàãàåòñÿ ìåòîä ïîñòðîåíèÿ íà èõ îñíîâå ôîðìóë ýðìèòîâîé èí- òåðïîëÿöèè ôóíêöèé â òî÷êàõ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà íåèçâåñòíûõ çàìêíóòûõ ëè- íèé ñ àâòîìàòè÷åñêèì ñîõðàíåíèåì òðåáóåìîãî êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè è âîçìîæíîñòüþ óïðàâëåíèÿ èçîãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ïîâåðõíîñòè [10]. Ýòà çàäà÷à âîçíèêàåò, â ÷àñòíîñòè, ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ëîïàòîê àâèàäâèãàòå- ëåé. Óêàçàííûå íåèçâåñòíûå ëèíèè â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè òîêà íà ïî- âåðõíîñòè ëîïàòîê. Îäíîé èç íàèáîëåå ñëîæíûõ çàäà÷, âîçíèêàþùèõ ïðè ýòîì, ÿâëÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàäêîñòè êîíñòðóèðî- âàííîé ïîâåðõíîñòè è èçîãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ. Äàííàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà àíà- ëèçó ðàáîò [16–19], ãäå èññëåäóåòñÿ ñëó÷àé èíòåðëèíàöèè ñ àâòîìàòè÷åñêèì ñî- õðàíåíèåì êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèé äâóõ è òðåõ ïåðåìåííûõ íà ñèñòåìå íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ. Èçëîæèì îñíîâíûå óòâåðæäåíèÿ ðàáîòû. 1. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ ÄÂÓÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ Ñ ÑÎÕÐÀÍÅÍÈÅÌ ÊËÀÑÑÀ C R r ( )2 ÏÎ ÈÕ ÑËÅÄÓ È ÑËÅÄÀÌ ÈÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ ÏÎ ÎÄÍÎÉ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ ÄÎ ÔÈÊÑÈÐÎÂÀÍÍÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ ÍÀ ËÈÍÈÈ Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îïåðàòîð L ñîõðàíÿåò êëàññ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ïðèáëè- æàåìîé ôóíêöèè f , åñëè f C R Lf C Rr n r nÎ Þ Î( ) ( ) . Ïðè f C Rr nÎ Þ( ) Þ ÎLf C Rq n( ), q r< , îïåðàòîð L íå ñîõðàíÿåò êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè f . Â ÷àñòíîñòè, êëàññè÷åñêèå èíòåðïîëÿöèîííûå îïåðàòîðû Ýðìèòà ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ íå ñîõðàíÿþò êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèé âèäà f x y x y C R f C Rq q q( , ) \| \| ( ), ( )= + - Î Ï+ +1 2 1 2 2 2 1 2 , f x y x y x y C R f C Rq q q( , ) \| \| ( ) ( ), ( )= + - + - Î Ï+ + +1 12 1 2 1 2 2 2 2 . Ðàññìîòðèì ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ ñ ñîõðàíåíèåì êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè, êîòîðîìó ïðèíàäëå- æèò ïðèáëèæàåìàÿ ôóíêöèÿ, ïðè óñëîâèè, ÷òî ñëåäû ýòèõ îïåðàòîðîâ è ñëåäû èõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ äî ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêà íà çàäàííîé ëèíèè ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñëåäàìè ïðèáëèæàåìîé ôóíêöèè. Óêàçàííûå îïåðàòîðû èñïîëüçóþòñÿ â ðàçä. 2, 3 äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóë èí- òåðëèíàöèè ôóíêöèé äâóõ èëè òðåõ ïåðåìåííûõ ñ ñîõðàíåíèåì êëàññà äèôôå- ðåíöèðóåìîñòè è ñ çàäàííûìè ñëåäàìè, à òàêæå ñëåäàìè íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ïðî- èçâîäíûõ äî ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêà íà ñèñòåìå íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ â äåêàðòîâîé è öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Îíè èñïîëüçóþòñÿ â ðàçä. 4 äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ èíòåðïîëÿöèè ýðìèòîâîãî òèïà â òî÷êàõ ñèñòåìû íå- ïåðåñåêàþùèõñÿ ëèíèé, óðàâíåíèÿ êîòîðûõ íåèçâåñòíû. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 135 Îòìåòèì, ÷òî îïåðàòîð Òåéëîðà ïî îäíîé ïåðåìåííîé T f x y f x x y x s f xN s s N s s( , ) ( , ( )) ( ( )) ! , ( ,( , ) ( , )= - = å 0 0 0g g g ( )) ( , ) ( ) x f x y y s s y x = ¶ ¶ ½ ½ ½ =g , g ( ) ( )x C RrÎ , èìååò ñâîéñòâà ¶ ¶ ½ ½ ½ = ¶ ¶ ½ ½ ½ = = = q N q y x q q y x qT f x y y f x y y f ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) g g 0 ( , ( ))x xg , 0 £ £q N , f C R f x x C R f x xr s r s sÎ Ç Î Ç Ï-( ) ( , ( )) ( ) ( , ( ))( , ) ( , )2 0 2 0g g Ï £ £ £ ÞC R s N rr ( ) , ,0 T f C R T f C RN r N N rÎ Ç Ï- ( ) ( )2 2 . Èíûìè ñëîâàìè, ýòîò îïåðàòîð íå ñîõðàíÿåò êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè C Rr ( )2 ôóíêöèè f x y( , ) . Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð T f x yN ( , ) íåëüçÿ èñïîëü- çîâàòü âìåñòî f áåç äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèçà â òåõ çàäà÷àõ, ãäå âàæíûì ÿâëÿ- åòñÿ òðåáîâàíèå äëÿ f íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé f ïîðÿäêà r ³ 1 . Îïåðàòîðû, ñîõðàíÿþùèå êëàññ C Rr ( )2 , âïåðâûå áûëè ïîñòðîåíû â [12-15] äëÿ ñëó÷àÿ g ( )x = 0 â äèñêðåòíîé è èíòåãðàëüíîé ôîðìàõ. Â ÷àñòíîñòè, â äèñ- êðåòíîé ôîðìå îïåðàòîð L f x yN ( , ) = = + + = == å åål b l0 0 0 01 00 0, , , ( , )( , ) ( , ) ( l l l l l N s N s N sf x y f t x + - - -+ ò b b s sx y y t s dt s , ) ( )! , l l 1 0 1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì f C R f C R f x xr s r s sÎ Ç Î Ç Ï-( ) ( ) ( , ( ))( , ) ( , )2 0 2 0 g Ï = £ Þ ÎC R s N N r L f C Rr N r( ), , , , ( )0 2 , ¶ ¶ ½ ½ ½ = ¶ ¶ ½ ½ ½ = = = q N q y q q y L f x y y f x y y q N ( , ) ( , ) , , 0 0 0 , åñëè íåèçâåñòíûå l s l N, , ,l = 0 , äëÿ êàæäîãî s N= 0, íàõîäÿòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ ÑËÀÓ l b ds N s p p s p N, , ,( ) ,l l l = å = £ £ 1 0 , (1) ïðè óñëîâèÿõ - £ < < < £ =1 1 00 1b b bs s s N s N, , ,... , , ; b s,l — çàäàííûå ÷èñëà. Íèæå îáîáùèì ýòîò ðåçóëüòàò íà ñëó÷àé, êîãäà ñëåäû ïðèáëèæàåìîé ôóíê- öèè è åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî ïåðåìåííîé y äî ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêà çà- äàþòñÿ íà ëèíèè y x C Rr= Îg ( ) ( ) . Ðàññìîòðèì îïåðàòîð O f x y f x y x xN N ( , ) ( ( ( )), ( )), ,= + - + = å l b g g0 1 0l l l 136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 + + - - == - åå l g b g s N s N s s s f t t x y x t , ( , ) , ( , ( )) ( ( ( ) ) ( l l l 11 0 1 s dt x y xs - + - ò 1 0 )! , , ( ( ))b gl (2) íåèçâåñòíûå l s s N N, , , , ,l l= =0 0 , äëÿ êàæäîãî çíà÷åííÿ s NÎ[ , ]0 íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (1), èìåþùèõ åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òàê êàê èõ äåòåðìèíàíòû det [ ] , , , , ,b s p N p N s N l l= = ¹ = 0 0 0 0 , ÿâëÿþòñÿ äå- òåðìèíàíòàìè Âàíäåðìîíäà. Òåîðåìà 1. Îïåðàòîð O fN èìååò ñâîéñòâà f C R f x x C R f x xr s r s sÎ Ç Î Ç Ï-( ) ( , ( )) ( ) ( , ( ))( , ) ( , )2 0 0g g Ï = Þ ÎC R s N O f C Rr N r( ), , , ( )0 2 , (3) ¶ ¶ ½ ½ ½ = ¶ ¶ ½ ½ ½ = = = q N q y x q q y x qO f x y y f x y y f ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) g g 0 ( , ( )), ,x x q N N rg 0 £ £ £ . (4) Çàìå÷àíèå. Ïðè g ( )x = 0 ïîëó÷àåì O f L fN N= . Ââåäåì îïåðàòîð èíòåãðàëüíîãî òèïà D f x y G f x y x x dN b b ( , ) ( ) ( ( ( )), ( ))= + - + - ò 0 b b g g b + + - - - - G f t t x y x t s dtds s sx ( ) ( , ( )) ( ( ( )) ) ( )! ( , )b g b g b0 1 0 1 + - -= òòå b g( ( ))y x b b s N 1 , (5) ãäå b G C b b s Ns r³ Î - =1 0, ( ) [ , ], ,b , — çàäàííûå ôóíêöèè. Òåîðåìà 2 [16]. Îïåðàòîð D fN èìååò ñâîéñòâà f C R C R D f C Rr r N rÎ Ç Î Þ Î( ) ( ) ( )2 2g , (6) ¶ ¶ ½ ½ ½ = ¶ ¶ ½ ½ ½ = = = q N q y x q q y x qD f x y y f x y y f ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) g g 0 ( , ( )), ,x x q N N rg 0 £ £ £ , (7) åñëè g ( ) ( )x C RrÎ è âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì G ds p s p b b ( ) ,b b b d= - ò , 0 £ s , p N£ . Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ÿäåð èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ D f x yN ( , ) . Ïðèìåð 1. Ïóñòü b N= ³1 1, . Äëÿ ÿäåð ïîëèíîìèàëüíîãî òèïà G G a s NN s s s k k N k , ,( ) ( ) , ,b b b= = = = å 0 0 , êîýôôèöèåíòû as k, íàõîäÿòñÿ äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ s N= 0, èç ñèñòåì ëèíåé- íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïîðÿäêà ( )N +1 G d p Ns p s p( ) , ,,b b b d - ò = = 1 1 0 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 137 Â ÷àñòíîñòè, G0 1 2 ( )b = ; G1 3 2 ( )b b= ïðè N =1; G0 29 8 15 8 ( )b b= - ; G1 3 2 ( )b b= ; G2 215 8 45 8 ( )b b= - + ïðè N = 2 . Ïðèìåð 2. Ïóñòü b N= ¥ ³, 1 . Äëÿ ÿäåð âèäà G e as s k k N k( ) ,b bb= - = å 2 0 êîýôôèöèåíòû as k, íàõîäÿòñÿ äëÿ êàæäîãî çíà÷åííÿ s N= 0, èç ñèñòåì G d p N e d as p s p k p s k k N ( ) , , ,, ,b b b d b bb -¥ ¥ - + -¥ ¥ = ò òå= = Þ =0 2 0 ds p p N, , ,= 0 . Íàïðèìåð, äëÿ N b= = ¥1, G e d e0 1 2 2 ( )b bb b= æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - -¥ ¥ - - ò ; G e d e1 2 1 2 2 ( )b b b bb b= æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - -¥ ¥ - - ò . 2. ÝÐÌÈÒÎÂÀ ÈÍÒÅÐËÈÍÀÖÈß ÔÓÍÊÖÈÉ ÄÂÓÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ ÍÀ ÇÀÄÀÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ ÍÅÏÅÐÅÑÅÊÀÞÙÈÕÑß ËÈÍÈÉ Ñ ÑÎÕÐÀÍÅÍÈÅÌ ÊËÀÑÑÀ C R r ( )2 Îïåðàòîðû òàêîãî òèïà âïåðâûå áûëè ïîñòðîåíû â [13–15] â äèñêðåòíîé è èí- òåãðàëüíîé ôîðìàõ äëÿ ïðÿìûõ ëèíèé èíòåðëèíàöèè. Â ÷àñòíîñòè, â äèñêðåò- íîé ôîðìå îïåðàòîð L f x y h y f x y y yMN M k k M N k k( , ) ( ) ( ( ),, , , ,= + - = = å å0 1 0 0 0l bl l l ) + + + == = åå åh y f t y x y M k s s N k M s N s k s , , , ( , ) , ( ) ( , ) ( ( 11 0 0l b l l l - - - -+ - ò y t s dt k sx y ys k ) ) ( )! , ( ) 1 0 1 b l óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì f C R f C R fr s r s sÎ Ç Î Ç Ï-( ) ( )( , ) ( , )2 0 0 ÏC R( ) , 0 2£ £ £ Þ Îs N r L f C RMN r, ( ) , ¶ ¶ ½ ½ ½ = ¶ ¶ ½ ½ ½ = = = q MN q y y q q y y qL f x y y f x y y f x ( , ) ( , ) ( ,( , ) l l 0 yl ) , 0 £ £q N , 1 £ £l M , åñëè íåèçâåñòíûå l s N, , ,l l = 0 , äëÿ êàæäîãî s N= 0, íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû (1). Îáîáùèì ýòîò ðåçóëüòàò íà ñëó÷àé, êîãäà ñëåäû ïðèáëèæàåìîé ôóíêöèè è ñëåäû åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî ïåðåìåííîé y äî ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêà N r£ çàäàþòñÿ íà ëèíèÿõ y x C R k Mk r= Î =g ( ) ( ), ,1 . Ðàññìîòðèì îïåðàòîð O f x y h x y f x yM N M k k M N k, , , , ,( , ) ( , ) ( ( (= + - = = å å0 1 0 0 0l b gl l l x xk)), ( ))g + 138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 + ´ == åå h x yM k s s N k M , , ( , ) 11 ´ + - - -= - å l g b g s N s k s k s f t t x y x t s , ( , ) , ( , ( )) ( ( ( )) ) ( l l l 0 0 1 1 0 )! , , ( ( )) dt x y xs k+ - ò b gl (8) ãäå b s b b s N N, [ , ], , , ,l lÎ - = =0 0 , — çàäàííûå ðàçëè÷íûå ÷èñëà, íåèçâåñòíûå l s s N N, , , , ,l l= =0 0 , äëÿ êàæäîãî çíà÷åííÿ s NÎ[ , ]0 íàõîäÿòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ ÑËÀÐ (1). Òåîðåìà 3 [17]. Îïåðàòîðû O fM N, èìåþò ñâîéñòâà f C R f C R fr s r s sÎ Ç Î Ç Ï-( ) ( )( , ) ( , )2 0 0 Ï - +C Rr s 1 ( ) , 0 2£ £ £ Þ Îs N r O f C RM N r, ( ), , (9) ¶ ¶ ½ ½ ½½ = ¶ ¶ ½ ½ ½ = = = q M N q y x q q y x O f x y y f x y y f l l , ( ) ( ) ( , ) ( , ) g g ( , ) ( , ( ))0 q lx xg , q N= 0, , N r£ , l M=1, . (10) Çàìå÷àíèå. Ïðè g k kx y k M( ) , ,= =1 , ïîëó÷àåì O f L fM N M N, ,= . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îïåðàòîðû èíòåðëèíàöèè èíòåãðàëüíîãî òèïà D f x y h x y G f x y xM N M k k M k k, , , ,( , ) ( , ) ( ) ( ( ( )),= + - = å 0 1 0 b b g g k b b x d( )) b - ò + (11) + ´ == åå h x yM k s s N k M , , ( , ) 11 ´ + - + - òG f t t x y x k s s x y x k k k , ( , ) ( ( )) ( ) ( , ( )) ( ( ( )) b g b g b g 0 0 - - - - ò t s dtd s b b ) ( )! 1 1 b . Òåîðåìà 4 [17]. Îïåðàòîðû D fM N, èìåþò ñâîéñòâà f C R f x x C R f x xr s l r s s iÎ Ç Î Ç Ï-( ) ( , ( )) ( ) ( , ( ))( , ) ( , )2 0 0g g Ï Þ ÎC R D f C Rr M N r( ) ( ), 2 , (12) ¶ ¶ ½ ½ ½½ = ¶ ¶ ½ ½ ½ = = = q M N q y x q q y x D f x y y f x y y f l l , ( ) ( ) ( , ) ( , ) g g ( , ) ( , ( )) ( )0 q l r qx x C Rg Î - , 0 £ £q N , N r£ ; l M=1, , (13) åñëè G dk s p b b s p, ,( )b b b d - ò = , 0 £ s , p N£ ; k M=1, . Îòìåòèì, ÷òî â ôîðìóëå (8) äëÿ O fM N, ÿäðà ìîãóò çàâèñåòü îò ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ è îò ïåðåìåííûõ x y, . Íàïðèìåð, â èçâåñòíîé ôîðìóëå Ïóàññîíà äëÿ ïîëóïëîñêîñòè ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 139 Pu x y y u t dt x t y K x t y u t dt( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )= - + = - -¥ ¥ -¥ òp 0 0 2 2 ¥ ò , DPu x y y Pu x u x x R( , ) , , ( , ) ( , ),= > = Î0 0 0 0 , ÿäðî èìååò âèä G x y t y x t y K x t y K x y y x y * ( , , ) ( ) ( , ); ( , )= - + = - = +p p 1 1 2 2 2 2 . Â [9] ïðèâåäåíî îáîáùåíèå ýòîé ôîðìóëû íà ñëó÷àé ïîëèãàðìîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. 3. ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ ÈÍÒÅÐËÈÍÀÖÈÈ ÔÓÍÊÖÈÉ f r z( , , )j ÍÀ ÏÐÎÈÇÂÎËÜÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ ÇÀÌÊÍÓÒÛÕ ÍÅÏÅÐÅÑÅÊÀÞÙÈÕÑß ËÈÍÈÉ Â ÖÈËÈÍÄÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ Ðàññìîòðåííûå ðàíåå îïåðàòîðû ïîçâîëÿþò âîññòàíàâëèâàòü ïðèáëèæåííî ôóíêöèè f x y( , ) , åñëè èõ ñëåäû, à òàêæå ñëåäû èõ ïðîèçâîäíûõ ïî ïåðåìåí- íîé y èçâåñòíû íà ñèñòåìå íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ, çàäàííûõ ÿâíî ñîîòâåò- ñòâóþùèìè óðàâíåíèÿìè â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïðèâåäåì è èññëå- äóåì ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðèáëèæàåìàÿ ôóíêöèÿ çà- äàíà ñëåäàìè íà ñèñòåìå êðèâûõ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñ÷èòàåì, ÷òî ôóíêöèÿ (âîîáùå ãîâîðÿ, íåèçâåñòíàÿ) f r z C D( , , ) ( )j nÎ , D R R R= ´ ´ Ì+ [ , ]0 2 3p , ãäå R+ = + ¥[ , ]0 , çàäàåòñÿ íà ñèñòåìå íåïåðåñåêà- þùèõñÿ çàìêíóòûõ êðèâûõ Gk r z= {( , , ):j r r Ck= Î( ) [ , ]j pn 0 2 , z zk= Î( )j ÎC n p[ , ]0 2 } , k M=1, , ñâîèìè ñëåäàìè è ñëåäàìè ñâîèõ ïðîèçâîäíûõ f k s, ( )j = = = ¶ ¶ ¶ f r z f r z s k k s s s ( ( ), , ( ))j j j 1 2 , k M s s s= =1 1 2, ; ( , ) , \| \|s s s= +1 2 , \| \|s = 0, N . Ââå- äåì îáîçíà÷åíèÿ g r zk ( , , , , )j b b1 2 = j b j+ -1 ( ( ))r rk + -b j2 ( ( ))z zk , k M=1, , ñ ó÷åòîì, ÷òî G Gk pÇ ¹ Æ, k p M, ,=1 , k p¹ , g r zk k k( ( ), , ( ), , )j j j b b j1 2 = ; g r zk l l( ( ), , ( ), , )j j j b b1 2 = = +j b j j1 ( ( ) ( ))r rl k- + b j j2 ( ( ) ( ))z zl k- . Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ôóíêöèé h r zk s, ( , , )j , Gs1 1( )b , K s2 2( )b , k M=1, ; s s N1 2 0, ,= , ñî ñâîéñòâàìè ¶ ¶ ¶ ½ ½ ½ = = + - - p q p q k s k l p N s q N s r z h r z k l l , , , ,( , , ) ; ,j d d d G 1 2 1 01 2, ; , ,M p q s s N+ + = , G ds m m1 1 1 0 2 1 1 1 0 p b b b dò =( ) , ; s m N1 1 0, ,= ; K ds m m2 2 22 2 2 0 0 1 ( ) ,b b b d=ò ; s m N2 2 0, ,= . Ïðåäïîëîæèì èñêîìûé îïåðàòîð èíòåðëèíàöèè E f r zM N, ( , , )j = = òh r z G K f g r zk k k, , , ,( , , ) ( ) ( ) ( ( , , , ,0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 2j b b j b b ))d d k M b b p 1 2 0 2 1 òå = + 140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 + ´òòåå == h r z G Kk s s s s N k M , \| \| ( , , ) ( ) ( )j b b p 1 21 2 0 1 0 2 11 ´ - ò - 0 1 2 11 2g r z k s k sk f u g r z u ( , , , , ) , \| \| ( ) ( ( , , , , ) ) ( j b b j b b \| \| )!s dud d -1 1 2b b . (14) Òåîðåìà 5. Åñëè f C s s s N Nk s s , \| \|( ) [ , ], \| \| , ,j p nnÎ = + = £- 0 2 01 2 , òî " Îb1 Î[ , ]0 2p , " Îb 2 0 1[ , ] U r z f g r z C Dk k k, , , ,( , , , , ) ( ( , , , , )) ( )0 0 1 2 0 0 1 2j b b j b b n= Î , D R R= ´ ´+ [ , ]0 2p ; U r z f u g r z k s g r z k s k k , ( , , , , ) ,( , , ) ( ) ( ( , , , , j j b b j b b = ò 0 1 1 2 2 1 1 ) ) (\| \| )! ( ) \| \|- - Î -u s du C D s n . Òåîðåìà 6. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû 5, òî ôóíêöèè V r z G K f g r zk k k, , , ,( , , ) ( ) ( ) ( ( , , , ,0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 2j b b j b b= ò ))d db b p 1 2 0 2 ò , V r z Gk s s, ( , , ) ( )j b p = ´ò 1 1 0 2 ´ ò òK f u g r z s g r z k s k k 2 1 2 2 0 1 0 1 2( ) ( ) ( ( , , , , ( , , , , ) ,b j b b j b b ) ) (\| \| )! \| \|- - -u s dud d s 1 1 2 1 b b èìåþò ñâîéñòâà ¶ ¶ ¶ ½ ½ ½ = +p q p q k s r z V r z k , ( , , )j G = = - Ù = Ú = Ù = - = 0 0 1 0 0 0 11 2 1 2, ( , , ) ( , , ), ( ),, p s q s p s q s f p sk s j 1 2 1 0 2 2 0 1 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) q s G K r z s s p s q s p s q s = ¶ ¶ ¶ ò ò - + - - - b b p f g r z d d p s N q s k s k k , ( ( , , , , )) , ( , , j b b b b1 2 1 2 1 2 0 1 ½ ½ ½ = = Ù = + G N p s N q s N) ( , , ).Ú = + Ù = ì í ï ï ï î ï ï ï 1 21 Òåîðåìà 7 [18]. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû 5 è 6, òî îïåðà- òîð E f r zM N, ( , , )j óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì E f r z C DM N, ( , , ) ( )j nÎ , (15) ¶ ¶ ¶ ½ ½ ½ = = + = +p q p q M N l p q r z E f r z f l M p q l , , ,( , , ) ( ), , , ,j j G 1 0 N ; 0 2£ £j p . (16) Òåîðåìà 8 [18]. Ôóíêöèè h r zk s, ( , , )j ïðåäñòàâèìû â âèäå h r z s r s zk s N k s N k s, , , , ,( , , ) ( , ) ( , )j j j= 1 2 , (17) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 141 ãäå s r C R s z C RN k s N k s, , , ,( , ) ( [ , ]), ( , ) ( [ , 1 2 0 2 0 2j p j pn nÎ ´ Î ´+ ]) — áàçèñíûå ñïëàéíû ñòåïåíè N +1 ñî ñâîéñòâàìè ¶ ¶ = = = p N k s p l k l p s s r r k l M p s N , , , ,( , ) ; , , ; , ,1 1 0 01j d d ; ¶ ¶ = = = q N k s q l k l q s s z z k l M q s N , , , ,( , ) ; , , ; , ,2 2 0 02j d d . 4. ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈß ÝÐÌÈÒÎÂÎÃÎ ÒÈÏÀ Â ÒÎ×ÊÀÕ ÑÈÑÒÅÌÛ ÍÅÏÅÐÅÑÅÊÀÞÙÈÕÑß ËÈÍÈÉ Â ÖÈËÈÍÄÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ 1. Ïîñòðîåíèå îïåðàòîðîâ èíòåðëèíàöèè. Çàäàäèì ñèñòåìó M ëèíèé Gk k kr z r r f z C: ( , , ): ( ) ( , ( )) [ , ]{ j j j j pn= = Î 0 2 , z z Ck= Î( ) [ , ]j pn 0 2 } , k M=1, , à òàêæå ñëåäû ôóíêöèè r f z C D D z z H= Î = £ £ £ £( , ) ( ), ( , ): ,j j j pn { }0 2 0 è åå ïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà N ïî z íà ýòèõ ëèíèÿõ: ¶ ¶ = p p k k p f z z f( , ( )) ( ),j j j , k M=1, , ,p N= 0 . Ââåäåì îáîçíà÷åíèå g z z zk k( , , ) ( ( ))j b j b j= + - è ñèñòåìó ôóíêöèé h zk s, ( , )j , Gs ( )b , k M=1, ; s N= 0, , ñî ñâîéñòâàìè ¶ ¶ ½ ½ ½ = - q q k s k l q N s z h z l , , ,( , )j d d G ; k l M, ,=1 ; q s N, ,= 0 , G ds m m 0 2 0 p b b b dò =( ) , ; s m N, ,= 0 . Òåîðåìà 9 [19]. Åñëè f C s N Nk s s , ( ) [ , ], , ,j p nnÎ = £- 0 2 0 , òî " Îb p[ , ]0 2 U z f g z C Dk k k, , ( , , ) ( ( , , )) ( )0 0j b j b n= Î , D z H {( , , ): [ , ] [ , ] [ , ]}= ´ ´j b p p0 2 0 0 2 , U z f u g z u s k s g z k s k sk , ( , , ) ,( , , ) ( ) ( ( , , ) ) ( j b j b j b = - -ò - 0 1 1)! ( )du C DÎ n . Òåîðåìà 10. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû 9, òî ôóíêöèè V z G f g z d C D Dk k k, ,( , ) ( ) ( ( , , )) ( , [ , ]0 0 0 1 1 0 2j b j b b pn= Î = - ò ´ [ , ])0 H , V z G f u g z u k s s k s g z k k , , ( , , ) ( , ) ( ) ( ) ( ( , , ) ) j b j b j b = - - ò ò 1 1 0 s s dud - - 1 1( )! b 142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 èìåþò ñâîéñòâà V z C Dk s, ( , ) ( )j nÎ , k M s N= =1 0, , , , ¶ ¶ ½ ½ ½ = = £ £ ì í î q q k k z V z f q q N k , ,( , ) ( ), , , ; 0 0 0 0 1 j j G (18) ¶ ¶ ½ ½ ½ = £ £ - = ì í î q q k s k sz V z q s f q s k , , ( , ) , , ( ), ; j j G 0 0 1 ¶ ¶ ½ ½ ½ = ¶ ¶- - -ò q q k s s q s q s k s k z V z G z f g z k , ,( , ) ( ) ( ( , ,j b j G 1 1 b b))d k ½ ½ ½ = G 0, (19) s q N q s N< £ £; , . Ñòðîèì îïåðàòîð èíòåðëèíàöèè ýðìèòîâîãî òèïà â âèäå O f z h z G t f t z z dtMN k k k k ( , ) ( , ) ( ) ( ( ( ))), ,j j j j= + - + - ò0 0 0 1 1 = å 1 M + + - = + - å òh z G f u z z k s s N s k s z z k k , , ( ( )) ( , ) ( ) ( ) ( ( j b j b j b j 1 0 ( )) ) ( )! j b - - - -= òå u s dud s k M 1 1 1 1 1 . (20) Òåîðåìà 11 [19]. Îïåðàòîð O f zMN ( , )j èìååò ñâîéñòâà f C k M s N O f z C Dk s s MN, ( ) [ , ], , ; , , ( , ) ( )j p jn nÎ = = Þ Î- 0 2 1 0 , (21) è äëÿ òîãî ÷òîáû ¶ ¶ = = = p MN p k k p O f z z f k M p N( , ( )) ( ), , , ,,j j j 1 0 , (22) äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé h z C D k M s Nk s, ( , ) ( ), , ; ,j nÎ = =1 0 , ¶ ¶ = = = q k p q l k l p q h z z k l M p q N , , ,( , ( )) , , , ; , ,j j d d 1 0 . (23) 2. Ïîñòðîåíèå îïåðàòîðîâ èíòåðïîëÿöèè ýðìèòîâîãî òèïà íà íåðåãóëÿðíîé ñåòêå óçëîâ, ðàçìåùåííûõ íà ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå íåïåðåñåêàþùèõñÿ ëèíèé ïîâåðõíîñòè ñ ñîõðàíåíèåì êëàññà C D n ( ) . Ïîñòðîåíèå ïðîâîäèòñÿ â âèäå E f z h z G sp z sp dMN k k k( , ) ( , ) ( ) ( ( ( ))), ,j j b j b j b= + - + - 0 0 0 1 1 òå =k M 1 + + - = + - å òh z G sp u z k s s m s z sp k s k , ( ( )) ,( , ) ( ) ( ) ( ( 1 0 j b j b j b j sp u s dudk s k M ( )) ) ( )! j b - - - -= òå 1 1 1 1 1 , (24) ãäå sp Ck s s , ( ) [ , ]j pnÎ - 0 2 , sp r k s p j k j p p, ( ) , ,( )j d= 0 ; sp rk j k j ( ) , j = 0 , k M=1, ; p s N, ,=1 ; j Q k= 0, . Òåîðåìà 12 [19]. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 11, òî sp Ck s s , ( ) [ , ]j pnÎ - 0 2 , k M=1, ; s N E f z C DMN= Þ Î0, , ( , ) ( )j n ; (25) sp rk s j k j s , , ( )( )j = , k M=1, ; s N= 0, ; j Q k=1, , Þ ¶ ¶ = p Mm p j k j k j pE f z z r( , ), , ( )j , k M=1, ; s N= 0, ; j Q k=1, . (26) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 143 ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ðàññìîòðåíû ôîðìóëû ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ èíòåðëèíàöèè ýðìèòîâîãî òèïà ñ àâ- òîìàòè÷åñêèì ñîõðàíåíèåì òðåáóåìîãî êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè. Ýòè îïåðàòî- ðû èíòåðëèíàöèè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ èíòåðïîëÿöèè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü ôóíêöèþ f â ïðîèçâîëüíûõ òî÷êàõ òîëüêî ïî èíòåðïîëÿöè- îííûì äàííûì. Ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü èõ äëÿ èíòåðïîëÿöèè ôóíêöèè f è åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà N ïî ïåðåìåííîé z â òî÷êàõ âîîáðàæàåìûõ ëè- íèé èíòåðëèíàöèè, ñ÷èòàÿ çàäàííûìè òîëüêî äèñêðåòíûå íàáîðû çíà÷åíèé ïðèáëè- æàåìîé ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíûõ ïî ïåðåìåííîé z â óêàçàííûõ òî÷êàõ âîîáðà- æàåìûõ ëèíèé èíòåðëèíàöèè. Íåèçâåñòíûå ïðîèçâîäíûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ñîõðàíåíèÿ èçîãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ êîíñòðóèðóåìîé ïîâåðõíîñòè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ñèñòåìíûé àíàëèç. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2013. — 500 ñ. 2. Ñ å ð ã ³ º í ê î ² . Â . , Ç à ä ³ ð à ê à Â . Ê . , Ë è ò â è í Î . Ì . Åëåìåíòè çàãàëüíî¿ òåîð³¿ îïòèìàëü- íèõ àëãîðèòì³â ³ ñóì³æí³ ïèòàííÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2012. — 404 ñ. 3. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ñ . Ì . Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ è òåîðåìû âëîæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 480 ñ. 4. Á å ñ î â Î . Â . , È ë ü è í Â . Ï . , Í è ê î ë ü ñ ê è é Ñ . Ì . Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé è òåîðåìû âëîæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 480 ñ. 5. Ñ ò å é í È . Ñèíãóëÿðíûå èíòåãðàëû è äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèé. — 1973. — 342 ñ. 6. Â ë à ä è ì è ð î â Â . Ñ . Îáîáùåííûå ôóíêöèè â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. — Ì.: Íàóêà, 1979. — 318 ñ. 7. Õ å ð ì à í ä å ð Ë . Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. — Ì.: Ìèð, 1986. — 455 ñ. 8. Ò è õ î í î â À . Í . , Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 724 ñ. 9. Ø è ë î â Ã . Å . Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. 2-é ñïåöèàëüíûé êóðñ. — Ì.: Íàóêà, 1965. — 327 ñ. 10. Ê â à ñ î â Á . È . Ìåòîäû èçîãåîìåòðè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ñïëàéíàìè. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2006. — 360 ñ. 11. Ì à ò å ì à ò è ÷ å ñ ê à ÿ ýíöèêëîïåäèÿ / Ïîä ðåä. È.Ì. Âèíîãðàäîâà: â 5 ò. — Ì.: Ñîâ. ýíöèêëî- ïåäèÿ, 1984. — Ò.5. — 1215 ñ. 12. Ë è ò â è í Î . Ì . ²íòåðïîëÿö³ÿ ôóíêö³é òà ¿õ íîðìàëüíèõ ïîõ³äíèõ íà ãëàäêèõ ë³í³ÿõ â Rn // Äîï. ÀÍ ÓÐÑÐ. — Ñåð. À. — 1984. — ¹ 7. — Ñ. 15–19. 13. Ë è ò â è í Î . Ì . Òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ ¶ ¶ - ¶ ¶ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = = Õ t a x u x t g x ti i n 2 2 2 0 ( , ) ( , ) // Òàì æå. — 1991. — ¹ 3. — Ñ. 12–17. 14. Ë è ò â è í Î . Ì . Ïîáóäîâà ôóíêö³é n çì³ííèõ ç çàäàíèìè íîðìàëüíèìè ïîõ³äíèìè íà R m nm ( )1 1£ £ - ³ç çáåðåæåííÿì êëàñó Ñ Rr n( ) // Òàì æå. — 1987. — ¹ 5. — Ñ. 13–17. 15. Ë è ò â è í Î . Ì . ²íòåðë³íàö³ÿ ôóíêö³é òà äåÿê³ ¿¿ çàñòîñóâàííÿ. — Õàðê³â: Îñíîâà, 2002. — 544 ñ. 16. Ë è ò â è í Î . Ì . , Ë è ò â è í Î . Î . , Ò ê à ÷ å í ê î Î . Â . , Ã ð è ö à é Î . Ë . Â³äíîâëåííÿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ ³ç çáåðåæåííÿì êëàñó C Rr ( )2 çà äîïîìîãîþ ¿õ ñë³ä³â òà ñë³ä³â ¿õ ïîõ³äíèõ äî ô³êñîâàíîãî ïîðÿäêó íà çàäàí³é ë³í³¿ // Äîï. ÍÀÍÓ. — 2014. — ¹ 2. — Ñ. 50–55. 17. Ñ å ð ã ³ º í ê î ² . Â . , Ë è ò â è í Î . Ì . , Ë è ò â è í Î . Î . , Ò ê à ÷ å í ê î Î . Â . , Ã ð è ö à é Î . Ë . Åðì³òîâà ³íòåðë³íàö³ÿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ íà çàäàí³é ñèñòåì³ íåïåðåòèííèõ ë³í³é ³ç çáåðå- æåííÿì êëàñó C Rr ( )2 // Òàì æå. — 2014. — ¹ 7. — Ñ. 53–59. 18. Ñ å ð ã ³ º í ê î ² . Â . , Ë è ò â è í Î . Ì . , Ë è ò â è í Î . Î . , Ò ê à ÷ å í ê î Î . Â . , Ã ð è ö à é Î . Ë . ²íòåðë³íàö³ÿ ôóíêö³é òðüîõ çì³ííèõ íà ñèñòåì³ íåïåðåòèííèõ êðèâèõ ³ç çáåðåæåííÿì êëàñó äèôåðåíö³éîâíîñò³ // Òàì æå. — 2015. — ¹ 1. — Ñ. 31–35. 19. Ñ å ð ã ³ º í ê î ² . Â . , Ë è ò â è í Î . Ì . , Ë è ò â è í Î . Î . , Ò ê à ÷ å í ê î Î . Â . , Ã ð è ö à é Î . Ë . Ïîáóäîâà îïåðàòîð³â ³íòåðïîëÿö³¿ åðì³òîâîãî òèïó íà íåðåãóëÿðí³é ñ³òö³ âóçë³â, ðîçì³ùåíèõ íà äîâ³ëüí³é ñèñòåì³ çàìêíóòèõ íåïåðåòèííèõ ë³í³é â öèë³íäðè÷í³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò, ùî íà- ëåæàòü êîíñòðóéîâàí³é ïîâåðõí³ // Òàì æå. — 2015. — ¹ 2. — Ñ. 43–49. Ïîñòóïèëà 13.10.2014 144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2

Интерлинация эрмитового типа на системе непересекающихся линий (Обзор)

Institution

Similar Items