Математическая модель работы банка

Предложена общая математическая концепция описания работы банка. С этой целью введена базисная модель работы банка, эволюция капитала в которой описывается процессом Маркова. Получена оценка вероятности банкротства в базисной модели работы банка, которая мажорирует вероятность банкротства банка в пр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Кибернетика и системный анализ
Дата:	2015
Автор:	Гончар, Н.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124821
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математическая модель работы банка / Н.С. Гончар // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 65-89. — Бібліогр.: 48 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124821
record_format	dspace
spelling	Гончар, Н.С. 2017-10-05T20:04:11Z 2017-10-05T20:04:11Z 2015 Математическая модель работы банка / Н.С. Гончар // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 65-89. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124821 519.86 Предложена общая математическая концепция описания работы банка. С этой целью введена базисная модель работы банка, эволюция капитала в которой описывается процессом Маркова. Получена оценка вероятности банкротства в базисной модели работы банка, которая мажорирует вероятность банкротства банка в предложенной модели. Указано величину начального капитала банка, при котором банк может функционировать неограниченное время с достаточно малой вероятностью банкротства. Запропоновано загальну математичну концепцію опису роботи банку. Для цього введено базову модель роботи банку, еволюція капіталу в якій описується процесом Маркова. Отримано оцінку ймовірності банкрутства в базовій моделі роботи банку, яка мажорує ймовірність банкрутства банку в запропонованій моделі. Визначено величину початкового капіталу банка, за якого банк може функціонувати необмежений час з достатньо малою ймовірністю банкрутства. A general mathematical concept is proposed to describe bank operation. To this end, a reference model of bank operation is introduced, which describes evolution of capital by a Markov process. The ruin probability in the reference model that majorizes the probability of bank bankruptcy in the proposed model is estimated. The value of the initial bank capital such that the bank can operate for infinite time with a sufficiently small ruin probability is indicated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Математическая модель работы банка Математична модель роботи банку Mathematical model of bank operation Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Математическая модель работы банка
spellingShingle	Математическая модель работы банка Гончар, Н.С. Системный анализ
title_short	Математическая модель работы банка
title_full	Математическая модель работы банка
title_fullStr	Математическая модель работы банка
title_full_unstemmed	Математическая модель работы банка
title_sort	математическая модель работы банка
author	Гончар, Н.С.
author_facet	Гончар, Н.С.
topic	Системный анализ
topic_facet	Системный анализ
publishDate	2015
language	Russian
container_title	Кибернетика и системный анализ
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Математична модель роботи банку Mathematical model of bank operation
description	Предложена общая математическая концепция описания работы банка. С этой целью введена базисная модель работы банка, эволюция капитала в которой описывается процессом Маркова. Получена оценка вероятности банкротства в базисной модели работы банка, которая мажорирует вероятность банкротства банка в предложенной модели. Указано величину начального капитала банка, при котором банк может функционировать неограниченное время с достаточно малой вероятностью банкротства. Запропоновано загальну математичну концепцію опису роботи банку. Для цього введено базову модель роботи банку, еволюція капіталу в якій описується процесом Маркова. Отримано оцінку ймовірності банкрутства в базовій моделі роботи банку, яка мажорує ймовірність банкрутства банку в запропонованій моделі. Визначено величину початкового капіталу банка, за якого банк може функціонувати необмежений час з достатньо малою ймовірністю банкрутства. A general mathematical concept is proposed to describe bank operation. To this end, a reference model of bank operation is introduced, which describes evolution of capital by a Markov process. The ruin probability in the reference model that majorizes the probability of bank bankruptcy in the proposed model is estimated. The value of the initial bank capital such that the bank can operate for infinite time with a sufficiently small ruin probability is indicated.
issn	0023-1274
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124821
citation_txt	Математическая модель работы банка / Н.С. Гончар // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 65-89. — Бібліогр.: 48 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gončarns matematičeskaâmodelʹrabotybanka AT gončarns matematičnamodelʹrobotibanku AT gončarns mathematicalmodelofbankoperation
first_indexed	2025-11-25T23:52:50Z
last_indexed	2025-11-25T23:52:50Z
_version_	1850588925286940672
fulltext	ÓÄÊ 519.86 Í.Ñ. ÃÎÍ×ÀÐ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÐÀÁÎÒÛ ÁÀÍÊÀ Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåíà îáùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ êîíöåïöèÿ îïèñàíèÿ ðàáîòû áàíêà. Ñ ýòîé öåëüþ ââåäåíà áàçèñíàÿ ìîäåëü ðàáîòû áàíêà, ýâîëþöèÿ êàïèòàëà â êîòîðîé îïè- ñûâàåòñÿ ïðîöåññîì Ìàðêîâà. Ïîëó÷åíà îöåíêà âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà â áàçèñíîé ìî- äåëè ðàáîòû áàíêà, êîòîðàÿ ìàæîðèðóåò âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà áàíêà â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè. Óêàçàíî âåëè÷èíó íà÷àëüíîãî êàïèòàëà áàíêà, ïðè êîòîðîì áàíê ìîæåò ôóíêöèî- íèðîâàòü íåîãðàíè÷åííîå âðåìÿ ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ áàíêðîòñòâà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ áàíêà, êàïèòàë áàíêà, ñòðàòåãèÿ èíâåñòèðîâà- íèÿ, ñòðàòåãèÿ ïðèâëå÷åíèÿ äåïîçèòîâ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, öåïü Ìàðêîâà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Âîïðîñ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà â èãðàõ ñî ñëó÷àéíûìè ðåçóëüòà- òàìè âîñõîäèò ê ðàáîòå Ìóàâðà (1711 ã.), êîòîðûé ðàññìàòðèâàë ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå Áåðíóëëè, ñòàðòóþùåå ñ íåêîòîðîãî êàïèòàëà u . Â åãî ðàáîòå âïåðâûå âû÷èñëåíà âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà èãðîêà, âëàäåþùåãî íà÷àëüíûì êàïèòàëîì u, ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòî ïðîèçîéäåò íå ïîçæå, ÷åì åãî êàïèòàë äîñ- òèãíåò íåêîòîðîãî óðîâíÿ. Ïîçäíåå ìàðòèíãàëüíûå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ñëó- ÷àéíûõ áëóæäàíèé, áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ñî ñíîñîì íà ïðÿìîé ïîçâîëèëè ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà íà êîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåð- âàëå [1–3]. Ïåðâûì, êòî ïðèìåíèë ìàðòèíãàëüíûå ìåòîäû äëÿ îöåíêè âåðîÿò- íîñòè ðàçîðåíèÿ, áûë Ãåðáåð [4, 5]. Â äàëüíåéøåì ýòè ìåòîäû ïîëó÷èëè ðàç- âèòèå â ðàáîòàõ [6–10]. Ïðîáëåìà ïîëó÷åíèÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà ïðè ñëó÷àéíîì èíâåñòèðîâàíèè â àêòèâû íàõîäèòñÿ ïîä ïðèñòàëüíûì âíèìà- íèåì èññëåäîâàòåëåé, íà÷èíàÿ ñ ðàáîò Êåñòåíà [11] è Ãîëäè [12]. ÑÎÑÒÎßÍÈÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ ÎÏÈÑÀÍÈß ÐÈÑÊÎÂ Â ïóáëèêàöèÿõ, óïîìÿíóòûõ âûøå, ðàññìàòðèâàåòñÿ äèñêðåòíàÿ ìîäåëü R A R Bn n n n= --1 , n =1 2, , ... , ãäå êàæäàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé A Bn n, íåçà- âèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Êðîìå òîãî, îíè íåçàâèñèìû ìåæäó ñîáîé. Îñíîâíîå óòâåðæäåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè An > 0 , ñóùåñòâóåò a > 0 òàêîå, ÷òî EA EA A1 1 11- -= < ¥a a, log , à ðàñïðåäåëåíèå A1 1- íåðåøåò÷àòî, òî äëÿ âå- ðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà y ( ) ( , )u P n Rn= $ ³ <1 0 ïðè áîëüøèõ u ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòèêà y a( ) ~ / ( )u C u2 1+ , ãäå âûðàæåíèå äëÿ êîíñòàíòû C2 íå ïîääàåò- ñÿ îöåíêå ÷åðåç ïàðàìåòðû ìîäåëè, õîòÿ Íèðèíåí â [13] ïîêàçàë, ÷òî îíà ÿâ- ëÿåòñÿ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîé. Â ðàáîòàõ [13–16] äîïóñêàëàñü íåêîòîðàÿ ñëà- áàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè An è Bn . Ïðîáëåìà îöåíèâàíèÿ ðèñêîâ ñòðàõîâûõ êîìïàíèé âîñõîäèò ê Ëóí- áåðãó [17, 18] è Êðàìåðó [19]. Â èõ ìîäåëè êîìïàíèÿ íå èíâåñòèðîâàëà ïîëó÷åí- íûå ïðåìèè â ðèñêîâûå è áåçðèñêîâûå àêòèâû. Ïåðâàÿ ïîïûòêà âîçìîæíîñòè èí- âåñòèðîâàíèÿ â áåçðèñêîâûé àêòèâ ïîä ôèêñèðîâàííóþ ñòàâêó áûëà ïðåäïðèíÿòà â ðàáîòå [20]. Ðàçâèòèå ýòà èäåÿ ïîëó÷èëà â [21, 22], à çàòåì â áîëåå îáùåé ôîðìå â [23]. Â ðàáîòàõ [24, 25] ñîäåðæàòñÿ ðàçäåëû, ïîñâÿùåííûå ýòîé òåìå. Â [26] ïðåäñòàâëåí îáçîð äîñòèæåíèé â íåïðåðûâíûõ ìîäåëÿõ, â íåêîòîðîì ñìûñëå ÿâ- ëÿþùèõñÿ ïðåäåëîì ñîäåðæàòåëüíûõ äèñêðåòíûõ ìîäåëåé. Ðàññìàòðèâàåìûé òàì ïðîöåññ ðèñêà ñîñòîèò èç ñëàãàåìûõ, îäíî èç êîòîðûõ îïèñûâàåò ïîñòóïëå- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 65 © Í.Ñ. Ãîí÷àð, 2015 íèå ïðåìèé ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè ñ íåêîòîðîé ôëóêòóàöèåé, ïðåäñòàâ- ëåííîé áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì, âòîðîå ñëàãàåìîå, îïèñûâàþùåå âîçìåùåíèå èñ- êîâ, ïðåäñòàâëåíî ñîñòàâíûì ïðîöåññîì Ïóàññîíà. È, íàêîíåö, òðåòüå ñëàãàåìîå ïðîöåññà ðèñêà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë ïî ïðîöåññó Âèíåðà ñî ñíîñîì è îïèñûâàåò èíâåñòèðîâàíèå â ðèñêîâûå àêòèâû. Ýòîò ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ïðîöåññîì Ìàðêîâà, è ïðåäñòàâëåííàÿ ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ âåðî- ÿòíîñòè áàíêðîòñòâà â ýòîé ìîäåëè ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè àñèìïòîòèêè ðåøåíèé èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíèõ óðàâíåíèé, êîòîðûì îíà óäîâëåòâîðÿåò. Â [26] ïîëó- ÷åíà àñèìïòîòèêà òàêèõ ðåøåíèé, à òàêæå ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé. Íàõîæäåíèå êàêèõ-ëèáî îöåíîê ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ñëîæíûì, ïîñêîëü- êó îíè ëèáî ÿâëÿþòñÿ ïðîáëåìàòè÷íûìè, ëèáî íå ïîääàþòñÿ âû÷èñëåíèþ. Â îòå÷åñòâåííîé ëèòåðàòóðå ñîñòîÿíèå èññëåäîâàíèé â ýòîé îáëàñòè ïðåä- ñòàâëåíî â ðàáîòàõ [27–30]. Â [31] âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà â ñëîæíîé ïóàññî- íîâñêîé ìîäåëè îöåíèâàëàñü ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî. Â ñòàòüÿõ [32–34] ðàññìîò- ðåí ïðîöåññ ðèñêà ñ ïîñòóïëåíèåì èñêîâ â ñòðàõîâóþ êîìïàíèþ, îïèñûâàåìûõ îáùèì ïðîöåññîì âîññòàíîâëåíèÿ è äåòåðìèíèðîâàííîé íåëèíåéíîé ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé èíòåíñèâíîñòüþ ïîñòóïëåíèÿ ïðåìèé. Ïðåäñòàâëåí àëãîðèòì ïî- ñòðîåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ. Äàíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé è ïîëó÷åíà îöåíêà ñíèçó. Â ðàáîòå [35] îáîáùåíà êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ðèñêà íà ñëó÷àé ñëó÷àéíîãî ïîñòóïëåíèÿ ïðåìèé è èíâåñòèðîâàíèÿ â ðèñêîâûé àêòèâ, ýâîëþöèîíèðóþùèé ñêà÷êîîáðàçíî. Îöåíêè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ èñïîëüçî- âàíû äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë, ñâÿçûâàþùèõ òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü âåðîÿòíîñòåé íåáàíêðîòñòâà èõ ñòàòèñòè÷åñêèìè îöåíêàìè. Â [36] ïîëó÷åíà îöåíêà âåðîÿòíî- ñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè, èíâåñòèðóþùåé â ðèñêîâûé àêòèâ, êîòîðûé ýâîëþöèîíèðóåò â ñîîòâåòñòâèè ñ ìîäåëüþ Êëàðêà. Â ìîäåëè, ðàññìîòðåííîé â [37], ïîëó÷åíà îöåíêà âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà â ïðåäïîëîæåíèè ÷àñòè÷íîãî èíâåñòèðîâàíèÿ â ðèñêîâûé àêòèâ, ýâîëþöèÿ ñòîè- ìîñòè êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì, è áåçðèñ- êîâûé àêòèâ ïîä íåêîòîðóþ ñòàâêó ïðîöåíòà ñ âîçìîæíîñòüþ ïîëó÷åíèÿ êðåäèòà ïîä ýòó æå ñòàâêó. Ðàññìàòðèâàåìûå êàê äèñêðåòíûå, òàê è íåïðåðûâíûå ìîäåëè ðèñêà ÿâëÿþòñÿ äîâîëüíî àáñòðàêòíûìè, ÷òîáû ïðåòåíäîâàòü íà îïèñàíèå ðåàëüíûõ îáúåêòîâ ýêî- íîìèêè. Âìåñòå ñ òåì ýòè èññëåäîâàíèÿ âåñüìà ïîëåçíû äëÿ ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ ïðîèñõîäÿùèõ â ðåàëüíîñòè ïðîöåññîâ. Ðàññìàòðèâàåìûå ìîäåëè áëèçêè ê îïèñàíèþ ðàáîòû ñòðàõîâîé êîìïàíèè, êîòîðàÿ ÷àñòü ñîáðàííûõ ïðåìèé ìîæåò èíâåñòèðîâàòü êàê â ðèñêîâûå, òàê è áåçðèñêîâûå àêòèâû. Â ïðåäñòàâëåííûõ ìîäåëÿõ íå ïðîñìàòðèâàåòñÿ âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ èìè ðàáîòû áàíêà, ïîñêîëüêó áàíê äîëæåí ïðèâëå÷ü äåïîçèòû ïîä îïðåäåëåííóþ ñòàâêó, à çàòåì èõ êðåäèòîâàòü â àêòèâû ýêîíîìèêè, çàðàáîòàâ â ðåçóëüòàòå òàêîé êàïèòàë, êîòîðûì îí ñìîæåò ðàññ÷èòàòüñÿ çà ïðèâëå÷åííûå ïîä ïðîöåíòíóþ ñòàâêó äåïîçèòû âìåñòå ñ ïðîöåíòàìè. Ýòîãî êàïèòàëà äîëæíî õâàòèòü è íà âûïëàòó ïî äðóãèì îáÿçàòåëüñòâàì áàíêà. Ðèñê èíâåñòèðîâàíèÿ áàíêîì â àêòèâû ýêîíîìèêè ãîðàçäî âûøå, íåæåëè ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Îò âåëè÷èíû ýòîãî ðèñêà çà- âèñèò âåëè÷èíà ïðîöåíòà íà äåïîçèò. Íàõîæäåíèå ýòîé çàâèñèìîñòè ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé, êîòîðàÿ äîëæíà áûòü òàêæå ðåøåíà. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäñòàâëåíà îáùàÿ êîíöåïöèÿ ìîäåëüíîãî îïèñàíèÿ ðà- áîòû áàíêà. Â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè ðåøåíà çàäà÷à îöåíèâàíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçî- ðåíèÿ áàíêà â çàâèñèìîñòè îò òàêèõ ôàêòîðîâ, êàê âåëè÷èíà êàïèòàëà, îáåñïå÷èâà- þùåãî ëèêâèäíîñòü ðàáîòû áàíêà, âûáîð èíâåñòèöèîííîé ñòðàòåãèè, ïîëèòèêà 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 ïðèâëå÷åíèÿ äåïîçèòîâ íà ñ÷åòà áàíêà, îãðàíè÷åíèÿ âûïëàò ïî îáÿçàòåëüñòâàì, óðîâåíü íà÷àëüíîãî êàïèòàëà áàíêà. Ïîýòîìó òàêàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü èñïîëüçî- âàíà ñ öåëüþ óïðàâëåíèÿ ðàáîòîé áàíêà äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ïîñòîÿííîé åãî ðàáîòû. ×òîáû îáåñïå÷èòü ðàáîòó áàíêà â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè ñ äîñòàòî÷íî ìà- ëîé âåðîÿòíîñòüþ áàíêðîòñòâà, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïèñû- âàþùèå ïðèâëå÷åíèå äåïîçèòîâ íà ñ÷åòà áàíêà, áûëè îãðàíè÷åíû ñíèçó ïîëîæè- òåëüíîé êîíñòàíòîé, à èíâåñòèðîâàíèå â àêòèâû ýêîíîìèêè áûëî áëàãîïðèÿòíûì. Â äàííîé ñòàòüå ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàáîòû áàíêà íà îñíîâå ââåäåííûõ ñëåäóþùèõ ñòðóêòóð: äèíàìèêà ñòðàòåãèè èíâåñòèðîâàíèÿ, îïèñûâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, n-é ýëåìåíò êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ èíâåñòèðî- âàíèåì áàíêà êàê â ðèñêîâûå, òàê è áåçðèñêîâûå àêòèâû â ïåðèîä âðåìåíè [ , ]n n-1 ; äèíàìèêà ïðèâëå÷åíèÿ äåïîçèòîâ íà ñ÷åòà áàíêà è äèíàìèêà áàíêîâñêèõ äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè, îïèñûâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè- ÷èí, n-é ýëåìåíò êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñòðàòåãèåé ïðèâëå÷åíèÿ äåïîçèòîâ è ïîëó÷åíèÿ äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè áàíêà â ïåðèîä âðåìåíè [ , ]n n-1 ; äèíàìèêà âûïëàò ïî îáÿçàòåëüñòâàì, îïèñûâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, n-é ýëåìåíò êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñòðàòåãèåé âûïëàò ïî îáÿçàòåëüñòâàì â ïåðèîä âðåìå- íè [ , ]n n-1 . Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ñòðóêòóð îïèñàíà ýâîëþöèÿ êàïèòàëà áàíêà. ×òîáû ïîñòðîèòü âûøåóêàçàííûå ñòðóêòóðû, ââåäåíà áàçèñíàÿ ìîäåëü ðàáîòû áàíêà, ïîðîæäàåìàÿ ñòðóêòóðàìè: äèíàìèêà íèæíåé îöåíêè ñòðàòåãèè èíâåñòèðîâà- íèÿ áàíêà, îïèñûâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåí- íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; äèíàìèêà íèæíåé îöåíêè ñòðàòåãèè ïðèâëå÷åíèÿ äåïîçè- òîâ íà ñ÷åòà áàíêà è áàíêîâñêèõ äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè, îïèñûâàå- ìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; äèíàìèêà òàê íàçûâàåìîé âåðõíåé îöåíêè âûïëàò, îïèñûâàåìàÿ ïîñëåäî- âàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Èñïîëüçóÿ ýòè äàííûå, ñòðîèì äèíàìèêó íèæíåé îöåíêè êàïèòàëà áàíêà â ðàññìàò- ðèâàåìîé áàçèñíîé ìîäåëè. Ýòà äèíàìèêà ÿâëÿåòñÿ öåïüþ Ìàðêîâà. Îñíîâíàÿ ïðî- áëåìà – îöåíèòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â ïîñòðîåííîé ìîäåëè. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïîëó÷åíî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà â òàêîé ñèñ- òåìå ðàáîòû áàíêà. Óñòàíîâëåíà îöåíêà âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà êàê íà êîíå÷íîì, òàê è áåñêîíå÷íîì âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ åãî ðàáî- òû. Ââåäåíà êîëè÷åñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà êà÷åñòâà ìåíåäæìåíòà áàíêà. Ýòè ðå- çóëüòàòû ïðèìåíåíû ê îöåíèâàíèþ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ áàíêà. Â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà ðåøåíà çàäà÷à îöåíèâàíèÿ âåðîÿòíî- ñòè åãî ðàçîðåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò òàêèõ ôàêòîðîâ, êàê âåëè÷èíà êàïèòàëà, îáåñ- ïå÷èâàþùåãî ëèêâèäíóþ ðàáîòó áàíêà; âûáîð èíâåñòèöèîííîé ñòðàòåãèè; ïîëè- òèêà ïðèâëå÷åíèÿ äåïîçèòîâ íà ñ÷åòà áàíêà; îãðàíè÷åíèå íà âûïëàòó ïî îáÿçà- òåëüñòâàì; óðîâåíü íà÷àëüíîãî êàïèòàëà; âåëè÷èíà ìàêñèìàëüíûõ âûïëàò; îòíîøåíèå çíà÷åíèÿ ìàêñèìàëüíûõ âûïëàò ê ñóììå ìàêñèìàëüíûõ âûïëàò è ìàêñèìàëüíîé âåëè÷èíû äåïîçèòîâ íà áàíêîâñêèõ ñ÷åòàõ. Ïðåäëîæåííàÿ çäåñü áàçèñíàÿ ìîäåëü ðàáîòû áàíêà îáîáùàåò äèñêðåòíûé âàðèàíò êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà [11, 12, 18, 38, 39]. Îíà ïîçâîëÿåò îïèñàòü èíâåñòèðîâàíèå íå òîëüêî â áåçðèñêîâûå è ðèñêîâûå àêòèâû, êàê ýòî ñäåëàíî â [11, 12, 39], íî è îïèñàòü ðàáîòó áàíêà, èíâåñòèðóþùåãî â ðèñêîâûå è áåçðèñ- êîâûå àêòèâû, ïîëó÷èòü îöåíêó âåðîÿòíîñòè åãî ðàçîðåíèÿ. ÁÀÇÈÑÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÐÀÁÎÒÛ ÁÀÍÊÀ È ÌÎÄÅËÜÍÎÅ ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÅÃÎ ÐÀÁÎÒÛ Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå { , , }W F P êàæäàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé { }ji i= ¥ 1 , { }Yk k= ¥ 1 è { }Z j j= ¥ 1 ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíà- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 67 êîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, âçàèìíî íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíî- ñòè. Îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: P i( )j > - =1 1 , P Yk( )³ =0 1 , P Z j( )³ =0 1 . Ïî ýòèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì ñëó- ÷àéíûõ âåëè÷èí ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êàïèòàëîâ áàçèñíîé ìîäåëè ðà- áîòû áàíêà Rn ïî çàêîíó R R Y Zn n n n n= + + --1 1( )j , n =1 2, , ..., R x x0 0= >, . (1) Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé: j cm i m ix E R( ) ( )[ , )= ¥ = Õ 0 1 , m = ¥1, , c [ , ) ( ) , [ , ), , ( , ), 0 1 0 0 0 ¥ = Î ¥ Î -¥ ì í î x x x (2) y jm mx x m( ) ( ), ,= - = ¥1 1 . (3) Îáîçíà÷èì j c( ) lim ( )[ , )x E R n i n i= ®¥ ¥ = Õ 0 1 , (4) y j( ) ( )x x= -1 . (5) Îïèñàííóþ âûøå ìîäåëü, ýâîëþöèÿ êàïèòàëà êîòîðîé çàäàíà ôîðìóëîé (1), íàçîâåì áàçèñíîé ìîäåëüþ ðàáîòû áàíêà, ãäå y m x( ) è y ( )x – âåðîÿòíîñòè ðà- çîðåíèÿ â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà íà âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ [ , ]0 m è [ , )0 ¥ ñîîòâåòñòâåííî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàáîòà áàíêà îïèñàíà, åñëè íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàí- ñòâå {W, , }F P çàäàíà ýâîëþöèÿ êàïèòàëà áàíêà Rn 0 , n = ¥1, . Ïîëàãàåì, ÷òî íà- ÷àëüíàÿ âåëè÷èíà êàïèòàëà áàíêà R x0 0 = íåñëó÷àéíà. Â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè ýâîëþöèÿ êàïèòàëà áàíêà Rn 0 çàäàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè ñëó÷àé- íûõ âåëè÷èí { }ji i 0 1= ¥ , { }Y k k 0 1= ¥ , { }Z j j 0 1= ¥ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû R R Y Zn n n n n 0 1 0 0 0 01= + + -- ( ) ,j n =1 2, , ... ., (6) ãäå j j j j w j n n n n n n n Y Z Y Z n Y Y Y Z 0 1 1 1 0 1 1 1= = ¥ = ( , , , , , , , ), , , ( , , K 1 0 1 1 1 1, , , , , ), , , ( , , , , , , , K K j w j j w n n n n n n n n Y Z n Z Z Y Z Y Z = ¥ = ), , ;n = ¥ ì í ïï î ï ï 1 (7) ôóíêöèè j w wn n n n n n n nx y z x y z Y x y z x y z( , , , , , , , ), ( , , , , , , ,1 1 1 1 1 1K K ) , Z x y z x y zn n n n( , , , , , , , ),1 1 1 K w n = ¥1, , ÿâëÿþòñÿ èçìåðèìûìè ôóíêöèÿìè îòíîñèòåëüíî s-àëãåáðû [ (( , ])B B- ´1 0 ´ +B R( )1 ´ ´+B R Fn( )]1 , B B(( , ])-1 0 — áîðåëåâñêàÿ s-àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ èç ( , ]-1 0B , à B R( )+ 1 — áîðåëåâñêàÿ s-àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ èç R+ 1 . Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû jn 0 , Yn 0 , Zn 0 èìåþò ñëåäóþùèé ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë: jn 0 õàðàêòå- ðèçóåò èíâåñòèöèîííóþ àêòèâíîñòü áàíêà â ïåðèîä îòðåçêà âðåìåíè [ , ]n n-1 è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ âî ìíîæåñòâàõ ( , ],- < < ¥1 00 0B B ; Yn 0 ïðèíèìàåò çíà÷å- íèÿ âî ìíîæåñòâå [ , )0 ¥ è îçíà÷àåò êàïèòàë, êîòîðûé áàíê ïîëó÷àåò íà ñâîè ñ÷åòà îò ïîñòóïëåíèÿ äåïîçèòîâ è äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè â ïåðèîä âðåìåíè [ , ]n n-1 ; è, íàêîíåö, Zn 0 ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ âî ìíîæåñòâå 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 [ , )0 ¥ è îçíà÷àåò îáÿçàòåëüñòâà áàíêà â ïåðèîä âðåìåíè [ , ]n n-1 . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé: j cm i m ix E R m0 0 1 0 1( ) ( ), ,[ , )= = ¥¥ = Õ , (8) y jm mx x m0 01 1( ) ( ), ,= - = ¥, (9) j c0 0 1 0( ) lim ( )[ , )x E R m i m i= ®¥ ¥ = Õ , (10) y j0 01( ) ( )x x= - . (11) Äëÿ ïîñëåäóþùåãî èçëîæåíèÿ òåîðåìà 1 ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé. Òåîðåìà 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå { , , }W F P êàæäàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ji i, ,= ¥1 , Y kk , ,= ¥1 , Z jj , ,= ¥1 , ñî- ñòîèò èç íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êîòîðûå ìåæ- äó ñîáîé â ñîâîêóïíîñòè âçàèìíî íåçàâèñèìû è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì P P Y P Z nn n n( ) , ( ) , ( ) , ,j > - = ³ = ³ = = ¥1 1 0 1 0 1 1 . Åñëè P P Y Z Y Zn n n n n n( ) , ( )j j0 0 01 1³ = - ³ - = , òî y ym mx x m0 1( ) ( ), ,£ = ¥, (12) y y0 ( ) ( )x x£ . (13) Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ P R R nn n( ) , ,0 1 1³ = = ¥, (14) è îïðåäåëåíèé y m x0 ( ) , y m x( ) , y 0 ( )x è y ( )x . Òåîðåìà äîêàçàíà. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÁÀÍÊÐÎÒÑÒÂÀ Â ÁÀÇÈÑÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÐÀÁÎÒÛ ÁÀÍÊÀ Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ áàíêà â ðàñ- ñìàòðèâàåìîé ìîäåëè äîñòàòî÷íî ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ y m x( ) , m = ¥1, , è y ( )x . Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïèñàíèåì áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà áóäåì ïîëà- ãàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ji , Yk , Z j , i k j, , , , ...=1 2 , êàæäîé ïîñëåäîâà- òåëüíîñòè { }ji i= ¥ 1 , { }Yk k= ¥ 1 è { }Z j j= ¥ 1 íåçàâèñèìû, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâåííî è ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè. Ñ÷èòàåì, ÷òî ñëó- ÷àéíàÿ âåëè÷èíà ji ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ âî ìíîæåñòâå ( , ]-1 0B , ãäå B0 0> , ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Yk — âî ìíîæåñòâå [ , ]0 C , ãäå C > 0 , à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷è- íà Z j — âî ìíîæåñòâå [ , ]0 1T , ãäå T1 0> . Ïî ýòèì äàííûì ïîñòðîèì ïîñëåäî- âàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Rn , n = ¥1, , îïðåäåëåííóþ ñëåäóþùèìè ðå- êóððåíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè: R R Y Zn n n n n= + + --1 1( )j , n =1 2, , ... (15) Îñíîâíàÿ çàäà÷à – îöåíèòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ y ( )x äëÿ áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà, çíàÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ji k kY Z, , . Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: r j( ) ( ),x P xi= £ F x P Y xk1 ( ) ( ),= £ F x2 ( ) = = £P Z xk( ) , hi i iZ Y= - , i = ¥1, . Â òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõ ðåêóððåíòíûå ñîîòíî- øåíèÿ (15) äëÿ Rn ïðèìóò âèä R Rn n n n= + --1 1( )j h , n =1 2, , ... (16) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 69 Îáîçíà÷èì F x P Z Y x0 1 1( ) ( )= - £ . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî F x F x y dF y C 0 2 0 1( ) ( ) ( )= +ò . (17) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü R nn , ,= ¥1 , îáðàçóåò îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà ñ ïå- ðåõîäíîé ôóíêöèåé çà îäèí øàã P s x s A E x d b dFA s s B b x A ( , , , ) ( ( ) ) ( ) ( ) - = + - = - + - ò ò1 1 1 0 1 c j h r ( )y , ãäå a A a y y A- = - Î{ , } äëÿ íåêîòîðîãî âåùåñòâåííîãî a è A B RÎ ( )1 . Òîãäà jm x( ) = = - - - ¥ ¥ - - -ò òP x dy P m y m dy P m ym m m( , , , ) ( , , , ) ( ,0 1 2 1 1 0 1 0 2 1K 1 0, , [ , ))m ¥ . (18) Èç (18) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ: j r jm B m b x x d b b x y dF y( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) = + - - - -¥ + ò ò 1 1 1 01 , m =1 2, , ... (19) Ââåäåì ôóíêöèþ F x P Z C Y xi i( ) ( )= + - £ . Òîãäà F x F x C( ) ( )= -0 . Î÷å- âèäíî, ÷òî F x x( ) ,= <0 0 . Åñëè ìåðà, ïîðîæäåííàÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F x2 ( ) , ñîñðåäîòî÷åíà íà èíòåðâàëå [ , ]0 1T , òî ìåðà, ïîðîæäåííàÿ ôóíêöèåé ðàñ- ïðåäåëåíèÿ F x( ) , ñîñðåäîòî÷åíà íà èíòåðâàëå [ , ]0 1T C+ . Ââåäåì îáîçíà÷åíèå T T C= +1 . Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîëó÷àåì ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ j r jm B m b x C x d b b x C y dF y( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) = + + - - - + + ò ò 1 1 0 10 1 , m =1 2, , ... Òåîðåìà 2. Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà y ( )x óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ y r y( ) ( )[ (( ) )] ( , , , ) (x d b F b x C P x dy y B = - + + + - ¥ ò ò 1 0 1 1 0 1 1 0 1 ) = = - + + + - - + + ò ò òd b F b x C d b B B b x C 1 1 0 10 0 1 1r r y( )[ (( ) )] ( ) (( ( ) 1+ + -b x C y dF y) ) ( ) . (20) Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20), îïðåäåëÿþùåå âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, çàäàåòñÿ ôîðìóëîé y j( ) ( )x A xk k = = ¥ å 0 0 , (21) ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: j r0 1 0 1 1( ) ( )[ (( ) )]x d b F b x C B = - + + - ò , (22) Af x d b f b x C y dF y B b x C ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) = + + - - + + ò ò 1 0 10 1r . (23) 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ äëÿ áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà âî âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , ]0 m ôîðìóëîé y jm mx x( ) ( )= -1 , òîãäà y m x( ) óäîâëåòâîðÿåò ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ y r r ym B B m b x d b F b x C d b( ) ( )[ (( ) )] ( ) ( ) = - + + + - - - + ò ò 1 1 1 0 1 1 1 x C b x C y dF y + ò + + -(( ) ) ( )1 . Åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ýòîãî ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ïðåäñòàâèìî â âèäå y jm k k m x A x( ) ( )= = - å 0 1 0 . (24) Èç íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè èìååì j j( ) lim ( )x x m m= ®¥ , ïîýòîìó y y( ) lim ( )x x m m= ®¥ . Èç ïîñëåäíåãî âûòåêàåò, ÷òî ðÿä y j( ) ( )x A xk k = = ¥ å 0 0 ñõîäèòñÿ êàê ðÿä ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè, ìàæîðèðóåìûé åäèíèöåé. Òåî- ðåìà äîêàçàíà. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå êîëè÷åñòâåííóþ õàðàêòåðèñòèêó êà÷åñòâà èíâåñòè- ðîâàíèÿ áàíêîì â ðèñêîâûå è áåçðèñêîâûå àêòèâû i d b b e B = + - ò r( ) 1 1 0 . Åñëè ie < 1 , òî ñ÷èòàåì, ÷òî èíâåñòèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ áëàãîïðèÿòíûì. Â ïðîòèâ- íîì ñëó÷àå, åñëè ie ³ 1 , òî èíâåñòèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåáëàãîïðèÿòíûì. ×åì ìåíü- øå çíà÷åíèå ie < 1 , òåì ëó÷øå áàíêîâñêîå èíâåñòèðîâàíèå â àêòèâû ýêîíîìèêè. ×åì áîëüøå çíà÷åíèå ie ³ 1 , òåì õóæå èíâåñòèðîâàíèå â àêòèâû ýêîíîìèêè. Äîêàæåì ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé, íåîáõîäèìûõ â äàëüíåéøåì. Ëåììà 1. Ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí êîðåíü t( )a óðàâíåíèÿ 1 1 1 1 + = + + æ è ç ö ø ÷ t t exp a , a > 0, (25) âî ìíîæåñòâå 0 1 2 < <t a . Îí ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé a . Åñëè 0 1< £a , òî êîðåíü t( )a óðàâíåíèÿ (25) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì 1 2 1 2 - < < a a a a t( ) . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ a > 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f ( )a < 0 , ãäå f x x( ) exp ( ) exp{ ( ( ))}a a a a a a a a= + - + + æ è ç ö ø ÷ = - +-1 2 1 2 11 , x( )a a = + 1 1 2 . Ïîñêîëüêó ¢ = - + +f x x( ) [ ( )]exp{ ( ( ))}a a a a2 1 1 , ¢¢ = - + ´f x x( ) [ ( ) ( ( ) ) ]a a a4 13 2 2 ´ +exp{ ( ( ))}a a1 x , òî äëÿ a > 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ¢¢ £ - - ´f x( ) ( ( ) )a a1 2 2 ´ + <exp{ ( ( ))}a a1 0x . Ïîýòîìó äëÿ âñåõ a > 0 èìååì ¢¢ <f ( )a 0 . Òàê êàê f ¢ =( )0 0 , èìååì f ¢ <( )a 0 , a > 0 . Íî f ( )0 0= . Îòñþäà f ( ) ,a < 0 a > 0 . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ g t t t t ( , ) expa a = - + + + æ è ç ö ø ÷1 1 1 1 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 71 Ïîñêîëüêó f ( )a < 0 , òî g 1 2 0 a a,æ è ç ö ø ÷< . Òàê êàê g( , )0 1 0a = > è g t( , )a ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà èíòåðâàëå 0 1 2 , a é ëê ù ûú , òî ýòî äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå êîðíÿ. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà ¶ ¶ = - + - + + é ëê ù ûú + + æ è ç ö ø ÷ g t t t t t t ( , ) ( ) ( ) exp a a a1 1 1 1 1 1 12 , ¶ ¶ = - + + + æ è ç ö ø ÷ g t t t t ( , ) ( ) exp a a a 1 1 12 . (26) Òàê êàê ¶ ¶ < g t t ( , )a 0 , ¶ ¶ < g t( , )a a 0 â èíòåðâàëå ( , / ]0 1 2a , òî ïåðâîå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü êîðíÿ óðàâíåíèÿ (25), à îáà íåðàâåíñòâà îçíà÷àþò, ÷òî t( )a — ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ a , ïîñêîëüêó dt d ( )a a < 0 . Åñëè 0 1< £a , òî äëÿ t = -1 2 a a ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 1 1 1 1 +æ è ç ö ø ÷ > + + æ è ç ö ø ÷ t t exp a , 1 0³ >a . Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå î íåðàâåíñòâàõ äëÿ êîðíÿ t( )a . Ëåììà 2. Ôóíêöèÿ f z z z t z z ( ) ln ( ) = +æ è ç ö ø ÷ - + - + 1 1 1 1 1 a , a > 0, ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé íà ìíîæåñòâå z tÎ ¥[ , ) äëÿ 0 1 2< < <t t( ) /a a , ãäå t( )a — êîðåíü óðàâíåíèÿ (25). Åñëè a £ 0 , òî f z( ) > 0 íà ìíîæåñòâå z Î ¥[ , )0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü z0 óðàâíåíèÿ f z z t t z z ¢ = - - + + =( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 2 2 a a ïðè óñëîâèè, ÷òî ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ ëåììû 2. Îí çàäàåòñÿ ôîðìóëîé z t t 0 1 2 0= - > a a , t < 1 2a . Ïîñêîëüêó ¶ ¶ < g t t ( , )a 0 , t Î( , / ]0 1 2a , òî äëÿ t t< ( )a èìååì g t g t( , ) ( ( ), )a a a> = = 0. Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî f t( ) > 0 . Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1) z t t0 £ < ( );a 2) z t t0 > < ( )a . Â ïåðâîì ñëó- ÷àå f z¢ <( ) 0 , t z< < ¥ . Ïîýòîìó - = ¢ < ¥ òf z f x dx z ( ) ( ) 0 , t z£ < ¥ . Âî âòîðîì ñëó÷àå f z¢ ³( ) 0 íà èíòåðâàëå [ , ]t z0 , ïîýòîìó f z f t( ) ( )0 0> > . Íà èíòåðâàëå ( , )z0 ¥ èìååì f z¢ <( ) 0 , à çíà÷èò è íà ýòîì èíòåðâàëå f z( ) > 0 . Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ëåììû 2 ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà ln 1 1 1 1 0+æ è ç ö ø ÷ - + > z z , 72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 ñïðàâåäëèâîãî äëÿ âñåõ z ³ 0 . Ëåììà 3. Ôóíêöèÿ I x A x T dy A b x C y T ( ) ( ) = + + + + -ò0 00 1 ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé x Î ¥[ , )0 , åñëè 0< = - <t T C T e( ) < <t( )a a 1 2 , a > 0 , ãäå t( )a – êîðåíü óðàâíåíèÿ (25), A T C b b 0 1 0 1 1 1 = + - < < ¥ - < < ¥ = + + ( )( ), , , ( ) e e a e e . Îíà ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêèöèåé x Î ¥[ , )0 äëÿ âñåõ t T C T = - > e( ) 0 , åñëè a e e = + + £ 1 1 0 ( )b . Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ïîëîæèòü z b x T C T = + + -( ) ( )1 e , òî ïîëó÷èì I x t z b dy z y t z b z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln= + + + - = + + +æ è ç ö ø ÷ò a a 1 1 1 1 1 0 1 , ( ) , ( ) t T C T b = - = + +e a e e 1 1 . Î÷åâèäíî, ÷òî I x T z z t z z ¢ = +æ è ç ö ø ÷ - + - + é ë ê ù û ú( ) ln ( ) 1 1 1 1 1 1 a . Óñëîâèÿ ëåììû 3 îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå óñëîâèé ëåììû 2. Ëåììà 4. Ñóùåñòâóåò ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé tn ( )a , óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâàì exp{ ( )} ( ) ( )- + < <1 a a at tn , ãäå t( )a - êîðåíü óðàâíåíèÿ (25), è ñõîäÿùàÿñÿ ê t( )a . Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå H t t ( , ) expa a = + + æ è ç ö ø ÷ - é ë ê ù û ú - 1 1 1 1 . Òîãäà óðàâíåíèå (25) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå t H t= ( , )a . (27) Ïîñêîëüêó t( )a — êîðåíü óðàâíåíèÿ (27), òî èç ìîíîòîííîãî âîçðàñòàíèÿ H t( , )a ïî ïåðåìåííîé t ³ 0 áóäåì èìåòü t H t H( ) ( ( ), ) ( , )a a a a= ³ =0 [exp( ) ]1 1 1+ - -a = t1 ( )a >exp{( )}1+a . Ïîëîæèì tn ( )a = H tn( ( ), )-1 a a è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåí- ñòâî t tn n- ->1 2( ) ( )a a . Ââèäó ìîíîòîííîãî âîçðàñòàíèÿ H t( , )a ïîëó÷àåì tn ( )a = H tn( ( ), )-1 a a > =-H tn( ( ), )2 a a tn-1 ( )a . Åñëè ïîëîæèòü t0 0( )a = , òî t( )a > t1 ( )a > t0 ( )a . Çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü tn ( )a áóäåò ìîíîòîííî âîç- ðàñòàþùåé è îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ðåøåíèåì t( )a . Ââèäó åäèíñòâåííîñòè ðå- øåíèÿ óðàâíåíèÿ (25) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü tn ( )a ñõîäèòñÿ ê t( )a . Ëåììà 4 äîêàçà- íà. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ÷èñëà u > 0 è e > 0 , îïðåäåëèâ èõ èç óñëîâèÿ ìàêñè- ìóìà âûðàæåíèÿ u = sup e a e e>0 t( ( )) = t( ( ))a e e , (28) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 73 ãäå a e( ) = 1 1 0+ +( )e e B , B0 0> . Èç îöåíêè t( )a a £ 1 2 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî t( ) exp ( ) a a a a £ + + ì í î ü ý þ - 1 1 2 1 2 1 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå â (28) äîñòèãàåòñÿ äëÿ íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî e > 0 . Ïîñêîëüêó ëåììà 4 äàåò ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæå- íèÿ tn ( )a ê t( )a , òî ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå e n > 0 , êîòîðîå äîñòàâëÿåò ñóïðåìóì âûðàæåíèþ un = sup e a e e>0 tn ( ( )) . Âåëè÷èíó e n ìîæíî âçÿòü çà ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå e > 0. Òåîðåìà 3. Ïóñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F y( ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 1 10- £ -é ëê ù ûú F y y T ( ) l , 0 £ £y T , 0 10< £l , (29) è ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî l 0 1ie < . (30) Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (20), çàäàííîãî ôîðìóëîé (21), ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî y l ( ) [ ][ ] x L A i C i A x C e e £ + - + 0 0 01 , sup 0 1 £ £ - = x T x F x L( ( )) , (31) ãäå A T C0 1= + -( )( )e , à t T C T 0 = -( ) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì 0 0< <t n . (32) ×èñëà e è u îïðåäåëÿþòñÿ èç ðàâåíñòâ (28). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî B1 áîðåëåâñêèõ ôóíê- öèé f x x( ), [ , )Î ¥0 , äëÿ êîòîðûõ êîíå÷íà íîðìà \|\| ( ) \|\| ( )\| ( )\| [ , ) f x A x f x x = + Î ¥ sup 0 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî â ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðåìû 3 âåêòîð j0 ( )x , çàäàííûé ôîðìó- ëîé (22), ïðèíàäëåæèò B1 . Èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð A ïåðåâîäèò ëþáóþ áîðåëåâ- ñêóþ ôóíêöèþ èç B1â áîðåëåâñêóþ ôóíêöèþ â B1 , ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ îãðàíè- ÷åííûì âñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà \|\| \|\|A £ i A T C e + - 0 e ( ) . Îöåíèì íîðìó îïåðàòîðà (23) â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå B1 áîëåå òî÷íî. Áóäåì èìåòü \|\| \|\| ( ) ( ) ( ) ( )[ , ) A d b A x dF y A b x C y B x £ + + + + - - Î ¥ ò 1 0 0 0 0 1 r sup 0 T ò . (33) Äàëåå, äëÿ b > -1 dF y A b x C y F A b x C F y dy T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 00 01 1 0 1 1 + + + - = - + + + + - ò [ ( ) ]A b x C y T 0 2 0 1+ + + - £ò £ + + + + - + + + - =ò l l l0 0 0 0 2 0 0 1 1 1A b x C y T dy A b x C y T dy T ( ) ( ) [ ( ) ] A b x C y T 00 1+ + + -ò ( ) . (34) 74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå íåðàâåíñòâà (33), (34), ïîëó÷àåì \|\| \|\| ( ) ( ) ( )[ , ) A d b A x T dy A b x C y B x £ + + + + - - Î ¥ òl r0 1 0 0 0 0 1 sup 0 T ò = = + + + + - = - ®¥ò òl r l r 0 1 0 00 0 0 1 d b A x T dy A b x C y d B x T ( ) lim ( ) ( ) (b b B ) 1 1 0 + - ò . Â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè èñïîëüçîâàíà ëåììà 3. Â ðåçóëüòàòå èìååì sup sup x B x A x d b F b x C L A x ³ - ³ + - + + £ +ò 0 0 1 0 0 0 1 1( ) ( )[ (( ) )] (r ) ( ) ( ) d b b x C B r 1 1 0 + + - ò £ +é ëê ù ûú L A C ie 0 . Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì, äëÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (20) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (31). Òåîðåìà 3 äîêàçàíà. Òåîðåìà 3 ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâîé â ðàáîòå, ïîñêîëüêó èç íåå âûòåêàþò òåîðåìû 5 è 6. Â íåé ïîëó÷åíà îöåíêà (31) âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà áàíêà íà áåñêîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå, çàâèñÿùàÿ îò âåëè÷èíû åãî íà÷àëüíîãî êàïèòàëà, ïðè óñëî- âèè, ÷òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà (29), (30), (32). Íåðàâåíñòâî (29) âûäåëÿåò êëàññ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïèñûâàþùèõ ïîñòóïëåíèå äîõîäîâ áàíêà îò îñíîâíîé äåÿ- òåëüíîñòè, è êëàññ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïèñûâàþùèõ âûïëàòó ïî îáÿçàòåëüñòâàì, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíà ïîëó÷åííàÿ îöåíêà. Íàèáîëåå âàæåí ñëó÷àé, êîãäà l 0 1= . Òîãäà â ñî÷åòàíèè íåðàâåíñòâà (29), (30), (32) îçíà÷àþò, ÷òî ïðè áëàãîïðèÿòíîì èíâåñòèðîâàíèè (30) è îãðàíè÷åíèè íà âûïëàòû ïî âêëàäàì (32) ñïðàâåäëèâà îöåí- êà (31) äëÿ êëàññà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâà îöåíêà (29). Åñëè æå äëÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (30) îêàæåòñÿ, ÷òî íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå íåðà- âåíñòâà l 0 1< , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èíâåñòèðîâàíèå áàíêà â àêòèâû ýêîíîìèêè ÿâ- ëÿåòñÿ íåáëàãîïðèÿòíûì è äëÿ ïðåäîòâðàùåíèÿ åãî áàíêðîòñòâà ñëåäóåò ïðåêðà- òèòü íà íåêîòîðîå âðåìÿ âûïëàòû ïî îáÿçàòåëüñòâàì, ò.å. îáúÿâèòü äåôîëò è ðåñ- òðóêòóðèðîâàòü îáÿçàòåëüñòâà. Â ñëåäóþùåé òåîðåìå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëå- íèÿ F x2 ( ) ñîñðåäîòî÷åíà íà èíòåðâàëå [ , )0 ¥ , à F x1 ( ) – íà èíòåðâàëå [ , ]0 C . Òåîðåìà 4. Ïóñòü ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà l l d l0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 1i F y F T y T y T ie e< - £ - é ë ê ù û ú £ £ < < -, ( ) ( ) , , , (35) T C T0 01 1-æ è ç ö ø ÷ > > - b e e n ( ) ( ), (36) D x F T x F T x L x F x x T x = + - + < ¥ = - ³ ³ sup sup , [ ( ) ( / )] , [ ( ) 1 0 1 1 0 2 1 ]< ¥ , ãäå T0 – ðåøåíèå óðàâíåíèÿ g T i i F T D i T e e e( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 0 0 2 1 1 1 1 = + + + é ë ê ù û ú - + +e e e b e = d ; (37) b e a e( ) exp{ ( ( ))}= - +1 , a e e e e( ) ( ) ,= + + > 1 1 00B . Òîãäà ñóùåñòâóåò t0 , b e( )< ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 75 < <t t0 ( ( ))a e , òàêîå, ÷òî t C T 0 0 1 e + = , è ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî y g d l g ( ) [ ] [ ][ ] x L T i C C i T x e e £ + - - + 0 0 0 0 01 , g e e0 0 1 = + t . (38) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà (36), ñóùåñòâóåò t0 , b e a e( ) ( ( ))< <t t0 , òàêîå, ÷òî t C T 0 0 1 e + = . Îöåíèì íîðìó îïåðàòîðà A â áàíàõî- âîì ïðîñòðàíñòâå áîðåëåâñêèõ ôóíêöèé f x x( ), [ , )Î ¥0 , äëÿ êîòîðûõ êîíå÷íà íîðìà \|\| ( ) \|\| ( ) \| ( ) \| [ , ) f x T x f x x = + Î ¥ sup 0 0 0g : \|\| \|\| ( ) ( ) ( ) ( )[ , ) A d b T x dF y T b x B x £ + + + - Î ¥ ò 1 0 0 0 0 0 0 1 r g g sup + - + + ò C y b x C 0 1( ) . Äàëåå, sup x b x C T x dF y T b x C yÎ ¥ + + + + + + - £ò [ , ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 00 1 1 g g £ + + + + - + Î ¥ òsup x T T x dF y T b x C y[ , ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 00 1 0 g g + + + + + -+ + ³ sup { , ( ) } ( ( ) ( ) ( )x b x C T T T x dF y T b x C y1 0 0 0 00 0 1 g g 1 0 0 1 1 + + ò = + > - b x C t b ) , ,g e e . Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 1 10 0 00 0 F T dF y T b x C y T ( ) ( ) ( )g + + + - =ò = - + + + + - é ë ê ù û ú1 0 1 1 0 0 0 0 0 F F T T b x C F y F T dy T ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) [g g 0 2 0 1 0 + + + - ò ( ) ]b x C y T £ + + + -ò l g 0 0 0 00 1 0 T dy T b x C y T ( ) . Èòàê, èìååì sup x T T x dF y T b x C yÎ ¥ + + + + - £ò [ , ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 00 1 0 g g £ + + + + - £ Î ¥ òsup x T T x F T dF y T b x C y[ , ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 00 1 0g g £ + + + + -Î ¥ òl g g0 0 0 0 0 0 00 1 0 sup x T T x T dy T b x C y[ , ) ( ) ( ) = + l 0 1 1 b . Åñëè ïîëîæèòü w = + + -( )1 0b x C T , òî ( ) ( ) ( ) ( ) g g0 0 0 0 1 1 0 T x dF y T b x C y T b x C + + + + - = + + ò = + + - + + + - + + + ò [ ( ) ] ( )T b T C b dF y T T y b dF T T 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0g g w w w ( )y T T y T T g w w 0 0 0 0 0 + + - + ò . (39) 76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 Îöåíèì ïåðâûé ÷ëåí (39): [ ( ) ] ( )T b T C b dF y T T y T T 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0g g w w + + - + + + - £ + ò £ + + - + + - £ [ ( ) ] ( ) [ ( ) ( )] T b T C b T F T F T0 0 0 0 0 0 0 1 1 g g w £ + - + - £ + + + -[ ( ) ][ ( )] [ ( )( ) ][ (1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 T C T b F T b F T g e )] . Âòîðîé ÷ëåí (39) îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: w g w w 1 0 0 0 0 0 + + + - + òb dF y T T y T T ( ) = + + + - + + ò w g w w 1 0 0 0 2 0 0 b dF y T T y T T ( ) / + + + + - + + ò w g w w 2 w 1 0 0 0 0 0 b dF y T T y T T ( ) / £ + + + - + w g w w ( )( / ) [ ( / ) ( )] 1 2 2 0 0 0 0 b T F T F T + + + - + £ - + + w g w w 2 ( ) [ ( ) ( / )] ( ( )) 1 2 1 10 0 0 0 0 b T F T F T F T b + + £ - + + + + D b T F T b D b T( ) ( ( )) ( )( ) ( )1 2 1 1 1 10 0 0 0g e e b e . Íàêîíåö, ïîëó÷àåì \|\| \|\| ( ) ( ) ( ) A d b b g T d b b B B £ + + = + + < - - ò òl r l r d0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 . Îöåíèì sup sup x B x T x d b F b x C L ³ - ³ + - + + £ò 0 0 0 1 0 0 0 1 1( ) ( )[ (( ) )] (g r g T x d b b x C B 0 1 1 0 + + + £ - ò) ( ) ( ) r £ +L T C ie[ ] g 0 0 . Òåîðåìà 4 äîêàçàíà. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) ñîñðåäîòî÷åíà íà èíòåðâàëå [ , )0 ¥ , ïîñêîëüêó òà- êîâîé ÿâëÿåòñÿ F x2 ( ) . Â òåîðåìå 4 íàéäåíû îãðàíè÷åíèÿ äëÿ êëàññà ñëó÷àéíûõ âå- ëè÷èí, îïèñûâàþùèõ ïîñòóïëåíèå äåïîçèòîâ è äîõîäîâ áàíêà îò îïåðàöèîííîé äåÿ- òåëüíîñòè, è êëàññà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïèñûâàþùèõ âûïëàòó áàíêà ïî åãî îáÿçà- òåëüñòâàì. Ïðè ýòèõ îãðàíè÷åíèÿõ âîçìîæíà îöåíêà (38) âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà áàíêà íà áåñêîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå åå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ, çàâèñÿùàÿ îò âå- ëè÷èíû íà÷àëüíîãî êàïèòàëà áàíêà. Óñëîâèå (35) äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) âûäåëÿåò óïîìÿíóòûé êëàññ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êàê è â òåîðåìå 3, íàèáîëåå âàæåí ñëó÷àé l 0 1= . Òîãäà ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (35) îçíà÷àåò, ÷òî èíâåñòèðîâàíèå áëà- ãîïðèÿòíî. È åñëè ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà (36) äëÿ ìàêñèìàëüíîé âåëè÷èíû ïî- ñòóïëåíèÿ äåïîçèòîâ è äîõîäà îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè C, ãäå T0 — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (37), è êîíå÷íûìè ÿâëÿþòñÿ D, L, òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà (38), êîòîðàÿ îá- åñïå÷èâàåò ïðè áîëüøîì íà÷àëüíîì êàïèòàëå ìàëóþ âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà äàæå ïðè âîçìîæíûõ áîëüøèõ âûïëàòàõ ïî îáÿçàòåëüñòâàì. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 77 Íèæå óòî÷íÿåì ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ òåîðåì. Òåîðåìà 5. Ïóñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F y1 ( ) çàäàíà ôîðìóëîé F y y C y R C 1 1 1 0 ( ) , [ , ), , \ [ , ). = Î ¥ Î ¥ ì í î Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà F y y T y T i x L A i C C i A C Te e e 2 1 1 0 00 1 1 ( ) , [ , ], , [ ] [ ] ,³ Î < > + - - < d 1 , äëÿ íåêîòîðîãî çàäàííîãî è ìàëîãî d > 0 , A T C0 11= + -( )( )e , ãäå t T C T 1 1 1 = -( ) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì 0 1< <t n , (40) à x – íà÷àëüíûé êàïèòàë â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ y ( )x â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà íà âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , )0 ¥ íå ïðåâûøàåò d . Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç òåîðåìû 3. Äàäèì ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ óñëîâèé ýòîé òåîðåìû. Ïîñòóïëåíèå äå- ïîçèòîâ è äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè â êàæäîì ïåðèîäå ðàáîòû áàíêà íåñëó÷àéíî è ðàâíî ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíå C. Íåðàâåíñòâî äëÿ ôóíêöèè ðàñïðå- äåëåíèÿ F x2 ( ) îïèñûâàåò êëàññ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âûïëàò ïî îáÿçàòåëüñòâàì, äëÿ êîòîðîãî âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà áàíêà íà áåñêîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå ìîæ- íî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî ìàëîé. Èíâåñòèðîâàíèå â àêòèâû ýêîíîìèêè áëàãîïðèÿòíî. Íåðàâåíñòâî (40) çàäàåò îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó äîõîäíîñòè ïî äåïîçèòàì. Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ñóùåñòâóåò íà÷àëüíûé êàïèòàë, îáåñïå÷èâàþùèé ôóíê- öèîíèðîâàíèå áàíêà êàê óãîäíî äîëãî ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ áàíêðîò- ñòâà, âåëè÷èíó êîòîðîãî çàäàåò íåðàâåíñòâî, ôèãóðèðóþùåå â òåîðåìå. Â ñëåäóþùåé òåîðåìå ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà Yn – ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Òåîðåìà 6. Ïóñòü ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ f y( ) òàêîâà, ÷òî 0 1 0 0 11 1 1£ £ Î < < = =f y y C C C C f C f C( ) , [ , ], , ( ) , ( ) , à ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F y1 ( ) çàäàíà ôîðìóëîé F y y C f y y C C y C 1 1 1 0 1 ( ) , , ( ), [ , ], , . = < Î > ì í ï î ï Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà F y y T y T i C T x L A Ci C i e e e 2 1 1 1 1 00 1 1 ( ) , [ , ], , , [ ] [ ] ³ Î < < > + - - d A0 , äëÿ íåêîòîðîãî çàäàííîãî è ìàëîãî d > 0 , A T C0 11= + -( )( )e , à t T C T 1 1 1 = -( ) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì 0 1< <t n, (41) ãäå x — íà÷àëüíûé êàïèòàë â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà. Òîãäà âåðîÿò- íîñòü ðàçîðåíèÿ y ( )x â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà íà âðåìåííîì èíòåðâà- ëå [ , )0 ¥ íå ïðåâûøàåò d . Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê P Y Ci( )³ =1 , òî P R Rn n( )³ =1 , ãäå R R Y Z R R C Z R R xn n n n n n n n n= + + - = + + - = =- -1 1 0 01 1( ) , ( ) ,j j . 78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 Ïîýòîìó j c c jm i m i i m i mx E E R E R x( ) ( ) ( ) ( )[ , ) [ , )= ³ = = ¥ ¥ = Õ Õ 1 0 0 1 . Èëè äëÿ y jm mx x( ) ( )= -1 ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî y ym mx x m( ) ( ), ,£ = ¥1 , ãäå y jm mx x( ) ( )= -1 . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå, ïîëó÷àåì y y( ) ( )x x£ . Âñëåäñòâèå òåîðåìû 5 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî y d( )x < , åñëè êàïèòàë x óäîâëåòâîðÿåò ïðèâåäåííîìó âûøå íåðàâåíñòâó. Òåîðåìà 6 äîêàçàíà. Â îòëè÷èå îò òåîðåìû 5 â òåîðåìå 6 îïèñàíèå ïîñòóïëåíèÿ äåïîçèòîâ íà ñ÷å- òà áàíêà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì. Íåñìîòðÿ íà ýòî, äåïîçèòû íå ìîãóò îïóñòèòüñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà íèæå íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû C. Â îñòàëüíîì ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ óñëîâèé òåîðåìû 6 òà æå, ÷òî è â òåîðåìå 5. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû 4. Òåîðåìà 7. Ïóñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F y1 ( ) çàäàíà ôîðìóëîé F y y C y R C 1 1 1 0 ( ) , [ , ), , \ [ , ), = Î ¥ Î ¥ ì í î à ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F y2 ( ) òàêîâà, ÷òî 1 12 2 0 0 0 - £ - é ë ê ù û ú F y F T y T ( ) ( ) l , 0 0£ £y T . (42) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà l d l0 01 0 1i ie e< < < -, , T C T0 01 1-æ è ç ö ø ÷ > > - b e e n ( ) ( ), (43) D x F T x F T x L x F x T x = + - + < ¥ = - ³ ³ sup sup , [ ( ) ( / )] , [ 1 0 2 1 2 1 0 22 1 ( )]x < ¥ , ãäå T0 – ðåøåíèå óðàâíåíèÿ g T i i F T D i T e e e( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 2 02 1 1 1 1 = + + + é ë ê ù û ú - + +e e e b e 0 = d , (44) b e( ) = exp{ ( ( ))}- +1 a e , a e e e e( ) ( ) ,= + + > 1 1 00B . Åñëè íà÷àëüíûé êàïèòàë x â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó x L T Ci C i Te e > + - - - [ ] [ ] g d l e g0 0 0 0 0 0 1 , t C T 0 0 1 e + = , g e e0 0 1 = +t ( ) , (45) ãäå e 0 äîñòàòî÷íî ìàëî, òî âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ y ( )x â áàçèñíîé ìîäåëè ðà- áîòû áàíêà íà âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , )0 ¥ íå ïðåâîñõîäèò e 0 . Â ñëåäóþùåé òåîðåìå ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà Yn – ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Òåîðåìà 8. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 7, êðîìå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F y1 ( ) . Åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F y1 ( ) ñîñðåäîòî÷å- íà íà èíòåðâàëå [ , )C ¥ , ãäå C óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì (43), à íà÷àëüíûé êà- ïèòàë x â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó (45), òî âå- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 79 ðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ y ( )x â áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà íà âðåìåííîì èíòåð- âàëå [ , )0 ¥ íå ïðåâîñõîäèò e 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê P Y Ci( )³ =1 , òî P R Rn n( )³ =1 , ãäå R R Y Z R R C Z R R xn n n n n n n n n= + + - = + + - = =- -1 1 0 01 1( ) , ( ) ,j j . Ïîýòîìó j c c jm i m i i m i mx E E R E R x( ) ( ) ( ) ( )[ , ) [ , )= ³ = = ¥ ¥ = Õ Õ 1 0 0 1 . Äëÿ y jm mx x( ) ( )= -1 ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî y ym mx x m( ) ( ), ,£ = ¥1 , ãäå y jm mx x( ) ( )= -1 . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå, ïîëó÷àåì y y( ) ( )x x£ . Ñîãëàñíî òåîðåìå 7 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî y e( )x < 0 , åñëè êàïèòàë x óäîâ- ëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó (45). Òåîðåìà 8 äîêàçàíà. Ïðèëîæåíèå. Âûáåðåì â êà÷åñòâå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âûïëàò ïî îáÿçà- òåëüñòâàì ôóíêöèþ F x x x 2 1 ( ) = + , 0 £ < ¥x . Îïðåäåëèì çíà÷åíèå íàèìåíüøåé âåëè÷èíû äåïîçèòîâ è äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè C, ïðè êîòîðûõ áàíê ñïîñîáåí ôóíêöèîíèðîâàòü, âûïîëíÿÿ âñå âûïëàòû ïî îáÿçàòåëüñòâàì. Âû- áåðåì d < -1 ie . Äëÿ âûáðàííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x2 ( ) èìååì D L= =1. Óñëîâèå (42) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ l 0 1= ïðè ïðîèçâîëüíîì T0 0> . Ñîãëàñíî óñëî- âèþ òåîðåìû 8 èìååì ie < 1 . Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ \|\| \|\|A ie£ + g T( )0 < i g Te + 1 0( ) , ãäå g T i i T i T e e e( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 1 1 1 1 1 = + + + é ë ê ù û ú + + +e e e b e , g T i i T i T e e e 1 0 0 0 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + é ë ê ù û ú + +e e e b e . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå g T i i T i T e e e 1 0 0 0 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + é ë ê ù û ú + + = e e e b e d , ãäå b e e e ( ) exp ( ) = - + + +æ è ç ö ø ÷ ì í î ü ý þ 1 1 1 0B . Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ: T i i i e e e 0 2 1 1 1 = + + + + +( ) ( ) ( )e e e b e d . (46) Åñëè C óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì T0 1( ( ) )- b e e > > -C T0 1( )u , à ñëó÷àéíàÿ âå- ëè÷èíà, îïèñûâàþùàÿ ïîñòóïëåíèÿ äåïîçèòîâ è äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿ- òåëüíîñòè, èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííóþ íà [ , )C ¥ , òî áàíê ñïîñîáåí âûïîëíÿòü âûïëàòû ïî ëþáûì îáÿçàòåëüñòâàì. Âåëè÷èíà C çàâèñèò îò âåëè÷èíû ðèñêà èíâåñòèðîâàíèÿ ie < 1 : ÷åì ìåíüøèé ðèñê èíâåñòèðîâàíèÿ ie < 1 , òåì ìåíüøå âåëè÷èíà C. Îäíàêî âåëè÷èíà C îïóñòèòüñÿ äî íóëÿ íå ìîæåò. Çàìå÷àíèå. Åñëè l 0 1= , òî íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà ie < 1 . Íå- ðàâåíñòâî l 0 1< îçíà÷àåò, ÷òî F y y T F T2 0 2 01 1( ) [ [ ]] ( )³ - -l . 80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî F F T2 0 2 00 1( ) ( ) ( )³ -l . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò íåíóëåâàÿ âåðîÿòíîñòü íåóïëàòû ïî îáÿçàòåëüñòâàì â áàçèñíîé ìî- äåëè ðàáîòû áàíêà. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ie >1 , òî ñóùåñòâóåò íåíóëåâàÿ âåðî- ÿòíîñòü ïðåêðàòèòü âûïëàòû ïî îáÿçàòåëüñòâàì. Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F y1 ( ) è F y2 ( ) ïðîèçâîëüíû. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îáîáùàåò ðåçóëüòàòû ðàáîò [40–43]. Òåîðåìà 9. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ r( )x , F x1 ( ), F x2 ( ) ñî- ñðåäîòî÷åíû íà èíòåðâàëàõ [ , ]-1 0B , [ , ]0 C , [ , ]0 1T ñîîòâåòñòâåííî è òàêîâû, ÷òî L x F x T x = - ³ ³ sup 0 1[ ( )] , i A T T Ce < ¥ > = +, 0 1 . Òîãäà âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà y m x( ) íà âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , ]0 m â áàçèñ- íîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (24) è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí- ñòâó y em x( ) £ 0 , åñëè x óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó x L r A Ñi C r A m e> - + - - ( )( ) ( ) 1 1 0 0 0e , r d b b C T A A A C C T A = + + - -æ è çç ö ø ÷÷ é ë ê ù û ú + - - ò r r ( ) ( )/ 1 1 1 0 0 0 0 -T . (47) Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî áîðåëåâñêèõ ôóíêöèé f x( ) , äëÿ êîòîðûõ êîíå÷íà íîðìà \|\| ( ) \|\| ( ) \| ( )\| [ , ) f x A x f x x = + Î ¥ sup 0 0 , ãäå A T0 > . Òîãäà \|\| \|\| ( ) ( ) ( ) ( )[ , ) A d b A x dF y A b x C y B x £ + + + + - - Î ¥ ò 1 0 0 0 0 1 r sup 0 T ò £ £ + + + + - = - Î ¥ ò d b A x A b x C T B x1 0 0 0 0 1 r( ) ( ) ( )[ , ) sup = + + + + - + - - Î ¥ ò d b A x A b x C T d C T A x C1 0 0 0 0 1 ( )/ [ , ) ( ( ) ( ) ( ) r sup - Î ¥ ò + + + + - £ T A B x b A x A b x C T )/ [ , ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 r sup £ + + - -æ è çç ö ø ÷÷ é ë ê ù û ú + - - - ò d b b C T A A A C C T A r r ( ) ( )/ 1 1 1 0 0 0 0 T . Äàëåå, \|\| ( ) \|\| ( ) ( )[ (( ) )]j r0 0 0 1 0 1 1x A x d b F b x C L A x B = + - + + £ ³ - òsup 0 C ie+æ è ç ö ø ÷ . Îòñþäà äëÿ y m x( ) ïîëó÷àåì îöåíêó y m e i i m ex L A Ñi C A x r L A Ñi C A x r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( £ + + = + += - å0 0 0 1 0 0 m r - - 1 1 ) ( ) . Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî y em x( ) £ 0 , åñëè x óäîâëåòâîðÿåò íåðà- âåíñòâó (47). Òåîðåìà 9 äîêàçàíà. Â òåîðåìå 9 íåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòóïëåíèÿ äåïîçèòîâ è âûïëàò ïî îáÿçàòåëüñòâàì. Ïîñëåäíèé ôàêò è ïðîèçâîëüíîå ïîâåäåíèå â èíâåñòèðîâàíèè íå îçíà÷àåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå áàíê ìîæåò ôóíêöèîíèðîâàòü áåñêî- íå÷íî äîëãî áåç áàíêðîòñòâà. Îäíàêî åãî ôóíêöèîíèðîâàíèå ìîæíî îáåñïå÷èòü è â ýòîì ñëó÷àå ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ áàíêðîòñòâà íà êîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå, åñëè åãî íà÷àëüíûé êàïèòàë óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì (47). Åñòåñòâåí- íî, ñ âîçðàñòàíèåì ÷èñëà ïåðèîäîâ âåëè÷èíà íà÷àëüíîãî êàïèòàëà óâåëè÷èâàåòñÿ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 81 ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÎÂ Ê ÎÖÅÍÊÅ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÁÀÍÊÐÎÒÑÒÂÀ ÁÀÍÊÀ Äàäèì îïèñàíèå ñòðàòåãèè èíâåñòèðîâàíèÿ áàíêîì â àêòèâû ýêîíîìèêè, ò.å. ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí jn 0 , n = ¥1, . Ïóñòü ýâîëþöèÿ d àêòèâîâ S Sn n i i d= ={ } 1 , n = ¥0, , â êîòîðûå áàíê áóäåò èíâåñòèðîâàòü â êàæäîì ïåðèîäå ñâîåé ðàáîòû, çàäàíà çàêîíàìè S S i d nn i n i n i= + = = ¥-( ) , , , ,1 1 11r . Ïîëàãàåì, ÷òî â êàæäîì ïåðèîäå ðàáîòû áàíê ìîæåò ïîêóïàòü è ïðîäàâàòü ýòè àêòèâû â íóæíîì åìó êîëè÷åñòâå. Ïóñòü, íàïðèìåð, S n 1 , n = ¥0, , îïèñûâà- åò ýâîëþöèþ áåçðèñêîâîãî àêòèâà. Ýâîëþöèÿ äîõîäîâ r rn n i i d= ={ } 1 íà èíâå- ñòèðîâàííûé êàïèòàë â n-ì ïåðèîäå [ , ]n n-1 çàäàíà ýâîëþöèåé d ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí rn i , i d=1, , n = ¥1, , íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå { , , }W F P , ïðèíè- ìàþùèìè çíà÷åíèÿ âî ìíîæåñòâå ( , )- ¥1 è ÿâëÿþùèìèñÿ ïðè êàæäîì ôèêñè- ðîâàííîì i ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó- ÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîä ñòðàòåãèåé èíâåñòèðîâàíèÿ áàíêà ïîíèìàåì ñòðîãî îïðå- äåëåííûå ÷àñòè êàïèòàëà â êàæäûé ïåðèîä åãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ äëÿ âûïëàòû äèâèäåíäîâ àêöèîíåðàì, ïîääåðæàíèå òåêóùåé ëèêâèäíîñòè ðàáîòû áàíêà, êà- ïèòàëèçàöèþ, èíâåñòèðîâàíèå êàê â ðèñêîâûå, òàê è áåçðèñêîâûå àêòèâû è ò.ï. Ñòðàòåãèÿ èíâåñòèðîâàíèÿ â n-ì ïåðèîäå [ , ]n n-1 ôóíêöèîíèðîâàíèÿ áàíêà îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì íå çàâèñÿùèõ îò ïåðèîäà d àêòèâîâ äëÿ èíâåñòèðîâàíèÿ è îïðåäåëåíèÿ çàâèñÿùåé îò n-ãî ïåðèîäà ÷àñòè êàïèòàëà g i n- ³1 0, i d=1, , êîòî- ðûé ñëåäóåò èíâåñòèðîâàòü â i-é àêòèâ. Ïðè ýòîì äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå g i n i d - = å =1 1 1 . Åñëè êàïèòàë áàíêà â íà÷àëå n-ãî ïåðèîäà [ , ]n n-1 ñîñòàâëÿåò R n-1 0 , òî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðàòåãèåé èíâåñòèðîâàíèÿ áàíê èíâåñòèðóåò åãî â ïîðò- ôåëü d dn n i i d - - ==1 1 1{ } , îïðåäåëÿåìûé óñëîâèÿìè S R i d n i n i i n n- - - -= =1 1 1 1 0 1d g , , . Âî âðåìåííîì èíòåðâàëå ðàáîòû [ , ]n n-1 áàíê, ïðèâëåêàÿ äåïîçèòû è âû- ïîëíÿÿ îïåðàöèîííóþ äåÿòåëüíîñòü, çàðàáîòàåò êàïèòàë, êîòîðûé îïèñûâàåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé Yn 0 , à âûïëàòó ïî îáÿçàòåëüñòâàì — ñëó÷àéíîé âåëè÷è- íîé Zn 0 . Â êîíöå n-ãî ïåðèîäà êàïèòàë, èíâåñòèðîâàííûé â ïîðòôåëü d dn n i i d - - ==1 1 1{ } , ïðèìåò âèä ~ R S Rn n i i d n i n i n i d n i0 1 1 1 0 1 1 1= = + æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = - - - = å åd g r . Òàêèì îáðàçîì, â êîíöå n-ãî ïåðèîäà êàïèòàë áàíêà ñîñòàâèò R R Y Z nn n i n i d n i n n 0 1 0 1 1 0 01 1= + æ è ç ç ö ø ÷ ÷ + - = ¥- - = å g r , , . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò íå çàâèñÿùèå îò ïåðèîäà ÷èñëà g i ³ 0 , i d=1, , òàêèå, ÷òî P i n i d n i i i d n ig r g r- = = å å³ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ =1 1 1 1 , n = ¥1, , g i i d = å = 1 1 , (48) 82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 è, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò 0 0< < ¥B òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå P B i i d n i 0 1 1 1³ ³ - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = = å g r . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ r g r( )x P xi i d n i= £ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = å 1 è áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ie < 1 . Îáîç- íà÷èì jn 0 = g ri n i d n i- = å 1 1 , j g rn i i d n i= = å 1 . Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (48) ñ âåðîÿòíîñ- òüþ åäèíèöà âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà j jn n 0 ³ , n = ¥1, . Ðàññìîòðèì òåïåðü òðè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: { }ji i= ¥ 1, { }Yk k= ¥ 1, { }Z j j= ¥ 1 , ïîëà- ãàÿ, ÷òî îíè íåçàâèñèìû ìåæäó ñîáîé â ñîâîêóïíîñòè è êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿ- åòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêèõ, ÷òî P i( )j > - =1 1 , P Yk( )³ =0 1 , P Z j( )³ =0 1 . Êàæäàÿ ñëó÷àé- íàÿ âåëè÷èíà çàäàåòñÿ ñâîåé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó áàçèñíàÿ ìî- äåëü ðàáîòû áàíêà áóäåò çàäàíà, åñëè áóäóò çàäàíû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ r( )x , F x1 ( ) , F x2 ( ) òàê, ÷òîáû r( )x áûëà ñîñðåäîòî÷åíà íà èíòåðâàëå [ , ]-1 0B è óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ áëàãîïðèÿòíîãî èíâåñòèðîâàíèÿ ie < 1, à ôóíêöèè F x1 ( ) , F x2 ( ) ñëåäóåò âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè óäîâëåòâîðÿëè óñëîâèÿì òåîðå- ìû 6 èëè 8. Ïî ýòèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëü- íîñòü êàïèòàëîâ áàçèñíîé ìîäåëè ðàáîòû áàíêà Rn ïî çàêîíó R R Y Zn n n n n= + + --1 1( )j , n =12, , ..., R x x0 0= >, . Äàëåå èçëîæèì, êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àé- íûõ âåëè÷èí { }jn i 0 1= ¥ , { }Y k k 0 1= ¥ , { }Z j j 0 1= ¥ . Ïîëîæèì jn 0 = g ri n i d n i- = å 1 1 , à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Y f Y Z Y Z Y nn n n n n n 0 1 1 1 1= = ¥( , , , , , , , ) , ,j j wK , (49) Z g Y Z Y Z Z nn n n n n n 0 1 1 1 1= = ¥( , , , , , , , ) , ,j j wK , (50) âûáåðåì òàêèìè, ÷òîáû íåðàâåíñòâà f x y z x y zn n n n( , , , , , , , )1 1 1 1K w ³ , g x y z x y zn n n n( , , , , , , , ) ,1 1 1 1K w £ n = ¥1, , áûëè ñïðàâåäëèâû ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ãäå ñëó÷àéíûå ïîëÿ f x y z x y zn n n n( , , , , , , , ),1 1 1 K w g x y z x y zn n n n( , , , , , , , ),1 1 1 K w n = ¥1, , ÿâëÿþòñÿ èçìåðèìûìè ôóíêöèÿìè îòíîñèòåëüíî s-àëãåáðû [ (( , ]) ( )B B B R- ´ ´+1 0 1 ´ ´+B R Fn( )]1 , B B(( , ])-1 0 — áîðåëåâñêàÿ s-àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ èç ( , ]-1 0B , à B R( )+ 1 — áîðåëåâñêàÿ s-àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ èç R+ 1 . Ïðè òàêîì âûáîðå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí { }jn i 0 1= ¥ , { }Y k k 0 1= ¥ , { }Z j j 0 1= ¥ äëÿ ýâîëþöèè êàïèòàëà áàíêà Rn 0 , çàäàííîãî ôîðìóëîé (6), óäîâëåòâîðÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1, ò.å. P n n(j j0 ³ ) = 1, P Y Z Y Zn n n n( )0 0 1- ³ - = . Ïóñòü äàëåå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèé F x P Y x1 1( ) ( )= £ , F x P Z x2 1( ) ( )= £ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 6 èëè óñëîâèÿì òåîðåìû 8. Îáîçíà÷èì r jn nx P x0 0( ) ( )= £ . Èç íåðàâåíñòâà j jn n 0 ³ ñëåäóþò íåðàâåíñòâà rn x0 ( ) £ r( )x , n = ¥1, . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 83 Óêàæåì, êàêèì îáðàçîì ìîæíî ñâÿçàòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ ðåàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ðàáîòû áàíêà. Ââåäåííàÿ íàìè áàçèñíàÿ ìîäåëü ðàáîòû áàíêà ìîæåò ñëóæèòü ñèñòåìîé îòñ÷åòà, êîòîðóþ ïðèíèìàåò òîò èëè èíîé áàíê. Â ðå- àëüíîñòè èìååì â êàæäûé îïðåäåëåííûé ïåðèîä âðåìåíè, íàïðèìåð îäèí ãîä, åæåäíåâíûå ðåçóëüòàòû äîõîäíîñòè îò èíâåñòèöèîííîé äåÿòåëüíîñòè, ïîëó÷åíèå äåïîçèòîâ íà ñ÷åòà áàíêà è äîõîä îò åãî îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè, à òàêæå âû- ïîëíåíèå îáÿçàòåëüñòâ ïî âûïëàòàì. Âûáîð áàçèñíîé ìîäåëè îçíà÷àåò, ÷òî ìû âûáèðàåì ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäíîñòè r( )x , à òàêæå ôóíêöèè ðàñïðåäå- ëåíèÿ F x1 ( ) è F x2 ( ), óäîâëåòâîðÿþùèå òåîðåìe 6 èëè 8, à â êàæäîì ïåðèîäå íå- îáõîäèìûì óñëîâèåì âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ j jn n 0 ³ , Y Yn n 0 ³ , Z Zn n 0 £ äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ r jn nx P x0 0( ) ( )= £ , P Y x F xn n( ) ( ),0 0 1£ = , P Z x F xn n( ) ( ),0 0 2£ = ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ rn x0 ( ) £r( )x , F x F xn 0 1 1 , ( ) ( )£ , F x F xn 0 2 2 , ( ) ( )³ , n = ¥1, . (51) Ïóñòü, íàïðèìåð, ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ r( )x , F x1 ( ), F x2 ( ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 6. Äëÿ ÷àñòîòíîé ïðîâåðêè âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (51) áó- äåì ïðåäïîëàãàòü äîïîëíèòåëüíî, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ rn x0 ( ), r( )x , F xn 0 1, ( ), F x1 ( ) è F xn 0 2, ( ), F x2 ( ) : ñóùåñòâóþò ïëîòíîñòè ðàñ- ïðåäåëåíèé íà èíòåðâàëàõ [ , ]-1 0B , [ , ]C C1 è [ , ]0 1T ñîîòâåòñòâåííî òàêèå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà [ ( )]rn x0 ¢ ³ [ ( )]r x ¢ , x BÎ -[ , ]1 0 , r rn 0 1 1( ) ( )- < - , r rn x x0 ( ) ( )= , x R BÎ -1 01\ [ , ] , [ ( )] [ ( )],F x F xn 0 1 1¢ ³ ¢, x C CÎ[ , ]1 , F C F Cn 0 1 1 , ( ) ( )< , F x F xn 0 1 1 , ( ) ( )= , x R C CÎ 1 1\ [ , ] , [ ( )] [ ( )],F x F xn 0 2 2¢ £ ¢, x TÎ[ , ]0 1 , F Fn 0 2 20 0, ( ) ( )> , F x F xn 0 2 2 , ( ) ( )= , x R TÎ 1 10\ [ , ] . Â ýòîì ñëó÷àå ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ ïåðâîãî íåðàâåíñòâà (51) ñâîäèòñÿ ê ïðîâåð- êå âûïîëíåíèÿ òîãî, ÷òî ÷àñòîòà ïîïàäàíèÿ äîõîäíîñòè îò èíâåñòèðîâàíèÿ â n-ì ïåðèîäå åãî äåÿòåëüíîñòè â êàæäûé èíòåðâàë [ , ] [ , ]x x B1 2 01Ì - äîëæíà áûòü íå ìåíüøå íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ [ ( )]r x ¢ â èíòåðâàëå [ , ] [ , ]x x B1 2 01Ì - . Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ âòîðîãî íåðàâåíñòâà ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé ïðîâåðêå: ÷àñòîòà ïîïà- äàíèÿ â êàæäûé èíòåðâàë [ , ] [ , ]x x C C1 2 1Ì ïîëó÷åíèÿ äåïîçèòîâ è äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè áàíêà â n-ì ïåðèîäå åãî äåÿòåëüíîñòè äîëæíà áûòü íå ìåíüøå íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ [ ( )]F x1 ¢ â èíòåðâàëå [ , ] [ , ]x x C C1 2 1Ì . Ïðîâåð- êà âûïîëíåíèÿ òðåòüåãî íåðàâåíñòâà (51) ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå âûïîëíåíèÿ òîãî, ÷òî ÷àñòîòà ïîïàäàíèÿ â êàæäûé èíòåðâàë [ , ] [ , ]x x T1 2 10Ì âûïëàò ïî îáÿçàò- åëüñòâàì áàíêà â n-ì ïåðèîäå åãî äåÿòåëüíîñòè äîëæíà áûòü ìåíüøå íàèìåíüøå- ãî çíà÷åíèÿ [ ( )]F x2 ¢ â èíòåðâàëå [ , ] [ , ]x x T1 2 10Ì . Ïðè ýòîì âåëè÷èíó èíòåðâàëà [ , ]x x1 2 âî âñåõ ñëó÷àÿõ ñëåäóåò âûáèðàòü íåáîëüøîé. Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç î ôóíêöèÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ â êàæäîì ïåðèîäå ðàáîòû áàíêà ìîæíî ïðèâëå÷ü è áî- ëåå ñëîæíûå ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè ïðîâåðêè ãèïîòåç. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîñòåéøóþ áàçèñíóþ ìîäåëü ðàáîòû áàíêà, äëÿ êîòîðîé çàòåì ïðîâåäåì ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû ñ öåëüþ èëëþñòðàöèè ðåçóëüòàòîâ. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ýâîëþöèÿ áåçðèñêîâîãî àêòèâà çàäàíà çàêîíîì 84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 S S nn n n 1 1 1 11 1= + = ¥-( ) , ,r , (52) ãäå rn 1 0= , n = ¥1, , ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ò.å, S n 1 1= , n = ¥1, . ×òîáû îïèñàòü ñèòóàöèþ, êîãäà ÷àñòü êàïèòàëà â êàæäûé ïåðèîä ðàáîòû èñïîëüçóåòñÿ áàíêîì äëÿ âûïëàòû äèâèäåíäîâ äåðæàòåëÿì àêöèé èëè áàíê èñïîëüçóåò êàêóþ-òî ÷àñòü êàïèòàëà äëÿ êàïèòàëèçàöèè, èíâåñòèðóåì â àêòèâ, ýâîëþöèÿ êîòîðîãî çàäàíà çàêîíîì S S nn n n 2 2 1 21 1= + = ¥-( ) , ,r , (53) ãäå rn 2 1= - , n = ¥1, , ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Íàêîíåö, êðåäèòíóþ ïîëèòèêó áàíêà ðàññìàòðèâàåì êàê èíâåñòèðîâàíèå â ðèñêîâûå àêòèâû, ýâîëþöèÿ êîòî- ðûõ îïèñûâàåòñÿ àãðåãèðîâàííî çàêîíîì S S nn n n 3 3 1 31 1= + = ¥-( ) , ,r , (54) ãäå rn 3 , n = ¥1, , — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåí- íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðèíèìàþùèõ êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé u u1, ,K M ñ âåðîÿòíîñòÿìè p pM1, ,K ñîîòâåòñòâåííî; êðîìå òîãî, pi i M = å = 1 1 . Ïîëàãàåì, ÷òî - < <1 01u , u u u1 2< < <K M , u M > 0 . Èíâåñòèöèîííóþ ñòðàòåãèþ áàíêà îïèñûâàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: â íà÷àëå êàæäîãî ïåðèîäà ðàáîòû áàíêà ÷àñòü êàïèòàëà g1 0> îí èíâåñòèðóåò â áåçðèñêî- âûé àêòèâ; ÷àñòü êàïèòàëà g 2 0> îí èñïîëüçóåò äëÿ âûïëàòû äèâèäåíäîâ èëè, íà- ïðèìåð, äëÿ êàïèòàëèçàöèè; ÷àñòü êàïèòàëà g 3 0> îí èñïîëüçóåò äëÿ êðåäèòîâà- íèÿ. ×àñòè g i íå çàâèñÿò îò ïåðèîäà ðàáîòû áàíêà. Â ýòîì ñëó÷àå ñëó÷àéíàÿ âåëè- ÷èíà j g rn i i n i3 1 3 = = å ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ bi i= - + > -( )g g u2 3 1 , i M=1, . Ïóñòü â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè íà÷àëüíûé êàïèòàë áàíêà ñîñòàâëÿåò x . Ýâîëþöèÿ êà- ïèòàëà áàíêà ïðîèñõîäèò â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè n =1 2, , .. . ñëåäóþùèì îáðàçîì: èìåÿ êàïèòàë x â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè, áàíê èíâåñòèðóåò ýòîò êàïèòàë â íåêîòîðûå àêòèâû â ñëåäóþùèé ïåðèîä ñâîåé îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè. Ïîëîæèì P b p k p pk i i i i M i( ) , , , ,j = = = ¥ = ³ = å1 1 0 1 , i M=1, . Ñ÷èòàåì, ÷òî 0 11³ > -b , b bi i³ -1, i M= 2, . Ïðîèëëþñòðèðóåì äîêàçàííûå òåîðåìû ðàñ÷åòîì âåëè÷èíû íà÷àëüíîãî êàïè- òàëà x , ïðè êîòîðîì âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà áàíêà ìàëà. Ïóñòü, êàê è âûøå, áàíê èíâåñòèðóåò â áåçðèñêîâûé àêòèâ, ýâîëþöèÿ êîòîðîãî çàäàíà ôîðìóëîé (52). Îí âûïëà÷èâàåò äèâèäåíäû â ñîîòâåòñòâèè ñ ýâîëþöèåé äîõîäíîñòè, çàäàííîé (53), è, íàêîíåö, ýâîëþöèþ äîõîäíîñòè ðèñêîâîãî àêòèâà, ñòîèìîñòü êîòîðîãî ýâîëþöèî- íèðóåò â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (52), çàäàäèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: rn p p 3 0 4 0 6 01 1 0 4 = = - - = ì í î , , , , , , , , n = ¥1, , ãäå p — âåðîÿòíîñòü äîõîäà îò êðåäèòîâàíèÿ ýêîíîìèêè, 1- p — âåðîÿòíîñòü ïîòåðè ÷àñòè êàïèòàëà â ðåçóëüòàòå êðåäèòîâàíèÿ. Ïîëîæèì, ÷òî ÷àñòü äîõîäà, ðàâíóþ g1 0 01= , , îí îñòàâëÿåò äëÿ îáåñïå÷åíèÿ òåêóùåé ëèêâèäíîñòè ðàáîòû ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 85 áàíêà, ÷àñòü äîõîäà g 2 0 03= , íàïðàâëÿåò íà âûïëàòó äèâèäåíäîâ è, íàêîíåö, ÷àñòü äîõîäà, ðàâíóþ g 3 0 96= , , áàíê íàïðàâëÿåò íà êðåäèòîâàíèå ýêîíîìèêè. Â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèÿ ñëó÷àéíîé äîõîäíîñòè jn 3 îò òàêîé èíâåñòèöèè â êàæäîì ïåðèîäå ïîëó÷èì jn p p 3 0 354 0 6 0126 1 0 4 = = - - = ì í î , , , , , , , , n = ¥1, . Ðàññìàòðèâàåìîå èíâåñòèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ áëàãîïðèÿòíûì, ïîñêîëüêó 0 6 1354 0 4 0 874 0 9007963 1 , , , , ,+ = < . Ïðèìåíèì òåîðåìó 6 äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû íà÷àëüíîãî êàïèòàëà x, ïðè êîòîðîì îí ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ áàíêðîòñòâà ôóíêöèîíèðóåò äîñòàòî÷íî äîëãî. ×òîáû ïîëó÷èòü îãðàíè÷åíèÿ äëÿ ìàêñèìàëüíûõ âûïëàò, ñëåäóåò íàéòè ÷èñëà e è n. ×èñëî e, äîñòàâëÿþùåå ìàêñèìóì âûðàæåíèþ (28), ðàâíî 1,9, à ÷èñëî n = 0,091955. Åñëè ïîëîæèòü ( ) / ,T C T1 1 0 09- = , òî óäîâëåòâîðèì óñëîâèå (41) òåîðåìû 6. Âû÷èñëèì íà÷àëüíûé êàïèòàë áàí- êà x, ïðè êîòîðîì áàíê â òå÷åíèå áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè ñïîñîáåí ôóíêöèîíè- ðîâàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ áàíêðîòñòâà, íå ïðåâûøàþùåé d = 0 01, . Ïîñêîëüêó â ýòîì ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îöåíêà äëÿ íà÷àëüíîãî êàïèòàëà, ôèãóðèðóþùàÿ â òåîðåìå 6, ïðåîáðàçóåòñÿ â áîëåå òî÷íóþ îöåíêó x b A T C b p b A i ii > + + - + - + é ë ê ù û ú - = å ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 d , òî áóäåì èìåòü x T C> × + × × -æ è ç ö ø ÷ - » 2 0 874 1 0 874 0 0992027 0 01 2 31671 , , , , ( ) ( )T C T1 1285- » . Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà íà÷àëüíîãî êàïèòàëà, ïðè êîòîðîì âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà íå ïðåâûøàåò 0 01, , çàâèñèò îò âåëè÷èíû ìàêñèìàëüíûõ âûïëàò T1 . Ðàññ÷èòàåì òåïåðü çíà÷åíèå ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíû ïîñòóïëåíèÿ äåïîçèòîâ è äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè áàíêà C, ïðè êîòîðûõ âûïëàòû áàíêà ìîãóò áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüøèìè. Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (46) äëÿ ðàññìàòðè- âàåìîé ìîäåëè ïðè ie = 0.9007963, d = 001. , e =19. ïîëó÷èì T0 = 318.69, à C óäîâ- ëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó C > 28939. . Èòàê, åñëè âåëè÷èíà ïîñòóïàþùèõ äåïîçèòîâ è äîõîäîâ îò îïåðàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè ïðåâûøàåò âåëè÷èíó 289.39, à íà÷àëü- íûé êàïèòàë áàíêà x ïðåâûøàåò âåëè÷èíó 12483. , òî âûïëàòû áàíêà ìîãóò áûòü äîñòàòî÷íî áîëüøèìè ñ âåðîÿòíîñòüþ áàíêðîòñòâà, íå ïðåâûøàþùåé 001. . Ñëåäóþùèå òåîðåìû äàþò îöåíêó âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà áàíêà, åñëè åãî ðàáîòà îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðîé áàçèñíîé ìîäåëüþ. Òåîðåìà 10. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå { , , }W F P ïî- ñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí { }ji i= ¥ 1, { }Yk k= ¥ 1, { }Z j j= ¥ 1 â ñîâîêóïíîñòè íåçàâèñèìû è êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêî- âî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ r( )x , F x1 ( ), F x2 ( ) ñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 6. Åñëè ýâîëþ- öèÿ êàïèòàëà áàíêà Rn 0 çàäàíà ôîðìóëîé (6), ãäå { }ji i 0 1= ¥ , { }Y k k 0 1= ¥ , { }Z j j 0 1= ¥ îïðå- äåëåíû ôîðìóëàìè (7) è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 1, òî äëÿ íà÷àëüíîãî 86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 êàïèòàëà x , óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâó x L A Ci C i Ae e > + - - [ ] [ ] 0 0 1 d , A T C0 11= + -( )( )e , âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà áàíêà y 0 ( )x óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó y d0 ( )x £ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå { , , }W F P ïîñëåäîâàòåëü- íîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí { }ji i= ¥ 1, { }Yk k= ¥ 1, { }Z j j= ¥ 1 â ñîâîêóïíîñòè íåçàâèñèìû è êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðå- äåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ r( )x , F x1 ( ) , F x2 ( ) ñî- îòâåòñòâåííî, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 8. Åñëè ýâîëþöèÿ êàïè- òàëà áàíêà Rn 0 çàäàíà ôîðìóëîé (6), ãäå { }ji 0 1i= ¥ , { }Y k k 0 1= ¥ , { }Z j j 0 1= ¥ îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (7) è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 1, òî äëÿ íà÷àëüíîãî êàïèòà- ëà x , óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâó x L T Ci C i T t C T te e > + - - - + = = +[ ] [ ] , , (g d l e g e g0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 e e ) , âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà áàíêà y 0 ( )x íà âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , )0 ¥ óäîâëåò- âîðÿåò íåðàâåíñòâó y e0 0( )x £ , ãäå e 0 äîñòàòî÷íî ìàëî. Òåîðåìà 11. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå { , , }W F P ïî- ñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí { }ji i= ¥ 1, { }Y k k= ¥ 1, { }Z j j= ¥ 1 â ñîâîêóïíîñòè íåçàâèñèìû è êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ r( )x , F x1 ( ), F x2 ( ) ñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 9. Åñëè ýâîëþöèÿ êàïè- òàëà áàíêà Rn 0 çàäàíà ôîðìóëîé (6), ãäå { }ji 0 1i= ¥ , { }Y k k 0 1= ¥ , { }Z j j 0 1= ¥ îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (7) è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 1, òî âåðîÿòíîñòü áàíêðîòñòâà áàíêà y m x0 ( ) íà âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , ]0 m óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó y em x0 0( ) £ ïðè óñëîâèè, ÷òî íà÷àëüíûé êàïèòàë áàíêà x óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó x L r A i C C r A r d b b m e C T A > - + - - = + - - ò ( )( ) ( ) , ( ) ( )/ 1 1 1 0 0 0 1 0 e r + - -æ è çç ö ø ÷÷ é ë ê ù û ú + - 1 0 0 0 r C T A A A C T . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Äëÿ óñïåøíîé è äëèòåëüíîé ðàáîòû áàíêà íåîáõîäèìû îãðàíè÷åíèÿ äëÿ èíâåñ- òèðîâàíèÿ â àêòèâû ýêîíîìèêè, íàäëåæàùàÿ ïîëèòèêà ïðèâëå÷åíèÿ äåïîçèòîâ íà ñ÷åòà áàíêà, îïðåäåëåííûå òðåáîâàíèÿ ê âåëè÷èíå ñòàðòîâîãî êàïèòàëà, ñîîòâå- òñòâóþùàÿ ïîëèòèêà âûïëàò ïî îáÿçàòåëüñòâàì. Âñå ýòè ñîñòàâëÿþùèå óñïåøíîé ðàáîòû áàíêà â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ ðåãóëèðóþòñÿ ïî-ðàçíîìó. Èçâåñòíûå áàçå- ëüñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî îáåñïå÷åíèþ ëèêâèäíîé ðàáîòû áàíêîâ íå ãàðàíòèðóþò îò áàíêðîòñòâà [45–48]. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ââåäåíà áàçèñíàÿ ìîäåëü ðàáîòû áàí- êà, êîòîðàÿ äîëæíà ñëóæèòü áàçèñíîé ñèñòåìîé îòñ÷åòà è ñ êîòîðîé äîëæíû ñðàâíèâàòüñÿ ðåàëüíûå äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè áàíêà. Â äîêàçàííûõ òåîðå- ìàõ óñòàíîâëåíû óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå äîñòàòî÷íî äëèòåëüíóþ ðàáîòó áàíêà ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ áàíêðîòñòâà, è ýòè óñëîâèÿ ñâîäÿòñÿ ê îãðàíè- ÷åíèÿì íà òàêèå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè, êàê ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âå- ëè÷èíû äåïîçèòîâ íà ñ÷åòàõ áàíêà, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû âûïëàò ïî îáÿçàòåëüñòâàì. Íàéäåíû îãðàíè÷åíèÿ íà ðàçíîñòü ìåæäó ìàêñèìàëüíîé âåëè÷è- íîé âûïëàò ïî îáÿçàòåëüñòâàì è ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíîé äåïîçèòîâ, à òàêæå íà âåëè÷èíó ñòàðòîâîãî êàïèòàëà áàíêà. Âñå ýòè îãðàíè÷åíèÿ ñëåäóþò èç äîêàçàí- íûõ òåîðåì. Èòàê, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ñòàáèëüíóþ ðàáîòó áàíêà â òå÷åíèå äîñòà- òî÷íî äëèòåëüíîãî èíòåðâàëà âðåìåíè, íåîáõîäèìî çàäàòü áàçèñíóþ ìîäåëü ðàáî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 87 òû áàíêà, îïðåäåëÿþùóþ, â ñâîþ î÷åðåäü, äèíàìèêó èíâåñòèöèîííîé ñòðàòåãèè, èìåÿ îãðàíè÷åííóþ èíôîðìàöèþ îá èíâåñòèöèîííîé ñðåäå [44]. Êðîìå òîãî, èí- âåñòèðîâàíèå êàê â ðèñêîâûå, òàê è áåçðèñêîâûå àêòèâû äîëæíî áûòü áëàãîïðè- ÿòíûì. Â êàæäûé ïåðèîä ýâîëþöèè äèíàìèêà ïðèâëå÷åíèÿ äåïîçèòîâ, îïèñûâàå- ìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äîëæíà áûòü îãðàíè÷åíà ñíèçó ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîé êîíñòàíòîé (ñì. òåîðåìû 6, 8). Â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðå- ìîé 10 ïðè íà÷àëüíîì êàïèòàëå, îïðåäåëåííîì â ýòîé òåîðåìå, áàíê ìîæåò ôóíêöèîíèðîâàòü ïðîèçâîëüíî äîëãî ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ áàíêðî- òñòâà, åñëè äèíàìèêà ñòðàòåãèè èíâåñòèðîâàíèÿ, ïðèâëå÷åíèå äåïîçèòîâ íà ñ÷åòà áàíêà, âûïëàòû ïî îáÿçàòåëüñòâàì áàíêà óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ýòîé òåîðåìû. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. A s m u s s e n S . , P e r r y D . On cycle maxima, first passage problems and extreme value theory for queues // Stochastic Models. — 1992. — 8. — P. 421–458. 2. D i c k s o n D . C . M . , G r a y J . R . Exact solutions for ruin probability in the presence of an upper absorbing barrier // Scand. Act. J. — 1984. — P. 174–186. 3. D i c k s o n D . C . M . , G r a y J . R . Approximations to the ruin probability in the presence of an upper absorbing barrier // Scand. Act. J. — 1984. — P. 105–115. 4. G e r b e r H . U . Martingales in risk theory // Mitt. Ver. Schweiz. Vers. Math. — 1973. — 73. — P. 205–216. 5. G e r b e r H . U . An Introduction to mathematical risk theory. — University of Pennsylvania: S.S. Huebner Foundation Monographs, 1979. — 164 p. 6. D a s s i o s A . , E m b r e c h t s P . Martingales and insurance risk // Stoch. Models. — 1989. — 5. — P. 181–217. 7. G r a n d e l l J . Aspects of risk theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1990. — 185 p. 8. G r a n d e l l J . Finite time ruin probabilities and martingales // Informatica. — 1992. — 2. — P. 3–32. 9. S c h m i d l i H . Martingales and insurance risk // Lecture Notes of the 8th Summer School on Probability and Mathematical Statistics (Varna). — Singapore: Science Culture Technology Publishing, 1996. — P. 155–188. 10. S c h m i d l i H . On the Gerber-Shiu function and change of measure // Insurance: Mathematics and Economics. — 2010. — 46. — P. 3–11. 11. K e s t e n H . Renewal theory for functionals of a Markov chain with general state space // Ann. Probab. — 1974.— 2. — P. 355–386. 12. G o l d i e C . M . Implicit renewal theory and tails of solutions of random equations // Ann. Probab. — 1991. — 1. — P. 126–166. 13. N y r h i n e n H . On the ruin probabilities in a general economic environment // Stoch. Proc. Appl. — 1991. — 83. — P. 319–330. 14. N y r h i n e n H . Finite and infinite time ruin probabilities in a stochastic economic environment // Stoch. Proc. Appl. — 2001. — 92. — P. 265–285. 15. C a i J . Ruin probability with dependent rates of interest // J. Appl. Probab. — 2002. — 39. — P. 312–323. 16. C a i J . , D i c k s o n D . C . M . On the expected discounted penalty function at ruin of a surplus process with interest // Insurance: Mathematics and Economics. — 2002. — 30. — P. 389–404. 17. L u n d b e r g F . Approximerad framstilling av sannolikhetsfunktionen II. Aterforsakring av kollektivrisker, Almquist & Wiksell, Uppsala, 1903. 18. L u n d b e r g F . Some supplementary researches on the collective risk theory // Skandinavisk Aktuarietidskrift. — 1932. — 15. — P. 137–158. 19. C r a m e r H . Collective risk theory. The Jubilee Volume of Forsakringsbolaget Scandia. — Stockholm, 1955. 20. S e g e r d a h l C . O . Uber einige risikotheoretische fragestellungen // Skandinavisk Aktuartidsskrift. — 1942. — 25. — P. 43–83. 21. G e r b e r H . U . Der einfluss von zins auf die ruinwahrscheinlichkeit // Mitteilungen der Schweizerischer Vereinigung der Versicherungsmatematiker, 1971. — P. 63–70. 22. H a r r i s o n J . M . Ruin problems with compounding assets // Stochastic Processes and their Applications. 1977. — 5. — P. 67—79. 88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 23. D e l b a e n F . , H a e z e n d o n c k J . Classical risk theory in an economic environment // Insurance, Mathematics and Economics. — 1987. — 6. — P. 85–116. 24. A s m u s s e n S . Ruin probabilities. — Singapore: World Scientific, 2000. — 601 p. 25. R o l s k i T . , S c h m i d l i H . , S c h m i d t V . a n d T e u g e l s J . L . Stochastic processes for insurance and finance. — Chichester: Wiley, 1999. — 661 p. 26. P a u l s e n J . Ruin models with investment income // Probab. Surv. —2008. — 5. — P. 416–434. 27. Ë å î í å í ê î Ì . Ì . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . , Ï à ð õ î ì å í ê î ß . Ì . , ß ä ð å í ê î Ì . É . Òåîðåòèêî- éìîâ³ðíîñí³ òà ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîìåòðèö³ òà ô³íàíñîâ³é ìàòåìàòèö³. — Ê.: ²íôîðì- òåõí³êà, 1995. — 380 ñ. 28. Ã ó ñ à ê Ä . Â . Ïðîöåñè ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè â òåîð³¿ ðèçèêó. — Êè¿â: ²í-ò ìàòåìàòèêè, 2011. — 544 ñ. 29. Ã î í ÷ à ð Ì . Ñ . Ôîíäîâèé ðèíîê ³ åêîíîì³÷íèé ð³ñò. — Êè¿â: Îáåðåãè, 2001. — 826 ñ. 30. Ã î í ÷ à ð Í . Ñ . Ôèíàíñîâàÿ ìàòåìàòèêà, ýêîíîìè÷åñêèé ðîñò. — Êèåâ: Ðàäà, 2000. — 640 ñ. 31. Í à ê î í å ÷ í û é À . Í . Îöåíêà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ â ñëîæíîé ïóàññîíîâ- ñêîé ìîäåëè òåîðèè ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1995. — ¹ 6. — Ñ. 160–162. 32. Í î ð ê è í Á . Â . Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøå- íèé èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 5. — Ñ. 157–164. 33. Í î ð ê è í Á . Â . Î ðåøåíèè îñíîâíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ àêòóàðíîé ìàòåìàòèêè ìåòî- äîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé // Óêðàèíñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. — 2007. — 59, ¹ 12. — Ñ. 112–127. 34. Í î ð ê è í Á . Â . Ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ îöåíêè ðèñêà íå- ïëàòåæåñïîñîáíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 116–130. 35. Á î í ä à ð å â Á . Â . , Ð à ã ó ë è í à Å . Þ . Î âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè ïðè èíâåñòèðîâàíèè êàïèòàëà íà ôèíàíñîâîì (B,S)-ðûíêå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 5. — Ñ. 112–125. 36. Á î í ä à ð å â Á . Â . , Ñ î ñ í è ö ê è é Î . Å . Íåêîòîðûå çàäà÷è äëÿ ìîäåëè Êëàðêà. I. Îöåíêà âå- ðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — ¹ 2. — Ñ. 139–149. 37. À í ä ð î ù ó ê Ì . Î . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . Îö³íêà éìîâ³ðíîñò³ áàíêðóòñòâà ñòðàõîâî¿ êîìïàí³¿, ÿêà ôóíêö³îíóº íà BS-ðèíêó // Óêðàèíñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. — 2007. — 59, ¹ 11. — Ñ. 1443–1453. 38. C r a m e r H . On the mathematical theory of risk // Skandia Jubilee Volume. — Stockholm, 1930. — 40 p. 39. C a i J . Discrete time risk models under rates of interest // Probability in the Engineering and Informational Sciences. — 2002. — 16. — P. 309–324. 40. Ã î í ÷ à ð Í . Ñ . Òåîðåìà î êàïèòàëèçàöèè áàíêîâ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2012. — ¹ 1. — Ñ. 126–140. 41. Ã î í ÷ à ð Ì . Ñ . , Ê à ï ë ó í å í ê î Ä . Î . Éìîâ³ðí³ñòü áàíêðóòñòâà áàíêó çà íåîáìåæåíèõ âèï- ëàò // Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2012. — 3. — Ñ. 14–18. 42. G o n c h a r N . S . Bank capitalization theorem // Journal of Automation Sciånces. — 2012. — 44. — P. 65–80. 43. Ã î í ÷ à ð Í . Ñ . Äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü ðèñêà ñ èíâåñòèðîâàíèåì â àêòèâû // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàë «Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». — 2014. — ¹ 3. — Ñ.109–127. 44. G o n c h a r N . S . Mathematical foundations of information economics. — Kiev: Institute for Theoretical Physics, 2008. — 468 p. 45. A l t m a n E . Financial ratios, discriminant analysis and the prediction of corporate bankruptcy // Journal of Finance. — 1968. — 23. — P. 589–609. 46. A r t z n e r P . , D e l b a e n F . , E b e r J . - M . , H e a t h D . Coherent measures of risk // Mathematical Finance. — 1999. — 9. — P. 203–228. 47. D u f f i e D . , P a n J . An overview of value at risk // J. of Derivatives. — 1997. — 4. — P. 7–49. 48. M e r t o n R . On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates // J. of Finance. — 1974. — 29. — P. 449–470. Ïîñòóïèëà 24.09.2013 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 89

Математическая модель работы банка

Репозитарії

Схожі ресурси