Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций

Рассмотрены финитные случайные величины, раскладываемые в сумму двух независимых случайных величин, одна из компонент имеет такой жe тип распределения. Исследованы свойства характеристических функций на основе анализа дифференциальных уравнений и выделен класс распределений, обладающий некоторыми эк...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Кабанов, К.И., Колодяжный, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124823
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций / К.И. Кабанов, В.М. Колодяжный // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 100-106. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124823
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1248232025-02-09T09:39:25Z Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций Характеризація розподілів зі щільностями типу атомарних функцій Characterization of the distributions with atomic function densities Кабанов, К.И. Колодяжный, В.М. Системный анализ Рассмотрены финитные случайные величины, раскладываемые в сумму двух независимых случайных величин, одна из компонент имеет такой жe тип распределения. Исследованы свойства характеристических функций на основе анализа дифференциальных уравнений и выделен класс распределений, обладающий некоторыми экстремальными свойствами энтропии. Розглянуто фінітні випадкові величини, що розкладаються в суму двох незалежних випадкових величин, одна з компонент має розподіл такого ж типу. Досліджено властивості характеристичних функцій на основі аналізу диференціальних рівнянь та виділено клас розподілів, які мають деякі екстремальні властивості ентропії. We consider finite random variables decomposed into the sum of two independent random variables one of which belongs to the same type of distribution. The properties of characteristic functions are investigated on the basis of the analysis of differential equations and the class of distributions possessing some extreme properties of entropy is allocated. 2015 Article Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций / К.И. Кабанов, В.М. Колодяжный // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 100-106. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124823 517.95 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Кабанов, К.И. Колодяжный, В.М. Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций Кибернетика и системный анализ
description	Рассмотрены финитные случайные величины, раскладываемые в сумму двух независимых случайных величин, одна из компонент имеет такой жe тип распределения. Исследованы свойства характеристических функций на основе анализа дифференциальных уравнений и выделен класс распределений, обладающий некоторыми экстремальными свойствами энтропии.
format	Article
author	Кабанов, К.И. Колодяжный, В.М.
author_facet	Кабанов, К.И. Колодяжный, В.М.
author_sort	Кабанов, К.И.
title	Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций
title_short	Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций
title_full	Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций
title_fullStr	Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций
title_full_unstemmed	Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций
title_sort	характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124823
citation_txt	Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций / К.И. Кабанов, В.М. Колодяжный // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 100-106. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT kabanovki harakterizaciâraspredelenijsplotnostâmitipaatomarnyhfunkcij AT kolodâžnyjvm harakterizaciâraspredelenijsplotnostâmitipaatomarnyhfunkcij AT kabanovki harakterizacíârozpodílívzíŝílʹnostâmitipuatomarnihfunkcíj AT kolodâžnyjvm harakterizacíârozpodílívzíŝílʹnostâmitipuatomarnihfunkcíj AT kabanovki characterizationofthedistributionswithatomicfunctiondensities AT kolodâžnyjvm characterizationofthedistributionswithatomicfunctiondensities
first_indexed	2025-11-25T10:07:06Z
last_indexed	2025-11-25T10:07:06Z
_version_	1849756461315391488
fulltext	ÓÄÊ 517.95 Ê.È. ÊÀÁÀÍÎÂ, Â.Ì. ÊÎËÎÄßÆÍÛÉ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÇÀÖÈß ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ñ ÏËÎÒÍÎÑÒßÌÈ ÒÈÏÀ ÀÒÎÌÀÐÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíû ôèíèòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñêëàäûâàåìûå â ñóììó äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îäíà èç êîìïîíåíò èìååò òàêîé æe òèï ðàñïðåäåëåíèÿ. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé íà îñíîâå àíàëèçà äèôôåðåíöèàëü- íûõ óðàâíåíèé è âûäåëåí êëàññ ðàñïðåäåëåíèé, îáëàäàþùèé íåêîòîðûìè ýêñòðåìàëüíû- ìè ñâîéñòâàìè ýíòðîïèè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: àòîìàðíàÿ ôóíêöèÿ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ýíòðîïèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Îäíèì èç íàèáîëåå âàæíûõ êëàññîâ ðàñïðåäåëåíèé ÿâëÿþòñÿ òàê íàçûâàåìûå óñòîé÷èâûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Îíè ïðåäñòàâëÿþò îñîáûé èíòåðåñ â ñâÿçè ñ çàäà- ÷åé îá îäèíàêîâîé ðàñïðåäåëåííîñòè ñòàòèñòèê X 1 è a X a X1 1 2 2+ ïîâòîðíîé âûáîðêè ( , )X X1 2 . Ïåðâîé ðàáîòîé ïî èçó÷åíèþ äàííîãî óñëîâèÿ ÿâëÿåòñÿ ñòàòüÿ Ä. Ïîéà (1923), â êîòîðîé óñòàíîâëåíî, ÷òî ñðåäè ðàñïðåäåëåíèé, îáëà- äàþùèõ êîíå÷íûì âòîðûì ìîìåíòîì, òîëüêî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå óñòîé- ÷èâî. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå òåîðèÿ óñòîé÷èâûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëó÷èëà â ðà- áîòàõ Þ. Ìàðöèíêåâè÷à, Ï. Ëåâè, Þ.Â. Ëèííèêà, â êîòîðûõ äàíî ïîëíîå îïèñà- íèå çàêîíîâ, äîïóñêàþùèõ ñâîéñòâî îäèíàêîâîé ðàñïðåäåëåííîñòè ëèíåéíûõ ñòàòèñòèê, è ïîêàçàíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò òîëüêî íîðìàëüíûé çàêîí [1]. Êðîìå òîãî, óñòîé÷èâûå ðàñïðåäåëåíèÿ òåñíî ñâÿçàíû ñ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé. Ðàñïðåäåëå- íèå ñóììû íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñ.â.) ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ èç êëàññà óñòîé÷èâûõ. Èçâåñòíî, ÷òî âñå óñòîé÷èâûå ðàñïðåäåëåíèÿ áåçãðàíè÷íî äåëèìû, àáñîëþò- íî íåïðåðûâíû è èõ ïëîòíîñòè îäíîâåðøèííû. Èç áåçãðàíè÷íîé äåëèìîñòè ñðà- çó ñëåäóåò, ÷òî â êëàññå óñòîé÷èâûõ ðàñïðåäåëåíèé íåò ôèíèòíûõ, ò.å. ðàñïðåäå- ëåíèé, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ÷èñëî N < ¥ òàêîå, ÷òî P X N(\| \| )< =1. Îäíàêî âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè ÿâëÿåòñÿ áîëåå åñòåñòâåííûì, ÷åì, íàïðèìåð, ñóùåñòâîâàíèå âòîðîãî ìîìåíòà. Ýòî ïðèâåëî ê èçó÷åíèþ àíàëîãè÷- íûõ çàäà÷, íî äëÿ ñ.â. ñî çíà÷åíèÿìè íà êîíå÷íûõ ãðóïïàõ. Â ÷àñòíîñòè, Ï. Ëåâè [2] äîêàçàë, ÷òî äëÿ ñ.â. ñî çíà÷åíèÿìè íà îêðóæíîñòè ñóììà ñòðåìèòñÿ, â ñëó÷àå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëàãàåìûõ, ê ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëå- íèþ, ñ åäèíñòâåííûì èñêëþ÷åíèåì, êîãäà çíà÷åíèÿìè ñëàãàåìûõ ìîãóò áûòü òîëüêî âåðøèíû ïðàâèëüíîãî âïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Â ñâÿçè ñ ýòèì ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: íåîáõîäèìî íàèáîëåå ïîëíî îïèñàòü ñ.â. X , êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ ñ.â., îäíà èç êîòîðûõ îãðàíè÷åíà, à âòîðàÿ ïðèíàäëåæèò ê òîìó æå òèïó, ÷òî è X . Òðèâè- àëüíûå ñëó÷àè, êîãäà îäíà èç êîìïîíåíò âûðîæäåíà, çäåñü íå ðàññìàòðèâàþòñÿ. Äëÿ ñ.â. X áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùèõ îáîçíà÷åíèé: ôóíêöèÿ ðàñ- ïðåäåëåíèÿ (ô.ð.) F x P X xX ( ) ( )= < è õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ (õ.ô.) j X itx itx Xt Ee e dF x( ) ( )= = -¥ +¥ ò — ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå–Ñòèëòüåñà. 100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 © Ê.È. Êàáàíîâ, Â.Ì. Êîëîäÿæíûé, 2015 Ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó. Òåîðåìà 1. Ïóñòü X X Y, ,1 — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè ýòîì X è X 1 îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíó F xX ( ) ñ õ.ô. j X t( ), à Y — ôèíèòíàÿ ñ ô.ð. F xY ( ) è õ.ô. jY t( ). Åñëè X è aX Y1 + îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è a > 0, òî ïàðàìåòð a ïðèíàäëå- æèò èíòåðâàëó ( ; )0 1 , ñ.â. X íåïðåðûâíàÿ, ôèíèòíàÿ, åå õ.ô. j jX Y k k t a t( ) ( )= = ¥ Õ 0 , ïðè÷åì áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå âñåãäà ñõîäèòñÿ ê ñîáñòâåííîìó ïðåäåëó. Êðîìå òîãî, ñåìèèíâàðèàíòû ðàñïðåäåëåíèé ñ.â. X è Y ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì c hi i i i a a = -1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå â òåðìèíàõ õà- ðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè è óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñ- òè èìååì j jX aX Y it ax y X Yt t e dF x dF y( ) ( ) ( ) ( ) ( )= =+ + -¥ +¥ -¥ +¥ òò1 1 1 1 = = = -¥ +¥ -¥ +¥ ò òe dF x e dF y at t itax X ity Y X Y 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )j j . Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå òåîðåìû ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ j j jX Y Xt t at( ) ( ) ( )= . Ïîêàæåì, ÷òî ïàðàìåòð a íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöû. Ïóñòü âåðíî îáðàòíîå: a ³ 1 . Ïðè a =1 ñðàçó ïðèõîäèì ê âûðîæäåííîìó ñëó÷àþ, ïîñêîëüêó jY t( ) º1 â íåêîòî- ðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ðàéêîâà [3] ñîâïàäàåò ñ õ.ô. âûðîæäåííîé â íóëå ñ.â. íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a >1. Äîêàæåì ïðåäâàðèòåëüíî, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû ñ.â. X ÿâëÿåòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ ôèíèòíîé. Îáîçíà÷èì M y P Y y= < =inf : (\| \| ){ }1 . Äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà N â ñèëó îäèíàêîâîé ðàñïðåäåëåííîñòè èìååì P X N P aX Y N P X N M a ( ) ( )> = + > ³ ³ +æ è ç ö ø ÷ . Òîãäà P X N M a NÎ +æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ =, 0. Ïîñêîëüêó äàííîå ðàâåíñòâî âåðíî, êîãäà N ïðîáåãàåò âñå çíà÷åíèÿ îò M a -1 äî áåñêîíå÷íîñòè, P X M a > - æ è ç ö ø ÷ = 1 0. Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî è P X M a < - - æ è ç ö ø ÷ = 1 0. Òàêèì îáðà- çîì, äîêàçàíà ôèíèòíîñòü ñ.â. X è, çíà÷èò, îíà îáëàäàåò êîíå÷íûìè ìîìåíòà- ìè ëþáîãî ïîðÿäêà. Èç îäèíàêîâîé ðàñïðåäåëåííîñòè X è aX Y1 + âûòåêàåò ðàâåíñòâî äèñïåðñèé D X a D X D Y( ) ( ) ( )= +2 , ÷òî íåâîçìîæíî ïðè a >1. Ïóñòü a < 1. Ïîâòîðÿÿ ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷àåì äëÿ ëþáîãî ôèê- ñèðîâàííîãî ÷èñëà N â ñèëó îäèíàêîâîé ðàñïðåäåëåííîñòè P X N P aX Y N P X N M a ( ) ( )> = + > £ ³ -æ è ç ö ø ÷ . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 101 Òîãäà P X N N M a Î -æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ =, 0. Òàê êàê äàííîå ðàâåíñòâî âåðíî, êîãäà N ïðîáåãà- åò âñå çíà÷åíèÿ îò M a1- äî áåñêîíå÷íîñòè, P X M a > - æ è ç ö ø ÷ = 1 0 è P X M a < - - æ è ç ö ø ÷ = 1 0 . Äàëåå, ñëåäóÿ ðàáîòå Â.Ë. Ðâà÷åâà è Â.À. Ðâà÷åâà [4], èìååì j j j j j j j jX Y X Y Y X X n Yt t at t at a t a t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = = = +2 1 K ( )a tn k n = Õ 0 . Ïîñêîëüêó jX na t( )+1 ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê åäèíèöå íà êàæäîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå, ïî òåîðåìå Ëóêà÷à [5] j jX Y k k t a t( ) ( )= = ¥ Õ 0 , ïðè ýòîì jX t( ) ÿâëÿåò- ñÿ õ.ô. áåñêîíå÷íîé ñõîäÿùåéñÿ ñâåðòêè * k Y k F x a= ¥ Õ æ è ç ö ø ÷ 0 . Äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ñ.â. X . Ïóñòü p — ìàêñèìàëüíûé ñêà÷îê ô.ð. G x( ). Òîãäà pk k = = ¥ Õ 0 0 è ïî òåîðåìå Ëåâè [5] òî÷å÷íûé ñïåêòð ñâåðòêè * k Y k F x a= ¥ Õ æ è ç ö ø ÷ 0 ïóñò. Èç ôèíèòíîñòè ñ.â. X Y, ñëåäóåò àíàëèòè÷íîñòü õ.ô. j X t( ) è jY t( ) âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïîñêîëüêó çíà÷åíèå ýòèõ ôóíêöèè â íóëå ðàâíî åäèíè- öå, ln ( )jX t è ln ( )jY t àíàëèòè÷íû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ. Ðàçëîæèì èõ â ðÿä Òåéëîðà: ln ( )j cX i i i t t= = ¥ å 1 , ln j hY i i i t= = ¥ å 1 (èìåþòñÿ â âèäó ãëàâíûå âåòâè ëîãàðèôìîâ). Èìååì c h hi i it a t t ai i ik i ik i i k i k i= ¥ = ¥ = ¥ = ¥ = ¥ = å åå å å= = = 1 10 1 1 ( ) 1 1 ¥ å - hi i i ia a t . Ñëåäîâàòåëüíî, c hi i i i a a = -1 . Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå äàåò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçëîæè- ìîñòè ñ.â. â ñóììó ôèíèòíîé è ñåáå ïîäîáíîé, îäíàêî ïðîâåðêà, ÿâëÿåòñÿ ëè îïðå- äåëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñåìèèíâàðèàíòîâ íåêîòîðîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êàê ïðàâèëî, ïðåäñòàâëÿåò ñëîæíóþ çàäà÷ó. Îïðåäåëèì íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íà ñ.â. Y , îáåñïå÷èâàþùèå ïðèíàäëåæíîñòü ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. X ê êëàññó àòîìàðíûõ ôóíêöèé. Àòîìàðíûìè, ñëåäóÿ [6], íàçûâàþòñÿ ôèíèòíûå ðåøåíèÿ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå- ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ b y x a y axk k k m j j j n ( ) ( ) ( ) = = å å= + 1 1 a . Ïóñòü bm =1 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }a j ìîíîòîííî óáûâàåò. Äàííîå äîïó- ùåíèå íå íàðóøàåò îáùíîñòè ðàññóæäåíèé. Â òåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòü ê êëàññó àòîìàð- íûõ ïëîòíîñòåé ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî õ.ô. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ïðåäñòàâèìà â âèäå îòíîøåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ïîëèíîìà è ïîëèíîìà, à èìåííî j a Y j it j n k k k m t a e b it j ( ) ( ) = - = = å å 1 1 , 102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 ïðè÷åì âñå êîðíè çíàìåíàòåëÿ ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè ÿâëÿþòñÿ è êîðíÿìè ÷èñëè- òåëÿ. Îïðåäåëèì âèä ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. Y . Òåîðåìà 2. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1, äëÿ òîãî ÷òîáû ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X áûëà àòîìàðíîé ôóíêöèåé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïëîò- íîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y èìåëà âèä f x R x f xY k j t j j k j k ( ) ( ) ( , , ), , = +å a a1 , ãäå f x t e e e x x t j j k t t t x k j k j k k ( , , ) , ( , ), , ( , a a a b a a a + = - Î Ï +1 1 0 b). ì í ï î ï Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîëèíîì P t b t k m k k( ) = = å 1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðàâíåíèå P t( ) = 0 èìååò m ðàçëè÷íûõ êîðíåé, êîòîðûå îáîçíà÷èì tk . Ðàçëîæèì ôóíêöèþ P t-1 ( ) â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé 1 1 1 1P t t t A t t k k m k kk m ( ) ( ) = - = - = =Õ å , ãäå A t tk i m k i k = - = Õ1 1 / ( ) ( ) , à çíàê ( )kÕ îáîçíà÷àåò ïðîèçâåäåíèå áåç k-ãî ìíî- æèòåëÿ. Òîãäà ïîëó÷àåì j a a Y j it j n k k k m k j it j n t a e b it A a e it j j ( ) ( ) = - = - - = = = å å å 1 1 1 t A a e e it tkk m k j t it t j n kk m k j k j = - + = = å å å= - +1 1 1 a a( ) . Îáîçíà÷èì a a ejk j tk j= - a è ïðåîáðàçóåì äðîáü â k-ì ñëàãàåìîì: a e it t a e e jk it t j n k k it t it t k j k k ( ) ( ) ( ) ( ) + = + +å + = - a a a 1 1 1 2 it t a a e e it tk k k it t it t k k k + + + - + + + + ( )( ) ... ( ) ( ) 1 2 2 3a a ... ( )( )( ) ( ) ( ) + + + + -- + +-a a a e e it k k n k it t it tk n k n 1 2 1 1 K a a + = tk = - + + + = - + å a e e it tjk it t it t kj n k j k j 1 1 1 1( ) ( ) ( )a a , ãäå a a jk lk l j 1 1 = = å . Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå âîçìîæíî, ïîñêîëüêó ïî ïðåäïîëîæåíèþ âñå êîðíè çíàìåíàòåëÿ ÿâëÿþòñÿ è êîðíÿìè ÷èñëèòåëÿ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 103 Îòìåòèì, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ñ.â. ñ ïëîòíîñòüþ f x a e e e x x a a ax ( ) , ( , ) , , ( , ) , = - Î Ï ì í ï îï b a a b a b0 èìååò õ.ô. âèäà j a b b a b a a a a it a it a t a e e e e it a ( , , ) ( ) ( ) = - - + + + . Â ÷àñòíîì ñëó÷àå a = 0, j a b b a b a 0 1 ( , , )t e e it it it = - - ñîîòâåòñòâóåò ïëîòíîñòè ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå [ , ]a b . Ñëåäîâàòåëüíî, j a a Y k jk it t it t j n k t A a e e it t k j k j ( ) ( ) ( ) ( ) = - - + + + = - +å 1 1 1 1 = = å k m 1 = - - = = + = - å å + A a e e t tk k m jk t t k t j j j n k j k j k 1 1 1 1 1 1a a j a a( , , ) = - - - - = = å Õ å + a e t t e e t l t l j k k l l m k j t t k k l k j k j a a a j1 1 1 ( ), ( ) t j jk t( , , )a a+1 . Â ñëàãàåìûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ íóëåâîìó êîðíþ tk = 0, íîðìèðóþùèé ìíîæè- òåëü ïîëàãàåì ðàâíûì a aj j+ -1 . Èòàê, ïëîòíîñòü ÿâëÿåòñÿ «ñìåñüþ» óñå÷åí- íûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ïëîòíîñòåé. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé êðàòíûõ êîðíåé. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîãî÷ëåí P t( ) èìååò â íóëå êîðåíü êðàòíîñòè 2. Òîãäà ðàçëîæåíèå P t-1 ( ) â ñóì- ìó ïðîñòåéøèõ äðîáåé èìååò âèä 1 0 2 1P t A t A t t k kk m ( ) = + -= å , èç ÷åãî ñëåäóåò j a a Y j it j n k j it j n kk m t A a e t A a e it t j j ( ) = - + - - = = = å å å0 1 2 1 1 . Êàê ïîêàçàíî âûøå, ñëàãàåìûå â ñóììå ñîîòâåòñòâóþò ïëîòíîñòÿì ïîêàçàòåëü- íûõ ðàñïðåäåëåíèé íà îòðåçêàõ. Èçó÷èì ïëîòíîñòü ~ ( )f x ñ õ.ô. ~( )j a t a e t j it j n j = - = å 1 2 . Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì â ÷èñëèòåëå íà ìíèìîé îñè ïðèíèìàåò âåùåñò- âåííûå çíà÷åíèÿ è èìååò â íóëå êîðåíü êðàòíîñòè 2. Ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå 104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 çíàêà äëÿ ÷èñëà d ôóíêöèÿ a ej it i n ja d = å - 1 èìååò â îêðåñòíîñòè íóëÿ äâà ðàç- ëè÷íûõ êîðíÿ íà ìíèìîé îñè, êîòîðûå îáîçíà÷èì e1 è e 2 . Ââåäåì â ðàññìîò- ðåíèå âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ a e it it a e i j it i n j it i n j ja a d e e e e d = = å å- - - = - - 1 1 2 1 2 11 ( )( ) t a e it j it i n j - - - - æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ == å e d e a 1 1 2 = - - - - - = -å 1 1 2 1 1 1 1 2 e e d e e a e a e a e a e e it a e ej it i n j itj j j( ) ( 2 1 2 )a d e j i n it = å - - æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ . Ïîâòîðÿÿ ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ, çàêëþ÷àåì, ÷òî íà èíòåðâàëå ( , )a aj j+1 ïëîòíîñòü èìååò âèä a e e a e el l j x l l j l le a e e a e1 1 2 2 1 1= - = -å å æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ x e e1 2- . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè d ® 0, çíà÷åíèÿ e e1 2, òàêæå ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, íà- õîäèì çíà÷åíèÿ ~ ( )f x íà ( , )a aj j+1 : ~ ( ) lim , f x a e e a el l j x l l l l = æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - ® = -å e e e a e e a 1 2 1 1 2 0 1 = -å æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - =1 1 2 2 j x e e e e = + - - + - ® = = å å lim ( ) ( ) ,e e e a e e a e 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1a x a xl l l j l l l j e e a 1 2 1 1- = - = = å åa x al l l j l l j . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü òðåóãîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. ñâåðòêè ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ñîáîé. Åñëè êðàòíîñòü êîðíÿ ðàâíà k, òî àíàëî- ãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïëîòíîñòü ÿâëÿåòñÿ k-êðàòíîé ñâåðòêîé ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðîñòàÿ çàìåíà ïîêàçûâàåò, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ïëîòíîñòü èìååò âèä ñâåðòêè óñå÷åííîãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå, íàçâàííîå ýêñïîíåíöèàëüíûì, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé. Äëÿ ïåðåõîäà ê âåùåñòâåííûì ôóíêöèÿì äîñòàòî÷íî âûäåëèòü âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè ýòèõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî ñ.â. ñ ïëîòíîñòÿìè òèïà àòîìàðíûõ ôóíêöèé ïî- ðîæäàþòñÿ «ñìåñÿìè» è ñâåðòêàìè óñå÷åííûõ ïîêàçàòåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Âåð- íî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. Ëþáàÿ ïëîòíîñòü, ïîðîæäåííàÿ «ñìåñÿìè» è ñâåðòêà- ìè óñå÷åííûõ ïîêàçàòåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ, îäíà- êî íåñêîëüêî áîëåå îáùåãî âèäà, à èìåííî b y x a y axk k k m jl l jl j n l ( ) ( )( ) ( ) = = å åå= + 1 1 a . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3 105 Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü îñîáåííîñòü ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé, ðàññìîò- ðèì ôóíêöèþ ýíòðîïèè ñ.â. H X f x f x dx( ) ( ) log ( )= - -¥ +¥ ò 2 . Èçâåñòíî [7], ÷òî ìàêñèìàëüíîé ýíòðîïèåé ñðåäè âñåõ ðàñïðåäåëåíèé, ñîñðåäî- òî÷åííûõ íà îòðåçêå, áåç êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé îáëàäàåò ðàâíîìåðíîå ðàñ- ïðåäåëåíèå. Åñëè çàôèêñèðîâàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ìàêñèìóì ýíòðî- ïèè áóäåò äîñòèãàòüñÿ íà óñå÷åííîì ïîêàçàòåëüíîì ðàñïðåäåëåíèè. Ñôîðìó- ëèðóåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 3. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû äâóõ íåçà- âèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïåðâàÿ èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò ê îäíîìó ñ íåé òèïó, à âòîðàÿ ôèíèòíà è èìååò ìàêñèìàëüíóþ ýíòðîïèþ, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ïëîòíîñòü òèïà àòîìàðíîé ôóíêöèè. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå îïèñàíà ñòðóêòóðà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ïëîòíîñòè òèïà àòî- ìàðíûõ ôóíêöèé è ñâîéñòâà, õàðàêòåðèçóþùèå òàêèå âåëè÷èíû. Ïîëó÷åííûå ðå- çóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòè÷íî îáëàäà- þò íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè ðàçëîæèìîñòè, ñõîäíûìè ñî ñâîéñòâàìè íîðìàëüíîãî è ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèé, à ñ äðóãîé — ýíòðîïèéíûìè ñâîéñòâàìè ðàâíî- ìåðíûõ è ïîêàçàòåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Äàííûå ñâîéñòâà äîñòàòî÷íî åñòåñòâåí- íû äëÿ áîëüøîãî êëàññà ñòàòèñòè÷åñêèõ çàäà÷, ïîýòîìó àòîìàðíûå ïëîòíîñòè ìî- ãóò íàõîäèòü ïðèìåíåíèå íàðàâíå ñî ñòàíäàðòíûìè ñåìåéñòâàìè ïëîòíîñòåé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ê à ã à í À . Ì . , Ë è í í è ê Þ . Â . , Ð à î Ñ . Ð . Õàðàêòåðèçàöèîííûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1972. — 656 ñ. 2. L e v y P . L’addition des variables aleatoires definies sur une circonference // Bull. Soc. Math. France. — 1939. — 67, N 1, 2. — P. 1–41. 3. Ë è í í è ê Þ . Â . Ðàçëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ çàêîíîâ. — Ë.: Èçä-âî Ëåíèíãðàä. óí-òà, 1960. — 264 ñ. 4. Ð â à ÷ î â Â . Ë . , Ð â à ÷ î â Â . Î . Ïðî îäíó ô³í³òíó ôóíêö³þ // ÄÀÍ ÓÐÑÐ. Ñåð. À. — 1971. — C. 705–707. 5. Ë ó ê à ÷ Å . Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè. — Ì.: Íàóêà, 1979. — 423 ñ. 6. Ð â à ÷ å â Â . Ë . , Ð â à ÷ å â Â . À . Íåêëàññè÷åñêèå ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé â êðàåâûõ çà- äà÷àõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1979. — 196 ñ. 7. Ð à î Ñ . Ð . Ëèíåéíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû è èõ ïðèìåíåíèå. — Ì.: Íàóêà, 1968. — 548 ñ. Ïîñòóïèëà 05.05.2014 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 3

Характеризация распределений с плотностями типа атомарных функций

Institution

Ähnliche Einträge