Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований

Получены и исследованы два варианта взвешенных сингулярных разложений матриц с вырожденными весами при использовании взвешенных ортогональных матриц. На основе описанных сингулярных разложений матриц получены разложения взвешенных псевдообратных для них матриц с вырожденными весами и разложения этих...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Кибернетика и системный анализ
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Сергиенко, И.В., Галба, Е.Ф.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124835
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 28-43. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124835
record_format	dspace
spelling	Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. 2017-10-06T19:00:54Z 2017-10-06T19:00:54Z 2015 Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 28-43. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124835 512.61 Получены и исследованы два варианта взвешенных сингулярных разложений матриц с вырожденными весами при использовании взвешенных ортогональных матриц. На основе описанных сингулярных разложений матриц получены разложения взвешенных псевдообратных для них матриц с вырожденными весами и разложения этих матриц в матричные степенные ряды и произведения. Определены применения данных разложений. Одержано та досліджено два варіанти зважених сингулярних розвинень матриць з виродженими вагами при використанні зважених ортогональних матриць. На основі цих сингулярних розвинень матриць одержано розвинення зважених псевдообернених до них матриць з виродженими вагами та розвинення цих матриць в матричні степеневі ряди і добутки. Визначено застосування цих розвинень. Two variants of weighted singular value decompositions of matrices with singular weights using weighted orthogonal matrices are obtained and analyzed. Based on this singular value decompositions of matrices, decomposition of weighted pseudoinverse matrices with singular weights and decomposition of these matrices into matrix power series and products are obtained. The application of these decompositions is determined. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований Зважене сингулярне розвинення матриць з виродженими вагами на основі зважених ортогональних перетворень Weighted singular value decomposition of matrices with singular weights based on the weighted orthogonal transformations Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований
spellingShingle	Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Системный анализ
title_short	Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований
title_full	Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований
title_fullStr	Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований
title_full_unstemmed	Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований
title_sort	взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований
author	Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф.
author_facet	Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф.
topic	Системный анализ
topic_facet	Системный анализ
publishDate	2015
language	Russian
container_title	Кибернетика и системный анализ
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Зважене сингулярне розвинення матриць з виродженими вагами на основі зважених ортогональних перетворень Weighted singular value decomposition of matrices with singular weights based on the weighted orthogonal transformations
description	Получены и исследованы два варианта взвешенных сингулярных разложений матриц с вырожденными весами при использовании взвешенных ортогональных матриц. На основе описанных сингулярных разложений матриц получены разложения взвешенных псевдообратных для них матриц с вырожденными весами и разложения этих матриц в матричные степенные ряды и произведения. Определены применения данных разложений. Одержано та досліджено два варіанти зважених сингулярних розвинень матриць з виродженими вагами при використанні зважених ортогональних матриць. На основі цих сингулярних розвинень матриць одержано розвинення зважених псевдообернених до них матриць з виродженими вагами та розвинення цих матриць в матричні степеневі ряди і добутки. Визначено застосування цих розвинень. Two variants of weighted singular value decompositions of matrices with singular weights using weighted orthogonal matrices are obtained and analyzed. Based on this singular value decompositions of matrices, decomposition of weighted pseudoinverse matrices with singular weights and decomposition of these matrices into matrix power series and products are obtained. The application of these decompositions is determined.
issn	0023-1274
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124835
citation_txt	Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 28-43. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv vzvešennoesingulârnoerazloženiematricsvyroždennymivesaminaosnovevzvešennyhortogonalʹnyhpreobrazovanii AT galbaef vzvešennoesingulârnoerazloženiematricsvyroždennymivesaminaosnovevzvešennyhortogonalʹnyhpreobrazovanii AT sergienkoiv zvaženesingulârnerozvinennâmatricʹzvirodženimivagaminaosnovízvaženihortogonalʹnihperetvorenʹ AT galbaef zvaženesingulârnerozvinennâmatricʹzvirodženimivagaminaosnovízvaženihortogonalʹnihperetvorenʹ AT sergienkoiv weightedsingularvaluedecompositionofmatriceswithsingularweightsbasedontheweightedorthogonaltransformations AT galbaef weightedsingularvaluedecompositionofmatriceswithsingularweightsbasedontheweightedorthogonaltransformations
first_indexed	2025-11-27T08:34:59Z
last_indexed	2025-11-27T08:34:59Z
_version_	1850809156680810496
fulltext	È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Å.Ô. ÃÀËÁÀ ÓÄÊ 512.61 ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÕ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÉ Àííîòàöèÿ. Ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû äâà âàðèàíòà âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ïðè èñïîëüçîâàíèè âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Íà îñíîâå îïèñàííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ äëÿ íèõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è ðàçëîæåíèÿ ýòèõ ìàòðèö â ìàò- ðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ. Îïðåäåëåíû ïðèìåíåíèÿ äàííûõ ðàçëîæåíèé. Êëþ÷åâûå ñëîâà: âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ, âçâåøåííûå îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû, ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ, ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Âïåðâûå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîëó÷åíî â [1]. Â ðàáî- òàõ [2, 3] îïèñàíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëü- íî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå øèðîêî ïðèìåíÿëîñü ïðè òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ è â ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèëîæåíèÿõ (ñì., íàïðè- ìåð, [4]). Â ðàáîòå [5] ïîëó÷åíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíîâå âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ è ïñåâäîîðòîãî- íàëüíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäëîæåí- íîãî âàðèàíòà âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, à òàêæå ïðèâåäåí îáçîð ëèòåðàòóðû ïî èñïîëüçîâàíèþ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè äëÿ òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è ïîñòðîåíèÿ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Â ðàáîòàõ [6–8] ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæå- íèå ìàòðèö èñïîëüçîâàëîñü äëÿ àíàëèçà âëèÿíèÿ âîçìóùåíèé èñõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèÿ çàäà÷ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, à â [9] ïîëó÷åíî âçâåøåííîå ñèíãó- ëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíîâå îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö, à òàêæå îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâà- íèÿ ïðåäëîæåííîãî âàðèàíòà ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö. ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß È ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß Îòìåòèì, ÷òî â äàëüíåéøåì âåçäå ïðåäïîëàãàåòñÿ âåùåñòâåííîñòü èñïîëüçóå- ìûõ ñêàëÿðîâ, âåêòîðîâ, ìàòðèö è ïðîñòðàíñòâ. Îáîçíà÷èì n-ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî Å n íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ãäå âåêòîðû — ìàòðèöû ðàçìåðà n´1 . Ïóñòü H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, Å n H( ) — åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî â ñëó- ÷àå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìåòðèêè èëè ïñåâäîåâêëèäîâî â ñëó÷àå íåîòðè- öàòåëüíîé ìåòðèêè, ââåäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) ( , )u HuH Eu u= , 28 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 © È.Â. Ñåðãèåíêî, Å.Ô. Ãàëáà, 2015 ãäå ( , )u uEu u= T , E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Íîðìó (ïîëóíîðìó) â Å n H( ) ââå- äåì ñîîòíîøåíèåì \|\| \|\| ( , ) /u u uH H = 1 2 . Â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííîé ìàòðèöû H îáîçíà÷èì Å Å n nH H( ) ( )Ì ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ u , óäîâëåò- âîðÿþùèõ óñëîâèþ HH u EE + = H H u u EE 1 2 1 2/ / ,+ = (1) ãäå H H EE EE + +=1 2 1 2/ /( ) , à H EE + — ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà Ìóðà–Ïåíðîóçà äëÿ ìàòðèöû H [10, 11]. Â äàëüíåéøåì H H EE p p EE + += ( ) — ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðè- öû, ãäå p — öåëîå èëè äðîáíîå ÷èñëî. Ïîñêîëüêó íóëü-ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö H , H EE + , HH EE + è H H EE 1 2 1 2/ /+ ñîâïàäà- þò [12], ïîëóíîðìû \|\| \|\|× H , \|\| \|\|× +HEE äëÿ âåêòîðîâ â Å n H( ) ,Å n EE H( )+ áóäóò íîð- ìàìè â Å n H( ) , Å n EE H( )+ . Îïðåäåëèì íîðìó ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû [13]. Ïóñòü A m nÎ ´ Å , à H m mÎ ´ Å è V n nÎ ´ Å — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå èëè ïîëîæèòåëü- íî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èçÅ n . Ïðåäïîëà- ãàåì âûïîëíåíèå óñëîâèé rk HA rk A( ) ( )= , rk AV rk A( ) ( )= , (2) ãäå rk L( ) — ðàíã ìàòðèöû L . Åñëè H è V — ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû, òî óñëîâèÿ (2) çàâåäî- ìî âûïîëíÿþòñÿ. Äëÿ ìíîæåñòâà ìàòðèö A , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2), íîðìó ââåäåì ñîîòíîøåíèåì \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| / A H AVx x HV x E E m n = ¹ sup 0 1 2 , (3) ãäå x nÎÅ , à íèæíèé èíäåêñ ïðè åäèíè÷íîé ìàòðèöå îçíà÷àåò åå ðàçìåðíîñòü. Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íîðìà ìàòðèöû A çàäàåòñÿ ôîðìóëîé \|\| \|\| [ ( )]max /A VA HAVHV = l T 1 2 , (4) ãäå l max ( )L — ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L . Â [13] ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèÿ \|\| \|\|× HV , îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (3), ïðè âû- ïîëíåíèè óñëîâèé (2) ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé ìàòðè÷íîé íîðìîé. Åñëè óñëîâèÿ (2) (èëè îäíî èç íèõ) íå âûïîëíÿþòñÿ, òî ôîðìóëà (3) îïðåäåëÿåò ïîëóíîðìó ìàòðè- öû A . Ïðè H V E= = ôóíêöèÿ (3) îïðåäåëÿåò ñïåêòðàëüíóþ íîðìó ìàòðèöû A , ÷òî ñëåäóåò èç (4). Òåïåðü îïðåäåëèì ìàòðè÷íóþ íîðìó äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû [14]. Ïóñòü A n nÎ ´ Å — ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà è H n nÎ ´ Å — ñèììåòðè÷íàÿ ïî- ëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì rk HA rk AH rk A( ) ( ) ( )= = . (5) Íîðìó ìàòðèöû A îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| / / / A Ax x H AH H H x H H x EE= = ¹ ¹ + sup sup 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 x H x E E \|\| \|\| \|\|/ , (6) ãäå x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç Å n H( ) . Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íîðìà ìàò- ðèöû A çàäàåòñÿ ôîðìóëîé \|\| \|\| [ ( )]max / / /A H A HAHH EE EE = + +l 1 2 1 2 1 2T . (7) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 29 Ïóñòü A è B — êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäíîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé AHH A EE + = , HH B B EE + = , (8) ãäå H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\|AB A BH H H£ , (9) òàê ÷òî ôóíêöèÿ \|\| \|\|× H , îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëàìè (6), (7) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (5) è îäíîãî èç óñëîâèé (8) ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìàòðè÷íîé íîðìîé, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ (9). Îïðåäåëèì ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè ñèììåòðèçàòîðàìè [14]. Îïðåäåëåíèå 1. Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó U áóäåì íàçûâàòü ñèììåòðèçóåìîé ñëåâà èëè ñïðàâà ñ ïîìîùüþ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö M è N , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿ MU U M= T , rk MU rk U( ) ( )= ; UN NU= T , rk UN rk U( ) ( )= . (10) Â ðÿäå ðàáîò îïðåäåëÿëèñü ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû è èçó÷àëèñü èõ ñâîé- ñòâà. Â êà÷åñòâå ñèììåòðèçàòîðîâ, â îñíîâíîì, ðàññìàòðèâàëèñü ïîëîæèòåëü- íî-îïðåäåëåííûå ìàòðèöû, à â ðàáîòàõ [15, 16] èçó÷àëèñü H-ñèììåòðè÷íûå ìàò- ðèöû, ãäå H — ñèììåòðè÷íàÿ íåâûðîæäåííàÿ çíàêîíåîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Îïðåäåëåíèå 2. Ìàòðèöó Q, îïðåäåëåííóþ ðàâåíñòâîì Q HQ ET = , ãäå H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, áóäåì íàçûâàòü H-âçâåøåí- íîé îðòîãîíàëüíîé èëè îðòîãîíàëüíîé ñ âåñîì H . Îïðåäåëåíèå 3. Ìàòðèöó Q, îïðåäåëåííóþ ðàâåíñòâîì Q HQ I HT = ( ) , ãäå H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, I H( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ H , áóäåì íàçûâàòü H-âçâåøåííîé ïñåâäîîðòîãîíàëüíîé èëè ïñåâäî- îðòîãîíàëüíîé ñ âåñîì H . Â [17, 18] îïðåäåëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ìàòðèöà-ïðîèçâåäåíèå äâóõ ýð- ìèòîâûõ ìàòðèö áóäåò äèàãîíàëèçóåìîé (ìàòðèöåé ïðîñòîé ñòðóêòóðû). Ñôîð- ìóëèðóåì ýòîò ðåçóëüòàò â âèäå ëåììû äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñèììåòðè÷íûõ äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö. Ëåììà 1. Ïóñòü A è B — ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû, ïðè÷åì îäíà èç íèõ ïîëî- æèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ. Òîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû AB — äåéñòâè- òåëüíûå ÷èñëà, ïðè ýòîì ìàòðèöà AB èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó. ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ È ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ. ÂÀÐÈÀÍÒ I Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî äàëåå âàðèàíòà ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö èñïîëüçóåì óòâåðæäåíèÿ èç [5], êîòîðûå ñôîðìóëèðóåì â âèäå ëåìì. Ëåììà 2. Ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûì ñèììåò- ðèçàòîðîì H n nÎ ´ Å ìàòðèöà L n nÎ ´ Å ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ H HL L EE + = (11) ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ K-âçâåøåííîãî îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû U è K: U KU ET = , (12) ÷òî U KLU U HLUT T= =L L, , (13) à ìàòðèöà L ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå L U U K= L T , (14) ãäå K QD Q= 2 T ; Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãîíàëèçóåò ìàòðèöó H , ò.å. Q HQT = F , F = =DI H D i( ) ( )diag j , j j j1 2 0, , ..., r > , j jr n+ =1 0, ..., — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû H; r — ðàíã ìàòðèöû H , D = diag( , ...j1 30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 ..., , , ..., )j r 1 1 ; I H( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ H; ñòîëáöû ìàòðèöû U îáðàçó- þò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû L , à äèàãî- íàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû L ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûìè çíà- ÷åíèÿìè ìàòðèöû L . Ëåììà 3. Ïóñòü A m nÎ ´ Å , à B m mÎ ´ Å è C n nÎ ´ Å — ñèììåòðè÷íûå ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, U m mT Î ´ Å — íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé B BA A EE + = è AC C A EE + = ðàíãè ìàòðèö C A BA EE + T , AC A B EE + T , U BAC EE T +1 2/ è A ñîâïàäàþò; ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàò- ðèö C A BA EE + T è AC A B EE + T âåùåñòâåííûå è íåîòðèöàòåëüíûå. Òåîðåìà 1. Ïóñòü A m nÎ ´ Å — ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ B BA A EE + = , AC C A EE + = , (15) ãäå B B m m= Î ´T Å è C C n n= Î ´T Å — ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, òîãäà äëÿ ìàòðèöû A ñóùåñòâóþò âçâåøåííûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðè- öû U m mÎ ´ Å è W n nÎ ´ Å ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âå- ñàìè M m mÎ ´ Å è N n nÎ ´ Å òàêèå, ÷òî U BAW O mr m n m T diag åñëè = = £- S \|\| ( , , ..., , , ..., ) \|\| ,s s s1 2 0 0 n O m nr m n n , ( , , ..., , , ..., ) , , diag åñëè s s s1 2 0 0 - ³ ì í ïï î ï ï (16) è A U W N= S T . (17) Çäåñü r — ðàíã ìàòðèöû A ; ñòîëáöû ìàòðèöû U — îðòîíîðìèðîâàííûå âÅm M( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû AC A B EE + T ; ñòîëáöû ìàòðèöû W — îðòîíîðìèðî- âàííûå â Å n N( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû C A BA EE + T ; M K m m= Î ´ Å , N K n n= Î ´ Å , ìàòðèöà K îïðåäåëåíà â ëåììå 2, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü H B m m= Î ´ Å â ñëó÷àå ìàòðèöû M è H C n n= Î ´ Å â ñëó÷àå ìàòðèöû N ; s i , i r= ¼1, , , — êâàäðàòíûå êîðíè èç íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàò- ðèöû AC A B EE + T èëè C A BA EE + T ; O k l k lÎ ´ Å — íóëåâàÿ ìàòðèöà. Äîêàçàòåëüñòâî. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî m n£ (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íóæíî çàìåíèòü A íà A T ). Ðàññìîòðèì ìàòðèöó L AC A B EE = + T , êîòîðàÿ ñèìììåòðèçóåìà ñëåâà ñèììåòðèçàòîðîì B, ïîñêîëüêó äëÿ íåå âûïîëíÿþòñÿ äâà ïåðâûõ óñëîâèÿ èç (10), à â ñèëó ïåðâîãî ðàâåíñòâà â (15) — è óñëîâèå B BL L EE + = , ò.å. óñëîâèå (11) ëåììû 2. Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå 2 ìàòðèöà L ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ M -âçâåøåííîãî (M K m m= Î ´ Å ) îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû U è M , óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâó (12) ïðè K M= , è âûïîëíÿåòñÿ ðà- âåíñòâî (13) ïðè K M= , H B= U MLU U BLUT T= =L L, . (18) Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà L ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå, ïîñêîëüêó U M UT = -1 , òàê ÷òî U LU- =1 L. Ñîãëàñíî ëåììå 2 (ñì. (14)) ìàòðèöà L ïðåä- ñòàâëÿåòñÿ â âèäå L U U M= L T , ãäå M QD Q= 2 T ; Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãîíàëèçóåò ìàòðèöó Â , ò.å. Q BQT = F , F = =DI B D i( ) ( )diag j , j j j j j1 2 10 0, , ..., , , ...,r r n> =+ — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû Â; r — ðàíã ìàòðèöû Â, D r= diag( , ..., , , ..., )j j1 1 1 ; I Â( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ B; ñòîëáöû ìàòðèöû U îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåê- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 31 òîðîâ ìàòðèöû L , à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû L ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþ- ùèìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû L . Â ëåììå 3 îòìå÷åíî, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû L âåùåñòâåííûå è íåîòðèöàòåëüíûå è r rk A= ( ) . Îáîçíà÷èì èõ s i 2 , ãäå s s s1 2 0³ ³ ³ >K r , s sr m+ =1 0, ..., , r rk AC A B EE = +( )T . Â ñèëó ïåðâîãî è âòîðîãî ðàâåíñòâ â (18) èìååì (ñì. [5]) U BAC A BU EE T T+ = S 1 2 . Îïðåäåëèì ìàòðèöó Z U BAC EE = +T 1 2/ , òîãäà ZZ T = S 1 2 . Â [5] ïîêàçàíî, ÷òî \|\| \|\|zi E i= s , ïðè÷åì ïåðâûå r ñòðîê ìàòðèöû Z — íåíóëåâûå ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå âÅ n E( ) âåêòîðû z zr1 T T, ..., , à îñòàëüíûå ñòðîêè z z r m+1 T T, ..., ÿâëÿþòñÿ íóëåâûìè âåêòîðàìè. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó F C A BA EE = + T . Â ñèëó âòîðîãî óñëîâèÿ â (15) îíà ñèì- ìåòðèçóåìà ñëåâà ñèììåòðèçàòîðîì C, ïîñêîëüêó CC A BA A BA EE + =T T . Â ñèëó ðàâåíñòâà C CC C EE EE EE + + += äëÿ ýòîé ìàòðèöû âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå C CF F EE + = . Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå 2 ìàòðèöà F ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñ ïî- ìîùüþ N -âçâåøåííîãî îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû W è N , W NW ET = , ÷òî W NFWT = L , W CFWT = L . Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà F ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå, ïîñêîëüêó W N WT = -1 è W LW- =1 L . Ñîãëàñíî ëåììå 2 ìàòðèöà F ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå F W W N= L T , ãäå N QD Q= 2 T ; Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãîíà- ëèçóåò ìàòðèöó C, ò.å. Q CQT = F , F = =DI C D i( ) ( )diag j , j j j1 2 0, , ..., r > , j jr n+ =1 0, ..., — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû C; r — ðàíã ìàòðèöû C, D r= diag ( , ..., , , ..., )j j1 1 1 ; I C( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ C; ñòîëáöû ìàòðè- öû W îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû F , à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû L ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû F . Ïîñòðîèì âçâåøåííóþ îðòîãîíàëüíóþ â Å n N( ) ñèñòåìó âåêòîð-ñòðîê w wn1 T T, ..., . Îáîçíà÷èì w z N i ri i i T T= =- -s 1 1 2 1/ , , ..., . (19) Òîãäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ âçâåøåííîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èìååì ( , ) / /w w z N NN z z zi i N i i i i i i= =- - - -s s2 1 2 1 2 2T T , (20) à â ñèëó îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîé íîðìû âÅ n N( ) , ðàâåíñòâ (20) è \|\| \|\|zi E i= s ïîëó- ÷àåì \|\| \|\|wi N =1, i r=1, ..., . Ïðè÷åì î÷åâèäíî, ÷òî âåêòîðû wi T ïîïàðíî îðòîãîíàëü- íû â Å n N( ) , ïîñêîëüêó ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû âåêòîðû zi T â Å n E( ) . Òàêèì îáðà- çîì, èìååì âçâåøåííóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó âåêòîð-ñòðîê w i ri T , , ...,=1 . Â êà÷åñòâå w i r ni T , , ...,= +1 , âûáåðåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû F C A BA EE = + T , ñîîòâåòñòâóþùèå íóëåâîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ. Ðàíåå íà îñíîâàíèè ëåììû 2 îòìå÷àëîñü, ÷òî ýòè âåêòîðû îðòîíîðìèðîâàííûå âÅ n N( ) , ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû W è N , ÷òî W NW ET = , è îïðåäåëåíà ñòðóêòóðà ìàòðèöû N . Ïîêàæåì, ÷òî wi T , i r n= +1, ..., , ÿâëÿþòñÿ ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûìè ñ ïî- ñòðîåííûìè âûøå âåêòîð-ñòðîêàìè wi T , i r=1, ..., . Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ, ââå- äåííûå ðàíåå ïðè èññëåäîâàíèè ìàòðèöû F , ïîëó÷àåì C N Q Q QDQ Q DQ Q Q C1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /= = = =F F FT T T T . (21) 32 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 Ó÷èòûâàÿ âòîðîå ðàâåíñòâî â (15), êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð-ñòðîêè ìàò- ðèöû A ïðèíàäëåæàòÅ n C( ) , ò.å. óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (1) ïðè H C= , èìååì Z U BAC CC U BAC C C U BAC EE EE EE EE EE = = =+ + + + +T T T1 2 1 2 1 2/ / / , îòêóäà z C C zi EE i T T+ = . Îáîçíà÷èì w i ri T , , ...,=1 , à w j r nj T , , ...,= +1 , òîãäà â ñèëó ïîñëåäíåãî ðàâåí- ñòâà, à òàêæå ðàâåíñòâ C C C C EE + =1 2 1 2/ / , (21) è îïðåäåëåíèÿ âçâåøåííîãî ñêàëÿð- íîãî ïðîèçâåäåíèÿ èìååì ( , ) /w w z N Nwi j N i i j= =- -s 1 1 2T s i i EE jz C CN w- + =1 1 2T / = =- + -s si i EE j i i jz C C Cw z C w1 1 2 1 1 2T T/ / , ò.å. ( , ) /w w z C wi j N i i j= -s 1 1 2T , i r=1, ..., , j r n= +1, ..., . (22) Ïîñêîëüêó Fw wj j= l è C CF F EE + = , òî C CFw C Cw w EE j EE j j + += =l l , ò.å. íóëü-ïðîñòðàíñòâà ïðîåêöèîííîé ìàòðèöû C C EE + è ìàòðèöû F ñîâïàäàþò. Òîãäà ââèäó òîãî, ÷òî íóëü-ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö C 1 2/ è C C EE + òàêæå ñîâïàäàþò, â ñèëó (22) ñëåäóåò îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðîâ wi T è w j T . Ïóñòü W T — ìàòðèöà, ñòðîêàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû w wn1 T T, ..., , òîãäà W NW ET = . Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2 ìàòðèöà W áóäåò N -âçâå- øåííîé îðòîãîíàëüíîé. Èç (19) èìååì z w Ni i i T T= s 1 2/ è ìàòðèöó Z ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå Z W N= S T 1 2/ , (23) ãäå S Î ´ Å m n — ìàòðèöà âèäà S S= \|\| \|\|1 O , O m n mÎ ´ - Å ( ) — íóëåâàÿ ìàòðèöà, à ìàòðèöà S1 Î ´ Å m m , êàê îïèñàíî ðàíåå, îïðåäåëåíà ôîðìóëîé S 1 2 = +U BAC A BU EE T T . Ïîñêîëüêó Z U BAC EE = +T 1 2/ , â ñèëó (23) ñëåäóåò U BAC W N EE T T+ =1 2 1 2/ /S . (24) Àíàëîãè÷íî (21) íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî C N C C EE EE + +=1 2 1 2 1 2 1 2/ / / / . (25) Óìíîæèì ñïðàâà ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ðàâåíñòâà (24) íà N W1 2/ , ó÷òåì (25), âòîðîå ðàâåíñòâî â (15), ðàâåíñòâî W NW ET = è ïîëó÷èì U BAWT = S , ò.å. ôîðìóëó (16) ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöû A ê äèàãîíàëüíîìó âèäó. Òåïåðü óìíîæèì (24) ñëåâà íà U , à ñïðàâà — íà N 1 2/ . Ó÷èòûâàÿ (25) è âòîðîå ðàâåíñòâî â (15), ïîëó÷àåì UU BA U W NT T= S . (26) Íà îñíîâàíèè ïåðâîãî óñëîâèÿ â (15) è ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö B EE + è Â â îáîçíà÷åíèÿõ ëåììû 2, ãäå ïîëîæèì H B= , èìååì MA MB BA QD Q Q Q Q Q A QI B Q A EE EE = = = =+ +2 T T T TF F F( ) Q Q A BAF T = , ò.å. MA BA= . (27) Â ñèëó (27) è (12), ãäå ïîëîæèì K M= , èìååì UU BA UU MA AT T= = è (26) ïåðåïèøåì â âèäå A U W N= S T , ò.å. ïîëó÷èì ôîðìóëó (17). Òåïåðü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 1 îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ñòîëáöû N -âçâåøåííîé îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû W ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåê- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 33 òîðàìè ìàòðèöû C A BA EE + T . Ó÷èòûâàÿ (17), ïîëó÷àåì C A BA C NW U BU W N EE EE + +=T T T TS S . (28) Ïî àíàëîãèè ñ ðàâåíñòâîì (21) íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî C N C C EE EE + += . Òîã- äà, ïîñêîëüêó âåêòîð-ñòîëáöû ìàòðèöû W ïðèíàäëåæàòÅ n C( ) , èç (28) èìååì C A BA W P W N EE + =T T TS S , (29) ãäå P U BU= T . Êàê è ðàíåå, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãî- íàëèçóåò ñèììåòðèçàòîð B. Òîãäà â îáîçíà÷åíèÿõ ëåììû 2, ãäå ïîëîæèì H B= , èìååì P U BU U MM BU U MQD Q Q Q U U MQI B Q U= = = = =- -T T T T T T T1 2 F ( ) = -U QI B Q U1 ( ) T . Íà îñíîâàíèè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî P — ïðîåêöèîííàÿ ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó PS . Î÷åâèäíî, ÷òî rk P rk( ) ( )³ S è rk ( )S = = =+rk AC A B EE ( )T rk C A BA rk A EE ( ) ( )+ =T , ïîñêîëüêó íåíóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö AC A B EE + T è C A BA EE + T ñîâïàäàþò, òàê êàê ýòè ìàòðèöû ïîëó- ÷åíû â ðåçóëüòàòå ïåðåñòàíîâêè ìàòðèö-ñîìíîæèòåëåé. Òîãäà â ñèëó (29) íåíó- ëåâûå ñòîëáöû ìàòðèöû S íå ìîãóò ïðèíàäëåæàòü íóëü-ïðîñòðàíñòâó ìàòðèöû P, ñëåäîâàòåëüíî, PS S= è ðàâåíñòâî (29) ïåðåïèñûâàåì â âèäå C A BA W W N EE + =T TS 2 2 , (30) ãäå S 2 2 Î ´ Å n n è S 2 2 1 2 2 0 0= diag( , ..., , , ..., )s s r . Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, íåíóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö AC A B EE + T è C A BA EE + T ñîâïàäàþò, ñëåäîâàòåëüíî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû S 2 2 ÿâ- ëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû C A BA EE + T . Ïîñëå óìíîæåíèÿ ðàâåí- ñòâà (30) ñïðàâà íà W â ñèëó N -âçâåøåííîé îðòîãîíàëüíîñòè ìàòðèöû W ïîëó- ÷èì C A BAW W EE + =T S 2 2 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû W ÿâëÿþòñÿ ñîá- ñòâåííûìè âåêòîðàìè ìàòðèöû C A BA EE + T . Òåîðåìà 1 äîêàçàíà. Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû, äîêàçàííûå â òåîðåìå 1, ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû äëÿ ìàòðèöû A . Ïóñòü A m nÎ ´ Å , X n mÎ ´ Å , à B m mÎ ´ Å è C n nÎ ´ Å — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåí- íûå ìàòðèöû. Ðàññìîòðèì âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó äëÿ ìàòðèöû A , êîòî- ðàÿ â [19] îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòðèöà X A BC = + , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ÷åòûðåì óñëîâèÿì: AXA A= , XAX X= , ( )BAX BAXT = , ( )CXA CXAT = , (31) ò.å. ñëó÷àé, êîãäà ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðèçóåìû ñëåâà âûðîæäåííûìè ñèììåòðèçàòîðàìè B è C. Â [19] óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (31) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíåíèå óñëîâèé rk BA rk A AC C A EE ( ) ( ),= =+ . (32) Ïóñòü Ax f= , x nÎÅ , f mÎÅ (33) åñòü ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) ñ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöåé A m nÎ ´ Å . 34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 Îïðåäåëåíèå 4. Âåêòîð x + , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è: íàéòè min \|\| \|\| ( )x Ñ C n x Î ÇÅ W , W = Arg min \|\| \|\| x B n Ax f Î - Å , (34) ãäå B è C — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, áóäåì íàçûâàòü âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè B è C ñèñòåìû (33), ïîðîæäåííûì ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (31), (32). Çàìå÷àíèå 1. Â [19 ] ïîêàçàíî, ÷òî çàäà÷à (34) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå ïîëó÷åíî íà îñíîâå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (31), (32) è ïðàâîé ÷àñòüþ ñèñòåìû (33) ñîãëàñíî ôîðìóëå x A f BC + += . Çàìå÷àíèå 2. Èç (34) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð f ïðèíàäëåæèò íóëü-ïðîñòðàíñòâó ìàòðèöû B, çàäà÷à (34) áóäåò èìåòü íóëåâîå ðåøåíèå. Â äàëüíåéøåì âìåñòî âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû A BC + , îïðåäåëåí- íîé óñëîâèÿìè (31), (32), áóäåì ðàññìàòðèâàòü âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ìàò- ðèöó A BC + , îïðåäåëåííóþ óñëîâèÿìè (31), (15), ò.å. ïåðâîå óñëîâèå rk BA rk A( ) ( )= â (32) çàìåíèì áîëåå æåñòêèì óñëîâèåì B BA A EE + = . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî èç ïåð- âîãî óñëîâèÿ â (15) ñëåäóåò ïåðâîå óñëîâèå â (32), ïîýòîìó âñå ñâîéñòâà âçâåøåí- íîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (31), (32), áóäóò èìåòü ìåñòî äëÿ ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (31), (15), â òîì ÷èñëå, äëÿ ïîñëåä- íåé áóäåò ñïðàâåäëèâî çàìå÷àíèå 1. Òàêàÿ çàìåíà óñëîâèÿ â îïðåäåëåíèè âçâåøåí- íîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàç- ëîæåíèå ìàòðèöû A ïîëó÷åíî â òåîðåìå 1 ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (15). Ïóñòü S EE n m+ ´ÎÅ — ìàòðèöà, ïîëó÷åííàÿ èç S â (16) òðàíñïîíèðîâàíèåì è çàìåíîé ïîëîæèòåëüíûõ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ îáðàòíûìè âåëè÷èíàìè. Íå- ïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàòðèöà S EE + ÿâëÿåòñÿ ïñåâäî- îáðàòíîé ìàòðèöåé Ìóðà–Ïåíðîóçà äëÿ ìàòðèöû S , ò.å. óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì SS S S EE + = , S SS S EE EE EE + + += , ( )SS SS EE EE + +=T , ( )S S S S EE EE + +=T . Òåîðåìà 2. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèÿ- ìè (31), ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (15) èìååò ðàçëîæåíèå A W U B BC EE + += S T , (35) ãäå ìàòðèöû W, U , B îïðåäåëåíû â òåîðåìå 1, à ìàòðèöà S EE + — ïñåâäîîáðàò- íàÿ ìàòðèöà Ìóðà–Ïåíðîóçà äëÿ ìàòðèöû S èç (16). Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû óáåäèòüñÿ â óòâåðæäåíèè òåîðåìû 2, ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöà X A BC = + èç (3) óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå (31) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (15). Ó÷èòûâàÿ (27), ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö A â (17) è A BC + â (35), âçâåøåííûå îðòî- ãîíàëüíîñòè ñòîëáöîâ ìàòðèöûU â Åm M( ) è ìàòðèöû W â Å n N( ) , ïîëó÷àåì AA A AW U BA U W NW U MU W N BC EE EE + + += = =S S S ST T T T = =+U W N EE SS S T U W N AS T = , ò.å. ìàòðèöà A BC + óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó óñëîâèþ â (31). Â ñèëó îïèñàííûõ ñâîéñòâ è ðàçëîæåíèé ìàòðèö A è A BC + èìååì A AA BC BC + + = W U BAW U B EE EE S S+ + =T T W U MU W NW U B EE EE S S S+ + =T T T = = =+ + + +W U B W U B A EE EE EE BC S SS ST T , òàê ÷òî ìàòðèöà A BC + óäîâëåòâîðÿåò è âòîðîìó óñëîâèþ â (31). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 35 Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöû BAA BC + è CA A BC + ñèììåòðè÷íûå. Ó÷èòûâàÿ âçâåøåííóþ îðòîãîíàëüíîñòü ñòîëáöîâ ìàòðèöû W â Å n N( ) è ðàâåíñòâî ( )SS SS EE EE + +=T , ïîëó÷àåì BAA BU W NW U B BC EE + += =S ST T BU U B EE SS+ T , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî BAA BC + — ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà. Íàêîíåö, â ñèëó ðàâåíñòâà (27), ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû A BC + ñîãëàñíî ôîðìóëå (35), âòîðîãî óñëîâèÿ â (15) è îðòîãîíàëüíîñòè ñòîëáöîâ ìàòðèöûU â Åm M( ) èìååì CA A CW U BA BC EE + += =S T = + +CW U MU W NC C EE EE S ST T = + +C W W NC C EE EE S S T . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî NC C C EE + = , â ñèëó ÷åãî èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì CA A BC + = = +CW W C EE S S T , ò.å. óñòàíîâèëè, ÷òî CA A BC + — ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà. Êðîìå òîãî, èç ïåðâîãî óñëîâèÿ â (15) ñëåäóåò ïåðâîå óñëîâèå â (32), òàê ÷òî äëÿ ìàòðèöû èç (35) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (31), (32). Òåîðåìà 2 äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå 3. Ïîëó÷åííûå âçâåøåííûå ñèíãóëÿðíûå ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö è ïñåâäîîáðàòíûõ äëÿ íèõ ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëîæåíèé äëÿ ñëó÷àÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ âåñîâ [3]. Òàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå ïîëî- æèòåëüíî-îïðåäåëåííûõ âåñîâ óñëîâèÿ (32) çàâåäîìî âûïîëíÿþòñÿ, ìàòðèöû U è W ÿâëÿþòñÿ âçâåøåííûìè îðòîãîíàëüíûìè ñ âåñàìè B è C ñîîòâåòñòâåííî. ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ È ÂÇÂÅØÅÍÍÎÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ. ÂÀÐÈÀÍÒ II Ëåììà 4. Ñèììåòðèçóåìàÿ ñëåâà ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûì ñèììåòðè- çàòîðîì H EE n n+ ´ÎÅ ìàòðèöà L n nÎ ´ Å ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ HH L L EE + = (36) ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ S-âçâåøåííîãî îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû G è S : G SG ET = , (37) ÷òî G SLG G H LG EE T T= =+L L, , (38) à ìàòðèöà L ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå L G G S= L T , (39) ãäå S QD Q= -2 T ; Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãîíàëèçóåò ìàòðèöó H , ò.å. Q HQT = F , F = =DI H D i( ) ( )diag j , j j j1 2 0, , ... , r > , j jr n+ =1 0, ..., — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû H; r — ðàíã ìàòðèöû H , D = = diag( , ..., , , ..., )j j1 1 1r ; I H( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ H; ñòîëáöû ìàò- ðèöû G îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðè- öû L , à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû L ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû L . Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ (36) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ óêàçàííîé â ëåììå ñèì- ìåòðèçóåìîé ìàòðèöû L ñèììåòðèçàòîðîì H EE + âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå äëÿ ðàíãîâ ìàòðèö ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1. Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå ëåììû 1, ïîêàæåì, ÷òî ñèììåòðèçóåìàÿ âûðîæäåííûì ñèììåòðèçàòîðîì H ìàòðèöà L , óäîâëåòâîðÿþ- ùàÿ óñëîâèþ (36), äèàãîíàëèçóåìàÿ, ò.å. ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöó L ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäå- íèÿ ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàòðèöû è ñèììåòðè÷íîé ìàò- ðèöû. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ (36), òîãäà, èñïîëüçóÿ ñïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ ìàò- ðèö H è H EE + è îðòîãîíàëüíîñòü ìàòðèöû Q , ïîëó÷àåì 36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 L HH L Q Q Q Q L QI H Q L QD Q Q Q L EE EE EE = = = = =+ + +F F FT T T T T( ) 2 = =+ - +QD Q H L S H L EE EE 2 1T , ò.å. L S H L EE = - +1 , (40) ãäå S QD Q- =1 2 T — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, H L EE + — ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (36) â ñèëó ëåììû 1 ìàòðèöà L ÿâ- ëÿåòñÿ äèàãîíàëèçóåìîé. Ïîñêîëüêó H L EE + — ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà, L S H L EE = - +1 — ñèììåòðèçóåìàÿ ìàòðèöà ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûì ñèììåò- ðèçàòîðîì S . Ïóñòü G1 åñòü S-âçâåøåííàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ò.å. G SG E 1 1 T = . Îáîçíà÷èì ñèììåòðè÷íóþ ìàòðèöó W G SLG= 1 1 T . Èçâåñòíî [18], ÷òî äåéñòâèòåëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ñ ïîìîùüþ îáû÷íîãî îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïóñòü G2 — îðòîãîíàëü- íàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ìàòðèöó W ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, ò.å. G WG 2 2 T = = =G G SLG G 2 1 1 2 T T L , ãäå L = diag( )l i , l si WÎ ( ) . Îáîçíà÷èì G G G= 1 2 , òîãäà äëÿ G âûïîëíÿåòñÿ (37). Ñëåäîâàòåëüíî, G ÿâëÿåòñÿ S-âçâåøåííîé îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé è G SLGT = L , ò.å. èìååò ìåñòî ïåðâîå ðàâåíñòâî â (38), ãäå L = diag( )l i , l si WÎ ( ) . Âòîðîå ðàâåíñòâî â (38) ñëåäóåò èç ïåðâîãî è ðàâåíñòâà (40). Èç (37) èìååì G S GT = -1 , ñ ó÷åòîì ÷åãî èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà â (38) ïîëó- ÷èì (39). Â ñèëó ðàâåíñòâà G S GT = -1 è ïåðâîãî ðàâåíñòâà â (38) èìååì G LG- =1 L , ò.å. ìàòðèöà L ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïðîñòîé ñòðóêòóðû è, ñëåäîâàòåëü- íî [18], ñòîëáöû ìàòðèöû G îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû L , à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû L ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû L . Ëåììà 4 äîêàçàíà. Àíàëîãè÷íî ëåììå 3 äîêàçûâàåòñÿ ëåììà 5. Ëåììà 5. Ïóñòü A m nÎ ´ Å , à B m mÎ ´ Å è C n nÎ ´ Å — ñèììåòðè÷íûå ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, G m mT Î ´ Å — íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé B BA A EE + = è AC C A EE + = ðàíãè ìàòðèö CA B A EE T + , ACA B EE T + , G B AC EE T + è A ñîâïàäàþò; ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö CA B A EE T + è ACA B EE T + âåùåñòâåííûå è íåîòðèöàòåëüíûå. Òåîðåìà 3. Ïóñòü A m nÎ ´ Å — ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà è âûïîëíÿþòñÿ óñëî- âèÿ B BA A EE + = , AC C A EE + = , (41) ãäå B B m m= Î ´T Å è C C n n= Î ´T Å — ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàò- ðèöû, òîãäà äëÿ ìàòðèöû A ñóùåñòâóþò âçâåøåííûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû G m mÎ ´ Å è V n nÎ ´ Å ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè M m mÎ ´ Å è N n nÎ ´ Å òàêèå, ÷òî G B AV O EE r m n m T diag åñë + - = =S \|\| ( , , ..., , , ..., ) \|\| ,s s s1 2 0 0 è diag åñëè m n O m nr m n n £ ³ ì í ïï î - , ( , , ..., , , ..., ) , , s s s1 2 0 0 ï ï (42) è A G V N= S T . (43) Çäåñü r — ðàíã ìàòðèöû A ; ñòîëáöû ìàòðèöû G — îðòîíîðìèðîâàííûå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 37 â Åm M( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû ACA B EE T + ; ñòîëáöû ìàòðèöû V — îðòîíîðìèðîâàííûå â Å n N( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû CA B A EE T + ; M S m m= Î ´ Å , N S n n= Î ´ Å , ìàòðèöà S îïðåäåëåíà â ëåììå 4, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü H B m m= Î ´ Å â ñëó÷àå ìàòðèöû M è H C n n= Î ´ Å â ñëó÷àå ìàò- ðèöû N ; s i , i r= ¼1, , , — êâàäðàòíûå êîðíè èç íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà- ÷åíèé ìàòðèöû ACA B EE T + èëè CA B A EE T + ; O k l k lÎ ´ Å — íóëåâàÿ ìàòðèöà. Äîêàçàòåëüñòâî. Òåîðåìà 3 äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1. Ïîýòîìó ïðèâåäåì ñîêðàùåííûé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà, ò.å. åãî îñíîâíûå ñóùåñòâåííûå ýëåìåíòû. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî m n£ . Ðàññìîòðèì ìàò- ðèöó L ACA B EE = +T , êîòîðàÿ ñèìììåòðèçóåìà ñëåâà ñèììåòðèçàòîðîì B EE + . Â ñèëó ïåðâîãî ðàâåíñòâà â (41) è ðàâåíñòâà B B BB EE EE + += äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå BB L EE + = . Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå 4 ìàòðèöà L ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëü- íîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ M -âçâåøåííîãî (M S m m= Î ´ Å ) îðòîãîíàëüíîãî ïðåîá- ðàçîâàíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû G è M , óäîâëåòâîðÿ- þùèå ðàâåíñòâó G MG ET = , ÷òî G MLG G BLGT T= =L L, , (44) ãäå M QD Q= -2 T ; Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãîíàëèçóåò ìàòðèöó Â , ò.å. Q BQT = F , F = =DI B D i( ) ( )diag j , j j j1 2 0, , ..., r > , j jr n+ =1 0, ..., — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû Â ; r — ðàíã ìàòðèöû B, D r= diag( , ..., ,j j1 1 1, ..., ); I Â( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ B; ñòîëáöû ìàòðèöû G îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû L , à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû L ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû L. Â ëåììå 5 îòìå÷àëîñü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû L âåùåñòâåííûå è íåîòðèöàòåëüíûå, à r rk A= ( ) . Îáîçíà÷èì èõ s i 2 , ãäå s s s1 2 0³ ³ ³ >K r , s sr m+ =1 0, ..., , r rk ACA B EE = +( )T . Ïî àíàëîãèè ñ [5] â ñèëó ïåðâîãî è âòîðîãî ðà- âåíñòâ â (44) èìååìG B ACA B G EE EE T T+ + = S 1 2 . Îïðåäåëèì ìàòðèöó Z G B AC EE = +T 1 2/ , òîãäà ZZ T = S 1 2 è àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1 â [5] çàêëþ÷àåì, ÷òî \|\| \|\|zi E i= s è ïåðâûå r ñòðîê ìàòðèöû Z — íåíóëåâûå ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå â Å n E( ) âåêòîðû z zr1 T T, ..., , à îñòàëüíûå ñòðîêè z z r m+1 T T, ..., ÿâëÿþòñÿ íóëåâûìè âåêòîðàìè. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó F CA B A EE = +T . Â ñèëó âòîðîãî óñëîâèÿ â (41) îíà ñèì- ìåòðèçóåìà ñëåâà ñèììåòðèçàòîðîì C EE + , ïîñêîëüêó C CA B A A B A EE EE EE + + +=T T . Â ñèëó ðàâåíñòâà CC C C EE + = äëÿ ýòîé ìàòðèöû âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå CC F F EE + = . Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå 4 ìàòðèöà F ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîð- ìå ñ ïîìîùüþ N -âçâåøåííîãî îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöûV è N ,V NV ET = , ÷òîV NFVT = L,V CFVT = L . Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà F ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå, ïîñêîëüêó V N VT = -1 è V FV- =1 L . Ñîãëàñíî ëåììå 4 ìàòðèöà F ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå F V V N= L T , ãäå N QD Q= -2 T ; Q — îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ äèàãîíà- ëèçóåò ìàòðèöó C, ò.å. Q CQT = F, F = =DI C D i( ) ( )diag j , j j j1 2 0, , ..., r > , j jr n+ =1 0, ..., — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû C ; r — ðàíã ìàòðèöû C, D r= diag( , ..., , , ..., )j j1 1 1 ; I C( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ C ; ñòîëáöû ìàòðè- öûV îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû F , 38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû L ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííû- ìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû F . Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1 ñòðîèì â Å n N( ) îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó âåê- òîð-ñòðîê u si i iz N i rT T= =- -1 1 2 1/ , , ..., , ãäå N QD Q= -2 T â îòëè÷èå îò òåîðå- ìû 1. Â êà÷åñòâå u j j r nT , , ...,= +1 , âûáåðåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû F CA B A EE = +T , ñîîòâåòñòâóþùèå íóëåâîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ, è àíàëî- ãè÷íî òåîðåìå 1 óñòàíàâëèâàåì, ÷òî u j j r nT , , ...,= +1 , ÿâëÿþòñÿ ïîïàðíî îðòîãî- íàëüíûìè ñ âåêòîð-ñòðîêàìè u i i rT , , ...,=1 . Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ïî ñõåìå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 ïðèâåäóò ê óòâåðæäåíèÿì òåîðåìû 3. Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû, äîêàçàííûå â òåîðåìå 3, ïîëó÷àåì ðàçëîæå- íèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû äëÿ ìàòðèöû A . Ïóñòü A m nÎ ´ Å , X n mÎ ´ Å , à B m mÎ ´ Å è C n nÎ ´ Å — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåí- íûå ìàòðèöû. Äàëåå ðàññìîòðèì âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó äëÿ ìàòðèöû A, êîòîðàÿ â [20] îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòðèöà X A BC = + , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ÷åòûðåì óñëîâèÿì: AXA A= , XAX X= , ( )AXB AXBT = , ( )XAC XAÑT = , (45) ò.å. ñëó÷àé, êîãäà ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðèçóåìû ñïðàâà âûðîæäåííûìè ñèììåòðèçàòîðàìè B è C . Â [20] óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (45) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíåíèå óñëîâèé B BA A rk AC rk A EE + = =, ( ) ( ) . (46) Îïðåäåëåíèå 5. Âåêòîð x + , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è: íàéòè min \|\| \|\| ( )x C Cn EE EE x Î Ç+ + Å W , W = Arg min \|\| \|\| x B n EE Ax f Î - + Å , (47) ãäå B EE + è C EE + — ñèììåòðè÷íûå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, áóäåì íàçûâàòü âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè B EE + è C EE + ñèñòåìû (33), ïîðîæäåííûì ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (45), (46). Çàìå÷àíèå 4. Â [20] ïîêàçàíî, ÷òî çàäà÷à (47) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (45), (46) è ïðàâîé ÷àñòüþ ñèñòåìû (33) ñîãëàñ- íî ôîðìóëå x A f BC + += . Çàìå÷àíèå 5. Èç (47) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð f ïðèíàäëåæèò íóëü-ïðîñòðàíñòâó ìàòðèöû B EE + , çàäà÷à (47) áóäåò èìåòü íóëåâîå ðåøåíèå. Â äàëüíåéøåì âìåñòî âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû A BC + , îïðåäå- ëåííîé óñëîâèÿìè (45), (46), áóäåì ðàññìàòðèâàòü âçâåøåííóþ ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó A BC + , îïðåäåëåííóþ óñëîâèÿìè (45), (41), ò.å. âòîðîå óñëîâèå rk AC rk A( ) ( )= â (46) çàìåíèì áîëåå æåñòêèì óñëîâèåì AÑ C A EE + = . Ëåãêî óáå- äèòüñÿ, ÷òî èç âòîðîãî óñëîâèÿ â (41) ñëåäóåò âòîðîå óñëîâèå â (46), ïîýòîìó âñå ñâîéñòâà âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (45), (46), áóäóò èìåòü ìåñòî äëÿ ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (45), (41), â òîì ÷èñëå, äëÿ ïîñëåäíåé áóäåò ñïðàâåäëèâî çàìå÷àíèå 4. Òàêàÿ çàìåíà óñëîâèÿ â îïðåäåëåíèè âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû îáóñëîâëåíà òåì îáñòîÿ- òåëüñòâîì, ÷òî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A ïîëó÷åíî â òåî- ðåìå 3 ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (41). Òåîðåìà 4. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿ ìàòðèöû A ïðè âûïîë- íåíèè óñëîâèé (41) èìååò ðàçëîæåíèå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 39 A V G B BC EE EE + + += S T , (48) ãäå ìàòðèöû V , G , B îïðåäåëåíû â òåîðåìå 3, à ìàòðèöà S EE + — ïñåâäîîáðàò- íàÿ ìàòðèöà Ìóðà–Ïåíðîóçà äëÿ ìàòðèöû S èç (42). Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû óáåäèòüñÿ â óòâåðæäåíèè òåîðåìû 4, ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöà X A BC = + èç (48) óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå (45) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (41). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâ MB B B EE = + , NC C C EE = + . (49) Äåéñòâèòåëüíî, MB QD Q Q Q QD Q QI C Q= = = =- -2 2T T T TF F ( ) Q Q Q Q B B EE EE F F+ +=T T . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì âòîðîå ðàâåíñòâî â (49). Ó÷èòûâàÿ (49), ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö A è A BC + , ïðåäñòàâëåííûå ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëàìè (43) è (48), îðòîãîíàëüíîñòü ñòîëáöîâ ìàòðèöû G â Åm M( ) è V â Å n N( ) , ðàâåíñòâî SS S S EE + = , ïîëó÷àåì AA A G V NV G MG V N BC EE + += =S S ST T T = =G V N AS T , ò.å. ìàòðèöà A BC + óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó óñëîâèþ â (45). Â ñèëó îïèñàííûõ ðàíåå ñâîéñòâ ìàòðèö G è V , ðàçëîæåíèé ìàòðèö A è A BC + è ðàâåíñòâà S SS S EE EE EE + + += èìååì A AA BC BC + + = V G MG V NV G M V G M A EE EE EE BC S S S S+ + + += =T T T T , òàê ÷òî ìàòðèöà A BC + óäîâëåòâîðÿåò è âòîðîìó óñëîâèþ â (45). Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöû BAA BC + è CA A BC + ñèììåòðè÷íûå. Îòìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó B BL L EE + = è C CF F EE + = , èìååì B BG G EE + = , C CV V EE + = , (50) òàê êàê ñòîëáöû ìàòðèö G è V — ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñîîòâåòñòâåííî ìàò- ðèö L è F . Ó÷èòûâàÿ ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö A è A BC + , îðòîãîíàëüíîñòü ñòîëáöîâ ìàòðèöû V â Å n N( ) è ïåðâûå ðàâåíñòâà â (49), (50), ïîëó÷àåì AA B G V NV G MB G G MB G G B B G BC EE EE EE EE + + + + += = = =S S SS SS SST T T T EE G+ T , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî AA B BC + — ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà. Íàêîíåö, â ñèëó âòîðûõ ðàâåíñòâ â (49), (50), ðàçëîæåíèé ìàòðèö A è A BC + , à òàêæå îðòîãîíàëüíîñòè ñòîëáöîâ ìàòðèöû G â Åm M( ) èìååì A AC BC + = = = =+ +V G MG V NC V V NC EE EE S S S ST T T V V C C V V EE EE EE S S S S+ + +=T T , ò .å . óñòàíîâèëè, ÷òî A AC BC + — ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà. Êðîìå òîãî, èç âòîðîãî óñëîâèÿ â (41) ñëåäóåò âòîðîå óñëîâèå â (46), òàê ÷òî äëÿ ìàòðèöû èç (48) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (45), (46). Òåîðåìà 4 äîêàçàíà. ÐÀÇËÎÆÅÍÈß Â ÐßÄÛ È ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ Â ðàáîòå [5] íà îñíîâàíèè ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷- íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (31), (15). 40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü íà îñíîâàíèè òåîðåìû 4 ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (45), (41). Òåîðåìà 5. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n¹ Î ´0 Å , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m mÎ ´ Å è C n nÎ ´ Å , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (41), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0< < ¥d èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿ- ìè (45), (41), â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû: A CA B B ACA B E B BC k EE EE EE k EE + - + + + - += +d d1 1 2 1 2 1 2 1T T/ / / /( ) 2 1k= ¥ å = = + =- = ¥ + - +å d dk k EE k EE CA B A E CA B1 1 ( )T T = + =- + = ¥ + -å d dk EE k EE kCA B ACA B E1 1 T T( ) d dk k EE k EE C A B AC E A B- = ¥ + - +å + =1 1 ( )T T = + =- = ¥ + - +å d dk k EE k EE C C A B AC E C A B1 1 2 1 1 2 1 2 1 2/ / / /( )T T = +- = ¥ + - +å d dk k EE k EE CA B ACA E B1 1 T T( ) , ïðè÷åì \|\| \|\| ( ) , * /A A BC p C Â p p EE + + - -- £ ++d s d d s1 2 1 2 , (51) ãäå A CA B B ACA B E p k EE k p EE EE k d d d , / / /( )+ - + = + + -= +å 1 1 2 1 1 2 1 2T T B p EE + =1 2 1 2/ , , , .. ., s — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû S èç (42). Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 5 àíàëîãè÷íî [5] èìååì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâå- øåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå: A E CA B A E CA B A E BC EE k EE k k+ + - = ¥ + -= + + +Õ { ( ) }( )( )d d d2 2 0 1T T CA B EE T + . (52) Îáîçíà÷èì A E CA B A E CA B A E n EE k n EE k k d d d d , ( ){ ( ) }(+ + - = - += + + +Õ 2 2 0 1 T T )- +1CA B EE T , n = ¼1 2, , Òîãäà â ñèëó (52) è îïðåäåëåíèÿ A nd, + èìååì \|\| \|\| ( ) , * * ( ) /A A BC n C BEE n n+ + - -- £ ++d s d d s1 2 1 2 2 2 . (53) ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÇÀÄÀ× Èç îöåíêè (51) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî p = ¼1 2, , èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëü- íîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû: A CA B A E CA B BC k k p EE k EE + ®+ - = + - += +ålim ( ) d d d 0 1 1 T T , (54) à èç îöåíêè (53) äëÿ ëþáîãî n = ¼1 2, , èìååì A E CA B A E CA B BC EE k n E k k+ ®+ + - = - = + +Õlim { ( ) }(( ) d d d 0 2 2 0 1 T T E EE A E CA B+ - ++ d ) 1 T . (55) Èç ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé (54), (55) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö ñëåäóåò, ÷òî íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 41 âû÷èñëÿòü ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííûì ïñåâäîîáðàòíûì ìàòðèöàì. Îöåíêè áëè- çîñòè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé îïðåäå- ëåíû ôîðìóëàìè (51), (53). Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (54) ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (33): ( ) ( )CA B A E x CA B A E CA B EE p m k k p EE p m k E T T T+ - - = + - -+ = +åd d d1 1 E f+ , (56) m p= 0 1, , ... , . Â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷èì ( ) ( )CA B A E x CA B A E CA B f EE p k k p EE p k EE T T T+ - = + - ++ = +åd d d1 1 ïðè m = 0, ( ) ( )CA B A E x CA B A E CA B f EE k k p EE k EE T T T+ - = + - ++ = +åd d d1 1 1 ïðè m p= -1, x CA B A E CA B fk k p EE k EE = +- = + - +å d d1 1 ( )T T ïðè m p= . Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 6. Ïóñòü x + — ðåøåíèå çàäà÷è (47), à x pd, — ðåøåíèå îäíîé èç ñèñòåì (56), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, * * x x fp C p p BEE EE + - -- £ ++ +d s d d s1 2 , ãäå s * îïðåäåëåí â òåîðåìå 5. Íà îñíîâàíèè (55) èìååì ñëåäóþùèå ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è äëÿ íàõîæ- äåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (33): ( ) {( )CA B A E x CA B A E EE n m EE n m k n T T+ - + - - = - + = + +Õd d 1 0 1 + ++ - - - +d d2 2 1k k CA B A E CA B f EE n m EE ( ) }( )T T , m n= 0 1, , ..., . (57) Òåîðåìà 7. Ïóñòü x + — ðåøåíèå çàäà÷è (47), à x nd, — ðåøåíèå îäíîé èç ñèñòåì (57), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, * * ( )x x fn C BEE n n EE + - -- £ ++ +d s d d s1 2 2 2 . Çàìå÷àíèå 6. Èç (56) è (57) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð f ïðèíàäëå- æèò íóëü-ïðîñòðàíñòâó ìàòðèöû B EE + , ýòè çàäà÷è áóäóò èìåòü íóëåâîå ðåøåíèå. Îòìåòèì, ÷òî ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè äëÿ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäî- ðåøåíèé ÑËÀÓ è äëÿ âû÷èñëåíèÿ L-ïñåâäîðåøåíèé èññëåäîâàí ñîîòâåòñòâåííî â [21, 22]. Â [23] îïèñàíà ðàñøèðåííàÿ ðåãóëÿðèçîâàííàÿ çàäà÷à äëÿ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ÑËÀÓ. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíî è èññëåäîâàíî äâà âàðèàíòà âçâåøåííûõ ñèí- ãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ñ èñïîëüçîâàíèåì âçâå- øåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Îïðåäåëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâà- íèÿ ïîñòðîåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö. Íà îñíîâàíèè âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèÿõ ìàòðèö äàíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò- íûõ äëÿ íèõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñîâûìè ìàòðèöà- ìè. Ïîêàçàíî, ÷òî ïîëó÷åííûå ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè îáîñíîâàíèè èõ ðàçëîæåíèé â ìàòðè÷íûå ñòå- 42 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 ïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Îïðåäåëåíî ïðèìåíåíèå ýòèõ ðàçëîæåíèé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ô î ð ñ à é ò Ä æ . , Ì î ë å ð Ê . ×èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå- íèé. — Ì.: Ìèð, 1969. — 168 ñ. 2. V a n L o a n C . F . Generalizing the singular value decomposition // SIAM J. Numer. Anal. — 1976. — 13, N 1. — P. 76–83. 3. Ã à ë á à Å . Ô . Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö // Óêð. ìàò. æóðí. — 1996. — 48, ¹ 10. — Ñ. 1426–1430. 4. Ë î ó ñ î í × . , Õ å í ñ î í Ð . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 232 ñ. 5. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2012. — 52, ¹ 12. — Ñ. 2115–2132. 6. Õ è ì è ÷ À . Í . Îöåíêè âîçìóùåíèé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ // Êèáåðíåòè- êà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 3. — Ñ. 142–145. 7. Õ è ì è ÷ À . Í . , Í è ê î ë à å â ñ ê à ÿ Å . À . Àíàëèç äîñòîâåðíîñòè êîìïüþòåðíûõ ðåøåíèé ñèñ- òåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ïðèáëèæåííî çàäàííûìè èñõîäíûìè äàííûìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 83–95. 8. Í è ê î ë à å â ñ ê à ÿ Å . À . , Õ è ì è ÷ À . Í . Îöåíêà ïîãðåøíîñòè âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2009. — 49, ¹.3. — Ñ. 422–430. 9. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîãî èç âàðèàíòîâ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæ- äåííûìè âåñàìè // Äîêë. ÐÀÍ. — 2014. — 455, ¹ 3. — Ñ. 261–264. 10. M o o r e E . H . On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstract. Bull. Amer. Math. Soc. 1920. — 26. — P. 394–395. 11. P e n r o s e R . A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1955. — 51, N 3. — P. 406–413. 12. À ë á å ð ò À . Ðåãðåññèÿ, ïñåâäîèíâåðñèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå.— Ì.: Íàóêà, 1975. — 223 ñ. 13. Ã à ë á à Å . Ô . , Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëå- íèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì- íûé àíàëèç. — 1999. — ¹ 5. — Ñ. 150–169. 14. Ã à ë á à Å . Ô . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøå- íèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1999. — 39, ¹ 6. — Ñ. 882–896. 15. L a n c a s t e r P . , R o z s a P . Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. angew. Math. und Mech. — 1984. — 64, N 9. — S. 439–441. 16. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Îá àëãåáðàè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êëàññîâ ïñåâäîïåðåñòàíîâî÷íûõ è Í-ñàìî- ñîïðÿæåííûõ ìàòðèö // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1992. — 32, ¹ 8. — Ñ. 155–169. 17. È ê ð à ì î â Õ . Ä . Çàäà÷íèê ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 320 ñ. 18. Õ î ð í Ð . , Ä æ î í ñ î í × . Ìàòðè÷íûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1989. — 656 ñ. 19. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû è âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìà- òèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2009. — 49, ¹.8. — Ñ. 1347–1363. 20. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåí- íîñòè â òåîðèè âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñ- òåìíûé àíàëèç. — 2011. — ¹ 1. — Ñ. 14–33. 21. Ò è õ î í î â À . Í . , À ð ñ å í è í Â . ß . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 288 ñ. 22. Ì î ð î ç î â Â . À . Ðåãóëÿðíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. — Ì.: Íàó- êà, 1987. — 240 ñ. 23. Æ ä à í î â À . È . Ìåòîä ðàñøèðåííûõ ðåãóëÿðèçîâàííûõ íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé // Æóðí. âû- ÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2012. — 52, ¹ 2. — Ñ. 205–208. Ïîñòóïèëà 22.09.2014 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 43

Взвешенное сингулярное разложение матриц с вырожденными весами на основе взвешенных ортогональных преобразований

Institution

Ähnliche Einträge