О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств
Вводится понятие физического решения (на конечном интервале времени), основанного на естественных энергетических равенствах и непрерывной зависимости функций состояния в фазовом пространстве от временной переменной для классов автономных эволюционных вариационных неравенств на выпуклых конусах с нел...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124840 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 90-98. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124840 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Касьянов, П.О. 2017-10-06T19:09:48Z 2017-10-06T19:09:48Z 2015 О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 90-98. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124840 517.9 Вводится понятие физического решения (на конечном интервале времени), основанного на естественных энергетических равенствах и непрерывной зависимости функций состояния в фазовом пространстве от временной переменной для классов автономных эволюционных вариационных неравенств на выпуклых конусах с нелинейными немонотонными (в общих случаях) отображениями. Для приближенного поиска таких решений используется классический метод штрафа. Для полученных решений обосновывается возможность глобального описания поведения таких систем в естественном фазовом пространстве относительно топологии сильной сходимости с помощью конечных алгоритмов (с точностью до малого параметра). Вводиться поняття фізичного розв’язку (на скінченному інтервалі часу), що базується на природних енергетичних нерівностях та неперервній залежності функцій стану в фазовому просторі від часової змінної для класів автономних еволюційних варіаційних нерівностей на опуклих конусах з нелінійними немонотонними (у загальному випадку) відображеннями. Для отриманих розв’язків обґрунтовується можливість глобального опису поведінки таких систем в природному фазовому просторі відносно топології сильної збіжності за допомогою скінченних алгоритмів (з точністю до малого параметра). The concept of physical solution (on a finite time interval) is introduced. This concept is based on the natural energy equalities and continuous dependence of the state functions on the time variable in the phase space for classes of autonomous evolutionary variational inequalities on convex cones with non-linear non-monotonic (in the general case) maps. We use the classical penalty method for the approximate search of such solutions. For this solutions we justify the possibility of a global description of the behavior of such systems in the natural phase space in the topology of strong convergence, by using finite algorithms (up to a small parameter). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств Про існування сильно неперервних фізичних розв’язків класів автономних еволюційних варіаційних нерівностей On the existence of strongly continuous physical solutions for classes of autonomous evolutionary variational inequalities Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств |
| spellingShingle |
О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств Касьянов, П.О. Системный анализ |
| title_short |
О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств |
| title_full |
О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств |
| title_fullStr |
О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств |
| title_full_unstemmed |
О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств |
| title_sort |
о существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств |
| author |
Касьянов, П.О. |
| author_facet |
Касьянов, П.О. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про існування сильно неперервних фізичних розв’язків класів автономних еволюційних варіаційних нерівностей On the existence of strongly continuous physical solutions for classes of autonomous evolutionary variational inequalities |
| description |
Вводится понятие физического решения (на конечном интервале времени), основанного на естественных энергетических равенствах и непрерывной зависимости функций состояния в фазовом пространстве от временной переменной для классов автономных эволюционных вариационных неравенств на выпуклых конусах с нелинейными немонотонными (в общих случаях) отображениями. Для приближенного поиска таких решений используется классический метод штрафа. Для полученных решений обосновывается возможность глобального описания поведения таких систем в естественном фазовом пространстве относительно топологии сильной сходимости с помощью конечных алгоритмов (с точностью до малого параметра).
Вводиться поняття фізичного розв’язку (на скінченному інтервалі часу), що базується на природних енергетичних нерівностях та неперервній залежності функцій стану в фазовому просторі від часової змінної для класів автономних еволюційних варіаційних нерівностей на опуклих конусах з нелінійними немонотонними (у загальному випадку) відображеннями. Для отриманих розв’язків обґрунтовується можливість глобального опису поведінки таких систем в природному фазовому просторі відносно топології сильної збіжності за допомогою скінченних алгоритмів (з точністю до малого параметра).
The concept of physical solution (on a finite time interval) is introduced. This concept is based on the natural energy equalities and continuous dependence of the state functions on the time variable in the phase space for classes of autonomous evolutionary variational inequalities on convex cones with non-linear non-monotonic (in the general case) maps. We use the classical penalty method for the approximate search of such solutions. For this solutions we justify the possibility of a global description of the behavior of such systems in the natural phase space in the topology of strong convergence, by using finite algorithms (up to a small parameter).
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124840 |
| citation_txt |
О существовании сильно непрерывных физических решений классов автономных эволюционных вариационных неравенств / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 90-98. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kasʹânovpo osuŝestvovaniisilʹnonepreryvnyhfizičeskihrešeniiklassovavtonomnyhévolûcionnyhvariacionnyhneravenstv AT kasʹânovpo proísnuvannâsilʹnoneperervnihfízičnihrozvâzkívklasívavtonomnihevolûcíinihvaríacíinihnerívnostei AT kasʹânovpo ontheexistenceofstronglycontinuousphysicalsolutionsforclassesofautonomousevolutionaryvariationalinequalities |
| first_indexed |
2025-11-24T04:25:44Z |
| last_indexed |
2025-11-24T04:25:44Z |
| _version_ |
1850841464864505856 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Ï.Î. ÊÀÑÜßÍÎÂ
Î ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÈ ÑÈËÜÍÎ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÕ
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÊËÀÑÑΠÀÂÒÎÍÎÌÍÛÕ
ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÛÕ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ
Àííîòàöèÿ. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ôèçè÷åñêîãî ðåøåíèÿ (íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè),
îñíîâàííîãî íà åñòåñòâåííûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ðàâåíñòâàõ è íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè
ôóíêöèé ñîñòîÿíèÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå îò âðåìåííîé ïåðåìåííîé äëÿ êëàññîâ àâòî-
íîìíûõ ýâîëþöèîííûõ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ íà âûïóêëûõ êîíóñàõ ñ íåëèíåéíûìè
íåìîíîòîííûìè (â îáùèõ ñëó÷àÿõ) îòîáðàæåíèÿìè. Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ïîèñêà òàêèõ ðå-
øåíèé èñïîëüçóåòñÿ êëàññè÷åñêèé ìåòîä øòðàôà. Äëÿ ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé îáîñíîâûâà-
åòñÿ âîçìîæíîñòü ãëîáàëüíîãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ òàêèõ ñèñòåì â åñòåñòâåííîì ôàçîâîì
ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè ñèëüíîé ñõîäèìîñòè ñ ïîìîùüþ êîíå÷íûõ àëãîðèò-
ìîâ (ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà).
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýâîëþöèîííîå âàðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî, ôèçè÷åñêîå ðåøåíèå, ýíåð-
ãåòè÷åñêîå ðàâåíñòâî, ñèëüíàÿ íåïðåðûâíîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðè èññëåäîâàíèè îäíîñòîðîííèõ çàäà÷, çàäà÷ íà ìíîãîîáðàçèè, ïðîáëåì ïîëó-
ïðîíèêíîâåíèÿ, ïðè àíàëèçå è óïðàâëåíèè ïðîöåññàìè è ïîëÿìè ðàçíîé ïðèðîäû
íà ãðàíèöå îáëàñòè âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðàññìîòðåíèÿ ýâîëþöèîííûõ âàðèà-
öèîííûõ íåðàâåíñòâ ñ íåëèíåéíûìè íåìîíîòîííûìè îïåðàòîðàìè â áåñêîíå÷íî-
ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Äëÿ îïèñàíèÿ ôóíêöèé ñîñòîÿíèÿ òàêèõ îáúåêòîâ åñòåñ-
òâåííûì îáðàçîì ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ ñèëüíûõ è ñëàáûõ ðåøåíèé. Ñèëüíîå ðåøå-
íèå íå âñåãäà àäåêâàòíî îïèñûâàåò ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, ïîñêîëüêó â áîëüøèíñòâå
ñëó÷àåâ òàêèå êëàññû ðåøåíèé íå äîïóñêàþò ýôôåêòîâ «îáðûâà», îäíîñòîðîííåãî
ïîëóïðîíèêíîâåíèÿ, ò.å. ÿâëÿþòñÿ ñëèøêîì ðåãóëÿðíûìè äëÿ àäåêâàòíîãî îïèñà-
íèÿ ñîñòîÿíèé èññëåäóåìûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé. Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ
ñèëüíûõ ðåøåíèé (îñîáåííî äëÿ óðàâíåíèé ñ íåìîíîòîííûìè çàêîíàìè ðåàêöèè)
ïðîáëåìàòè÷íî. Ïîíÿòèå ñëàáîãî ðåøåíèÿ ñëèøêîì øèðîêîå (òàêîå ðåøåíèå íå
âñåãäà àäåêâàòíî îïèñûâàåò ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ, ò.å. ôîðìàëüíî òàêîé êëàññ ðå-
øåíèé ìîæåò âêëþ÷àòü íå òîëüêî ôèçè÷åñêèå ðåøåíèÿ) è ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿ íå-
äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíûì äëÿ âîçìîæíîñòåé àäåêâàòíîé ðåàëèçàöèè ÷èñëåííîãî
àíàëèçà èññëåäóåìûõ ïðîáëåì. Îòìåòèì, ÷òî ñèëüíîå ðåøåíèå ýâîëþöèîííîãî
âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì. Âîçíèêàåò
íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ íîâîãî, ïðîìåæóòî÷íîãî êëàññà «ôèçè÷åñêèõ ðåøåíèé»
òàêèõ çàäà÷, êîòîðûå äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü åñòåñòâåííûì ýíåðãåòè÷åñêèì ðàâåí-
ñòâàì, ñ îäíîé ñòîðîíû, à ñ äðóãîé — îáåñïå÷èâàòü âîçìîæíîñòü îáîñíîâàíèÿ
êîíñòðóêòèâíûõ (è ïðè ýòîì ôèçè÷åñêèõ) ìåòîäîâ èõ ñóùåñòâîâàíèÿ (íàïðèìåð,
ìåòîä èñêóññòâåííîé âÿçêîñòè äëÿ çàäà÷ êëàññè÷åñêîé ãèäðîàýðîìåõàíèêè â íå-
ñæèìàåìîé ñïëîøíîé ñðåäå).
 äàííîé ðàáîòå äëÿ êëàññîâ àâòîíîìíûõ ýâîëþöèîííûõ âàðèàöèîííûõ íåðà-
âåíñòâ ñ íåëèíåéíûìè íåìîíîòîííûìè (â îáùèõ ñëó÷àÿõ) îòîáðàæåíèÿìè íà âû-
ïóêëûõ êîíóñàõ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ôèçè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå
âðåìåíè. Ýòî ïîíÿòèå îñíîâûâàåòñÿ íà åñòåñòâåííûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ðàâåíñòâàõ è
íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ôóíêöèé ñîñòîÿíèÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå îò âðåìåí-
íîé ïåðåìåííîé. Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ïîèñêà ôèçè÷åñêèõ ðåøåíèé èñïîëüçóåòñÿ
êëàññè÷åñêèé ìåòîä øòðàôà. Äëÿ ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ
ðàáîò [1, 2] îáîñíîâûâàåòñÿ âîçìîæíîñòü ãëîáàëüíîãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ òàêèõ
ñèñòåì â åñòåñòâåííîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè ñèëüíîé ñõî-
äèìîñòè ñ ïîìîùüþ êîíå÷íûõ àëãîðèòìîâ (ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà).
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
© Ï.Î. Êàñüÿíîâ, 2015
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Äëÿ ýâîëþöèîííîé òðîéêè ( ; ; )V H V * íåëèíåéíîãî (â îáùåì ñëó÷àå) îòîáðà-
æåíèÿ A V V: ® * è âûïóêëîãî çàìêíóòîãî êîíóñà K VÍ ðàññìàòðèâàåòñÿ çà-
äà÷à èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ïðè t ® + ¥ , â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå H âñåõ ôè-
çè÷åñêèõ ðåøåíèé y V: R + ® , y t K( ) Î äëÿ ï.â. t > 0, àâòîíîìíîãî ýâîëþöèîí-
íîãî âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà
á ¢ + - ñ ³y t A y t y t V( ) ( ( )), ( )u 0 äëÿ âñåõ u ÎK, äëÿ ï.â. t > 0, (1)
ãäå ïàðàìåòðû çàäà÷è óäîâëåòâîðÿþò òàêèì óñëîâèÿì.
Ïðåäïîëîæåíèå 1. p ³ 2, q >1:
1 1
1
p q
+ = , âëîæåíèå V â H êîìïàêòíîå.
Ïðåäïîëîæåíèå 2. $ >c 0 : | | ( ) || ( | | || )A u c u
V V
p
* £ + -1 1 " Îu V .
Ïðåäïîëîæåíèå 3. $ >a b, 0 : á ñ ³ -A u u uV V
p( ), || ||a b " Îu V .
Ïðåäïîëîæåíèå 4. A V V: ® * — ïñåâäîìîíîòîííûé îïåðàòîð, óäîâëåòâîðÿþ-
ùèé (S)-ñâîéñòâó, ò.å. èç òîãî, ÷òî u un ® ñëàáî â V è lim ( ),
n
n n VA u u u
®+¥
á - ñ £ 0,
ñëåäóåò, ÷òî u un ® â V è lim ( ), ( ),
n
n n V VA u u A u u
®+¥
á - ñ ³ á - ñw w " Îw V .
Ïðåäïîëîæåíèå 5. K VÍ — âûïóêëûé çàìêíóòûé êîíóñ, òàêîé, ÷òî
intV K
s s ¹ /0, ãäå V Vs Í — äåéñòâèòåëüíîå ðåôëåêñèâíîå ñåïàðàáåëüíîå áàíàõî-
âî ïðîñòðàíñòâî, íåïðåðûâíî è ïëîòíî âëîæåííîå â V , K K Vs s:= Ç .
Çäåñü á × × ñ ´ ®*, :V V V R — ñïàðèâàíèå â V V* ´ , ñîâïàäàþùåå íà H V´ ñî
ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )× × â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H . Îòìåòèì, ÷òî
Vs
* — ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî ñ Vs îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêîãî ñïàðèâàíèÿ
á × × ñ ´ ®*, :V V V
s s s R , ñîâïàäàþùåãî íà H V´ s ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
( , )× × â H . Òîãäà ïîëó÷èì öåïî÷êó òàêèõ íåïðåðûâíûõ è ïëîòíûõ âëîæåíèé:
V V H V Vs sÌ Ì Ì Ì* * .
Ïóñòü 0 £ < < + ¥t T . Ïîëîæèì K y L T V y t KT pt t, : ( , ; ) : ( )= Î Î{ äëÿ ï.â.
t TÎ( , )t } . Ïîä ôèçè÷åñêèì ðåøåíèåì ýâîëþöèîííîãî âàðèàöèîííîãî íåðàâåí-
ñòâà (1) íà îòðåçêå [ , ]t T ïîíèìàåì ýëåìåíò y ïðîñòðàíñòâà K C T HTt t, ([ , ]; )Ç
òàêîé, ÷òî
- ¢ + á ñ ³ " Îò ò
¥( ( ), ( )) ( ( )), ( ) ([
t t
x x x t
T T
Vt y t dt A y t t dt C0 0 , ]; ) ,T V K TÇ t , (2)
|| ( ) || || ( ) || ( ( )), ( )y t y t A y t y t dt
H H
t
t
V2
2
1
2 2 0
1
2
- + á ñ = "ò t t T1 2, [ , ]Î t . (3)
Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå ôèçè÷åñêîãî ðåøåíèÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì îñëàáëÿ-
åò ïîíÿòèå ñèëüíîãî ðåøåíèÿ îäíîñòîðîííåé çàäà÷è (1). Ïîíÿòèå ôèçè÷åñêîãî
ðåøåíèÿ — ýòî ñëàáîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì êàê
îòîáðàæåíèå èç èíòåðâàëà âðåìåíè [ , ]t T â ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî H è óäîâëåòâî-
ðÿåò ýíåðãåòè÷åñêîìó ðàâåíñòâó (3). Êîíå÷íî, êàæäîå ñèëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è
(1) ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêèì ðåøåíèåì òàêîé çàäà÷è. Ïðè ýòîì â ïðåäïîëîæåíèÿõ
1–5 íà äàííûé ìîìåíò èçâåñòåí òîëüêî ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ñëàáûõ ðåøåíèé.
ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ È ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÐÅØÅÍÈÉ
 äàííîì ðàçäåëå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà øòðàôà óñòàíîâèì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ôè-
çè÷åñêèõ ðåøåíèé çàäà÷è (1) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ èç K. Ïîëó÷åí-
íûå ðåçóëüòàòû áóäóò ïðèìåíåíû ïðè èññëåäîâàíèè äèíàìèêè ïðîöåññîâ è ïîëåé
ðàçíîé ïðèðîäû ñ îäíîñòîðîííèìè îãðàíè÷åíèÿìè â ïîñëåäóþùèõ ñåêöèÿõ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 91
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ 0 £ < < +¥t T ðàññìîòðèì
X L T V X L T V W y X y XT p T q T Tt t t t tt t, , , ,( , ; ), ( , ; ), := = = Î ¢ Î* * { ,T
* } ,
A At t t t, , , ,: , ( ( )) ( ) ( ( ))T T T TX X y t A y t® =* äëÿ ï.â. t TÎ( , )t ,
Y L T V W y X y YT T T Tt s s t s t t st, , , , , , ,( , ; ), := = Î ¢ Î*
1 { } ,
ãäå ¢y — ïðîèçâîäíàÿ ýëåìåíòà y X TÎ t , â ñìûñëå ïðîñòðàíñòâà ðàñïðåäåëå-
íèé D ([ , ]; )t T V * (ñì., íàïðèìåð, [3; îïðåäåëåíèå IV.1.10, c. 168]). Îòìåòèì,
÷òî ïðîñòðàíñòâî W Tt , ÿâëÿåòñÿ ðåôëåêñèâíûì áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì
ñ íîðìîé ãðàôèêà ïðîèçâîäíîé (ñì., íàïðèìåð, [4; óòâåðæäåíèå 4.2.1, ñ. 291]):
| | || | | || | | | |
, , ,
u u u
W X XT T Tt t t
= + ¢ * , u W TÎ t , .
Èç [5; ñåêöèÿ 2.2; 6, ñ. 152–157] è ïðåäïîëîæåíèé 1–4 ñëåäóåò, ÷òî
At t t, , ,:T T TX X® * óäîâëåòâîðÿåò òàêèì ñâîéñòâàì.
Ñâîéñòâî 1. $ >C1 0 : | | ( ) | | ( || | | ),
,
*
,
At t t
T X X
py C y
T T
£ + -
1
11 " Îy X Tt , .
Ñâîéñòâî 2. $ >C C2 3 0, : á ñ ³ -At t t
, ( ), | | ||
, ,
T X X
py y C y C
T T
2 3 " Îy X Tt , .
Ñâîéñòâî 3. At t t, , ,
*:T T TX X® — (îáîáùåííî) ïñåâäîìîíîòîííûé íà
W Tt s, , , óäîâëåòâîðÿþùèé (S)-ñâîéñòâó, ò.å. èç òîãî, ÷òî y yn ® ñëàáî â X Tt , ,
{ }¢ =yn n 1 2, ,... îãðàíè÷åíà â Y Tt s, , , At , ( )T ny d® ñëàáî â X Tt ,
* è lim ( ),,
n
T ny
®+¥
áAt
y yn X T
- ñ £
t ,
0, ñëåäóåò, ÷òî d yT= At , ( ) è y yn ® â X Tt , .
 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâû òàêèå ðàâåíñòâà:
lim ( ), ,, , ,n
T n n X Xy y d y
T T®+¥
á ñ = á ñAt t t
,
lim | ( ( )), ( ) ( ) |
n
n n V
T
A y t y t y t dt
®+¥
á - ñ =ò
t
0 .
Çäåñü á × × ñ ´ ®, :
, ,
*
,X T TT
X X
t t t R — ñïàðèâàíèå â X XT Tt t,
*
,´ , ñîâïàäàþùåå
íà L T H X T2 ( , ; ) ,t t´ ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â L T H2 ( , ; )t , ò.å.
" Î " Î á ñ = òu L T H X u u t t dtT X
T
T2 ( , ; ), , ( ( ), ( )), ,
t u u ut
t
t
.
Çàìåòèì òàêæå (ñì. [3; òåîðåìà IV.1.17, c. 177]), ÷òî âëîæåíèå
W C T HTt t, ([ , ]; )Ì íåïðåðûâíî è ïëîòíî, áîëåå òîãî,
" Î - = á ¢ ñ + á ¢u W u T T u u t tT V, ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) [ ( ), ( ),u u t u t ut u
t
( ), ( ) ]t u t dtV
T
ñò . (4)
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò äàííîé ðàáîòû èìååò òàêóþ ôîðìóëèðîâêó.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ 1–5, 0 £ < < + ¥t T . Òîãäà äëÿ
ëþáîãî y Kt Î ñóùåñòâóåò êàê ìèíèìóì îäíî ôèçè÷åñêîå ðåøåíèå y çàäà÷è (1)
íà [ , ]t T òàêîå, ÷òî y y( )t t= .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóåì ìåòîä øòðàôà. Ïóñòü PK — îïåðàòîð îðòîãîíàëü-
íîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà ïðîñòðàíñòâà V íà âûïóêëûé êîíóñ K.
Ïóñòü J V V: *® — äóàëüíûé îïåðàòîð, ò.å. îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå òàêèì
äâóì ðàâåíñòâàì: | | ( ) | | | | || ( ),*J J
V V Vu u u u= á ñ è | | ( ) || | | ||*J
V V
pu u= -1 äëÿ ïðîèç-
âîëüíûõ u ÎV . Ïî òåîðåìå Àñïëóíäà ïðîñòðàíñòâîV ìîæíî ïåðåíîðìèðîâàòü ýê-
âèâàëåíòíîé ñòðîãîé íîðìîé òàê, ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùàÿ íîðìà â ñîïðÿæåííîì
ïðîñòðàíñòâå V * áûëà òàêæå ñòðîãîé è ýêâèâàëåíòíîé åñòåñòâåííîé íîðìå. Ñëå-
äîâàòåëüíî, îïåðàòîð J ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîçíà÷íûì.  êà÷åñòâå îïåðàòîðà
øòðàôà ïîëîæèì b u u u( ) ( )= -J PK , u ÎV . Îòìåòèì, ÷òî b u( ) = 0 òîãäà è òîëüêî
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
òîãäà, êîãäà u ÎK. Áîëåå òîãî, b au a a b u( ) | | ( )= -p 2 è á ñ =b u u( ), V 0 äëÿ ïðîèç-
âîëüíûõ u ÎV è a ÎR .  äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ( ( ))( ) ( ( ))b by t y t= äëÿ
ï.â. t TÎ( , )t äëÿ âñåõ y X TÎ t , .
Ïîñêîëüêó b t t: , ,
*X XT T® — îãðàíè÷åííûé ìîíîòîííûé äåìèíåïðåðûâ-
íûé îïåðàòîð, òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî e > 0 îòîáðàæåíèå A y A y yTe t
e
b( ) : ( ) ( ),= +
1
,
y X TÎ t , , ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííî ïñåâäîìîíîòîííûì íà W Tt , (óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñò-
âó 3). Áîëåå òîãî, èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà øòðàôà (îïðåäåëÿþùèå ñâîéñòâà äó-
àëüíîãî îòîáðàæåíèÿ J) è èç ñâîéñòâ 1, 2 äëÿ îïåðàòîðà At ,T ñëåäóþò ñâîéñòâà 1, 2
äëÿ íîâîãî îïåðàòîðà Ae , äåéñòâóþùåãî èç X Tt , â X Tt ,
* . Òàêèì îáðàçîì, [7, òåîðå-
ìà 2.4, ñ. 123] âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ y W Te tÎ , òàêîé çàäà÷è:
¢ + + = =y y y y yTe t e e e t
e
b tA , ( ) ( ) , ( )
1
0 . (5)
Áîëåå òîãî, èç ôîðìóëû (4), ìîíîòîííîñòè b è èç òîãî, ÷òî K — êîíóñ, ñëå-
äóþò òàêèå ñîîòíîøåíèÿ:
- á ¢ ñ + á ñ ³ " Πǥx x x te t e tt t
, ( ), ([ , ]; )
, ,, ,y y C T V KX T XT T
A 0 0 T , (6)
|| ( ) || || ( ) || ( ( )), ( )y t y t A y t y t d
H H V
t
t
e e e e2
2
1
2 2
1
2
- + á ñò t t t T= " Î0 1 2, [ , ]t . (7)
Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé 2 è 3 ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñòîÿííàÿ C4 0> , ÷òî
| | || , | | || , | | ( ) ||([ , ]; ) ,, ,
y C y C yC T H X T XT T
e t e t et t
£ £4 4 A * £ " >C4 0e . (8)
Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïîñòîÿííîé C5 0> , ÷òî
| | | |
, ,
¢ £ " >y CY Te t s
e5 0 . (9)
Èç ïðåäïîëîæåíèÿ 5 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ u s sÎK è rs > 0, ÷òî
{ }u u us s s ss
Î - £ ÌV r KV: | | | | . Ïîñêîëüêó K K Vs s= Ç — êîíóñ, íå òåðÿÿ
îáùíîñòè, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî | | | |u s sV =1 è rs £ 1. Ïîëîæèì M K: := Î{u s
|| ||u u s s
- £V 1} , N M M: ( ) ( )= - Ç -u us s . Ìíîæåñòâî N âûïóêëîå, çàìêíó-
òîå, ïîãëîùàþùåå è óðàâíîâåøåííîå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìíîæåñòâà N êîððåêò-
íî îïðåäåëåí ôóíêöèîíàë Ìèíêîâñêîãî: r w w /N t t N( ) : inf := > Î{ }0 , w sÎV .
Áîëåå òîãî, r N óäîâëåòâîðÿåò òàêèì òðåì ñâîéñòâàì:
1) | | || ( ) | | | |w r w w
s s
s
V N V
r
£ £
1
äëÿ ëþáîãî w sÎV ;
2) r u sN ( ) =1;
3) { }w r w us s sÎ - £ ÌV KN: ( ) 1 .
Ïîëîæèì r w w r w
s sN V Ng g V* ( ) : sup { , : , ( )= á ñ Î £ 1} , g VÎ s
* . Ñâîéñòâî 1)
äëÿ r N îáåñïå÷èâàåò ýêâèâàëåíòíîñòü íîðìû r N
* åñòåñòâåííîé íîðìå ïðîñòðàí-
ñòâà Vs
* . Ðàññìîòðèì K g V g KVs s sw w
s
- = Î á ñ £ " Î: : ,*{ }0 . Òîãäà èç ñâîéñòâ
2) è 3) äëÿ r N ñëåäóåò, ÷òî
r u s ssN Vg g g K* ( ) ,= - á ñ " Î - . (10)
Ïîñêîëüêó K VÍ — êîíóñ, ìîíîòîííîñòü b : *V V® ãàðàíòèðóåò, ÷òî
b w s( ) Î -K äëÿ ïðîèçâîëüíîãî w ÎV . Ñëåäîâàòåëüíî, óòâåðæäåíèÿ (4), (5), (10)
îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ
1 1
e
b
e
b ue
t
e st s
| | ( ) | | ( ( )),
, ,
y y t dtY
T
VT
= - á ñ =ò
= á ñ + -ò
t
e s e e su t u
T
V HA y t dt y T y( ( )), ( ( ) ( ), )
äëÿ ëþáûõ e > 0 . Òàêèì îáðàçîì, èç íåðàâåíñòâ (8) ïîëó÷èì
1
2 04
1
4
e
b u t u ee s st s
| | ( ) | | | | || ( ) | | | |
, ,
/y C T CY V
p
HT
£ - + " > . (11)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 93
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
Îêîí÷àòåëüíî èç (5), (8), (11) ñëåäóåò (9), ïîñêîëüêó âëîæåíèå X YT Tt t s,
*
, ,Ì
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì è ïëîòíûì.
Ñïðàâåäëèâî òàêîå ðàâåíñòâî:
á ñ = " >b ee e t
( ),
,
y y X T
0 0 , (12)
ïîñêîëüêó á ñ =b u u( ), V 0 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî u ÎV . Áîëåå òîãî, èç ìîíîòîííîñ-
òè b è òåîðåìû Áàíàõà–Øòåéíãàóçà ïîëó÷èì
$ > £ " ÎC y C
X T
5 50 0 1:| | ( ) || ( , )
,
*b ee
t
. (13)
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî w tÎ X T, ìîíîòîííîñòü b, îöåíêà (8) è ðà-
âåíñòâî (12) âëåêóò òàêèå íåðàâåíñòâà:
sup ( ), sup ( ),
( , ) ( , )
, ,
e
e
e
e eb w b w
t t
Î Î
á ñ £ á - ñ
0 1 0 1
y y yX XT T
+ á ñ =
Î
sup ( ),
( , )
,
e
e eb
t
0 1
y y X T
= á - ñ £
Î
sup ( ), | | ( ) || (|| | |
( , )
, ,
*
,
e
eb w w b w w
t t t
0 1
y X X XT T T
+ < ¥C4 ) .
Ñëåäîâàòåëüíî, èç òåîðåìû Áàíàõà–Øòåéíãàóçà ïîëó÷èì (13).
Èç àïðèîðíûõ îöåíîê (8), (9), (11) è ëåììû î êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ
W L T HTt t, ( , ; )Ì 2 (â ñèëó êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ V HÌ ) êàê ñëåäñòâèå òåîðåìû
Áàíàõà–Àëàîãëó ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü en]0, n ® ¥ , è ýëå-
ìåíòû y X TÎ t , , d X TÎ t ,
* òàêèå, ÷òî y y( )t t= è èìåþò ìåñòî òàêèå ñõîäèìîñòè:
y y
n
w
e ® â X y t y tT nt e, , ( ) ( )® â H äëÿ ï.â. t TÎ( , )t ,
y T y T
n
w
e ( ) ( )® â H, A t e, ( )T
w
y d
n
® â X Tt ,
* , n ® ¥. (14)
Áîëåå òîãî, èç (11) è (13) ïîëó÷èì, ÷òî
b e( )y
n
® 0 â X nTt ,
* , ® ¥. (15)
Ïîêàæåì, ÷òî y K TÎ t , . Èç (14), (15) ñëåäóåò lim ( ),
,n
Xy y y
n n T®¥
á - ñ =b e e t
0.
Ïîñêîëüêó ìîíîòîííûé äåìèíåïðåðûâíûé îïåðàòîð b ïñåâäîìîíîòîííûé, òî
ñ ó÷åòîì (15) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî 0 = á - ñ ³
®¥
lim ( ),
,n
Xy y
n n T
b we e t
³ á - ñb w
t
( ),
,
y y X T
" Îw tX T, . Òàêèì îáðàçîì, b( ( ))y t KÎ äëÿ ï.â. t TÎ( , )t .
Ñëåäîâàòåëüíî, y K TÎ t , , ïîñêîëüêó y X TÎ t , .
Ïîêàæåì, ÷òî
lim ( ),, ,n
T Xy y y
n n T®¥
á - ñ £At e e t
0. (16)
Äåéñòâèòåëüíî, èç (5), ìîíîòîííîñòè b è ôîðìóëû (4) ñëåäóåò
á - ñ = á - ñ + á ¢At e e e e eu
e
b u u
t t, ( ), ( ), ,
, ,T X Xy y y y y
n n T n n T n
1
- ñ £y
n TXe t ,
£ á - ñ + á ¢ - ñ £
1
e
b u u ue e et t
( ), ,
, ,
y y y
n n T n TX X
£ á - ñ + á ¢ - ñ £ á ¢ - ñ
1
e
b u u u u u ue e et t t
( ), , ,
, , ,
y y y
n T n T n TX X X (17)
äëÿ ïðîèçâîëüíûõ n =1 2, ,K è u t tÎ ÇW KT T, , , ïîñêîëüêó b u( ) = 0 . Òàêèì îá-
ðàçîì, (14) âëå÷åò íåðàâåíñòâî
lim ( ), , ,, , , ,n
T X X Xy y d y
n n T T T®¥
á ñ £ á ñ + á ¢ - ñAt e e t t t
u u u (18)
äëÿ âñåõ u t tÎ ÇW KT T, , . Ïîñêîëüêó 0 Î -K Tt tw, äëÿ w t t tº Îy K T, , òî
èç [8, ñ. 284] ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }u j j= Ì1 2, ,K
Ì - Ç( ), ,K WT Tt t tw , ÷òî:
(à) u tj ( ) = 0 äëÿ âñåõ j =1 2, ,K ;
(á) u w tj y® - â X Tt , ïðè j ® ¥;
(â) lim , ,
j
j j X Ty
®¥
á ¢ + - ñ £u u w t t
0 .
Ïîëîæèâ â (18) u u w t t t= + Î Çj T TK W, , , j =1 2, ,K , ïîëó÷èì, ÷òî
lim ( ), ,, , ,n
T X Xy y d y
n n T T®¥
á ñ £ á ñAt e e t t
. Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âìåñòå ñ (14)
è (17) âëå÷åò (16). Èñïîëüçóåì ïñåâäîìîíîòîííîñòü A Tt , íà W Tt s, , . Èç (9),
(14), (16) ñëåäóåò, ÷òî d yT= At , ( ) , lim ( ), ,, , ,n
T X Xy y d y
n n T T®¥
á ñ = á ñAt e e t t
è
t
e e
T
VA y t y t y t dt n
n nò á - ñ ® ® ¥| ( ( )), ( ) ( ) | ,0 . (19)
Áîëåå òîãî, (17) äîïîëíèòåëüíî âëå÷åò íåðàâåíñòâî (2).
Äëÿ çàâåðøåíèÿ ïðîâåðêè òîãî, ÷òî y — ôèçè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (1) íà
[ , ]t T , îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî y C T HÎ ([ , ]; )t è y óäîâëåòâîðÿåò (3).
Èç (4), (5) (ñì. òàêæå (7)) ñëåäóåò, ÷òî
d
dt
y t A y t y t
n n nH V| | ( ) || ( ( )), ( )e e e
2 = - á ñ
äëÿ ï.â. t TÎ( , )t . Èç ôîðìóëû (19) è ïîñëåäíåé ñõîäèìîñòè â (14) ïîëó÷àåì, ÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü t
d
dt
y t
n H
n
®
ì
í
î
ü
ý
þ =
| | ( ) ||
, , ...
e
2
1 2
èçìåðèìûõ äåéñòâèòåëüíûõ
ôóíêöèé íà ( , )t T ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìîé, ò.å. ñóùåñòâóåò ïîäïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü { } { }y y
m nm ne eÍ òàêàÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
t
d
dt
y t
m H
m
®
ì
í
î
ü
ý
þ
| | ( ) ||e
2 ñõîäèòñÿ ñëàáî â L T1 ( , )t ê ýëåìåíòó - á ×A y( ( )),
y L TV( ) ( , )× ñ Î 1 t . Îòñþäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü t
d
dt
y t
m H
m
®
ì
í
î
ü
ý
þ
| | ( ) ||e
2 , ñ îäíîé
ñòîðîíû, ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå D T* ( , )t (ïðîñòðàíñòâå îáîáùåííûõ ôóíêöèé
íà [ , ]t T ) ê ðåãóëÿðíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè - á × × ñ ÎA y y L TV( ( )), ( ) ( , )1 t . Ñ äðó-
ãîé ñòîðîíû, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }t y t
m H m® | | ( ) ||e
2 ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå
D T* ( , )t ê èçìåðèìîé ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åííîé íà ( , )t T ôóíêöèè | | ( ) | |y
H
× 2 .
Èòàê, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü t
d
dt
y t
m H
m
®
ì
í
î
ü
ý
þ
| | ( ) ||e
2 ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå
D T* ( , )t ê îáîáùåííîé ôóíêöèè
d
dt
y
H
| | ( ) | |× 2 . Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó åäèíñòâåí-
íîñòè ïðåäåëà â ïðîñòðàíñòâå D T* ( , )t ,
d
dt
y A y y L T
H V| | ( ) || ( ( )), ( ) ( , )× = - á × × ñ Î2
1 t ,
îòñþäà ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (4) ñëåäóåò àïðèîðíàÿ îöåíêà (3).
Ïîêàæåì, ÷òî
| | ( ) | | ,y t y tH- ® +t t0 ] . (20)
Ïîñêîëüêó y Kt Î è á ñ =b u u( ), V 0 äëÿ ïðîèçâîëüíûõ u ÎV , òî ôîðìóëà (5)
âëå÷åò
( ( ), ) | | || ( ( ), )y t y y y s y ds
n nH
t
e t t e t
t
- = ¢ =ò
2
= - á ñ - á ñ =ò òA y s y dt y s y dt
n nV
t
V
t
( ( )), ( ( )),e t
t
e t
t
e
b
1
= - á ñ + á - ñò òA y s y dt y s y s y
n n nV
t
V
t
( ( )), ( ( )), ( )e t
t
e e t
t
e
b
1
dt A y s y dt
n V
t
³ - á ñò ( ( )),e t
t
äëÿ ïðîèçâîëüíûõ n =1 2, , ... , t TÎ( , )t . Èíà÷å
( ( ), ) | | || | | | | ( | | ( ) | | | | || )y t y y y y t y
n nH H H He t t t e t- £ -2 ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 95
äëÿ ïðîèçâîëüíûõ n =1 2, , ... Òàêèì îáðàçîì,
- á ñ £ - £ò A y s y dt y t y y
n nV
t
H
( ( )), ( ( ), ) | | ||e t
t
e t t
2
£ -| | || (|| ( ) || | | | | )y y t yH H Hnt e t , n =1 2, ,K, t TÎ( , )t ,
è, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñõîäèìîñòè (14), ïîëó÷àåì
- á ñ £ - £ò A y s y dt y t y yV
t
H
( ( )), ( ( ), ) | | ||t
t
t t
2
£ -| | || (|| ( ) || | | || )y y t yH H Ht t äëÿ ï.â. t TÎ( , )t .
Ïîñêîëüêó á × ñ ÎA y y L TV( ( )), ( , )t t1 , ýíåðãåòè÷åñêîå ðàâåíñòâî (3) îáåñïå÷èâàåò
ïîñëåäíèå äâà íåðàâåíñòâà äëÿ âñåõ t TÎ[ , ]t . Ñëåäîâàòåëüíî,
( ( ), ) | | ||y t y y
Ht t- ®2 0 ïðè t]t+ . (21)
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà (20) çàìåòèì, ÷òî
| | ( ) || | | ( ) || | | || ( ( ), )y t y y t y y t y
H H H
- = + -t t t
2 2 2 2 , t TÎ[ , ]t .
Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãåòè÷åñêîå ðàâåíñòâî (3) è ñâîéñòâî (21) âëåêóò ñâîéñòâî (20).
Èç ìîíîòîííîñòè b è ôîðìóë (4), (5) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
| | ( ) ( ) ||y t h y t
n n He e+ - £2
£ + - - á + -ò| | ( ) || ( ( )) ( ( )), (y h y A y s h A y s y
n n n nH
t
e t
t
e e et 2 2 s h y s dt
n V+ - ñ) ( )e
äëÿ ïðîèçâîëüíûõ t T hÎ -( , )t è h TÎ -( , )0 t . Èç ñâîéñòâà 3, ñõîäèìîñòåé (14)
è (19) è ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
| | ( ) ( ) || | | ( ) ||y t h y t y h y
H H
+ - £ + - -2 2t t
- á + - + - ñò2
t
t
VA y s h A y s y s h y s dt( ( )) ( ( )), ( ) ( ) (22)
äëÿ ï.â. t T hÎ -( , )t è ïðîèçâîëüíûõ h TÎ -( , )0 t . Ñ ó÷åòîì ýíåðãåòè÷åñêîãî
ðàâåíñòâà (3) íåðàâåíñòâî (22) èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ t T hÎ -( , )t è h TÎ -( , )0 t .
Òàêèì îáðàçîì, (20) è (22) âëåêóò ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè y êàê îòîáðàæåíèÿ
èç èíòåðâàëà âðåìåíè [ , ]t T â ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî H .
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ t< T ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
Dt t, ( ) ( ) |T y y y= ×{ — ôèçè÷åñêîå ðåøåíèå (1) íà [ , ], ( ) , .t t t tT y y y K= Î}
Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî Dt t, ( )T y ¹ Æ è Dt t t, ( ) ([ , ]; )T y C T HÌ " <t T ,
y Kt Î . Áîëåå òîãî, èç óñëîâèé íà ïàðàìåòðû çàäà÷è (1) è îáîáùåííîé ëåììû
Ãðîíóîëëà–Áåëëìàíà [9] ñóùåñòâóþò C C C C4 5 6 7 0, , , > òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî
êîíå÷íîãî èíòåðâàëà âðåìåíè [ , ]t T êàæäîå ôèçè÷åñêîå ðåøåíèå y çàäà÷è (1)
íà [ , ]t T óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå " ³t s, t s T, [ , ]Î t
| | ( ) || | | ( ) || | | ( ) || ( )y t C y d y s C t s
H
s
t
V
p
H
2
4
2
5+ £ + -ò x x , (23)
| | ( ) || | | ( ) ||
( )
y t y s e C
H H
C t s2 2
7
6£ +- -
. (24)
Áîëåå òîãî, òðàíñëÿöèÿ è êîíêàòåíàöèÿ ôèçè÷åñêèõ ðåøåíèé çàäà÷è (1) íà êî-
íå÷íûõ èíòåðâàëàõ âðåìåíè ÿâëÿþòñÿ ôèçè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè òàêîé çàäà÷è íà
ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåðâàëàõ. Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî ìåòîä
øòðàôà ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ôèçè÷åñêèõ ðåøåíèé çàäà÷è (1) íà êîíå÷-
íîì èíòåðâàëå âðåìåíè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûìè êàê
îòîáðàæåíèÿ èç èíòåðâàëà âðåìåíè [ , ]t T â ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî H , åñëè îíè
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
ñòàðòóþò èç îãðàíè÷åííîãî ïîäìíîæåñòâà åñòåñòâåííîãî ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà H
(ò.å. âûïîëíÿþòñÿ óòâåðæäåíèÿ òåîðåì î ñèëüíîé ñõîäèìîñòè ðåøåíèé èç ðàáî-
òû [10]). Òàêèì îáðàçîì (ñì. [10]), ôèçè÷åñêèå ðåøåíèÿ: à) ìîãóò áûòü ïðîäîë-
æåíû äî ãëîáàëüíûõ, îïðåäåëåííûõ íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè âðåìåíè;
á) ðàâíîìåðíî óñòðåìëÿþòñÿ â ìàëîå (êîìïàêòíîå) ïîäìíîæåñòâî åñòåñòâåííîãî
ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà H (ïðè âðåìåíè t ® + ¥ ), íå çàâèñÿùåå îò îãðàíè÷åííî-
ãî ìíîæåñòâà, èç êîòîðîãî îíè ñòàðòîâàëè. Èñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [10],
òàêîå ïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ïîëíûõ òðàåêòîðèé çàäà÷è (1),
îïðåäåëåííûõ íà âñåé äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòû [10]
ïîçâîëÿþò îïèñûâàòü äèíàìèêó ðåøåíèé òàêèõ çàäà÷ ãëîáàëüíî ñ ïîìîùüþ êî-
íå÷íûõ àëãîðèòìîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ìàëîãî ïàðàìåòðà.
Ïðèâåäåì ïðèìåð êëàññà íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ ìîæíî èñ-
ñëåäîâàòü äèíàìèêó ðåøåíèé ïðè t ® + ¥ . Îòìåòèì, ÷òî ïðè èçëîæåíèè ìû íå
ïðåòåíäóåì íà îáùíîñòü.
Ïóñòü n ³ 2, m ³ 1, p ³ 2, 1 2< £q ,
1 1
1
p q
+ = , W Ì R
n — îãðàíè÷åííàÿ îá-
ëàñòü ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé G W= ¶ , N1 (ñîîòâåòñòâåííî N 2 ) — ÷èñëî
äèôôåðåíöèðîâàíèé ïî x ïîðÿäêà £ -m 1 (ñîîòâåòñòâåííî ïîðÿäêà = m). Ïóñòü
A xa h x( , ; ) — ñåìåéñòâî âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé (| |a £ m), îïðåäåëåííûõ
â W ´ ´R R
N N1 2 è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì:
Ó1) äëÿ ï.â. x ÎW ôóíêöèÿ ( , ) ( , , )h x h xa® A x íåïðåðûâíà â R R
N N1 2´ ;
Ó2) " Î ´( , )h x R R
N N1 2 ôóíêöèÿ x A x® a h x( , , ) èçìåðèìà â W ;
Ó3) ñóùåñòâóþò òàêèå c1 0³ è k Lq1 Î ( )W , ÷òî äëÿ ï.â. x ÎW " Î( , )h x
Î ´R R
N N1 2
| ( , , ) | [ | | | | ( )]A x c k xp p
a h x h x£ + +- -
1
1 1
1 ;
Ó4) ñóùåñòâóþò òàêèå c2 0> è k L2 1Î ( )W , ÷òî äëÿ ï.â. x ÎW,
" Î ´( , )h x R R
N N1 2
A x c k x
m
p
a
a
ah x x x
| |
( , , ) | | ( )
=
å ³ -2 2 ;
Ó5) ñóùåñòâóåò âîçðàñòàþùàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ u òàêàÿ, ÷òî äëÿ ï.â.
x ÎW " Îh R
N 1 , " Îx x, *
R
N 2 , x x¹ * , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
( ( , , ) ( , , ))( ) ( ( ) ( )
| |
* * *A x A x
m
a
a
a a a a ah x h x x x u x u x
=
å - - ³ - )( )*x xa a- .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: D u D u kk = ={ }b b, | | , du u Du D um= -{ }, , ,K
1 [4, ñ. 194].
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôèêñèðîâàííîé âíåøíåé ñèëû f LÎ 2 ( )W èññëåäóåì äèíà-
ìèêó ïðè t ® + ¥ âñåõ ñëàáûõ (îáîáùåííûõ) ðåøåíèé, îïðåäåëåííûõ íà [ , )0 + ¥ ,
òàêîé çàäà÷è:
¶
¶
+ - =
£
å
y x t
t
D A x y x t D y x t
m
m( , )
( ) ( ( , ( , ), ( , )))
| |
| |
a
a a
a d1 f x( ) â W ´ + ¥( , )0 , (25)
D y x ta ( , ) = 0 íà G´ +¥ £ -( , ), | |0 1a m ,
y x t( , ) ³ 0 äëÿ ï.â. ( , ) ( , )x t Î ´ + ¥W 0 . (26)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ [4, c. 195]: H L= 2 ( )W , V W m p=
0
, ( )W , V W m p
s
s= +
0
, ( )W ,
s >>1, — äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà, K y W y xm p= Î ³{
0
0, ( ) : ( )W
äëÿ ï.â. x ÎW },
a u A x u x D u x D x dx u V
m
m( , ) ( , ( ), ( )) ( ) , ,
| |
w d w wa
a
a= Îòå
£ W
.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óñëîâèÿ Ó1)–Ó5) è [8, ñ. 192–199], îïåðàòîð A V V: *® ,
îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé á ñ =A u a uV( ), ( , )w w " Îu V, w , óäîâëåòâîðÿåò îñíîâ-
íûì ïðåäïîëîæåíèÿì. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ïåðåéòè îò çàäà÷è (25), (26)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 97
ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷å (1). Îòìåòèì, ÷òî
A u D A x u D u u C
m
m( ) ( ) ( ( , , )) ( )
| |
| |= - " Î
£
¥å
a
a a
a d1 0 W .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ôèçè÷åñêèõ ðåøåíèé çàäà÷è (25), (26) âûïîëíÿþòñÿ âñå
óòâåðæäåíèÿ èç ïðåäûäóùèõ ïîäðàçäåëîâ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äëÿ êëàññà àâòîíîìíûõ ýâîëþöèîííûõ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ íà âûïóê-
ëûõ êîíóñàõ ñ ïñåâäîìîíîòîííîé íåëèíåéíîñòüþ ââåäåí êëàññ ôèçè÷åñêèõ ðå-
øåíèé. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà øòðàôà äîêàçàíà íåâûðîæäåííîñòü ýòîãî êëàññà
ðåøåíèé äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ èç òàêîãî êîíóñà. Îáîñíîâàí
ðÿä àïðèîðíûõ îöåíîê è ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ôèçè÷åñêèõ ðåøå-
íèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå (ïðè âðåìåíè t ® + ¥ ) è ãëî-
áàëüíî ìîäåëèðîâàòü äèíàìèêó ñ ïîìîùüþ êîíå÷íûõ àëãîðèòìîâ (ñ òî÷íîñ-
òüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà) ãëîáàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ðåøåíèé, îïðåäåëåííûõ íà
[ , )0 + ¥ . Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äàþò âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü äèíàìèêó ðå-
øåíèé íîâûõ êëàññîâ óïðàâëÿåìûõ îäíîñòîðîííèõ çàäà÷, ïðîáëåì
ïîëóïðîíèêíîâåíèÿ, çàäà÷ óïðàâëåíèÿ íà ãðàíèöå è ìîãóò áûòü ýôôåêòèâíî
èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè óïðàâëåíèè è èäåíòèôèêàöèè òåõíè÷åñêèõ è òåõíîëîãè-
÷åñêèõ ïðîöåññîâ ðàçíîé ïðèðîäû. Ðàçðàáîòàííàÿ ìåòîäîëîãèÿ èññëåäîâàíèÿ
ýâîëþöèîííûõ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ïîçâîëÿåò ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ
ðàáîòû [10] èññëåäîâàòü äèíàìèêó êëàññîâ íåàâòîíîìíûõ îäíîñòîðîííèõ çà-
äà÷, óïðàâëÿåìûõ íåëèíåéíûõ ïîëåé äèôôóçèîííîãî òèïà ñ íåëèíåéíûìè íå-
ìîíîòîííûìè çàêîíàìè ðåàêöèè íà ãðàíèöå îáëàñòè, çàäà÷ ïîèñêà íåîòðèöà-
òåëüíûõ ðåøåíèé äëÿ ñèñòåì óðàâíåíèé, ãäå ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà
ïðîáëåìàòè÷íî, â ÷àñòíîñòè óðàâíåíèé Ãèíçáóðãà–Ëàíäàó, Ëîòêè–Âîëüòåððà,
çàäà÷ õåìîòàêñèñà, ñòîõàñòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé è äð.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. G o r b a n N . V . , K a p u s t y a n O . V . , K a s y a n o v P . O . Uniform trajectory attractor for
non-autonomous reaction–diffusion equations with Caratheodory’s nonlinearity // Nonlinear
Analysis. — 2014. — 98. — P. 13–26. — http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2013.12.004.
2. K a l i t a P . , L u k a s z e w i c z G . Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity
properties // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 2014. — 101. — P. 124–143.
3. Ã à å â ñ ê è é Õ . , Ã ð å ã å ð Ê . , Ç à õ à ð è à ñ Ê . Íåëèíåéíûå îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ è îïå-
ðàòîðíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1978. — 378 ñ.
4. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . , Ì å ë ü í è ê Â . Ñ . Äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîð-
íûå âêëþ÷åíèÿ è âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Êèåâ:
Íàóê. äóìêà, 2008. — 464 ñ.
5. E v o l u t i o n inclusions and variation inequalities for Earth data processing III. Long-time behavior
of evolution inclusions solutions in Earth data analysis / M.Z. Zgurovsky, P.O. Kasyanov,
O.V. Kapustyan, J. Valero, N.V. Zadoianchuk // Series: Advances in Mechanics and Mathematics.
— Berlin: Springer, 2012. — 27. — 330 p.
6. Z g u r o v s k y M . Z . , K a s y a n o v P . O . Multivalued dynamics of solutions for autonomous
operator differential equations in strongest topologies // Continuous and Distributed Systems: Theory
and Applications, Solid Mechanics and Its Applications. — 2014. — 211. — P. 149–162.
7. Z g u r o v s k y M . Z . , M e l ’ n i k V . S . , K a s y a n o v P . O . Evolution inclusions and variation
inequalities for earth data processing. II. Differential-operator inclusions and evolution variation
inequalities for Earth data processing // Series: Advances in Mechanics and Mathematics. — Berlin:
Springer, 2011. — 25. — 274 p.
8. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷. — Ì.: Ìèð, 1972. — 587 ñ.
9. B a l l J . M . Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the
Navier–Stokes equations // Journal of Nonlinear Sciences. — 1997. — 7, N 5. — P. 475–502.
10. Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . Ìíîãîçíà÷íàÿ äèíàìèêà ðåøåíèé àâòîíîìíîãî äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðà-
òîðíîãî âêëþ÷åíèÿ ñ ïñåâäîìîíîòîííîé íåëèíåéíîñòüþ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
— 2011. — ¹ 5. — Ñ. 150–163.
11. K a s y a n o v P . O . , M e l ’ n i k V . S . , T o s c a n o S . Solutions of Cauchy and periodic prob-
lems for evolution inclusions with multi-valued wl0
-pseudomonotone maps // Journal of Differential
Equations. — 2010. — 249, N 6. — P. 1258–1287.
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
Ïîñòóïèëà 24.11.2014
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 99
|