О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход"
Изучается алгебраическое расширение счетного семейства управляемых нелинейныхд динамических процессов, обладающего дифференциальной реализацией в классе обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений (с программно-позиционным уравнением и без него) в сепарабельном гильбертовом пространстве. В...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124843 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" / В.А. Русанов, А.В. Лакеев, Ю.Э. Линке // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 121-126. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124843 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Русанов, В.А. Лакеев, А.В. Линке, Ю.Э. 2017-10-06T19:15:27Z 2017-10-06T19:15:27Z 2015 О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" / В.А. Русанов, А.В. Лакеев, Ю.Э. Линке // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 121-126. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124843 517.938.5 Изучается алгебраическое расширение счетного семейства управляемых нелинейныхд динамических процессов, обладающего дифференциальной реализацией в классе обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений (с программно-позиционным уравнением и без него) в сепарабельном гильбертовом пространстве. Вивчається алгебраїчне розширення зліченної сім’ї керованих нелінійних динамічних процесів, що мають диференціальну реалізацію в класі звичайних квазілінійних диференціальних рівнянь (з програмно-позіційним керуванням та без нього) в сепарабельному гільбертовому просторі. We analyze the algebraic extensions of a countable family of non-linear dynamic control processes having differential realization in the class of quasi-linear ordinary differential equations (with software-positional control and without it) in a separable Hilbert space. R ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" Про розширення в гільбертовому просторі диференціальної реалізації зліченної в’язки нелінійних процесів «вхід–вихід» On extension in the Hilbert space of the differential realization of a countable set of non-linear dynamic processes “input-output” Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" |
| spellingShingle |
О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" Русанов, В.А. Лакеев, А.В. Линке, Ю.Э. Системный анализ |
| title_short |
О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" |
| title_full |
О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" |
| title_fullStr |
О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" |
| title_full_unstemmed |
О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" |
| title_sort |
о расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" |
| author |
Русанов, В.А. Лакеев, А.В. Линке, Ю.Э. |
| author_facet |
Русанов, В.А. Лакеев, А.В. Линке, Ю.Э. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про розширення в гільбертовому просторі диференціальної реалізації зліченної в’язки нелінійних процесів «вхід–вихід» On extension in the Hilbert space of the differential realization of a countable set of non-linear dynamic processes “input-output” |
| description |
Изучается алгебраическое расширение счетного семейства управляемых нелинейныхд динамических процессов, обладающего дифференциальной реализацией в классе обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений (с программно-позиционным уравнением и без него) в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Вивчається алгебраїчне розширення зліченної сім’ї керованих нелінійних динамічних процесів, що мають диференціальну реалізацію в класі звичайних квазілінійних диференціальних рівнянь (з програмно-позіційним керуванням та без нього) в сепарабельному гільбертовому просторі.
We analyze the algebraic extensions of a countable family of non-linear dynamic control processes having differential realization in the class of quasi-linear ordinary differential equations (with software-positional control and without it) in a separable Hilbert space. R
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124843 |
| citation_txt |
О расширении в гильбертовом пространстве дифференциальной реализации счетного пучка нелинейных процессов "вход–выход" / В.А. Русанов, А.В. Лакеев, Ю.Э. Линке // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 121-126. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT rusanovva orasšireniivgilʹbertovomprostranstvedifferencialʹnoirealizaciisčetnogopučkanelineinyhprocessovvhodvyhod AT lakeevav orasšireniivgilʹbertovomprostranstvedifferencialʹnoirealizaciisčetnogopučkanelineinyhprocessovvhodvyhod AT linkeûé orasšireniivgilʹbertovomprostranstvedifferencialʹnoirealizaciisčetnogopučkanelineinyhprocessovvhodvyhod AT rusanovva prorozširennâvgílʹbertovomuprostorídiferencíalʹnoírealízacíízlíčennoívâzkinelíníinihprocesívvhídvihíd AT lakeevav prorozširennâvgílʹbertovomuprostorídiferencíalʹnoírealízacíízlíčennoívâzkinelíníinihprocesívvhídvihíd AT linkeûé prorozširennâvgílʹbertovomuprostorídiferencíalʹnoírealízacíízlíčennoívâzkinelíníinihprocesívvhídvihíd AT rusanovva onextensioninthehilbertspaceofthedifferentialrealizationofacountablesetofnonlineardynamicprocessesinputoutput AT lakeevav onextensioninthehilbertspaceofthedifferentialrealizationofacountablesetofnonlineardynamicprocessesinputoutput AT linkeûé onextensioninthehilbertspaceofthedifferentialrealizationofacountablesetofnonlineardynamicprocessesinputoutput |
| first_indexed |
2025-11-26T20:21:47Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:21:47Z |
| _version_ |
1850773224688713728 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.938.5
Â.À. ÐÓÑÀÍÎÂ, À.Â. ËÀÊÅÅÂ, Þ.Ý. ËÈÍÊÅ
Î ÐÀÑØÈÐÅÍÈÈ Â ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÐÅÀËÈÇÀÖÈÈ Ñ×ÅÒÍÎÃÎ ÏÓ×ÊÀ
ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑΠ«ÂÕÎÄ–ÂÛÕÎÄ»1
Àííîòàöèÿ. Èçó÷àåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà óïðàâëÿåìûõ íå-
ëèíåéíûõä äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, îáëàäàþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèåé
â êëàññå îáûêíîâåííûõ êâàçèëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ñ ïðîãðàììíî-ïî-
çèöèîííûì óðàâíåíèåì è áåç íåãî) â ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåëèíåéíûå ïðîöåññû «âõîä–âûõîä», íåëèíåéíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ
ðåàëèçàöèÿ, íåñòàöèîíàðíàÿ ( , , )#A B B 2-ìîäåëü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ââîäèòñÿ è èññëåäóåòñÿ (íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå) ïîíÿòèå
ýëåìåíòàðíîãî (îäíîýëåìåíòíîãî) ðàñøèðåíèÿ ñ÷åòíîãî ïó÷êà íåëèíåéíûõ äèíà-
ìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, äîïóñêàþùèõ äèôôåðåíöèàëüíóþ ðåàëèçàöèþ â êëàññå êâà-
çèëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì â áåñêîíå÷íîìåðíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-
ñòâå. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì ðàçâèòèåì íåëèíåéíîãî
ñèñòåìíîãî àíàëèçà ñëîæíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ìîäåëåé è ìîãóò áûòü ïîëåçíû
ïðè èññëåäîâàíèè îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.
ÒÅÐÌÈÍÎËÎÃÈß È ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü ( , | | | | )X X× , ( , | | | | )Y Y× , ( , | | | | )Z Z× — âåùåñòâåííûå ñåïàðàáåëüíûå ãèëü-
áåðòîâû ïðîñòðàíñòâà (ïðåäãèëüáåðòîâîñòü [1, ñ. 64] îïðåäåëÿþò íîðìû | | | |× X ,
| | | |× Y , | | | |× Z ), U X Y Z:= ´ ´ — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé | | ( , , )| | :x y z U =
: (| | | | | | | | | | | | ) /= + +x y z
X Y Z
2 2 2 1 2 , L Y X( , ) — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñ îïåðàòîðíîé
íîðìîé | | | | ( , )× L Y X
âñåõ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èç ïðî-
ñòðàíñòâà Y â X (àíàëîãè÷íî (L X X( , ), | | | | ( , )× L X X
) è (L Z X( , ), | | | | ( , )× L Z X )),
T t t: [ , ]= 0 1 — îòðåçîê ÷èñëîâîé ïðÿìîé R ñ ìåðîé Ëåáåãà m è j m — s-àëãåáðà âñåõ
m-èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ èíòåðâàëà T . Åñëè íèæå ( , | | | | )B × — íåêîòîðîå áàíàõîâî
ïðîñòðàíñòâî, òî, êàê îáû÷íî, L T B2 ( , , )m — áàíàõîâî ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ
m-ýêâèâàëåíòíîñòè âñåõ èíòåãðèðóåìûõ ïî Áîõíåðó [1, ñ. 189] îòîáðàæåíèé f T B: ®
ñ íîðìîé ( | | ( )| | ( )) /f d
T
t m t2 1 2
ò . Êðîìå òîãî, âåçäå äàëåå AC T X( , ) — ëèíåéíîå ìíî-
æåñòâî âñåõ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ íà T ôóíêöèé (îòíîñèòåëüíî ìåðû m) ñî çíà÷å-
íèÿìè â ïðîñòðàíñòâå X , ïðè ýòîì P: ( , )= ´AC T X L T Y L T Z2 2( , , ) ( , , )m m´ .
Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìûå äèôôåðåíöèàëüíûå ìîäåëè âèäà
dx t dt Ax t Bu t B u x t( ) / ( ) ( ) ( ( ))# #= + + , (1)
ãäå ( , , ( ))#x u u x ÎP, x — ðåøåíèå Êàðàòåîäîðè (K-ðåøåíèå), u è u x# ( ) —
ïðîãðàììíîå è ïîçèöèîííîå óïðàâëåíèÿ, ( , , ) ( , , ( , ))#A B B L T L X XÎ ´2 m
´ ´L T L Y X L T L Z X2 2( , , ( , )) ( , , ( , ));m m â öåëÿõ òåðìèíîëîãè÷åñêîãî óäîáñòâà
âåêòîð-ôóíêöèþ ( , , ( ))#x u u x òîæå íàçîâåì K-ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1), à òðîé-
êó îïåðàòîð-ôóíêöèé ( , , )#A B B , ïðèäåðæèâàÿñü òåðìèíîëîãèè èç [2, 3], áóäåì
íàçûâàòü ( , , )#A B B 2 -ìîäåëüþ äèôôåðåíöèàëüíîé ñèñòåìû (1).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 121
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ÷àñòè÷íîì ôèíàíñèðîâàíèè ãðàíòà («Ìíîãîôóíêöèîíàëüíûå èíòåë-
ëåêòíûå èíôîðìàöèîííûå è óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû: òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ») Ïðåçèäåíòà Ðîññèé-
ñêîé Ôåäåðàöèè ïî ãîñóäàðñòâåííîé ïîääåðæêå âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë (ÍØ-5007.2014.09).
Ó Â.À. Ðóñàíîâ, À.Â. Ëàêååâ, Þ.Ý. Ëèíêå, 2015
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ýëåìåíòàðíîãî (îäíîýëåìåíòíîãî) ðàñøèðåíèÿ äèô-
ôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè ïó÷êà äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Äëÿ çàäàííîãî (âîçìîæ-
íî, íåëèíåéíîãî) çàêîíà x u x AC T X L T Za
# ( ): ( , ) ( , , )® 2 m è ñåìåéñòâ N , N * äè-
íàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ «âõîä–âûõîä» òàêèõ, ÷òî N N x u q, ( , , ) :* Ì Î{ P ( , , )x u q =
= ( , , ( ))#x u u x },1 0£ £ ÀCard N (àëåô-íóëü), Card N * =1, N N* Ë , ãäå N , N * îá-
ëàäàþò äèôôåðåíöèàëüíûìè ðåàëèçàöèÿìè (1), îïðåäåëèòü àíàëèòè÷åñêèå óñëî-
âèÿ, ïðè êîòîðûõ N NÈ * — ñåìåéñòâî K-ðåøåíèé íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ (1).
ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÎÃÎ ÐÀÑØÈÐÅÍÈß ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ
ÐÅÀËÈÇÀÖÈÈ Ñ×ÅÒÍÎÃÎ ÏÓ×ÊÀ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
Íàäåëèì ïðîñòðàíñòâî H L T X L T Y L T Z2 2 2 2: ( , , ) ( , , ) ( , , )= ´ ´m m m òîïîëîãèåé
ïðè íîðìå
| | ( ( ), ( ), ( ))| | ( ) , ( , , )
/
g w q d g w q H
U
T
t t t m t2
1 2
ò
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
Î 2 .
Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà óñòàíîâèòü, ÷òî H 2 — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
[1, ñ. 64]); óñëîâèìñÿ îòëè÷àòü â îáîçíà÷åíèÿõ ýëåìåíò ( , , ( ))#x u u x ÎP êàê êëàññ
ýêâèâàëåíòíîñòè (ò.å. ýëåìåíò H 2 ) îò êîíêðåòíîãî ïðåäñòàâèòåëÿ (âåêòîð-ôóíê-
öèè) ( ( ), ( ), ( ( )))#x u u x× × × èç ýòîãî êëàññà.
Ïóñòü GE — ïðîèçâîëüíûé (íî ôèêñèðîâàííûé è ïðîíóìåðîâàííûé
i =12, ,K ) àëãåáðàè÷åñêèé áàçèñ â E N:= Span , è ïóñòü { }( , , ( )) :* * # * *x u u x N= ,
ïðè ýòîì ( , , ( ))* * # *x u u x EÏ . Î÷åâèäíî, ÷òî â ëþáîé òî÷êå t TÎ âîçìîæíî
ðàçëîæåíèå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå U âåêòîðà ( ( ), ( ), ( ( )))* * # *x t u t u x t íà
ïðîåêöèþ â Span{( ( ), ( ), ( ( ))) :( , , ( )) , , ,# #x t u t u x t x u u x G ii i EÎ =12 K }, êîòîðóþ
îáîçíà÷èì ( ( ), ( ), ( ( )))* * # *x t u t u x t- - - , è ñîîòâåòñòâóþùåå äîïîëíåíèå ( ( ), ( ),* *x t u t^ ^
u x t x t u t u x t x t u t
^ - -= -# * * * # * * *( ( ))): ( ( ), ( ), ( ( ))) ( ( ), ( ), ( ( )))# *u x t- .
Ëåììà 1. Âåêòîð-ôóíêöèè
t x t u t u x t T Ua ( ( ), ( ), ( ( ))):* * # *
- - - ® , t x t u t u x t T Ua ( ( ), ( ), ( ( ))):* * # *
^ ^ ^
®
ÿâëÿþòñÿ m-èçìåðèìûìè. (Â ñèëó ñåïàðàáåëüíîñòè U ñëàáàÿ è ñèëüíàÿ èçìå-
ðèìîñòè ñîâïàäàþò [1, c. 187].)
Ëåììà 2. Ïðåäñòàâëåíèå ( , , ( )) ( , , ( )) ( , , ( ))* * # * * * # * * * # *x u u x x u u x x u u x= +- - - ^ ^ ^
íå çàâèñèò îò âûáîðà àëãåáðàè÷åñêîãî áàçèñà GE , ïðè ýòîì ( , , ( )),* * # *x u u x- - -
( , , ( ))* * # *x u u x H^ ^ ^
Î 2 .
Ïóñòü W E è W ^
* — çàìûêàíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H 2 ñîîòâåòñòâåí-
íî ëèíåéíûõ ìíîãîîáðàçèé Span{ }c c× Î Î( , , ( )): , ( , , ( ))# #x u u x F x u u x E è
Span { }c c× Î^ ^ ^
( , , ( )):* * # *x u u x F , ãäå F L T RÌ ( , , )m — ñåìåéñòâî êëàññîâ ýêâèâà-
ëåíòíîñòè (mod m) âñåõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé, èíäóöèðîâàííûõ ýëåìåí-
òàìè s-àëãåáðû j m.
Ëåììà 3. Ïîäïðîñòðàíñòâà W E , W ^
* îðòîãîíàëüíû, ò.å. W WE ^ ^
* .
Çàìå÷àíèå 1. Âåçäå äàëåå äëÿ äâóõ çàìêíóòûõ ïîäïðîñòðàíñòâ èç ïðîñòðàíñòâà H 2
òàêèõ, ÷òî èõ ïåðåñå÷åíèå åñòü { }0 2Ì H , à âåêòîðíàÿ ñóììà çàìêíóòà â H 2 , óñëîâèì-
ñÿ çíàê èõ âåêòîðíîãî ñëîæåíèÿ îáîçíà÷àòü Å, â ÷àñòíîñòè òåîðåìà 14.Ñ [4, c. 42] è
ëåììà 3 ñïîñîáñòâóþò êîððåêòíîé çàïèñè W WE Å ^
* .
Âîçíèêàåò âîïðîñ: ïðè êàêèõ àíàëèòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ, íàêëàäûâàåìûõ íà
ìíîæåñòâà óïðàâëÿåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ N è { }( , , ( ))* * # *x u u x , «ðàñ-
øèðåííîå» ñåìåéñòâî ïðîöåññîâ N x u u xÈ{ }( , , ( ))* * # * îáëàäàåò äèôôåðåíöè-
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
àëüíîé ðåàëèçàöèåé (1)? Íà îäíîì èç ïóòåé ãåîìåòðè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà-
÷è âûñòóïàåò ïîñòðîåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïðèçíàêà (ñì. íèæå òåîðåìó 1),
îïðåäåëÿþùåãî ðàâåíñòâî
W W W WE E+ = Å ^
* * , (2)
ãäå W * — çàìûêàíèå â H 2 ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ Span {c × ( , , ( )):* * # *x u u x
c ÎF}, ïîñêîëüêó ÷àñòíàÿ ôîðìà ðàâåíñòâà (2), à èìåííî âèäà
W W W WE EÅ = Å ^
* * , (3)
ïîëîæèòåëüíî îòâå÷àåò íà âîïðîñ î ðåàëèçàöèè ðàñøèðåííîãî ïó÷êà
N x u u xÈ{ }( , , ( ))* * # * â êîíòåêñòå ïîäõîäà ê ãåîìåòðè÷åñêîìó ðåøåíèþ çàäà÷è
ðàñøèðåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè, îñíîâàííîãî íà òåîðåìå 14.C [4, c. 42]
è òåîðåìå 3 [2]; íèæå îäíî õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî ðàâåíñòâà (3) îáíàðóæèâàåò
òåîðåìà 2.
Äàëåå T t T x t u t u x t0 0: :( ( ), ( ), ( ( )))* * # *= Î =^ ^ ^
{ }, v v^
* *, — ëåáåãîâñêèå ïîïîë-
íåíèÿ ìåð
| | ( ( ), ( ), ( ( )))| | ( ),* * # *
S
U
x u u x d Sò ^ ^ ^
Ît t t m t j m
2 ,
| | ( ( ), ( ), ( ( )))| | ( ),* * # *
S
U
x u u x d Sò Ît t t m t j m
2 .
Òåîðåìà 1. Ðàâåíñòâî W W W WE E+ = Å ^
* * èìååò ìåñòî â òîì è òîëüêî
â òîì ñëó÷àå, åñëè
L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* *
^ ^= ×c ,
ãäå c^ — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà T T\ 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ñâåäåì ê óñòàíîâëåíèþ ëåììû 4 è ëåììû 5.
Ëåììà 4. Ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå W W W WE E+ Ì Å ^
* * .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ¢ Îw W * , òîãäà ñîãëàñíî ëåììå 4 [2] ¢ =w
= l l l¢ = ¢ + ¢- - - ^ ^( , , ( )) ( , , ( )) ( , ,* * # * * * # * * *x u u x x u u x x u u
^
# *( ))x , ¢ Îl L T v R2 ( , , )* .
Äàëåå, ïîñêîëüêó äëÿ êàæäîé ôóíêöèè l ÎL T v R2 ( , , )* èìååì
l l2 2 2( )| | ( ( ), ( ), ( ( )))| | ( )| | ( ( ),* * # * *t x t u t u x t t x t
U
³ ^ u t u x t
U^ ^
* # *( ), ( ( )))| |2 ,
ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå âëîæåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ:
L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* *Ì ^ ,
îòñþäà ¢ × Î^ ^ ^ ^l ( , , ( ))* * # * *x u u x W (íà îñíîâàíèè àíàëèòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ïîä-
ïðîñòðàíñòâà W ^
* , ïðèâåäeííîé â ëåììå 4 [2]). Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó ïðîèç-
âîëüíîñòè âûáîðà ýëåìåíòà ¢ Îw W * ëåììà áóäåò äîêàçàííîé, êîëü ñêîðî îáíà-
ðóæèì ¢ × Î- - -l ( , , ( ))* * # *x u u x EW . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü (ñëåäñòâèå
[1, c. 157]), ÷òî < ¢ × ¢¢ > =- - -l w( , , ( )),* * # *x u u x H2
0, ãäå < × ×>, H2
— ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå â H 2 , äëÿ âñåõ ¢¢ Îw H 2 òàêèõ, ÷òî < ¢¢ > =w w, H2
0 ïðè ëþáîì
w c cÎ × Î ÎSpan { }( , , ( )) : , ( , , ( ))# #x u u x F x u u x E , ÷òî ðàâíîñèëüíî óñòàíîâèòü
¢¢ ^ Îw ( ) ( ( ), ( ), ( ( ))) :( , , ( )) ,# #t x t u t u x t x u u x Gi i ESpan { i =12, ,K }
m-ïî÷òè âñþäó â T , çäåñü ^ — îòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè â ñòðóêòóðå ïðî-
ñòðàíñòâà U .
Ðàçëîæèì â êàæäîé òî÷êå t TÎ âåêòîð-ôóíêöèþ ¢¢ ×w ( ) â ñóììó ¢¢ +-w ( )t
+ ¢¢ = ¢¢^w w( ) : ( )t t , ãäå ¢¢ Î Î-w ( ) ( ( ), ( ), ( ( ))) :( , , ( ))# #t x t u t u x t x u u x Gi i ESpan { ,
i =12, ,K} è ¢¢̂w ( )t îðòîãîíàëüíî ê Span{( ( ), ( ), ( ( ))) :( , , ( ))# #x t u t u x t x u u xi i Î
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 123
Î =G iE , , ,1 2 K }. Òîãäà åñëè ¢¢ ¹-w 0, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî
S S* *, ( )Î >j mm 0, ÷òî ¢¢ ¹-w ( )t 0 " Ît S * , ïðè ýòîì â áàçèñå GE íàéäåòñÿ òàêîé
âåêòîð ( , , ( ))#x u u x i , ÷òî áóäåò ( ( ), ( ), ( ( )))#x t u t u x t i ¹ 0 m-ïî÷òè âñþäó â S * ;
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå äëÿ m-ïî÷òè âñåõ t SÎ * áóäóò «ðåàëèçîâàòüñÿ» ðàâåíñòâà
Span {( ( ), ( ), ( ( ))) :( , , ( )) , , ,# #x t u t u x t x u u x G ii i EÎ =1 2 K } { }= 0
è, ñëåäîâàòåëüíî, â òàêîì ïîëîæåíèè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ¢¢ =-w 0.
Òåïåðü îáîçíà÷èì S +
* è S -
* ïîäìíîæåñòâà (ðàçáèåíèå) S * , ðàâíûå
S t S t x t u t u x t i U+ -= Î < ¢¢ > ³* * #: ( ), ( ( ), ( ), ( ( ))){ }w 0 ,
S t S t x t u t u x t i U- -= Î < ¢¢ > <* * #: ( ), ( ( ), ( ), ( ( ))){ }w 0 .
Î÷åâèäíî, ÷òî õîòÿ áû îäíî èç ìíîæåñòâ S +
* èëè S -
* èìååò íåíóëåâóþ ìåðó.
Ïóñòü ýòî áóäåò ìíîæåñòâî S +
* . Òîãäà, î÷åâèäíî,
c c c+ Span {× Î × Î( , , ( )) ( , , ( )): , ( , , ( ))# # #x u u x x u u x F x u u xi ÎE}
è
< ¢¢ × > >-w c, ( , , ( ))#
+ x u u x i H2
0,
ãäå c+ — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà S +
* . ßñíî, ÷òî ïîëó÷àåì
< ¢¢ × > >w c, ( , , ( ))#
+ x u u x i H2
0, â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ óñëî-
âèÿìè, îïðåäåëèâøèìè âûøå êîíñòðóêöèþ ôóíêöèîíàëà ¢¢w . Ëåììà äîêàçàíà.
Ïðèâåäåííîå äîêàçàòåëüñòâî ñîäåðæèò ïîëåçíîå óòî÷íåíèå.
Ñëåäñòâèå 1. Èìååò ìåñòî L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* *Ì ^ .
Ëåììà 5. Ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå W W W WE E L T v R+ É Å Û =^ ^
* * *( , , )2
= ×^c L T v R2 ( , , )* .
Äîêàçàòåëüñòâî (Þ). Ïóñòü l w Î ^L T v R2 ( , , )* è w l w: ( , , ( ))* * # *= × ^ ^ ^
x u u x ,
îòêóäà (ëåììà 4 [2]) w Î Å ^W WE
* , à çíà÷èò (ïðåäïîëîæåíèå Þ), w Î +W WE
* .
Òîãäà â ñèëó w Î Å ^W WE
* âåêòîð w èìååò ðàçëîæåíèå (åäèíñòâåííîå) âèäà
w w l w= ¢ + × ^ ^ ^
( , , ( ))* * # *x u u x , ãäå ¢ = Îw 0 W E , ïðè ýòîì â ñèëó w Î +W WE
*
ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå
w w l w l l= ¢¢ + × = ¢¢ + × +- - -
* * * # * * * * # *( , , ( )) ( , , ( ))x u u x x u u x * * * # *( , , ( ))× ^ ^ ^
x u u x ,
ãäå ¢¢Îw W E , l* *( , , )Î L T v R2 . Ïîñêîëüêó (ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû âûâîäó
ëåììû 4 [2]) èìåþò ìåñòî âêëþ÷åíèÿ l* * * # *( , , ( ))× Î- - -x u u x EW ,
l* * * # * *( , , ( ))× Î^ ^ ^ ^x u u x W , òî ¢ = ¢¢ + × - - -w w l* * * # *( , , ( ))x u u x è l w × ^ ^( , ,* *x u
u x x u u x
^ ^ ^ ^
= ×# * * * * # *( )) ( , , ( ))l . Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷eòîì íàëè÷èÿ ëèíåéíîé
èçîìåòðèè ìåæäó L T v R2 ( , , )*
^ è W ^
* (ëåììà 4 [2]) l c lw = ×^
* , îòêóäà â èòî-
ãå â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ôóíêöèè l w , ïîëó÷àåì L T v R2 ( , , )*
^ Ì
Ì ×^c L T v R2 ( , , )* èëè ñ ó÷åòîì ñëåäñòâèÿ 1 L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* *
^ ^= ×c .
(Ü) Ïóñòü w Î Å ^W WE
* . Òîãäà w w l w= ¢ + × ^ ^ ^
( , , ( ))* * # *x u u x , ãäå ¢ Îw W E ,
l w Î ^L T v R2 ( , , )* . Òàê êàê (ïðåäïîëîæåíèå Ü) l cw Î ×^ L T v R2 ( , , )* , ñïðàâåäëè-
âà ñâÿçêà ðàâåíñòâ
¢ + × = ¢ + × +^ ^ ^ ^ ^ ^
w l w l lw w w( , , ( )) ( , , ( ))* * # * * * # *x u u x x u u x × -- - -( , , ( ))* * # *x u u x
- × = ¢ - × + ×- - - - - -l w l lw w w( , , ( )) ( , , ( )) (* * # * * * # *x u u x x u u x x u u x* * # *, , ( )),
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
ñëåäîâàòåëüíî, w Î +W WE
* â ñèëó ( ( , , ( )))* * # *¢ - × Î- - -w l w x u u x EW , l w × ( ,*x
u u x* # * *, ( )) ÎW . Ëåììà äîêàçàíà.
Ïðèâåäåì âàðèàíò õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ óñëîâèé ðàâåíñòâà (3).
Òåîðåìà 2. Ïðè âûïîëíåíèè T0 = Æ (mod m) ñïðàâåäëèâî ïðåäëîæåíèå
W W W WE E L T v R L T v RÅ = Å Û =^ ^
* * * *( , , ) ( , , )2 2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñ îäíîé ñòîðîíû, òî, ÷òî W W W WE E+ = Å Û^
* *
Û =^L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* * , — ïðÿìàÿ êîíñòàòàöèÿ òåîðåìû 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
ïîäòâåðæäåíèå ðàâåíñòâà W WE HÇ = Ì* { }0 2 âûòåêàåò èç ïðåäïîëîæåíèÿ {t TÎ :
( ( ), ( ), ( ( )))* * # *x t u t u x t^ ^ ^
= = Æ0} (mod m) è ñëåäñòâèÿ òåîðåìû Ìàçóðà [1, c. 157].
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Òåîðåìà 1 (ñ ó÷åòîì âûâîäà ëåììû 5) è òåîðåìà 2 ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ïðèâëå-
÷åíèè òåîðåìû 14.Ñ [4, c. 42] è òåîðåìû 3 [2] äåëàþò ñïðàâåäëèâûì çàêëþ÷åíèå.
Ñëåäñòâèå 2. Ñëåäóþùèå òðè ñâîéñòâà ýêâèâàëåíòíû:
L T v R L T v R L T v R2 2 2( , , ) ( , , ) ( , , )* * *
^ ^ ^Ì × Û =c
= × Û Å = +^ ^c L T v R E E2 ( , , )* * *W W W W ,
è åñëè T0 = Æ (mod m), òî ëþáîå èç ýòèõ ñâîéñòâ ïðåâðàùàåò ïó÷îê
N x u u xÈ{ }( , , ( ))* * # * â ìíîæåñòâî äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ äèôôåðåíöèàëü-
íîé ðåàëèçàöèåé (1).
Çàìå÷àíèå 2. Ñëåäñòâèå 2 ïîçâîëÿåò íàçâàòü òåîðåìó 2 ïðÿìîé òåîðåìîé îá
ýëåìåíòàðíîì àëãåáðàè÷åñêîì ðàñøèðåíèè äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè, ïðè
ýòîì ãèïîòåçà T0 = Æ (mod m), N x u u xÈ{ }( , , ( ))* * # * îáëàäàåò ðåàëèçàöèåé (1) Þ
Þ Ì^L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* * â îáùåì ñëó÷àå íå ïîäòâåðæäàåòñÿ, ÷òî èëëþñòðè-
ðóåò ñëåäóþùèé ïðîñòîé ïðèìåð.
Ïðèìåð 1. Ïóñòü X Y R= = , T = -[ , ]1 1 , u# ( )× = 0 è N t e t Tt= Î{ }a ( , , ):0 0 ,
{ } { }( , , ( )) ( / , , ):* * # *x u u x t e t t t Tt= + Îa
2 2 0 .
Î÷åâèäíî, ÷òî T0 = Æ (mod m) è ïó÷îê N x u u xÈ{ }( , , ( ))* * # * èìååò ðåàëèçà-
öèþ (1); çàìåòèì, ÷òî T0 = Æ. Òîãäà L T v R L T R2 2( , , ) ( , , )* = m è L T v R2 ( , , )*
^ ,
v^ =* = ò t m t2 ( )d , òàê êàê ( ( ), ( ), ( ( ))) ( , , )* * # *x t u t u x t t^ ^ ^
= 0 0 . ßñíî, ÷òî
1 2/ ( , , )*t L T v RÎ ^ , 1 2/ ( , , )t L T RÏ m , îòêóäà L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* *
^ Ë ; ñëåäîâà-
òåëüíî, â ñèëó ëåììû 5 òàêæå çàêëþ÷àåì, ÷òî W W W WE EÅ Ë +^
* * .
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî êîíñòðóêöèÿ, ïîäîáíàÿ ïðèìåðó 1,
íå ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ â ôóíêöèîíàëüíîì êëàññå AC T X( , )´ ´ Ì{ } { }0 0 P, ò.å.
äëÿ ñâîáîäíûõ òðàåêòîðèé (K-ðåøåíèé); ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äëÿ N Ì
Ì ´ ´AC T X( , ) { } { }0 0 ñëåäñòâèå 3 â èçâåñòíîì ñìûñëå îáðàòíî ñëåäñòâèþ 2
(ñì. çàìå÷àíèå 2).
Ñëåäñòâèå 3. Åñëè N AC T XÌ ´ ´( , ) { } { }0 0 , Card N < ¥ è N xÈ{ }( , , )* 0 0 —
ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé ñ ðåàëèçàöèåé (1) ïðè u = 0, u# = 0, òî âûïîëíÿþòñÿ ñîîò-
íîøåíèÿ
T0 = Æ, L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* *
^ = , W W W WE EÅ = Å ^
* * .
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî T0 = Æ, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó-
÷àå ñóùåñòâóåò ìîìåíò âðåìåíè t T* Î , ïðè êîòîðîì x t x ti i
*
* ( ) *( ) ( )= Sa , ãäå âñå
êîíñòàíòû a i , çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà, ðàâíû íóëþ, x i( ) — ïåðâàÿ êîì-
ïîíåíòà òðîéêè ( , , )x Gi E0 0 Î . Ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèÿ x * ( )× èìååò ïðåäñòàâ-
ëåíèå a i ix( ) ( )×å â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ, ïðîõîäÿùåãî â ìîìåíò t* ÷å-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 125
ðåç òî÷êó x t*
*( ) äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîé ñèñòåìû (1) ñ ( , , )A 0 0 2 -ìîäåëüþ, îòâå÷à-
þùåé ìíîæåñòâó äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ N xÈ{ }( , , )* 0 0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
âûäâèíóòîìó ðàíåå óñëîâèþ ( , , )*x E0 0 Ï .
Äàëåå, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè òðàåêòîðèè x * ( )× è êîìïàêòíîñòè èíòåðâàëà T
ñóùåñòâóþò òàêèå âåùåñòâåííûå êîíñòàíòû c c1 2 0, > , ÷òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
inf { } sup{ }| | ( )| | : , | | ( )| | :* *x t t T c x t t T cX XÎ = Î =1 2 ,
àíàëîãè÷íî (ñ ó÷åòîì T0 = Æ, Card N < ¥) äëÿ íåêîòîðûõ c c3 4 0, > áóäåò
inf { } sup{ }| | ( )| | : , | | ( )| | :* *x t t T c x t t T cX X^ ^Î = Î =3 4 .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîâïàäàþò êëàññû âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ôóíêöèé, ñóììèðó-
åìûõ ñ êâàäðàòîì íà T ïî ìåðàì v x d
X^ = ò
* *| | ( )| | ( )t m t2 , v x d
X^ ^= ò
* *| | ( )| | ( )t m t2 ,
ò.å. L T v R L T v R2 2( , , ) ( , , )* *= ^ , à çíà÷èò (ñì. òåîðåìó 2), W W W WE EÅ = Å ^
* * .
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Åñëè ïîñìîòðåòü íà òåîðåìó 2 ïîä ðàêóðñîì íåóïðàâëÿåìûõ òðàåêòîðèé ñèñ-
òåìû (1), òî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî àíàëèòèêà âûâîäà óñëîâèÿ L T v R2 ( , , )* =
= ^L T v R2 ( , , )* â äîêàçàòåëüñòâå ñëåäñòâèÿ 3 ïîçâîëÿåò óñèëèòü ýòó òåîðåìó äî
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïðèçíàêà ýëåìåíòàðíîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ
äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè êîíå÷íîãî ïó÷êà íåóïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ
N AC T XÌ ´ ´( , ) { } { }0 0 .
Òåîðåìà 3. Â ñåìåéñòâå ñâîáîäíûõ K-ðåøåíèé îäíîýëåìåíòíîå ðàñøèðå-
íèå äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè êîíå÷íîãî ïó÷êà òðàåêòîðèé âîçìîæíî, åñëè
è òîëüêî åñëè T0 = Æ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåí è ðàçâèò êà÷åñòâåííûé ìåòîä àíàëèçà ãåîìåòðè-
÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñóùåñòâîâàíèÿ íåñòàöèîíàðíîé ( , , )#A B B 2 -ìîäåëè, âêëþ-
÷àþùåé â êëàññ ñâîèõ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé ðàñøèðåííûé ñ÷åòíûé ïó÷îê ñëîæ-
íûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Äàííàÿ ïðîáëåìà ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêè ñàìîäîñ-
òàòî÷íîé, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò èñêëþ÷èòåëüíûé èíòåðåñ ñ ïîçèöèé ïîíèìàíèÿ
òîíêîé òîïîëîãî-àëãåáðàè÷åñêîé ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà óïðàâëÿåìûõ äèíàìè÷åñ-
êèõ ïðîöåññîâ, îáëàäàþùèõ äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèåé (1). Âîçìîæíî, ÷òî
ñëåäóþùàÿ ïðîäóêòèâíàÿ èíòåíöèÿ â ýòîì èññëåäîâàíèè ëåæèò â óòî÷íåíèè, íà-
ñêîëüêî ãåîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî (2) â ñòðóêòóðå ïðîñòðàíñòâà H 2 , ïîçâîëèâøåå
ïîëó÷èòü òåîðåìó 2 îá îäíîýëåìåíòíîì ðàñøèðåíèè äèíàìè÷åñêîãî ïó÷êà, çàâè-
ñèò îò óñëîâèÿ T0 = Æ (mod m), âêëþ÷àÿ àâòîíîìíûå ñèñòåìû ðåàëèçàöèè [5].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. È î ñ è ä à Ê . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1967. — 624 ñ.
2. R u s a n o v V . A . , A n t o n o v a L . V . , D a n e e v A . V . Inverse problem of nonlinear systems
analysis: A behavioral approach // Advances in Differential Equations and Control Processes. — 2012. —
10, N 2. — P. 69–88.
3. Ð ó ñ à í î â Â . À . , Ë à ê å å â À . Â . , Ë è í ê å Þ . Ý . Ñóùåñòâîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå â êîíñòðóêöèÿõ ðàñøèðåíèé äî Mp-îïåðàòîðîâ //
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 2013. — 49, ¹ 3. — C. 358–370.
4. Ì à ñ ñ å ð à Õ . Ë . , Ø å ô ô å ð Õ . Õ . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíûå
ïðîñòðàíñòâà. — Ì.: Ìèð, 1970. — 456 ñ.
5. Ð ó ñ à í î â Â . À . , Ë à ê å å â À . Â . , Ë è í ê å Þ . Ý . Ê ðàçðåøèìîñòè äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçà-
öèè ìèíèìàëüíîãî äèíàìè÷åñêîãî ïîðÿäêà ñåìåéñòâà íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ «âõîä–âûõîä» â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 2015. — 51, ¹ 4. — Ñ. 524–537.
Ïîñòóïèëà 21.11.2014
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
|