Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества
Получены условия слабой сходимости диффузионного процесса переноса с марковскими переключениями и управлением с точкой равновесия функций критерия качества, для которой построена процедура стохастической аппроксимации в схеме серий....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124848 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества / А.В. Никитин // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 169-175. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124848 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1248482025-02-09T17:32:06Z Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества Асимптотика стохастичного дифузійного процесу перенесення з точкою рівноваги критерію якості The asymptotic properties of the stochastic diffusion transport process with the point of equilibrium of the quality criterion Никитин, А.В. Системный анализ Получены условия слабой сходимости диффузионного процесса переноса с марковскими переключениями и управлением с точкой равновесия функций критерия качества, для которой построена процедура стохастической аппроксимации в схеме серий. Отримано умови слабкої збіжності дифузійного процесу перенесення з марковськими перемиканнями та керуванням з точкою рівноваги функцій критерію якості, для якої побудовано процедуру стохастичної апроксимації у схемі серій. We obtain the conditions for weak convergence of diffusive process of transfer with the Markov switchings and control with the point of equilibrium of functions of quality criteria, for which the procedure of stochastic approximation in a number of series. 2015 Article Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества / А.В. Никитин // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 169-175. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124848 519.21+62 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Никитин, А.В. Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества Кибернетика и системный анализ |
| description |
Получены условия слабой сходимости диффузионного процесса переноса с марковскими переключениями и управлением с точкой равновесия функций критерия качества, для которой построена процедура стохастической аппроксимации в схеме серий. |
| format |
Article |
| author |
Никитин, А.В. |
| author_facet |
Никитин, А.В. |
| author_sort |
Никитин, А.В. |
| title |
Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества |
| title_short |
Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества |
| title_full |
Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества |
| title_fullStr |
Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества |
| title_full_unstemmed |
Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества |
| title_sort |
асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124848 |
| citation_txt |
Асимптотика стохастического диффузионного процесса переноса с точкой равновесия критерия качества / А.В. Никитин // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 169-175. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT nikitinav asimptotikastohastičeskogodiffuzionnogoprocessaperenosastočkojravnovesiâkriteriâkačestva AT nikitinav asimptotikastohastičnogodifuzíjnogoprocesuperenesennâztočkoûrívnovagikriteríûâkostí AT nikitinav theasymptoticpropertiesofthestochasticdiffusiontransportprocesswiththepointofequilibriumofthequalitycriterion |
| first_indexed |
2025-11-28T17:23:55Z |
| last_indexed |
2025-11-28T17:23:55Z |
| _version_ |
1850055741434494976 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21+62
À.Â. ÍÈÊÈÒÈÍ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈÊÀ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÎÃÎ
ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÏÅÐÅÍÎÑÀ Ñ ÒÎ×ÊÎÉ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÊÐÈÒÅÐÈß
ÊÀ×ÅÑÒÂÀ
Àííîòàöèÿ. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà ïåðåíîñà
ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè è óïðàâëåíèåì ñ òî÷êîé ðàâíîâåñèÿ ôóíêöèé êðèòåðèÿ
êà÷åñòâà, äëÿ êîòîðîé ïîñòðîåíà ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè â ñõåìå ñåðèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôóçèîííîå óðàâíåíèå, ãåíåðàòîð íà áàíàõîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå, ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñëó÷àéíàÿ ýâîëþöèÿ â âèäå äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà ñ óïðàâëåíèì, êîòîðîå
îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì äîñòèæåíèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè êðèòåðèÿ êà÷åñòâà,
èçó÷àëàñü â [1, 2]. ×àñòíûì ñëó÷àåì åñòü ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ðàâíîâåñèÿ
êðèòåðèÿ êà÷åñòâà, êîòîðûé âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ ïðèêëàäíèõ çàäà÷àõ îïòè-
ìàëüíîãî îöåíèâàíèÿ [3, 4]. Îòäåëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à àñèìïòîòè÷åñêî-
ãî ïîâåäåíèÿ ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûìè âîçìóùåíèÿìè [5]. Èçó÷åíèþ ïîñëåäíåé
ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàëîãî ïàðàìåòðà â ñõåìàõ ñåðèé è äèôôóçèîííîé àïïðîê-
ñèìàöèè ïîñâÿùåíà ðàáîòà [6]. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâ âàæíûõ óòâåðæäåíèèé èñ-
ïîëüçîâàíà ìîäåëüíàÿ òåîðåìà Êîðîëþêà [7]. Â [8] ðàññìîòðåíà íåïðåðûâíàÿ
ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñ íåïîñðåäñòâåííûì âëèÿíèåì ìàð-
êîâñêîãî ïðîöåññà íà ôóíêöèè ðåãðåññèè è èìïóëüñíîå âîçìóùåíèå â ñõåìå
äèôôóçèîííîé àïïðîêñèìàöèè.
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ñõîäèìîñòè äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà ïåðåíîñà ñ ìàð-
êîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè è óïðàâëåíèåì ñ òî÷êîé ðàâíîâåñèÿ ôóíêöèè êðèòåðèÿ êà-
÷åñòâà, äëÿ êîòîðîé ñòðîèòñÿ ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè â ñõåìå ñåðèé.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü ïðîöåññ ïåðåíîñà y t
d( ) ÎR îïðåäåëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëü-
íûì óðàâíåíèåì
dy t a y t x t dt y t x t u t dw t( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( )= + s , (1)
ãäå x t t( ), > 0, — ðàâíîìåðíî ýðãîäè÷åñêèé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ â èçìåðèìîì
ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ( , )X X [6], îïðåäåëåí ãåíåðàòîðîì
Q x q x P x dy y x
X
j j j( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )]= -ò (2)
íà áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå B X( ) âåùåñòâåííîçíà÷íûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé
j( )x ñ ñóïðåìóì-íîðìîé
| | ( )| | sup | ( )|j jx x
x X
=
Î
.
Ãåíåðàòîð Q ÿâëÿåòñÿ ïðèâåäåííî-îáîðîòíûì íà B X( ) ñ ïðîåêòîðîì Pj( ):x =
: ( ) ( )= ò p jdx x
X
, ãäå p( )B ( )B ÎX — ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå ìàðêîâñêîãî ïðî-
öåññà x t( ), t ³ 0, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèé p r( ) ( ) ( )dx q x q dx= ,
q dx q x
X
= ò p( ) ( ) (r( )dx — ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå âëîæåííîé öåïè Ìàðêîâà xn ,
n ³ 0), è ïîòåíöèàëîì R0 ìàðêîâñêîé ïîëóãðóïïû R Q0
1= - + -P P[ ] .
169 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
Ó À.Â. Íèêèòèí, 2015
Ôóíêöèè a y x a y x k dk( , ) ( ( , ), , )= =1 , s s( , , ) ( ( , , ), , )y x u y x u k dk= =1 , y
dÎR ,
x XÎ , óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ýâîëþöè-
îííûõ óðàâíåíèé
dy t a y t x dt y t x u t dw tx x x x( ) ( ( ), ) ( ( ), , ( )) ( )= + s , x XÎ , (3)
äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ x ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà x t( ), t ³ 0, íà
èíòåðâàëå [ , ]t ti i+1 ïðåáûâàíèÿ ïðîöåññà x t( ), t ³ 0, â ñîñòîÿíèè x XÎ .
Ïóñòü êðèòåðèé êà÷åñòâà ïðîöåññà ïåðåíîñà (1) îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé
G y x u( , , ), y
dÎR , èìåþùåé åäèíñòâåííóþ òî÷êó ðàâíîâåñèÿ ux
* íà èíòåðâàëå
[ , ]t ti i+1 , êîòîðûé âûòåêàåò èç óñëîâèÿ G y x ux x( , , ) = 0, èëè â îáùåì ïðåäñòàâëå-
íèè (1) óïðàâëåíèå u t( ) îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
G y t x t u t( ( ), ( ), ( )) = 0. (4)
Îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1) íà èíòåðâàëå [ , ]t ti i+1
ïðè íåñëó÷àéíîì óïðàâëåíèè u t( ) îáðàçóåò ìàðêîâñêèé ïðîöåññ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (4) â ñõåìå
ñåðèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì e > 0 ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
dy t a y t x t dt y t x t u t dw t
e e e ee s e( ) ( ( ), ( / )) ( ( ), ( / ), ( )) (= + ) (5)
è ïðîöåäóðó ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè
du t t G y t x t u t dt
e e ea e( ) ( ) ( ( ), ( / ), ( ))= (6)
ñ îáùèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
x x( )0 0= , y y( )0 0= , u u( )0 0= . (7)
ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ
Òåîðåìà 1. Ïóñòü a y u C
d d( , ) ( , )Î R R , s( , , ) ( , , )y x u C X
d dÎ R R , G y x u( , , ) Î
ÎC X
d d( , , )R R .
Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî e (e< e0 äîñòàòî÷íî ìàëîå) èìååò ìåñòî ñëàáàÿ
ñõîäèìîñòü
( ( ), ( )) ( $ ( ), $ ( ))y t u t y t u t
e e Þ , (8)
ïðåäåëüíûé ïðîöåññ ( $ ( ), $ ( ))y t u t îïðåäåëåí ãåíåðàòîðîì
L y u A y u y u B y u y xj j j( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= +
1
2
(9)
ñ ïðåäñòàâëåíèåì íà òåñò-ôóíêöèÿõ j( , ) ( , ),
y u C
d dÎ 3 2 R R
A y u a y y u t G y u y uy u( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )= ¢ + ¢j a j , (10)
ãäå a y a y x dx
X
( ) ( , ) ( )= ò p , G y u G y x u dx
X
( , ) ( , , ) ( )= ò p , B u y y u y uyy( , ) $ ( , ) ( , )= ¢¢s j2 ,
$ ( , ) ( , , ) ( )s s p2 2
y u y x u dx
X
= ò .
Ñëåäñòâèå 1. Ïðåäåëüíûé ïðîöåññ óïðàâëåíèÿ ( $ ( ), $ ( ))y t u t îïèøåì óðàâíåíèÿìè
d y t a y t dt y t u t dw$ ( ) ( $ ( )) ( $ ( ), $ ( ))= + s , (11)
du t t G y t u t dt$ ( ) ( ) ( $ ( ), $ ( ))= a . (12)
Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ ïåðåíîñà, êîòîðûé îïèñàí
â ñõåìå ñåðèé ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
dy t a y t x t u t dt y t x t u t
e e e e ee s e( ) ( ( ), ( / ), ( )) ( ( ), ( / ), (= + )) ( )dw t
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 170
ñ óïðàâëåíèåì u t
e ( ), êîòîðîå îïðåäåëåíî óðàâíåíèåì du t t G y t
e ea( ) ( ) ( ( ),=
x t u t dt( / ), ( ))e e è ñîñòàâëÿþùèìè a y x u G y x u y x u C X
d d( , , ), ( , , ), ( , , ) ( , , )s Î R R .
Òîãäà èìååò ìåñòî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ( ( ), ( )) ( $ ( ), $ ( ))y t u t y t u t
e e Þ , ãäå ïðåäåëü-
íûé ïðîöåññ îïðåäåëåí íà òåñò-ôóíêöèÿõ j( , , ) ( , , ), ,
y x u C X
d dÎ 3 0 3 R R ãåíå-
ðàòîðîì (9), ãäå A u y u y a y u y x G y u y uy u( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )j j j= ¢ + ¢ , a y u( , ) =
= ò a y x u dx
X
( , , ) ( )p .
Âíà÷àëå óñòàíîâèì íåñêîëüêî ñâîéñòâ ãåíåðàòîðà òðåõêîìïîíåíòíîãî ìàð-
êîâñêîãî ïðîöåññà y y tt t
e e= ( ), x x tt t
e e= ( ), u u tt t
e e= ( ), êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèåì
L y x y x u
e j( , ) ( , , ) =
= - =
®¥ + + +
lim
D D D DD
1
E y x u y x u y y
t t t t t t t[ ( , , ) ( , , ) | ;j je e e e
x x u ut t
e e= =; ] .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèìè ðàçëîæåíèÿìè ïðèðàùåíèé:
E y y x u uy x u t, , ( , , )j e+ + =
+
D D
D
= + + = = =
+
E y y x u u y y x x u u
t t t t[ ( , , ) / ; ; ]j e e e eD D
D
.
Ïîñêîëüêó
E y y x u uy x u t, , ( , , )j e+ + =
+
D D
D
= + +
+
òE y a y s x ds y s x u s dw sy x u
t
t
, , ( ( ), ) ( ( ), , ( )) ( ),j se e e
D
x u u
t
t
, +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
´
+
ò D
D
´ > + +
æ
è
ç
ç
+-
+
+òI E u a y s x dsy x u
t
t
t
( ) ( ( ), ), ,q e j e e1D
D
D
+ +
ö
ø
÷
÷+
+
+ò s qe e e e( ( ), , ( )) ( ), , ) (y s x u s dw s x u u I
t
t
t
tD
D
D
D < +-e 1D D) ( )o , (13)
ãäå q — âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà x t t( ), ³ 0, â ñîñòîÿíèè x, òî
I q x o( ) ( ) ( )q e e> = - +- -1 11D D D , I q x o( ) ( ) ( )q e e< = +- -1 1D D D .
Äëÿ ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â (13) èìååì
j se e e
y a y s x ds y s x u s dw s x u u
t
t
t
+ + +
+
ò ( ( ), ) ( ( ), , ( )) ( ), ,
D
D
t+
ò
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
D
= + +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
òj s e e
v y s x u s dw s x u u
t
t
( ( ), , ( )) ( ), , D
D
,
ãäå v y a y s x ds
t
t
= +
+
ò ( ( ), )e
D
.
Äëÿ ïîñëåäíåãî ïðåäñòàâëåíèÿ òåñò-ôóíêöèè ñ ó÷åòîì ± +j( , , )v x u uD èìååì
j s e e
v y s x u s dw s x u u
t
t
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+
ò ( ( ), , ( )) ( ), , D
D
171 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
= ¢ + +
+
òj s e e
y
t
t
v x u u y s x u s dw s( , , ) ( ( ), , ( )) ( )D
D
+ ¢¢ +
é
ë
ê
ê
ù
û
+
ò
1
2
j s e e
yy
t
t
v x u u y s x u s dw s( , , ) ( ( ), , ( )) ( )D
D
ú
ú
+ + +
2
j( , , ) ( ).v x u u oD D (14)
Òàê êàê
¢ + = ¢ + ¢¢ + =j j jy y uyv x u u v x u v x y u o( , , ) ( , , ) ( , , ) ( )D D D
= ¢ + ¢¢ +j j ay yuv x u v x u t G y x u o( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( )D D ,
¢¢ + = ¢¢ + ¢¢¢j j j ayy yy yyuv x u u v x u v x u t G y( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) (D , , ) ( )x u oD D+ ,
òî äëÿ (14) ïîëó÷èì
j s e e
v y s x u s dw s x u u
t
t
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+
ò ( ( ), , ( )) ( ), , D
D
= + ¢ + +j j a( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( )v x u v x u t G y x u ou D D
+ ¢ +
+
òj s e e
y
t
t
v x u y s x u s dw s( , , ) ( ( ), , ( )) ( )
D
+ ¢¢
+
a j s e e( ) ( , , ) ( , , ) ( ( ), , ( )) ( )t v x u G y x u y s x u s dw syu
t
t D
ò + +D Do( )
+ ¢¢
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
ò
1
2
2
j s e e
yy
t
t
v x u y s x u s dw s( , , ) ( ( ), , ( )) ( )
D
+
+ ¢¢¢
é
ë
ê
+
ò
1
2
a j s e e( ) ( , , ) ( ( ), , ( )) ( )t v x u y s x u s dw syyu
t
t D
ê
ù
û
ú
ú
+
2
G y x u o( , , ) ( )D D . (15)
Ó÷èòûâàÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïåðåìåííîé v è íåïðåðûâíóþ äèôôåðåíöèðóå-
ìîñòü òåñò-ôóíêöèé j, ïîëó÷àåì
j j je( , , ) ( ( ), ) , ( , , )v x u y a y s x ds x y x u
t
t
= +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= + ¢
+
ò
D
j y y x u a y x o( , , ) ( , ) ( )D D+ .
Àíàëîãè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ èìåþò âñå ñîñòàâëÿþùèå ñ ïåðåìåííîé v â (15).
Ïîýòîìó ñîãëàñíî (15)
j s e e
v y s x u s dw s x u u
t
t
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+
ò ( ( ), , ( )) ( ), , D
D
= + ¢ + + ¢j j a j( , , ) ( , , ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) (y x u y x u a y x o t y x u G yy uD D , , )x u D +
+ + ¢ +
+
òo y x u a y x y s x u s dw sy
t
t
( ) ( , , ) ( , ) ( ( ), , ( )) ( )D D
D
j s e e
o( )D +
+ ¢¢
+
a j s e e( ) ( , , ) ( , , ) ( ( ), , ( )) ( )t y x u G y x u y s x u s dw syu
t
t D
ò + +D Do( )
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 172
+ ¢¢
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
ò
1
2
2
j s e e
yy
t
t
v x u y s x u s dw s( , , ) ( ( ), , ( )) ( )
D
+ +o( )D
+ ¢¢¢
é
ë
ê
+
ò
1
2
a j s e e( ) ( , , ) ( ( ), , ( )) ( )t v x u y s x u s dw syyu
t
t D
ê
ù
û
ú
ú
+
2
G y x u o( , , ) ( )D D .
Ïîñêîëüêó äëÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñïðàâåäëèâû
ñîîòíîøåíèÿ
E y s x u s dw su x y
t
t
, , ( ( ), , ( )) ( )s e e
+
ò =
D
0,
E y s x u s dw s y x uy x u
t
t
, , ( ( ), , ( )) ( ) ( , ,s se e
+
ò
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=
D
2
2 ) ( )D D+ o ,
ïîëó÷àåì
E y y x u uy x u t, , [ ( , , )]j e+ + =
+
D D
D
= + ¢ + ¢j j a j( , , ) [ ( , , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , , )y x u y x u a y x t y x u G y x uy u ]D +
+ ¢¢ - +-1
2
2 1j s e jyy y x uy x u y x u q x E y x u( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ), ,D D
+ +-
+
e j e1
qE y x u oy x u t, , ( , , ) ( )
D
D D .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ãåíåðàòîðà L y x
e ( , ) èìååì
L y x y x u q x E y x uy x u t
e ej e j( , ) ( , , ) ( ) [ ( , , ), ,=
®
-
+
lim
D DD0
11
- +j( , , )]y x u
+ ¢ + ¢ + ¢¢j a j jy u yyy x u a y x t y x u G y x u y( , , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , , ) (
1
2
, , ) ( , , )x u y x us 2 =
= + ¢ + ¢-e j j a j1
Q y x u y x u a y x t y x u G y xy u( , , ) ( , , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , , )u +
+ ¢¢
1
2
2j syy y x u y x u( , , ) ( , , ).
Ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ ñôîðìóëèðóåì â âèäå óòâåðæäåíèÿ.
Ëåììà 1. Ãåíåðàòîð òðåõêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà
y y tt
e e: ( )= , x x tt
e e: ( / )= , u u tt
e e: ( )= , t ³ 0,
íà òåñò-ôóíêöèÿõ j( , , ) ( , , ), ,
y x u C X
d dÎ 3 0 2 R R èìååò ïðåäñòàâëåíèå
L y x y x u Q y x u L x y x u
e j e j j( , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )= +-1 , (16)
ãäå
L x y x u y x u a y x t y x u G y xy u( ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ,j j a j= ¢ + ¢ u) +
+ ¢¢
1
2
2j syy y x u y x u( , , ) ( , , ).
Ëåììà 2. Ðåøåíèå ïðîáëåìû ñèíãóëÿðíîãî âîçìóùåíèÿ äëÿ ãåíåðàòîðà
(16) íà òåñò-ôóíêöèÿõ j j eje ( , , ) ( , ) ( , , )y x u y u y x u= + 1 îïðåäåëÿåò ïðåäåëü-
íûé ãåíåðàòîð L y u L y u L y uy uj j j( , ) ( , ) ( , )= + , ãäå L y u a y y uy yj j( , ) ( ) ( , )= ¢ +
173 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
+ ¢¢
1
2
2s j( , ) ( , )y u y uyy , L y u t G y u y uu uj a j( , ) ( ) ( , ) ( , )= ¢ , a y a y x dx
X
( ) ( , ) ( )= ò p ,
G y u G y x u dx
X
( , ) ( , , ) ( )= ò p , s s p2 2( , ) ( , , ) ( )y u y x u dx
X
= ò .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå
L y x y x u Q y u Q y x u L x y u
e ej e j j j( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( ) ( , )= + + +-1
1 e jL x y x u( ) ( , , )1 ,
ãäå
L x y u a y x t G y x u y u y xy u( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , ,= ¢ + ¢ +j a j s
1
2
2
u y uyy) ( , )¢¢j ,
ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â âèäå q j q q( ) ( ) ( , , ) ( ) ( )x L x y x u x xy u= = +1 .
Âûðàæåíèå j1 ( , , )y x u çàïèøåì
j j j1 0( , , ) [ ( )] ( , )
~
( ) ( , )y x u R L L x y u R L x y u= - = ,
ãäå
~
( ) ~ ( , ) ( , ) ( )
~
( , , ) ( , ) ~ (L x a y x y u t G y x u y uy u= ¢ + ¢ +j a j s
1
2
2
y x u y uyy, , ) ( , )¢¢j ,
~( , ) ( ) ( , )a y x a y a y x= - ,
~
( , , ) ( , ) ( , , )G y x u G y u G y x u= - ,
~ ( , , ) ( , ) ( , , )s s s2 2 2
y x u y u y x u= - .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îñòàòî÷íûõ ÷ëåíîâ qy x( ) è qu x( ) èìååì
q j sy y yx a y x R a y x y u a y x R y( ) ( , ) [~ ( , ) ( , )] ( , ) [~ (= ¢ ¢ +0 0
21
2
, , ) ]x u yy y¢¢ ¢ +j
+ ¢ ¢¢ +
1
2
1
4
2
0
2
0s j s( , , ) [~ ( , ) ( , )] ( , , ) [y x u R a y x y u y x u Ry yu
~ ( , , ) ( , )]s j2
y x u y uyy yu¢¢ ¢¢ ,
q a ju u ux t a y x R G y x u y u( ) ( ) ( , ) [
~
( , , ) ( , )]= ¢ ¢ +0
+ ¢ ¢ +a j( ) ( , , ) [~ ( , ) ( , )]t G y x u R a y x y uy u0
+ ¢¢ ¢ +
1
2
0
2a s j( ) ( , , ) [~ ( , , ) ( , )]t G y x u R y x u y uyu u
+ ¢ ¢¢ +
1
2
2
0a s j( ) ( , , ) [
~
( , , ) ( , )]t y x u R G y x u y uu yy
+ ¢ ¢a j2
0( ) ( , , ) [
~
( , , ) ( , )]t G y x u R G y x u y uu u .
Ïî òåîðåìå Êîðîëþêà [7] L y uyj( , ) îïðåäåëÿåò ïðåäåëüíûé äèôôóçèîííûé
ïðîöåññ, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ d y t a y dt y u dw t$ ( ) ( $ ) ( $, $ ) ( )= + s
ñ óïðàâëåíèåì
du t G y u t dt$ ( ) ( $, $ ( ))= a .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1 ñëåäóåò èç ìîäåëüíîé
òåîðåìû Êîðîëþêà [7] è ðåçóëüòàòà ëåììû 2.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà V y u( , ) óñðåäíåííîé ñèñòåìû
¶
¶
=
u
v
G y u( , ) òàêàÿ, ÷òî óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
Ó1: G y u V y u cV y u( , ) ( , ) ( , )¢ < - ,
Ó2: | ( , ) [
~
( , , ) ( , )] | ( , )a y x R G y x u V y u c V y uu y0 1¢ ¢ £ ,
| ( , , ) [~ ( , ) ( , )] | ( , )G y x u R a y x V y u c V y uy u0 2¢ ¢ £ ,
| ( , , ) [~ ( , , ) ( , )] | ( , )G y x u R y x u V y u c V y uyu u0
2
3s ¢¢ ¢ £ ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 174
| ( , , ) [
~
( , , ) ( , )] | ( , )s 2
0 4y x u R G y x u V y u c V y uu yy¢ ¢¢ £ ,
| ( , , ) [
~
( , , ) ( , )] | ( ( , ))G y x u R G y x u V y u c V y uu u0 5 1¢ ¢ £ + .
Ïóñòü äàëåå ôóíêöèÿ a( )t òàêàÿ, ÷òî a( )t dt
0
¥
ò = ¥, a 2
0
( )t dt
¥
ò < ¥. Òîãäà
äëÿ e > 0, e e£ 0 , e0 — äîñòàòî÷íî ìàëîå, èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü
P u t u
t
{ lim
®¥
= =( ) }* 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ãåíåðàòîð ïðåäåëüíîãî óïðàâëåíèÿ
L V y u L V y u xu u u
e eq( , ) ( , ) ( )= + , äëÿ êîòîðîãî èç óñëîâèé Ó1, Ó2 ïîëó÷èì îöåíêó
L V y u c t V y u c t V y uu
e a a( , ) ( ) ( , ) * ( )( ( , ))£ - + +2 1 ,
èç êîòîðîé ïî òåîðåìå, ðàññìîòðåííîé â [3], ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Àñèìïòîòè÷åñêîå çíà÷åíèå óïðàâëåíèÿ u* äàåò âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåòü
ôëóêòóàöèè îòêëîíåíèÿ óïðàâëåíèÿ u t( ) îò u* , à òàêæå óñòàíîâèòü åãî îñíîâíûå
õàðàêòåðèñòèêè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ãè õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà,
1977. — 252 ñ.
2. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ:  2 ò. — Ì.: Ôèç-
ìàòãèç, 1994. — Ò. 1. — 544 ñ.
3. Í å â å ë ü ñ î í Ì . Á . , Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Ñòîõàñòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ è ðåêóððåíòíîå îöå-
íèâàíèå. — Ì.: Íàóêà, 1972. — 304 ñ.
4. Ê î ë ì à í î â ñ ê è é  . Á . Çàäà÷è îïòèìàëüíîãî îöåíèâàíèÿ // Ñîðîñîâñêèé îáðàçîâàòåëüíûé æóð-
íàë. — 1999. — ¹ 11. — Ñ. 122–127.
5. Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1987. — 328 ñ.
6. K o r o l y u k V . S . , L i m n i o s N . Stochastic Systems in merging Phase Space. — London;
Singapore; Hong Kong: World Scientific, 2005. — 332 p.
7. Ê î ð î ë þ ê  . Ñ . Ñòîõàñòè÷í³ ìîäåë³ ñèñòåì. — Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 1989. — 208 ñ.
8. Õ è ì ê à Ó . Ò . , × à á à í þ ê ß . Ì . Ðàçíîñòíàÿ ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñ èìïóëüñíûì
âîçìóùåíèåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — 49, ¹ 3. — Ñ. 145–162.
Ïîñòóïèëà 06.10.2014
175 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
|