Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
Сформулирована новая нелинейная задача гравиметрии, названная задачей Алексидзе. В постановке А. В. Черного она сводится к задаче восстановления потенциала силы тяжести по значениям модуля его градиента на границе Ляпунова. Рассмотрены некоторые аналитические свойства задачи. Ее решение в виде потен...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12490 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2009. — Т. 31, № 6. — С. 132-139. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860175021930971136 |
|---|---|
| author | Дубовенко, Ю.І. |
| author_facet | Дубовенко, Ю.І. |
| citation_txt | Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2009. — Т. 31, № 6. — С. 132-139. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Сформулирована новая нелинейная задача гравиметрии, названная задачей Алексидзе. В постановке А. В. Черного она сводится к задаче восстановления потенциала силы тяжести по значениям модуля его градиента на границе Ляпунова. Рассмотрены некоторые аналитические свойства задачи. Ее решение в виде потенциала простого слоя является последовательностью решения внешних граничных задач Неймана для уравнения Лапласа при условии, что решение не очень отклоняется от заданного. Плотность простого слоя определяется из решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода для силы тяжести.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:59:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
��������
��
�
��� ������������������ !�"�#$�%����$��&&'
�������
����
�������
��
���������
���
������������ ������� ������
������������
©©©©©���������
��
�
������
�������������������������� !��"���!#"���� !�
� $�%&' ����(�����)����
��
(��)�* +!�����!���,���)��!�-./�������0* ���*����
*���+�'���# � ���# )���'���%� )�� $ , ��� #�+�����"�� �# �� )�� $ ,�%��'����$��
-�.��� ��#���� /- �0��������� ��#�$���)���� $ ,��#���� ��#'���)�.����1� ' ���'2��)3����
.���� ,���)+�+�$�')������� $���� �� ��� ��1��4).���# �5 ��+�����2��������2�� � '���6
,�������#�%��# �� $ ,� �7����&�����#�#�$��.����1� ' �.���������'�)�)#')���)�.��'�$�# 6
��'8����89���&���)�#��&��:��� ��,�2:�� $ ,���%+ � �$')��� #����)�4 .' � �.�����'�6
#��"�,�����&���������,��8����'��)���)����� $ ����� �;'������8�.���������'�)��.��$�')��6
�)������&���)������� '8������� #����)�<��$��'8+ ��6�����$ �$')���'2��)3����
=�>?@�>A>BC>?DE�FEDGCH?IECJ�KAL>MDEN�OEAKB?H"�>DH?BN�D>�=B?PCMQ?�OEAKB?H�CR�RIDI?M �SI�CR
IE?DI?M�KN�� �TUAE>CC�DR�D�OEAKB?H�AV�FEDGCIN�OAI?>ICDB�E?>AGDICA>�KN�IU?�GDBL?R�AV�HAMLBLR�AV
CIR�FEDMC?>IR�FCG?>�A>�WCDOL>AGXR�KAL>MDEN �YU?�OEAKB?HXR�D>DBNICJDB�OEAO?EIC?R�DE?�JA>RCM?6
E?M �SIR�RABLICA>�DR�D�RCHOB?�BDN?E�OAI?>ICDB�JA>RCRIR�AV�IU?�R?ZL?>J?�AV�RABLICA>R�AV�?PI?E>DB
KAL>MDEN�[?LHD>>XR�OEAKB?HR�VAE�WDOBDJ?XR�?ZLDICA>�OEAGCM?M�IUDI�IU?�RABLICA>�MA?R�>AI�FE?DI6
BN�M?GCDI?�VEAH�IU?�FCG?>�A>? �=�RCHOB?�BDN?E�M?>RCIN�CR�M?VC>?M�KN�IU?�RABLICA>�AV�IU?��6>M�\C>M
]E?MUABH�C>I?FEDB�?ZLDICA>�VAE�IU?�FEDGCIN
^$��_9�����.�����,��:�.��('�+��'�+ ,��6
�)�$ ��:� ��+ '�%�.����1� '8��:�.�'�#�_���#�6
����)�� $�%��!�+���$����$')�.�(�$�#��� �!:
����#�� $��# ���:�#�+�� +��8���$���)������6
'���,����+����#��:�+�$�'�%��'�(����!�(�$�#�
��+��!����� ����+�����"�#���&���)�����+�:
.���' $��:� � #$ �8� �� #�+����!� � � ���$���! "
.�#X)� ��:���#�#,���)+�������"�#�����&�8�!
(�$�#��̀ �+'��,��.��)#�#�!!���#��&�8������ #�6
� 1�%�����.�')"�.����(�_�#�$�+����%�.������6
.�$�'� �� ,��8� .����1� '�� ��'�� �)3���)� ,�
+�$�')�%������ $�_�� ��')�#���&���)�1�:�� #6
$ �8�� ��.�,����$�#�'���������,��:�$ ��:"
.�������$��� ��8�����#������+���$������+ �6
�)�����:�#��_!�.�#��������(:�$��!������+ 1�!
� )#���+���$���� �����+ 1�!�.����1� '8��:
.�'�#�ab� #�� �#�$� � "��
���-���'�#"��
cd
$�#��&�9�8������9�.����1� '����_������+ ��#6
��+����#�#,�����#�����&�8�!�(�$�#��.' ��6
�� �^$� ��#����$ 9�8��+�������#X)��# ����
$��� ��8�9���,����9����,����&��� $ ,��'�&�
� ��+�#��� $ ��)�#:�$��!������+ 1�!�#�'�� '86
��:��(' ��):�.�#��!�+ '�!�+��� �*.��(�����6
��# �������'8� ���'�� '8��:����#X)���#�� �#�$6
��#'���)������+ 1�!�#��'�( '8��+��+ �&� (�
� �� 9�8���#$ ,��a�'����$��"��
c�d�,�����#�$6
�������8���,��:��� ��,��:�$ ��:�$')����#X)6
� ��)�#�$.�#�$��:��� ��,��:�� $ ,�e�����:6
'�"���%+ � "�*���� ef�'�$���8�����e�$')
��#�)��)�4 .' � �� �1�%�, ����+ _�+�3'�6
#�����%�.�)+��#�+��9# ����� ,���)��� #�� 6
1�%�����.����1� '�"��$� ��$����.���$ ����� #�6
+ ������:��.������3��8"�g��)#')9�8���(�9
�� ,���)�.��������+�$�')��� $�_�� �.����1�6
'����'���)3���)�hfb;*ij �*'�$�������� ��6
�)�1�+��$ ��+��$')������(����:�+��� �����6
+ 1�%�.����1� '��#��'�( '8��%��(' ���
`��� �����+ 1�%�.����1� '8��:�.�'�#����(6
'�#��+��1��� %+ _�� $ , �� ('�3������ � '�6
��,�����.��$�#3���)�.����1� '����'���)3��6
�)k�#�+�$�'�����'���,���������$�#�g �� ('�6
3����� $ ��� (��$������1� '8��%��.�� ���"
(���� ��,����+�#� �� �.� ���1��� %, ���&�
$')�#���&���)�18����� #$ ��)�#��������#�6
12�232�24��0��1���45����
�4�
5�(
%�
6�24��0747�%58�
5
������������������ !�"�#$�%����$��&&' ���
9�8�+�$�'8�����,��+�$������1� '8��+��.�6
� ����+�h� �+���,� � .�����+ 1�)��� ,��8���6
'���)3���)� )(� xg j���� $ ,��f�'�$���8����
a; ���'��#"�����d �-�$��#������� � ���# ��9
��,����9�.�'����'���)3���)�����#��&�8�+�
.��������� �%����� �+���,��+�� ('�3���)+
+�3� ����#X)� ��)+�#�$.�#�$��!��� ��,��!�� 6
$ ,��#��(' ����+ '�!�+���"�����'8�����#�g��� 6
$ ��:��� ��,��:�� $ , :�$ ����.������3��8
�'���9�8�'�&��� ('�3���+���� ��,��+���+�6
# +��,�������� �+���,����8�#�$.�#�$��:�����6
1�% �0�������� �+���,����8��.�� ��� ��� ��6
���+ ����a0���2%"��
�d�h.��� %+���� ���6
:�$�'�j������������ _�.�:�(� �#��� ,���)�.�6
���1� '�� )(� xg �����(�'8&���)+����+����'�6
� '8��!��(' ��� �i�+���� �����+ 1�!�� ���6
��#�� 1�:� � $ ,�+ 9�8� � � ���# ��� ��,����8
'�&��#��(' ��):�+ '�!�+����h)��.� #�'�"��°�×
×��°�������,����9�$����#��� ,���!��� '�!"�g�
� '�3��8�#�$����+����!�1�_!��(' ���j �̂ �3�"�� 6
� ���# � ���,����8����#X)��������_#��� '�3��8
#�$����+����!�h��'8_��������+���#j�'�� '8��!
�(' ����a0���2%"��
�d"� ��������!�$')�.�_$� �6
�)�'�� '8��:����#X)���#����'�( '8��:�.�(�$�6
# :�#�$�����
���+�����"�#��' ��,��+���.���(��#��� ,��6
�)��� #� ��+ '�%� )(� xg ����#� :�# � �� ��(6
�� #�� "�g��#���,� :���+��!�.�#��:���#������
�� '8��!������+ '8��!���'���)3���)�+�3��8
+ ����.��.�� 9�:,��,��������:�$3���)�.�6
#��:�����+�������'8_���� ��������16�'�.��!6
$ �h$�# ��������j"�g�����('�#��)��� #��.��6
)#')_�8�)�� ����������������e��� ����#����6
�8��:�� %�� : �;�������#�����_�� 1�9��� #�6
+����#�h� :�'��.��' $�#"���+�#'���������+����6
.���+����#�������#�.����1� '8��:�.�#��:��8"
g��.��:�$)�8�,������ $ ���.������#�+��9# �8j
: � �������_�.���������� � −=α )(cos iii mn "
)(cos �� " ++− ii mn �+�3����+ ')+��$����+��!
� ���#�.����1� '8��!�.�#��:��8�����,1��#�+�6
�9# �8
���19"� ���3�$�����&��#�'�,���"�� .��6
�' $"��� ,���)�� .�)+��:���������# "" )(cos ixn
�"�=i "�g��#��� , 9�8�� .�)+���'���)3���)"
���#�+��99�8�,�������' $����8���� ��� 1�!�� 6
��:��.������3��8���.�'8�#�:��+�# : �5��:�$6
3���) ��h .������ j�1�:�� .�)+�#����� '8��:
�+�# :���'�# _�8�)�#�$���$��l� ′′���+�3��.��6
�#�����$������"�g���'�(��������$����$�����"
)�����+�#'99�8�1�����:�$3���)"����#�$�(� 6
3 ��+��8�)�#��' ��,��:� ��+ '�): ����(:�$6
����8�#�#,���)���'���%��!��� ��,��!�� $ ,��#�$6
��#'���)�.����1� '����'���)3���)�� ��� ,��6
�)+��+�$�')�%������ $�_�� �.��$����# � �.� �6
��,��9���.��$ �����9��' ��,��:��:�+�#�$��#6
'���)�.����1� '��#��'�( '8��%��(' ���
���#X)������.���:�$�+�$���'�( '8��:�.�(�6
$�#���������:�+�$�'�%���+��!�����"�)���#���6
��9�8�� �����#��$ ��:������� '8��:��.����6
��3��8"�#����' �.����( ���.�&�����.���(�#
���#X)� ��)�� $ ,�� � '���,�����.��$�#3��6
�)� ��+ '�%���'���)3���)"�����+�'8�# ��!�#
a�'����$��"��
c�d ���18�+��� .�)+��#���(���
a0���2%"��
�d�#�����+'����$# � '8���� ��#��
� .�)+�"�g��m�����9�8�)�� � � '����: � ���6
�����,��:�#' ���#����%�+�$�')��� $�_�� �.�6
���1� '����'���)3���)
;��&�%�����:�.����(�_�#�$&�� ��)�� ����
$������1� '8������.�� ��� "�g�� ��'9_��� 6
,���)�+�$�')��� $�_�� �.����1� '��.�� ��(6
' ��9����+�g���)��)3�9,�:�+ �"�� ����#X)6
� ��)�$')�18�����.�� ��� �#�$.�#�$��!�'���%��!
�� ��,��!�� $ ,� �5���'8� ��+� � '����� ����
.�$:�$��_�.��� ��#� ������#X)� ��)���#��&6
�8�!�� $ ,������:'��$')�!.�.���-��$������1�6
'8�������#�)��)���.��b�'8+��'81 �h)���+�$�6
'9_��� ,���)�fb;*i�#��(' ���"����� %�)��%
�)3�9,�+��+ � +�j�����#�$�+�+��+����+����6
��1�_���+"�g��#�$.�#�$ _�#�(� ��+�����+ '86
��+��.����1� '� �;�$�(��+��3���#�)��9�� $�6
#�'8�)9�8��� ��+ '�!���'���)3���)�a0���2%"
�
�d �n�%��.���(�������#��%�$')�.��$�#3��6
�)� ��+ '�%���'���)3���)"��$� ����� ���.��6
$�#3���)��� ,��8�.�#������� $�_�� �.����1�6
'�����$ _�( 3 ��:�� �'�$��# ���.� 1��a�'��6
��$��"��
c�d�.�$�(� ��:�+ ��(m�����# � ����� 6
'���# � ���#��')$��.��'�$�#���������#X)���#
5��:�$3���)�#������#��� '8��!� �����+ '8��!
��'���)3���)
�5��(�3����8�� .�)+�#�#������#��� '8��!������6
+ '8��!���'���)3���)�#���,� :���' $�������'8_��
��'�# _�8�)�$����'8��:�$��)���#������$� ��+�3�
o.��:�# ��p� ��+ '�!�#�������+�'�� '�aq��+,��"
����d
��������
��
�
��; ������������������ !�"�#$�%����$��&&'
� $ ,����%+ � �$')���#�)��)�4 .' � "�)���#�6
�� , 9�8��(��9# '8��%�.����1� '
�����%��.���(�'�3��8���.'�g����.��� ��6
#���� ��!���!.�.���/��� ��,��!�� $ ,��$')���#6
�)��)�4 .' � "�#��� %�#�:��+�# :�)��!�(��6
.�����$�8��� $�)����� ,���)���'���)3���)
i ���� $ ,��#.��&������+�'9# #��'����$��
a�'����$��"��
c�d"� ���.�('�� 1�!�a0���2%"��
�d
!!�.������+�'8�# ������� ��,��+��$ ��+�
$')��' ���.�#��:��8�4).���# �� ��+�#�"�g�
#�$��#'9# ��%�.����1� '����$�3��#�$:�')_�86
�)�#�$�� $ ����
i�+��$')�.�&������,��&�:��.���(�#�#�$6
��#'���)�� ('�3��8���'���)3���)�$�#�'��8
#�%���� �+�3��� $ ,������:'����#�$&���# ��
���,����)������1�_�� ���#�)��)"�.��#������(6
,��'������$')����+ '8�����.����1� '� "�g�
.��#�'��$��.�(�$�#��.��'�$�#��:�� ('�3��8
.����1� '��� ��� ��,��+���� ,���)+��+�$�6
')�%������ $�_�� �;���:�$�$��� $ ,��#�$��#6
'���)�.����1� '�������#����(:�$����8��(,��6
'���)�� ���.��:�� ('�3��8�)�������1�_���#
��#�)��)���'���)3���)"�� ����� +�:��� ,��8
��'���)3���)"�����'8������ ������.���+�3�
�� %������'�&�������#X)� ��)�� $ ,������:'�
$')���#�)��)���'���)3���)"� �%�hg��.�����&�j
��(��.�����$�8����$������1�9# ��)�#�$��#6
'������.����1� '�
���#X)������1�+�� $ , �#�$��#'���)�.����6
1� '��� ��� ,���)+��fb;*i"�)� ����� '�6
3��8�$���' ��,��:�� $ ,��� #�+����!"�� (�# _
���('�#�!�# �������$��(������:�� $ ,������!
.����1� '� �^$�����+�3'�#�:��.���(�#�!!�#�6
��&���)������('���%���.� 1��aq��+,��"�����d"
���&�%"�.�$�� �#�9�o�� ��,� �� $ , ��'����$6
���$')���#�)��)�4 .' � p"�.��.���_+��# &�%
�# �� ����,��+��.��� ��#���1�_!�� $ ,��a��(�6
#����"����
d
` � .��$+�����+�$�'8� � $ ,�� #�$��#'���)
.����1� '��� �+�$�'�+�%������ $�_�� �.��%6
+�+��.������+�$�'8�̀ �+'��)�� (��'9�����#��6
$������' "�('��8�����$����' ��(��� ��)"�g����6
: _�8�)���#��+�����#�$�#3���(���"��(��� 96
,��8�� #��'����������� '�9�����#�9�&#�$��6
��9�h(���.��1���!������ 1�!j ���: %� −y �e��(6
+�3�� ��(' ��8���,������#�+��������#�'�$�6
#����.�������"�� %�)� �+ � +��`�+'�"� +y �e
���(+�3����$�.�#����)�$�� −y "�#�'8���#�$��� 6
#���9,�:��(X_���#"� y∂ �e�+�3 �+��3��� −y ��
+y "�g�������3��� �������,��9�.�#��:��9
`�+'� ���.�)+������%�$�� ���#�%������+������6
$�� �� ��� xxxO ���.�, ���+���1������`�+'�"
���� �xO " �xO �'�3 �8�#���# ���� '8��%�.'�g�6
��"� �#��8� �xO ��(�� _�8�)���#���9�!!��(��� �6
�) �i�,����(' ��� −y .��� ,�+�����18��+��'�6
��� +�"� −∈ξξ=ξ y)�( ��� "" "� �!!�$�.�#���6
�)� +y �e�' ����8��+�"� ∈= )( ��� "" xxxx
+∈ y �f ���#����$����̀ �+'�� )(ξM "� −∈ξ y "��
�������9� ξξσ=ξ dMd )()( �������9�8���� #6
��'�&�8�+��.��������.�'����'���)3���)"�g�
+ ��+��.����1� '
( ) ( ) ( )
,
,0
,
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈
∈Ω
+ξ
ξ−
ξσ
=
+
−
∫
− yx
yxx
d
x
fxW
y
�h�j
$����e��� #�� 1�%� ��� ' �� +ω=Ω �
��"� xx ()(
)�x+ �e�.����1� '�1�����(�3��!���'���ω�e
+�$�'8�#����� �����#�!�&#�$������`�+'� �� 6
.��3�����8�.�')�h�� ,���)�+�$�')��� $�_��
.����1� '�"�� �a; ���'��#"�����dj�$���#�9_
( ) ( ) =∇−= xWxg
( ) ( ) ( ) ( )( )∑
=
=
∂
∂
∂
∂
=
3
1
,,
k
k
k
xnxg
n
xx
x
xW
$�� �"�"�"" ==
∂
∂
kxn
n
xx
k
k )(cos
)(
�e�� 6
.�)+�������������$���,�����#����� � )( xn
#�����&�8�!����+ '��$����#�.����1� '8��!�.�6
#��:��� xCyWxWd =)(:)( "�)� �.��:�$��8�,�6
������,����
����������%+��.��� ��#���� $ ,�k�.����(6
��� �� %�������1�9� +∈ yxxW ")( "� )� � � 6
$�#�'8�)_�#����$�������(+�3���!�� +�����!
�(' ���� yyy ∂∪= ++ � ��#�)��9� 4 .' �
+∈=Δ yxxW "�)( "�)�g��#�(�$86)��%���,1�
').���#�8��!�+�3�� y∂ ���(' ������#�������,��6
���#�$$ '���%���,1��#�� �� $�#�'8�)_��+�# +k
�""�
��
�
→∂∈=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂∑
=
)()(
)(
xWyxxg
x
xW
k k
�.��
∞→x "�$�� )(xg �e�� $ � ���.����#� �����6
1�) �� ��# ��+�+��� $ '��19���!.�.������ 6
��,���� $ ,��o� $ ,�9��'����$���$')���#�)��)
4 .' � p
;�� � '���%+�� � '���,������('�#���������6
1�!� )(xg �+�$�')��� $�_�� �.����1� '����$��_9
��!!�� %# 3'�#�&�:�: � ����������_�� ����#��6
$3���)�a�'����$��"��
�d �f�$�$8��� $�_��
.����1� '����'���)3���)����� $�#�'8�)_���#6
�)��9�4 .' � �#�3�$��%���,1���(' ���� +y "
g��#�.'�# _���#�� ���h�j���_�� �'�$��+�'�+�"
)���� #�$������3,�
h�j
( ) ( ) ( ) ( )( )∑
=
=
∂
∂
∂
∂
=
3
1
,,
k
k
k
xnxg
n
xx
x
xW
�"�"�"" ==
∂
∂
kxn
n
xx
k
k )(cos
)(
12�232�24��0��1���45����
�4�
5�(
%�
6�24��0747�%58�
5
������������������ !�"�#$�%����$��&&' ��<
��������(���� )()()( xvxuxw ⋅= $#�:�����6
1�%� )( xu ��� )( xv "� −∈ yx ��' ��� )()( −yC � "�� �6
+���,��%�#��(' ���� −y ���$����'�&����$�"���'�
��3�������.�#+��3����#�� �+���,��%�#� −y "�
!:����� $�_���� )( xu∇ � �� )( xv∇ �������� '8��
�$����$��+��#��(' ���� −y
����#���$�������)��,�#�$���#�.'�# _�����#�����
( ) ( ) ( ) ( )∑
=
+∇⋅=
∂
∂
=∇
3
1
2
2
2
k k
xuxv
x
xW
xw
( ) ( ) ( ) ( ) .,2 2 xvxuxvxu ∇⋅+∇∇+
��3� ������' $�#�:��� $�_��
kx
xW
xu
∂
∂
=
)(
)(
_�� �+���,��9�����1�_9"� �����1�!� =)( xv
�"�"�"" == kxn k )(cos �e���"�#�,�+��'�����.�6
������_+��)���(��.�����$�8�����(,��'���)
q�(��� �.�#��:���̀ �+'��h��#�)��)�)��!�## 6
3 _+��� $ ��+j"����+��� ,��8�+�$�')��� $�6
_�� �.����1� '�� yxxg ∂∈")( � ��#�����&�8�!
���+ '�� )( xm � $�� y∂ "� #�+��9# '�� � .�)+
�� $�_�� � )( xn "�� $ , �#�$��#'���)�.����1�6
'����'���)3���)��#�' �8�(��$��#��� ,���)
.����1� '��.���)� ��)� +∈ yxxV ")( "�)�����6
#X)������#��&�8�!�� $ ,����%+ � �$')���#�)�6
�)�4 .' � k
( ) ( ) ( ),,,02 x
m
xV
yxxV Φ=
∂
∂
∈=∇ +
( ) ,,0, ∞→→∂∈ xxVyx h�j
$� −=
∂
Ω∂
−
∂
∂
=Φ )(cos)(
)()(
)( mnxg
m
x
m
xW
x "�
∑
=
ω−
�
�
�
k
c" )(cos)(cos)(cos mxxnmn k
k
k """
�
�
∑
=
=
^$� ��� .�)+����+ '�� )(xn �h$�# ��������j
��#�$�+�%�,�����#��)���#����' $����8���# �6
����8�#�+��9# �8 �b� ��,���$ ���� $ ,��#�$��#6
'���)�.����1� '��� ��� ,���)+��+�$�')�%���
�� $�_�� � )()( xVxq ∇−= � �� +�3 :� .��%6
�)��!�+�$�'���.���_�#�� ��a0���2%"��
�d
( ) =xq 2
( ) ( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
∂
Ω∂
−= ∑
=
−
2
1
12 ,cos21
k k
k x
x
xnxqxq
( ) ( )
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
Ω∂
+ ∑
=
−
2
1
2
2
k kx
x
xq
(�
( ) ( ) ( )[
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−= ∑
=
−
2
1
1 ,cos
k
kii xnxqxq
( ) ( )
,
2
1
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
∂
Ω∂
− −
kx
x
xq hlj
,��������g�� �
�
=
∂
Ω∂
x
x )(
�`��(�+��$�)���.��6
.�g���)
-#�$�+�����+ '8��%�.����1� '"�g������6
��_�8�)������#��+��+ � +�"�g��$���#�99�8
+ � +�#� −y "� '������ &�# ���#�.�#��+�������
o���+ '8��p�#�$�)��%���&�%��(' ���� �y �.��6
���!����+����!���+�3�9� �y∂ "�)� ����$�3��#�$6
:�')_�8�)� #�$� ��+��!� .�#��:��� y∂ � ;�$ +�
.����1� '�.���)� ��)���#��')$����+�� =)( xV
)()( xTxU += ����+ '8����� )( xU � ���(��96
# '8����� )( xT �.����1� '�#"�� #$)���,�+���(�6
�9# '8��%�.����1� '��.���_�#�$:�'���)���6
'8��������.�$�'��+ ��#� −y �#�$����+ '8��6
�� ���: %� )( xν �e��$���,� �#�����&�)����6
+ '8�$��.�#��:��� xCyUU x =∂ )(: "� � =γ )( x
)( xU∇−= �e� +�$�'8� �� $�_�� � ���+ '86
�����.����1� '� �-# 3 _+��� $ ��+��� .�)+��
��������� )(cos kx"ν "� )(cos mxk " �#�����&��:
���+ '�%� )( xν "� )( xm �$��.�#��:��8� xU∂ ��� y∂ "
�� ��+�����+���� ×ν=ν ∑
=
�
�
""
k
kxm )(cos)(cos
)(cos mxk "×
` � � ��:� .��.�g��8� #�$��#���� .����1�6
'�.���)� ��)� +∈ yxxV ")( �+�3� ����� ��,6
��!�� $ ,��h� j��(,��'���)+�.��'�$�#��:�� 6
('�3��8� ∞= " "�"�"�" kxV k )()( k�� ��� %$�6
��+����.�.���$�8�����6���������� ('�3���)6
+�� �"�"�"" =kxn ki )(cos �� .�)+��:�����6
����#����+ '�� )( xn �#��� , _+��� �+�3�� y∂
� ����+�'�9�hlj� �+i 6&��� ('�3���)���'�
�)3���)�aq��+,��"�����dk
( ) ( ) ( )[
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−= ∑
=
+
2
1
2
1 ,cos
k
kii xnxgxq
��������
��
�
��# ������������������ !�"�#$�%����$��&&'
( ) ( )
,,
2
1
1 yx
x
x
xq
k
i ∂∈⎟
⎟
⎠
⎞
⎥
⎦
⎤
∂
Ω∂
−
−
−
( ) =mni ,cos
( ) ( ) ,,,cos,cos
3
1
yxmxxn k
k
ki ∂∈= ∑
=
( ) ( ) ( ) ==Φ ++ mnxqx iii ,cos11
( ) ( ) .,,cos yxmx ∂∈νγ=
;��')�18����� '�&�'��8��� %������#X)������#6
��&�8�!�� $ ,����%+ � �$')���#�)��)�4 .' � k
( ) ,,01
+
+ ∈=Δ yxxTi
( ) ( ) ,,1
1 yxx
m
xT
i
i ∂∈Φ=
∂
∂
+
+
( ) ∞→→+ xxTi ,01 h�j
)��.����1� '�.��������& ���+ ����.����#��!
�������� yxxi ∂∈δ + "� )( "����.�$�'���:�� �.�6
#��:��� y∂ k
( ) ( )
.,
4
1 1
1
+
ξ
∂
+
+ ∈
ξ−
ξδ
π
= ∫ yxdS
x
xT
y
i
i hcj
��#�$�+�����������(,��'9_+������'���%����
������ '8�������#�)��)�<��$��'8+ �$������
��$��a0���2%"��
�dk
( ) ( ) ( ) =ξδξ+δ ξ+
∂
+ ∫ SdxKx i
y
i 11 ,
( ) ,,2 1 yxxi ∂∈Φ= + h�j
$�
ξ−π
−=
ξ−∂
∂
π
=ξ
x
mu
xm
xK
x
)(cos
)(
"
�
��
�
�
" "
ξ−
ξ−
= ∑
= x
x
xmmu ii
k
i
�
�
"" )(cos)(cos "� ξ−= xu
5��#X)� #&����#�)��)�h�j"�� ('�3�����(,��6
'�+����#������� ��)+�hcj�.�:�$���.����1� '�
.���)� ��)k
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,1
1
1
j
i
jj
i
i
j x
xT
x
xU
x
xV
xV
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
= +
+
+
( ) ( ) ,
4
1
13
1
ξ+
+ ξδ
ξ−
ξ−
π
−=
∂
∂
Sd
x
x
x
xT
i
ii
j
i
.3,2,1=j h
j
���#�� ���h
j��,�#�$��"�g��.�:�$���� ('�6
3��8��(��9# '8�����.����1� '��#��� , 9�86
�)���#�����&��:���,� :��(' ���� +y "� �� �!!�+�6
3�� y∂ ��� ,���)�.�:�$��:���h
j��� %�����+�36
'�#��,������ )#����8���.�$������ '8��:�����6
1�):���'8��:����������#��:����('�#����% ��')
.��$�#3���)��(,��'��8��'�$��� ����� ,���)
.�:�$��:��(��9# '8�����.����1� '��� +���
+�3�� y∂ "���$')�!:��(,��'���)����( �.���$( 6
,�����.�1� '8�������')��� 1C9������� '�#�h
j
;��.����+�"�g��� ����.�� 1�9�#���� ������� 6
,���)�.�:�$��:�h
j��� %$����#���,� :� yx ∂∈ "
��$���(,��'�+��� ���� ('�3���)k
( ) ( ) ( ) ( ) ,,,cos 11
11 yxxVxqxn i
kiki ∂∈= +−
++
( ) ( ) ( )[
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−= ∑
=
++
3
1
1
2
2 ,cos
k
kii xnxgxq
( ) ( )
,,
2
1
2
1
1 yx
x
x
xq i ∂∈
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
∂
Ω∂
−
−
−
+
( ) ( ) ( ) ==Φ +++ mnxqx iii ,cos 122
( ) ( ) ,,,cos yxmx ∂∈νγ=
.��')�,�������#�����#X)��_+���� ��,���� $ 6
,��h�jeh�j"�� �����#&����$���� �+i 6���� ('�6
3���)��(��9# '8�����.����1� '�� )( xTi �+ ��
� ('�3���) )()()()( xTxUxV i
i
�
�
+
+ += .�6
���1� '��.���)� ��)���� /$
( ) ( )
,,
2
1
1 yx
x
x
xq
k
i ∂∈⎟
⎟
⎠
⎞
⎥
⎦
⎤
∂
Ω∂
−
−
−
( ) ( ) ,,,cos,cos
3
1
yxmxxn k
k
ki ∂∈= ∑
=
( ) ( ) .,,cos yxmx ∂∈νγ=
( ) ( ) ,,1
1 yxx
m
xT
i
i ∂∈Φ=
∂
∂
+
+
( ) ,,01 ∞→→+ xxTi h�j
( ) ( ) ( ) =ξδξ+δ ξ+
∂
+ ∫ SdxKx i
y
i 11 ,
( ) ,,2 1 yxxi ∂∈Φ= + h�j
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,1
1
1
j
i
jj
i
i
j x
xT
x
xU
x
xV
xV
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
= +
+
+
( ) ( ) ,
4
1
13
1
ξ+
+ ξδ
ξ−
ξ−
π
−=
∂
∂
Sd
x
x
x
xT
i
ii
j
i
.3,2,1=j h
j
( ) ( ) ( ) ( ) ,,,cos 11
11 yxxVxqxn i
kiki ∂∈= +−
++
( ) ( )
,,
2
1
2
1
1 yx
x
x
xq i ∂∈
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
∂
Ω∂
−
−
−
+
( ) ( ) ,,,cos yxmx ∂∈νγ=
12�232�24��0��1���45����
�4�
5�(
%�
6�24��0747�%58�
5
������������������ !�"�#$�%����$��&&' ��=
*�������(m�����# ��)�� +������������!�� 6
$ ,��h�j����#X)���+��� ��,��!�� $ ,��hcjeh�j��
�(�3������� ('�3��8� )()( xV k �$��.����1� '�
.���)� ��)� +∈ yxxV ")( �.�$ ���� �.���' $�
('��8��!�� $ ,��a; ���'��#"�����d �^$���� ,6
����8�!!����#X)����$�#�$��8�)������+�9�_$�6
���������#X)� ��)�� $ ,����%+ � �$')���#�)�6
�)�4 .' � �� �+�$�'�+�%������ $�_�� �� �$�.�6
+���9�.����1� '��.��������& ��"�g���#�$��86
�)�$��$�#�$���)��(�3�������(,��'9# ��:�� 6
('�3��8� )()( xV k "� ∞= " "�"�"�k �����1�!
+∈ yxxV ")( ���!!"����#�9�,����"�'�����$�#����"
)�g��#�)#�����(�3����8�.��'�$�#������ })({ xTk
� ('�3��8��(��9# '8�����.����1� '� k�)�g�
)( xTk ��(�� _�8�)��� )( xT �.��� ∞→k "� �#�$6
���#�.'�# _��(�3����8����'�&�� )()( xV k �→
→ +∈ yxxV ")( "� �%�����#�!+��+�3 +��(�$86
)��:� ��&�:�� ('�3��8"�g���$���� ,���#�6
�� , _+��� � )( xTk
� $ '���(,��'�+��#�'�,���
�
�
�
)(
)(
)(
xU
xT
x
∇
∇
=ε
)���# $� ��#�$��&���)�+�$�'�#��� $�_���#��(�6
�9# '8������ ����+ '8�����.����1� '� �i�$�
�.� #�$'�# �� � ������+ �a0����%"��
�d
��
��������5�>��+�!�����?� )( x�ε �,��@
� ����A*�+ *��9��.+�:����� )( xε $�*��9��!.@
)�+�.�*B����+C:��.+� })({ xTk �-� �����A�� ) �
D<E��F.- G*B�:��.��F��?+ !B��,�9�*��H. !�,
)( xT ��F! �*.� −y �
����#���$�������) ������8�$�#������(�3����8�.�6
�'�$�#������ })({ xkδ "���)��!"����$�����hcj"�#�.'�6
# _��(�3����8 })({ xTk �̂ .�� ��� +δ=δ )( xA ii
( ) ( ) ξ
∂
ξδξ+ ∫ SdxK i
y
" ���#�)��)�h�j�� ������6
+�9�����# ��)����#X)����+ _��(+�3���%��(��6
����%��.�� ���� �−A "� ∞<≤− cA � "��#�$6
����,�#�$��9�_��1��� � ≤δ−δ + )()( xx ii �
)()( xxc ii Φ−Φ≤ + �� "� ����� :�# ��)+
#��� ,���)�����1�%� )( xiΦ �+ _+�
( ) ( ) ( ) ( )−≤δ−δ ++ mnxqcxx iiii ,cos2 11
( ) +− − mni ,cos 1
( ) ( ) ( ) .,cos2 11 xqxqmnc iii −+ +−
;��&�+� $�$ ���+� �� .� #�%� , ������ 1�_!
����#������+�3� ����:��# �� ���%���"�����'86
���+ _+�
( ) ( ) ( )
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
= ∑
=
−
3
1
2
12
k k
i
k
i x
xT
x
xU
xq
( ) ( ) ( ) ( ) ,2
2
1
12 xT
xT
xx i
i
−
− ∇+
ν∂
∂
γ+γ=
��"�.���.�� #&��#�� ��$')��� $�_�� �����1�!
)( xTi �− ����� :�# ��)+��,�#�$������.�##�$��6
&���)
( )
( ) ( ) ( )xnxq
xT
ii
i
γ−ν=
ν∂
∂
−
−
,cos �
�
"
����+�_+���� ( ) ( )
( )
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ν∂
∂
+γ=
−
�
��
xT
xxq
i
i
( ) ( )ν− ,sin ii nxq �� �̂ $� �� ( ) =ν− "�incos
( ) ( ) ( ) ×γ−=ν= −
=
−∑ xxxn k
k
ki
�
�
�
� �" coscos
( ) �
�
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ν∂
∂
×
− xTi
"���(������� )(cos ν− "�in ��
�+�#� �����+��+ '�%"� �� .�.���$��%�#�� �� ��
��,����9�$�� )( x�ε �� (�# _�#��')$�
( ) ( ) ( ) ( )
.1
2
112
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ν∂
∂
γ+γ= −− xT
xxxq i
i h
j
^���'8���� �#��� ,���)+����� :�# ��)+�� 6
('�3���!���#������h
j�+ _+�
( ) =mni ,cos
( ) ( ) ( ) ( ) =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
= ∑
=
−
mx
x
xT
x
xU
xq k
k k
i
k
i ,cos
3
1
12
( ) ( ) ( )
,1,cos
2
12
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ν∂
∂
γ−=ν= −− xT
xm i
��������1) )(c o s)(c o s mnmn ii ��
�−− � �.��)$6
��+����.���#��&�_�,��' � )( x�ε �� �����#�
h
j������� :�# ��)+��� ��,��!��+�#��� $ ,��h�j
+ ��+�+�
( ) ( ) =−+ xqxq ii 1
h��j
( ) ( ) ( ) ( ) =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
= ∑
=
− mx
x
xT
x
xU
xq k
k k
i
k
i ,cos
3
1
12
��������
��
�
��I ������������������ !�"�#$�%����$��&&'
( ) ( ) ( )[ −ν= − mnxqm ii ,cos,cos 1
( ) ( ) ,,cos 21 mnxq ii −−−
�#�$��"�#� :�# #&���+�#�������+��� ���#����8
h��j"��$��3�_+��' �193�������#�����%
( ) ( ) ≤−+ xqxq ii 1
( ) ( ) ( ) ≤−ν≤ − xqxqm ii 1
2
,cos
( ) ( ) ( ) ≤≤−ν≤ −− ...,cos 21
4
xqxqm ii
( ) ( ) ( ) .,cos 01
2
xqxqm
i −ν≤
^�� ��,���+ ��+�+������#����8 −δ + )(xi �
)()()(cos)( xqxqmcx
i
i ��
��
"� −ν≤δ− +
"
)� �.�������_"�g��.��'�$�#����8 })({ xkδ &#�$6
����(�� _�8�)�#���(��� ��+�#�� �" <ν )(cos m �
����(�3������ })({ xkδ �#���(��'�����#�� ��#�6
����(�3����8���_$���9�+�3�9� )( xδ �̀ ��+�#�
�" =ν )(cos m �h� .�)+�#�����&�8�!����+ '�
)( xν �$����#�.����1� '8��!�.�#��:��� xU∂ ��(�6
� _�8�)�h (��.����'�3��%j���� .�)+�+����6
+ '�� )( xm �$��.�#��:���̀ �+'�� y∂ j�� $ , ��#�6
$��8�)�$����#��&�8�!�� $ ,����%+ � �$')���#6
�)��)�4 .' �
;�&���������+�'�� h
j"� �.� #�$'�#�� $')
#�����&��:���,����(' ���� +y "�� ��� ��,�����,6
��� yx ∂∈ �$�.�+�3��� ����#��$3���)
��
��������5�>��-��*�� �9�*��H. !��9���@
*�-��J ���D#E�K���9����+� �� �,��.� y∂ �����@
H.: $� -� ����.��� ����:�� �*����A�9�A.)��A
�@-��9��:)���+.)�9�*��H. !��)��.+�??*B
( ) ( ) +ξδ
ξ−
ξ−
π
=
∂
∂
ξ
∂
∫ Sd
x
x
x
xT
y
kk
k 4
1
( ) ( ).,cos
2
1
xk mxxδ+
����#���$�������)�������+��#�.'�# _���� %6
��������(� 3���)�.����1� '����#��')$�
( ) ( ) ( )[ ] +
ξ−
δ−ξδ
π
=
ξ
∂
∫ x
Sd
xxT
y
4
1
( )
∫
∂
ξ
ξ−π
δ
+
y
x
Sdx
,
4
)�g��$������1�9# ��)�.�� kx ���+, ��#��� 6
+������$������1�9# ��)+�.��#�����&��%����6
+ '�� xm �$��.�#��:��� y∂ �����,1�� ix ���#� :�# 6
���#�$�+������3����8
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
∈
∈
=
ξ−∂
∂
π −
+
ξ∫ .
,0
,5,0
,1
1
4
1
yx
yx
yx
Sd
xm x
��$����"�)��+����h
j��.�� ���.��'�$�#����8
�� ��,��:�� $ ,"�.�$�, ���(,��'���)�.�:�$��:
�.�g����)��������_#� �-� � � �#������+�������6
+�' ���.��$ �� �$')�.� ���,������(,��'��6
�)�.�:�$��:�h,�������' $����8���+�������'8_6
��j"���+��� +���8���!��'�$�#��������#�# �����6
#�# '���������+�'�
( ) ( ) ( )[ ] +
ξ−
ξ−
δ−ξδ
π
−=
∂
∂
ξ
∂
∫ Sd
x
x
x
x
xT kk
y
k 4
1
( ) ( ).,cos
2
1
xk mxxδ+
1 �+ ����: k���� ��_���#�)��)"�)����.�.�6
��$��"�g��������9�8�#������+ :������"�_���'�6
��%��+����$� ��)�g��� �����# ������+����9
���� ����!�.�#��:��� )( yy∂ "�g��� $ � �� ��' 6
���4).���# � )()( −yC � "����� $ , ��� :�$3��6
�)� �������� .����1� '�� .��������& ��� �� _
'���%��9���+ _��$���� ,������#X)� ��)
^�3�"�����+�'8�# �����#����'���%����� 6
��,���� $ ,���'����$���$')�#�$��#'���)�.�6
���1� '��� ��� ,���)+��+�$�')�%������ $�_�6
� ���#� � ���.��'�$�#����8�!!����#X)������#�6
�')$��.����1� '��.��������& ���hcj "��������
)�����#�$&���9�8�����#�)��)�h�j �� $ '��.�6
���(����(m�����# �������������8�.��� ��#��
1�_!�� $ ,������ ��,��+��$ ��+��� �').���#6
�8��+���' ��� )()( −yC �
2+*���+��!�+!?G�9�):��� � )�,.���������0* @
���*������ �9!.)�.�� �+ ����:���9�� )�$�>�
�9��:!��9�!.9J���?�����9�����* **.�
( ) ( ) ( )[ ] +
ξ−
δ−ξδ
π
=
ξ
∂
∫ x
Sd
xxT
y
4
1
( )
∫
∂
ξ
ξ−π
δ
+
y
x
Sdx
,
4
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
∈
∈
=
ξ−∂
∂
π −
+
ξ∫ .
,0
,5,0
,1
1
4
1
yx
yx
yx
Sd
xm x
( ) ( ) ( )[ ] +
ξ−
ξ−
δ−ξδ
π
−=
∂
∂
ξ
∂
∫ Sd
x
x
x
x
xT kk
y
k 4
1
12�232�24��0��1���45����
�4�
5�(
%�
6�24��0747�%58�
5
������������������ !�"�#$�%����$��&&' ��'
�����
���� ������
2!����)��� L�� 2 � 5�$��1�)� ��'2� �)3���� � e
i(�'���k�f�1�����( "� �
c� �e���c� �
2!����)���L��2��5�&������������2:�����#�2:
� $ ,� �� #�+����� �e� i(�'���k�f�1�����6
( "��
� �e�l����
����!�+����� �b� #�+����,��� )��8�+� �e�f�6
��# k���$� "��
� �e������
�� +�� �+�)� k� *.� #�,���� �������� � r�;�$
��$ �7 /� �f�$��1�#�%"�� /7 �-���'�# �e��6�
��$ "�.���� ( ���$�. �e�f���# k���$� "��
�
e�c����
��F�+����������� *.���(� #�$��#'���)� .����1� 6
'��� ��� ,���)+��+�$�')�%������ $�_�� k�f 6
���� '�� � �� � ���� � ob������,��� ��:��'���!
.�������# ��)� � � +����������� ���'���,����
����$�#�g p"� 48#�#"� ce���3�#� � ���
� � �e
48#�#k�*.�'�+"� ���
�e�* � ��ce��
( �*�!��+����4��<���� �`�+'����.' ��� �����
'��1�% � e�f���# k� s�$6#��fb�"� ���� � e
�c���
3���M�� 2����� ^.�� ���� �� #�� 1����2:� ��6
+ '�%� rr� ���' � ��� �**5 � *�� � t �e� �
�
e�u�l �e�* ��
e��
3���M�� 2����� s�(� ��2�� � $ ,�� �� #�+�����
���� #�� �#�$�����+���$2��:���&���)k����
�$6� ���� 6+ � �� ��k��l �� �� �e����#"��
�
e�l�
��
3������ 2�� ��� ;��� ��#�� � $ ,�� $')� ��#�)��)
4 .' � � rr�-��� ���!# � ��6�� �*�� � b��'���)
e��
� �e�-�. ��� �e�* ���e
�
5��,����2�����b� ��,� �� $ , �#�$��#'���)�.�6
���1� '�� � � �� ,���)+�� +�$�')� %���� �� $�6
_�� k� �#����� � $�� � � � �$ ���� 6+ � � � ��k
�l �� �� �e���!#"����� �e��c��
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12490 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0203-3100 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:59:53Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины |
| record_format | dspace |
| spelling | Дубовенко, Ю.І. 2010-10-09T13:46:40Z 2010-10-09T13:46:40Z 2009 Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2009. — Т. 31, № 6. — С. 132-139. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 0203-3100 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12490 517.9;528.21;550.831 Сформулирована новая нелинейная задача гравиметрии, названная задачей Алексидзе. В постановке А. В. Черного она сводится к задаче восстановления потенциала силы тяжести по значениям модуля его градиента на границе Ляпунова. Рассмотрены некоторые аналитические свойства задачи. Ее решение в виде потенциала простого слоя является последовательностью решения внешних граничных задач Неймана для уравнения Лапласа при условии, что решение не очень отклоняется от заданного. Плотность простого слоя определяется из решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода для силы тяжести. uk Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины Научные сообщения Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння Задача Алексидзе для восстановления потенциала силы тяжести Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння Дубовенко, Ю.І. Научные сообщения |
| title | Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння |
| title_alt | Задача Алексидзе для восстановления потенциала силы тяжести |
| title_full | Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння |
| title_fullStr | Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння |
| title_full_unstemmed | Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння |
| title_short | Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння |
| title_sort | задача алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння |
| topic | Научные сообщения |
| topic_facet | Научные сообщения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12490 |
| work_keys_str_mv | AT dubovenkoûí zadačaaleksídzedlâvídnovlennâpotencíalusilitâžínnâ AT dubovenkoûí zadačaaleksidzedlâvosstanovleniâpotencialasilytâžesti |