Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння

Сформулирована новая нелинейная задача гравиметрии, названная задачей Алексидзе. В постановке А. В. Черного она сводится к задаче восстановления потенциала силы тяжести по значениям модуля его градиента на границе Ляпунова. Рассмотрены некоторые аналитические свойства задачи. Ее решение в виде потен...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2009
Main Author: Дубовенко, Ю.І.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины 2009
Subjects:
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12490
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2009. — Т. 31, № 6. — С. 132-139. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860175021930971136
author Дубовенко, Ю.І.
author_facet Дубовенко, Ю.І.
citation_txt Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2009. — Т. 31, № 6. — С. 132-139. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
collection DSpace DC
description Сформулирована новая нелинейная задача гравиметрии, названная задачей Алексидзе. В постановке А. В. Черного она сводится к задаче восстановления потенциала силы тяжести по значениям модуля его градиента на границе Ляпунова. Рассмотрены некоторые аналитические свойства задачи. Ее решение в виде потенциала простого слоя является последовательностью решения внешних граничных задач Неймана для уравнения Лапласа при условии, что решение не очень отклоняется от заданного. Плотность простого слоя определяется из решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода для силы тяжести.
first_indexed 2025-12-07T17:59:53Z
format Article
fulltext �������� �� � ��� ������������������ !�"�#$�%����$��&&' ������� ���� ������� �� ��������� ��� ������������ ������� ������ ������������ ©©©©©��������� �� � ������ �������������������������� !��"���!#"���� !� � $�%&' ����(�����)���� �� (��)�* +!�����!���,���)��!�-./�������0* ���*���� *���+�'���# � ���# )���'���%� )�� $ , ��� #�+�����"�� �# �� )�� $ ,�%��'����$�� -�.��� ��#���� /- �0��������� ��#�$���)���� $ ,��#���� ��#'���)�.����1� ' ���'2��)3���� .���� ,���)+�+�$�')������� $���� �� ��� ��1��4).���# �5 ��+�����2��������2�� � '���6 ,�������#�%��# �� $ ,� �7����&�����#�#�$��.����1� ' �.���������'�)�)#')���)�.��'�$�# 6 ��'8����89���&���)�#��&��:��� ��,�2:�� $ ,���%+ � �$')��� #����)�4 .' � �.�����'�6 #��"�,�����&���������,��8����'��)���)����� $ ����� �;'������8�.���������'�)��.��$�')��6 �)������&���)������� '8������� #����)�<��$��'8+ ��6�����$ �$')���'2��)3���� =�>?@�>A>BC>?DE�FEDGCH?IECJ�KAL>MDEN�OEAKB?H"�>DH?BN�D>�=B?PCMQ?�OEAKB?H�CR�RIDI?M �SI�CR IE?DI?M�KN�� �TUAE>CC�DR�D�OEAKB?H�AV�FEDGCIN�OAI?>ICDB�E?>AGDICA>�KN�IU?�GDBL?R�AV�HAMLBLR�AV CIR�FEDMC?>IR�FCG?>�A>�WCDOL>AGXR�KAL>MDEN �YU?�OEAKB?HXR�D>DBNICJDB�OEAO?EIC?R�DE?�JA>RCM?6 E?M �SIR�RABLICA>�DR�D�RCHOB?�BDN?E�OAI?>ICDB�JA>RCRIR�AV�IU?�R?ZL?>J?�AV�RABLICA>R�AV�?PI?E>DB KAL>MDEN�[?LHD>>XR�OEAKB?HR�VAE�WDOBDJ?XR�?ZLDICA>�OEAGCM?M�IUDI�IU?�RABLICA>�MA?R�>AI�FE?DI6 BN�M?GCDI?�VEAH�IU?�FCG?>�A>? �=�RCHOB?�BDN?E�M?>RCIN�CR�M?VC>?M�KN�IU?�RABLICA>�AV�IU?��6>M�\C>M ]E?MUABH�C>I?FEDB�?ZLDICA>�VAE�IU?�FEDGCIN ^$��_9�����.�����,��:�.��('�+��'�+ ,��6 �)�$ ��:� ��+ '�%�.����1� '8��:�.�'�#�_���#�6 ����)�� $�%��!�+���$����$')�.�(�$�#��� �!: ����#�� $��# ���:�#�+�� +��8���$���)������6 '���,����+����#��:�+�$�'�%��'�(����!�(�$�#� ��+��!����� ����+�����"�#���&���)�����+�: .���' $��:� � #$ �8� �� #�+����!� � � ���$���! " .�#X)� ��:���#�#,���)+�������"�#�����&�8�! (�$�#��̀ �+'��,��.��)#�#�!!���#��&�8������ #�6 � 1�%�����.�')"�.����(�_�#�$�+����%�.������6 .�$�'� �� ,��8� .����1� '�� ��'�� �)3���)� ,� +�$�')�%������ $�_�� ��')�#���&���)�1�:�� #6 $ �8�� ��.�,����$�#�'���������,��:�$ ��:" .�������$��� ��8�����#������+���$������+ �6 �)�����:�#��_!�.�#��������(:�$��!������+ 1�! � )#���+���$���� �����+ 1�!�.����1� '8��: .�'�#�ab� #�� �#�$� � "�� ���-���'�#"�� cd $�#��&�9�8������9�.����1� '����_������+ ��#6 ��+����#�#,�����#�����&�8�!�(�$�#��.' ��6 �� �^$� ��#����$ 9�8��+�������#X)��# ���� $��� ��8�9���,����9����,����&��� $ ,��'�&� � ��+�#��� $ ��)�#:�$��!������+ 1�!�#�'�� '86 ��:��(' ��):�.�#��!�+ '�!�+��� �*.��(�����6 ��# �������'8� ���'�� '8��:����#X)���#�� �#�$6 ��#'���)������+ 1�!�#��'�( '8��+��+ �&� (� � �� 9�8���#$ ,��a�'����$��"�� c�d�,�����#�$6 �������8���,��:��� ��,��:�$ ��:�$')����#X)6 � ��)�#�$.�#�$��:��� ��,��:�� $ ,�e�����:6 '�"���%+ � "�*���� ef�'�$���8�����e�$') ��#�)��)�4 .' � �� �1�%�, ����+ _�+�3'�6 #�����%�.�)+��#�+��9# ����� ,���)��� #�� 6 1�%�����.����1� '�"��$� ��$����.���$ ����� #�6 + ������:��.������3��8"�g��)#')9�8���(�9 �� ,���)�.��������+�$�')��� $�_�� �.����1�6 '����'���)3���)�hfb;*ij �*'�$�������� ��6 �)�1�+��$ ��+��$')������(����:�+��� �����6 + 1�%�.����1� '��#��'�( '8��%��(' ��� `��� �����+ 1�%�.����1� '8��:�.�'�#����(6 '�#��+��1��� %+ _�� $ , �� ('�3������ � '�6 ��,�����.��$�#3���)�.����1� '����'���)3��6 �)k�#�+�$�'�����'���,���������$�#�g �� ('�6 3����� $ ��� (��$������1� '8��%��.�� ���" (���� ��,����+�#� �� �.� ���1��� %, ���&� $')�#���&���)�18����� #$ ��)�#��������#�6 12�232�24��0��1���45���� �4� 5�( %� 6�24��0747�%58� 5 ������������������ !�"�#$�%����$��&&' ��� 9�8�+�$�'8�����,��+�$������1� '8��+��.�6 � ����+�h� �+���,� � .�����+ 1�)��� ,��8���6 '���)3���)� )(� xg j���� $ ,��f�'�$���8���� a; ���'��#"�����d �-�$��#������� � ���# ��9 ��,����9�.�'����'���)3���)�����#��&�8�+� .��������� �%����� �+���,��+�� ('�3���)+ +�3� ����#X)� ��)+�#�$.�#�$��!��� ��,��!�� 6 $ ,��#��(' ����+ '�!�+���"�����'8�����#�g��� 6 $ ��:��� ��,��:�� $ , :�$ ����.������3��8 �'���9�8�'�&��� ('�3���+���� ��,��+���+�6 # +��,�������� �+���,����8�#�$.�#�$��:�����6 1�% �0�������� �+���,����8��.�� ��� ��� ��6 ���+ ����a0���2%"�� �d�h.��� %+���� ���6 :�$�'�j������������ _�.�:�(� �#��� ,���)�.�6 ���1� '�� )(� xg �����(�'8&���)+����+����'�6 � '8��!��(' ��� �i�+���� �����+ 1�!�� ���6 ��#�� 1�:� � $ ,�+ 9�8� � � ���# ��� ��,����8 '�&��#��(' ��):�+ '�!�+����h)��.� #�'�"��°�× ×��°�������,����9�$����#��� ,���!��� '�!"�g� � '�3��8�#�$����+����!�1�_!��(' ���j �̂ �3�"�� 6 � ���# � ���,����8����#X)��������_#��� '�3��8 #�$����+����!�h��'8_��������+���#j�'�� '8��! �(' ����a0���2%"�� �d"� ��������!�$')�.�_$� �6 �)�'�� '8��:����#X)���#����'�( '8��:�.�(�$�6 # :�#�$����� ���+�����"�#��' ��,��+���.���(��#��� ,��6 �)��� #� ��+ '�%� )(� xg ����#� :�# � �� ��(6 �� #�� "�g��#���,� :���+��!�.�#��:���#������ �� '8��!������+ '8��!���'���)3���)�+�3��8 + ����.��.�� 9�:,��,��������:�$3���)�.�6 #��:�����+�������'8_���� ��������16�'�.��!6 $ �h$�# ��������j"�g�����('�#��)��� #��.��6 )#')_�8�)�� ����������������e��� ����#����6 �8��:�� %�� : �;�������#�����_�� 1�9��� #�6 +����#�h� :�'��.��' $�#"���+�#'���������+����6 .���+����#�������#�.����1� '8��:�.�#��:��8" g��.��:�$)�8�,������ $ ���.������#�+��9# �8j : � �������_�.���������� � −=α )(cos iii mn " )(cos �� " ++− ii mn �+�3����+ ')+��$����+��! � ���#�.����1� '8��!�.�#��:��8�����,1��#�+�6 �9# �8 ���19"� ���3�$�����&��#�'�,���"�� .��6 �' $"��� ,���)�� .�)+��:���������# "" )(cos ixn �"�=i "�g��#��� , 9�8�� .�)+���'���)3���)" ���#�+��99�8�,�������' $����8���� ��� 1�!�� 6 ��:��.������3��8���.�'8�#�:��+�# : �5��:�$6 3���) ��h .������ j�1�:�� .�)+�#����� '8��: �+�# :���'�# _�8�)�#�$���$��l� ′′���+�3��.��6 �#�����$������"�g���'�(��������$����$�����" )�����+�#'99�8�1�����:�$3���)"����#�$�(� 6 3 ��+��8�)�#��' ��,��:� ��+ '�): ����(:�$6 ����8�#�#,���)���'���%��!��� ��,��!�� $ ,��#�$6 ��#'���)�.����1� '����'���)3���)�� ��� ,��6 �)+��+�$�')�%������ $�_�� �.��$����# � �.� �6 ��,��9���.��$ �����9��' ��,��:��:�+�#�$��#6 '���)�.����1� '��#��'�( '8��%��(' ��� ���#X)������.���:�$�+�$���'�( '8��:�.�(�6 $�#���������:�+�$�'�%���+��!�����"�)���#���6 ��9�8�� �����#��$ ��:������� '8��:��.����6 ��3��8"�#����' �.����( ���.�&�����.���(�# ���#X)� ��)�� $ ,�� � '���,�����.��$�#3��6 �)� ��+ '�%���'���)3���)"�����+�'8�# ��!�# a�'����$��"�� c�d ���18�+��� .�)+��#���(��� a0���2%"�� �d�#�����+'����$# � '8���� ��#�� � .�)+�"�g��m�����9�8�)�� � � '����: � ���6 �����,��:�#' ���#����%�+�$�')��� $�_�� �.�6 ���1� '����'���)3���) ;��&�%�����:�.����(�_�#�$&�� ��)�� ���� $������1� '8������.�� ��� "�g�� ��'9_��� 6 ,���)�+�$�')��� $�_�� �.����1� '��.�� ��(6 ' ��9����+�g���)��)3�9,�:�+ �"�� ����#X)6 � ��)�$')�18�����.�� ��� �#�$.�#�$��!�'���%��! �� ��,��!�� $ ,� �5���'8� ��+� � '����� ���� .�$:�$��_�.��� ��#� ������#X)� ��)���#��&6 �8�!�� $ ,������:'��$')�!.�.���-��$������1�6 '8�������#�)��)���.��b�'8+��'81 �h)���+�$�6 '9_��� ,���)�fb;*i�#��(' ���"����� %�)��% �)3�9,�+��+ � +�j�����#�$�+�+��+����+����6 ��1�_���+"�g��#�$.�#�$ _�#�(� ��+�����+ '86 ��+��.����1� '� �;�$�(��+��3���#�)��9�� $�6 #�'8�)9�8��� ��+ '�!���'���)3���)�a0���2%" � �d �n�%��.���(�������#��%�$')�.��$�#3��6 �)� ��+ '�%���'���)3���)"��$� ����� ���.��6 $�#3���)��� ,��8�.�#������� $�_�� �.����1�6 '�����$ _�( 3 ��:�� �'�$��# ���.� 1��a�'��6 ��$��"�� c�d�.�$�(� ��:�+ ��(m�����# � ����� 6 '���# � ���#��')$��.��'�$�#���������#X)���# 5��:�$3���)�#������#��� '8��!� �����+ '8��! ��'���)3���) �5��(�3����8�� .�)+�#�#������#��� '8��!������6 + '8��!���'���)3���)�#���,� :���' $�������'8_�� ��'�# _�8�)�$����'8��:�$��)���#������$� ��+�3� o.��:�# ��p� ��+ '�!�#�������+�'�� '�aq��+,��" ����d �������� �� � ��; ������������������ !�"�#$�%����$��&&' � $ ,����%+ � �$')���#�)��)�4 .' � "�)���#�6 �� , 9�8��(��9# '8��%�.����1� ' �����%��.���(�'�3��8���.'�g����.��� ��6 #���� ��!���!.�.���/��� ��,��!�� $ ,��$')���#6 �)��)�4 .' � "�#��� %�#�:��+�# :�)��!�(��6 .�����$�8��� $�)����� ,���)���'���)3���) i ���� $ ,��#.��&������+�'9# #��'����$�� a�'����$��"�� c�d"� ���.�('�� 1�!�a0���2%"�� �d !!�.������+�'8�# ������� ��,��+��$ ��+� $')��' ���.�#��:��8�4).���# �� ��+�#�"�g� #�$��#'9# ��%�.����1� '����$�3��#�$:�')_�86 �)�#�$�� $ ���� i�+��$')�.�&������,��&�:��.���(�#�#�$6 ��#'���)�� ('�3��8���'���)3���)�$�#�'��8 #�%���� �+�3��� $ ,������:'����#�$&���# �� ���,����)������1�_�� ���#�)��)"�.��#������(6 ,��'������$')����+ '8�����.����1� '� "�g� .��#�'��$��.�(�$�#��.��'�$�#��:�� ('�3��8 .����1� '��� ��� ��,��+���� ,���)+��+�$�6 ')�%������ $�_�� �;���:�$�$��� $ ,��#�$��#6 '���)�.����1� '�������#����(:�$����8��(,��6 '���)�� ���.��:�� ('�3��8�)�������1�_���# ��#�)��)���'���)3���)"�� ����� +�:��� ,��8 ��'���)3���)"�����'8������ ������.���+�3� �� %������'�&�������#X)� ��)�� $ ,������:'� $')���#�)��)���'���)3���)"� �%�hg��.�����&�j ��(��.�����$�8����$������1�9# ��)�#�$��#6 '������.����1� '� ���#X)������1�+�� $ , �#�$��#'���)�.����6 1� '��� ��� ,���)+��fb;*i"�)� ����� '�6 3��8�$���' ��,��:�� $ ,��� #�+����!"�� (�# _ ���('�#�!�# �������$��(������:�� $ ,������! .����1� '� �^$�����+�3'�#�:��.���(�#�!!�#�6 ��&���)������('���%���.� 1��aq��+,��"�����d" ���&�%"�.�$�� �#�9�o�� ��,� �� $ , ��'����$6 ���$')���#�)��)�4 .' � p"�.��.���_+��# &�% �# �� ����,��+��.��� ��#���1�_!�� $ ,��a��(�6 #����"���� d ` � .��$+�����+�$�'8� � $ ,�� #�$��#'���) .����1� '��� �+�$�'�+�%������ $�_�� �.��%6 +�+��.������+�$�'8�̀ �+'��)�� (��'9�����#��6 $������' "�('��8�����$����' ��(��� ��)"�g����6 : _�8�)���#��+�����#�$�#3���(���"��(��� 96 ,��8�� #��'����������� '�9�����#�9�&#�$��6 ��9�h(���.��1���!������ 1�!j ���: %� −y �e��(6 +�3�� ��(' ��8���,������#�+��������#�'�$�6 #����.�������"�� %�)� �+ � +��`�+'�"� +y �e ���(+�3����$�.�#����)�$�� −y "�#�'8���#�$��� 6 #���9,�:��(X_���#"� y∂ �e�+�3 �+��3��� −y �� +y "�g�������3��� �������,��9�.�#��:��9 `�+'� ���.�)+������%�$�� ���#�%������+������6 $�� �� ��� xxxO ���.�, ���+���1������`�+'�" ���� �xO " �xO �'�3 �8�#���# ���� '8��%�.'�g�6 ��"� �#��8� �xO ��(�� _�8�)���#���9�!!��(��� �6 �) �i�,����(' ��� −y .��� ,�+�����18��+��'�6 ��� +�"� −∈ξξ=ξ y)�( ��� "" "� �!!�$�.�#���6 �)� +y �e�' ����8��+�"� ∈= )( ��� "" xxxx +∈ y �f ���#����$����̀ �+'�� )(ξM "� −∈ξ y "�� �������9� ξξσ=ξ dMd )()( �������9�8���� #6 ��'�&�8�+��.��������.�'����'���)3���)"�g� + ��+��.����1� ' ( ) ( ) ( ) , ,0 , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈Ω +ξ ξ− ξσ = + − ∫ − yx yxx d x fxW y �h�j $����e��� #�� 1�%� ��� ' �� +ω=Ω � ��"� xx ()( )�x+ �e�.����1� '�1�����(�3��!���'���ω�e +�$�'8�#����� �����#�!�&#�$������`�+'� �� 6 .��3�����8�.�')�h�� ,���)�+�$�')��� $�_�� .����1� '�"�� �a; ���'��#"�����dj�$���#�9_ ( ) ( ) =∇−= xWxg ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ = = ∂ ∂ ∂ ∂ = 3 1 ,, k k k xnxg n xx x xW $�� �"�"�"" == ∂ ∂ kxn n xx k k )(cos )( �e�� 6 .�)+�������������$���,�����#����� � )( xn #�����&�8�!����+ '��$����#�.����1� '8��!�.�6 #��:��� xCyWxWd =)(:)( "�)� �.��:�$��8�,�6 ������,���� ����������%+��.��� ��#���� $ ,�k�.����(6 ��� �� %�������1�9� +∈ yxxW ")( "� )� � � 6 $�#�'8�)_�#����$�������(+�3���!�� +�����! �(' ���� yyy ∂∪= ++ � ��#�)��9� 4 .' � +∈=Δ yxxW "�)( "�)�g��#�(�$86)��%���,1� ').���#�8��!�+�3�� y∂ ���(' ������#�������,��6 ���#�$$ '���%���,1��#�� �� $�#�'8�)_��+�# +k �""� �� � →∂∈=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂∑ = )()( )( xWyxxg x xW k k �.�� ∞→x "�$�� )(xg �e�� $ � ���.����#� �����6 1�) �� ��# ��+�+��� $ '��19���!.�.������ 6 ��,���� $ ,��o� $ ,�9��'����$���$')���#�)��) 4 .' � p ;�� � '���%+�� � '���,������('�#���������6 1�!� )(xg �+�$�')��� $�_�� �.����1� '����$��_9 ��!!�� %# 3'�#�&�:�: � ����������_�� ����#��6 $3���)�a�'����$��"�� �d �f�$�$8��� $�_�� .����1� '����'���)3���)����� $�#�'8�)_���#6 �)��9�4 .' � �#�3�$��%���,1���(' ���� +y " g��#�.'�# _���#�� ���h�j���_�� �'�$��+�'�+�" )���� #�$������3,� h�j ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ = = ∂ ∂ ∂ ∂ = 3 1 ,, k k k xnxg n xx x xW �"�"�"" == ∂ ∂ kxn n xx k k )(cos )( 12�232�24��0��1���45���� �4� 5�( %� 6�24��0747�%58� 5 ������������������ !�"�#$�%����$��&&' ��< ��������(���� )()()( xvxuxw ⋅= $#�:�����6 1�%� )( xu ��� )( xv "� −∈ yx ��' ��� )()( −yC � "�� �6 +���,��%�#��(' ���� −y ���$����'�&����$�"���'� ��3�������.�#+��3����#�� �+���,��%�#� −y "� !:����� $�_���� )( xu∇ � �� )( xv∇ �������� '8�� �$����$��+��#��(' ���� −y ����#���$�������)��,�#�$���#�.'�# _�����#����� ( ) ( ) ( ) ( )∑ = +∇⋅= ∂ ∂ =∇ 3 1 2 2 2 k k xuxv x xW xw ( ) ( ) ( ) ( ) .,2 2 xvxuxvxu ∇⋅+∇∇+ ��3� ������' $�#�:��� $�_�� kx xW xu ∂ ∂ = )( )( _�� �+���,��9�����1�_9"� �����1�!� =)( xv �"�"�"" == kxn k )(cos �e���"�#�,�+��'�����.�6 ������_+��)���(��.�����$�8�����(,��'���) q�(��� �.�#��:���̀ �+'��h��#�)��)�)��!�## 6 3 _+��� $ ��+j"����+��� ,��8�+�$�')��� $�6 _�� �.����1� '�� yxxg ∂∈")( � ��#�����&�8�! ���+ '�� )( xm � $�� y∂ "� #�+��9# '�� � .�)+ �� $�_�� � )( xn "�� $ , �#�$��#'���)�.����1�6 '����'���)3���)��#�' �8�(��$��#��� ,���) .����1� '��.���)� ��)� +∈ yxxV ")( "�)�����6 #X)������#��&�8�!�� $ ,����%+ � �$')���#�)�6 �)�4 .' � k ( ) ( ) ( ),,,02 x m xV yxxV Φ= ∂ ∂ ∈=∇ + ( ) ,,0, ∞→→∂∈ xxVyx h�j $� −= ∂ Ω∂ − ∂ ∂ =Φ )(cos)( )()( )( mnxg m x m xW x "� ∑ = ω− � � � k c" )(cos)(cos)(cos mxxnmn k k k """ � � ∑ = = ^$� ��� .�)+����+ '�� )(xn �h$�# ��������j ��#�$�+�%�,�����#��)���#����' $����8���# �6 ����8�#�+��9# �8 �b� ��,���$ ���� $ ,��#�$��#6 '���)�.����1� '��� ��� ,���)+��+�$�')�%��� �� $�_�� � )()( xVxq ∇−= � �� +�3 :� .��%6 �)��!�+�$�'���.���_�#�� ��a0���2%"�� �d ( ) =xq 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∂ Ω∂ −= ∑ = − 2 1 12 ,cos21 k k k x x xnxqxq ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ Ω∂ + ∑ = − 2 1 2 2 k kx x xq (� ( ) ( ) ( )[ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= ∑ = − 2 1 1 ,cos k kii xnxqxq ( ) ( ) , 2 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ Ω∂ − − kx x xq hlj ,��������g�� � � = ∂ Ω∂ x x )( �`��(�+��$�)���.��6 .�g���) -#�$�+�����+ '8��%�.����1� '"�g������6 ��_�8�)������#��+��+ � +�"�g��$���#�99�8 + � +�#� −y "� '������ &�# ���#�.�#��+������� o���+ '8��p�#�$�)��%���&�%��(' ���� �y �.��6 ���!����+����!���+�3�9� �y∂ "�)� ����$�3��#�$6 :�')_�8�)� #�$� ��+��!� .�#��:��� y∂ � ;�$ +� .����1� '�.���)� ��)���#��')$����+�� =)( xV )()( xTxU += ����+ '8����� )( xU � ���(��96 # '8����� )( xT �.����1� '�#"�� #$)���,�+���(�6 �9# '8��%�.����1� '��.���_�#�$:�'���)���6 '8��������.�$�'��+ ��#� −y �#�$����+ '8��6 �� ���: %� )( xν �e��$���,� �#�����&�)����6 + '8�$��.�#��:��� xCyUU x =∂ )(: "� � =γ )( x )( xU∇−= �e� +�$�'8� �� $�_�� � ���+ '86 �����.����1� '� �-# 3 _+��� $ ��+��� .�)+�� ��������� )(cos kx"ν "� )(cos mxk " �#�����&��: ���+ '�%� )( xν "� )( xm �$��.�#��:��8� xU∂ ��� y∂ " �� ��+�����+���� ×ν=ν ∑ = � � "" k kxm )(cos)(cos )(cos mxk "× ` � � ��:� .��.�g��8� #�$��#���� .����1�6 '�.���)� ��)� +∈ yxxV ")( �+�3� ����� ��,6 ��!�� $ ,��h� j��(,��'���)+�.��'�$�#��:�� 6 ('�3��8� ∞= " "�"�"�" kxV k )()( k�� ��� %$�6 ��+����.�.���$�8�����6���������� ('�3���)6 +�� �"�"�"" =kxn ki )(cos �� .�)+��:�����6 ����#����+ '�� )( xn �#��� , _+��� �+�3�� y∂ � ����+�'�9�hlj� �+i 6&��� ('�3���)���'� �)3���)�aq��+,��"�����dk ( ) ( ) ( )[ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑ = + 2 1 2 1 ,cos k kii xnxgxq �������� �� � ��# ������������������ !�"�#$�%����$��&&' ( ) ( ) ,, 2 1 1 yx x x xq k i ∂∈⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ Ω∂ − − − ( ) =mni ,cos ( ) ( ) ,,,cos,cos 3 1 yxmxxn k k ki ∂∈= ∑ = ( ) ( ) ( ) ==Φ ++ mnxqx iii ,cos11 ( ) ( ) .,,cos yxmx ∂∈νγ= ;��')�18����� '�&�'��8��� %������#X)������#6 ��&�8�!�� $ ,����%+ � �$')���#�)��)�4 .' � k ( ) ,,01 + + ∈=Δ yxxTi ( ) ( ) ,,1 1 yxx m xT i i ∂∈Φ= ∂ ∂ + + ( ) ∞→→+ xxTi ,01 h�j )��.����1� '�.��������& ���+ ����.����#��! �������� yxxi ∂∈δ + "� )( "����.�$�'���:�� �.�6 #��:��� y∂ k ( ) ( ) ., 4 1 1 1 + ξ ∂ + + ∈ ξ− ξδ π = ∫ yxdS x xT y i i hcj ��#�$�+�����������(,��'9_+������'���%���� ������ '8�������#�)��)�<��$��'8+ �$������ ��$��a0���2%"�� �dk ( ) ( ) ( ) =ξδξ+δ ξ+ ∂ + ∫ SdxKx i y i 11 , ( ) ,,2 1 yxxi ∂∈Φ= + h�j $� ξ−π −= ξ−∂ ∂ π =ξ x mu xm xK x )(cos )( " � �� � � " " ξ− ξ− = ∑ = x x xmmu ii k i � � "" )(cos)(cos "� ξ−= xu 5��#X)� #&����#�)��)�h�j"�� ('�3�����(,��6 '�+����#������� ��)+�hcj�.�:�$���.����1� '� .���)� ��)k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 1 1 j i jj i i j x xT x xU x xV xV ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = + + + ( ) ( ) , 4 1 13 1 ξ+ + ξδ ξ− ξ− π −= ∂ ∂ Sd x x x xT i ii j i .3,2,1=j h j ���#�� ���h j��,�#�$��"�g��.�:�$���� ('�6 3��8��(��9# '8�����.����1� '��#��� , 9�86 �)���#�����&��:���,� :��(' ���� +y "� �� �!!�+�6 3�� y∂ ��� ,���)�.�:�$��:���h j��� %�����+�36 '�#��,������ )#����8���.�$������ '8��:�����6 1�):���'8��:����������#��:����('�#����% ��') .��$�#3���)��(,��'��8��'�$��� ����� ,���) .�:�$��:��(��9# '8�����.����1� '��� +��� +�3�� y∂ "���$')�!:��(,��'���)����( �.���$( 6 ,�����.�1� '8�������')��� 1C9������� '�#�h j ;��.����+�"�g��� ����.�� 1�9�#���� ������� 6 ,���)�.�:�$��:�h j��� %$����#���,� :� yx ∂∈ " ��$���(,��'�+��� ���� ('�3���)k ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,cos 11 11 yxxVxqxn i kiki ∂∈= +− ++ ( ) ( ) ( )[ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= ∑ = ++ 3 1 1 2 2 ,cos k kii xnxgxq ( ) ( ) ,, 2 1 2 1 1 yx x x xq i ∂∈ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ Ω∂ − − − + ( ) ( ) ( ) ==Φ +++ mnxqx iii ,cos 122 ( ) ( ) ,,,cos yxmx ∂∈νγ= .��')�,�������#�����#X)��_+���� ��,���� $ 6 ,��h�jeh�j"�� �����#&����$���� �+i 6���� ('�6 3���)��(��9# '8�����.����1� '�� )( xTi �+ �� � ('�3���) )()()()( xTxUxV i i � � + + += .�6 ���1� '��.���)� ��)���� /$ ( ) ( ) ,, 2 1 1 yx x x xq k i ∂∈⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ Ω∂ − − − ( ) ( ) ,,,cos,cos 3 1 yxmxxn k k ki ∂∈= ∑ = ( ) ( ) .,,cos yxmx ∂∈νγ= ( ) ( ) ,,1 1 yxx m xT i i ∂∈Φ= ∂ ∂ + + ( ) ,,01 ∞→→+ xxTi h�j ( ) ( ) ( ) =ξδξ+δ ξ+ ∂ + ∫ SdxKx i y i 11 , ( ) ,,2 1 yxxi ∂∈Φ= + h�j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 1 1 j i jj i i j x xT x xU x xV xV ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = + + + ( ) ( ) , 4 1 13 1 ξ+ + ξδ ξ− ξ− π −= ∂ ∂ Sd x x x xT i ii j i .3,2,1=j h j ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,cos 11 11 yxxVxqxn i kiki ∂∈= +− ++ ( ) ( ) ,, 2 1 2 1 1 yx x x xq i ∂∈ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ Ω∂ − − − + ( ) ( ) ,,,cos yxmx ∂∈νγ= 12�232�24��0��1���45���� �4� 5�( %� 6�24��0747�%58� 5 ������������������ !�"�#$�%����$��&&' ��= *�������(m�����# ��)�� +������������!�� 6 $ ,��h�j����#X)���+��� ��,��!�� $ ,��hcjeh�j�� �(�3������� ('�3��8� )()( xV k �$��.����1� '� .���)� ��)� +∈ yxxV ")( �.�$ ���� �.���' $� ('��8��!�� $ ,��a; ���'��#"�����d �^$���� ,6 ����8�!!����#X)����$�#�$��8�)������+�9�_$�6 ���������#X)� ��)�� $ ,����%+ � �$')���#�)�6 �)�4 .' � �� �+�$�'�+�%������ $�_�� �� �$�.�6 +���9�.����1� '��.��������& ��"�g���#�$��86 �)�$��$�#�$���)��(�3�������(,��'9# ��:�� 6 ('�3��8� )()( xV k "� ∞= " "�"�"�k �����1�! +∈ yxxV ")( ���!!"����#�9�,����"�'�����$�#����" )�g��#�)#�����(�3����8�.��'�$�#������ })({ xTk � ('�3��8��(��9# '8�����.����1� '� k�)�g� )( xTk ��(�� _�8�)��� )( xT �.��� ∞→k "� �#�$6 ���#�.'�# _��(�3����8����'�&�� )()( xV k �→ → +∈ yxxV ")( "� �%�����#�!+��+�3 +��(�$86 )��:� ��&�:�� ('�3��8"�g���$���� ,���#�6 �� , _+��� � )( xTk � $ '���(,��'�+��#�'�,��� � � � )( )( )( xU xT x ∇ ∇ =ε )���# $� ��#�$��&���)�+�$�'�#��� $�_���#��(�6 �9# '8������ ����+ '8�����.����1� '� �i�$� �.� #�$'�# �� � ������+ �a0����%"�� �d �� ��������5�>��+�!�����?� )( x�ε �,��@ � ����A*�+ *��9��.+�:����� )( xε $�*��9��!.@ )�+�.�*B����+C:��.+� })({ xTk �-� �����A�� ) � D<E��F.- G*B�:��.��F��?+ !B��,�9�*��H. !�, )( xT ��F! �*.� −y � ����#���$�������) ������8�$�#������(�3����8�.�6 �'�$�#������ })({ xkδ "���)��!"����$�����hcj"�#�.'�6 # _��(�3����8 })({ xTk �̂ .�� ��� +δ=δ )( xA ii ( ) ( ) ξ ∂ ξδξ+ ∫ SdxK i y " ���#�)��)�h�j�� ������6 +�9�����# ��)����#X)����+ _��(+�3���%��(��6 ����%��.�� ���� �−A "� ∞<≤− cA � "��#�$6 ����,�#�$��9�_��1��� � ≤δ−δ + )()( xx ii � )()( xxc ii Φ−Φ≤ + �� "� ����� :�# ��)+ #��� ,���)�����1�%� )( xiΦ �+ _+� ( ) ( ) ( ) ( )−≤δ−δ ++ mnxqcxx iiii ,cos2 11 ( ) +− − mni ,cos 1 ( ) ( ) ( ) .,cos2 11 xqxqmnc iii −+ +− ;��&�+� $�$ ���+� �� .� #�%� , ������ 1�_! ����#������+�3� ����:��# �� ���%���"�����'86 ���+ _+� ( ) ( ) ( ) =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∑ = − 3 1 2 12 k k i k i x xT x xU xq ( ) ( ) ( ) ( ) ,2 2 1 12 xT xT xx i i − − ∇+ ν∂ ∂ γ+γ= ��"�.���.�� #&��#�� ��$')��� $�_�� �����1�! )( xTi �− ����� :�# ��)+��,�#�$������.�##�$��6 &���) ( ) ( ) ( ) ( )xnxq xT ii i γ−ν= ν∂ ∂ − − ,cos � � " ����+�_+���� ( ) ( ) ( ) −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ν∂ ∂ +γ= − � �� xT xxq i i ( ) ( )ν− ,sin ii nxq �� �̂ $� �� ( ) =ν− "�incos ( ) ( ) ( ) ×γ−=ν= − = −∑ xxxn k k ki � � � � �" coscos ( ) � � ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ν∂ ∂ × − xTi "���(������� )(cos ν− "�in �� �+�#� �����+��+ '�%"� �� .�.���$��%�#�� �� �� ��,����9�$�� )( x�ε �� (�# _�#��')$� ( ) ( ) ( ) ( ) .1 2 112 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ν∂ ∂ γ+γ= −− xT xxxq i i h j ^���'8���� �#��� ,���)+����� :�# ��)+�� 6 ('�3���!���#������h j�+ _+� ( ) =mni ,cos ( ) ( ) ( ) ( ) =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∑ = − mx x xT x xU xq k k k i k i ,cos 3 1 12 ( ) ( ) ( ) ,1,cos 2 12 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ν∂ ∂ γ−=ν= −− xT xm i ��������1) )(c o s)(c o s mnmn ii �� �−− � �.��)$6 ��+����.���#��&�_�,��' � )( x�ε �� �����#� h j������� :�# ��)+��� ��,��!��+�#��� $ ,��h�j + ��+�+� ( ) ( ) =−+ xqxq ii 1 h��j ( ) ( ) ( ) ( ) =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∑ = − mx x xT x xU xq k k k i k i ,cos 3 1 12 �������� �� � ��I ������������������ !�"�#$�%����$��&&' ( ) ( ) ( )[ −ν= − mnxqm ii ,cos,cos 1 ( ) ( ) ,,cos 21 mnxq ii −−− �#�$��"�#� :�# #&���+�#�������+��� ���#����8 h��j"��$��3�_+��' �193�������#�����% ( ) ( ) ≤−+ xqxq ii 1 ( ) ( ) ( ) ≤−ν≤ − xqxqm ii 1 2 ,cos ( ) ( ) ( ) ≤≤−ν≤ −− ...,cos 21 4 xqxqm ii ( ) ( ) ( ) .,cos 01 2 xqxqm i −ν≤ ^�� ��,���+ ��+�+������#����8 −δ + )(xi � )()()(cos)( xqxqmcx i i �� �� "� −ν≤δ− + " )� �.�������_"�g��.��'�$�#����8 })({ xkδ &#�$6 ����(�� _�8�)�#���(��� ��+�#�� �" <ν )(cos m � ����(�3������ })({ xkδ �#���(��'�����#�� ��#�6 ����(�3����8���_$���9�+�3�9� )( xδ �̀ ��+�#� �" =ν )(cos m �h� .�)+�#�����&�8�!����+ '� )( xν �$����#�.����1� '8��!�.�#��:��� xU∂ ��(�6 � _�8�)�h (��.����'�3��%j���� .�)+�+����6 + '�� )( xm �$��.�#��:���̀ �+'�� y∂ j�� $ , ��#�6 $��8�)�$����#��&�8�!�� $ ,����%+ � �$')���#6 �)��)�4 .' � ;�&���������+�'�� h j"� �.� #�$'�#�� $') #�����&��:���,����(' ���� +y "�� ��� ��,�����,6 ��� yx ∂∈ �$�.�+�3��� ����#��$3���) �� ��������5�>��-��*�� �9�*��H. !��9���@ *�-��J ���D#E�K���9����+� �� �,��.� y∂ �����@ H.: $� -� ����.��� ����:�� �*����A�9�A.)��A �@-��9��:)���+.)�9�*��H. !��)��.+�??*B ( ) ( ) +ξδ ξ− ξ− π = ∂ ∂ ξ ∂ ∫ Sd x x x xT y kk k 4 1 ( ) ( ).,cos 2 1 xk mxxδ+ ����#���$�������)�������+��#�.'�# _���� %6 ��������(� 3���)�.����1� '����#��')$� ( ) ( ) ( )[ ] + ξ− δ−ξδ π = ξ ∂ ∫ x Sd xxT y 4 1 ( ) ∫ ∂ ξ ξ−π δ + y x Sdx , 4 )�g��$������1�9# ��)�.�� kx ���+, ��#��� 6 +������$������1�9# ��)+�.��#�����&��%����6 + '�� xm �$��.�#��:��� y∂ �����,1�� ix ���#� :�# 6 ���#�$�+������3����8 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ ∈ = ξ−∂ ∂ π − + ξ∫ . ,0 ,5,0 ,1 1 4 1 yx yx yx Sd xm x ��$����"�)��+����h j��.�� ���.��'�$�#����8 �� ��,��:�� $ ,"�.�$�, ���(,��'���)�.�:�$��: �.�g����)��������_#� �-� � � �#������+�������6 +�' ���.��$ �� �$')�.� ���,������(,��'��6 �)�.�:�$��:�h,�������' $����8���+�������'8_6 ��j"���+��� +���8���!��'�$�#��������#�# �����6 #�# '���������+�'� ( ) ( ) ( )[ ] + ξ− ξ− δ−ξδ π −= ∂ ∂ ξ ∂ ∫ Sd x x x x xT kk y k 4 1 ( ) ( ).,cos 2 1 xk mxxδ+ 1 �+ ����: k���� ��_���#�)��)"�)����.�.�6 ��$��"�g��������9�8�#������+ :������"�_���'�6 ��%��+����$� ��)�g��� �����# ������+����9 ���� ����!�.�#��:��� )( yy∂ "�g��� $ � �� ��' 6 ���4).���# � )()( −yC � "����� $ , ��� :�$3��6 �)� �������� .����1� '�� .��������& ��� �� _ '���%��9���+ _��$���� ,������#X)� ��) ^�3�"�����+�'8�# �����#����'���%����� 6 ��,���� $ ,���'����$���$')�#�$��#'���)�.�6 ���1� '��� ��� ,���)+��+�$�')�%������ $�_�6 � ���#� � ���.��'�$�#����8�!!����#X)������#�6 �')$��.����1� '��.��������& ���hcj "�������� )�����#�$&���9�8�����#�)��)�h�j �� $ '��.�6 ���(����(m�����# �������������8�.��� ��#�� 1�_!�� $ ,������ ��,��+��$ ��+��� �').���#6 �8��+���' ��� )()( −yC � 2+*���+��!�+!?G�9�):��� � )�,.���������0* @ ���*������ �9!.)�.�� �+ ����:���9�� )�$�>� �9��:!��9�!.9J���?�����9�����* **.� ( ) ( ) ( )[ ] + ξ− δ−ξδ π = ξ ∂ ∫ x Sd xxT y 4 1 ( ) ∫ ∂ ξ ξ−π δ + y x Sdx , 4 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ ∈ = ξ−∂ ∂ π − + ξ∫ . ,0 ,5,0 ,1 1 4 1 yx yx yx Sd xm x ( ) ( ) ( )[ ] + ξ− ξ− δ−ξδ π −= ∂ ∂ ξ ∂ ∫ Sd x x x x xT kk y k 4 1 12�232�24��0��1���45���� �4� 5�( %� 6�24��0747�%58� 5 ������������������ !�"�#$�%����$��&&' ��' ����� ���� ������ 2!����)��� L�� 2 � 5�$��1�)� ��'2� �)3���� � e i(�'���k�f�1�����( "� � c� �e���c� � 2!����)���L��2��5�&������������2:�����#�2: � $ ,� �� #�+����� �e� i(�'���k�f�1�����6 ( "�� � �e�l���� ����!�+����� �b� #�+����,��� )��8�+� �e�f�6 ��# k���$� "�� � �e������ �� +�� �+�)� k� *.� #�,���� �������� � r�;�$ ��$ �7 /� �f�$��1�#�%"�� /7 �-���'�# �e��6� ��$ "�.���� ( ���$�. �e�f���# k���$� "�� � e�c���� ��F�+����������� *.���(� #�$��#'���)� .����1� 6 '��� ��� ,���)+��+�$�')�%������ $�_�� k�f 6 ���� '�� � �� � ���� � ob������,��� ��:��'���! .�������# ��)� � � +����������� ���'���,���� ����$�#�g p"� 48#�#"� ce���3�#� � ��� � � �e 48#�#k�*.�'�+"� ��� �e�* � ��ce�� ( �*�!��+����4��<���� �`�+'����.' ��� ����� '��1�% � e�f���# k� s�$6#��fb�"� ���� � e �c��� 3���M�� 2����� ^.�� ���� �� #�� 1����2:� ��6 + '�%� rr� ���' � ��� �**5 � *�� � t �e� � � e�u�l �e�* �� e�� 3���M�� 2����� s�(� ��2�� � $ ,�� �� #�+����� ���� #�� �#�$�����+���$2��:���&���)k���� �$6� ���� 6+ � �� ��k��l �� �� �e����#"�� � e�l� �� 3������ 2�� ��� ;��� ��#�� � $ ,�� $')� ��#�)��) 4 .' � � rr�-��� ���!# � ��6�� �*�� � b��'���) e�� � �e�-�. ��� �e�* ���e � 5��,����2�����b� ��,� �� $ , �#�$��#'���)�.�6 ���1� '�� � � �� ,���)+�� +�$�')� %���� �� $�6 _�� k� �#����� � $�� � � � �$ ���� 6+ � � � ��k �l �� �� �e���!#"����� �e��c��
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12490
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0203-3100
language Ukrainian
last_indexed 2025-12-07T17:59:53Z
publishDate 2009
publisher Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины
record_format dspace
spelling Дубовенко, Ю.І.
2010-10-09T13:46:40Z
2010-10-09T13:46:40Z
2009
Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2009. — Т. 31, № 6. — С. 132-139. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
0203-3100
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12490
517.9;528.21;550.831
Сформулирована новая нелинейная задача гравиметрии, названная задачей Алексидзе. В постановке А. В. Черного она сводится к задаче восстановления потенциала силы тяжести по значениям модуля его градиента на границе Ляпунова. Рассмотрены некоторые аналитические свойства задачи. Ее решение в виде потенциала простого слоя является последовательностью решения внешних граничных задач Неймана для уравнения Лапласа при условии, что решение не очень отклоняется от заданного. Плотность простого слоя определяется из решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода для силы тяжести.
uk
Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины
Научные сообщения
Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
Задача Алексидзе для восстановления потенциала силы тяжести
Article
published earlier
spellingShingle Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
Дубовенко, Ю.І.
Научные сообщения
title Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
title_alt Задача Алексидзе для восстановления потенциала силы тяжести
title_full Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
title_fullStr Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
title_full_unstemmed Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
title_short Задача Алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
title_sort задача алексідзе для відновлення потенціалу сили тяжіння
topic Научные сообщения
topic_facet Научные сообщения
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12490
work_keys_str_mv AT dubovenkoûí zadačaaleksídzedlâvídnovlennâpotencíalusilitâžínnâ
AT dubovenkoûí zadačaaleksidzedlâvosstanovleniâpotencialasilytâžesti