О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем
Сделан аналитический отчет об исследованиях в области математического моделирования динамики линейных пространственно распределенных систем в условиях ограниченности информации об их начально-краевом состоянии. Даны решения задач управления такими системами с помощью произвольной комбинации внешнеди...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124909 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 79-94. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860220720465838080 |
|---|---|
| author | Стоян, В.А. |
| author_facet | Стоян, В.А. |
| citation_txt | О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 79-94. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Сделан аналитический отчет об исследованиях в области математического моделирования динамики линейных пространственно распределенных систем в условиях ограниченности информации об их начально-краевом состоянии. Даны решения задач управления такими системами с помощью произвольной комбинации внешнединамических возмущающих факторов. Задачи решаются при непрерывно и дискретно определенных наблюдениях за начально-краевыми возмущениями системы и ее желаемом состоянии.
Зроблено аналітичний звіт про дослідження автора в галузі математичного моделювання динаміки лінійних просторово розподілених систем в умовах обмеженості інформації про їх початково-крайовий стан. Наведено розв’язки задач керування такими системами за допомогою довільної комбінації зовнішньодинамічних збурюючих факторів. Задачі розв’язуються при неперервно і дискретно визначених спостереженнях за початково-крайовими збуреннями системи та її бажаним станом.
An analytical summary about author’s research in the mathematical modeling of the dynamics of linear spatially distributed systems under limited information about their initial–boundary-value state is presented. The solutions to problems of control of such systems using an arbitrary combination of external-dynamic disturbing factors are given. The problems are solved for continuously and discretely defined observations of the initial–boundary-value disturbances of the system and its desired state.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:17:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
Â.À. ÑÒÎßÍ
ÓÄÊ 517.95:519.86 Î ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÀÕ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß
ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÍÅ ÏÎËÍÎÑÒÜÞ ÍÀÁËÞÄÀÅÌÛÕ
ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Àííîòàöèÿ. Ñäåëàí àíàëèòè÷åñêèé îò÷åò îá èññëåäîâàíèÿõ â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìî-
äåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì â óñëîâèÿõ
îãðàíè÷åííîñòè èíôîðìàöèè îá èõ íà÷àëüíî-êðàåâîì ñîñòîÿíèè. Äàíû ðåøåíèÿ çàäà÷
óïðàâëåíèÿ òàêèìè ñèñòåìàìè ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîëüíîé êîìáèíàöèè âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ
âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ. Çàäà÷è ðåøàþòñÿ ïðè íåïðåðûâíî è äèñêðåòíî îïðåäåëåííûõ íà-
áëþäåíèÿõ çà íà÷àëüíî-êðàåâûìè âîçìóùåíèÿìè ñèñòåìû è åå æåëàåìîì ñîñòîÿíèè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìîäåëèðîâàíèå, ñèñòåìû ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, äèíàìè÷åñ-
êèå ñèñòåìû, íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è, óïðàâëåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàçâèòèå íàóêè è òåõíèêè, îáóñëîâëåííîå íåîáõîäèìîñòüþ ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ
íîâûõ ãèäðî-, àýðî- è êîñìîòåõíîëîãèé âòîðîé ïîëîâèíû ïðîøëîãî âåêà,
ïðåäúÿâèëî íîâûå òðåáîâàíèÿ è ê èõ èíæåíåðíî-ìàòåìàòè÷åñêèì îñíîâàì.
 ÷àñòíîñòè, ìîäèôèêàöèè è äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ ïîòðåáîâàëîñü îò íàäåæ-
íûõ è êëàññè÷åñêè ïðîñòûõ ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé [1, 2] óïðóãî-ãèä-
ðîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, îò êëàññè÷åñêè âûâåðåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòî-
äîâ èññëåäîâàíèÿ ýòèõ ìîäåëåé. Íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè êëàññè÷åñêè
ñòàðûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ [3–5] è ïðîöåññîâ, ñâÿçàííûõ ñ íîâåéøèìè
ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèìè ñèñòåìàìè [6] ïðè ýòîì óñëîæíèëèñü òàê, ÷òî íå âñåã-
äà óäàâàëîñü ìàòåìàòè÷åñêè êîððåêòíî ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó ïî èõ èññëåäî-
âàíèþ, à çíà÷èò, ïîëó÷èòü êîððåêòíîå, òî÷íîå è ìàòåìàòè÷åñêè îáîñíîâàííîå
ðåøåíèå çàäà÷è. Äàæå ïðè íàëè÷èè îáîçðèìûõ äëÿ ïðàêòèêè ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìåòîäîâ ïðîáëåìà èññëåäîâàíèÿ ñîâðåìåííûõ ìîäåëåé ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ è
èíæåíåðíûõ ñèñòåì óñëîæíÿåòñÿ ââèäó íåïîëíîòû èíôîðìàöèè î íà÷àëü-
íî-êðàåâûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèÿõ, êîòîðûå â òðåáóåìîì ìàòåìà-
òè÷åñêîé ìîäåëüþ îáúåìå è êà÷åñòâå íå âñåãäà óäàåòñÿ ïîëó÷èòü íà ïðàêòèêå.
Ïðèìåðîì òàêèõ ñèñòåì, â ÷àñòíîñòè, ìîãóò áûòü êàê ñëîæíûå ïðîñòðàíñòâåí-
íî ðàñïðåäåëåííûå ñîîðóæåíèÿ [7], òàê è íåêëàññè÷åñêèå ýëåìåíòû ìåõàíè-
÷åñêèõ êîíñòðóêöèé [3, 4] è ñîâðåìåííûå ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû [8].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåí îäèí èç âîçìîæíûõ ïîäõîäîâ ê èññëåäîâàíèþ
äèôôåðåíöèàëüíî îïèñàííûõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ïðîöåññîâ è ÿâëå-
íèé â óñëîâèÿõ íåïîëíîòû èíôîðìàöèè îá èõ íà÷àëüíî-êðàåâîì ñîñòîÿíèè.
Îñîáåííîñòü ïîäõîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü òî÷íîå
ðåøåíèå ëèíåéíîé äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè ïðîöåññà, ñîãëàñîâàííîå ïî
ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ ñ âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè (íà÷àëüíûìè, êðàå-
âûìè, ïîòî÷íûìè) íàáëþäåíèÿìè çà íèì äàæå ïðè ìàëîì êîëè÷åñòâå è
ïëîõîì êà÷åñòâå (íåïðåðûâíûå, äèñêðåòíûå) ïîñëåäíèõ. Ïî ýòèì æå êðèòåðèÿì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 79
� Â.À. Ñòîÿí, 2015
óñïåøíî ðåøàþòñÿ è çàäà÷è óïðàâëåíèÿ òàêèìè ïðîöåññàìè ïðè ïðîèçâîëüíîé
êîìáèíàöèè âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ óïðàâëÿþùèõ ôàêòîðîâ (íà÷àëüíûõ, êðàåâûõ
è ðàñïðåäåëåííûõ â îáëàñòè). Ìåòîäèêà ðåøåíèÿ óïîìÿíóòûõ çàäà÷ áûëà ïðåä-
ëîæåíà â [9] è ðàçâèòà â [10] àâòîðîì äàííîé ïóáëèêàöèè â òåñíîì ñîòðóäíè-
÷åñòâå ñ ïðîôåññîðîì Í.Ô. Êèðè÷åíêî [11] è ÷ëåí-êîððåñïîíäåíòîì ÍÀÍ Óêðà-
èíû Â.Â. Ñêîïåöêèì [12], îò êîòîðûõ îí ïîëó÷èë âñåñòîðîííþþ ïîääåðæêó.
ÏÐÎÁËÅÌÛ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÍÅ ÏÎËÍÎÑÒÜÞ ÍÀÁËÞÄÀÅÌÛÕ
ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè íå ïîëíîñòüþ íàáëþäàåìûõ ïðîñòðà-
íñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåí-
íóþ â îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì �0 � R n îáëàñòè S x x x Rn
n
0 1� � �{ }( , , )� äè-
íàìè÷åñêóþ ïî t T�[ , ]0 ñèñòåìó, ôóíêöèÿ y s( ), ( ( , ))s x t� êîòîðîé óäîâëåòâî-
ðÿåò óðàâíåíèþ
L y s u ss( ) ( ) ( )� � , (1)
ãäå � � � � � � � � �s x t x x x tn
( , ) ( , , , , )
1 2
� , L s( )� — ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé
îïåðàòîð, u s( ) — ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííîå âíåøíåäèíàìè÷åñêîå âîç-
ìóùåíèå. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (1), îïèñûâàþùåå ôèçèêó èññëåäóå-
ìîãî ïðîöåññà, ìîæåò áûòü äîïîëíåíî íà÷àëüíî-êðàåâûìè è ïîòî÷íûìè íà-
áëþäåíèÿìè çà íèì, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
L y s Y x x S r Rr t t r
0
0
0
01( ) ( )| ( ) ( ; , )� � � �� , (2)
L y s Y s Rx s T� � �
�
�
�
�( ) ( )| ( ) ( , )[ , ]� � �� � 0 1 (3)
èëè ñîîòíîøåíèÿìè
L y s Y s i Ii s s S S T iT( ) ( )| ( ) ( , )
[ , ]
� � �
� � �0 0 0
1 ; (4)
L y s Y l L Rr t t x x rll
0
0
0
0 00 1 1( ) ( )| ( , ; , )
,
� � � �
� �
� , (5)
L y s Yx s s ll
� �
� �
�( ) ( )|� �
�
( , ; , )l L R� �1 1� �� , (6)
L y s Y l L i Ii s s s ill
( ) ( )| ( , ; , )� � � �� 1 1 . (7)
Çäåñü è äàëåå Lr t
0 ( )� , L x�
� ( )� , Li s( )� — ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû,
Y xr
0 ( ), Y s�
� ( ), Y si ( ) — íåïðåðûâíî çàäàííûå ôóíêöèè, Y
rl
0 , Y
l�
� , Yil — çíà÷åíèÿ
ýòèõ ôóíêöèé â òî÷êàõ x S
l
0
0� , s T
l
� �� � [ , ]0 , s Sl
T�
0
, à S S� 0 , � �� 0 , T T� 0 .
Äëÿ ñèñòåìû (1) ïîñòàâèì è ðåøèì äâà êîìïëåêñà çàäà÷:
1) ïðÿìûå çàäà÷è, ðåøåíèåì êîòîðûõ áóäåò ôóíêöèÿ y s( ) ñîñòîÿíèÿ ñèñòå-
ìû (1) ïðè íàáëþäåíèÿõ (2)–(4) èëè (5)–(7) çà íåé;
2) îáðàòíûå çàäà÷è, ò.å. çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé (1)–(4) è (1), (5)–(7) ïðè
íåïðåðûâíî è äèñêðåòíî çàäàííûõ æåëàåìûõ ñîñòîÿíèÿõ
Y s L y s i Ii i s s S T
* * *( ) ( ) ( )| ( , )� � �
� 0
1 , (8)
Y L y sil i s s s Sl
T
* * ( ) ( )| *� �
� � 0
(l L�1, * ; i I�1, * ) (9)
è îäíîì, äâóõ èëè òðåõ èç âîçìîæíûõ äëÿ óïðàâëåíèÿ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ
ôàêòîðîâ u s( ), Y xr
0 ( ), Y s�
� ( ).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî òàêèå çàäà÷è íå ñ÷èòàþòñÿ ïðîñòûìè è ìîãóò áûòü ðå-
øåíû ÷èñëåííî (òåì áîëåå àíàëèòè÷åñêè) òîëüêî äëÿ îïðåäåëåííîãî òèïà îïåðàòî-
ðîâ L i Ii s
* ( )( ( , ))� � 1 , L r Rr t
0
01( ) ( ( , ))� � , L Rx� �
�
�( ) ( ( , ))� � 1 , â êàíîíè÷åñêèõ ïðî-
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
ñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ îáëàñòÿõ, ïðè ïîðÿäêå ñîãëàñîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ
îïåðàòîðîâ Li s( )� , Lr t
0 ( )� , L x�
� ( )� ñ êîëè÷åñòâîì R0 , R� íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëî-
âèé, êîòîðûå, êàê ïðàâèëî, ôîðìóëèðóþòñÿ ïðè çàäàííûõ â îïðåäåëåííîì êëàññå
ôóíêöèÿõ Y xr
0 ( ) ( , )r R�1 0 , Y s�
� ( ) ( , )� �1 R� . Èññëåäîâàíèå äèñêðåòíî (ñîãëàñíî
(5)–(7)) íàáëþäàåìîé ñèñòåìû (1) ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ R0 , R� , Li s( )�
( , )i I�1 , Lr t
0 ( )� ( , )r R�1 0 , L Rx� �
�
�( ) ( , )� �1 ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé íåðàçðåøàåìîé.
Ñëåäóÿ íàó÷íûì ðåçóëüòàòàì ðàáîò [10, 12], ïðåäñòàâèì ðåøåíèÿ çàäà÷ (1)–(4),
(8) è (1), (5) –(7), (9) êàê â ïðÿìîé, òàê è îáðàòíîé ïîñòàíîâêàõ áåç îãðàíè÷åíèé íà
îïåðàòîðû Li s
* ( )� ( , )*i I�1 , íà êîëè÷åñòâî, ñòðóêòóðó è êà÷åñòâî (äèñêðåòíûå, íå-
ïðåðûâíûå) íà÷àëüíî-êðàåâûõ, ïîòî÷íûõ è æåëàåìûõ íàáëþäåíèé çà ñèñòåìîé, ïðè
ïðîèçâîëüíîì ïîäáîðå óïðàâëÿþùèõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ.
Ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü â ïîñòàíîâêàõ çàäà÷, ÷òî ñâÿçàíî ñ èõ ìàòåìàòè-
÷åñêîé íåêîððåêòíîñòüþ, ðåøåíèÿ ïîñòðîèì òàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ y s( ) ñîñòîÿíèÿ
ñèñòåìû òî÷íî óäîâëåòâîðÿëà óðàâíåíèþ (1), à òàêæå ñîãëàñîâûâàëàñü ñ íà÷àëü-
íî-êðàåâûìè (2), (3) èëè (5), (6), ïîòî÷íûìè (4), (7) íàáëþäåíèÿìè è æåëàåìûì
ñîñòîÿíèåì (8), (9) çà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì êðèòåðèåì íåçàâèñèìî îò êîëè÷åñò-
âà è êà÷åñòâà ïîñëåäíèõ.
 çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíûõ ïîñòàíîâîê çàäà÷ ýëåìåíòàìè òàêèõ êðèòåðèåâ
ÿâëÿþòñÿ
1 01
0
0
0 2
1
0
� � � ��
�
� ( ( ) ( )| ( )) min
( )
L y s Y x dxr t t r
y s
Sr
R
,
(10)
2 02
0
0
0 2
1
0
0
� � � �
� �
�
� ( ( ) ( )| ) min
, ( )
L y s Yr t t x x rl
l
L
y sl
r
R
�
�
1
0
, (11)
�
� �
�
3 1
2
0
� � � �
��
( ( ) ( )) | ( )) min
( )
[ , ]
L y s Y s dsx
y s
T
� �
� 1
R�
� , (12)
�
� �
�
�
4 2
2
11
� � � �
�
��
� ( ( ) ( )| ) min
( )
L y s Yx s s l
l
L
y s
R
l
� �
�
�
� , (13)
5 1
2
1
0
� � � �
�
�
( ( ) ( ) ( )) min
( )
L y s Y s dsi s i
y s
Si
I
T
, (14)
6 2
2
11
� � � ��
��
�� ( ( ) ( )| ) min
( )
L y s Yi s s s il
l
L
y si
I
l
, (15)
7 1
2
1
0
� � � �
�
�
* * *
( )
( ( ) ( ) ( )) min
*
L y s Y s dsi s i
y s
Si
I
T
, (16)
8 2
2
11
� � � �
�
��
�* * *
( )
( ( ) ( )| ) min*
*
L y s Yi s s s il
l
L
y si
I
l
*
� . (17)
Ïðè ðåøåíèè ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ äèôôåðåíöèàëüíóþ ìîäåëü (1) èññëå-
äóåìîé ñèñòåìû çàìåíèì [10] èíòåãðàëüíûì ýêâèâàëåíòîì
y s G s s u s ds( ) ( ' ) ( ' ) '� �
��
��
. (18)
Çäåñü G s s( )� � ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà ñèñòåìû (1) â íåîãðàíè÷åííîé ïðî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 81
ñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè è ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê [13]
G s s
i L p
e dpdqp x x q t t( )
( )
( ) ( )� � �
��
��
� � � � �1
2
1
�
, (19)
ãäå i — ìíèìàÿ åäèíèöà, p p q� ( , ), p p pn� 1, ,� , dp dp dpn� 1... . Çàìåòèì, ÷òî
ýêâèâàëåíòíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (18) è (1) îáñóæäàëàñü â ðàáî-
òàõ [10, 12], à âîçìîæíîñòü ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ïðåäñòàâëåíèÿ (19) ôóíê-
öèè G s s( )� � — â ïóáëèêàöèè [13]. Îòìåòèì, ÷òî
G s s s
p
p
p
nkk k n
nkk k n
nk
n
n
n
( ' )
( )
( )
,
...
...
(� � �
�
� Re
�
�
1 1
1 1
kk k
k
K
k
K
k
K
n
n
kk knkkk
1 1
1 1
2
1
1 111
... )
...
�
� �
�
�
�
�
�
�
����
����
�k
K
1
,
ãäå ñèìâîëîì Re s
p
p
pk
�
�
( )
( )
,
�
�
�
�
�
� îáîçíà÷åí èíòåãðàëüíûé âû÷åò ôóíêöèè
� �( ) / ( )p p â òî÷êå pk òàêîé, ÷òî �( )pk � 0, à p
nk
kk k
n
n( ... )1 1� ïðåäñòàâëÿåò kn -é
( , ...k kn kk kn
�
�
1
1 1
) êîðåíü óðàâíåíèÿ
� nkk k nn
p
1 1
0... ( )
�
� .
Ïðè ýòîì
p p pn n kk k nk
kk k
n n
n
� ��
�
�
1 1 1 1
1 1
( ) ...
( ... )
( ),
�����������
p p p p pkk k n nk
kk k
n
n
2 2 3 11 2
1 1� �
�( , , , )
( ... )
� ,
p p p p pkk n nk
kk k
n
n
1 1 2 11
1 1� �
�( , , , )
( ... )
�
îáîçíà÷åíû òî÷êè ãèïåðïëîñêîñòåé, ïîâåðõíîñòåé è ëèíèé
q q p pk n� ( , , )1 � ( , )k K�1 ,
p p p pkk n1 1 21
� ( , , )� ( , )k Kk1 1� ,
p p p pkk k n2 2 31 2
� ( , , )� ( , )k Kkk2 1
1
�
�����������.
p p p pn n kk k k n nn� � ��
�2 2 11 2 2( ) ... ( , ) ( , )...k Kn kk kn� �
�2 1
1 3
,
p p p k Kn n kk k k n n kk kn n� � �� �
� �1 1 11 2 1 1 2
1( ) ... ...( )( , ),
íà êîòîðûõ îáðàùàþòñÿ â íóëü ôóíêöèè �( , , , )p p qn1 � , �1 1k np p( , , )� ,…
�, ( )...� nkk k nn
p
1 1�
, îïðåäåëåííûå ñîîòíîøåíèÿìè
�( , , , ) ( ') ( ')p p q en
p x x q t t
1 � � � � � , �( , , , ) ( )p p q L pn1 � � ,
�
�
�
�
1 1
1 1
1
1
k n
k n
n
n
p p
p p
s
p p q
p p
( , , )
( , , )
( , , , )
( , , ,
�
�
�
�
� Re
q
q q p pk n
)
, ( , , )�
�
�
�
�
�
�1 � ,
�
�
jkk k j n
jkk k j n
j
j
p p
p p
1 1
1 1
...
...
( , , )
( , , )
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
Re s
p p qj kk k j n
j kk k
j
j
�
�
( ) ...
( ) ...
( , , , )
(
1 1
1
1 2
1 2
�
p p q
p p p p j n
j n
j j kk k j nj
�
� �� �
�
1
1 1 1 1
2
, , , )
, ( , , ), ( ,( ) ...
�
� )
�
�
�
�
�
�
�
�
.
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
Ïñåâäîèíâåðñíûé ïîäõîä ê èññëåäîâàíèþ ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ,
èíòåãðàëüíûõ è ôóíêöèîíàëüíûõ ñèñòåì. Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè ìàòåìàòè-
÷åñêîé ìîäåëè (18), â ÷àñòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû åå ðåøåíèÿ èëè
ïñåâäîîáðàùåíèÿ â îáùåì ñëó÷àå. Ñ ó÷åòîì ñïåöèôèêè èññëåäóåìûõ íèæå çàäà÷
ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñîîòíîøåíèå (18) òî÷êàìè s S l Ll
T� �
0
1( , ) è s Sm
T' �
0
( , )m M�1 äèñêðåòèçèðîâàíî ïî êîîðäèíàòàì S S, � ñîîòâåòñòâåííî. Â ðåçóëüòàòå
èìååì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
Au y
� �
� , (20)
ãäå
�
u u s m Mm� � �col( ( ), , )1 ,
�
y y s l Ll� �col( ( ), , )1 ,
A G s sl m l m
l L m M� � �
�
� �[ ( )]
,
,
1
.
Ðàññìîòðèì òàêæå ñëó÷àè, êîãäà ñèñòåìà (18) äèñêðåòèçèðîâàíà ïî îäíîé èç
äâóõ êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì; â ðåçóëüòàòå èìååì ñèñòåìó èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé
A s u s ds y
S T
( ' ) ( ' ) ' �
�
0
(21)
èëè ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé
B s u y s s S T( ) ( ) ( )
�
� �
0
, (22)
â êîòîðûõ ïðè îïðåäåëåííûõ âûøå
�
u,
�
y
A s G s s l Ll( ' ) ( ( ' ), , )� � �col 1 , B s G s s m Mm( ) ( ( ), , )� � � �str 1 .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî çàäà÷è ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (20)–(22) îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè
u s( ) è âåêòîðà
�
u íå âñåãäà ðàçðåøèìû, îñòàíîâèìñÿ íà âîïðîñàõ ïîñòðîåíèÿ è èñ-
ñëåäîâàíèÿ ìíîæåñòâ
�1
2� � �{ }
� � �
�
u Au y
u
: | | | | min , (23)
� 2
2
0
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
u s A s u s ds y
S
u s
T
( ): ( ) ( ) min
( )
�
, (24)
� 3
2
0
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
u B s u y s ds
S
u
T
: ( ( ) ( )) min (25)
ïðè îïðåäåëåííûõ âûøå ìàòðèöå A, ñòîëáöå-ôóíêöèè A s( ) è ñòðîêå-ôóíêöèè
B s( ). Ïðè ýòîì áóäåì èñõîäèòü èç ðåçóëüòàòîâ [14] ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (20) è èõ îáîáùåíèé, ïðåäëîæåííûõ
â [11] è ðàçâèòûõ â [10].
Ñîãëàñíî ðàáîòû [14]
�1
2� � � � � �
�
� �Arg { }min | | | | :
�
� � � � � � �
u R m
Au y u u A y A A� � (26)
ïðè ïðîèçâîëüíîì M -ìåðíîì âåêòîðå
�
�, òîæäåñòâåííî ðàâíîì íóëþ, åñëè
det TA A ! 0. Òî÷íîñòü ïñåâäîîáðàùåíèÿ (26) ñèñòåìû (20) îïðåäåëÿåòñÿ âåëè-
÷èíîé
�
2 2
1
� � � �
�
�min | | | |
�
� � � � � �
u
Au y y y yAA y
�
T .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 83
Çàìåòèì, ÷òî ñèìâîëîì � çäåñü è äàëåå îáîçíà÷åíà îïåðàöèÿ îáðàùåíèÿ
(ïñåâäîîáðàùåíèÿ) ìàòðèöû òàêàÿ, ÷òî A A AA A A A� � �� �T T T T( ) ( )1 1 .
Äëÿ ñèñòåìû (21) ñîãëàñíî [10, 11]
� 2
2
0
� � � � � �
Arg min ( ) ( )
( )u s
S
A s u s ds y
T
�
� � � �� �{ }T Tu s u s A s P y s A s P A( ): ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
�
� � , (27)
ãäå �( )s — èíòåãðèðóåìàÿ â îáëàñòè S T
0
ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, òîæäåñòâåííî
ðàâíàÿ íóëþ, åñëè
lim [ ( ) ( )]
,
,
N
l m l m
l N m N
A s A s
�� �
� �� !det T
1
0
äëÿ sl , � �s Sm
T
0
, à òàêæå
P A s A s ds
S T
1
0
�
( ) ( )T , A A s s ds
S T
� ��
( ) ( )
0
.
Ïðè ýòîì
�
2
2
1 1
2
0
� � � �
�
�
min ( ' ) ( ' ) '
( )u s
S
A s u s ds y y y y P P
T
�
� � � � �T T y.
Ñëåäóÿ [10,11], çàïèøåì
� 3
2
2 2 2
0
� � � � �
�
� �
Arg min ( ( ) ( ))
�
� � �
u R
S
y
M
T
B s u y s ds P B P P� �,
(28)
ãäå
�
� — ïðîèçâîëüíûé M -ìåðíûé âåêòîð, P B s B s ds
S T
2
0
�
T ( ) ( ) , B y �
�
B s y s ds
S T
T ( ) ( )
0
.
Îäíîçíà÷íîñòü ìíîæåñòâà � 3 ( )
�
� � 0 îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì detP2 0! ,
à òî÷íîñòü ïñåâäîðåøåíèÿ (28) ñèñòåìû (22) — âåëè÷èíîé
�
2
2
2
2
3
0
� � � �
�
�
min ( ( ) ( ))
�
�
u
S
y yB s u y s ds y B P B
T
�
T ,
ãäå y y s ds
S T
2 2
0
�
( ) .
Èäåéíûå îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ
âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ. Ïðèâåäåííûå âûøå âîçìîæ-
íîñòè ïî ïîñòðîåíèþ è èññëåäîâàíèþ íà òî÷íîñòü è îäíîçíà÷íîñòü îáùèõ ðåøå-
íèé (26)–(28) ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ, èíòåãðàëüíûõ è ôóíêöèîíàëüíûõ ñèñ-
òåì (20) – (22), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (18)
ïðîöåññà (1), ðàññìàòðèâàåìîãî â íåîãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé
îáëàñòè, ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (1), äîïîëíåííîãî íà-
÷àëüíî-êðàåâûìè íàáëþäåíèÿìè (2)–(4) è (5)–(7).
Ýôôåêò äåéñòâèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ, çàäàííûõ íå-
ïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè Y x r Rr
0
01( ) ( , )� , Y s R� �
�
�( ) ( , )�1 èëè èõ äèñêðåòíûìè
çíà÷åíèÿìè Y r R l L
rl
0
0 01 1( , , , )� � , Y R l L
l�
�
�
� �( , , , )� �1 1 , áóäåì èìèòèðîâàòü
ôóíêöèÿìè u s0 ( ) è u s� ( ), îïðåäåëåííûìè ïðè s S S� � � ��0
0 0[ , ] è
s S R S Tn� � �� ( / ) [ , ]0 0 ñîîòâåòñòâåííî.
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè G s s( )� � äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðî-
öåññà âëèÿíèå ôóíêöèé u s0 ( ) è u s� ( ) íà ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèÿìè
y s G s s u s ds
S
0 0
0
( ) ( ) ( )� � � � �
, (29)
y s G s s u s ds
S
� �
�
( ) ( ) ( )� � � � �
, (30)
â ñèëó ÷åãî
y s y s y s y s( ) ( ) ( ) ( )� � �� 0 � , (31)
ãäå
y s G s s u s ds
S T
� � � � � �
( ) ( ) ( )
0
, (32)
êðèòåðèè (10)–(17) ïðèâåäåì ê âèäó
�
i
u s u s
i� �min ( , )
( ), ( )0
1 8 (33)
ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè u s( ) è
�
i
u s u s u s
� min
( ), ( ), ( )0
,
åñëè u s( ) — óïðàâëÿþùàÿ. Íàëè÷èå ôóíêöèè u s( ) èçâåñòíûõ èëè óïðàâëÿþùèõ
âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ, à òàêæå ìîäåëèðóþùèõ ôóíê-
öèé u s0 ( ), u s� ( ) ïîçâîëèò ñîãëàñíî (31) îïðåäåëèòü ôóíêöèþ y s( ), à çàòåì è
íà÷àëüíî-êðàåâûå âîçìóùàþùèå ôàêòîðû Y x r Rr
0
01( ) ( , )� , Y s R� �
�
�( ) ( , )�1 ,
åñëè îíè ÿâëÿþòñÿ óïðàâëÿþùèìè.
Ïðîáëåìû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè y s( ) â ïðÿìûõ çàäà÷àõ è óïðàâëÿþùèõ
ôóíêöèé u s( ), Y xr
0 ( ), Y s�
� ( ) â îáðàòíûõ çàäà÷àõ ìîãóò áûòü ðåøåíû è ïðè äèñ-
êðåòíîì îïðåäåëåíèè ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé u s0 ( ) è u s� ( ). Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
â ýòîì ñëó÷àå
y s G s s um m
m
M
0
0
0
1
0
( ) ( )� � �
�
� , (34)
y s G s s um m
m
M
�
�
�
�
( ) ( )� � �
�
�
1
, (35)
ãäå u u s s Sm m m0 0
0 0 0� � � �( ) ( ), u u s s Sm m m� �
� � �� �( ' ) ( ' ), ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ
âåêòîðîâ
u u m Mm0 0 01� �col( , , ),
u u m Mm� � �� �col ( , , )1
çíà÷åíèé u m Mm0 01( , )� , u m� ( , )m M�1 � ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé u s0 ( ),
u s� ( ) ñâåäåòñÿ ê çàäà÷å
�
i
u u
i� �min ( , )
,0
1 8 (36)
ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè u s( ) è
�
i
u u u
i� �min ( , )
, ,0
1 8 (37)
äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 85
y s G s s um m
m
M
�
�
� ��( ) ( ' )
1
,
(38)
à ôóíêöèÿ u s( ) çàäàåòñÿ âåêòîðîì u u m Mm� �col ( , , )1 çíà÷åíèé u u sm m� �( )
( )� �s Sm
T
0
è ÿâëÿåòñÿ óïðàâëÿþùåé. Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ óïðàâëÿþùèõ ôóíê-
öèé Y x r Rr
0
01( ) ( , )� è Y s�
� ( ) ( , )� �1 R� â ýòîì ñëó÷àå îñòàíåòñÿ íåèçìåííûì.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÏÐßÌÛÕ ÇÀÄÀ× ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÍÅ ÏÎËÍÎÑÒÜÞ
ÍÀÁËÞÄÀÅÌÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíî íàáëþäàåìûõ ïðî-
ñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñèñòåì. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ
ôóíêöèè y s( ) ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (1), êîòîðàÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåäèíàìè-
÷åñêîãî ôàêòîðà u s( ) ôóíêöèîíèðóåò â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè S T
0
è äîïóñêàåò íà÷àëüíî-êðàåâûå íàáëþäåíèÿ (2)–(4) çà íåé. Êðèòåðèé ðåøåíèÿ
çàäà÷è âûáåðåì â âèäå
�
1
01 1 1� � � � min
( )y s
.
Áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî y s( ) çàäàíî ñîîòíîøåíèåì (31), ñîñòàâëÿþùèå
y s� ( ), y s0 ( ) è y s� ( ) êîòîðîãî ñîãëàñíî (32), (34), (35) îïðåäåëåíû êîìïîíåíòàìè
u m Mm0 01( , )� , u m Mm� �( , )�1 âåêòîðîâ u0 , u� . Ýòè âåêòîðû îïðåäåëèì èç
óñëîâèÿ
�
1
0
� min
,u u
. (39)
Ðåøåíèåì (39), ïîñòðîåííûì [10] ñîãëàñíî (25), ÿâëÿþòñÿ
u u u Q B Q PY0 0 0 0 1 0 1 2� � � � �� { }: � � , (40)
u u u Q B Q PY� � � � ��� � � � �{ }: 2 2 2� � (41)
ïðè
Q
Q
P1
2
2
"
#
$$
%
&
'' �
� , P B s B s ds2 �
(
T ( ) ( )
( )
, B B s Y s dsY �
(
T ( ) ( )
( )
, (42)
ïðîèçâîëüíûõ � 0
0�R
M
, ��
��R
M
è � � �� col( 0 , )� . Çäåñü
B s
B x x S
B s s T
B s s S
j
j
j
T
( )
( ( ) ( )
( ) ( [ , ])
( ) ( )
�
�
� �
�
str
1
2
3 0
0�
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
�
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
, ,j 1 2 , Y s
Y x x S
Y s s T
Y s s S T
( )
( ( ) ( )
( ) ( [ , ])
( ) ( )
�
�
� �
�
"
#
$
$
$
$
%
0
0
0
�
�
&
'
'
'
'
ïðè
B x L G s s x Sj r t m
j
t r m
r R m Mj
1
0
0 1
0( ) [ ( ) ( ' )| ] ( )
,
,
� � � �� �
� �
,
B s L G s s s Tj x m
j
m
R m Mj
2 1
0( ) [ ( ) ( )] ( [ , ])
,
,
� � � � � �
�
� �
� �
�� � � ,
B s L G s s s Sj i s m
j
i m
i I m M Tj
3 1 0
( ) [ ( ) ( )] ( )
,
,
� � � � �
�
� �
( �
s sm
j
m'
0 , M Mj
0 ïðè j �1; �
�s sm
j
m
� , M Mj
� ïðè j � 2),
Y x Y L y s r Rr r t t0
0 0
0 01( ) (( ( ) ( )| ), , )� � � �� �col ,
Y s Y s L y s Rx�
� �
�( ) (( ( ) ( ) ( )), , )� � � ��col � � � 1 ,
Y s Y s L y s i Ii i s( ) (( ( ) ( ) ( )), , )� � � ��col 1 . (43)
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
Cèìâîë ( )( îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïîä-
ûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Ðåøåíèå çàäà÷è áóäåò îäíîçíà÷íûì ( )�
0 , åñëè det P2 0! .
Ïîñòðîåííàÿ ñ ó÷åòîì (40), (41) ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ (31) íà÷àëüíî-êðàåâûìè
è ïîòî÷íûìè íàáëþäåíèÿìè (2)–(4) óäîâëåòâîðÿåò ñ òî÷íîñòüþ
�
2
01 1 1
1 2
2
0 0
� � � � � �
�
�
�min [ ] min
( )y s u
u
Y YY B P B �
�
�� �
T
ïðè Y Y s Y s ds2 �
(
T ( ) ( )
( )
.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíî íàáëþäàåìûõ
ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñèñòåì. Ïîñòðîèì ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ y s( ) ñèñòå-
ìû (1) äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íàáëþäåíèÿ çà íåé îïèñûâàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
(5)–(7), à ôóíêöèÿ u s( ) çàäàíà.
Ïðèâåäåííûå âûøå ðåçóëüòàòû ïî ïñåâäîîáðàùåíèþ àëãåáðàè÷åñêèõ è èí-
òåãðàëüíûõ ñèñòåì âèäà (20) è (21) ïîçâîëÿþò ðåøèòü ýòó çàäà÷ó äëÿ ñëó÷àåâ,
êîãäà ñîñòàâëÿþùèå y s0 ( ) è y s� ( ) ôóíêöèè y s( ) ñîñòîÿíèÿ (31) ñèñòåìû (1) ïðåä-
ñòàâëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (34), (35) (êàê è âûøå) è (29), (30).
Îïðåäåëÿÿ êðèòåðèé ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè y s( ) ñîîòíîøåíèåì
�
2
02 2 2� � � min
( )y s
,
â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èì çàäà÷ó
�
2
0
� min
,u u
(44)
ïîñòðîåíèÿ âåêòîðîâ u0 , u� çíà÷åíèé u m0 , u m� ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé u s0 ( ),
u s� ( ). Âî âòîðîì ñëó÷àå èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ðåøèòü çàäà÷ó
�
2
0
� min
( ), ( )u s u s
(45)
è ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé u s0 ( ), u s� ( ).
Ðåøåíèå çàäà÷è (44) ñâåäåòñÿ ê ïñåâäîîáðàùåíèþ ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
ñèñòåì âèäà (20), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì
u u u Q A Y A0 0 0 0 1 0� � � � �� { }T: ( )� � , (46)
u u u Q A Y A� � � � ��� � � � �{ }T: ( )2 � � (47)
ïðè ïðîèçâîëüíûõ � 0
0� R
M
, ��
�� R
M
,
�
�
�
�
"
#
$$
%
&
''
0
�
,
Q
Q
A A1
2
"
#
$$
%
&
'' �
�( )T , A
A A
A A
A A
�
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
11 12
21 22
31 32
, Y
Y
Y
Y
�
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
0
� ,
(48)
à òàêæå
A L G s s l L rj r t m
j
t x xl
1
0
0 00 1� � � � � �
� �
str col( (( ( ) ( )| , , ),
,
1 10, ), , )R m M j� ,
A L G s s l L Rj x m
j
s sl
2 1 1� � � � � �
�
str col( (( ( ) ( )| , , ), ,� �
�
� �� ), , )m M j�1
A L G s s l L i I mj i s m
j
s sl3 1 1� � � � � ��str col( (( ( ) ( ' )| , , ), , ), 1, )M j , (49)
Y Y L y s l L r
rl r t t x xl
0
0 0
0 00 1 1� � � � �� � �
col((( ( ) ( )| ), , ), ,
,
R0 ),
Y Y L y s l L R
l x sl
�
� �
� ��� � � � ��col ((( ( ) ( )| ), , ), , )
� � �1 1 ,
Y Y L y s l L i Iil i s s sl
� � � � �� �col((( ( ) ( )| ), , ), , )1 1 , (50)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 87
ãäå, êàê è âûøå, s sm
j
m' '
0 , M Mj
0 ïðè j �1 è s sm
j
m' '
� , M Mj
� ïðè j � 2.
Òî÷íîñòü è îäíîçíà÷íîñòü ( )�
0 ðåøåíèÿ çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé
�
2
02 2 2
2 2
0 0
� � � � � �
�
�
�min[ ] min
( )y s u
u
Y Y Y AA Y �
�
�� �
T
è óñëîâèåì det TA A ! 0 ñîîòâåòñòâåííî.
Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íà÷àëüíî-êðàåâûå âîçìóùåíèÿ Y r R l L
rl
0
0 01 1( , , , )� � ,
Y
l�
� ( , , , )� � �1 1R l L� � ìîäåëèðóþòñÿ íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûìè ôóíêöèÿìè
u s0 ( ), u s� ( ), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (45), ñîãëàñíî (27) íàõîäèì
u s u s u s A s P Y A v sv0 0 0 0 0 1 0( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( )� � � � ��� { }T , (51)
u s u s u s A s P Y A v sv� � � � � ��( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( )� � � � ��{ }T
1
, (52)
ãäå ïðè çàäàííîì âûøå âåêòîðå Y è ïðîèçâîëüíûõ èíòåãðèðóåìûõ â îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿõ v s s S0
0( ) ( )� è v s s S�
�( ) ( )� , v s v s v s( ) ( ( ), ( ))� col 0 �
èìååì
A s A s s S A s s S( ) (( ( ) ( )), ( ( ) ( )))� � �0
0
�
� ,
P A s A s ds1 �
(
( ) ( )
( )
T , A A s v s dsv �
(
( ) ( )
( )
, (53)
A s A s ii0 1 1 3( ) ( ( ), , )� �col ,
A s A s ii� ( ) ( ( ), , )� �col 2 1 3 ,
à òàêæå
A s L G s s l L rj r t t x xl
1
0
0 00 1 1( ' ) (( ( ) ( ' )| , , ), ,
,
� � � � �
� �
col R0 ),
A s L G s s l L Rj x s sl
2 1 1( ' ) (( ( ) ( ' )| , , ), , )� � � � �
�
col � �
�
� �� , (54)
A s L G s s l L i I jj i s s sl3 1 1 1( ' ) (( ( ) ( ' )| , , ), , ) ( ,� � � � � ��col 2).
Ïðè ýòîì v s v s0 0( ) ( )�
� , åñëè
lim [ ( ) ( )]
,
,
N
i j i j
i j NA s A s
�� �
�� � !det T
1
0 (55)
è
�
2
02 2 2
2
0 0
� � � � � �
�
�
min( ) min
( ) ( )
( )
y s u s
u s
Y Y Y �
�
�� �
T T P P Y1 1
� .
ÇÀÄÀ×È ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ
ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Óïðàâëåíèå ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåííûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé.
Ðàññìîòðèì çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé (1) ïî äîñòèæåíèè ôóíêöèåé y s( ) ñî-
ñòîÿíèé Y si
* ( ) ( , )*i I�1 è Yil
* ( , ; , )* *i I l L� �1 1 , îïðåäåëåííûõ ñîîòíîøåíèÿ-
ìè (8) è (9) ñîîòâåòñòâåííî.
Áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (1) ìîæåò áûòü äîïîë-
íåíà íà÷àëüíî-êðàåâûìè è ïîòî÷íûìè íàáëþäåíèÿìè (2)–(4) èëè (5)–(7) çà íåé,
åñëè ïîñëåäíèå íå ÿâëÿþòñÿ óïðàâëÿþùèìè, à ðàñïðåäåëåííûå âíåøíåäèíàìè-
÷åñêèå óïðàâëåíèÿ íàõîäÿòñÿ íåïðåðûâíî (ôóíêöèåé u s( )) èëè äèñêðåòíî (çíà÷å-
íèÿìè u u sm m� �( ) ( , )m M�1 ýòîé ôóíêöèè). Ïðè ýòîì âûäåëèì òðè ñëó÷àÿ ïîñòà-
íîâêè è ðåøåíèÿ çàäà÷è:
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
1) íåïðåðûâíî îïðåäåëåííîå æåëàåìîå ñîñòîÿíèå Y s i Ii
* *( ) ( , )�1 äîñòèãàåò-
ñÿ ïðè äèñêðåòíî îïðåäåëåííûõ óïðàâëåíèÿõ um ( , )m M�1 ;
2) äèñêðåòíî îïðåäåëåííîå æåëàåìîå ñîñòîÿíèå Y i I l Lil
* * *( , , , )� �1 1 äîñòè-
ãàåòñÿ ïðè äèñêðåòíîì óïðàâëåíèè um ( , )m M�1 ;
3) â ñîñòîÿíèå (èëè åãî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå) Yil
*
( , , , )* *i I l L� �1 1 ôóíêöèÿ y s( ) âûâîäèòñÿ íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûì óïðàâëåíè-
åì u s( ).
Çàäà÷à 1. Íåïðåðûâíî îïðåäåëåííîå ñîñòîÿíèå Y si
* ( ) ( , )*i I�1 äîñòèãàåòñÿ
äèñêðåòíûìè óïðàâëåíèÿìè um ( , )m M�1 .
Ïðè íàëè÷èè íà÷àëüíî-êðàåâûõ è ïîòî÷íûõ íàáëþäåíèé (2)–(4) çà ñèñòå-
ìîé êðèòåðèåì ðåøåíèÿ çàäà÷è áóäåò
�
3
01 1 1 1� � � � �*
( )
min
y s
. (56)
Îïðåäåëÿÿ, êàê è âûøå, y s( ) ñîîòíîøåíèÿìè (31), (34), (35), (38), çàäà÷ó (56)
çàïèøåì â âèäå
�
3
0
� min
, ,u u u
, (57)
ãäå ïðè ðàññìàòðèâàåìûõ âûøå u0 , u� èìååì u u m Mm� �col( , , )1 .
Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî çàäà÷à (57) ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì çàäà÷è (39). Ñ ó÷å-
òîì ðåøåíèÿ çàäà÷è (39), êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (40), (41), çàïè-
øåì âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ u0 , u� , u. Äëÿ ýòîãî, îñòàâëÿÿ áåç èçìåíåíèé îïðå-
äåëåíèå ñòîëáöîâ-ôóíêöèé B sij ( ) ( , ; , )i j� �1 3 1 2 , ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð-
íûå ôóíêöèè
Y x Y x r Rr0
0
01* ( ) ( ( ), , )� �col ,
Y s Y s R�
�
�* ( ) ( ( ), , )� �col � � 1 ,
Y s Y s i Ii* ( ) ( ( ), , )� �col 1 ,
Y s Y s i Ii
* * *( ) ( ( ), , )� �col 1 ,
Y s Y x Y s Y s Y s( ) ( ( ), ( ), ( ), ( ))* * *
*� col 0 � ,
áëîêè ôóíêöèè
B s L G s s s S jj i s m
j
i m
i I m M Tj
4 1 0
1( ) [ ( ) ( )] ( ; ,*
,
*,
� � � � � �
�
� �
3),
à òàêæå àíàëîãè÷íî (43) áëîêè B si3 ( ) ïðè i �1 3, è M M3
, �
� �s s Sm m
T3
0
.
Ñ ó÷åòîì ýòèõ èçìåíåíèé ÷åðåç ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ
B s B sij i j
i j( ) [ ( )]
,
,�
�
� �
1
4 3
ïðè îïðåäåëåííûõ â (42) ìàòðèöå P2 , âåêòîðå BY è P Q ii2
1 3� � �col( , , ) ñîãëàñ-
íî (40), (41) çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ìîäåëèðóþùèõ âåêòîðîâ u0 , u� .
Àíàëîãè÷íî (40), (41) ìíîæåñòâî óïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ u ïîëó÷èì
â âèäå � u Yu u Q B P� � � �{ }: ( )3 2 � � . Çäåñü � � col( , , )v v v0 � , ãäå v R
M
0
0� ,
v R
M
�
�� , v R M� — ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû, òîæäåñòâåííî ðàâíûå íóëþ
(óïðàâëåíèå îäíîçíà÷íîå), åñëè detP2 0! . Ïðè ýòîì
�
2
01 1 1 1
3
0 0
� � � � � �
�
�
�
min( ) min (
( )
*
y s u
u
u u
Y �
�
�
�
� �
T s Y s ds B P B
Y Y) ( )
( )(
�
� T
2
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 89
Çàäà÷à 2. Îïðåäåëåííûå ñîãëàñíî (9) äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ Yil
*
( , ; , )* *i I l L� �1 1 äîñòèãàþòñÿ âåêòîðîì u äèñêðåòíûõ óïðàâëåíèé u u sm m� ( ' )
( , )m M�1 .
Ïîñêîëüêó óïðàâëåíèå ñèñòåìîé (1) âûïîëíÿåòñÿ ïðè íàëè÷èè íàáëþäåíèé
(5)–(7) çà íåé, êðèòåðèé ðåøåíèÿ çàäà÷è çàïèøåì â âèäå
�
4
02 2 2 2� � � � �*
( )
min
y s
, (58)
÷òî ïðè ïðåäñòàâëåííîé ñîîòíîøåíèÿìè (31), (34), (35), (38) ôóíêöèè y s( ) ýê-
âèâàëåíòíî
�
4
0
� min
, ,u u u
. (59)
Ðåøåíèå çàäà÷è (59) ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì ðåøåíèÿ (46), (47) çàäà÷è (44). Äëÿ
ýòîãî ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîðû
Y Y l L r R
rl0
0
0 01 1* (( , , ), , )� � �col ,
Y Y l L R
l�
�
� �* (( , , ), , )� � �col
�
�1 1 ,
Y Y l L i Iil* (( , , ), , ),� � �col 1 1
Y Y l L i Iil
* * * *(( , , ), , )� � �col 1 1 ,
Y Y Y Y Y� col( , , , )* * *
*
0 � , (60)
à òàêæå ìàòðèöó
A Aij i j
i j�
�
� �[ ]
,
,
1
4 3 ,
áëîêè Ai3 ( , )i �1 3 êîòîðîé îïðåäåëåíû ñîãëàñíî (49), �
�s sm m
3 , A j4 �
= str col( (( ( ) ( )| , , ), , ),* * *
*L G s s l L i I mi s m
j
s sl
� � � � �
�
1 1 �1, )M j (çäåñü M M3
,
s s Sm m
T' 3
0
� � ).
Ñ ó÷åòîì ýòèõ èçìåíåíèé ìîäåëèðóþùèå âåêòîðû u0 , u� îïðåäåëèì ñîîòíî-
øåíèÿìè (46), (47). Äëÿ óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà u àíàëîãè÷íî (46), (47), ïîëó÷èì
� u u u Q A Y Av v� � � �{ }T: ( )3 ,
ãäå v v v v� col( , , )0 � ïðè ïðîèçâîëüíûõ M 0- M � - è M -ìåðíûõ âåêòîðàõ v0 ,
v� , v, òîæäåñòâåííî ðàâíûõ íóëþ (ðåøåíèå çàäà÷è îäíîçíà÷íîå), åñëè
det TA A ! 0,
à áëîê Q3 îïðåäåëåí ñîîòíîøåíèåì col T( , , ) ( )Q Q Q A A1 2 3 � � .
Çàäà÷à 3.  äèñêðåòíî îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ Yil
* ( , ; , )* *i I l L� �1 1 ôóíê-
öèÿ ñîñòîÿíèÿ y s( ) âûâîäèòñÿ íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûì óïðàâëåíèåì u s( ).
Ðåøåíèå çàäà÷è (1), (5)–(7), (9) ïîñòðîèì ñîãëàñíî êðèòåðèþ (58), êîòîðûé
ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (29)–(32) ôóíêöèè y s( ) çàïèøåì â âèäå
�
4
0
� min
( ), ( ), ( )u s u s u s
. (61)
Âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé u s0 ( ), u s� ( ), îïðåäåëÿþùèõ ðåøåíèå çàäà÷è (61),
ïîëó÷èì èç (51), (52) ïðè Y , çàäàííîì â (60), è ìàòðè÷íîé ôóíêöèè
A s A sij i j
i j( ) [ ( )]
,
,�
�
� �
1
4 3 , ãäå â äîïîëíåíèå ê (54)
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
A s L G s s l L i Ij i s s sl
4 1 1( ) (( ( ) ( )| , , ), , )* * *
*� � � � � � �
�
col ,
à âûðàæåíèÿ äëÿ Ai3( ) ( , )s i �13 ñëåäóþò èç (54) ïðè j � 3. Ìíîæåñòâî óïðàâëÿ-
þùèõ ôóíêöèé u s( ) àíàëîãè÷íî (51), (52) çàïèøåì â âèäå
� u vu s A s A s A s A s P Y A� ��{ T T T T( ) :( ( ), ( ), ( ), ( )) (
13 23 33 43 1
) ( )*� v s },
ãäå v s* ( ) ( )s S T�
0
— ïðîèçâîëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ â S T
0
ôóíêöèÿ,
v s v s v s v s( ) ( ( ), ( ), ( ))*� col 0 � ,
à P1 è Av ñ ó÷åòîì óïîìÿíóòûõ èçìåíåíèé îïðåäåëÿòñÿ ñîãëàñíî (53).
Óñëîâèåì îäíîçíà÷íîñòè ( ( ) )v s
0 ðåøåíèÿ çàäà÷è áóäåò ñîîòíîøåíèå (55).
Òî÷íîñòü ðåøåíèÿ îïðåäåëèòñÿ âåëè÷èíîé
�
2
02 2 2 2
4
0
� � � � � �min( ) min
( )
*
( ), ( ), ( )y s u s u s u s
Y �
�
T TY Y P P Y� �
1 1
.
Óïðàâëåíèå íà÷àëüíûìè, êðàåâûìè è íà÷àëüíî-êðàåâûìè âîçìóùàþ-
ùèìè ôàêòîðàìè. Ðàññìîòðåííûå âûøå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé (1) ïî
äîñòèæåíèè åå ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ y s( ) íåïðåðûâíî è äèñêðåòíî îïðåäåëåííûõ
çíà÷åíèé (8), (9) ìîæíî ðåøèòü è â ñëó÷àå, åñëè óïðàâëÿþùàÿ ôóíêöèÿ u s( ) (íå-
ïðåðûâíî è äèñêðåòíî îïðåäåëåííàÿ) äåéñòâóåò ñîâìåñòíî ñ íà÷àëüíûìè, êðàå-
âûìè è íà÷àëüíî-êðàåâûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè óïðàâëÿþùèìè ôàêòîðàìè.
Âîçìîæíû âàðèàíòû óïðàâëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìîé è ïîñðåäñòâîì ýòèõ
óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè u s( ).
Ïîñêîëüêó óïðàâëÿþùèå íà÷àëüíî-êðàåâûå âîçäåéñòâèÿ (2), (3) ìîãóò áûòü
îïðåäåëåíû òîëüêî ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè y s( ), ìîæåì çàêëþ÷èòü, ÷òî ðàñ÷åò-
íûå ñîîòíîøåíèÿ ðåøåíèé íàçâàííûõ çàäà÷ ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðàññìîò-
ðåííûõ âûøå çàäà÷. Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò ïðè ðàññìîòðåíèè íàçâàíîãî êëàññà
çàäà÷ îãðàíè÷èòüñÿ ÷èñòî îïèñàòåëüíîé ÷àñòüþ.
Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå è íà÷àëüíî-êðàåâîå óïðàâëåíèå. Ðàññìîò-
ðèì îñîáåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé (1) â ñëó÷àå, êîãäà ïðî-
ñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ óïðàâëÿþùàÿ ôóíêöèÿ u s( ) äîïîëíÿåòñÿ íà÷àëüíî-êðàå-
âûìè óïðàâëÿþùèìè âîçäåéñòâèÿìè Y xr
0 ( ) ( , )r R�1 0 , Y s�
� ( ) ( , )� �1 R� , ñîâåð-
øàåìûìè â îòäåëüíîñòè è ñîâìåñòíî.
Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà óïðàâëåíèåì ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè u s( ) è Y xr
0 ( ) ( , )r R�1 0 ,
â èñõîäíûõ ñîîòíîøåíèÿõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ áóäóò îòñóòñòâîâàòü ñîîòíîøåíèÿ
(2), (5), à â ôóíêöèîíàëàõ 3 4, — ñîñòàâëÿþùèå 01, 02 . Ôóíêöèÿ y s( ) ñî-
ñòîÿíèÿ ñèñòåìû, îïðåäåëÿþùàÿ ñîîòíîøåíèåì (2) óïðàâëåíèå Y x r Rr
0
01( ) ( , )� ,
ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå òðåõ
çàäà÷, â êîòîðûõ áóäóò îòñóòñòâîâàòü ñîñòàâëÿþùèå Y0* è Y x0* ( ), â îïðåäåëåíèè
âåêòîðà Y è âåêòîð-ôóíêöèè Y s( ), à ìàòðèöà A è ìàòðè÷íûå ôóíêöèè A s( ), B s( )
íå èìåþò ïåðâûõ áëîê-ñòðîê.
Àíàëîãè÷íûå èçìåíåíèÿ â ðàìêàõ ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷ áóäóò è äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u s( ) äîïîëíÿåòñÿ óïðàâëåíèÿìè Y s�
� ( )
( , )� �1 R� . Îòñóòñòâèå ñîîòíîøåíèÿ (3) â èñõîäíîé ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è îáóñ-
ëîâëèâàåò îòñóòñòâèå ñîñòàâëÿþùèõ �1, �2 ïðè îïðåäåëåíèè ôóíêöèîíàëîâ
3 4, . Âûðàæåíèÿ äëÿ óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé u s( ), u s0 ( ), u s� ( )
è âåêòîðîâ u u u, ,0 � èõ çíà÷åíèé ïîëó÷èì èç ñîîòíîøåíèé, îïðåäåëåííûõ âûøå,
ñ ó÷åòîì òîãî , ÷òî òåïåðü âåêòîð Y , âåêòîð-ôóíêöèÿ Y s( ), ìàòðèöà A è ìàòðè÷-
íûå ôóíêöèè A s( ), B s( ) íå èìåþò âòîðîãî âåêòîð-ýëåìåíòà è âòîðîé áëî÷íîé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 91
ñòðîêè. Óïðàâëÿþùèå ãðàíè÷íî-îïðåäåëåííûå âîçäåéñòâèÿ Y s�
� ( ) ( , )� �1 R� ïî-
ëó÷èì èç (3) ñ ó÷åòîì ôóíêöèè y s( ), ïðåäñòàâëåííîé ñîîòíîøåíèåì (31) ñ ñîîòâåò-
ñòâóþùåé êîíêðåòíîé çàäà÷å ðàñøèôðîâêîé ñîñòàâëÿþùèõ y s� ( ), y s0 ( ), y s� ( ).
Ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ åùå áîëüøå óïðîñòÿò-
ñÿ, åñëè óïðàâëÿþùèìè äëÿ ñèñòåìû (1) ñ æåëàåìûì ñîñòîÿíèåì (8), (9) áóäóò
âñå òðè âíåøíåäèíàìè÷åñêèå ôàêòîðû: u s( ), Y xr
0 ( ) ( , )r R�1 0 , Y s�
� ( ) ( , )� �1 R� .
Ôóíêöèþ y s( ), ñîãëàñíî (2), (3) îïðåäåëÿþùóþ íà÷àëüíî-êðàåâûå óïðàâëåíèÿ
Y xr
0 ( ) ( , )r R�1 0 , Y s�
� ( ) ( , )� �1 R� , ïîëó÷èì èç (31) ñ ó÷åòîì ðåøåíèé
ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷, ïîëàãàÿ ïðè ýòîì, ÷òî
Y
Y
Y
�
"
#
$$
%
&
''
*
*
, Y s
Y s
Y s
( )
( )
( )
*
*
�
"
#
$$
%
&
'' , A Aij i j
i j�
� �
� �[ ]
,
.
3 1
4 3 ,
A s A sij i j
i j( ) [ ( )]
,
.�
� �
� �
3 1
4 3 , B s B sij i j
i j( ) [ ( )]
,
.�
� �
� �
3 1
4 3 .
Óïðàâëåíèå ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè u s( ). Æåëàåìûå ñîñòîÿíèÿ Y si
* ( )
( , )*i I�1 è Yil
* ( , ; , )* *i I l L� �1 1 ñèñòåìû (1), îïðåäåëåííûå ñîîòíîøåíèÿìè (8),
(9), ïî ðàññìîòðåííûì âûøå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì êðèòåðèÿì ìîãóò äîñòèãàòü-
ñÿ ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåííûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé
u s( ). Óïðàâëÿþùèìè ôàêòîðàìè â ýòîì ñëó÷àå áóäóò ôóíêöèè íà÷àëüíî-êðàåâûõ
âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé Y xr
0 ( ) è Y s�
� ( ) ( , ; , )r R R� �1 10 � � . Êàê è
âûøå, ôóíêöèè ýòè ïîëó÷èì ñîãëàñíî (2), (3) ïðè ôóíêöèè y s( ), îïðåäåëÿåìîé
ñîîòíîøåíèåì (31) òàê, ÷òîáû
�i i i
y s
� � �*
( )
min , 0i i i
y s
� � �*
( )
min , i i
y s
� �*
( )
min
ïðè óïðàâëåíèè íà÷àëüíûìè, êðàåâûìè è íà÷àëüíî-êðàåâûìè âíåøíåäèíàìè-
÷åñêèìè âîçìóùàþùèìè ôàêòîðàìè. Ïðè ýòîì i �1 è i � 2, åñëè æåëàåìîå ñî-
ñòîÿíèå çàäàíî ñîîòíîøåíèÿìè (8) è (9) ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðè îïðåäåëåíèè ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé u s0 ( ), u s� ( ) è âåêòîðîâ u0 , u� èõ
çíà÷åíèé áóäóò èìåòü ìåñòî âñå ñîîòíîøåíèÿ, ïîñòðîåííûå â çàäà÷àõ (57), (59),
(61), â êîòîðûõ
Y
Y
Y
Y
�
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
�*
*
*
, Y s
Y s
Y s
Y s
( )
( )
( )
( )
*
*
�
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
�
, ( , ( ), ( )) [ , ( ), ( )]
,
,A A s B s A A s B sij ij ij i j
i j�
� �
� �
2 1
4 2 ;
Y
Y
Y
Y
�
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
0*
*
*
, Y s
Y x
Y s
Y s
( )
( )
( )
( )
*
*
�
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
0
, ( , ( ), ( )) [ , ( ), ( )]
, , , ,
A A s B s A A s B sij ij ij i j
�
� �1 3 4 1 2
;
Y
Y
Y
�
"
#
$$
%
&
''
*
*
, Y s
Y s
Y s
( )
( )
( )
*
*
�
"
#
$$
%
&
'' , ( , ( ), ( )) [ , ( ), ( )]
,
,A A s B s A A s B sij ij ij i j
i j�
� �
� �
3 1
4 2
äëÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ íà÷àëüíûìè, êðàåâûìè è íà÷àëüíî-êðàåâûìè âîçìóùàþ-
ùèìè ôàêòîðàìè ñîîòâåòñòâåííî.
Îñîáåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ïðè îòñóòñòâóþùèõ è íåíàáëþ-
äàåìûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèÿõ. Ðàññìîòðåííûå âûøå çàäà÷è ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íå ïîëíîñòüþ îïðåäåëåííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è çà-
äà÷è óïðàâëåíèÿ èìè ðåøàëèñü çäåñü ïðè íàëè÷èè R0 , R� è I íàáëþäåíèé çà íà-
÷àëüíûìè, êðàåâûìè è ïîòî÷íûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè âîçìóùåíèÿìè
ïîñëåäíèõ. Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî îäíà, äâå, à âîçìîæíî, è òðè èç ýòèõ ãðóïï âíåø-
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
íåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ ìîãóò îòñóòñòâîâàòü, íåñìîòðÿ íà îãðà-
íè÷åííîñòü ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè, â êîòîðîé äèíàìè÷åñêèé ïðî-
öåññ (1) èññëåäóåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùåå òàêîé ãðóïïå R0 , R� èëè I
ðàâíî íóëþ, ÷òî ïðèâåäåò ê îòñóòñòâèþ îïðåäåëåííîé êîìïîíåíòû â âåêòîðå Y è
âåêòîð-ôóíêöèè Y s( ), à òàêæå áëî÷íîé ñòðîêè â ìàòðèöå A è ìàòðè÷íûõ ôóíêöè-
ÿõ A s( ), B s( ). Ýôôåêò âëèÿíèÿ íåíàáëþäàåìîãî íà÷àëüíîãî è êðàåâîãî âíåøíåäè-
íàìè÷åñêîãî ôàêòîðà íà ñîñòîÿíèå ñèñòåìû áóäåò ìîäåëèðîâàòüñÿ ôóíêöèÿìè
u s0 ( ), u s� ( ) èëè âåêòîðàìè èõ çíà÷åíèé u0 , u� . Ýòî íå ïðèâåäåò ê èçìåíåíèþ
ðàññìîòðåííîãî íàìè ïðåäñòàâëåíèÿ (31) ôóíêöèè y s( ).
Èçëîæåííûå âûøå ðåøåíèÿ ïðÿìûõ è îáðàòíûõ çàäà÷ äèíàìèêè ëèíåéíûõ
ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì (1) èìåþò ìåñòî è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà
ýòè ñèñòåìû èññëåäóþòñÿ â íåîãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè èëè
â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå (ïðè îòñóòñòâèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé). Îñîáåííîñòü ðåøå-
íèé ðàññìàòðèâàåìûõ âûøå çàäà÷ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ íà÷àëüíûõ
(êðàåâûõ) âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé áóäåò îòñóòñòâîâàòü è ìîäåëèðóþ-
ùàÿ èõ ôóíêöèÿ u s0 ( ) ( ( ))u s� èëè åå äèñêðåòíûé àíàëîã u0 ( )u� .
Îòñóòñòâèå íåïðåðûâíî èëè äèñêðåòíî îïðåäåëåííûõ ìîäåëèðóþùèõ ôàê-
òîðîâ u s0 ( ), u0 è u s� ( ), u� ïðèâåäåò ê îòñóòñòâèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ñòîëáöîâ
ìàòðèöû A è ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé A s( ), B s( ).
Èçëîæåííûå âûøå ðåøåíèÿ ñ ó÷åòîì òàêèõ èçìåíåíèé áóäóò èìåòü ìåñòî
äëÿ ëþáûõ ïðàêòè÷åñêè êîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ è óïðàâ-
ëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûìè ñèñòåìàìè â íåîãðàíè÷åííûõ èëè ïîëóîãðàíè÷åííûõ
ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ îáëàñòÿõ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðåäëîæåííàÿ â [9] è ðàçâèòàÿ â [10, 12] ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ íå ïîëíîñòüþ
íàáëþäàåìûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííî-äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ïðàê-
òè÷åñêè îðèåíòèðîâàííûì ïîäõîäîì ê ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêè íåêîððåêòíî
ïîñòàâëåííûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè è ïðàêòè÷åñêè íåðåøàåìûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ
òàêèìè ñèñòåìàìè. Îñîáåííîñòü ìåòîäèêè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî çàäà÷è ïî-
ñòðîåíèÿ ôóíêöèé ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì ðåøàþòñÿ äëÿ ëþáîé
ëèíåéíîé äèôôåðåíöèàëüíî îïðåäåëåííîé ìîäåëè, ïðè÷åì ôóíêöèÿ ýòà, òî÷íî
óäîâëåòâîðÿÿ ðàçðåøàþùåìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû, ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó
êðèòåðèþ ñîãëàñóåòñÿ ñ íà÷àëüíî-êðàåâûìè è ïîòî÷íûìè âíåøíåäèíàìè÷åñ-
êèìè íàáëþäåíèÿìè çà ñèñòåìîé íåçàâèñèìî îò ïðèðîäû è êîëè÷åñòâà òàêèõ
íàáëþäåíèé, èõ íåïðåðûâíîñòè èëè äèñêðåòíîñòè. Äðóãèõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ
òàêèõ çàäà÷ ïî òàêèì êðèòåðèÿì íå ñóùåñòâóåò.
Òàêæå ðåøåíû çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûìè ñèñòåìàìè ïî ñðåäíå-
êâàäðàòè÷åñêîìó ïðèáëèæåíèþ èõ ñîñòîÿíèÿ ê íåïðåðûâíî èëè äèñêðåòíî çàäàí-
íûì æåëàåìûì çíà÷åíèÿì. Îòìåòèì, ÷òî óïðàâëÿþùèìè ôàêòîðàìè ñèñòåì â ïî-
ñòàíîâêàõ è ðåøåíèÿõ íàçâàííûõ çàäà÷ çäåñü ìîãóò âûñòóïàòü âñå âîçìîæíûå
âíåøíåäèíàìè÷íûå âîçäåéñòâèÿ — ðàñïðåäåëåííûå, íà÷àëüíûå è êðàåâûå âîçìó-
ùåíèÿ, èññëåäóåìûå â ðàçëè÷íûõ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíÿåìûõ êîìáèíàöèÿõ.
Ïðåäëîæåííàÿ ìåòîäèêà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìîäå-
ëèðîâàíèÿ è óïðàâëåíèÿ êàê â îãðàíè÷åííûõ, òàê è íåîãðàíè÷åííûõ ïðî-
ñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ îáëàñòÿõ, à òàêæå â îáëàñòÿõ ñ îòñóòñòâóþùèìè íà-
áëþäåíèÿìè çà èõ íà÷àëüíî-êðàåâûì ñîñòîÿíèåì. Ðåøåíèÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ
â ïóáëèêàöèè çàäà÷ îöåíåíû íà òî÷íîñòü è èññëåäîâàíû íà îäíîçíà÷íîñòü.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 93
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Í å ì è ø Þ . Í . , Õ î ì à È . Þ . Íàïðÿæåííî-äåôîðìèðóåìîå ñîñòîÿíèå íåòîíêèõ îáîëî÷åê
è ïëàñòèí. Òðåõìåðíàÿ òåîðèÿ (Îáçîð) // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà. — 1991. — 27, ¹ 11. — Ñ. 3–27.
2. Ë à ä è ê î â - Ð î å â Þ . Ï . , × å ð å ì í û õ Î . Ê . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñïëîøíûõ ñðåä. —
Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2010. — 552 ñ.
3. Ñ ò î ÿ í  . À . , Ä â è ð í è ÷ ó ê Ê .  . Ê ïîñòðîåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè ïîïåðå÷íûõ
äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòîãî óïðóãîãî ñëîÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. —
2012. — ¹ 4. — Ñ. 74–83.
4. Ñ ò î ÿ í  . À . , Ä â è ð í è ÷ ó ê Ê .  . Îá èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ
ñìåùåíèé òîëñòîãî óïðóãîãî ñëîÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2013. — ¹ 1.
— Ñ. 70–82.
5. Ã ð è ã î ë þ ê Ý . È . , Ñ å ë å ç î â È . Ò . Ìåõàíèêà òâåðäîãî äåôîðìèðóåìîãî òåëà. Ò. 5: Íåêëàñ-
ñè÷åñêèå òåîðèè êîëåáàíèé ñòåðæíåé, ïëàñòèí è îáîëî÷åê. — Ì.: ÂÈÍÈÒÈ, 1973. — 272 ñ.
6. Ï å ò ð è ê Ì . Ð . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ïîë³â ìàñîïåðåíîñó â íåîäíîð³äíèõ ³ íàíîïîðèñ-
òèõ ñåðåäîâèùàõ òà ³äåíòèô³êàö³ÿ ¿õ ïàðàìåòð³â. Àâòîðåô. äèñ. ... äîêò. ô³ç.-ìàò. íàóê. — Êè¿â:
²í-ò ê³áåðíåòèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2013. — 40 ñ.
7. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ñèñòåìíûé àíàëèç ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäå-
ëåííûõ ñèñòåì. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2009. — 639 ñ.
8. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëè-
ðîâàíèå è èññëåäîâàíèå ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. — 432 ñ.
9. Ñ ò î ÿ í  . À . Îá îäíîì ïîäõîäå ê èññëåäîâàíèþ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ìàòôèçèêè //
Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1998. — ¹ 1. — Ñ. 79–86.
10. Ñ ò î ÿ í  . À . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ë³í³éíèõ, êâàç³ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ äèíàì³÷íèõ
ñèñòåì. — Ê.: ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2011. — 319 ñ.
11. Ê è ð è ÷ å í ê î Í . Ô . , Ñ ò î ÿ í  . À . Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íèõ è èíòåã-
ðàëüíûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1998. — ¹ 3.
— Ñ. 90–104.
12. Ñ ê î ï å ö ü ê è é  .  . , Ñ ò î ÿ í  . À . , Ê ð è â î í î ñ Þ . à . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ
ïðÿìèõ òà îáåðíåíèõ çàäà÷ äèíàì³êè ñèñòåì ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè. — Êè¿â: Íàóê.
äóìêà, 2002. — 361 ñ.
13. Ñ ò î ÿ í  . À . , Ä â ³ ð í è ÷ ó ê Ê .  . Äî ïîáóäîâè ³íòåãðàëüíîãî åêâ³âàëåíòó ë³í³éíèõ äèôå-
ðåíö³àëüíèõ ìîäåëåé // Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2012. — ¹ 9. — Ñ. 36–43.
14. Ê è ð è ÷ å í ê î Í . Ô . Ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö è èõ ðåêóððåíòíîñòü â çàäà÷àõ ìîäåëèðîâà-
íèÿ è óïðàâëåíèÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1995. — ¹ 1. — Ñ. 114–127.
Ïîñòóïèëà 10.12.2014
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124909 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:17:45Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стоян, В.А. 2017-10-11T17:07:19Z 2017-10-11T17:07:19Z 2015 О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 79-94. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124909 517.95:519.86 Сделан аналитический отчет об исследованиях в области математического моделирования динамики линейных пространственно распределенных систем в условиях ограниченности информации об их начально-краевом состоянии. Даны решения задач управления такими системами с помощью произвольной комбинации внешнединамических возмущающих факторов. Задачи решаются при непрерывно и дискретно определенных наблюдениях за начально-краевыми возмущениями системы и ее желаемом состоянии. Зроблено аналітичний звіт про дослідження автора в галузі математичного моделювання динаміки лінійних просторово розподілених систем в умовах обмеженості інформації про їх початково-крайовий стан. Наведено розв’язки задач керування такими системами за допомогою довільної комбінації зовнішньодинамічних збурюючих факторів. Задачі розв’язуються при неперервно і дискретно визначених спостереженнях за початково-крайовими збуреннями системи та її бажаним станом. An analytical summary about author’s research in the mathematical modeling of the dynamics of linear spatially distributed systems under limited information about their initial–boundary-value state is presented. The solutions to problems of control of such systems using an arbitrary combination of external-dynamic disturbing factors are given. The problems are solved for continuously and discretely defined observations of the initial–boundary-value disturbances of the system and its desired state. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем Про деякі результати математичного моделювання динаміки не повністю спостережуваних просторово розподілених систем Some results in mathematical modeling of the dynamics of incompletely observed spatially distributed systems Article published earlier |
| spellingShingle | О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем Стоян, В.А. Системный анализ |
| title | О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем |
| title_alt | Про деякі результати математичного моделювання динаміки не повністю спостережуваних просторово розподілених систем Some results in mathematical modeling of the dynamics of incompletely observed spatially distributed systems |
| title_full | О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем |
| title_fullStr | О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем |
| title_full_unstemmed | О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем |
| title_short | О некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем |
| title_sort | о некоторых результатах математического моделирования динамики не полностью наблюдаемых пространственно распределенных систем |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124909 |
| work_keys_str_mv | AT stoânva onekotoryhrezulʹtatahmatematičeskogomodelirovaniâdinamikinepolnostʹûnablûdaemyhprostranstvennoraspredelennyhsistem AT stoânva prodeâkírezulʹtatimatematičnogomodelûvannâdinamíkinepovnístûsposterežuvanihprostorovorozpodílenihsistem AT stoânva someresultsinmathematicalmodelingofthedynamicsofincompletelyobservedspatiallydistributedsystems |