Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами
Предложен модифицированный экстраградиентный метод с динамической регулировкой величины шага для решения вариационных неравенств с монотонными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Рассмотрен вариант метода для поиска решения вариационного неравенства, являющегося неподвижной точкой...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124911 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами / С.В. Денисов, В.В. Семенов, Л.М. Чабак // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 102-110. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124911 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Денисов, С.В. Семенов, В.В. Чабак, Л.М. 2017-10-11T17:11:10Z 2017-10-11T17:11:10Z 2015 Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами / С.В. Денисов, В.В. Семенов, Л.М. Чабак // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 102-110. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124911 517.988 Предложен модифицированный экстраградиентный метод с динамической регулировкой величины шага для решения вариационных неравенств с монотонными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Рассмотрен вариант метода для поиска решения вариационного неравенства, являющегося неподвижной точкой квазинерастягивающего оператора. Доказана слабая сходимость методов без предположения о липшицевости операторов. Запропоновано модифікований екстраградієнтний метод з динамічним регулюванням величини кроку для розв’язання варіаційних нерівностей з монотонними операторами, що діють у гільбертовому просторі. Розглянуто варіант методу для пошуку такого розв’язку варіаційної нерівності, що є нерухомою точкою квазінерозтягуючого оператора. Доведено слабку збіжність методів без припущення про ліпшицевість операторів. We present a modified extragradient method with dynamic stepsize adjustment to solve variational inequalities with monotone operators acting in a Hilbert space. In addition, we consider a variant of the method that finds a solution of a variational inequality that is also a fixed point of a given quasi-nonexpansive mapping. We establish the weak convergence of the methods without any Lipschitzian continuity assumption on operators. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами Збіжність модифікованого екстраградієнтного методу для варіаційних нерівностей з неліпшицевими операторами Convergence of the modified extragradient method for variational inequalities with non-Lipschitz operators Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами |
| spellingShingle |
Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами Денисов, С.В. Семенов, В.В. Чабак, Л.М. Системный анализ |
| title_short |
Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами |
| title_full |
Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами |
| title_fullStr |
Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами |
| title_full_unstemmed |
Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами |
| title_sort |
сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами |
| author |
Денисов, С.В. Семенов, В.В. Чабак, Л.М. |
| author_facet |
Денисов, С.В. Семенов, В.В. Чабак, Л.М. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Збіжність модифікованого екстраградієнтного методу для варіаційних нерівностей з неліпшицевими операторами Convergence of the modified extragradient method for variational inequalities with non-Lipschitz operators |
| description |
Предложен модифицированный экстраградиентный метод с динамической регулировкой величины шага для решения вариационных неравенств с монотонными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Рассмотрен вариант метода для поиска решения вариационного неравенства, являющегося неподвижной точкой квазинерастягивающего оператора. Доказана слабая сходимость методов без предположения о липшицевости операторов.
Запропоновано модифікований екстраградієнтний метод з динамічним регулюванням величини кроку для розв’язання варіаційних нерівностей з монотонними операторами, що діють у гільбертовому просторі. Розглянуто варіант методу для пошуку такого розв’язку варіаційної нерівності, що є нерухомою точкою квазінерозтягуючого оператора. Доведено слабку збіжність методів без припущення про ліпшицевість операторів.
We present a modified extragradient method with dynamic stepsize adjustment to solve variational inequalities with monotone operators acting in a Hilbert space. In addition, we consider a variant of the method that finds a solution of a variational inequality that is also a fixed point of a given quasi-nonexpansive mapping. We establish the weak convergence of the methods without any Lipschitzian continuity assumption on operators.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124911 |
| citation_txt |
Сходимость модифицированного экстраградиентного метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами / С.В. Денисов, В.В. Семенов, Л.М. Чабак // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 102-110. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT denisovsv shodimostʹmodificirovannogoékstragradientnogometodadlâvariacionnyhneravenstvsnelipšicevymioperatorami AT semenovvv shodimostʹmodificirovannogoékstragradientnogometodadlâvariacionnyhneravenstvsnelipšicevymioperatorami AT čabaklm shodimostʹmodificirovannogoékstragradientnogometodadlâvariacionnyhneravenstvsnelipšicevymioperatorami AT denisovsv zbížnístʹmodifíkovanogoekstragradíêntnogometodudlâvaríacíinihnerívnosteiznelípšicevimioperatorami AT semenovvv zbížnístʹmodifíkovanogoekstragradíêntnogometodudlâvaríacíinihnerívnosteiznelípšicevimioperatorami AT čabaklm zbížnístʹmodifíkovanogoekstragradíêntnogometodudlâvaríacíinihnerívnosteiznelípšicevimioperatorami AT denisovsv convergenceofthemodifiedextragradientmethodforvariationalinequalitieswithnonlipschitzoperators AT semenovvv convergenceofthemodifiedextragradientmethodforvariationalinequalitieswithnonlipschitzoperators AT čabaklm convergenceofthemodifiedextragradientmethodforvariationalinequalitieswithnonlipschitzoperators |
| first_indexed |
2025-11-25T23:46:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:46:39Z |
| _version_ |
1850583757115883520 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.988
Ñ.Â. ÄÅÍÈÑÎÂ, Â.Â. ÑÅÌÅÍÎÂ, Ë.Ì. ×ÀÁÀÊ
ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÌÎÄÈÔÈÖÈÐÎÂÀÍÍÎÃÎ ÝÊÑÒÐÀÃÐÀÄÈÅÍÒÍÎÃÎ
ÌÅÒÎÄÀ ÄËß ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÛÕ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ
Ñ ÍÅËÈÏØÈÖÅÂÛÌÈ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀÌÈ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìîäèôèöèðîâàííûé ýêñòðàãðàäèåíòíûé ìåòîä ñ äèíàìè÷åñêîé
ðåãóëèðîâêîé âåëè÷èíû øàãà äëÿ ðåøåíèÿ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ñ ìîíîòîííûìè îïå-
ðàòîðàìè, äåéñòâóþùèìè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ðàññìîòðåí âàðèàíò ìåòîäà äëÿ
ïîèñêà ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà, ÿâëÿþùåãîñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé êâàçèíå-
ðàñòÿãèâàþùåãî îïåðàòîðà. Äîêàçàíà ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ìåòîäîâ áåç ïðåäïîëîæåíèÿ
î ëèïøèöåâîñòè îïåðàòîðîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âàðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî, ìîíîòîííûé îïåðàòîð, ãèëüáåðòîâî ïðî-
ñòðàíñòâî, ýêñòðàãðàäèåíòíûé ìåòîä, ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìíîãèå çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ îïåðàöèé è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ìîæíî çàïè-
ñàòü â ôîðìå âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ [1–4]. Ðåøåíèå ýòèõ íåðàâåíñòâ ÿâëÿ-
åòñÿ èíòåíñèâíî ðàçâèâàþùèìñÿ íàïðàâëåíèåì ïðèêëàäíîãî íåëèíåéíîãî àíà-
ëèçà. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïðåäëîæåíî ìíîæåñòâî ìåòîäîâ [5–34], â ÷àñòíîñòè
ïðîåêöèîííîãî òèïà (èñïîëüçóþùèõ îïåðàöèþ ìåòðè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ
íà äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî).
Èçâåñòíî, ÷òî â çàäà÷àõ ïîèñêà ñåäëîâîé òî÷êè èëè ðàâíîâåñèÿ Íýøà äëÿ
ñõîäèìîñòè íàèáîëåå ïðîñòîãî ïðîåêöèîííîãî ìåòîäà (àíàëîãà ìåòîäà ïðîåêöèè
ãðàäèåíòà) íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñèëåííûõ óñëîâèé ìîíîòîííîñòè [6, 7].
 ñëó÷àå èõ íåâûïîëíåíèÿ ìîæíî ïðèìåíèòü íåñêîëüêî ïîäõîäîâ, îäèí èç êîòî-
ðûõ ñîñòîèò â ðåãóëÿðèçàöèè èñõîäíîé çàäà÷è ñ öåëüþ ïðèäàòü åé òðåáóåìîå
ñâîéñòâî [5]. Ñõîäèìîñòü áåç ìîäèôèêàöèè çàäà÷è îáåñïå÷èâàåòñÿ â èòåðàöèîí-
íûõ ìåòîäàõ ýêñòðàãðàäèåíòíîãî òèïà, âïåðâûå ïðåäëîæåííûõ Ã.Ì. Êîðïåëåâè÷
â [21]. Èññëåäîâàíèå ýòèõ ìåòîäîâ ïðîâîäèëîñü âî ìíîãèõ ðàáîòàõ [22–34]. Äëÿ
âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ è çàäà÷ ðàâíîâåñíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðåäëàãàëèñü
ìîäèôèêàöèè àëãîðèòìà Êîðïåëåâè÷ ñ îäíèì ìåòðè÷åñêèì ïðîåêòèðîâàíèåì íà
äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî [27, 28]. Â ýòèõ òàê íàçûâàåìûõ ñóáãðàäèåíòíûõ ýêñòðàãðàäè-
åíòíûõ àëãîðèòìàõ è àëãîðèòìå Êîðïåëåâè÷ ïåðâûå ýòàïû èòåðàöèè ñîâïàäàþò,
à äàëåå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ âìåñòî ïðîåêòèðîâàíèÿ íà äî-
ïóñòèìîå ìíîæåñòâî îñóùåñòâëÿþò ïðîåêòèðîâàíèå íà íåêîòîðîå îïîðíîå äëÿ äî-
ïóñòèìîãî ìíîæåñòâà ïîëóïðîñòðàíñòâî. Â ðàáîòàõ [27, 28] äîêàçàíà ñëàáàÿ ñõî-
äèìîñòü ïîðîæäåííûõ ñóáãðàäèåíòíûì ýêñòðàãðàäèåíòíûì àëãîðèòìîì ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòåé ê íåêîòîðîìó ðåøåíèþ âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà. Î÷åâèäíûì
íåäîñòàòêîì àëãîðèòìà, çàòðóäíÿþùèì åãî øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå, ÿâëÿåòñÿ
ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî êîíñòàíòà Ëèïøèöà îïåðàòîðà èçâåñòíà èëè äîïóñêàåò
ïðîñòóþ îöåíêó. Êðîìå òîãî, âî ìíîãèõ çàäà÷àõ îïåðàòîðû ìîãóò íå óäîâëåòâî-
ðÿòü óñëîâèþ Ëèïøèöà. Çàìåòèì, ÷òî â áîëüøèíñòâå ðàáîò ïî àëãîðèòìàì ðåøå-
íèÿ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ðàññìîòðåíû èìåííî ëèïøèöåâû îïåðàòîðû.
 íàñòîÿùé ñòàòüå ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ cóáãðàäèåíòíîãî ýêñòðàãðàäè-
åíòíîãî àëãîðèòìà ñ äèíàìè÷åñêîé ðåãóëèðîâêîé âåëè÷èíû øàãà äëÿ âàðèàöèîí-
íûõ íåðàâåíñòâ ñ ìîíîòîííûì íåëèïøèöåâûì îïåðàòîðîì è äîêàçàíà åå ñõîäè-
ìîñòü. Èñïîëüçóåìàÿ ðåãóëèðîâêà âåëè÷èíû øàãà îïèñàíà â [22, 23]. Òàêæå ðàñ-
ñìîòðåíû âàðèàíòû ìåòîäà äëÿ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ èëè îïåðàòîðíûõ
óðàâíåíèé ñ àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé î ðåøåíèè, çàäàííîé â âèäå ìíîæåñòâà
íåïîäâèæíûõ òî÷åê êâàçèíåðàñòÿãèâàþùåãî îïåðàòîðà.
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
� Ñ.Â. Äåíèñîâ, Â.Â. Ñåìåíîâ, Ë.Ì. ×àáàê, 2015
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Âñþäó äàëåå H — äåéñòâèòåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì
ïðîèçâåäåíèåì ( , )� � è ïîðîæäåííîé íîðìîé | | | |� . Ïóñòü C — íåïóñòîå ïîä-
ìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà H , A — îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â H . Ðàññìîòðèì âà-
ðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî:
íàéòè x C� : ( , )Ax y x� � 0 � �y C, (1)
ìíîæåñòâî ðåøåíèé êîòîðîãî îáîçíà÷èì VI A C( , ).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
� ìíîæåñòâî C H — âûïóêëîå è çàìêíóòîå;
� îïåðàòîð A H H:
— ìîíîòîííûé, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûé íà îãðàíè-
÷åííûõ ìíîæåñòâàõ è îòîáðàæàþùèé îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà â îãðàíè÷åííûå;
� ìíîæåñòâî VI A C( , ) íåïóñòîå.
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè dim H � �, òî äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü îò îïåðàòîðà A ìîíî-
òîííîñòè è íåïðåðûâíîñòè.
Âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ. Ïóñòü PC — îïåðàòîð ìåòðè÷åñêîãî ïðîåêòè-
ðîâàíèÿ íà ìíîæåñòâî C, ò.å. P xC — åäèíñòâåííûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà C
ñî ñâîéñòâîì | | | | min | | | |P x x z xC
z C
�
�
�
. Ïîëåçíû ñëåäóþùèå õàðàêòåðèçàöèè ýëå-
ìåíòà P xC :
y P x y CC
� � è ( , )y x z y� � � 0 � �z C, (2)
y P x y CC
� � è | | | | | | | | | | | |y z x z y x� � � � �2 2 2 � �z C. (3)
Èç íåðàâåíñòâà (2) ñëåäóåò, ÷òî x VI A C� ( , ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
x P x AxC
�( )� , ãäå � � 0 [1].
Åñëè îïåðàòîð A H H:
ìîíîòîííûé è íåïðåðûâíûé, à ìíîæåñòâî
C H âûïóêëîå è çàìêíóòîå, òî x VI A C� ( , ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x C�
è ( , )Ay y x� � 0 äëÿ âñåõ y C� [1].  ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî VI A C( , ) âûïóêëîå
è çàìêíóòîå.
Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîð T H H:
íàçûâàþò êâàçèíåðàñòÿãèâàþùèì, åñëè
F T x H Tx x( ) :
�
��{ } è | | | | | | | |Tx y x y� � � äëÿ âñåõ x H� , y F T� ( ) [7, 35]. Çà-
ìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê F T( ) êâàçèíåðàñòÿãèâàþùåãî îïå-
ðàòîðà çàìêíóòîå è âûïóêëîå [7, 35]. Îïåðàòîð S C H:
íàçûâàþò äåìèçàìêíó-
òûì â y H� , åñëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê x Cn� èç x xn
ñëàáî è
Sx yn
ñèëüíî ñëåäóåò Sx y
[7]. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ íåðàñòÿãèâàþùåãî îïåðà-
òîðà T C H:
îïåðàòîð I T� äåìèçàìêíóò â íóëå [7].
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñëàáîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ
ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà èñïîëüçóåì èçâåñòíóþ ëåììó Îïÿëà.
Ëåììà 1 [36]. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xn ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðî-
ñòðàíñòâà H ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó x H� . Òîãäà äëÿ âñåõ y H x� \ { } èìååì
lim | | | | lim | | | |
n
n
n
nx x x y
�
�
� � � .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ t x P x tAxC� | | ( )| |� � , t ��, èìåþùóþ ñëåäóþùåå ïî-
ëåçíîå ñâîéñòâî.
Ëåììà 2. Äëÿ x H� è � �� � 0 èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà
| | ( )| | | | ( )| |x P x Ax x P x AxC C� �
�
� ��
�
�
�
,
| | ( )| | | | ( )| |x P x Ax x P x AxC C� � � � �� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 103
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì x P x AxC� �
�( ), x P x AxC� �
�( ). Èç (2) ñëåäóåò
x x Ax
x x�
� �
�
�
� �
�
�
�
��
�
�
�� �, 0,
x x Ax
x x
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�, 0.
Ñëîæèâ íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
0 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
x x x x
x x
x x x x
x x x� �
� �
� �
�
� � � �
, , ( ) ( x� )
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Îòêóäà
0 2 2� � � � � � � � � �| | | | | | | | | | | | | | | | | |x x x x x x x x x x� � � � �
�
�
�
�
| | | | | |x x� � .
Ñëåäîâàòåëüíî,
0 � � � �
�
�
��
�
�
�� � � �| | | | | | | | (| | | | | | | | )x x x x x x x x� � � �
�
�
.
Îòêóäà ñëåäóåò
| | | | | | | |x x x x� � � �� �
�
�
0,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. �
ÌÎÄÈÔÈÖÈÐÎÂÀÍÍÛÉ ÝÊÑÒÐÀÃÐÀÄÈÅÍÒÍÛÉ ÀËÃÎÐÈÒÌ
Äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà (1) ïðåäëàãàåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì.
Àëãîðèòì 1
Èíèöèàëèçàöèÿ. Çàäàåì ÷èñëîâûå ïàðàìåòðû � � 0, ��( , )01 , ��( , )01 è ýëå-
ìåíò x H0 � .
Èòåðàöèîííûé øàã. Äëÿ x Hn � âû÷èñëÿåì y P x Axn C n n n
�( )� , ãäå � n
ïîëó÷àåì èç óñëîâèÿ
j n j AP x Ax Ax P xj
C n
j
n n C n( ) min : | | ( ) | | | | (
� � � � �{ 0 �� �� � �� j
n n
n
j n
Ax x) | |
.( )
�
�
�
�
��
},
� �� (4)
Åñëè y xn n
, òî êîíåö, èíà÷å âû÷èñëÿåì x P x Ayn T n n nn�
�1 ( )� , ãäå
T z H x Ax y z yn n n n n n
� � � � �{ }: ( , )� 0 .
Çàìå÷àíèå 2. Àëãîðèòì 1 — ìîäèôèêàöèÿ ðàññìîòðåííûõ â [27, 28] ñóáãðà-
äèåíòíûõ ýêñòðàãðàäèåíòíûõ àëãîðèòìîâ. Äèíàìè÷åñêàÿ ðåãóëèðîâêà âåëè÷èíû
øàãà (4) îïèñàíà â [22, 23].
ßñíî, ÷òî åñëè y xn n
, òî xn ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó C è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíè-
åì âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà. Äåéñòâèòåëüíî, ðàâåíñòâî x P x Axn C n n n
�( )�
ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó
( , )x x Ax y xn n n n n� � � �� 0 � �y C.
Ïîêàæåì, ÷òî ïðîöåäóðà (4) âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ.
Ëåììà 3. Ïðàâèëî (4) âûáîðà ïàðàìåòðà � n êîððåêòíî, ò.å. j n( )� ��.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x VI A Cn � ( , ). Òîãäà x P x Axn C n n
�( )� è j n( )
0.
Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ x VI A Cn � ( , ) è ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõ j�� âûïîëíÿ-
åòñÿ íåðàâåíñòâî
�� �� � ��j
C n
j
n n C n
j
n nAP x Ax Ax P x Ax x| | ( ) | | | | ( ) | |� � � � � .
Îòêóäà
lim | | ( ) | |
j
C n
j
n nP x Ax x
�
� �
�� 0.
Èç ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà A íà îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâàõ
ñëåäóåò lim | | ( ) | |
j
C n
j
n nAP x Ax Ax
�
� �
�� 0.
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
Òàêèì îáðàçîì,
lim
| | ( ) | |
j
C n
j
n n
j
P x Ax x
�
� �
��
��
0. (5)
Ïîëîæèì y P x Axn
j
C n
j
n
�( )�� . Èìååì
y x
x y Ax x yn
j
n
j n
j
n n
j�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
��
, ( , ) 0 � �x C. (6)
Ñîâåðøèâ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â (6) ñ ó÷åòîì (5), ïîëó÷èì ( , )Ax x xn n� � 0
� �x C, ò.å. x VI A Cn � ( , ). Ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ. �
Çàìå÷àíèå 3. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3 íå èñïîëüçîâàëàñü ìîíîòîííîñòü
îïåðàòîðà A.
Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ñëàáîé ñõîäèìîñòè àëãîðèòìà.
ÑËÀÁÀß ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÀËÃÎÐÈÒÌÀ 1
Âíà÷àëå äîêàæåì âàæíîå íåðàâåíñòâî, ñâÿçûâàþùåå ðàññòîÿíèÿ îò ïîðîæäåí-
íûõ àëãîðèòìîì òî÷åê äî ìíîæåñòâà VI A C( , ).
Ëåììà 4. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ( )xn , ( )yn , ïîðîæäåííûõ àëãîðèòìîì,
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
| | | | | | | | ( ) | | | |x z x z x yn n n n� � � � � � �1
2 2 2 21 � , (7)
ãäå z VI A C� ( , ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ðàáîòå [28, äîêàçàòåëüñòâî ëåì-
ìû 3], ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó
| | | | | | | | | | | | | | | |x z x z x y y xn n n n n n� �� � � � � � � �1
2 2 2
1
2
� � ��2 1� n n n n nAx Ay x y( , ). (8)
Ñëàãàåìîå 2 1� n n n n nAx Ay x y( , )� �� â (8) îöåíèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
2 21 1� �n n n n n n n n n nAx Ay x y Ax Ay x y( , ) | | | | | | | |� � � � � �� �
� � � � � � �� �2 1
2 2
1
2� �| | | | | | | | | | | | | | | |x y x y x y x yn n n n n n n n . (9)
Ó÷èòûâàÿ îöåíêó (9) â (8), ïîëó÷àåì æåëàåìîå íåðàâåíñòâî (7). �
Çàìå÷àíèå 4. Îöåíèâ ñëàãàåìîå 2 1� n n n n nAx Ay x y( , )� �� â (8) èíà÷å, ïîëó-
÷èì ïîëåçíîå íåðàâåíñòâî
| | | | | | | | ( )| | | | ( )| |x z x z x y xn n n n n� �� � � � � � � � �1
2 2 2
11 1� � yn | | 2 , (10)
ãäå z VI A C� ( , ).
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì îäèí èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû.
Òåîðåìà 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )xn è ( )yn , ïîðîæäåííûå àëãîðèòìîì 1,
ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå z VI A C� ( , ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåðàâåíñòâà (7) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xn
ôåéåðîâñêàÿ îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà VI A C( , ), ò.å.
| | | | | | | |x z x zn n� � � �1 � �n �, � �z VI A C( , ).
 ÷àñòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xn îãðàíè÷åííà.
Çàôèêñèðóåì íîìåð N �� è ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâà (7) äëÿ âñåõ íîìåðîâ
1 2, , ,� N . Ñëîæèâ èõ, ïîëó÷èì
| | | | | | | | ( ) | | | |x z x z x yn n n
n
N
�
� � � � � � 1
2
1
2 2 2
1
1 � . (11)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 105
Èç íåðàâåíñòâà (11) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà | | | |x yn n
n
� 2 . Òà-
êèì îáðàçîì,
lim | | | |
n
n nx y
�
�
0. (12)
Ðàññìîòðèì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xnk
, ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé
òî÷êå z H� . Òîãäà y znk
ñëàáî è z C� . Ïîêàæåì, ÷òî z VI A C� ( , ).
Âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: 1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )� nk
íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ;
2) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )� nk
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Ðàññìîòðèì âàðèàíò 1. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî � �nk
� äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî
áîëüøèõ k è íåêîòîðîãî � � 0. Èìååì ( , )y x Ax x yn n n n nk k k k k
� � � �� 0 � �x C.
Îòêóäà, èñïîëüçîâàâ ìîíîòîííîñòü îïåðàòîðà A, âûâîäèì îöåíêó
0 �
� � �
� �
�
( , ) ( , )y x Ax x y y x x yn n n n n
n
n n n
n
k k k k k
k
k k k
k
�
� �
� � � � �( , ) ( , )Ax x y Ax x xn n n n nk k k k k
�
� �
� � � �
( , )
( , ) ( , )
y x x y
Ax x y Ax x x
n n n
n
n n n n
k k k
k
k k k k�
.
Ñîâåðøèâ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ñ ó÷åòîì (12), ïîëó÷èì ( , )Ax x z� � 0� �x C.
Ñëåäîâàòåëüíî, z VI A C� ( , ).
Ðàññìîòðèì âàðèàíò 2. Ïóñòü lim
k nk
�
� 0. Ïîëîæèì z P x Axn C n n nk k k k
�( )� ,
ãäå � � � �� �n n
j n
nk k
k
k
� �� �1 1
0
( )
. Ïðèìåíèì ëåììó 2. Èìååì | | | |x zn nk k
� �
� �
1
0
�
| | | |x yn nk k
.
 ÷àñòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )znk
îãðàíè÷åííà è z znk
ñëàáî. Èç ðàâ-
íîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà A íà îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâàõ ñëåäóåò
| | | |Ax Azn nk k
�
0, à èç íåðàâåíñòâà � �n n n n nk k k k k
Az Ax z x| | | | | | | |� � � ñëåäóåò
àñèìïòîòèêà
| | | |x zn n
n
k k
k
�
�
0.
(13)
Äàëåå èìååì ( , )z x Ax x zn n n n nk k k k k
� � � �� 0 � �x C. Îòêóäà âûâîäèì îöåíêó
0 �
� �
� � � �
( , )
( , ) ( , )
z x x z
Ax x z Ax x x
n n n
n
n n n n
k k k
k
k k k k�
.
Ñîâåðøèâ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ñ ó÷åòîì (13), ïîëó÷èì ( , )Ax x z� � 0 � �x C,
îòêóäà z VI A C� ( , ).
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî x zn
ñëàáî. Òîãäà èç (12) ñëåäóåò, ÷òî y zn
ñëàáî.
Ðàññóæäàåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xmk
òà-
êàÿ, ÷òî x zmk
! ñëàáî è z z� !. ßñíî, ÷òî ! �z VI A C( , ). Ïðèìåíèì äâàæäû
ëåììó 1. Èìååì
lim | | | | lim | | | | lim | | | | li
n
n
k
n
k
nx z x z x z
k k
�
�
�
�
� � � !
m || | |
n
nx z
�
� !
� ! � �
�
�
�
�
lim | | | | lim | | | | lim | | | |
k
m
k
m
n
nx z x z x z
k k
,
÷òî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, z z
!. �
Çàìå÷àíèå 5. Ñëàáûé ïðåäåë z VI A C� ( , ) ïîðîæäåííîé àëãîðèòìîì 1 ôåéå-
ðîâñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )xn èìååò ñâîéñòâî P x zVI A C n( , )
ñèëüíî [7].
Åñëè ìíîæåñòâî VI A C( , ) ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ìíîãîîáðàçèåì, òî xn
P xVI A C( , ) 0 ñèëüíî [7].
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
Çàìå÷àíèå 6. Àñèìïòîòèêó (12) ìîæíî óòî÷íèòü äî ñëåäóþùåé:
lim | | | |
n
n nn x y
�
�
0. (14)
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè (14) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî | | | | /x y nn n� � �� 1 2 äëÿ íåêîòî-
ðîãî �� 0 è âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ íîìåðîâ n. Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä
| | | |x yn n
n
� 2 ðàñõîäèòñÿ. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
ÂÀÐÈÀÍÒ ÀËÃÎÐÈÒÌÀ 1 ÄËß ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ñ ÀÏÐÈÎÐÍÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÅÉ
Ðàññìîòðèì âàðèàíò ìåòîäà äëÿ ïîèñêà ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîãî íåðàâåí-
ñòâà (1), ÿâëÿþùåãîñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé çàäàííîãî îïåðàòîðà.
Ïóñòü S H H:
— êâàçèíåðàñòÿãèâàþùèé îïåðàòîð òàêîé, ÷òî I S� — äå-
ìèçàìêíóòûé â íóëå îïåðàòîð ñ ìíîæåñòâîì íåïîäâèæíûõ òî÷åê F S( )
�
{ }x H Sx x: . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî VI A C F S( , ) ( )" ��.
Çàìå÷àíèå 7. Ïóñòü g H:
� — âûïóêëàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.
Åñëè ìíîæåñòâî D x H g x
� � ��{ }: ( ) 0 , òî åãî ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ìíîæåñ-
òâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê êâàçèíåðàñòÿãèâàþùåãî îïåðàòîðà
Sx
x
g x
g x
g x x D
x x D
�
!
! �
�
�
�
�
�
�
( )
| | ( )| |
( ), ,
, ,
2
åñëè
åñëè
ãäå g x H' ( )� — ïðîèçâîäíàÿ g â òî÷êå x H� [35]. Äëÿ äåìèçàìêíóòîñòè â íóëå îïå-
ðàòîðà I S� äîñòàòî÷íî îãðàíè÷åííîñòè g íà ëþáîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå [35].
Äëÿ ïîèñêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà VI A C F S( , ) ( )" ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé
àëãîðèòì.
Àëãîðèòì 2
Èíèöèàëèçàöèÿ. Çàäàåì ÷èñëîâûå ïàðàìåòðû � � 0, ��( , )0 1 , ��( , )0 1 , ýëå-
ìåíò x H0 � è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( ) [ , ] ( , ) n a b 0 1 .
Èòåðàöèîííûé øàã. Äëÿ x Hn � âû÷èñëÿåì y P x Axn C n n n
�( )� , ãäå � n
ïîëó÷àåì èç óñëîâèÿ
j n j AP x Ax Ax P xj
C n
j
n n C n( ) min : | | ( ) | | | | (
� � � � �{ 0 �� �� � �� j
n n
n
j n
Ax x) | |},
.( )
�
�
�
�
�� � ��
Âû÷èñëÿåì x x SP x Ayn n n n T n n nn�
� � �1 1 �( ) ( ), ãäå T z H xn n
� �{ : (
� � � �� n n n nAx y z y, ) 0}.
Çàìå÷àíèå 8.  ðàáîòå [27] ïðåäëîæåí ìåòîä ïîèñêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
VI A C F S( , ) ( )" äëÿ íåðàñòÿãèâàþùåãî îïåðàòîðà S è ëèïøèöåâîãî ìîíîòîííîãî
îïåðàòîðà A c ïîñòîÿííûì øàãîì ��( , / )01 L , ãäå L � 0 — ïîñòîÿííàÿ Ëèïøèöà
îïåðàòîðà A. Àëãîðèòì 2 — ìîäèôèêàöèÿ ýòîãî ìåòîäà ñ äèíàìè÷åñêîé ðåãóëè-
ðîâêîé âåëè÷èíû øàãà.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )xn è ( )yn , ïîðîæäåííûå àëãîðèòìîì 2,
ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå z VI A C F S� "( , ) ( ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì z P x Ayn T n n nn
�( )� . Ïîñêîëüêó îïåðàòîð S
êâàçèíåðàñòÿãèâàþùèé, äëÿ âñåõ z VI A C F S� "( , ) ( ) ïîëó÷àåì
| | | | | | ( ) ( )( )| |x z x z Sz zn n n n n� � � � � � �
1
2 21
� � � � � � � � n n n n n n n nx z Sz z x Sz| | | | ( )| | | | ( )| | | |2 2 21 1
� � � � � � � � n n n n n n n nx z z z x Sz| | | | ( )| | | | ( )| | | |2 2 21 1 . (15)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 107
Èñïîëüçóÿ (10) â (15) äëÿ îöåíêè ñëàãàåìîãî ( )| | | |1 2� � n nz z , ïîëó÷àåì íå-
ðàâåíñòâî
| | | | | | | | ( )( )| | | |x z x z x yn n n n n� � � � � � � � �1
2 2 21 1 �
� � � � � � �( )( )| | | | ( )| | | |1 1 12 2 � n n n n n n nz y x Sz . (16)
Èç íåðàâåíñòâà (16) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xn ôåéåðîâñêàÿ îòíî-
ñèòåëüíî ìíîæåñòâà VI A C F S( , ) ( )" , ò.å.
| | | | | | | |x z x zn n� � � �1 � �n �, � � "z VI A C F S( , ) ( ).
 ÷àñòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xn îãðàíè÷åííà. Êðîìå òîãî, èìåþò ìåñ-
òî íåðàâåíñòâà
| | | | | | | |
| | | | | | | |
( )(
x y z y
x z x z
n n n n
n n
n
� � � �
� � �
�
�2 2
2
1
2
1 1� �)
,
| | | |
| | | | | | | |
( )
x Sz
x z x z
n n
n n
n n
� �
� � �
�
�2
2
1
2
1
.
Îòêóäà ñëåäóåò
lim | | | | lim | | | | lim | | | |
n
n n
n
n n
n
n nx y z y x Sz
�
�
�
�
�
�
0. (17)
Ðàññìîòðèì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xnk
, ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé
òî÷êå z H� . Òîãäà ( )ynk
, ( )znk
ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê z è z C� . Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî
äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1, ïîëó÷àåì, ÷òî z VI A C� ( , ). Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî
z F S� ( ). Ïîñêîëüêó
| | | | | | | | | | | | | | | |z Sz z y y x x Szn n n n n n n n� � � � � � � ,
èç (17) ñëåäóåò lim | | | |
n
n nz Sz
�
�
0.
Îïåðàòîð I S� äåìèçàìêíóòûé â íóëå. Ñëåäîâàòåëüíî, èç z znk
ñëàáî è
lim | | | |
k
n nz Sz
k k
�
�
0 ïîëó÷àåì, ÷òî z F S� ( ).
Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1 ïîêàçûâàåì, ÷òî x zn
ñëàáî. Òîãäà
èç (17) ñëåäóåò, ÷òî y zn
ñëàáî. �
Ðàññìîòðèì òåïåðü îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå ñ àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé, çà-
äàííîé â âèäå ìíîæåñòâà íåïîäâèæíûõ òî÷åê êâàçèíåðàñòÿãèâàþùåãî îïåðàòîðà
T H H:
:
Ax f
, x F T� ( ), (18)
ãäå f H� . Ïîäîáíûå çàäà÷è ðàññìîòðåíû â [35].
Àëãîðèòì 2 äëÿ çàäà÷è (18) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä.
Àëãîðèòì 3
Èíèöèàëèçàöèÿ. Çàäàåì ÷èñëîâûå ïàðàìåòðû � � 0, ��( , )01 , ��( , )01 , ýëå-
ìåíò x H0 � è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( ) [ , ] ( , ) n a b 01 .
Èòåðàöèîííûé øàã. Äëÿ x Hn � âû÷èñëÿåì y x Ax fn n n n
� �� ( ), ãäå � n
ïîëó÷àåì èç óñëîâèÿ
j n j A x Ax f Ax Axn
j
n n n
n
( ) min : | | ( ( )) | | | | | | ,
� � � � �{ }0 �� �
�
�
�
�
�� �� j n( ) .
Âû÷èñëÿåì
z x Ay fn n n n
� �� ( ),
x x Tzn n n n n�
� �1 1 ( ) .
×àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû 2 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü îïåðàòîð A H H:
ìîíîòîííûé, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâ-
íûé íà îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâàõ è îòîáðàæàþùèé îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
â îãðàíè÷åííûå. Ïóñòü îïåðàòîð T H H:
êâàçèíåðàñòÿãèâàþùèé, ïðè÷åì îïå-
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
ðàòîð I T� äåìèçàìêíóòûé â íóëå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî VI A C F T( , ) ( )" �� äëÿ
f H� . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )xn , ( )yn è ( )zn , ïîðîæäåííûå àëãîðèòìîì 3,
ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå z A f F T� "�1 ( ).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ïðåäëîæåí ìîäèôèöèðîâàííûé ýêñòðàãðàäèåíòíûé ìåòîä ñ äèíàìè-
÷åñêîé ðåãóëèðîâêîé âåëè÷èíû øàãà äëÿ ðåøåíèÿ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ
ñ ìîíîòîííûìè îïåðàòîðàìè, äåéñòâóþùèìè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðîâ íå ïðåäïîëàãàåòñÿ èõ ëèïøèöåâîñòü. Òàêæå ðàññìîò-
ðåí âàðèàíò ìåòîäà äëÿ ïîèñêà ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà ñ àïðèîð-
íîé èíôîðìàöèåé, îïèñàííîé â âèäå âêëþ÷åíèÿ â ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ
òî÷åê êâàçèíåðàñòÿãèâàþùåãî îïåðàòîðà. Îñíîâíîé òåîðåòè÷åñêèé ðåçóëü-
òàò — òåîðåìû î ñëàáîé ñõîäèìîñòè ìåòîäîâ. Ñèëüíî ñõîäÿùèåñÿ âàðèàíòû
ïðåäëîæåííûõ ìåòîäîâ ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä èòåðàòèâíîé ðåãóëÿ-
ðèçàöèè [5, 16, 29] èëè ãèáðèäíûé ìåòîä èç [37].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê è í ä å ð ë å ð å ð Ä . , Ñ ò à ì ï à ê ê ü ÿ Ã . Ââåäåíèå â âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà è èõ ïðè-
ëîæåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1983. — 256 c.
2. Á à é î ê ê è Ê . , Ê à ï å ë î À . Âàðèàöèîííûå è êâàçèâàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà. — Ì.: Íàó-
êà, 1988. — 448 ñ.
3. N a g u r n e y A . Network economics: A variational inequality approach. — Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 1999. — 325 p.
4. Ñ å ì å í î â  .  . , Ñ å ì å í î â à Í .  . Î çàäà÷å âåêòîðíîãî óïðàâëåíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2005. — ¹ 2. — Ñ. 117–130.
5. Á à ê ó ø è í ñ ê è é À . Á . , à î í ÷ à ð ñ ê è é À . Â. Íåêîððåêòíûå çàäà÷è. ×èñëåííûå ìåòîäû è
ïðèëîæåíèÿ. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1989. — 200 c.
6. F a c c h i n e i F . , P a n g J . - S . Finite-dimensional variational inequalities and complementarily
problem. V. 2. — New York: Springer, 2003. — 666 p.
7. B a u s c h k e H . H . , C o m b e t t e s P . L . Convex analysis and monotone operator theory in
Hilbert spaces. — Berlin; Heidelberg; New York: Spinger, 2011. — 408 p.
8. Konnov I .V. Combined relaxation methods for variational inequalities. — Berlin; Heidelberg;
New York: Springer-Verlag, 2001. — 181 p.
9. Ï à í è í  . Ì . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . , Ë à â ð è í à Ò .  . Ìîäåëè è ìåòîäû êîíå÷íîìåðíûõ
âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2000. — ¹ 6. — Ñ. 47–64.
10. Xiu N. , Zhang J. Some recent advances in projection-type methods for variational inequalities //
J. Comput. Appl. Math. — 2003. — 152. — Ð. 559–585.
11. N e s t e r o v Y u . Dual extrapolation and its applications to solving variational inequalities and
related problems // Mathematical Programming. — 2007. — 109, Iss. 2–3. — P. 319–344.
12. Í ó ð ì è í ñ ê è é Å . À . Èñïîëüçîâàíèå äîïîëíèòåëüíûõ ìàëûõ âîçäåéñòâèé â ôåéåðîâñêèõ
ìîäåëÿõ èòåðàòèâíûõ àëãîðèòìîâ // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè. — 2008. — 48, ¹ 12. — Ñ. 2121–2128.
13. Ñ å ì å í î â Â . Â . Î ìåòîäå ïàðàëëåëüíîé ïðîêñèìàëüíîé äåêîìïîçèöèè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷
âûïóêëîé îïòèìèçàöèè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2010. — ¹ 2. — Ñ. 42–46.
14. Ñ å ì å í î â Â . Â . Î ñõîäèìîñòè ìåòîäîâ ðåøåíèÿ äâóõóðîâíåâûõ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ
ñ ìîíîòîííûìè îïåðàòîðàìè // Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. — 2010.
— ¹ 2 (101). — Ñ. 120–128.
15.  î é ò î â à Ò . À . , Ñ å ì å í î â  .  . Ìåòîä ðåøåíèÿ äâóõýòàïíûõ îïåðàòîðíûõ âêëþ÷åíèé
// Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. — 2010. — ¹ 3 (102). — Ñ. 34–39.
16. Ì à ë ³ ö ü ê è é Þ .  . , Ñ å ì å í î â  .  . Íîâ³ òåîðåìè ñèëüíî¿ çá³æíîñò³ ïðîêñèìàëüíîãî
ìåòîäó äëÿ çàäà÷³ ð³âíîâàæíîãî ïðîãðàìóâàííÿ // Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìà-
òåìàòèêè. — 2010. — ¹ 3 (102). — Ñ. 79–88.
17. Ä å í è ñ î â Ñ .  . , Ñ å ì å í î â  .  . Ïðîêñèìàëüíèé àëãîðèòì äëÿ äâîð³âíåâèõ âàð³àö³éíèõ
íåð³âíîñòåé: ñèëüíà çá³æí³ñòü // Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. — 2011.
— ¹ 3 (106). — C. 27–32.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5 109
18. Ñ å ì å í î â Â . Â . Ïàðàëëåëüíàÿ äåêîìïîçèöèÿ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ ñ ìîíîòîííûìè
îïåðàòîðàìè // Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. — 2012. — ¹ 2 (108). —
Ñ. 53–58.
19. Ì à ë è ö ê è é Þ . Â . , Ñ å ì å í î â Â . Â . Ñõåìà âíåøíèõ àïïðîêñèìàöèé äëÿ âàðèàöèîííûõ
íåðàâåíñòâ íà ìíîæåñòâå íåïîäâèæíûõ òî÷åê ôåéåðîâñêèõ îïåðàòîðîâ // Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ
Óêðà¿íè. — 2013. — ¹ 7. — Ñ. 47–52.
20. Semenov V.V. Strongly convergent algorithms for variational inequality problem over the set of
solutions the equilibrium problems // M.Z. Zgurovsky and V.A. Sadovnichiy (eds.), Continuous and
Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, — Springer International Publishing
Switzerland. — 2014. — 211. — P. 131–146.
21. Êîðïåëåâè÷ Ã.Ì. Ýêñòðàãðàäèåíòíûé ìåòîä äëÿ îòûñêàíèÿ ñåäëîâûõ òî÷åê è äðóãèõ çàäà÷
// Ýêîíîìèêà è ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû. — 1976. — 12, ¹ 4. — Ñ. 747–756.
22. Õîáîòîâ Å.Í. Î ìîäèôèêàöèè ýêñòðàãðàäèåíòíîãî ìåòîäà äëÿ ðåøåíèÿ âàðèàöèîííûõ íåðà-
âåíñòâ è íåêîòîðûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè // Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè-
÷åñêîé ôèçèêè. — 1987. — 27, ¹ 10. — Ñ. 1462–1473.
23. Tseng P. A modified forward-backward splitting method for maximal monotone mappings // SIAM
J. Control Optim. — 2000. — 38. — P. 431–446.
24. Nadezhkina N. , Takahashi W. Strong convergence theorem by a hybrid method for
nonexpansive mappings and Lipschitz-continuous monotone mappings // SIAM J. Optim. — 2006.
— 16, N 4. — P. 1230-1241.
25. Nadezhkina N. , Takahashi W. Weak convergence theorem by an extragradient method for
nonexpansive mappings and monotone mappings // Journal of Optimization Theory and
Applications. — 2006. — 128. — P. 191–201.
26. Âîéòîâà Ò.À. , Äåíèñîâ Ñ.Â. , Ñåìåíîâ Â.Â. Ñèëüíî çá³æíèé ìîäèô³êîâàíèé âàð³àíò
ìåòîäó Êîðïåëåâè÷ äëÿ çàäà÷ ð³âíîâàæíîãî ïðîãðàìóâàííÿ // Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðè-
êëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. — 2011. — ¹ 1 (104). — Ñ. 10–23.
27. Censor Y. , Gibal i A. , Reich S. The subgradient extragradient method for solving variational
inequalities in Hilbert space // Journal of Optimization Theory and Applications. — 2011. — 148. —
P. 318–335.
28. Ëÿøêî Ñ.È. , Ñåìåíîâ Â.Â. , Âîéòîâà Ò.À. Ýêîíîìè÷íàÿ ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà Êîðïåëå-
âè÷ äëÿ ìîíîòîííûõ çàäà÷ î ðàâíîâåñèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2011. — ¹ 4.
— C. 146–154.
29. Àïîñòîë Ð.ß. , Ãðèíåíêî À.À. , Ñåìåíîâ Â.Â. ²òåðàö³éí³ àëãîðèòìè äëÿ ìîíîòîííèõ
äâîð³âíåâèõ âàð³àö³éíèõ íåð³âíîñòåé // Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. —
2012. — ¹ 1 (107). — C. 3–14.
30. Çàïîðîæåö Ä.Í. , Çûêèíà À.Â. , Ìåëåíü÷óê Í.Â. Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ýêñòðàãðàäèåí-
òíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ äëÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ // Àâòîìàòàòèêà è òå-
ëåìåõàíèêà. — 2012. — ¹ 4. — Ñ. 32–46.
31. Ìàëèöêèé Þ.Â. , Ñåìåíîâ Â.Â. Âàðèàíò ýêñòðàãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìà äëÿ ìîíîòîííûõ
âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014. — ¹ 2. — C. 125–131.
32. Ñåìåíîâ Â.Â. Ñèëüíî ñõîäÿùèéñÿ ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû îïåðàòîðíûõ âêëþ÷å-
íèé ñ ìîíîòîííûìè îïåðàòîðàìè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2014. — ¹ 3.
— Ñ. 22–32.
33. Ñåìåíîâ Â.Â. Ãèáðèäíûå ìåòîäû ðàñùåïëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû îïåðàòîðíûõ âêëþ÷åíèé ñ ìî-
íîòîííûìè îïåðàòîðàìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014. — ¹ 5. — C. 104–112.
34. Mali tsky Yu.V. , Semenov V.V. A hybrid method without extrapolation step for solving
variational inequality problems // Journal of Global Optimization. — 2015. — 61, Iss. 1. —
P. 193–202.
35. Âàñèí Â.Â. , Åðåìèí È.È. Îïåðàòîðû è èòåðàöèîííûå ïðîöåññû ôåéåðîâñêîãî òèïà. (Òåî-
ðèÿ è ïðèëîæåíèÿ). — Ìîñêâà; Èæåâñê: Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà, 2005. — 200 c.
36. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive
mappings // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — 73. — P. 591–597.
37. Nakajo K. , Takahashi W. Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and
nonexpansive semigroups // J. Math. Anal. Appl. — 2003. — 279. — P. 372–379.
Ïîñòóïèëà 06.02.2015
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 5
|