Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм

Роботу присвячено розробленню методу, алгоритму та програми для розрахунку сейсмічних хвиль на вільній поверхні вертикально-неоднорідного півпростору, збурених локальним джерелом. Для цього використано отримані раніше співвідношення для скалярних потенціалів прямих P-, SV- та SH-хвиль від сили у фор...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Геоінформатика
Date:	2015
Main Author:	Пак, Р.М.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України 2015
Subjects:	Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп’ютерні технології дослідження ЗемліІ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125676
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм / Р.М. Пак // Геоінформатика. — 2015. — № 4. — С. 35-42. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-125676
record_format	dspace
spelling	Пак, Р.М. 2017-11-01T10:44:50Z 2017-11-01T10:44:50Z 2015 Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм / Р.М. Пак // Геоінформатика. — 2015. — № 4. — С. 35-42. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1684-2189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125676 550.344 Роботу присвячено розробленню методу, алгоритму та програми для розрахунку сейсмічних хвиль на вільній поверхні вертикально-неоднорідного півпростору, збурених локальним джерелом. Для цього використано отримані раніше співвідношення для скалярних потенціалів прямих P-, SV- та SH-хвиль від сили у формі інтегралів Бесселя—Мелліна. Це дало змогу вивести модифікованим матричним методом Томсона—Хаскела формули для повного хвильового поля у вертикально-неоднорідному ізотропному пружному півпросторі, збуреного залежною від часу довільно орієнтованою силою. Побудовано точні вирази для тривимірного вектора переміщення на вільній поверхні цього середовища. На основі розробленої методики розв’язування прямої задачі побудовано алгоритм і створено комп’ютерну програму, призначену для розрахунку трикомпонентних синтетичних сейсмограм у вертикально-неоднорідних ізотропних середовищах, в яких діють джерела у вигляді сили. З метою перевірки ефективності і стійкості алгоритму на тестових прикладах розраховано повні синтетичні сейсмограми і велограми, на яких отримано вступи об’ємних і поверхневих хвиль. Статья посвящена разработке метода, алгоритма и программы для расчета сейсмических волн на свободной поверхности вертикально-неоднородного полупространства, возмущенных локальными источниками. Были использованы полученные ранее соотношения для скалярных потенциалов прямых Р-, SV- и SH-волн и силы в форме интегралов Бесселя-Меллина. Это позволило вывести, применив модифицированный матричный метод Томсона-Хаскелла, формулы для полного волнового поля в вертикально-неоднородном изотропном упругом полупространстве, возбужденном зависимой от времени произвольно ориентированной силой. Построены точные выражения для трехмерного вектора перемещения на свободной поверхности этой среды. На основе разработанной методики решения прямой задачи создан алгоритм и написана компьютерная программа, предназначенная для расчета трехкомпонентных синтетических сейсмограмм в вертикально-неоднородных изотропных средах, в которых действуют источники в виде силы. С целью проверки эффективности и устойчивости алгоритма на тестовых примерах рассчитаны полные синтетические сейсмограммы и велограммы, на которых получены вступления объемных и поверхностных волн. Purpose. The aim of the article is to develop methods calculate seismic waves perturbed by local sources in a vertically inhomogeneous medium. For this purpose the following tasks are set: to implement mathematical modeling process of disturbance and propagation of seismic field in a horizontal layered isotropic elastic medium; to construct an algorithm and a program for numerical calculation of synthetic seismograms; to conduct computational experiments for verification. Design/methodology/approach. The suggested methodology is based on the usage of Bessel-Mellin integrals, Thomson- Haskell matrix method and its modifications. Findings. We developed analytical approach to modeling of waves in vertically inhomogeneous isotropic elastic environments. It permits to analyze the influence of changing environmental parameters and sources in the form of concentrated arbitrarily directed forces on synthetic seismograms. We created an algorithm and a program to calculate synthetic seismograms at a free surface medium. Practical value/implications. The methodology presented here enables wave processes occurring in layered medium to be conducted both analytically and numerically. The calculation of synthetic seismograms and allocation of various types of waves in them enable a wave pattern recorded during seismic observations to be analyzed and accurately interpreted. uk Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України Геоінформатика Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп’ютерні технології дослідження ЗемліІ Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм Моделирование волнового поля, возмущенного локальными источниками в вертикально-неодногодном полупространстве, и расчет синтетических сейсмограмм Modeling of a wave field perturbed by local sources in vertically inhomogeneous half-space and calculation of synthetic seismograms Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм
spellingShingle	Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм Пак, Р.М. Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп’ютерні технології дослідження ЗемліІ
title_short	Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм
title_full	Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм
title_fullStr	Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм
title_full_unstemmed	Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм
title_sort	моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм
author	Пак, Р.М.
author_facet	Пак, Р.М.
topic	Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп’ютерні технології дослідження ЗемліІ
topic_facet	Геолого-геофізичні та математичні методи і сучасні комп’ютерні технології дослідження ЗемліІ
publishDate	2015
language	Ukrainian
container_title	Геоінформатика
publisher	Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
format	Article
title_alt	Моделирование волнового поля, возмущенного локальными источниками в вертикально-неодногодном полупространстве, и расчет синтетических сейсмограмм Modeling of a wave field perturbed by local sources in vertically inhomogeneous half-space and calculation of synthetic seismograms
description	Роботу присвячено розробленню методу, алгоритму та програми для розрахунку сейсмічних хвиль на вільній поверхні вертикально-неоднорідного півпростору, збурених локальним джерелом. Для цього використано отримані раніше співвідношення для скалярних потенціалів прямих P-, SV- та SH-хвиль від сили у формі інтегралів Бесселя—Мелліна. Це дало змогу вивести модифікованим матричним методом Томсона—Хаскела формули для повного хвильового поля у вертикально-неоднорідному ізотропному пружному півпросторі, збуреного залежною від часу довільно орієнтованою силою. Побудовано точні вирази для тривимірного вектора переміщення на вільній поверхні цього середовища. На основі розробленої методики розв’язування прямої задачі побудовано алгоритм і створено комп’ютерну програму, призначену для розрахунку трикомпонентних синтетичних сейсмограм у вертикально-неоднорідних ізотропних середовищах, в яких діють джерела у вигляді сили. З метою перевірки ефективності і стійкості алгоритму на тестових прикладах розраховано повні синтетичні сейсмограми і велограми, на яких отримано вступи об’ємних і поверхневих хвиль. Статья посвящена разработке метода, алгоритма и программы для расчета сейсмических волн на свободной поверхности вертикально-неоднородного полупространства, возмущенных локальными источниками. Были использованы полученные ранее соотношения для скалярных потенциалов прямых Р-, SV- и SH-волн и силы в форме интегралов Бесселя-Меллина. Это позволило вывести, применив модифицированный матричный метод Томсона-Хаскелла, формулы для полного волнового поля в вертикально-неоднородном изотропном упругом полупространстве, возбужденном зависимой от времени произвольно ориентированной силой. Построены точные выражения для трехмерного вектора перемещения на свободной поверхности этой среды. На основе разработанной методики решения прямой задачи создан алгоритм и написана компьютерная программа, предназначенная для расчета трехкомпонентных синтетических сейсмограмм в вертикально-неоднородных изотропных средах, в которых действуют источники в виде силы. С целью проверки эффективности и устойчивости алгоритма на тестовых примерах рассчитаны полные синтетические сейсмограммы и велограммы, на которых получены вступления объемных и поверхностных волн. Purpose. The aim of the article is to develop methods calculate seismic waves perturbed by local sources in a vertically inhomogeneous medium. For this purpose the following tasks are set: to implement mathematical modeling process of disturbance and propagation of seismic field in a horizontal layered isotropic elastic medium; to construct an algorithm and a program for numerical calculation of synthetic seismograms; to conduct computational experiments for verification. Design/methodology/approach. The suggested methodology is based on the usage of Bessel-Mellin integrals, Thomson- Haskell matrix method and its modifications. Findings. We developed analytical approach to modeling of waves in vertically inhomogeneous isotropic elastic environments. It permits to analyze the influence of changing environmental parameters and sources in the form of concentrated arbitrarily directed forces on synthetic seismograms. We created an algorithm and a program to calculate synthetic seismograms at a free surface medium. Practical value/implications. The methodology presented here enables wave processes occurring in layered medium to be conducted both analytically and numerically. The calculation of synthetic seismograms and allocation of various types of waves in them enable a wave pattern recorded during seismic observations to be analyzed and accurately interpreted.
issn	1684-2189
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125676
citation_txt	Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм / Р.М. Пак // Геоінформатика. — 2015. — № 4. — С. 35-42. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT pakrm modelûvannâhvilʹovogopolâzburenogolokalʹnimidžerelamiuvertikalʹnoneodnorídnomupívprostorítarozrahunoksintetičnihseismogram AT pakrm modelirovanievolnovogopolâvozmuŝennogolokalʹnymiistočnikamivvertikalʹnoneodnogodnompoluprostranstveirasčetsintetičeskihseismogramm AT pakrm modelingofawavefieldperturbedbylocalsourcesinverticallyinhomogeneoushalfspaceandcalculationofsyntheticseismograms
first_indexed	2025-11-25T15:50:15Z
last_indexed	2025-11-25T15:50:15Z
_version_	1850517176055758848
fulltext	35ISSN 1684-2189 ÃÅÎ²ÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2015, ¹ 4 (56) © Ð.Ì. Ïàê Âñòóï. Ìåòîäè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ òà ðîçðàõóíêó ñåéñì³÷íèõ õâèëüîâèõ ïîë³â º åôåêòèâíèì ³íñòðóìåíòîì, ÿêèé øèðîêî âèêî- ðèñòîâóþòü ï³ä ÷àñ âèâ÷åííÿ áóäîâè, ñêëàäó ³ ñòàíó çåìíèõ íàäð, à òàêîæ ïðîöåñ³â, ùî òàì â³äáóâàþòüñÿ. Â³äîìî, ùî äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïîáóäîâè õâèëüîâîãî ïîëÿ ó âåðòèêàëüíî-íåîäíîð³äíèõ ñå- ðåäîâèùàõ âåðòèêàëüíó íåîäíîð³äí³ñòü, ÿê ïðàâè- ëî, àïðîêñèìóþòü âåëèêîþ ê³ëüê³ñòþ îäíîð³äíèõ ïëîñêèõ ãîðèçîíòàëüíèõ øàð³â (ãîðèçîíòàëüíî- øàðóâàòå ñåðåäîâèùå). Öå äàº çìîãó âèêîðèñòî- âóâàòè çîáðàæåííÿ ïåðåì³ùåíü ó ÷àñòîòí³é îá- ëàñò³ ó âèãëÿä³ ðîçêëàäó çà ãîðèçîíòàëüíèìè õâèëüîâèìè ôóíêö³ÿìè, ÿêå âêëþ÷àº ³íòåãðàëè çà õâèëüîâèì ÷èñëîì (ãîðèçîíòàëüíîþ ïîâ³ëüí³ñòþ). Òàêå çîáðàæåííÿ º íàñë³äêîì ðîçä³ëåííÿ çì³ííèõ ó öèë³íäðè÷í³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò. Àíàëîã³÷íå çîáðàæåííÿ º ïðàâèëüíèì ³ äëÿ íàïðóæåííÿ íà ãîðèçîíòàëüí³é ïëîùèí³. Íåâ³äîì³ ôóíêö³¿ â³ä ãëèáèíè, ùî âõîäÿòü ó çîáðàæåííÿ, çàëåæàòü â³ä ÷àñòîòè ³ õâèëüîâîãî ÷èñëà (ãîðèçîíòàëüíî¿ ïî- â³ëüíîñò³) ÿê ïàðàìåòð³â. Ç âêàçàíèõ ôóíêö³é áó- äóþòü âåêòîðè ïåðåì³ùåííÿ–íàïðóæåííÿ; ïåðøà ïîëîâèíà êîìïîíåíò öüîãî âåêòîðà – âåêòîð ïå- ðåì³ùåííÿ – ñòîñóºòüñÿ çîáðàæåííÿ äëÿ ïåðå- ì³ùåíü, äðóãà ïîëîâèíà – âåêòîð íàïðóæåííÿ – ñòîñóºòüñÿ çîáðàæåííÿ äëÿ íàïðóæåíü. Êîìïî- íåíòè âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ–íàïðóæåííÿ òàêîæ íàçèâàþòü âåðòèêàëüíèìè ôóíêö³ÿìè. Âîíè çà- äîâîëüíÿþòü ñèñòåì³ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó ³ âèçíà÷àþòüñÿ ç óðàõó- âàííÿì ââåäåíèõ ãðàíè÷íèõ óìîâ [1]. Òðàäèö³éíèì ìåòîäîì ðîçâ’ÿçêó çàçíà÷åíî¿ ñèñòåìè º ìàòðè÷íèé (ìåòîä Òîìñîíà–Õàñêåëà). Çà éîãî äîïîìîãîþ ìîæíà áóäóâàòè ³íòåðôå- ðåíö³éí³ òî÷í³ ðîçâ’ÿçêè äëÿ ãîðèçîíòàëüíî-øà- ðóâàòèõ ñåðåäîâèù, óíèêàþ÷è ñêëàäíî¿ ïðîöåäó- ðè çàäîâîëåííÿ âñ³ì ãðàíè÷íèì óìîâàì. Íà îñíîâ³ àëãîðèòìó Òîìñîíà–Õàñêåëà ðîçâè- íóòî ï³äõîäè äî ïîáóäîâè õâèëüîâèõ ïîë³â äëÿ ïî- ë³ïøåííÿ îá÷èñëþâàëüíî¿ åôåêòèâíîñò³ òà ÷èñëîâî¿ ñòàá³ëüíîñò³ àëãîðèòìó. Çîêðåìà, äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîáëåìè îá÷èñëåííÿ ì³íîð³â ïîãàíî îáóìîâëåíèõ ìàòðèöü çàïðîïîíîâàíî ïåðåõ³ä â³ä ìàòðèöü 4-ãî äî ìàòðèöü 5-ãî ïîðÿäêó [3], âèêîðèñòàííÿ ì³íîð³â çàì³ñòü ïðîïàãàòîð³â [4, 11, 13]. Ó ñòàòò³ [8] îòðè- ìàíî ðåêóðñèâí³ ôîðìóëè ðîçðàõóíêó ì³íîð³â ç óðà- õóâàííÿì ð³çíî¿ ïîâåä³íêè åêñïîíåíò, ÿê³ òóäè âõî- äÿòü, çàëåæíî â³ä ãîðèçîíòàëüíî¿ ïîâ³ëüíîñò³. Îäíàê ö³ ï³äõîäè íå ðîçâ’ÿçàëè ïîâíîþ ì³ðîþ ïðîáëåìè âòðàòè òî÷íîñò³ ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ ñóìè åêñïîíåíò ç ð³çíèìè çíàêàìè ó ïîêàçíèêó. Ó ïðàö³ [12] çàïðî- ïîíîâàíî ðåêóðñèâíèé àëãîðèòì äëÿ îá÷èñëåííÿ ìàòðèöü â³äáèòòÿ ³ ìàòðèöü çàëîìëåííÿ íà êîæí³é ìåæ³, ðîçâèíóòèé íà îñíîâ³ ðåçóëüòàò³â ðàí³øèõ ðîá³ò. Âàæëèâ³ñòü öüîãî àëãîðèòìó ïîëÿãàº â éîãî ÷èñåëüí³é ñò³éêîñò³, ùî äàº çìîãó âåñòè ðîçðàõóíêè äëÿ áóäü-ÿêèõ ÷àñòîò ³ ãîðèçîíòàëüíèõ ïîâ³ëüíîñ- òåé (õâèëüîâèõ ÷èñåë), íà â³äì³íó â³ä êëàñè÷íîãî ìåòîäó Òîìñîíà–Õàñêåëà òà ìîäèô³êàö³é, â ÿêèõ âèíèêàº ïåðåïîâíåííÿ ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ ïîêàçíè- ÓÄÊ 550.344 ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÕÂÈËÜÎÂÎÃÎ ÏÎËß, ÇÁÓÐÅÍÎÃÎ ËÎÊÀËÜÍÈÌÈ ÄÆÅÐÅËÀÌÈ Ó ÂÅÐÒÈÊÀËÜÍÎ-ÍÅÎÄÍÎÐ²ÄÍÎÌÓ Ï²ÂÏÐÎÑÒÎÐ², ÒÀ ÐÎÇÐÀÕÓÍÎÊ ÑÈÍÒÅÒÈ×ÍÈÕ ÑÅÉÑÌÎÃÐÀÌ Ð.Ì. Ïàê Àêàäåì³ÿ ñóõîïóòíèõ â³éñüê ³ìåí³ ãåòüìàíà Ïåòðà Ñàãàéäà÷íîãî, âóë. Ãåðî¿â Ìàéäàíó, 32, Ëüâ³â 79012, Óêðà¿íà, e-mail: rpak@email.ua Ðîáîòó ïðèñâÿ÷åíî ðîçðîáëåííþ ìåòîäó, àëãîðèòìó òà ïðîãðàìè äëÿ ðîçðàõóíêó ñåéñì³÷íèõ õâèëü íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ âåðòèêàëüíî-íåîäíîð³äíîãî ï³âïðîñòîðó, çáóðåíèõ ëîêàëüíèì äæåðåëîì. Äëÿ öüîãî âèêîðèñòàíî îò- ðèìàí³ ðàí³øå ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ ñêàëÿðíèõ ïîòåíö³àë³â ïðÿìèõ P-, SV- òà SH-õâèëü â³ä ñèëè ó ôîðì³ ³íòåãðàë³â Áåññåëÿ–Ìåëë³íà. Öå äàëî çìîãó âèâåñòè ìîäèô³êîâàíèì ìàòðè÷íèì ìåòîäîì Òîìñîíà–Õàñêåëà ôîðìóëè äëÿ ïîâíîãî õâèëüîâîãî ïîëÿ ó âåðòèêàëüíî-íåîäíîð³äíîìó ³çîòðîïíîìó ïðóæíîìó ï³âïðîñòîð³, çáóðåíîãî çàëåæíîþ â³ä ÷àñó äîâ³ëüíî îð³ºíòîâàíîþ ñèëîþ. Ïîáóäîâàíî òî÷í³ âèðàçè äëÿ òðèâèì³ðíîãî âåêòî- ðà ïåðåì³ùåííÿ íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ öüîãî ñåðåäîâèùà. Íà îñíîâ³ ðîçðîáëåíî¿ ìåòîäèêè ðîçâ’ÿçóâàííÿ ïðÿìî¿ çàäà÷³ ïîáóäîâàíî àëãîðèòì ³ ñòâîðåíî êîìï’þòåðíó ïðîãðàìó, ïðèçíà÷åíó äëÿ ðîçðàõóíêó òðèêîìïîíåíòíèõ ñèíòåòè÷íèõ ñåéñìîãðàì ó âåðòèêàëüíî-íåîäíîð³äíèõ ³çîòðîïíèõ ñåðåäîâèùàõ, â ÿêèõ ä³þòü äæåðåëà ó âèãëÿä³ ñèëè. Ç ìåòîþ ïåðåâ³ðêè åôåêòèâíîñò³ ³ ñò³éêîñò³ àëãîðèòìó íà òåñòîâèõ ïðèêëàäàõ ðîçðàõîâàíî ïîâí³ ñèíòå- òè÷í³ ñåéñìîãðàìè ³ âåëîãðàìè, íà ÿêèõ îòðèìàíî âñòóïè îá’ºìíèõ ³ ïîâåðõíåâèõ õâèëü. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ, ñåéñì³÷íå õâèëüîâå ïîëå, ìàòðè÷íèé ìåòîä, âåðòèêàëüíî-íåîäíî- ð³äíå ñåðåäîâèùå, ñèíòåòè÷íà ñåéñìîãðàìà. 36 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2015, ¹ 4 (56) © Ð.Ì. Ïàê êîâèõ ôóíêö³é äëÿ âèñîêèõ ÷àñòîò ³ ïîâ³ëüíîñòåé (õâèëüîâèõ ÷èñåë). Ðåêóðñèâíèé àëãîðèòì º, çîêðå- ìà, ñêëàäîâîþ ÷àñòèíîþ ìåòîäó â³äáèòòÿ (reflectivity method) [12, 14] ³ ìåòîäó äèñêðåòíîãî õâèëüîâîãî ÷èñëà (discrete wavenumber method) [9]. Ó çâ’ÿçêó ç âèêëàäåíèì çàëèøàºòüñÿ ïîòðåáà ó ðîçðîáëåíí³ ìåòîä³â ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàí- íÿ, ÿê³ á äàëè çìîãó øâèäêî ³ òî÷íî ðîçðàõîâóâà- òè âñ³ êîìïîíåíòè 3D õâèëüîâèõ ïîë³â. Îäíîìó ç òàêèõ íàïðÿì³â ïðèñâÿ÷åíî öþ ñòàòòþ. Â í³é çà- ïðîïîíîâàíî ìåòîäèêó ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþ- âàííÿ õâèëüîâîãî ïîëÿ íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ ãîðè- çîíòàëüíî-øàðóâàòîãî ï³âïðîñòîðó â³ä òî÷êîâîãî äæåðåëà ó âèãëÿä³ äîâ³ëüíî îð³ºíòîâàíî¿ ñèëè. Íàâåäåíà ìåòîäèêà º ðîçâèòêîì ï³äõîäó, îïèñà- íîãî â ìîíîãðàô³¿ [2] ³ óçàãàëüíåíîãî àâòîðîì [5] äëÿ ³íøèõ òèï³â äæåðåëà õâèëü (äîâ³ëüíî ñïðÿ- ìîâàíîþ ñèëîþ àáî ïîäâ³éíîþ ïàðîþ ñèë) òà éîãî ðîçòàøóâàííÿ ó äîâ³ëüíîìó øàð³ ãîðèçîíòàëüíî- øàðóâàòîãî ñåðåäîâèùà. Òåîð³ÿ. Ðîçãëÿíåìî â öèë³íäðè÷í³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò (r, ϕ, z) ãîðèçîíòàëüíî-øàðóâàòèé ï³âïðîñò³ð, ÿêèé ñêëàäàºòüñÿ ³ç (n + 1)-ãî îäíî- ð³äíèõ, ³çîòðîïíèõ, ³äåàëüíî ïðóæíèõ øàð³â ç ïëîñêèìè ìåæàìè ïîä³ëó. Ïî÷àòîê ñèñòåìè êîîð- äèíàò ðîçì³ùåíî íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ öüîãî ñåðå- äîâèùà, à â³ñü Îz ñïðÿìîâàíî âíèç ó íàïðÿìêó øàð³â. Ïðèïóñòèìî, ùî íà ìåæàõ øàð³â, ÿê³ õà- ðàêòåðèçóþòüñÿ òîâùèíîþ, ãóñòèíîþ, øâèäêîñ- òÿìè ïîøèðåííÿ ïîçäîâæí³õ ³ ïîïåðå÷íèõ õâèëü hi, ρi, vPi, vSi â³äïîâ³äíî (i = 1, 2, ... , n + 1), âèêîíó- þòüñÿ óìîâè æîðñòêîãî êîíòàêòó. Äëÿ (n + 1)-ãî øàðó ââàæàºìî, ùî hn + 1 = +∞. Íåõàé ó äîâ³ëüíî- ìó øàð³ ó ìîìåíò ÷àñó t = 0 ïî÷èíàº ä³ÿòè òî÷êî- âå äæåðåëî ó âèãëÿä³ çîñåðåäæåíî¿ ñèëè f(t) = (fr(t), fϕ(t), fz(t)) T. Öåé øàð ðîçä³ëèìî óÿâíîþ ãîðèçîíòàëüíîþ ìåæåþ, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷- êó ïðèêëàäàííÿ ñèëè. Òàêèì ÷èíîì, óòâîðèìî äâà øàðè, âåðõí³é ç ÿêèõ ìàòèìå íîìåð s, à íèæí³é – s + 1. Òîä³ äæåðåëî çíàõîäèòèìåòüñÿ íà s-é ìåæ³ â òî÷ö³ (0, 0, zs). Ïîøèðåííÿ ïðóæíèõ õâèëü ó êîæíîìó øàð³ îïèøåìî äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì ( 2 ) ( ) ( )i i i i i i iρ = λ + µ ∇ ∇⋅ − µ ∇× ∇×u u u&& , (1) ó ÿêîìó ui = ui(r, t) – âåêòîð ïåðåì³ùåííÿ; ρi – ãóñòèíà; λi òà µi – ïàðàìåòðè Ëàìå äëÿ ³-ãî øàðó. Ïî÷àòêîâ³ òà ãðàíè÷í³ óìîâè çàäàìî ó âèãëÿä³ ( ),0 0i =u r& , ( ),0 0i =u r äëÿ ( )0, 0, sz≠r ; ( ) ( )1, ,i it t+=u r u r , 1( , ) ( , )zli zl it t+τ = τr r äëÿ z = Hi òà (0,0, )sz≠r , (i = 1, 2, ... , n), 0zlτ = äëÿ z = 0, (2) ( ) ( ) [ ( , )] 2 l zl f t r t r δ τ = − π r äëÿ (0,0, )sz=r . Ïðèïóñòèìî çàäàíîþ òàêîæ óìîâó âèïðîì³- íþâàííÿ: õâèë³ ç ï³âïðîñòîðó íå ïîâåðòàþòüñÿ. Ñèìâîëîì [ ( , )]zl tτ r ïîçíà÷åíî ñòðèáîê ( 0) ( 0)zl s zl sz zτ + − τ − ôóíêö³¿ ( , )zl tτ r äëÿ z = zs, l = {r, ϕ, z}. Ó ôîðìóëàõ (2) ë³òåðîþ “τ” ç ³íäåêñà- ìè ïîçíà÷åíî åëåìåíòè òåíçîðà íàïðóæåíü äëÿ ïåâíîãî øàðó; Hi – â³äñòàíü â³ä â³ëüíî¿ ïîâåðõí³ äî íèæíüî¿ ìåæ³ ³-ãî øàðó. Äëÿ ð³âíÿííÿ (1) ³ñíóþòü ïîòåíö³àëè ïîëÿ ïåðåì³ùåíü ϕi, ψi, χi [14], ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç êîìïî- íåíòàìè âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ ³ åëåìåíòàìè òåí- çîðà íàïðóæåíü ôîðìóëàìè ( )i i i i= ∇ ⋅ϕ + ∇ × ∇× Ψ + ∇ × χu k k , , , , ,2 1 12 2rzi i i rz i zzr i z i ttr Sir vϕ   τ = µ ϕ + Ψ + χ − Ψ    , , , , ,2 12 2i z i i z i zz i rz i tt Si r r vϕ ϕ ϕ ϕ  µ τ = ϕ + Ψ − χ − Ψ    , (3) , , , ,2 2 12i zzi i tt i i zz i zzz i ttz pi Siv v  λ τ = ϕ + µ ϕ + Ψ − Ψ    . Ö³ ïîòåíö³àëè çàäîâîëüíÿþòü õâèëüîâèì ð³âíÿííÿì 2 i Pi ivϕ = ∆ϕ&& , 2 i S i ivΨ = ∆Ψ&& , 2 i S i ivχ = ∆χ&& . (4) Ââåäåìî ïåðåòâîðåííÿ 0 1 ( ) exp( ) 4 2 j j dkY Y Y kt d j σ+ ∞∞ σ− ∞ = Ξ = − η η πρ π∫ ∫% % , 1j = − (5) ³ çàïèøåìî ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ çîáðàæåíü ïîòåí- ö³àë³â ïðÿìèõ (ïåðâèííèõ) õâèëü P, SV òà SH â³äïîâ³äíî, çáóðåíèõ çàäàíèì äæåðåëîì ó øàðàõ s òà s + 1 ( np sϕ% , np sΨ% , np sχ% òà 1 np s+ϕ% , 1 np s+Ψ% , 1 np s+χ% ). Äëÿ öüîãî ñêîðèñòàºìîñÿ ôîðìóëàìè, îòðèìàíèìè â ñòàòò³ [7] ó ôîðì³ ïîäâ³éíèõ ³íòåãðàë³â Áåññåëÿ– Ìåëë³íà. Îäåðæèìî: 1( )(1) 1( ) ( ) e s sk z Hnp s r skJ kr F k X −α −+ϕ = η + ) % 1( )(2) 0( ) ( ) e ,s sk z H z skJ kr F k X −α −++ η ) 1 ( )(1) 1 1 1( ) ( ) e s sk H znp s r skJ kr F k X +α −− + +ϕ = η + ) % 1( )(2) 0 1( ) ( ) e ,s sk H z z skJ kr F k X +α −− ++ η ) 1( )(1) 1( ) ( ) e s sk z Hnp s r sJ kr F k Y −β −+Ψ = η + )% 1( )(2) 0 ( ) ( ) e ,s sk z H z sJ kr F k Y −β −++ η ) (6) 1 ( )(1) 1 1 1( ) ( ) e s sk H znp s r sJ kr F k Y +β −− + +Ψ = η + )% 1 ( )(2) 0 1( ) ( ) e ,s sk H z z sJ kr F k Y +β −− ++ η ) 1( ) 1( ) ( ) e ,s sk z Hnp s skJ kr F k Z −β −+ ϕχ = η ) % 1 ( ) 1 1 1( ) ( ) e .s sk H znp s skJ kr F k Z +β −− + ϕ +χ = η ) % 37ISSN 1684-2189 ÃÅÎ²ÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2015, ¹ 4 (56) © Ð.Ì. Ïàê Òóò (1) 2 e s sk h s s X k − α + = α η ) , (2) 2 e s sk h sX k − α + = − η ) , (1) 1 2 1 1 s s X k − + + = α η ) , (2) 1 2 1 sX k − + = η ) , (1) 2 e s sk h sY k − β + = − η ) , (2) 2 e s sk h s s Y k − β + = β η ) , (1) 1 2 1 sY k − + = η ) , (2) 1 2 1 1 s s Y k − + + = β η ) , (7) 2 2 ( 1) e s sk h s s s Z k − β + β − = β η ) , 12 1 1 2 1 ( 1)e s sk h s s s Z k +− β − + + + β − = β η ) , 2 21 /s S svα = + η , 2 21 /s P svβ = + η , s sH z= , 0 ( )J kr , 1( )J k r – ôóíêö³¿ Áåññåëÿ ïîðÿäêó 0 ³ 1; ( )rF kη , ( )F kϕ η , ( )zF k η – çîáðàæåííÿ ôóíêö³é ( )rf t , ( )f tϕ , ( )zf t ³íòåãðàëîì Ìåëë³íà çà çì³ííîþ s k= η . Ç ìåòîþ ñêîðî÷åííÿ âèðàç³â çàïèñóâàòè- ìåìî ö³ ôóíêö³¿ íàäàë³ áåç àðãóìåíò³â. Â óìîâàõ íåîäíîð³äíîãî ï³âïðîñòîðó åíåðã³ÿ ïåðâèííèõ õâèëü ïåðåðîçïîä³ëÿòèìåòüñÿ. Òîìó ðîçâ’ÿçêè õâèëüîâèõ ð³âíÿíü (4) äëÿ êîæíîãî øàðó ñåðåäîâèùà øóêàòèìåìî ó ôîðì³ ðîçâ’ÿçê³â (6) äëÿ îäíîð³äíîãî ïðîñòîðó: (1) (2) 1 0i i r i zkJ X F kJ X Fϕ = +% , (1) (2) 1 0i i r i zJ Y F J Y FΨ = +% , (8) 1i ikJ Z Fϕχ =% , äå ( ) ( )1 1(1) (1) (1)e ei i i ik z H k H z i i iX X X− −− α − α+ −= + , ( ) ( )1 1(2) (2) (2)e ei i i ik z H k H z i i iX X X− −− α − α+ −= + , ( ) ( )1 1(1) (1) (1)e ei i i ik z H k H z i i iY Y Y− −− β − β+ −= + , ( ) ( )1 1(2) (2) (2)e ei i i ik z H k H z i i iY Y Y− −− β − β+ −= + , ( ) ( )1 1e ei i i ik z H k H z i i iZ Z Z− −− β − β+ −= + . Ö³ ôîðìóëè ì³ñòÿòü âåëè÷èíè (àìïë³òóäè ïî- òåíö³àë³â) (1) iX + , (2) iX + , (1) iY + , (2) iY + , iZ + , ÿê³ îïèñó- þòü õâèë³ â ³-ìó øàð³, ùî ïîøèðþþòüñÿ âãîðó (ó ïðîòèëåæíîìó äî îñ³ Îz íàïðÿìêó), òà (1) iX − , (2) iX − , (1) iY − , (2) iY − , iZ − , ÿê³ îïèñóþòü õâèë³, ùî ïîøèðþþòüñÿ âíèç (ó íàïðÿìêó îñ³ Îz). Ö³ àìï- ë³òóäè ïîòåíö³àë³â º ôóíêö³ÿìè çì³ííèõ k ³ η. Ï³äñòàâèìî ñï³ââ³äíîøåííÿ (8) ó ïåðåòâîðåí- íÿ (5), ï³ñëÿ ÷îãî îòðèìàí³ ïîòåíö³àëè ϕi, ψi, χi ï³äñòàâèìî ó ôîðìóëè (3) ³ ä³ñòàíåìî âèðàçè äëÿ êîìïîíåíò³â âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ òà åëåìåíò³â òåíçîðà íàïðóæåíü ó êîæíîìó øàð³: (1) (2) (2) 0 1 1 1 ( )r i ri r ri z ri i ru kJ U F kJ U F J U U F r ϕ= − − +% , (1) 0 1 1 ( )i i ri iu kJ U F J U U F rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − + +% , (1) (2) 1 0z i zi r zi zu kJ U F kJ U F= +% , 2 (1) 2 (2) (1) 0 1 1 1 ( )rzi rzi r rzi z rzi z i rk J T F k J T F kJ T T F r ϕτ = − − +% , 2 (1) 0 1 1 ( )z i z i rzi z ik J T F kJ T T F rϕ ϕ ϕ ϕ ϕτ = − + +% , 2 (1) 2 (2) 1 0zzi zzi r zzi zk J T F k J T Fτ = +% . Âèðàçè äëÿ ôóíêö³é (1) riU , (2) riU , iUϕ , (1) ziU , (2) ziU , (1) rziT , (2) rziT , z iT ϕ , (1) zziT , (2) zziT çàïèøåìî ó âèãëÿä³ ìàò- ðè÷íèõ ð³âíÿíü (1) (1)( )i i i i iH =W A L Z , (2) (2)( )i i i i iH =W A L Z , * * * ( )i i i i iH =W A L Z , (9) (1) (1) 1 1 1( )i i i iH+ + +=W A Z , (2) (2) 1 1 1( )i i i iH+ + +=W A Z , * * 1 1 1( )i i i iH+ + +=W A Z , (10) äå ( )T(1) (1) (1) (1) (1), , ,i ri zi rzi zziU U T T=W , ( )T(2) (2) (2) (2) (2), , ,i ri zi rzi zziU U T T=W , ( )T* ,i i z iU Tϕ ϕ=W , ( )T(1) (1) (1) (1) (1), , ,i i i i iX X Y Y+ − + −=Z , ( )T(2) (2) (2) (2) (2), , ,i i i i iX X Y Y+ − + −=Z , ( )T* Z , Zi i i + −=Z , * 1 1 i i i i i   =  µ β −µ β  A , * e 0 0 e i i i i k h i k h β − β   =     L . Ìàòðèö³ Ai, Li íàâåäåíî ó ìîíîãðàô³¿ [2]. Ñï³ââ³äíîøåííÿ (7) òàêîæ çàïèøåìî ó âèãëÿä³ âåêòîð³â: T (1) 2 1 e ,0, e ,0 s s s s k h k h s sk − α − β  = − αη   Z ) , T (1) 1 2 1 1 10, ,0,1s sk+ +   =  αη   Z ) , T (2) 2 1 ee ,0, ,0 s s s s k h k h s sk − β − α  = − βη   Z ) , T (2) 1 2 1 1 10,1,0,s sk+ +   =  βη   Z ) , T2 * 2 11 e ,0s sk hs s sk − β β − =  βη   Z ) , T2 * 1 1 2 1 11 0, s s sk + + +  β − =  βη   Z ) . 38 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2015, ¹ 4 (56) © Ð.Ì. Ïàê Äëÿ ðîçãëÿäó ïðîöåñ³â â³äáèòòÿ ³ ïðîõîäæåí- íÿ íà ìåæàõ øàð³â âèêîðèñòîâóâàòèìåìî ìàòðè÷- íèé ìåòîä, çã³äíî ç ÿêèì âñòàíîâèìî âèðàçè äëÿ ìàòðèöü, ùî õàðàêòåðèçóþòü øàðè ³ ï³âïðîñò³ð. Äëÿ öüîãî êîæíîìó ñåðåäîâèùó ³ êîæí³é ìåæ³ ïîä³ëó ñòàâèìî ó â³äïîâ³äí³ñòü (íà ð³âí³ ï³ä³íòåã- ðàëüíèõ ôóíêö³é ³íòåãðàë³â Ìåëë³íà) õàðàêòåðèñ- òè÷íó ìàòðèöþ, à âðàõóâàííÿ ïðîöåñó ïîøèðåííÿ õâèëü ïðîâîäèìî çà äîáóòêîì òàêèõ ìàòðèöü ó ïåâíîìó ïîðÿäêó. Öåé ï³äõ³ä, ùî â³äïîâ³äàº ìå- òîäó Òîìñîíà–Õàñêåëà, îïèñàíî ó ìîíîãðàô³¿ [2]. Ðîçãëÿíåìî ïåðø³ ð³âíîñò³ ç ôîðìóë (9) ³ (10). Ç óìîâè ³äåàëüíîñò³ êîíòàêòó ì³æ øàðàìè ( (1) (1) 1 ( ) ( )i i i iH H+ =W W ) îäåðæèìî (1) 1 (1) 1 1i i i i i − + +=Z A A L Z . (11) Ìàòðè÷í³ ð³âíÿííÿ (11) ï³ñëÿ ï³äñòàíîâîê çâî- äèìî äî âèãëÿäó (1) 1 1 1 (1) 1 (1) 1 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n n s s s s s s − − − + + + + + + + + += ≡Z A A L A A A L Z D Z… , (1) 1 1 1 (1) (1) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 s s s s s s − − − − − −= ≡Z A A L A A A L Z D Z… . Õâèëüîâå ïîëå â s-ìó ³ (s + 1)-ìó øàðàõ º ñó- ìîþ ïðÿìî¿ õâèë³ â³ä äæåðåëà ³ õâèëü, óòâîðåíèõ âçàºìîä³ºþ ïðÿìî¿ õâèë³ ³ç ñåðåäîâèùåì íàä äæå- ðåëîì òà ï³ä íèì. Òîìó ðîçä³ëèìî éîãî íà ïåð- âèíí³ õâèë³ (1) sZ ) , (1) 1s+Z ) ³ ðåøòó ³íòåðôåðåíö³éíîãî ïîëÿ (1) sZ , (1) 1s +Z : (1) (1) (1) 1 1 s s s+ =Z Z D Z ) , (1) 1 (1) 1 (1) 1 1 1 1 1 n n n s s s s + + + + + + += +Z D Z D Z ) . (12) Âèêîðèñòàâøè ôîðìóëó (11) ³ ïåðøó ç ôîð- ìóë (12), à òàêîæ óðàõóâàâøè, ùî 1 1 Is s − + =A A (I – îäèíè÷íà ìàòðèöÿ) ³ 1 1 (1) (1) 1(0) =W A Z , äðóãå ç ð³âíÿíü (12) çàïèøåìî ó âèãëÿä³ (1) 1 (1) (1) 1 1 1 (0)n n s + + += +Z D S DW , (13) äå ( )T(1) (1) (1) 1 0 0(0) , , 0, 0r zU U=W – âåêòîð-ñòîâïåöü ôóíêö³é-çîáðàæåíü ïåðåì³ùåíü ³ íàïðóæåíü íà â³ëüí³é ïîâåðõí³; ( )T(1) (1) (1) 1 1 10, ,0,n n nX Y− − + + +=Z (çã³äíî ç óìîâîþ âèïðîì³íþâàííÿ) T (1) (1) 2 1 1 1( ) , ,1,1 ;p s s s k   = = − α αη   S 1 1 1n n − +=D A C C… , 1 1 1 1 2 1 1 n s n n s s s + − + + + + +=D A C C A L… , 1 i i i i −=C A L A – ìàòðèöÿ øàðó. Ìàòðèö³ ( )ijd=D ³ 1 1 ( )n s s ijd+ + =D º õàðàêòåðèñ- òè÷íèìè ìàòðèöÿìè âñüîãî ñåðåäîâèùà ³ ñåðåäî- âèùà ï³ä äæåðåëîì â³äïîâ³äíî. Ç ìàòðè÷íîãî ð³âíÿííÿ (13) îòðèìàºìî (1) (1) (1) 12 2 32 1 0 σ σ r d d U − = ∆ , (1) (1) (1) 31 1 11 2 0 σ σ z d d U − = ∆ , (14) äå 32 11 31 12d d d d∆ = − ; (1) (1) 1 1 s p pd sσ = ; (1) (1) 2 3 s p pd sσ = , p = 1, 2, ... , 4. Çàïèøåìî ôîðìóëè (14) ó ôîðì³, ïðèäàòí³ø³é äëÿ îá÷èñëåíü. Äëÿ öüîãî â ÷èñåëüíèêàõ åëåìåí- òè ìàòðèö³ D âèðàçèìî ÷åðåç åëåìåíòè ìàòðèöü 1 1 n s + +D òà 1 sD , óâ³âøè îñòàííþ ç ð³âíîñò³ 1 1 1 n s s + +=D D D . Ìàòðèöÿ 1 1 1 1 s s s s − −=D L A C C… º õàðàêòåðèñòè÷íîþ ìàòðèöåþ ñåðåäîâèùà íàä äæåðåëîì. Òîä³ ÿêùî ì³íîð ∆ ìàòðèö³ D ³ ì³íîðè ìàòðèö³ äðóãîãî ïîðÿäêó ìàòðèö³ 1 1 n s + +D çàì³íèòè åëåìåíòàìè â³äïîâ³äíèõ ìàòðèöü 5-ãî ïîðÿäêó [4], òî îòðèìàºìî (1) (1) 0 12 rp p r g s U d = , (1) (1) 0 12 zp p z g s U d = , äå âèðàçè grp ³ gzp íàâåäåíî ó ñòàòò³ [4] (ôîðìóëè (20)). Ðîçãëÿíóâøè äðóã³ ð³âíîñò³ ç ôîðìóë (9) ³ (10) ³ ïðîâ³âøè àíàëîã³÷í³ ïåðåòâîðåííÿ, îòðèìàºìî (2) ( 2) 0 12 rp p r g s U d = , ( 2) ( 2) 0 12 zp p z g s U d = , äå (2) ps – åëåìåíòè âåêòîðà-ñòîâïöÿ T (2) 2 1 1 11,1, , s sk   = − β βη   S . Äëÿ îïèñó ïîøèðåííÿ õâèëü SH íà ï³äñòàâ³ òðåò³õ ð³âíîñòåé ç ôîðìóë (9) ³ (10) îòðèìàºìî ñï³ââ³äíîøåííÿ * 1* * * * 1 1 1 (0)n n s + + += +Z D S D W , (15) äå * 1 * 1 * * * * 1 1 2 1 1 n s n n s s s + − + + + + +=D A C C A L… ; * 1 * * 1 1n n − +=D A C C… ( * * * * 1 i i i i −=C A L A ); ( ) 2 T* 2 1 1, 1s sk β − = − β η S ; ( )T* 1 0 0(0) , zU Tϕ ϕ=W ; ( )T* 1 10,n nZ − + +=Z . Ç ìàòðè÷íîãî ð³âíÿííÿ (15) îòðèìàºìî * 1 * 1 0 * 11 s p pd s U d + ϕ = − ( )1, 2p = . ßêùî äæåðåëî çíàõîäèòüñÿ íà ãëèáèí³ 1 n s i i z h = > ∑ (âñåðåäèí³ ï³âïðîñòîðó), òî çàì³ñòü ôîð- ìóëè (13) ìàòèìåìî (1) (1) (1) 1 1 (0)n s+ = −Z DW Z ) , äå ( )T(1) (1) (1) 1 1 10, ,0,n n nX Y− − + + +=Z . Òîä³, îòðèìàâøè ç öüî- ãî ð³âíÿííÿ (1) 0rU , (1) 0zU , çàì³íèìî ì³íîð ∆ íà 12d ³ îäåðæèìî 39ISSN 1684-2189 ÃÅÎ²ÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2015, ¹ 4 (56) © Ð.Ì. Ïàê (1) 32 0 122 12 1 e es s s sk h k h r s dU d k d − α − β  = + αη   , (1) 31 0 112 12 1 e es s s sk h k h z s d U d k d − α − β  = − + αη   , äå 1s n+α = α , 1s n+β = β , hs – â³äñòàíü â³ä äæåðåëà äî íèæíüî¿ ìåæ³ øàðó ç íîìåðîì n. Àíàëîã³÷íî îòðèìóºìî (2) 12 0 322 12 1 e es s s sk h k h r s dU d k d − α − β  = − + βη   , (2) 11 0 312 12 1 e es s s sk h k h z s dU d k d − α − β  = + βη   , 2 0 2 * 11 1 s sk hs s U e k d − β ϕ β − = − η β . Ðîçðîáëåíà ìåòîäèêà äàº çìîãó îòðèìóâàòè ïîâíå õâèëüîâå ïîëå òèïó P–SV àáî SH âêëþ÷íî ç áàãàòîðàçîâèìè, îáì³ííèìè, äèôðàãîâàíèìè òà ³íøèìè õâèëÿìè, à òàêîæ ïîâåðõíåâ³ õâèë³. ×èñëîâ³ åêñïåðèìåíòè. Íà îñíîâ³ âèêëàäåíî¿ òåîð³¿ ðîçâ’ÿçêó ïðÿìî¿ äèíàì³÷íî¿ çàäà÷³ ñåéñìî- ëîã³¿ ïîáóäîâàíî àëãîðèòì ³ ðîçðîáëåíî êîìï’þ- òåðíó ïðîãðàìó äëÿ îá÷èñëåíü ñèíòåòè÷íèõ ñåéñ- ìîãðàì, âåëîãðàì òà àêñåëåðîãðàì ³ ¿õí³õ ñïåêòð³â. Ðîçãëÿíåìî äåê³ëüêà ÷èñëîâèõ ïðèêëàä³â. Ìîäåëü îäíîð³äíîãî ï³âïðîñòîðó. Â îäíîð³äíî- ìó ïðóæíîìó ï³âïðîñòîð³, ùî õàðàêòåðèçóºòüñÿ øâèäê³ñòþ ïîøèðåííÿ ïîçäîâæíüî¿ õâèë³ vp = 4600 ì/ñ, ïîïåðå÷íî¿ vs = 2700 ì/ñ ³ ãóñòèíîþ 2000 êã/ì3, íà ãëèáèí³ 10 êì çàäàíî äæåðåëî ó âèãëÿä³ òî÷êîâîãî âåðòèêàëüíîãî ñèëîâîãî ³ìïóëü- ñó F = fzk, äå fz = 1014 êã/(ì2·ñ2). Èìïóëüñ ìàº äçâî- íîïîä³áíó ôîðìó ³ òðèâàº 2 ñ. Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíî çàëåæíîñò³ ðàä³àëüíèõ ³ âåðòèêàëüíèõ êîìïîíåíò øâèäêîñòåé ïåðå- ì³ùåííÿ â³ä ÷àñó äëÿ òî÷êè ñïîñòåðåæåííÿ, ùî çíàõîäèòüñÿ íà ïîâåðõí³ ï³âïðîñòîðó íà â³äñòàí³ 70 êì â³ä îñ³ äæåðåëà. Íà ñåéñìîòðàñàõ âèä³ëåíî òàê³ òèïè õâèëü: - ïðÿìà ïîçäîâæíÿ P; - ìîäà P , ÿêà ïðîñî÷óºòüñÿ; ¿¿ óòâîðåííÿ ïîâ’ÿçà- íå ç áëèçüê³ñòþ äæåðåëà äî â³ëüíî¿ ïîâåðõí³ [1]; Ðèñ. 1. Ñèíòåòè÷íà ñåéñìîòðàñà ðàä³àëüíî¿ (à) òà âåðòèêàëüíî¿ (á) êîìïîíåíò øâèäêîñò³ ïåðåì³ùåííÿ äëÿ âåðòèêàëüíî¿ ñèëè ó ï³âïðîñòîð³ à á Ðèñ. 2. Ñèíòåòè÷í³ ñåéñìîãðàìè ïåðåì³ùåíü (âåðòèêàëüí³ êîìïîíåíòè) äëÿ ñèëè ó øàðóâàòîìó ñåðåäîâèù³ 40 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2015, ¹ 4 (56) © Ð.Ì. Ïàê - ïðÿìà ïîïåðå÷íà S; - îñíîâíà ãàðìîí³êà õâèë³ Ðåëåÿ R; â³äïîâ³äíî äî òåîð³¿ â îäíîð³äíîìó ï³âïðîñòîð³, öÿ õâèëÿ íå äèñïåðãóº, òîáòî çáåð³ãàº ñâîþ ôîðìó, ¿¿ ôàçîâ³ ³ ãðóïîâ³ øâèäêîñò³ íå çàëåæàòü â³ä ÷à- ñòîòè ³ äîð³âíþþòü vR = 0,91vs, ùî ñòàíîâèòü 2,457 êì/ñ; Ìîäåëü “øàð íà ï³âïðîñòîð³”. Ó äðóãîìó òåñ- òîâîìó ïðèêëàä³ çìîäåëüîâàíî â³äáèòòÿ ïðóæíèõ õâèëü â³ä ìåæ³ ì³æ øàðîì ³ ï³âïðîñòîðîì. Öåé ³ëþñòðàòèâíèé ïðèêëàä äåìîíñòðóº ãîëîâíó õâè- ëþ. Äæåðåëî âçÿòî ó âèãëÿä³ ñèëè 12( ) 10 (1, 1,1) ( )Tt s t= ⋅f H ó äåêàðòîâ³é ñèñòåì³ êîîð- äèíàò ³ ðîçì³ùåíî íà ãëèáèí³ 10 êì. Çà ÷àñîâó ôóíêö³þ äæåðåëà s(t) âçÿòî “äçâ³íêîâèé” ñèãíàë òðèâàë³ñòþ 1,4 ñ. Òîâùèíà øàðó 15 êì. Ïàðàìåò- ðè øàðó ³ ï³âïðîñòîðó â³äïîâ³äíî òàê³: ãóñòèíà 2800 ³ 3100 êã/ì3, øâèäêîñò³ P-õâèëü 5 ³ 8 êì/ñ, øâèäêîñò³ S-õâèëü 2,9 ³ 4,5 êì/ñ. Âåëè÷èíè ïåðå- ì³ùåííÿ ðîçðàõîâàíî â òî÷êàõ íà “åï³öåíòðàëü- íèõ” â³äñòàíÿõ 15, 25, 35, …, 85 êì (ðèñ. 2). Âèñíîâêè. Íà îñíîâ³ ìàòðè÷íîãî ìåòîäó Òîì- ñîíà–Õàñêåëà ðîçðîáëåíî ìåòîäèêó ïîáóäîâè òî÷- íèõ ñï³ââ³äíîøåíü äëÿ âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ âåðòèêàëüíî-íåîäíîð³äíîãî ï³âïðîñòîðó, â ÿêîìó ä³º äæåðåëî ó âèãëÿä³ ñèëè. Ïîáóäîâàíî àëãîðèòìè ³ ðîçðîáëåíî êîìï’þòåðíó ïðîãðàìó, ïðèçíà÷åíó äëÿ ðîçðàõóíê³â òðèêîìïî- íåíòíèõ ñèíòåòè÷íèõ ñåéñìîãðàì â³ä äæåðåëà ó âèãëÿä³ ñèëè. Ïðîãðàìó ïðîòåñòîâàíî íà ê³ëüêîõ ÷èñëîâèõ ïðèêëàäàõ. 1. Àêè Ê. Êîëè÷åñòâåííàÿ ñåéñìîëîãèÿ / Ê. Àêè, Ï. Ðè- ÷àðäñ. – Ì.: Ìèð, 1983. – 519 ñ. 2. Ìîëîòêîâ Ë.À. Ìàòðè÷íûé ìåòîä â òåîðèè ðàñïðî- ñòðàíåíèÿ âîëí â ñëîèñòûõ, óïðóãèõ è æèäêèõ ñðå- äàõ / Ë.À. Ìîëîòêîâ. – Ë.: Íàóêà, 1984. – 201 ñ. 3. Ìîëîòêîâ Ë.À. Î ðàñïðîñòðàíåíèè óïðóãèõ âîëí â ñðå- äàõ, ñîäåðæàùèõ òîíêèå ïëîñêîïàðàëëåëüíûå ñëîè // Âîïðîñû äèíàìè÷åñêîé òåîðèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñåéñ- ìè÷åñêèõ âîëí. – Ë.: Èçä-âî Ëåíèíãð. óí-òà, 1961. – ¹ 5. – Ñ. 240–280. 4. Ïàê Ð.Ì. Ìåòîäèêà ï³äâèùåííÿ ÷èñëîâî¿ ñò³éêîñò³ äëÿ ðîçðàõóíêó õâèëüîâîãî ïîëÿ íà îñíîâ³ ìàòðè÷íîãî ìåòîäó Òîìñîíà–Õàñêåëà / Ð.Ì. Ïàê // Ãåî³íôîðìàòè- êà. – 2014. – ¹ 4. – Ñ. 1–6. 5. Ïàê Ð.Ì. Ìîäåëþâàííÿ õâèëüîâîãî ïîëÿ, çáóäæåíîãî ãëèáèííèì äæåðåëîì ó âåðòèêàëüíî-íåîäíîðiäíîìó ñåðåäîâèùi / Ð.Ì. Ïàê // Ãåîô³ç. æóðí. – 2005. – Ò. 27, ¹ 5. – Ñ. 887–894. 6. Ïàê Ð.Ì. Õâèëüîâå ïîëå â îäíîðiäíîìó ñåðåäîâèùi äëÿ äæåðåëà ó âèãëÿäi îäèíàðíî¿ ñèëè àáî ïîäâiéíî¿ ïàðè ñèë / Ð.Ì. Ïàê // Ãåî³íôîðìàòèêà. – 2004. – ¹ 1. – Ñ. 36–44. 7. Ðîãàíîâ Þ.Â. Ïðåäñòàâëåíèå ïîòåíöèàëà îò òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ äëÿ îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû â âèäå èíòåãðàëîâ Áåññåëÿ–Ìåëëèíà / Þ.Â. Ðîãàíîâ, Ð.Ì. Ïàê // Ãåîô³ç. æóðí. – 2013. – Ò. 35, ¹ 2. – Ñ. 163–167. 8. Abo-Zena A. Dispersion function computations for unlimited frequency values / A. Abo-Zena // Geophys. J. Roy Astron. Soc. – 1979. – V. 58. – P. 91–105. 9. Bouchon M.A. Review of the discrete wavenumber method / M. Bouchon // Pure and Applied Geophysics. – 2003. – V. 160. – P. 445–465. 10. Chapman C.H. Yet another elastic plane-wave, layer-matrix algorithm / C.H. Chapman // Geophys. J. Inter. – 2003. – V. 154. – P. 212–223. 11. Dunkin I.W. Computation of modal solution in layered elastic media at high frequencies / I.W. Dunkin // Bull. Seism. Soc. Amer. – 1965. – V. 55. – P. 335–358. 12. Kennett B.L.N. Seismic Wave Propagation in Stratified Media / B.L.N. Kennett. – Cambridge University Press, 1983. – 342 p. 13. Knopoff L.A. Matrix method for elastic wave problems / L.A. Knopoff // Bull. Seism. Soc. Amer. – 1964. – V. 54. – P. 431–438. 14. Müller G. The reflectivity method: a tutorial / G. Müller // J. Geophys. – 1985. – V. 58. – P. 153–174. 15. Thrower E.N. The computation of the dispersion of elastic waves in layered media / E.N. Thrower // J. Sound and Vibration. – 1965. – V. 2. – P. 210–226. 16. Wang R. A simple orthonormalization method for stable and efficient computation of Green’s functions / R. Wang // Bull. Seism. Soc. Amer. – 1999. – V. 89. – P. 733–741. 17. Watson T.N. A note on fast computation of Rayleigh wave dispersion in the multilayered halfspace / T.N. Watson // Bull. Seism. Soc. Amer. – 1970. – V. 60. – P. 161–166. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 23.07.2015 ð. ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÂÎËÍÎÂÎÃÎ ÏÎËß, ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÎÃÎ ËÎÊÀËÜÍÛÌÈ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÀÌÈ Â ÂÅÐÒÈÊÀËÜÍÎ-ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÎÌ ÏÎËÓÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ, È ÐÀÑ×ÅÒ ÑÈÍÒÅÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÅÉÑÌÎÃÐÀÌÌ Ð.Ì. Ïàê Àêàäåìèÿ ñóõîïóòíûõ âîéñê èìåíè ãåòìàíà Ïåòðà Ñàãàéäà÷íîãî, óë. Ãåðîåâ Ìàéäàíà, 32, Ëüâîâ 79012, Óêðàèíà, e-mail: rpak@email.ua Ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ðàçðàáîòêå ìåòîäà, àëãîðèòìà è ïðîãðàììû äëÿ ðàñ÷åòà ñåéñìè÷åñêèõ âîëí íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè âåðòèêàëüíî-íåîäíîðîäíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà, âîçìóùåííûõ ëîêàëüíûìè èñòî÷íèêàìè. Áûëè èñïîëüçîâàíû ïîëó÷åííûå ðàíåå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñêàëÿðíûõ ïîòåíöèàëîâ ïðÿìûõ P-, SV- è SH-âîëí è ñèëû â ôîðìå èíòåãðàëîâ Áåññåëÿ–Ìåëëèíà. Ýòî ïîçâîëèëî âûâåñòè, ïðèìåíèâ ìîäèôèöèðîâàííûé ìàòðè÷íûé 41ISSN 1684-2189 ÃÅÎ²ÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2015, ¹ 4 (56) © Ð.Ì. Ïàê ìåòîä Òîìñîíà–Õàñêåëëà, ôîðìóëû äëÿ ïîëíîãî âîëíîâîãî ïîëÿ â âåðòèêàëüíî-íåîäíîðîäíîì èçîòðîïíîì óïðóãîì ïîëóïðîñòðàíñòâå, âîçáóæäåííîì çàâèñèìîé îò âðåìåíè ïðîèçâîëüíî îðèåíòèðîâàííîé ñèëîé. Ïî- ñòðîåíû òî÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ òðåõìåðíîãî âåêòîðà ïåðåìåùåíèÿ íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè ýòîé ñðåäû. Íà îñíîâå ðàçðàáîòàííîé ìåòîäèêè ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è ñîçäàí àëãîðèòì è íàïèñàíà êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàì- ìà, ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ ðàñ÷åòà òðåõêîìïîíåíòíûõ ñèíòåòè÷åñêèõ ñåéñìîãðàìì â âåðòèêàëüíî-íåîäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ ñðåäàõ, â êîòîðûõ äåéñòâóþò èñòî÷íèêè â âèäå ñèëû. Ñ öåëüþ ïðîâåðêè ýôôåêòèâíîñòè è óñòîé- ÷èâîñòè àëãîðèòìà íà òåñòîâûõ ïðèìåðàõ ðàññ÷èòàíû ïîëíûå ñèíòåòè÷åñêèå ñåéñìîãðàììû è âåëîãðàììû, íà êîòîðûõ ïîëó÷åíû âñòóïëåíèÿ îáúåìíûõ è ïîâåðõíîñòíûõ âîëí. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, ñåéñìè÷åñêîå âîëíîâîå ïîëå, ìàòðè÷íûé ìåòîä, âåðòèêàëüíî- íåîäíîðîäíàÿ ñðåäà, ñèíòåòè÷åñêàÿ ñåéñìîãðàììà. MODELING OF A WAVE FIELD PERTURBED BY LOCAL SOURCES IN VERTICALLY INHOMOGENEOUS HALF-SPACE AND CALCULATION OF SYNTHETIC SEISMOGRAMS R.M. Pak Hetman Petro Sahaidachny Army Academy, 32 Heroes of Maidan Str., Lviv 79012, Ukraine, e-mail: rpak@email.ua Purpose. The aim of the article is to develop methods calculate seismic waves perturbed by local sources in a vertically inhomogeneous medium. For this purpose the following tasks are set: to implement mathematical modeling process of disturbance and propagation of seismic field in a horizontal layered isotropic elastic medium; to construct an algorithm and a program for numerical calculation of synthetic seismograms; to conduct computational experiments for verification. Design/methodology/approach. The suggested methodology is based on the usage of Bessel-Mellin integrals, Thomson- Haskell matrix method and its modifications. Findings. We developed analytical approach to modeling of waves in vertically inhomogeneous isotropic elastic environments. It permits to analyze the influence of changing environmental parameters and sources in the form of concentrated arbitrarily directed forces on synthetic seismograms. We created an algorithm and a program to calculate synthetic seismograms at a free surface medium. Practical value/implications. The methodology presented here enables wave processes occurring in layered medium to be conducted both analytically and numerically. The calculation of synthetic seismograms and allocation of various types of waves in them enable a wave pattern recorded during seismic observations to be analyzed and accurately interpreted. Keywords: mathematical modelling, seismic wave-field, matrix method, vertically heterogeneous medium, tensor of seismic moment, synthetic seismogram. References: 1. Aki K., Richards P. Kolichestvennaya seysmologiya [Quantitative Seismology]. Moscow, Mir, 1983, 519 p. 2. Molotkov L.A. Matrichnyy metod v teorii rasprostraneniya voln v sloistykh, uprugikh i zhidkikh sredakh [Matrix method in the theory of wave propagation in layered, elastic and liquid media]. Leningrad, Nauka, 1984, pp. 201. 3. Molotkov L.A. O rasprostranenii uprugikh voln v sredakh, soderzhashchikh tonkie ploskoparallel’nye sloi [Propagation of elastic waves in media containing thin plane-parallel layers]. V knige “Voprosy dinamicheskoy teorii rasprostraneniya seysmicheskikh voln”. [In the book “Questions dynamic theory of seismic wave propagation”]. Leningrad, Publishing house of Leningrad University, 1961, no. 5, pp. 240-280. 4. Pak R.M. Metodyka pidvyshchennia chyslovoi stiikosti dlia rozrakhunku khvylovoho polia na osnovi matrychnoho metodu Tomsona–Khaskela [Method of increasing the numerical stability of the wave field calculation based on the matrix method of Thomson-Haskell]. Geoinformatika, 2014, no. 4, pp. 1-6. 5. Pak R.M. Modeliuvannia khvylovoho polia, zbudzhenoho hlybynnym dzherelom u vertykalno-neodnoridnomu seredovyshchi [Modeling of wave-fields excited by deep source in a vertically-heterogeneous medium]. Geophysical Journal, 2005, vol. 27, no. 5, pp. 887-894. 6. Pak R.M. Khvylove pole v odnoridnomu seredovyshchi dlia dzherela u vyhliadi odynarnoi syly abo podviinoi pary syl [Wave field calculation for rupture with displacement along inner surface]. Geoinformatika, 2004, no. 1, pp. 36-44. 7. Roganov Yu.V., Pak R.M. Predstavlenie potentsiala ot tochechnykh istochnikov dlya odnorodnoy izotropnoy sredy v vide integralov Besselya–Mellina [Representation of potentials of point sources for the homogeneous isotropic medium as Bessel- Mellin integrals]. Geophysical Journal, 2013, vol. 35, no. 2, pp. 163-167. 8. Abo-Zena A. Dispersion function computations for unlimited frequency values. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1979, vol. 58, pp. 91-105. 9. Bouchon M.A. Review of the discrete wavenumber method. Pure and Applied Geophysics, 2003, vol. 160, pp. 445-465. 10. Chapman C.H. Yet another elastic plane-wave, layer-matrix algorithm. Geophysical Journal International, 2003, vol. 154, pp. 212-223. 11. Dunkin I.W. Computation of modal solution in layered elastic media at high frequencies. Bulletin of the Seismological Society of America, 1965, vol. 55, pp. 335-358. 12. Kennett B.L.N. Seismic Wave Propagation in Stratified Media. Cambridge University Press, 1983, 342 p. 42 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2015, ¹ 4 (56) © Ð.Ì. Ïàê 13. Knopoff L.A. Matrix method for elastic wave problems. Bulletin of the Seismological Society of America, 1964, vol. 54, pp. 431-438. 14. Müller G. The reflectivity method: a tutorial. Journal Geophysical, 1985, vol. 58, pp. 153-174. 15. Thrower E.N. The computation of the dispersion of elastic waves in layered media. Journal of Sound and Vibration, 1965, vol. 2, pp. 210-226. 16. Wang R. A simple orthonormalization method for stable and efficient computation of Green’s functions. Bulletin of the Seismological Society of America, 1999, vol. 89, pp. 733-741. 17. Watson T.N. A note on fast computation of Rayleigh wave dispersion in the multilayered halfspace. Bulletin of the Seismological Society of America, 1970, vol. 60, pp. 161-166. Received 23/07/2015

Моделювання хвильового поля, збуреного локальними джерелами у вертикально-неоднорідному півпросторі, та розрахунок синтетичних сейсмограм

Institution

Similar Items