Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения
Рассматривается модель эффекта Баушингера в общем случае сложного напряженного состояния в материалах с деформационной анизотропией, упрочнение которых описывается гипотезой изотропно-кинематического типа, в условиях изотермического и неизотермического нагружений. Модель основана на использовании к...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125713 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения / В.Н. Бастун, И.Ю. Подильчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 7. — С. 39-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-125713 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бастун, В.Н. Подильчук, И.Ю. 2017-11-02T13:21:45Z 2017-11-02T13:21:45Z 2016 Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения / В.Н. Бастун, И.Ю. Подильчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 7. — С. 39-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.07.039 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125713 620.172.224 Рассматривается модель эффекта Баушингера в общем случае сложного напряженного состояния в материалах с деформационной анизотропией, упрочнение которых описывается гипотезой изотропно-кинематического типа, в условиях изотермического и неизотермического нагружений. Модель основана на использовании концепции поверхности нагружения и графо-аналитического метода, устанавливающего связь между напряжениями и деформациями при сложном нагружении. В качестве примера численно определена мера эффекта Баушингера в ортотропном материале в случае переменных параметров анизотропии и одноосного изотермического нагружения в направлении осей симметрии. Показано, что с повышением доли изотропной составляющей упрочнения мера эффекта Баушингера возрастает. Розглядається модель ефекту Баушингера у загальному випадку складного напруженого стану в матеріалах з деформаційною анізотропією, зміцнення яких описується гіпотезою ізотропно-кінематичного типу, в умовах ізотермічного та неізотермічного навантажень. Модель побудована на застосуванні концепції поверхні навантаження та графо-аналітичного методу, що встановлює зв'язок між напруженнями та деформаціями у випадку складного навантаження. У якості прикладу чисельно визначена міра ефекту Баушингера в ортотропному матеріалі у випадку змінних параметрів анізотропії та одновісного ізотермічного навантаження у напрямку осей анізотропії. Показано, що з підвищенням частки ізотропної складової зміцнення міра ефекту Баушингера збільшується. The model of the Bauschinger effect in the general case of a combined stress state in materials with strain anisotropy, whose hardening is described by the isotropic-kinematic hypothesis, is considered. The model uses the loading surface concept and a graphical-analytical method, which establishes the stress-strain relations under combined loading. As an example, the Bauschinger effect measure is determined numerically in an orthotropic material with variable anisotropy parameters under uniaxial isothermal loading along the anisotropy axes. It is shown that this measure increases with the isotropic hardening fraction. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения Моделювання ефекту Баушингера в ортотропних матеріалах з ізотропно-кінематичним зміцненням в умовах ізотермічного та неізотермічного навантажень Modeling the Bauschinger effect in orthotropic materials with isotropic-kinematic hardening under isothermal and nonisothermal loadings Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения |
| spellingShingle |
Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения Бастун, В.Н. Подильчук, И.Ю. Механіка |
| title_short |
Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения |
| title_full |
Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения |
| title_fullStr |
Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения |
| title_full_unstemmed |
Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения |
| title_sort |
моделирование эффекта баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения |
| author |
Бастун, В.Н. Подильчук, И.Ю. |
| author_facet |
Бастун, В.Н. Подильчук, И.Ю. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Моделювання ефекту Баушингера в ортотропних матеріалах з ізотропно-кінематичним зміцненням в умовах ізотермічного та неізотермічного навантажень Modeling the Bauschinger effect in orthotropic materials with isotropic-kinematic hardening under isothermal and nonisothermal loadings |
| description |
Рассматривается модель эффекта Баушингера в общем случае сложного напряженного
состояния в материалах с деформационной анизотропией, упрочнение которых описывается гипотезой изотропно-кинематического типа, в условиях изотермического и неизотермического нагружений. Модель основана на использовании концепции поверхности нагружения и графо-аналитического метода, устанавливающего связь между напряжениями и деформациями при сложном нагружении. В качестве примера численно
определена мера эффекта Баушингера в ортотропном материале в случае переменных
параметров анизотропии и одноосного изотермического нагружения в направлении осей симметрии. Показано, что с повышением доли изотропной составляющей упрочнения мера эффекта Баушингера возрастает.
Розглядається модель ефекту Баушингера у загальному випадку складного напруженого
стану в матеріалах з деформаційною анізотропією, зміцнення яких описується гіпотезою ізотропно-кінематичного типу, в умовах ізотермічного та неізотермічного навантажень. Модель побудована на застосуванні концепції поверхні навантаження та графо-аналітичного методу, що встановлює зв'язок між напруженнями та деформаціями у випадку складного навантаження. У якості прикладу чисельно визначена міра ефекту Баушингера в ортотропному матеріалі у випадку змінних параметрів анізотропії та одновісного
ізотермічного навантаження у напрямку осей анізотропії. Показано, що з підвищенням
частки ізотропної складової зміцнення міра ефекту Баушингера збільшується.
The model of the Bauschinger effect in the general case of a combined stress state in materials with
strain anisotropy, whose hardening is described by the isotropic-kinematic hypothesis, is considered.
The model uses the loading surface concept and a graphical-analytical method, which establishes
the stress-strain relations under combined loading. As an example, the Bauschinger effect measure
is determined numerically in an orthotropic material with variable anisotropy parameters under
uniaxial isothermal loading along the anisotropy axes. It is shown that this measure increases with
the isotropic hardening fraction.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125713 |
| citation_txt |
Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с изотропно-кинематическим упрочнением в условиях изотермического и неизотермического нагружения / В.Н. Бастун, И.Ю. Подильчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 7. — С. 39-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bastunvn modelirovanieéffektabaušingeravortotropnyhmaterialahsizotropnokinematičeskimupročneniemvusloviâhizotermičeskogoineizotermičeskogonagruženiâ AT podilʹčukiû modelirovanieéffektabaušingeravortotropnyhmaterialahsizotropnokinematičeskimupročneniemvusloviâhizotermičeskogoineizotermičeskogonagruženiâ AT bastunvn modelûvannâefektubaušingeravortotropnihmateríalahzízotropnokínematičnimzmícnennâmvumovahízotermíčnogotaneízotermíčnogonavantaženʹ AT podilʹčukiû modelûvannâefektubaušingeravortotropnihmateríalahzízotropnokínematičnimzmícnennâmvumovahízotermíčnogotaneízotermíčnogonavantaženʹ AT bastunvn modelingthebauschingereffectinorthotropicmaterialswithisotropickinematichardeningunderisothermalandnonisothermalloadings AT podilʹčukiû modelingthebauschingereffectinorthotropicmaterialswithisotropickinematichardeningunderisothermalandnonisothermalloadings |
| first_indexed |
2025-11-26T01:42:49Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:42:49Z |
| _version_ |
1850605279347998720 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2016
МЕХАНIКА
http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.07.039
УДК 620.172.224
В.Н. Бастун, И. Ю. Подильчук
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: ipodil@voliacable.com
Моделирование эффекта Баушингера в ортотропных
материалах с изотропно-кинематическим упрочнением
в условиях изотермического и неизотермического
нагружения
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
Рассматривается модель эффекта Баушингера в общем случае сложного напряженного
состояния в материалах с деформационной анизотропией, упрочнение которых описыва-
ется гипотезой изотропно-кинематического типа, в условиях изотермического и неи-
зотермического нагружений. Модель основана на использовании концепции поверхно-
сти нагружения и графо-аналитического метода, устанавливающего связь между на-
пряжениями и деформациями при сложном нагружении. В качестве примера численно
определена мера эффекта Баушингера в ортотропном материале в случае переменных
параметров анизотропии и одноосного изотермического нагружения в направлении осей
симметрии. Показано, что с повышением доли изотропной составляющей упрочнения
мера эффекта Баушингера возрастает.
Ключевые слова: эффект Баушингера, анизотропные материалы, изотропно-кинемати-
ческое упрочнение, изотермическое и неизотермическое нагружения.
В исследованиях [1–5] показано, что эффект Баушингера, обусловленный появлением в про-
цессе пластического деформирования остаточных напряжений, оказывает существенное
влияние на такие параметры механического состояния материалов как характеристики
усталостной прочности и долговечность, а также на величины коэффициентов концентра-
ции и интенсивности напряжений, последний из которых широко используется в линейной
механике разрушения. Эффект Баушингера достаточно полно изучен экспериментально
на изотропных материалах в условиях одноосного нагружения и кручения при комнатной
© В.Н. Бастун, И. Ю. Подильчук, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 39
температуре [6, 7]. Теоретически он исследовался с использованием концепции поверхности
нагружения, разделяющей области упругого и неупругого деформирования в пространстве
тензора напряжений, на анизотропных (трансверсально-изотропных и ортотропных) мате-
риалах [8, 9]. Правомерность использования такого подхода экспериментально подтвержде-
на применительно к углеродистым сталям ферритно-перлитного класса [2, 10].
В настоящей работе рассматривается модель эффекта Баушингера в общем случае сло-
жного напряженного состояния в материалах с деформационной анизотропией, упрочнение
которых описывается гипотезой изотропно-кинематического типа, в условиях изотермиче-
ского и неизотермического нагружения. При этом используется концепция поверхности на-
гружения совместно с графо-аналитическим методом [11], с помощью которого устанавли-
вается связь между напряжениями и деформациями при сложном нагружении. Указанная
гипотеза получила экспериментальное обоснование на широком круге металлических ма-
териалов (стали ферритно-перлитного, аустенитного и мартенситного классов, титановые
и алюминиевые сплавы) [12].
Основные положения. В соответствии с гипотезой упрочнения изотропно-кинемати-
ческого типа, поверхность нагружения материала, подвергнутого пластическому деформи-
рованию, в пространстве тензора напряжений {σij} (i, j = 1, 2, 3), представленная в орто-
гональной системе координат 1, 2, 3, описывается уравнением [12]
2
3
(σ2
11 + σ2
22 + σ2
33) + 2(σ2
12 + σ2
23 + σ2
31)−
2
3
(σ11σ22 + σ22σ33 + σ11σ33)−
− 2
√
2
3
a1σ11 +
√
2
(
a1√
3
− a2
)
σ22 +
√
2
(
a1√
3
+ a2
)
σ33 −
− 2
√
2(a3σ12 + a4σ23 + a5σ31) + +a21 + a22 + a23 + a24 + a25 −R2 = 0, (1)
где a1, a2, a3, a4, a5, R — параметры, характеризующие анизотропию, обусловленную упро-
чнением материала. Для удобства анализа процессы нагружения, происходящие в про-
странстве {σij}, рассматриваются в пятимерном девиаторном пространстве {Sm} (m =
= 1, 2, 3, 4, 5) [13], компоненты которого связаны с компонентами девиатора напряжений
{Sij} соотношениями
S1 =
√
3
2
S11; S2 =
√
2
2
(S22 − S33); S3 =
√
2S12; S4 =
√
2S23; S5 =
√
2S31. (2)
В этом случае поверхность нагружения изобразится сферой
(Si − ai)(Si − ai) = R2(εpi ) (3)
с координатами центра ai и радиусом R, которые являются функциями пластической де-
формации εp(i) и определяются через пределы текучести материала в соответствии с ме-
тодикой, приведенной в [12]. Заметим, что в случае изотропного материала (при этом
a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0, R =
√
2/3σT ) уравнение (1) представляет известное усло-
вие пластичности Генки–Мизеса.
Графо-аналитический метод [11] основан на гипотезе Циглера [14], в соответствии с ко-
торой поверхность нагружения (3) в процессе пластического деформирования смещается
в направлении вектора, соединяющего ее центр с изображающей точкой на траектории
нагружения.
40 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7
Ниже, используя указанную выше модель, определим меру эффекта Баушингера в ор-
тотропном упрочняющемся структурно стабильном материале при одноосном нагружении
в направлении осей анизотропии 1,2,3 в условиях комнатной температуры (изотермический
процесс). При этом мера эффекта Баушингера λi (i = 1, 2, 3) в направлении этих осей
определяется соотношениями
λ
(k)
1 =
σ
(−)
1T (ε
p(k)
(1) )
σ
(+)
1T (εp(1))
, λ
(k)
2 =
σ
(−)
2T (ε
p(k)
(2) )
σ
(+)
2T (εp(2))
, λ
(k)
3 =
σ
(−)
3T (ε
p(k)
(3) )
σ
(+)
3T (εp(3))
, (4)
где σ
(+)
1T , σ(+)
2T , σ(+)
3T — пределы текучести при повторном растяжении в направлении осей 1,
2, 3 соответственно; σ(−)
1T , σ(−)
2T , σ(−)
3T — пределы текучести при сжатии (после первичного
растяжения) в направлении осей 1, 2, 3 соответственно, являющиеся функциями величи-
ны пластической деформации εp(i), накопленной при первичном растяжении; εp(1), ε
p
(2), ε
p
(3) —
пластические деформации при первичном растяжении в направлении осей 1, 2, 3 соответст-
венно. Полагаем, что диаграммы деформирования, а, следовательно, и пределы текучести
в направлении осей анизотропии в исходном состоянии материала σ
(0)
1T , σ(0)
2T , σ(0)
3T , а также
вид функции R(εp(i)) известны.
Мера эффекта Баушингера в направлении осей симметрии. В случае симметрии
оси 1 имеем σ2 = σ3 = σ4 = σ5 = 0 и S3 = S4 = S5 = 0. Тогда, согласно (2), траектория
первичного растяжения изобразится в плоскости S1 − S2 прямой
S2 = 0, (5)
а выражение (1) примет вид
2
3
σ2
1T − 2
√
2
3
a1σ1T + a21 + a22 −R2 = 0, (6)
где σ1T — предел текучести в направлении оси 1, а R является функцией пластической
деформации εp(1). При этом сфера (3) перейдет в окружность
(S1 − a1)
2 + (S2 − a2)
2 = R2. (7)
Полагая σ11 = σ1T , из решения уравнения (6) находим
σ
(±)
1T =
√
3
2
[a1 ± (R2 − a22)
1/2], (8)
где знак “+” соответствует повторному растяжению, а знак “−” — сжатию (после перви-
чного растяжения).
Для определения входящих в (8) значений a1(ε
p(k)
11 ) и a2(ε
p(k)
11 ), которые определяют
положение центра окружности (7), воспользуемся графо-аналитическим методом [11]. За-
дадимся на прямой (5) рядом точек N
(k)
1 (Sk
1(1), S
k
2(1)), которым соответствуют пластические
деформации ε
p(k)
(i) . При этом в соответствии с гипотезой Циглера центр окружности (7) на
каждом из этапов нагружения будет смещаться в направлении вектора, соединяющего ее
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 41
центр с изображающей точкой на прямой (5). На первом этапе при растяжении до точ-
ки N
(1)
1 с координатами S
(1)
1(1), S
(1)
2(1) (в данном случае S
(1)
2(1) = 0) этот вектор ориентирован
в направлении прямой
S1 − a
(0)
1
S
(1)
1(1) − a
(0)
1
=
S2 − a
(0)
2
S
(1)
2(1) − a
(0)
2
, (9)
которая проходит через точки с координатами (a
(0)
1 , a
(0)
2 ) и (S
(1)
1(1), S
(1)
2(1)). Здесь и далее вели-
чины, отмеченные индексом “0”, относятся к исходному (недеформированному) состоянию
материала и определяются по следующим формулам [9]:
a
(0)
1 =
√
2
3
σ
(0)
2T [(σ
(0)
1T )
2 − (σ
(0)
3T )
2] +
√
2σ
(0)
3T [(σ
(0)
1T )
2 − (σ
(0)
2T )
2]
σ
(0)
2T (2σ
(0)
1T + σ
(0)
3T ) + σ
(0)
3T (2σ
(0)
1T + σ
(0)
2T )
,
a
(0)
2 =
√
2
3 [(σ
(0)
1T )
2 − (σ
(0)
3T )
2]− (2σ
(0)
1T + σ
(0)
3T )a
(0)
1
√
3σ
(0)
3T
,
R(0) =
((√
2
3
σ
(0)
1T − a
(0)
1
)2
− (a
(0)
2 )2
)1/2
.
(10)
Решая совместно уравнения прямой (9) и окружности
(S1 − S
(1)
1(1))
2 + (S2 − S
(1)
2(1))
2 = [R(ε
p(k)
(1) )]2 (11)
с центром в точке (S(1)
1(1), S
(1)
2(1)), определим координаты (a
(1)
1 , a
(1)
2 ) нового центра окружности
(7), соответствующие нагружению до точки N (1).
Далее, проводя через точки a(a
(1)
1 , a
(1)
2 ) и N (2)(S
(2)
1(1), S
(2)
2(1)) прямую
S1 − a
(1)
1
S
(1)
1(1) − a
(1)
1
=
S2 − a
(1)
2
S
(1)
2(1) − a
(1)
2
(12)
и решая это уравнение совместно с уравнением окружности
(S1 − a
(1)
1 )2 + (S2 − a
(1)
2 )2 = R2, (13)
находим новое положение центра окружности (7) с координатами центра (a
(2)
1 , a
(2)
2 ), соо-
тветствующее нагружению до точки N (2). Входящая в уравнение (13) величина R опре-
деляется из известной функции R(ε
p(k)
(1) ) по величине деформации ε
p(k)
(1) . Поступая и далее
аналогичным образом, получаем ряд точек, лежащих на траектории центра поверхности
нагружения. Величины пластической деформации ε
p(k)
(1) , соответствующие точкам k, нахо-
дятся по известной диаграмме деформирования σ1(ε1). Подставляя найденные значения a
(k)
1
и a
(k)
2 , а также значения R(ε
p(k)
(1) ), в (8) определяем величины пределов текучести σ
(±)
1T (ε
p(k)
(1) )
и по первой из формул (4) находим меру эффекта Баушингера как функцию пластической
42 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7
деформации εp(1) при растяжении в направлении оси 1. При этом индекс “0” в уравнениях
(10) опускается.
В случае растяжения в направлении оси 2 σ11 = σ33 = 0. Тогда, согласно (2), имеем:
S1 = −σ22/
√
6, S2 = σ22/
√
2, а траектория нагружения в плоскости S1 − S2 изобразится
прямой
S1 = −
S2√
3
. (14)
При растяжении в направлении оси 3 σ11 = σ22 = 0 и, согласно (2), S1 = −σ33/
√
6 и S2 = −
−σ33/
√
3. В этом случае траектория нагружения изобразится прямой
S1 =
S2√
3
. (15)
Далее при определении значений a
(k)
1 , a(k)2 и R поступаем аналогично тому как это имело
место в случае растяжения в направлении оси 1.
Структурно нестабильный материал. Изотермический и неизотермический
процессы. Особенностью структурно нестабильных материалов является изменение в ре-
зультате термомеханических воздействий фазового состава, а следовательно, и механиче-
ских свойств. В связи с этим радиус поверхности нагружения в материале с изотропно-кине-
матическим упрочнением будет описываться в общем случае изотермического нагружения
функционалом интенсивности накопленной пластической деформации εpi , температуры T
и времени ее действия t. С учетом этого выражение (3) запишется в виде
(Si − ai)(Si − ai) = R2(εpi , T, t), (16)
где εpi — величина, пропорциональная второму инварианту девиатора пластических дефор-
маций. При этом предполагается, что нагрев не вызывает дополнительной анизотропии,
а приводит лишь к изотропному расширению поверхности нагружения.
Функционал R(εpi , T, t) конкретизуется следующим образом:
R(εpi , T, t) = R0(ε
p
i , T, t) + ∆R′(εpi ) + ∆R′′(εpi , T, t), (17)
где слагаемые характеризуют: R0(ε
p
i , T, t) — упрочнение материала в результате выделе-
ния из матрицы второй фазы при нагреве; ∆R′ — изотропную составляющую упрочнения;
∆R′′ — интенсификацию процесса упрочнения в случае, когда нагреву предшествует плас-
тическое деформирование, определяемое величиной интенсивности пластических деформа-
ций εpi . Заметим, что в частном случае одноосного растяжения, когда εpi = 0 и σ11 = σ1T ,
σ22 = σ33 = σ12 = σ13 = σ23 = 0, имеем
R0(T, t) =
√
2
3
σT (T, t)
∣∣∣∣
εpi=0
. (18)
Здесь σT — предел текучести при одноосном растяжении, связанный с количеством выде-
лившейся фазы f соотношением [15]
σT = σT (0) +
Gфf
1/2
4C(0,82− f1/3)
, (19)
где σT (0) = σT |f=0; Gф — модуль сдвига выделившейся фазы; C = 30 — константа.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 43
В случае изотермического нагружения величина f является функцией температуры T
и времени t:
f = fпр
[
1− exp
(
Ae
− Q
R∗T t
)]
. (20)
Здесь fпр = const предельное для каждого конкретного материала содержание выделив-
шейся фазы; R∗ = 8,314 Дж/Моль — газовая постоянная; A и Q — соответственно диффу-
зионная постоянная и энергия активации распада твердого раствора, которая определяется
на основании термокинетической зависимости твердости. В случае неизотермического на-
гружения, когда T = T (τ), функциональная зависимость f(T, τ) описывается выражением
f =
fпр
tэкв
t∫
0
A exp
{
−
[
Q
R∗T (τ)
+Ae
− Q
R∗T (τ) (t− τ)
]}
T (τ) dτ, (21)
где Tэкв =
1
t
t∫
0
T (τ) dτ . Функционал f(T, t) выбран так, что при T = const выражение (21)
принимает вид (20).
Входящая в (17) величина ∆R′ является инвариантной к виду напряженного состояния
функцией интенсивности пластических деформаций и определяется из опытов на одноосное
растяжение. Величина ∆R′′находится по формуле
∆R′′ = kf(fпр − f)εpi , (22)
которая получена из условия ∆R′′ = 0 при f = 0 и f = fпр. Здесь k — константа, определя-
емая из опытов по ортогональному нагружению при некотором фиксированном значении
f = f∗(fпр > f∗ > 0), причем величина fпр находится из графиков зависимости твердости
материала от температуры T при фиксированной длительности времени нагрева t.
Числовой пример. В качестве примера определим меру эффекта Баушингера в орто-
тропном материале (сталь мартенситного класса) при знакопеременном одноосном нагру-
жении и комнатной температуре в трех ортогональных направлениях, совпадающих с осями
симметрии. Диаграммы одноосного растяжения материала в состоянии поставки приведе-
ны в работе [9]. Соответствующие значения пределов текучести σ0
1T , σ0
2T , σ0
3T равны 1350,
1710 и 1510 MПа. Указанным значениям пределов текучести, согласно формулам [9], соот-
ветствует окружность (7) с координатами центра a
(0)
1 = −161, a(0)2 = 69 MПа и радиусом
R(0) = 1273 MПа.
Рассмотрим следующие случаи деформационного упрочнения материала при растяже-
нии в направлении осей 1, 2, 3, характеризующиеся долей изотропной составляющей: 1 —
R = R(0) = const; 2 — R = R(0)+100εpi . Вычисленные по изложенной выше методике значе-
ния характеристик материала приведены в табл. 1–3, а траектории центра окружности (7)
для направлений осей 1, 2, 3 показаны на рис. 1: при постоянном значении радиуса R (обо-
значены 1 ′, 2 ′, 3 ′ соответственно) и при переменном значении радиуса R (обозначены 1 ′′,
2 ′′, 3 ′′ соответственно). Здесь точка 0′ обозначает исходное положение центра окружности
(7), а цифрами I, II, III обозначены прямые (5), (14), (15) соответственно.
Графики зависимости меры эффекта Баушингера от величины пластической деформа-
ции εpi при растяжении в направлении осей 1, 2, 3 для указанных законов упрочнения при-
ведены на рис. 2, где сплошные линии соответствуют случаю 1, штриховые — случаю 2. Как
44 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7
Рис. 1. Траектории центра поверхности нагружения при растяжении в направлении осей 1, 2, 3
Таблица 1. Характеристики материала при растяжении в направлении оси 1
При постоянном значении R При переменном значении R
εp(1), %
a1(1),
МПа
a2(1),
МПа
σ
(+)
1T ,
МПа
σ
(−)
1T ,
МПа
a1(1),
МПа
a2(1),
МПа
σ
(+)
1T ,
МПа
σ
(−)
1T ,
МПа
0 −161 69 1350 1750 −161 69 1350 1750
0,5 −120 67 1400 1703 −120 67 1461 1764
1 113 57 1686 1417 13 61 1686 1662
1,5 205 53 1800 1303 56 60 1800 1670
Таблица 2. Характеристики материала при растяжении в направлении оси 2
При постоянном значении R При переменном значении R
εp(2), %
a1(2),
МПа
a2(2),
МПа
σ
(+)
2T ,
МПа
σ
(−)
2T ,
МПа
a1(2),
МПа
a2(2),
МПа
σ
(+)
2T ,
МПа
σ
(−)
2T ,
МПа
0 −161 69 1710 1390 −161 69 1710 1390
0,5 −178 106 1766 1346 −178 106 1828 1407
1 −190 130 1800 1312 −147 40 1800 1557
1,5 −208 167 1850 1263 −143 31 1850 1628
Таблица 3. Характеристики материала при растяжении в направлении оси 3
При постоянном значении R При переменном значении R
εp(3), %
a1(3),
МПа
a2(3),
МПа
σ
(+)
3T ,
МПа
σ
(−)
3T ,
МПа
a1(3),
МПа
a2(3),
МПа
σ
(+)
3T ,
МПа
σ
(−)
3T ,
МПа
0 −161 69 1510 1610 −161 69 1510 1610
0,5 −69 192 1700 1428 −69 192 1761 1488
1 −20 257 1810 1338 −79 177 1800 1570
1,5 4 290 1850 1278 −85 169 1850 1642
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 45
Рис. 2. Зависимости меры эффекта Баушингера λ(εpi ) при растяжении в направлении осей 1, 2, 3
видно, закон упрочнения материала оказывает заметное влияние на вид зависимостиλ(εpi ):
повышение доли изотропной составляющей (случай 2) приводит к увеличению меры эф-
фекта Баушингера. При этом характер зависимостей λ(εpi ) в случае R = const для всех
трех осей симметрии качественно одинаков. В случае R ̸= const (∆R > 0) характер этих
зависимостей определяется исходным положением центра окружности (7), т. е. видом ани-
зотропии.
Цитированная литература
1. Gibson M.C., Hameed A., Parker A. P., Hetherington J.G. A comparison of methods for predicting residual
stresses in strain-hardening autofrettaged thick cylinders, including the Bauschinger effect // J. Pressure
Vessel Technol. – 2006. – 128, No 3. – P. 217–222.
2. Bate P. S., Wilson D.V. Analysis of the Bauschinger effect // Acta Metallurgica. – 1986. – 34, No 6. –
P. 1097–1105.
3. Silva F. S. Fatigue crack propagation after overloading and underloading at negative stress ratios // Int.
J. of Fatigue. – 2007. – 29. – P. 1757–1771.
4. Buciumeanu M., Palaghian L. Miranda A.A., Silva F. S. Fatigue life predictions including the Bauschinger
effect // Int. J. of Fatigue. – 2011. – 33, No 2. – P. 145–152.
5. Ma Q., Levy C., Peri M. The impact of the Bauschinger effect on the stress concentrations and stress
intensity factors for eroded autofrettaged thick cylindrical pressure vessels // J. Pressure Vessel Technol. –
2012. – 134. – No 2. – P. 142–149.
6. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. – Москва: Машиностроение, 1974. – Ч. 2. – 368 с.
7. Талыпов Г.Б. Пластичность и прочность стали при сложном нагружении. – Ленинград: Изд-во Ле-
нингр. ун-та, 1968. – 134 с.
8. Бастун В.Н. Эффект Баушингера в трансверсально-изотропных материалах с трансляционным
упрочнением // Пробл. прочности. – 2012. – № 1. – С. 5–13.
9. Бастун В.Н. Прогнозирование эффекта Баушингера в ортотропных материалах с трансляционным
упрочнением при знакопеременном одноосном нагружении // Доп. НАН України. – 2013. – № 10. –
С. 54–63.
10. Бастун В. Н. К оценке эффекта Баушингера в листовом материале // Завод. лаборатория. – 1976. –
№ 6. – С. 723–724.
46 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7
11. Бастун В.Н., Шкарапута Л.М. К определению связей между напряжениями и деформациями на
основе учета деформационного упрочнения материала // Пробл. прочности. – 1987. – № 6. – С. 49–54.
12. Bastun V.N., Kaminsky A.A. Applied problems in the mechanics of strain hardening of structural metallic
materials // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, No 10. – P. 1092–1129.
13. Ильюшин А.А. Пластичность. Общая математическая теория. – Москва: Изд-во АН СССР, 1963. –
272 с.
14. Ziegler H. A modification of Prager’s hardening rule // Quart. Appl. Math. – 1959. – No 17. – P. 55–65.
15. Уманский Я.С., Финкельштейн Б.Н., Блантер М.Е. и др. Физическое металловедение. – Москва:
Металлургиздат, 1955. – 724 с.
References
1. Gibson M.C., Hameed A., Parker A. P., Hetherington J.G. J. Pressure Vessel Technol., 2006, 128 No 3:
217–222.
2. Bate P. S., Wilson D.V. Acta Metallurgica, 1986, 34, No 6: 1097–1105.
3. Silva F. S. Int. J. of Fatigue, 2007, 29: 1757–1771.
4. Buciumeanu M., Palaghian L., Miranda A.A., Silva F. S. Int. J. of Fatigue, 2011, 33, No 2: 145–152.
5. Ma Q., Levy C., Peri M. J. Pressure Vessel Technol., 2012, 134, No 2: 142–149.
6. Fridman Ya.B. Mechanical properties of metals, Moscow: Mashinostroenie, 1974, Part 2 (in Russian).
7. Talypov G. B. Plasticity and strength of steel under combined loading, Leningrad: Izd. Leningr. univ., 1968
(in Russian).
8. Bastun V.N. Strength of materials, 2012, 44, No 1: 1–7 (in Russian).
9. Bastun V.N. Dopov. NAN of Ukraine, 2013, No 10: 54–63 (in Russian).
10. Bastun V.N. Zavod. laboratoriya, 1976, No 6: 723–724 (in Russian).
11. Bastun V.N., Shkaraputa L.M. Strength of materials, 1987, 19 No 6: 785–790 (in Russian).
12. Bastun V.N., Kaminsky A.A. Int. Appl. Mech., 2005, 41, No 10: 1092–1129.
13. Il’yushin A.A. Plasticity. General mathematic theory, Moscow: Izd. AN SSSR, 1963 (in Russian).
14. Ziegler H.A. Quart. Appl. Math., 1959, No 17: 55–65.
15. Umanskii Ya. S., Finkel’shtein B.N., Blanter M.E. a. o. Physical material science, Moscow: Metallurgizdat,
1955 (in Russian).
Поступило в редакцию 27.12.2015
В.М. Бастун, I.Ю. Подiльчук
Iнститут механiки iм. С. П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: ipodil@voliacable.com
Моделювання ефекту Баушингера в ортотропних матерiалах
з iзотропно-кiнематичним змiцненням в умовах iзотермiчного
та неiзотермiчного навантажень
Розглядається модель ефекту Баушингера у загальному випадку складного напруженого
стану в матерiалах з деформацiйною анiзотропiєю, змiцнення яких описується гiпоте-
зою iзотропно-кiнематичного типу, в умовах iзотермiчного та неiзотермiчного наванта-
жень. Модель побудована на застосуваннi концепцiї поверхнi навантаження та графо-ана-
лiтичного методу, що встановлює зв’язок мiж напруженнями та деформацiями у випадку
складного навантаження. У якостi прикладу чисельно визначена мiра ефекту Баушинге-
ра в ортотропному матерiалi у випадку змiнних параметрiв анiзотропiї та одновiсного
iзотермiчного навантаження у напрямку осей анiзотропiї. Показано, що з пiдвищенням
частки iзотропної складової змiцнення мiра ефекту Баушингера збiльшується.
Ключовi слова: ефект Баушингера, анiзотропнi матерiали, iзотропно-кiнематичне змiцнен-
ня, iзотермiчне та неiзотермiчне навантаження.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 47
V.N. Bastun, I. Yu. Podil’chuk
S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: ipodil@voliacable.com
Modeling the Bauschinger effect in orthotropic materials with
isotropic-kinematic hardening under isothermal and nonisothermal
loadings
The model of the Bauschinger effect in the general case of a combined stress state in materials with
strain anisotropy, whose hardening is described by the isotropic-kinematic hypothesis, is considered.
The model uses the loading surface concept and a graphical-analytical method, which establishes
the stress-strain relations under combined loading. As an example, the Bauschinger effect measure
is determined numerically in an orthotropic material with variable anisotropy parameters under
uniaxial isothermal loading along the anisotropy axes. It is shown that this measure increases with
the isotropic hardening fraction.
Keywords: Bauschinger effect, anisotropic materials, isotropic-kinematic hardening, isothermal
and nonisothermal loadings.
48 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7
|