Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою
Розглянуто нескінченні системи стохастичних диференціальних рівнянь, що описують рух взаємодіючих частинок у випадковому середовищі. Доведено теореми існування та єдиності розв'язків. Також доведено граничну теорему для відповідних мірозначних процесів у випадку, коли маса кожної частинки пря...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125821 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою / М.В. Танцюра // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 8. — С. 19-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634369731231744 |
|---|---|
| author | Танцюра, М.В. |
| author_facet | Танцюра, М.В. |
| citation_txt | Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою / М.В. Танцюра // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 8. — С. 19-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто нескінченні системи стохастичних диференціальних рівнянь, що описують
рух взаємодіючих частинок у випадковому середовищі. Доведено теореми існування та
єдиності розв'язків. Також доведено граничну теорему для відповідних мірозначних процесів у випадку, коли маса кожної частинки прямує до нуля, а густота частинок зростає до нескінченності.
Рассмотрены бесконечные системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающие движение взаимодействующих частиц в случайной среде. Доказаны теоремы существования и единственности решений. Также доказана предельная теорема для соответствующих мерозначных процессов в случае, когда масса каждой частицы стремится к нулю, а плотность частиц возрастает к бесконечности.
We consider infinite systems of stochastic differential equations that describe the motion of interacting
particles in a random environment. Theorems on existence and uniqueness of the solution are
proved. We also obtain a limit theorem for corresponding measure-valued processes in the case where
the mass of each particle tends to zero, and the density of particles grows to infinity.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:14:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.08.019
УДК 519.21
М.В. Танцюра
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: mtan@meta.ua
Про рiвняння Маккiна–Власова з нескiнченною масою
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М. I. Портенком)
Розглянуто нескiнченнi системи стохастичних диференцiальних рiвнянь, що описують
рух взаємодiючих частинок у випадковому середовищi. Доведено теореми iснування та
єдиностi розв’язкiв. Також доведено граничну теорему для вiдповiдних мiрозначних про-
цесiв у випадку, коли маса кожної частинки прямує до нуля, а густота частинок зрос-
тає до нескiнченностi.
Ключовi слова: мiрозначнi процеси, рiвняння Маккiна–Власова.
У роботi розглядається узагальнення рiвняння Маккiна–Власова на випадок коли суку-
пна маса взаємодiючих частинок є нескiнченною. Рiвняння Маккiна–Власова отримується
таким чином: розглядається послiдовнiсть рiвнянь, що задають рух скiнченних систем взає-
модiючих частинок у випадковому середовищi. При цьому маса кожної частинки прямує до
нуля, а кiлькiсть частинок прямує до нескiнченностi таким чином, що сукупна маса части-
нок постiйно дорiвнює 1. Для послiдовностi розв’язкiв таких рiвнянь доводиться гранична
теорема, граничний випадковий процес є розв’язком рiвняння Маккiна–Власова [1–3]. У да-
нiй роботi реалiзовано такий план отримання рiвняння Маккiна–Власова для випадку, коли
розподiл мас частинок є локально скiнченною мiрою. Розглянуто теореми iснування слабких
розв’язкiв i теореми iснування та єдиностi сильних розв’язкiв для дограничних i граничних
рiвнянь. Також доведено граничну теорему, коли маса кожної частинки прямує до нуля,
а сукупна маса збiжна до локально скiнченної мiри.
Нескiнченнi системи стохастичних диференцiальних рiвнянь зi взаємодiєю.
Позначимо через M простiр локально скiнченних мiр на R з топологiєю τ грубої збiжностi
(див. [4]):
νn
τ→ ν ⇔ ∀f ∈ Cc(R) :
∫
R
fdνn →
∫
R
fdν, n→ ∞,
де Cc(R) — множина неперервних функцiй з компактним носiєм.
Розглянемо нескiнченну систему стохастичних диференцiальних рiвнянь
dXk(t) = a(Xk(t), µ(t))dt+ b(Xk(t), µ(t))dwk(t), k ∈ Z, t ∈ [0, T ],
µ(t) =
∑
k∈Z
δXk(t),
Xk(0) = uk, k ∈ Z.
(1)
© М.В. Танцюра, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №8 19
Тут Xk(t) будемо iнтерпретувати як положення k-ї частинки у момент часу t, мiру
µ(t) — як розподiл мас частинок у момент часу t, функцiї a та b вiдповiдають за взаємодiю
частинок, uk — як початкове положення k-ї частинки. Будемо вважати, що {uk|k ∈ Z} —
неспадна числова послiдовнiсть така, що lim
k→+∞
uk = +∞, lim
k→−∞
uk = −∞.
Зауваження 1. При доведеннi результатiв щодо рiвняння (1) необхiдно перевiряти, що
для довiльного t ∈ [0, T ] мiра µ(t), визначена в другому рiвняннi системи (1), є локально
скiнченною.
Теорема 1. Припустимо, що a та b є обмеженими та неперервними за сукупнiстю
змiнних i iснує стала L > 0 така, що
lim sup
m→∞
µ(0, [−m,m])/mL <∞. (2)
Тодi iснує слабкий розв’язок рiвняння (1).
Доведення теореми 1 достатньо стандартне i використовує доведення передкомпактно-
стi послiдовностi апроксимацiй розв’язку та теорему Скорохода про спiльний iмовiрнiсний
простiр.
Позначимо
pw(t, x) = P
(
sup
s∈[0,t]
w(s) > x
)
= 2
∞∫
x∨0
1√
2πt
exp (−y2/2t)dy, x ∈ R, (3)
де w — вiнерiвський процес.
Має мiсце нижчеподана теорема iснування та єдиностi сильного розв’язку рiвняння (1).
Теорема 2. Припустимо, що:
1) функцiя a неперервна та обмежена:
∥a∥∞ := sup
x∈R
sup
ν∈M
|a(x, ν)| <∞;
2) функцiя b неперервна, обмежена та вiддiлена вiд нуля:
∥b∥∞ := sup
x∈R
sup
ν∈M
|b(x, ν)| <∞, inf
x∈R
inf
ν∈M
|b(x, ν)| > 0;
3) для довiльного натурального n iснує константа Cb,n така, що для довiльних x, y,
x1, . . . , xn, y1, . . . , yn має мiсце нерiвнiсть∣∣∣∣∣b
(
x,
n∑
k=1
δxk
)
− b
(
y,
n∑
k=1
δyk
)∣∣∣∣∣ 6 Cb,n|x− y|+ Cb,n
n∑
k=1
|xk − yk|;
4) функцiї a та b мають властивiсть скiнченностi радiуса взаємодiї:
∃d > 0 ∀x ∈ R ∀ν ∈ M : a(x, ν) = a(x, νI(x−d,x+d)), b(x, ν) = b(x, νI(x−d,x+d)),
де (νIB)(A) = ν(
∩
B), A, B ∈ B(R);
5) iснує невипадкова зростаюча послiдовнiсть {zn | n ∈ Z} така, що:
lim
n→∞
zn = +∞, lim
n→−∞
zn = −∞
20 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №8
i
∃r > 0 ∀n ∈ Z :
∏
i∈Z
(1− 2pw(T∥b∥∞, |zn − ui| − ∥a∥∞T − d/2)) > r. (4)
Тодi iснує єдиний сильний розв’язок рiвняння (1).
Приклад 1. Для локально скiнченної мiри ν позначимо
Λ(ν) : = lim sup
n→∞
ν([−n, n])
2n
.
Якщо 2Λ(µ(0))d < 1, то мiра µ(0) задовольняє припущення 5 теореми 2.
Приклад 2. Нехай µ(0) — незалежна вiд {wk|k ∈ Z} пуассонiвська точкова мiра з iн-
тенсивнiстю m. Припустимо, що
∃Cm ∀[α, β] ⊂ R m([α, β]) 6 Cm(β − α+ 1).
Тодi з iмовiрнiстю 1 виконується припущення 5 теореми 2.
Характеризацiя граничних точок послiдовностi розв’язкiв нескiнченних сис-
тем стохастичних диференцiальних рiвнянь. Для кожного n > 1 розглянемо нескiн-
ченну систему стохастичних диференцiальних рiвнянь
dXn
i (t) = a(Xn
i (t), µ
n(t))dt+ dwi(t), t ∈ [0, T ], i ∈ Z,
µn(t) =
1
n
∑
i∈Z
δXn
i (t)
, t ∈ [0, T ],
µn(0) =
1
n
µn.
(5)
Тут для довiльного n ∈ N мiра µn =
∑
i∈Z
δun
i
є пуассонiвською точковою мiрою з iнтенсив-
нiстю nm(dx), де m — деяка σ-скiнченна мiра, вiнерiвськi процеси {wi(·), i ∈ Z} незалежнi
в сукупностi i незалежнi вiд {µn|n ∈ N}. Надалi скрiзь будемо припускати, що m — мiра
на R така, що
∃Cm ∀[α, β] ⊂ R : m([α, β]) 6 Cm(β − α+ 1). (6)
Ми розглядаємо слабкi розв’язки (5) i не припускаємо, що розв’язок єдиний. Якщо
функцiя a обмежена та неперервна за сукупнiстю змiнних, то iснування слабкого розв’язку
випливає з теореми 1.
Нижчеподана лема дає достатнi умови слабкої передкомпактностi послiдовностi випад-
кових мiрозначних процесiв µn(·) з рiвнянь (5).
Лема 1. Припустимо, що функцiя a : R × M → R є обмеженою та неперервною за
сукупнiстю змiнних i виконується спiввiдношення (6). Тодi послiдовнiсть {µn(·), n > 1}
є слабко вiдносно компактною як послiдовнiсть випадкових елементiв в C([0, T ],M).
Для довiльної мiри λ та функцiї f позначимо
⟨λ, f⟩ =
∫
R
f(x)λ(dx).
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №8 21
Позначимо через C2,1
c (R × [0, T ]) множину функцiй f = f(x, t) : R × [0, T ] → R, що
є неперервно диференцiйовними за t i двiчi неперервно диференцiйовними за x, для яких
iснує компактна множина K ⊂ R така, що supp f ⊂ K × [0, T ].
За формулою Iто для довiльної f ∈ C2,1
c (R× [0, T ]) маємо таке спiввiдношення:
d⟨f(·, t), µn(t)⟩ =
∫
R
(
f ′t(x, t) + f ′x(x, t)a(x, µ
n(t)) +
1
2
f ′′xx(x, t)
)
µn(t, dx) dt+
+
1
n
∑
i∈Z
f ′x(X
n
i (t), t) dwi(t). (7)
Спрямувавши n → ∞ та обгрунтувавши граничний перехiд в рiвняннi (7) отримаємо
такий результат.
Теорема 3. Припустимо, що функцiя a обмежена та неперервна за сукупнiстю змiн-
них i виконується спiввiдношення (6). Нехай µ(·) — довiльна слабка гранична точка по-
слiдовностi {µn(·), n > 1}, що розглядається як послiдовнiсть випадкових елементiв про-
стору C([0, T ],M). Тодi для довiльної f ∈ C2,1
c (R × [0, T ])
⟨µ(t), f(·, t)⟩ = ⟨µ(0), f(·, 0)⟩+
+
t∫
0
⟨(
f ′s(·, s) + f ′x(·, s)a(·, µ(s)) +
1
2
f ′′xx(·, s)
)
, µ(s)
⟩
ds, t ∈ [0, T ]. (8)
Нехай φst(x), s 6 t, x ∈ R, — розв’язок рiвняння{
dφst(x) = a(φst(x), µ(t))dt+ dw(t), t ∈ [s, T ],
φss(x) = x,
(9)
де w(·) — незалежний вiд µ(·) вiнерiвський процес. Тут µ(·) з теореми 3.
Позначимо A(x, t) = a(x, µ(t)), Ew — математичне сподiвання за вiнерiвською мiрою.
Лема 2. Нехай µ(t), t > 0, визначено в теоремi 3. Припустимо, що виконанi умови
леми 1, функцiя A(x, t) є диференцiйовною за x, причому функцiя A′
x(x, t) обмежена. Якщо
функцiя g ∈ C2
c (R), то для довiльного фiксованого S ∈ [0, T ] функцiя f , що визначена
рiвнiстю
f(t, x) = Ewg(φtS(x)), t ∈ [0, S], (10)
задовольняє спiввiдношення
∀t ∈ [0, S] ⟨µ(t), f(·, t)⟩ = ⟨µ(0), f(·, 0)⟩. (11)
Iдея доведення. З теореми 1.12 в [5] маємо, що iснує розв’язок рiвняння{
f ′t(x, t) + f ′x(x, t)A(x, t) +
1
2
f ′′xx(x, t) = 0, t ∈ [s, S), x ∈ R,
f(x, S) = g(x), x ∈ R,
(12)
i з оберненого рiвняння Колмогорова випливає, що розв’язок (12) задовольняє рiвнiсть (10).
Якби функцiя f задовольняла умови теореми 3, то формула (11) випливала б з (8). Фун-
кцiя f не задовольняє умови теореми 3, оскiльки не має компактного носiя. Для доведення
22 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №8
леми можна наблизити функцiю f послiдовнiстю функцiй {fn, n > 1} ⊂ C2,1
c (R × [0, T ]) та
обгрунтувати граничний перехiд у рiвняннi (8).
Позначимо λ ◦ f−1 образ мiри λ при вiдображеннi f .
Теорема 4. Нехай µ(·) — довiльна слабка гранична точка послiдовностi {µn(·), n >
> 1}, що розглядається як послiдовнiсть випадкових елементiв простору C([0, T ],M).
Припустимо, що виконуються умови теореми 3 та леми 2. Позначимо φt(x) = φ0t(x), де
φ0t(x) — розв’язок рiвняння (9). Тодi
∀t ∈ [0, T ] µ(t) = Ew(m ◦ φt(·)−1). (13)
Зауваження 2. Функцiя φt(x) вимiрна за (t, x, ω).
Зауваження 3. Легко бачити, що µn(0) P→ m, n → ∞, отже, µ(0) = m.
Iдея доведення. Перетворивши (11), отримаємо, що для довiльної функцiї g ∈ C2
c (R)
має мiсце рiвнiсть
⟨µ(t), g(·)⟩ = ⟨Ewm ◦ φt(·)−1, g(·)⟩.
Звiдси µ(t) = Ew(m ◦ φt(·)−1).
Рiвняння Маккiна–Власова з нескiнченною масою та гранична теорема. З
теореми 4 випливає, що якщо µ(·) є довiльною слабкою граничною точкою послiдовностi
{µn(·), n > 1}, то {φt(x), µ(t), t ∈ [0, T ], x ∈ R} є розв’язком системи рiвнянь
dφt(x) = a(φt(x), µ(t))dt+ dw(t), x ∈ R, t ∈ [0, T ],
µ(t) = Em ◦ φt(·)−1,
φ0(x) = x, x ∈ R.
(14)
Позначимо
MC = {µ ∈ M : ∀[a, b] ⊂ R : µ([a, b]) 6 C(b− a+ 1)}, M∞ =
∪
C>0
MC .
Теорема 5. Припустимо, що:
1) функцiя a : R×M → R є обмеженою та неперервною за сукупнiстю змiнних;
2) ∀C > 0 ∃LC > 0 ∀µ ∈ MC∀x1, x2 ∈ R|a(x1, µ) − a(x2, µ)| 6 C|x1 − x2|;
3) m ∈ M∞.
Тодi iснує слабкий розв’язок рiвняння (14).
Iдея доведення теореми полягає в отриманнi апрiорних оцiнок на розв’язки, наближеннi
рiвняння (14) послiдовнiстю рiвнянь зi скiнченною сукупною масою частинок, доведеннi
передкомпактностi отриманої послiдовностi розв’язкiв, застосуваннi теореми Скорохода про
спiльний iмовiрнiсний простiр та граничному переходi.
Введемо клас функцiй
Z = {f ∈ C2(R)| supp f ⊂ [−1, 1], ∥f∥∞ 6 1, ∥f ′∥∞ 6 1, ∥f ′′∥∞ 6 1}. (15)
Введемо метрику на M∞ :
ρ∞(µ, ν) = sup
r∈R
sup
f∈Z
∣∣∣∣∣
∫
R
f(x+ r)(µ(dx)− ν(dx))
∣∣∣∣∣.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №8 23
Теорема 6. Припустимо, що:
1) функцiя a : R×M → R є обмеженою та неперервною за сукупнiстю змiнних;
2) ∀C > 0 ∃LC > 0 ∀µ ∈ MC ∀x1, x2 ∈ R |a(x1, µ) − a(x2, µ)| 6 LC |x1 − x2|;
3) ∃K > 0 ∀x ∈ R ∀µ, ν ∈ M∞ |a(x, µ) − a(x, ν)| 6 Kρ∞(µ, ν);
4) m ∈ M∞.
Тодi iснує єдиний сильний розв’язок (14).
Для доведення теореми достатньо перевiрити потраєкторну єдинiсть розв’язку та ско-
ристатись теоремою 5 та теоремою Ямада–Ватанабе.
Зауваження 4. Доведення теорем 5 та 6 справедливi i для рiвняння
dφt(x) = a(φt(x), ν(t))dt+ dw(t), x ∈ R, t ∈ [0, T ],
ν(t) = Ewm ◦ φt(·)−1,
φ0(x) = x, x ∈ R,
(16)
отже, за припущень теореми 6 iснують єдинi сильнi розв’язки рiвнянь (14) та (16). Про-
цес {φt(x), x ∈ R, t ∈ [0, T ]} з (14) є вимiрним вiдносно вiнерiвської фiльтрацiї, отже,
пара {φt(x), µ(t)), x ∈ R, t ∈ [0, T ]} також задовольняє рiвняння (16). Тому розв’язки рiв-
нянь (14) та (16) збiгаються i з теореми 4 випливає, що довiльна слабка гранична точка
послiдовностi {µn(·), n > 1} є невипадковою.
З теорем 4 та 6 випливає такий результат.
Теорема 7. Нехай {µn(·), Xn
i (·), i ∈ Z} — довiльнi розв’язки рiвнянь (5). Припустимо,
що:
1) функцiя a : R×M → R є обмеженою та неперервною за сукупнiстю змiнних;
2) функцiя a = a(x, µ) є неперервно диференцiйовною за x, причому
∀C > 0 ∃LC > 0 ∀µ ∈ MC ∀x ∈ R |a′x(x, µ)| 6 LC ;
3) ∃K > 0 ∀x ∈ R ∀µ, ν ∈ M∞ |a(x, µ) − a(x, ν)| 6 Kρ∞(µ, ν);
4) m ∈ M∞.
Тодi послiдовнiсть мiрозначних процесiв {µn(·), n > 1} ⊂ C([0, T ],M) слабко збiгається до
мiрозначного процесу ν(·), який єдиним чином визначається з рiвняння (14).
Приклад 3. Нехай,
a(x, µ) = g1
(∫
R
g2(y − x)µ(dy)
)
,
причому:
1) функцiя g1 ∈ C1(R), функцiї g1, g′1 є обмеженими;
2) функцiя g2 ∈ C1
c (R).
Для такої функцiї a виконанi припущення всiх попереднiх теорем.
Цитована лiтература
1. Sznitman A. S. Topics in propagation of chaos // Ecole d’Ete de Probabilites de Saint–Flour XIX – 1989. –
Berlin: Springer, 1991. – P. 165–251. – (Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1464).
2. McKean H.P. A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations // Proc. Nat.
Acad. Sci. USA. – 1966. – 56. – P. 1907–1911.
24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №8
3. Kac M. Foundations of kinetic theory // Proc. Third Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob. Vol. 3. –
Berkeley: Univ of Calif. Press, 1956. – P. 171–197.
4. Dawson D.A. Measure-valued Markov processes // Ecole d’Ete de Probabilites de Saint-Flour XXI –
1991. – Berlin: Springer, 1993. – P. 1–260. – ( Lecture Notes in Mathematics; Vol. 1541).
5. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – Москва: Мир, 1968. –
428 с.
6. Веретенников А.Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интег-
ральных уравнений // Матем. сб. – 1980. – 111(153), № 3. – С. 434–452.
7. Скороход А.В. Исследования по теории случайных процессов. – Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1961. –
216 с.
References
1. Sznitman A.S. Ecole d’Ete de Probabilites de Saint-Flour XIX – 1989, Lecture Notes in Mathematics, Vol.
1464, Berlin: Springer, 1991: 165–251.
2. McKean H.P. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1966, 56: 1907–1911.
3. Kac M. Proc. Third Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob., Vol. 3, Berkeley: Univ. of Calif. Press,
1956: 171–197.
4. Dawson D. A. Ecole d’Ete de Probabilites de Saint-Flour XXI – 1991, Lecture Notes in Mathematics, Vol.
1541, Berlin: Springer, 1993: 1–260.
5. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1964.
6. Veretennikov A. J. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1981, 39, No 3: 387–403.
7. Skorokhod A.V. Studies in the theory of random processes, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1965.
Надiйшло до редакцiї 12.01.2016
М.В. Танцюра
Институт математики НАН Украины, Киев
E-mail: mtan@meta.ua
Об уравнении Маккина–Власова с бесконечной массой
Рассмотрены бесконечные системы стохастических дифференциальных уравнений, описыва-
ющие движение взаимодействующих частиц в случайной среде. Доказаны теоремы су-
ществования и единственности решений. Также доказана предельная теорема для соот-
ветствующих мерозначных процессов в случае, когда масса каждой частицы стремится
к нулю, а плотность частиц возрастает к бесконечности.
Ключевые слова: мерозначные процессы, уравнение Маккина–Власова.
M.V. Tantsiura
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: mtan@meta.ua
On the McKean–Vlasov equation with infinite mass
We consider infinite systems of stochastic differential equations that describe the motion of interacti-
ng particles in a random environment. Theorems on existence and uniqueness of the solution are
proved. We also obtain a limit theorem for corresponding measure-valued processes in the case where
the mass of each particle tends to zero, and the density of particles grows to infinity.
Keywords: measure-valued processes, McKean–Vlasov equation.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №8 25
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-125821 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:14:40Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Танцюра, М.В. 2017-11-05T16:28:44Z 2017-11-05T16:28:44Z 2016 Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою / М.В. Танцюра // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 8. — С. 19-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.08.019 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125821 519.21 Розглянуто нескінченні системи стохастичних диференціальних рівнянь, що описують рух взаємодіючих частинок у випадковому середовищі. Доведено теореми існування та єдиності розв'язків. Також доведено граничну теорему для відповідних мірозначних процесів у випадку, коли маса кожної частинки прямує до нуля, а густота частинок зростає до нескінченності. Рассмотрены бесконечные системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающие движение взаимодействующих частиц в случайной среде. Доказаны теоремы существования и единственности решений. Также доказана предельная теорема для соответствующих мерозначных процессов в случае, когда масса каждой частицы стремится к нулю, а плотность частиц возрастает к бесконечности. We consider infinite systems of stochastic differential equations that describe the motion of interacting particles in a random environment. Theorems on existence and uniqueness of the solution are proved. We also obtain a limit theorem for corresponding measure-valued processes in the case where the mass of each particle tends to zero, and the density of particles grows to infinity. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою Об уравнении Маккина–Власова с бесконечной массой On the McKean–Vlasov equation with infinite mass Article published earlier |
| spellingShingle | Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою Танцюра, М.В. Математика |
| title | Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою |
| title_alt | Об уравнении Маккина–Власова с бесконечной массой On the McKean–Vlasov equation with infinite mass |
| title_full | Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою |
| title_fullStr | Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою |
| title_full_unstemmed | Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою |
| title_short | Про рівняння Маккіна–Власова з нескінченною масою |
| title_sort | про рівняння маккіна–власова з нескінченною масою |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125821 |
| work_keys_str_mv | AT tancûramv prorívnânnâmakkínavlasovazneskínčennoûmasoû AT tancûramv oburavneniimakkinavlasovasbeskonečnoimassoi AT tancûramv onthemckeanvlasovequationwithinfinitemass |