Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца
Отримано детальний опис алгебр Лейбніца, усі власні підалгебри яких є алгебрами Лі, та алгебр Лейбніца, усі власні підалгебри яких є абелевими.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125909 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца / Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В.А. Чупордя // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 11. — С. 5-9. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-125909 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1259092025-02-09T17:10:41Z Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца О некоторых “минимальных” алгебрах Лейбница On some "minimal" Leibniz algebras Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. Математика Отримано детальний опис алгебр Лейбніца, усі власні підалгебри яких є алгебрами Лі, та алгебр Лейбніца, усі власні підалгебри яких є абелевими. Получено описание алгебр Лейбница, все подалгебры которых являются алгебрами Ли, и алгебр Лейбница, все собственные подалгебры которых абелевы. The description of the Leibniz algebras, whose proper subalgebras are Lie algebras, and the Leibniz algebras, whose proper subalgebras are Abelian, is obtained. 2016 Article Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца / Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В.А. Чупордя // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 11. — С. 5-9. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.11.005 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125909 512.544 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца Доповіді НАН України |
| description |
Отримано детальний опис алгебр Лейбніца, усі власні підалгебри яких є алгебрами Лі, та алгебр
Лейбніца, усі власні підалгебри яких є абелевими. |
| format |
Article |
| author |
Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. |
| author_facet |
Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. |
| author_sort |
Курдаченко, Л.А. |
| title |
Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца |
| title_short |
Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца |
| title_full |
Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца |
| title_fullStr |
Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца |
| title_full_unstemmed |
Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца |
| title_sort |
про деякі "мінімальні" алгебри лейбніца |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125909 |
| citation_txt |
Про деякі "мінімальні" алгебри Лейбніца / Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В.А. Чупордя // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 11. — С. 5-9. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kurdačenkola prodeâkímínímalʹníalgebrilejbníca AT subbotíníâ prodeâkímínímalʹníalgebrilejbníca AT čupordâva prodeâkímínímalʹníalgebrilejbníca AT kurdačenkola onekotoryhminimalʹnyhalgebrahlejbnica AT subbotíníâ onekotoryhminimalʹnyhalgebrahlejbnica AT čupordâva onekotoryhminimalʹnyhalgebrahlejbnica AT kurdačenkola onsomeminimalleibnizalgebras AT subbotíníâ onsomeminimalleibnizalgebras AT čupordâva onsomeminimalleibnizalgebras |
| first_indexed |
2025-11-28T10:57:12Z |
| last_indexed |
2025-11-28T10:57:12Z |
| _version_ |
1850031429463834624 |
| fulltext |
5ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 11
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
11 • 2016
Алгебра L над полем F називається (лiвою) алгеброю Лейбнiца, якщо друга бiнарна операцiя
(комутування [ , ]) задовольняє тотожнiсть Лейбнiца
[[ , ], ] [ ,[ , ] [ ,[ , ]]a b c a b c b a c= − для усіх , ,a b c L∈ .
Алгебри Лейбнiца є узагальненням алгебр Лi. Дiйсно, алгебра Лейбнiца L є алгеброю Лi тодi
i тiльки тодi, коли [a, a] = 0 для кожного елемента a ∈ L. З огляду на це ми можемо розгляда-
ти алгебри Лейбнiца як “не антикомутативний” аналог алгебр Лi.
Алгебри Лейбнiца вперше з’явилися в роботах А.М. Блоха [1—3], у яких вiн називав їх
D-алгебрами. Однак тодi його дослiдження не були продовженi. Iнтерес до цього об’єкта
зрiс пiсля роботи Д. Лодая [4], який i ввiв термiн “алгебра Лейбнiца” на честь Лейбнiца, який
розглядав “тотожнiсть Лейбнiца” для диференцiювання функцiй. Алгебри Лейбнiца при-
родно виникають у деяких розділах диференцiальної геометрiї, алгебрi гомологiй, класичнiй
алгебраїчнiй топологiї, алгебраїчнiй К-теорiї, некомутативнiй геометрiї та iн. Деякi роботи,
що стосуються алгебр Лейбнiца, присвяченi вивченню гомологiчних проблем [5—7]. Теорiя
алгебр Лейбнiца розвивається досить iнтенсивно, але дуже нерiвномiрно. З одного боку,
деякi глибокi структурнi теореми були отриманi як аналоги вiдповiдних результатiв алгебр
Лi. З iншого боку, є деякi питання, якi, здавалося б, повиннi розглядатися в першу чергу,
навiть не починали дослiджуватися. Так, автори не змогли знайти робiт, якi мiстять загаль-
ний опис циклiчних пiдалгебр алгебр Лейбнiца. Знайдено роботи, якi мiстили опис для де-
яких частинних випадкiв, але загального результату не було. Тому ми вважаємо доцільним
заповнити цю прогалину. Буде корисним нагадати деякi важливi поняття.
© Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В.А. Чупордя, 2016
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2016.11.005
УДК 512.544
Л.А. Курдаченко1, I.Я. Субботiн2, В.А. Чупордя1
1 Днiпропетровський нацiональний унiверситет iм. Олеся Гончара
2 Нацiональний унiверситет, Лос-Анджелес, США
E-mail: lkurdachenko@i.ua, isubboti@nu.edu, vchupordia@gmail.com
Про деякi “мiнiмальнi” алгебри Лейбнiца
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.П. Моторним)
Отримано детальний опис алгебр Лейбнiца, усi власнi пiдалгебри яких є алгебрами Лi, та алгебр
Лейбнiца, усi власнi пiдалгебри яких є абелевими.
Ключовi слова: алгебра Лейбнiца, циклiчна алгебра, алгебра Лi.
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 11
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F. Для непорожньої пiдмножини M алгебри L
позначимо через M пiдалгебру алгебри L, породжену множиною M.
Нехай A та B — пiдпростори L, тодi через [A, B] позначимо пiдпростiр, породжений усiма
елементами вигляду [a, b], де a A∈ , b B∈ .
Алгебра Лейбнiца L має iдеал, який вiдiграє важливу роль в її будовi. Позначимо через
Leib(L) пiдпростiр, породжений елементами [a, a], a L∈ . Пiдпростiр Leib(L) є iдеалом в L, i
якщо H є таким iдеалом в L, що L/H є алгеброю Лi, то Leib(L) � H. Iдеал Leib(L) називають
ядром Лейбнiца алгебри L.
Зазначимо ще одну важливу властивiсть елементiв ядра Лейбнiца:
[ ], , 0a a x⎡ ⎤ =⎣ ⎦ для довiльних елементiв ,a x L∈ .
Нехай L — алгебра Лейбнiца. Визначимо нижнiй центральний ряд для L:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1L L L L L Lα α+ δ= γ γ γ γ γ… …� � � � � ,
де ( ) ( ) [ ]γ = γ =1 2, ,L L L L L , далi рекурсивно ( ) ( )1 ,L L Lα+ α⎡ ⎤γ = γ⎣ ⎦ для усiх порядкових α i
( ) ( )L Lλ μ<λ μγ = γ∩ для граничних λ. Останнiй член ( )Lδγ називають нижнiм гiпоцентром L.
Таким чином, якщо k — додатне цiле число, то [ ]γ = … …( ) ,[ , [ , ] ]k L L L L L — лiвонормова-
ний комутант k екземплярiв L.
Алгебра Лейбнiца L називається нiльпотентною, якщо iснує додатне цiле k таке, що
( )γ = 0k L . Бiльш детально, алгебру L будемо називати нiльпотентною з класом нiль по-
тентностi c, якщо ( )1 0c L+γ = , але ( ) 0c Lγ ≠ . Клас нiльпотентностi алгебри L будемо по-
значати через ncl(L).
Визначимо лiвий (вiдповiдно правий) центр ( )left Lζ (вiдповiдно ( )right Lζ ) алгебри
Лейбнiца L таким чином:
( )left { [ , ] 0L x L x yζ = ∈ = для усiх }y L∈
(вiдповiдно
( )right { [ , ] 0L x L y xζ = ∈ = для усiх }y L∈ ).
Слiд зазначити, що лiвий центр алгебри L є iдеалом. Бiльш того, Leib ( ) ( )leftL Lζ� , отже,
( )leftL Lζ є алгеброю Лi. У загальному випадку лiвий та правий центри є рiзними, бiльш
того, лiвий центр є iдеалом на вiдмiну вiд правого центру, який у загальному випадку не є
iдеалом. Вiдповiдний приклад можна знайти в роботi [8].
Центр ( )Lζ алгебри L визначається таким чином:
( ) { [ , ] 0 [ , ]L x L x y y xζ = = =∈ для усіх }y L∈ .
Центр є iдеалом в L, що, зокрема, дає змогу розглядати фактор-алгебру ( )L Lζ .
Алгебру Лейбнiца L називають абелевою, якщо =[ , ] 0x y , для усiх елементiв ,x y L∈ . За-
значимо, що лiвий та правий центри є абелевими пiдалгебрами.
Визначимо верхнiй центральний ряд
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 10 L L L L L L Lα α+ λ ∞= ζ ζ ζ ζ ζ ζ = ζ… …� � � � � �
алгебри Лейбнiца L за такими правилами: ( ) ( )1 L Lζ = ζ — центр L i рекурсивно
( ) ( ) ( )( )1 L L L Lα+ α αζ ζ = ζ ζ для усiх порядкових α та ( ) ( )λ μ<λ μζ = ζ∪L L для граничних λ.
За побудовою кожний член цього ряду є iдеалом в L. Останнiй член ( )L∞ζ цього ряду нази-
7ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 11
вають верхнiм гiперцентром алгебри L. Алгебра Лейбнiца L називається гiперцентральною,
якщо вона збігається з верхнiм гiперцентром.
Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F i d ∈ L. Покладемо
( ) ( ) ( ) ( )+ ⎡ ⎤= = = ∈⎣ ⎦1 2 1ln , ln [ , ], ln , ln ,k kd d d d d d d d k N .
Цi елементи будемо називати лiвонормованими комутаторами елемента d. Слiд зазначити,
що пiдалгебра d є пiдпростором, породженим елементами ∈ln ( ),k d k N . Отже, маємо два
природних випадки.
Елементи = ∈ln ( ),j jd d j N є лiнiйно незалежними. Тодi пiдалгебра D d= має ниж нiй
центральний ряд
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 0j jD D D D D+= γ γ γ γ… …� � � � �
довжини ω i ( ) ,j t j tD Fd j Nγ = ⊕ ∈� . У цьому випадку будемо говорити, що елемент d має
нескiнченну глибину.
Елементи = ∈ln ( ),j jd d j N є лiйнiйно залежними, тодi пiдалгебра D d= має скiн чен-
ну вимiрнiсть над полем F. У цьому випадку будемо говорити, що елемент d має скiнченну
глибину. Нехай k — таке найменше натуральне число, що …1ln ( ), , ln ( )kd d є лiнiйно неза-
лежними, але +…1 1ln ( ), , ln ( ), ln ( )k kd d d лiнiйно залежнi. Можна показати, що у цьому разi
= +…+1ln ( ) ln ( )kD F d F d . Зокрема, пiдмножина …1{ln ( ), , ln ( )}kd d складе базис для D i
( )=dimF D k . У цьому випадку будемо говорити, що елемент d має глибину k.
Випадок, коли елемент d має скiнченну глибину, виявився бiльш рiзноманiтним, що i
показує нижчесформульований результат.
Теорема 1. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F, a ∈ L, D = ⟨a⟩. Припустимо, що еле-
мент a має скiнченну глибину. Тодi D є алгеброю одного з таких типiв:
(i) D = Fa — абелева, [a, a] = 0;
(ii) iснує натуральне k таке, що lnk(a) ≠ 0, але lnk+1(a) = 0, тобто D — нiльпотентна
циклiчна алгебра;
(iii) D = V ⊕ U, де V — абелевий iдеал, ζleft( )V D� , U — нiльпотентна циклiчна пiдалгебра,
[D, D] = V ⊕ [U, U] є абелевим iдеалом;
(iv) = ζ ⊕ ζleft right( ) ( )D D D , де =ζ = +…+left
2[ , ] ( ) ln ( ) ln ( )kD D D F a F a , ζ =right( )D Fc ,
для деякого c ∈ D i [c, y] = [a, y], для кожного ∈ζleft( )y D .
Iнший отриманий результат стосується “мiнiмальних” алгебр Лейбнiца, а саме таких ал-
гебр Лейбнiца, усi власнi пiдалгебри яких є алгебрами Лi.
Теорема 2. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F. Припустимо, що кожна власна пiд-
алгебра алгебри L є лiєвою алгеброю. Тодi L є алгеброю, одного з таких типiв:
(i) L є алгеброю Лi;
(ii) iснує натуральне k таке, що lnk(a) ≠ 0, але lnk+1(a) = 0, тобто L є нiльпотентною;
(iii) L = V ⊕ U, де V — абелевий iдеал, ζleft( )V D� , U = Fu i [u, u] = 0, V = Fv + Fv1 i
[u, v] = v1, [u, v1] = 0.
Оскільки кожна абелева алгебра Лейбнiца є алгеброю Лi, маємо
Наслiдок. Нехай L — алгебра Лейбнiца над полем F. Припустимо, що кожна власна пiд-
алгебра алгебри L є абелевою. Тодi L є алгеброю одного з таких типiв:
(i) L є алгеброю Лi, у якої кожна власна пiдалгебра є абелевою;
(ii) знайдеться натуральне k таке, що lnk (a) ≠ 0, але lnk+1(a) = 0, тобто L є нiль по-
тентною;
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 11
(iii) L = V ⊕ U, де V є абелевим iдеалом, ζleft( )V L� , U = Fu i [u, u] = 0, V = Fv + Fv1 i
[u, v] = v1, [u, v1] = 0.
Цей результат означає, що опис алгебр Лейбнiца, усi власнi пiдалгебри яких є абелеви-
ми, може бути застосований i на випадок алгебр Лi з такими ж обмеженнями на пiдалгебри.
Такi алгебри Лi можуть бути або простими, або розв’язними. Розв’язнi мiнiмальнi неабелевi
алгебри Лi (навiть розв’язнi мiнiмальнi алгебри Лi, якi не є нiльпотентними) були описанi
в [9—11]. Простi мiнiмальнi неабелевi алгебри Лi дослiджувалися в [12, 13], але їх повний
опис залишається вiдкритою проблемою.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Блох А.М. Об одном обобщении понятия алгебры Ли // Докл. АН СССР. — 1965. — 165. — С. 471—473.
2. Блох А.М. Теория гомологий Картана—Эйленберга для одного обобщения класса алгебр Ли // Докл.
АН СССР. — 1967. — 175. — С. 266—268.
3. Блох А.М. Некоторое обобщение понятия алгебры Ли // Алгебра и теория чисел: Уч. зап. МГПИ. —
1971. — 375. — С. 9—20.
4. Loday J.L. Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz // Enseign. Math. —
1993. — 39. — P. 269—293.
5. Loday J.L., Pirashvili T. Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology // Math. Ann. —
1993. — 296. — P. 139—158.
6. Frabetti A. Leibniz homology of dialgebras of matrices // J. Pure Appl. Algebra. — 1998. — 129. — P. 123—141.
7. Casas J.M., Pirashvili T. Ten-term exact sequence of Leibniz homology // J. Algebra. — 2000. — 231. — P. 258—
264.
8. Kurdachenko L.A., Otal J., Pypka A.A. Relationships between the factors of canonical central series in Leibniz
algebras // Europ. J. Math. — 2016. — DOI : 10.1007/s40879-016-0093-5
9. Stitzinger E.L. Minimal non nilpotent solvable Lie algebras. // Proc. Amer. Math. Soc. — 1971. — 28. — P. 47—
49.
10. Гейн А.Г., Кузнецов С.В., Мухин Ю.Н. О минимальных ненильпотентных алгебрах Ли // Мат. зап.
Уральск. ун-т. — 1972. — 8, № 3. — С. 18—27.
11. Towers D.A. Lie algebras all whose proper subalgebras are nilpotent // Lin. Algebra Appl. — 1980. — 32. —
P. 61—73.
12. Farnsteiner R. On the structure of simple — semiabelian Lie algebras // Pacific J. Math. — 1984. — 111. —
P. 287—299.
13. Gein A.G. Minimal noncommutative and minimal nonabelian algebras // Commun. Algebra. — 1985. — 13. —
P. 305—328.
REFERENCES
1. Bloh A.M. Soviet Math. Dokl., 1965, 6: 1450—1452.
2. Bloh A.M. Soviet Math. Dokl., 1967, 8: 824—826.
3. Bloh A.M. Algebra and number theory. Uchenye Zapiski Moskov. Gos. Pedagog. Inst., 1971, 375: 9—20 (in Rus-
sian).
4. Loday J.L. Enseign. Math, 1993, 39: 269—293.
5. Loday J.L., Pirashvili T. Math. Ann., 1993, 296: 139—158.
6. Frabetti A. J. Pure Appl. Algebra, 1998, 129: 123—141.
7. Casas J.M., Pirashvili T. J. Algebra, 2000, 231: 258—264.
8. Kurdachenko L.A., Otal J., Pypka A.A. Europ. J. Math., 2016, DOI : 10.1007/s40879-016-0093-5.
9. Stitzinger E.L. Proc. Amer. Math. Soc., 1971, 28: 47—49.
10. Gein A.G., Kuznetsov S.V., Mukhin Yu.N. Mat. Zapiski Uralsk. Gos. Univ., 1972, 8, No 3: 18—27 (in Russian).
11. Towers D.A. Lin. Algebra Appl., 1980, 32: 61—73.
12. Farnsteiner R. Pacific J. Math., 1984, 111: 287—299.
13. Gein A.G. Commun. Algebra, 1985, 13: 305—328.
Надійшло до редакції 10.05.2016
9ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 11
Л.А. Курдаченко1, И.Я. Субботин2, В.А. Чупордя1
1 Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара
2 Национальный университет, Лос-Анджелес, США
E-mail: lkurdachenko@i.ua, isubboti@nu.edu, vchupordia@gmail.com
О НЕКОТОРЫХ “МИНИМАЛЬНЫХ” АЛГЕБРАХ ЛЕЙБНИЦА
Получено описание алгебр Лейбница, все подалгебры которых являются алгебрами Ли, и алгебр Лейбница,
все собственные подалгебры которых абелевы.
Ключевые слова: алгебра Лейбница, циклическая алгебра, алгебра Ли.
L.A. Kurdachenko1, I.Ya. Subbotin2, V.A. Chupordia1
1 Oles Honchar Dnipropetrovs’k National University
2 National University, Los Angeles, USA
E-mail: lkurdachenko@i.ua, isubboti@nu.edu, vchupordia@gmail.com
ON SOME “MINIMAL” LEIBNIZ ALGEBRAS
The description of the Leibniz algebras, whose proper subalgebras are Lie algebras, and the Leibniz algebras, whose
proper subalgebras are Abelian, is obtained.
Keywords: Leibniz algebra, cyclic algebra, Lie algebra.
|