Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву
Дано постановку і отримано аналітичні (точні) розв’язки крайових задач для композитних
 нескінченно довгих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при дії статичних
 навантажень. Система розв’язувальних рівнянь записана на основі співвідношень уточненої
 теорії...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125913 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву / Є.А. Сторожук, А.В. Яцура, С.М. Комарчук, О.В. Пiголь // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 11. — С. 28-35. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859988947179929600 |
|---|---|
| author | Сторожук, Є.А. Яцура, А.В. Комарчук, С.М. Піголь, О.В. |
| author_facet | Сторожук, Є.А. Яцура, А.В. Комарчук, С.М. Піголь, О.В. |
| citation_txt | Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву / Є.А. Сторожук, А.В. Яцура, С.М. Комарчук, О.В. Пiголь // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 11. — С. 28-35. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дано постановку і отримано аналітичні (точні) розв’язки крайових задач для композитних
нескінченно довгих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при дії статичних
навантажень. Система розв’язувальних рівнянь записана на основі співвідношень уточненої
теорії непологих оболонок з низькою зсувною жорсткістю. Наведено вирази для внутрішніх силових факторів і узагальнених переміщень замкненої і відкритої циліндричних оболонок овального поперечного перерізу, навантажених внутрішнім тиском і поперечною силою.
Дана постановка и получены аналитические (точные) решения краевых задач для композитных бесконечно длинных цилиндрических оболочек некругового поперечного сечения при действии статических нагрузок.
Система разрешающих уравнений записана на основе соотношений уточненной теории непологих оболочек
с низкой сдвиговой жесткостью. Приведены выражения для внутренних силовых факторов и обобщенных
перемещений замкнутой и открытой цилиндрических оболочек овального поперечного сечения, нагруженных внутренним давлением и поперечной силой.
The statements and the analytic (exact) solutions of boundary-value problems are given for composite infinitely long
non-circular cylindrical shells stressed by static loads. The system of solving equations is based on the formulas of
the refined theory of non-shallow shells with low sliding stiffness. The expressions for the internal power factors and
generalized displacements of closed and open cylindrical shells of oval cross-section loaded by an internal pressure
and a transverse force are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:29:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 11
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2016
МЕХАНІКА
© Є.А. Сторожук, А.В. Яцура, С.М. Комарчук, О.В. Пiголь, 2016
Напружено-деформований стан (НДС) цилiндричної оболонки некругового (елiптичного,
овального, параболiчного тощо) перерiзу описується системою диференцiальних рiвнянь iз
змiнними коефiцiєнтами. Тому розв’язання крайових задач для некругових оболонок по в’я-
зане iз значними математичними труднощами.
Iсторично першою працею з аналiтичного розв’язання задачi про НДС цилiндричної
оболонки елiптичного перерiзу була робота [1]. Проте цей розв’язок одновимiрної задачi
для довгої оболонки пiд дiєю внутрiшнього тиску давав рiвнi за абсолютною величиною мо-
менти й перемiщення у вершинах поперечного перерiзу. Коректнi значення моментiв, напев-
не, вперше були отриманi Тимошенком у 1933 р. i опублiкованi в монографiї [2]. Моменти
обчислювались за допомогою таблицi деяких коефiцiєнтiв для ряду значень спiввiдношень
пiвосей елiпса.
В публiкацiях з даної проблеми, якi вийшли пiсля зазначених вище робiт, за допомогою
чисельних, аналiтичних (наближених) i експериментальних методiв дослiджено НДС [3],
стiйкiсть [4, 5] i коливання [6, 7] овальних та елiптичних цилiндричних оболонок при дiї
рiзного виду навантажень. I тiльки в роботi [8] з використанням спiввiдношень теорiї по-
логих оболонок (в спрощенiй постановцi) отримано точнi аналiтичнi розв’язки крайових
задач для вiдкритої некругової цилiндричної оболонки.
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2016.11.028
УДК 539.3
Є.А. Сторожук, А.В. Яцура, С.М. Комарчук, О.В. Пiголь
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: stevan@ukr.net
Точнi розв’язки деяких задач статики
для некругових цилiндричних оболонок
з врахуванням деформацiй поперечного зсуву
(Представлено членом-кореспондентом НАН України І.С. Чернишенком)
Дано постановку i отримано аналiтичнi (точнi) розв’язки крайових задач для композитних
нескiнченно довгих цилiндричних оболонок некругового поперечного перерiзу при дiї статичних
навантажень. Система розв’язувальних рiвнянь записана на основi спiввiдношень уточненої
теорiї непологих оболонок з низькою зсувною жорсткiстю. Наведено вирази для внутрiшнiх си-
лових факторiв i узагальнених перемiщень замкненої i вiдкритої цилiндричних оболонок оваль-
ного поперечного перерiзу, навантажених внутрiшнiм тиском i поперечною силою.
Ключові слова: довга цилiндрична оболонка, некруговий поперечний перерiз, точний розв’я зок,
композитний матерiал, деформацiї поперечного зсуву, статичне навантаження.
29ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 11
Нижче дано загальну постановку задач статики для нескiнченно довгої цилiндричної
оболонки некругового перерiзу i отримано точнi розв’язки деяких крайових задач для оваль-
ної непологої цилiндричної оболонки.
Постановка задачi й основнi рiвняння. Розглянемо нескiнченно довгу цилiндричну
оболонку некругового поперечного перерiзу постiйної товщини h, яка виготовлена з ком-
позитного ортотропного матерiалу i навантажена поверхневими q та погонними P силами,
рiвномiрно розподiленими вздовж твiрних (в напрямку осi цилiндра). Геометрiю серединної
поверхнi оболонки задамо в глобальнiй декартовiй системi координат (X, Y, Z), вiсь OX якої
напрямлена по осi цилiндра. Площину поперечного перерiзу оболонки вiднесемо до систе-
ми координат (Y, Z), а його рiвняння запишемо в параметричнiй формi:
Y = Y (ϕ); Z = Z(ϕ); ϕ1 ϕ ϕ2,
де ϕ — кут мiж нормаллю до серединної поверхнi i вертикальною вiссю OZ.
Вiднесемо оболонку до криволiнiйної ортогональної системи координат (s, ϕ, ζ), спря-
женої з лiнiями головних кривин оболонки. Тут s, ζ — довжини твiрної i нормалi до сере-
динної поверхнi. Приймемо, що напрямки ортотропiї матерiалу в кожнiй точцi оболонки
збiгаються з напрямками осей координат (s, ϕ, ζ). Деформацiї i напруження в кожному по-
перечному перерiзi оболонки будуть однаковими, а всi шуканi величини будуть залежати
тiльки вiд кута ϕ.
Вихiдними при дослiдженнi НДС даного класу оболонок є загальнi рiвняння уточненої
теорiї непологих оболонок, в якiй враховуються деформацiї поперечного зсуву [3, 9]. В цьо-
му випадку для геометричних спiввiдношень маємо вирази:
du w
rd r
ε = +
ϕ
;
1dw
u
rd r
γ = ϑ + −
ϕ
;
d
rd
ϑ=
ϕ
� . (1)
Зв’язок зусиль i момента з компонентами деформацiї приймемо на основi закону Гука:
NN D ε= ; ϕϕ
ϕ ϕ− ν ν(1 )N
s s
E h
D = ; Q = DQγ; DQ = kGϕζh; M = DM ;
3
12(1 )M
s s
E h
D ϕϕ
ϕ ϕ− ν ν
= . (2)
Рiвняння рiвноваги мають такий вигляд:
1
0
dN
Q
rd r
+
ϕ
= ;
1
0
dQ
N q
rd r
− +
ϕ
= ; 0
dM
Q
rd
−
ϕ
= , (3)
де N, Q, M — внутрiшнi зусилля i момент; r — радiус кривини поперечного перерiзу; ε, γ, —
мембранна, поперечна зсувна i згинна деформацiї; u, w — тангенцiальне перемiщення i про-
гин точок серединної поверхнi оболонки; ϑ — кут повороту нормалi; Eϕϕ — модуль пружностi
матерiалу оболонки в напрямку ϕ; νsϕ, νϕs — коефiцiєнти Пуассона; Gϕε — модуль зсуву в
площинi поперечного перерiзу; k — коефiцiєнт, який залежить вiд характеру розподiлу зсу-
ву по товщинi та способу визначення середнього значення зсуву.
При розв’язаннi конкретних задач до рiвнянь рiвноваги (3) i геометричних та фiзичних
спiввiдношень (1) i (2) потрiбно приєднати вiдповiднi граничнi умови.
Замкнена довга цилiндрична оболонка овального поперечного перерiзу при дiї ко м-
бi н ованого навантаження. Перейдемо до побудови точного розв’язку крайової задачi для
замкненої по напрямнiй (−𝜋 φ 𝜋) нескiнченно довгої некругової цилiндричної оболон-
ки (тобто труби), яка навантажена рiвномiрним внутрiшнiм тиском q i парою дiаметрально
30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 11
протилежних рiвномiрно розподiлених уздовж
твiрних поперечних зусиль P, прикладених у
вершинах поперечного перерiзу (рис. 1).
Приймемо, що поперечний перерiз оболон-
ки має форму овала з двома взаємно перпенди-
кулярними осями симетрiї i задається параме-
тричними рiвняннями вигляду:
0 1 sin sin3
2 6
Y r
⎡ ⎤ξ ξ⎛ ⎞+ ϕ + ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= ;
0 1 cos cos3
2 6
Z r
⎡ ⎤ξ ξ⎛ ⎞− ϕ + ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= ; (4)
0 2
a b
r
+= ; 3
a b
a b
−ξ
+
= ; −𝜋 φ 𝜋 .
Тут a, b — велика i мала пiвосi поперечного перерiзу.
Для радiуса кривини овала з використанням рiвнянь (4) отримаємо таку формулу:
r = r0 (1 + ξcos2ϕ). (5)
Враховуючи геометричну i силову симетрiю, за розрахункову схему приймемо четверту
частину оболонки 0 φ 𝜋/2 i задамо такi граничнi умови: u = ϑ = 0 i Q = P/2 на краю φ = 0
та u = ϑ = Q = 0 на краю φ = 𝜋/2.
З перших двох рiвнянь рiвноваги (3) дiстанемо наступне рiвняння для знаходження по-
перечного зусилля:
2
02 2 sin2
d Q
Q r q
d
+ = ξ ϕ
ϕ
. (6)
Характеристичне рiвняння k2 + 1 = 0 вiдповiдного однорiдного рiвняння має коренi k1,2 =
= ±i, тому загальним розв’язком однорiдного рiвняння буде функцiя Q* = C1 cosφ + C2 sinφ.
Частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння (6) знайдемо методом невизначених коефi-
цi єн тiв: Q** = A1 sin 2φ + B1 cos 2φ, де A1 = –2qr0ξ/3, B1 = 0. З крайових умов Q(0) = P/2 i
Q(π/2) = 0 визначимо сталi iнтегрування C1 = P/2 i C2 = 0. Розв’язок рiвняння (6), який за-
довольняє заданим крайовим умовам, має вигляд
02
cos sin2
2 3
qrP
Q
ξ
ϕ − ϕ= . (7)
З другого рiвняння рiвноваги знаходимо тангенцiальне зусилля
0 0
1
sin cos2
2 3
dQ P
N rq r q r q
d
= + = − ϕ − ξ ϕ
ϕ
. (8)
За допомогою iнтегрування з третього рiвняння рiвноваги одержимо вираз для моменту
3M rQd Cϕ+∫= . (9)
Використовуючи спiввiдношення для згинної деформацiї (1) та закон Гука для моменту
(2), отримаємо формулу для знаходження кута повороту
4
1
M
rMd C
D
ϑ ϕ+∫= . (10)
Рис. 1
31ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 11
Пiсля виконання iнтегрування у формулах (9), (10) та визначення з крайових умов
ϑ(0) = 0 i ϑ(π/2) = 0 сталих iнтегрування C4 = Pr2
0δ/2DM i C3 = –qr 2
0ξ2/6 — Pr0 δ/π дiстанемо
остаточнi вирази для момента i кута повороту нормалi:
2
0 02
1 sin sin3 cos2 cos4
2 2 6 3 2 4
Pr qr
M
⎡ ⎤ ξδ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + ϕ+ ϕ + − + ϕ+ ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠π⎣ ⎦
;
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞δ ξ ξδ ξ ξ ξϑ − −δ + ϕ+ − ϕ+ ϕ+ + ϕ+ ϕ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ξ ξ ξ ξ+ − ϕ+ ϕ+ ϕ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2 2
0
3 2 2
0
2 2
1 cos sin2 cos3 cos5
2 6 9 12 60
3 3
1 sin2 sin4 sin6 ,
6 8 8 24
M
M
Pr
D
qr
D
=
(11)
де δ = 1 + 2ξ/9 — ξ2/15.
Вихiдним для знаходження тангенцiального перемiщення є лiнiйне неоднорiдне ди фе-
рен цiальне рiвняння другого порядку зі сталими коефiцiєнтами
( )2
2
1
N
d rNd u rQ
u r
D d Dqd
+ − + ϑ
ϕϕ
= . (12)
Загальний розв’язок вiдповiдного однорiдного рiвняння має вигляд u* = C5cosϕ +
+ C6sinϕ. Частинний розв’язок u** неоднорiдного рiвняння знайдемо методом невизначе-
них коефiцiєнтiв i отримаємо такий вираз для загального розв’язку рiвняння (12):
u = C5 cos ϕ + C6 sin ϕ + A0 + B0ϕ + A11ϕ sin ϕ + A2 sin 2ϕ + (B2 + B21ϕ) cos 2ϕ +
+ B3 cos 3ϕ + A4 sin 4ϕ + B5 cos 5ϕ + A6 sin 6ϕ + B7 cos 7ϕ + A8 sin 8ϕ. (13)
Тут позначено:
3
0
0 2 M
Pr
A
D
δ= ;
3 3 22
0 0 0
2 0
4 23 5
1
9 18 16 9N M Q
qr r qrP
A qr
D D D
⎡ ⎤⎛ ⎞ξ ξ ξξ δ= − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ π⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
;
2 2 3 2 2 22
0 0 0 0
4
2 7
45 60 3 4 3 45N M Q
qr r qr qrP
A
D D D
⎡ ⎤⎛ ⎞ξ ξ ξξ δ= − − − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ π⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
;
4 3
0
6
11
¥
10080 M
qr
A
D
ξ= ;
4 4
0
8 18144 M
qr
A
D
ξ= − ;
3 2 3
0 0 0
11 1 1 1
4 2 4 2 18 24 4 2N M Q
Pr Pr Pr
A
D D D
⎛ ⎞ξ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
;
3
0
0
M
Pr
B
D
δ−
π
= ;
3
0
2 6 M
Pr
B
D
ξδ= − ;
3 2
0 0 0
3
3 13 3
32 32 9 6 20 32N M Q
Pr Pr Pr
B
D D D
⎛ ⎞ξ ξ ξξ ξ= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
;
3 2
0
5
23
576 15 2M
Pr
B
D
ξ ξ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
;
3 3
0
7 11520 M
Pr
B
D
ξ= ;
3
0
21 3 M
Pr
B
D
ξδ=
π
.
Сталi iнтегрування C5 i C6 визначимо з крайових умов u (0) = 0 i u (π/2) = 0:
C5 = –A0 – B2 – B3 – B5 – B7; C6 = B2 – A0 + π (B21 – B0 – A11)/2. (14)
32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 11
Тепер за допомогою спiввiдношення w = rN/DN – u′ϕ можна записати розгорнутий вираз
для прогину
( ) ( ) ( )
( )
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ξ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞= − + ϕ − ϕ − − ϕ+ ϕ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦
− + − ϕ − + ϕ ϕ − + ϕ+
+ + ϕ ϕ+ ϕ − ϕ+ ϕ −
− ϕ+ ϕ − ϕ
2 2 2
0 0
0 5 11 6 11 2 21
2 21 3 4 5
6 7 8
2
1 cos2 cos4 1 sin sin3
6 3 6 2 2 2
sin cos 2 cos2
2 sin2 3 sin3 4 cos4 5 sin5
6 cos6 7 sin7 8 cos8
N N
r q r P
w
D D
B C A C A A B
B B B A B
A B A
(15)
Вiдкрита довга цилiндрична оболонка овального перерiзу з шарнiрно закрiпленими
поздовжнiми краями. Розглянемо вiдкриту по напрямнiй (–α φ α) нескiнченно до-
вгу цилiндричну оболонку овального поперечного перерiзу (4), поздовжнi краї (φ = ±α)
якої шарнiрно опертi на нерухомi опори. Оболонка навантажена рiвномiрно розподiленою
вздовж твiрної поперечною силою P, що прикладена у вершинi (рис. 2).
Для поперечного перерiзу i навантаження має мiсце симетрiя вiдносно вертикальної
площини XOZ. Тому розрахунки будемо виконувати для половини оболонки (0 φ α).
На краю φ = α задамо умови шарнiрно нерухомого опирання (u = w = M = 0), а на краю φ =
= 0 — такi граничнi умови: u = ϑ = 0 i Q = 2P .
Знаходження поперечного зусилля зводиться до розв’язання рiвняння
2
2
0
d Q
Q
d
+ =
ϕ
. (16)
Загальний розв’язок цього рiвняння має вигляд
Q = C1cosφ + C2 sinφ. (17)
Для тангенцiального зусилля з другого рiвняння рiвноваги маємо вираз
N = –C1 sin φ + C2 cos φ. (18)
З граничної умови Q(0) = 2P визначимо сталу iнтегрування C1 = 2P i представимо
внутрiшнi зусилля у виглядi:
2cos sin
2
P
Q C= ϕ+ ϕ ; 2sin cos
2
P
N C= − ϕ+ ϕ , (19)
де C2 — невiдома стала iнтегрування.
Рис. 2
33ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 11
Використовуючи формули (9) i (10) та задовольняючи крайовi умови M(α) = 0 i ϑ (0) =
= 0, одержимо такi вирази для момента i кута повороту нормалi:
0
1 2 0 21 sin sin 3 1 cos cos3
2 2 6 2 6
Pr
M C r
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= δ + + ϕ+ ϕ + δ + − ϕ − ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
;
2 2 2 2
0 1
1
2 2 2 2
2 0 2
2
2
1 cos sin2 cos3 cos5
2 6 2 9 12 60
2
1 sin sin2 sin3 sin5 .
6 2 12 9 60
M
M
Pr
D
C r
D
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ξδξ ξ ξ ξϑ = δ + δ ϕ − − ϕ+ ϕ − + ϕ − ϕ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ξδξ ξ ξ ξ+ δ ϕ+ − ϕ+ ϕ+ − ϕ − ϕ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(20)
Тут δ1 = –(1 + ξ/2) sin α – ξ sin 3α/6; δ2 = (1 – ξ/2) cos α + ξ cos 3α/6.
Значення тангенцiального перемiщення отримаємо, розв’язавши рiвняння вигляду (12).
Загальний розв’язок рiвняння (12) для даної задачi має вигляд:
u = C5 cos ϕ + C6 sin ϕ + u∗∗;
u∗∗ = A0 + B0ϕ + A11ϕ sin ϕ + B11ϕ cos ϕ + A2 sin 2ϕ + (B2 + B21ϕ) cos 2ϕ +
+ A3 sin 3ϕ + B3 cos 3ϕ + A4 sin 4ϕ + A5 sin 5ϕ + B5 cos 5ϕ + A7 sin 7ϕ + B7 cos 7ϕ, (21)
де
3
0
0 2 M
P r
A
D
δ= ;
3 2 3
0 0 0
11 1 1 1
4 2 4 2 18 24 4 2N M Q
Pr Pr Pr
A
D D D
⎛ ⎞ξ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
;
3 3
1 0 2 2 0
2
5 5
36 18N M
P r C r
A
D D
δ ξ δ ξ= + ;
3 2
2 0 2 0 2 0
3
3 13 3
16 16 9 6 20 16N M Q
C r C r C r
A
D D D
⎛ ⎞ξ ξ ξξ ξ= + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
;
3 2 3 2
0 1 2 0 2
4 120 60M M
Pr C r
A
D D
δ ξ δ ξ= − − ;
3 2
2 0
5
23
288 15 2M
C r
A
D
ξ ξ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
;
3 3
2 0
7 5760 M
C r
A
D
ξ= ;
3 3
1 0 2 2 0
0 2 M M
P r C r
B
D D
δ δ= + ;
3 2
0 0 0
3
3 13 3
32 32 9 6 20 32N M Q
Pr Pr Pr
B
D D D
⎛ ⎞ξ ξ ξξ ξ= + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
; (22)
3
0
2 6 M
P r
B
D
δ ξ= − ;
3 2 3
2 0 2 0 2 0
11 1 1 1
2 2 2 2 18 24 2 2N M Q
C r C r C r
B
D D D
⎛ ⎞ξ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
;
3 2
0
5
23
576 15 2M
Pr
B
D
ξ ξ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
;
3 3
0
7 11520 M
Pr
B
D
ξ= ;
3 3
1 0 2 2 0
21 ¥
6 3M M
P r C r
B
D D
δ ξ δ ξ= − .
Прогин оболонки визначається за формулами
w = C5 sin ϕ – C6cosϕ + w∗∗;
w∗∗ = rN/DN – B0 – (A11 – B11ϕ) sin ϕ – (B11 + A11ϕ) cos ϕ –
– (2A2 + B21) cos 2ϕ + 2 (B2 + B21ϕ) sin 2ϕ – 3A3 cos 3ϕ + 3B3 sin 3ϕ –
– 4A4 cos 4ϕ – 5A5 cos 5ϕ + 5B5 sin 5ϕ – 7A7 cos 7ϕ + 7B7 sin 7ϕ. (23)
З граничних умов u(α) = 0 i w(α) = 0 знаходимо сталi iнтегрування C5 i C6:
C5 = –u**(α) cos α – w**(α) sin α; C6 = w**(α) cos α — u**(α) sin α. (24)
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 11
Зауважимо, що у виразах для внутрiшнiх зусиль N, Q (19), коефiцiєнтiв Ai, Bj (22) i ста-
лих iнтегрування C5, C6 (24) частина доданкiв мiстить поперечну силу P, а решта доданкiв —
невiдому сталу C2, тому їх можна подати у такому виглядi:
( )+ →2
p cN N P N C N Q= ; 2( )p c
i i i jiA A P A C A B+ →= ; ( )5 5 2 5 65
p cC C P C C C C+ →= . (25)
Тут коефiцiєнти Np, Nc, Qp, Qc i p
iA , c
iA , p
jB , c
jB визначаються безпосередньо з формул (19)
i (22), а для коефiцiєнтiв 5 665 , , ,p pc cC C C C маємо
5 ( , , )cos ( , , , )sin ( )p p p p pp
i j i jC u A B w N A B p c− α α − α α →** **= ;
6 ( , , )sin ( , , , )cos ( )p p p p pp
i j i jC u A B w N A B p c− α α + α α →** **= . (26)
Нарештi можна визначити сталу iнтегрування C2, використавши з цiєю метою крайову
умову для тангенцiального перемiщення в точцi ϕ = 0:
u(0) = C5 + A0 + B2 + B3 + B5 + B7 = 0. (27)
Пiдставивши у рiвнiсть (27) вирази для C5, A0, B2, B3, B5, B7 (25), знаходимо сталу
iнтегрування C2:
70 2 35 5
2
5
( )p p p p p p
c
P C A B B B B
C
C
+ + + + +
−= . (28)
Пiсля цього за допомогою формул (19) — (24) обчислюємо внутрiшнi зусилля, момент,
кут повороту нормалi, тангенцiальне перемiщення i прогин оболонки.
Таким чином, отриманi аналiтичнi розв’язки дозволяють обчислити точнi значення
внут рiшнiх силових факторiв i узагальнених перемiщень довгої овальної цилiндричної обо-
лонки, оцiнити її мiцнiсть i жорсткiсть при дiї статичних навантажень, а також можуть бути
еталонними для наближених i чисельних методiв.
ЦИТОВАНА ЛIТЕРАТУРА
1. Bresse J. A. C. H. Cours de Mecanique Appliquee. Premiere Partie. Resistance des materiaux et stabilitedes
constructions. — Paris: Gauthier-Villars, 1866. — 536 p.
2. Timoshenko S. Strength of Materials. Part II, Advanced Theory and Problems. — New York: D. Van Nostrand
Company, 1941. — 510 p.
3. Григоренко Я.М., Будак В.Д., Григоренко О.Я. Розв’язання задач теорiї оболонок на основi дискретнокон-
тинуальних методiв: навчальний посiбник. — Миколаїв: Iлiон, 2010. — 294 с.
4. Железнов Л. П., Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых
цилиндрических оболочек при осевом сжатии и внутреннем давлении // Прикл. механика и техн. фи-
зика. — 2002. — 43, № 4. — С. 155—160.
5. Коноплев Ю.Г., Саченков А.А. Теоретико-экспериментальный метод в задаче устойчивости цилиндри-
ческой оболочки эллиптического сечения // Исследования по теории пластин и оболочек: тр. семинара
КФТИ КФ АН СССР. — Казань: Изд-во КГУ, 1984. — Вып. 17, ч. 1. — С. 135—142.
6. Мейш В.Ф., Кепенач Н.П. Нестационарная динамика продольно подкрепленных цилиндрических обо-
лочек эллиптического поперечного сечения // Прикл. механика. — 2014. — 50, № 6. — С. 83—89.
7. Yamada G., Irie T., Tagawa Y. Free vibration of non-circular cylindrical shells with variable circumferential
profile // J. Sound and Vibr. — 1984. — 95, №1. — P. 117—126.
8. Григоренко Я.М., Харитонова Л.В. Деформирование гибких некруговых цилиндрических оболочек при
совместном действии двух видов нагружения // Прикл. механика. — 2007. — 43, № 7. — С. 58—65.
9. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, В.Н. Чехов и др. —
Киев: Наук. думка, 1980. — 636 с. (Методы расчета оболочек: В 5 т.; Т.1).
35ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 11
REFERENCES
1. Bresse J. A. C. H. Cours de Mecanique Appliquee. Premiere Partie. Resistance des materiaux et stabilite des
constructions. — Paris: Gauthier-Villars, 1866.
2. Timoshenko S. Strength of Materials. Part II, Advanced Theory and Problems. New York: D. Van Nostrand
Company, 1941.
3. Grigorenko Ya.M., Budak V.D., Grigorenko O.Ya. Solving the problems of shell theory based on discrete con-
tinual methods: a tutorial. Mykolayiv: Ilion Publ., 2010. (In Ukrainian).
4. Zheleznov L.P., Kabanov V.V. J. Appl. Mech. and techn. physics. 2002, 43, № 4: 155—160 (In Russian)
5. Konoplyev Yu.G., Sachenkov A.A. Theoretical and experimental method in the problem of stability of a cylin-
drical shell elliptical cross-section. Studies in the theory of plates and shells: proceedings of the Workshop
KPhTI of Kazan Branch of the USSR Academy of Sciences. Kazan: Publishing House of KSU, 1984. Iss. 17,
part 1: 135—142 (In Russian)
6. Meish V.F., Kepenach N.P. Int. Appl. Mech. 2014, 50, № 6: 83—89 (In Russian)
7. Yamada G., Irie T., Tagawa Y. J. Sound and Vibr. 1984, 95, №1: 117—126.
8. Grigorenko Ya.M., Kharitonovа L.V. Int. Appl. Mech. 2007, 43, № 7: 58—65 (In Russian)
9. Theory of thin shells weakened by holes. A.N. Guz, I.S. Chernyshenko, V.N. Chekhov et al. Kiev: Nauk. Dumka,
1980 (Calculation methods shells: In 5 v.; V.1) (in Russian)
Надiйшло до редакцiї 14.03.2016
Е.А. Сторожук, А.В. Яцура, С.Н. Комарчук, О.В. Пиголь
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: stevan@ukr.net
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ ДЛЯ НЕКРУГОВЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
Дана постановка и получены аналитические (точные) решения краевых задач для композитных бесконеч-
но длинных цилиндрических оболочек некругового поперечного сечения при действии статических нагрузок.
Система разрешающих уравнений записана на основе соотношений уточненной теории непологих оболочек
с низкой сдвиговой жесткостью. Приведены выражения для внутренних силовых факторов и обобщенных
перемещений замкнутой и открытой цилиндрических оболочек овального поперечного сечения, нагружен-
ных внутренним давлением и поперечной силой.
Ключевые слова: длинная цилиндрическая оболочка, некруговое поперечное сечение, точное решение, ком-
позитный материал, деформации поперечного сдвига, статическая нагрузка.
E.A. Storozhuk, A.V.Yatsura, S.М. Komarchuk, O.V. Pigol
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: stevan@ukr.net
EXACT SOLUTIONS TO SOME PROBLEMS OF THE STATICS OF NON-CIRCULAR
CYLINDRICAL SHELLS CONSIDERING TRANSVERSE SHEAR STRAINS
The statements and the analytic (exact) solutions of boundary-value problems are given for composite infinitely long
non-circular cylindrical shells stressed by static loads. The system of solving equations is based on the formulas of
the refined theory of non-shallow shells with low sliding stiffness. The expressions for the internal power factors and
generalized displacements of closed and open cylindrical shells of oval cross-section loaded by an internal pressure
and a transverse force are presented.
Keywords: long cylindrical shell, non-circular cross-section, exact solution, composite material, deformation of
transverse shear, static load.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-125913 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:29:50Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сторожук, Є.А. Яцура, А.В. Комарчук, С.М. Піголь, О.В. 2017-11-09T16:16:05Z 2017-11-09T16:16:05Z 2016 Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву / Є.А. Сторожук, А.В. Яцура, С.М. Комарчук, О.В. Пiголь // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 11. — С. 28-35. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.11.028 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125913 539.3 Дано постановку і отримано аналітичні (точні) розв’язки крайових задач для композитних
 нескінченно довгих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при дії статичних
 навантажень. Система розв’язувальних рівнянь записана на основі співвідношень уточненої
 теорії непологих оболонок з низькою зсувною жорсткістю. Наведено вирази для внутрішніх силових факторів і узагальнених переміщень замкненої і відкритої циліндричних оболонок овального поперечного перерізу, навантажених внутрішнім тиском і поперечною силою. Дана постановка и получены аналитические (точные) решения краевых задач для композитных бесконечно длинных цилиндрических оболочек некругового поперечного сечения при действии статических нагрузок.
 Система разрешающих уравнений записана на основе соотношений уточненной теории непологих оболочек
 с низкой сдвиговой жесткостью. Приведены выражения для внутренних силовых факторов и обобщенных
 перемещений замкнутой и открытой цилиндрических оболочек овального поперечного сечения, нагруженных внутренним давлением и поперечной силой. The statements and the analytic (exact) solutions of boundary-value problems are given for composite infinitely long
 non-circular cylindrical shells stressed by static loads. The system of solving equations is based on the formulas of
 the refined theory of non-shallow shells with low sliding stiffness. The expressions for the internal power factors and
 generalized displacements of closed and open cylindrical shells of oval cross-section loaded by an internal pressure
 and a transverse force are presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву Точные решения некоторых задач статики для некруговых цилиндрических оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига Exact solutions to some problems of the statics of non-circular cylindrical shells considering transverse shear strains Article published earlier |
| spellingShingle | Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву Сторожук, Є.А. Яцура, А.В. Комарчук, С.М. Піголь, О.В. Механіка |
| title | Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву |
| title_alt | Точные решения некоторых задач статики для некруговых цилиндрических оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига Exact solutions to some problems of the statics of non-circular cylindrical shells considering transverse shear strains |
| title_full | Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву |
| title_fullStr | Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву |
| title_full_unstemmed | Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву |
| title_short | Точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву |
| title_sort | точні розв'язки деяких задач статики для некругових циліндричних оболонок з врахуванням деформацій поперечного зсуву |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/125913 |
| work_keys_str_mv | AT storožukêa točnírozvâzkideâkihzadačstatikidlânekrugovihcilíndričnihobolonokzvrahuvannâmdeformacíipoperečnogozsuvu AT âcuraav točnírozvâzkideâkihzadačstatikidlânekrugovihcilíndričnihobolonokzvrahuvannâmdeformacíipoperečnogozsuvu AT komarčuksm točnírozvâzkideâkihzadačstatikidlânekrugovihcilíndričnihobolonokzvrahuvannâmdeformacíipoperečnogozsuvu AT pígolʹov točnírozvâzkideâkihzadačstatikidlânekrugovihcilíndričnihobolonokzvrahuvannâmdeformacíipoperečnogozsuvu AT storožukêa točnyerešeniânekotoryhzadačstatikidlânekrugovyhcilindričeskihoboločeksučetomdeformaciipoperečnogosdviga AT âcuraav točnyerešeniânekotoryhzadačstatikidlânekrugovyhcilindričeskihoboločeksučetomdeformaciipoperečnogosdviga AT komarčuksm točnyerešeniânekotoryhzadačstatikidlânekrugovyhcilindričeskihoboločeksučetomdeformaciipoperečnogosdviga AT pígolʹov točnyerešeniânekotoryhzadačstatikidlânekrugovyhcilindričeskihoboločeksučetomdeformaciipoperečnogosdviga AT storožukêa exactsolutionstosomeproblemsofthestaticsofnoncircularcylindricalshellsconsideringtransverseshearstrains AT âcuraav exactsolutionstosomeproblemsofthestaticsofnoncircularcylindricalshellsconsideringtransverseshearstrains AT komarčuksm exactsolutionstosomeproblemsofthestaticsofnoncircularcylindricalshellsconsideringtransverseshearstrains AT pígolʹov exactsolutionstosomeproblemsofthestaticsofnoncircularcylindricalshellsconsideringtransverseshearstrains |