Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12606 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии / П.А. Миненко // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2008. — С. 116-120. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12606 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Миненко, П.А. 2010-10-14T18:55:58Z 2010-10-14T18:55:58Z 2008 Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии / П.А. Миненко // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2008. — С. 116-120. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. XXXX-0017 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12606 550.831 ru Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України Комплексна інтерпретація геолого-геофізичних даних Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии |
| spellingShingle |
Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии Миненко, П.А. Комплексна інтерпретація геолого-геофізичних даних |
| title_short |
Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии |
| title_full |
Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии |
| title_fullStr |
Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии |
| title_full_unstemmed |
Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии |
| title_sort |
проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии |
| author |
Миненко, П.А. |
| author_facet |
Миненко, П.А. |
| topic |
Комплексна інтерпретація геолого-геофізичних даних |
| topic_facet |
Комплексна інтерпретація геолого-геофізичних даних |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| publisher |
Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України |
| format |
Article |
| issn |
XXXX-0017 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12606 |
| citation_txt |
Проблема единственности устойчивых решений обратной линейной задачи гравиметрии и магнитометрии / П.А. Миненко // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2008. — С. 116-120. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT minenkopa problemaedinstvennostiustoičivyhrešeniiobratnoilineinoizadačigravimetriiimagnitometrii |
| first_indexed |
2025-11-24T21:32:23Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:32:23Z |
| _version_ |
1850495232331743232 |
| fulltext |
116
© Ï.À. Ìèíåíêî, 2008
ÓÄÊ 550.831
Êðèâîðîæñêèé ôèëèàë Åâðîïåéñêãî óíèâåðñèòåòà,
ã. Êðèâîé Ðîã
ÏÐÎÁËÅÌÀ ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÎÑÒÈ
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ
ÎÁÐÀÒÍÎÉ ËÈÍÅÉÍÎÉ ÇÀÄÀ×È
ÃÐÀÂÈÌÅÒÐÈÈ È ÌÀÃÍÈÒÎÌÅÒÐÈÈ
Известны методы получения устойчивых решений обратной линейной за-
дачи гравиметрии (ОЛЗГ) и магнитометрии (ОЛЗМ), в частности при крупно-
масштабном геологическом картировании и поисковых работах на щитах [1–3].
Известны способы получения однозначных решений ОЛЗГ путем при-
влечения в качестве начальных условий обратной задачи обширной априор-
ной информации о геологическом строении участка [4–7]. Но в условиях съе-
мок на щитах или на море этих данных очень мало. При отсутствии априор-
ной информации возможно несколько вариантов интерпретационной моде-
ли обратной задачи: а) начальные условия попадают в класс компакта по
А.Н. Тихонову [8, 9], и тогда решение ОЛЗГ является единственным; б) на-
чальные условия не совпадают по геометрии модели, и тогда имеем эквива-
лентное решение для плотности, размытой по объему каждого блока при ра-
венстве масс в модели и в решении; в) начальные условия очень сильно рас-
ходятся как по плотности и геометрии блоков модели, так и по глубине их
расположения. В последнем случае имеем в решении ОЛЗГ, как правило,
чередование положительной и отрицательной аномальной плотности, что не
соответствует действительности. Мы получаем устойчивое, но геологически
несодержательное решение обратной задачи, корректирование которого обыч-
ными методами линейного программирования c помощью неравенств не
приводит к повышению его геологической содержательности.
Цель настоящей статьи – разработка методов решения обратных задач,
обеспечивающих единственность результатов интерпретации поля силы тя-
жести gj (или магнитного поля Za) при отсутствии априорной информации
или при малом ее количестве.
Поставленная цель достигается тем, что в оптимизированном итераци-
онном методе с итерационной формулой, аналогичной приведенной в статье
[3], с помощью итерационных поправок на каждой итерации с номером n
наращивается не аномальная плотность горных пород σi,n, а величина
, ,{ ( ; 1, ; , , )}k
i i n i nS s s i M k R Z Nσ= = = ∈ .
117
Положим k = 2 и разработаем новый итерационный метод с перемен-
ным параметром si,n и постоянным оптимизирующим коэффициентом τn+1:
, 1 , 1 ,i n i n n i ns s Bτ+ += − , (1)
где
2
, , , , , , ,( / , / ); ( , ) ; ;i n i j i j n j j n i j i j i i j j i j
i j
B a r r a s g a aλ λ λ λ= = − = =∑ ∑ ; (2)
2
, 1 , , 1 , 1 , , 1 ,( / , / ); ( ( ) ;i n i j i j n j j n i j i n n i n jB a r r a s B gλ λ τ+ + + += = − − (3)
ai,j – матрица решений прямой задачи гравиметрии для i-того блока масс в
точке с номером j (j = 1, N).
Образуем критерий минимума суммы квадратов поправок для si,n:
2 2
, 1 , , 1
1 1
( / / ) min
M N
i n i j j n j i
i i j
F B a r λ λ+ +
= =
= = =∑ ∑ ∑ ; (4)
Если начало решения ОЛЗГ выполняется устойчивыми методами [1–3]
по σi,n, то получается нижняя грань огибающей реального распределения
аномальной плотности, которая не достигает реальных значений, но при
увеличении количества итераций в случае в) может наблюдаться все увели-
чивающееся искажение решения ОЛЗГ вплоть до превращения его в геоло-
гически несодержательное. Поэтому после выполнения нескольких десят-
ков итераций одним из методов [1–3] необходимо перейти к решению ОЛЗГ
итерационным методом (1)–(4). Такая последовательность приемов интер-
претации позволяет заменить нелинейный критерий (4) его линеаризован-
ным вариантом. Возьмем производную от выражения (4) по τn+1 и прирав-
няем ее к нулю:
( )( )2
, 1 1, , 1 2, , 1, , 1 2, ,2 0i n n i n n i n i n n i n
i
B Y Y Y Yτ τ τ+ + +− + − =∑ . (5)
После преобразований получим
2 3
1 1 1 0;u n u n u n ua b c dτ τ τ+ + +− + − = (6)
где
, 1, , 1, , 1, , 2, , ,
1, , 2, , 2, , 2, ,
1, , , 1, , 2, , , 2, ,
2
1, , , , , 2, , , ,
1 1,
( , ); 2( , ) ( , );
( , ); ( , );
( / , / ); ( / , / );
( , ); ( , );
/ ;
u i n i n u i n i n i n i n
u i n i n u i n i n
i n i j i j n j i n i j i j n j
j n i j i n i n j n i j i n
n u u
a B Y b Y Y Y B
c Y Y d Y Y
Y a r Y a r
r a B s r a B
a b
λ λ λ λ
τ τ+
= = +
= =
= =
= =
= 2 1/ 2
1 ( ( 4 ) ) /(2 ).n u u u u ub b a c c+ = − −
(7)
118
Процесс вычислений контролируется протоколом: вычисляются все
коэффициенты уравнения (6). Обычно коэффициенты при τ2
n+1 и τ3
n+1 на
5–15 порядков ниже коэффициентов au и bu, и уравнение (7) линеаризуется.
Если τn+1 и τ1, n+1 существенно отличаются, а du имеет малое значениев срав-
нении bu, то в формуле (1) вместо τn+1 используют τ1, n+1. При невозможнос-
ти линеаризации уравнения (6) следует выполнить еще несколько десятков
итераций предварительного этапа методами [1–3] или другими, например
на основе гибридного аналога фильтров Винера–Калмана с двумя вектора-
ми начальных условий [10–13]. Для магнитометрии необходимо использо-
вать те же формулы (1) – (7), в которые вместо ai,j следует подставить
bi,j = (ai,j)'z.
Аналогично создаются другие методы решения ОЛЗГ при k = 4; 6; 8 ...
для класса положительно определенного массива физических параметров
блоков интерпретационной модели, а при k = 3; 5; 7 ... – для класса знако-
переменного массива. Для k = 4 имеем
4
, 1, , 1, , 1, , 2, , , , ,( , ); 4( , ) 3( , ); ( , ) ;u i n i n u i n i n i n i n j n i j i ja B Y b Y Y Y B r a s g= = + = − (8)
3 2 2
, , , 1, , , , , 2, , , , ,( / , / ); ( , ); ( , );i n i j i j n j j n i j i n i n j n i j i n i nB a r r a B s r a B sλ λ= = = (9)
Комбинирование двух методов при любых различных k приводит к ме-
тодике, аналогичной использованию гибридного аналога фильтров Винера–
Калмана с двумя наборами векторов начальных условий, высокая эффектив-
ность применения которых уже доказана [10–14]. Возможно, что будет иметь
смысл применять k ∈ R, Z, особенно при больших или очень больших, но близ-
ких целых отрицательных или положительных значениях k. При решении об-
ратных задач для электромагнитного поля следует выбрать k ∈ C – комплек-
сной области, а в теории упругости или пластичности k может иметь струк-
туру тензора. Могут быть разработаны фильтрационные методы подавления
вредных эффектов от кратных волн при решении обратных задач сейсмомет-
рии, двух различных или очень близких значениях k ∈ R, обеспечивающих
сходимость итерационных процессов к устойчивому и однозначному реше-
нию. При этом нужно учесть, что проблема устойчивости любых решений в
сейсмометрии выражена совершенно по-другому, чем в гравиметрии и маг-
нитометрии. Не исключено, что на базе предложенных методов могут быть
разработаны эффективные методы решения обратных задач комплексирова-
ния нескольких физических методов, особенно методов исследования сква-
жин или спутниковых геоинформационных систем измерений.
Результаты экспериментальных исследований. Эффективность
предложенных методов (1) – (9) проверена на моделях и измеренных в За-
падном Кривбассе массивах магнитного поля. Результаты решения ОЛЗМ
этими методами сравнимы с результатами решения обратных задач други-
119
ми фильтрационными итерационными методами с оптимизирующими кри-
териями [10–14], в том числе по данным гравиметрии. Часть результатов
решения ОЛЗМ подтверждена бурением скважин, а по другим выданы ре-
комендации для выполнения работ по геологическому картированию.
Заключение. Впервые обратная линейная задача по физическому па-
раметру приведена к нелинейной задаче. Это позволило в несколько раз умень-
шить количество итераций, повысить однозначность решения ОЛЗГ и ОЛЗМ
и приблизить итерационный метод к получению единственного (в среднем
по каждому блоку) решения в сложных геологических условиях с перемен-
ными в пространстве физическими свойствами. Уточнение контуров маг-
нитных тел ультраосновных пород позволяет локализовать площади распрос-
транения их коры выветривания и определить ее мощность. Это дает воз-
можность более точно выполнить оценку запасов ценного химического сы-
рья, перспективного на полиметаллическое и редкоземельное оруденение.
Перспектива дальнейших исследований. Необходимо продолжить
исследования по разработке методов регуляризации на основе предложен-
ных методов и алгоритмов с гибридными аналогами фильтров Винера–Кал-
мана с двумя и тремя векторами начальных условий, что позволит повы-
сить надежность определения границ геологических массивов кристалли-
ческого фундамента в условиях резко изменяющихся их физических свойств.
1. Миненко П.А. Исследование кристаллического фундамента линейно-нелинейными ме-
тодами магнитометрии и гравиметрии // Геоинформатика. – 2006. – №4. – С.41–45.
2. Миненко П.А. Проблемы и перспективы применения линейных методов интепретации
гравиметрических измерений в рудных районах // Сб. науч. тр. Всеукр. ассоциации Гео-
информатики “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”. – Киев, 2006. –
С. 244–256.
3. Миненко П.А. Особенности решения обратной линейно-нелинейной задачи гравиметрии //
Геоинформатика. – 2005. – № 4. – С. 31–35.
4. Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложнопостроенных
сред // МВССО Ив.-Франк. ин-т нефти и газа. – Киев, 1989. – С. 100.
5. Корчагин И.Н. К вопросу об оптимизации при подборе источников гравимагнитных по-
лей / Геофизические исследования глубинного строения земной коры. – Киев: Наук. думка,
1978. – С. 77–85.
6. Петровский А.П. Повышение геологической эффективности решения обратных задач гео-
физики на основе использования критериев оптимальности дифференциального типа //
Геоинформатика. – 2004. – № 4. – С. 50–54.
7. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. – Киев: Наук.
думка, 1978. – 227 с.
8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – 3-е изд. – М.: На-
ука, 1986. – 288 с.
9. Булах Е.Г., Шуман В.Н. Основы векторного анализа и теория поля. – Киев: Наук. думка,
1998. – 360 с.
120
10. Миненко П.А. Фильтры Винера и Калмана в обратной линейной задаче гравиметрии // Сб.
науч. тр. Всеукр. ассоциации геоинформатики “Теоретичні та прикладні аспекти геоінфор-
матики”. – Киев, 2007. – С. 326–331.
11. Миненко П.А. Фильтрация интенсивных помех в обратной линейной задаче гравиметрии
при исследованиях на кристаллических щитах // Наук. вісн. Нац. гірн. ун-ту. – 2006. –
№ 6. – С. 38–43.
12. Миненко П.А. Обратная линейная задача гравиметрии на основе композиции нескольких
векторов начальних условий // Доп. НАН України. – 2006. – № 9. – С. 126–130.
13. Миненко П.А. Модификация метода регуляризации в ОЛЗГ для поисковых работ в кри-
сталлических породах УКЩ // Наук. вісн. Нац. гірн. ун-ту. – 2006. – № 9. – С. 34–39.
14. Миненко П.А., Миненко Р.В. О поисках избирательных экстремальных решений обратной
задачи магнитометрии при исследованиях на кристаллическом фундаменте // Там же. –
2006. – № 9. – С. 39–44.
|