О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях
Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, на границе которого действует нестационарная нормальная нагрузка. Формулируется смешанная краевая задача, решение которой строится с применением интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля. Выполне...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126184 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 12. — С. 22-28. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-126184 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1261842025-02-09T20:34:48Z О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях Про нестаціонарну осесиметричну задачу для пружного півпростору при змішаних граничних умовах On a nonstationary axisymmetric problem for the elastic half-space under mixed boundary conditions Кубенко, В.Д. Механіка Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, на границе которого действует нестационарная нормальная нагрузка. Формулируется смешанная краевая задача, решение которой строится с применением интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля. Выполнено точное обращение преобразований. Как результат, получено аналитическое решение задачи, которое определяет перемещение в произвольной точке оси симметрии в произвольный момент времени. Розглядається задача визначення напружено-деформівного стану пружного півпростору, на границі якого діє нестаціонарне нормальне навантаження. Формулюється змішана крайова задача, рішення якої будується з застосуванням інтегральних перетворень Лапласа і Ханкеля. Виконано точне обертання перетворень. Як результат, отримано аналітичний розв'язок задачі, що визначає переміщення в довільній точці осі симетрії в довільний момент часу. The problem of determining a stress-strain state of the elastic half-space under a nonstationary normal loading is considered. A mixed boundary-value problem is formulated, and its solution is constructed with the use of the Laplace and Hankel integral transformations. The exact inversion of the transformations is executed. As a result, the analy tical solution is obtained, and it determines a normal displacement at an arbitrary point of the axis of symmetry at an arbitrary moment of time. 2016 Article О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 12. — С. 22-28. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.12.022 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126184 532.528 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Кубенко, В.Д. О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях Доповіді НАН України |
| description |
Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, на границе которого действует нестационарная нормальная нагрузка. Формулируется смешанная краевая задача, решение которой строится с применением интегральных
преобразований Лапласа и Ханкеля. Выполнено точное обращение преобразований. Как результат, получено аналитическое решение задачи, которое определяет перемещение в произвольной точке оси симметрии в произвольный момент времени. |
| format |
Article |
| author |
Кубенко, В.Д. |
| author_facet |
Кубенко, В.Д. |
| author_sort |
Кубенко, В.Д. |
| title |
О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях |
| title_short |
О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях |
| title_full |
О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях |
| title_fullStr |
О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях |
| title_full_unstemmed |
О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях |
| title_sort |
о нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126184 |
| citation_txt |
О нестационарной осесимметричной задаче для упругого полупространства при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 12. — С. 22-28. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kubenkovd onestacionarnoiosesimmetričnoizadačedlâuprugogopoluprostranstvaprismešannyhgraničnyhusloviâh AT kubenkovd pronestacíonarnuosesimetričnuzadačudlâpružnogopívprostoruprizmíšanihgraničnihumovah AT kubenkovd onanonstationaryaxisymmetricproblemfortheelastichalfspaceundermixedboundaryconditions |
| first_indexed |
2025-11-30T13:36:41Z |
| last_indexed |
2025-11-30T13:36:41Z |
| _version_ |
1850222631620444160 |
| fulltext |
22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 12
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
В задачах теории упругости граничные условия принадлежат к одному из следующих типов
(см., например, [1]): задается вектор напряжений (первая краевая задача); задается вектор
перемещений (вторая краевая задача); задается нормальная составляющая вектора переме-
щения и касательные составляющие вектора напряжения (третья краевая задача); задается
нормальная составляющая вектора напряжения и касательные составляющие вектора пе-
ремещения (четвертая краевая задача). Первые два типа условий являются основными, два
последних называют “смешанными”. Как показывает опыт, тип граничных условий су ще ст-
венно влияет на возможность получения аналитического решения нестационарных задач.
В частности, в публикации [2] методами интегральных преобразований дано решение не-
стационарной первой краевой задачи теории упругости для упругой полуплоскости. Полу-
ченное аналитическое решение позволяет определить напряжение (перемещение) только
вдоль оси симметрии для некоторых конкретных видов нагрузки. Связанные с ударными
процессами постановки и исследования в рамках третьей краевой задачи изложены в об-
зорной статье [3]. Наконец, в работе [4] строится точное аналитическое решение плоской
задачи о действии нестационарной нагрузки на поверхность упругой полуплоскости в ус-
ловиях четвертой краевой задачи.
© В.Д. Кубенко, 2016
12 • 2016
МЕХАНІКА
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2016.12.022
УДК 532.528
Академик НАН Украины В.Д. Кубенко
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: vdk@inmech.kiev.ua
О нестационарной осесимметричной задаче
для упругого полупространства
при смешанных граничных условиях
Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния упругого полу-
пространства, на границе которого действует нестационарная нормальная нагрузка. Форму-
лируется смешанная краевая задача, решение которой строится с применением интегральных
преобразований Лапласа и Ханкеля. Выполнено точное обращение преобразований. Как резуль-
тат, получено аналитическое решение задачи, которое определяет перемещение в произволь-
ной точке оси симметрии в произвольный момент времени.
Ключевые слова: нестационарные упругие волны, интегральные преобразования, смешанные
граничные условия.
23ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 12
В данной публикации получено точное решение
нестационарной осесимметричной задачи для упруго-
го полупространства при смешанных граничных ус-
ловиях четвертой краевой задачи, когда на плоскости
границы задана нормальная составляющая вектора
нап ряжения и касательная составляющая вектора пе-
ремещения. Полученное решение определяет харак-
теристики волнового процесса в произвольной точке
объекта. Для решения задачи применяются интегральные преобразования Лапласа и Бес-
селя, обращение которых удается выполнить для достаточно широкого ассортимента дей-
ствующих нестационарных нагрузок и получить выражение для упругого перемещения в
явном виде.
Общий случай. Рассматривается нестационарная осесимметричная задача для упруго-
го полупространства. Отнесем полупространство к цилиндрическим координатам ,r z ,
ось r которых направлена вдоль границы, ось z — вглубь (рис.1).
Нагрузка в виде нормального напряжения ,zzσ осесимметричная относительно оси z ,
возникает в некоторый начальный момент времени 0t = и в общем случае является функ-
цией времени и координаты x.
Задача формулируется в безразмерных обозначениях
0 0
; ; ; ; ; ; ;
2
2
; , , ; ; ,
j jkp p s
j jk
p s
u c t cx z c
r z u t
R h h h c c
b j k r z c c
σ
= = = = σ = α = β =
λ + μ
β λ + μ μ= = = =
α γ γ
черта над которыми ниже будет опущена. Здесь 0,h c — некоторые характерные линейный
размер и скорость; γ — плотность материала; ,λ μ — упругие постоянные Ламе, ,p sc c — со-
ответственно скорости распространения волн расширения и волн сдвига; jkσ — компонен-
ты напряженного состояния; ju — компоненты вектора перемещений.
Поведение упругой среды описывается скалярными волновыми потенциалами Φ и
Ψ , которые в случае осесимметричной задачи теории упругости удовлетворяют волновым
уравнениям [5]
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
0, 0,
r rt t r z
∂ Φ ∂ Ψ ∂ ∂ ∂ΔΦ − = ΔΨ − = Δ ≡ + +
∂α ∂ β ∂ ∂ ∂ (1)
и связаны с упругими перемещениями и напряжениями соотношениями
2 2
2
2 2 2 3 2
2
2 2 2 2
2 2 2 3
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
1
; ;
1
(1 2 ) 2 ;
(1 2 ) 2 ;
1
2 .
2
r z
zz
rr
rz
u u
r r z z r rr
r r zt z r z
t r r z
r z z t
∂Φ ∂ Ψ ∂Φ ∂ Ψ ∂Ψ= + = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
⎛ ⎞β ∂ Φ ∂ Φ ∂ Ψ ∂ Ψσ = − + β − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠α ∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞β ∂ Φ ∂ Φ ∂ Ψσ = − + β +⎜ ⎟⎝ ⎠α ∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞∂ ∂Φ ∂ Ψ ∂ Ψσ = β + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∂ β ∂
(2)
Рис. 1. Система координат
24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 12
В качестве граничных условий при 0z = будем рассматривать смешанные условия
четвертой краевой задачи теории упругости, согласно которой на границе 0z = задается
нормаль ное напряжение и касательное перемещение
0 0( , ), 0.zz rz zQ x t u= =σ = = (3)
Кроме того, имеют место условия затухания порожденных нестационарной нагрузкой
волновых возмущений на бесконечности. Начальные условия для потенциалов нулевые.
В пространстве изображений по Лапласу и Бесселю (Ханкелю) [6, 7] волновые урав-
нения приобретут вид
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
0, 0.
LB LB
LB LBs s
z z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ Φ ∂ Ψ− + ξ Φ = − + ξ Ψ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ α ∂ β
(4)
Здесь s — параметр преобразования Лапласа по t, ξ — параметр преобразования Бес селя
по r. Верхние индексы L и B при функциях обозначают, соответственно, изображе ние дан-
ной функции в пространстве преобразований Лапласа и преобразований Бесселя. Операто-
ры прямого и обратного преобразований обозначаются L() и L–1(), B{} и B–1().
Общее решение уравнений (4), затухающее при z → ∞ , записывается в виде
2 2 2 2 2 2( , ) ; ( , ) ; ; .
zz SPLB LBA s e C s e P s S s
−− βαΦ = ξ Ψ = ξ = + α ξ = + β ξ (5)
Здесь ( , ),A s ξ ( , )C s ξ — неизвестные функции.
В результате удовлетворения граничным условиям (3) получим в пространстве изоб-
ражений выражение для нормального перемещения uz
2 2 2
2 2
1
( , ) 1
zz SP
LB LB
z
e e
u Q s
P Ss s
−− βα
⎡ ⎤
⎛ ⎞⎢ ⎥α ξ ξ= ξ − + + β⎢ ⎥⎜ ⎟α ⎝ ⎠⎢ ⎥
⎣ ⎦
(6)
и для напряжения σzz
2 2
2 2
2 2
( , ) 1 2 2 .LB LB zP zS
zz Q s e e
s s
− −⎡ ⎛ ⎞ ⎤ξ ξσ = ξ + β − β⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
(7)
Ограничимся вычислением перемещения uz и сосредоточимся на достаточно типичном
случае внешнего воздействия, когда область приложения нагрузки является фиксирован-
ным кругом радиуса b, а ее зависимость от времени задается единичной функцией Хеви-
сайда H(t)
( , ) ( ) ( ) ( )Q t r Q r H b r H t= − . (8)
Функция Q(r) задает характер распределения напряжения вдоль оси r.
Перепишем LB
zu в виде, удобном для последующих манипуляций
2 2
3 3
( , , ) ( ) ( , , ); ( ) { ( ) ( )},
1
( , , ) .
LB B LB B
z
zz z SP P
LB
u s z Q s z Q B H b r Q r
e e e
s z
s P P Ss s
−− − βα α
ξ = ξ χ ξ ξ = −
ξ ξχ ξ = − − α + β
α
(9)
25ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 12
Задача теперь состоит в обращении интегральных преобразований. Если удастся опре-
делить оригинал функции ( , , ),LF s zχ ξ т. е. функцию ( ), , ,t x zχ то для получения перемещеия
( , , )zu t z x можно применить свертку преобразования Фурье функций ( )G x и ( , , )t x zχ [8].
Здесь и ниже предполагается возможность перемены порядка обращения интегральных
преобразований.
Для инверсии преобразования Бесселя отдельных слагаемых в LBχ привлечем таблич-
ное соотношение [7]
2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2
z s
s r z
e e
B
s r z
− +α ξ − +
α α−
⎛ ⎞
⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎝ ⎠+ α ξ α +
и известное свойство
2
1 2
2
( ) 1 ( )
{ ( )} .B d f r df r
B f
r drdr
− ⎛ ⎞
ξ ξ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
Обращение преобразования Лапласа выполним, воспользовавшись формулой [6]
2 2
1 1 2 2( )
r zsL s e H t r z
+
α−− −⎛ ⎞
= α − +⎜ ⎟⎝ ⎠
и ее следствиями, вытекающими из правила интегрирования оригинала. В результате ори-
гинал ( , , )t r zχ записывается в виде
2 2 2
2 2 2
2 2 5/2 2 2 2 3/2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 5/2 2 2 2 3/2
1 2
( , , ) ( )
2 ( ) ( )
1 2 2
( ), .
2 ( ) ( )
r z r
t r z t H t r z
r z r z
r z r z
t H t r z r x y
r z r z
⎛ ⎞−χ = − α − +⎜ ⎟⎝ ⎠+ α +
⎛ ⎞− +− + β − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠+ β +
(10)
Возвратимся теперь к выражению (9). Заметим, что инверсия преобразования Лапла-
са для ( , , )LB
zu s zξ уже произведена, так как функция ( )BQ ξ не зависит от s. Инверсию
преобразования Бесселя запишем в виде свертки, которая реализуется при помощи двой-
ной свертки Фурье (ниже x, y — декартовы координаты в плоскости 0z = ) [8 ]
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 5/2 2 2 3/2 2
2 2
2 2 5/
, , ( ( ) ( , , ))
1
, , ,
2
1 1
( , , ) ( , , ) ( , , ),
2
,
2( ) 2( )
1 2
2 ( )
B B
zu t r z B Q t z
H b x y Q x y t z d d
t z H t z u t z H t z u t z
z
u t
z z
z
u
z
−
∞ ∞
−∞ −∞
α β
α
β
= ξ χ ξ =
= − − λ + − ζ − λ + − ζ χ λ + ζ λ ζ∫ ∫π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞χ ρ = − ρ + ρ + − ρ + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠α β
ρ − ρ= −
ρ + ρ + α
ρ −= −
ρ +
2 2
2
2 2 2 3/2 2
2 2
1 2
,
2 ( )
.
z
t
z
ρ +−
ρ + β
ρ = λ + ζ
(11)
Формулы (11) формально дают решение искомой задачи. Удобное в практическом
отношении решение получим, если удастся конкретизировать область интегрирования.
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 12
Случай r = 0. Для точек, лежащих на оси z, перемещение zu определим, положив в вы-
ражении (11) x = y = 0:
( ) 2 2 2 2 2 21
, 0, ( ) ( ) ( , , ) .
2zu t z H b Q t z d d∞ ∞
−∞ −∞= − λ + ζ λ + ζ χ λ + ζ λ ζ∫ ∫π
Перейдя далее в плоскости ,λ ζ к полярным координатам ρ, θ, так что 2 2 ,ρ = λ + ζ
arctg ,
ζθ =
ξ
будем иметь
( ) ( )0( , 0, ) ( , , ) ,zu t z H b Q t z d∞= − ρ ρ χ ρ ρ ρ∫ (12)
где
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 5/2 2 2 3/2 2
2 2 2 2
2
2 2 5/2 2 2 3/2 2
1 1
( , , ) ( , , ) , , ,
2
,
2( ) 2( )
1 2 1 2
.
2 2( ) ( )
t z H t z u t z H t z u t z
z
u t
z z
z z
u t
z z
α β
α
β
⎛ ⎞ ⎛ ⎞χ ρ = − ρ + ρ + − ρ + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠α β
ρ − ρ= −
ρ + ρ + α
ρ − ρ += − −
ρ + ρ + β
(13)
Из (12), (13) с учетом свойств функции Хевисайда получим окончательно выражение
для перемещения uz на оси z
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2
0
2 2
0
2 2
0
2 2
0
( ) ( ) ( , , )
( , 0, ) ( )
( ) ( ) ( , , )
( ) ( ) ( , , )
.
( ) ( ) ( , , )
t z
z
b
t z
b
H b z t Q u t z d
u t z H t z
H t b z Q u t z d
H b z t Q u t z d
H t z
H t b z Q u t z d
α − α
α
β − β
β
⎡ ⎤
+ − α ρ ρ ρ ρ +⎢ ⎥
= α − +⎢ ⎥
⎢ ⎥+ α − + ρ ρ ρ ρ⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ − β ρ ρ ρ ρ +⎢ ⎥
+ β − ⎢ ⎥
⎢ ⎥+ β − + ρ ρ ρ ρ⎣ ⎦
∫
∫
∫
∫
(14)
Рис. 2. Характер развития преремещения uz на оси z в зависимости от времени (а) и
от расстояния до границы (б)
27ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 12
Выражение (14) позволяет вычислить перемещение при произвольном распределении
нагрузки вдоль , 0 .r r b< < В подавляющем большинстве практически актуальных слу-
чаев интегрирование в (14) может быть выполнено аналитически. В частности, если рас-
пределение нагрузки однородное, т. е. ( ) 1,Q r = из (13) и (14) получим
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3/2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 3/2 2 3/22 22 2 2 2 2
1
, ,
1 2 1 1
( , 0, ) , ,
22
1 2 1 1
, .
222
z
t z z
t b z
z b t b z
u t z b z t b z
b zb z
z b t b z t b z
b t b z
b zb z b z
α −⎧ − +⎪ α αα⎪
+⎪= − − + < < +⎪ α βα α⎨ ++
⎪
⎪ + β − −− − + > +⎪ βα α +⎪ + β +⎩
� �
(15)
Отсюда имеем предельное значение
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 ( ) 2
( , 0, ) .
2z t
z b z
u t z
b z
→∞
α + β + β= −
α α β +
На рис. 2 приведены результаты вычисления перемещения при ( ) 1Q r = − . Параметр b,
определяющий размер области приложения нагрузки, выбран равным 1. Кроме того, при-
нято α = 1, β = 0,5, h = 1. Значение перемещения отнесено к его статическому значению на
поверхности z = 0, а именно 1 2 2 2 2( , 0, 0) 2 ( ) 2,5.z tu t b− − −
→∞ = α β α + β =
Рис. 2, а иллюстрирует развитие перемещения со временем в фиксированных точках
оси z : z = 0; 1; 2; 4; 6; 8. Как видно из графиков, упомянутое статическое значение достига-
ется в момент времени, когда в рассматриваемую точку приходит фронт волны искажения,
возбуждаемой на краю области r = b. Излом кривой в ее начальной области (хорошо видно
при z = 2; 4) обусловлен приходом в рассматриваемую точку волны расширения, генери-
руемой там же. Рис. 2, б представляет распределение перемещения вдоль оси z в фикси-
рованные моменты времени: t = 1; 2; 4; 6; 8; 10.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. — Москва: Наука,1986. — 328 с.
2. Кубенко В.Д. Нестационарная нагрузка на поверхности упругой полуплоскости// Доп. НАН України,
2011 — № 10 — С. 67—72.
3. Кубенко В.Д. Удар затупленных тел о поверхность жидкости или упругой среды// Успехи механики (в
6-ти томах). — Т. 5 : Киев, Літера Лтд, 2009. — С. 566—607.
4. Kubenko V.D. On a non-stationary load on the surface of a semiplane with mixed boundary conditions//
ZAMM . — 2015. — 95, No. 12. — P. 1448—1460.
5. ГузьА.Н.,Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. — Киев: Наук. думка, 1978. — 308 с.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований в 2-х т. Т. 1. Преобразования Фурье, Ла-
пласа, Меллина. — Москва: Наука, ГИФМЛ, 1969. — 344с.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований в 2-х т. Т. 2. Преобразование Бесселя. —
Москва: Наука, ГИФМЛ, 1970. — 328 с.
8. Диткин В.А., Прудников А.П Интегральные преобразования и операционное исчисление. — Москва:
ГИФМЛ, 1961. — 524 с.
REFERENCES
1. Poruchikov V.B. Methods of Dynamic Theory of Elasticity, Moscow: Nauka, 1986 (in Russian).
2. Kubenko V.D. Nonstationary loads at surface of an elastic half –plane // Dopov. NAS of Ukraine, 2011, No 10:
67-72 (in Russian).
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 12
3. Kubenko V.D. Impact of blunted bodies against surface of liquid or elastic medium. Advanced in Mechanics
(in 6 vol.), V. 5. Kiev: Litera Ltd, 2009: P. 566-677 (in Russian).
4. Kubenko V.D ZAMM 2015, 95, No. 12: 1448-1460.
5. Guz A.N., Kubenko V.D., Cherevko M.A Diffraction of Eelastic Waves, Kiev:Nauk. Dumka, 1978 (in Russian).
6. Bateman G and Erdelyi A. Tables of Integral Transforms (in 2 vol.). V. 1:Transforms of Fourier, Laplace and
Melline. McGraw-Hill book Com. Inc., NY, 1954.
7. Bateman G. and Erdelyi A. Tables of Integral Transforms (in 2 vol.). V. 2: Transform of Bessel. McGraw-Hill
book Com. Inc., NY, 1954.
8. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integral Transforms and Operational Calculation. Moskow: GIFML, 1961
(in Russian).
Поступило в редакцию 06.04.2016
Академік НАН України В.Д. Кубенко
Інститут механіки ім.. С.П.Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: vdk@inmech.kiev.ua
ПРО НЕСТАЦІОНАРНУ ОСЕСИМЕТРИЧНУ ЗАДАЧУ
ДЛЯ ПРУЖНОГО ПІВПРОСТОРУ
ПРИ ЗМІШАНИХ ГРАНИЧНИХ УМОВАХ
Розглядається задача визначення напружено-деформівного стану пружного півпростору, на границі якого
діє нестаціонарне нормальне навантаження. Формулюється змішана крайова задача, рішення якої бу ду-
ється з застосуванням інтегральних перетворень Лапласа і Ханкеля. Виконано точне обертання перет-
ворень. Як результат, отримано аналітичний розв’язок задачі, що визначає переміщення в довільній точці
осі симетрії в довільний момент часу.
Ключові слова: нестаціонарні пружні хвилі, інтегральні перетворення, змішані граничні умови
Academician of the NAS of Ukraine V.D. Kubenko
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: vdk@inmech.kiev.ua
ON A NONSTATIONARY AXISYMMETRIC PROBLEM
FOR THE ELASTIC HALF-SPACE UNDER MIXED
BOUNDARY CONDITIONS
The problem of determining a stress-strain state of the elastic half-space under a nonstationary normal loading is
considered. A mixed boundary-value problem is formulated, and its solution is constructed with the use of the Laplace
and Hankel integral transformations. The exact inversion of the transformations is executed. As a result, the ana-
ly tical solution is obtained, and it determines a normal displacement at an arbitrary point of the axis of symmetry at
an arbitrary moment of time.
Keywords: integral transformations, mixed boundary conditions.
|