Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем
В рамках дробно-дифференциальной математической модели аномального конвективно-диффузионного процесса в условиях массообмена и плоского фильтрационного поля, выполнена постановка соответствующей двухмерной нестационарной краевой задачи и изложена конечноразностная методика получения ее приближенного...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126331 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 21-28. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859678843922546688 |
|---|---|
| author | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. |
| author_facet | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. |
| citation_txt | Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 21-28. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | В рамках дробно-дифференциальной математической модели аномального конвективно-диффузионного процесса в условиях массообмена и плоского фильтрационного поля, выполнена постановка соответствующей двухмерной нестационарной краевой задачи и изложена конечноразностная методика получения ее приближенного решения, основанная на применении локально одномерного метода в области комплексного потенциала течения. Разработаны параллельные алгоритмы расчета задачи для кластерных систем, приведены результаты тестирования их быстродействия и результаты численных экспериментов по моделированию динамики изучаемого процесса.
У рамках дробово-диференційної математичної моделі аномального конвективно-дифузійного процесу за умов масообміну та плоского фільтраційного поля виконано постановку відповідної двовимірної нестаціонарної крайової задачі та викладено скінченнорізницеву методику одержання її наближеного розв'язку, яка ґрунтується на застосуванні локально одновимірного методу в області комплексного потенціалу течії. Розроблено паралельні алгоритми розрахунку задачі для кластерних систем, наведено результати тестування їх швидкодії та результати чисельних експериментів по моделюванню динаміки процесу.
Within the framework of the fractional-differential mathematical model of an abnormal convective-diffusion process under conditions of a mass-transfer and a plane filtration field, the statement of the conforming two-dimensional non-stationary boundary-value problem is executed, and the finite-difference technique of obtaining its approximated solution, founded on application of a locally one-dimensional method in the field of a complex potential flow is described. The parallel algorithms of solving the problem on cluster systems are designed, the results of their performance testing and the results of numerical experiments on a simulation of the dynamics of the studied process are presented.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:58:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
21ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ІНФОРМАТИКА
Разработка методов математического моделирования конвективно-диффузионной динами-
ки растворимых веществ при фильтрации из источников загрязнений грунтовых вод явля-
ется весьма актуальным научным направлением как в вопросах охраны водных ресурсов,
так и во многих других гидроэкологических исследованиях [1]. Актуальной является так-
же проблема повышения степени адекватности существующих количественных моделей
конвективно-диффузионных процессов при фильтрации в геопористых средах. Особенно
это касается систем со сложной пространственно-временной структурой, для которых ха-
рактерны эффекты памяти, пространственной нелокальности и самоорганизации. В этих
условиях использование для моделирования динамики указанных процессов классических
математических моделей не всегда корректно и прогресс в моделировании динамики таких
процессов связан с использованием подхода, базирующегося на применении формализма
интегро-дифференцирования дробного порядка [2—5].
Настоящее сообщение посвящено математическому моделированию локально-не рав-
но весного во времени конвективно-диффузионного процесса в пористой среде со слож-
© В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий, 2017
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.01.021
УДК 517.9:519.6
В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий
Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев
E-mail: sevab@ukr.net, v_bulav@ukr.net
Численное моделирование дробно-дифференциальной
динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии
на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем
Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Н. Химичем
В рамках дробно-дифференциальной математической модели аномального конвективно-диффузионного
процесса в условиях массообмена и плоского фильтрационного поля, выполнена постановка соответствую-
щей двухмерной нестационарной краевой задачи и изложена конечноразностная методика получения ее
приближенного решения, основанная на применении локально одномерного метода в области комплексного
потенциала течения. Разработаны параллельные алгоритмы расчета задачи для кластерных систем, при-
ведены результаты тестирования их быстродействия и результаты численных экспериментов по модели-
рованию динамики изучаемого процесса.
Ключевые слова: аномальный конвективно-диффузионный процесс, массообмен, плосковертикальная
фильт рация, уравнение диффузии дробного порядка, краевые задачи, численное моделирование, параллель-
ные алгоритмы.
22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1
В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий
ной пространственно-временной структурой, для которого не выполняется классический
закон диффузии Фика. Рассматривается новая дробно-дифференциальная математиче-
ская модель, предназначенная для исследования неравновесной динамики процесса кон-
вективной диффузии растворимых веществ в схеме плосковертикальной установившейся
фильтрации со свободной границей. Для указанной фильтрационной схемы поставлена
соответствующая двухмерная нестационарная краевая задача, разработана и апробиро-
вана методика ее численного решения с использованием параллельных алгоритмов для
кластерных систем.
Дробно-дифференциальная математическая модель конвективно-диффузионного
процесса и постановка краевой задачи. Запишем уравнение релаксационного закона Фика
в виде [6, 7]
( , , ) ( , , )q
q
q d C x y t C x y t
t
∂+ τ = − ∇ + υ
∂
�
��
, (1)
где q
�
— конвективно-диффузионный поток; C — концентрация растворимых веществ в
жидкой фазе; υ
�
— вектор скорости фильтрации; d — коэффициент конвективной диффу-
зии (гидродинамической дисперсии); ∇ — оператор Гамильтона; qτ — параметр релакса-
ции потока; , ,x y t — геометрические и временная переменные соответственно.
Предполагая выполненным обобщенное уравнение материального баланса [7], из соот-
ношения (1), с учетом уравнения неразрывности фильтрационного потока, получаем сле-
дующее уравнение для концентрации диффундирующего вещества в условиях массообмена
(неравновесная необратимая сорбция):
2 2
( ) ( 1)
2 2( ) ( , , )t q t x y
C C C C
D D C x y t d C
x yx y
α α+ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂σ + τ = + − υ − υ − γ⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠
, 0 1< α� , (2)
где ,x yυ υ — проекции вектора скорости на оси xO и yO соответственно; σ — пористость
среды; ( )
tD α — оператор дробного дифференцирования Капуто—Герасимова по переменной
t порядка α (0 1< α� )[2, 3]; γ — параметр массообмена.
В рамках неклассической математической модели конвективной диффузии, базирую-
щейся на уравнении (2), задача моделирования дробно-дифференциальной динамики
неравновесного во времени конвективно-диффузионного процесса в случае плосковер-
тикальной установившейся фильтрации со свободной поверхностью из рек или каналов
(согласно фильтрационной схеме, приведенной в [8, с.155]) сводится к решению в области
(0, )zG × +∞ ( zG —область течения) уравнения (2) при следующих краевых условиях:
1, 0, ( , , 0) 0, ( , , 0) 0,
i
t
С
C C C x y C x y
nγ
γ
∂= = = =′
∂
(3)
где 1C — заданная концентрация растворимых веществ на входе фильтрационного потока
с границей γ ; ( 1,2)i iγ = — границы области фильтрации, являющиеся линиями тока; n —
внешняя нормаль к соответствующей кривой.
Поскольку решение собственно фильтрационной задачи известно [8] (то есть известна
характеристическая функция течения ( )z f= ω ), то, переходя в задаче (2), (3) к новым пере-
23ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1
Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной ...
менным ( , )ϕ ψ — точкам геометрически более простой области комплексного потенциала
течения ω = ϕ ψ < ϕ < +∞ < ψ <{( , ) : 0 , 0 }G Q , имеем
( ) ( 1) 2( ) ( , , ) ( , ) ( , , )t q t
C
D D C t d C t Cα α+ ⎛ ⎞∂σ + τ ϕ ψ = υ ϕ ψ Δ ϕ ψ − − γ⎜ ⎟∂ϕ⎝ ⎠
, (4)
( , , ) (0, )t Gωϕ ψ ∈ × +∞ ,
1(0, , ) ,C t Cψ =
0,
0,
Q
C
ψ= ψ=
∂ =
∂ψ
( , ,0) 0, ( , ,0) 0,tC Cϕ ψ = ϕ ψ =′ (5)
где Q — фильтрационный расход [8]; 2 2 2
x yυ = υ + υ ;
2 2
2 2
∂ ∂Δ = +
∂ϕ ∂ψ
— оператор Лапласа.
Вводя в рассмотрение новые переменные и параметры соотношениями
1 12 2
0 0
1 0
, , , , , , q q
C d
t t C d
Q Q Q C Q Q
α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞υ υϕ ψ υϕ = ψ = = = υ = = τ = τ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⎜ ⎟ ⎜ ⎟υ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(6)
и опуская в дальнейшем знак "штрих", получаем в области (0, )Gω × +∞ краевую задачу
( ) ( 1) 2( ) ( , , ) ( , )t q t
C
D D C t d C Cα α+ ⎛ ⎞∂σ + τ ϕ ψ = υ ϕ ψ Δ − − γ⎜ ⎟∂ϕ⎝ ⎠
, 0 1< α < , (7)
0, 1
(0, , ) 1, 0
C
C t
ψ= ψ=
∂ψ = =
∂ψ
, ( , ,0) 0, ( , ,0) 0,tC Cϕ ψ = ϕ ψ =′ (8)
где {( , ) : 0 , 0 1}Gω = ϕ ψ < ϕ < +∞ < ψ < — горизонтальная полуполоса.
Ниже кратко излагается конечноразностная методика получения приближенного реше-
ния краевой задачи (7), (8).
Вводя в рассмотрение сеточную область
1 2, ,h h τω ( 1 2, ,h h τ — шаги сетки по геометриче-
ским переменным ϕ , ψ и времени t соответственно), поставим в соответствие рассмат-
риваемой краевой задаче следующий аналог локально одномерной [9] разностной схемы
А.А. Самарского:
0
2( ) ( 1) ( )
2 2t q t dC C CC Cα α+
ϕϕ ϕ
σ γ⎛ ⎞ = υ − −Δ + τ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠ , (9)
2( ) ( 1) ˆ ˆˆ ˆ
2 2t q t dC CC Cα α+
ψψ
σ γ⎛ ⎞ = υ −Δ + τ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠ . (10)
Здесь
1
1 2
1
2
ˆ ; ; ; ;
2
jj j
j
j
C C C C C C t t
++
+
τ= = = = +
( ),t
αΔ
( 1)
t
α+Δ — разностные аналоги операторов дробного дифференцирования ( ) ( 1),t tD Dα α+
соответственно (дискретная аппроксимация ( ) ( 1),t tD Dα α+ определяется аналогично [10]).
24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1
В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий
Расписывая в соотношениях (9), (10) разностные операторы и приводя подобные чле-
ны, получаем на полуцелом и целом временных слоях следующие системы уравнений:
1 1 1
2 2 2
1, 1,
j j j j
ik ik iki k ik i k ikA C B C S C
+ + +
+ −− + = Ψ� �� , 1, ; 1, ; 0,i m k n j N= = = , (11)
1 1 1
, 1 , 1
j j j j
ik ik iki k ik i k ikP C Q C R C+ + +
+ −− + = Μ�� � , 1, ; 1, ; 0,i m k n j N= = = , (12)
где
1 1
1 2( ) 1
0
21
( ) ( 2 )
(2 ) 2 2
j
qj j j jj s s
s ik ikik ik ik ik
s
C C C C C
− −α
−+
α
=
⎡ τσ τ⎛ ⎞⎢Ψ = γ − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠τΓ −α τ⎢⎣
∑
1
1 2 1 2( )
0
2
( 2 )
j
q s sj s
s ikik ik
s
b C C C
−
+ −
=
⎤τ
⎥+ − +
τ ⎥⎦
∑ , (13)
1 1 1 1( ) 1 1 2 2
0
1
( ) (2 1)( )
(2 ) 2 2
j
j jj jj s s
s ik ikik ik ik ik
s
b C C C C C
− −α
+ ++ −α
=
⎧σ τ⎪ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤Μ = − + − − − +⎨ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠τΓ −α ⎣ ⎦⎪⎩
∑
1
1 2 1 2( ) 1
0
2 2
( 2 ) ( 2 )
j
q qj j sj s s
s ik ikik ik ik
s
C C b C C C
−
+ ++
α
=
⎫τ τ ⎪+ − + − + ⎬ττ ⎪⎭
∑ . (14)
(Остальные обозначения ввиду громоздкости соответствующих формул здесь не приводятся).
Разностные уравнения систем (11), (12) являются трехточечными и эффективно реша-
ются методом прогонки [9]. Последующий переход в физическую область zG осуществля-
ется согласно соотношениям (9), (10) из работы [5].
Параллельные алгоритмы расчета. Локально одномерную схему расщепления с реше-
нием трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки
предлагается распараллеливать для кластерных систем с использованием красно-черного
внахлест распределения данных по аналогии со схемой, описанной в [11, 12] (алгоритм 1).
При размере ( ),n m исходной сетки каждый из N процессов вычисляет значения прогоноч-
ных коэффициентов и искомой функции для N блоков ячеек размера ,
n m
N N
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
. Прямые и
обратные шаги прогонок исполняются параллельно за N шагов, после каждого из которых
производится синхронизация данных между процессами.
При увеличении номера шага по времени на время работы алгоритма основное влияние
оказывает быстродействие подсистемы памяти и эффективность работы кеша. Улучшение
последней достигается путем предварительного (до основного цикла определения значений
прогоночных коэффициентов) двухуровневого частичного вычисления указанных сумм
(алгоритм 1а).
Алгоритмы вычисления прогоночных коэффициентов и обратного хода прогонок для
дополнительного ускорения расчетов могут быть распараллелены для исполнения графи-
ческими процессорами (GPU). При этом (алгоритм 2) каждый поток параллельной про-
граммы проводит независимые вычисления в строке/колонке ячеек сетки. Для дополни-
тельного распараллеливания (алгоритм 2а) при вычислении сумм (13), (14) одна строка/
25ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1
Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной ...
колонка ячеек может обрабатываться блоком потоков, каждый из которых вычисляет ча-
стичную сумму, после чего поток с индексом 0 суммирует полученные результаты и прово-
дит основные вычисления.
Быстродействие алгоритма 2 так же, как и алгоритма 1, линейно зависит от номера шага
по времени и от размера сетки. Коэффициенты этих линейных зависимостей при этом за-
висят от количества вычислительных ресурсов графического процессора.
Дополнительное ускорение можно получить путем использования для проведения вы-
числений как графического, так и центрального процессоров (алгоритм 3): при проведении
прогонок вычисления в блоке (1, ..., )xn колонок и блоке (1, ..., )yn строк исполняются CPU
параллельно с исполнением на GPU вычислений в остальных колонках и строках. После
проведения прогонок исполняется синхронизация значений искомой функции между па-
мятью CPU и GPU.
Предполагается, что подходы к выбору размера xn основываются либо на фиксирован-
ном значении, не требующем модификации алгоритма 3, либо на динамическом изменении
по эвристическому критерию. При изменении размера xn в процессе вычислений необхо-
димо выполнять дополнительные операции синхронизации.
Тестирование быстродействия параллельных алгоритмов. Быстродействие параллель-
ных алгоритмов тестировалось на кластере СКІТ-4 Института кибернетики им. В.М. Глуш-
кова НАН Украины. Результаты тестирования CPU-алгоритмом на сетках размером до
3000 3000× (рис. 1) подтверждают линейную зависимость времени проведения вычисле-
ний на одном шаге от его номера и квадратичную зависимость от размеров сетки, а также
демонстрируют снижение быстродействия из-за неэффективного использования кеша ал-
горитмом 1.
Вычислительные эксперименты для тестирования быстродействия параллельных алго-
ритмов для графических процессоров также показали линейную зависимость времени про-
Рис. 1. Время решения задачи на сетке размером 3000 3000× с использованием алгоритма 1 (число про-
цессов: 1 — 1, 2 — 2, 3 — 4, 4 — 8, 5 — 12) и алгоритма 1а (кривая 6 — 1 процесс)
Рис. 2. Время решения задачи для сетки размером 3000 3000× (количество задействованных GPU: кри-
вая 1 — 2, кривая 2 — 4, кривая 3 — 8, кривая 4 — 12)
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1
В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий
ведения вычислений от номера шага, однако
её коэффициенты значительно ниже, чем
для CPU-алгоритмов. Тестирование с задей-
ствованием разного количества графических
процессоров при решении задачи с размером
сетки 3000 3000× (рис. 2) также показало су-
щественно большее (до 10-кратного) ускорение GPU-алгоритмов при их меньшей масшта-
бируемости. Тестирование комбинированных алгоритмов при использовании одного GPU
и одного CPU на сетке размером 1500 × 1500 (при меньших размерах необходимость син-
хронизации данных приводит к их неэффективности) показало ухудшение быстродействия
алгоритма 3 в процессе решения при лучшем начальном быстродействии и эффективность
динамического перераспределения данных между CPU и GPU. Наибольшее полученное
тут ускорение по сравнению с GPU-алгоритмом 2 составило 5 % при решении на первых
25 шагах по времени.
О результатах численных экспериментов по моделированию динамики миграционного
процесса. Численное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ в
рамках рассматриваемой неклассической конвективно-диффузионной математической мо-
дели выполнено относительно безразмерных переменных, определяемых соотношениями
(6) для фильтрационной схемы, приведенной в работе [8] (плосковертикальная установив-
шаяся фильтрация идеальной жидкости со свободной поверхностью из рек или удлиненных
каналов). Некоторые из полученных при этом результатов графически изображены на рис.3
и соответствуют динамике полей концентраций вдоль центральной линии тока в области
течения в случае дробно-дифференциальной математической модели (порядок дробной
производной 0,8α = ) и математической модели типа Каттанео [10], определяемой уравне-
нием (2) при 1α = .
Анализ результатов численных экспериментов позволяет сделать ряд выводов об осо-
бенностях динамики полей концентраций растворимых веществ в рамках изучаемой мате-
матической модели, из которых отметим (ввиду ограниченности объема сообщения) лишь
следующий:
на поздних стадиях развития конвективно-диффузионного процесса имеет место
устойчивое запаздывание процесса формирования полей концентраций в рамках рассма-
триваемой дробно-дифференциальной математической модели, как по сравнению с соот-
ветствующим процессом, описываемым общепринятой (классической [1, 8]) математиче-
ской моделью фильтационно-конвективной диффузии, так и по сравнению с процессом,
описываемым моделью типа Каттанео [10] (см. рис. 3).
Рис. 3. Кривые концентрации вдоль линии симме-
трии течения в рамках дробно-дифференциальной
математической модели для значений порядка дроб-
ной производной α = 0,8 (кривые 1—5) и α = 1 (кри-
вые 1′—5′) в дискретные моменты времени (1, 1′ —
1t = , 2, 2′ — 10t = , 3, 3′ — 210t = , 4, 4′ — 310t = , 5,
5′ — 410t = , τq = 0,01)
27ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1
Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной ...
Изложенное свидетельствует о работоспособности и перспективности представлен-
ной методики численного моделирования дробно-дифференциальной динамики процесса
фильтрационно-конвективной диффузии в существенно неравновесных условиях.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврик В.И., Никифорович Н.А. Математическое моделирование в гидроэкологических исследовани-
ях. — Киев: Фитосоциоцентр, 1998. — 288 с.
2. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order// Fractals
and Fractional Calculus in Continuum Mechanics/ Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi. — Wien: Springer,
1997. — P. 223—276.
3. Podlubny I. Fractional differential equations. — New York: Academic Press, 1999. — 341 p.
4. Bulavatsky V.M. Numerical modeling of the dynamics of a convection diffusion process locally non-equilibri-
um in time // Cybern. Syst. Anal. — 2012. — 48, No 6. — P. 861—869.
5. Bulavatsky V.M. Mathematical modeling of dynamics of the process of filtration convection diffusion under
the condition of time nonlocality // J. Autom. Inform. Sci. — 2012. — 44, No 2. — P. 13—22.
6. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физ. наук. — 1997. — 167,
№ 10. — С. 1095—1106.
7. Compte A., Metzler R. The generalized Cattaneo equation for the description of anomalous transport pro-
cesses // J. Phus. A.: Math.Gen. — 1997. — 30. — P. 7277—7289.
8. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. — Москва: Наука, 1977. — 664 с.
9. Самарский А.А. Теория разностных схем. — Москва: Наука, 1977. — 656 с.
10. Zhang W., Cai X., Holm S. Time-fractional heat equations and negative absolute temperatures // Comput.
Math. Appl. — 2014. — 67. — P. 164—171.
11. Богаенко В.А., Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Параллельный алгоритм расчета фильтрационно-кон-
век тивной диффузии загрязнений из водоносных горизонтов// Управляющие системы и машины. —
2008. — № 5. — С. 18—23.
12. Богаенко В.А., Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Математическое моделирование динамики геохимичес-
ких процессов загрязнения водоносных горизонтов // Управляющие системы и машины. — 2009. —
№ 4. — С. 60—66.
Поступило в редакцию 22.06.2016
REFERENCES
1. Lavryk V.I., Nikiforovich N.A. Mathematical modelling in hydroecologic studies, Kiev: Fitosotsiotsentr, 1998
(in Russian).
2. Gorenflo R., Mainardi F. Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Wien: Springer, 1997:
223-276.
3. Podlubny I. Fractional differential equations, New York: Academic Press, 1999.
4. Bulavatsky V.M. Cybern. Syst. Anal., 2012, 48, No 6: 861-869.
5. Bulavatsky V.M. J. Autom. Inform. Sci., 2012, 44, No 2: 13-22.
6. Sobolev S.L. Physics-Uspekhi, 1997, 40, No 10: 1043-1054.
7. Compte A.,Metzler R. J. Phus.A.: Math. Gen., 1997, 30: 7277-7289.
8. Polubarinova-Kochina P.Ia. The theory of groundwater movement, Moscow: Nauka, 1977 (in Russian).
9. Samarskij A.A. The theory of difference schemes, Moscow: Nauka, 1977 (in Russian).
10. Zhang W., Cai X., Holm S. Comput. Math. Appl., 2014, 67: 164-171.
11. Bogaenko V.A., Bulavatsky V.M., Skopetsky V.V. Control System and Computers, 2008, No 5: 18-23 (in Rus-
sian).
12. Bogaenko V.A., Bulavatsky V.M., Skopetsky V.V. Control System and Computers, 2009, No 4: 60-66 (in Rus-
sian).
Received 22.06.2016
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1
В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий
В.О. Богаєнко, В.М. Булавацький
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ
E-mail: sevab@ukr.net, v_bulav@ukr.net
ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ ДИНАМІКИ
ПРОЦЕСУ ФІЛЬТРАЦІЙНО-КОНВЕКТИВНОЇ ДИФУЗІЇ НА ОСНОВІ
ПАРАЛЕЛЬНИХ АЛГОРИТМІВ ДЛЯ КЛАСТЕРНИХ СИСТЕМ
У рамках дробово-диференційної математичної моделі аномального конвективно-дифузійного процесу за
умов масообміну та плоского фільтраційного поля виконано постановку відповідної двовимірної нестаці-
онарної крайової задачі та викладено скінченнорізницеву методику одержання її наближеного роз в’яз ку,
яка ґрунтується на застосуванні локально одновимірного методу в області комплексного потенціалу течії.
Розроблено паралельні алгоритми розрахунку задачі для кластерних систем, наведено результати тесту-
вання їх швидкодії та результати чисельних експериментів по моделюванню динаміки процесу.
Ключові слова: аномальний конвективно-дифузійний процес, масообмін, плосковертикальна фільтрація,
рівняння дифузії дробового порядку, крайові задачі, чисельне моделювання, паралельні алгоритми.
V.A. Bogaenko, V.М. Bulavatsky
V. M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: sevab@ukr.net, v_bulav@ukr.net
NUMERICAL MODELІNG OF THE FRACTIONAL-DIFFERENTIAL DYNAMICS
OF THE FILTRATION-CONVECTIVE DIFFUSION ON THE BASE OF PARALLEL
ALGORITHMS FOR CLUSTER SYSTEMS
Within the framework of the fractional-differential mathematical model of an abnormal convective-diffusion
process under conditions of a mass-transfer and a plane filtration field, the statement of the conforming two-di-
mensional non-stationary boundary-value problem is executed, and the finite-difference technique of obtaining
its approximated solution, founded on application of a locally one-dimensional method in the field of a complex
potential flow is described. The parallel algorithms of solving the problem on cluster systems are designed, the
results of their performance testing and the results of numerical experiments on a simulation of the dynamics of
the studied process are presented.
Keywords: abnormal convective-diffusion process, mass-transfer, plane-vertical filtration, fractional diffusion
equation, boundary value problems, numerical modeling, parallel algorithms.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-126331 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:58:13Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. 2017-11-20T13:55:48Z 2017-11-20T13:55:48Z 2017 Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 21-28. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.01.021 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126331 517.9:519.6 В рамках дробно-дифференциальной математической модели аномального конвективно-диффузионного процесса в условиях массообмена и плоского фильтрационного поля, выполнена постановка соответствующей двухмерной нестационарной краевой задачи и изложена конечноразностная методика получения ее приближенного решения, основанная на применении локально одномерного метода в области комплексного потенциала течения. Разработаны параллельные алгоритмы расчета задачи для кластерных систем, приведены результаты тестирования их быстродействия и результаты численных экспериментов по моделированию динамики изучаемого процесса. У рамках дробово-диференційної математичної моделі аномального конвективно-дифузійного процесу за умов масообміну та плоского фільтраційного поля виконано постановку відповідної двовимірної нестаціонарної крайової задачі та викладено скінченнорізницеву методику одержання її наближеного розв'язку, яка ґрунтується на застосуванні локально одновимірного методу в області комплексного потенціалу течії. Розроблено паралельні алгоритми розрахунку задачі для кластерних систем, наведено результати тестування їх швидкодії та результати чисельних експериментів по моделюванню динаміки процесу. Within the framework of the fractional-differential mathematical model of an abnormal convective-diffusion process under conditions of a mass-transfer and a plane filtration field, the statement of the conforming two-dimensional non-stationary boundary-value problem is executed, and the finite-difference technique of obtaining its approximated solution, founded on application of a locally one-dimensional method in the field of a complex potential flow is described. The parallel algorithms of solving the problem on cluster systems are designed, the results of their performance testing and the results of numerical experiments on a simulation of the dynamics of the studied process are presented. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем Чисельне моделювання дробово-диференційної динаміки процесу фільтраційно-конвективної дифузії на основі паралельних алгоритмів для кластерних систем Numerical modeling of the fractional-differential dynamics of the filtration- convective diffusion on the base of parallel algorithms for cluster systems Article published earlier |
| spellingShingle | Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. Інформатика |
| title | Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем |
| title_alt | Чисельне моделювання дробово-диференційної динаміки процесу фільтраційно-конвективної дифузії на основі паралельних алгоритмів для кластерних систем Numerical modeling of the fractional-differential dynamics of the filtration- convective diffusion on the base of parallel algorithms for cluster systems |
| title_full | Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем |
| title_fullStr | Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем |
| title_full_unstemmed | Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем |
| title_short | Численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем |
| title_sort | численное моделирование дробно-дифференциальной динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии на основе параллельных алгоритмов для кластерных систем |
| topic | Інформатика |
| topic_facet | Інформатика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126331 |
| work_keys_str_mv | AT bogaenkova čislennoemodelirovaniedrobnodifferencialʹnoidinamikiprocessafilʹtracionnokonvektivnoidiffuziinaosnoveparallelʹnyhalgoritmovdlâklasternyhsistem AT bulavackiivm čislennoemodelirovaniedrobnodifferencialʹnoidinamikiprocessafilʹtracionnokonvektivnoidiffuziinaosnoveparallelʹnyhalgoritmovdlâklasternyhsistem AT bogaenkova čiselʹnemodelûvannâdrobovodiferencíinoídinamíkiprocesufílʹtracíinokonvektivnoídifuzíínaosnovíparalelʹnihalgoritmívdlâklasternihsistem AT bulavackiivm čiselʹnemodelûvannâdrobovodiferencíinoídinamíkiprocesufílʹtracíinokonvektivnoídifuzíínaosnovíparalelʹnihalgoritmívdlâklasternihsistem AT bogaenkova numericalmodelingofthefractionaldifferentialdynamicsofthefiltrationconvectivediffusiononthebaseofparallelalgorithmsforclustersystems AT bulavackiivm numericalmodelingofthefractionaldifferentialdynamicsofthefiltrationconvectivediffusiononthebaseofparallelalgorithmsforclustersystems |