Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями
Сформулирован критерий равномерной корректности и получены оценки для норм решений задачи Коши для волнового уравнения с интегральными граничными условиями. Критерий дан в терминах условия Макенхаупта для специального веса на контурах, охватывающих спектр задачи. Полученные результаты могут быть исп...
Збережено в:
| Дата: | 2001 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2001
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1266 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями / Г.М. Губреев // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 2. — С. 25-28. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859597866157211648 |
|---|---|
| author | Губреев, Г.М. |
| author_facet | Губреев, Г.М. |
| citation_txt | Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями / Г.М. Губреев // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 2. — С. 25-28. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Сформулирован критерий равномерной корректности и получены оценки для норм решений задачи Коши для волнового уравнения с интегральными граничными условиями. Критерий дан в терминах условия Макенхаупта для специального веса на контурах, охватывающих спектр задачи. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании различных граничных задач линейной акустики в неклассической постановке.
Сформульовано критерій рівномірної коректності та отримано оцінки норм розв'язків задачі Коші для хвильового рівняння з інтегральними граничними умовами. Критерій дано в термінах умови Макенхаупта для спеціальної ваги на контурах, що охоплюють спектр задачі. Одержані результати можуть бути використані при дослідженні різних граничних задач лінійної акустики в некласичній постановці.
A criteria of the uniform correctness is formulated and the norms of the Cauchy problem solutions for the wave equation with integral boundary conditions are estimated. The criteria is given with the terms of the Muckenhoupt condition for special weight on contours, including the spectrum of the problem. The obtained results can be used for solving the different boundary problems of linear acoustics in the non-classical statement.
|
| first_indexed | 2025-11-27T22:37:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 25 { 28��� 517.94����������� ������������ ������ ������� ��������� ��������� � ������������������������� ����������. �. ��������¦®-�ªà ¨áª¨© ¯¥¤ £®£¨ç¥áª¨© £®á㤠àáâ¢¥ë© ã¨¢¥àá¨â¥â, �¤¥áá �®«ã祮 19.03.2001�ä®à¬ã«¨à®¢ ªà¨â¥à¨© à ¢®¬¥à®© ª®à४â®á⨠¨ ¯®«ãç¥ë ®æ¥ª¨ ¤«ï ®à¬ à¥è¥¨© § ¤ ç¨ �®è¨ ¤«ï ¢®«-®¢®£® ãà ¢¥¨ï á ¨â¥£à «ì묨 £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨. �à¨â¥à¨© ¤ ¢ â¥à¬¨ å ãá«®¢¨ï � ª¥å ã¯â ¤«ïá¯¥æ¨ «ì®£® ¢¥á ª®âãà å, ®å¢ âë¢ îé¨å ᯥªâà § ¤ ç¨. �®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ à §«¨çëå £à ¨çëå § ¤ ç «¨¥©®© ªãá⨪¨ ¢ ¥ª« áá¨ç¥áª®© ¯®áâ ®¢ª¥.�ä®à¬ã«ì®¢ ® ªà¨â¥à÷© à÷¢®¬÷à®ù ª®à¥ªâ®áâ÷ â ®âਬ ® ®æ÷ª¨ ®à¬ ஧¢'離÷¢ § ¤ ç÷ �®è÷ ¤«ï 墨«ì®¢®£®à÷¢ïï § ÷â¥£à «ì¨¬¨ £à ¨ç¨¬¨ 㬮¢ ¬¨. �à¨â¥à÷© ¤ ® ¢ â¥à¬÷ å 㬮¢¨ � ª¥å ã¯â ¤«ï ᯥæ÷ «ì®ù ¢ £¨ ª®âãà å, é® ®å®¯«îîâì ᯥªâà § ¤ ç÷. �¤¥à¦ ÷ १ã«ìâ ⨠¬®¦ãâì ¡ã⨠¢¨ª®à¨áâ ÷ ¯à¨ ¤®á«÷¤¦¥÷ à÷§¨å£à ¨ç¨å § ¤ ç «÷÷©®ù ªãá⨪¨ ¢ ¥ª« á¨ç÷© ¯®áâ ®¢æ÷.A criteria of the uniform correctness is formulated and the norms of the Cauchy problem solutions for the wave equationwith integral boundary conditions are estimated. The criteria is given with the terms of the Muckenhoupt condition forspecial weight on contours, including the spectrum of the problem. The obtained results can be used for solving thedi�erent boundary problems of linear acoustics in the non-classical statement.���������®£¨¥ § ¤ ç¨ ¬¥å ¨ª¨ ¨ 䨧¨ª¨ ᢮¤ïâáï ª¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ á ¥ª« áá¨ç¥áª¨-¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (á¬., ¯à¨¬¥à, ®¡§®à-ãî áâ âìî [1]). �à ¢¥¨ï â ª®£® த ¥áâ¥-áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ âà ªâãîâáï ª ª ¡áâà ªâ륤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢ ¯®¤å®¤ï饬 ¡ - 客®¬ ¯à®áâà á⢥. � ï áâ âìï ¯®á¢ïé¥- ¨§ãç¥¨î § ¤ ç¨ �®è¨ ¤«ï £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£®ãà ¢¥¨ï á § ¤ 묨 ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨:d2u(t)dt2 +Au(t) = 0;u(0) = v; u0t(0) = v1;£¤¥ u(t) { ¢¥ªâ®à-äãªæ¨ï á® § 票ﬨ ¢ £¨«ì-¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà á⢥ L2(0; a); A { ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ìë© ®¯¥à â®à ¢â®à®£® ¯®à浪 , ª®â®àë© ª -®¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ áâநâáï ¯® § ¤ ®¬ã ¢¥áã� ª¥å ã¯â ¯®«®¦¨â¥«ì®¬ «ãç¥ R+. �¤¥©-ãî ®á®¢ã áâ âì¨ á®áâ ¢«ï¥â ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ â¥å-¨ª¨ ¢¥á®¢ëå ®æ¥®ª ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ â¨-¯ �®è¨ [2]. �â® ¯®§¢®«¨«® áä®à¬ã«¨à®¢ âìªà¨â¥à¨© à ¢®¬¥à®© ª®à४â®á⨠¨ ¯®«ãç¨âì®æ¥ª¨ à¥è¥¨© § ¤ ç¨ �®è¨ á ¥ª« áá¨ç¥áª¨¬¨£à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨.
1. ���������������� ���������,����������� ������ �������-�����ãáâì w2 { ¯à®¨§¢®«ìë© A2-¢¥á � ª¥å ã¯â ¯®«ã®á¨ R+ :=�x2R : x�0 , â® ¥áâì [2]sup� n 1j�j Z� w2(x)dx; 1j�j Z� w�2(x)dxo <1;£¤¥ � { ¯à®¨§¢®«ìë© ¨â¥à¢ « R+; j�j { ¥£®¤«¨ . �®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â «¨â¨ç¥áª ï ¢ ®¡« -á⨠C n R+ äãªæ¨ï w�, ®¡« ¤ îé ï á«¥¤ãî騬¨á¢®©á⢠¬¨ [3]:1) áãé¥áâ¢ãîâ ¯®ç⨠¢áî¤ã ¥ª á ⥫ìë¥ ¯à¥-¤¥«ìë¥ § 票ï äãªæ¨¨ w� ¢¥à奬 ¨¨¦¥¬ ¡¥à¥£ å à §à¥§ ¢¤®«ì R+ (®¡®§ ç -¥¬ë¥ ç¥à¥§ w�(x + i0), w�(x � i0)), ¯à¨ç¥¬¯®ç⨠¢áî¤ãjw�(x� i0)j = jw�(x+ i0)j = w(x); x 2 R+;2) äãªæ¨ï w�(z2) ï¥âáï ¢¥è¥© [4] ¢ ¨¦-¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠C�;3) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥w�(z2) = z 32 1Z0 e�itzyw(t)dt; z 2 C�á ¥ª®â®à®© äãªæ¨¥© yw2Lloc2 (R+), â® ¥áâìyw2L2(0; a) ¯à¨ ª ¦¤®¬ a>0.c
�. �. �ã¡à¥¥¢, 2001 25
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 25 { 28� ¬¥â¨¬, çâ® ¢® ¢â®à®¬ ᢮©á⢥ äãªæ¨ï z2®â®¡à ¦ ¥â C� C n R+, ¢ âà¥â쥬 { ¢¥â¢ìz 32 䨪á¨àã¥âáï ãá«®¢¨¥¬ ¨§¬¥¥¨ï à£ã¬¥â ��<arg z<0.� ¯à®áâà á⢥ L2(0; a) à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì-ë© ®¯¥à â®à K ¢¨¤ Kh = Bh + (h; x)yaw;�Bh�(t) := � tZ0 (t� s)h(s)ds;£¤¥ x2L2(0; a), ç¥à¥§ yaw ®¡®§ 祮 á㦥¨¥äãªæ¨¨ yw ᥣ¬¥â [0; a], ᪮¡ª¨ ®¡®§ -ç îâ ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ L2(0; a). �஢¥-àï¥âáï ãá«®¢¨¥ KerK=f0g, ¨ ¥á«¨ äãªæ¨ï x ¥¯à¨ ¤«¥¦¨â ®¡à §ã ®¯¥à â®à B� (çâ® ¢ ¤ «ì-¥©è¥¬ ¨ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï), â® KerK�=f0g. �®-£¤ ª®à४⮠®¯à¥¤¥«¥ ¥®£à ¨ç¥ë© ¯«®â®-§ ¤ ë© ®¯¥à â®à A :=K�1. �¡« áâì ¥£® ®¯à¥¤¥-«¥¨ï DA á®á⮨⠨§ äãªæ¨©DA = �f = g � (g00; x)yaw :g 2W 22 (0; a); g(0) = g0(0) = 0 ; (1) ®¯¥à â®à A ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ä®à¬ã«¥�Af�(t) = �g00(t): (2)�®áª®«ìªã KerK=f0g, á« £ ¥¬®¥ g ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨ (1) ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® äãªæ¨¨ f .�ந««îáâà¨à㥬 ᪠§ ®¥ ¯à¨¬¥à¥ áâ¥-¯¥®£® ¢¥á � ª¥å ã¯â w2(x) = x!; �1 < ! < 1: (3)�ãªæ¨ï w�(x) := e�i�2 �z !2 ;� = 32 � !; �2� < arg z < 0®¡« ¤ ¥â ¢ë襯¥à¥ç¨á«¥ë¬¨ â६ï ᢮©á⢠-¬¨, ¨ ¤«ï 宦¤¥¨ï yw2Lloc2 (R+) ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢-¥¨¥e�i�2 �z! = z 32 1Z0 e�itzyw(t) dt; z 2 C�:�᫨ ¯¥à¥©â¨ ª £à ¨çë¬ § 票ï¬, ¯®«ãç ¥¬à ¢¥á⢮e�i�2 �(x� i0)�� = 1Z0 e�itxyw(t)dt; x 2 R;
®âªã¤ yw(t) = ��1(�)t��1 [5]. � ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á«ãç ¥ á⥯¥®£® ¢¥á (3) ¤«ï äãªæ¨¨ yaw ¢ (1)¯®«ãç ¥¬ ¥ ¢ëà ¦¥¨¥:yaw(t) = ��1(�)t��1; 0 � t � a; � = 32 � !:� ç áâëå á«ãç ïå w2(x)=x� 12 ®¯¨á ¨¥ ®¡« -á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï DA ã¯à®é ¥âáï. �᫨ ¢¥áw21(x)=x 12 , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ®¯¥à â®à A1 § -¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨�A1f�(x) = �f 00(t); DA1 = Ker �0 \Ker'; (4)£¤¥ äãªæ¨® « �0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥á⢮¬�0(g) = �g0(0); g 2W 22 (0; a);' { ¯à®¨§¢®«ìë© ®£à ¨ç¥ë© ¢ W 22 (0; a) äãª-樮 «, ®à¬¨à®¢ ë© ãá«®¢¨¥¬ '(1) = 1; '(1) {§ 票¥ ' äãªæ¨¨, ⮦¤¥á⢥® à ¢®© ¥¤¨-¨æ¥. �ਠí⮬, ¢¢¨¤ã ¯«®â®á⨠DA ¢ L2(0; a),«î¡ ï «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï äãªæ¨® «®¢ �0 ¨ '¥®£à ¨ç¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ L2(0; a). � «®£¨ç-®, ¢¥áã w22(x)=x�12 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¯¥à â®à�A2f�(t) = �f 00(t); DA2 = Ker � \Ker'; (5)£¤¥ �-äãªæ¨ï �¨à ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥á⢮¬�(g)=g(0), ¯à®¨§¢®«ìë© ®£à ¨ç¥ë© ¢ ᮡ®-«¥¢áª®¬ ¯à®áâà á⢥W 22 (0; a) äãªæ¨® « ®à¬¨-஢ ãá«®¢¨¥¬ '(t) = 1. � ª ¨ ¯à¥¦¤¥, ¯à®¨§-¢®«ì ï «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï � ¨ ' ¥®£à ¨ç¥ ¢ L2(0; a).2. ����������� ������������ ��-���� �����ãáâì A { ¯à®¨§¢®«ìë© ®¯¥à â®à ¢¨¤ (1), (2).� áᬮâਬ ¢ ¯à®áâà á⢥ L2(0; a) § ¤ çã �®è¨d2u(t)dt2 +Au(t) = 0;u(0) = v; u0(0) = v1; (6)¯®¨¬ ï ¯®¤ ¥¥ à¥è¥¨¥¬ ¤¢ ¦¤ë á¨«ì® ¤¨ää¥-à¥æ¨à㥬ãî ¢ ¬¥âਪ¥ L2(0; a) äãªæ¨î u(t) â -ªãî, çâ® u(t)2DA ¯à¨ ª ¦¤®¬ t�0 ¨ 㤮¢«¥â¢®àï-îéãî ç «ìë¬ ¤ ë¬. � ¤ çã �®è¨ (6) ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì à ¢®¬¥à® ª®à४⮩, ¥á«¨ ¤«ï ¯à®¨§-¢®«ìëå v; v12DA ® ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥-¨¥ u(t) á ®æ¥ª®© ®à¬ë:ku(t)k � M�ku(0)k+ ku0(0)k�e�0t;�0 � 0; t � 0; (7)26 �. �. �ã¡à¥¥¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 25 { 28£¤¥ ª®áâ â M ¥ § ¢¨á¨â ®â à¥è¥¨ï u; k�k {®à¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ L2(0; a).�¯¥ªâà ®¯¥à â®à A ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®¦¥á⢮¬ª®à¥© 楫®© äãªæ¨¨ ¯®à浪 à®áâ 1=2 ¨ ®à-¬ «ì®£® ⨯ �(z) := 1� z aZ0 yw(z; t)x(t)dt;£¤¥ ¢¢¥¤¥® ®¡®§ 票¥yw(z; t) := yaw(t) �pz tZ0 sinpz(t� s)yaw(s)ds: (8)�¡®§ 稬 ç¥à¥§
� ¯ à ¡®«ã, ª®â®à ï § ¤ ¥âáïãà ¢¥¨¥¬z(t) = (t� i�)2; �1 < t <1; � > 0:�á«®¢¨¥ � ª¥å ã¯â (A2
� ) ¤«ï ¢¥á W (z)>0,§ ¤ ®£® ¯ à ¡®«¥
� , ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬®¡à §®¬ [2]:supz2
� supr>0 n r�1 Z
�\B(z;r)W (z)jdzj;r�1 Z
�\B(z;r)W�1(z)jdzjo <1; (9)£¤¥ B(z; r) { ªà㣠á æ¥â஬ z, ¨¬¥î騩 à ¤¨ãá r;jdzj { í«¥¬¥â ¤«¨ë ¤ã£¨ ªà¨¢®©
� . � ¨¦¥á«¥-¤ãî饩 ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ï¤à v(z; t), v1(z; t) ¢ëç¨-á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (8), ¯à¨ ¯®¤áâ ®¢ª¥ ¢¬¥áâ®äãªæ¨¨ yaw ç «ìëå ¤ ëå v(t) ¨ v1(t) á®®â-¢¥âá⢥®.�¥®à¥¬ 1. �ãáâì A { ¯à®¨§¢®«ìë© ®¯¥à â®à¢¨¤ (1), (2), ¯®à®¦¤¥ë© ¢¥á®¬ � ª¥å ã¯â w2 ¯®«ã®á¨ R+ ¨ ¯ãáâì ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥¬ã 楫 ïäãªæ¨ï �(z) â ª®¢ , çâ®limx!+1x� 12 log j�(�x)j = a: (10)�®£¤ , ¥á«¨ § ¤ ç �®è¨ (6) à ¢®¬¥à® ª®à४â- á ®æ¥ª®© ®à¬ à¥è¥¨© (7), ⮠ᯥªâà A «¥¦¨â¢ãâਠ¯ à ¡®«ë
� (�>�0) ¨ ª ¦¤®© â ª®© ¯ -à ¡®«¥ ¢¥áW (z) := jw�(z)j�2j�(z)j2; z 2
� (11)㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (A2
� ). �¡à â®, ¥á«¨á¯¥ªâà A «¥¦¨â ¢ãâਠ¥ª®â®à®© ¯ à ¡®«ë
� , ¢¥á W (z) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (A2
� ), â® § -¤ ç �®è¨ (6) à ¢®¬¥à® ª®à४â , ¥¥ à¥è¥¨¥
¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥u(t) = 12�i Z
� cospz ty!(z; s)��1(z)�� Z a0 v(z; t)x(t)dt dz++ 12�i Z
� sinpz tpz yw(z; s)��1(z)�� aZ0 v1(z; t)x(t)dt dz; (12)¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®æ¥ª (7) á �0=�.�⬥⨬, çâ® ¢ ä®à¬ã«¥ (12) ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¢¥¤¥âáï ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢®§à áâ ¨ï t ¢ ¯ à ¬¥âà¨-ç¥áª®¬ ãà ¢¥¨¨ z(t)=(t�i�)2, t2R ¯ à ¡®«ë
� .�®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ®á®¢ ® á«¥¤ãî饬१ã«ìâ â¥, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饬, è ¢§£«ï¤, á -¬®áâ®ï⥫ìë© ¨â¥à¥á.�¥®à¥¬ 2. �ãáâì A { ¯à®¨§¢®«ìë© ®¯¥à â®à¢¨¤ (1), (2) ¢ ¯à®áâà á⢥ L2(0; a). �®£¤ á«¥¤ã-î騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:1) ¤«ï ¢á¥å h2L2(0; a) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨â¥£à «ì ï®æ¥ª १®«ì¢¥âë:Z
� jzj 12 k(A� zI)�1hk2jdzj � Ckhk2;2) ¢¥á W (z), ®¯à¥¤¥«¥ë© à ¢¥á⢮¬ (11), 㤮-¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (A2
� ).3. ��������ਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë, ¨««îáâà¨àãî騥 ⥮à¥-¬ã 1. � áᬮâਬ ¥ª« áá¨ç¥áªãî § ¤ çã �®è¨@2u@t2 = @2u@s2 ;u(0; s) = v(s); u0t(0; s) = v1(s);0 � s � a;u0s(t; 0) = 0; t � 0;aZ0 �u(t; s)p(s) + u0s(t; s)p0(s)++u00ss(t; s)p00(s) ds = 0; (13)�. �. �ã¡à¥¥¢ 27
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 25 { 28£¤¥ äãªæ¨ï p2W 22 (0; a) § ¤ ¥â ®¡é¨© ¢¨¤ ®£à ¨-祮£® ¢ W 22 (0; a) äãªæ¨® « '(f) = aZ0 �f(s)p(s) + f 0(s)p0(s) + f 00(s)p00(s)�ds;f 2W 22 (0; a):�।¯®«®¦¨¬, çâ® ' 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬,áä®à¬ã«¨à®¢ ë¬ ¯à¨ ®¯¨á ¨¨ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥-«¥¨ï ®¯¥à â®à ¢¨¤ (4). �®£¤ § ¤ ç¥ �®è¨ (13)ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ¤ ç (6) á ®¯¥à â®à®¬ A=A1, ª®-â®àë© ¯®à®¦¤ ¥âáï ¢¥á®¬ w2(x)=x 12 . �®¦® ¯à®-¢¥à¨âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥�(z) = '(cospz t): (14)�।¯®«®¦¨¬, çâ® �(z) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®-¢¨î (10). �®£¤ ¨§ ⥮६ë 1 ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî-騩 १ã«ìâ â.�¥®à¥¬ 3. � ¤ ç �®è¨ (13) à ¢®¬¥à® ª®à-४â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯ -à ¡®«
� , ®å¢ âë¢ îé ï ¢á¥ ª®à¨ äãªæ¨¨ � ¨ ª®â®à®© ¢¥á W (z)= jzj�12 j�(z)j2 㤮¢«¥â¢®àï¥âãá«®¢¨î (A2
� ).�ãáâì, ¯à¨¬¥à, äãªæ¨® « ' § ¤ ¥âáï ä®à-¬ã«®© '(f) = nXk=0 ckf(sk) + aZ0 f(s)g(s)ds;f 2W 22 (0; a); ck 2 C;£¤¥ 0=s0<: : :<sn=a { ¯à®¨§¢®«ì®¥ à §¡¨¥¨¥á¥£¬¥â ; g { 䨪á¨à®¢ ï äãªæ¨ï ¨§ L2(0; a).� ᨫã ãá«®¢¨ï (14)�(z) = nXk=0 ck cospz sk + aZ0 cos(pz s)g(s)ds¨ ¨§ ⥮६ë 3 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¥á«¨ cn 6=0, â® § ¤ -ç �®è¨ (12) á â ª¨¬ äãªæ¨® «®¬ ' à ¢®¬¥à®ª®à४â .
�¯¥à â®àã A2, § ¤ ¢ ¥¬®¬ã ä®à¬ã« ¬¨ (5), á®-®â¢¥âáâ¢ã¥â § ¤ ç �®è¨, ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï ¨§§ ¤ ç¨ (13) § ¬¥®© ¯¥à¢®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ïu0s(t; 0)=0 u(t; 0)=0. �⮬ã á«ãç î ᮮ⢥â-áâ¢ã¥â äãªæ¨ï�(z) = (pz)�1'(sinpz t)¨, ¥á«¨ ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (10), â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® «®£ ⥮६ë 3, ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ª®â®à®£® W (z)á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì ¢¥á W (z)= jzj 12 j�(x)j2.����������� áâ âì¥ â¥å¨ª ¢¥á®¢ � ª¥å ã¯â ¢¯¥à¢ë¥¯à¨¬¥¥ ª ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥-¨© £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ . �áâ ®¢«¥ ªà¨â¥à¨©à ¢®¬¥à®© ª®à४â®á⨠§ ¤ ç¨ �®è¨ ¤«ï ¢®«-®¢®£® ãà ¢¥¨ï á ¥ª« áá¨ç¥áª¨¬¨ £à ¨ç묨ãá«®¢¨ï¬¨. �à¨â¥à¨© ä®à¬ã«¨àã¥âáï ¢ â¥à¬¨- å ãá«®¢¨ï � ª¥å ã¯â , ª®â®à®¬ã ¤®«¦ 㤮-¢«¥â¢®àïâì á¯¥æ¨ «ì ï ¢¥á®¢ ï äãªæ¨ï ª®-âãà å, ®å¢ âë¢ îé¨å ᯥªâà § ¤ ç¨. �®«ãç¥-ë¥ à¥§ã«ìâ âë ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ¯à¨ ¨á-á«¥¤®¢ ¨¨ à §«¨çëå £à ¨çëå § ¤ ç «¨¥©®© ªãá⨪¨ ¢ ¥ª« áá¨ç¥áª®© ¯®áâ ®¢ª¥.1. Krall A. M. The development of general di�erentialand general di�erential-boundary systems // RockyMountain J. Math.{ 1975.{ 5, N 4.{ P. 34{80.2. �ë쪨 �. �., �ᨫ¥ª¥à �. �. �¥á®¢ë¥ ®æ¥ª¨á¨£ã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¨ ¨å ¯à¨«®¦¥¨ï // �⮣¨ 㪨 ¨ â¥å¨ª¨. � ⥬. «¨§.{ 1983.{ 21.{ �. 42{129.3. �ã¡à¥¥¢ �. �. �¯¥ªâà «ìë© «¨§ ¡¨®à⮣® «ì-ëå à §«®¦¥¨©, ¯®à®¦¤¥ëå ¢¥á ¬¨ � ª¥å ã-¯â // � ¯¨áª¨ ãçëå ᥬ¨ ஢ �¥¨£à ¤áª®£®®â¤¥«¥¨ï �� �� ����.{ 1991.{ 190.{ �. 34{80.4. � à¥ââ �¦. �£à ¨ç¥ë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥äãªæ¨¨.{ �.: �¨à, 1984.{ 470 á.5. �¥©â¬¥ �., �थ©¨ �. � ¡«¨æë ¨â¥£à «ìëå ¯à¥-®¡à §®¢ ¨©: ⮬ 1. �८¡à §®¢ ¨ï �ãàì¥, � -¯« á , �¥««¨ .{ �.: � 㪠, 1969.{ 344 á.
28 �. �. �ã¡à¥¥¢
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1266 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T22:37:07Z |
| publishDate | 2001 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Губреев, Г.М. 2008-07-24T15:30:34Z 2008-07-24T15:30:34Z 2001 Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями / Г.М. Губреев // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 2. — С. 25-28. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1266 517.94 Сформулирован критерий равномерной корректности и получены оценки для норм решений задачи Коши для волнового уравнения с интегральными граничными условиями. Критерий дан в терминах условия Макенхаупта для специального веса на контурах, охватывающих спектр задачи. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании различных граничных задач линейной акустики в неклассической постановке. Сформульовано критерій рівномірної коректності та отримано оцінки норм розв'язків задачі Коші для хвильового рівняння з інтегральними граничними умовами. Критерій дано в термінах умови Макенхаупта для спеціальної ваги на контурах, що охоплюють спектр задачі. Одержані результати можуть бути використані при дослідженні різних граничних задач лінійної акустики в некласичній постановці. A criteria of the uniform correctness is formulated and the norms of the Cauchy problem solutions for the wave equation with integral boundary conditions are estimated. The criteria is given with the terms of the Muckenhoupt condition for special weight on contours, including the spectrum of the problem. The obtained results can be used for solving the different boundary problems of linear acoustics in the non-classical statement. ru Інститут гідромеханіки НАН України Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями Uniform correctness of the Cauchy problem for the wave equation with nonclassic boundary conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями Губреев, Г.М. |
| title | Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями |
| title_alt | Uniform correctness of the Cauchy problem for the wave equation with nonclassic boundary conditions |
| title_full | Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями |
| title_fullStr | Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями |
| title_full_unstemmed | Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями |
| title_short | Равномерная корректность задачи Коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями |
| title_sort | равномерная корректность задачи коши для волнового уравнения с неклассическими граничными условиями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1266 |
| work_keys_str_mv | AT gubreevgm ravnomernaâkorrektnostʹzadačikošidlâvolnovogouravneniâsneklassičeskimigraničnymiusloviâmi AT gubreevgm uniformcorrectnessofthecauchyproblemforthewaveequationwithnonclassicboundaryconditions |