О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле
Предложена модель зоны предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле. На основе этой модели установлены конститутивные уравнения, связывающие контравариантные компоненты вектора напряжения с ковариантными компонентами вектора смещения. Сформулирован критерий локального разрушения....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126642 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле / О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 5. — С. 25-33. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-126642 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Богданова, О.С. Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. 2017-11-29T12:45:38Z 2017-11-29T12:45:38Z 2017 О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле / О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 5. — С. 25-33. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.05.025 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126642 539.3 Предложена модель зоны предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле. На основе этой модели установлены конститутивные уравнения, связывающие контравариантные компоненты вектора напряжения с ковариантными компонентами вектора смещения. Сформулирован критерий локального разрушения. Запропоновано модель зони передруйнування біля фронту довільної тріщини в твердому тілі. На основі цієї моделі встановлено конститутивні рівняння, що зв’язують контраваріантні компоненти вектора напруження із коваріантними компонентами вектора зміщення. Сформульовано критерій локального руйнування. The model of the fracture process zone near the front of an arbitrary crack in a solid is proposed. Within the framework of this model, the constitutive equations relating the contravariant components of a stress vector with the covariant components of a displacement vector are derived. The local fracture criterion is formulated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле Про зону передруйнування біля фронту довільної тріщини в твердому тілі On the fracture process zone near the front of an arbitrary crack in a solid Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле |
| spellingShingle |
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле Богданова, О.С. Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. Механіка |
| title_short |
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле |
| title_full |
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле |
| title_fullStr |
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле |
| title_full_unstemmed |
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле |
| title_sort |
о зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле |
| author |
Богданова, О.С. Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_facet |
Богданова, О.С. Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про зону передруйнування біля фронту довільної тріщини в твердому тілі On the fracture process zone near the front of an arbitrary crack in a solid |
| description |
Предложена модель зоны предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле. На основе
этой модели установлены конститутивные уравнения, связывающие контравариантные компоненты вектора напряжения с ковариантными компонентами вектора смещения. Сформулирован критерий локального разрушения.
Запропоновано модель зони передруйнування біля фронту довільної тріщини в твердому тілі. На основі
цієї моделі встановлено конститутивні рівняння, що зв’язують контраваріантні компоненти вектора
напруження із коваріантними компонентами вектора зміщення. Сформульовано критерій локального
руйнування.
The model of the fracture process zone near the front of an arbitrary crack in a solid is proposed. Within the
framework of this model, the constitutive equations relating the contravariant components of a stress vector with
the covariant components of a displacement vector are derived. The local fracture criterion is formulated.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126642 |
| citation_txt |
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле / О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 5. — С. 25-33. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanovaos ozonepredrazrušeniâvozlefrontaproizvolʹnoitreŝinyvtverdomtele AT kaminskiiaa ozonepredrazrušeniâvozlefrontaproizvolʹnoitreŝinyvtverdomtele AT kurčakovee ozonepredrazrušeniâvozlefrontaproizvolʹnoitreŝinyvtverdomtele AT bogdanovaos prozonuperedruinuvannâbílâfrontudovílʹnoítríŝinivtverdomutílí AT kaminskiiaa prozonuperedruinuvannâbílâfrontudovílʹnoítríŝinivtverdomutílí AT kurčakovee prozonuperedruinuvannâbílâfrontudovílʹnoítríŝinivtverdomutílí AT bogdanovaos onthefractureprocesszonenearthefrontofanarbitrarycrackinasolid AT kaminskiiaa onthefractureprocesszonenearthefrontofanarbitrarycrackinasolid AT kurčakovee onthefractureprocesszonenearthefrontofanarbitrarycrackinasolid |
| first_indexed |
2025-11-24T02:28:44Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:28:44Z |
| _version_ |
1850840055133765632 |
| fulltext |
25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МЕХАНІКА
Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что перед фронтом тре-
щины образуется зона предразрушения (process zone), которая в дальнейшем перемещается
вместе с трещиной [1]. Материал в зоне предразрушения находится в полуразрушенном со-
стоянии. Свидетельством тому служат, к примеру, “трещины серебра” в полимерах и де-
струкция в металлах.
Одной из основных проблем описания процесса разрушения тела вследствие потери
сцепления между его частями является то, что до настоящего времени окончательно не
установлены закономерности деформирования материала в зоне предразрушения.
В современных исследованиях по механике разрушения наряду со стандартными ха-
рактеристиками трещиностойкости (критический коэффициент интенсивности напряже-
ний, критическое раскрытие трещины и др.) предлагается использовать также функцио-
нальные характеристики, устанавливающие связь между напряжениями и смещениями по
границам зоны предразрушения (Traction-Separation Relationship (TSR)) [2]. Это вызывает
необходимость теоретического обоснования такого подхода.
Уравнения, связывающие компоненты векторов напряжения и смещения на границах
зоны предразрушения, необходимы для постановки краевых задач о равновесии (в том чис-
ле и предельного) твердого тела с трещиной [3].
© О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков, 2017
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.05.025
УДК 539.3
О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: dfm11@ukr.net, fract@inmech.kiev.ua
О зоне предразрушения
возле фронта произвольной трещины в твердом теле
Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко
Предложена модель зоны предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле. На основе
этой модели установлены конститутивные уравнения, связывающие контравариантные компоненты век-
тора напряжения с ковариантными компонентами вектора смещения. Сформулирован критерий локаль-
ного разрушения.
Ключевые слова: произвольная трещина, зона предразрушения, конститутивные уравнения, критерий
локального разрушения.
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
За последнее время построению упомянутых
уравнений было посвящено большое число работ
[2]. Все они выполнены на основе различных
предпосылок и гипотез. В этих работах строились,
преимущественно, конститутивные уравнения для
зоны предразрушения у фронта трещины нор-
мального отрыва и поперечного сдвига. И хотя в
них получено немало важных результатов, полно-
стью проблема не решена.
Как представляется, компоненты вектора на-
пряжения в точках на противоположных грани-
цах зоны предразрушения должны зависеть от расстояния между этими точками. Однако
далеко не все конститутивные уравнения отвечают этому требованию.
Наиболее известны конститутивные уравнения, установленные в работе [4]. Аргу-
ментами в этих уравнениях выступают нормальная и приведенная тангенциальная (по
отношению к трещине) компоненты вектора смещения относительно друг друга точек на
противоположных границах зоны предразрушения. При этих аргументах фигурирует ска-
лярный множитель, представляющий собой функцию квадратного корня из некоторого
квадратичного инварианта, образованного из указанных компонент вектора смещения.
Учитывая это, можно прийти к заключению, что конститутивные уравнения Твергарда—
Хатчинсона [4] удовлетворяют высказанному выше требованию лишь частично, а именно, в
случае трещины нормального отрыва.
В отличие от уравнений Твергарда—Хатчинсона [4], аргументами в уравнениях, уста-
новленных в работах [5, 6], выступают уже нормальная и тангенциальная компоненты век-
тора смещения, а скалярный множитель при них является функцией квадратного корня из
второго инварианта, образованного из упомянутых компонент. Таким образом, согласно урав-
нениям Нидлемана—Бэнкс-Силса [5, 6], компоненты вектора напряжения в точках на проти-
воположных границах зоны предразрушения зависят от расстояния между этими точками.
Для учета типа трещины (трещина нормального отрыва или трещина поперечного сдви-
га) авторами работ [5, 6] был введен в конститутивные уравнения специальный параметр.
Однако не дано строгого обоснования тому, как это было сделано.
В настоящей статье, исходя из положений общего характера, установим конститутив-
ные уравнения для зоны предразрушения у фронта трещины нормального отрыва, попереч-
ного и продольного сдвигов. Сделаем это аналитически. Сформулируем также критерий
локального разрушения.
Модель зоны предразрушения. Рассмотрим твердое тело с произвольной трещиной.
При деформации данного тела у фронта трещины возникает зона предразрушения.
Прибегая к помощи метода сечения, переведем внутренние напряжения, действующие
по границам зоны предразрушения, в категорию внешних напряжений.
Будем считать, что зона предразрушения представляет собой совокупность прямоли-
нейных элементов, имеющих бесконечно малую площадь поперечного сечения.
Обособим перед фронтом трещины некоторую точку C , переходящую (в результате де-
формации тела) в точки C+ и C− на границах зоны предразрушения.
Рис. 1
27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле
Теперь поступим следующим образом. Выделим прямолинейный элемент, присоеди-
ненный к границам зоны предразрушения в точках C+ и C− . Затем к выделенному элементу
приложим векторы напряжений +P и −P (рис. 1, а), а к телу — векторы напряжений +−P и
−−P (рис. 1, б). Каждые из этих векторов являются противоположными и лежат на прямой,
проходящей через точки C+ и C− .
Предположим, что известны векторы CC +
+ ≡ u и CC −
− ≡ u , изображающие перемещения
точек C+ и C− относительно точки C .
Образуем вектор +−v ( )+− + −= −v u u , изображающий смещение точки C+ относительно
точки C− , и вектор −+v ( )−+ − += −v u u , изображающий смещение точки C− относительно
точки C+ .
Сосредоточим внимание на выделенном элементе. Для описания состояния этого эле-
мента можно выбрать какие-либо одни векторы напряжения и смещения — +P и +−v или −P
и −+v . Ради простоты выбранные векторы будем записывать как P и v. Из сказанного выше
следует, что векторы P и v коллинеарны. Более того, они равнонаправлены.
Конститутивные уравнения. Отнесем рассматриваемое тело к системе неортогональных
криволинейных координат 1 2 3,,x x x , характеризуемой ковариантным метрическим тензором
с компонентами αβg и контравариантным метрическим тензором с компонентами αβg .
Пусть имеются взаимные базисы, представленные системами локальных базисных
векторов 1 2 3, ,e e e и 1 2 3, ,e e e .
Укажем, что
; α β αβ
α β αβ⋅ = ⋅ =e e e eg g . (1)
К тому же,
β β
α α⋅ = δe e . (2)
В формулах (2) фигурируют символы Кронекера β
αδ :
1 ( );
0 ( ).
β
α
α = β⎧
δ = ⎨ α ≠ β⎩
(3)
В дальнейшем будем пользоваться правом замены немых индексов, не оговаривая это особо.
Выразим вектор P через его контравариантные компоненты:
P γ
γ=P e . (4)
Для модуля P≡P вектора P имеем
P = ⋅P P . (5)
Согласно формуле (4) и первым из формул (1), скалярное произведение
P Pα β
αβ⋅ =P P g . (6)
Выразим вектор v через его ковариантные компоненты:
v γ
γ=v e . (7)
Для модуля v≡v вектора v имеем
v = ⋅v v . (8)
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Согласно формуле (7) и вторым из формул (1), скалярное произведение v · v будет
v vαβ
α β⋅ =v v g . (9)
Установим уравнения, связывающие контравариантные компоненты вектора P с кова-
риантными компонентами вектора v .
Напомним, что векторы P и v коллинеарны, т. е.
I=P v, (10)
где I — переменный множитель.
Умножая обе части соотношения (10) на αe , получим
Iα α⋅ = ⋅P e v e . (11)
В соответствии с формулой (4), формулами (2) и условиями (3) скалярные произведения
Pα α⋅ =P e . (12)
Согласно формуле (7) и второй из формул (1), скалярные произведения
vα αβ
β⋅ =v e g . (13)
С учетом формул (12) и (13) соотношения (11) примут вид
P I vα αβ
β= g . (14)
Представим множитель I через модули P и v.
Свертывая соотношения (14) с компонентами vα , установим
P v I v vα αβ
α α β= g (15)
Из свертки P vα
α следует исключить компоненты vα . Для этого потребуются соотно-
шения, обратные соотношениям (14).
Опираясь на соотношения (14), выведем
P I vγ γβ
α γ α γ β=g g g . (16)
Заметим, что согласно первым из формул (1), а также формулам (2) и условиям (3),
.= γ
α αγge e (17)
Умножая левые и правым части формул (17) на βe , в соответствии со второй из формул
(1) получим
β γβ
α αγ⋅ =e e g g . (18)
С учетом формул (18) формулы (2) примут вид
a
γβ β
α γ = δg g . (19)
Привлекая формулы (19) и учитывая условия (3), запишем соотношения (16) в виде
P Ivγ
α γ α=g
или
P Ivβ
αβ α=g . (20)
29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле
Из соотношений (20) вытекает
P
v
I
β
αβ
α =
g
. (21)
В силу соотношений (21) свертка
P P
P v
I
α β
αβα
α =
g
. (22)
Используя формулу (22), преобразуем формулу (15) к виду
2P P I v vα β αβ
αβ α β=g g . (23)
Так как векторы P и v не только коллинеарны, но и равнонаправлены, то множитель
I должен быть положительным.
Учитывая формулы (6), (5) и (9), (8), на основании формулы (23) найдем
P
I
v
= . (24)
Подставляя в соотношения (14) формулу (24), установим
P
P v
v
α αβ
β= g . (25)
Следовательно, пришли к искомым уравнениям.
Заметим, что искомые уравнения могут быть установлены и более простым способом.
Пусть имеется орт i , равнонаправленный с вектором P . Стало быть, вектор P можно
записать так:
P=P i. (26)
Умножая обе части формулы (26) на αe , получим
Pα α⋅ = ⋅P e i e . (27)
Поскольку векторы P и v равнонаправлены, то для орта i будем иметь:
v
= v
i . (28)
В силу формулы (28) и формул (13) скалярные произведения α⋅i e будут
v
v
αβ
βα⋅ =i e
g
. (29)
Подстановка в формулы (27) формул (12) и (29) дает
v
P P
v
αβ
βα =
g
. (30)
Как видим, уравнения (30) идентичны уравнениям (25).
Связь контравариантных компонент вектора P с кова-
риантными компонентами вектора v по уравнениям (30)
будет определенной, если известна функциональная зависи-
мость модуля P от модуля v (рис. 2). Рис. 2
30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Следуя работе [7], положим, что эта зависимость выражается формулой
( )oP P f v= , (31)
где ( )f v — функция, убывающая в промежутке ( , )o η .
Конечно, значение v = η модуля v должно зависеть от ориентации выделенного эле-
мента относительно трещины.
Потребуем, чтобы функция ( )f v удовлетворяла таким условиям:
( ) 1; ( ) 0
v o
v o
d
f v f v
dv=
=
= = ;
( ) 0; ( )
v
v
d
f v f v m
dv=η
=η
= = .
(32)
Для многих приложений функция ( )f v может быть аппроксимирована многочленом вида
1 2
1 2
( ) 1 k k
k kf v b v b v= + + , (33)
где 1 2,k k — целые числа 1 2(1 )k k< < .
Очевидно, что первому и второму из условий (32) формула (33) удовлетворяет тожде-
ственно. Ввиду этого, коэффициенты
1kb и
2kb надлежит найти, учтя третье и четвертое из
условий (32).
Дифференцируя формулу (33), установим
1 2
1 2
1 1
1 2( ) k k
k k
d
f v k b v k b v
dv
− −= + . (34)
Учитывая третье и четвертое из условий (32), по формулам (33) и (34) найдем
1 21 2
2 1
1 2 2 1
;
( ) ( )
k kk k
k m k m
b b
k k k k
+ η + η
= =
− η − η
. (35)
Согласно формуле (33), формула (31) будет
1 2
1 2
1( )k k
o k kP P b v b v= + + . (36)
Воспользовавшись уравнениями (30), а также формулой (36) и формулами (35), можно
вычислить контравариантные компоненты вектора P. А зная их, не составит труда полу-
чить контравариантные компоненты вектора –P.
Построим зависимость значения v = η модуля v от ориентации выделенного элемента
относительно трещины.
Пусть имеются попарно перпендикулярные орты i1, i2, i3, приведенные к общему началу.
Будем подразумевать, что орты i1 и i2 перпендикулярны фронту трещины, а орт i3 со-
впадает с касательной к фронту трещины.
Углы между вектором v и ортами i1, i2, i3 обозначим так:
1 1 2 2 3 3, ,∧ ∧ ∧≡ ϑ ≡ ϑ ≡ ϑv i v i v i .
Введем направляющие косинусы вектора v :
1 2 3cos , cos , cosϑ ϑ ϑ .
31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле
Заметим, что они связаны между собой:
2 2 2
1 2 3cos cos 1cosϑ ϑ ϑ+ + = . (37)
Предположим, что зависимость η от направляющих косинусов вектора v может быть
представлена в виде
3 3 3
2 2 2
1 1 1
cos cos cosp p pq p q
p p q= = =
η = Γ ϑ + Γ ϑ ϑ∑ ∑∑ . (38)
причем
0 ( ); ( )pq pq qpp q p qΓ = = Γ = Γ ≠ . (39)
В случае трещины нормального отрыва и поперечного сдвига, в котором 3 2
πϑ = , соглас-
но равенствам (39) формула (38) будет
2 2 2 2
1 1 2 2 12 1 2cos cos 2 cos cosη = Γ ϑ +Γ ϑ + Γ ϑ ϑ . (40)
При 3 2
πϑ = в силу формулы (37) имеем
2 2
2 1cos 1 cosϑ = − ϑ . (41)
С учетом формулы (41) формула (40) примет вид
2 2
2 1 2 12 1 1([ 2 1 cos ]c) osη = Γ + Γ −Γ + Γ − ϑ ϑ . (42)
Коснемся вопроса определения коэффициентов 1 2,Γ Γ и 12Γ .
Примем
(1,0) (0,2) (1,2)
1 1 1 1
(1,0) (0,2) (1,2)
, ,
, ,ϑ =ϑ ϑ ϑη = η η η . (43)
Используя формулу (42), в соответствии с условиями (43) установим:
(1,0) (1,0)(1,0) 2 2
2 1 2 12 1 1[ 2 1 cos ]cos( )η = Γ + Γ −Γ + Γ − ϑ ϑ ;
(0,2) (0,2)(0,2) 2 2
2 1 2 12 1 1[ 2 1 cos ]cos( )η = Γ + Γ −Γ + Γ − ϑ ϑ ;
(1,2) (1,2)(1,2) 2 2
2 1 2 12 1 1[ 2 1 cos ]cos( )η = Γ + Γ −Γ + Γ − ϑ ϑ . (44)
Остановимся на частном случае. Полагая, что ( )1,0
1 0ϑ = , ( )0,2
1 2
πϑ = , ( )1,2
1 4
πϑ = на осно-
вании формул (44) получим:
(1,0) (0,2) (1,2)
1 2 1 2 12
1
; ; ( )
2
η = Γ η = Γ η = Γ +Γ +Γ .
Отсюда имеем
(1,0) (0,2) (1,2) (1,0) (0,2)
1 2 12; ; 2Γ = η Γ = η Γ = η −η −η .
Величины (1,0)η , (0,2)η и (1,2)η подлежат определению в опытах.
Критерий локального разрушения. Сформулируем критерий локального разрушения,
но сначала определим энергию J , идущую на деформацию выделенного элемента.
Элементарная энергия такова:
dJ P dvα
α= . (45)
32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
О.С. Богданова, А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков
Используя уравнения (30), запишем формулу (45) в виде
d v v
dJ P
v
αβ
α β=
g . (46)
Учитывая формулы (9) и (8), представим формулу (46) так:
dJ Pdv= . (47)
Интегрируя, на основании формулы (47) получим
J Pdv= ∫ . (48)
Привлекая формулу (36) и находя неопределенный интеграл в правой части формулы
(48), а также определяя из начального условия постоянную интегрирования (энергия J
должна быть равна нулю, если модуль v равен нулю), будем иметь
1 21 2
1 2
1
1 1
k kk k
o
b b
J P v v v
k k
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
. (49)
Примем
v
J =η = ω . (50)
Подставляя в формулу (49) формулы (35) и учитывая условие (50), найдем
1 2
1 2
( )
( 1)( 1)o
k k m
P
k k
− η η
ω =
+ +
.
В момент разрушения выделенного элемента модуль P вектора напряжения оказы ва-
ется равным нулю. Это происходит тогда, когда модуль v вектора смещения принимает
значение v = η . Таким образом, имеем критерий локального разрушения: v = η .
Отметим, что к моменту разрушения выделенного элемента энергия J , затраченная на
его деформацию, становится равной ω .
Итак, предложена модель зоны предразрушения, образующейся у фронта произволь-
ной трещины в твердом теле. В рамках этой модели зона предразрушения представлена как
совокупность прямолинейных элементов с бесконечно малой площадью поперечного сече-
ния. С учетом этого установлены конститутивные уравнения, связывающие между собой
геометрические компоненты вектора напряжения в точках на противоположных границах
зоны предразрушения и геометрические компоненты вектора смещения относительно друг
друга данных точек. Конкретизирована скалярная функция модуля вектора смещения, со-
держащаяся в установленных уравнениях. Построена зависимость одного из параметров
этой функции от пространственной ориентации вектора смещения. Сформулирован крите-
рий локального разрушения. Приведена физическая интерпретация указанного критерия.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Каminsky А.А. Mechanics of the Delayed Fracture of Viscoelastic Bodies with Cracks: Theory and Experi-
ment (Review). Int. Appl. Mech. 2014. 50, № 5. P. 485—548.
2. Park K., Paulino G.H. Cohesive Zone Models: A Critical Review of Traction-Separation Relationships Across
Fracture Surfaces. Appl. Mech. Reviews. 2011. 64, № 11. P. 1—20.
3. Каminsky А.А., Кurchakov Е.Е. Influence of Tension Along a Mode I Crack in an Elastic Body on the Formation
of a Nonlinear Zone. Int. Appl. Mech. 2015. 51, № 2. P. 130—148.
33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О зоне предразрушения возле фронта произвольной трещины в твердом теле
4. Tvergaard V., Hutchinson J.W. The Influence of Plasticity on Mixed Mode Interface Toughness. J. Mech. Phys.
Solids. 1993. 41, № 6. P. 1119—1135.
5. Needleman A. A continuum Model for Void Nucleation by Inclusion Debonding. J. Appl. Mech. 1987. 54, № 3.
P. 525—531.
6. Banks-Sills L., Travitzky N., Ashkenazi D., Eliasi R. A Methodology for Measuring Interface Fracture Pro-
perties of Composite Materials. Int. J. Fract. 1999. 99, № 3. P. 143—160.
7. Wittmann F.H., Rokugo K., Bruehwiler E., Mihashi H., Simonin P. Fracture Energy and Strain Softening of
Concrete as Determined by Means of Compact Tension Specimens. Mater. Struct. 1988. 21, № 1. P. 21—32.
Поступило в редакцию 28.10.2016
REFERENCES
1. Кaminsky, А. А. (2014). Mechanics of the Delayed Fracture of Viscoelastic Bodies with Cracks: Theory and Expe-
riment (Review). Int. Appl. Mech., 50, Iss. 5, pp. 485-548. doi: https://doi.org/10.1007/s10778-014-0652-8.
2. Park, K. & Paulino, G. H. (2011). Cohesive Zone Models: A Critical Review of Traction-Separation Re la tion-
ships Across Fracture Surfaces. Appl. Mech. Reviews, 64, No. 11, pp. 1-20.
3. Каminsky, А. А. & Кurchakov, Е. Е. (2015). Influence of Tension Along a Mode I Crack in an Elastic Body on
the Formation of a Nonlinear Zone. Int. Appl. Mech., 51, Iss. 2, pp. 130-148. doi: https://doi.org/10.1007/
s10778-015-0679-5
4. Tvergaard, V. & Hutchinson, J.W. (1993). The Influence of Plasticity on Mixed Mode Interface Toughness. J.
Mech. Phys. Solids, 41, No. 6, pp. 1119-1135.
5. Needleman, A. (1987). A continuum Model for Void Nucleation by Inclusion Debonding. J. Appl. Mech., 54,
No. 3, pp. 525-531.
6. Banks-Sills, L., Travitzky, N., Ashkenazi, D. & Eliasi R. (1999). A Methodology for Measuring Interface
Fracture Properties of Composite Materials. Int. J. Fract., 99, No. 3, pp. 143-160.
7. Wittmann, F. H., Rokugo, K., Bruehwiler, E., Mihashi, H. & Simonin, P. (1988). Fracture Energy and Strain Sof-
tening of Concrete as Determined by Means of Compact Tension Specimens. Mater. Struct., 21, No. 1, pp. 21-32.
Received 28.10.2016
О.С. Богданова, А.О. Камінський, Є.Є. Курчаков
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: dfm11@ukr.net, fract@inmech.kiev.ua
ПРО ЗОНУ ПЕРЕДРУЙНУВАННЯ БІЛЯ ФРОНТУ
ДОВІЛЬНОЇ ТРІЩИНИ В ТВЕРДОМУ ТІЛІ
Запропоновано модель зони передруйнування біля фронту довільної тріщини в твердому тілі. На основі
цієї моделі встановлено конститутивні рівняння, що зв’язують контраваріантні компоненти вектора
напруження із коваріантними компонентами вектора зміщення. Сформульовано критерій локального
руйнування.
Ключові слова: довільна тріщина, зона передруйнування, конститутивні рівняння, критерій локального
руйнування.
O.S. Bogdanova, A.A. Kaminsky, E.E. Kurchakov
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: dfm11@ukr.net, fract@inmech.kiev.ua
ON THE FRACTURE PROCESS ZONE NEAR
THE FRONT OF AN ARBITRARY CRACK IN A SOLID
The model of the fracture process zone near the front of an arbitrary crack in a solid is proposed. Within the
framework of this model, the constitutive equations relating the contravariant components of a stress vector with
the covariant components of a displacement vector are derived. The local fracture criterion is formulated.
Keywords: arbitrary crack, fracture process zone, constitutive equations, local fracture criterion.
|