О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями
На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Навье—Стокса для вязкой сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот. Проанализ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126643 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями / А.Н. Гузь, А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 5. — С. 34-44. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859722673849892864 |
|---|---|
| author | Гузь, А.Н. Багно, А.М. |
| author_facet | Гузь, А.Н. Багно, А.М. |
| citation_txt | О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями / А.Н. Гузь, А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 5. — С. 34-44. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Навье—Стокса для вязкой сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот.
Проанализировано влияние начальных напряжений в предварительно деформированном сжимаемом упругом слое, а также полупространства вязкой сжимаемой жидкости на фазовые скорости и коэффициенты
затухания квазилэмбовских мод в гидроупругом волноводе. Исследованы локализационные свойства низших
квазилэмбовских мод в упруго-жидкостных волноводах. Развитый подход и полученные результаты позволяют для волновых процессов установить пределы применимости моделей, основанных на различных вариантах теории малых начальных деформаций, классической теории упругости и модели идеальной жидкости. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ.
На основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для твердого тіла
та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав'є—Стокса для в'язкої стисливої рідини побудовані дисперсійні криві квазілембовських хвиль у гідропружній системі в широкому діапазоні частот. Проаналізовано
вплив початкових напружень у попередньо деформованому стисливому пружному шарі, а також півпростору в'язкої стисливої рідини на фазові швидкості та коефіцієнти загасання квазілембовських мод у гідропружному хвилеводі. Досліджено локалізаційні властивості нижчих квазілембовських мод у пружно-рідинних хвилеводах. Розвинутий підхід та отримані результати дозволяють для хвильових процесів встановити межі застосування моделей, заснованих на різних варіантах теорії малих початкових деформацій, класичної теорії пружності, а також моделі ідеальної рідини. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз.
The dispersion curves of quasi-Lamb waves in a hydroelastic system are constructed over a wide range of frequencies
using the three-dimensional equations of the elasticity theory of finite deformations for a solid body
and three-dimensional linearized Navier—Stokes equations for a viscous compressible fluid. The influence of initial
stresses in the pre-deformed compressible elastic layer and of the half-space of the viscous compressible fluid
on the phase velocities and attenuation coefficients of quasi-Lamb waves in a hydroelastic waveguide is analy zed.
The localization properties of the lower quasi-Lamb modes in elastic-fluid waveguides are studied. For the wave
processes, the approach developed and results obtained make it possible to establish the limits, within which
the models based on the different variants of the theory of small initial deformations, classical elasticity theory,
and the model of ideal fluid can be applied. The numerical results are presented in the form of graphs and their
analysis is given.
|
| first_indexed | 2025-12-01T10:06:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
© А.Н. Гузь, А.М. Багно, 2017
В настоящей работе для исследования распространения квазилэмбовских волн в гидро-
упругой системе, состоящей из полупространства жидкости и упругого слоя, привлекают-
ся модели предварительно напряженного сжимаемого тела и вязкой сжимаемой жидкости.
При этом используются трехмерные линеаризованные уравнения теории упругости конеч-
ных деформаций для твердого тела и трехмерные линеаризованные уравнения Навье—
Стокса для жидкости [1—7]. Предполагается, что жидкость является ньютоновской, нахо-
дится в состоянии покоя и тепловые эффекты не учитываются. В качестве подхода выбраны
постановки задач и метод, основанные на применении представлений общих решений ли-
неаризованных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости и предварительно на-
пряженного сжимаемого упругого тела, предложенные в работах [1—7].
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о распространении акустических волн в ги-
дроупругой системе, состоящей из полупространства вязкой сжимаемой жидкости и сжи-
маемого упругого слоя, подверженного большим (конечным) начальным деформациям.
Ре шение получим с привлечением трехмерных линеаризованных уравнений теории упру-
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.05.034
УДК 539.3
А.Н. Гузь, А.М. Багно
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: alexbag2016@gmail.com
О волнах в системе: полупространство вязкой
жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями
Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем
На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твер-
дого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Навье—Стокса для вязкой сжимаемой жидкости по-
строены дисперсионные кривые квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот.
Проанализировано влияние начальных напряжений в предварительно деформированном сжимаемом упру-
гом слое, а также полупространства вязкой сжимаемой жидкости на фазовые скорости и коэффициенты
затухания квазилэмбовских мод в гидроупругом волноводе. Исследованы локализационные свойства низших
квазилэмбовских мод в упруго-жидкостных волноводах. Развитый подход и полученные результаты поз-
воляют для волновых процессов установить пределы применимости моделей, основанных на различных ва-
риантах теории малых начальных деформаций, классической теории упругости и модели идеальной жид-
кости. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ.
Ключевые слова: дисперсия волн, квазилэмбовские моды, сжимаемый упругий слой, полупространство вяз-
кой сжимаемой жидкости, начальные напряжения.
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой
гости при конечных деформациях для твердого тела и линеаризованных уравнений Навье—
Стокса для жидкости, находящейся в состоянии покоя [1—7].
Далее предположим, что изотропное нелинейно-упругое тело, упругий потенциал ко-
торого является произвольной дважды непрерывно-дифференцируемой функцией ком-
понент тензора деформаций Грина, занимает объем: 1z−∞ < < ∞ , 20 z h� � , 3z−∞ < < ∞ и
контактирует с полупространством вязкой сжимаемой жидкости, заполняющей объем:
1z−∞ < < ∞, 2 0z−∞ < � , 3z−∞ < < ∞. Будем считать, что волна, бегущая в направлении оси
1oz , и возмущения, ее вызывающие, не зависят от переменной 3z . В этом случае задача будет
плоской и можно ограничиться изучением процесса распространения волн в плоскости
1 2.oz z Следовательно, указанная задача сводится к решению системы уравнений движения
упругого тела и жидкости при следующих граничных условиях:
2 21 0 1 0z zP Q= == ;
2 22 0 2 0z zP Q= == ;
21 0z hQ = = ;
22 0z hQ = = ; (1)
2 2
1
1 0 0z z
u
v
t= =
∂
=
∂
;
2 2
2
2 0 0z z
u
v
t= =
∂
=
∂
. (2)
Здесь введены следующие обозначения: iQ та iP — составляющие напряжений, соответ-
ственно, в упругом теле и жидкости.
В дальнейшем для решения задачи гидроупругости воспользуемся представлениями
общих решений для предварительно напряженных сжимаемых упругих тел и вязкой сжи-
маемой жидкости. Для случая однородного начального напряженного состояния и покоя-
щейся жидкости общие решения, полученные в работах [1—7], имеют вид
2
1
1
1 2
u
z z
∂ χ
= −
∂ ∂
;
2 0 2 2 02 2 2
1 11 11 2 1 12 22
2 12 2 2 2 0 2 2 2 0 2
2 12 12 1 1 1 11 11 2 1 1 11 11
( ) ( )
( ) ( ) ( )
a s s
u
a z a s z a s t
⎡ ⎤λ + λ λ μ +∂ ∂ ρ ∂⎢ ⎥= + − χ
⎢ ⎥λ + μ ∂ λ λ + ∂ λ λ + ∂ ⎦⎣
;
2 2
2 3
1
1 2
v
z t z t
∂ χ ∂ χ
= +
∂ ∂ ∂ ∂
;
2 2
2 3
2
2 1
v
z t z t
∂ χ ∂ χ
= −
∂ ∂ ∂ ∂
где введенные функции iχ являются решениями следующих уравнений:
2 2 0 2 2 02 2 2 2 2
2 1 12 22 2 2 22 22
2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2
1 1 1 11 11 2 1 1 11 11 1 1 2 12 11 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
s a s
z a s z a s t z s z
⎡⎛ ⎞ ⎛λ λ μ + λ λ +∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂⎢ + − + −⎜ ⎟ ⎜⎢⎜ ⎟ ⎜∂ λ λ + ∂ λ λ + ∂ ∂ λ λ μ + ∂⎝ ⎠ ⎝⎢⎣
4 22 4
2 12 12
12 2 0 2 2 0 2 0 2 2
1 1 12 11 1 11 11 2 12 11 1 2
( )
0
( ) ( ) ( )
a
s t a s s z z
⎞ ⎤λ + μρ ∂ ∂ ⎥− − χ =⎟
⎟ ⎥λ λ μ + ∂ λ + λ μ + ∂ ∂⎠ ⎦
;
* 2 2 2
22 2 2 2 2
0 1 2 0
4 1
1 0
3 ta z z a t
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ν ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ + − χ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
;
2 2
*
32 2
1 2
0
t z z
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥− ν + χ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Здесь iu — компоненты вектора перемещений упругого тела u ; ρ — плотность материа-
ла упругого слоя; iv — составляющие вектора возмущений скорости жидкости v; *ρ и
p — возмущения плотности и давления в жидкости; *ν и *μ — кинематический и дина-
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
А.Н. Гузь, А.М. Багно
мический коэффициенты вязкости жидкости; 0ρ и 0a — плотность и скорость звука в жид-
кости в состоянии покоя; іλ — удлинения упругого слоя в направлениях координатных
осей; 0
iiσ — начальные напряжения (
0
0 1 2 3
2
ii
іі
i
s
λ λ λ σ
=
λ
).
Далее параметры, характеризующие процесс распространения волн, разыскиваем в
классе бегущих волн и выбираем в виде:
2 1( ) exp [ ( )]j jX z i kz tχ = −ω , 1,3j = ,
где k ( )k i= β+ γ — волновое число; γ — коэффициент затухания волны; ω — круговая час-
тота; 2 1i = − .
Отметим, что выбранный в данной работе класс гармонических волн, являясь наиболее
простым и удобным в теоретических исследованиях, не ограничивает общности получен-
ных результатов, поскольку линейная волна произвольной формы, как известно, может
быть представлена набором гармонических составляющих. Далее решаем две задачи
Штурма—Лиувилля на собственные значения для уравнений движения упругого тела и
жидкости, а также определяем соответствующие собственные функции. После подстановки
решений в граничные условия (1) и (2) получаем однородную систему линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно произвольных постоянных. Исходя из условия существо-
вания нетривиального решения, приравнивая определитель системы к нулю, получаем дис-
персионное уравнение
0
0 0( , , , , , , , , / ) 0, , 1,6,mn i ij ij ii sdet e c a s a h c m nγ λ μ ρ ω = =σ
(3)
где с — фазовая скорость мод в гидроупругой системе; h — толщина упругого слоя; sc
2( )sc = μ ρ — скорость волны сдвига в материале упругого тела, λ и μ — константы Ляме
материала упругого тела.
Заметим, что особенность распространения возмущений в гидроупругом волноводе
указанной структуры обусловлена наличием в упругом теле и жидкости граничных по-
верхностей. Это значительно усложняет картину волнового поля в нем. Причиной этого
является то, что в формировании поля в гидроупругой системе существенную роль играют
не только наличие жидкости, а также взаимодействие волн с поверхностью упругого тела,
контактирующего с жидкой средой, но и наличие свободных границ и их взаимовлияние.
Взаимодействие продольных и сдвиговых волн на граничных поверхностях приводит к воз-
никновению в гидроупругом волноводе сложного спектра мод.
Отметим, что дисперсионное уравнение (3) не зависит от формы упругого потенциа ла
и получено для сжимаемых упругих тел, подверженных большим (конечным) начальным
деформациям. Оно является наиболее общим и из него можно получить соотношения для
ряда частных случаев [8—11]. Если положить 0 0iiσ = и * 0μ = , то получим равенства для
основательно исследованных в рамках классической теории упругости волн Рэлея, Стоун-
ли—Шольте и Лэмба [13].
Численные результаты. В дальнейшем дисперсионное уравнение (3) решаем числен-
но. При этом расчеты проводим для гидроупругой системы, состоящей из стали марки
09Г2С (жесткий материал) и воды. Параметры волновода выбираем такими: упругий
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой
слой — 7800ρ = кг/м3, 109,26 10λ = ⋅ Па, 107,75 10μ = ⋅ Па; полупространство жидкости —
0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, * 0,001,μ = 0 0 0,463021sa a c= = . Этот волновод отлича-
ется тем, что материал упругого тела (сталь) относится к разряду жестких.
Заметим, что уравнение (3) выведено без введения каких-либо дополнительных огра-
ничений к виду функции упругого потенциала, поэтому оно справедливо для упругих по-
тенциалов произвольной формы. В данной работе для описания упругих свойств стали ис-
пользовался трехинвариантный потенциал Мурнагана [12].
При рассмотрении конкретного примера и численного решения уравнения (3) учиты-
валось то, что сталь, не разрушаясь, не допускает больших деформаций и поэтому коэф-
фициенты уравнений состояния ija и ijμ определялись в рамках линейного акустического
приближения [12]. Результаты вычислений представлены на рис. 1—4.
На рис. 1, а для упругого слоя, невзаимодействующего с жидкостью, приведены зави-
симости безразмерных величин фазовых скоростей нормальных волн Лэмба c ( )sc c c=
от безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h ( sh h c= ω ) [2, 3, 9, 13] при
отсутствии начальных напряжений. На этом рисунке для наглядности штриховой линией
отмечена асимптотика, к которой стремятся фазовые скорости первой (нулевой антисимме-
тричной) и второй (нулевой симметричной) мод при возрастании толщины (частоты) h .
На рис. 1, б для упругого слоя, взаимодействующего с полупространством идеальной
жидкости ( * 0μ = ), приведен график зависимости безразмерной величины фазовой ско рости
единственной низшей моды c от безразмерной величины толщины упругого слоя h . На
этом рисунке для наглядности штриховой линией отмечена асимптотика, к которой стре-
мится фазовая скорость этой моды при возрастании толщины.
Влияние вязкости жидкости ( * 0,001μ = ) на скорости квазилэмбовских мод в гидроу-
пругой системе иллюстрирует график на рис. 2, а. На нем представлены зависимости без-
размерных величин фазовых скоростей квазилэмбовских волн c от безразмерной вели-
чины толщины упругого слоя h . На этом рисунке для наглядности штриховыми линиями
отмечены асимптотики, к которым стремятся фазовые скорости первой, второй и третьей
мод при возрастании толщины.
На рис. 2, б и 3, а для гидроупругой системы, приведены зависимости безразмерных
величин коэффициентов затухания γ ( skγ = γ , sk – волновое число волны сдвига в материа-
Рис. 1
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
А.Н. Гузь, А.М. Багно
ле упругого слоя) от безразмерной величины толщины упругого слоя h при * 0,001μ = и
отсутствии начальных напряжений.
Характер влияния предварительного растяжения ( 0
11 0,004σ = ) на скорости квази-
лэмбовских волн в упруго-жидкостной системе иллюстрирует график на рис. 3, б. На
нем приведены зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей сε
( ( )/с с с cε σ= − , сσ — фазовая скорость мод в предварительно напряженном слое, с — фазо-
вая скорость нормальных волн в упругом слое при отсутствии начальных деформаций) от
толщины упругого слоя h при * 0,001μ = .
Влияние предварительного растяжения ( 0
11 0,004σ = ) на коэффициенты затухания мод
в упругом слое, взаимодействующем с полупространством вязкой жидкости, иллюстриру-
ют графики на рис. 4.
На них представлены зависимости относительных изменений величин коэффициентов
затухания мод εγ ( ( )/ε σγ = γ − γ γ , σγ — коэффициенты затухания мод в гидроупругой си-
стеме, упругий слой которой подвержен начальным деформациям; γ — коэффициенты за-
тухания мод в гидроупругой системе при отсутствии начальных деформаций) от безразмер-
ной величины толщины упругого слоя h при * 0,001μ = .
Анализ числовых результатов. Из графиков, представленных на рис. 1, а [2, 3, 9, 13],
сле дует, что скорость первой (нулевой антисимметричной) моды Лэмба при росте частоты
Рис. 2
Рис. 3
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой
или толщины упругого слоя h стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923008R R sc c c= = )
снизу, а скорость второй (нулевой симметричной) моды стремится к скорости волны
Рэлея Rc ( 0,923008Rc = ) сверху. Скорости всех мод Лэмба высокого порядка при увели-
че нии частоты или толщины упругого слоя стремятся к скорости волны сдвига в материа-
ле упругого тела sc .
График на рис. 1, б получен для упруго-жидкостной системы, состоящей из стального
(жесткий материал) упругого слоя и полупространства идеальной ( * 0μ = ) сжимаемой жид-
кости. Из него следует, что, если между механическими параметрами компонентов гидро-
упругой системы выполняется условие 0 Ra c< , то в упругом слое (жесткий материал), вза-
имодействующем с идеальным жидким полупространством, без демпфирования распро-
страняется лишь одна низшая мода. При этом она, распространяясь вдоль границы контакта
сред, локализуется, преимущественно, в приповерхностной области жидкого полупрост-
ранства [14]. Скорость этой волны с ростом толщины упругого слоя стремится к скорости
волны Стоунли stc ( stc = 0,462886), которая несколько меньше скорости волны звука в жид-
кости 0a ( 0 0,463021a = ).
Из рис. 2, a следует, что в случае взаимодействия упругого слоя из жесткого материала
с вязким ( * 0,001μ = ) жидким полупространством в гидроупругой системе распространяют-
ся не только низшая первая мода, но и весь спектр квазилэмбовских мод высокого порядка.
При этом с увеличением толщины упругого слоя h скорость моды 1, распространяющейся
вдоль границы контакта сред, стремится к скорости волны Стоунли stc ( 0,461819stc = )
снизу. В рассматриваемом случае механические параметры гидроупругой системы сталь
(жесткий материал) – вода таковы, что скорость распространения волны звука в жидкости
0a ( 0 0,463021a = ) меньше скорости квазирэлеевской волны Rc ( 0,922506Rc = ). Согласно
результатам, полученным в работе [14] для волн Стоунли, это приводит к тому, что в вы-
сокочастотной части спектра глубина проникновения квазиповерхностной моды 1 (волна
типа Стоунли) в жидкость значительно больше глубины проникновения в упругое тело.
Поэтому мода 1, распространяясь вдоль границы контакта сред, локализуется, преимуще-
ственно, в приповерхностной области жидкого полупространства. Вследствие того, что
низшая мода не проникает в твердое тело в приповерхностной области упругого слоя, гра-
ничащей с жидкостью, распространяется мода 2. Скорость этой моды стремится к скорости
волны Рэлея Rc ( 0,922506Rc = ) снизу, как и в случае твердого слоя, невзаимодейству ю-
Рис. 4
40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
А.Н. Гузь, А.М. Багно
щего с жидкостью. Скорость моды 3, распространяющейся в упругом слое вдоль его сво-
бодной поверхности, стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,922506Rc = ) сверху. Скоро-
сти всех мод высокого порядка стремятся к скорости волны сдвига в материале твердого
тела sc . При этом с увеличением толщины, как известно [13], в них преобладают попереч-
ные смещения, амплитуда которых на поверхностях слоя стремится к нулю по сравнению
с их амплитудами в толще слоя, то есть движения в модах высокого порядка смещаются
от поверхности внутрь слоя и локализуются в его толще. Характерной особенностью всех
мод, возникающих при взаимодействии упругого слоя с полупространством вязкой жид-
кости, в отличие от системы с идеальной жидкостью, является то, что они распространяют-
ся с затуханием.
Графики, приведенные на рис. 2, а — 3, а, показывают, что в этой гидроупругой системе
влияние вязкой жидкости на параметры волнового процесса наибольшее в окрестности ча-
стот зарождения квазилэмбовских мод. Для всех мод (кроме первой и второй) с увеличени-
ем толщины упругого слоя воздействие вязкости на величины их фазовых скоростей умень-
шается, а также уменьшаются их величины коэффициентов затухания.
Из рис. 3, б—4, б, следует, что предварительные деформации вызывают изменение ча-
стот зарождения квазилэмбовских мод и смещение их дисперсионных кривых. При этом
начальное растяжение ( 0
11 0,004σ = ) приводит к сдвигу критических частот и дисперсион-
ных кривых в низкочастотную часть спектра. Предварительное деформирование повышает
фазовые скорости мод 1 и 2 во всем диапазоне изменения толщин упругого слоя.
Свойства локализации низших мод в гидроупругих волноводах. Проведенный выше
анализ, показывает, что в случае гидроупругой системы: сталь (жесткий материал) — во-
да (см. рис. 1, б, 2, а) механические параметры таковы, что скорость распространения вол-
ны звука в жидкости 0a ( 0 0,463021a = ) меньше скорости квазирэлеевской волны Rc
( 0,922506Rc = ). В связи с этим, согласно результатам, полученным в работе [14], в этой
упруго-жидкостной системе при 0 Ra c< мода 1 не проникает в твердое тело и распростра-
няется вдоль границы контакта сред в приповерхностной области жидкости. В этом случае
волноводом для распространения квазиповерхностной волны (волны типа Стоунли) и пе-
реноса волновой энергии служит приповерхностная область жидкого полупространства.
Моды 2 и 3 с возрастанием (частоты) толщины упругого слоя (рис. 2, б) локализуются в
приповерхностных областях упругого слоя. Моды высокого порядка, как указывалось выше,
смещаются вглубь упругого слоя и распространяются в его толще.
Особенности влияния вязкости жидкости на дисперсию и фазовые скорости квази-
лэмбовских волн в гидроупругом волноводе. Графики, приведенные на рис. 2, а и 3, а, от-
ражают особенности взаимодействия волновых движений в упругом слое с вязким жидким
полупространством. Как уже упоминалось, движения в модах, распространяющихся в уп-
ругом слое, начиная с четвертой, с возрастанием толщины удаляются от его поверхностей и
локализуются в его толще. Это является основным фактором, приводящим к ослаблению
влияния вязкости жидкости на фазовые скорости и к уменьшению значений коэффи ци-
ентов затухания этих мод. В противоположность модам высокого порядка движения в моде
1 с возрастанием толщины устремляются к границе раздела сред. Эта низшая мода ста-
новится квазиповерхностной волной типа Стоунли. Этим объясняется характер влияния
вязкости жидкости, проявляющийся в уменьшении фазовой скорости и увеличении ко-
41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой
эффициента затухания этой моды. Движения в квазиповерхностной моде 2 (волна типа
Рэлея) (см. рис. 2, б) с ростом толщины, распространяясь в упругом слое, устремляются к
поверхности раздела сред. Этим обусловлено влияние вязкости жидкости на кинемати-
ческие характеристики этой моды во всем диапазоне частот. Кроме того, анализ также
показывает, что в тех точках мод, где преобладающими являются движения (сдвиговые
смещения) на границе раздела сред, влияние вязкости наибольшее и коэффициенты за-
тухания, а также относительные изменения величин скоростей принимают максимальное
значение. В точках волны с малыми поверхностными сдвиговыми смещениями соответ-
ственно и влияние вязкости наименьшее. Из графиков также следует, что вязкость жидко-
го полупространства, как отмечалось ранее, вызывает изменение критических частот мод
и смещение их дисперсионных кривых в длинноволновую часть спектра. Это приводит к
значительному изменению фазовых скоростей мод в окрестности толщин, при которых
они зарождаются.
Проведенные отдельно расчеты и анализ графика, представленного на рис. 1, б, пока-
зывает, что в случае взаимодействия упругого слоя с полупространством идеальной жидко-
сти соотношение между скоростью волны звука в жидкости и скоростью квазирэлеевской
волны является критерием, определяющим возможность существования квазилэмбовских
волн в гидроупругой системе. Для системы с упругим слоем из жесткого материала имеет
место соотношение 0 Ra c< . В этом случае, как следует из рис. 1, б, идеальная жидкость пре-
пятствует энергетическому обмену между его поверхностями. Это приводит к тому, что в
упругом слое не формируются нормальные волны высокого порядка и в гидроупругой си-
стеме не возникает полный спектр квазилэмбовских мод, распространяющихся без дем-
пфирования. Как видим, при взаимодействии упругого слоя из жесткого материала с вяз-
ким жидким полупространством (см. рис. 2, а) в гидроупругой системе при любых соот но-
шениях между указанными механическими параметрами всегда возникают квазилэмбовские
моды высокого порядка, распространяющиеся с затуханием.
Особенности влияния начальных напряжений на дисперсию квазилэмбовских волн в
гидроупругом волноводе. Как показано в работе [9], в упругом слое, невзаимодействую-
щем с жидкостью, начальные растяжения вызывают изменение частот зарождения мод и
смещение их дисперсионных кривых. Это приводит к тому, что в окрестности критических
частот фазовые скорости мод Лэмба в предварительно деформированном слое могут быть
как меньше, так и больше фазовых скоростей соответствующих мод в теле без начальных
напряжений. Этим обусловлено появление в спектре упругого волновода частот (толщин),
при которых начальные напряжения не оказывают влияния на значения фазовых скоростей
ряда нормальных волн Лэмба. Отметим, что эта, качественно новая закономерность, отсут-
ствующая в случае распространения волн в неограниченных и полуограниченных телах,
впервые была обнаружена и описана в работе [9] для сжимаемого упругого слоя, невзаимо-
действующего с жидкостью.
Графики, представленные на рис. 3, б, позволяют заключить, что в случае взаимодей-
ствия упругого слоя из стали (жесткий материал) с вязким жидким полупространством
начальное растяжение ( 0
11 0,004σ = ) упругого слоя оказывает влияние на величину фазо-
вой скорости моды 1, в основном, в окрестности частоты ее зарождения. В дальнейшем с
ростом толщины упругого слоя влияние предварительных деформаций на скорость этой
42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
А.Н. Гузь, А.М. Багно
квази поверхностной волны (волны типа Стоунли) ослабевает. Связано это с тем, что в
данной уп руго-жидкостной системе низшая мода 1, возникающая в результате взаимодей-
ствия упругого слоя с жидким полупространством, не проникает в твердое тело и распро-
страняется вдоль границы контакта сред, преимущественно, в приповерхностной области
жидкости. Этим объясняется незначительное влияние упругого слоя и начальных напря-
жений на фазовую скорость, а также дисперсию этой моды. Из графиков, приведенных на
рис. 3, б—4, б, также следует, что предварительные деформации вызывают изменение ча-
стот зарождения квазилэмбовских мод и смещение их дисперсионных кривых. При этом
начальное растя жение ( 0
11 0,004σ = ) приводит к сдвигу критических частот и дисперсион-
ных кривых в длинноволновую часть спектра. Из рис. 3, б также видно, что дисперсион-
ные кривые мод высокого порядка пересекают ось абсцисс. Это свидетельствует о том, что
для всех квазилэмбовских мод (кроме первой и второй) существуют упругие слои опреде-
ленных толщин h , при которых фазовые скорости c не зависят от начального растяже-
ния ( 0
11 0,004σ = ).
В заключение отметим, что при проведении расчетов для реальных жидких сред при-
менение модели идеальной жидкости к гидроупругому волноводу с упругим слоем из стали
(жесткий материал) может привести к получению весьма неточных как количественных,
так и качественных результатов.
Предложенный подход и полученные данные позволяют для волновых процессов ус-
тановить пределы применимости моделей, основанных на различных вариантах теории ма-
лых начальных деформаций, классической теории упругости и модели идеальной жидкости.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Guz A.N. Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1980. 16, № 3.
P. 175—190.
2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. В 2-х томах. Киев: Наук. думка, 1986.
3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. Киев: А.С.К., 2004. 672 с.
4. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. Киев: А.С.К., 1998. 350 с.
5. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. Cambridge: Cambridge Sci. Publ. 2009. 428 p.
6. Guz A.N. Compressible, viscous fluid dynamics (review). Part 1. Int. Appl. Mech. 2000. 36, № 1. P. 14—39.
7. Guz A.N. The Dynamics of a compressible viscous liquid (review). II. Int. Appl. Mech. 2000. 36, № 3.
P. 281—302.
8. Guz A.N., Zhuk A.P., Bagno. A.M. Dynamics of elastic bodies, solid particles, and fluid parcels in a com pres-
sible viscous fluid (review). Int. Appl. Mech. 2016. 52, № 5. P. 449—507.
9. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. Киев: Наук. думка,
1976. 104 с.
10. Babich S.Y., Guz A.N., Zhuk A.P. Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1979. 15,
№ 4. P. 277—291.
11. Жук А.П. Волны Стонли в среде с начальными напряжениями. Прикл. механика. 1980. 16, № 1
С. 113—116.
12. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев: Наук. думка, 1977. 152 с.
13. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. Москва: Наука, 1981. 288 с.
14. Волькенштейн М.М., Левин В.М. Структура волны Стоунли на границе вязкой жидкости и твердого
тела. Акуст. журн. 1988. 34, № 4. С. 608—615.
Поступило в редакцию 05.07.2017
43ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 5
О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой
REFERENCES
1. Guz, A. N. (1980). Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech., 16, No. 3,
pp. 175-190.
2. Guz, A. N. (1986). Elastic waves in bodies with initial stresses. In 2 vol. Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
3. Guz, A. N. (2004). Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses. Kiev: A.C.K. (in Russian).
4. Guz, A. N. (1998). Dynamics of compressible viscous fluid. Kiev: A.C.K. (in Russian).
5. Guz, A. N. (2009). Dynamics of compressible viscous fluid, Cambridge: Cambridge Scientific Publishers.
6. Guz, A. N. (2000). Compressible, viscous fluid dynamics (review). Part 1. Int. Appl. Mech., 36, No. 1,
pp. 14-39.
7. Guz, A. N. (2000). The Dynamics of a compressible viscous liquid (review). II. Int. Appl. Mech., 36, No. 3,
pp. 281-302.
8. Guz, A. N., Zhuk, A. P. & Bagno, A. M. (2016). Dynamics of elastic bodies, solid particles, and fluid parcels in
a compressible viscous fluid (review). Int. Appl. Mech., 52, No. 5, pp. 449-507.
9. Guz, A. N., Zhuk, A. P. & Makhort, F. G. (1976). Waves in layer with initial stresses. Kiev: Naukova Dumka
(in Russian).
10. Babich, S. Y., Guz, A. N. & Zhuk, A. P. (1979). Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech.,
15, No. 4, pp. 277-291.
11. Zhuk, A. P. (1980). Stoneley wave in a medium with initial stresses. J. Appl. Mech., 16, No. 1, pp. 113-116
(in Russian).
12. Guz, A. N., Makhort, F. G. & Guscha, O. I. (1977). Introduction in acoustoelasticity. Kiev: Naukova Dumka
(in Russian).
13. Viktorov, I. A. (1981). Sound surface waves in solids. Moscow: Nauka (in Russian).
14. Volkenstein, M. M. & Levin, V. M. (1988). Structure of Stounly wave on the boundary of a viscous liquid
and a solid. Acoustic J., 34, No. 4, pp. 608-615 (in Russian).
Received 05.07.2017
О.М. Гузь, О.М. Багно
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: alexbag2016@gmail.com
ПРО КВАЗІЛЕМБОВСЬКІ ХВИЛІ У СИСТЕМІ:
ПІВПРОСТІР В’ЯЗКОЇ РІДИНИ — СТИСЛИВИЙ ПРУЖНИЙ ШАР
З ПОЧАТКОВИМИ НАПРУЖЕННЯМИ
На основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для твердого тіла
та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав'є—Стокса для в'язкої стисливої рідини побудовані диспер-
сійні криві квазілембовських хвиль у гідропружній системі в широкому діапазоні частот. Проаналізовано
вплив початкових напружень у попередньо деформованому стисливому пружному шарі, а також півпро-
стору в'язкої стисливої рідини на фазові швидкості та коефіцієнти загасання квазілембовських мод у гід-
ропружному хвилеводі. Досліджено локалізаційні властивості нижчих квазілембовських мод у пружно-
рідинних хвилеводах. Розвинутий підхід та отримані результати дозволяють для хвильових процесів вста-
новити межі застосування моделей, заснованих на різних варіантах теорії малих початкових деформацій,
класичної теорії пружності, а також моделі ідеальної рідини. Числові результати наведено у вигляді графі-
ків та дано їх аналіз.
Ключові слова: дисперсія хвиль, квазілембовські моди, стисливий пружний шар, півпростір в'язкої стисли-
вої рідини, початкові напруження.
44 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 5
А.Н. Гузь, А.М. Багно
A.N. Guz, A.M. Bahno
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: alexbag2016@gmail.com
ON QUASI-LAMB WAVES IN THE SYSTEM
“HALF-SPACE OF A VISCOUS FLUID — COMPRESSIBLE
ELASTIC LAYER WITH INITIAL STRESSES”
The dispersion curves of quasi-Lamb waves in a hydroelastic system are constructed over a wide range of fre-
quencies using the three-dimensional equations of the elasticity theory of finite deformations for a solid body
and three-dimensional linearized Navier—Stokes equations for a viscous compressible fluid. The influence of ini-
tial stresses in the pre-deformed compressible elastic layer and of the half-space of the viscous compressible fluid
on the phase velocities and attenuation coefficients of quasi-Lamb waves in a hydroelastic waveguide is analy zed.
The localization properties of the lower quasi-Lamb modes in elastic-fluid waveguides are studied. For the wave
processes, the approach developed and results obtained make it possible to establish the limits, within which
the models based on the different variants of the theory of small initial deformations, classical elasticity theory,
and the model of ideal fluid can be applied. The numerical results are presented in the form of graphs and their
analysis is given.
Keywords: dispersion of waves, quasi-Lamb modes, compressible elastic layer, half-space of viscous compressible
fluid, initial stresses.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-126643 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T10:06:20Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гузь, А.Н. Багно, А.М. 2017-11-29T12:45:51Z 2017-11-29T12:45:51Z 2017 О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями / А.Н. Гузь, А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 5. — С. 34-44. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.05.034 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126643 539.3 На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Навье—Стокса для вязкой сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние начальных напряжений в предварительно деформированном сжимаемом упругом слое, а также полупространства вязкой сжимаемой жидкости на фазовые скорости и коэффициенты затухания квазилэмбовских мод в гидроупругом волноводе. Исследованы локализационные свойства низших квазилэмбовских мод в упруго-жидкостных волноводах. Развитый подход и полученные результаты позволяют для волновых процессов установить пределы применимости моделей, основанных на различных вариантах теории малых начальных деформаций, классической теории упругости и модели идеальной жидкости. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ. На основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для твердого тіла та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав'є—Стокса для в'язкої стисливої рідини побудовані дисперсійні криві квазілембовських хвиль у гідропружній системі в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив початкових напружень у попередньо деформованому стисливому пружному шарі, а також півпростору в'язкої стисливої рідини на фазові швидкості та коефіцієнти загасання квазілембовських мод у гідропружному хвилеводі. Досліджено локалізаційні властивості нижчих квазілембовських мод у пружно-рідинних хвилеводах. Розвинутий підхід та отримані результати дозволяють для хвильових процесів встановити межі застосування моделей, заснованих на різних варіантах теорії малих початкових деформацій, класичної теорії пружності, а також моделі ідеальної рідини. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. The dispersion curves of quasi-Lamb waves in a hydroelastic system are constructed over a wide range of frequencies using the three-dimensional equations of the elasticity theory of finite deformations for a solid body and three-dimensional linearized Navier—Stokes equations for a viscous compressible fluid. The influence of initial stresses in the pre-deformed compressible elastic layer and of the half-space of the viscous compressible fluid on the phase velocities and attenuation coefficients of quasi-Lamb waves in a hydroelastic waveguide is analy zed. The localization properties of the lower quasi-Lamb modes in elastic-fluid waveguides are studied. For the wave processes, the approach developed and results obtained make it possible to establish the limits, within which the models based on the different variants of the theory of small initial deformations, classical elasticity theory, and the model of ideal fluid can be applied. The numerical results are presented in the form of graphs and their analysis is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями Про квазілембовські хвилі у системі: півпростір в'язкої рідини — стисливий пружний шар з початковими напруженнями On quasi-Lamb waves in the system “half-space of a viscous fluid — compressible elastic layer with initial stresses” Article published earlier |
| spellingShingle | О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями Гузь, А.Н. Багно, А.М. Механіка |
| title | О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_alt | Про квазілембовські хвилі у системі: півпростір в'язкої рідини — стисливий пружний шар з початковими напруженнями On quasi-Lamb waves in the system “half-space of a viscous fluid — compressible elastic layer with initial stresses” |
| title_full | О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_fullStr | О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_full_unstemmed | О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_short | О волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| title_sort | о волнах в системе: полупространство вязкой жидкости — сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126643 |
| work_keys_str_mv | AT guzʹan ovolnahvsistemepoluprostranstvovâzkoižidkostisžimaemyiuprugiisloisnačalʹnyminaprâženiâmi AT bagnoam ovolnahvsistemepoluprostranstvovâzkoižidkostisžimaemyiuprugiisloisnačalʹnyminaprâženiâmi AT guzʹan prokvazílembovsʹkíhvilíusistemípívprostírvâzkoírídinistisliviipružniišarzpočatkoviminapružennâmi AT bagnoam prokvazílembovsʹkíhvilíusistemípívprostírvâzkoírídinistisliviipružniišarzpočatkoviminapružennâmi AT guzʹan onquasilambwavesinthesystemhalfspaceofaviscousfluidcompressibleelasticlayerwithinitialstresses AT bagnoam onquasilambwavesinthesystemhalfspaceofaviscousfluidcompressibleelasticlayerwithinitialstresses |