Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами
Алгебра L над полем F називається алгеброю Лейбніца (точніше лівою алгеброю Лейбніца), якщо вона задовольняє таку тотожність Лейбніца: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] для всіх a, b, c ∈L. Алгебри Лейбніца являють собою узагальнення алгебр Лі. Отримано опис алгебр Лейбніца, кожна підалгебра...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126686 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами / Л.А. Курдаченко, М.М. Семко, І.Я. Субботін // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 6. — С. 9-13. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-126686 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Курдаченко, Л.А. Семко, М.М. Субботін, І.Я. 2017-12-01T16:46:34Z 2017-12-01T16:46:34Z 2017 Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами / Л.А. Курдаченко, М.М. Семко, І.Я. Субботін // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 6. — С. 9-13. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.06.009 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126686 512.544 Алгебра L над полем F називається алгеброю Лейбніца (точніше лівою алгеброю Лейбніца), якщо вона задовольняє таку тотожність Лейбніца: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] для всіх a, b, c ∈L. Алгебри Лейбніца являють собою узагальнення алгебр Лі. Отримано опис алгебр Лейбніца, кожна підалгебра яких є ідеалом. Алгебра L над полем F называется алгеброй Лейбница (точнее левой алгеброй Лейбница), если она удовлетворяет следующему тождеству Лейбница: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] для всех a, b, c ∈L. Алгебры Лейбница представляют собой обобщение алгебр Ли. Получено описание алгебр Лейбница, каждая подалгебра которых является идеалом. An algebra L over a field F is said to be a Leibniz algebra (more precisely, a left Leibniz algebra), if it satisfies the Leibniz identity: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] for all a, b, c ∈L. Leibniz algebras are generalizations of Lie algebras. A description of Leibniz algebras, whose subalgebras are ideals, is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами Алгебры Лейбница, все подалгебры которых являются идеалами Leibniz algebras, whose all subalgebras are ideals Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами |
| spellingShingle |
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами Курдаченко, Л.А. Семко, М.М. Субботін, І.Я. Математика |
| title_short |
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами |
| title_full |
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами |
| title_fullStr |
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами |
| title_full_unstemmed |
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами |
| title_sort |
aлгебри лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами |
| author |
Курдаченко, Л.А. Семко, М.М. Субботін, І.Я. |
| author_facet |
Курдаченко, Л.А. Семко, М.М. Субботін, І.Я. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2017 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Алгебры Лейбница, все подалгебры которых являются идеалами Leibniz algebras, whose all subalgebras are ideals |
| description |
Алгебра L над полем F називається алгеброю Лейбніца (точніше лівою алгеброю Лейбніца), якщо вона
задовольняє таку тотожність Лейбніца: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] для всіх a, b, c ∈L. Алгебри
Лейбніца являють собою узагальнення алгебр Лі. Отримано опис алгебр Лейбніца, кожна підалгебра яких є
ідеалом.
Алгебра L над полем F называется алгеброй Лейбница (точнее левой алгеброй Лейбница), если она удовлетворяет следующему тождеству Лейбница: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] для всех a, b, c ∈L. Алгебры Лейбница представляют собой обобщение алгебр Ли. Получено описание алгебр Лейбница, каждая подалгебра
которых является идеалом.
An algebra L over a field F is said to be a Leibniz algebra (more precisely, a left Leibniz algebra), if it satisfies the
Leibniz identity: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] for all a, b, c ∈L. Leibniz algebras are generalizations of Lie
algebras. A description of Leibniz algebras, whose subalgebras are ideals, is given.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126686 |
| citation_txt |
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами / Л.А. Курдаченко, М.М. Семко, І.Я. Субботін // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 6. — С. 9-13. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kurdačenkola algebrileibnícausípídalgebriâkihêídealami AT semkomm algebrileibnícausípídalgebriâkihêídealami AT subbotíníâ algebrileibnícausípídalgebriâkihêídealami AT kurdačenkola algebryleibnicavsepodalgebrykotoryhâvlâûtsâidealami AT semkomm algebryleibnicavsepodalgebrykotoryhâvlâûtsâidealami AT subbotíníâ algebryleibnicavsepodalgebrykotoryhâvlâûtsâidealami AT kurdačenkola leibnizalgebraswhoseallsubalgebrasareideals AT semkomm leibnizalgebraswhoseallsubalgebrasareideals AT subbotíníâ leibnizalgebraswhoseallsubalgebrasareideals |
| first_indexed |
2025-11-26T11:45:50Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:45:50Z |
| _version_ |
1850622307661250560 |
| fulltext |
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 6
© Л.А. Курдаченко, М.М. Семко , І.Я. Субботін, 2017
Aлгебра L над полем F називається алгеброю Лейбніца (точніше, лівою алгеброю Лейбні-
ца), якщо вона задовольняє таку тотожність Лейбніца:
[[ , ], ] [ , [ , ]] [ , [ , ]]a b c a b c b a c= − для всіх , ,a b c L∈ .
Алгебри Лейбніца являють собою узагальнення алгебр Лі. Дійсно, алгебра Лейбніца L
буде алгеброю Лi тоді і тільки тоді, коли [ , ] 0a a = для кожного елемента a L∈ . З цієї при-
чини ми можемо розглядати алгебри Лейбніца як ”неантикомутативний аналог” алгебр Лі.
Алгебри Лейбніца вперше виникають у роботах A.M. Блоха [1—3], у яких вони були на-
звані D-алгебрами. Однак у той час реальне вивчення цих алгебр не було розпочате. Тільки
через два десятиріччя потому виник реальний інтерес до цих алгебр. Стимулом для цього
була робота Ж. Лoдея [4], який ввів і термін алгебра Лейбніца. Алгебри Лейбніца природно
виникають у різних математичних дисциплінах таких, наприклад, як диференціальна гео-
метрія, гомологічна алгебра, класична алгебраїчна топологія, алгебраїчна K-теорія, некому-
тативна геометрія тощо. Вони знаходять застосування у фізиці (див., наприклад, [5—7]).
Деякі статті стосовно алгебр Лейбніца присвячені вивченню важливих гомологічних про-
блем [8—11]. Teорія алгебр Лейбніца розвивається досить інтенсивно, але нерівномірно. З
одного боку, отримані глибокі структурні теореми, які є аналогами відповідних результатів
з теорії алгебр Лі. А з іншого боку, вивчення алгебр Лейбніца не виглядає послідовним і
систематичним. Є природні для кожної алгебраічної структури питання, які зовсім не були
розглянуті для алгебр Лейбніца. Наприклад, таке природне питання, як будова циклічних
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.06.009
УДК 512.544
Л.А. Курдаченко1, М.М. Семко2 , І.Я. Субботін3
1 Дніпровський національний університет ім. Олеся Гончара
2 Університет державної фіскальної служби України, Ірпінь
3 Національний університет, Лос-Анджелес, США
E-mail: lkurdachenko@i.ua, dr.mykola.semko@gmail.com, isubboti@nu.edu
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами
Представлено академіком НАН України А.М. Самойленком
Алгебра L над полем F називається алгеброю Лейбніца (точніше лівою алгеброю Лейбніца), якщо вона
задовольняє таку тотожність Лейбніца: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] для всіх a, b, c ∈L. Алгебри
Лейбніца являють собою узагальнення алгебр Лі. Отримано опис алгебр Лейбніца, кожна підалгебра яких є
ідеалом.
Ключові слова: алгебра Лейбніца, алгебра Лі, циклічна підалгебра, цeнтр алгебри Лейбніца, нільпотентна
підалгебра, абелева підалгебра, екстраспеціальна підалгебра, білінійна форма.
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 6
Л.А. Курдаченко, М.М. Семко, І.Я. Субботін
підалгебр в алгебрах Лейбніца, у повному обсязі було розглянуте тільки недавно в роботі
[12]. Інше природне питання — це питання про будову алгебр Лейбніца, всі підалгебри яких
є ідеалами. Зазначимо, що неважко довести, що алгебра Лі, всі підалгебри якої є ідеалами,
буде абелевою. Проте для алгебр Лейбніца це вже не так. Простий приклад це показує.
Нехай L — векторний простір над полем F, який має вимірність 2, і { , }a b — базис про-
стору L. Визначимо операцію [ , ] за таким правилом: [a, a] = b, [b, b] = [b, a] = [a, b] = 0.
Беспосередньою перевіркою можна упевнитись у тому, що таким чином L стає алгеброю
Лейбніца. Якщо a bλ + μ — довільний елемент L і 0λ ≠ , то маємо 2[ , ]a b a b bλ + μ λ + μ = λ .
Оскільки 2 0λ ≠ , то отримаємо, що підалгебра, породжена елементом a bλ + μ , містить у со-
бі Fb. З того факту, що L/Fb є aбелевою, випливає, що підалгебра 〈 a bλ + μ 〉 є ідеалом. От же,
кожна циклічна підалгебра L є ідеалом. Звідси випливає, що і кожна підалгебра L є ідеа-
лом. Як ми побачимо далі, з таких алгебр, як із цеглинок, будується кожна неабелева алгебра
Лейбніца, кожна підалгебра якої є ідеалом. Зупинимося на цьому більш детально.
Якщо L — алгебра Лейбніца і M — підмножина L, то через 〈 M 〉 будемо позначати під-
алгебру, породжену M.
Як завжди, алгебра Лейбніца L називається абелевою, якщо [ , ] 0x y = для всіх елементів
x, y L∈ . В абелевій алгебрі Лейбніца кожний підпростір є підалгеброю та ідеалом.
Цeнтр ζ( )L алгебри Лейбніца L визначається за таким правилом:
ζ( ) { | [ , ] 0 ,L x L x y y x= ∈ = = [ ] для кожного елемента }y L∈ .
Центр буде ідеалом в L. Зокрема, ми можемо говорити про фактор-алгебру L / ζ(L) .
Aлгебра Лейбніца L називається екстраспеціальною, якщо вона задовольняє такі умови:
центр ζ( )G є ненульовим і має вимірність 1;
фактор-алгебра L / ζ(L) є абелевою.
Як виявилося, не у кожної екстраспеціальної алгебри Лейбніца кожна підалгебра буде
ідеалом. Наведемо приклад екстраспеціальної алгебри Лейбніца, який це показує. Більше
того, наявність підалгебр, що не є ідеалами, залежить від вибору поля F.
Нeхай F — поле, покладемо L F a F b F c= ⊕ ⊕ . Визначимо на L операцію [ , ] за таким
правилом:
, , ] , ], [ , ] [ , ] [ , ] , ] , ] , ] 0c a a b b a b c c c a c b a c b c b a= [ ] = [ = [ = = = [ = [ = [ = .
З такого означення випливає, що [ , ] , ( ),L L Fc c L c Fc∈ζ 〈 〉 =� . Рівність
[[ , ], ] , , [ , [ , ]] x y z x y z y x z= [ [ ]]−
виконується автоматично, оскільки [x, y], [y, z],[x, z] ∈ ζ (L). Tаким чином, L стає алгеб-
рою Лейбніца. Нeхай x — довільний елемент L, тоді x a b c= λ + μ + ν для деяких , , Fλ μ ν ∈ .
Маємо тепер
2 2 2
2 2 2 2
[ , ] , ]
[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
( ) .
x x a b c a b c
a a a b a c b a b b b c c a c b c c
c c c c
= [λ + μ + ν λ + μ + ν =
= λ + λ μ + λν + λμ + μ + μν + λν + μν + ν =
= λ + λμ + μ = λ + λμ + μ
Нeхай 2F = F . Якщо ( , ) (0, 0)λ μ ≠ , то 2 2 1λ + λμ + μ = , так що [ , ]x x c= , як тільки x Fc∉ .
Звідси випливає, що ζ( )L Fc= і x Fx Fc〈 〉= ⊕ . Оскільки Fc є ідеалом, то 〈 x 〉 буде ідеалом, а
отже, і кожна підалгебра L буде ідеалом.
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 6
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами
Нeхай 5F = F . Припустимо, що 2 2 0λ + λμ + μ = . У цьому випадку маємо 2( 1 2 )λ + μ = 2(1 4 1)= μ − . У полі 5F розв’язком рівняння 4 1x = буде 4, так що 1 4 1 3− = . Але рівняння
2 3x = не має розв’язків у полі 5F . Це показує, що рівність 2 2 0λ + λμ + μ = можлива лише у
випадку, коли 0λ = μ = . Tаким чином, якщо ( , ) (0, 0)λ μ ≠ , то [ , ] 0x x ≠ і [ , ]x x Fc∈ . Отже, і в
цьому випадку кожна підалгебра L буде її ідеалом.
Якщо F = Q, то, користуючись подібними аргументами, можемо знову довести, що кож-
на підалгебра L буде її ідеалом, а центр L збігається з Fc .
Розглянемо випадок, коли 3F = F . Для елемента x a b= + маємо [ , ] 3 0a b a b c+ + = = .
Звідси випливає, що 〈 x 〉 Fx= . Однак [ , ] [ , ]x a a b a c Fx= + = ∉ , і це показує, що циклічна під-
алгебра 〈 x 〉 не є iдеалом.
Будову алгебр Лейбніца, кожна підалгебра яких є ідеалом, описує така теорема.
Теорема A. Нeхай L — алгебра Лейбніца над полем F, кожна підалгебра якої є ідеалом.
Якщо L є неабелевою, то L E Z= ⊕ , де ( )Z Lζ� , a E є такою екстраспеціальною алгеб рою,
що [ , ] 0a a ≠ для кожного елемента a C∉ .
Отже, ми можемо бачити, що основним є випадок, коли L — така екстраспеціальна ал-
гебра, що [ , ] 0a a ≠ для кожного елемента ( )a L≠ ζ .
З кожною такою екстраспеціальною алгеброю L можна зв’язати білінійну форму, як
описано нижче.
Нехай ( )Z L=ζ , /V L Z= і c — деякий фіксований елемент Z . Визначимо відображення
:V V F× →Φ за таким правилом: якщо ,x y L∈ , то [ , ]x y Z∈ , а отже, [ , ]x y c= α для деякого
елемента Fα∈ . Покладемо ( , )x Z y Z+ + = αΦ . Це відображення визначено коректно. Дій-
сно, нехай 1 1,x y — такі eлементи L, що 1 1,x Z x Z y Z y Z+ = + + = + . Tоді 1 1 1 2,x x c y y c= + = +
для деяких елементів 1 2,c c Z∉ . Маємо
1 1 1 2 2 1 1 2[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]x y x c y c x y x c c y c c x y= + + = + + + = .
Відображення Φ є білінійним. Дійсно, нехай , ,x y u L∉ , [ , ] , [ , ]x u c y u c= λ = μ . Tоді [ , ]x y u+ =
, [ , ] ( )x u y u c c c= [ ]+ = λ + μ = λ + μ , так що
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ).
x Z y Z u Z x y Z u Z c c c
x Z u Z y Z u Z
+ + + + = + + + = λ + μ = λ + μ =
= + + + + +
Φ Φ
Φ Φ
Аналогічно можна показати, що
( , ) ( , ) ( , )x Z y Z u Z x Z u Z x Z y Z+ + + + = + + + + +Φ Φ Φ .
Нeхай Fβ∈ , тоді [ , ] [ , ] ( ) ( )x y x y c cβ = β = β α = βα . Звідси випливає, що
(( ( ), )) ( , ) ( ) ( ) ( , )x Z y Z x Z y Z c c x Z y Zβ + + = β + + = βα = β α = β + +Φ Φ Φ .
Аналогічно можна показати, що
(( ), ( )) ( , )x Z y Z x Z y Z+ β + = β + +Φ Φ .
З визначення екстраспеціальної алгебри випливає, що білінійна форма Φ є невиродже-
ною. Більш того, для нашого випадку ( , ) 0x x ≠Φ для кожного ненульового елемента x .
Навпаки, нехай V — векторний простір над полем F і Φ — така білінійна форма на V ,
що ( , ) 0x x ≠Φ для кожного ненульового елемента x . Покладемо L V F= ⊕ та визначимо
операцію [ , ] на L за таким правилом:
якщо , , ,a b V F∈ α β ∈ , то [( , )( , )] (0, ( , ))a b a bα β = Φ .
12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 6
Л.А. Курдаченко, М.М. Семко, І.Я. Субботін
Покладемо {(0, ) | }C F= α α∈ . Tоді dim ( ) 1F C = . Із самого означення отримаємо [ , ]L L =
[ , ] [ , ] ,L C C L C C= = = [ ] = 〈0〉. Звідси випливає, що побудована алгебра буде алгеброю Лейб-
ніца. Більш того, неважко довести, що ( )C L= ζ , так що L — екстраспеціальна алгебра, у якої
[ , ] 0a a ≠ для кожного елемента ( )a L≠ ζ .
Нехай V — векторний простір над полем F , вимірність якого є зчисленною, Φ — бі-
лінійна форма на V . Базис { / }ja j ∈N
називається лівим ортогональним, якщо ( , ) 0j ka a =Φ
як тільки j k> .
Теорема B. Нeхай V — векторний простір над полем F , вимірність якого є зчисленною, і
Φ — білінійна форма на V . Якщо ( , ) 0a a ≠Φ для кожного елемента 0 a V≠ ∈ , то V має лівий
ортогональний базис.
Треба відзначити, що для просторів, вимірність яких не є зчисленною, структура білі-
нійних форм може бути значно складнішою. Це вже має місце навіть для знакозмінних
форм, як показують досить екзотичні приклади (див., наприклад [13, розділ 3]).
Наслідок. Нeхай L — екстраспеціальна алгебра Лейбніца над полем F , вимірність якої є
зчисленною. Якщо [ , ] 0a a ≠ для кожного елемента ( )a L∉ξ , то L має такий базис { / }ne n ∈N ,
що 1 1 1[ , ] , ,n n j ne e e e e e Fe= [ ] = 0, [ ] ∈ для всіх ,j n∈N , і [ , ]j ne e = 0, як тільки j n> .
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Блох А.М. Об одном обобщении понятия алгебры Ли. Докл. АН СССР. 1965. 165. С. 471—473.
2. Блох А.М. Теория гомологий Картана—Эйленберга для одного обобщения класса алгебр Ли. Докл. АН
СССР. 1967. 175. С. 266—268.
3. Блох А.М. О некотором обобщении понятия алгебры Ли. Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та. 1971. 375. С. 9—20.
4. Loday J.L. Une version non commutative des algebres de Lie; les algebras de Leibniz. Enseign. Math. 1993. 39.
P. 269—293.
5. Lie Theory and its applications in physics: IX International workshop. Dobrev V. (Ed.). Tokyo: Springer,
2013. 562 p.
6. Noncommutative Structures in Mathematics and Physics. Duplij S., Wess J. (Eds). Dordrecht: Springer,
2001. 482 p.
7. Butterfield J., Pagonis C. From Physics to Philosophy. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. 235 p.
8. Loday J.L., Pirashvili T. Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology. Math. Ann.
1993. 296. P. 139—158.
9. Pirashvili T. On Leibniz homology. Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1994. 44, № 2. P. 401—411.
10. Frabetti A. Leibniz homology of dialgebras of matrices. J. Pure Appl. Algebra. 1998. 129. P. 123—141.
11. Casas J.M., Pirashvili T. Ten-term exact sequence of Leibniz homology. J. Algebra. 2000. 231. P. 258—264.
12. Chupordya V.A., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya. On some “minimal” Leibniz algebras. J. Algebra Appl.
2016. 15, № 9. P. 527—551.
13. Tomkinson M.J. FC-groups. Boston: Pitman, 1984. 171 p.
Надійшло до редакції 21.10.2016
REFERENCES
1. Bloh, A.M. (1965). On a generalization of the concept of Lie algebra. Dokl. AN USSR, 165, pp. 471-473 (in
Russian).
2. Bloh, A.M. (1967). Cartan-Eilenberg homology theory for a generalized class of Lie algebras. Dokl. AN
USSR, 175, pp. 266-268 (in Russian).
3. Bloh, A.M. (1971). A certain generalization of the concept of Lie algebra. Uch. Zap. Moskov. Gos. Ped. Inst.,
375, pp. 9-20 (in Russian).
13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 6
Aлгебри Лейбніца, усі підалгебри яких є ідеалами
4. Loday, J.L. (1993). Une version non commutative des algebres de Lie; les algebras de Leibniz. Enseign. Math.,
39, pp. 269-293.
5. Dobrev, V. (Ed.). (2013). Lie Theory and its applications in physics; IX International workshop. Tokyo:
Springer.
6. Duplij, S. & Wess, J. (Eds.) (2001). Noncommutative Structures in Mathematics and Physics Proceedings of
the NATO advanced research workshop. Dordrecht: Springer.
7. Butterfield, J. & Pagonis, C. (1999). From Physics to Philosophy. Cambridge: Cambridge Univ. Press.
8. Loday, J.L. & Pirashvili, T. (1993). Universal enveloping algebras ofLeibniz algebras and (co)homology.
Math. Ann., 296, pp. 139-158.
9. Pirashvili, T. (1994). On Leibniz homology. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 44, No. 2, pp. 401-411.
10. Frabetti, A. (1998). Leibniz homology of dialgebras of matrices. J. Pure Appl. Algebra, 129, pp. 123-141.
11. Casas, J.M. & Pirashvili, T. (2000). Ten-term exact sequence of Leibniz homology. J. Algebra, 231, pp. 258-264.
12. Chupordya, V.A., Kurdachenko, L.A. & Subbotin, I.Ya. (2016). On some “minimal” Leibniz algebras. J.
Algebra Appl., 15, No. 9, pp. 527-551.
13. Tomkinson, M.J. (1984). FC-groups. Boston: Pitman.
Received 21.10.2016
Л.А. Курдаченко1, Н.Н. Семко2, И.Я. Субботин3
1 Днепровский национальный университет им. Олеся Гончара
2 Университет государственной фискальной службы Украины, Ирпень
3 Национальный университет, Лос-Анджелес, США
E-mail: lkurdachenko@i.ua , dr.mykola.semko@gmail.com, isubboti@nu.edu
АЛГЕБРЫ ЛЕЙБНИЦА, ВСЕ ПОДАЛГЕБРЫ
КОТОРЫХ ЯВЛЯЮТСЯ ИДЕАЛАМИ
Алгебра L над полем F называется алгеброй Лейбница (точнее левой алгеброй Лейбница), если она удовлет-
воряет следующему тождеству Лейбница: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] для всех a, b, c ∈L. Алгебры Лейб-
ница представляют собой обобщение алгебр Ли. Получено описание алгебр Лейбница, каждая подалгебра
которых является идеалом.
Ключевые слова: алгебра Лейбница, алгебра Ли, циклическая подалгебра, цeнтр алгебры Лейбница, нильпо-
тентная подалгебра, абелева подалгебра, экстраспециальная подалгебра, билинейная форма.
L.A. Kurdachenko1, N.N. Semko2, I.Ya. Subbotin3
1 Oles Gonchar Dnipro National University
2 University of State Fiscal Service of Ukraine, Irpin
3 National University, Los-Angeles, USA
E-mail: lkurdachenko@i.ua , dr.mykola.semko@gmail.com, isubboti@nu.edu
LEIBNIZ ALGEBRAS,
WHOSE ALL SUBALGEBRAS ARE IDEALS
An algebra L over a field F is said to be a Leibniz algebra (more precisely, a left Leibniz algebra), if it satisfies the
Leibniz identity: [[a, b], c] = [a, [b, c]] — [b, [a, c]] for all a, b, c ∈L. Leibniz algebras are generalizations of Lie
algebras. A description of Leibniz algebras, whose subalgebras are ideals, is given.
Keywords: Leibniz algebra, Lie algebra, cyclic subalgebra, center of a Leibniz algebra, nilpotent subalgebras, Abe-
lian subalgebras, extraspecial subalgebra, bilinear form.
|