Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах
Знайдено деякі специфічні приклади пропереставних та S-пропереставних підгруп в скінченних групах. Зокрема, дано ствердну відповідь на питання 18.91 (а) з Коурівського зошита. Найдены некоторые специфические примеры проперестановочных и S-пропереста но воч ных подгрупп в конечных группах. В частнос...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126793 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах / О.О. Пипка, Д.Ю. Стороженко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 7. — С. 18-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-126793 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Пипка, О.О. Стороженко, Д.Ю. 2017-12-03T10:56:24Z 2017-12-03T10:56:24Z 2017 Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах / О.О. Пипка, Д.Ю. Стороженко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 7. — С. 18-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.07.018 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126793 512.542 Знайдено деякі специфічні приклади пропереставних та S-пропереставних підгруп в скінченних групах. Зокрема, дано ствердну відповідь на питання 18.91 (а) з Коурівського зошита. Найдены некоторые специфические примеры проперестановочных и S-пропереста но воч ных подгрупп в конечных группах. В частности, получен положительный ответ на вопрос 18.91 (а) из Коуровской тетради. We found some specific examples of propermutable and S-propermutable subgroups in finite groups. In particular, we have given the positive answer to the question 18.91 (a) from the Kourovka Notebook. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах О некоторых типах проперестановочных подгрупп и их обобщений в конечных группах On some types of propermutable subgroups and their generalizations in finite groups Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах |
| spellingShingle |
Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах Пипка, О.О. Стороженко, Д.Ю. Математика |
| title_short |
Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах |
| title_full |
Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах |
| title_fullStr |
Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах |
| title_full_unstemmed |
Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах |
| title_sort |
про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах |
| author |
Пипка, О.О. Стороженко, Д.Ю. |
| author_facet |
Пипка, О.О. Стороженко, Д.Ю. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2017 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
О некоторых типах проперестановочных подгрупп и их обобщений в конечных группах On some types of propermutable subgroups and their generalizations in finite groups |
| description |
Знайдено деякі специфічні приклади пропереставних та S-пропереставних підгруп в скінченних групах. Зокрема, дано ствердну відповідь на питання 18.91 (а) з Коурівського зошита.
Найдены некоторые специфические примеры проперестановочных и S-пропереста но воч ных подгрупп в
конечных группах. В частности, получен положительный ответ на вопрос 18.91 (а) из Коуровской тетради.
We found some specific examples of propermutable and S-propermutable subgroups in finite groups. In particular,
we have given the positive answer to the question 18.91 (a) from the Kourovka Notebook.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126793 |
| citation_txt |
Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах / О.О. Пипка, Д.Ю. Стороженко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 7. — С. 18-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT pipkaoo prodeâkítipiproperestavnihpídgruptaíhuzagalʹnenʹvskínčennihgrupah AT storoženkodû prodeâkítipiproperestavnihpídgruptaíhuzagalʹnenʹvskínčennihgrupah AT pipkaoo onekotoryhtipahproperestanovočnyhpodgruppiihobobŝeniivkonečnyhgruppah AT storoženkodû onekotoryhtipahproperestanovočnyhpodgruppiihobobŝeniivkonečnyhgruppah AT pipkaoo onsometypesofpropermutablesubgroupsandtheirgeneralizationsinfinitegroups AT storoženkodû onsometypesofpropermutablesubgroupsandtheirgeneralizationsinfinitegroups |
| first_indexed |
2025-11-26T11:46:02Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:46:02Z |
| _version_ |
1850619949646610432 |
| fulltext |
18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 7
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.07.018
УДК 512.542
О.О. Пипка, Д.Ю. Стороженко
Дніпровський національний університет ім. Олеся Гончара
E-mail: pypka@ua.fm
Про деякі типи пропереставних підгруп
та їх узагальнень в скінченних групах
Представлено членом-кореспондентом НАН України В.П. Моторним
Знайдено деякі специфічні приклади пропереставних та S-пропереставних підгруп в скінченних групах. Зо-
крема, дано ствердну відповідь на питання 18.91 (а) з Коурівського зошита.
Ключові слова: скінченна група, пропереставна підгрупа, S-пропереставна підгрупа.
Одним з найбільш розвинених розділів в теорії груп (як скінченних, так і нескінченних) є
дослідження впливу тих чи інших систем підгруп на структуру всієї групи. На сьогоднішній
день існує величезна кількість статей та монографій, присвячених цьому напряму дослі-
джень. Першим кроком тут було дослідження скінченних груп, всі підгрупи яких нормаль-
ні. Опис таких груп отримав Р. Дедекінд ще у 1897 р. в своїй вже класичній статті [1]. Згодом
почали з'являтись аналогічні результати, в яких умова нормальності всіх підгруп замінюва-
лась на більш слабкі умови. Зокрема, розглядались такі узагальнення нормальних підгруп,
як субнормальні підгрупи, переставні підгрупи, пронормальні підгрупи та багато інших.
Нагадаємо, що підгрупи H та K групи G називаються переставними, якщо HK KH= .
Підгрупу H групи G будемо називати переставною в G , якщо вона переставна з будь-якою
підгрупою групи G . Очевидно, що переставні підгрупи є природним узагальненням нор-
мальних підгруп. Переставні підгрупи мають досить цікаві властивості, серед яких можна
виділити таку: будь-яка переставна підгрупа скінченної групи G субнормальна в G [2].
Нещодавно було введено до розгляду новий тип підгруп, який є узагальненням не лише
нормальних підгруп, а й переставних.
Означення 1. Нехай G — група. Будемо говорити, що підгрупа H групи G пропере-
ставна в G , якщо існує така підгрупа B групи G , що виконується рівність ( )GG N H B= , а
підгрупа H переставна з будь-якою підгрупою з B [3].
Як зазначено вище, кожна переставна в G підгрупа є пропереставною в групі G . Дій-
сно, нехай G — група, H — переставна в G підгрупа. Тоді в означенні пропереставної під-
групи у якості підгрупи B можна взяти всю групу G , що тягне за собою очевидну рівність
( )GG N H G= . А оскільки за умовою підгрупа H переставна в G , то ми отримуємо, що H
пропереставна в G .
© О.О. Пипка, Д.Ю. Стороженко, 2017
19ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 7
Про деякі типи пропереставних підгруп та їх узагальнень в скінченних групах
Ми не будемо детально зупинятись на результатах роботи [3], оскільки це потребує
формулювання значної кількості додаткових специфічних означень, і не є основною метою
даної статті. Відразу перейдемо до питання 18.91 (а) з Коурівського зошита [4], яке стосу-
ється пропереставних підгруп:
чи існує скінченна група G з підгрупами A B G� � ,
для якої A пропереставна в G , але A не пропереставна в B ?
Авторами було отримано ствердну відповідь на це питання. За допомогою системи
комп'ютерної алгебри GAP було знайдено відповідний приклад, який наведений нижче.
Приклад 1. Нехай 4 2 2 2(( ) )G C C C C= × � � (в бібліотеці GAP — SmallGroup (32,6)). Тут
pC позначає циклічну групу порядку p . Група G містить такі підгрупи A B G� � , що 2A C≅ ,
4 2 2( )B C C C≅ × � , і при цьому A пропереставна в G , але A не пропереставна в B .
Також у роботі [3] було введено до розгляду природне узагальнення пропереставних
підгруп.
Означення 2. Нехай G — група. Будемо говорити, що підгрупа H групи G S-про пе ре-
ставна в G , якщо існує така підгрупа B групи G , що виконується рівність ( )GG N H B= , а
підгрупа H переставна з будь-якою силовською підгрупою з B .
Зазначимо, що це узагальнення пропереставних підгруп не є тривіальним. Відповідний
приклад S-пропереставної підгрупи, яка не є пропереставною, можна знайти в роботі [5].
Для S-пропереставних підгруп можна також сформулювати аналогічну до питання
18.91 (а) з Коурівського зошита задачу:
чи існує скінченна група G з підгрупами A B G� � ,
для якої A S-пропереставна в G , але A не S-пропереставна в B ?
Для цього питання також було отримано ствердну відповідь.
Приклад 2. Нехай 3 3 3 2(( ) )G C C C C= × � � (в бібліотеці GAP — SmallGroup (54,5)). Ця
група містить такі підгрупи A B G� � , що 3A C≅ , 3 3B C S≅ × , і при цьому A S-пропереставна
в G , але A не S-пропереставна в B . Тут 3S позначає симетричну групу 3-го ступеня.
Також було розглянуто ще одне питання, що пов'язане з пропереставними та S-про пе-
ре ставними підгрупами. Воно базується на понятті транзитивності. Досить часто в групах
транзитивність деяких теоретико-групових властивостей не виконується. Тому, зважаючи
до того ж на позитивну відповідь на питання 18.91 (а) з Коурівського зошита, досить при-
родно розглянути таку задачу:
чи існує скінченна група G з підгрупами A B G� � , для якої A пропереставна в B ,
B пропереставна в G , але A не пропереставна в G ?
Також ми можемо сформулювати аналогічне питання і для S-пропереставних підгруп:
чи існує скінченна група G з підгрупами A B G� � , для якої A S-пропереставна в B ,
B S-пропереставна в G , але A не S-пропереставна в G ?
На обидва ці питання було також отримано ствердні відповіді, що ілюструє такий приклад.
Приклад 3. Нехай 4G A= — знакозмінна група порядку 12. Ця група містить такі під-
групи A B G� � , що 2A C≅ , 2 2B C C≅ × , і при цьому A пропереставна в B , B пропереставна
в G , але A не пропереставна в G . Більше того, ці підгрупи є одночасно і прикладом відпо-
віді на останнє питання. Тобто підгрупа A S-пропереставна в B , B S-пропереставна в G ,
але A не S-пропереставна в G.
20 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 7
О.О. Пипка, Д.Ю. Стороженко
Наостанок зазначимо, що всі наведені приклади далеко не єдині і є мінімальним за по-
рядком прикладами для задач, що були розглянуті.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Dedekind R. Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind. Math. Ann. 1897. 48, № 4. P. 548—
561. doi:10.1007/BF01447922.
2. Ore O. Contributions in the theory of groups of finite order. Duke Math. J. 1939. 5, № 2. P. 431–460. doi:10.1215/
S0012-7094-39-00537-5.
3. Yi X., Skiba A.N. On S-propermutable subgroups of finite groups. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 2015. 38, № 2.
P. 605–616. doi:10.1007/s40840-014-0038-4.
4. Mazurov V.D., Khukhro E.I. (Eds.) The Kourovka Notebook: Unsolved Problems in Group Theory (18th ed.).
Novosibirsk: Sobolev Inst. Math., 2014. 227 p.
5. Yi X., Skiba A.N. Some new characterizations of PST-groups. J. Algebra. 2014. 399. P. 39—54. doi:10.1016/j.
jalgebra.2013.10.001.
Надійшло до редакції 28.03.2017
REFERENCES
1. Dedekind, R. (1897). Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind. Math. Ann., 48, № 4,
pp. 548-561. doi:10.1007/BF01447922
2. Ore, O. (1939). Contributions in the theory of groups of finite order. Duke Math. J., 5, No. 2, pp. 431-460.
doi:10.1215/S0012-7094-39-00537-5
3. Yi, X., Skiba, A. N. (2015). On S-propermutable subgroups of finite groups. Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 38,
No. 2, pp. 605–616. doi:10.1007/s40840-014-0038-4
4. Mazurov, V. D., Khukhro, E. I. (Eds.) (2014). The Kourovka Notebook: Unsolved Problems in Group Theory
(18th ed.). Novosibirsk: Sobolev Inst. Math.
5. Yi, X., Skiba, A. N. (2014). Some new characterizations of PST-groups. J. Algebra, 399, pp. 39–54. doi:10.1016/j.
jalgebra.2013.10.001
Receved 28.03.2017
А.А. Пыпка, Д.Ю. Стороженко
Днепровский национальный университет им. Олеся Гончара
E-mail: pypka@ua.fm
О НЕКОТОРЫХ ТИПАХ ПРОПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ ПОДГРУПП
И ИХ ОБОБЩЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
Найдены некоторые специфические примеры проперестановочных и S-пропереста но воч ных подгрупп в
конечных группах. В частности, получен положительный ответ на вопрос 18.91 (а) из Коуровской тетради.
Ключевые слова: конечная группа, проперестановочная подгруппа, S-проперестано воч ная подгруппа.
A.A. Pypka, D.Yu. Storozhenko
Oles Honchar Dnipro National University
E-mail: pypka@ua.fm
ON SOME TYPES OF PROPERMUTABLE SUBGROUPS
AND THEIR GENERALIZATIONS IN FINITE GROUPS
We found some specific examples of propermutable and S-propermutable subgroups in finite groups. In particular,
we have given the positive answer to the question 18.91 (a) from the Kourovka Notebook.
Keywords: finite group, propermutable subgroup, S-propermutable subgroup.
|