Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела
Рассмотрена статическая симметричная задача теории упругости для кусочно-однородной изотропной плоскости с границей раздела сред в форме сторон угла и трещиной в угловой точке. Построено точное решение уравнения Винера—Хопфа задачи. Определен коэффициент интенсивности напряжений в конце трещины....
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126981 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 10. — С. 34-40. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-126981 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1269812025-02-09T17:42:42Z Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела Про пружну рівновагу кусково-однорідної площини з тріщиною у кутовій точці межі поділу On the elastic equilibrium of a piecewise homogeneous plane with a crack at the corner point of the interface Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. Механіка Рассмотрена статическая симметричная задача теории упругости для кусочно-однородной изотропной плоскости с границей раздела сред в форме сторон угла и трещиной в угловой точке. Построено точное решение уравнения Винера—Хопфа задачи. Определен коэффициент интенсивности напряжений в конце трещины. Розглянуто статичну симетричну задачу теорії пружності для кусково-однорідної ізотропної площини з межею поділу середовищ у формі сторін кута і тріщиною в кутовій точці. Побудовано точний розв'язок рівняння Вінера—Гопфа задачі. Визначено коефіцієнт інтенсивності напружень у кінці тріщини. The static symmetric problem of the theory of elasticity for a piecewise homogeneous isotropic plane with the interface in the form of angle sides and a crack at the corner point is considered. The exact solution of the Wiener—Hopf equation of the problem is constructed. The stress intensity factor at the crack tip is determined. 2017 Article Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 10. — С. 34-40. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.10.034 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126981 539.375 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела Доповіді НАН України |
| description |
Рассмотрена статическая симметричная задача теории упругости для кусочно-однородной изотропной
плоскости с границей раздела сред в форме сторон угла и трещиной в угловой точке. Построено точное
решение уравнения Винера—Хопфа задачи. Определен коэффициент интенсивности напряжений в конце трещины. |
| format |
Article |
| author |
Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. |
| author_facet |
Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. |
| author_sort |
Каминский, А.А. |
| title |
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела |
| title_short |
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела |
| title_full |
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела |
| title_fullStr |
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела |
| title_full_unstemmed |
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела |
| title_sort |
об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/126981 |
| citation_txt |
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 10. — С. 34-40. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kaminskijaa obuprugomravnovesiikusočnoodnorodnojploskostistreŝinojvuglovojtočkegranicyrazdela AT kipnisla obuprugomravnovesiikusočnoodnorodnojploskostistreŝinojvuglovojtočkegranicyrazdela AT poliŝuktv obuprugomravnovesiikusočnoodnorodnojploskostistreŝinojvuglovojtočkegranicyrazdela AT kaminskijaa propružnurívnovagukuskovoodnorídnoíploŝiniztríŝinoûukutovíjtočcímežípodílu AT kipnisla propružnurívnovagukuskovoodnorídnoíploŝiniztríŝinoûukutovíjtočcímežípodílu AT poliŝuktv propružnurívnovagukuskovoodnorídnoíploŝiniztríŝinoûukutovíjtočcímežípodílu AT kaminskijaa ontheelasticequilibriumofapiecewisehomogeneousplanewithacrackatthecornerpointoftheinterface AT kipnisla ontheelasticequilibriumofapiecewisehomogeneousplanewithacrackatthecornerpointoftheinterface AT poliŝuktv ontheelasticequilibriumofapiecewisehomogeneousplanewithacrackatthecornerpointoftheinterface |
| first_indexed |
2025-11-28T21:58:36Z |
| last_indexed |
2025-11-28T21:58:36Z |
| _version_ |
1850073019621310464 |
| fulltext |
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 10
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МЕХАНІКА
© А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук , 2017
Задачам механики разрушения об определении коэффициентов интенсивности напря-
жений в концах трещин и других линий разрыва смещения, исходящих из угловых точек
упругих тел, посвящено много работ. В основном, исследовались задачи теории упругости о
разрезах в вершине однородного клина [1—4], а также о линиях разрыва смещения в концах
трещин в однородных телах [5]. Эти линии разрыва моделируют узкие полосы пластич-
ности, развивающиеся из концов трещин. Для кусочно-однородного тела в указанном на-
правлении изучались случаи, когда угловыми точками являются концы межфазных трещин
и трещин, выходящих на границу раздела сред [6—9]. В [10,
11] решены задачи теории уп ругости для кусочно-
однородной плоскости с межфазными линиями разрыва
касательно го (нормального) смещения в угловой точке гра-
ницы раздела сред.
Ниже дано точное решение задачи механики разруше-
ния об определении коэффици ен та интенсивности напряже-
ний в конце трещины нормального разрыва в кусочно-
однородной плоскости, исходящей из угловой точки грани-
цы раздела сред.
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.10.034
УДК 539.375
А.А. Каминский 1, Л.А. Кипнис 2, Т.В. Полищук 2
1 Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
2 Уманский государственный педагогический университет им. Павла Тычины
E-mail: dfm11@ukr.net, polischuk_t@ukr.net
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости
с трещиной в угловой точке границы раздела
Представлено академиком НАН Украины В.Л. Богдановым
Рассмотрена статическая симметричная задача теории упругости для кусочно-однородной изотропной
плоскости с границей раздела сред в форме сторон угла и трещиной в угловой точке. Построено точное
решение уравнения Винера—Хопфа задачи. Определен коэффициент интенсивности напряжений в конце
трещины.
Ключевые слова: кусочно-однородная плоскость, граница раздела, угловая точка, трещина, коэффициент
интенсивности напряжений.
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 10
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела
Постановка задачи. В условиях плоской деформации в рамках статической симме т-
ричной задачи теории упругости рассмотрим кусочно-однородную изотропную плоскость с
границей раздела сред в форме сторон угла (см. рис.). Из угловой точки исходит трещина со
свободными от напряжений берегами. На бесконечности задана асимптотика поля напря-
жений, представляющая собой решение аналогичной зада чи без трещины (задача К), по-
рождаемое единственным в полосе 1 Re− < λ < 0 корнем 0 ] 1; 0[λ ∈ − ее характеристического
уравнения
1[sin 2( 1) ( 1)sin 2 ][ sin 2( 1)( ) ( 1)sin 2 ]λ + α + λ + α λ + π −α + λ + α +æ
2
1 2{(1 )(1 )sin [sin 2( 1) ( 1)sin 2 ]+ + + λπ − λ + α + λ + α ×æ æ
1[ sin 2( 1)( ) ( 1)sin 2 ] [sin 2( 1)( ) ( 1)sin 2 ]× λ + π −α + λ + α − λ + π −α − λ + α ×æ
2[ sin 2( 1) ( 1)sin 2 ]}e× λ + α − λ + α +æ
2
2[sin 2( 1)( ) ( 1)sin 2 ][ sin 2( 1) ( 1)sin 2 ] 0,e+ λ + π −α − λ + α λ + α − λ + α =æ
2 1
0 0 1, 2 1, 2
1 2
1
, , 3 4
1
E
e e e
E
+ ν
= = = − ν
+ ν
æ
( 1 2,E E — модули Юнга; 1 2,ν ν — коэффициенты Пуассона). Произвольная постоянная С,
входящая в это решение, считается заданной. Она характеризует интенсивность внешнего
поля и должна определяться из решения каждой конкретной внешней задачи.
Учитывая симметрию, граничные условия рассматриваемой задачи теории упругости
(см. рис.) запишем так:
, 0, 0;r ru uθ θ θθ = α σ = τ = = =
, 0, 0; 0, 0;r ruθ θ θθ = π τ = = θ = τ =
(1)
0, , 0; 0, , 0;r l r l uθ θθ = < σ = θ = > = (2)
0
1
0, , .r Cgr o
r
λ
θ
⎛ ⎞θ = →∞ σ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
(3)
Здесь 0 ; aθ π� � — скачок a .
Функция g выражается формулой
1 0 2( 2) ,g g g= + λ +
2
1 2 0 0 0 0(1 ) sin 2 sin cos cos( 2)g = + λ α λ α λ α λ + α −æ
2
1 0 0 0 0(1 ) sin 2 sin cos ( )cos[ ( ) 2 ]− + λ α λ α λ π −α λ π −α − α −æ
1 2 0 0 0 0 0 0(1 )(1 ) sin cos sin( 2) cos ( )cos[ ( ) 2 ]− + − λ λ α λ α λ + α λ π −α λ π −α − α −æ æ
1 2 0 0 0 0 0 0(1 )(1 ) sin cos cos( 2) cos ( )sin[ ( ) 2 ]− − + λ λ α λ α λ + α λ π −α λ π −α − α −æ æ
2 2
0 2 0 0(1 )( 1 ) sin 2 cose ж− − λ + − λ α λ α −
1 0 0 2 0 0 0(2 1 ) ( 1 )sin 2 cos cos ( )sin[ ( ) 2 ]e− − + λ λ + − α λ α λ π −α λ π −α − α −æ æ
2
2 0 0 2 0 0[2 (1 )] ( 1 )sin 2 cos sin( 2)e− − − λ λ + − α λ α λ + α −æ æ
2
2 1 0 2 0 0 0 02[(1 ) 1 ]( 1 )cos sin( 2) cos ( )sin[ ( ) 2 ],e− − − + λ + − λ α λ + α λ π −α λ π −α − αæ æ æ
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 10
А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук
2 1 0 0 0 0(1 ) sin 2 sin( 2) cos ( )cos[ ( ) 2 ]g = + λ α λ + α λ π −α λ π −α − α +æ
2
1 2 0 0 0 0(1 )(1 )cos sin ( 2) cos ( )cos[ ( ) 2 ]+ + − λ α λ + α λ π −α λ π −α − α −æ æ
2 0 0 0 0(1 ) sin 2 cos sin( 2) cos( 2)− + λ α λ α λ + α λ + α +æ
1 2 0 0 0 0 0(1 )(1 )cos sin( 2) cos( 2) cos ( )sin[ ( ) 2 ]+ − + λ α λ + α λ + α λ π −α λ π −α − α +æ æ
2 2
0 0(1 ) sin 2 cos( 2)e+ − λ α λ + α +
1 0 0 0 0(2 1 ) sin 2 cos( 2) cos ( )sin[ ( ) 2 ]e+ − + λ α λ + α λ π −α λ π −α − α +æ
2 0 0 0 0[2 (1 )] sin 2 cos sin( 2) cos( 2)e+ − − λ α λ α λ + α λ + α +æ
2 1 0 0 0 0 02[(1 ) 1 ]cos sin( 2) cos( 2) cos ( )sin[ ( ) 2 ].e+ − − + λ α λ + α λ + α λ π −α λ π −α − αæ æ
Результаты расчетов показывают, что 0 1/ 2λ > − ; 0 0 0(0) ( / 2) ( ) 0λ = λ π = λ π = ; ( ) 0g α <
при ]0, / 2[α ∈ π ; ( ) 0g α > при ] / 2, [α ∈ π π ; (0) ( 2) ( ) 0g g g= π = π = . Если материалы оди-
наковы, то 0λ и g равны нулю. Предполагается, что 0Cg > .
Некоторые значения 0λ приведены в табл. 1 ( 1 2 0, 3ν = ν = ), где значения α даны в
градусах.
Решение сформулированной задачи теории упругости (см. рис.) представляет собой
сумму решений следующих двух задач. Первая отличается от нее тем, что вместо первого из
условий (2) имеем
00, ,r l Cgr λθθ = < σ = − , (4)
а на бесконечности напряжения затухают как (1/ )o r (в (3) отсутствует первое слагаемое).
Вторая задача — задача К. Поскольку решение второй задачи известно, достаточно по-
строить решение первой.
Для построения точного решения первой задачи будем использовать метод Винера—
Хопфа в сочетании с аппаратом интегрального преобразования Меллина [12].
Решение уравнения Винера—Хопфа задачи. Применяя преобразование Меллина
( ) ( )*
0
pm p m r r dr
∞
= ∫
с комплексным параметром р к уравнениям равновесия, условию совместности деформа-
ций, закону Гука, условиям (1) и учитывая второе из условий (2) и условие (4), приходим к
следующему функциональному уравнению Винера—Хопфа:
ТАБЛИЦА 1
е0
α, град
15 30 45 60 75 105 120 135 150 165
2 –0,036 –0,075 –0,112 –0,112 –0,086 –0,025 –0,054 –0,089 –0,117 –0,104
3 –0,068 –0,132 –0,180 –0,184 –0,127 –0,037 –0,081 –0,130 –0,173 –0,168
5 –0,122 –0,232 –0,258 –0,248 –0,167 –0,049 –0,104 –0,168 –0,228 –0,241
10 –0,215 –0,310 –0,332 –0,308 –0,203 –0,059 –0,124 –0,202 –0,278 –0,318
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 10
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела
0
( ) ( ) ( )
1
s
Ф p ctgp G p Ф p
p
+ −+ = π
+ λ +
,
( )
0
( )sin
2 ( )cos
p p
G p
p p
Δ π=
Δ π
, (5)
0 1( ) (sin 2 sin 2 )[ sin 2 ( ) sin 2 ]p p p p pΔ = α + α π −α + α +æ
2
1 2 1{(1 )(1 )sin (sin 2 sin 2 )[ sin 2 ( ) sin 2 ]p p p p p+ + + π − α + α π −α + α −æ æ æ
2[sin 2 ( ) sin 2 ]( sin 2 sin 2 )}p p p p e− π −α − α α − α +æ
2
2[sin 2 ( ) sin 2 ]( sin 2 sin 2 )p p p p e+ π −α − α α − αæ ,
2 2 2
1( ) 4(sin sin )[ sin 2 ( ) sin 2 ]p p p p pΔ = − α − α π −α + α +æ
2 2 2
1 2 1{(1 )(1 )sin 2 4(sin sin )[ sin 2 ( ) sin 2 ]p p p p p+ + + π + α − α π −α + α −æ æ æ
2 2 2
1 2 2[sin 2 ( ) sin 2 ][(1 )(1 ) 4( sin sin )]}p p p p e− π −α − α + + − α + α +æ æ æ
2 2 2 2 2
2 2[sin 2 ( ) sin 2 ][(1 ) 4( sin sin )]p p p p e+ π −α − α + − α + αæ æ , 0s Cgl λ= − ,
1
2
2
21 0
0
( ) ( , 0) , ( )
2(1 )
p p
r l
uE
p l d p d
r
∞
+ − θ
θ
=ρ
θ=
∂
Φ = σ ρ ρ ρ Φ = ρ ρ
∂− ν∫ ∫ .
Здесь 1 2 1, 2Re ,p−ε < < ε ε — достаточно малые положительные числа.
Функция ( )( )G it t−∞ < < ∞ представляет собой действительную положительную чет-
ную функцию t , стремящуюся к единице при t →∞ . Следовательно, индекс функции ( )G p
по мнимой оси равен нулю. Поскольку, кроме того, функция ( )G p на мнимой оси удовлет-
воряет условию Гельдера, имеет место факторизация
( )
( ) (Re 0),
( )
G p
G p p
G p
+
−= =
( ) (Re 0),1 ln ( )
exp
2 ( ) (Re 0).
i
i
G p pG z
dz
i z p G p p
∞ +
−
− ∞
⎡ ⎤ ⎧ <⎪=⎢ ⎥ ⎨π −⎢ ⎥ >⎪⎩⎣ ⎦
∫ (6)
Функция ( )G p+ аналитическая, не имеет нулей и стремится к единице при p→∞ в
полуплоскости Re 0p < , а функция ( )G p− аналитическая, не имеет нулей и стремится к
единице при p→∞ в полуплоскости Re 0p < .
Функцию ctgp pπ можно факторизовать так:
(1 )
ctg ( ) ( ), ( )
(1/ 2 )
Г p
p p K p K p K p
Г p
+ − ±π = = ∓
∓
(7)
( ( )Г z — гамма-функция). Функция ( )K p+ аналитическая и не имеет нулей в полу плос-
кости Re 1/ 2p < , а функция ( )K p− аналитическая и не имеет нулей в полуплоскости
Re 1/ 2p > − . Справедливы асимптотики
( ) ~ , ( ) ~K p p K p p+ −− ( p→∞ ). (8)
С помощью факторизаций (6), (7) уравнение (5) перепишем в виде
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
Ф p s K p Ф p
K p G p p K p G p pG p
+ − −
+ + + + −+ =
+ λ +
(Re 0).p = (9)
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 10
А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук
Имеет место представление
00
1
1( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
s s
pp K p G p K p G p+ + + +
⎡
= −⎢+ λ ++ λ + ⎢⎣
0 0 0 0 0
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
s
K G p K G+ + + +
⎤
− +⎥
−λ − −λ − + λ + −λ − −λ −⎥⎦
(Re 0).p = (10)
Подставляя (10) в (9), получаем
0 0 0
( ) 1 1
( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)
Ф p s
pK p G p K p G p K G
+
+ + + + + +
⎤⎡
+ − =⎥⎢+ λ + −λ − −λ −⎢ ⎥⎣ ⎦
− + += −
+ λ + −λ − −λ −
– –
0 0 0
( ) ( )
( ) ( 1) ( 1) ( 1)
K p Ф p s
pG p p K G
(Re 0).p = (11)
Функция в левой части (11) аналитична в полуплоскости Re 0p < , а функция в правой
части (11) аналитична в полуплоскости Re 0p > . В силу принципа аналитического продол-
жения эти функции равны одной и той же функции, аналитической во всей плоскости p .
Исходя из известных асимптотик
0, 0, ~
2 ( )
IK
r l
r l
θθ = → + σ
π −
,
2
2
2
2(1 )
0, 0, ~
2 ( )
Iu K
r l
r E l r
θ∂ − ν
θ = → − −
∂ π −
( IK — коэффициент интенсивности напряжений в конце трещины), по теореме абелева ти-
па находим
( ) ~ , ( ) ~ ( ).
2 2
I IK K
Ф p Ф p p
pl pl
+ − − →∞
−
(12)
Таблица 2
е0
α, град
15 30 45 60 75 105 120 135 150 165
0,1 1,829 4,323 4,835 2,541 0,325 1,867 4,580 6,227 4,428 1,244
0,2 1,479 3,669 3,278 1,875 0,192 1,514 4,095 5,186 3,394 0,814
0,3 1,116 3,327 2,799 1,562 0,179 1,245 3,696 4,818 2,855 0,599
0,5 0,942 3,144 2,524 1,331 0,167 0,999 3,322 4,501 2,514 0,375
2 0,703 1,775 1,953 1,145 0,202 0,071 0,674 1,202 0,830 0,168
3 0,977 2,178 2,209 1,221 0,208 0,100 0,933 1,601 1,031 0,194
5 1,327 2,669 2,510 1,306 0,219 0,155 1,434 2,364 1,412 0,237
10 1,928 3,907 2,924 1,410 0,229 0,290 2,662 4,236 2,338 0,334
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 10
Об упругом равновесии кусочно-однородной плоскости с трещиной в угловой точке границы раздела
Из (6), (8) и (12) следует, что функции в левой и правой частях (11) стремятся к нулю
при p→∞ в полуплоскостях Re 0p < и Re 0p > соответственно. В силу теоремы Лиувилля
единая аналитическая функция тождественно равна нулю во всей плоскости p .
Таким образом, решение уравнения Винера—Хопфа (5) имеет вид
0 0 0
( ) ( ) 1 1
( )
1 ( 1) ( 1) ( ) ( )
sK p G p
Ф p
p K G K p G p
+ +
+
+ + + +
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥
+ λ + −λ − −λ −⎢ ⎥⎣ ⎦
( Re 0p < ),
0 0 0
( )
( )
( 1) ( 1)( 1) ( )
s pG p
Ф p
K G p K p
−
−
+ + −=
−λ − −λ − + λ +
(Re 0)p > . (13)
Определение коэффициента интенсивности напряжений. С помощью (13) находим
асимптотику
0 0
( ) ~
( 1) ( 1)
s
Ф p
K G p
−
+ +−λ − −λ −
( p→∞ ). (14)
Согласно (12), (14) получаем следующую формулу для коэффициента интенсивности
напряжений:
0 1/20
I IK K C l λ += , 00
0 0
2 ( 3 / 2)
( 2) ( 1)
I
g
K
G+
Γ λ +
=
Γ λ + −λ −
.
Некоторые значения 0
IK приведены в табл. 2.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наук. думка,
1988. 620 с.
2. Храпков А.А. Задачи об упругом равновесии бесконечного клина с несимметричным надрезом в вер-
шине, разрешимые в замкнутой форме. Прикл. математика и механика. 1971. 35, № 6. С. 1062—1069.
3. Kaminskii A.A., Kipnis L.A., Khazin G.A. Analysis of the Plastic Zone at a Corner Point by the Trident
Model. Int. Appl. Mech. 2002. 38, № 5. P. 611—616.
4. Некислых Е.М., Острик В.И. Задачи об упругом равновесии клина с трещинами на оси симметрии.
Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. С. 111—129.
5. Panasyuk V.V., Savruk M.P. Model for plasticity bands in elastoplastic failure mechanics. Mater. Sci. 1992.
№ 1. P. 41—57.
6. Loboda V.V., Sheveleva A.E. Determining Prefracture Zones at a Crack Tip Between Two Elastic Orthotropic
Bodies. Int. Appl. Mech. 2003. 39, № 5. P. 566—572.
7. Kaminsky A.A., Dudik M.V., Kipnis L.A. Initial kinking of an interface crack between two elastic media. Int.
Appl. Mech. 2007. 43, № 10. P. 1090—1099.
8. Кулиев В.Д., Работнов Ю.Н., Черепанов Г.П. Торможение трещины на границе раздела различных
упругих сред. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. № 4. С. 120—128.
9. Kaminsky A.A., Kipnis L.A., Kolmakova V.A. Model of the fracture process zone at the tip of a crack reaching
the nonsmooth interface between elastic media. Int. Appl. Mech. 2008. 44, № 10. P. 1084—1092.
10. Kipnis L.A., Polishchuk T.V. Analysis of the plastic zone at the corner point of interface. Int. Appl. Mech. 2009.
45, № 2. P. 159–168.
11. Kaminsky A.A., Kipnis L.A., Polishchuk T.V. Initial fracture process zone at the corner point of the interface
between elastic bodies. Int. Appl. Mech. 2012. 48, № 6. Р. 700—709.
12. Нобл Б. Применение метода Винера—Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных
производных. Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. 279 с.
Поступило в редакцию 03.04.2017
40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 10
А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук
REFERENCES
1. Savruk, M. P. (1988). Stress intensity factors in bodies with cracks. Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
2. Khrapkov, A. A. (1971). Closed form solutions of problems on the elastic equilibrium of an infinite wedge with
nonsymmetric notch at the apex. Appl. Math. Mech., 35, No. 6, pp. 1062-1069 (in Russian).
3. Kaminskii, A. A., Kipnis, L. A. & Khazin, G. A. (2002). Analysis of the Plastic Zone at a Corner Point by the
Trident Model. Int. Appl. Mech., 38, No. 5, pp. 611-616.
4. Nekislykh, K. M., & Ostrik, V. I. (2010). Problems on elastic equilibrium of a wedge with cracks on the axis of
symmetry. Mech. of Solids, No. 5, pp. 111-129 (in Russian).
5. Panasyuk, V. V. & Savruk, M. P. (1992). Model for plasticity bands in elastoplastic failure mechanics. Mater.
Sci., No. 1, pp. 41-57.
6. Loboda, V. V. & Sheveleva, A. E. (2003). Determining Prefracture Zones at a Crack Tip Between Two Elastic
Orthotropic Bodies. Int. Appl. Mech., 39, No. 5, pp. 566-572.
7. Kaminsky, A. A., Dudik, M. V. & Kipnis, L. A. (2007). Initial kinking of an interface crack between two elastic
media. Int. Appl. Mech., 43, No. 10, pp. 1090-1099.
8. Kuliev, V. D., Rabotnov, Yu. N. & Cherepanov, G. P. (1978). Crack retardation at the boundary separating
different elastic materials. Mech. of Solids, No. 4, pp. 120-128 (in Russian).
9. Kaminsky, A. A., Kipnis, L. A. & Kolmakova, V. A. (2008). Model of the fracture process zone at the tip of a
crack reaching the nonsmooth interface between elastic media. Int. Appl. Mech., 44, No. 10, pp. 1084-1092.
10. Kipnis, L. A. & Polishchuk, T. V. (2009). Analysis of the plastic zone at the corner point of interface. Int. Appl.
Mech., 45, No. 2, pp. 159-168.
11. Kaminsky, A. A., Kipnis, L. A. & Polishchuk, T. V. (2012). Initial fracture process zone at the corner point of
the interface between elastic bodies. Int. Appl. Mech., 48, No. 6, pp. 700-709.
12. Noble, B. (1962). Using of the Wiener–Hopf method for the solve the Partial derivative equations. Moscow:
Izdatelstvo Inostr. lit. (in Russian).
Received 03.04.2017
А.О. Камінський 1, Л.А. Кіпніс 2, Т.В. Поліщук 2
1 Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
2 Уманський державний педагогічний університет ім. Павла Тичини
Е-mail: dfm11@ukr.net, polischuk_t@ukr.net
ПРО ПРУЖНУ РІВНОВАГУ КУСКОВО-ОДНОРІДНОЇ
ПЛОЩИНИ З ТРІЩИНОЮ У КУТОВІЙ ТОЧЦІ МЕЖІ ПОДІЛУ
Розглянуто статичну симетричну задачу теорії пружності для кусково-однорідної ізотропної площини з
межею поділу середовищ у формі сторін кута і тріщиною в кутовій точці. Побудовано точний розв’язок
рівняння Вінера—Гопфа задачі. Визначено коефіцієнт інтенсивності напружень у кінці тріщини.
Ключові слова: кусково-однорідна площина, межа поділу, кутова точка, тріщина, коефіцієнт інтенсивності
напружень.
A.A. Kaminsky 1, L.A. Kipnis 2, T.V. Polischuk 2
1 S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
2 Pavlo Tychyna Uman State Pedagogical University
Е-mail: dfm11@ukr.net, polischuk_t@ukr.net
ON THE ELASTIC EQUILIBRIUM OF A PIECEWISE HOMOGENEOUS
PLANE WITH A CRACK AT THE CORNER POINT OF THE INTERFACE
The static symmetric problem of the theory of elasticity for a piecewise homogeneous isotropic plane with
the interface in the form of angle sides and a crack at the corner point is considered. The exact solution of the
Wiener—Hopf equation of the problem is constructed. The stress intensity factor at the crack tip is determined.
Keywords: piecewise homogeneous plane, interface, corner point, crack, stress intensity factor.
|