Об одной стационарной модели управления запасами
Анализируется стационарная модель управления запасами некоторого хранилища бесконечной вместимости. Исследуются условия существования оптимальной стратегии и сходимости с вероятностью 1 итерационной процедуры для оценивания пороговой точки. Аналізується стаціонарна модель керування запасами деякого...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12705 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной стационарной модели управления запасами / Л.Б. Вовк, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2008. — № 7. — С. 102-108. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860027844383473664 |
|---|---|
| author | Вовк, Л.Б. Кнопов, А.П. |
| author_facet | Вовк, Л.Б. Кнопов, А.П. |
| citation_txt | Об одной стационарной модели управления запасами / Л.Б. Вовк, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2008. — № 7. — С. 102-108. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Анализируется стационарная модель управления запасами некоторого хранилища бесконечной вместимости. Исследуются условия существования оптимальной стратегии и сходимости с вероятностью 1 итерационной процедуры для оценивания пороговой точки.
Аналізується стаціонарна модель керування запасами деякого сховища нескінченної місткості. Досліджуються умови існування оптимальної стратегії та збіжності з імовірністю 1 ітераційної процедури для оцінювання порогової точки.
The stationary inventory control model for some storehouse of infinite capacity is analyzed. Optimal strategy existence conditions and iteration procedure for threshold point estimation convergence with probability 1 are investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:50:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
102 Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Анализируется стационарная
модель управления запасами не-
которого хранилища бесконечной
вместимости. Исследуются усло-
вия существования оптимальной
стратегии и сходимости с веро-
ятностью 1 итерационной проце-
дуры для оценивания пороговой
точки.
© Л.Б. Вовк, А.П. Кнопов, 2008
ÓÄÊ 519.21
Ë.Á. ÂÎÂÊ, À.Ï. ÊÍÎÏÎÂ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ
ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÇÀÏÀÑÀÌÈ
Введение. Рассматривается задача управле-
ния запасом склада бесконечной вместимо-
сти. Одной из наиболее важных проблем яв-
ляется нахождение условий, когда задача оп-
тимального управления может быть сведена
к некоторой задаче стохастического про-
граммирования, что дает возможность опи-
сать искомую оптимальную стратегию. В ра-
боте приведены условия, когда это возмож-
но, и найден вид оптимальной стратегии.
Рассмотрим следующую задачу управле-
ния запасами некоторого хранилища беско-
нечной вместимости. Предположим, что в
некоторый момент времени уровень запаса
равен x . В момент проверки наличного
уровня запаса принимается решение о его
пополнении на величину y x− . Таким обра-
зом, стратегия заказа – выбрать величину
( )y y x= . Между моментами проверок име-
ется спрос на товар, являющийся случайной
величиной ν с функцией распределения
( )F ν . Качество функционирования системы
определяется некоторыми функциями ( )ir x ,
1, 2, 3...i = , где ( )1r x cx= – стоимость содер-
жания товара в количестве x единиц, ( )2r x –
штраф за дефицит товара в количестве x
единиц, ( )3r x K= – стоимость заказа нового
товара.
Рассмотрим функцию потерь
( ) ( )2 [ ] [ ], , y x yW x y cy r y I KI<ν <ν = + ν − + ,
где [ ]z sI < – индикатор события [ ]z s< .
ОБ ОДНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7 103
Определим функцию риска следующим образом:
( ) ( ) ( ) ( ) [ ], , , x y
y
V x y M W x y cy y dF KI
+
∞
<= ν = + φ ν − ν + ∫ ,
где ( ) ( )2 [ 0]xx r x I >φ = .
Будем говорить, что ( )y y x= – оптимальная стратегия, если
( )( ) ( ), inf ,
y x
V x y x V x y
≥
= для всех 0x ≥ .
Если существует функция ( )y y x= , такая, что ( ) [ ] [ ]x s x sy x SI xI< ≥= + для не-
которых констант Ss ≤≤0 , и ( )( ) ( ), min ,
y x
V x y x V x y
≥
= для всех 0≥x , то будем
говорить, что оптимальная стратегия является ( )Ss, -стратегией.
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть выполнены такие условия:
1) функция ( )zφ монотонно не убывает и дифференцируема при 0>z ;
2) ( )0 0φ = ;
3) уравнение ( ) ( )
y
y dF c
+
∞
′φ ν − ν =∫ имеет единственный корень.
Тогда существует 0S > , такое, что
а) при 0 y S< < функция ( )yyV , монотонно не возрастает;
б) если 0>c , то при Sy > функция ( )yyV , монотонно не убывает.
Доказательство. Рассмотрим функцию
( ) ( ) ( )
y
y dF y
+
∞
φ ν − ν = ψ∫ .
Покажем, что функция ( )yψ является монотонно невозрастающей. Для это-
го обозначим
( )
, ,
0, .
x x
x
x
ν − ν >
ξ =
ν ≤
Тогда
( ) ( ) ( )( )
y
y dF M y
+
∞
φ ν − ν = φ ξ∫ .
Случайный процесс ( )xξ является монотонно невозрастающим, а функция
( )zφ – монотонно неубывающей, поскольку ( )( )M xφ ξ – монотонно невозрас-
тающая функция.
Рассмотрим функцию ( ),V y y , найдем ее производную и приравняем нулю:
Л.Б. ВОВК, А.П. КНОПОВ
104 Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7
( ) ( ) ( ),
y
V y y c y dF
+
∞
′ ′= − φ ν − ν∫ , ( ) 0, =′ yyV ,
то есть ( ) ( )
y
y dF c
+
∞
′φ ν − ν =∫ .
Обозначим S единственный корень последнего уравнения.
Тогда
( ) ( ) ( )
0 0
inf , min , ,
y y
V y y V y y V S S
≥ ≥
= = .
Очевидно, что при Sy ≤ функция ( )yyV , монотонно не возрастает, а при
Sy > монотонно не убывает.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда существуют
Ss ≤≤0 , такие, что ( )Ss, -стратегия является оптимальной.
Доказательство. Рассмотрим три случая.
1. Пусть Sx > . Тогда ( ) ( ) ( ) ( )xxVKIxxVKIyyVyxV yxyx ,,,, ][][ ≥+≥+= <<
для всех xy ≥ .
Значит,
( ) ( ) ( )xxVyxVyxV
SxySxy
,,min,inf ==
>≥>≥
.
2. Пусть Sx <≤0 и ( ) ( ) KSSVV +< ,0,0 . Тогда
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ], , , , 0,0 ,x y x yV x y V y y KI V S S KI V S S K V V x x< <= + ≥ + = + ≥ ≥
для всех xy ≥ .
Следовательно,
( ) ( )
,0
inf , ,
y x x S
V x y V x x
≥ ≤ ≤
= .
3. Пусть Sx <≤0 и ( ) ( )0,0 ,V V S S K> + .
В силу леммы 1 ( )yyV , является монотонно невозрастающей и непрерыв-
ной справа для Sy ≤≤0 . Поэтому существует точка Ss ≤<0 , такая, что
( ) ( ) KSSVssV += ,, .
Значит, для Sysx ≤≤<≤0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )SSVyyVKSSVssVxxVV ,,,,,0,0 ≥≥+=>≥ .
Таким образом, имеем следующий результат:
1. Если Ssx ≤<≤0 , то ( ) ( ) ( ) ( )xxVssVKSSVSxV ,,,, <=+= ,
( ) ( ) ( ) ( )SxVKSSVKyyVyxV ,,,, =+≥+= при xy > .
Следовательно, ( ) ( ) ( )SxVyxVyxV
sxxysxxy
,,min,inf
0,0,
==
≤≤≥≤≤≥
.
2. Если Sxs ≤≤ , то ( ) ( ) ( ) ( )xxVKSSVKyyVyxV ,,,, =+≥+= при xy > .
Значит, ( ) ( ) ( )xxVyxVyxV
SxsxySxsxy
,,min,inf
,,
==
≤≤≥≤≤≥
.
ОБ ОДНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7 105
Таким образом, оптимальная стратегия ( )xyy = имеет вид
( ) ][][ sxsx xISIxy ≥< += .
Теорема доказана.
Относительно нахождения точек s и S можно отметить следующее: из
леммы 1 следует, что точка S является единственной точкой минимума функ-
ции ( ) ( )( )yMcyyyV ξϕ+=, , или ( ) ( )yMyyV ,, νψ= , где
( ) ( ) ][, ν<−νϕ+=νψ yIycyy .
Таким образом, нахождение точки 0≥y , в которой достигается ( )yyV ,min ,
– типичная задача стохастического программирования. Для ее решения можно
воспользоваться, например, методами работы [1].
Точка s – решение уравнения ( ) ( ) KSSVssV += ,, , для которого существует
множество методов решения.
Выше рассмотрена модель управления запасами системы, находящейся в
стационарном режиме, причем оптимизируются затраты за один период ее
функционирования. Однако и в ситуации, когда рассматривается система, функ-
ционирующая в неограниченном временном интервале, и необходимо найти
стратегию, минимизирующую средние затраты в единицу времени, задачу во
многих случаях можно свести к стационарному случаю. Как следует из [2], в
данном случае оптимальные стратегии часто также имеют пороговую структуру,
и задача нахождения оптимальной стратегии сводится к задаче нахождения точ-
ки оптимума математического ожидания от некоторой функции по стационар-
ному распределению ( ),p x z , причем и подынтегральная функция, и сама веро-
ятностная мера могут зависеть от параметра, по которому ищем оптимальное
значение функционала. При этом предполагается, что функция стоимости
( )
( )
( )
1
2
, ,
,
, .
r x x z
r x z
r x x z
≤
=
>
(1)
Для описанной пороговой стратегии с порогом z обозначим ( )⋅zP основную
вероятностную меру на ( ), FΩ , которая управляет случайной эволюцией про-
цесса состояния запаса ( )NnXX n ∈= : . Таким образом, оптимальная стратегия
для Марковской цепи X управляется ( )⋅*
x
P . Для Az ∈ из эргодичности связан-
ного процесса X следует, что предел
( ) { } XxxXPzxP nz
n
∈<=
∞→
,lim, ,
существует (см. [3]), и функция стоимости имеет вид
( ) ( ) ( ) XxAzzxdPzxrzV
X
∈∈= ∫ ,,,, .
Л.Б. ВОВК, А.П. КНОПОВ
106 Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7
Кратко остановимся на проблеме, связанной с нахождением функции рас-
пределения ( ),P x z или ее плотности ( ),p x z . Справедливо следующее утвер-
ждение:
Лемма 2. Пусть функция распределения требований F имеет строго поло-
жительную плотность. Тогда
1. Для порога [ ]0,z S∈ имеем
{ } ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
0
lim 1 1 1
S z
z n
n
P X x U S z dU F S x F S x
−
−
→∞
< = + − τ − − − τ + − − ∫ , x z≤ ,
{ }
( )
( )
lim
1
n
n
U x
P S x X S
U S→∞
− < < =
+ − τ
, 0 x S z≤ ≤ − ,
где ( )
*
F
µ ⋅ – µ -свертка функции распределения ( )F ⋅ , а ( ) ( )
*
1
U x F x
∞
µ
µ=
=∑ –
функция восстановления, связанная с ( )F ⋅ .
2. Для любого z A∈ существует строго положительная плотность
( )
( ),
, 0
P x z
p x z
x
∂
= >
∂
, x X∈ .
3. Для любого x X∈ существует производная на A
( )
( )'
,
: ,z
p x z
p x z
z
∂
=
∂
.
Доказательство следует из [3, с. 175–179].
Пример. Если требование ( ),n n Nξ ∈ распределено экспоненциально с па-
раметром µ , плотность
( )
( )
( )
( )
, ,
1
,
, .
1
z x
e
x z
S z
p x z
z x S
S z
−µ − µ
≤
+ µ −
=
µ < <
+ µ −
Используя функции стоимости вида (1), получаем
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
0
, ' ,
z S
z
V z r x p x z dx r x p x z dx= +∫ ∫% .
Можно показать, что существует ( )'V z% , и несложно найти ее явный вид.
Поскольку предельная функция распределения ( ),P x z ограничена и зави-
сит от z , а функция ( )zxr , не является непрерывной, задача точки нахождения
минимума функции ( )V z% значительно усложняется.
ОБ ОДНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7 107
Учитывая, что ( ) ( ),V z Er z= ξ% , где ξ – случайная переменная с функцией
распределения ( )zP ,⋅ , для нахождения оптимальной точки *
x функции ( )V x%
можно использовать методы стохастического программирования. Далее опишем
алгоритм, основанный на прямых методах стохастической оптимизации.
Определим итерационную процедуру для оценки пороговой точки *
x . Для
x R∈ и [ ]0,X S= обозначим
( )
0, 0,
, 0 ,
, .
X
x
x x x S
S x S
<
Π = ≤ ≤
>
(2)
Тогда, начиная с любой X -значной случайной переменной
( )0
z с
( ) 2
0
E z < ∞
,
вычисляем
( ) ( ) ( )( )1
, 0,1,...
s s s
X sz z s
+
= Π − ρ ξ = , (3)
где ( )s
ξ – статистическая оценка производной ( )'V z% в точке ( )s
z , и веса ( )sρ
удовлетворяют условиям
2
0 0
,s s
s s
∞ ∞
= =
ρ = ∞ ρ < ∞∑ ∑ . (4)
Для доказательства состоятельности оценки ( )( )s
ξ должны удовлетворять
условию
( )
( )
( )( )| 's
s s
z
E V z ξ σ =
% ,
где ( )s
z
σ – σ -алгебра, генерируемся случайными переменными
( ) ( )1
, ...,
s
z z .
Следующее утверждение следует из [1] и гарантирует сильную состоятель-
ность итерационного процесса
( )( )s
z .
Теорема 2. Если условия (2)–(4) выполнены, то
( ){ }lim 0 1
s
x
P z x
→∞
− = = ,
где *
x – точка минимума функции ( )V z% .
Заключение. Таким образом, сложная задача нахождения оптимальной
стратегии для вышеописанной модели управления запасами сведена к решению
задачи нахождения оптимума некоторой функции методом стохастического
программирования.
Л.Б. ВОВК, А.П. КНОПОВ
108 Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7
Л.Б. Вовк, О.П. Кнопов
ПРО ОДНУ СТАЦІОНАРНУ МОДЕЛЬ КЕРУВАННЯ ЗАПАСАМИ
Аналізується стаціонарна модель керування запасами деякого сховища нескінченної місткос-
ті. Досліджуються умови існування оптимальної стратегії та збіжності з імовірністю 1 ітера-
ційної процедури для оцінювання порогової точки.
L.B. Vovk, O.P. Knopov
ON ONE STATIONARY INVENTORY CONTROL MODEL
The stationary inventory control model for some storehouse of infinite capacity is analyzed. Optimal
strategy existence conditions and iteration procedure for threshold point estimation convergence
with probability 1 are investigated.
1. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. – М.: Наука, 1976. –
240 с.
2. Дадуна Г., Кнопов П.С., Тур Л.П. Оптимальные стратегии для системы запасов с
функциями стоимости общего вида // Кибернетика и системный анализ. – 1994. –
№ 4. – С. 106–123.
3. Prabhu N.U. Queues and inventories. – New York: Wiley, 1965. – 275 p.
Получено 25.03.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12705 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:50:45Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вовк, Л.Б. Кнопов, А.П. 2010-10-20T10:30:17Z 2010-10-20T10:30:17Z 2008 Об одной стационарной модели управления запасами / Л.Б. Вовк, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2008. — № 7. — С. 102-108. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12705 519.21 Анализируется стационарная модель управления запасами некоторого хранилища бесконечной вместимости. Исследуются условия существования оптимальной стратегии и сходимости с вероятностью 1 итерационной процедуры для оценивания пороговой точки. Аналізується стаціонарна модель керування запасами деякого сховища нескінченної місткості. Досліджуються умови існування оптимальної стратегії та збіжності з імовірністю 1 ітераційної процедури для оцінювання порогової точки. The stationary inventory control model for some storehouse of infinite capacity is analyzed. Optimal strategy existence conditions and iteration procedure for threshold point estimation convergence with probability 1 are investigated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Об одной стационарной модели управления запасами Про одну стаціонарну модель керування запасами On one stationary inventory control model Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной стационарной модели управления запасами Вовк, Л.Б. Кнопов, А.П. |
| title | Об одной стационарной модели управления запасами |
| title_alt | Про одну стаціонарну модель керування запасами On one stationary inventory control model |
| title_full | Об одной стационарной модели управления запасами |
| title_fullStr | Об одной стационарной модели управления запасами |
| title_full_unstemmed | Об одной стационарной модели управления запасами |
| title_short | Об одной стационарной модели управления запасами |
| title_sort | об одной стационарной модели управления запасами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12705 |
| work_keys_str_mv | AT vovklb obodnoistacionarnoimodeliupravleniâzapasami AT knopovap obodnoistacionarnoimodeliupravleniâzapasami AT vovklb proodnustacíonarnumodelʹkeruvannâzapasami AT knopovap proodnustacíonarnumodelʹkeruvannâzapasami AT vovklb ononestationaryinventorycontrolmodel AT knopovap ononestationaryinventorycontrolmodel |