О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений
Исследуются вопросы нахождения Парето-оптимальных решений и оценок в многокритериальных задачах комбинаторной оптимизации на множестве размещений. Описываются свойства решений и векторных оценок таких задач, а также применение этих свойств. Розглянуті та досліджені розв’язки й оцінки багатокритеріал...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12706 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений / Л.Н. Колечкина // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2008. — № 7. — С. 109-116. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859954776310022144 |
|---|---|
| author | Колечкина, Л.Н. |
| author_facet | Колечкина, Л.Н. |
| citation_txt | О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений / Л.Н. Колечкина // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2008. — № 7. — С. 109-116. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследуются вопросы нахождения Парето-оптимальных решений и оценок в многокритериальных задачах комбинаторной оптимизации на множестве размещений. Описываются свойства решений и векторных оценок таких задач, а также применение этих свойств.
Розглянуті та досліджені розв’язки й оцінки багатокритеріальної задачі комбінаторної оптимізації на множині розміщень з додатковими обмеженнями. Сформульовано ряд теорем про властивості Парето-оптимальних розв’язків та оцінок, а також спосіб знаходження Парето-оптимальних розв’язків на основі описаних властивостей.
Considered and researched the solutions and valuations of multicriterion combinatorial problem on set of placing with linear additional constraints. The row of theorems is formulated about propertys of Pareto-optimum solutions in combinatorial problem on set of placing. On the basis of the formulated properties|virtue| approach is offered to|by| finding|being| of effective decisions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:18:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7 109
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Исследуются вопросы нахожде-
ния Парето-оптимальных реше-
ний и оценок в многокритериаль-
ных задачах комбинаторной оп-
тимизации на множестве разме-
щений. Описываются свойства
решений и векторных оценок та-
ких задач, а также применение
этих свойств.
Л.Н. Колечкина, 2008
ÓÄÊ 519.85
Ë.Í. ÊÎËÅ×ÊÈÍÀ
Î ÍÀÕÎÆÄÅÍÈÈ ÏÀÐÅÒÎ-
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ
 ÌÍÎÃÎÊÐÈÒÅÐÈÀËÜÍÛÕ
ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÍÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ
ÍÀ ÌÍÎÆÅÑÒÂÅ ÐÀÇÌÅÙÅÍÈÉ
Введение. Зачастую при решении приклад-
ной задачи свести ее к одному критерию дос-
таточно трудно, так как целей может быть
больше. В этом случае оптимизация
проводится по нескольким частным критери-
ям, и задача сводится к рассмотрению задачи
многокритериальной оптимизации. Задача
усложняется, если поиск множества решений
осуществляется на комбинаторном множест-
ве. Как известно [1], комбинаторные множе-
ства обладают специфическими свойствами
при погружении в арифметическое евклидо-
во пространство. Применение таких свойств
дает возможность рассматривать различные
оптимизационные задачи и разрабатывать
новые специальные методы для их решения.
Задачи евклидовой комбинаторной опти-
мизации с одним критерием рассмотрены в
работах [1–3]. Модели векторной оптимиза-
ции исследуются и изучаются многими как
отечественными, так и зарубежными учены-
ми [4–8].
В работе рассматривается модель задачи,
которая объединяет в себе проблему много-
критериальности и комбинаторные свойства
области допустимых решений. При решении
практических задач такие задачи часто воз-
никают, когда необходимо формализовать в
виде критериев ряд отдельных требований,
предъявляемых к оптимальному решению,
которое ищут на комбинаторном множестве.
Такого рода задачи встречаются во многих
сферах человеческой деятельности.
Л.Н. КОЛЕЧКИНА
110 Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7
Постановка задачи. Рассмотрим свойства области допустимых решений,
на которой решается задача.
Пусть имеется η символов, из которых n различных , 1,2,..., ,ia i η= где ка-
ждый образует множество iA , состоящее из in одинаковых элементов ia . Имея
множества , {1, 2,..., }i nA i N n∈ = , согласно [1], можно построить различные
наборы а, состоящие из k η≤ символов, т. е. ( )
1 2
, , ,
ki i ia a a a= K . Множество
называют мультимножеством, если в нем элементы повторяются. Их соответст-
вующая совокупность образует то или иное комбинаторное множество. Комби-
наторные множества, элементы которых считаются различными, если у них раз-
ный порядок следования символов, называются комбинаторными евклидовыми
множествами [1]. Примерами комбинаторных евклидовых множеств являются
множества перестановок, размещений, сочетаний, разбиений и др. В данной ста-
тье рассматривается задача на множестве размещений.
Пусть задано мультимножество { }1 2, ,...,А a a aη= , а { }1 2( ) , ,..., nS А e e e= –
его основание, где je 1R∈ nj N∀ ∈ , и кратность элементов ( ) ,j j nk e j Nη= ∈ ,
1 2 ... nη η η η+ + + = . Возьмем произвольное η∈ Nk , j kη ≤ .
Как известно [2], упорядоченной k –выборкой мультимножества А называ-
ется набор
( )
1 2
, , ,
ki i ie a a a= K , (1)
где
jia А∈ ,kj Ni ∈∀ ,kNj ∈∀ ,ts ii ≠ если ts ≠ ,kNs ∈∀ kNt ∈∀ .
Тогда множество )(AР , элементами которого являются k –выборки вида (1) из
мультимножества A , называется евклидовым комбинаторным множеством, ес-
ли для произвольных его элементов ),...,,( 21 kaaae =′ , 1 2( , ,..., )ke b b b′′ = выпол-
няются такие условия: ( ) ( : )k j je e j N a b′ ′′≠ ⇔ ∃ ∈ ≠ .
Общим множеством k -размещений называется совокупность всех упорядо-
ченных k -выборок вида (1) из А и обозначается ( )k
nR Aη [2]. Если A –
множество, т. е. n A S Aη = =, ( ) , то ( )k
nR A – множество всех k -размещений без
повторения из n разных вещественных чисел множества A . Как известно из [2],
выпуклой оболочкой точек общего комбинаторного множества размещений яв-
ляется общий многогранник размещений ( ) conv ( )k k
n nA R Aη ηΠ = , который зада-
ется системой неравенств
О НАХОЖДЕНИИ ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ…
Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7 111
1
1
1
,
(2)
, .
j i
j i
i j k
i j
a x
x a N
ω
ω
ω
η
ω
ω
= ∈
− +
∈ =
≤
≤ ∀ ⊂
∑ ∑
∑ ∑
Определение 1. Точка x – вершина общего многогранника размещений
( )k
n AηΠ тогда и только тогда, когда ее координаты являются перестановкой чи-
сел 1 2 sa a a, , ..., , 1 2r ra a aη η η− + − +, , ..., , где , { 0}k ks N r N∈ ∈ ∪ , s r k+ = .
Как известно [1], многие комбинаторные множества обладают интересными
свойствами при их погружении в арифметическое евклидово пространство kR .
Пусть )(AР − евклидово комбинаторное множество, а e вида (1) − элемент
)(AР . Определим взаимооднозначное отображение комбинаторного множества
)(AР в арифметическое евклидово пространство по следующему правилу:
: ( ) ( ) kР A Р A Rϕϕ → ⊂ , т. е. ϕ ставит множество )(AР в соответствие множест-
ву ( ) kР A Rϕ ⊂ , а для элемента ( )
1
, ,
ki ie a a= K )(AР∈ имеем
jj ix a= kNj ∈∀ ,
1( ..., ) ( )kx x x Р Aϕ= ∈ , ( )x e= ϕ .
Рассмотрим многокритериальную комбинаторную задачу на общем множе-
стве размещений: задана линейная вектор-функция вида
1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))lF x f x f x f x= . (3)
Множество допустимых решений задачи определяется комбинаторным множе-
ством размещений и дополнительными ограничениями:
( )k
nD X R Aη= ∩ ,
где множество Х задано системой линейных неравенств
},,{ kj
jn
NjbxaRxХ ∈≤∈= , (4)
где kj
nj NjRbRa ∈∈∈ ,, , а множества размещений
( )k
nx R Aη∈ . (5)
При отображении ϕ множества ( )k
nR Aη в евклидово пространство kR
можно сформулировать задачу ( , )Z F S максимизации некоторого векторного
критерия ( )F x на множестве S , причем каждой точке ( )k
na R Aη∈ будет соот-
ветствовать точка x S∈ . Тогда задача (3) – (5) примет вид
{ }( , ) : max ( ( )) |Z F S F f x x S∈ , (6)
Л.Н. КОЛЕЧКИНА
112 Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7
где 1 2( ( )) ( ( ), ( ),..., ( ))lF f x f x f x f x= , 1: ,n
i lf R R i N→ ∈ , S – непустое множество
в nR . Учитывая, что ( ) conv ( )k k
n nA R Aη ηΠ = , соответсвенно
vert ( ) ( )k k
n nA R Aη η=Π , задача ( , )Z F S рассматривается на области многогранни-
ка размещений ( )k
n AηΠ , а множество S определяется следующим образом:
vert ( )k
nS П A Х= ∩η .
Свойства Парето-оптимальных решений и оценок. Одним из основных
понятий многокритериальных задач является понятие Парето-оптимального ре-
шения [5, 8, 9]. В многокритериальной задаче каждое решение x X∈ полностью
характеризуются своей оценкой 1( ,..., )ly y y= , где ( ),i iy f x= li N∈ . Поэтому
выбор оптимального решения сводится к выбору оптимальной оценки из мно-
жества Y всех достижимых оценок.
Множество оценок для комбинаторной многокритериальной задачи опти-
мизации ( , )Z F S определяется следующим образом:
( ) { ( ), ( )}k
nY F X y R y F x x R Aη= = ∈ = ∈ . (7)
Таким образом, выбор решения из множества размещений ( )k
nR Aη равно-
силен выбору соответствующей оценки из Y . Для комбинаторных многокрите-
риальных задач оно представляет обобщение понятия точки максимума число-
вой функции: решение Парето оптимально, если значения любого из критериев
можно улучшить лишь за счет ухудшения значений остальных критериев.
Свойствам и методам отыскания Парето-оптимальных решений посвящено
достаточно много литературы, но для задачи ( , )Z F S комбинаторной оптимиза-
ции необходимо учесть специфику и комбинаторные свойства области допусти-
мых решений.
В работе [9] было обосновано существование множества Парето-
оптимальних решений ( ),P F S в комбинаторных многокритериальных задачах
на размещениях в вершинах комбинаторного многогранника размещений и ал-
горитм их нахождения. Наряду с множеством Парето-оптимальных решений
целесообразно рассмотреть понятие Парето-оптимальних оценок многокритери-
альных комбинаторных задач, которые играют важную роль в теории многокри-
териальной оптимизации.
Множества Парето-оптимальних решений в комбинаторных задачах на раз-
мещениях обозначено ( ),P F S , тогда множества Парето-оптимальних оценок
обозначим ( ),yP F S .
В многокритериальных задачах сравниваются по предпочтительности век-
торные оценки, т. е. значения некоторого векторного критерия ( ( ))F f x =
( )1 2( ), ( ),..., ( )lf x f x f x= , и сопоставлять по предпочтительности те векторные
О НАХОЖДЕНИИ ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ…
Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7 113
оценки, которые отличаются друг от друга лишь одной компонентой [5]. Поэто-
му информация о предпочтительности изменения значения одного частного кри-
терия при фиксированных значениях всех остальных критериев – наиболее
доступная и достоверная. Ее целесообразно получить в первую очередь и ис-
пользовать для анализа задачи.
Для дальнейшего рассмотрения понятия Парето-оптимального решения и
оценки комбинаторных многокритериальных задач оптимизации изложим ут-
верждение:
Утверждение 1. Максимум линейной функции однокритериальной комби-
наторной задачи
1
( )
k
j j
j
f x c x
=
=∑ , (8)
где
11
... 0 ...
ss k
c c c cαα α α+
≥ ≥ > ≥ ≥ , kNs ∈ , kN∈α , на общем множестве разме-
щений ( )k
nR Aη достигается в точке )(),...,( 1 ARxxx k
nk η
∗∗∗ ∈= , которая удовле-
творяет условиям
i i sx a i Nα
∗ = ∀ ∈ ;
s i r i rx a i Nα η+
∗
− += ∀ ∈ , (9)
если элементы мультимножества А упорядочены следующим образом:
1 2 ki i ia a a≥ ≥ ≥K , (10)
где r , s –константы, удовлетворяющие условиям ksr =+ , kNsr ∈, .
Обозначим 0
x – оптимальное решение, тогда 0 0( )f x y= – оптимальная
оценка данного решения и 1 2( ( )) ( ( ), ( ),..., ( ))lF f x f x f x f x= можно записать сле-
дующим образом: 1 2( ) ( , ,..., )lF y y y y= .
Определение 2 [5]. Функция ( )F y , которая определена на множестве
mY R⊂ , является возрастающей по отношению ≥ , если из выполнения неравен-
ства y y′≥ для векторов ,y y Y′∈ всегда следует справедливость неравенства
( ) ( )F y F y′≥ .
Это определение представляет собой обобщение понятия возрастающей
функции одной переменной на случай функции многих переменных.
Теорема 1. Если функция ( )F y возрастает по отношению ≥ и
0
x – точка
максимума функции 1 2( ( )) ( ( ), ( ), , ( ))lF f x F f x f x f x= K на множестве размеще-
ний ( )k
nR Aη , то ( ) ( )0 ,yf x P F S∈ , а значит ( )0 ,x P F S∈ .
Доказательство. Так как 0
x – точка максимума рассматриваемой функции
1 2( ( )) ( ( ), ( ), , ( ))lF f x F f x f x f x= K , то, согласно определению Парето-оптималь-
ного решения [5, 8], она принадлежит множеству Парето-оптимальных реше-
Л.Н. КОЛЕЧКИНА
114 Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7
ний, а по определению Парето-оптимальных оценок выполняется соотношение
( ) ( )0 ,yf x P F S∈ .
Теорема 1 сформулирована в терминах решений. Но ее можно переформу-
лировать и в терминах оценок.
Теорема 2. Пусть функция ( )F y определена на множестве оценок mY R⊂ .
Для того чтобы точка 0y Y∈ была Парето-оптимальной оценкой, т. е.
( )0 ,yy P F S∈ для комбинаторной многокритериальной задачи оптимизации
( , )Z F S , достаточно, чтобы она являлась точкой максимума на множестве Y
функции ( )F y , возрастающей по отношению ≥ .
Доказательство следует из теоремы 1. Пусть, по условию, 0y Y∈ и
( ) ( )0
F y F y≥ для всех y Y∈ . Предположим обратное: для некоторой оценки
y Y′∈ верно неравенство 0y y′ ≥ . Отсюда, поскольку функция F возрастаю-
щая, получаем неравенство ( ) ( )0
F y F y′ > , которое противоречит предыдуще-
му. В свою очередь, если максимум достигался в точке 0 k
nx Пη∈ , то она являет-
ся Парето-оптимальним решением задачи ( , )Z F S , согласно теореме 1 и со-
отношению 0 0( )f x y= , точка ( )0 ,yy P F S∈ . Теорема доказана.
В многокритериальной оптимизации широко используется метод линейной
свертки для нахождения Парето-оптимальных решений. Этот метод можна ис-
пользовать и для нахождения решений комбинаторных многокритериальных
задач [8].
Учитывая специфику области допустимых решений комбинаторной задачи,
следует отметить, что функция 1( ) ( ( ),..., ( ))lF x f x f x= =
1
( )
l
i i
i
f xµ
=
∑ является воз-
растающей по отношению ≥ на комбинаторном множестве размещений
( )k
nR Aη , если все числа 1 2, , , nµ µ µK положительны. Следовательно, максими-
зация функции ( )
1
l
i i
i
f x
=
µ∑ на множестве размещений ( )k
nR Aη приводит к Паре-
то-оптимальному решению.
Теорема 3. Решение 0
x S∈ комбинаторной многокритериальной задачи
( , )Z F S является Парето-оптимальным, если существуют числа 0,i li Nµ ≥ ∈ ,
1
1
l
i
i=
µ =∑ , такие, что максимизируют линейную свертку
О НАХОЖДЕНИИ ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ…
Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7 115
( ) ( )0
1 1
max
l l
i i i i
x S
i i
f x f x
∈
= =
µ = µ∑ ∑ (11)
критериев 1 2( ), ( ), , ( )lf x f x f xK на множестве размещений ( )k
nR Aη .
Доказательство. Множество допустимых решений S задачи многокрите-
риальной комбинаторной оптимизации ( , )Z F S является конечным и ограни-
ченным, так как ( )k
nS vertП A Хη= ∩ . Тогда, согласно утверждению, существует
решение 0
x S∈ задачи (11), которое является оптимальным, а соответственно
Парето-оптимальным для комбинаторной многокритериальной задачи. Теорема
доказана.
Теорема 3 показывает, что при определенных предположениях, подбирая
коэффициенты 1 2, , , lµ µ µK , любое Парето-оптимальное решение можно полу-
чить в результате решения соответствующей однокритериальной задачи макси-
мизации. Аналогичный вывод справедлив и для оценок.
Утверждение 2. Если на комбинаторном множестве размещений ( )k
nR Aη
компоненты вектор-функции ( ) ( ) ( )( )1 , , lF x f x f x= K непрерывны, то
( ),P F S ≠ ∅ .
Утверждение 3. Для комбинаторной многокритериальной задачи ( , )Z F S
существует хотя бы одно Парето-оптимальное решение и, соответственно, хотя
бы один Парето-оптимальный вектор, т. е. ( ),P F S ≠ ∅ , ( ),yP F S ≠ ∅ .
Из вышесформулированных теорем и утверждений вытекает следующий
способ отыскания какого-нибудь одного Парето-оптимального решения: найти
точку, реализующую максимальное значение функции ( )
1
l
i
i
f x
=
∑ на множестве
допустимых решений S .
Заключение. Рассмотрены и исследованы Парето-оптимальные решения и
оценки комбинаторной многокритериальной задачи на общем множестве раз-
мещений. Сформулировано ряд свойств Парето-оптимальных решений и оце-
нок, которые могут быть использованы при решении комбинаторных многокри-
териальных задач на других множествах.
Л.М. Колєчкіна
ПРО ЗНАХОДЖЕННЯ ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ В
БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНИХ КОМБІНАТОРНИХ ЗАДАЧАХ НА МНОЖИНІ РОЗМІЩЕНЬ
Розглянуті та досліджені розв’язки й оцінки багатокритеріальної задачі комбінаторної оп-
тимізації на множині розміщень з додатковими обмеженнями. Сформульовано ряд теорем
Л.Н. КОЛЕЧКИНА
116 Теорія оптимальних рішень. 2008, № 7
про властивості Парето-оптимальних розв’язків та оцінок, а також спосіб знаходження Паре-
то-оптимальних розв’язків на основі описаних властивостей.
L.N. Kolechkina
THE FINDING|being| OF PARETO-OPTIMUM SOLUTINS IN COMBINATORIAL PROBLEMS
OF MULTICRITERIA ON SET OF PLACING
Considered and researched the solutions and valuations of multicriterion combinatorial problem on
set of placing with linear additional constraints. The row of theorems is formulated about propertys
of Pareto-optimum solutions in combinatorial problem on set of placing. On the basis of the formu-
lated properties|virtue| approach is offered to|by| finding|being| of effective decisions.
1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы гео-
метрического проектирования. – Киев: Наук. думка, 1986. – 265 с.
2. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. – К.:
Ін-т систем. досліджень освіти, 1993. – 188 с.
3. Ємець О.О., Колєчкіна Л.М. Задачі комбінаторної оптимізації з дробово-лінійними
цільовими функціями. – К.: Наук. думка, 2005. – 118 с.
4. Cергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной опти-
мизации. – Киев: Наук. думка, 1988. – 472 с.
5. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных
задач. – М.: Наука, 1982. – 256 с.
6. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Лебедева Т.Т. Исследование устойчивости и пара-
метрический анализ дискретных оптимизационных задач. – Киев: Наук. думка, 1995.
– 171 c.
7. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В. Сергиенко Т.И. Устойчивость векторных задач цело-
численной оптимизации: взаимосвязь с устойчивостью множеств оптимальных и не-
оптимальных решений // Кибернетика и системный анализ. – 2005. – № 4. –
С. 90–100 .
8. Семенова Н.В., Колечкина Л.Н., Нагорная А.Н. Подход к решению векторных задач
дискретной оптимизации на комбинаторном множестве перестановок // Кибернетика
и системный анализ. – 2008. – № 3. – С.158–172.
9. Колечкина Л.Н. Оптимальные решения многокритериальных комбинаторных задач
на размещениях // Теорія оптимальних рішень. – 2007. – № 6. – С. 67–74.
Получено 09.04.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12706 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:18:40Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Колечкина, Л.Н. 2010-10-20T10:33:21Z 2010-10-20T10:33:21Z 2008 О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений / Л.Н. Колечкина // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2008. — № 7. — С. 109-116. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12706 519.85 Исследуются вопросы нахождения Парето-оптимальных решений и оценок в многокритериальных задачах комбинаторной оптимизации на множестве размещений. Описываются свойства решений и векторных оценок таких задач, а также применение этих свойств. Розглянуті та досліджені розв’язки й оцінки багатокритеріальної задачі комбінаторної оптимізації на множині розміщень з додатковими обмеженнями. Сформульовано ряд теорем про властивості Парето-оптимальних розв’язків та оцінок, а також спосіб знаходження Парето-оптимальних розв’язків на основі описаних властивостей. Considered and researched the solutions and valuations of multicriterion combinatorial problem on set of placing with linear additional constraints. The row of theorems is formulated about propertys of Pareto-optimum solutions in combinatorial problem on set of placing. On the basis of the formulated properties|virtue| approach is offered to|by| finding|being| of effective decisions. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений Про знаходження Парето-оптимальних розв’язків в багатокритеріальних комбінаторних задачах на множині розміщень The finding of Pareto-optimum solutins in combinatorial problems of multicriteria on set of placing Article published earlier |
| spellingShingle | О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений Колечкина, Л.Н. |
| title | О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений |
| title_alt | Про знаходження Парето-оптимальних розв’язків в багатокритеріальних комбінаторних задачах на множині розміщень The finding of Pareto-optimum solutins in combinatorial problems of multicriteria on set of placing |
| title_full | О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений |
| title_fullStr | О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений |
| title_full_unstemmed | О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений |
| title_short | О нахождении Парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений |
| title_sort | о нахождении парето-оптимальных решений в многокритериальных комбинаторных задачах на множестве размещений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12706 |
| work_keys_str_mv | AT kolečkinaln onahoždeniiparetooptimalʹnyhrešeniivmnogokriterialʹnyhkombinatornyhzadačahnamnožestverazmeŝenii AT kolečkinaln proznahodžennâparetooptimalʹnihrozvâzkívvbagatokriteríalʹnihkombínatornihzadačahnamnožinírozmíŝenʹ AT kolečkinaln thefindingofparetooptimumsolutinsincombinatorialproblemsofmulticriteriaonsetofplacing |