Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка
На основании теории конечных интегральных преобразований рассмотрен класс моделей — передаточные функции объектов, для описания которых необходимы дифференциальные уравнения в частных производных. Приведены правила, устанавливающие соответствие между операциями в пространственно-временной и спектрал...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127521 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка / Ю.А. Клевцов // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 2. — С. 21-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859616123558821888 |
|---|---|
| author | Клевцов, Ю.А. |
| author_facet | Клевцов, Ю.А. |
| citation_txt | Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка / Ю.А. Клевцов // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 2. — С. 21-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | На основании теории конечных интегральных преобразований рассмотрен класс моделей — передаточные функции объектов, для описания которых необходимы дифференциальные уравнения в частных производных. Приведены правила, устанавливающие соответствие между операциями в пространственно-временной и спектральной областях. Рассмотрены примеры моделирования объектов с распределенными параметрами.
На основі теорії кінцевих інтегральних перетворень розглянуто клас моделей — передавальні функції об’єктів, для опису яких необхідні диференціальні рівняння у частинних похідних. Наведено правила, які встановлюють відповідність між операціями в просторово-часовій та спектральній областях. Розглянуто приклади моделювання об’єктів з розподіленими параметрами.
Based on the theory of finite integral transformations the author has considered a class of models — transfer functions of the objects, which description requires partial differential equations. The rules establishing the correspondence between operations in the space-time and spectral domain are presented. The examples of modeling the objects with distributed parameters are considered.
|
| first_indexed | 2025-11-28T20:00:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.5.015
Þ.À. Êëåâöîâ, êàíä. òåõí. íàóê
(Óêðàèíà, 03150, Êèåâ,
òåë. (044) 5290566, e-mail: kk123@ukr.net)
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè
ïàðàìåòðàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
Íà îñíîâàíèè òåîðèè êîíå÷íûõ èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàññìîòðåí êëàññ ìîäåëåé —
ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè îáúåêòîâ, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìû äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïðèâåäåíû ïðàâèëà, óñòàíàâëèâàþùèå ñîîòâåòñòâèå
ìåæäó îïåðàöèÿìè â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé è ñïåêòðàëüíîé îáëàñòÿõ. Ðàññìîòðåíû
ïðèìåðû ìîäåëèðîâàíèÿ îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êîíå÷íûå èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, îáúåêòû ñ ðàñïðåäåëåí-
íûìè ïàðàìåòðàìè, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ.
Íà îñíîâ³ òåî𳿠ê³íöåâèõ ³íòåãðàëüíèõ ïåðåòâîðåíü ðîçãëÿíóòî êëàñ ìîäåëåé — ïåðåäà-
âàëüí³ ôóíêö³¿ îá’ºêò³â, äëÿ îïèñó ÿêèõ íåîáõ³äí³ äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ ó ÷àñòèííèõ
ïîõ³äíèõ. Íàâåäåíî ïðàâèëà, ÿê³ âñòàíîâëþþòü â³äïîâ³äí³ñòü ì³æ îïåðàö³ÿìè â ïðîñòî-
ðîâî-÷àñîâ³é òà ñïåêòðàëüí³é îáëàñòÿõ. Ðîçãëÿíóòî ïðèêëàäè ìîäåëþâàííÿ îá’ºêò³â ç ðîç-
ïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè.
Ê ë þ ÷ î â ³ ñ ë î â à: ñê³í÷åíí³ ³íòåãðàëüí³ ïåðåòâîðåííÿ, îá’ºêòè ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðà-
ìåòðàìè, ïåðåäàòî÷íà ôóíêö³ÿ.
Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ [1] ïðèìåíÿåòñÿ
äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè è ðàñïðå-
äåëåííûìè ïàðàìåòðàìè [2—6]. Èñïîëüçóÿ êîíå÷íûå èíòåãðàëüíûå ïðå-
îáðàçîâàíèÿ, ìîæíî îò ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðåéòè ê
ðåøåíèþ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ÷òî óïðîùàåò ðå-
øåíèå çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ.
Îäíàêî ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ïðè-
ìåíÿëàñü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ è èäåíòèôèêàöèè ðàñïðåäåëåí-
íûõ îáúåêòîâ, îïèñûâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîýòîìó áóäåì ðàññìàòðèâàòü âîç-
ìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïîëó÷åííûõ ðàíåå ðåçóëüòàòîâ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ
îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè (ÎÐÏ) áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà,
à èìåííî ÷åòâåðòîãî, à òàêæå âîçìîæíîñòü ìîäåëèðîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ãðà-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 21
� Þ.À. Êëåâöîâ, 2017
íè÷íûõ óñëîâèé (íå òîëüêî ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà), âîçíè-
êàþùèõ ïðè èññëåäîâàíèè îáúåêòîâ âûñîêîãî ïîðÿäêà. Òàêèå îáúåêòû
âñòðå÷àþòñÿ â ìåõàíèêå, íàïðèìåð ìîäåëèðîâàíèå ïîïåðå÷íîãî êîëåáà-
íèÿ áàëêè, êîíñîëè, ïëàñòèíû. Íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ ìîäåëèðîâàíèÿ îä-
íîìåðíûõ è äâóìåðíûõ ÎÐÏ ïîêàæåì ìåòîäèêó ìîäåëèðîâàíèÿ ÎÐÏ ÷åò-
âåðòîãî ïîðÿäêà.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Äîïóñòèì, ìîäåëü íåêîòîðîãî àáñòðàêòíîãî îáúåê-
òà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
4
4
4
4
4
4
u
t
a
u
x
u
y
u
z
x y z t� � �
�
�
��
�
�� ( , , , ), (1)
ãäå u u x y z t� ( , , , ), t
0; t — âðåìÿ; x y z, , — ïðîñòðàíñòâåííûå àðãóìåíòû,
0� �x lx , 0� �y l y , 0� �z l z , a � 0. Âñå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò íåîáõîäè-
ìûì óñëîâèÿì ãëàäêîñòè, ôóíêöèÿ u x y z t( , , , ) ÷åòûðåæäû äèôôåðåíöè-
ðóåìà ïî ïðîñòðàíñòâåííûì àðãóìåíòàì è äâàæäû ïî âðåìåííîìó. Óðàâ-
íåíèå (1) äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü íà÷àëüíûì,
u x y z f x y z( , , , ) ( , , )0 � ,
�
�
u x y z
t
g x y z
( , , , )
( , , )
0
� , (2)
è íåêîòîðûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, íàïðèìåð,
u y z t u l y z t u x z tx( , , , ) ( , , , ) ( , , , )0 0 0� � � ,
u x l z t u x y t u x y l ty z( , , , ) ( , , , ) ( , , , )� � �0 0,
�
�
�
�
�
�
u y z t
x
u l y z t
x
u x z t
y
x( , , , ) ( , , , ) ( , , , )0 0
0� � � , (3)
�
�
�
�
�
�
u x l z t
y
u x y t
z
u x y l t
z
y z
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
� � �
0
0.
Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ u x y z t( , , , ), óäîâëåòâîðÿþùóþ (1) ñ ñîîòâåòñò-
âóþùèìè íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.
Ìåòîä ðåøåíèÿ. Ðåøåíèå çàäà÷è áóäåì èñêàòü íà îñíîâàíèè ñïåêò-
ðàëüíîé òåîðèè íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ [2—6], êîòîðàÿ îïå-
ðèðóåò ñî ñïåêòðàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (ÑÕ) ôóíêöèé. Ïîñêîëüêó
ôóíêöèÿ u x y z t( , , , ), îïèñûâàþùàÿ ïîâåäåíèå òðåõìåðíîãî îáúåêòà (1),
åñòü ôóíêöèÿ ÷åòûðåõ àðãóìåíòîâ, ðàññìîòðèì ÷åòûðåõìåðíóþ ÑÕ U ijkm.
Åñëè ôóíêöèÿ u x y z t( , , , )èíòåãðèðóåìà ñ êâàäðàòîì ïî âñåì àðãóìåíòàì,
0 0 0 0
2
T l l lx y z
u x y z t dxdydzdt� � � � � �( , , , ) ,
Þ.À. Êëåâöîâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
òî
U x y z t u x y z t dxdyijkm
T l l
ijkm
lx y z
� � � � �
0 0 0 0
�* ( , , , ) ( , , , ) dzdt , (4)
ãäå {�
ijkm
x y z t( , , , )} — ñèñòåìà îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé
(ÎÁÔ) íà ðàññìàòðèâàåìûõ îòðåçêàõ â ïðîñòðàíñòâå L2. Ýòó ñèñòåìó ÎÁÔ
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ îäíîìåðíûõ ÎÁÔ ïî îäíîé ïåðå-
ìåííîé â ïðîñòðàíñòâå L2:
�
ijkm i j k mx y z t x y z t( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )�� � � � ,
ãäå { ( )},{ ( )},{ ( )},{ ( )}� � � �i j k mx y z t — ñèñòåìû ÎÁÔ ïî îäíîé ïåðåìåí-
íîé. Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
u x y z t U x y z t
ijkm
ijkm ijkm
( , , , ) ( , , , )�� � . (5)
Îïåðàòîð îïðåäåëåíèÿ ÑÕ (4) îáîçíà÷èì U S u x y z tijkm � 4[ ( , , , )], ãäå ñòåïåíü
ïðè S óêàçûâàåò, îòíîñèòåëüíî ñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ÑÕ.
Äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíåíèå (1) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè è
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè çàïèñàòü â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè, ðàññìîòðèì
ïðàâèëà, óñòàíàâëèâàþùèå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îïåðàöèÿìè â ïðîñòðàíñò-
âåííî-âðåìåííîé è ñïåêòðàëüíîé îáëàñòÿõ.
Ï ð à â è ë î 1. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè u x y z t( , , , )ïî âðåìåííîìó
àðãóìåíòó ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé (2) â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè èìååò
âèä
�
�
2
2
2u x y z t
t
E E E P U
( , , , )
( )� � � � �
� �S f x y z P S g x y zt t
3 3[ ( , , )] [ ( , , )]� � , (6)
ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà; � — ñèìâîë ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö;
P — ñïåêòðàëüíàÿ (äâóìåðíàÿ) õàðàêòåðèñòèêà îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðî-
âàíèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ [1],
P t
d t
dt
dtij
T
i
j
i j
� ��
0
0 0�
�
� �* *( )
( )
( ) ( );
S 3 — îïåðàòîð îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè ôóíêöèè òðåõ
àðãóìåíòîâ; � t — îäíîìåðíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äåëüòà ôóíê-
öèè, � t S t� [ ( )]� .
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 23
Ðàññìîòðèì ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííûì àðãó-
ìåíòàì. Îíè çàâèñÿò îò âèäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè
ïðèìåì ñëåäóþùåå: l l l lx y z� � � .
Ï ð à â è ë î 2. ×åòâåðòàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè u x y z t( , , , )ïî àðãóìåí-
òó x ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ
u y z t
u y z t
x
( , , , )
( , , , )
0
0
0� �
�
�
, u l y z t
u l y z t
x
( , , , )
( , , , )
� �
�
�
0, (7)
â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè âûïîëíÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
�
�
4
4 2
u x y z t
x
D E E E U
( , , , )
( )� � � � , (8)
ãäå D RR2 �PP ; P — ÑÕ îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, íå ó÷èòûâàþùàÿ
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé [1],
Pij
t
i
j
x
d x
dx
dx� �
0
�
�
* ( )
( )
;
R — ÑÕ îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ ãðàíè÷íûå óñ-
ëîâèÿ [3],
R x
d x
dx
dx l lij
l
i
j
i j i j
� � ��
0
0 0�
�
� � � �* * *( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ).
Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (7) ïî àðãóìåíòó x îáîáùèì íà ïðàâèëà
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî àðãóìåíòàì y, z. Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
÷åòâåðòîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè u x y z t( , , , ) ïî àðãóìåíòó y âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå
�
�
4
4 2
u x y z t
y
E D E E U
( , , , )
( )� � � � , (9)
åñëè çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
u x z t
u x z t
y
( , , , )
( , , , )
0
0
0� �
�
�
, u x l z t
u x l z t
y
( , , , )
( , , , )
� �
�
�
0 .
Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÷åòâåðòîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè u x y z t( , , , )
ïî àðãóìåíòó z âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
�
�
4
4 2
u x y z t
z
E E D E U
( , , , )
( )� � � � ,
(10)
Þ.À. Êëåâöîâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
åñëè çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
u x y t
u x y t
z
( , , , )
( , , , )
0
0
0� �
�
�
, u x y l t
u x y l t
z
( , , , )
( , , , )
� �
�
�
0.
Åñëè ÎÐÏ îäíîìåðíûé è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ àíàëîãè÷íû (7), òî
�
�
4
4 2
u x t
x
D E U
( , )
( )� � . (11)
Ï ð à â è ë î 3. Ïóñòü çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âèäà
u y z t
u y z t
x
( , , , )
( , , , )
0
0
0
2
2
� �
�
�
, u l y z t
u l y z t
x
( , , , )
( , , , )
� �
�
�
2
2
0. (12)
 ýòîì ñëó÷àå ÷åòâåðòàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè u x y z t( , , , ) ïî x â ñïåêò-
ðàëüíîé îáëàñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
�
�
4
4 3
u x y z t
x
D E E E U
( , , , )
( )� � � � ,
ãäå D R R3 �P P .
Ðàññìîòðåííîå ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè u x y z t( , , , ) ïî
àðãóìåíòó x îáîáùèì íà ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî àðãóìåíòàì y è z.
Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôóíêöèè ïî àðãóìåíòó y âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
�
�
4
4 3
u x y z t
y
E D E E U
( , , , )
( )� � � � ,
åñëè çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
u x z t
u x z t
y
( , , , )
( , , , )
0
0
0
2
2
� �
�
�
, u x l z t
u x l z t
y
( , , , )
( , , , )
� �
�
�
2
2
0 .
Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÷åòâåðòîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè u x y z t( , , , )
ïî àðãóìåíòó z âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
�
�
4
4 3
u x y z t
z
E E D E U
( , , , )
( )� � � � ,
åñëè çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
u x y t
u x y t
z
( , , , )
( , , , )
0
0
0
2
2
� �
�
�
, u x y l t
u x y l t
z
( , , , )
( , , , )
� �
�
�
2
2
0.
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 25
Åñëè ôóíêöèîíèðîâàíèå ÎÐÏ çàâèñèò òîëüêî îò x è y, òî
�
�
4
4 3
u x y
x
D E U
( , )
( )� � ,
�
�
4
4 3
u x y
y
E D U
( , )
( )� � . (13)
Åñëè ÎÐÏ îäíîìåðíûé è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ àíàëîãè÷íû (12), òî
�
�
4
4 3
u x t
x
D E U
( , )
( )� � . (14)
Ï ð à â è ë î 4 ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå. ×åòâåð-
òàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè u x y t( , , ) ïî àðãóìåíòàì x è y â ñïåêòðàëüíîé
îáëàñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
�
� �
4
2 2 4 4
u x y t
x y
D D E Ux y
( , , )
( )� � � , (15)
ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ u y t u l y t u x t u x l t( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )0 0 0� � � � , ãäå
D D Rx y4 4� � P .
Ï ð à â è ë î 5. Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÷åòâåðòîé ïðîèçâîäíîé
ôóíêöèè u x t( , ) ïî àðãóìåíòó x ñ ó÷åòîì óñëîâèé
u t
u t
x
u l t
x
u l t
x
( , )
( , ) ( , ) ( , )
0
0
0
2
2
3
3
� � � �
�
�
�
�
�
�
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
�
�
4
4 5
u x t
x
D E U
( , )
( )� � . (16)
Çäåñü D PP5 �RR , ãäå
R ij i
j
i j
x
d x
dx
dx l l� ��
0
1
�
�
� �* *( )
( )
( ) ( ).
Ýòà ÑÕ ó÷èòûâàåò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïðàâîé ãðàíèöå
P x
d x
dx
dxij i
j
i j
� ��
0
1
0 0�
�
� �* ( )
( )
( ) ( ).
Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà P ó÷èòûâàåò óñëîâèÿ íà ëåâîé ãðàíèöå.
Ï ð à â è ë î 6. Åñëè êîýôôèöèåíò a â óðàâíåíèè (1) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
ïðîñòðàíñòâåííûõ è âðåìåííîãî àðãóìåíòîâ, òî íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü
ïðàâèëî, ïîçâîëÿþùåå âû÷èñëÿòü ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé íåñêîëüêèõ àð-
Þ.À. Êëåâöîâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
ãóìåíòîâ â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè ÑÕ ïðîèçâå-
äåíèÿ ôóíêöèé f x y z t( , , , ), u x y z t( , , , ). Åñëè ôóíêöèþ f ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ f x y z t a x b y c z v t( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )� , òî ïðàâèëî
ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèé áóäåò èìåòü âèä
[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( , , , ) ( )a x b y c z v t u x y z t A B C V U� � � � ,
ãäå A, B, C, V — ìàòðèöû ÑÕ ìíîæèòåëåé ñîîòâåòñòâåííî a x b y( ), ( ), c z( ),
v t( ). Ýòè ÑÕ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå [1]
A x x a x dxij
l
i j
� �
0
� �* ( ) ( ) ( ) .
Ïî àíàëîãè÷íûì ôîðìóëàì âû÷èñëÿþòñÿ ÑÕ ìàòðèö B, C, V. Åñëè a �const,
òî ïðàâèëî 6 óïðîùàåòñÿ:
a u x y z t aU( , , , )� . (17)
Òàêèì îáðàçîì, îïåðàöèÿì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè ÷åòûðåõ àð-
ãóìåíòîâ â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè ñîîòâåòñòâóþò àëãåáðàè÷åñêèå îïåðà-
öèè íàä ìàòðèöàìè ÑÕ. Èñïîëüçóåì ðàññìîòðåííûå ïðàâèëà äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ.
Àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ïðèìåíÿåì ê àáñòðàêòíîìó îáúåêòó (1) ñ
íà÷àëüíûìè (2) è ãðàíè÷íûìè (3) óñëîâèÿìè. Äëÿ òîãî ÷òîáû òðàíñôîð-
ìèðîâàòü ýòî óðàâíåíèå â ñïåêòðàëüíóþ îáëàñòü, èñïîëüçóåì ïðàâèëà 1, 2,
6 è ôîðìóëû (6)—(10), (17).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
( ) [( ) ]E E E P U a D E E E U� � � � � � � �2
2
� � � � � � � � � �( ) ( )E D E E U E E D E U F H2 2 , (18)
ãäå F S x y z t� 4[ ( , , , )]� — ÑÕ âîçìóùàþùåé ôóíêöèè; H S f x y z� �3[ ( , , )]
� �P S g x y zt t� �( ) [ ( , , )] ( )0 03 — ÑÕ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Âûïîëíèâ àëãåá-
ðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (18), ïîëó÷èì
[ (E E E P a D E E E� � � � � � � �2
2
� � � � � � � � � �E D E E E E D E F H2 2 )] ,
îòêóäàU W F H� �( ) , ãäå
W E E E P a D E E E� � � � � � � � �[ (2
2
� � � � � � � � �E D E E E E D E2 2
1)] . (19)
Ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (19) ðàçðåøèìà, åñëè ñóùåñòâóåò
îáðàòíàÿ ìàòðèöà W, êðèòåðèåì ñóùåñòâîâàíèÿ êîòîðîé ìîæåò ñëóæèòü
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 27
òåîðåìà 8.5.1 èç ðàáîòû [7], îáîáùåííàÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Åñëè
� � � �m i j ka� � � �( ) 0, òî ìàòðèöà W ñóùåñòâóåò, ãäå � � � �m i j k, , , —
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö P 2, D2.
Ïîñêîëüêó ìàòðèöà W ñâÿçûâàåò ÑÕ âõîäíîé ôóíêöèè � ( , , , )x y z t è
âûõîäíîé ôóíêöèè u x y z t( , , , ), òî ýòà ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ïåðåäàòî÷íîé
ôóíêöèåé îáúåêòà ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè (1) ñ êðàåâûìè óñëî-
âèÿìè (3). Åñëè â êà÷åñòâå âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ èñïîëüçîâàòü ïðîèçâå-
äåíèå äåëüòà-ôóíêöèé � � � � ! � "( ) ( ) ( ) ( )x y z t� � � � , òî ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî W åñòü ÑÕ ôóíêöèè Ãðèíà G x y z t( , , )� � � ��# ! " îáúåêòà.
×èñëåííûå ïðèìåðû. Ïðèìåíåíèå àíàëèòè÷åñêîãî àïïàðàòà ïðÿìîãî
èëè êðîíåêåðîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì ñïîñîáîì çà-
ïèñè îïåðàöèé íàä ÑÕ. Ìàòðèöû ÑÕ U ijkm è Fijkm ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå
ìàòðèö ñòîëáöîâ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì îá-
õîäà ñíà÷àëà ïî èíäåêñó i, çàòåì ïî èíäåêñó j è òàê äàëåå. Ìàòðèöû, âû-
ïîëíÿþùèå îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, íàïðèìåð E E E P� � � 2,
âñëåäñòâèå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëÿþòñÿ â îáùåì ñëó÷àå â âèäå
êâàäðàòíûõ ìàòðèö. Ïðèìåíåíèå òàêîãî àïïàðàòà ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü äëÿ
÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììû îïåðàöèé íàä ìàòðèöàìè.
Äëÿ ïðîâåðêè ðàáîòîñïîñîáíîñòè ïðèâåäåííîãî àëãîðèòìà ðàññìîò-
ðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ, òðè èç êîòîðûõ — îäíîìåðíûå ñëó÷àè, ïîçâî-
ëÿþùèå óïðîñòèòü ïîíèìàíèå ìåòîäà.
Ïðèìåð 1. Ïóñòü íåêîòîðûé îáúåêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì [8]
�
�
�
�
2
2
4
4
0
u x t
t
u x t
x
( , ) ( , )
� � , 0 1� �x , t
0, (20)
ñ íà÷àëüíûìè,
u x x x f x
u x
t
( , ) sin ( ) , sin ( ) ( ),
( , )
0 05 3
0
0� � � �$ $
�
�
,
è ãðàíè÷íûìè,
u t u t( , ) ( , )0 1 0� � ,
�
�
�
�
2
2
2
2
0 1
0
u t
x
u t
x
( , ) ( , )
� � ,
óñëîâèÿìè. Äàííàÿ çàäà÷à îïèñûâàåò äèíàìèêó òîíêîé êîëåáëþùåéñÿ
áàëêè, êîíöû êîòîðîé ñâîáîäíî îïèðàþòñÿ íà äâå îïîðû (îáà êîíöà íà
øàðíèðàõ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (6), (14) è ó÷èòûâàÿ îòñóòñòâèå àðãóìåí-
òîâ y è z, óðàâíåíèå (20) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷-
íûìè óñëîâèÿìè â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè ïðåäñòàâèì â âèäå ( )E P U� �2
� � �( )D E U H3 , ãäå H S x x P t� �[sin ( ) , sin ( )] ( )$ $05 3 0� , îòêóäà
U E P D E H� � � � �( )2
3
1 . (21)
Þ.À. Êëåâöîâ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
Äëÿ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ âî âñåõ ïðèìåðàõ â êà÷åñòâå áàçèñíûõ ôóíê-
öèé ïî âðåìåííîìó è ïðîñòðàíñòâåííûì àðãóìåíòàì áóäåì èñïîëüçîâàòü
îðòîíîðìèðîâàííûå íà [0, 1] ïîëèíîìû Ëåæàíäðà. Ïîðÿäîê ìàòðèö â
ïðèìåðå 1 ðàâåí 55. ×èñëåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö � t ( )0 , P, P, R ïðèâåäåíû â
[4, 9], S f x T[ ( )] [ , , , , , ...]� � �0 742 0 0102 0 0242 0 0067 0 0008 . Ïîäñòàâëÿÿ
÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ÑÕ â (21), ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè-
÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðåøàÿ êîòîðóþ ñ èñïîëüçîâàíèåì îáðàùåíèÿ (5), íàõî-
äèì ôóíêöèþ u x t( , ). Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ ñïåêòðàëüíûì ìåòîäîì
ñðàâíèâàëèñü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì [8]
u x t t x t x01
2 20 5 9 3( , ) cos ( ) sin ( ) , cos ( ) sin ( )� �$ $ $ $ .
Àáñîëþòíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûñèëà 1%.
Ïðèìåð 2. Ìîäåëèðóåì äèíàìèêó òîíêîé áàëêè, êîíöû êîòîðîé æåñò-
êî çàæàòû. Ïóñòü óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå äèíàìèêó òàêîé áàëêè, èìååò
âèä
�
�
�
�
2
2
4
4
u x t
t
u x t
x
x t
( , ) ( , )
( , )� �� . (22)
Çàäàíû íà÷àëüíûå,
u x
u x
t
( , ) ,
( , )
0 0
0
0� �
�
�
, (23)
è ãðàíè÷íûå,
u t u t( , ) ( , )0 1 0� � ,
�
�
�
�
u t
x
u t
x
( , ) ( , )0 1
0� � , (24)
óñëîâèÿ, à òàêæå âîçìóùàþùàÿ ôóíêöèÿ � ( , ) sin ( ) ( )x t x t� � �2 1 42 4 2$ $
�8 4 2 2$ $t xcos ( ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (6), (11) è ó÷èòûâàÿ îòñóòñòâèå ïðîñò-
ðàíñòâåííûõ àðãóìåíòîâ y è z, óðàâíåíèå (22) ñ íà÷àëüíûìè (23) è ãðàíè÷-
íûìè (24) óñëîâèÿìè â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè çàïèøåì â âèäå ( )E P U� �2
� � �( ) [ ( , )]D E U S x t2
2 � , îòêóäà ïîëó÷èì
U E P D E S x t� � � � �( ) [ ( , )]2
2
1 2 � . (25)
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ýòîãî ïðèìåðà òàêæå èñïîëüçîâàëèñü îðòîíîð-
ìèðîâàííûå íà [0, 1] ïîëèíîìû Ëåæàíäðà. Ïîðÿäîê ìàòðèö ðàâåí 11.
Ðåøàÿ (25) è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó îáðàùåíèÿ (5), íàõîäèì ôóíêöèþ u x t( , ).
Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ ñðàâíèâàëèñü ñ àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì
u x t t x02
2 2( , ) sin ( )� $ . Àáñîëþòíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü íå ïðåâû-
ñèëà 0,5 %.
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 29
Ïðèìåð 3. Ìîäåëèðóåì ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ òîíêîé áàëêè (êîí-
ñîëü). Îäèí êîíåö êîíñîëè çàêðåïëåí, äðóãîé — ñâîáîäåí. Ïîïåðå÷íûå
êîëåáàíèÿ òàêîé áàëêè îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì
�
�
�
�
2
2
4
4
u x t
t
u x t
x
x t
( , ) ( , )
( , )� �� , 0 1� �x , t
0, (26)
ñ íà÷àëüíûìè,
u x f x
u x
t
g x( , ) ( ),
( , )
( )0
0
� �
�
�
,
è ãðàíè÷íûìè,
u t
u t
x
( , )
( , )
0
0
0� �
�
�
,
�
�
�
�
2
2
3
3
1 1
0
u t
x
u t
x
( , ) ( , )
� � ,
óñëîâèÿìè. Çàäàíà âîçìóùàþùàÿ ôóíêöèÿ� ( , ) sin ( )x t e x� �10 1 $ è íà÷àëü-
íûå óñëîâèÿ f x x( ) � 2, g x x( ) �2 . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (6) è (16) è ó÷èòû-
âàÿ, ÷òî îòñóòñòâóþò àðãóìåíòû y è z, óðàâíåíèå (26) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè çàïèøåì â
ñëåäóþùåì âèäå: ( ) ( )E P U D E U F� � � �2
5 , ãäå F S f x P t� �[ ( )] ( )� 0
� �S g x S x tt[ ( )] ( ) [ ( , )]� �0 2 . Îòñþäà U E P D E F� � � � �( )2
5
1 . Èñïîëüçóÿ
ôîðìóëó îáðàùåíèÿ (5), íàõîäèì ôóíêöèþ u x t( , ). Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðî-
âàíèÿ ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå (ðàçìåð ÑÕ ðàâåí 20).
Ýòàëîííîå ðåøåíèå âû÷èñëåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè Ãðèíà:
u x t
t
f G x t d03
0
1
( , ) ( ) ( , , )� �
�
�
� � � �
� �� � �
0
1
0 0
1
g G x t d G x t d d
t
( ) ( , , ) ( ) ( , , )� � � � �# " � " � "� ,
ãäå G x t( , , )� — ôóíêöèÿ Ãðèíà,
G x t
x
t
n
n n
n n
n( , , )
( ) ( )
( )
sin ( )�
� � �
� �
��
�
�
�4
11
2 2
2 2 ;
� � � � �n n n n nx x x( ) [sinh ( ) sin ( )][cosh ( ) cos ( )]� � � �
� � �[cosh ( ) cos ( )][sinh ( ) sin ( )]� � � �n n n nx x ;
� n — ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ cosh ( ) cos ( )� �n n � �1 0.
Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ñîñòàâëÿåò ìåíåå 1%.
Ïîãðåøíîñòü íîñèò ñèíóñîèäàëüíûé õàðàêòåð è óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè x �1.
Þ.À. Êëåâöîâ
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
Ïðèìåð 4. Ìîäåëèðóåì ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ æåñòêîé ïðÿìîóãîëü-
íîé ïëàñòèíêè íà óïðóãîì îñíîâàíèè ñ øàðíèðíîé îïîðîé ïî âñåìó êîí-
òóðó. Ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ïëàñòèíêè îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì [10]
�
�
�
� �
�
�
2
4
4
2 2
4
4
2
u x y
x
u x y
x y
u x y
y
u x y x
( , ) ( , ) ( , )
( , ) (� � � �� , )y , 0 1� �x , 0 1� �y ,
ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
u y u y
u y
x
u y
x
( , ) ( , )
( , ) ( , )
0 1
0 1
0
2
2
2
2
� � � �
�
�
�
�
,
u x u x
u x
y
u x
y
( , ) ( , )
( , ) ( , )
0 1
0 1
0
2
2
2
2
� � � �
�
�
�
�
.
Ïóñòü � ( , ) ( )sin ( ) sin ( )x y x y� �4 14$ $ $ . Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà 3, 4 è ôîð-
ìóëû (13), (15) è ó÷èòûâàÿ îòñóòñòâèå àðãóìåíòà t, äàííîå óðàâíåíèå ñ
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðàíñôîðìèðóåì â ñïåêòðàëüíóþ îáëàñòü:
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( , )]D E U D D U E D U E E U S x tx y3 4 4 3
22� � � � � � � � � .
Îòñþäà ïîëó÷àåì
U D E D D E D E E S x tx y� � � � � � � � �( ) [ ( , )]3 4 4 3
1 22 � .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó îáðàùåíèÿ (5), íàõîäèì ôóíêöèþ u x y( , ).
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 31
�0 2,
0
0 2,
0 4,
0 6,
0 8,
1,0
1,2
1 4,
u x t( , )
0,5
0,75
x = 1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 t
Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ (øòðèõîâàÿ êðèâàÿ) ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé êîíñîëè è ýòàëîí-
íîå ðåøåíèå u x t03 ( , ) (ñïëîøíàÿ êðèâàÿ) äëÿ òðàåêòîðèé òî÷åê êîíñîëè x
Ïðèìåð 5. Ïóñòü íåêîòîðûé àáñòðàêòíûé òðåõìåðíûé ÎÐÏ îïèñûâàåò-
ñÿ óðàâíåíèåì (1),� ( , , , ) ( sin ( ) sin ( ) sin ( )x y z t a e x y zt� � �1 3 4$ $ $ $ , a �5. Çà-
äàíû íà÷àëüíûå,
u x y z x y z f x y z( , , , ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ( , , )0 � �$ $ $ ,
�
�
$ $ $
u x y z
t
x y z g x y z
( , , , )
sin ( ) sin ( ) sin ( ) ( , , )
0
� � � ,
è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (3). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (6), (8)—(10), ñ ó÷åòîì (3)
çàïèøåì óðàâíåíèå (1) â ñïåêòðàëüíîé ôîðìå:
( ) [( ) ]E E E P U D E E E U� � � � � � � �2
25
� � � � � � � � � �( ) ( ) ]E D E E U E E D E U F H2 2 .
Çäåñü F S x y z t� 4[ ( , , , )]� ; H S f x y z P S g x y zt t� �3 30 0[ ( , , )] ( ) [ ( , , )] ( )� � ,
îòêóäà U W F H� �( ), ãäå W E E E P D E E E E D� � � � � � � � � � �[ (2
2 25
� � � � � � �E E E E D E2
1] .
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ èñïîëüçîâàíà òà æå ñèñòåìà îðòîíîðìèðîâàííûõ
íà [0,1] áàçèñíûõ ôóíêöèé — ïîëèíîìû Ëåæàíäðà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
îáðàùåíèÿ (5), íàõîäèì ôóíêöèþ u x y z t( , , , ). Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ
ñïåêòðàëüíûì ìåòîäîì ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ n ñðàâíèâàëèñü ñ òî÷-
íûì ðåøåíèåì u x y z t e x y zt
0( , , , ) sin ( ) sin ( ) sin ( )� � $ $ $ .
Äëÿ ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòà ìîäåëèðîâàíèÿ u è ýòàëîííîãî ðåøåíèÿ u0
èñïîëüçîâàíà âåëè÷èíà ñðåäíåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè
� �
�
�
�1
1
1 0
0m
u u
ui
m
i
i
.
Çàâèñèìîñòü � îò ðàçìåðà ÑÕ n ïðèâåäåíà â òàáëèöå äëÿ ïðèìåðîâ 4 è 5.
Êàê âèäíî èç òàáëèöû, ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðà ÑÕ ïîâûøàåòñÿ òî÷íîñòü
âû÷èñëåíèé. Îäíàêî äàëüíåéøåå óâåëè÷åíèå ðàçìåðà ÑÕ íå ïðèâîäèò ê ïî-
âûøåíèþ òî÷íîñòè.
Þ.À. Êëåâöîâ
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
Ïðèìåð
Çíà÷åíèå � ïðè n
3 4 5 6 7 8 9 10
4 669 0,12 1,98 0,003 0,007 0,0017 0,0016 0,0016
5 296 0,03 0,11 0,0015 0,001 0,001 0,001 0,001
Ïðèâåäåííûå ôîðìóëû ñïðàâåäëèâû äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ìàòðèö.
×èñëåííûå ðàñ÷åòû âûïîëíåíû ñ óñå÷åííûìè ìàòðèöàìè. Ñïåêòðàëüíûå
õàðàêòåðèñòèêè óñåêàþòñÿ, êîãäà äèñêðåòíûå àðãóìåíòû i, j, k, l èçìå-
íÿþòñÿ îò åäèíèöû äî ðàçìåðà ÑÕ n. Óñå÷åíèå ïðèâîäèò ê ïîãðåøíîñòè
ðåçóëüòàòà.
Âûâîäû
Ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòû ïÿòè ïðèìåðîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ýòàëîííûìè çíà-
÷åíèÿìè ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòà-
öèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ îïèñàíèÿ
ÎÐÏ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Ïðîñòûå ïðèìåðû èìåþò àíàëèòè÷åñêîå ðåøå-
íèå. Ñîâïàäåíèå àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ è ðåøåíèÿ ñïåêòðàëüíûì ìåòî-
äîì ïîäòâåðæäàåò ïðàâèëüíîñòü ðàçðàáîòàííûõ àëãîðèòìîâ.
Êîìáèíèðóÿ ìàòðèöû ÑÕ îïåðàòîðîâ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ìîæíî
ó÷åñòü ðàçëè÷íûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ÎÐÏ çàâèñèò îò âèäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Èñ-
ïîëüçóÿ ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö (êðîíåêåðîâî ïðîèçâåäåíèå), óäîáíî
ðàññìàòðèâàòü òðåõìåðíûå, äâóìåðíûå, îäíîìåðíûå ìîäåëè ÎÐÏ. Ïîñêîëü-
êó âûïîëíÿþòñÿ ñòàíäàðòíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè ñïåêòðàëüíûõ õà-
ðàêòåðèñòèê (ñëîæåíèå, ïåðåìíîæåíèå, îáðàùåíèå), ìåòîä óäîáåí â ïðî-
ãðàììèðîâàíèè.
Ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì íå çàâèñèò îò ñèñòåì áàçèñíûõ ôóíêöèé, ÷òî
ïðèäàåò ìåòîäó óíèâåðñàëüíîñòü. Îäíàêî ïðèìåíåíèå ðàññìîòðåííîãî
àëãîðèòìà îãðàíè÷åíî îáúåêòàìè, çàäàííûìè íà ïàðàëëåëåïèïåäå. Òåì íå
ìåíåå, ñïåêòðàëüíûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ðàáîòàòü ñ îáúåêòàìè, èìåþùèìè
áîëåå ñëîæíûå ãðàíèöû [11]. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü ïðî-
ñòðàíñòâåííûå ïåðåìåííûå òàê, ÷òîáû íåïðÿìîóãîëüíàÿ îáëàñòü ïðåîáðà-
çîâàëàñü â ïðÿìîóãîëüíóþ. Ïðè ýòîì èñõîäíîå óðàâíåíèå ñ íîâûìè ïåðå-
ìåííûìè ïîëó÷àåòñÿ áîëåå ñëîæíîãî âèäà.  äàëüíåéøåì ïëàíèðóåòñÿ
ðàçâèâàòü ñïåêòðàëüíóþ òåîðèþ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ äëÿ
çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ è äèñêðåòíûõ ÎÐÏ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñîëîäîâíèêîâ Â.Â., Ñåìåíîâ Â.Â. Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâ-
ëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1974, 335ñ.
2. Êðàñêåâè÷ Â.Å., Êëåâöîâ Þ.À. Ñïåêòðàëüíûé ìåòîä ñòðóêòóðíî-ïàðàìåòðè÷åñêîé
èäåíòèôèêàöèè îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè //Âåñòí. ÊÏÈ. Ñåð. Òåõíè-
÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà. Âûï. 5. Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1981, ñ. 10—12.
3. Êðàñêåâè÷ Â.Å., Êëåâöîâ Þ.À. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ îáúåêòîâ ñ
ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè // Êèáåðíåòèêà íà ìîðñêîì òðàíñïîðòå, 1981, âûï. 10,
ñ. 87— 94.
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 33
4. Êëåâöîâ Þ.À. Ñïåêòðàëüíîå îïèñàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè //
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå, 1988, 10, ¹ 3, ñ. 27—31.
5. Êëåâöîâ Þ.À. Àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ êðàåâîé çàäà÷è òðåòüåãî ðîäà // Òàì æå, 2001,
23, ¹ 3, ñ. 40—46.
6. Êëåâöîâ Þ.À. Ìîäåëèðîâàíèå ìíîãîìåðíûõ îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðà-
ìè // Òàì æå, 2012, 34, ¹5, ñ. 20—40.
7. Ëàíêàñòåð Ï. Òåîðèÿ ìàòðèö. Ì.: Íàóêà, 1978, 280 ñ.
8. Ôàðëîó Ñ. Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæå-
íåðîâ. Ì.: Ìèð, 1985, 384 ñ.
9. Êëåâöîâ Þ.À. Ñòðóêòóðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîäåëåé ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðà-
ìåòðàìè // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå, 2016, 38, ¹ 1, ñ. 35—46.
10. Áóòêîâñêèé À.Ã. Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Ì.: Íàóêà,
1979, 224 ñ.
11. Êëåâöîâ Þ.À. Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòà ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, çàäàííîãî íà
íåïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå, 2011, 33, ¹ 1, ñ. 47—55.
Ïîñòóïèëà 27.04.17;
ïîñëå äîðàáîòêè 02.07.17
REFERENCES
1. Solodovnikov, V.V. and Semenov, V.V. (1974), Spektralnaya teoriya nestatsionarnykh
sistem upravleniya [Spectral theory of non-stationary control systems], Nauka, Moscow,
USSR.
2. Kraskevich, V.Ye. and Klevtsov, Yu.A. (1981), “Spectral method of structural-parametric
identification of objects with distributed parameters”, Vestnik KPI, Ser. Tekhnicheskaya
kibernetika, Vol. 5, pp. 10-12.
3. Kraskevich, V.Ye. and Klevtsov, Yu.A. (1981), “Spectral representation of linear objects
with distributed parameters”, Kibernetika na morskom transporte, Vol. 10, pp. 87-94.
4. Klevtsov, Yu.A. (1988), “Spectral description of objects with distributed parameters”,
Elektronnoe modelirovanie, Vol. 10, no. 3, pp. 27-31.
5. Klevtsov, Yu.A. (2001), “Algorithm for modeling a boundary value problem of the third
kind”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 23, no. 3, pp. 40-46.
6. Klevtsov, Yu.A. (2012), “Modeling multidimensional objects with distributed parameters”,
Elektronnoe modelirovanie, Vol. 34, no. 5, pp. 20-40.
7. Lancaster, P. (1978), Teoriya matrits [Matrix theory], Nauka, Moscow, USSR.
8. Farlou, S. (1985), Uravneniya s chastnymi proizvodnymi dlya nauchnykh rabotnikov i
inzhenerov [Partial differential equations for scientists and engineers], Mir, Moscow, USSR.
9. Klevtsov, Yu.A. (2016), “Structural transformations of models of systems with distributed
parameters”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 38, no. 1, pp. 35-46.
10. Butkovskiy, A.G. (1979), Kharakteristiki sistem s raspredelennymi parametrami [Charac-
teristics of distributed systems], Nauka, Moscow, USSR.
11. Klevtsov, Yu.A. (2011), “Modeling the object with distributed parameters defined on a
nonrectangular domain”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 33, no. 1, pp. 47-55.
Received 27.04.17;
after revision 02.07.17
Þ.À. Êëåâöîâ
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
Yu.A. Klevtsov
MODELING OF OBJECTS WITH DISTRIBUTED
PARAMETERS OF THE FOURTH ORDER
Based on the theory of finite integral transformations the author has considered a class of models —
transfer functions of the objects, which description requires partial differential equations. The
rules establishing the correspondence between operations in the space-time and spectral domain
are presented. The examples of modeling the objects with distributed parameters are considered.
K e y w o r d s: finite integral transformations, systems with distributed parameters, transfer func-
tion, mathematical modeling.
ÊËÅÂÖΠÞðèé Àëåêñååâè÷, êàíä. òåõí. íàóê.  1973 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé
èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — îáúåêòû ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ñïåêò-
ðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ, çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ è èäåíòèôèêàöèè.
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-127521 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T20:00:04Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клевцов, Ю.А. 2017-12-23T20:20:29Z 2017-12-23T20:20:29Z 2017 Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка / Ю.А. Клевцов // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 2. — С. 21-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127521 681.5.015 На основании теории конечных интегральных преобразований рассмотрен класс моделей — передаточные функции объектов, для описания которых необходимы дифференциальные уравнения в частных производных. Приведены правила, устанавливающие соответствие между операциями в пространственно-временной и спектральной областях. Рассмотрены примеры моделирования объектов с распределенными параметрами. На основі теорії кінцевих інтегральних перетворень розглянуто клас моделей — передавальні функції об’єктів, для опису яких необхідні диференціальні рівняння у частинних похідних. Наведено правила, які встановлюють відповідність між операціями в просторово-часовій та спектральній областях. Розглянуто приклади моделювання об’єктів з розподіленими параметрами. Based on the theory of finite integral transformations the author has considered a class of models — transfer functions of the objects, which description requires partial differential equations. The rules establishing the correspondence between operations in the space-time and spectral domain are presented. The examples of modeling the objects with distributed parameters are considered. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математическое моделирование и вычислительные методы Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка Modeling of objects with distributed parameters of the fourth order Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка Клевцов, Ю.А. Математическое моделирование и вычислительные методы |
| title | Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка |
| title_alt | Modeling of objects with distributed parameters of the fourth order |
| title_full | Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка |
| title_fullStr | Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка |
| title_full_unstemmed | Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка |
| title_short | Моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка |
| title_sort | моделирование объектов с распределенными параметрами четвертого порядка |
| topic | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| topic_facet | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127521 |
| work_keys_str_mv | AT klevcovûa modelirovanieobʺektovsraspredelennymiparametramičetvertogoporâdka AT klevcovûa modelingofobjectswithdistributedparametersofthefourthorder |