Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения
На примере аналитического решения начально-краевой задачи об излучении акустических волн движущимся плоским поршнем показано нарушение принципа суперпозиции при учете подвижности границ даже для линейного волнового уравнения. Построенное решение для движения поршня, представленного в виде наложения...
Saved in:
| Date: | 2001 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2001
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1276 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения / В.А. Поздеев // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 1. — С. 70-73. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1276 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Поздеев, В.А. 2008-07-24T15:37:07Z 2008-07-24T15:37:07Z 2001 Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения / В.А. Поздеев // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 1. — С. 70-73. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1276 532.5:534.222.2 На примере аналитического решения начально-краевой задачи об излучении акустических волн движущимся плоским поршнем показано нарушение принципа суперпозиции при учете подвижности границ даже для линейного волнового уравнения. Построенное решение для движения поршня, представленного в виде наложения колебаний малой амплитуды на постоянную скорость, описывает известный закон Допплера. Все результаты получены на основе метода нелинейного преобразования времени. На прикладі аналітичного рішення початково-крайової задачі про випромінення акустичних хвиль плоским поршнем, що рухається, показано порушення принципу суперпозиції при врахуванні рухомості меж навіть для лінійного хвильового рівняння. Побудоване рішення для руху поршня, представленого у вигляді накладання коливань малої амплітуди на постійну швидкість, описує відомий ефект Доплера. Всі результати отримано на основі методу нелінійного перетворення часу. By giving an example of the analytical solution of the initial-boundary problem for the acoustic wave radiation by a moving plane piston the violation of the superposition principle taking into account the moving boundaries, even in the case of a linear wave equation, is shown. The solution, developed for the piston motion, represented as the superposition of the low-amplitude oscillations upon the constant velocity, describes the known Doppler effect. All the results are obtained on the base of the method of non-linear time conversion. ru Інститут гідромеханіки НАН України Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения Violation of the solutions' superposition principle for the initial-boundary problem with the moving borders for the wave equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения |
| spellingShingle |
Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения Поздеев, В.А. |
| title_short |
Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения |
| title_full |
Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения |
| title_fullStr |
Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения |
| title_full_unstemmed |
Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения |
| title_sort |
нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения |
| author |
Поздеев, В.А. |
| author_facet |
Поздеев, В.А. |
| publishDate |
2001 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Violation of the solutions' superposition principle for the initial-boundary problem with the moving borders for the wave equation |
| description |
На примере аналитического решения начально-краевой задачи об излучении акустических волн движущимся плоским поршнем показано нарушение принципа суперпозиции при учете подвижности границ даже для линейного волнового уравнения. Построенное решение для движения поршня, представленного в виде наложения колебаний малой амплитуды на постоянную скорость, описывает известный закон Допплера. Все результаты получены на основе метода нелинейного преобразования времени.
На прикладі аналітичного рішення початково-крайової задачі про випромінення акустичних хвиль плоским поршнем, що рухається, показано порушення принципу суперпозиції при врахуванні рухомості меж навіть для лінійного хвильового рівняння. Побудоване рішення для руху поршня, представленого у вигляді накладання коливань малої амплітуди на постійну швидкість, описує відомий ефект Доплера. Всі результати отримано на основі методу нелінійного перетворення часу.
By giving an example of the analytical solution of the initial-boundary problem for the acoustic wave radiation by a moving plane piston the violation of the superposition principle taking into account the moving boundaries, even in the case of a linear wave equation, is shown. The solution, developed for the piston motion, represented as the superposition of the low-amplitude oscillations upon the constant velocity, describes the known Doppler effect. All the results are obtained on the base of the method of non-linear time conversion.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1276 |
| citation_txt |
Нарушение принципа суперпозиции решений начально-краевой задачи с подвижными границами для волнового уравнения / В.А. Поздеев // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 1. — С. 70-73. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pozdeevva narušenieprincipasuperpoziciirešeniinačalʹnokraevoizadačispodvižnymigranicamidlâvolnovogouravneniâ AT pozdeevva violationofthesolutionssuperpositionprinciplefortheinitialboundaryproblemwiththemovingbordersforthewaveequation |
| first_indexed |
2025-11-25T04:29:57Z |
| last_indexed |
2025-11-25T04:29:57Z |
| _version_ |
1850503741318365184 |
| fulltext |
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 70 { 73��� 532.5:534.222.2��������� �������� ������������ ���������������-������� ������ � ������������������� ��� ��������� ����������. �. ��������áâ¨âãâ ¨¬¯ã«ìáëå ¯à®æ¥áᮢ ¨ â¥å®«®£¨© ��� �ªà ¨ë, �¨ª®« ¥¢�®«ã祮 29.05.2000� ¯à¨¬¥à¥ «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ç «ì®-ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ®¡ ¨§«ã票¨ ªãáâ¨ç¥áª¨å ¢®« ¤¢¨¦ã騬áï ¯«®á-ª¨¬ ¯®à襬 ¯®ª § ® àã襨¥ ¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨ ¯à¨ ãç¥â¥ ¯®¤¢¨¦®á⨠£à ¨æ ¤ ¦¥ ¤«ï «¨¥©®£®¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï. �®áâ஥®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï ¤¢¨¦¥¨ï ¯®àèï, ¯à¥¤áâ ¢«¥®£® ¢ ¢¨¤¥ «®¦¥¨ï ª®«¥¡ ¨©¬ «®© ¬¯«¨âã¤ë ¯®áâ®ïãî ᪮à®áâì, ®¯¨áë¢ ¥â ¨§¢¥áâë© § ª® �®¯¯«¥à . �ᥠ१ã«ìâ âë ¯®«ãç¥ë ®á®¢¥ ¬¥â®¤ ¥«¨¥©®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢à¥¬¥¨.� ¯à¨ª« ¤÷ «÷â¨ç®£® à÷è¥ï ¯®ç ⪮¢®-ªà ©®¢®ù § ¤ ç÷ ¯à® ¢¨¯à®¬÷¥ï ªãáâ¨ç¨å 墨«ì ¯«®áª¨¬ ¯®àè-¥¬, é® àãå õâìáï, ¯®ª § ® ¯®àãè¥ï ¯à¨æ¨¯ã á㯥௮§¨æ÷ù ¯à¨ ¢à å㢠÷ àã宬®áâ÷ ¬¥¦ ¢÷âì ¤«ï «÷÷©®£®å¢¨«ì®¢®£® à÷¢ïï. �®¡ã¤®¢ ¥ à÷è¥ï ¤«ï àãåã ¯®àèï, ¯à¥¤áâ ¢«¥®£® ã ¢¨£«ï¤÷ ª« ¤ ï ª®«¨¢ ì ¬ -«®ù ¬¯«÷â㤨 ¯®áâ÷©ã 袨¤ª÷áâì, ®¯¨áãõ ¢÷¤®¬¨© ¥ä¥ªâ �®¯«¥à . �á÷ १ã«ìâ ⨠®âਬ ® ®á®¢÷ ¬¥â®¤ã¥«÷÷©®£® ¯¥à¥â¢®à¥ï ç áã.By giving an example of the analytical solution of the initial-boundary problem for the acoustic wave radiation by amoving plane piston the violation of the superposition principle taking into account the moving boundaries, even in thecase of a linear wave equation, is shown. The solution, developed for the piston motion, represented as the superposition ofthe low-amplitude oscillations upon the constant velocity, describes the known Doppler e�ect. All the results are obtainedon the base of the method of non-linear time conversion.��������� «¨¥©ëå § ¤ ç å ªãá⨪¨, ¢ ᨫ㠬 «®-á⨠¬¯«¨âã¤ë ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¢®§¬ãé îé¨å £à -¨æ, £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï § ¤ îâáï ¨å 䨪á¨-஢ ®¬ ¯®«®¦¥¨¨ [1]. �ਠà¥è¥¨¨ «¨¥©ë墮«®¢ëå § ¤ ç íää¥ªâ¨¢ë¬ ï¢«ï¥âáï ¬¥â®¤ áã-¯¥à¯®§¨æ¨¨ à¥è¥¨©, ¥¯à¨¥¬«¥¬ë© ¤«ï ¥«¨¥©-ëå § ¤ ç [2]. �â®â ⥧¨á ¥ âॡã¥â ¤®¯®«¨-⥫ìëå ¯®ïᥨ© ¤«ï â¥å ªà ¥¢ëå § ¤ ç, ¢ ª®-â®àëå ãç¨âë¢ îâáï ª ª ¥«¨¥©®áâì á।ë, â ª¨ ¥«¨¥©®áâì £à ¨çëå ãá«®¢¨©. �¥¥¥ ®ç¥-¢¨¤ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ä ªâ àã襨ï á㯥௮-§¨æ¨¨ ¢ ç «ì®-ªà ¥¢ëå § ¤ ç å á ¯®¤¢¨¦ë-¬¨ £à ¨æ ¬¨ ¤«ï «¨¥©®£® ¢®«®¢®£® ãà ¢¥-¨ï, ¯®áª®«ìªã «¨¥©®áâì ¯®á«¥¤¥£® ¯®§¢®«ï¥â¨áª âì à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥ «î¡®© áã¬¬ë ¢®«-®¢ëå à¥è¥¨©. �¤ ª® § ¤ ¨¥ £à ¨ç®£® ãá«®-¢¨ï ⥪ã饬 ¯®«®¦¥¨¨ ¤¢¨¦ã饩áï £à ¨æ뤥« ¥â § ¤ çã ¥«¨¥©®©.� ª, ¢ à ¡®â¥ [3] ®á®¢¥ ¨§¢¥á⮣® à¥è¥-¨ï �¥©«®à [4] § ¤ ç¨ ® à áè¨à¥¨¨ á ¯®áâ®ï®©áª®à®áâìî áä¥àë ã«¥¢®£® ç «ì®£® à ¤¨ãá ¯®-á।á⢮¬ ¯àאַ£® à áç¥â ¯®ª § ® àã襨¥¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨. �¬¥á⥠á ⥬, ¢ ¤à㣮©à ¡®â¥ í⮣® ¦¥ ¢â®à [5] ã⢥ত ¥âáï, çâ® ç -áâ®â á«¥¤®¢ ¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¤ ¢«¥¨ï ¤¢¨¦ã-饩áï á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî £à ¨æ¥ ¨ ç áâ®-â á«¥¤®¢ ¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ â®çª¥ ¢®«®¢®© §®ë
®¤¨ ª®¢ . �® áã⨠¤¥« , ⥬ á ¬ë¬ ¯à¨¨¬ ¥â-áï ¢ë¯®«¥¨¥ ¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨. �¬¥á⥠á⥬, ª ª ¨§¢¥áâ® ¨§ 䨧¨ª¨ [6], ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ c§ ª®®¬ �®¯¯«¥à , ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¨áâ®ç¨ª ¯¥à¨-®¤¨ç¥áª¨å ¢®« ª ¥¯®¤¢¨¦®¬ã ¯à¨¥¬¨ªã á®®â-¢¥âáâ¢ã¥â 㢥«¨ç¥¨î ç áâ®âë ᨣ « .� á¢ï§¨ á ¢ëè¥áª § ë¬, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¥®¡-室¨¬ë¬ ¡®«¥¥ ¢¨¬ â¥«ì® à áᬮâà¥âì ¢®¯à®á àãè¥¨ï ¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨ ¢ ç «ì®-ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ á ¯®¤¢¨¦®© £à ¨æ¥© ¤«ï «¨¥©-®£® ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï.1. �������������� ���������� ��-����� áᬮâਬ £¥¥à¨à®¢ ¨¥ ¢®«ë ¤ ¢«¥¨ï ¥-áâ 樮 à® ¤¢¨¦ã騬áï ¢ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨯«®áª¨¬ ¯®à襬. �®« £ ï, ç⮠᪮à®áâì ¤¢¨¦¥-¨ï ¯®àèï ¬ « ¯® ®â®è¥¨î ª ᪮à®á⨠§¢ã-ª ¢ ¦¨¤ª®áâ¨, ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¤®áâ â®ç® ¢¥«¨ª¨,¡ã¤¥¬ ®¯¨áë¢ âì ¤¢¨¦¥¨¥ áà¥¤ë «¨¥©ë¬ ¢®«-®¢ë¬ ãà ¢¥¨¥¬:@2�@x2 � 1C20 @2�@t2 = 0; (1) ª¨¥¬ â¨ç¥áª®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ § ¤ ¢ âì ⥪ã饬 ¯®«®¦¥¨¨ ¤¢¨¦ã饩áï £à ¨æë ª®â ª-70 c
�. �. �®§¤¥¥¢, 2001
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 70 { 73â : x = X(t);@�@x = vp(t): (2)�¤¥áì � { ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ ¢®«®¢®£® ¤¢¨¦¥-¨ï ¦¨¤ª®áâ¨; C0 { ¥¢®§¬ãé¥ ï ᪮à®áâì §¢ã-ª ; t { ¢à¥¬ï; x { «¨¥© ï ª®®à¤¨ â , ®âáç¥â ª®-â®à®© ç¨ ¥âáï ®â ¯¥à¢® ç «ì®£® ¯®«®¦¥¨ï£à ¨æë ª®â ªâ .�®«®¢ë¥ ¯®«ï ᪮à®á⨠¨ ¤ ¢«¥¨ï á¢ï§ ë ᯮâ¥æ¨ «®¬ ᪮à®á⥩ �(x; t) ¨§¢¥áâ묨 á®®â-®è¥¨ï¬¨ v(x; t) = @�@x ;P (x; t) = ��0 @�@t ; (3)£¤¥ �0 { ¥¢®§¬ãé¥ ï ¯«®â®áâì á।ë. �«ï®¯à¥¤¥«¥®áâ¨ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¡ã¤¥¬ áç¨â âìã«¥¢ë¬¨: � = @�@t = 0; t = 0: (4)�®à४â®áâì ¯®áâ ®¢ª¨ ç «ì®-ªà ¥¢®© § -¤ ç¨ á ¯®¤¢¨¦®© £à ¨æ¥© (1) { (4) ¡ë« à áᬮ-âॠ¢ à ¡®â å [3 { 7].2. ����� ��� ��������������������� �������¥è¥¨¥ ¯®áâ ¢«¥®© § ¤ ç¨ (1) { (4) ¡ã¤¥¬ ¨á-ª âì ¬¥â®¤®¬ ¥«¨¥©®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢à¥¬¥-¨ [8, 9], ®á®¢ë ª®â®à®£® ¡ë«¨ § «®¦¥ë ¢ à ¡®-â å [4, 10]. � ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ ¬¥â®¤®¬ § ¯¨-襬 à¥è¥¨¥ ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ¢¨¤¥�(x; t) = F (t0); t0 = t � x=C0: (5)�¤¥áì t0 { ¢®«®¢®© à£ã¬¥â; F { ¨áª®¬ ï äãª-æ¨ï ¢®«®¢®£® à£ã¬¥â , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¨§ £à ¨ç-®£® ãá«®¢¨ï (2).�®¤áâ ¢«ïï à¥è¥¨¥ (5) ¢ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (2),¯®«ãç ¥¬ á®®â®è¥¨¥ ¢¨¤ @�(t �X(t)=C0)@(t �X(t)=C0) = �C0vp(t): (6)�«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (6) ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¥-®¡à §®¢ ¨¥¬ ¢à¥¬¥¨t�X(t)=C0 = �; (7) å®¤ï ¨§ ª®â®à®£® t ¢ ¬ ¢¨¤¥, ¯®«ãç ¥¬t = w(� ); (8)
£¤¥ w { ¥ª®â®à ï äãªæ¨ï ®¤®£® à£ã¬¥â . �à¨ãá«®¢¨¨, çâ® äãªæ¨ï X(t) ï¥âáï ¥¯à¥à뢮©,¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ¥à ¢¥á⢠�X(t)=(C0t)�2�1 ¬®¦-® ã⢥ত âì, çâ® à¥è¥¨¥ (8) ¥¤¨á⢥®.� ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨© (7) ¨ (8) ãà ¢¥¨¥ (6)¯¥à¥¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥@�(� )@� = �C0vp(w(� )): (9)�⥣à¨àãï á®®â®è¥¨¥ (9) ¨ ¯¥à¥å®¤ï ¢ ¯®«ã-祮¬ ¨â¥£à «¥ ª ¢®«®¢®¬ã à£ã¬¥âã, ¨§ ¢ë-à ¦¥¨ï (5) ¯®«ãç ¥¬�(x; t) = �C0 t0Z0 vp�w(� )�d�;v(x; t) = vp�w(t0)�;P (x; t) = �0C0vp�w(t0)�: (10)�®áâ஥®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (10) 㤮¢«¥â¢®àï¥â¢®«®¢®¬ã ãà ¢¥¨î (1) ª ª äãªæ¨ï ¢®«®¢®£® à£ã¬¥â , ¨ £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î (3), ¯®áª®«ìªã¨§ ¥£® ©¤¥ äãªæ¨ï F (t0).�áâ ®¢¨¬áï à¥è¥¨¨ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣®ãà ¢¥¨ï (7), ®¯à¥¤¥«ïî騬áï á®®â®è¥¨-¥¬ (8). �«ï äãªæ¨¨ X(t), ¯à¥¤áâ ¢«¥®© ¢ ¥-ª®â®à®¬ á¯¥æ¨ «ì®¬ ¢¨¤¥, ®® ¬®¦¥â ¡ëâì ¥¯®-á।á⢥® ®¯à¥¤¥«¥® ª ª à¥è¥¨¥ «£¥¡à ¨ç¥-᪮£® ãà ¢¥¨ï (7). �᫨ äãªæ¨ï X(t) ¯à¥¤áâ -¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ á⥯¥®£® àï¤ , â® à¥è¥¨¥ í⮣®ãà ¢¥¨ï ¯à®¨á室¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã« -¬¨ ®¡à 饨ï á⥯¥ëå à冷¢ [11]. � ª®¥æ, ¯à¨¢ë¯®«¥¨¨ ãá«®¢¨ï �X(t)=(C0t)�2�1 ¬®¦® ¢®á-¯®«ì§®¢ âìáï ¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨-¦¥¨© [8]:w0(� ) = �;w1(� ) = � +X(� )=C0;w2(� ) = � + "1 + 1C0 dX(� )d� #X(� )C0 : (11)�®£¤ ¨§ (10) ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯®«ãç ¥¬ á«¥-¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¢®«®¢®© §®¥:P (x; t) = �0C0"vp(t0) + X(t0)C0 dvp(t0)dt0 #: (12)� ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ § ¤ ¨¨ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï 䨪á¨à®¢ ®¬ ¯®«®¦¥¨¨ £à ¨æë@�@x = vp(t); x = 0;�. �. �®§¤¥¥¢ 71
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 70 { 73à¥è¥¨¥ ç «ì®-ªà ¥¢®© «¨¥©®© § ¤ ç¨ ¨¬¥¥â¢¨¤ �(x; t) = �C0 t0Z0 vp(� )d�;v(x; t) = vp(t0);P (x; t) = �0C0vp(t0): (13)�§ áà ¢¥¨ï à¥è¥¨© (10) ¨ (13) ¢¨¤®, çâ® ¯à¨¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¬¯«¨â㤥 ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¯®àè-ï ¥«¨¥©®¥ à¥è¥¨¥ (10) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ «¨¥©-®¥ (13).3. ��������� �������� �������-����� ������� ������ � ������-��� ���������«ï £«ï¤®á⨠àã襨¥ ¯à¨æ¨¯ á㯥௮-§¨æ¨¨ ¯à®¤¥¬®áâà¨à㥬 ¯à¨¬¥à¥, ¤®¯ã᪠î-饬 ¯®áâ஥¨¥ â®ç®£® à¥è¥¨ï. �ਬ¥¬ á«¥¤ã-î騩 § ª® ¤¢¨¦¥¨ï ¯®àèï:X(t) = v0t+ a0t2=2;vp(t) = v0 + a0t: (14)� í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7) ¨¬¥¥â ¢¨¤w(t0) = C0a0 (1 �M0)��n1� h1� 2a0t0C0(1�M0)2i1=2o; (15)£¤¥ M0=v0=C0.�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨¥ (15) ¢ à¥è¥¨¥ (10), ¯®-«ãç ¥¬ à¥è¥¨¥ ç «ì®-ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ á ¯®-¤¢¨¦®© £à ¨æ¥©, ¤¢¨¦ã饩áï ¯® § ª®ã (14):�v(x; t) = �P (x; t) == 1� (1�M0)h1� 2a0t0C0(1�M0)2 i1=2; (16)£¤¥ �v=v=C0; �P =P=(�0C20 ). �ਨ¬ ï ¢ (16) ¯®á«¥-¤®¢ â¥«ì® a0=0 ¨ v0=0, á ãç¥â®¬ ¯®¤¢¨¦®áâ¨£à ¨æ ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥 à¥è¥¨ï:�P (x; t)=M0H(t0) ¯à¨ a0=0;�P (x; t)=1�"1� 2a0t0C0 #1=2 ¯à¨ v0=0: (17)� ¯¥à¢®¬ á®®â®è¥¨¨ (17) H(t) { ¥¤¨¨ç ïäãªæ¨ï �¥¢¨á ©¤ . � ᮮ⢥âá⢨¨ á ¯à¨æ¨-¯®¬ á㯥௮§¨æ¨¨, à¥è¥¨¥ ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ ¯®àèï
¯® § ª®ã (14) ¯®«ãç ¥¬ ¯ã⥬ á㬬¨à®¢ ¨ï ¢¨¤ à¥è¥¨© (17):�P (x; t) = M0 + 1� "1� 2a0t0C0 #1=2: (18)�«ï ¬ «ëå § 票© ¢à¥¬¥¨ à¥è¥¨¥ (16) ¬®-¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¯¥à¢ë¬¨ ç«¥ ¬¨ àï¤ �¥©«®à : �P (x; t) = M0 + a0t0(1�M0)C0��"1� 2a0t02C0(1�M0)2#1=2: (19)� ª ¢¨¤® ¨§ áà ¢¥¨ï â®ç®£® à¥è¥¨ï § ¤ -ç¨ (16), ¥£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï (19) ¨ à¥è¥¨ï (18), ¯®-«ã祮£® á㯥௮§¨æ¨¥© à¥è¥¨© (18), ®¨ ¥ á®-¢¯ ¤ îâ. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨¥ ¢ë¯®«ï¥âáï.�«ï ¯®«®âë ¨§«®¦¥¨ï ¯à¨¢¥¤¥¬ à¥è¥¨¥ ¯®«-®áâìî «¨¥©®© § ¤ ç¨ ¤«ï § ª® ¤¢¨¦¥¨ï¯®àèï (14): �P (x; t) =M0 + a0t0=C0; (20)ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 á㯥௮§¨æ¨¥© à¥-襨©. �⬥⨬, çâ® à¥è¥¨¥ (20) ¥ ᮢ¯ ¤ ¥âá à¥è¥¨¥¬, ¯®«ãç¥ë¬ ¯à¨ ãç¥â¥ ¯®¤¢¨¦®áâ¨£à ¨æë, ¤ ¦¥ ¤«ï ¬ «ëå § 票© ¢à¥¬¥¨ (19).4. ��������� ����� ������������ ���������� �������� �����-��� ������� áᬮâਬ § ª® ¤¢¨¦¥¨ï ¯®àèïX(t) = v0t+X1(t);vp(t) = v0 + v1(t);£¤¥ v1(t)=dX1=dt; jX1=(v0t)j�1. �®£¤ £à ¨ç®¥ãá«®¢¨¥ ¯®¤¢¨¦®© £à ¨æ¥ ¬®¦® § ¯¨á âì ª ªx = X(t) = v0t;@�@x = vp(t) = v0 + v1(t): (21)� í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥-¨ï (7) ¨¬¥¥â ¢¨¤w(t0) = t0=(1�M0); à¥è¥¨¥ ç «ì®-ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ {�P (x; t) = M0 + a0t0C0(1 �M0) : (22)72 �. �. �®§¤¥¥¢
ISSN 1028- 7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢iᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 70 { 73� ¬¥â¨¬, çâ® à¥è¥¨¥ (22) ®â«¨ç ¥âáï ®â à¥è¥-¨ï «¨¥©®© § ¤ ç¨ (20), ®, ª ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¦¨-¤ âì, ¡«¨§ª® ª à¥è¥¨î (19).�¥¯¥àì à áᬮâਬ § ª® ¤¢¨¦¥¨ï ¯®àèï ᯮáâ®ï®© ᪮à®áâìî ¯à¨ «®¦¥¨¨ £ ମ¨ç¥-áª¨å ª®«¥¡ ¨© ¬ «®© ¬¯«¨âã¤ë:X(t) = v0t+X1 sin!0t ¯à¨ (X1=X) � 1: (23)� í⮬ á«ãç ¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®¤¢¨¦®©£à ¨æ¥ ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥x = X(t) = v0t;@�@x = vp(t) = v0 + v1 cos !0t; (24)£¤¥ v0 { ᪮à®áâì ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ¯¥à¥¬¥é¥¨ï¯®àèï; !0 { ªà㣮¢ ï ç áâ®â ¬ «ëå ª®«¥¡ ¨©¯®¢¥àå®á⨠¯®àèï; v1 { ª®«¥¡ ⥫ì ï ᪮à®áâì.� í⮬ á«ãç ¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® w(t0)= t0=(1�M0) ¨,¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã«®© (10), à¥è¥¨¥ § ¤ 稯ਨ¬ ¥â ¢¨¤�P (x; t) = M0 +M1 cos!1t0; (25)£¤¥ !1=!0=(1�M0); M0=v0=C0; M1=v1=C0;�P =P=(�0C20).�®à¬ã« (25) ®¯¨áë¢ ¥â ¨§¢¥áâë© íä䥪â�®¯¯«¥à . � ¬¥â¨¬, çâ® à¥è¥¨¥ «¨¥©®© § ¤ -ç¨ ¤«ï § ª® ¤¢¨¦¥¨ï ¯®àèï ¢¨¤ (23) ¨¬¥¥â¢¨¤ �P (x; t) = M0 +M1 cos!0t0: (26)�§ áà ¢¥¨ï ¢ëà ¦¥¨© (25) ¨ (26) ¢¨¤®, çâ® «¨-¥© ï § ¤ ç ¥ ¤ ¥â ¨§¬¥¥¨ï ç áâ®âë á«¥¤®¢ -¨ï ¯ã«ìá 権 ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¢®«®¢®© §®¥ ¯® áà ¢-¥¨î á ç áâ®â®© ¤¢¨¦ã饩áï £à ¨æ¥ (¨¬¥® í⮬ áâ ¨¢ ¥â ¢â®à à ¡®âë [5]).�«ï 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ¢®« íä䥪â �®¯¯«¥à ¯à®-¤¥¬®áâà¨à®¢ ¢ [12]. � «®£¨çë¥ à¥§ã«ìâ âë¥âà㤮 ¯®«ãç¨âì ¨ ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ¢®«.�����������à ⪮ ¯¥à¥ç¨á«¨¬ ¯®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë:� ¬¥â®¤®¬ ¥«¨¥©®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢à¥¬¥-¨ ¯®«ã祮 à¥è¥¨¥ ç «ì®-ªà ¥¢®© § ¤ -ç¨ á § ¤ ¨¥¬ ¯®¤¢¨¦®© £à ¨æ¥ ª¨¥¬ -â¨ç¥áª®£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ¥áâ 樮- à® ¤¢¨¦ã饣®áï ¯® ¯à®¨§¢®«ì®¬ã § ª®ã¯®àèï;� ¯®ª § ®, çâ® ãç¥â ¯®¤¢¨¦®á⨠£à ¨æë¯à¨¢®¤¨â ª àãè¥¨î ¯à¨æ¨¯ á㯥௮§¨-樨 à¥è¥¨© § ¤ ç¨ (¤ ¦¥ ¯à¨ à áᬮâ२¨
«¨¥©®£® ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï ¨ ¢ ¯à¥¤¯®«®-¦¥¨¨, çâ® ®á®¢®© § ª® ¤¢¨¦¥¨ï « -£ îâáï ¬ «ë¥ ¢®§¬ã饨ï);� à¥è¥¨¥, ¯®«ã祮¥ ¯à¨ «®¦¥¨¨ ¯®áâ®-ïãî ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥¨ï ¯®àèï ª®«¥¡ ¨©¬ «®© ¬¯«¨âã¤ë, ®¯¨áë¢ ¥â íä䥪â �®¯¯«¥-à , çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ª®à४â®áâì ¬ ⥬ â¨-ç¥áª®© ¯®áâ ®¢ª¨ ¨ ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ¢®«®-¢®© § ¤ ç¨ á ¯®¤¢¨¦®© £à ¨æ¥©.��������������¢â®à ¢ëà ¦ ¥â £«ã¡®ªãî ¡« £®¤ à®áâì ª -¤¥¬¨ªã ��� �ªà ¨ë ¯à®ä¥áá®àã �. �. �à¨ç¥ª®¨ ¤®ªâ®àã 䨧.-¬ â. 㪠¯à®ä¥áá®àã �. �. �¥«¥-§®¢ã § ¯®áâ®ï®¥ ¢¨¬ ¨¥ ª í⮩ à ¡®â¥ ¨ ®¡áã-¦¤¥¨¥ १ã«ìâ ⮢, ¯®§¢®«¨¢è¥¥ £«ã¡¦¥ ¯®ïâì¨å 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«.1. �á ª®¢¨ç �. �. �¡é ï ªãá⨪ .{ �.: � 㪠,1973.{ 584 á.2. � થ¢¨ç �. �. �¥®à¨ï í«¥ªâà® ªãáâ¨ç¥áª¨å ¯à¥-®¡à §®¢ ⥫¥©. �®«®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë.{ �.: � 㪠,1973.{ 400 á.3. �àã⨪®¢ �. �. � £à ¨æ å ¯à¨¬¥¨¬®á⨠à¥è¥-¨© ¢®«®¢®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ®¡« áâïå á ¯®¤¢¨¦ë-¬¨ £à ¨æ ¬¨ ¢ § ¤ ç å ¨¬¯ã«ìᮩ £¨¤à®¤¨ ¬¨-ª¨ ¨ ªãá⨪¨ // �ªãáâ. ¦.{ 1996.{ 42, N4.{ �. 534{540.4. Taylor Y. The airwave surrounding and expandingsphere // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.{ 1946.{A186.{ P. 273{292.5. �àã⨪®¢ �. �., �®¯ ⥢ �. �. �ᮡ¥®á⨠£¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¨¬¯ã«ìáëå ¯à®-æ¥áᮢ ¢ ᦨ¬ ¥¬®© á।¥ ¯à¨ ¬®£®ªà ⮬(¯ã«ìá¨àãî饬) § ª®¥ ¢¢®¤ í¥à£¨¨ // �¨áì¬ ¢ ���.{ 1999.{ 25, ¢ë¯. 14.{ �. 34{41.6. �ã嫨£ X. �¯à ¢®ç¨ª ¯® 䨧¨ª¥.{ �.: �¨à,1982.{ 520 á.7. �®§¤¥¥¢ �. �. �«¨ï¨¥ ¯®¤¢¨¦®á⨠¢®§¬ãé î-饩 £à ¨æë ¨ ¥«¨¥©®á⨠áà¥¤ë ¢®«®¢®¥¯®«¥, ¢ë§¢ ®¥ ¥áâ 樮 àë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬ ¯«®á-ª®£® ¯®àèï // �ªãáâ. ¦.{ 1995.{ 41, N 1.{ �. 164{165.8. �®§¤¥¥¢ �. �. �¥â®¤ ¥«¨¥©®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¢à¥¬¥¨ ¢ ªà ¥¢ëå § ¤ ç å ⥮ਨ ¯®â¥æ¨ « ᯮ¤¢¨¦ë¬¨ £à ¨æ ¬¨ ¤«ï «¨¥©®£® ¢®«®¢®£®ãà ¢¥¨ï // ���.{ 1991.{ 55, N 6.{ �. 1055{1058.9. �®§¤¥¥¢ �. �. �¥áâ 樮 àë¥ ¢®«®¢ë¥ ¯®«ï ¢®¡« áâïå á ¯®¤¢¨¦ë¬¨ £à ¨æ ¬¨.{ �.: � ãª.¤ã¬ª , 1992.{ 244 á.10. �¥áª à ¢ ©ë© �. �., �®§¤¥¥¢ �. �. �®«®¢ë¥§ ¤ ç¨ ® à áè¨à¥¨¨ ¯®«®á⨠¢ ¦¨¤ª®á⨠á ãç¥-⮬ ª®¥ç®á⨠¯¥à¥¬¥é¥¨ï £à ¨æ // �¨§¨ª®-â¥å¨ç¥áª¨¥ ¯à®æ¥ááë ¯à¨ ¢ë᮪®¢®«ì⮬ à §àï-¤¥ ¢ ¦¨¤ª®áâ¨.{ �.: � ãª. ¤ã¬ª , 1980.{ �. 88{97.11. �ãࢨæ �., �ãà â �. �¥®à¨ï äãªæ¨©.{ �.: � ã-ª , 1968.{ 648 á.12. �®¢ç¥ª® �. �., �®¢ «¥¢ �. �., �®§¤¥¥¢ �. �. �á®-¡¥®á⨠£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¢ë-᮪®¢®«ì⮣® í«¥ªâà¨ç¥áª®£® à §àï¤ ¢ ¦¨¤ª®á⨯ਠ¤¢ã娬¯ã«ìᮬ § ª®¥ ¢¢®¤ ¬®é®á⨠//�¨áì¬ ¢ ���.{ 1997.{ 23, ¢ë¯. 9.{ �. 58{61.�. �. �®§¤¥¥¢ 73
|