Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений
Получена формула для нахождения коэффициента эксцесса симметричных засоренных гауссовых распределений. Исследована зависимость коэффициента эксцесса от параметров модели засоренных распределений. Рассмотрены примеры засорения равномерным и логистическим распределениями. Полученные результаты позволя...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127633 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 4. — С. 19-30. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859725018387185664 |
|---|---|
| author | Красильников, А.И. |
| author_facet | Красильников, А.И. |
| citation_txt | Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 4. — С. 19-30. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Получена формула для нахождения коэффициента эксцесса симметричных засоренных гауссовых распределений. Исследована зависимость коэффициента эксцесса от параметров модели засоренных распределений. Рассмотрены примеры засорения равномерным и логистическим распределениями. Полученные результаты позволяют анализировать негауссовы случайные величины, описываемые моделью засоренных гауссовых распределений.
Отримано формулу для знаходження коефіцієнта ексцесу симетричних забруднених гаусових розподілів. Досліджено залежність коефіцієнта ексцесу від параметрів моделі забруднених розподілів. Розглянуто приклади забруднення рівномірним та логістичним розподілами. Отримані результати дозволяють аналізувати негаусови випадкові величини, які описуються моделлю забруднених гаусових розподілів.
A formula for finding the kurtosis coefficient of symmetric contaminated Gaussian distributions has been obtained. The dependence of the kurtosis coefficient on the parameters of the model of contaminated distributions has been studied. Examples of contaminating with uniform and logistic distributions have been considered. The obtained results allow the author to analyze non-Gaussian random variables described by the model of contaminated Gaussian distributions.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:05:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.213:621.391
À.È. Êðàñèëüíèêîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò òåõíè÷åñêîé òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, óë. Æåëÿáîâà, 2à,
òåë. (044) 4532857, å-mail: tangorov@ukr.net)
Àíàëèç êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà
çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé
Ïîëó÷åíà ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà ñèììåòðè÷íûõ çàñîðåííûõ
ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé. Èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà îò ïàðà-
ìåòðîâ ìîäåëè çàñîðåííûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ðàññìîòðåíû ïðèìåðû çàñîðåíèÿ ðàâíîìåð-
íûì è ëîãèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèÿìè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò àíàëèçèðî-
âàòü íåãàóññîâû ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïèñûâàåìûå ìîäåëüþ çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ
ðàñïðåäåëåíèé.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: çàñîðåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîäåëü Òüþêè—Õüþáåðà, ñìåñè ðàñïðå-
äåëåíèé, êîýôôèöèåíò ýêñöåññà, êóìóëÿíòíûé àíàëèç.
Îòðèìàíî ôîðìóëó äëÿ çíàõîäæåííÿ êîåô³ö³ºíòà åêñöåñó ñèìåòðè÷íèõ çàáðóäíåíèõ ãàó-
ñîâèõ ðîçïîä³ë³â. Äîñë³äæåíî çàëåæí³ñòü êîåô³ö³ºíòà åêñöåñó â³ä ïàðàìåòð³â ìîäåë³ çà-
áðóäíåíèõ ðîçïîä³ë³â. Ðîçãëÿíóòî ïðèêëàäè çàáðóäíåííÿ ð³âíîì³ðíèì òà ëîã³ñòè÷íèì
ðîçïîä³ëàìè. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè äîçâîëÿþòü àíàë³çóâàòè íåãàóñîâè âèïàäêîâ³ âåëè-
÷èíè, ÿê³ îïèñóþòüñÿ ìîäåëëþ çàáðóäíåíèõ ãàóñîâèõ ðîçïîä³ë³â.
Ê ë þ ÷ î â ³ ñ ë î â à: çàáðóäíåí³ ðîçïîä³ëè, ìîäåëü Òüþêè—Õüþáåðà, ñóì³ø³ ðîçïîä³ë³â,
êîåô³ö³ºíò åêñöåñó, êóìóëÿíòíèé àíàë³ç.
Ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîäû
ïàðàìåòðè÷åñêîé ñòàòèñòèêè [1—3], îñíîâàííûå íà àïðèîðíûõ ìîäåëÿõ
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x0( ) èññëåäóåìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àé-
íûõ ïðîöåññîâ. Îäíà èç îñíîâíûõ ïðîáëåì ýòèõ ìåòîäîâ — âûáîð àäåê-
âàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x0( ), òàê êàê åå îòëè÷èå îò ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ), ñîîòâåòñòâóþùåé èìåþùèìñÿ ðåàëüíûì äàííûì,
ñíèæàåò äîñòîâåðíîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.
Îòêëîíåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) îò ìîäåëè F x0( ) ìîãóò áûòü
îáóñëîâëåíû äâóìÿ ïðè÷èíàìè. Âî-ïåðâûõ, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( )
íàáëþäàåìîé âûáîðêè õîòÿ áû íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïðèíÿòîé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 4 19
� À.È. Êðàñèëüíèêîâ, 2017
ìîäåëè F x0( ). Âî-âòîðûõ, ê ýëåìåíòàì âûáîðêè, èìåþùèì ðàñïðåäåëåíèå
F x0( ), äîáàâëÿþòñÿ äðóãèå ýëåìåíòû, íàçûâàåìûå àíîìàëüíûìè íàáëþäå-
íèÿìè [3], ñ ðàñïðåäåëåíèåì F x1( ).
Äëÿ ó÷åòà îòêëîíåíèé çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäàåìûõ íà ïðàê-
òèêå ðåàëüíûõ äàííûõ îò ìîäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óäîáíî ïðèìåíÿòü
ìîäåëè çàñîðåííûõ (çàãðÿçíåííûõ) ðàñïðåäåëåíèé, êîòîðûå îïðåäåëÿþò-
ñÿ ïî ôîðìóëå [4—6]
F x F x F x( ) ( ) ( ) ( )� � �1 0 1� � , (1)
ãäå F x1( ) — çàñîðÿþùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ; ��[ , ]0 1 — êîýôôèöèåíò
çàñîðåíèÿ.
Ìîäåëü (1) âïåðâûå ðàññìîòðåë Òüþêè [4], ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ F x0( ), F x1( ) ãàóññîâûìè ñ îäèíàêîâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæè-
äàíèÿìè è ðàçëè÷íûìè äèñïåðñèÿìè. Õüþáåð [5] èñïîëüçîâàë ìîäåëü (1) ñ
ïðîèçâîëüíûìè ñèììåòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ F x0( ), F x1( ) è
îäèíàêîâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè. Ìîäåëü (1), êîòîðóþ ÷àñòî
íàçûâàþò ìîäåëüþ Òüþêè—Õüþáåðà, øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â ðîáàñòíîé
ñòàòèñòèêå [2—8] ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè îöåíîê ðàçëè÷íûõ ïà-
ðàìåòðîâ, ïðåæäå âñåãî ïàðàìåòðîâ ñäâèãà è ìàñøòàáà, ê çàñîðåíèþ àï-
ðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F x0( ), à òàêæå ïðè ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêå
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ [9—11].
Ìîäåëü Òüþêè—Õüþáåðà ïîçâîëÿåò, âàðüèðóÿ äèñïåðñèåé çàñîðÿþ-
ùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ è êîýôôèöèåíòîì çàñîðåíèÿ, èçìåíÿòü â øèðîêèõ
ïðåäåëàõ ïðîòÿæåííîñòü õâîñòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) ïî ñðàâíåíèþ ñ
ðàñïðåäåëåíèåì F x0( ). Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè âëèÿíèÿ çàñîðÿþùåãî
ðàñïðåäåëåíèÿ F x1( ) è îòëè÷èÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) îò ôóíêöèè
F x0( ) óäîáíî èñïîëüçîâàòü êîýôôèöèåíò ýêñöåññà ìîäåëè (1). Ñðåäè ðà-
áîò, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû ðîáàñòíîé ñòàòèñòèêè [2—11],
ëèøü â ðàáîòå [3] ïðèâåäåíû îáùèå ôîðìóëû äëÿ ìîìåíòîâ ìîäåëè (1), à
ôîðìóëà äëÿ êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà âîîáùå îòñóòñòâóåò.
Ìîäåëü Òüþêè—Õüþáåðà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìîäåëåé êîíå÷-
íûõ ñìåñåé ðàñïðåäåëåíèé [12, 13], ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ è ïðèìåíå-
íèÿ êîòîðûõ ñèñòåìàòèçèðîâàíû â ðàáîòàõ [13—16], ñîäåðæàùèõ îáøèð-
íûå áèáëèîãðàôèè. Â óêàçàííûõ ðàáîòàõ ìîìåíòû ñìåñè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ
èäåíòèôèêàöèè åå ïàðàìåòðîâ, à ôîðìóëà äëÿ êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà
ñìåñåé òàêæå îòñóòñòâóåò. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà
ìîäåëè (1) ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ [17, 18]. Â ðàáîòå [17] äëÿ ìîäåëè (1), â
êîòîðîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F x0( ), F x1( ) ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâûìè ñ
îäèíàêîâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè è ðàçëè÷íûìè äèñïåðñèÿìè,
ïðîàíàëèçèðîâàíà çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà îò îòíîøåíèÿ äèñ-
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 4
ïåðñèé è êîýôôèöèåíòà çàñîðåíèÿ. Â ðàáîòå [18] îïðåäåëåíû óñëîâèÿ, ïðè
êîòîðûõ êîýôôèöèåíò ýêñöåññà ìîäåëè (1) ðàâåí íóëþ.
Òàêèì îáðàçîì, àêòóàëüíîé îñòàåòñÿ çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñ-
òè êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà ìîäåëè (1) îò åå ïàðàìåòðîâ ïðè íåãàóññîâîé
çàñîðÿþùåé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì åå ðåøåíèå.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìîäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðå-
äåëåíèÿ F x0( ) — ãàóññîâà ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñ-
ïåðñèåé �2 0, , ò.å.
F x
x
z dz
x
0
0
0
( ) ( )
/
�
�
�
� �
��
��
�
�
�
,
ãäå� �0 2 0� , ;� ( )x è� ( )z — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòü âåðîÿò-
íîñòåé ñòàíäàðòíîé ãàóññîâîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, �
�
( ) ,z e z� �1
2
0 5 2
.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàñîðÿþùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x1( ) ÿâëÿåò-
ñÿ ñèììåòðè÷íîé, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ F x F x1 11 0( ) ( )� � � � . Òîãäà
ôóíêöèÿ
F x
x
F x( ) ( ) ( )� �
�
�
��1
0
1�
�
�� (2)
îïðåäåëÿåò ñåìåéñòâî ñèììåòðè÷íûõ çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëå-
íèé. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (2) èìååò ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà, åñëè F x1( ) —
êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Åñëè ôóíêöèÿ F x1( )àáñîëþòíî íåïðåðûâíà,
òî F x( ) òàêæå àáñîëþòíî íåïðåðûâíà è ó íåå ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü âå-
ðîÿòíîñòåé p x( ), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé:
p x
x
p x( ) ( )�
�
�
�
��
1
0 0
1
�
�
�
�
� , (3)
ãäå p x1( ) — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé çàñîðÿþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ,
p x F x1 1( ) ( )� � .
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìîäåëè (2) ðàâíî íóëþ, íà÷àëüíûå è öåíò-
ðàëüíûå ìîìåíòû ñîâïàäàþò, ïðè ýòîì îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî öåíòðàëü-
íûå ìîìåíòû �s ÷åòíûõ ïîðÿäêîâ s, êîòîðûå èìåþò âèä
� � � ��s s s� � �( ) , ,1 0 1, (4)
ãäå �s, 0, �s,1 — öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ìîäåëüíîé è çàñîðÿþùåé ôóíêöèé
Àíàëèç êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 4 21
ðàñïðåäåëåíèÿ ìîäåëè (2). Íàéäåì êîýôôèöèåíò ýêñöåññà � 4 ìîäåëè (2),
èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ñîîòíîøåíèå
� � ��
�
4 4 3� �( / ) . (5)
Ïîäñòàâëÿÿ â (5) âûðàæåíèå (4), ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì ôîðìóëó
äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà ìîäåëè (2):
� �
�� � � � �
� �
�
�4 4
4 1 3 1 1
1
� �
� � �
� �
( )
( )
[( ) ]
,
M
M
M
. (6)
Çäåñü � 4 1 2, � � — êîýôôèöèåíò ýêñöåññà çàñîðÿþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ;
M � 0 — ïàðàìåòð ìîäåëè (2),
M �� �2 0 2 1, ,/ , (7)
ãäå �2 0, è �2 1, — äèñïåðñèè ìîäåëüíîé è çàñîðÿþùåé ôóíêöèé ðàñïðå-
äåëåíèÿ.
Èññëåäóåì çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà (6) ìîäåëè (2) îò ïà-
ðàìåòðà M, ñ÷èòàÿ çàäàííûìè êîýôôèöèåíò ýêñöåññà � 4 1, çàñîðÿþùåãî
ðàñïðåäåëåíèÿ è êîýôôèöèåíò çàñîðåíèÿ �.
Àíàëèç ïðåäåëüíîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèè � 4 ( )M . Ðàññìîòðèì ôóíê-
öèþ � 4( )M ïðè M � 0, M � �, M �1.
1. Ïóñòü M � 0, ò.å. �2 0, << �2 1, . Òîãäà èç ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì
� �
� �
�
4
0
4
4 1
0
3 1
( ) lim ( )
( ),� �
� �
�M
M . (8)
Èç (8) âèäíî, ÷òî åñëè � 4 1 0, � , òî � 4 0 0( ) � ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ �. Åñëè
� 4 1 2 0, [ , )� � , òî â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòà � çíà÷åíèå � 4 0( )
ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíûì, îòðèöàòåëüíûì èëè ðàâíûì íóëþ.  ÷àñò-
íîñòè, � 4 0 0( ) � , åñëè � �� 0, � 4 0 0( )� , åñëè � �� 0, � 4 0 0( )� , åñëè � �� 0, ãäå
�
�
0
4 1
1
3
� � ,
.
(9)
Èç ôîðìóëû (9) ñëåäóåò, ÷òî1 3 10/ � �� , òàê êàê � 4 1 2 0, [ , )� � .  ïðåäåëüíîì
ñëó÷àå, êîãäà �2 0 0, � , ðàñïðåäåëåíèå F x0( ) ñòðåìèòñÿ ê âûðîæäåííîìó â
íóëå ðàñïðåäåëåíèþ, ò.å.
F x
x
E x0
0
00
( ) lim ( )�
�
�
� �
�� �
� ,
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 4
ãäå E x( ) — åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ,
E x
x
x
( )
, ,
, .
�
�
�
�
!
0 0
1 0
 ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
F x E x F x( ) ( ) ( ) ( )� � �1 1� � . (10)
Åñëè F x1( ) â ôîðìóëå (10) — êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ, òî ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) — òàêæå êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ. Åñëè ôóíêöèÿ F x1( )
àáñîëþòíî íåïðåðûâíà, òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (10) èìååò ñêà÷îê â
íóëå âåëè÷èíîé ( )1�� .
2. Ïóñòü M � �, ò.å. �2 0, >> �2 1, . Òîãäà èç ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì
� �
�
�
4 4 3
1
( ) lim ( )� � �
���M
M . (11)
Èç ôîðìóëû (11) âèäíî, ÷òî � 4 0( )� � è ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ � íå
çàâèñèò íè îò çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòà � 4 1, , íè îò åãî çíàêà.  ïðåäåëüíîì
ñëó÷àå, êîãäà �2 1 0, � , ðàñïðåäåëåíèå F x1( ) ñòðåìèòñÿ ê âûðîæäåííîìó â
íóëå ðàñïðåäåëåíèþ, ò.å. F x E x1( ) ( )� .  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (2) ïðèíè-
ìàåò ñëåäóþùèé âèä:
F x
x
E x( ) ( ) ( )� �
�
�
� �1
0
�
�
�� . (12)
Èç ôîðìóëû (12) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ F x( ) èìååò ñêà÷îê â íóëå âå-
ëè÷èíîé �, ïðè �� 0 ôóíêöèÿ F x( ) ñòðåìèòñÿ ê ãàóññîâîé ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ, à ïðè ��1 — ê âûðîæäåííîìó â íóëå ðàñïðåäåëåíèþ.
3. Ïóñòü M �1, ò.å. � �2 0 2 1, ,� . Òîãäà èç ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì � 4 1( ) �
��� 4 1, .  ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå � 4 1( ) ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíûì, îòðè-
öàòåëüíûì èëè ðàâíûì íóëþ â çàâèñèìîñòè îò çíàêà êîýôôèöèåíòà ýêñ-
öåññà � 4 1, çàñîðÿþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà çàñîðÿþ-
ùåå ðàñïðåäåëåíèå F x1( ) — ãàóññîâî, ó êîòîðîãî � 4 1 0, � , F x( ) ÿâëÿåòñÿ
ãàóññîâîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ è � 4 1 0( ) � ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ �.
Ìèíèìóì ôóíêöèè � 4 ( )M . Èññëåäóåì êîýôôèöèåíò ýêñöåññà (6) íà
ýêñòðåìóì. Äëÿ ýòîãî íàõîäèì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè � 4( )M :
� � �
� � � �
� �
�
� � � �
� �"#
4
4 4 12 1 3 3
1
( )
( ) ( ) ( )
[( )
,
M
d M
dM
M
M
. (13)
Ïðèðàâíèâàÿ ÷èñëèòåëü âûðàæåíèÿ (13) íóëþ (� $ 0,� $1), ïîëó÷àåì óðàâ-
Àíàëèç êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 4 23
�
íåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷êè ýêñòðåìóìà M m, � � � �� 4 1 3 3 0, M m , èç êîòî-
ðîãî íàõîäèì
M m � �1
3
4 1� ,
.
(14)
Èç (14) ñëåäóåò, ÷òî 1 3 1/ � �M m , åñëè � 4 1 2 0, [ , )� � , è M m �1, åñëè � 4 1 0, � .
Ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà M m ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà ôóíêöèè � 4( )M .
Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ëþáûõ % �0 ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñò-
âà � � �� %4 0( )M m è � � �� %4 0( )M m .
Ðàññìîòðèì ôîðìóëó (13) ïðè � $ 0 è � $1. Çíàìåíàòåëü â íåé âñåãäà
ïîëîæèòåëüíûé, à â ÷èñëèòåëå ïîëîæèòåëüíû âñå ñîìíîæèòåëè, çà èñêëþ-
÷åíèåì ïîñëåäíåãî, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíûì, îòðèöàòåëüíûì
èëè ðàâíûì íóëþ. Îáîçíà÷èì ýòîò ñîìíîæèòåëü g M M( ) ,� � � �� 4 1 3 3 è
ðàññìîòðèì âûðàæåíèå
g M Mm m( ) ( ),� � � � � �% � %4 1 3 3 . (15)
Ïîäñòàâëÿÿ â (15) çíà÷åíèå M m èç (14), ïîëó÷àåì g M m( )�% � �3 0% . Àíà-
ëîãè÷íî íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî g M m( )� � � �% %3 0.
Òàêèì îáðàçîì, M m — òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè � 4( )M . Íàéäåì çíà-
÷åíèå min ( )� � �4 4 M m , ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (6) çíà÷åíèå M m èç (14):
min ( )
( )
,
,
� � �
� �
� �
4 4
4 1
4 1
3
3 1
M m �
� �
. (16)
Ïðîàíàëèçèðóåì çàâèñèìîñòü min� 4 îò êîýôôèöèåíòà çàñîðåíèÿ � è
êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà � 4 1, çàñîðÿþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Èç ôîðìóëû (16)
ñëåäóåò, ÷òî min� 4 0� ïðè � �0, åñëè � �1, òî min ,� �4 4 1� , åñëè � 4 1 0, � , òî
min� 4 0� , åñëè � 4 1 2 0, [ , )� � , òî min� 4 0� .
Óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ôóíêöèè � 4 ( )M . Íà îñíîâàíèè ïðîâåäåí-
íîãî àíàëèçà ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä. Åñëè � 4 1 0, � , òî ôóíêöèÿ
� 4( )M îòðèöàòåëüíà â òî÷êå M M m� , âñåãäà ïîëîæèòåëüíà ïðè M � �, à
ïðè M � 0 îíà ïîëîæèòåëüíà, åñëè � �� 0, ãäå êîýôôèöèåíò � 0 îïðåäåëåí
èç ôîðìóëû (9). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îòðèöàòåëüíîì çíà÷åíèè � 4 1, ñóùåñò-
âóåò, êàê ìèíèìóì, îäíà òî÷êà M, â êîòîðîé � 4 0( )M � . Äëÿ íàõîæäåíèÿ
ýòèõ òî÷åê ïðèðàâíÿåì íóëþ ÷èñëèòåëü âûðàæåíèÿ (6) è ïîëó÷èì óðàâ-
íåíèå � �4 1
23 1 1 0, ( ) ( )� � � �M , ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä
M1
4 1
0 5
1
3 1
� � �
�
��
�
��
�
�
,
,
( )
, (17)
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 4
�
M 2
4 1
0 5
1
3 1
� � �
�
��
�
��
�
�
,
,
( )
. (18)
Ïðîàíàëèçèðóåì ôîðìóëû (17), (18). Åñëè � 4 1 0, � , òî M M1 2� �
� �M m 1. Ïðè � 4 1 0, � âñåãäà M 2 1� , à çíà÷åíèå M1 â çàâèñèìîñòè îò çíà-
÷åíèé � ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì, ïîëîæèòåëüíûì èëè ðàâíûì íóëþ.
Ïàðàìåòð M, îïðåäåëåííûé ïî ôîðìóëå (7), äîëæåí áûòü íåîòðèöàòåëüíûì,
ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (17), îïðåäåëÿåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ M1 0� :
�
�
� &� � �1
3
4 1,
. (19)
Òàêèì îáðàçîì, åñëè � 4 1 2 0, [ , )� � , à çíà÷åíèå � óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñò-
âó (19), òî � 4 0( )M � ïðè M M� 1 èëè M M� 2. Åñëè M M M�( , )1 2 , êîýôôè-
öèåíò � 4 0( )M � , à ïðè M M�[ , )0 1 èëè M M� 2 êîýôôèöèåíò � 4 0( )M � .
Ïðèìåð çàñîðåííûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ðàññìîòðèì çàñîðåííûå ãàóñ-
ñîâû ðàñïðåäåëåíèÿ ñ äâóìÿ ìîäåëÿìè çàñîðÿþùèõ ðàñïðåäåëåíèé — ðàâ-
íîìåðíîé ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòåé p xR ( ) è ëîãèñòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ
âåðîÿòíîñòåé p xL( ) [19] (ñì. òàáëèöó).  ýòîì ñëó÷àå çàñîðåííîå ðàñïðå-
äåëåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì è åãî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé îïèñû-
âàåòñÿ ôîðìóëîé (3).
Ïðè çàñîðÿþùåì ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ñ îòðèöàòåëüíûì êîýô-
ôèöèåíòîì � 4, R êîýôôèöèåíò ýêñöåññà � 4( )M ìîäåëè (3) ìîæåò ïðèíèìàòü
êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, îáëàñòè êîòîðûõ îïðå-
äåëÿþòñÿ çíà÷åíèåì �. Èñõîäÿ èç íåðàâåíñòâà (19), � '�
�
(
� � � �4
1
12
3
0 6
, ,
,
R
,
çàäàäèì çíà÷åíèå � �02, îäèíàêîâûì äëÿ îáåèõ ìîäåëåé.
 ñëó÷àå � �0 2, ïðè ðàâíîìåðíîì çàñîðåíèè êîýôôèöèåíò ýêñöåññà
� 4( )M ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ (ðèñ. 1, à),
ïðè ëîãèñòè÷åñêîì çàñîðåíèè îí âñåãäà ïîëîæèòåëåí (ðèñ. 1, á), à ïðå-
äåëüíîå çíà÷åíèå � 4( )M îäèíàêîâî äëÿ îáåèõ ìîäåëåé çàñîðÿþùèõ ðàñ-
ïðåäåëåíèé, à èìåííî � 4 0 75( ) ,� � .
Àíàëèç êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 4 25
Çàñîðÿþùåå
ðàñïðåäåëåíèå
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé Äèñïåðñèÿ
Êîýôôèöèåíò
ýêñöåññà
Ðàâíîìåðíîå p x
x a a
a
x a a
aR ( )
, ( , ] ,
, ( , ],
�
) �
� �
�
*
!*
�
0
1
2
0 � 2
2
3
,R �
a �4 1 2, ,R ��
Ëîãèñòè÷åñêîå p x
x
xL
ch
( )
,
( , )
, ( , ),� � �� � �
0 25
0 5
0
2
+
+
+ �
�
+2
2
1
3
,L �
�
�
� �4 1 2, ,L �
 ñëó÷àå çàñîðÿþùåãî ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíò
ýêñöåññà � 4( )M ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå min ,� 4 03529� � ïðè
M m �06, , ðàâåí íóëþ ïðè M1 02929� , è M 2 17071� , , à â íóëå � 4 0 6( ) � (ñì.
ðèñ. 1, à).  ñëó÷àå çàñîðÿþùåãî ëîãèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîýôôè-
öèåíò ýêñöåññà � 4( )M ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå min ,� 4 01818�
ïðè M m �14, , ïàðàìåòðû M1 è M 2 íå ñóùåñòâóþò, à â íóëå � 4 0 18( ) � (ñì.
ðèñ. 1, á).
Íàéäåì ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé çàñîðåííûõ ðàñïðåäåëåíèé, äëÿ ÷åãî
êîíêðåòèçèðóåì ïàðàìåòðû ìîäåëüíîãî è çàñîðÿþùèõ ðàñïðåäåëåíèé (ñì.
òàáëèöó). Çàäàäèì äèñïåðñèþ ìîäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ�2 0 1, � è ïðèìåì
M M� �1 02929, . Ïðè òàêîì çíà÷åíèè M êîýôôèöèåíò ýêñöåññà ìîäåëè (3)
� 4 0� , åñëè çàñîðÿþùåå ðàñïðåäåëåíèå — ðàâíîìåðíîå, è � 4 25446� , , åñëè
çàñîðÿþùåå ðàñïðåäåëåíèå — ëîãèñòè÷åñêîå.
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (7) è ôîðìóëû äëÿ �2, R , �2, L èç òàáëèöû, íà-
õîäèì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ çàñîðÿþùèõ ðàñïðåäåëåíèé ïðè M �02929, è
�2 0 1, � : a �3 2, ,+ �0 982, . Ïîäñòàâëÿÿ â (3) çíà÷åíèÿ� 0 1� ,� �02, è ïëîòíîñòü
âåðîÿòíîñòåé p xR ( ) ïðè a �3 2, , ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè âå-
ðîÿòíîñòåé p xNR ( ) çàñîðåííîãî ãàóññîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè çàñîðåíèè
ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì:
p x
e x
e
x
NR ( )
,
, , ( , ; , ],
,
,
,
�
� � ��
�
08
2
00313 3 2 3 2
08
2
0 5
0 5
2
�
�
x x
2
3 2 3 2, ( , ; , ].) �
�
**
!
*
*
(20)
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé p xNL( )
çàñîðåííîãî ãàóññîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè çàñîðåíèè ëîãèñòè÷åñêèì ðàñ-
ïðåäåëåíèåì p xL( ) ñ ïàðàìåòðîì + �0982, :
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 4
6
4
2
0
2�
0 1 2 3
�4 ( )M
20
15
10
5
1 2 30 M
a á
Ðèñ. 1
p x e
x
x
NL
ch
( )
, ,
( , )
,� ��08
2
00491
0 4908
0 5
2
2
�
, x� �� �( , ). (21)
Íà ðèñ. 2, à è á, ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñîîò-
âåòñòâåííî (20) è (21), ãäå øòðèõîâîé ëèíèåé ïðåäñòàâëåí ãðàôèê íåçàñîðåí-
íîé ìîäåëüíîé ãàóññîâîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñ äèñïåðñèåé �2 0 1, � :
p x x e x
0
0 51
2
2
( ) ( ) ,� � ��
�
.
Èç ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé p xNR ( ) è p xNL( ) çàñîðåí-
íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ìîäåëüíîé ãàóññîâîé ïëîò-
íîñòè âåðîÿòíîñòåé p x0( ), îñîáåííî ïðè çàñîðåíèè ðàâíîìåðíûì ðàñïðå-
äåëåíèåì p xR ( ). Ïðè çàñîðÿþùåì ëîãèñòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè êîýôôè-
öèåíò ýêñöåññà ðàñïðåäåëåíèÿ (21) ñîñòàâëÿåò � 4 25446� , è ñóùåñòâåííî
îòëè÷àåòñÿ îò êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà ìîäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ p x0( ),
ðàâíîãî íóëþ. Ïðè çàñîðÿþùåì ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ó çàñîðåííîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ (20) � 4 0� , ò.å. îí ñîâïàäàåò ñ êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà ìî-
äåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ïðè x ) �( , ; , ]3 2 3 2
õâîñòû ðàñïðåäåëåíèé p xNR ( ) è p x0( ) ñîâïàäàþò. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì
ñëó÷àå êîýôôèöèåíò ýêñöåññà � 4 íå ÿâëÿåòñÿ èíôîðìàòèâíûì è äëÿ âûÿâ-
ëåíèÿ çàñîðåííîñòè öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü êóìóëÿíòíûå êîýôôè-
öèåíòû áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ, íàïðèìåð êîýôôèöèåíò � 6 .
Âûâîäû
Ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîé îáùåé ôîðìóëû (6) äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôè-
öèåíòà ýêñöåññà � 4 ñèììåòðè÷íûõ çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé
Àíàëèç êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 4 27
0,4
0,3
0.2
0,1
0
4 2 0 2 4� �
PNR( )x
4 2 0 2 4� � x
PNL( )x
a á
Ðèñ. 2
ìîæíî àíàëèçèðîâàòü çàâèñèìîñòü � 4 îò ïàðàìåòðîâ ìîäåëè — êîýôôè-
öèåíòà çàñîðåíèÿ, îòíîøåíèÿ äèñïåðñèé ñîñòàâëÿþùèõ ìîäåëè è êîýôôè-
öèåíòà ýêñöåññà � 4 1, çàñîðÿþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò äîñòàòî÷íî ïðîñòî ìîäåëèðîâàòü
è àíàëèçèðîâàòü íåãàóññîâû ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïèñûâàåìûå ìîäåëüþ
çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé, à èõ èñïîëüçîâàíèå ìîæåò ïîâû-
ñèòü äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ èçìåðåíèé, îáíàðóæåíèÿ è
êëàññèôèêàöèè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Àéâàçÿí Ñ.À., Åíþêîâ È.Ñ., Ìåøàëêèí Ë.Ä. Ïðèêëàäíàÿ ñòàòèñòèêà: Îñíîâû ìîäåëè-
ðîâàíèÿ è ïåðâè÷íàÿ îáðàáîòêà äàííûõ. Ñïðàâî÷íîå èçä. Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà,
1983, 471 ñ.
2. Ìóõà Â.Ñ. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû îáðàáîòêè äàííûõ: Ó÷åá. ïîñîáèå. Ìèíñê: Èçä.
öåíòð ÁÃÓ, 2009, 183 ñ.
3. Ëåìåøêî Á.Þ., Ëåìåøêî Ñ.Á., Ïîñòîâàëîâ Ñ.Í., ×èìèòîâà Å.Â. Ñòàòèñòè÷åñêèé
àíàëèç äàííûõ, ìîäåëèðîâàíèå è èññëåäîâàíèå âåðîÿòíîñòíûõ çàêîíîìåðíîñòåé.
Êîìïüþòåðíûé ïîäõîä. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÍÃÒÓ, 2011, 888 ñ.
4. Tukey J.W. A survey of sampling from contaminated distributions. —Contributions to Prob-
ability and Statistics. Ed. by I. Olkin. Stanford: Stanford Univ. Press, 1960, ð. 448—485.
5. Õüþáåð Ï.Äæ. Ðîáàñòíîñòü â ñòàòèñòèêå. Ïåð. ñ àíãë. È.À. Ìàõîâîé è Â.È. Õîõëîâà,
ïîä ðåä. È.Ã. Æóðáåíêî. Ì.: Ìèð, 1984, 304 ñ.
6. Õàìïåëü Ô., Ðîí÷åòòè Ý., Ðàóññåó Ï., Øòàýëü Â. Ðîáàñòíîñòü â ñòàòèñòèêå. Ïîäõîä
íà îñíîâå ôóíêöèé âëèÿíèÿ. Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Â.Ì. Çîëîòàðåâà. Ì.: Ìèð, 1989,
512 ñ.
7. Figueiredo F., Gomes M.I. The total median statistic to monitor contaminated normal data //
Journal Quality Technology & Quantitative Management. 2016, Vol 13, p. 1—16. [Ýëåêò-
ðîííûé ðåñóðñ]. Ðåæèì äîñòóïà: http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/16843703.
2016.1139840
8. Punzo A., McNicholas P.D. Parsimonious mixtures of multivariate contaminated normal dis-
tributions // Preprint submitted to arXiv 1305.4669. 20.05.2016, p. 1—28. [Ýëåêòðîííûé
ðåñóðñ]. Ðåæèì äîñòóïà: https://arxiv.org/pdf/1305.4669.pdf
9. Ìàð÷óê Â.È., Òîêàðåâà Ñ.Â. Ñïîñîáû îáíàðóæåíèÿ àíîìàëüíûõ çíà÷åíèé ïðè àíàëèçå
íåñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Øàõòû: Þæíî-ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé
óí-ò ýêîíîìèêè è ñåðâèñà, 2009, 209 ñ.
10. Äåíèñîâ Â.È., Òèìîôååâ Â.Ñ. Óñòîé÷èâûå ðàñïðåäåëåíèÿ è îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ
ðåãðåññèîííûõ çàâèñèìîñòåé // Èçâ. Òîìñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà. 2011,
318, ¹ 2, ñ. 10—15.
11. Îñàä÷èé È.Ñ. Ìåòîä îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêîãî øóìà äëÿ çàäà÷
îáíàðóæåíèÿ èìïóëüñíîãî ñèãíàëà // Æóðíàë ðàäèîýëåêòðîíèêè: ýëåêòðîííûé æóð-
íàë. 2015, ¹ 4, c. 1—27. [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. Ðåæèì äîñòóïà: http://jre.cplire.ru/
jre/apr15/1/text.html
12. Robbins H. Mixture of distributions // Ann. Math. Stat. 1948, Vol. 19, p. 360—369.
13. Titterington D.M., Smith A.F.M., Makov U.E. Statistical analysis of finite mixture distribu-
tions. New York: John Wiley & Sons, 1985, 250 p.
14. McLachlan G., Peel D. Finite mixture models. New York: John Wiley & Sons, 2000, 438 p.
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 4
15. Êîðîëåâ Â.Þ. Ñìåøàííûå ãàóññîâñêèå âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ.
Ì.: Ìàêñ Ïðåññ, 2004, 124 ñ.
16. Êîðîëåâ Â.Þ. Âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç õàîòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ ïî-
ìîùüþ ñìåøàííûõ ãàóññîâñêèõ ìîäåëåé. Äåêîìïîçèöèÿ âîëàòèëüíîñòè ôèíàíñîâûõ
èíäåêñîâ è òóðáóëåíòíîé ïëàçìû. Ì.: Èçä-âî Èí-òà ïðîáëåì èíôîðìàòèêè ÐÀÍ, 2008,
390 ñ.
17. Êðàñèëüíèêîâ À.È., Ïèëèïåíêî Ê.Ï. Îäíîâåðøèííàÿ äâóõêîìïîíåíòíàÿ ãàóññîâñêàÿ
ñìåñü. Êîýôôèöèåíò ýêñöåññà // Ýëåêòðîíèêà è ñâÿçü, 2007, ¹ 2 (37), c. 32—38.
18. Êðàñèëüíèêîâ À.È. Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì
êîýôôèöèåíòîì ýêñöåññà // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå, 2017, 39, ¹ 1, c. 3—17.
19. Âàäçèíñêèé Ð.Í. Ñïðàâî÷íèê ïî âåðîÿòíîñòíûì ðàñïðåäåëåíèÿì, ÑÏá.: Íàóêà, 2001,
295 ñ.
Ïîñòóïèëà 03.04.17
REFERENCES
1. Aivazian, S.A., Eniukov, I.S. and Meshalkin, L.D. (1983), Prikladnaya statistika: Osnovy
modelirovaniia i pervichnaia obrabotka dannykh. Spravochnoe izd. [Applied statistics:
bases of modeling and initial data processing. Reference edition], Finansy i statistika, Mos-
cow, USSR.
2. Mukha, V.S. (2009), Statisticheskie metody obrabotki dannykh: Uchebnoe posobie [Statisti-
cal methods of data processing: Tutorial], Izdatelskiy tsentr BGU, Minsk, Belarus.
3. Lemeshko, B.Yu., Lemeshko, S.B., Postovalov, S.N. and Chimitova, E.V. (2011), Statisti-
cheskii analiz dannykh, modelirovanie i issledovanie veroiatnostnykh zakonomernostei.
Kompiuternyi podkhod [Statistical data analysis, simulation and study of probability regula-
rities. Computer approach], Izdatelstvo NGTU, Novosibirsk, Russia.
4. Tukey, J.W. (1960), A survey of sampling from contaminated distributions. Contributions to
Probability and Statistics, Ed. I. Olkin, Stanford University Press, Stanford, UK.
5. Huber, P.J. (1984), Robastnost v statistike [Robust statistics], Translated by I.A. Makhova
and V.I. Khokhlov, Ed. I.G. Zhurbenko, Mir, Moscow, USSR.
6. Hampel, F., Ronchetti, E., Rousseeuw, P. and Stahel, W. (1989), Robastnost v statistike.
Podkhod na osnove funktsii vliianiia [Robust statistics. The approach based on influence
functions], Translated by V.M. Zolotarev, Mir, Moscow, USSR.
7. Figueiredo, F. and Gomes, M.I. (2016), The total median statistic to monitor contaminated
normal data, Journal Quality Technology & Quantitative Management, Vol. 13, pp. 1-16,
available at: http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/16843703.2016.1139840
8. Punzo, A. and McNicholas, P.D. (2016), Parsimonious mixtures of multivariate contami-
nated normal distributions, Preprint submitted to arXiv 1305.4669, May 20, 2016. - pp. 1-28,
available at: https://arxiv.org/pdf/1305.4669.pdf
9. Marchuk, V.I. and Tokareva, S.V. (2009), Sposoby obnaruzheniia anomalnykh znachenii pri
analize nestatsionarnykh sluchainykh protsessov: Monografiia [Methods for detecting ano-
malous values in the analysis of non-stationary random processes: Monograph], Yuzhno-
rossiiskii gosudarstvennyi universitet ekonomiki i servisa, Shakhty, Russia.
10. Denisov, V.I. and Timofeev, V.S. (2011), “Stable distributions and estimation of parameters
of regression dependencies”, Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo instituta, Vol. 318,
no. 2, pp. 10-15.
11. Osadchiy, I.S. (2015), “Method for estimating the distribution parameters of Gaussian noise
for the operation of a pulse signal system”, Zhurnal radioelektroniki: elektronnyy zhurnal,
no. 4, pp. 1-27, available at: http://jre.cplire.ru/jre/apr15/1/text.html
12. Robbins, H. (1948), Mixture of distributions, Ann. Math. Stat, Vol. 19, pp. 360-369.
Àíàëèç êîýôôèöèåíòà ýêñöåññà çàñîðåííûõ ãàóññîâûõ ðàñïðåäåëåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 4 29
13. Titterington, D.M., Smith, A.F.M. and Makov, U.E. (1985), Statistical analysis of finite mix-
ture distributions, John Wiley & Sons, New York, USA.
14. McLachlan, G. and Peel, D. (2002), Finite mixture models, John Wiley & Sons, New York,
USA.
15. Korolev, V.Yu. (2004), Smeshannye gaussovskie veroiatnostnye modeli realnykh protsessov
[The mixed Gaussian probabilistic models of real processes], Maks Press, Moscow, Russia.
16. Korolev, V.Yu. (2008), Veroyatnostno-statisticheskii analiz khaoticheskikh protsessov s
pomoshchiu smeshannykh gaussovskikh modelei. Dekompozitsiia volatilnosti finansovykh
indeksov i turbulentnoi plazmy [Probabilistic-statistical analysis of chaotic processes using
mixed Gaussian models. Decomposition of volatility of financial indices and turbulent
plasma], Izdatelstvo Instituta problem informatiki RAN, Moscow, Russia.
17. Krasilnikov, A.I. and Pilipenko, K.P. (2007), “Unimodal two-componental Gaussian mix-
ture. Excess kurtosis”, Elektronika i sviaz, no. 2 (37), pp. 32-38.
18. Krasilnikov, A.I. (2017), “Class of non-Gaussian symmetric distributions with zero coeffi-
cient of kurtosis”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 39, no. 1, pp. 3-17.
19. Vadzinskii, R.N. (2001), Spravochnik po veroiatnostnym raspredeleniiam [Reference book
on probabilistic distributions], Nauka, St. Petersburg, Russia.
Received 03.04.17
A.I. Krasilnikov
ANALYSIS OF THE KURTOSIS COEFFICIENT
OF CONTAMINATED GAUSSIAN DISTRIBUTIONS
A formula for finding the kurtosis coefficient of symmetric contaminated Gaussian distributions
has been obtained. The dependence of the kurtosis coefficient on the parameters of the model of
contaminated distributions has been studied. Examples of contaminating with uniform and logistic
distributions have been considered. The obtained results allow the author to analyze non-Gaussi-
an random variables described by the model of contaminated Gaussian distributions.
K e y w o r d s: contaminated distributions, Tukey-Huber model, mixtures of distributions,
kurtosis coefficient, cumulant analysis.
ÊÐÀÑÈËÜÍÈÊÎÂ Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, âåä. íàó÷. ñîòð.
Èí-òà òåõíè÷åñêîé òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû.  1973 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé
èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòå-
ðèñòèêè è ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè ôëóêòóàöèîííûõ ñèãíàëîâ â ñèñòåìàõ øóìî-
âîé äèàãíîñòèêè.
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-127633 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:05:41Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Красильников, А.И. 2017-12-24T11:17:19Z 2017-12-24T11:17:19Z 2017 Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 4. — С. 19-30. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127633 519.213:621.391 Получена формула для нахождения коэффициента эксцесса симметричных засоренных гауссовых распределений. Исследована зависимость коэффициента эксцесса от параметров модели засоренных распределений. Рассмотрены примеры засорения равномерным и логистическим распределениями. Полученные результаты позволяют анализировать негауссовы случайные величины, описываемые моделью засоренных гауссовых распределений. Отримано формулу для знаходження коефіцієнта ексцесу симетричних забруднених гаусових розподілів. Досліджено залежність коефіцієнта ексцесу від параметрів моделі забруднених розподілів. Розглянуто приклади забруднення рівномірним та логістичним розподілами. Отримані результати дозволяють аналізувати негаусови випадкові величини, які описуються моделлю забруднених гаусових розподілів. A formula for finding the kurtosis coefficient of symmetric contaminated Gaussian distributions has been obtained. The dependence of the kurtosis coefficient on the parameters of the model of contaminated distributions has been studied. Examples of contaminating with uniform and logistic distributions have been considered. The obtained results allow the author to analyze non-Gaussian random variables described by the model of contaminated Gaussian distributions. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математическое моделирование и вычислительные методы Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений Analysis of the kurtosis coefficient of contaminated Gaussian distributions Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений Красильников, А.И. Математическое моделирование и вычислительные методы |
| title | Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений |
| title_alt | Analysis of the kurtosis coefficient of contaminated Gaussian distributions |
| title_full | Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений |
| title_fullStr | Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений |
| title_full_unstemmed | Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений |
| title_short | Анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений |
| title_sort | анализ коэффициента эксцесса засоренных гауссовых распределений |
| topic | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| topic_facet | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127633 |
| work_keys_str_mv | AT krasilʹnikovai analizkoéfficientaékscessazasorennyhgaussovyhraspredelenii AT krasilʹnikovai analysisofthekurtosiscoefficientofcontaminatedgaussiandistributions |