Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании

Получена нелинейная динамическая система с конечным числом степеней свободы, описывающая вынужденные колебания пологой оболочки при ее геометрически нелинейном деформировании. Для вывода этой динамической системы применяется метод заданных форм. В области первого основного резонанса исследованы бифу...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы машиностроения
Дата:	2017
Автори:	Малышев, С.Е., Аврамов, К.В., Конкин, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2017
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127656
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании / С.Е. Малышев, К.В. Аврамов, В.Н. Конкин // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 25-31. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859655379834634240
author	Малышев, С.Е. Аврамов, К.В. Конкин, В.Н.
author_facet	Малышев, С.Е. Аврамов, К.В. Конкин, В.Н.
citation_txt	Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании / С.Е. Малышев, К.В. Аврамов, В.Н. Конкин // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 25-31. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы машиностроения
description	Получена нелинейная динамическая система с конечным числом степеней свободы, описывающая вынужденные колебания пологой оболочки при ее геометрически нелинейном деформировании. Для вывода этой динамической системы применяется метод заданных форм. В области первого основного резонанса исследованы бифуркации Неймарка-Сакера. В результате этих бифуркаций возникают почти периодические колебания, которые преобразуются в хаотические. Исследуются свойства этих колебаний. Отримано нелінійну динамічну систему з кінцевим числом ступенів свободи, що описує вимушені коливання пологої оболонки при її геометрично нелінійному деформуванні. Для виведення цієї динамічної системи застосовується метод заданих форм. В області першого основного резонансу виявлені біфуркації Неймарка-Сакера. В результаті цих біфуркацій виникають майже- періодичні коливання, які перетворюються в хаотичні. Досліджуються властивості цих коливань. A nonlinear dynamical system with a finite number of degrees of freedom is obtained, which describes the forced oscillations of the shallow shell for its geometrically nonlinear deformation. To derive this dynamic system, the method of given forms. In the region of the first fundamental resonance, the Neumark-Sacker bifurcations are investigated. As a result of these bifurcations, almost periodic oscillations arise, which are transformed into chaotic oscillations. The properties of these oscillations are explored.
first_indexed	2025-12-07T13:38:45Z
format	Article
fulltext	ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 3 25 1 С. Е. Малышев 2 К. В. Аврамов, д-р техн. наук 1 В. Н. Конкин, канд. техн. наук 1 Национальный технический универ- ситет «Харьковский политехнический институт», г. Харьков, е-mail: malsea@ukr.net 2 Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, г. Харьков УДК 539.3 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ, ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГОЙ КОНСОЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ Отримано нелінійну динамічну систему з кінцевим числом ступенів свободи, що описує вимушені коливання пологої обо- лонки при її геометрично нелінійному деформуванні. Для виве- дення цієї динамічної системи застосовується метод заданих форм. В області першого основного резонансу виявлені біфур- кації Неймарка-Сакера. В результаті цих біфуркацій виника- ють майже- періодичні коливання, які перетворюються в хаотичні. Досліджуються властивості цих коливань. Ключові слова: нелінійні періодичні коливан- ня пологої оболонки, стійкість коливань, майже періодичні коливання, хаотичні коли- вання. Введение Пологие оболочки широко используются в аэрокосмической технике, энергомашиностроении, строительстве. Данные часто находятся под действием значительных динамических нагрузок. Вслед- ствие тонкостенности этих конструкций их динамические поперечные перемещения оболочек могут быть соизмеримы с их толщиной. Тогда динамика конструкции описывается геометрически нелиней- ной теорией. Много усилий было предпринято для исследования колебаний пологих оболочек при геомет- рически нелинейном деформировании. В работах [1, 2] представлены подробные обзоры исследова- ний нелинейных колебаний пологих оболочек. 1. Постановка задачи Рассмотрим пологую оболочку постоянной толщины с прямоугольным планом. Для исследо- вания динамического деформирования оболочки введем криволинейную систему координат ( )zx ,θ, . Оси θ,x свяжем со срединной поверхностью оболочки (рис. 1); ось z направим перпендикулярно срединной поверхности оболочки. Прямолинейная ось x принадлежит срединной поверхности обо- лочки, а криволинейная ось θ имеет постоянный радиус кривизны R . Перемещения точек срединной поверхности оболочек опишем тремя ее проекциями ( ) ( ) ( )txwtxvtxu ,θ,;,θ,;,θ, . Оболочка является тонкой. Поэтому сдвигом и инерцией вращения можно пренебречь. Отметим, что поперечные пере- мещения оболочки ( )txw ,θ, соизмеримы с ее толщиной. Динамика оболочки описывается геометри- чески нелинейной теорией. Материал оболочки является упругим. Вследствие этого элементы тензо- ра напряжений и деформаций удовлетворяют зако- ну Гука. Колебания оболочки возбуждаются сосре- доточенной периодической силой )cos( tA f Ω , ко- торая действует перпендикулярно срединной по- верхности оболочки в точке 00 θθ; == xx . Для вывода уравнений движения пологой оболочки с конечным числом степеней свободы воспользуемся методом заданных форм [3]. Гео- метрически нелинейное деформирование оболочки опишем гипотезами Донелла [4]. Тогда деформации срединной поверхности определяются так:  С. Е. Малышев, К. В. Аврамов, В. Н. Конкин, 2017 Рис. 1. Эскиз пологой оболочки ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 3 26 , θ 2;; θ ;ε; 2 1 ε; 2 1 ε 2 32 2 22 2 1 12 2 22 2 11 x w k x w k w k x wwv x u x w x vw R wu ∂∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ θ∂ ∂ + θ∂ ∂ + ∂ ∂ =      ∂ ∂ + ∂ ∂ =      θ∂ ∂ ++ θ∂ ∂ = (1) где 122211 ε,ε,ε – элементы тензора деформаций срединной поверхности оболочки; 321 ,, kkk – кривиз- ны срединной поверхности. Потенциальную энергию оболочки представим в следующем виде [4]: ,θε 2 µ1 µεµεεε 12 θ 2 µ1 µ2 2 θε 2 µ1 εµε2εε 2 0 0 312122211222111 0 0 2 321 2 2 2 1 0 0 2 122211 2 22 2 11 dxdkkkkk R D dxdkkkkk D dxd C a b a ba b ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫       − +++++ +       − ++++       − +++=Π (2) где 2µ1− = Eh C – жесткость конструкции на растяжение; )µ1(12 2 3 − = Eh D – цилиндрическая жесткость; E – модуль Юнга; µ – коэффициент Пуассона; h – толщина оболочки; ba, – длины сторон оболочки (рис. 1). Кинетическую энергию оболочки запишем так [2]: ,θ 00 222 2 ρ dxd ab vuw h ∫ ∫      ++=Τ &&& (3) где ρ – плотность материала оболочки. В дальнейшем рассмотрим консольную оболочку (рис. 1). Сторона 0=x защемлена, а все остальные стороны свободны. На рис. 1 защемленная сторона заштрихована. Для применения метода заданных форм найдем собственные формы колебаний конструкции методом Релея-Ритца [4]. Рас- смотрим геометрические и естественные граничные условия оболочки. На защемленной стороне обо- лочки выполняются геометрические граничные условия .0,0,0,0 00 0 0 === ∂ ∂ = == = = xx x x vu x w w (4) Граничные условия (4) обязательно учитываются при расчете собственных форм. На трех свободных сторонах оболочки выполняются естественные граничные условия, которые не берутся во внимание в методе Релея-Ритца. Для аппроксимации перемещений в методе Релея-Ритца использо- вался кубический B-сплайн. Применение таких базисных функций подробно рассматривается в [5]. 2. Вывод уравнений движения Целью настоящей статьи является исследование вынужденных колебаний пологой оболочки при геометрически нелинейном деформировании на основании многомодовых разложений движений. В этом разделе выводится система с произвольным числом степеней свободы, описывающей колеба- ния оболочки. Перемещения оболочек разложим по собственным формам их колебаний так: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),θ,ξ,θ, ;θ,ξ,θ, ;θ,ξ,θ, 1 2 1 1 ∑ ∑ ∑ = + = + = = = = N k kNk N k kNk N k kk xVttxv xUttxu xWttxw (5) где [ ]N31 ξ,...,ξ – вектор обобщенных координат конструкции; ( ) ( ) ( )θ,,θ,,θ, xVxUxW kkk – компоненты перемещений на собственной форме. ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 3 27 В потенциальную энергию (2) введем разложения (1). В результирующее соотношение введем разложения (5) и произведем необходимое интегрирование. В результате получим потенциальную энергию, которую можно представить так: ( )N31 ξ,...,ξΠ . Эта энергия будет содержать квадратичные и кубические слагаемые и члены четвертой степени относительно обобщенных координат. Разложения (5) введем в кинетическую энергию (3). Тогда кинетическая энергия является квадратичной формой относительно обобщенных скоростей: ( )N31 ξ,...,ξ &&Τ . Обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам Njj ,...,1;ξ = , находим так: ( ) ( ) ( ) ,,...,1;θcosθθ,θ, 0 0 00 NjdxdtAxxxWQ f a b jj =Ω−−δ= ∫ ∫ где ( )00 ,δ yyxx −− – дельта функция. Тогда уравнения Лагранжа второго рода, описывающие движе- ния конструкции, можно записать в матрично- блочном виде ( ) ( ) +           +                     +                     (w)(w)(3,4) (w)(w)(2,4) (w)(w)(w)(1,7) (v) (u) (w) (3,3)(3,2)(3,1) (2,3)(2,2)(2,1) (1,3)(1,2)1,1 (v) (u) (w) (3) (2) 1 )q(qC )q(qC )qq,(qC q q q CCC CCC CCC q q q M M M && && && 00 00 00 ( )           Ω =           ++ + 0 0 cos 0 0 tF)q(qC)q(qC)q(qC (w)(v)(1,6)(w)(u)(1,5)(w)(w)(1,4) , (6) где ( ) ( ) ( )TNN T NN T N 312211 ξ,...,ξ,ξ,...,ξ,ξ,...,ξ ++ === (v)(u)(w) qqq . Для определения продольных и крутильных перемещений, индуцируемых поперечными ко- лебаниями, воспользуемся квазистатическим анализом. Такой подход к анализу геометрически нели- нейного деформирования оболочки используется в работе [6]. Во втором и третьем матричном урав- нении системы (6) отбросим инерционные слагаемые. Тогда эти уравнения можно записать в следу- ющем матричном виде: 0=      +                 (w)(w)(3,4) (w)(w)(2,4) (v) (u) (w) (3,3)(3,2)(3,1) (2,3)(2,2)(2,1) )q(qC )q(qC q q q CCC CCC . (7) Решение системы (7) представим так: ( ) ( ) , ; (w)(w)(2)(w)(2)(v) (w)(w)(1)(w)(1)(u) qqβqαq qqβqαq += += (8) где −(2)(1) αα , квадратные матрицы размера NN × ; −= 2,1; i)(qβ (w)(i) квадратные матрицы, все эле- менты которых являются линейными функциями обобщенных координат, входящих в вектор (w)q . Уравнения (8) позволяют динамическую систему (6) свести к нелинейной динамической си- стеме относительно обобщенных координат поперечных движений оболочки (w)q . Для этого соотно- шения (8) введем в первое матричное уравнение системы (6). В результате получим динамическую систему в матричном виде )cos( tΩ=+++ F)qq,(qK)q(qKqKqM (w)(w)(w)(3)(w)(w)(2)(w)(1)(w)(1) && . (9) Для дальнейшего анализа введем безразмерные обобщенные координаты, безразмерное время и безразмерные параметры ;,...,1; ξ Nj h y j j == 1 1 ω ;ωτ Ω =Ω= t , (10) ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 3 28 где 1ω – первая собственная частота колебаний оболочки. Теперь в динамической системе (9) учтем внутреннее трение в материале оболочки, которое пропорционально первой степени скорости. Тогда динамическая система (9) относительно безразмерных переменных и параметров (10) примет следу- ющий вид: )τcos( ~ 1 1 11 11 Ω=+++′λ+′′ ∑∑∑∑∑∑ = = == == j N i N k N l lkijikl N i N k kijik N i ijijjj Fyyyzyyzyzyy , (11) где ; τd dy y j j =′ −′ jj yλ слагаемое, описывающее безразмерное внутреннее трение в материале оболоч- ки; −jjikljikji Fzzz ~ ,,, величины, зависящие от параметров конструкции. Теперь введем вектор фазо- вых координат ( )NN yyyy ′′= ,...,,,..., 11η . Тогда динамическую систему (11) относительно вектора фазо- вых координат можно представить в следующем виде: ( )Ω=′ ,τ,ηfη , (12) где ( ) ( )Ω+=Ω ,τ,,τ, Tηfηf - периодическая вектор-функция по явно входящему времени; − Ω = π2 T период колебаний. Для анализа периодических колебаний в оболочке при ее геометрически нелинейном дефор- мировании решается двухточечная краевая задача для нелинейной динамической системы (12). Зная решения этой краевой задачи при разных значениях частоты возмущающей силы Ω , можно постро- ить амплитудно-частотную характеристику. Для ее расчета применяется алгоритм продолжения, ко- торый подробно рассмотрен в [3]. Для анализа устойчивости периодических колебаний рассчитывалась матрица монодромии и находились ее собственные значения. 3. Результаты численного анализа Рассмотрим линейные колебания консольной пологой оболочки (рис. 1). Исследуем собственные частоты и собственные формы колебаний консольной оболочки (рис. 1). Параметры этой оболочки принимались следующими [7]: .м5,м1039,0,3.0µ,м127,0 ,м27,0,м/кг1084,2ρ,Па107056,0 3 3311 =×=== =×=×= − Rhb aE Коэффициенты диссипации, входящие в (11), таковы: Niii ,...,1;ω/ω003.0λ 1 =⋅= , где iω – собственные частоты колебаний конструкции. Амплитуда внешней силы fA принималась следующей: 2 1ω273.0 hAf = . Собственные частоты колебаний оболочки R (м) Метод расчета ω1 (рад/с) ω2 (рад/с) ω3 (рад/с) ω4 (рад/с) ω5 (рад/с) ω6 (рад/с) 2 ANSYS 349,53 364,87 753,39 1055,91 1137,51 1273,72 RRM 348,75 364,15 751,15 1052,75 1119,22 1265,03 5 ANSYS 236,77 288,31 494,09 654,499 994,075 998,65 RRM 236,58 287,93 491,87 652,57 990,73 996,70 10 ANSYS 202,35 215,06 373,71 641,11 872,61 918,64 RRM 202,22 214,87 372,07 639,31 869,22 917,16 Для анализа сходимости решений расчет собственных частот производился с различным чис- лом слагаемых в разложении для перемещений. Результаты расчетов сравнивались с данными конеч- но-элементного моделирования с помощью программного комплекса ANSYS. Был сделан вывод, что ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 3 29 по 10 кубических В-сплайнов в каждом направлении достаточно для сходимости результатов. Конеч- ные результаты расчетов представлены в таблице. В первом столбце показаны радиусы кривизны ис- следуемых оболочек. Результаты расчетов собственных частот колебаний, полученные методом Релея-Ритца, обозначены RRM. В дальнейшем рассмотрим колебания оболочки с радиусом кривизны м5=R . Геометрически нелинейное динамическое деформирование пологой оболочки описывается динамической системой (11). Результаты численного исследования периодических колебаний пред- ставим на амплитудно-частотной характеристике. Для ее расчета воспользуемся алгоритмом продол- жения, который подробно рассматривается в [3]. Периодическую сосредоточенную силу приложим в точке с координатами ( ) ( )1508,0;27,0,θ 00 =x . Эта точка принадлежит узловой линии второй формы колебаний. Поэтому вторая форма колебаний не учитывается в анализе. Численно получены две модели нелинейных колебаний оболочки (11) с четырьмя и пятью степенями свободы. Для получения модели с четырьмя степенями свободы в разложении (9) учиты- вались первые пять форм колебаний. В модели с пятью степенями свободы учитывалось шесть форм колебаний в разложении (9). На рис. 2 пока- зан частотный отклик колебаний, где по оси абс- цисс откладывается частота возмущающего воз- действия, а по оси ординат – безразмерный полу- размах колебаний ( ) ( )( ) .2/minmax iii yyA −= Ре- зультаты расчетов для модели с пятью степенями свободы показаны пунктирной линией, с четырь- мя степенями свободы – сплошной. В области первого резонанса (рис. 2) результаты расчетов для моделей с четырьмя и пятью степенями сво- боды чрезвычайно близки. В дальнейшем анализе будет использоваться модель с пятью степенями свободы. Рассмотрим первый основной резонанс. Амплитудно-частотные характеристики в области этого резонанса приводятся на рис. 3. Устойчивые движения изображены на этом рисунке сплошной линией, а неустойчивые – пунктирной. На рис. 3, a по оси ординат показывается половина размаха обобщенной координаты 1y , а на рис. 3, б половина размаха обобщенной координаты третьей соб- ственной формы колебаний 2y . На рис. 3, а треугольниками показаны бифуркации Немарка- Сакера [3]. Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика а) б) Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики в области первого основного резонанса: а) – амплитудно-частотная характеристика 1-й обобщенной координаты; б) – амплитудно-частотная характеристика 2-й обобщенной координаты ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 3 30 На амплитудно-частотной характеристике (рис. 3, a) представлены три области неустойчивых коле- баний, которые возникают вследствие бифуркации Неймарка-Сакера. Хорошо известно [3], что в та- ких бифуркационных точках рождаются почти периодические колебания. Для анализа почти перио- дических колебаний рассчитывались сечения Пуанкаре. Неустойчивые периодические колебания, которые возникли вследствие бифуркации Неймарка-Сакера, наблюдаются в частотном диапазоне [ ]04809,1;03905,1∈Ω . При 04809,1=Ω возникают почти периодические колебания (рис. 4). Сечения Пуанкаре этих колебаний на плоскости ( )11, yy ′ приводятся на рис. 4, а. Из этого рисунка видно, что в системе существует инвариантный тор. На рис. 4, б показано поведение обобщенной координаты 1y . При уменьшении частоты возмущающего воздействия почти периодические колебания раз- рушаются и преобразуются в хаотические. Странные аттракторы хаотических колебаний при 047,1=Ω и 046,1=Ω на плоскости ( )22 , yy ′ представлены на рис. 5. При дальнейшем уменьшении частоты возмущающего воздействия хаотические колебания преобразуются в почти периодические. Результаты анализа спектральных плотностей хаотических колебаний приводятся на рис. 6. На рис. 6, a и рис. 6, б представлены спектральные плотности хаотических колебаний обобщенных координат 2y и 3y при 047,1=Ω . У спектральной плотности обобщенной координаты 2y наблюда- ются дискретные составляющие спектра на частотах возмущающего воздействия 047,11 =Ω и 12 2Ω=Ω . Подчеркнем, что около второй частоты 2Ω наблюдается область сплошного спектра, что а) б) Рис. 5. Сечения Пуанкаре установившихся колебаний при следующих значениях частоты возмущающего воздействия: а) – 047,1=Ω ; б) – 04,1=Ω а) б) Рис. 4. Почти периодические колебания системы при 04809,1=Ω : а) – сечение Пуанкаре; б) – изменение 1-й обобщенной координаты с течением времени ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машинобудування, 2017, Т. 20, № 3 31 свидетельствует о хаотическом характере движения )(2 ty . У спектральной плотности обобщенной координаты 3y (рис. 6, б) наблюдаются дискретные составляющие спектра на частотах 21, ΩΩ и 13 3Ω=Ω . Около каждой из этих частот наблюдается область сплошного спектра. Итак, движение )(3 ty является хаотическим. Заключение В области первого основного резонанса наблюдается два пика амплитудно-частотной харак- теристики, что объясняется наличием внутреннего резонанса между первой и третьей собственными частотами колебаний. Вследствие этого внутреннего резонанса наблюдается энергообмен между пер- вой и третьей собственными формами колебаний при геометрически нелинейном деформировании оболочки. В области этого резонанса образуются бифуркации Неймарка-Сакера и седло-узловые би- фуркации. Вследствие бифуркаций Неймарка-Сакера образуются три области неустойчивых колеба- ний и возникают почти периодические колебания, которые при изменении частоты возмущающего воздействия преобразуются в хаотические колебания. Для исследования такого преобразования коле- баний используются сечения Пуанкаре и спектральные плотности. Литература 1. Amabili, M. Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cylindrical shells and panels, with and without fluid structure interaction /M. Amabili, M. P. Paıdoussis // Appl. Mech Reviews. – 2003. – Vol. 56, № 4. – P. 349–381. 2. Alijani, F. Non-linear vibrations of shells: A literature review from 2003 to 2013/ F. Alijani, M. Amabili // Interna- tional Journal of Non-Linear Mechanics. – 2014. – Vol. 58, № 1. – P. 233–257. 3. Аврамов, К. В. Нелинейная динамика упругих систем: В 2-х т. Т. 1. Модели, методы, явления / К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин. – М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютер. исслед., 2010. – 704 с. 4. Amabili, M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates / M. Amabili – Cambridge: Cambridge Univ. Press. 5. Awrejcewicz, J. Investigation of the stress-strain state of the laminated shallow shells by R-functions method com- bined with spline-approximation / J. Awrejcewicz, L. Kurpa, A. Osetrov // ZAMM – J. Appl. Mathematics and Me- chanics. – 2011. – Vol. 91, №. 6. – P. 458–467. 6. Avramov, K. V. Vibrations of shallow shells rectangular in the horizontal projection with two freely supported oppo- site edges / K. V. Avramov, I. D. Breslavsky // Mechanics of Solids. – 2013. – Vol. 48, № 2. – P. 186–193. 7. Avramov, K. V. Dynamic instability of shallow shells in three-dimensional incompressible inviscid potential flow / K. V. Avramov, S. V. Papazov, I. D. Breslavsky // J. Sound and Vibration. – 2017. – Vol. 394, № 37. – P. 593–611. Поступила в редакцию 19.07.17 а) б) Рис. 6. Спектральные плотности установившихся хаотических колебаний: а) – движения 2у 047,1=Ω ; б) – движения 3у при 047,1=Ω
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-127656
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0131-2928
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T13:38:45Z
publishDate	2017
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
record_format	dspace
spelling	Малышев, С.Е. Аврамов, К.В. Конкин, В.Н. 2017-12-24T16:41:21Z 2017-12-24T16:41:21Z 2017 Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании / С.Е. Малышев, К.В. Аврамов, В.Н. Конкин // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 25-31. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127656 539.3 Получена нелинейная динамическая система с конечным числом степеней свободы, описывающая вынужденные колебания пологой оболочки при ее геометрически нелинейном деформировании. Для вывода этой динамической системы применяется метод заданных форм. В области первого основного резонанса исследованы бифуркации Неймарка-Сакера. В результате этих бифуркаций возникают почти периодические колебания, которые преобразуются в хаотические. Исследуются свойства этих колебаний. Отримано нелінійну динамічну систему з кінцевим числом ступенів свободи, що описує вимушені коливання пологої оболонки при її геометрично нелінійному деформуванні. Для виведення цієї динамічної системи застосовується метод заданих форм. В області першого основного резонансу виявлені біфуркації Неймарка-Сакера. В результаті цих біфуркацій виникають майже- періодичні коливання, які перетворюються в хаотичні. Досліджуються властивості цих коливань. A nonlinear dynamical system with a finite number of degrees of freedom is obtained, which describes the forced oscillations of the shallow shell for its geometrically nonlinear deformation. To derive this dynamic system, the method of given forms. In the region of the first fundamental resonance, the Neumark-Sacker bifurcations are investigated. As a result of these bifurcations, almost periodic oscillations arise, which are transformed into chaotic oscillations. The properties of these oscillations are explored. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании Periodic, almost periodic and chaotic forced oscillations of the sloping cantilever shell under geometrically nonlinear deformation Article published earlier
spellingShingle	Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании Малышев, С.Е. Аврамов, К.В. Конкин, В.Н. Динамика и прочность машин
title	Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании
title_alt	Periodic, almost periodic and chaotic forced oscillations of the sloping cantilever shell under geometrically nonlinear deformation
title_full	Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании
title_fullStr	Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании
title_full_unstemmed	Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании
title_short	Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании
title_sort	периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании
topic	Динамика и прочность машин
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127656
work_keys_str_mv	AT malyševse periodičeskiepočtiperiodičeskieihaotičeskievynuždennyekolebaniâpologoikonsolʹnoioboločkiprigeometričeskinelineinomdeformirovanii AT avramovkv periodičeskiepočtiperiodičeskieihaotičeskievynuždennyekolebaniâpologoikonsolʹnoioboločkiprigeometričeskinelineinomdeformirovanii AT konkinvn periodičeskiepočtiperiodičeskieihaotičeskievynuždennyekolebaniâpologoikonsolʹnoioboločkiprigeometričeskinelineinomdeformirovanii AT malyševse periodicalmostperiodicandchaoticforcedoscillationsoftheslopingcantilevershellundergeometricallynonlineardeformation AT avramovkv periodicalmostperiodicandchaoticforcedoscillationsoftheslopingcantilevershellundergeometricallynonlineardeformation AT konkinvn periodicalmostperiodicandchaoticforcedoscillationsoftheslopingcantilevershellundergeometricallynonlineardeformation

Периодические, почти периодические и хаотические вынужденные колебания пологой консольной оболочки при геометрически нелинейном деформировании

Репозитарії

Схожі ресурси