Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы
В рамках кинетического метода исследована электропроводность металлической частицы нанометрового размера, имеющей форму сплюснутого или вытянутого эллипсоида вращения в области частот как превышающих, так и меньших характерной частоты свободного пробега электрона между стенками частицы. Граничным...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127752 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы / Н.И. Григорчук, П.М. Томчук // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 461-472. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-127752 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Григорчук, Н.И. Томчук, П.М. 2017-12-27T15:42:16Z 2017-12-27T15:42:16Z 2007 Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы / Н.И. Григорчук, П.М. Томчук // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 461-472. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 73.23.–b, 73.63.–b, 78.67.Bf https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127752 В рамках кинетического метода исследована электропроводность металлической частицы нанометрового размера, имеющей форму сплюснутого или вытянутого эллипсоида вращения в области частот как превышающих, так и меньших характерной частоты свободного пробега электрона между стенками частицы. Граничным условием задачи выбрано диффузное отражение электрона от внутренней поверхности частицы. Для случая, когда длина падающей волны велика по сравнению с характерными размерами частицы, получены аналитические выражения, позволяющие определить зависимость электропроводности от степени сплюснутости или вытянутости частицы и ее ориентации по отношению к направлению падающего излучения. Исследована зависимость поперечной и продольной компонент электропроводимости от размеров частицы и частоты электромагнитного излучения. В случае больших эксцентриситетов частицы для этих компонент достигнуто соответствие с известными результатами для тонких плeнок и тонких проволок. В межах кінетичного методу досліджено електропровідність металевої частинки нанометрового розміру, що має форму сплюснутого або витягнутого еліпсоїда обертання в області частот, що як перевищують, так і менших від характерної частоти вільного пробігу електрона між стінками частинки. Граничною умовою задачі обрано дифузійне відбиття електрона від внутрішньої поверхні частинки. Для випадку, коли довжина падаючої хвилі велика у порівнянні з характерними розмірами частинки, отримано аналітичні вирази, що дозволяють визначити залежність електропровідності від ступеня сплюснутості або витягнутості частинки та її орієнтації по відношенню до напрямку падаючого випромінювання. Досліджено залежність поперечної та поздовжньої компонент електропровідності від розмірів частинки та частоти електромагнітного випромінювання. У випадку великих ексцентриситетів частинки для цих компонент досягнуто відповідність з відомими результатами для тонких плівок та тонких дротів. The kinetic method is used to study the conductivity of a metallic nanoparticle having the shape of oblate or oblong ellipsoid of revolution at frequencies, both higher, and lower than the frequency of the electron free path between the particle walls. The diffuse reflection of an electron from the intrinsic surface of the particle was chosen as the boundary conditions. For the case where the electromagnetic wave length is large compared to the typical sizes of the particle, analytical expressions are derived to determine the dependence of conductivity of the particle on the degree of its oblateness or oblongness as well as on its orientation with respect to the direction of incident radiation. The dependence of longitudinal and transverse conductance components on the particle size and electromagnetic radiation frequency is investigated. In the case of large eccentricities of particle the agreement with the known results for thin films and thin wires are obtained for those components. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Электpонные свойства металлов и сплавов Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы Conductance of oblate or oblong nanometric metallic particles Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы |
| spellingShingle |
Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы Григорчук, Н.И. Томчук, П.М. Электpонные свойства металлов и сплавов |
| title_short |
Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы |
| title_full |
Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы |
| title_fullStr |
Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы |
| title_full_unstemmed |
Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы |
| title_sort |
электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы |
| author |
Григорчук, Н.И. Томчук, П.М. |
| author_facet |
Григорчук, Н.И. Томчук, П.М. |
| topic |
Электpонные свойства металлов и сплавов |
| topic_facet |
Электpонные свойства металлов и сплавов |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Conductance of oblate or oblong nanometric metallic particles |
| description |
В рамках кинетического метода исследована электропроводность металлической частицы
нанометрового размера, имеющей форму сплюснутого или вытянутого эллипсоида вращения в
области частот как превышающих, так и меньших характерной частоты свободного пробега
электрона между стенками частицы. Граничным условием задачи выбрано диффузное отражение электрона от внутренней поверхности частицы. Для случая, когда длина падающей волны
велика по сравнению с характерными размерами частицы, получены аналитические выражения, позволяющие определить зависимость электропроводности от степени сплюснутости или
вытянутости частицы и ее ориентации по отношению к направлению падающего излучения. Исследована зависимость поперечной и продольной компонент электропроводимости от размеров
частицы и частоты электромагнитного излучения. В случае больших эксцентриситетов частицы
для этих компонент достигнуто соответствие с известными результатами для тонких плeнок и
тонких проволок.
В межах кінетичного методу досліджено електропровідність металевої частинки нанометрового розміру, що має форму сплюснутого або витягнутого еліпсоїда обертання в області частот,
що як перевищують, так і менших від характерної частоти вільного пробігу електрона між
стінками частинки. Граничною умовою задачі обрано дифузійне відбиття електрона від
внутрішньої поверхні частинки. Для випадку, коли довжина падаючої хвилі велика у
порівнянні з характерними розмірами частинки, отримано аналітичні вирази, що дозволяють
визначити залежність електропровідності від ступеня сплюснутості або витягнутості частинки
та її орієнтації по відношенню до напрямку падаючого випромінювання. Досліджено залежність поперечної та поздовжньої компонент електропровідності від розмірів частинки та
частоти електромагнітного випромінювання. У випадку великих ексцентриситетів частинки
для цих компонент досягнуто відповідність з відомими результатами для тонких плівок та тонких дротів.
The kinetic method is used to study the conductivity
of a metallic nanoparticle having the
shape of oblate or oblong ellipsoid of revolution
at frequencies, both higher, and lower than the
frequency of the electron free path between the
particle walls. The diffuse reflection of an electron
from the intrinsic surface of the particle
was chosen as the boundary conditions. For the
case where the electromagnetic wave length is
large compared to the typical sizes of the particle,
analytical expressions are derived to determine
the dependence of conductivity of the particle
on the degree of its oblateness or
oblongness as well as on its orientation with respect
to the direction of incident radiation. The
dependence of longitudinal and transverse conductance
components on the particle size and
electromagnetic radiation frequency is investigated.
In the case of large eccentricities of particle
the agreement with the known results for
thin films and thin wires are obtained for those
components.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/127752 |
| citation_txt |
Электропроводность металлических наночастиц сплюснутой или вытянутой формы / Н.И. Григорчук, П.М. Томчук // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 461-472. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT grigorčukni élektroprovodnostʹmetalličeskihnanočasticsplûsnutoiilivytânutoiformy AT tomčukpm élektroprovodnostʹmetalličeskihnanočasticsplûsnutoiilivytânutoiformy AT grigorčukni conductanceofoblateoroblongnanometricmetallicparticles AT tomčukpm conductanceofoblateoroblongnanometricmetallicparticles |
| first_indexed |
2025-11-26T19:08:56Z |
| last_indexed |
2025-11-26T19:08:56Z |
| _version_ |
1850769680960061440 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4, ñ. 461–472
Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèö
ñïëþñíóòîé èëè âûòÿíóòîé ôîðìû
Í.È. Ãðèãîð÷óê
Èíñòèòóò òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè èì. Í.Í. Áîãîëþáîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
óë. Ìåòðîëîãè÷åñêàÿ, 14-á, ã. Êèåâ, 03143, Óêðàèíà
E-mail: ngrigor@bitp.kiev.ua
Ï.Ì. Òîì÷óê
Èíñòèòóò ôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, ïð. Íàóêè, 46, ã. Êèåâ, 03028, Óêðàèíà
E-mail: ptomchuk@iop.kiev.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 16 èþíÿ 2006 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 9 îêòÿáðÿ 2006 ã.
 ðàìêàõ êèíåòè÷åñêîãî ìåòîäà èññëåäîâàíà ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëè÷åñêîé ÷àñòèöû
íàíîìåòðîâîãî ðàçìåðà, èìåþùåé ôîðìó ñïëþñíóòîãî èëè âûòÿíóòîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ â
îáëàñòè ÷àñòîò êàê ïðåâûøàþùèõ, òàê è ìåíüøèõ õàðàêòåðíîé ÷àñòîòû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà
ýëåêòðîíà ìåæäó ñòåíêàìè ÷àñòèöû. Ãðàíè÷íûì óñëîâèåì çàäà÷è âûáðàíî äèôôóçíîå îòðàæå-
íèå ýëåêòðîíà îò âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ÷àñòèöû. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà äëèíà ïàäàþùåé âîëíû
âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíûìè ðàçìåðàìè ÷àñòèöû, ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæå-
íèÿ, ïîçâîëÿþùèå îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü ýëåêòðîïðîâîäíîñòè îò ñòåïåíè ñïëþñíóòîñòè èëè
âûòÿíóòîñòè ÷àñòèöû è åå îðèåíòàöèè ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ. Èñ-
ñëåäîâàíà çàâèñèìîñòü ïîïåðå÷íîé è ïðîäîëüíîé êîìïîíåíò ýëåêòðîïðîâîäèìîñòè îò ðàçìåðîâ
÷àñòèöû è ÷àñòîòû ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ.  ñëó÷àå áîëüøèõ ýêñöåíòðèñèòåòîâ ÷àñòèöû
äëÿ ýòèõ êîìïîíåíò äîñòèãíóòî ñîîòâåòñòâèå ñ èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ òîíêèõ ïëeíîê è
òîíêèõ ïðîâîëîê.
 ìåæàõ ê³íåòè÷íîãî ìåòîäó äîñë³äæåíî åëåêòðîïðîâ³äí³ñòü ìåòàëåâî¿ ÷àñòèíêè íàíîìåòðî-
âîãî ðîçì³ðó, ùî ìຠôîðìó ñïëþñíóòîãî àáî âèòÿãíóòîãî åë³ïñî¿äà îáåðòàííÿ â îáëàñò³ ÷àñòîò,
ùî ÿê ïåðåâèùóþòü, òàê ³ ìåíøèõ â³ä õàðàêòåðíî¿ ÷àñòîòè â³ëüíîãî ïðîá³ãó åëåêòðîíà ì³æ
ñò³íêàìè ÷àñòèíêè. Ãðàíè÷íîþ óìîâîþ çàäà÷³ îáðàíî äèôóç³éíå â³äáèòòÿ åëåêòðîíà â³ä
âíóòð³øíüî¿ ïîâåðõí³ ÷àñòèíêè. Äëÿ âèïàäêó, êîëè äîâæèíà ïàäàþ÷î¿ õâèë³ âåëèêà ó
ïîð³âíÿíí³ ç õàðàêòåðíèìè ðîçì³ðàìè ÷àñòèíêè, îòðèìàíî àíàë³òè÷í³ âèðàçè, ùî äîçâîëÿþòü
âèçíà÷èòè çàëåæí³ñòü åëåêòðîïðîâ³äíîñò³ â³ä ñòóïåíÿ ñïëþñíóòîñò³ àáî âèòÿãíóòîñò³ ÷àñòèíêè
òà ¿¿ îð³ºíòàö³¿ ïî â³äíîøåííþ äî íàïðÿìêó ïàäàþ÷îãî âèïðîì³íþâàííÿ. Äîñë³äæåíî çà-
ëåæí³ñòü ïîïåðå÷íî¿ òà ïîçäîâæíüî¿ êîìïîíåíò åëåêòðîïðîâ³äíîñò³ â³ä ðîçì³ð³â ÷àñòèíêè òà
÷àñòîòè åëåêòðîìàãí³òíîãî âèïðîì³íþâàííÿ. Ó âèïàäêó âåëèêèõ åêñöåíòðèñèòåò³â ÷àñòèíêè
äëÿ öèõ êîìïîíåíò äîñÿãíóòî â³äïîâ³äí³ñòü ç â³äîìèìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ òîíêèõ ïë³âîê òà òîí-
êèõ äðîò³â.
PACS: 73.23.–b Ýëåêòðîííûé òðàíñïîðò â ìåçîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåìàõ;
73.63.–b Ýëåêòðîííûé òðàíñïîðò â íàíîìàñøòàáe è ñòðóêòóðàõ;
78.67.Bf Íàíîêðèñòàëëû è íàíî÷àñòèöû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íàíî÷àñòèöà, ýëåêòðîïðîâîäíîñòü, ïîïåðå÷íàÿ è ïðîäîëüíàÿ êîìïîíåíòû
ýëåêòðîïðîâîäèìîñòè.
© Í.È. Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê, 2007
1. Ââåäåíèå
Ïîä íàíî÷àñòèöàìè îáû÷íî ïîíèìàþò ÷àñòèöû,
ðàçìåð d êîòîðûõ ìåíüøå, ÷åì íåêîòîðûå õàðàêòåð-
íûå äëèíû (íàïðèìåð, äëèíà ïàäàþùåé ýëåêòðîìàã-
íèòíîé (ÝÌ) âîëíû �, òîëùèíà ñêèí-ñëîÿ, äëèíà
êîãåðåíòíîñòè), íî ñóùåñòâåííî áîëüøå, ÷åì ïîñòî-
ÿííàÿ ðåøåòêè, äëèíà âîëíû Ôåðìè èëè äëèíà ýê-
ðàíèðîâàíèÿ Òîìàñà—Ôåðìè è ò.ä. Âåñüìà âàæíûì
ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó d è ñðåäíåé äëèíîé
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà l. Êàê ïðàâèëî, ðàñ-
ñìàòðèâàþò ñëó÷àè êàê d l�� , òàê è d l�� . Ïåðâûé
îòíîñÿò ê äèôôóçíîé, à âòîðîé — ê áàëëèñòè÷åñêîé
äèíàìèêå [1]. Äèôôóçíûé ñëó÷àé â ñðàâíåíèè ñ
áàëëèñòè÷åñêèì èçó÷åí äîñòàòî÷íî õîðîøî, ïî-
ñêîëüêó ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü òåîðèþ Ìè äëÿ îäíî-
ðîäíûõ ñðåä [2] èëè òåîðèþ Ìàêñâåëë—Ãàðíåòòà
äëÿ êîìïîçèòíûõ ñðåä [3]. Íî ñàìûå èíòåðåñíûå ÿâ-
ëåíèÿ ïðîèñõîäÿò â áàëëèñòè÷åñêîì ñëó÷àå. Èçâåñò-
íî, íàïðèìåð [4], ÷òî ïðè ïîäâåäåíèè ê ìàëîé ìå-
òàëëè÷åñêîé ÷àñòèöå (ÌÌ×) ýíåðãèè îò âíåøíåãî
èñòî÷íèêà íàñòóïàåò íàñòîëüêî ðåçêîå óìåíüøåíèå â
ýíåðãîîáìåíå ìåæäó ýëåêòðîíàìè è ðåøeòêîé, ÷òî
âîçíèêàåò ðàçðûâ ìåæäó òåìïåðàòóðàìè ýëåêòðîíîâ
è ðåøeòêè.
Îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ÌÌ× èññëåäóþòñÿ óæå íà
ïðîòÿæåíèè äëèòåëüíîãî ïåðèîäà âðåìåíè, è èõ ðå-
çóëüòàòû äîâîëüíî ïîëíî îòðàæåíû â îáçîðàõ [5–7]
è ìîíîãðàôèÿõ [8–12], îñîáåííî äëÿ ñôåðè÷åñêèõ
÷àñòèö [13–18]. ×àñòèöû, ñ êîòîðûìè èìåþò äåëî â
ýêñïåðèìåíòå, îáû÷íî íåñôåðè÷åñêîé ôîðìû. Â
ñâÿçè ñ ýòèì â ïîñëåäíåå âðåìÿ âîçðîñ èíòåðåñ ê
ïðîáëåìå âçàèìîäåéñòâèÿ ÝÌ èçëó÷åíèÿ ñ íåñôåðè-
÷åñêèìè ÷àñòèöàìè [19–27]. Ê òîìó æå îêàçàëîñü,
÷òî ïðè îäíîì è òîì æå ïîòîêå ìîùíîñòü, ïîãëîùàå-
ìàÿ ÷àñòèöàìè ðàâíûìè ïî îáúåìó, íî ðàçíûìè ïî
ôîðìå, ìîæåò îòëè÷àòüñÿ íà ïîðÿäêè. Ýòî ïîñëóæè-
ëî òîë÷êîì ê ðàçâèòèþ òåîðèè âçàèìîäåéñòâèÿ ÝÌ
èçëó÷åíèÿ îòäåëüíî ñ ÷àñòèöàìè öèëèíäðè÷åñêîé
[23,24], ýëëèïñîèäàëüíîé [26,27] è äðóãèõ ôîðì
[20,21].
Äëÿ ÷àñòèö íåñôåðè÷åñêîé ôîðìû, îñîáåííî ïðè
d l�� , áûëî îòíîñèòåëüíî ìàëî ïîïûòîê âû÷èñëèòü
èõ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî èç-
ëó÷åíèÿ. Äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ÷àñòèö êîíå÷íîé
äëèíû ñîâñåì íåäàâíî [23,24] ðàññ÷èòàíî ñå÷åíèå
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîãëîùåíèÿ.  [27] ïîëó÷åíû îá-
ùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîãëîùåíèÿ ýë-
ëèïñîèäàëüíîé ÷àñòèöåé â ñëó÷àå êàê äèôôóçíîé,
òàê è áàëëèñòè÷åñêîé äèíàìèêè ýëåêòðîíîâ. Îäíàêî
âî âñåõ ýòèõ ðàáîòàõ óïóñêàëîñü èç âèäó, ÷òî äëÿ
ñèëüíî ñïëþñíóòûõ èëè âûòÿíóòûõ ÷àñòèö âïîëíå
ðåàëüíîé ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà âäîëü êà-
êèõ-òî íàïðàâëåíèé ðàçìåð ÷àñòèöû ìîæåò áûòü
áîëüøå, à â äðóãèõ — ìåíüøå äëèíû ñâîáîäíîãî
ïðîáåãà ýëåêòðîíà l. Òàêèå óñëîâèÿ ñóùåñòâåííî
âëèÿþò íà ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ÷àñòèöû âäîëü ðàç-
ëè÷íûõ íàïðàâëåíèé. Âûáðàííàÿ íàìè ýëëèïñîè-
äàëüíàÿ ôîðìà ÷àñòèöû óäîáíà òåì, ÷òî ïóòeì äå-
ôîðìàöèè ïîëóîñåé ýëëèïñîèäà ìîæíî ïîëó÷èòü
õîðîøóþ àïïðîêñèìàöèþ êàê äëÿ áîëüøèíñòâà ðå-
àëüíûõ ôîðì ÷àñòèö (îò äèñêîîáðàçíûõ äî àíòåííî-
ïîäîáíûõ), òàê è äëÿ òîíêèõ ïëeíîê è òîíêèõ ïðî-
âîëîê.
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû — âîñïîëíèòü óêàçàí-
íûé ïðîáåë è äåòàëüíî ðàññìîòðåòü äèïîëüíîå ýëåê-
òðè÷åñêîå ïîãëîùåíèå ÌÌ× ñïëþñíóòîé èëè âû-
òÿíóòîé ýëëèïñîèäàëüíîé ôîðìû íà ÷àñòîòàõ êàê
ïðåâûøàþùèõ, òàê è ìåíüøèõ õàðàêòåðíîé ÷àñòîòû
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà ìåæäó ñòåíêàìè ÷àñ-
òèöû. Îñîáåííî íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü, êàê ñòåïåíü
ñïëþñíóòîñòè èëè âûòÿíóòîñòè ÷àñòèöû âëèÿåò
íà âåëè÷èíó åå ýëåêòðîïðîâîäíîñòè íà ÷àñòîòàõ
â äèàïàçîíå ìåæäó ìèíèìàëüíîé è ìàêñèìàëüíîé
ïðîëeòíîé ÷àñòîòîé ýëåêòðîíà îò ñòåíêè ê ñòåíêå.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå êèíåòè÷åñêèì ìåòîäîì
ðàññ÷èòàíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, îïèñûâàþùàÿ
ëèíåéíûé îòêëèê ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè íà ïåðå-
ìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèò-
íîé âîëíû. Ïî íàéäåííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
ðàññ÷èòàíà çàâèñèìîñòü ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ñïëþñ-
íóòîé èëè âûòÿíóòîé ÷àñòèöû îò ÷àñòîòû è îò ñîîò-
íîøåíèÿ åå ðàäèóñîâ.
Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå íàìè çäåñü äëÿ îäíîé
÷àñòèöû, ìîæíî ëåãêî îáîáùèòü íà àíñàìáëü òîæäå-
ñòâåííûõ, ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþùèõ è îäèíàêîâî
îðèåíòèðîâàííûõ ÷àñòèö [28].
Äàëåå ðàáîòà èçëîæåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âî
âòîðîì ðàçäåëå ôîðìóëèðóåòñÿ çàäà÷à è ïðåäñòàâ-
ëåí ôîðìàëèçì åå ðåøåíèÿ. Â òðåòüåì ðàçäåëå çàïè-
ñàíà îñíîâíàÿ ôîðìóëà äëÿ ýíåðãèè ïîãëîùàåìîé
ÌÌ×. ×åòâåðòûé è ïÿòûé ðàçäåë ïîñâÿùåíû ðàñ-
ñìîòðåíèþ ýëåêòðîïðîâîäíîñòè äëÿ ÷àñòèö, èìåþ-
ùèõ ôîðìó ñïëþñíóòîãî èëè âûòÿíóòîãî ýëëèïñîè-
äà âðàùåíèÿ. Â øåñòîì ðàçäåëå ðàññìîòðåíî, êàê îíà
âèäîèçìåíÿåòñÿ äëÿ ñèëüíî àñèììåòðè÷íûõ ÌÌ×.
Íàêîíåö, â ñåäüìîì ðàçäåëå ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå
ðåçóëüòàòû è âûâîäû, ïîëó÷åííûå â ðàáîòå.
2. Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è, ôîðìàëèçì
Ïóñòü íà ìåòàëëè÷åñêóþ ÷àñòèöó ýëëèïñîèäàëü-
íîé ôîðìû ïàäàåò ÝÌ âîëíà, ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàã-
íèòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ êîòîðîé
E E kr� �0 exp i t( )� ,
H H kr� �0 exp i t( )� .
Çäåñü E è H —ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ åe êîìïî-
íåíòû, � è k — ÷àñòîòà è âîëíîâîé âåêòîð, r è t —
îïèñûâàþò ïðîñòðàíñòâåííóþ êîîðäèíàòó è âðåìÿ.
462 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Í.È. Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê
Ïîëîæèì d �� �. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü
÷àñòèöó, êàê íàõîäÿùóþñÿ â ïðîñòðàíñòâåííî îäíî-
ðîäíûõ, íî îñöèëëèðóþùèõ âî âðåìåíè E è H ïî-
ëÿõ. Ýëåêòðè÷åñêàÿ êîìïîíåíòà ÝÌ âîëíû èíäó-
öèðóåò âíóòðè ÌÌ× âäîëü j-ãî íàïðàâëåíèÿ (â
ãëàâíûõ îñÿõ ýëëèïñîèäà) ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, íà-
ïðÿæåííîñòü êîòîðîãî [29]
E E L e Ej j
j s
j
in in� � �0 1( )[ ( ) ]� � (1)
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ãëàâíûå çíà÷åíèÿ òåíçîðà äåïî-
ëÿðèçàöèè L ej s( ) è äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàå-
ìîñòü ÷àñòèöû � �( ). Åñëè íàïðàâèòü îñü z âäîëü êî-
ðîòêîé (â ñëó÷àå ñïëþñíóòîãî) èëè âäîëü äëèííîé
îñè (â ñëó÷àå âûòÿíóòîãî) ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ,
òåíçîð äåïîëÿðèçàöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
[29]
L e L e
L e
e
e
e
e
s s
s
s
s
s
s
� � �
�
� �
�
�
( ) ( ( )) ,
( )
ln
| |
| |
1
2
1
1
2
1
1
2
2
3
e R R
e
e
e e R R
s
s
s
s s
��
�
�� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
, ,
( ), ,
| |
| |
1 2
3
arctg
�
�
�
(2)
ãäå es — ýêñöåíòðèñèòåò ñôåðîèäà. Ïðè es � 0,
L es| | ( )� �1 3. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ ñôåðè÷åñêîé
÷àñòèöû L e L es s� � � �( ) ( )| | 1 3. Êàê âèäíî èç (2),
êîýôôèöèåíòû äåïîëÿðèçàöèè íå çàâèñÿò îò äè-
ýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ýëëèïñîèäà, à ëèøü
îò åãî ôîðìû. Ïîñëåäíåå ñëåäóåò èç âèäà ãðàíè÷-
íûõ óñëîâèé. Åñëè âíåøíåå ïîëå E0 èìååò ñîñòàâ-
ëÿþùèå ïî âñåì òðåì îñÿì, òî ïîëå âíóòðè ýëëèï-
ñîèäà âñå ðàâíî îñòàåòñÿ îäíîðîäíûì, íî íå îáÿ-
çàòåëüíî ïàðàëëåëüíûì E0. Ñâîéñòâî ñîçäàâàòü
âíóòðè ñåáÿ îäíîðîäíîå ïîëå ïîä âëèÿíèåì âíåøíå-
ãî îäíîðîäíîãî ïîëÿ ïðèñóùå ëþáîìó ýëëèïñîèäó ñ
ïðîèçâîëüíûì ñîîòíîøåíèåì ïîëóîñåé [29]. Ðàâåí-
ñòâî (1) õîðîøî äëÿ ÌÌ×, ðàçìåðû êîòîðûõ áîëü-
øå l, è íóæäàåòñÿ â óòî÷íåíèè äëÿ äðóãèõ ñëó÷àåâ.
Âíóòðåííåå ïîëå (1) âîçáóæäàåò â ÌÌ× òîê, êî-
òîðûé â ñëó÷àå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ðàçìåðîâ ÷àñòè-
öû ïî ñðàâíåíèþ ñ l ìîæíî â ïðèáëèæåíèè çàêîíà
Îìà íàéòè èç ñîîòíîøåíèÿ
j E� � in , (3)
ñ
� �� �� � � � 4 , (4)
ãäå �� � — ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàå-
ìîñòè.  ýòîì ñëó÷àå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü [8], ÷òî äîìè-
íèðóåò îáúåìíîå ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ.
Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíî íà ðàññìîòðåíèè ñëó÷àÿ,
êîãäà d l�� .  ýòîì ñëó÷àå ïîãëîùåíèå ìîùíîñòè
âîëíû ïðîèñõîäèò òîëüêî çà ñ÷åò ñòîëêíîâåíèé
ýëåêòðîíîâ ñ âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòüþ ÷àñòèöû,
è ïðèíÿòî ãîâîðèòü î ïðåèìóùåñòâåííîì âêëàäå ïî-
âåðõíîñòíîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ. Ðàñ÷åò òîêà
íåîáõîäèìî òåïåðü ïðîâîäèòü íà îñíîâàíèè êèíåòè-
÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðîíîâ, íå íàêëàäûâàþùåé êà-
êèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà ðàçìåðû ÷àñòèöû.  ñîîò-
âåòñòâèè ñ ýòîé òåîðèåé
j r v r v( ) ( , ) ( )�
�
�
� ���2
2
3
3e
m
f d
�
�
�
, (5)
ãäå f( , )r v — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïî
êîîðäèíàòàì r è ñêîðîñòÿì v, e è m — çàðÿä è ìàññà
ýëåêòðîíà. Èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåâîçìîæ-
íûì ñêîðîñòÿì. Ïîëå Ein íàðóøàåò ðàâíîâåñíîå
ôåðìèåâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ. Ïîýòîìó
ïîëíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ f( , )r v èùóò â âèäå
ñóììû ðàâíîâåñíîé f0( )� (çàâèñÿùåé òîëüêî îò êè-
íåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà � �� �m 2 2) è íåðàâ-
íîâåñíîé äîáàâêè f1( , )r v . Â ëèíåéíîì ïðèáëèæå-
íèè ïî âíåøíåìó ïîëþ åå îïðåäåëÿþò èç
êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà ñ ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè, îïèñûâàþùèìè õàðàêòåð îòðàæåíèÿ
ýëåêòðîíîâ îò âíóòðåííèõ ñòåíîê ÷àñòèöû. Óäîáíî
ïåðåéòè ê êîîðäèíàòàì è ñêîðîñòÿì ñæàòèÿ—ðàñòÿ-
æåíèÿ, ïîçâîëÿþùèì ÷àñòèöó ýëëèïñîèäàëüíîé ôîð-
ìû (ñ ïîëóîñÿìè Rj , j � 1, 2, 3) äåôîðìèðîâàòü â
ñôåðè÷åñêóþ (ñ ðàäèóñîì R)
x
R
R
x
R
R
R R R Rj
j
j j
j
j� � � � � �, , ( )� � 1 2 3
1 3 . (6)
Ïðè òàêîé äåôîðìàöèè èçìåíÿåòñÿ òîëüêî ôîðìà
÷àñòèöû, íî ñîõðàíÿåòñÿ åå îáúeì. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî ïëîòíîñòü ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè íå èçìåíÿ-
åòñÿ òàê æå, êàê è íîðìèðîâêà ôóíêöèè f1( , )r v� � . Â
øòðèõîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå Áîëüö-
ìàíà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
� �
�
�
� � � � �
�
� �
� � �
� �
�
�
i f f
e f
1 1
0
r v v
r
r v
E r vin � 0 , (7)
ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
f1 0 0( , )| ,r v r vr R� � � � � �� � . (8)
Óñëîâèå r v� � �n 0 îòâå÷àåò äèôôóçíîìó äâèæåíèþ
ýëåêòðîíîâ* îò âíóòðåííèõ ñòåíîê ÷àñòèöû (íà÷àëî
êîîðäèíàò ïîìåùåíî â öåíòð ÷àñòèöû).  (7) ìû
Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèö ñïëþñíóòîé èëè âûòÿíóòîé ôîðìû
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 463
* Ñëó÷àé çåðêàëüíîãî îòðàæåíèÿ ýëåêòðîíîâ îò ïîâåðõíîñòè íå ïðèâîäèò ê êàêèì-ëèáî êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì,
êàê ýòî âèäíî, íàïðèìåð, èç ðàñ÷åòîâ, âûïîëíåííûõ â [22], è ïîýòîìó ìû íå áóäåì åãî ó÷èòûâàòü. Äðóãèå îáîñíîâà-
íèÿ ìû ïðèâîäèëè ðàíåå â [26].
ïðåäïîëîæèëè, ÷òî f i1 � �exp ( )�� è èíòåãðàë ñòîëê-
íîâåíèé ( )� � � � � �f t f1 1col � ïðåäñòàâëåí â ïðèáëè-
æåíèè âðåìåí ðåëàêñàöèè (� �� �1 ).
Åñëè ðåøàòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷à-
ñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (7) ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê
[30], òî äëÿ ôóíêöèè f1( , )r v ìîæíî íàéòè ðåøåíèå â
âèäå
f e
f i t
i1
0 1
( , )
( ( ) )
r v vE� �
�
�
� � � �
�
��
�
���
� �
� �in
exp
, (9)
ãäå ïàðàìåòð
t R r� �
�
� �� � � � � � �
1
2
2 2 2 2
�
�[ ( ) ( ) ]r v r v (10)
ôîðìàëüíî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âðåìÿ ïðîëå-
òà ýëåêòðîíà âäîëü òðàåêòîðèè r v R� � � � �t . Ðàäè-
óñ-âåêòîð R îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïî-
âåðõíîñòè, ñ êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ òðàåêòîðèÿ (ïðè
t� � 0).
3. Ïîãëîùàåìàÿ ìîùíîñòü
Âåëè÷èíó ïîãëîùàåìîé ìîùíîñòè ïðè èçâåñòíûõ
çíà÷åíèÿõ ïîëÿ E rin ( ) è òîêà j r( ) ìîæíî îïðåäåëèòü
â ñîîòâåòñòâèè ñ
W d
V
� �
1
2
Re *inr j r E r( ) ( ) . (11)
Ðàñ÷åò ýòîé âåëè÷èíû ïðîèñõîäèò ïî-ðàçíîìó, â çà-
âèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ðàçìåðà ÷àñòèöû è äëè-
íû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà â íåé.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå íàèáîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé,
êîãäà d l�� . Òîãäà òîê ñâÿçàí ñ ïîëåì ñîîòíîøåíèåì
(3) è, êàê ëåãêî ïîêàçàòü, èñïîëüçóÿ (1), (4), ñóì-
ìàðíàÿ ìîùíîñòü, ïîãëîùàåìàÿ ÌÌ× áóäåò
W
V E
L L
j
j jj
� � �
� �� � � �
�1
8 1 1
0
2
2 2�
��
� �
( )
[ ( )] [ ]
, (12)
ãäå V — îáúåì ÷àñòèöû. Ôîðìóëà (12) äëÿ ýëëèï-
ñîèäàëüíîé ÷àñòèöû îáîáùàåò èçâåñòíîå âûðàæåíèå
[29] äëÿ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîãëîùåíèÿ ñôå-
ðè÷åñêîé ÷àñòèöåé
W
V
� � �
� � � � �
9
8
1
2 2 2 0
2
�
��
� �( )
| |E , (13)
â êîòîðîì äëÿ ìåòàëëà
� �
�
� �
�
�
�
� �
� � � � � �
�
�
�
i i
p p
1
2
2 2
2
2 2
, (14)
ãäå � — ÷àñòîòà ñòîëêíîâåíèé ýëåêòðîíîâ ïðîâîäè-
ìîñòè, �p — ÷àñòîòà ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé ýëåê-
òðîíîâ â ìåòàëëå.  ñëó÷àå, êîãäà ðàçìåðû ÷àñòèöû
ñòàíîâÿòñÿ ìåíüøå, ÷åì äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà,
ðàâåíñòâî (14) íóæäàåòñÿ â óòî÷íåíèè [16].
Åñëè æå ðàçìåð ÷àñòèöû â êàêîì-ëèáî íàïðàâëå-
íèè ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå l, âûðàæåíèåì (12) íåëüçÿ
áîëüøå ïîëüçîâàòüñÿ, ïîñêîëüêó òîêè â ýòîì ñëó÷àå
âû÷èñëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ (5). Òîãäà ìîùíîñòü,
ïîãëîùàåìóþ ÌÌ× îò ýëåêòðè÷åñêîé êîìïîíåíòû
âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, íåîáõîäèìî îï-
ðåäåëÿòü ÷åðåç íàéäåííûå âûøå âûðàæåíèÿ äëÿ
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (9). Èñïîëüçóÿ òàêæå âû-
ðàæåíèÿ (5) è (11), â ðåçóëüòàòå íàõîäèì:
W e
m
d d F
� �
�
�
�
�
� �
�
��� ���
2
3
2
2
1
1
�
�
� �
�
Re einr v v E| | ( )( � ��
��
�
��
�t ) ,
(15)
ãäå � � �� � i , è ìû ó÷ëè, ÷òî � � � � � �f F0 � � � �( ),
�F — ýíåðãèÿ Ôåðìè. Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðà-
ëîâ ïî êîîðäèíàòàì ÷àñòèöû, ñëåäóÿ [27], èç (15)
ïîëó÷èì:
� �W e
mR
d q F� �
�
�
�
�
�
�
��
�
������
� �
�
� �2
3
2
2
1
�
Re inv v E ( ) ( ) ,
(16)
ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ [27]
( )q
q q q q
e q� � � � �
��
�
��
�4
3
2 4 4
1
1
3 2
. (17)
Ïàðàìåòð q â (17) ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ î õàðàê-
òåðå ðàññåÿíèÿ è ðàâåí
q R
i
R q iq�
�
�
�
�
� �
2 2
1 2
�
�
� �
�
( )
. (18)
 ñëó÷àå ñôåðîèäà, êîòîðûé áóäåì ðàññìàòðèâàòü
äàëåå, äåôîðìèðîâàííóþ ñêîðîñòü �� â ñîîòâåòñòâèè
ñ (6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
R
R R
| |
| |
2 2
. (19)
Çäåñü �| | — ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ýëåêòðîíà
âäîëü îñè, à �� — ïîïåðåê îñè âðàùåíèÿ ñôåðîèäà,
à R| | , R�— ïîëóîñè ñôåðîèäà. Áëàãîäàðÿ �-ôóíê-
öèè ëåãêî ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèå â (16) ïî ýíåð-
ãèÿì ýëåêòðîíà. Ïåðåéäåì äàëåå ê ñôåðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ îñüþ z, íàïðàâëåííîé âäîëü
îñè âðàùåíèÿ ñôåðîèäà. Òîãäà
� � !x � � cos , � � !y � � sin , � � "� � sin ,
� � � � "| | cos� z , � � �x y
2 2 2� � � . (20)
464 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Í.È. Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê
Ïðè ýòîì îò àçèìóòàëüíîãî óãëà ! â (16) çàâèñèò
ëèøü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå vEin . Ýòî ïîçâîëÿåò
ëåãêî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî !, è â ðåçóëüòàòå èç (16)
ïîëó÷àåì
� �
W V
ne
m
d
� �
� ��
�
�
�
�
9
16
1 1
2
2
2 2
2
2Re sin sin cos| |
�
� � � �E Ein in
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
0
�
� ��( )| .q
F
(21)
 (21) E Ein in
| | � z , E E Ein in in
� � �| | | |x y2 2 — êîìïîíåí-
òû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âäîëü è ïîïåðåê îñè âðàùå-
íèÿ ñôåðîèäà, à
n
m
m
F
F
F�
�
�
� �
8
3 2
23
� �
�
�
�
�
, , (22)
ñîîòâåòñòâåííî, êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ è èõ ñêî-
ðîñòü íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Ôîðìóëà (21) îïðå-
äåëÿåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîãëîùåíèå ÷àñòèöû â îáùåì
âèäå è îïèñûâàåò êàê ïðîöåññû ðàññåÿíèÿ ýëåêòðî-
íîâ, ïðîõîäÿùèå â îáúåìå (ïðè ñòîëêíîâåíèè ñ ôî-
íîíàìè, ïðèìåñíûìè öåíòðàìè, äåôåêòàìè ðåøåò-
êè), òàê è ïîâåðõíîñòíûå ïðîöåññû. Äëÿ ÌÌ× â
âèäå ñôåðîèäà ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ñòàíîâèòñÿ òåí-
çîðíîé âåëè÷èíîé [27] è (21) ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå
W
V
� � �
�
2
2 2[ | | | | ]| |
| |� �E Ein in , (23)
ãäå � �| | � zz , � � �� � �xx yy — êîìïîíåíòû òåíçî-
ðà ýëåêòðîïðîâîäíîñòè. Èç ñðàâíåíèÿ (21) è (23)
ïîëó÷àåì
�
�
" "
�
� ��
�
��
#
$
%
%
&
'
(
(�
9
8
12
0
2
3ne
m
d q
F
Re sin ( )| , (24)
�
�
" " "
�
� �| | Re sin cos ( )|�
#
$
%
%
&
'
(
(
�
��
9
4
12
0
2
2ne
m
d q
F
.
(25)
Çäåñü ïî ñðàâíåíèþ ñ (21) èçìåíåíû âåðõíèå ïðå-
äåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Â îáùèõ âûðàæåíèÿx (24),
(25) eùå íå ðàçäåëåí âêëàä îáúeìíîãî è ïîâåðõíî-
ñòíîãî ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ â ýëåêòðîïðîâîäíîñòü
ÌÌ×. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, èíôîðìàöèÿ î õàðàêòå-
ðå ðàññåÿíèÿ çàëîæåíà â ïàðàìåòðå q.  ÷àñòíîñòè,
èç (18)–(20) ñëåäóåò
q R
l
R
l
R
F
F
1
2
2
2
1
2 2
|
sin
| |
� �
� �
�
�
"
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
��
�
�� �
�
�
�
�
�
#
$
%
%
&
'
(
(
� �2
2
1 2
cos ," (26)
ãäå, íàïîìíèì, l F� �� � — äëèíà ñâîáîäíîãî ïðî-
áåãà ýëåêòðîíà. Âèäèì, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò òîãî,
áîëüøå èëè ìåíüøå äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåê-
òðîíà â ñðàâíåíèè õîòÿ áû ñ îäíèì èç ðàçìåðîâ ñèñ-
òåìû, çàäàâàåìûìè âåëè÷èíàìè 2 2R R� , | | , ïàðàìåòð
q
F1| � �� ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå åäè-
íèöû ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè " èç èíòåðâàëà
[0,�]. Àíàëîãè÷íî äëÿ q
F2 | � �� èç (18)–(20) èìååì:
q R
F
F
s s
2
2
2
2
1
|
sin
| |
� �
� �
�
�
�
�
"
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
#
$
%
%
&
'
(
(
� �2
2
1 2
cos ." (27)
Çäåñü
�
�
s
F
R�
�
�
2
, �
�
s
F
R| |
| |
�
2
. (28)
Ïðè ðàçìåðàõ ñèñòåìû d ìåíüøèõ, ÷åì l, âåëè÷èíû
� s� è � s| | ïðèîáðåòàþò ñìûñë «ïðîëeòíûõ» ÷àñòîò
ýëåêòðîíà îò ñòåíêè ê ñòåíêe âäîëü äâóõ âçàèìîïåð-
ïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèé.
Ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó l è
d, ìîæíî âûäåëèòü òðè ñëó÷àÿ.
1. Äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà ñóùåñò-
âåííî ìåíüøå ðàçìåðîâ ÷àñòèöû âî âñåõ íàïðàâëå-
íèÿõ.  ýòîì ñëó÷àå ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà ïðîèñõî-
äèò â îñíîâíîì â îáúeìå ÌÌ×. Ïðè ýòîì, êàê
ñëåäóåò èç (26), q
F1 1| � �� �� . Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ
(17) � �4 3, è íåòðóäíî óáåäèòüñÿ èç (24), (25),
÷òî ýëåêòðîïðîâîäíîñòü îïðåäåëèòñÿ âûðàæåíèåì
� �
�
�
� �
� � � �
�
�
)
*
+
�
�
| | Re
ne
m
ne
m
2 2
2 2
1
, (29)
â òî÷íîñòè ñîâïàäàþùèì ñ èçâåñòíîé äëÿ ñëó÷àÿ
îáúåìíîãî ìåõàíèçìà ðàññåÿíèÿ ôîðìóëîé Äðóäå.
2. Äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà ñóùåñò-
âåííî áîëüøå ðàçìåðîâ ÷àñòèöû âî âñåõ íàïðàâëå-
íèÿõ.  ýòîì ñëó÷àå ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà ïðîèñõî-
äèò, ãëàâíûì îáðàçîì, íà âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè
ÌÌ×. Ýëåêòðîíû îñöèëëèðóþò ìåæäó ñòåíêàìè
÷àñòèöû ñ óïîìÿíóòûìè âûøå ÷àñòîòàìè � s� è � s| | .
 ñîîòâåòñòâèè ñ (26) ïàðàìåòð q
F1 1| � �� �� è ôîð-
ìàëüíî åãî ìîæíî óñòðåìèòü ê íóëþ. Ïðè ýòîì ïî-
ëó÷èì
Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèö ñïëþñíóòîé èëè âûòÿíóòîé ôîðìû
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 465
Re ( ) sin ( cos )
1 1 2 4 4
1
2 2
2 2
2
3 2�
�
q
q q
q
q
q#
$%
&
'(
� � � �
#
$
%
%
&
'
(
(
.
(30)
 çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïàäàþùåé
÷àñòîòîé � è ÷àñòîòàìè � s� , � s| | ïàðàìåòð q2 â (30)
â ñîîòâåòñòâèè ñ (27), ïîäîáíî ïàðàìåòðó q1, ìîæåò
áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå åäèíèöû. Áîëåå äå-
òàëüíî íà ýòîì ñëó÷àå ìû îñòàíîâèìñÿ â ñëåäóþ-
ùèõ ðàçäåëàõ.
3. Äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà ñóùåñò-
âåííî áîëüøå ðàçìåðîâ ÷àñòèöû â îäíîì íàïðàâëå-
íèè è çíà÷èòåëüíî ìåíüøå åe ðàçìåðîâ â äðóãèõ íà-
ïðàâëåíèÿõ. Êàê ÿñíî èç ïðåäûäóùèõ äâóõ
ïóíêòîâ, â äàííîì ñëó÷àå áóäåò äîìèíèðîâàòü ðàñ-
ñåÿíèå ýëåêòðîíà íà ïîâåðõíîñòè â îäíîì íàïðàâ-
ëåíèè è îáúeìíîå — â äðóãèõ íàïðàâëåíèÿõ. Ýòî
îñîáåííî èíòåðåñío â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ñèëüíî
ñïëþñíóòîãî èëè ñèëüíî âûòÿíóòîãî ñôåðîèäà, êî-
ãäà íàáëþäàåòñÿ êîððåëÿöèÿ ñ èçâåñòíûìè ðåçóëü-
òàòàìè äëÿ òîíêèõ ïëeíîê è òîíêèõ ïðîâîëîê. Ìû
îñòàíîâèìñÿ íà íeì äàëåå áîëåå ïîäðîáíî â îòäåëü-
íîì ðàçäåëå.
4. Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü íàíî÷àñòèöû
ñïëþñíóòîé ôîðìû
 ýòîì ðàçäåëå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÌÌ×
ñïëþñíóòîé ôîðìû, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íå-
ðàâåíñòâî
l R R� ��2 2 | | , (31)
ãäå 2R| | — äëèíà ÷àñòèöû âäîëü îñè z, ñîâïàäàþùåé
ñ ãëàâíîé îñüþ ñôåðîèäà, à 2R�— åe ðàçìåð âäîëü
íàïðàâëåíèé x y, . ×àñòîòíûå çàâèñèìîñòè êîìïî-
íåíò òåíçîðà ýëåêòðîïðîâîäíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ïà-
ðàìåòðîì (27).  äèàïàçîíå ÷àñòîò
� � �s s� , , | | (32)
ýòîò ïàðàìåòð, êàê óæå óïîìèíàëîñü, ìîæåò êàê
ïðåâûøàòü, òàê è áûòü ìåíüøå åäèíèöû. Ïîýòîìó
äàëüíåéøèå àíàëèòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà â
(24), (25) ñòàíîâÿòñÿ çàòðóäíèòåëüíûìè.
Ïðåæäå ÷åì ïðåñòóïèòü ê îáñóæäåíèþ ñëó÷àÿ
÷àñòîò (32), ðàññìîòðèì äëÿ ïîëíîòû íàñòîÿùåé
ïðîáëåìû ÷àñòîòíûå èíòåðâàëû, ëåæàùèå âíå ýòîãî
äèàïàçîíà. Èíòåðâàëó � �� �s , ñîãëàñíî (27), ñîîò-
âåòñòâóåò q
F2 1| � �� � , à � �� s| | — q
F2 1| � �� � . Êàê
íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, èñïîëüçóÿ (30), äëÿ ýòèõ ÷àñ-
òîòíûõ èíòåðâàëîâ ìîæíî ïîëó÷èòü:
Re
1 1 2
2
2
2
�
�
� �
� �
( )
,
, .
,
| |
q
q
q
s
s
�
�
�
)
*
+
� -
��
��
�
�
��
�
�
�
�
(33)
 ïðèáëèæåíèè (33) èíòåãðàë â (24) è (25) áåðeòñÿ
òî÷íî.  [27] ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò
òåíçîðà ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ïðè ïðîèçâîëüíîì ñî-
îòíîøåíèè ìåæäó ïîëóîñÿìè ñôåðîèäà R� è R| | .
Ïðîñòåéøèé âèä îíè ïðèîáðåòàþò äëÿ ñèëüíî àñèì-
ìåòðè÷íûõ ÷àñòèö. Òàê ïðè R R� �� | | â íèçêî÷àñ-
òîòíîì ñëó÷àå èç [27] ëåãêî îáíàðóæèòü, ÷òî
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
#
$
%
%
&
'
(
(
�
)
*
| |
| |
| |
| |
ln 2
1
2
9
8
2
R
R
ne
m
R
F
�
�
+
�
�
�� �, � � s , (34)
è â ñëó÷àå âûñîêèõ ÷àñòîò
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
)
*
�
+
�
��
9
32
2
2
2
ne
m R
F
s| |
| |
| |, . (35)
Äëÿ ñôåðè÷åñêîé ÷àñòèöû (R R R| | � �� ,
q R l i s� � � �2 � � ) ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíà ïðîëeò-
íàÿ ÷àñòîòà � �s F R� �( )2 è âåëè÷èíà ýëåêòðîïðî-
âîäíîñòè ñòàíîâèòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé
� � �
�
� �
�
�
� �
� � � � -
��
��
�
�
��
�
�
�
| |
, ,
, .
3
4
2
2
ne
m
R
R
F
s
F
s
(36)
Ìåæäó íèçêî÷àñòîòíûì è âûñîêî÷àñòîòíûì
èíòåðâàëàìè ÷àñòîò ëåæèò äèàïàçîí ÷àñòîò, îïðå-
äåëÿåìûé íåðàâåíñòâîì (32). Íàñêîëüêî íàì èç-
âåñòíî, â ëèòåðàòóðå ÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü ýëåê-
òðîïðîâîäíîñòè ÌÌ× â ýòîì äèàïàçîíå íå
ðàññìàòðèâàëàñü. Ìû ïîñòðîèëè òàêóþ çàâèñè-
ìîñòü, èñõîäÿ èç ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ ïî ôîðìóëàì
(24) è (25). Îíà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1 äëÿ ñôå-
ðîèäàëüíîé ÷àñòèöû ðàçíîé ñïëþñíóòîñòè
( | |R R� � � 10 è � 5,86), íî îäèíàêîâîãî îáúeìà
( ,V � 18 10 17- � cì3).  ðàñ÷åòàõ ìû ïîëàãàëè:
n � �1022 3ñì , � � �1013 1ñ , �F � - �0 8 108, cì c. Ïî
îñè îðäèíàò çäåñü è íà äðóãèõ ðèñóíêàõ îòëîæåíû
âåëè÷èíà ïîïåðå÷íîé èëè ïðîäîëüíîé ýëåêòðîïðî-
âîäíîñòè ÌÌ×, îòíåñåííàÿ ê åe âåëè÷èíå ïðè
îáúeìíûõ ñòîëêíîâåíèÿõ íà íèçêèõ ÷àñòîòàõ*:
466 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Í.È. Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê
* ñì. (29) ïðè �� 0.
� �0
2� �ne m( ). Êàê âèäíî íà ðèñóíêå, ïîïåðå÷íàÿ
ýëåêòðîïðîâîäíîñòü �� (êðèâàÿ 2) â ñïëþñíóòîé äî
çíà÷åíèé R R� � | | � 10 ñôåðîèäàëüíîé ÌÌ× íà õà-
ðàêòåðíîé ÷àñòîòå� �� s�ïðèìåðíî â 2,34 ðàçà ïðå-
âûøàåò ïðîäîëüíóþ � | | ýëåêòðîïðîâîäíîñòü (êðè-
âàÿ 4). Ýòà ïðîïîðöèÿ íàðóøàåòñÿ, âî-ïåðâûõ, ñ
èçìåíåíèåì ñïëþñíóòîñòè ÷àñòèöû (ïðè ñîõðàíåíèè
åe îáúeìà), à âî-âòîðûõ, íà äðóãèõ ÷àñòîòàõ. Òàê,
äëÿ ìåíåå ñïëþñíóòûõ ÷àñòèö òîãî æå îáúeìà, íà-
ïðèìåð ñ R R� � | | � 5,86 (êðèâûå 1 3, ), îòíîøåíèå
� �� � | | � 1,95.  ìåíåå ñïëþñíóòûõ ñôåðîèäàëü-
íûõ ÷àñòèöàõ ïîïåðå÷íàÿ è ïðîäîëüíàÿ ýëåêòðîïðî-
âîäíîñòè ñáëèæàþòñÿ.
Ïîñêîëüêó â ñîîòâåòñòâèè ñ (34), (35) íèçêî÷àñ-
òîòíîå àñèìïòîòè÷åñêîå çíà÷åíèå �� áîëüøå ñîîò-
âåòñòâóþùåãî äëÿ � | | , à âûñîêî÷àñòîòíîå äëÿ ��
ìåíüøå, ÷åì äëÿ � | | , òî äëÿ ÷àñòèöû ñ îïðåäåëåííûì
îòíîøåíèåì R /R� .| | 1, î÷åâèäíî, èìååòñÿ ÷àñòîòà
�cr , ïðè êîòîðîé � �� � | | , íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî
R R� . | | . Íà ýòîé ÷àñòîòå ìîùíîñòü, ïîãëîùàåìàÿ
÷àñòèöåé, íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ýëåê-
òðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñ óâåëè÷åíèåì ñïëþñíóòîñòè ÷àñ-
òèöû �cr ñìåùàåòñÿ (ñì. ðèñ. 1) â âûñîêî÷àñòîòíóþ
îáëàñòü ñïåêòðà. Íà ÷àñòîòàõ � ��� cr ïîãëîùåíèå â
ïëîñêîñòè äèñêà çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ñîîòâåòñò-
âóþùåå âäîëü îñè åãî âðàùåíèÿ.
Øòðèõïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ íà ðèñ. 1 îòðàæàåò õîä
êëàññè÷åñêîé çàâèñèìîñòè, çàäàâàåìîé ôîðìóëîé
Äðóäå (29) äëÿ ÷àñòèöû ñ R� � 350 �. Îíà òàêæå
âûõîäèò íà íàñûùåíèå ïðè � �� ��s 0 ñî çíà÷åíèåì
� � �0 1� . Êàê âèäíî, êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåñüìà
ñóùåñòâåííî ïîïðàâëÿåò êëàññè÷åñêèé ðåçóëüòàò â
îáëàñòè ðàññìàòðèâàåìîãî íàìè èíòåðâàëà ÷àñòîò
(32). Âíå ýòîãî èíòåðâàëà õîä êðèâûõ 1–4 äîñòàòî÷-
íî õîðîøî îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèÿìè (34), (35).
Ïîñòðîåíèå çàâèñèìîñòè êîìïîíåíò òåíçîðà ýëåê-
òðîïðîâîäíîñòè îò îòíîøåíèÿ R R� � | | èìååò ñìûñë
ëèøü äëÿ ÷àñòèö, ðàçìåðû êîòîðûõ âî âñåõ íàïðàâ-
ëåíèÿõ ìåíüøå l. Åñëè â êàêîì-ëèáî íàïðàâëåíèè
ðàçìåð ÷àñòèöû ñòàíîâèòñÿ áîëüøå l, òî çàâèñèìîñòü
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè îò ðàçìåðà ÷àñòèöû â ýòîì íà-
ïðàâëåíèè èñ÷åçàåò (ñì.(29)).  ýòîì ñëó÷àå çàâè-
ñèìîñòü îò R R� � | | òåðÿåò ñìûñë. Ïîýòîìó ïðè âûáî-
ðå âåëè÷èí ðàäèóñîâ ÷àñòèöû ìû èñõîäèëè èç òîãî,
÷òî ìèíèìàëüíî äîïóñòèìûé â ðàìêàõ óñëîâèÿ
2R << l ðàäèóñ ÷àñòèöû íå äîëæåí ïðåâûøàòü, ïðè
óêàçàííûõ âûøå ïàðàìåòðàõ*, çíà÷åíèÿ R � 400� .
Íà ðèñ. 2 ïðîèëëþñòðèðîâàíà çàâèñèìîñòü ïîïå-
ðå÷íîé è ïðîäîëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòè îò ñòåïå-
íè ñïëþñíóòîñòè èëè âûòÿíóòîñòè ÌÌ×, çàäàâàå-
ìîé îòíîøåíèåì äëèí ïîëóîñåé ñôåðîèäà R R� � | | .
Çàâèñèìîñòè ïîñòðîåíû â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷èñëåííû-
ìè ðàñ÷åòàìè ïî ôîðìóëàì (24), (25). Êðèâûå 2, 4
îòíîñÿòñÿ ê ñôåðîèäàëüíîé ÷àñòèöå ñ ôèêñèðîâàí-
íûì îáúeìîì (äëÿ óäîáñòâà âûáðàí îáúeì ñïëþñíó-
òîãî ñôåðîèäà ñ ðàäèóñàìè, ÷òî è äëÿ êðèâûõ 2, 4 íà
ðèñ. 1.), ðàâíûì îáúeìó ñôåðû ñ ðàäèóñîì
R � 162,4 �. Êðèâûå æå 1, 3 ñîîòâåòñòâóþò ñôåðîè-
äàëüíîé ÷àñòèöå ñ îáúeìîì (çäåñü âûáðàí îáúeì âû-
òÿíóòîãî ñôåðîèäà, êàê äàëåå íà ðèñ. 3), ðàâíûì
Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèö ñïëþñíóòîé èëè âûòÿíóòîé ôîðìû
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 467
0 2 4 6 8 10 12
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
� �/ s�
1
2
3
4
�
�/
0
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíûõ ïîïåðå÷íîé ��
(êðèâûå 1 è 2) è ïðîäîëüíîé �| | (êðèâûå 3 è 4) ýëåêòðî-
ïðîâîäíîñòè ñïëþñíóòîé ÌÌ× îò îòíîøåíèÿ ÷àñòîò
� �� �s ; äëÿ ÷àñòèö ñ R� = 350 �, R| | = 35 � — êðèâûå 2
è 4; ñ R� = 293 �, R| | = 50 � — êðèâûå 1 è 3. Õîä êëàñ-
ñè÷åñêîé çàâèñèìîñòè (29) (— · —).
* l F� � �� � 800�. Ïðè áîëüøèõ R çàìåòíóþ ðîëü, êàê èçâåñòíî [29], èãðàåò ìàãíèòíîå ïîãëîùåíèå, êîòîðîå ìû ðàñ-
ñìàòðèâàëè â [26].
0 1 2 3 4 5
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
1
3
2
4
�
�/
0
R /R�
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïîïåðå÷íîé �� (3, 4) è ïðîäîëüíîé
�| | (1, 2) ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ÌÌ× îò ñòåïåíè åe
âûòÿíóòîñòè èëè ñïëþñíóòîñòè; äëÿ ÷àñòèöû ñ
V � 18 10 17 3, � � ñì , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïðîëeòíîé ÷àñòîòå â
ñôåðè÷åñêîé ÷àñòèöå �s � 61 1013 1, � �ñ — êðèâûå 2 è 4,
ïðèV � 18 10 18, � � ñì3 è �s � 53 1013 1, � �ñ — êðèâûå 1 è 3.
îáúeìó ñôåðû ñ ðàäèóñîì R � 75,4 �. Ýòî îçíà÷àåò
òàêæå, ÷òî êðèâûå 1, 3 è 2, 4 îòëè÷àþòñÿ
«ïðîëeòíûìè» ÷àñòîòàìè ýëåêòðîíîâ îò ñòåíêè ê
ñòåíêå, çíà÷åíèå êîòîðûõ ïðèâåäåíî â ïîäïèñè ïîä
ðèñóíêîì. Íà ðèñóíêå âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ñòå-
ïåíè ñïëþñíóòîñòè ÌÌ× (ñì. èíòåðâàë
1 5, � ,�R R| | ) ýëåêòðîïðîâîäíîñòü â ïëîñêîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ ñôåðîèäà, óìåíü-
øàåòñÿ, òîãäà êàê ýëåêòðîïðîâîäíîñòü âäîëü ýòîé
îñè — ñíà÷àëà âîçðàñòàåò è äîñòèãàåò ìàêñèìóìà
ïðè íåáîëüøèõ îòêëîíåíèÿõ îò ñôåðè÷åñêîé ôîðìû
÷àñòèöû, à çàòåì ïëàâíî ïàäàåò. Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò,
÷òî îòíîøåíèå ïðîäîëüíûõ ýëåêòðîïðîâîäíîñòåé â
èõ ìàêñèìóìå äëÿ äâóõ ÷àñòèö ñ ðàäèóñàìè 162,4 �
è 75,4 � ñîñòàâëÿåò � �1 2 2| | | |� � .
5. Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü íàíî÷àñòèöû âûòÿíóòîé
ôîðìû
 ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ÌÌ× âûòÿíó-
òîé ôîðìû, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
l R R� � �2 2| | . (37)
Äëÿ äàííîé ôîðìû ÷àñòèö â ÷àñòîòíîì èíòåðâàëå
� � �s s| | , , � (38)
òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ñïëþñíóòîé ôîðìû íà ÷àñ-
òîòíîì èíòåðâàëå (32), ïàðàìåòð q
F2 | � �� ìîæåò
áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå åäèíèöû. Ïîëó÷å-
íèå àíàëèòè÷åñêèõ ÷àñòîòíûõ çàâèñèìîñòåé â ýòîì
èíòåðâàëå òàêæå ÿâëÿåòñÿ íå ïðîñòîé çàäà÷åé. Ïî-
ýòîìó áûëî ïðîâåäåíî ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå
âûðàæåíèé (24), (25). Íà ðèñ. 3. ïðèâåäåíû èõ
ðåçóëüòàòû.
Êàê âèäíî, ïðîäîëüíàÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü � | |
(êðèâàÿ 3) â âûòÿíóòîé ñôåðîèäàëüíîé ÌÌ× ñ
R R| | � � � 3,42 íà õàðàêòåðíîé ÷àñòîòå � �� s| | * ìå-
íåå ÷åì â ïîëòîðà ðàçà ïðåâûøàåò ïîïåðå÷íóþ ýëåê-
òðîïðîâîäíîñòü �� (êðèâàÿ 1). Ýòî ñîîòíîøåíèå èç-
ìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì âûòÿíóòîñòè ÌÌ× (ïðè
ñîõðàíåíèè åe îáúeìà), à òàêæå ñ èçìåíåíèåì ÷àñòî-
òû. Òàê, äëÿ áîëåå âûòÿíóòûõ ÷àñòèö, íàïðèìåð, ñ
R R| | � � � 10 (êðèâûå 2, 4), îòíîøåíèå � �| | ,� �� 17.
Âèäèì, ÷òî � | | è �� ñáëèæàþòñÿ â ìåíåå âûòÿíóòûõ
ñôåðîèäàëüíûõ ÷àñòèöàõ.
Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ñïëþñíóòîé ÷àñòèöû ïðè
R R| | � .� 1 òàêæå ñóùåñòâóåò ÷àñòîòà �cr , ïðè êîòî-
ðîé ìîùíîñòü, ïîãëîùàåìàÿ ÷àñòèöåé, íå çàâèñèò îò
íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñ óâåëè-
÷åíèåì âûòÿíóòîñòè ÷àñòèöû �cr ñìåùàåòñÿ (ñì.
ðèñ. 3) â âûñîêî÷àñòîòíóþ îáëàñòü ñïåêòðà. Íà ÷àñ-
òîòàõ � ��� cr ïîãëîùåíèå âäîëü ïðîâîëîêè çíà÷è-
òåëüíî ïðåâûøàåò ñîîòâåòñòâóþùåå ïîïåðåê åå.
Äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ àñèìïòîòèêàìè, íà êîòîðûå âû-
õîäÿò ÷àñòîòíûå çàâèñèìîñòè êîìïîíåíò òåíçîðà
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè âíå èíòåðâàëà (38), çàìåòèì,
÷òî äëÿ ñëó÷àÿ (37) àïïðîêñèìàöèÿ (33) îñòàeòñÿ â
ñèëå, åñëè âûïîëíèòü â (33) âçàèìîçàìåíó
� �s s� � | | . Â ðåçóëüòàòå èíòåãðàëû (24), (25) âû-
÷èñëÿþòñÿ ïðîñòî, è äëÿ ñèëüíî âûòÿíóòîé ÷àñòèöû
(R R| | �� � ) â ñëó÷àå íèçêèõ ÷àñòîò íàõîäèì
� �
�
� �
� ��
�
�
�
�
)
*
�
+
�
��
9
32
2
2ne
m
R
F s
| |
| |, . (39)
Àíàëîãè÷íî, â âûñîêî÷àñòîòíîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü
� �
�
�
� �
� ��
�
�
�
�
� �
)
*
�
+
�
��
27
128
2 3
2
2
ne
m R
F
s
| |
, . (40)
Åñëè ñðàâíèòü âûðàæåíèÿ (39), (40) äëÿ ñèëüíî
âûòÿíóòîé ÷àñòèöû ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè (34), (35)
äëÿ ñèëüíî ñïëþñíóòîé ÷àñòèöû, òî âèäíî, ÷òî õîä
÷àñòîòíîé çàâèñèìîñòè êîìïîíåíò òåíçîðà ýëåêòðî-
ïðîâîäíîñòè âíå èíòåðâàëà ÷àñòîò, ìåæäó ìèíè-
ìàëüíîé è ìàêñèìàëüíîé ïðîëeòíûìè ÷àñòîòàìè,
îäèíàêîâ. Ïî âèäó îí íàïîìèíàåò àñèìïòîòè÷åñêèé
õîä ÷àñòîòíîé çàâèñèìîñòè ïðè îáúeìíîì ðàññåÿ-
íèè, â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ èç (29), ïîëîæèâ � ���
èëè � ��� . Ðàçëè÷èå ñîñòîèò ëèøü â òîì, ÷òî ïðè
468 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Í.È. Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê
0 2 4 6 8 10 12
0,02
0,04
0,06
0,08
2
1
4
3
�
�/
0
� �/ s
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíûõ ïîïåðå÷íîé ��
(êðèâûå 1 è 2) è ïðîäîëüíîé �| | (êðèâûå 3 è 4) ýëåêòðî-
ïðîâîäíîñòè âûòÿíóòîé ÌÌ× îò îòíîøåíèÿ ÷àñòîò
� �� s| |; äëÿ ÷àñòèö ñ R| | = 350 �, R� = 35 � — êðèâûå 2
è 4; ñ R| | = 171 �, R� = 50 � — êðèâûå 1 è 3. Õîä êëàñ-
ñè÷åñêîé çàâèñèìîñòè (29) (—·—) ïðè R| | = 350 �.
* Çàìåòèì, ÷òî â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå ñêîðîñòü Ôåðìè äåëèëàñü íà ïîïåðå÷íóþ äëèíó R� .
îáúeìíîì ðàññåÿíèè âûñîêî÷àñòîòíàÿ ýëåêòðîïðî-
âîäíîñòü â îêðåñòíîñòè � �� ïëàâíî ïåðåõîäèò â
íàñûùåíèå.  ñèëüíî æå àñèììåòðè÷íûõ ÷àñòèöàõ
ñóùåñòâóåò öåëàÿ ïåðåõîäíàÿ îáëàñòü ìåæäó ìèíè-
ìàëüíîé è ìàêñèìàëüíîé ïðîëåòíûìè ÷àñòîòàìè, â
êîòîðîé ÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü � îòëè÷íà îò îáúåì-
íîé.
Íåîáõîäèìî òàêæå îòìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå ñèëüíî
àñèììåòðè÷íûõ ÷àñòèö (îäíàêî ñ ðàçìåðàìè ìåíü-
øèìè, ÷åì äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà)
ðîëü òàêîé äëèíû íà÷èíàåò èãðàòü (ñ òî÷íîñòüþ äî
÷èñëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, çàâèñÿùèõ îò ôîðìû
÷àñòèöû) ìåíüøèé èç ðàçìåðîâ ÷àñòèöû.
Íà ðèñ. 2 â èíòåðâàëå /min | |� � ��R R 1 ïîêà-
çàíà çàâèñèìîñòü ïðîäîëüíîé (êðèâûå 1, 2) è ïî-
ïåðå÷íîé (êðèâûå 3, 4) êîìïîíåíò òåíçîðà ýëåê-
òðîïðîâîäíîñòè âûòÿíóòîé ÌÌ× îò ñòåïåíè
âûòÿíóòîñòè ÷àñòèöû, çàäàâàåìîé îòíîøåíèåì äëèí
ïîëóîñåé ñôåðîèäà R R� � | | . Íàëè÷èå ìèíèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ R R� � �| | min/ îáóñëîâëåíî îãðàíè÷åíèåì
íà âåëè÷èíó ïðîäîëüíîãî ðàäèóñà ñôåðîèäàëüíîé
÷àñòèöû, êîòîðûé ïî óñëîâèþ íàøåé çàäà÷è íå äîë-
æåí ïðåâûøàòü äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðî-
íà â ÷àñòèöå. Îãðàíè÷åíèå âîçíèêàåò èç óñëîâèÿ
ñîõðàíåíèÿ îáúeìà ÷àñòèöû ïðè R R� � �| | 0, òðå-
áóþùåãî óâåëè÷åíèÿ ðàäèóñà R| | � 0, ÷òî íåâîç-
ìîæíî â ñèëó R l| | , . Íàïîìíèì, ÷òî ôèêñèðóÿ çíà-
÷åíèå R ïðè ïðîèçâîëüíûõ R�è R| | ìû, òåì ñàìûì,
ðàññìàòðèâàåì ÷àñòèöó îäíîãî îáúeìà, íî ðàçíûõ
ôîðì. Ïîýòîìó êðèâûå 1–4 ïëàâíî ïåðåõîäÿò îò
ðàññìîòðåííîãî âûøå ñëó÷àÿ ñïëþñíóòîé ÷àñòèöû
÷åðåç ñôåðó ê ñëó÷àþ âûòÿíóòîé ÷àñòèöû.
Íà ðèñóíêå âèäíî, ÷òî äëÿ âûòÿíóòûõ ÷àñòèö
ïðîäîëüíàÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü � | | ñ óâåëè÷åíèåì
ñòåïåíè âûòÿíóòîñòè ïëàâíî óìåíüøàåòñÿ, òîãäà êàê
ïîïåðå÷íàÿ ��— ñíà÷àëà ðàñòeò è äîñòèãàåò ìàê-
ñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, à ïîòîì òàêæå ïàäàåò. Ðàç-
íèöà ìåæäó ìàêñèìàëüíûìè çíà÷åíèÿìè �� äëÿ
÷àñòèö ðàçíûõ îáúeìîâ ðàñòeò ïðîïîðöèîíàëüíî îò-
íîøåíèþ ðàäèóñîâ ýòèõ ÷àñòèö. Òàê, äëÿ èñïîëü-
çóåìûõ âûøå â ðàñ÷eòàõ ðàäèóñîâ R R1 2� � 2,15,
� �1 2� �� � 2,03.
6. Ñèëüíî àñèììåòðè÷íûå ÌÌ×
 ïðåäûäóùèõ äâóõ ðàçäåëàõ ìû ðàññìàòðèâàëè
àñèììåòðè÷íûå ÌÌ×, íî òàêèå, ÷òî èõ ðàçìåð âî
âñåõ íàïðàâëåíèÿõ îñòàâàëñÿ ìåíüøå l ýëåêòðîíà. Â
ýòîì ðàçäåëå ïîäðîáíî îñòàíîâèìñÿ íà ñèòóàöèè,
êîãäà â îäíîì èç íàïðàâëåíèé ðàçìåð ÷àñòèöû ìåíü-
øå l, à â äðóãîì çíà÷èòåëüíî åe ïðåâûøàåò. Íà÷íåì
ñî ñïëþñíóòûõ ÷àñòèö â âèäå ñôåðîèäà, äëÿ êîòî-
ðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
R l R� �� �� | | . (41)
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñòàòè÷åñêàÿ ýëåê-
òðîïðîâîäíîñòü âäîëü ñïëþñíóòîãî ñôåðîèäà, ïî-
ñêîëüêó ñ óìåíüøåíèåì òîëùèíû è óâåëè÷åíèåì
øèðèíû ÷àñòèöû òàêîé ôîðìû ïîëó÷åííûé ðåçóëü-
òàò äîëæåí êîððåëèðîâàòü ñ èçâåñòíûì â ëèòåðàòóðå
ðåçóëüòàòîì äëÿ òîíêèõ ïëåíîê [31–33].
 ñîîòâåòñòâèè ñî ñêàçàííûì ïîëîæèì � � 0 è
ñäåëàåì â (24) ñëåäóþùóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ:
x q
k kF
� � �
#
$
%
%
&
'
(
(�
�
� �
1
2
2
2
2
1 2
|
sin cos
| |
� �
" "
, (42)
ãäå
k R l� �� �2 ; k R l| | | |� �2 . (43)
 ðåçóëüòàòå èç (24) ïîëó÷èì
�
�
� �
�
�
� � �
� �
�
�
9
8
1 1
1
2 2
3
2
3
2 2
2 2
ne
m
e
e
k
dx
x
k x
k x
s
s k
k
||
| |
(x) , (44)
ãäå e R Rs � � ��| || | 1 — ýêñöåíòðèñèòåò ñôåðîèäà.
Âûðàæåíèå (44) ïîêà ÷òî òî÷íîå. Âîñïîëüçóåìñÿ
òåïåðü íåðàâåíñòâîì (41) è ôîðìàëüíî óñòðåìèì
R� � 0. Òîãäà (44) ïðèìåò âèä
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
��
9
8
1
2
2
2
2
ne
m
k
dx
x
k
x
x
k
| |
| |
||
( ) . (45)
Èíòåãðàë â (45) ñ ó÷eòîì ÿâíîãî âèäà (17) äëÿ
( )x ëåãêî áåðeòñÿ, è â èòîãå ìû èìååì
�
��
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ne
m k k
k k x2
3
2
1
9
16
3
8
3
16
3
6| | | |
| | | | e
x
dx
k
k
k
k
||
|| | |
| |
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
4
1
2
3
6
1
2
1
2
2
e
1 1 1
4
1 1
22 2k k k k
| | | | | | | |
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
(46)
ãäå èíòåãðàë
dx /x k E kx
k
e �
� �� 1( , ) ( )| | | |
||
0 1
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïîëíóþ ãàììà-ôóíêöèþ
1( , )| |0 k èëè èíòåãðàëüíóþ ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ
E k Ei k1( ) ( )| | | |� � � [34]. Âûðàæåíèå (46) ïî ñòðóê-
òóðå íàïîìèíàåò âûðàæåíèå, ïîëó÷åííîå Ôóêñîì
äëÿ òîíêèõ ìåòàëëè÷åñêèõ ïëåíîê [32,33].  ÷àñò-
íîñòè, èç âûðàæåíèÿ Ôóêñà [32,33] ñëåäóåò
Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèö ñïëþñíóòîé èëè âûòÿíóòîé ôîðìû
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 469
� �� � �0 1
3
8k| |
, ïðè k| | �� 1;
� �� �� � � �0
3
4
1 0 423
k
k
| |
| |ln ( ) , , ïðè k| | �� 1 ,
(47)
ãäå
�
�0
2
�
ne
m
.
Èç (46) ìû ïîëó÷àåì
� �� � � �0 1
9
16k| |
, ïðè k| | �� 1 ,
� � 2� � � � � �#
$%
&
'(
0
3
4
1
3
4
1k k| | | |( ln ( )) , ïðè k| | �� 1 ,
(48)
ãäå 2 — ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà. Èç ñðàâíåíèÿ âûðàæå-
íèé (47) è (48) âèäèì, ÷òî çàâèñèìîñòü ýëåêòðîïðî-
âîäíîñòè îò òîëùèíû ñïëþñíóòîé ÷àñòèöû ê äëèíå
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà àñèìïòîòè÷åñêè (ò.å.
ïðè ìàëûõ è áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýòîãî îòíîøåíèÿ),
ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñîâïà-
äàåò ñ òàêîâîé äëÿ òîíêèõ ìåòàëëè÷åñêèõ ïëeíîê.
×òî æå êàñàåòñÿ êîìïîíåíòû � | | , òî â ðàññìàòðèâàå-
ìîì ïðåäåëå (�� 0) îíà ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì,
çàäàâàåìûì âòîðîé ôîðìóëîé (34).
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñèëüíî âûòÿíóòîé
ÌÌ×, äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
R l R| | �� �� � . (49)
 ýòîì ñëó÷àå äëÿ íàñ îñíîâíîé èíòåðåñ áóäåò ïðåä-
ñòàâëÿòü ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ÷àñòèöû âäîëü äëèí-
íîé îñè ñôåðîèäà. Ïðè çàìåíå ïåðåìåííûõ (42) èç
(25) ñëåäóåò:
�
�
| |
||
( )� �� �
�
�
9
4
1
2 2
3 3
2
2
ne
m
k
e
dx
x
k
x
x
s k
k
. (50)
Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü çíà÷åíèå (50) ïðè R| | � 0
(à çíà÷èò ïðè k| | � 0). Ïðè ýòîì k� ìîæåò áûòü êàê
áîëüøå, òàê è ìåíüøå åäèíèöû. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ èç
(50) àñèìïòîòèê ïðè k� �� 1 è k� �� 1 (íî ïðè
k| | � 0) äîñòàòî÷íî â (50) èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæå-
íèå, êîòîðîå ñëåäóåò èç (17)
( )
, ,
, .
x
x x
x x
�
� � � ��
� ��
�
�
�
4 3 2 1
2 1
(51)
 ðåçóëüòàòå èç (50) è (51) ïîëó÷àåì:
�
�
�
�
| |
, ,
, .0
1
9
32
1
1
9
32
1
�
� ��
��
�
�
��
�
�
�
�
�
� �
k
k
k k
(52)
Äëÿ òîíêîé ïðîâîëîêè èçâåñòåí ðåçóëüòàò [32], êî-
òîðûé â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ èìååò âèä
�
�
| | , ,
, .0
1
3
4
1
1
1
�
� ��
��
�
�
�
��
�
�
� �
k
k
k k
(53)
Âèäèì, ÷òî àñèìïòîòèêè äëÿ ñèëüíî âûòÿíóòîãî
ñôåðîèäà (52) è òîíêîé ìåòàëëè÷åñêîé ïðîâîëîêè
(53) âåñüìà áëèçêè. Ïîëíîãî èõ ñîâïàäåíèÿ îæè-
äàòü íå ïðèõîäèòñÿ.
 çàêëþ÷åíèå ñðàâíèì ýëåêòðîïðîâîäíîñòü (29),
ðàññ÷èòàííóþ êëàññè÷åñêèì ñïîñîáîì, ñ ýëåêòðî-
ïðîâîäíîñòüþ (24), (25), ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ
êèíåòè÷åñêîãî ìåòîäà.  ÷àñòíîñòè, íàõîäèì, ÷òî íà
÷àñòîòàõ âíå èíòåðâàëà ÷àñòîò (32) èëè (38) êëàñ-
ñè÷åñêóþ àñèìïòîòèêó äëÿ ñôåðè÷åñêîé ÷àñòèöû
ìîæíî ïîëó÷èòü èç êèíåòè÷åñêîé (36) ïóòåì ôîð-
ìàëüíoé çàìåíû � �F R� � �4 3 ïðè � ��� s è
� �F R� � �3 4 â ñëó÷àå � ��� s . Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíà
÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ê
êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòè äëÿ ñôåðè÷åñêèõ
÷àñòè÷åê äâóõ ðàçíûõ ðàäèóñîâ, èñïîëüçóåìûõ
âûøå (ðèñ. 2) äëÿ ÷àñòîò, ìåíüøèõ ÷àñòîòû ïðîáåãà
ýëåêòðîíà ìåæäó ñòåíêàìè ÷àñòèöû. Êðèâûå ïî-
ñòðîåíû ïî ÷èñëåííûì ðàñ÷åòàì ñ èñïîëüçîâàíèåì
âûðàæåíèé (24), (25), (29). Ñëàáûå áèåíèÿ íà õâî-
ñòå â êèíåòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ýëåêòðîïðîâîäíî-
ñòè � �kinet ( ) óñèëèâàþòñÿ ñ ÷àñòîòîé â ñîîòíîøåíèè
� � � �kinet class( ) ( )� êâàäðàòè÷íûì ïàäåíèåì äðóäåâ-
ñêîé çàâèñèìîñòè � �class ( ), è â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó-
÷àåì îò÷åòëèâûå áèåíèÿ îòíîñèòåëüíîé ýëåêòðîïðî-
âîäíîñòè, êîòîðûå èìåþò òåì áîëüøóþ àìïëèòóäó,
÷åì ìåíüøå ðàäèóñ ÷àñòèöû. ×àñòîòà � íà ðèñ. 4
470 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Í.È. Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê
5 10 15 200
2
4
6
8
10
12
� �/ s
�
�/
ki
n
e
t
cl
as
s
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòè,
ðàññ÷èòàííîé êèíåòè÷åñêèì ìåòîäîì, ê êëàññè÷åñêîìó
ðåçóëüòàòó Äðóäå îò ÷àñòîòû ïðè R, �: 162,4 ( ) è
75,4 (– – –).
íîðìèðîâàíà íà ÷àñòîòó � s , çàâèñÿùóþ îò ðàäèóñà
÷àñòèöû, ïîýòîìó ÷àñòîòà áèåíèé îòíîøåíèÿ
� �kinet class� äëÿ ÷àñòèö ðàçíûõ ðàäèóñîâ ñîâïà-
äàåò. Âîçìîæíî, îïèñàííûé ïóòü ïîìîæåò áîëåå
îò÷åòëèâî ýêñïåðèìåíòàëüíî âûÿâèòü áèåíèÿ ýëåê-
òðîïðîâîäíîñòè â ÌÌ× .
7. Çàêëþ÷åíèå
Äëÿ íåñôåðè÷åñêèõ ÌÌ× (ñïëþñíóòîé èëè âû-
òÿíóòîé ôîðìû), ðàçìåðû êîòîðûõ ìíîãî ìåíüøå
äëèíû ÝÌ âîëíû, ïðîâåäåí ðàñ÷åò ýíåðãèè äèïîëü-
íîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîãëîùåíèÿ â îáëàñòè ÷àñòîò
êàê ïðåâûøàþùèõ, òàê è ìåíüøèõ õàðàêòåðíîé ÷àñ-
òîòû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà ìåæäó ñòåíêàìè
÷àñòèöû. Ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ýëåêòðîíû
äèôôóçíûì îáðàçîì îòðàæàþòñÿ îò âíóòðåííåé ïî-
âåðõíîñòè ÌÌ×. Äåòàëüíî èçó÷åí èíòåðâàë ÷àñòîò
ìåæäó ìèíèìàëüíîé è ìàêñèìàëüíîé ïðîëeòíîé
÷àñòîòîé ýëåêòðîíà îò ñòåíêè ê ñòåíêå, ïðè êîòîðîì
äîìèíèðóåò áàëëèñòè÷åñêîå äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ.
Äëÿ ÷àñòèö, èìåþùèõ ôîðìó ñïëþñíóòîãî èëè
âûòÿíóòîãî ñôåðîèäà, íàéäåíû çàâèñèìîñòè êîì-
ïîíåíò òåíçîðà ýëåêòðîïðîâîäíîñòè îò ÷àñòîòû, à
òàêæå èññëåäîâàíà èõ çàâèñèìîñòü îò ñòåïåíè îòêëî-
íåíèÿ îò ñôåðè÷åñêîé ôîðìû.  ÷àñòíîñòè, óñòà-
íîâëåíî, ÷òî çíà÷åíèÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòè òàêèõ
÷àñòèö â èíòåðâàëå ïðîëeòíûõ ÷àñòîò ïî÷òè íà ïîðÿ-
äîê ìåíüøå âûòåêàþùèõ èç êëàññè÷åñêîãî ñëó÷àÿ
Äðóäå.
Ïðèâåäåíû ïðîñòûå àñèìïòîòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ
äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà â ñèëüíî ñïëþñíóòûõ èëè
âûòÿíóòûõ ÷àñòèöàõ ïðè âûñîêèõ è íèçêèõ ÷àñòî-
òàõ. Îòäåëüíî ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà äëèíà ñâî-
áîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà â îäíèõ íàïðàâëåíèÿõ
ìîæåò ïðåâûøàòü, à â äðóãèõ áûòü ìåíüøå ðàçìåðà
÷àñòèöû.
Îáíàðóæåíà îñîáåííîñòü íåñôåðè÷åñêèõ ÌÌ×,
ñîñòîÿùàÿ â òîì, ÷òî èõ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìîæåò
êàê ïðåâûøàòü, òàê è áûòü ìåíüøå ýëåêòðîïðîâîä-
íîñòè ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèö â çàâèñèìîñòè îò åe îðè-
åíòàöèè ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ E0 ïàäàþùåé
ÝÌ âîëíû. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè îòêëîíåíèè ôîð-
ìû ÷àñòèöû îò ñôåðè÷åñêîé â ñòîðîíó åe ñïëþñíóòî-
ñòè ìîæíî äîñòè÷ü ðîñòà ýëåêòðîïðîâîäíîñòè íà îï-
ðåäåëåííîì èíòåðâàëå îòíîøåíèé R R� � | | , åñëè
íàïðàâèòü E0 âäîëü îñè âðàùåíèÿ ñïëþñíóòîãî ñôå-
ðîèäà, òîãäà êàê ïðè îòêëîíåíèè ôîðìû ÷àñòèöû â
ñòîðîíó åe âûòÿíóòîñòè ðîñò äîñòèãàåòñÿ ïðè íà-
ïðàâëåíèè E0 ïîïåðåê îñè âðàùåíèÿ âûòÿíóòîãî
ñôåðîèäà. Åñëè æå â ñïëþñíóòîé ÷àñòèöå E0 íàïðà-
âèòü ïîïåðåê îñè, à äëÿ âûòÿíóòîé — âäîëü îñè
âðàùåíèÿ ñôåðîèäà, òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷èì
ïàäåíèå ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñî ñôå-
ðè÷åñêîé ÷àñòèöåé.
1. M. Wilkinson and B. Mehlig, arXiv: phy-
sics/9907036 v1 21 Jul. (1999).
2. G. Mie, Ann. Phys. 25, 377 (1908).
3. J.C. Maxwell-Garnett, Philos. Trans. R. Soc. Lond.
203, 385 (1904); 205, 237 (1906).
4. S.A. Gorban’, S.A. Nepijko, and P.M. Tomchuk, Int.
J. Electronics 70, 485 (1991).
5. M.I. Kaganov and V.G. Peschansky, Phys. Rep. 372,
445 (2002).
6. W.P. Halperin, Rev. Mod. Phys. 58, 533 (1986).
7. J.A.A.J. Perenboom, P. Wyder, and F. Meier, Phys.
Rep. 78, 173 (1981).
8. Ê. Áîðåí, Ä. Õàôìåí, Ïîãëîùåíèå è ðàññåÿíèå ñâå-
òà ìàëûìè ÷àñòèöàìè, Ìèð, Ìîñêâà (1986).
9. È.Ì. Ëèôøèö, Ì.ß. Àçáåëü, Ì.È. Êàãàíîâ, Ýëåê-
òðîííàÿ òåîðèÿ ìåòàëëîâ, Íàóêà, Ìîñêâà (1971).
10. Ã. âàí äå Õþëñò, Ðàññåÿíèå ñâåòà ìàëûìè ÷àñòèöà-
ìè, Èçä-âî èíîñòð. ëèò., Ìîñêâà (1961).
11. Þ.È. Ïåòðîâ, Ôèçèêà ìàëûõ ÷àñòèö, Íàóêà, Ìîñê-
âà (1982).
12. Ì. Áîðí è Ý. Âîëüô, Îñíîâû îïòèêè, Íàóêà, Ìîñê-
âà (1973).
13. Ë.Ï. Ãîðüêîâ, Ã.Ì. Ýëèàøáåðã, ÆÝÒÔ 48, 1407
(1965).
14. A. Kawabata and R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn. 21,
1765 (1966).
15. Ñ.Ã. Ðàóòèàí, ÆÝÒÔ 112, 836 (1997).
16. Ì.². Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê, ÓÔÆ 51, 920 (2006).
17. H.J. Trodahl, J. Phys. C15, 7245 (1982).
18. D.B. Tanner, Phys. Rev. B30, 1042 (1984).
19. V. Karathanos, A. Modinos, and N. Stefanou, J. Phys.
(Paris) 2, 1279 (1992).
20. D.M. Wood and N.W. Ashcroft, Phys. Rev. B25,
6255 (1982).
21. R. Ruppin and H. Yatom, Phys. Status Solidi B74,
647 (1976).
22. À.Ã. Ëåññêèñ, À.À. Þøêàíîâ, Þ.È. ßëàìîâ, Ïî-
âåðõíîñòü 11, 115 (1987).
23. Ý.Â. Çàâèòàåâ, À.A. Þøêàíîâ, ÆÒÔ 75, 1 (2005).
24. Ý.Â. Çàâèòàåâ, ÔÒÒ 48, 4 (2006).
25. Ý.Â. Çàâèòàåâ, ÔÍÒ 31, 774 (2005).
26. Í.È. Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê, ÔÍÒ 31, 542 (2005).
27. P.M. Tomchuk and N.I. Grigorchuk, Phys. Rev. B73,
155423 (2006).
28. C. Pecharroman and J.E. Iglesias, Phys. Rev. B49,
7137 (1994).
29. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Ýëåêòðîäèíàìèêà
ñïëîøíûõ ñðåä, Íàóêà, Ìîñêâà (1982).
30. Â.Ô. Çàéöåâ, À.Ä. Ïîëÿíèí, Ñïðàâî÷íèê ïî äèôôå-
ðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè
ïåðâîãî ïîðÿäêà, Ôèçìàòëèò, Ìîñêâà (2003).
31. Ë.À. Ôàëüêîâñêèé, ÆÝÒÔ 64, 1855 (1973).
32. Ä.Ê. Ëàðñîí, â êí.: Ôèçèêà òîíêèõ ïëåíîê, Ìèð,
Ìîñêâà (1973).
33. K. Fuchs, Proc. Cambridge Philos. Soc. 34, 100
(1938).
34. Ã. Áåéòìåí, À. Ýðäåéè, Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå
ôóíêöèè, Íàóêà, Ìîñêâà (1974), ò. 2.
Ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ìåòàëëè÷åñêèõ íàíî÷àñòèö ñïëþñíóòîé èëè âûòÿíóòîé ôîðìû
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 471
Conductance of oblate or oblong nanometric
metallic particles
N.I. Grigorchuk and P.M. Tomchuk
The kinetic method is used to study the con-
ductivity of a metallic nanoparticle having the
shape of oblate or oblong ellipsoid of revolution
at frequencies, both higher, and lower than the
frequency of the electron free path between the
particle walls. The diffuse reflection of an elec-
tron from the intrinsic surface of the particle
was chosen as the boundary conditions. For the
case where the electromagnetic wave length is
large compared to the typical sizes of the parti-
cle, analytical expressions are derived to deter-
mine the dependence of conductivity of the par-
ticle on the degree of its oblateness or
oblongness as well as on its orientation with re-
spect to the direction of incident radiation. The
dependence of longitudinal and transverse con-
ductance components on the particle size and
electromagnetic radiation frequency is investi-
gated. In the case of large eccentricities of parti-
cle the agreement with the known results for
thin films and thin wires are obtained for those
components.
PACS: 73.23.–b Electronic transport in meso-
scopic systems;
73.63.–b Electronic transport in nano-
scale and structures;
78.67.Bf Nanocrystals and nanoparticles.
Keywords: nanoparticle, conductance, longitudi-
nal and transverse conductance components.
472 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Í.È. Ãðèãîð÷óê, Ï.Ì. Òîì÷óê
|