Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов

Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов

С использованием метода характеристических функций обоснована эргодичность стационарной в узком смысле линейной случайной последовательности с безгранично делимым порождающим процессом относительно математического ожидания, корреляционной функции, характеристической функции и функции распределения....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2010
Автори: Фриз, М.Е., Щербак, Л.Н.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2010
Теми:
Математические методы и модели
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12791
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов / М.Е. Фриз, Л.Н. Щербак // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12791
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-127912025-02-09T14:23:50Z Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов Фриз, М.Е. Щербак, Л.Н. Математические методы и модели С использованием метода характеристических функций обоснована эргодичность стационарной в узком смысле линейной случайной последовательности с безгранично делимым порождающим процессом относительно математического ожидания, корреляционной функции, характеристической функции и функции распределения. З використанням методу характеристичних функцій обґрунтовано ергодичність стаціонарної у вузькому розумінні лінійної випадкової послідовності з безмежно подільним породжуючим процесом відносно математичного сподівання, кореляційної функції, характеристичної функції та функції розподілу. Using a characteristic function method the ergodicity with respect to mathematical expectation, correlation function, characteristic function and distribution function of strongly stationary linear random sequence driven by infinitely divisible innovations has been proven. 2010 Article Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов / М.Е. Фриз, Л.Н. Щербак // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12791 519.218.84 (045) ru application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математические методы и модели
Математические методы и модели
spellingShingle Математические методы и модели
Математические методы и модели
Фриз, М.Е.
Щербак, Л.Н.
Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов
description С использованием метода характеристических функций обоснована эргодичность стационарной в узком смысле линейной случайной последовательности с безгранично делимым порождающим процессом относительно математического ожидания, корреляционной функции, характеристической функции и функции распределения.
format Article
author Фриз, М.Е.
Щербак, Л.Н.
author_facet Фриз, М.Е.
Щербак, Л.Н.
author_sort Фриз, М.Е.
title Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов
title_short Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов
title_full Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов
title_fullStr Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов
title_full_unstemmed Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов
title_sort эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов
publisher Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate 2010
topic_facet Математические методы и модели
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12791
citation_txt Эргодические свойства линейных процессов в задачах математического моделирования и статистического анализа случайных сигналов / М.Е. Фриз, Л.Н. Щербак // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT frizme érgodičeskiesvojstvalinejnyhprocessovvzadačahmatematičeskogomodelirovaniâistatističeskogoanalizaslučajnyhsignalov
AT ŝerbakln érgodičeskiesvojstvalinejnyhprocessovvzadačahmatematičeskogomodelirovaniâistatističeskogoanalizaslučajnyhsignalov
first_indexed 2025-11-26T19:09:09Z
last_indexed 2025-11-26T19:09:09Z
_version_ 1849881168386719744
fulltext ÓÄÊ 519.218.84 (045) Ì. Å. Ôðèç, êàíä. òåõí. íàóê Òåðíîïîëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. È. Ïóëþÿ (Óêðàèíà, 46001, Òåðíîïîëü, óë. Ðóñüêà, 56, òåë. (0352) 253413, Å-mail: mykh.fryz@gmail.com) Ë. Í. Ùåðáàê, ä-ð òåõí. íàóê Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò (Óêðàèíà, 03058, Êèåâ, ïð. Êîñìîíàâòà Êîìàðîâà, 1, òåë. 4067545, Å-mail: Prof_scherbak@ukr.net) Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ â çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ñëó÷àéíûõ ñèãíàëîâ (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèëà êàíä. òåõí. íàóê Ý.Ï. Ñåìàãèíà) Ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé îáîñíîâàíà ýðãîäè÷íîñòü ñòàöèî- íàðíîé â óçêîì ñìûñëå ëèíåéíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ áåçãðàíè÷íî äåëèìûì ïîðîæäàþùèì ïðîöåññîì îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, êîððåëÿöèîííîé ôóíê- öèè, õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ç âèêîðèñòàííÿì ìåòîäó õàðàêòåðèñòè÷íèõ ôóíêö³é îá´ðóíòîâàíî åðãîäè÷í³ñòü ñòàö³îíàðíî¿ ó âóçüêîìó ðîçóì³íí³ ë³í³éíî¿ âèïàäêîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³ ç áåçìåæíî ïîä³ëüíèì ïîðîäæóþ÷èì ïðîöåñîì â³äíîñíî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ, êîðåëÿö³éíî¿ ôóíêö³¿, õàðàêòåðèñòè÷íî¿ ôóíê- ö³¿ òà ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ëèíåéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, áåçãðàíè÷íî äåëèìîå ðàñïðåäåëå- íèå, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ýðãîäè÷íîñòü. Ëèíåéíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, êàê ôóíêöèîíàëû îò ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñè- ìûìè ïðèðàùåíèÿìè, èìåþò âàæíîå ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå â çàäà÷àõ ìàòåìà- òè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è îáðàáîòêè ñëó÷àéíûõ ñèãíàëîâ â ðàäèîòåõíèêå, ãèäðîàêóñòèêå, ðàäèîôèçèêå, ãåîôèçèêå, òåõíè÷åñêîé è ìåäèöèíñêîé äèàã- íîñòèêå, ýíåðãåòèêå [1—6].  [1] äåéñòâèòåëüíûé ëèíåéíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t , t� �� �( , ), çàäàííûé â íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå{ , , }� F P îïðåäåëåí òàê: � � � �( ) ( , ) ( )t t d �� � � , t� �� �( , ), (1) ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 1 3 ����������� �� ��� �� � � ���� ãäå� �( , )t , � , t� �� �( , ) — äåéñòâèòåëüíàÿ íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî � � �( , )t d � � �� � � , t; �( ), �� �� �( , ), P ( ( ) ) 0 0 1 — äåéñòâèòåëüíûé ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðè- ðàùåíèÿìè.  [1] ïîëó÷åíà îáùàÿ ôîðìà áåçãðàíè÷íî äåëèìîé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ëèíåéíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, ÷òî ïîçâîëÿåò îñóùåñòâëÿòü âå- ðîÿòíîñòíûé àíàëèç ðàñïðåäåëåíèé èññëåäóåìûõ ñèãíàëîâ, èçó÷àòü âåðîÿò- íîñòíûå ñâîéñòâà èõ ïðåîáðàçîâàíèé ëèíåéíûìè è íåëèíåéíûìè ñèñòåìàìè, íàõîäèòü ìîìåíòíûå è êóìóëÿíòíûå ôóíêöèè âñåõ ïîðÿäêîâ, ðåøàòü çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ ñèãíàëîâ. Êîíñòðóêòèâíûé õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ ëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ äàåò âîçìîæíîñòü ó÷èòûâàòü â ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ôèçè÷åñêèé ìåõàíèçì ïîðîæ- äåíèÿ èññëåäóåìûõ ñèãíàëîâ è ëåãêî ñòðîèòü èõ êîìïüþòåðíûå èìèòàöèîí- íûå ìîäåëè. Ïðè âûïîëíåíèè ïðèêëàäíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ñëó÷àéíûõ ñèãíàëîâ âàæíûì è âñåãäà æåëàåìûì äëÿ èññëåäîâàòåëÿ èõ ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ ýðãîäè÷íîñòü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü íåîáõî- äèìîå ÷èñëî íàáëþäåíèé [7—12]. Íà ïðàêòèêå, êàê ïðàâèëî, ýðãîäè÷íîñòü ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ïîñòóëèðóåòñÿ ïåðåä âûïîëíåíèåì ýêñïåðèìåí- òîâ. Íåêîòîðûå àâòîðû [13] ïðåäëàãàþò èñïîëüçîâàòü ìåòîäû ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç îòíîñèòåëüíî ýðãîäè÷íîñòè ïðîöåññà. Ïîêàæåì, ÷òî ýðãîäè÷íîñòü ñòàöèîíàðíîãî ëèíåéíîãî ïðîöåññà ÿâ- ëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì äëÿ ýòîé ìîäåëè. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè â íåêîòîðîé ïðèêëàäíîé çàäà÷å óñòàíîâëåíî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ èññëåäóåìîãî ñèãíàëà ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûé ëèíåéíûé ïðîöåññ, òî îòñþ- äà ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ñèãíàë ýðãîäè÷åí, è ïîýòîìó ñòàíîâÿòñÿ íåíóæíûìè äîïîëíèòåëüíûå ãèïîòåçû èëè òåñòû. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà âàæíû è äëÿ ïðèêëàäíûõ ïðèìåíåíèé ëèíåéíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ [6, 14], ãäå ñòàöèîíàðíûìè (è ýðãîäè÷åñêèìè) áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòñ÷åòîâ òàêèõ ïðîöåññîâ, âûáèðàåìûå ÷åðåç ïåðèîä. Ñ òî÷êè çðåíèÿ îáùåé ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ïîðîæäàþòñÿ äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè, ïðèíàäëåæàùèìè êëàññó àâòîìîðôèçìîâ ïðîñòðàíñòâ ñ ìåðîé [15]. Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà äèíàìè- ÷åñêèõ ñèñòåì èìåþò âàæíîå çíà÷åíèå â ôèçèêå, áèîëîãèè, õèìèè [15], òåõíèêå (â ÷àñòíîñòè, â ýíåðãåòèêå). Ïîýòîìó èñïîëüçîâàíèå ýðãîäè÷åñêèõ ëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî èëè êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì òàêæå ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïðè îñóùåñòâëåíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ñëó- ÷àéíûõ ñèãíàëîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì öèôðîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñðåäñòâ èñ- Ì. Å. Ôðèç, Ë. Í. Ùåðáàê 4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 1 ïîëüçóåòñÿ âàðèàíò ìîäåëè (1) ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì — ëèíåéíàÿ ñëó- ÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñâîéñòâà êîòîðîé òåñíî ñâÿçàíû ñî ñâîéñò- âàìè ëèíåéíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì. Äåéñòâèòåëüíîé ëèíåéíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ (ËÑÏ) � t , t Z� , áóäåì íàçûâàòü ñëó÷àéíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà � � �� � � � t t � � � , , (2) ãäå � �, t , t, ��Z — äåéñòâèòåëüíàÿ íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ (ÿäðî ËÑÏ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ � � � � , t � � � � �, �t Z; �� , ��Z, — ïîñëåäîâà- òåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ áåçãðàíè÷íî äåëèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êðîìå òîãî, áóäåì ñ÷èòàòü �� , ��Z, ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé D� �� � �2 . Âìåñòå ñ � � � � , t � � � � �, �t Z, óêàçàííûå óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà (2) ïðè ëþáîì t êàê ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, òàê è â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå. Åñëè â (2) � �� �, t t � , òî ËÑÏ ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé â óçêîì ñìûñëå (è äàëåå âñþäó ïîíÿòèå ñòàöèîíàðíîñòè ðàññìàòðèâàåòñÿ â óçêîì ñìûñëå): � � � � �� � � � � � � � t t t � � � � � � � � , (3) ãäå � � � �� � � � �. Îñíîâíîé çàäà÷åé â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ îáîñíîâàíèå ýðãîäè÷åñ- êèõ ñâîéñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (3). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íåîáõîäèìûå ñâîéñòâà ËÑÏ, ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ýðãîäè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ñòàöèî- íàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, à òîãäà ïîêàæåì, ÷òî îíè ÿâ- ëÿþòñÿ õàðàêòåðíûìè äëÿ ËÑÏ (3). Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ïîñêîëüêó �� , ��Z, — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ áåçãðàíè÷íî äåëèìûì ðàñïðåäåëåíèåì è êîíå÷íîé äèñïåðñèåé � 2, îíà çàäàåòñÿ îäíîìåðíîé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé â ôîðìå À. Í. Êîëìîãîðîâà [16]: f u Me iau e iux dK x x iu iux � ��( ) exp ( ) ( ) � � � � � � � � � �� � � 1 2 , u� �� �( , ), i �1, Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ â çàäà÷àõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 1 5 ãäå a M �� ; K x( ), x� �� �( , ), — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ ñ îãðàíè÷åííîé âàðèàöèåé, òàêàÿ, ÷òî K ( )�� 0, K dK x D( ) ( )� �� � � � �� 2. Îäíîìåðíàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ËÑÏ (2) èìååò âèä f u t Me f uiu t t � � � � � � �( ; ) ( ), � � � � � � � � � � � �exp ( ) ( ) , , ,iau e iux dK x x t iux t t� �� � � � � � � � 1 2 �� � � � � � � � � (4) (áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé â (4) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî u â êàæäîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå ê õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè f u t�( ; ) t, ïîñêîëüêó ðÿä (2) ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà). Ñîîòâåòñòâåííî m-ìåðíàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ËÑÏ (2) èìååò âèä f u u u t t t M i um m k t k m k� �( , ,..., ; , , ..., ) exp1 2 1 2 1 � � �� � � � �� � � �� � � �� � � �� f uk t k m k� � � � � , 1 � � � � � � � � � � � exp , , ia u e ik k m t ix u k k tk k m 1 1 1� � � � � � �� x u dK x x k t k m k � �, ( ) �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � �1 2 . (5) Èç (4) ïðè� �� �, t t � ïîëó÷èì îäíîìåðíóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ËÑÏ (3): f u iau eiux � � � � � � �� �( ) exp ( � � � � � � � � � �� � � � � 1� � �� iux dK x x � � ) ( ) 2 . (6) Äàëåå íàì ïîòðåáóåòñÿ òàêæå äâóìåðíàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñòàöèîíàðíîé ËÑÏ (3). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � �� �, t t � , èç (5) ïîëó÷àåì: f u u s ia u u e ix u u � � � � � � �� �( , ; ) exp ( ) ( ( 1 2 1 2 1 � � � � � � �� � 2 1 �� � � � � � � �� � � s ) � � � �� ��ix u u dK x x s t ts( )) ( ) ,1 2 2 2 1� �� � . (7) Ì. Å. Ôðèç, Ë. Í. Ùåðáàê 6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 1 Èç (6) è (7) íàõîäèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è êîððåëÿöèîííóþ ôóíê- öèþ ËÑÏ (3): M a� �� � � � � � � const, R s Zs s �� � � �� � �� � � � 2 , . Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíûõ ËÑÏ. Çàäà÷à èçó÷åíèÿ ñòàöèî- íàðíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è èçó÷åíèÿ ñîõðàíÿþùèõ ìåðó îáðàòèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé (àâòîìîðôèçìîâ) íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà ñ ìåðîé [17]. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ýðãîäè÷íîñòü ñòàöèîíàðíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ãëóáîêî èçó÷åíà [17—23]. Îáîáùàÿ òåîðåòèêî-âåðîÿò- íîñòíûé ñìûñë ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü � t , t Z� , — ñòàöèîíàðíàÿ ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäî- âàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ â íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå { , , }� F P ñî çíà÷åíèÿìè â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå{ , }X B (ãäå B — �-àëãåáðà áîðå- ëåâñêèõ ìíîæåñòâ èç X); f x x xm( , , ..., )1 2 , m�1, — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, èçìåðèìàÿ â { , }X Bm m , ïðè÷åì ñóùåñòâóåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mf t t tm ( , ,..., )� � � 1 2 � �, �t t t Zm1 2, ,..., . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � t , t Z� , íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé, åñëè äëÿ ëþ- áîé ôóíêöèè f x x xm( , ,..., )1 2 , óäîâëåòâîðÿþùåé óêàçàííûì âûøå óñëî- âèÿì, ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà lim ( , , ..., ) ( , , . n t n t t t t t t t t n f Mf m � � � �� 1 1 1 2 1 2 � � � � � .., )� tm , �t t t Zm1 2, ,..., . (8) Çàìå÷àíèÿ. 1. Åñëè � t , t Z� , — äåéñòâèòåëüíûé ïðîöåññ, òî X R . Íî ïîñêîëüêó äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêæå êîìïëåêñíîçíà÷íûå ôóíêöèè f x x xm( , ,..., )1 2 , áóäåì ïîëàãàòü X C . 2. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñõîäèìîñòü â (8) è â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå, êàê ýòî ñäåëàíî, íàïðèìåð, â [9]. Òîãäà íàäî äîïîëíèòåëüíî òðå- áîâàòü ñóùåñòâîâàíèÿ M f t t tm ( , , ..., )� � � 1 2 2 � �, �t t t Zm1 2, ,..., . Áóäåì, ïî âîçìîæíîñòè, ðàññìàòðèâàòü îáà òèïà ñõîäèìîñòè (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäè- íèöà è â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå), èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèå îáîçíà- ÷åíèÿ: lim n n a � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà; lim n n a � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäè- íèöà è â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå; lim n n a � � â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñ- êîì ñìûñëå.  ïðèêëàäíûõ èññëåäîâàíèÿõ ÷àñòî èíòåðåñóþòñÿ òîëüêî òàêèìè ôóíêöèÿìè f x x xm( , ,..., )1 2 , êîòîðûå ïîçâîëÿþò èçó÷àòü ýðãîäè÷íîñòü îò- íîñèòåëüíî ÷àñòíûõ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè� t [7, 10—12]. Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ â çàäà÷àõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 1 7 Îïðåäåëåíèå. Ñòàöèîíàðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � t , t Z� , íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M t� , åñëè ñ âå- ðîÿòíîñòüþ åäèíèöà lim n t n t t n M � � 1 1 � � . Çäåñü äëÿ (8) m 1, f x x( ) , t1 0 . Îïðåäåëåíèå. Ñòàöèîíàðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � t , t Z� , íàçûâàåò- ñÿ ýðãîäè÷åñêîé îòíîñèòåëüíî êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè R Ms t �(( � � ��M Mt t s t� � �) ( )), s Z� , åñëè ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà lim ( ) ( ) n t n t t t s t s n M M R � �� � � 1 1 � � � � . Çäåñü äëÿ (8) m 2, f x x x M x Mt t( , ) ( ) ( )1 2 1 2 � �� � , t1 0 , t s2 . Îïðåäåëåíèå. Ñòàöèîíàðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � t , t Z� , íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé îòíîñèòåëüíî îäíîìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F y�( ) �P yt( )� , y R� , åñëè ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà lim ( ) ( ) n t n t n U y F y � � � 1 1 � � , U y y y ( ) , , , , ! " # $ % 0 0 1 0 ãäåU y( ) — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà (äëÿ (8) çäåñü m 1, f x U y x( ) ( ) � , t1 0 ). Îïðåäåëåííûå âûøå ïîíÿòèÿ ýðãîäè÷íîñòè ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû òàêæå â ñìûñëå ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì [7, 10 — 12]. Ïîíÿòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ÿâëÿþùèåñÿ ýðãîäè÷åñêè- ìè, íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, íî íå ýðãîäè÷åñ- êèìè îòíîñèòåëüíî êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè [10, 11] (è òåì áîëåå íå ýðãîäè÷åñêèìè â ñëó÷àå (8)). Ýðãîäè÷íîñòü ñòàöèîíàðíîé ËÑÏ îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè. Òåîðåìà 1. Ïóñòü � t , t Z� , — ñòàöèîíàðíàÿ ËÑÏ (3) ñ M a�� è D � �� � �2 . Òîãäà lim n t n t t n M � � 1 1 � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà è â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîñêîëüêó �1, t Z� , îïðåäåëåíà â âèäå (3), òî lim lim lim n t n t n t n t nn n � � � � � � � � � 1 1 1 1 � � � �� � � � � � � �� � � �� � 1 1n t n t Ì. Å. Ôðèç, Ë. Í. Ùåðáàê 8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 1 � � � �� �� �� � � �lim n t n t n 1 1 . Òîãäà lim n t n t n a � �� 1 1 � � , �, ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà è â ñðåäíåêâàäðàòè- ÷åñêîì ñìûñëå. Ïîýòîìó lim n t n t t n a M � � � � � 1 1 � � �� � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäè- íèöà è â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå. Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàðíàÿ ËÑÏ (3) ÿâëÿåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé îòíîñè- òåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Òåîðåìà 2. Ïóñòü � t , t Z� , — ñòàöèîíàðíàÿ ËÑÏ (3) ñ M a�� è D� �� � �2 . Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà lim ( ) ( ) n t n t t t s t s n M M R � �� � � 1 1 � � � � , s Z� , ãäå Rs — êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � t . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì& � � � �t s t t t s tM M, ( ) ( ) � �� . Òîãäà & � � � � � � � � t s k k t k k k l l t s la, � � � �� � � �� � � � � � � � � � �� � � a l l � �� � � � � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � � � �� �� � � � � � � k k t k l l t s l k l � � � � � � � � � � � � � ��� l k t k t s l � � , lim lim, n t n t s n t n k l l k t n n � � � � � � � � �� 1 1 1 1 & � � � � � � � � � k t s l� � � � � � � � � �� �� k k l n t n l t k t s l n� � � � � �lim 1 1 � � , ãäå � � �� � � � � � a M( )0 . Îáîçíà÷èì ~ � � �t t k t s l � � � � � . Ïðè ôèêñèðîâàííûõ k, s, l ~ �t , t Z� , — ÿâëÿåò- ñÿ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, ïðè÷åì, åñëè s l k � , òî M t ~ � � 2, à ïðè s l k' � M t ~ � 0. Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâè- ñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ ýðãîäè- ÷åñêîé [17, 18, 21], òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà lim n t n t k t s l n � � � �� 1 1 2 � � � � � , Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ â çàäà÷àõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 1 9 åñëè s l k � , è lim n t n t k t s l n � � � �� 1 0 1 � � � � , åñëè s l k' � . Òàêèì îáðàçîì, ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà lim , n t n t s k k k s s n R � � � �� � 1 1 2 � & � � � . Çàìå÷àíèå. Åñëè ñóùåñòâóåò M �� 4 � �, �, òî òåîðåìà 2 ñïðàâåäëèâà òàêæå â ñìûñëå ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì, ò. å. lim n t n t t t s t s n M M R � �� � � 1 1 ( ) ( )� � � � . Ñëåäîâàòåëüíî, ñòàöèîíàðíàÿ ËÑÏ ýðãîäè÷íà îòíîñèòåëüíî êîððåëÿöèîí- íîé ôóíêöèè. Ýðãîäè÷íîñòü ñòàöèîíàðíîé ËÑÏ îòíîñèòåëüíî õàðàêòåðèñòè÷åñ- êîé ôóíêöèè. Âûøå ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñóùåñòâóþò îáùèå èçîáðàæåíèÿ èõ áåçãðàíè÷íî äåëèìûõ õàðàêòåðèñòè÷åñ- êèõ ôóíêöèé. Íî ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå âûðàæåíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé è ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ èëè äàæå âûðàçèòü â êîíå÷íîé ôîðìå ýòè ôóíêöèè ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå èëè èçâåñòíûå ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè íå óäàåòñÿ [1] (êðîìå ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, íàïðèìåð, ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ). Ïîýòîìó â çàäà÷àõ âåðîÿòíîñòíîãî, à òàêæå ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà íåãàóñ- ñîâñêèõ ëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ìåòîä õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé èãðàåò îñíîâíóþ ðîëü. Îïðåäåëåíèå. Ýìïèðè÷åñêîé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé (ÝÕÔ) ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � t , t Z� , íàçûâàåòñÿ ñòà- òèñòèêà âèäà � ( )f u n en t n iu t �1 1 � , u� �� �( , ), i �1. ÝÕÔ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíèâàíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñëó- ÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ, à òàêæå èõ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè â ðàçíîîáðàçíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ [24, 25]. Îäíàêî, ñâîéñòâà ýðãî- äè÷íîñòè ïðè ýòîì ïðîñòî ïîñòóëèðóþòñÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî Mf un � ( ) Me f uiu t� �( ), ò. å. ÝÕÔ ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé õàðàêòåðèñòè- ÷åñêîé ôóíêöèè f u�( ) ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òåîðåìà 3. Ïóñòü � t , t Z� , — ñòàöèîíàðíàÿ ËÑÏ (3) ñ M a�� è D� �� � �2 . Òîãäà lim � ( ) ( ) n nf u f u � � äëÿ ëþáîãî u ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíè- öà â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå. Ì. Å. Ôðèç, Ë. Í. Ùåðáàê 10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 1 Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî lim n nf u f u � � ( ) ( )� . Äèñïåðñèÿ ÝÕÔ êîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèè äëÿ ëþáîãî u èìååò âèä Df u M f u f u f u f u M f u fn n n n n � ( ) ( � ( ) ( )) ( � ( ) ( )) ( � ( ) � ( � � � � u f u)) ( )� � 2 . Ñ ó÷åòîì (6) çàïèøåì f u f u f u f u f u� � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 � � � � �� � � � � � � �� � � �exp ( ) ( ) � � � �� �e e dK x x iux iux 2 2 � � �� � � � � � �� � � �exp (cos ( ) ) ( ) 2 1 2 � � ��ux dK x x . (9) Ðàññìîòðèì òåïåðü ñîîòíîøåíèå M f u f u n M iun n t n t n t t( � ( ) � ( )) exp[ ( )] � � �1 2 1 11 2 1 2 � � . Ïîñêîëüêó � t ñòàöèîíàðíà, îáîçíà÷èì � �M iu f u st texp ( ) ( ; )� � �1 2 � ( , s t t �2 1 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî M iu M iut t t texp[ ( )] exp[ ( )]� � � � 1 2 2 1 � � , à òàêæå � �M iu t texp ( )� � 1 2 1� ïðè t t1 2 , ïîëó÷àåì M f u f u n n s n f u sn n s n ( � ( ) � ( )) Re ( ; ) � �� � �� � � �� � �1 1 2 1 1 (� . (10) Ïîñêîëüêó f u s f u u s(� �( ; ) ( ; ; ) � , ñ ó÷åòîì (7) çàïèøåì f u s e iux dKiux s s (� � � � � � � � � � �( ; ) exp ( ( ))( ) � � � � � � �� � 1 ( )x x 2 � �� � � � �� � � . Îáîçíà÷èì ) ( ) ( ) ( ) u e iux dK x x iux � � �� � � 1 2 . Ôóíêöèÿ) ( )u ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé ïî u R� , ïðè÷åì) ( )0 0 . Ïîñêîëüêó � � � � � � � � � , òî � � 0 ïðè � �. Îòñþäà ñëåäóåò lim ( ( )) ( ( ) ( )) s su u u � � � � � � � �� � � � � � � � � � �) � � ) � ) � , u. Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ â çàäà÷àõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 1 11 Òàêèì îáðàçîì, lim ( ; ) exp ( ) ( ) s iux iuxf u s e e dK x x � � � � � � ��(� � � � �� � 2 2 �� � � � �� � � . Ñ ó÷åòîì (9) ìîæíî çàïèñàòü lim ( ; ) ( ) s f u s f u � (� � 2 . (11) Ïîíÿòíî, ÷òî limRe ( ; ) ( ) s f u s f u � (� � 2 . Çàïèøåì òåïåðü (10) â âèäå M f u f u a f u sn n s n ns( � ( ) � ( )) Re ( ; ) � � 0 1 (� , ãäå a nn0 1 / , a n s n ns �2 2 ( ) , s n �1 1, . Âèäíî, ÷òî ans 0 ïðè n �, s, è ans s n � � 0 1 1, n. Ïîñêîëüêó limRe ( ; ) ( ) s f u s f u � (� � 2 , èç òåîðåìû Òåïëèöà [26] ñëåäóåò, ÷òî lim ( � ( ) � ( )) lim Re ( ; ) n n n n s n nsM f u f u a f u s f � � � � 0 1 (� �( )u 2 . Ïîýòîìó lim � ( ) n nD f u � 0, u, îòêóäà ïîëó÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà l.i.m. n nf u � � ( ) f u�( ), u. Ñîãëàñíî Lr -ýðãîäè÷åñêîé òåîðåìå [19] èç l.i.m. n nf u f u � � ( ) ( )� ñëåäóåò, ÷òî lim n nf u f u � � ( ) ( )� ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàðíàÿ ËÑÏ (3) ýðãîäè÷íà îòíîñèòåëüíî õàðàê- òåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè è ÝÕÔ — åå ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà. Èç ýðãîäè÷- íîñòè ñòàöèîíàðíîé ËÑÏ îòíîñèòåëüíî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëå- äóåò åå ýðãîäè÷íîñòü îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ñóòü ïîëó÷åííîãî ñîîòíîøåíèÿ (11) ñîñòîèò â òîì, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � �t t s1 2 � � ïðè s � ñòðåìèòñÿ ê õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñèììåòðèçîâàííîé [19] ñëó÷àé- íîé âåëè÷èíû, ò.å. ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � t1 è � t s2� ïðè s � ñòàíîâÿòñÿ àñcèìïòîòè÷åñêè íåçàâèñèìûìè. 2. Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ ðåàëèçàöèÿ ñòàòèñòèêè � ( )f un ÿâëÿåòñÿ õàðàêòå- ðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé. Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà lim � ( ) ( ) n nf u f u � � , u, ñ âå- ðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñëåäóåò òàêæå, ÷òî ýòà ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ðàâíîìåðíà ïî u â ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå. Ì. Å. Ôðèç, Ë. Í. Ùåðáàê 12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 1 Âûâîäû. Íà îñíîâå àíàëèçà ñâîéñòâ ñòàöèîíàðíîé ëèíåéíîé ñëó÷àé- íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåòîäîì õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû. 1. Îáîñíîâàíà ýðãîäè÷íîñòü ñòàöèîíàðíîé ëèíåéíîé ñëó÷àéíîé ïîñëå- äîâàòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è êîððåëÿöèîí- íîé ôóíêöèè. 2. Ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ äèñïåðñèè ýìïèðè÷åñêîé õàðàêòåðèñòè- ÷åñêîé ôóíêöèè ñòàöèîíàðíîé ëèíåéíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ÷åì îáîñíîâàíà åå ýðãîäè÷íîñòü îòíîñèòåëüíî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíê- öèè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. 3. Îñíîâíîå ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå ïîëó÷åííûõ ýðãîäè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñîñòîèò â âîçìîæíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ âå- ðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ñòàöèîíàðíîé ëèíåéíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäî- âàòåëüíîñòè (ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé, ìî- ìåíòíûõ ôóíêöèé) ñ èñïîëüçîâàíèåì óñðåäíåíèÿ ïî âðåìåíè. Using a characteristic function method the ergodicity with respect to mathematical expectation, correlation function, characteristic function and distribution function of strongly stationary linear random sequence driven by infinitely divisible innovations has been proven. 1. Ìàð÷åíêî Á. Ã. Ìåòîä ñòîõàñòè÷åñêèõ èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé è åãî ïðèëîæå- íèÿ â ðàäèîòåõíèêå. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1973. — 191 ñ. 2. Ìàð÷åíêî Á. Ã., Ùåðáàê Ë. Í. Ëèíåéíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû è èõ ïðèëîæåíèÿ. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1975. — 143 ñ. 3. Ìàð÷åíêî Â. Á. Îðòîãîíàëüíûå ôóíêöèè äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà è èõ ïðèëîæåíèÿ â ãåîôèçèêå. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1992. — 209 ñ. 4. Ìàð÷åíêî Á. Ã., Ìûñëîâè÷ Ì. Â. Âèáðîäèàãíîñòèêà ïîäøèïíèêîâûõ óçëîâ ýëåêòðè- ÷åñêèõ ìàøèí. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1992. — 192 ñ. 5. Ìàð÷åíêî Á. Ã., Ìóëèê Í. Â., Ôðèç Ì. ª. Îá´ðóíòóâàííÿ ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ ãàçîíà- âàíòàæåíü // ³ñí. Òåðíîï³ëüñüêîãî äåðæ. òåõ. óí-òó ³ì. ². Ïóëþÿ. — 2005. — ¹ 2. — Ñ. 138 —143. 6. Ìàð÷åíêî Á. Ã., Ìàð÷åíêî Í. Á., Ìëèíêî Á. Á., Ôðèç Ì. ª. Äîñë³äæåííÿ éìîâ³ðí³ñíèõ õàðàêòåðèñòèê òà ³äåíòèô³êàö³ÿ ³íôîðìàòèâíèõ îçíàê ñòîõàñòè÷íî-ïåð³îäè÷íîãî ñâ³ò- ëîâîãî á³îñèãíàëó // Åëåêòðîí³êà òà ñèñòåìè óïðàâë³ííÿ. — 2007, ¹ 1 (11). — Ñ. 73—79. 7. Áàáàê Â. Ï., Ìàð÷åíêî Á. Ã., Ôðèç Ì. ª. Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé, âèïàäêîâ³ ïðîöåñè òà ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà. — Êè¿â: Òåõí³êà, 2004. — 288 ñ. 8. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ: Ïåð. ñ àíãë. — Ì. : Íàóêà, 1974. — 832 ñ. 9. Ðîçàíîâ À. Þ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, ñëó÷àéíûå ïðîöåññû è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñ- òèêà. — Ì. : Íàóêà, 1989. — 320 ñ. 10. Ðûòîâ Ñ. Ì. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ ðàäèîôèçèêó. ×. 1. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Ì. : Íàóêà, 1976. — 494 ñ. 11. Òèõîíîâ Â. È. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ðàäèîòåõíèêà. — Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü, 1982. — 624 ñ. 12. Âîëêîâ È. Ê., Çóåâ Ñ. Ì., Öâåòêîâà Ã. Ì. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Ì. : Èçä-âî ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, 1999. — 448 ñ. Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ â çàäà÷àõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 1 13 13. Domowitz I., El-Gamal M. A Consistent Nonparametric Test of Ergodicity for Time Series with Applications // Journal of Econometrics. —2 001. — 102. — Issue 2. — P. 365 —398. 14. Ìàð÷åíêî Á. Ã. ˳í³éí³ ïåð³îäè÷í³ ïðîöåñè // Ïð. ²í-òó åëåêòðîäèíàì³êè ÍÀÍ Óêðà¿- íè. Åëåêòðîòåõí³êà. — Êè¿â : ²ÅÄ ÍÀÍ Óêðà¿íè, 1999. — Ñ. 172—185. 15. Êîðíôåëüä È. Ï., Ñèíàé ß. Ã., Ôîìèí Ñ. Â. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1980. — 384 ñ. 16. Ãíåäåíêî Á. Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. — Ì. : Íàóêà, 1988. — 448 ñ. 17. Ãèõìàí È. È., Ñêîðîõîä À. Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì. : Íàóêà, 1977. — 570 ñ. 18. Äóá Äæ. Ë. Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû: Ïåð. ñ àíãë. — Ì. : Èçä-âî èí. ëèò., 1956. — 607 ñ. 19. Ëîýâ Ì. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé: Ïåð. ñ àíãë. — Ì. : Èçä-âî èí. ëèò., 1962. — 720 ñ. 20. Øèðÿåâ À. Í. Âåðîÿòíîñòü. — Ì. : Íàóêà, 1980. — 576 ñ. 21. Êîâàëåíêî È. Í., Êóçíåöîâ Í. Þ., Øóðåíêîâ Â. Ì. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû: Ñïðàâî÷íèê. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1983. — 368 ñ. 22. Ïðîõîðîâ Þ. Â., Ðîçàíîâ Þ. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Ì. : Íàóêà, 1987. — 400 ñ. 23. Gray R. M. Probability, Random Processes and Ergodic Properties. — NY : Springer Verlag, 2001. — 218 p. 24. Knight J. I., Yu J. Empirical Characteristic Function in Time Series Estimation // Economet- ric Theory. — 2002. — 18. — Issue 03. — P. 691—721. 25. Yu J. Empirical Characteristic Function Estimation and Its Applications // Econometric Re- views. — Philadelphia: Taylor & Francis, 2004. — 23. — P. 93—123. 26. Ôèõòåíãîëüö Ã. Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ:  3-õ òîìàõ. Ò. 2. — Ì. : Ôèçìàòëèò, 2003. — 864 ñ. Ïîñòóïèëà 25.03.09; ïîñëå äîðàáîòêè 06.10.09 ÔÐÈÇ Ìèõàèë Åâãåíüåâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû êîìïüþòåðíûõ íàóê Òåðíî- ïîëüñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. È. Ïóëþÿ, êîòîðûé îêîí÷èë â 1996 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå, ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ, èíôîðìàöèîííî-èçìåðèòåëüíûå ñèñòåìû. ÙÅÐÁÀÊ Ëåîíèä Íèêîëàåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû èíôîðìàöèîííî-èçìåðè- òåëüíûõ ñèñòåì Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà.  1961 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé àâèàöèîííûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñèãíàëîâ è ñèñòåì, òåîðèÿ èçìåðåíèé. Ì. Å. Ôðèç, Ë. Í. Ùåðáàê 14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 1 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ESP <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> /FRA <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /PTB <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> /SUO <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> /SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d002000e400720020006c00e4006d0070006c0069006700610020006600f60072002000700072006500700072006500730073002d007500740073006b00720069006600740020006d006500640020006800f600670020006b00760061006c0069007400650074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Схожі ресурси