Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении
Предложен алгоритм расчета пространственного течения жидкости под действием импульсной нагрузки. Решение системы уравнений газовой динамики сводится к одному нелинейному уравнению относительно потенциала скорости. Приведены результаты тестирования алгоритма с использованием известных решений одномер...
Gespeichert in:
| Datum: | 2001 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2001
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1280 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении / Л.А. Каменская, В.М. Косенков // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 2. — С. 47-52. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1280 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12802025-06-03T16:04:40Z Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении Calculation of the electrical discharge channel expansion in liquid described in the potential approach Каменская, Л.А. Косенков, В.М. Предложен алгоритм расчета пространственного течения жидкости под действием импульсной нагрузки. Решение системы уравнений газовой динамики сводится к одному нелинейному уравнению относительно потенциала скорости. Приведены результаты тестирования алгоритма с использованием известных решений одномерных и двумерных задач. Сравнение результатов тестирования свидетельствует о приемлемой точности предлагаемого алгоритма и возможности его использования для исследования процессов, происходящих при электрических разрядах в жидкости. Запропоновано алгоритм розрахунку просторової течії рідини під впливом імпульсного навантаження. Розв'язок системи рівнянь газової динаміки зведено до одного нелінійного рівняння відносно потенціалу швидкості. Наведено результати тестування алгоритма з використанням відомих розв'язків одновимірних і двовимірних задач. Порівняння результатів тестування свідчить про прийнятну точність запропонованого алгоритма та про можливість його використання для дослідження процесів, що відбуваються при електричних розрядах в рідині. An algorithm of calculation of the space liquid flow affected by the pulse loading is proposed. Solution of a gas dynamics equations system is reduced to the solution of a non-linear equation with respect to a velocity potential. The results of an algorithm testing using the known solutions of 1D and 2D problems are presented. Comparison of the testing results gives evidence of an appropriate accuracy of the proposed algorithm and an applicability to use it for investgation of the processes occuring at the electric discharges in fluid. 2001 Article Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении / Л.А. Каменская, В.М. Косенков // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 2. — С. 47-52. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1280 533.6.011 ru application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложен алгоритм расчета пространственного течения жидкости под действием импульсной нагрузки. Решение системы уравнений газовой динамики сводится к одному нелинейному уравнению относительно потенциала скорости. Приведены результаты тестирования алгоритма с использованием известных решений одномерных и двумерных задач. Сравнение результатов тестирования свидетельствует о приемлемой точности предлагаемого алгоритма и возможности его использования для исследования процессов, происходящих при электрических разрядах в жидкости. |
| format |
Article |
| author |
Каменская, Л.А. Косенков, В.М. |
| spellingShingle |
Каменская, Л.А. Косенков, В.М. Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении |
| author_facet |
Каменская, Л.А. Косенков, В.М. |
| author_sort |
Каменская, Л.А. |
| title |
Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении |
| title_short |
Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении |
| title_full |
Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении |
| title_fullStr |
Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении |
| title_full_unstemmed |
Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении |
| title_sort |
расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2001 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1280 |
| citation_txt |
Расчет расширения канала электрического разряда в жидкости, описываемой в потенциальном приближении / Л.А. Каменская, В.М. Косенков // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 2. — С. 47-52. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kamenskaâla rasčetrasšireniâkanalaélektričeskogorazrâdavžidkostiopisyvaemojvpotencialʹnompribliženii AT kosenkovvm rasčetrasšireniâkanalaélektričeskogorazrâdavžidkostiopisyvaemojvpotencialʹnompribliženii AT kamenskaâla calculationoftheelectricaldischargechannelexpansioninliquiddescribedinthepotentialapproach AT kosenkovvm calculationoftheelectricaldischargechannelexpansioninliquiddescribedinthepotentialapproach |
| first_indexed |
2025-11-27T14:18:01Z |
| last_indexed |
2025-11-27T14:18:01Z |
| _version_ |
1849953445614714880 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 47 { 52��� 533.6.011 ������ ���������� �������������������� ������� � ��������,����������� � ������������� ������������. �. ���������, �. �. ���������áâ¨âãâ ¨¬¯ã«ìáëå ¯à®æ¥áᮢ ¨ â¥å®«®£¨© ��� �ªà ¨ë, �¨ª®« ¥¢�®«ã祮 24.03.2001�।«®¦¥ «£®à¨â¬ à áç¥â ¯à®áâà á⢥®£® â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¨¬¯ã«ìᮩ £à㧪¨. �¥è¥-¨¥ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© £ §®¢®© ¤¨ ¬¨ª¨ ᢮¤¨âáï ª ®¤®¬ã ¥«¨¥©®¬ã ãà ¢¥¨î ®â®á¨â¥«ì® ¯®â¥æ¨ « ᪮à®áâ¨. �ਢ¥¤¥ë १ã«ìâ âë â¥áâ¨à®¢ ¨ï «£®à¨â¬ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¨§¢¥áâëå à¥è¥¨© ®¤®¬¥àëå ¨¤¢ã¬¥àëå § ¤ ç. �à ¢¥¨¥ १ã«ìâ ⮢ â¥áâ¨à®¢ ¨ï ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ¯à¨¥¬«¥¬®© â®ç®á⨠¯à¥¤« £ ¥¬®£® «£®à¨â¬ ¨ ¢®§¬®¦®á⨠¥£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯à®æ¥áᮢ, ¯à®¨á室ïé¨å ¯à¨ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å à §àï-¤ å ¢ ¦¨¤ª®áâ¨.� ¯à®¯®®¢ ® «£®à¨â¬ ஧à åãªã ¯à®áâ®à®¢®ù â¥ç÷ù à÷¤¨¨ ¯÷¤ ¢¯«¨¢®¬ ÷¬¯ã«ìᮣ® ¢ â ¦¥ï. �®§¢'燐ªá¨á⥬¨ à÷¢ïì £ §®¢®ù ¤¨ ¬÷ª¨ §¢¥¤¥® ¤® ®¤®£® ¥«÷÷©®£® à÷¢ïï ¢÷¤®á® ¯®â¥æ÷ «ã 袨¤ª®áâ÷. � ¢¥¤¥®à¥§ã«ìâ ⨠â¥áâã¢ ï «£®à¨â¬ § ¢¨ª®à¨áâ ï¬ ¢÷¤®¬¨å ஧¢'離÷¢ ®¤®¢¨¬÷à¨å ÷ ¤¢®¢¨¬÷à¨å § ¤ ç. �®à÷¢-ïï १ã«ìâ â÷¢ â¥áâ㢠ï á¢÷¤ç¨âì ¯à® ¯à¨©ïâã â®ç÷áâì § ¯à®¯®®¢ ®£® «£®à¨â¬ ⠯஠¬®¦«¨¢÷áâì©®£® ¢¨ª®à¨áâ ï ¤«ï ¤®á«÷¤¦¥ï ¯à®æ¥á÷¢, é® ¢÷¤¡ã¢ îâìáï ¯à¨ ¥«¥ªâà¨ç¨å ஧àï¤ å ¢ à÷¤¨÷.An algorithm of calculation of the space liquid
ow a�ected by the pulse loading is proposed. Solution of a gas dynamicsequations system is reduced to the solution of a non-linear equation with respect to a velocity potential. The results ofan algorithm testing using the known solutions of 1D and 2D problems are presented. Comparison of the testing resultsgives evidence of an appropriate accuracy of the proposed algorithm and an applicability to use it for investgation of theprocesses occuring at the electric discharges in
uid.���������à®æ¥ááë à á¯à®áâà ¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥-áª¨å ¢®« ¢ à §àï¤ëå ª ¬¥à å ¡®«ìè¨á⢠ãáâனáâ¢, ¨á¯®«ì§ãîé¨å í«¥ªâà¨ç¥áª¨© à §àï¤ ¢¢®¤¥ (ᥩᬮ ªãáâ¨ç¥áª¨¥ ¨áâ®ç¨ª¨, ãáâனá⢠¤«ï ®ç¨á⪨ «¨âìï, ¨â¥á¨ä¨ª 樨 ¥ä⥤®¡ëç¨,®¡à ¡®âª¨ ªà¨áâ ««¨§ãî饣®áï ¬¥â «« ), ®áïâ,ª ª ¯à ¢¨«®, âà¥å¬¥àë© å à ªâ¥à ¨§-§ ¤®áâ -â®ç® á«®¦®© ä®à¬ë ª ¬¥àë ¨ à ᯮ«®¦¥¨ï ¢¥© í«¥ªâத®¢. �⨬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬ ®¯à¥¤¥«ï-¥âáï ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨§¨ª îé¨å ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯à®áâà á⢥ë墮« ¤ ¢«¥¨ï á ¯à¥£à ¤ ¬¨. �à®áâà á⢥륧 ¤ ç¨ ¢®§¨ª îâ ¢ à §«¨çëå ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå,¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨ ¨§ã票¨ ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨢ § ¬ªãâëå ®¡ê¥¬ å ¯à¨ «¨ç¨¨ ¯®¢¥àå®áâ¨à §¤¥« ¦¨¤ª®© ¨ £ §®®¡à §®© á।. �®áâ஥¨î¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ¬®¤¥«¥© ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨯®á¢ï饮 § ç¨â¥«ì®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¯ã¡«¨ª 権,¢ ¡®«ìè¨á⢥ ¨§ ª®â®àëå ¨áá«¥¤ã¥âáï à á¯à®-áâà ¥¨¥ ¤¢ã¬¥àëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢®«,â. ¥. ¨á¯®«ì§ãîâáï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç ï ¨«¨ ¯«®á-ª ï ¯®áâ ®¢ª § ¤ ç¨. �¨á«¥ ï ॠ«¨§ æ¨ï¯à®áâà á⢥ëå § ¤ ç, ¢ ª®â®àëå ¤¢¨¦¥¨¥¦¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ à ¬ª å âà¥å¬¥à®©¬®¤¥«¨, «¨¡® ¯à¨¢®¤¨â ª ¤®¢®«ì® £à®¬®§¤ª¨¬ «£®à¨â¬ ¬, âॡãî騬 ¯à¨ à áç¥â å ���
§ ç¨â¥«ìëå § âà â ¬ è¨ëå à¥áãàᮢ ¨¢ëç¨á«¨â¥«ì®£® ¢à¥¬¥¨, «¨¡® ¯®§¢®«ï¥â ¯®-«ãç âì à¥è¥¨ï ⮫쪮 ¢ ç áâëå á«ãç ïå, ª ª, ¯à¨¬¥à, ¢ [1,2].� ¤ ®© à ¡®â¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¤¨ ¬¨ª¨ ¦¨¤-ª®á⨠¯à®¢®¤¨âáï á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¤®¯ãé¥¨ï ®¡¥§¢¨åॢ®¬ å à ªâ¥à¥ â¥ç¥¨ï ¨¤¥ «ì®© ᦨ¬ -¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨, ®¯à ¢¤ ®£® ¯à¨ í«¥ªâà¨ç¥áª¨åà §àï¤ å ¢ ¢®¤¥. � ª®© ¯®¤å®¤ § ç¨â¥«ì® ã¯à®-é ¥â «£®à¨â¬, ¯®§¢®«ïï ᢥá⨠à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ª®¤®¬ã ¥«¨¥©®¬ã ãà ¢¥¨î ®â®á¨â¥«ì® ¯®-â¥æ¨ « ᪮à®á⨠[3].1. ���������� �������।« £ ¥¬ë© «£®à¨â¬ à áç¥â à á¯à®áâà ¥-¨ï ¢ § ¬ªã⮬ ®¡ê¥¬¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¢®«,®¡à §ãîé¨åáï ¯à¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®¬ à §à拉, ¯®-áâ஥ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¥áª®«ìª¨å ¤®¯ã饨©:á। ¢ ª «¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® à §àï¤ ¯®« £ ¥â-áï ¨¤¥ «ì®© ¯« §¬®©, ¯«®â®áâì ¨ ¤ ¢«¥¨¥ ª®-â®à®© ®¤®à®¤ë ¢® ¢á¥¬ ®¡ê¥¬¥ ª « ; ¢ -ç «ìë© ¬®¬¥â ®¡ê¥¬ ¨ ä®à¬ ª « ¨§¢¥áâë;¦¨¤ª®áâì, ®ªà㦠îé ï ª « à §àï¤ , ï¥âá﨤¥ «ì®© ᦨ¬ ¥¬®©, ¥¥ ¤¢¨¦¥¨¥ { ¯®â¥æ¨- «ìë¬. �ç¨âë¢ ï í⨠¤®¯ã饨ï, § ¤ çã ¬®¦®áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. �¢¨¦¥¨¥¦¨¤ª®á⨠¢ § ¬ªã⮬ ®¡ê¥¬¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢-c
�. �. � ¬¥áª ï, �. �. �®á¥ª®¢, 2001 47
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 47 { 52¥¨ï¬¨ ¤¢¨¦¥¨ï, ¥à §à뢮á⨠¨ á®áâ®ï¨ï:_~v + 12r(~v2) = �1�rp; (1)_�+ � div~v + ~vr� = 0; (2)p+ Bp0 + B = � ��0�� : (3)�¤¥áì â®çª®© ®¡®§ 祮 ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯®¢à¥¬¥¨ t; ~v { ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¦¨¤ª®áâ¨; p, � {¤ ¢«¥¨¥ ¨ ¯«®â®áâì ¦¨¤ª®á⨠¢ ⥪ã騩 ¬®¬¥â¢à¥¬¥¨ ᮮ⢥âá⢥®; p0, �0 { ¯ à ¬¥âàë ¦¨¤-ª®áâ¨, ¯à¨ ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«¥ë ª®áâ âë B ¨ � ¢ãà ¢¥¨¨ (3) (¤«ï ¢®¤ë p0=105 � , �0=103ª£=¬3,B=3:044�108 � , �=7:15). �ਠí⮬ ~v=r , £¤¥ { ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⨠¦¨¤ª®áâ¨.� ¢ãâ॥© £à ¨æ¥ à áç¥â®© ®¡« á⨠{ª®â ªâ®¬ à §à뢥 ¯« §¬ { ¢®¤ { ¤®«¦® ¢ë-¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ p=pk (pk { ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ª «¥).� ¢¥è¥© £à ¨æ¥, ª®â®à®© ï¥âáï ¥¯®¤¢¨¦- ï ¦¥á⪠ï á⥪ , áâ ¢¨âáï ãá«®¢¨¥~v � ~n = @ @n = 0;£¤¥ ~n { ®àâ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª £à ¨æ¥. � ç «ì-ë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ¯à¨ t=0 § ¤ îâáï ª ª = 0. �à ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®â¥æ¨- «ì®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ [3]@2 @t2 = a2r2 � @@t (r )2; (4)£¤¥ a2 = a20 � (�� 1)@ @t � 12(�+ 1)(r )2;a0 { ᪮à®áâì §¢ãª ¢ ¥¢®§¬ã饮© ¦¨¤ª®áâ¨.� ¢«¥¨¥ ¨ ¯«®â®áâì ¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§ ¯à®¨§-¢®¤ë¥ ¯®â¥æ¨ « á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:p = �B + (p0 + B)F ; (5)� = �0F ; (6)£¤¥F = �1� �� 1� �0p0 +B �@ @t + 12(r )2�� ���1 :�¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ ª «¥ à §àï¤ ãáâ - ¢«¨¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¡ « á í¥à£¨¨ [4]1
� 1 d(pkVk)dt + pk dVkdt = N (t); (7)
£¤¥ pk, Vk { ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ª «¥ à §àï¤ ¨ ¥£® ®¡ê¥¬á®®â¢¥âá⢥®;
=1:26; N (t) { § ª® ¢¢®¤ í¥à-£¨¨ ¢ ª « à §àï¤ . �®à¬ «ì ï á®áâ ¢«ïîé ï᪮à®á⨠¤¢¨¦¥¨ï £à ¨æë ª®â ªâ®£® à §àë¢ ¯« §¬ {¢®¤ ¯®« £ ¥âáï à ¢®© ®à¬ «ì®© á®-áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¦¨¤ª®áâ¨@ @n = ~w � ~n;£¤¥ ~w { ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠£à ¨æë.� ¯à¨ï⮩ ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ ç¨ ®¯¨á ¨¥ ¯à®æ¥á-ᮢ, ¯à®¨á室ïé¨å ¢ à §à冷© ª ¬¥à¥, ᢮¤¨âáï ª®¯à¥¤¥«¥¨î ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⨠(4), ¤ ¢«¥¨ï¢ ª «¥ à §àï¤ pª ¨ ¥£® ®¡ê¥¬ Vª (7), ¤ ¢«¥¨ï¢ ¦¨¤ª®á⨠p (5) ª ª äãªæ¨© ¯à®áâà á⢥®©ª®®à¤¨ âë ¨ ¢à¥¬¥¨.2. �������� ��������� ��������-����«ï ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáﬥ⮤ ª®¥çëå ®¡ê¥¬®¢ [5], ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ª®-â®àë¬ ãà ¢¥¨¥ (4) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ZV @2 @t2 dV = ZV a2r2 dV � ZV @(r )2@t dV; (8)£¤¥ V { ®¡ê¥¬ ï祩ª¨ à §®á⮩ á¥âª¨, ª®â®-ன ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ãà ¢¥¨¥ (4).�®¤¢¨¦ ï ¯à®áâà á⢥ ï á¥âª , ¢¢®¤¨¬ ï¯à¨ í⮬ ¢ à áç¥â®© ®¡« áâ¨, ¤«ï § ¤ ç á ¤¢ã-¬ï ¯à®áâà á⢥묨 ¯¥à¥¬¥ë¬¨ ®¡à §ã¥âá濫ã¬ï ᥬ¥©á⢠¬¨ «¨¨©, ¤«ï âà¥å¬¥àëå § -¤ ç { ¡®à®¬ \¤¢ã¬¥àëå á¥ç¥¨©" ¯à¨ 䨪á¨à®-¢ ®¬ § 票¨ ®¤®© ¯à®áâà á⢥®© ª®®à¤¨- âë â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® £à ¨çë¥ ã§«ë á¥âª¨«¥¦ â £à ¨æ¥ ®¡« áâ¨. � 㧫 å á¥âª¨ ¨áª®-¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë, ¯à¨¬¥à ¯®â¥æ¨ «, ¯à¨¨¬ î⧠票¥ ni;j;k, £¤¥ i; j; k { ®¬¥à 㧫 ¯® âà¥å¬¥à-ë¬ ¯à®áâà áâ¢¥ë¬ ª®®à¤¨ â ¬ x1, x2, x3 c®-®â¢¥âá⢥®; n { ®¬¥à ¢à¥¬¥®£® á«®ï. �¢¥¤¥-¨¥ ¯®¤¢¨¦®©, ¥®à⮣® «ì®© ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥,á¥âª¨ à áè¨àï¥â ¢®§¬®¦®á⨠¯à¨¬¥¥¨ï ¨ â®ç-®áâì ¯¯à®ªá¨¬ 樨 à §à ¡®â ®£® «£®à¨â¬ ,¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥£®áï à ¥¥ ¯à¨ à áç¥-â å âà¥å¬¥àëå ¢®«®¢ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ ¦¨¤ª®áâ¨,®¯¨áë¢ ¥¬®© ¢ ¯®â¥æ¨ «ì®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ [6].�«¥ë ãà ¢¥¨ï (8), ᮤ¥à¦ 騥 ¯à®¨§¢®¤ë¥¯® ¢à¥¬¥¨, á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ -¨ï ¯® t ¨â¥£à « , ¢§ï⮣® ¯® ¯®¤¢¨¦®¬ã ®¡ê-48 �. �. � ¬¥áª ï, �. �. �®á¥ª®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 47 { 52¥¬ã [7], ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤ZV @(r )2@t dV = @@t ZV (r )2dV � ZS (r )2vndS;ZV @2 @t2 dV = @2@t2 ZV dV �� ZS @ @t vndS � @@t ZS vndS:�®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© ¢ ãà ¢¥-¨¥ (8) ¨ ¥£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯® ⥮६¥ �áâà®-£à ¤áª®£® {� ãáá ¯®«ãç ¥¬@2@t2 ZV dV = ZS a2r dS � ZV ra2r dV++ ZS @ @t vndS + @@t ZS vndS�� @@t ZV (r )2dV + ZS (r )2vndS; (9)£¤¥ S { ¯®¢¥àå®áâì, ®£à ¨ç¨¢ îé ï ®¡ê¥¬ V ;vn { cª®à®áâì ¯¥à¥¬¥é¥¨ï â®ç¥ª ¯®¢¥àå®á⨠S ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ~n ª ¥©. � 票ïr ¨ @ =@t ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ æ¥âॠ®¡ê¥¬ V ¯®ä®à¬ã« ¬: r � 1v ZS dS;@ @t � 1v 0@ @@t ZV dV � ZS vndS1A : (10)�â¥£à «ë ¢ ¢ëà ¦¥¨ïå (9), (10) § ¬¥ïîâáï ¨å «®£ ¬¨ ¤«ï ª®¥ç®£® ®¡ê¥¬ Vi;j;k { ï祩ª¨à áç¥â®© á¥âª¨ á 㧫®¬ (i; j; k) ¢ ¥¥ æ¥âà¥. �¢®-¤ï ®¡®§ 票ï Ai;j;k, Bi;j;k, Ci;j;k, Di;j;k, Ei;j;k,Fi;j;k, Gi;j;k 㧫®¢ëå § 票© ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å
¢¥«¨ç¨, ¬®¦® § ¯¨á âì:Ai;j;k = RS a2r dS �� 6PL=1a2L 3Pm=1(@ =@xm)L(�Sm)L;Bi;j;k = ZV ra2r dV �� Vi;j;k 3Pm=1[(@a2=@xm)(@ =@xm)]i;j;k;Ci;j;k = ZS (@ =@t)vndS �� 6PL=1(@ =@t)L 3Pm=1 vmL (�Sm)L;Di;j;k = ZS vndS �� 6PL=1 L 3Pm=1 vmL (�Sm)L;Ei;j;k = ZV (r )2dV �� Vi;j;k(r )2i;j;k;Fi;j;k = ZS (r )2vndS �� 6PL=1 3Pm=1(@ =@xm)2LvmL (�Sm)L;Gi;j;k = ZS dS �� 6PL=1 L 3Pm=1(�Sm)L:
(11)
�஬¥ ⮣®, ZV dV � Vi;j;k i;j;k:�à®áâà áâ¢¥ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥, ¥®¡å®¤¨¬ë¥¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¢¥«¨ç¨, § ¤ ëå ¢ëà ¦¥¨ï-¬¨ (11), â ª¦¥ § ¬¥ïîâáï ª®¥ç묨 á㬬 ¬¨¢¨¤ (r )i;j;k � 1Vi;j;k 6XL=1 L 3Xm=1(�Sm)L: (12)�㬬¨à®¢ ¨¥ §¤¥áì ¯à®¢®¤¨âáï ¯® ¯®¢¥àå®-á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© ï祩ª¨ (L=1; : : :6 { £à ¨ï祩ª¨) ¨ â६ ¯à®áâà áâ¢¥ë¬ ª®®à¤¨ â ¬�. �. � ¬¥áª ï, �. �. �®á¥ª®¢ 49
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 47 { 52(m=1; 2; 3). � ç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ¢¥«¨ç¨ ¢ ¢ë-à ¦¥¨ïå (11), (12), ¨¬¥îé¨å ¯®«ãæ¥«ë¥ ¨¤¥ªáë,¯®«ãç ¥¬ ª ª á।¨¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥ ¤«ï á®á¥¤-¨å 㧫®¢ëå § 票©.�«®é ¤ì ¯à®¥ªæ¨¨ (�Sm)L ª ¦¤®© ¨§ £à ¥©ï祩ª¨ á¥âª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ª®®à¤¨ âã¢¥àå®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ®à¨¥â¨à®¢ ﯫ®é ¤ì ¢ ¢ë¡à ®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. �¡ê¥¬ëVi;j;k 室ïâáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (9) ®â®á¨-â¥«ì® R dV ¯à¨ ¯®¤áâ ®¢ª¥ ¢ ¥£® § ç¥¨ï ¯®-â¥æ¨ « ¤«ï ¥¢®§¬ã饮© ¦¨¤ª®á⨠=const.� í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (9) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã@@t ZV dV � ZS vndS = 0;¨ à¥è¥¨¥ ¥£® ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ª ª0@ZV dV1An+1 = 0@ZV dV1An + �t(n+1)=22 ��2640@ZS V dS1An +0@ZS V dS1An+1375 :�à ¢¥¨¥ (9) à¥è ¥âáï ®â®á¨â¥«ì® ¯®â¥æ¨- « ®¢®¬ ¢à¥¬¥®¬ á«®¥ ¯® © âà¥åá«®©®©á奬¥ ¢® ¢á¥å ¢ãâ२å â®çª å à áç¥â®© ®¡« -áâ¨. �᪮¬®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï 㧫®¢®£® § 票ﯮâ¥æ¨ « n+1i;j;k á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ®¡®§ 票©¨â¥£à «ìëå á㬬 (11) ¨ (12) ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî-騬 ®¡à §®¬: n+1i;j;k = �tn+1=2V n+1i;j;k ����tn+1=2 +�tn�1=2�tn+1=2�tn�1=2 ni;j;k � n�1i;j;kV n�1i;j;k�tn�1=2 �++�tn�1=2 +�tn+1=22 �tn+1=2V n+1i;j;k ���Ani;j;k �Bni;j;k � Eni;j;k � En�1i;j;k�tn�1=2 ++Fni;j;k +Cni;j;k + Dni;j;k �Dn�1i;j;k�tn�1=2 �: (13)� £à ¨çëå 㧫 å à¥è¥¨¥ áâநâáï â®ç® â ª¦¥, ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ ¢ëà ¦¥¨ï (11) £à ¨ç-ëå ãá«®¢¨© ¤«ï ¯à®¨§¢®¤®© ¯®â¥æ¨ « . � ¢«¥-¨¥ ¨ ¯«®â®áâì ¦¨¤ª®á⨠¢ «î¡®© â®çª¥ à áç¥â-®© ®¡« á⨠¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë ¨§ «®£®¢ãà ¢¥¨© (5), (6) ¢ ª®¥çëå ®¡ê¥¬ å.
3. �������� ��������ç¨â ï ¨§¢¥áâ묨 ¢á¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢ 㧫 å ¯à®-áâà á⢥®© á¥âª¨ n-®¬ ¨ (n�1)-®¬ á«®ïå,¬®¦® ®¯¨á âì ¨å ¢ëç¨á«¥¨¥ (n+1)-®¬ ¢à¥-¬¥®¬ á«®¥.�ëç¨á«ïîâáï ᪮à®á⨠¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¯®¤¢¨¦-ëå £à ¨æ ¨ ¨å ®¢®¥ ¯®«®¦¥¨¥. �¤®© ¨§ £à -¨æ à áç¥â®© ®¡« á⨠ï¥âáï ¯®¢¥àå®áâì ¯®-«®á⨠ª « à §àï¤ . �ª®à®á⨠㧫®¢, á®áâ -¢«ïîé¨å íâã ¯®¢¥àå®áâì, 室ïâáï ª ª १ã«ì-â¨àãî騥 ª á ⥫ìëå á®áâ ¢«ïîé¨å ᪮à®á⥩,®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ¯® § ç¥¨ï¬ ¯®â¥æ¨ «®¢ £à ¨ç-ëå 㧫®¢ ¨ ®à¬ «ìëå ¥¥ á®áâ ¢«ïîé¨å, ¯®«ã-ç ¥¬ëå ¨§ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ® à ᯠ¤¥ ª®â ªâ®-£® à §àë¢ [8]. �¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï í⮣® § ç¥¨ï¯ à ¬¥â஢ ¦¨¤ª®á⨠à ááâ®ï¨¨ ¯®«è £ ®âª®â ªâ®© £à ¨æë ¢ëç¨á«ïîâáï á ¤®áâ â®ç®©á⥯¥ìî â®ç®á⨠«¨¥©®© ¨â¥à¯®«ï樥©.� 票¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ª «¥ à §àï¤ ®¯à¥¤¥«ï¥â-áï ¨§ ãà ¢¥¨ï ¡ « á í¥à£¨¨ (7) ¯ã⥬ ¤¨áªà¥-⨧ 樨 ¥£® ¯® © ¤¢ãåè £®¢®© á奬¥ �©«¥à .�¥«¨ç¨ã ®¡ê¥¬ ª « ¬®¦® ©â¨, § ï ¯«®-é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠¯« §¬¥®© ¯®«®á⨠¨ ᪮à®á⨤¢¨¦¥¨ï ¥¥ 㧫®¢ëå â®ç¥ª.�ëç¨á«ïîâáï § ç¥¨ï ª®®à¤¨ â ¢á¥å ¢ãâà¥-¨å 㧫®¢, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯«®é ¤¨ £à ¥© ¨®¡ê¥¬ë ï祥ª à áç¥â®© ®¡« áâ¨, § ç¥¨ï ¯®â¥-æ¨ « i;j;k ¢® ¢á¥å ¢ãâ२å 㧫 å ¨§ ¢ëà ¦¥-¨ï (13) ¨ ¤àã£¨å £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢¢ ¨â¥à¥áãîé¨å â®çª å (n+1)-®¬ ¢à¥¬¥®¬á«®¥.� £ ¯® ¢à¥¬¥¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï ãá⮩-稢®á⨠¢ëç¨á«¥¨© ¯® ¯à¥¤« £ ¥¬®© á奬¥ ( -«®£¨ç® ãá«®¢¨î �ãà â ).�ਠ¯®áâ®ï®¬ ¢à¥¬¥®¬ ¨ ¯à®áâà á⢥-ëå è £ å á¥âª¨ íâ á奬 ¨¬¥¥â ¢â®à®© ¯®à冷ªâ®ç®áâ¨. �¬¥á⥠á ⥬ ¨§¢¥áâ®, çâ® ¢ à¥è¥¨ïå§ ¤ ç ¤¨ ¬¨ª¨ ᦨ¬ î饩 ¦¨¤ª®áâ¨, ¯®«ãç¥-ëå á ¯®¬®éìî à §®áâëå á奬 ¢â®à®£® ¯®à浪 â®ç®áâ¨, ¯à¨áãâá¢ãîâ ®á樫«ï樨 ¢ëç¨á«¨â¥«ì-®£® å à ªâ¥à , ¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 䨧¨ª¥ ¯à®-æ¥áá . �ਠ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¤«ï ¨å ãáâà ¥¨ï ¢¤ ®© à ¡®â¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ᯮᮡ ¤®¡ ¢«¥¨ï ¢¯à ¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠(4)á« £ ¥¬®£® � = �H @@t (r2 ); «®£¨ç®£® á« £ ¥¬®¬ã, ®¯¨áë¢ î饬ã 䨧¨ç¥-áªãî ¢ï§ª®áâì. �®íää¨æ¨¥â ¨áªãáá⢥®© ¢ï§-ª®á⨠�H ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®á®¢¥ ç¨á«¥ëå íªá¯¥-ਬ¥â®¢.50 �. �. � ¬¥áª ï, �. �. �®á¥ª®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 47 { 52
�¨á. 1. � áè¨à¥¨¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®£® ¯®àèï
�¨á. 2. �®à¬ áä¥à¨ç¥áª®© ¯®«®áâ¨4. ���������� ������������ ��-��������஢¥àª â®ç®áâ¨ à §à ¡®â ®£® «£®à¨â¬ ¢ë¯®«ï« áì ¯ã⥬ áà ¢¥¨ï á ¨§¢¥áâ묨 ¨§«¨â¥à âãàë à¥è¥¨ï¬¨ ®¤®¬¥àëå ¨ ¤¢ã¬¥àëå§ ¤ ç.� ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® â¥á⮢®£® ¯à¨¬¥à à áᬮ-âॠ§ ¤ ç ® à áè¨à¥¨¨ ¢ ¢®¤¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®-£® ¥¯à®¨æ ¥¬®£® ¯®àèï á ¯®áâ®ï®© ᪮à®-áâìî 500 ¬=á ¨ ç «ìë¬ à ¤¨ãᮬ r0=0:01 ¬¬.� à¨á. 1 ¯®ª § ® à ¤¨ «ì®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯ -à ¬¥â஢ â¥ç¥¨ï: ¤ ¢«¥¨ï p, ᪮à®á⨠w, 㤥«ì-®© ¢ãâ॥© í¥à£¨¨ e ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨t=0:1 ¬ªá [9]. �¯«®èë¥ «¨¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâà áç¥âã ¯® à §à ¡®â ®¬ã «£®à¨â¬ã, èâà¨å®-¢ë¥ { à áç¥âã, ¯à¨¢¥¤¥®¬ã ¢ [9].�â®à®© â¥áâ®¢ë© ¯à¨¬¥à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©§ ¤ çã ® áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç®¬ ¤¨ ¡ â¨ç¥-᪮¬ à áè¨à¥¨¨ ¯à®¤ãªâ®¢ ¤¥â® 樨 âà®â¨« ¢ ¢®¤¥ [10]. � áç¥â ¯® ®¯¨á ®¬ã «£®à¨â¬ã¯à®¢®¤¨âáï ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â(r; z; �). � í⮬ á«ãç ¥ § ¤ ç , ¨¬¥îé ï æ¥-
¡�¨á. 3. � ¤¨ «ì®¥ ¨ ®á¥¢®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¤ ¢«¥¨ï ¨ ᪮à®áâ¨: { ᪮à®áâì, ¡ { ¤ ¢«¥¨¥
�¨á. 4. � ª® ¨§¬¥¥¨ï à ¤¨ãá £ §®¢®© ¯®«®áâ¨âà «ìãî ᨬ¬¥âà¨î, áâ ®¢¨âáï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç-®©, çâ® ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ¯à®¢¥à¨âì ¤ ë© «-£®à¨â¬ ¨§¢¥áâëå १ã«ìâ â å à¥è¥¨ï ®¤®-¬¥à®© § ¤ ç¨. � à¨á. 2 ¯à¨¢¥¤¥ ä®à¬ ¯®«®-á⨠¢ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ �t=3; 25; 40 (�t= ta0=r0, r0 { ç «ìë© à ¤¨ãá ¯®«®áâ¨). � à¨á. 3 ªà¨¢ë¥ 1,2 ¯®ª §ë¢ îâ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨�t=20 ¤ ¢«¥¨ï ¨ ᪮à®á⨠¢ à ¤¨ «ì®¬ ¨ ®á¥¢®¬�. �. � ¬¥áª ï, �. �. �®á¥ª®¢ 51
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 2. �. 47 { 52 ¯à ¢«¥¨ïå ᮮ⢥âá⢥®. �«ï áà ¢¥¨ï à¥-襨©, ¯®«ãç¥ëå ¢ ®¤®¬¥à®© ¨ ¤¢ã¬¥à®© ¯®-áâ ®¢ª å, èâà¨å®¢ë¬¨ «¨¨ï¬¨ à¨á. 2, 3 ¯®-ª § ë ¢¥«¨ç¨ë ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯ à ¬¥â஢,à ááç¨â ë¥ ¯® ®¯¨á ®¬ã «£®à¨â¬ã ¢ áä¥à¨-ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. �¨á. 4 ¤¥¬®áâà¨àã¥â§ ª® ¨§¬¥¥¨ï à ¤¨ãá £ §®¢®© ¯®«®á⨠¢ § ¢¨-ᨬ®á⨠®â ¢à¥¬¥¨ ¯à¨ ç «ì®¬ ¤ ¢«¥¨¨ ¢®¢¥è¥© á।¥ 50 �� . �âà¨å®¢®© «¨¨¥© ®¡®-§ 祮 à¥è¥¨¥, ¯à¨¢¥¤¥®¥ ¢ [10], ᯫ®èë-¬¨ { à ¤¨ãá �r=r=r0 ¯®«®á⨠¢ â®çª å ¯¥à¥á¥ç¥¨ï¥¥ á ¥¯®¤¢¨¦ë¬¨ «ãç ¬¨ à áç¥â®© á¥âª¨, ¯®-«ãç¥ë© ¯à¨ à áç¥â¥ á ¯®¬®éìî â¥áâ¨à㥬®£® «£®à¨â¬ . �¨äàë ªà¨¢ëå, ª ª ¨ ¤«ï à¨á. 3,ᮮ⢥âáâ¢ãîâ à ¤¨ «ì®¬ã ¨ ®á¥¢®¬ã ¯à ¢«¥-¨ï¬ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â.����������� §à ¡®â «£®à¨â¬ à áç¥â ¯à®áâà á⢥-®£® ¡¥§¢¨åॢ®£® â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¯®¤ ¤¥©á⢨-¥¬ ¨¬¯ã«ìᮩ £à㧪¨. �à ¢¥¨¥ १ã«ìâ -⮢ â¥áâ¨à®¢ ¨ï ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ¯à¨¥¬«¥¬®©â®ç®á⨠¯à¥¤« £ ¥¬®£® «£®à¨â¬ ¨ ¢®§¬®¦®-á⨠¥£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯à®æ¥á-ᮢ, ¯à®¨á室ïé¨å ¯à¨ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å à §àï¤ å ¢¦¨¤ª®áâ¨. �।¢ à¨â¥«ìë¥ ®æ¥ª¨ ¯®§¢®«ïîâ ¤¥ïâìáï â®, çâ® ¯à¥¤«®¦¥ë© «£®à¨â¬ ®ª -¦¥âáï § ç¨â¥«ì® ¡®«¥¥ íª®®¬ë¬ á â®çª¨ §à¥-¨ï § âà â ¢ëç¨á«¨â¥«ì®£® ¢à¥¬¥¨ ¨ à¥áãàᮢ���, 祬 áãé¥áâ¢ãî騥 «®£¨.
1. � ¢à¨«¥ª® �. �. �«®áª ï ¥á¨¬¬¥âà¨ç ï § ¤ ç 㤠à ⢥म£® â㯮£® ª«¨ ® ¯®¢¥àå®áâì ᦨ-¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠// �ªãáâ. ¢iá.{ 1999.{ 2, N 1.{�. 22{30.2. �㪮¢áª¨© �. �., �®«®â¥ª® �. �. �¨á«¥-®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ § -ªàë⮬ ¯®¤¢¨¦®¬ ¯àאַ㣮«ì®¬ á®á㤥 //�̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1998.{ �ë¯. 72.{ �. 72{87.3. � «¨¥¢ �. �. �¨ ¬¨ª £¨¤à®ã¯à㣮¯« áâ¨ç¥áª¨åá¨á⥬.{ �.: � ãª. ¤ã¬ª , 1981.{ 276 á.4. � 㣮«ìëå �. �., �®© �. �. �«¥ªâà¨ç¥áª¨¥ à §-àï¤ë ¢ ¢®¤¥.{ �.: � 㪠, 1977.{ 151 á.5. �«¥âç¥à �. �ëç¨á«¨â¥«ìë¥ ¬¥â®¤ë ¢ ¤¨ ¬¨ª¥¦¨¤ª®á⥩: ⮬ 1.{ �.: �¨à, 1991.{ 496 á.6. � ¬¥áª ï �. �., �®á¥ª®¢ �. �. �«£®à¨â¬ à á-ç¥â âà¥å¬¥àëå ¢®«®¢ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ ¦¨¤ª®-á⨠¯à¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®¬ à §à拉 // �¥®à¨ï, íªá¯¥-ਬ¥â, ¯à ªâ¨ª í«¥ªâà®à §àï¤ëå â¥å®«®£¨© {���� ����.{ �ë¯. 2.{ 1995.{ �. 60{64.7. �¥¤®¢ �. �. �¥å ¨ª ᯫ®è®© á।ë: ⮬ 1.{�.: � 㪠, 1976.{ 535 á.8. �¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ ¬®£®¬¥àëå § ¤ ç £ §®¢®©¤¨ ¬¨ª¨ / �¥¤. �. �. �®¤ã®¢ .{ �.: � 㪠,1976.{ 400 á.9. �㯥àèâ®å �. �. �¨á«¥ë© ¬¥â®¤ à áç¥â ¤ -¢«¥¨ï ¢ ª «¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® à §àï¤ ¢ ¢®¤¥ //� â¥à. �á¥á®î§. ª®ä. \�â㤥⠨ ãç.-â¥å.¯à®£à¥áá".{ �®¢®á¨¡¨àáª: �§¤-¢® �®¢®á¨¡. ã-â ,1987.{ �. 115{126.10. � ¬ëè«ï¥¢ �. �., �ª®¢«¥¢ �. �. �¨ ¬¨ç¥áª¨¥ £à㧪¨ ¯à¨ ¯®¤¢®¤®¬ ¢§à뢥.{ �.: �㤮áâ஥-¨¥, 1967.{ 387 á.
52 �. �. � ¬¥áª ï, �. �. �®á¥ª®¢
|