Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения
Для прогнозирования демографической ситуации в Украине разработана математическая модель с учетом пространственного распределения народонаселения на территории Украины и динамики его изменения во времени. В основу модели положено уравнение баланса вещества, используемое для моделирования физических...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12814 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения / Д. Подольцев, И.Н. Кучерявая // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 2. — С. 97-105. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12814 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-128142025-02-09T14:43:31Z Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения Подольцев, А.Д. Кучерявая, И.Н. Применение методов и средств моделирования Для прогнозирования демографической ситуации в Украине разработана математическая модель с учетом пространственного распределения народонаселения на территории Украины и динамики его изменения во времени. В основу модели положено уравнение баланса вещества, используемое для моделирования физических процессов диффузии, конвекции и реакции, которое является двумерным дифференциальным уравнением в частных производных. Для компьютерной реализации предложенной модели использован численный метод конечных элементов, реализованный в программе Comsol 3,3. По результатам моделирования построена динамика демографических показателей для Украины в целом и для ее областей на период до 2020 г. Для прогнозування демографічної ситуації в Україні розроблено математичну модель з урахуванням просторового розподілу народонаселення на території України та динаміки його змінення у часі. В основу моделі покладено рівняння балансу речовини, яке використовується для моделювання фізичних процесів дифузії, конвекції та реакції і являє собою двовимірне диференціальне рівняння у частинних похідних. Для комп’ютерної реалізації запропонованої моделі використано чисельний метод кінцевих елементів, реалізований у програмі Comsol 3,3. За результатами моделювання побудовано динаміку демографічних показників для України в цілому і для її областей на період до 2020 р. This work proposes the mathematical model for prognostication of demographic situetion in Ukraine and its separate regions. The model takes into account the spatial distribution of population within the territory of Ukraine and population change dynamics in time. The model is based on matter-balance equation used for modeling of diffusion-convection-reaction processes. The equation is a two-dimensional partial differential equation solved by finite-element method in code package Comsol 3.3. The dynamics of demographic indices for Ukraine up to 2020 is plotted according to results of computer modeling. 2010 Article Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения / Д. Подольцев, И.Н. Кучерявая // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 2. — С. 97-105. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12814 314.1:004.942 ru application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования |
| spellingShingle |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Подольцев, А.Д. Кучерявая, И.Н. Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения |
| description |
Для прогнозирования демографической ситуации в Украине разработана математическая модель с учетом пространственного распределения народонаселения на территории Украины и динамики его изменения во времени. В основу модели положено уравнение баланса вещества, используемое для моделирования физических процессов диффузии, конвекции и реакции, которое является двумерным дифференциальным уравнением в частных производных. Для компьютерной реализации предложенной модели использован численный метод конечных элементов, реализованный в программе Comsol 3,3. По результатам моделирования построена динамика демографических показателей для Украины в целом и для ее областей на период до 2020 г. |
| format |
Article |
| author |
Подольцев, А.Д. Кучерявая, И.Н. |
| author_facet |
Подольцев, А.Д. Кучерявая, И.Н. |
| author_sort |
Подольцев, А.Д. |
| title |
Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения |
| title_short |
Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения |
| title_full |
Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения |
| title_fullStr |
Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения |
| title_full_unstemmed |
Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения |
| title_sort |
компьютерное моделирование демографических процессов в украине с учетом пространственного распределения народонаселения |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12814 |
| citation_txt |
Компьютерное моделирование демографических процессов в Украине с учетом пространственного распределения народонаселения / Д. Подольцев, И.Н. Кучерявая // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 2. — С. 97-105. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT podolʹcevad kompʹûternoemodelirovaniedemografičeskihprocessovvukrainesučetomprostranstvennogoraspredeleniânarodonaseleniâ AT kučerâvaâin kompʹûternoemodelirovaniedemografičeskihprocessovvukrainesučetomprostranstvennogoraspredeleniânarodonaseleniâ |
| first_indexed |
2025-11-26T23:39:18Z |
| last_indexed |
2025-11-26T23:39:18Z |
| _version_ |
1849898158216183808 |
| fulltext |
ÓÄÊ 314.1 : 004.942
À. Ä. Ïîäîëüöåâ, ä-ð òåõí. íàóê, È. Í. Êó÷åðÿâàÿ, êàíä. òåõí. íàóê
Èí-ò ýëåêòðîäèíàìèêè ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03680, Êèåâ-57, ïð-ò. Ïîáåäû, 56,
òåë.: (044) 454 25 68, Å-mail: podol@ied.org.ua)
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå äåìîãðàôè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ â Óêðàèíå ñ ó÷åòîì ïðîñòðàíñòâåííîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ íàðîäîíàñåëåíèÿ
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë êàíä. òåõí. íàóê Â.Â. Àðèñòîâ)
Äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ äåìîãðàôè÷åñêîé ñèòóàöèè â Óêðàèíå ðàçðàáîòàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ìîäåëü ñ ó÷åòîì ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàðîäîíàñåëåíèÿ íà òåððèòîðèè Óêðàèíû
è äèíàìèêè åãî èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè. Â îñíîâó ìîäåëè ïîëîæåíî óðàâíåíèå áàëàíñà âå-
ùåñòâà, èñïîëüçóåìîå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ äèôôóçèè, êîíâåêöèè è
ðåàêöèè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèç-
âîäíûõ. Äëÿ êîìïüþòåðíîé ðåàëèçàöèè ïðåäëîæåííîé ìîäåëè èñïîëüçîâàí ÷èñëåííûé ìåòîä
êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ðåàëèçîâàííûé â ïðîãðàììå Comsol 3.3. Ïî ðåçóëüòàòàì ìîäåëèðîâàíèÿ
ïîñòðîåíà äèíàìèêà äåìîãðàôè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé äëÿ Óêðàèíû â öåëîì è äëÿ åå îáëàñòåé íà
ïåðèîä äî 2020 ã.
Äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ äåìîãðàô³÷íî¿ ñèòóàö³¿ â Óêðà¿í³ ðîçðîáëåíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü ç
óðàõóâàííÿì ïðîñòîðîâîãî ðîçïîä³ëó íàðîäîíàñåëåííÿ íà òåðèòî𳿠Óêðà¿íè òà äèíàì³êè éîãî
çì³íåííÿ ó ÷àñ³.  îñíîâó ìîäåë³ ïîêëàäåíî ð³âíÿííÿ áàëàíñó ðå÷îâèíè, ÿêå âèêîðèñòîâóºòüñÿ
äëÿ ìîäåëþâàííÿ ô³çè÷íèõ ïðîöåñ³â äèôó糿, êîíâåêö³¿ òà ðåàêö³¿ ³ ÿâëÿº ñîáîþ äâîâèì³ðíå
äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ó ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ. Äëÿ êîìï’þòåðíî¿ ðåàë³çàö³¿ çàïðîïîíîâàíî¿
ìîäåë³ âèêîðèñòàíî ÷èñåëüíèé ìåòîä ê³íöåâèõ åëåìåíò³â, ðåàë³çîâàíèé ó ïðîãðàì³ Comsol 3.3.
Çà ðåçóëüòàòàìè ìîäåëþâàííÿ ïîáóäîâàíî äèíàì³êó äåìîãðàô³÷íèõ ïîêàçíèê³â äëÿ Óêðà¿íè â
ö³ëîìó ³ äëÿ ¿¿ îáëàñòåé íà ïåð³îä äî 2020 ð.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìàòåìàòè÷åñêàÿ äåìîãðàôèÿ, äåìîãðàôè÷åñêèå ïîêàçàòåëè, ïðîñò-
ðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå íàñåëåíèÿ, êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå, ïðîãíîçèðîâàíèå.
Íà ñîâðåìåííîì ýòàïå â óñëîâèÿõ øèðîêîé êîìïüþòåðèçàöèè è äîñòóïíîñòè
êîììåð÷åñêèõ ðàñ÷åòíûõ ïàêåòîâ è ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ ïîëó÷èë ðàçâèòèå
îäèí èç ðàçäåëîâ äåìîãðàôèè — ìàòåìàòè÷åñêàÿ äåìîãðàôèÿ [1, 2]. Ìàòå-
ìàòè÷åñêàÿ äåìîãðàôèÿ èçó÷àåò ÷èñëåííîñòü, òåððèòîðèàëüíîå ðàçìåùåíèå è
ñîñòàâ íàñåëåíèÿ, çàêîíîìåðíîñòè èçìåíåíèé ýòèõ ïîêàçàòåëåé âî âðåìåíè è
ïðîñòðàíñòâå íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñ ïðèìåíåíèåì ìàòåìàòè-
÷åñêèõ ìîäåëåé, ðåàëèçóåìûõ íà êîìïüþòåðå.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 97
�������������
�
�
��
���
���
�����
�����
 ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé äåìîãðàôèè èñïîëüçóþòñÿ ïîëîæå-
íèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòà-
òèñòèêè, à òàêæå ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, êîìïüþòåðíûå âû÷èñ-
ëåíèÿ è âîçìîæíîñòè àâòîìàòèçèðîâàííîé îáðàáîòêè ðàñ÷åòíûõ äàííûõ
[1, 3, 4]. Äåìîãðàôè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, ïîëó÷åííûå íà îñíîâå ñáîðà
äàííûõ èëè ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, à òàêæå ïðîãíîçèðóåìûå õàðàê-
òåðèñòèêè ïðåäñòàâëÿþòñÿ â êîëè÷åñòâåííîé ôîðìå. Ñ ïîìîùüþ êîìïüþ-
òåðíûõ ñðåäñòâ âèçóàëèçàöèè îòîáðàæàþòñÿ èõ êà÷åñòâåííûå èçìåíåíèÿ â
ãåîãðàôè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè.
Îñíîâû ñèñòåìíîãî àíàëèçà â îáëàñòè ìèðîâîé äåìîãðàôèè è ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ãëîáàëüíîãî ðàçâèòèÿ èçëîæåíû â ðàáîòå [5], ãäå
ïðåäñòàâëåíà ñëîæíàÿ ñòðóêòóðà ìèðîâîé ìîäåëè è âçàèìîçàâèñèìîñòè â
êîýôôèöèåíòíîé ôîðìå ìåæäó ðàçëè÷íûìè äåìîãðàôè÷åñêèìè ïîêàçà-
òåëÿìè è ôàêòîðàìè, âëèÿþùèìè íà íèõ.  ÷èñëå òàêèõ ôàêòîðîâ — ìàòå-
ðèàëüíûé óðîâåíü æèçíè, íàëè÷èå è òåìïû èñïîëüçîâàíèÿ ïðèðîäíûõ
ðåñóðñîâ, çàãðÿçíåíèå îêðóæàþùåé ñðåäû, êà÷åñòâî æèçíè â öåëîì, óðî-
âåíü ýêîíîìè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ, ïðîäóêòèâíîñòü ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ðîñòà ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ Çåìëè îáîñíî-
âàíà è ðàçâèòà â ðàáîòàõ [6—8], ãäå ïðåäñòàâëåíà ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ
õàðàêòåð èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè îáùåé ÷èñëåííîñòè ÷åëîâå÷åñòâà.  ðå-
çóëüòàòå èññëåäîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîãî ïåðèîäà âðåìåíè (ñ 1750 ã. äî
2010 ã.) ïîêàçàíî, ÷òî âî âòîðîé ïîëîâèíå 20-ãî âåêà ïðîèçîøëî çàìåä-
ëåíèå ðîñòà ÷èñëåííîñòè íàðîäîíàñåëåíèÿ ìèðà è ñ òåõ ïîð ïðîÿâëÿåòñÿ
òåíäåíöèÿ ê åå ñòàáèëèçàöèè. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî îñíîâíûå äåìîãðàôè-
÷åñêèå ïîêàçàòåëè, òàêèå êàê óðîâåíü óðáàíèçàöèè, ïëîòíîñòü íàñåëåíèÿ,
åãî ãåîãðàôè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, óðîâåíü êóëüòóðû è îáðàçîâàíèÿ, îïðå-
äåëÿþòñÿ ãëàâíîé âåëè÷èíîé — îáùåé ÷èñëåííîñòüþ íàñåëåíèÿ ïëàíåòû. Íà
îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ è èõ àíàëèçà Ñ.Ï.Êàïèöà ñôîðìóëèðîâàë
ïðèíöèï î òîì, ÷òî, èñõîäÿ èç äåìîãðàôè÷åñêèõ äàííûõ, ìîæíî ñäåëàòü øàã ê
êîëè÷åñòâåííîìó îïèñàíèþ ðàçâèòèÿ ÷åëîâå÷åñòâà. Êðîìå òîãî, îí âûäâèíóë
äåìîãðàôè÷åñêèé èìïåðàòèâ î òîì, ÷òî èìåííî äåìîãðàôèÿ è ðîñò íàðîäî-
íàñåëåíèÿ â ìèðå îáóñëîâëèâàþò õàðàêòåð ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ è
ãåîïîëèòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ãëîáàëüíîé äåìîãðàôè÷åñ-
êîé ñèñòåìå.
Ìàêðîìîäåëü Ñ. Ï. Êàïèöû ïîëó÷èëà äàëüíåéø åå ðàçâèòèå â òðóäàõ
Ñ. Ï. Êóðäþìîâà è åãî ó÷åíèêîâ [9, 10]. Èìè ïðåäëîæåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ìîäåëü ãëîáàëüíûõ ýâîëþöèîííûõ äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì
ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàðîäîíàñåëåíèÿ è ïðîöåññîâ ìèãðàöèè.
Íà îñíîâå ðàçâèòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ìîæåò áûòü òàêæå ñìîäå-
ëèðîâàíà ãëîáàëüíàÿ äåìîãðàôè÷åñêàÿ äèíàìèêà ñ èñïîëüçîâàíèåì äèôôå-
À. Ä. Ïîäîëüöåâ, È. Í. Êó÷åðÿâàÿ
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïðåäëîæåííàÿ â [10] òåî-
ðèÿ ðåæèìîâ ñ îáîñòðåíèåì ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ïðîöåññû â äåìîãðà-
ôè÷åñêîé ñèñòåìå, õàðàêòåðèñòèêè êîòîðîé íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþò.
 [4, 11] ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå òåîðåòè÷åñêèå ìîäåëè ðîæäàåìîñòè
è ñìåðòíîñòè — ìîäåëè åñòåñòâåííîãî äâèæåíèÿ íàñåëåíèÿ. Íà îñíîâàíèè
óñðåäíåííûõ êîýôôèöèåíòîâ ðîæäàåìîñòè è ñìåðòíîñòè â [11] ñäåëàí
äîëãîñðî÷íûé (íà ñòîëåòèå) ïðîãíîç ðîñòà íàñåëåíèÿ ìèðà.
 ðàáîòå [12] âûïîëíåíî ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå èçìåíåíèÿ
âî âðåìåíè (ïî ãîäàì) ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ è åãî âîçðàñòíûõ ãðóïï. Êàê
è â áîëüøèíñòâå ðàáîò, â [12] ïðèìåíåí ïîäõîä, îñíîâàííûé íà òîì, ÷òî
áóäóùèé ðîñò ïîêàçàòåëåé íàñåëåíèÿ ïðåäîïðåäåëåí ïðåäûäóùèì. Ìîäå-
ëèðîâàíèå ïðîâåäåíî íà îñíîâå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ. Íà÷àëüíûì óñëîâèåì äëÿ äîëãîñðî÷íîãî ïðîãíîçà äî 2020 ã.
ñòàëè ðåàëüíûå ïîêàçàòåëè, õàðàêòåðèçóþùèå äåìîãðàôè÷åñêóþ ñèòóà-
öèþ â Ðîññèè â 1998 ã.
Âàæíåéøåé çàäà÷åé, ðåøàåìîé ñðåäñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîé äåìîãðà-
ôèè, ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâëåíèå ïðîãíîçà äèíàìèêè ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ
îïðåäåëåííîãî ðåãèîíà íà îñíîâå òî÷íûõ äàííûõ îá èìåþùåéñÿ ÷èñëåí-
íîñòè íàñåëåíèÿ è çàêîíîìåðíîñòÿõ åå èçìåíåíèÿ â òå÷åíèå áëèæàéøåãî
ïðîøåäøåãî ïåðèîäà âðåìåíè. Îñíîâû ðåãèîíàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé äå-
ìîãðàôèè è ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, â òîì ÷èñëå äèñê-
ðåòíûå âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè, ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòå [2].
Îáúåêòîì äàííîãî èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ íàñåëåíèå Óêðàèíû â öåëîì
è îòäåëüíûõ åå îáëàñòåé. Âûïîëíèì ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå è ïðîãíîç
ýâîëþöèè äåìîãðàôè÷åñêîé ñèòóàöèè â Óêðàèíå äî 2020 ã., îïèðàÿñü íà
ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå 2008—2009 ãã. [13, 14]. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è áóäåì
èñïîëüçîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, îïè-
ñûâàþùåå ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ äèôôóçèè, êîíâåêöèè è ðåàêöèè äëÿ ñëîæ-
íîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî îáúåêòà, ìîäåëèðóþùåãî ðåàëüíóþ êîíôèãóðàöèþ
êàæäîé îáëàñòè ñòðàíû (ðèñ. 1, ñì. âêëåéêó). Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðîâåäåì ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåí-
òîâ â êîììåð÷åñêîé ïðîãðàììå Comsol 3.3 [15].  èíòåãðèðîâàííîé ñðåäå
ïðîãðàììû Comsol âûïîëíèì òàêæå âèçóàëèçàöèþ, ãðàôè÷åñêóþ è öèô-
ðîâóþ îáðàáîòêó ðåçóëüòàòîâ êîìïüþòåðíûõ ðàñ÷åòîâ. Îñîáåííîñòüþ äàí-
íîé ðàáîòû, â îòëè÷èå îò îïóáëèêîâàííûõ ðàííåå, ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå
êîíå÷íî-ýëåìåíòíîãî àíàëèçà ïðîñòðàíñòâåííûõ äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåñ-
ñîâ â Óêðàèíå.
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ìîäåëü äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â Óêðàèíå. Â
êà÷åñòâå ðàñ÷åòíîé îáëàñòè ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò,
ãðàíèöû êîòîðîãî ñîâïàäàþò â îïðåäåëåííîì ìàñøòàáå ñ ãðàíèöàìè
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â Óêðàèíå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 99
Óêðàèíû, ñïðîåêòèðîâàííûìè ñ ãåîãðàôè÷åñêîé êàðòû (ñì. ðèñ. 1). Âñå
ïðîöåññû âûïîëíåíû â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x y0 ñ ïðîñò-
ðàíñòâåííûì ìàñøòàáîì 1 êì è âðåìåííûì ìàñøòàáîì 1 ãîä. Ïðè
ðàçðàáîòêå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé äåìîãðàôè÷åñêèå ïðîñò-
ðàíñòâåííûå ïðîöåññû, èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè
è ïàðàìåòðû:
n x y t( , , ), ÷åë/êì2, — ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü íàñåëåíèÿ â òî÷êå ñ
êîîðäèíàòàìè ( , )x y â ìîìåíò âðåìåíè t;
N t n x y t dS
S
( ) ( , , )� � , ÷åë, — îáùàÿ ÷èñëåííîñòü íàñåëåíèÿ íà âûáðàí-
íîé òåððèòîðèè S â ìîìåíò âðåìåíè t; ïðè S S� Óê îáùàÿ ÷èñëåííîñòü
íàñåëåíèÿ Óêðàèíû — NÓê .
k x y tb ( , , ), 1/ã, — êîýôôèöèåíò ðîæäàåìîñòè, ðàâíûé îòíîñèòåëüíîé
âåëè÷èíå ïðèðîñòà âñëåäñòâèå ðîæäàåìîñòè íàñåëåíèÿ â òî÷êå ( , )x y â
ìîìåíò âðåìåíè t;
k x y td ( , , ), 1/ã, — êîýôôèöèåíò ñìåðòíîñòè, ðàâíûé îòíîñèòåëüíîé âåëè-
÷èíå óáûëè èç-çà ñìåðòíîñòè íàñåëåíèÿ â òî÷êå ( , )x y â ìîìåíò âðåìåíè t;
J, ÷åë/(êì � ñ), — ïîòîê íàñåëåíèÿ — âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðè-
çóþùàÿ ÷èñëî ëþäåé, ïåðåñåêàþùèõ çà îäèí ãîä åäèíèöó ïîâåðõíîñòè â
íàïðàâëåíèè åå âíåøíåé íîðìàëè.
Äèíàìèêó ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ ìîäåëèðóåì íà îñíîâå äèôôåðåí-
öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, õàðàêòåðèçóþùåãî áàëàíñ
íàñåëåíèÿ:
�
�
n
t
+ k n k n sb d�� � � �J , J u� � � �D n n , (1)
ãäå J — âåëè÷èíà ïîòîêà íàñåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ñ ó÷åòîì ïðîöåññîâ
äèôôóçèè è êîíâåêöèè; D — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè, îïðåäåëÿþùèé ñêî-
ðîñòü ïåðåìåùåíèÿ íàñåëåíèÿ èç îáëàñòè ñ áîëüøåé ïëîòíîñòüþ â îáëàñòü
ñ ìåíüøåé ïëîòíîñòüþ íàñåëåíèÿ; u — ñêîðîñòü êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà
íàñåëåíèÿ (ìîäåëèðóåò ïðîöåññû ïåðåìåùåíèÿ ïîòîêîâ íàñåëåíèÿ ïî òåð-
ðèòîðèè Óêðàèíû â íàïðàâëåíèè, ñîâïàäàþùåì ñ íàïðàâëåíèåì u).
Èñòî÷íèê s â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1) õàðàêòåðèçóåò ïðîöåññû óâå-
ëè÷åíèÿ èëè óìåíüøåíèÿ ïëîòíîñòè íàñåëåíèÿ â äàííîé òî÷êå è îòðàæàåò
êàê ïðîöåññû âíóòðåííåé ìèãðàöèè sâí (ïåðåìåùåíèå íàñåëåíèÿ ìåæäó
îáëàñòÿìè), òàê è âíåøíþþ ìèãðàöèþ sâíåø (ïåðåìåùåíèå çà ïðåäåëû
Óêðàèíû), s s s� �âí âíåø . Ïðè ýòîì, èñõîäÿ èç óñëîâèÿ áàëàíñà, äëÿ ïðî-
öåññîâ âíóòðåííåé ìèãðàöèè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî
S
s dS
Óê
âí� �0 .
À. Ä. Ïîäîëüöåâ, È. Í. Êó÷åðÿâàÿ
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
Êèåâ
Ëóöê
Ëüâîâ
Óæãîðîä
Èâàíî-
Ôðàíêîâñê
×åðíîâöû
Òåðíîïîëü
Ðîâíî
Æèòîìèð
Õìåëüíèöêèé
Âèííèöà ×åðêàññû
Êèðîâîãðàä
Íèêîëàåâ
Îäåññà
Õåðñîí
Ñèìôåðîïîëü
×åðíèãîâ
Ñóìû
Ïîëòàâà
Õàðüêîâ
Äíåïðîïåòðîâñê
Äîíåöê
Çàïîðîæüå
Ëóãàíñê
y
0 x
min
max
Êèåâ
Ëóöê
Ëüâîâ
Óæãîðîä
Èâàíî-
Ôðàíêîâñê
×åðíîâöû
Òåðíîïîëü
Ðîâíî
Æèòîìèð
Õìåëüíèöêèé
Âèííèöà ×åðêàññû
Êèðîâîãðàä
Íèêîëàåâ
Îäåññà
Õåðñîí
Ñèìôåðîïîëü
×åðíèãîâ
Ñóìû
Ïîëòàâà
Õàðüêîâ
Ëóãàíñê
Äíåïðîïåòðîâñê
Äîíåöê
Çàïîðîæüå
Ðèñ. 1. Öèôðîâàÿ ìîäåëü, ïîñòðîåííàÿ íà îñíîâå êàðòû Óêðàèíû, ñ íàíåñåííîé
ðàñ÷åòíîé òðåóãîëüíîé ñåòêîé
Ðèñ. 2. Ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè íàñåëåíèÿ íà òåððèòîðèè Óêðàèíû ïî ñîñòîÿíèþ íà
2009 ã.; â ã. Êèåâå ïëîòíîñòü ïðåäñòàâëåíà â ìàñøòàáå 1:15
Êèåâ
ÓêN , òûñ. ÷åë
t, ã
2009 ã.
44000
46000
48000
50000
52000
1990 1995 2000 2005 2010 2015
2020 ã.
Ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè íàñåëåíèÿ, ïðåäñòàâëåííîå
â îáúåìíîì âèäå
Ðèñ. 5. Èçìåíåíèå ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ Óêðàèíû N Óê äî 2020 ã.; íà âñòàâêå ïîêà-
çàíî ïðîãíîçèðóåìîå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè íàñåëåíèÿ Óêðàèíû ïî îáëàñòÿì â
2020 ã.; ìàñøòàá äàííûõ íà âñòàâêå òàêîé æå, êàê íà ðèñ. 2, à
Óðàâíåíèå (1) äîïîëíèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì
n x y t n x yt( , , ) ( , )
0 0� , (2)
äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîãî èñïîëüçîâàíû ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå èç îôè-
öèàëüíûõ èñòî÷íèêîâ [13, 14] ïî ñîñòîÿíèþ íà ïåðâûé êâàðòàë 2009 ã., â
÷àñòíîñòè ÷èñëåííîñòü íàñåëåíèÿ êàæäîé îáëàñòè è åå ïëîùàäü. Ðàññ÷è-
òàííîå ïî ýòèì äàííûì íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè íàñåëåíèÿ n0
ïîêàçàíî íà ðèñ. 2 (ñì. âêëåéêó).
 êà÷åñòâå ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ íà âíåøíåé ãðàíèöå ðàñ÷åòíîé îáëàñ-
òè (ãðàíèöå Óêðàèíû) ïðèíÿòî ðàâåíñòâî íóëþ íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé
ïîòîêà íàñåëåíèÿ:
J n � 0, (3)
ò.å. ìèãðàöèîííûå ïðîöåññû íå ó÷òåíû.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè (1) ó÷òåíû
ïðîöåññû êîíâåêöèè, äèôôóçèè è ðåàêöèè â ìàòåðèàëüíîé ñðåäå. Ïðè-
ìåíèòåëüíî ê äåìîãðàôè÷åñêèì ïðîöåññàì êîíâåêöèÿ ìîäåëèðóåò ïåðåìå-
ùåíèå íàñåëåíèÿ èç îäíîãî ðåãèîíà â äðóãîé, ò.å. ïåðåìåùåíèå â çàäàííîì
íàïðàâëåíèè ñ çàäàííîé ñêîðîñòüþ, íàïðèìåð îòñåëåíèå ëþäåé èç çîíû
×åðíîáûëÿ. Äèôôóçèÿ îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ íàñåëåíèÿ èç
çîíû ñ áîëüøåé ïëîòíîñòüþ íàñåëåíèÿ â çîíó ñ ìåíüøåé ïëîòíîñòüþ,
íàïðèìåð ïåðåñåëåíèå îïðåäåëåííîé êàòåãîðèè íàñåëåíèÿ èç Êèåâà â
îáëàñòü. Îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè îçíà÷àåò ïåðå-
ñåëåíèå â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè, ÷òî íàáëþäàåòñÿ â áîëüøèõ ãîðîäàõ.
Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ öèôðîâîé ãåîìåòðè-
÷åñêîé ìîäåëè òåððèòîðèè Óêðàèíû èñïîëüçîâàíà ãåîãðàôè÷åñêàÿ êàðòà
Óêðàèíû ñ òåððèòîðèàëüíûì äåëåíèåì. Ïîñëå ñêàíèðîâàíèÿ è îáðàáîòêè
åå èçîáðàæåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïàêåòà AutoCAD ñîçäàíà öèôðîâàÿ ìîäåëü
òåððèòîðèè Óêðàèíû è åå îáëàñòåé, ñ íàíåñåííîé òðåóãîëüíîé êîíå÷íî-
ýëåìåíòíîé ñåòêîé (ñì. ðèñ. 1). Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì öèôðîâàÿ
ìîäåëü ÿâëÿëàñü ðàñ÷åòíîé îáëàñòüþ, â êîòîðîé ñ ïîìîùüþ ïàêåòà Comsol
âûïîëíÿëîñü ÷èñëåííîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) ñ
íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (2) è (3).
Íà ðèñ. 2 è 3 (ñì. âêëåéêó) ïðèâåäåíû äâà ðàçëè÷íûõ ñïîñîáà îòîáðà-
æåíèÿ îäíîé è òîé æå èíôîðìàöèè: ñ èñïîëüçîâàíèåì öâåòîâîé ãàììû íà
ïëîñêîñòè è â âèäå îáúåìíîãî îòîáðàæåíèÿ. Êàê âèäèì, íàèáîëüøàÿ ïëîò-
íîñòü íàñåëåíèÿ â ãîðîäå Êèåâå è Äîíåöêîé îáëàñòè, íàèìåíüøàÿ — â
×åðíèãîâñêîé îáëàñòè.
Ìèãðàöèîííûå ïðîöåññû â Êèåâå è îáëàñòè î÷åíü ñëîæíû è èìåþò
ðÿä ñïåöèôè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé, êîòîðûå íå ó÷èòûâàëèñü. Ïðîöåññû
åñòåñòâåííîãî äâèæåíèÿ íàñåëåíèÿ (ðîæäàåìîñòü è ñìåðòíîñòü) â ñòîëèöå
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â Óêðàèíå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 101
ïðèðàâíåíû êî âñåì ðåãèîíàì ñòðàíû.  îáùåì ñëó÷àå äåìîãðàôè÷åñêèå
ïðîöåññû â Êèåâå òðåáóþò îòäåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ ñ ó÷åòîì èìåþùèõñÿ
îñîáåííîñòåé. Âîçìîæíî ðàññìîòðåíèå çàäà÷è íà ìèêðîóðîâíå (îòäåëüíî
äëÿ ñòîëèöû) ñ ïîýòàïíûì ïåðåõîäîì íà ìàêðîóðîâåíü — ê ìîäåëè äëÿ
âñåé ñòðàíû, ãäå áûëè áû èñïîëüçîâàíû äàííûå, ïîëó÷åííûå íà ìèêðî-
óðîâíå. Îäíàêî òàêàÿ öåëü íå ñòàâèëàñü.
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â Óêðàèíå íà áëè-
æàéøóþ ïåðñïåêòèâó â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (1) ââåäåíû âðåìåí-
íûå çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ ðîæäàåìîñòè k tb ( ) è ñìåðòíîñòè k td ( ) â
ðàññìàòðèâàåìîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè. Áûëè èñïîëüçîâàíû îïóáëèêîâàí-
íûå çíà÷åíèÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ â ïåðèîä ñ 2003 ïî 2008 ã. (ðèñ. 4). Äî
2020 ã. îíè îïðåäåëåíû ïóòåì ëèíåéíîé ýêñòðàïîëÿöèè çíà÷åíèé k tb ( ) è
k td ( ) çà èñòåêøèé ïåðèîä. Ïîñòðîåííûå ýêñòðàïîëÿöèîííûå çàâèñèìîñòè
èñïîëüçîâàíû ïðè ìîäåëèðîâàíèè äåìîãðàôè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé Óêðàè-
íû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âî âñåõ îáëàñòÿõ ñòðàíû êîýôôèöèåíòû k tb ( ) è
k td ( ) èìåþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè t. Â
ðàñ÷åòàõ èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ îñíîâíûõ âåëè÷èí, âõîäÿ-
ùèõ â óðàâíåíèå (1): D = 10–6 êì2/ñ, s �0, u = 0.
Ïîëó÷åííûé ïðîãíîç äî 2020 ã. èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè è ÷èñëåííîñòè
íàñåëåíèÿ â Óêðàèíå, îòäåëüíûõ åå îáëàñòÿõ è ã. Êèåâå ïðåäñòàâëåí íà
ðèñ. 5 (ñì. âêëåéêó) è ðèñ. 6. Êàê âèäíî èç ýòèõ ðèñóíêîâ, ïðè ïðèíÿòîì
çàêîíå èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè êîýôôèöèåíòîâ ðîæäàåìîñòè è ñìåðòíîñòè
À. Ä. Ïîäîëüöåâ, È. Í. Êó÷åðÿâàÿ
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
2004 2008 2012 2016
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
dk
bk
t, ã
)(tk ,1/ã
Ðèñ. 4. Ýêñòðàïîëÿöèîííûå çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè êîýôôèöèåíòîâ ðîæäàåìîñòè k tb ( ) è
ñìåðòíîñòè k td ( ): —— ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå [13, 14]; - - - ðåçóëüòàò ëèíåéíîé ýêñòðà-
ïîëÿöèè
(ñì. ðèñ. 4) äî 2017 ã. ÷èñëåííîñòü íàñåëåíèÿ Óêðàèíû áóäåò ìåäëåííî
óìåíüøàòüñÿ. Äëÿ ñðàâíåíèÿ íà ðèñ. 5 ïðèâåäåíû äàííûå áîëåå ðàííåãî
ïåðèîäà, íà÷èíàÿ ñ 1990 ã.
 2017 ã. ïîêàçàòåëè ðîæäàåìîñòè è ñìåðòíîñòè ñòàíóò ðàâíûìè ïî
âåëè÷èíå, à â ïîñëåäóþùèå ãîäû âñëåäñòâèå ïðåâûøåíèÿ ðîæäàåìîñòè íàä
ñìåðòíîñòüþ ÷èñëåííîñòü íàñåëåíèÿ Óêðàèíû íà÷íåò óâåëè÷èâàòüñÿ. Ýòî
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â Óêðàèíå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 103
2010 2012 2014 2016 2018
40
80
120
160
à á
Äîíåöêàÿ îáëàñòü
Ëüâîâñêàÿ îáëàñòü
Ðåñïóáëèêà Êðûì
×åðíèãîâñêàÿ îáëàñòü
2020
n, ÷åë./êì2
2010 2012 2014 2016 2018
3380
3400
3420
3440
3460
t, ã
Ðèñ. 6. Ãðàôèêè ïðîãíîçèðóåìîãî èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè íàñåëåíèÿ â íåêîòîðûõ îáëàñòÿõ
Óêðàèíû (à) è â ã. Êèåâå (á) äî 2020 ã., ïîñòðîåííûå ïî ðåçóëüòàòàì ìîäåëèðîâàíèÿ
Ðèñ. 7. Ïðîãíîçèðóåìîå èçìåíåíèå ïðèðîñòà íàñåëåíèÿ Óêðàèíû N Óê â ïåðèîä ñ 2009 ïî
2020 ãîäû
ïîäòâåðæäàåòñÿ äàííûìè, ïðèâåäåííûìè íà ðèñ. 7, ãäå ïîêàçàíî èçìåíåíèå
ïðèðîñòà íàñåëåíèÿ Óêðàèíû ïî ãîäàì, âû÷èñëÿåìîå ïî ôîðìóëå
N k k ndSdtb d
t
t
S
Óê
Óê
� �
�
�
� �( )
,
,
0 5
0 5
.
Ïðè ðàñ÷åòå çíà÷åíèÿ NÓê èñïîëüçîâàíû âðåìåííûå çàâèñèìîñòè êîýô-
ôèöèåíòîâ ðîæäàåìîñòè è ñìåðòíîñòè, ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 4.
Íà ðèñ. 7 îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðèðîñòà íàñåëåíèÿ â 2009—2016 ãã.
õàðàêòåðèçóþò ïðîöåññ ñîêðàùåíèÿ îáùåé ÷èñëåííîñòè, à ïîëîæèòåëü-
íûå çíà÷åíèÿ — óâåëè÷åíèå ÷èñëåííîñòè íàñåëåíèÿ Óêðàèíû.
Âûâîäû. Ðàçðàáîòàííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü è ïðîãðàììíûå ñðåäñò-
âà ïîñëå óòî÷íåíèÿ è äîïîëíåíèÿ íåîáõîäèìûìè áàçàìè äàííûõ è äîïîë-
íèòåëüíîé ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìîãóò áûòü èñïîëüçî-
âàíû äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîòåêàíèÿ â áëèæàéøåé è îòäàëåííîé ïåðñïåêòèâå
âçàèìîñâÿçàííûõ äåìîãðàôè÷åñêèõ, ñîöèàëüíûõ, ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ,
à òàêæå ïðîöåññîâ ïîòðåáëåíèÿ ýíåðãîðåñóðñîâ íà òåððèòîðèè Óêðàèíû ñ
ó÷åòîì ñóùåñòâóþùèõ ðåãèîíàëüíûõ îñîáåííîñòåé. Ìîäåëèðîâàíèå òàêèõ
ïðîöåññîâ äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü äèíàìèêó óäåëüíûõ ïîêàçàòåëåé íà
äóøó íàñåëåíèÿ íà áëèæàéøóþ ïåðñïåêòèâó, îäíàêî ðàññìîòðåíèå è ðåøå-
íèå ïîäîáíûõ çàäà÷ âûõîäèò çà ðàìêè äàííîé ðàáîòû.
This work proposes the mathematical model for prognostication of demographic situetion in
Ukraine and its separate regions. The model takes into account the spatial distribution of popula-
tion within the territory of Ukraine and population change dynamics in time. The model is based
on matter-balance equation used for modeling of diffusion-convection-reaction processes. The
equation is a two-dimensional partial differential equation solved by finite-element method in
code package Comsol 3.3. The dynamics of demographic indices for Ukraine up to 2020 is plot-
ted according to results of computer modeling.
1. Ñòàðîâåðîâ Î. Â. Àçû ìàòåìàòè÷åñêîé äåìîãðàôèè. — Ì. : Íàóêà, 1997. — 158 ñ.
2. Rogers A. Introduction for Multiregional Mathematical Demography. — NY : John Wiley,
1975. — 220 p.
3. Êîëåìàåâ Â. À. Ñòàðîâåðîâ Î. Â., Òóðóíäàåâñêèé Â. Á. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìà-
òè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. — Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1991. — 400 ñ.
4. Êîðîòàåâ À. Â., Ìàëêîâ À. Ñ., Õàëòóðèíà Ä. À. Çàêîíû èñòîðèè: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäå-
ëèðîâàíèå ðàçâèòèÿ ìèð-ñèñòåìû. Äåìîãðàôèÿ, ýêîíîìèêà, êóëüòóðà. — Ì. : Êîì-
Êíèãà, 2007. — 224 ñ.
5. Ôîððåñòåð Äæ. Ìèðîâàÿ äèíàìèêà. — Ì. : Íàóêà, 1978. — 168 ñ.
6. Êàïèöà Ñ. Ï. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ðîñòà íàñåëåíèÿ ìèðà//Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäå-
ëèðîâàíèå. — 1992. — 4, ¹ 6. — Ñ. 65—79.
7. Êàïèöà Ñ. Ï. Ñêîëüêî ëþäåé æèëî, æèâåò è áóäåò æèòü íà çåìëå. Î÷åðê òåîðèè ðîñòà ÷å-
ëîâå÷åñòâà. — Ìîñêâà, 1999. — 134 c. — http://rogov.zwz.ru/Macroevolution/kapica.pdf
À. Ä. Ïîäîëüöåâ, È. Í. Êó÷åðÿâàÿ
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
8. Êàïèöà Ñ.Ï. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ òåîðèÿ ðîñòà íàñåëåíèÿ Çåìëè//Óñïåõè ôèç. íàóê. —
1996. — 166, ¹ 1. — Ñ. 63—80.
9. Áåëàâèí Â. À., Êàïèöà Ñ. Ï., Êóðäþìîâ Ñ. Ï. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ãëîáàëüíûõ
äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ//ÆÂÌ è
ÌÔ. — 1998. — 38, ¹ 6. — Ñ. 885—902.
10. Áåëàâèí Â. À., Êóðäþìîâ Ñ. Ï. Ðåæèìû ñ îáîñòðåíèåì â äåìîãðàôè÷åñêîé ñèñòåìå.
Ñöåíàðèé óñèëåíèÿ íåëèíåéíîñòè//Òàì æå. — 2000. — 40, ¹ 2. — Ñ. 238—251.
11. Ãîëüäèí Â. ß., Ïåñòðÿêîâà Ã. À. Íåñòàöèîíàðíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ðîñòà íàñå-
ëåíèÿ çåìëè//Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. — 1998. — 10, ¹ 3. — Ñ. 39—47.
12. Îðëîâ Þ. Í., Ñóñëèí Â. Ì. Êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé äåìîãðà-
ôèè. //Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. — 2003. — 15, ¹ 3. — Ñ. 43—54.
13. http://www.ukrcensus.gov.ua
14. http://www.ukrstat.gov.ua
15. Comsol Multiphysics Modeling and Simulation. Version 3.3. — http://www.comsol.com
Ïîñòóïèëà 31.08.09;
ïîñëå äîðàáîòêè 21.10.09
ÏÎÄÎËÜÖÅÂ Àëåêñàíäð Äìèòðèåâè÷, ä-ð òåõí.íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ýëåêòðîäèíàìèêè
ÍÀÍ Óêðàèíû.  1974 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëå-
äîâàíèé — ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ íàó÷íûõ ïðèëîæåíèé, â òîì ÷èñëå äëÿ
ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ, òåõíîëîãè÷åñêèõ, áèîôèçè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé.
ÊÓ×ÅÐßÂÀß Èðèíà Íèêîëàåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ýëåêòðîäèíàìèêè
ÍÀÍ Óêðàèíû.  1982 ã. îêîí÷èëà Êèåâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ò.Ã. Øåâ÷åíêî.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è êîìïüþ-
òåðíûõ ñðåäñòâ äëÿ ðåøåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ, òåïëîâûõ, áèîôèçè÷åñêèõ çàäà÷.
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå äåìîãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â Óêðàèíå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 105
106 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
|