Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов
Предложен метод самосогласованного описания фононной системы, обобщающий модель Дебая с учетом фонон-фононного взаимодействия. Введено представление о «самосогласованных» фононах, скорость которых зависит от температуры и определяется в результате решения нелинейного уравнения. Энергия Дебая в рам...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/128239 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 11. — С. 1181–1190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859596288740294656 |
|---|---|
| author | Полуэктов, Ю.М. |
| author_facet | Полуэктов, Ю.М. |
| citation_txt | Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 11. — С. 1181–1190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Предложен метод самосогласованного описания фононной системы, обобщающий модель Дебая с учетом фонон-фононного взаимодействия. Введено представление о «самосогласованных» фононах, скорость
которых зависит от температуры и определяется в результате решения нелинейного уравнения. Энергия
Дебая в рамках предложенного подхода также является функцией температуры. Построена термодинамика
газа «самосогласованных» фононов. Показано, что при низких температурах к кубическому закону в температурной зависимости теплоемкости появляется поправка, пропорциональная седьмой степени температуры. Это, по-видимому, объясняет причину, по которой кубический закон для теплоемкости наблюдается
только при довольно низких температурах. При высоких температурах теория предсказывает линейное по
температуре отклонение от закона Дюлонга–Пти, наблюдаемое экспериментально. Рассмотрена модификация критерия плавления вследствие учета фонон-фононного взаимодействия.
Запропоновано метод самоузгодженого опису фононної системи, який узагальнює модель Дебая з урахуванням фонон-фононної взаємодії. Введено представлення про «самоузгоджені» фонони, швидкість яких
залежить від температури і визначається в результаті рішення нелінійного рівняння. Енергія Дебая в рамках
запропонованого підходу також є функцією температури. Побудовано термодинаміку газу «самоузгоджених» фононів. Показано, що при низьких температурах до кубічного закону в температурній залежності
теплоємності існує добавка, пропорційна сьомої степені температури. Це, очевидно, пояснює причину, по
якій кубічний закон для теплоємності спостерігається тільки при досить низьких температурах. При високих температурах теорія пророкує лінійне по температурі відхилення від закону Дюлонга–Пті, що
спостерігається в експерименті. Розглянуто модифікацію критерію плавлення внаслідок урахування фононфононної взаємодії.
A method of self-consistent description of a phonon
system, which generalizes the Debye model to account
for the phonon–phonon interaction, has been
proposed. The notion of “self-consistent” phonons is
introduced, whose speed depends on temperature and
is determined by solving a nonlinear equation. The
Debye energy is also a function of temperature within this approach. The thermodynamics of a gas of “selfconsistent”
phonons is built. It is shown, that at low
temperatures there exists an additional term to the cubic-law
temperature dependence of the specific heat,
which is proportional to the seventh power of temperature.
This apparently explains why the cubic law for
the specific heat is observed only at rather low temperatures.
At high temperatures the theory predicts a
linear in temperature deviation from the Dulong–Petit
law, which is observed experimentally. A modification
of the melting criterion due to accounting for the phonon–phonon
interaction is considered.
|
| first_indexed | 2025-11-27T21:22:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11, c. 1181–1190
Самосогласованное описание системы
взаимодействующих фононов
Ю.М. Полуэктов
Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт»
ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина
E-mail: yuripoluektov@kipt.kharkov.ua
Статья поступила в редакцию 13 марта 2015 г., после переработки 7 июня 2015 г., опубликована онлайн 25 сентября 2015 г.
Предложен метод самосогласованного описания фононной системы, обобщающий модель Дебая с уче-
том фонон-фононного взаимодействия. Введено представление о «самосогласованных» фононах, скорость
которых зависит от температуры и определяется в результате решения нелинейного уравнения. Энергия
Дебая в рамках предложенного подхода также является функцией температуры. Построена термодинамика
газа «самосогласованных» фононов. Показано, что при низких температурах к кубическому закону в тем-
пературной зависимости теплоемкости появляется поправка, пропорциональная седьмой степени темпера-
туры. Это, по-видимому, объясняет причину, по которой кубический закон для теплоемкости наблюдается
только при довольно низких температурах. При высоких температурах теория предсказывает линейное по
температуре отклонение от закона Дюлонга–Пти, наблюдаемое экспериментально. Рассмотрена модифика-
ция критерия плавления вследствие учета фонон-фононного взаимодействия.
Запропоновано метод самоузгодженого опису фононної системи, який узагальнює модель Дебая з ура-
хуванням фонон-фононної взаємодії. Введено представлення про «самоузгоджені» фонони, швидкість яких
залежить від температури і визначається в результаті рішення нелінійного рівняння. Енергія Дебая в рамках
запропонованого підходу також є функцією температури. Побудовано термодинаміку газу «самоузгодже-
них» фононів. Показано, що при низьких температурах до кубічного закону в температурній залежності
теплоємності існує добавка, пропорційна сьомої степені температури. Це, очевидно, пояснює причину, по
якій кубічний закон для теплоємності спостерігається тільки при досить низьких температурах. При висо-
ких температурах теорія пророкує лінійне по температурі відхилення від закону Дюлонга–Пті, що
спостерігається в експерименті. Розглянуто модифікацію критерію плавлення внаслідок урахування фонон-
фононної взаємодії.
PACS: 63.20.–e Фононы в кристаллических решетках;
63.20.Ry Ангармонические решеточные моды;
05.30.Jp Бозонные системы.
Ключевые слова: фонон, теплоемкость, фонон-фононное взаимодействие, энергия Дебая, плавление, квази-
частица.
1. Введение
Квантовая механика к описанию теплоемкости твер-
дых тел впервые была применена Эйнштейном [1]. В его
модели твердое тело рассматривается как набор кванто-
вых гармонических осцилляторов. Эйнштейну удалось
объяснить отклонение в поведении теплоемкости при
низких температурах от закона Дюлонга–Пти, однако
полученная скорость убывания теплоемкости имела экс-
поненциальный характер и существенно отличалась от
степенного закона убывания, наблюдаемого в экспери-
менте. Иной подход к квантовому описанию твердого
тела был предложен Дебаем [2]. В его модели твердое
тело рассматривается как сплошная среда, возбуждения
которой квантованы. Фактически Дебаем впервые было
проквантовано нерелятивистское поле. Дебаю в его мо-
дели удалось получить правильное поведение низкотем-
пературной теплоемкости, пропорциональной кубу тем-
пературы, и им было введено в физику фундаментальное
для теории твердого тела понятие температуры (энергии
или частоты) Дебая. Фактически, как сейчас ясно, моде-
ли Эйнштейна и Дебая описывают твердое тело с раз-
© Ю.М. Полуэктов, 2015
Ю.М. Полуэктов
личных сторон и дополняют друг друга. Модель Эйн-
штейна описывает одночастичные возбуждения и сохра-
няет свое значение при описании, например, оптических
ветвей колебаний, а модель Дебая дает квантовое описа-
ние коллективных возбуждений твердого тела. Теория
Дебая в своей простоте и наглядности оказалась столь
удачной, что применялась и продолжает применяться
гораздо чаще, чем опубликованная примерно в то же
время более детальная теория кристаллической решетки
Борна–Кармана [3].
В модели Дебая возбуждения среды представляют
собой газ невзаимодействующих при любой темпера-
туре квазичастиц — фононов. Однако нетрудно убе-
диться, что число фононов растет с увеличением тем-
пературы и, следовательно, взаимодействие между
ними становится все более существенным. В настоя-
щей работе модель Дебая обобщается на случай газа
фононов, взаимодействие между которыми учитывает-
ся в приближении самосогласованного поля. Учет фо-
нон-фононного взаимодействия приводит к тому, что
скорость таких «самосогласованных» фононов стано-
вится функцией температуры и не предполагается за-
данной, а находится в результате решения нелинейного
алгебраического уравнения, которое выводится из ус-
ловия минимума свободной энергии. «Самосогласо-
ванная» энергия Дебая в данном подходе также явля-
ется функцией температуры. Найдены термодинами-
ческие функции газа таких фононов и, в частности,
вычислена фононная теплоемкость. Показано, что при
низких температурах к кубическому закону в темпера-
турной зависимости теплоемкости появляется добавка,
пропорциональная седьмой степени температуры. Это,
по-видимому, может являться причиной, по которой
кубический закон для теплоемкости наблюдается в
эксперименте только при довольно низких температу-
рах. При высоких температурах теория предсказывает
линейное по температуре отклонение теплоемкости от
закона Дюлонга–Пти, наблюдаемое экспериментально.
Рассмотрено влияние фонон-фононного взаимодейст-
вия на температуру плавления.
2. Формулировка модели
Для простоты будем пользоваться скалярной моде-
лью кристалла [4], в которой смещение атомов харак-
теризуется скалярной величиной ( )ϕ r . Очевидно, что
в такой модели не учитываются эффекты, обусловлен-
ные поляризацией колебаний. Будем считать, что сис-
тема описывается плотностью оператора Гамильтона
2
2 2 2( )( ) [ ( )] [( ( )) ]
2 2 4!
gπ λ
Η = + ∇ϕ + ∇ϕ
ρ
rr r r , (1)
где полевой оператор ( ) ( )+ϕ = ϕr r и оператор канони-
ческого импульса ( )π r подчинены известным комму-
тационным соотношениям:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (2)
( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) 0.
i′ ′ ′π ϕ −ϕ π = − δ −
′ ′ ′ ′ϕ ϕ −ϕ ϕ = π π − π π =
r r r r r r
r r r r r r r r
В (1) ρ — плотность, g — упругая постоянная, λ —
модуль упругости четвертого порядка, который будем
считать положительным. Параметры g и λ , вообще
говоря, могут являться функциями температуры, но в
данной работе, как и в модели Дебая, будем этим пре-
небрегать и учтем впоследствии только температур-
ную зависимость наблюдаемых величин, связанную с
возбуждением фононов. Полный гамильтониан
( )H d= Η∫ r r — сумма гамильтонианов свободных
фононов и их взаимодействия: 0 ,IH H H= + где
[ ]
2
2
0
2 2
( ) ( ) ,
2 2
[( ( )) ] .
4!I
gH d
H d
π = + ∇ϕ
ρ
λ
= ∇ϕ
∫
∫
r r r
r r
(3)
Описание фононов на основе только гамильтониана
0H приводит к обычной модели Дебая.
В скалярной модели, используемой в данной работе,
взаимодействие фононов в главном приближении опи-
сывается гамильтонианом IH , содержащим четвертую
степень градиента поля деформации. В более реали-
стической модели деформация кристалла должна опи-
сываться вектором деформации, вследствие чего га-
мильтониан взаимодействия будет содержать также
кубические члены по градиентам вектора деформации
даже в случае изотропной среды. Однако, как можно
показать, учет кубических слагаемых не повлияет на
основные соотношения, полученные в рассматривае-
мой модели самосогласованного поля, и приведет
только к некоторому переопределению коэффициентов
в уравнениях.
Прежде чем переходить к детальному построению
модели, введем определения некоторых функций, не-
обходимых в дальнейшем. Определим обобщенные
функции Дебая:
0
( ) , 1
e 1
x n
n n z
n z dzD x n
x
= ≥
−∫ . (4)
Фактически эти функции понадобятся только при
1, 2, 3.n = Стандартная функция Дебая в таких обо-
значениях есть 3( )D x [9]. Функции (4) могут быть
представлены в виде
( ) ( )1
0
( ) ! 1 e m z n
n n
m x
nD x n n z dz
x
∞∞
− +
=
= ζ + −
∑ ∫ , (5)
так что при 1x >> с точностью до экспоненциально
малых членов
1182 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11
Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов
2 4
1 2 32 3
4( ) , ( ) (3), ( )
6 5
D x D x D x
x x x
π π
≈ ≈ ζ ≈ , (6)
(3) 1,202ζ ≈ — дзэта-функция Римана. При 1x <<
2( ) 1
2( 1) 12( 2)n
n nD x x x
n n
≈ − +
+ +
. (7)
Кроме того, ниже будут использованы функции
3
4
4
8( ) 1 ( ),
3
8 2 8( ) , 1, ( ) 1 , 1.
3 15 15
x D x
x
x x x x x
x x
Φ ≡ +
π
Φ ≈ + < Φ ≈ + >>
(8)
и
1
2
2
4( ) 1 ( ),
4 2( ) , 1, ( ) 1 , 1.
9 3
x D x
x
xx x x x
x x
Ψ ≡ +
π
Ψ ≈ + < Ψ ≈ + >>
(9)
3. Самосогласованное описание системы
взаимодействующих фононов
Рассмотрим систему взаимодействующих фононов в
формулировке модели самосогласованного поля, разви-
той в [5] для фермионных и в [6,7] для бозонных систем.
На примере ангармонического осциллятора реализация
данного подхода продемонстрирована в [8].
Разобьем полный гамильтониан на сумму двух сла-
гаемых
S CH H H= + , (10)
где перенормированный гамильтониан, описывающий
«свободные» фононы, имеет вид
2
2
0
( ) [ ( )]
2 2S
gH d
π
= + ∇ϕ + ε
ρ
∫
r r r
, (11)
а корреляционный гамильтониан
2 2 2
0
( ) [ ( )] [( ( )) ]
2 4!C
g gH d d− λ
= ∇ϕ + ∇ϕ − ε∫ ∫r r r r
(12)
описывает взаимодействие таких фононов. Самосогла-
сованный гамильтониан (11) отличается от 0H пере-
нормированной вследствие взаимодействия упругой
постоянной g и наличием неоператорного слагаемого
0ε , учет которого является существенным. Таким обра-
зом, приближенно взаимодействие между исходными
фононами учитывается в гамильтониане (11), а гамиль-
тониан (12) учитывает остаточное взаимодействие, не
включенное в модель самосогласованного поля. Вос-
пользуемся разложением полевых операторов
1( ) ( )e ,
2
( ) ( )e .
2
i
k k
kk
i
k k k
k
b b
V
i b b
V
+
−
+
−
ϕ = +
ρ ω
ρ
π = − ω −
∑
∑
kr
kr
r
r
(13)
Здесь ,k sc kω = / ,sc g= ρ V — объем. Операторы
рождения kb+ и уничтожения kb фононов подчиняют-
ся обычным условиям коммутации: [ , ] ,k k kkb b+′ ′= δ
[ , ] 0.k kb b ′ = Как отмечалось, в данной работе для про-
стоты используется скалярная модель кристалла, одна-
ко нет принципиальных трудностей, чтобы обобщить
развиваемый подход на векторное поле смещений, в
котором будут учтены фононы с различной поляриза-
цией. Чтобы учесть возможность различных поляриза-
ций, оставаясь в рамках скалярной модели, умножим
самосогласованный гамильтониан на число поляриза-
ций, равное для простой решетки трем. Таким образом,
в модели самосогласованного поля в представлении
операторов рождения и уничтожения фононов будем
пользоваться следующим гамильтонианом:
0
13
2S k k k
k
H b b+ = ω + + ε
∑
. (14)
Заметим, что в пренебрежении фонон-фононным взаи-
модействием гамильтониан (14) приводит к теории
Дебая.
В дальнейшем усреднения будем проводить с по-
мощью статистического оператора
exp ( )SF Hρ = β − , (15)
где 1 Tβ = — обратная температура. Условие норми-
ровки Sp 1ρ = дает выражение для свободной энергии
0
3 3 ln (1 e )
2
kk
k k
F T −β ω= ε + ω + −∑ ∑
. (16)
Величину 0ε находим из обычного для теории средне-
го поля условия SH H〈 〉 = 〈 〉 [5–7], так что
2 2
2 2 2
0
3 ( )
[ ( )] [( ( )) ]
2 4!
S Sc c
d d
ρ − λ
ε = 〈 ∇ϕ 〉 + 〈 ∇ϕ 〉∫ ∫r r r r
.
(17)
Средние даются формулами
____________________________________________________
1 2
1 2
222
2 4 1 2
2 2 2
1 2,
( )1 1 1 1( ) , ( ) ,
2 2 2 2k k k k
S k k k kS
k f f f k f
V c k kV c
⋅ 〈 ∇ϕ 〉 = + 〈 ∇ϕ 〉 = + + + + ρ ρ
∑ ∑ ∑k k
(18)
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11 1183
Ю.М. Полуэктов
где
1
e 1kkf β ω
=
−
(19)
— функция распределения фононов. В результате ин-
тегрирования по углам эти средние можно представить
в виде
2
2 4 2
2 4 2 2( ) , ( )
2 3S S
J J
c c
〈 ∇ϕ 〉 = 〈 ∇ϕ 〉 =
π ρ π ρ
, (20)
где введено обозначение для интеграла:
3
0
1
2
Dk
kJ f k dk = +
∫ . (21)
Верхним пределом в интеграле (21) является волновое
число Дебая Dk . Оно находится из того условия, что
сфера радиуса Dk в k-пространстве должна содержать
количество точек, равное числу частиц системы [10]:
3
2 2 1/3
3 2
0
4 , (6 / )
(2 ) 6
Dk
D
D
VkV k dk N k N Vπ
= = = π
π π∫ . (22)
Подставляя (20) в (17), имеем
2 2 2
2
0 2 4 2 2
( ) 3
4 72
S S
S S
c c V VJ J
c c
− λ
ε = +
π π ρ
. (23)
Перенормированная вследствие взаимодействия ско-
рость фононов Sc находится из условия минимума
свободной энергии (16) / 0.SF c∂ ∂ = В результате при-
ходим к нелинейному уравнению для определения
скорости «новых» фононов
2 2
2 227
S S
S
c c J
c
λ
= +
π ρ
. (24)
В отсутствие взаимодействия, при 0λ = , фононы та-
кие же, как в теории Дебая. Их естественно назвать
«голыми», или «дебаевскими». Фононы, скорость ко-
торых перенормирована вследствие взаимодействия в
соответствии с (24), будем называть «самосогласован-
ными». Даже в случае пренебрежения зависимостью
скорости Sc от температуры, что предполагается в
теории Дебая, перенормированная скорость Sc в дан-
ном подходе существенно зависит от температуры,
поскольку выражается через интеграл от функции рас-
пределения (21).
Можно убедиться, что при выполнении условий
(17) и (24) справедливо соотношение / 0,SI c∂ ∂ = где
( )SI H H= 〈 − 〉 — среднее от разности между точным
и самосогласованным гамильтонианами. Таким обра-
зом, оказывается, что для введенного самосогласован-
ного квадратичного гамильтониана (11), при условиях
(17) и (24), величина I становится минимальной. Сле-
довательно, гамильтониан (11) является максимально
близким к точному гамильтониану (10) и потому мак-
симально хорошо описывает фононную систему в ап-
проксимации квадратичным гамильтонианом.
Стандартная энергия Дебая определяется соотно-
шением D S Dc kΘ ≡ [10]. Поскольку теперь помимо
скорости голых фононов Sc возникает скорость само-
согласованных фононов Sc , естественно определить
«самосогласованную энергию Дебая» D S Dc kΘ ≡
,
которая, в отличие от стандартной энергии Дебая DΘ ,
является функцией температуры. Отметим, что хотя в
своей исходной формулировке энергия Дебая DΘ
предполагается не зависящей от температуры, однако
на практике экспериментальные данные часто пред-
ставляют в виде функции энергии Дебая от температу-
ры [11]. В рассматриваемом подходе самосогласован-
ная энергия Дебая DΘ существенно зависит от
температуры вследствие фонон-фононного взаимодей-
ствия уже в рамках самой теории и, следовательно,
данный подход лучше отражает реальную ситуацию.
Хотя, конечно, недостатки теории Дебая, связанные с
очень упрощенным выбором спектральной плотности,
не учитывающей детали строения решетки, остаются и
в предлагаемом подходе.
Представляет интерес рассчитать число фононов
как функцию температуры:
ph 2
93
2
D
k
Dk
TN f N D
T
Θ
= =
Θ
∑
. (25)
С учетом свойств (6) и (7), находим, что при низких тем-
пературах, ,DT << Θ имеем кубическую зависимость
3
ph / 18 (3)( / ) ,DN N T≈ ζ Θ а при DT >> Θ — линейную
ph / (9/2) ( / ).DN N T≈ Θ Таким образом, вследствие воз-
растания количества фононов учет взаимодействия ме-
жду ними с повышением температуры должен стано-
виться все более существенным. При DT Θ число
фононов становится порядка числа частиц. Вследствие
того, что фононы подчиняются статистике Бозе–
Эйнштейна и их количество в состоянии с определен-
ным импульсом может быть произвольным, не должен
вызывать удивления тот факт, что число фононов мо-
жет превосходить число частиц в твердом теле.
Удобно ввести обозначение σ для отношения пере-
нормированной вследствие фонон-фононного взаимо-
действия скорости звука Sc к исходной скорости звука
Sc , или, что то же, отношения самосогласованной
энергии Дебая к стандартной:
S D
S D
c
c
Θ
σ ≡ =
Θ
. (26)
Для дальнейшего анализа уравнение (24) с учетом
введенных обозначений (26), удобно записать в без-
размерном виде
1184 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11
Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов
2( 1) σ σ − σ = ΛΦ τ
, (27)
где / DTτ ≡ Θ — безразмерная температура. В (27) бы-
ло учтено, что 4( /8) ( / ),DJ k= Φ σ τ а функция ( / )Φ σ τ
определена в (8). В уравнение (27) входит единствен-
ный безразмерный параметр, содержащий характери-
стики системы:
1/32
4/3 2/3 3 4
1 2
12 9 36
D
S SM c Mc
Θπ λ
Λ ≡ = λ ρ ρ
, (28)
M — масса атома решетки. Оценки показывают, что
этот параметр может быть порядка и меньше единицы.
Поскольку предполагается, что 0Λ > , то всегда 1σ > .
Переход к теории Дебая происходит при 0Λ = и 1.σ =
При нулевой температуре перенормировка скорости
определяется уравнением
2
0 0( 1)σ − σ = Λ . (29)
При низких температурах / 1:τ σ
( )
44
0 2 00
8
15 3 1
π τ
σ ≈ σ + Λ σσ −
. (30)
При высоких температурах / 1τ σ уравнение (27)
сводится к биквадратному уравнению
2 2 8( 1)
3
σ − σ = Λτ , (31)
решение которого имеет вид
1 321 1
32
σ = + + Λτ . (32)
Здесь можно выделить два характерных температур-
ных интервала. При наиболее вероятном случае малой
величины постоянной фонон-фононного взаимодейст-
вия даже при высоких температурах возможно выпол-
нение условия 8 3 1Λτ << . Тогда возникает линейная
зависимость
41
3
σ ≈ + Λτ . (33)
При достаточно сильном фонон-фононном взаимо-
действии, когда 8 3 1Λτ >> , получаем
1/4
1/48
3
σ ≈ Λ τ
. (34)
Зависимости параметра σ от температуры представ-
лены на рис. 1.
4. Термодинамика газа самосогласованных
фононов
Свободная энергия (16) может быть представлена в
виде
2
2
2
9 (1 ) 9 9
16 32 8D
F
N
−σ σ Λ σ = Φ + Φ + σ+ Θ σ τ τ σ
/
33ln (1 e ) D−σ τ σ + τ − − τ
. (35)
В пренебрежении взаимодействием фононов при
0Λ = и 1σ = выражение (35), естественно, переходит
в свободную энергию теории Дебая [9]. Энтропия да-
ется формулой
( )/
33ln 1 e 4
3
NS D−σ τ σ = − − − τ
. (36)
Отметим, что выражение для энтропии может быть
получено как из общей формулы для энтропии газа
бозонов [9], так и с помощью термодинамического
соотношения ( / ) ,VS F T= − ∂ ∂ причем при дифферен-
цировании, в силу условия / 0,SF c∂ ∂ = параметр σ в
(35) дифференцировать не следует. Энергия газа само-
согласованных фононов E F TS= + имеет вид
2
2
32
9 (1 ) 9 9 3 .
16 32 8D
E D
N
−σ σ Λ σ σ = Φ + Φ + σ+ τ Θ σ τ τ τ σ
(37)
Давление находится по формуле ( / ) :Tp F V= − ∂ ∂
Рис. 1. Зависимости скорости самосогласованных фононов и
самосогласованной энергии Дебая / /s s D Dc cσ ≡ = Θ Θ
от
температуры / DTτ = Θ при различной величине фонон-
фононного взаимодействия Λ: 0,05 (1), 0,145 (2), 0,5 (3).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11 1185
Ю.М. Полуэктов
2
3
9 9 ( 1)3
8 32D G
Np D
V
σ σ − σ = Θ σ+ τ − Φ Γ + τ σ τ
29 ( 1)
32D
N
V Λ
σ − σ + Θ Φ Γ σ τ
. (38)
В (38) входят два параметра:
ln ln,
ln ln
D
G V VΛ
∂ Θ ∂ Λ
Γ = − Γ = −
∂ ∂
. (39)
Здесь GΓ — параметр Грюнайзена, ΛΓ — новый без-
размерный параметр, описывающий вклад в давление
эффектов фонон-фононного взаимодействия. Посколь-
ку скорость звука Sc и постоянная фонон-фононного
взаимодействия λ предполагаются не зависящими от
температуры, то и коэффициенты (39) не зависят от
температуры. Учет влияния фонон-фононного взаимо-
действия на тепловое расширение твердых тел требует
специального рассмотрения.
5. Теплоемкость
Из выражения для энтропии (36) следует формула
для теплоемкости ( / )V VC T S T= ∂ ∂ :
3 /
33 4
e 1
V
dC N D
dσ τ
τ σ σ σ = − − σ τ τ τ −
. (40)
Входящую в (40) производную параметра σ по темпе-
ратуре можно найти из уравнения (27), так что:
2
2
3/
1 3
8 31 3 4
3 e 1
d
d D
σ τ
σ σ σ − σ
− =
τ τ τ Λ τ σ − σ + − σ σ τ −
. (41)
При 1σ = формула (40), естественно, дает результаты
теории Дебая. Как известно, в теории Дебая выполня-
ется закон соответственных состояний, состоящий в
том, что теплоемкость, а также другие термодинамиче-
ские величины, являются функциями безразмерной
температуры /Tτ = Θ [9]. Учет фонон-фононного
взаимодействия приводит к нарушению этого закона, и
каждая конкретная фононная система дополнительно
характеризуется своим безразмерным параметром Λ .
Температурные зависимости теплоемкости при неко-
торых значениях параметра Λ показаны на рис. 2.
Рассмотрим предельные случаи высоких и низких
температур.
5.1. Низкие температуры
При 0T = параметр 0σ = σ , перенормирующий
скорость звука, определяется из уравнения (29). При
низких температурах 0 ,′σ = σ + σ причем полагаем
0/ 1.′σ σ С учетом формул (7), (8) находим
44
2
00
8
15(3 1)
π τ′σ = Λ σσ −
. (42)
Тогда из (40) для теплоемкости получаем
3 44 4
2
0 00 0
12 561
5 15 (3 1)
VC N
π τ π τ ≈ −Λ σ σ σ σ −
(43)
По сравнению с теорией Дебая в поведении теплоем-
кости наблюдаются два отличия. Во-первых, в силу
того, что 0 1,σ > уменьшился коэффициент при куби-
ческой зависимости и, во-вторых, наряду с кубической
зависимостью появился член, пропорциональный 7τ .
Часто энергию Дебая определяют по поведению те-
плоемкости при низких температурах [13], которая,
согласно (43), имеет вид
34
0
12
5
V
D
C T
N
π
≈
Θ
. (44)
Здесь 0 0D DΘ = σ Θ . Как видим, при измерениях низ-
котемпературной теплоемкости определяется самосо-
гласованная энергия Дебая 0DΘ , которая отличается
от самосогласованной энергии D DΘ = σΘ при конеч-
ных температурах.
Чтобы поведение теплоемкости подчинялось закону
3,T необходимо, чтобы второе слагаемое в (43) было
много меньше первого, т.е. выполнялось условие
4 2
0 0
4
0
15 (3 1)
56
σ σ −τ
<< σ π Λ
. (45)
Если Λ мало, то 0 1σ ≈ и 4 4( / ) 5/4 .DT Θ << π Λ По
измерениям отклонения теплоемкости от кубического
закона при низких температурах может быть опреде-
Рис. 2. Температурные зависимости теплоемкости при раз-
личных величинах фонон-фононного взаимодействия: теория
Дебая (1), Λ = 0,05 (2), 0,145 (3), 0,5 (4).
1186 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11
Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов
лена безразмерная постоянная Λ . Заметим, что в
обычной теории Дебая степенная поправка к кубиче-
скому слагаемому для низкотемпературной теплоемко-
сти отсутствует и поправка имеет экспоненциальный
характер:
4
3 1/4 33 e
5
D
VC N − τ π
≈ τ −
τ
. (46)
Как видно из (45), с увеличением фонон-фононного
взаимодействия температурная область, где справед-
лив закон 3τ , сужается. Так, при 0,1Λ = закон 3τ вы-
полняется при 4 0,6,τ << а в случае 1Λ = — при
4 0,03.τ << Как известно, чтобы ход изменения тепло-
емкости был достаточно близок к закону 3τ , обычно
необходима область температур ниже 1/50τ ≈ [12].
Наличие степенной поправки к низкотемпературной
теплоемкости, пропорциональной 7 ,τ и зависимость
температурного интервала, где справедлив закон 3τ ,
от величины постоянной фонон-фононного взаимодей-
ствия, возможно, объясняют причину, по которой за-
кон 3τ наблюдается при более низких температурах,
чем можно было бы ожидать. Обнаружение в низко-
температурных измерениях теплоемкости степенной
поправки, пропорциональной 7T , подтверждало бы
справедливость предлагаемой модели.
5.2. Высокие температуры
Рассмотрим случай высоких температур, таких что
τ >> σ . Принимая во внимание (8), приходим из (27) к
уравнению
4 2 8 0
3
σ −σ − Λτ = . (47)
Здесь возможны два случая. При малых Λ наряду с
условием 1τ >> может быть выполнено условие
8 /3 1,Λτ так что на температуру имеется ограниче-
ние 3/8 .σ τ Λ Тогда в этом интервале температур
1 (4/3)σ ≈ + Λτ и имеем линейное по температуре от-
клонение от закона Дюлонга–Пти
43 1
3VC N ≈ − Λτ
. (48)
Аналогичная зависимость вида 3 (1 )VC N BT= − в
рамках совершенно иного подхода была получена в
[14]. Согласно [14], 6 60,63 /( ),LJ LJB a z= ε σ где
,LJ LJε σ — параметры потенциала Леннард-Джонса,
a — расстояние между ближайшими соседями, z —
число ближайших соседей. Рассчитанные с помощью
этой формулы величины безразмерной постоянной
фонон-фононного взаимодействия для неона, аргона и
криптона приведены в табл. 1. Для всех элементов
12z = и предполагалось, что 1,1LJa σ = [14]. Вычис-
ленное значение B согласуется с известными экспе-
риментальными данными для криптона [15]. Заметим,
однако, что отношение / LJa σ должно расти с темпе-
ратурой [14], поэтому значения для B и Λ в табл. 1,
скорее всего, несколько занижены.
Таблица 1. Безразмерный параметр фонон-фононного
взаимодействия Λ для Ne, Ar, Kr
Параметр Ne Ar Kr
, КLJε 36 121 173
, КDΘ 75 92 72
1,КB − 0,0026 0,0008 0,0005
Λ 0,145 0,05 0,03
При выполнении условий 8 /3 1Λτ или 3/8 ,τ >> Λ
которые в области ниже температуры плавления могут
выполняться для твердых тел с достаточно сильным
фонон-фононным взаимодействием, из (47) следует
1/4
1/48
3
Λ σ ≈ τ
, (49)
а теплоемкость выходит на постоянное значение
3 3
4VC N≈ ⋅ , (50)
которое составляет 3 4 от значения, даваемого зако-
ном Дюлонга–Пти.
6. Температура плавления
Оценим температуру плавления кристалла в рас-
сматриваемой модели. Согласно правилу Линдемана
[10,11], температура плавления находится из условия
2
m
S
x
r
〈ϕ 〉
= , (51)
где 3/ 4 /3,SV N r= π а xm ≈ 0,2–0,25 — феноменологиче-
ский параметр. Критерии плавления в классической и
квантовой областях из микроскопического рассмотре-
ния в рамках простой двухатомной модели получены в
[16]. Расчет среднего от квадрата смещения (13) с уче-
том трех возможных поляризаций дает
2
2 9 1
4 DM
σ 〈ϕ 〉 ≡ Ψ Θ σ τ
. (52)
Функция ( )xΨ определена формулой (9). Таким обра-
зом, температура плавления mT , согласно (51) и (52),
находится из уравнения
2
2
2
9 1
4
m
m
m mD S
x
M r
σ
Ψ = σ τΘ
. (53)
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11 1187
Ю.М. Полуэктов
Уравнение (53) следует решать совместно с уравнени-
ем (27) при температуре плавления
2( 1) m
m m
m
σ
σ − σ = ΛΦ τ
, (54)
где / .m m DTτ = Θ Твердые тела по величине их темпе-
ратуры плавления можно разделить на две группы.
Первая группа, к которой принадлежит большинство
твердых тел, имеет температуру плавления выше тем-
пературы Дебая. Ко второй группе относятся некото-
рые твердые тела с температурой плавления ниже тем-
пературы Дебая. У таких твердых тел проявляются
квантовые закономерности.
Рассмотрим оба случая, начав с высоких температур
плавления 1mτ > . Пусть также фонон-фононное взаи-
модействие столь мало, что при этом 8 /3 1.mΛτ <<
Тогда, с учетом того, что 1 4 /3m mσ ≈ + Λτ , получаем
2 2 2
2 2
2 2
81
279
D S D S
m m m
M r M r
T x x
Θ Θ
= + Λ
. (55)
Второе слагаемое в (55) дает поправку к формуле Лин-
демана [10], обусловленную фонон-фононным взаимо-
действием. Эта формула может быть представлена в
стандартной форме, если ввести эффективный параметр
2
2 2 2
eff 2
81
27
D S
m m m
M r
x x x
Θ
≡ + Λ
. (56)
Отсюда видно, что параметр в формуле Линдемана не
может быть универсальным, а должен несколько ме-
няться для разных твердых тел в меру величины пара-
метра фонон-фононного взаимодействия, что и наблю-
дается в действительности.
В случае достаточно сильного фонон-фононного
взаимодействия, если выполнено условие 8 /3 1mΛτ >> ,
из (53), (54) находим
2 3
4 4
4
8
243
D
m S m
MT r xΘ
= Λ
. (57)
Вопрос о возможности реализации такого случая в ре-
альных телах требует отдельного анализа.
Перейдем к рассмотрению низкотемпературного
случая 1mτ < . В этом пределе из (53) в главном при-
ближении получаем
1/22
2
2 2
3 4 1
92
D S
m m D m m
M r
T x
Θ
= σ Θ σ −
π
. (58)
Решение уравнения (54) имеет вид 0 ,m ′σ ≈ σ + σ где
0σ — решение уравнения 2
0 0( 1) ,σ − σ = Λ а зависящая
от температуры поправка 4
0( / )′σ τ σ (42). При низких
температурах эта поправка мала и в (58) можно поло-
жить 0.mσ ≈ σ Если в случае малых Λ положить к
тому же 0 1,σ ≈ то в таком приближении формула (58)
совпадает с результатом в обычной теории Дебая.
Для неона при выборе температуры Дебая, экстра-
полированной к нулевой температуре 75 КDΘ = [12,
стр. 229], из формулы (58) при 0,11mx = следует
близкое к экспериментальному значение температуры
плавления 23,9 К.mT = При выборе средней темпера-
туры Дебая 63 КDΘ = [13] при 0,13mx = получаем
температуру плавления 24,0 К.mT = Для аргона при
температуре Дебая 92 КDΘ = [7] и 0,12mx = имеем
87,6 К.mT = При выборе средней температуры Дебая
85 КDΘ = [13] при 0,13mx = получаем 84,8 К.mT =
Эти значения близки к экспериментальному значению
84 КmT = [7]. Следует заметить, что параметр mx для
таких веществ оказывается меньше, чем для веществ,
плавящихся при .m DT > Θ
7. Взаимодействие самосогласованных фононов
Приближенный учет фонон-фононного взаимодей-
ствия в модели самосогласованного поля с гамильто-
нианом (11) привел к перенормировке скорости фоно-
нов и появлению ее зависимости от температуры.
Неучтенное в этом приближении взаимодействие, ко-
торое содержится в корреляционном гамильтониане
(12), описывает взаимодействие самосогласованных
фононов. Хотя в данной работе не исследуются эффек-
ты, связанные с этим взаимодействием, приведем вид
гамильтониана взаимодействия, записанного в терми-
нах операторов рождения и уничтожения самосогласо-
ванных фононов:
____________________________________________________
( )
2
ph ph 2 2 2
,
[ ]
108
C k k k k
k kS
H H J
kkc
′ ′−
′
′λ ⋅ ′≡ = ψ ψ − 〈ψ ψ 〉 ∆ + +
′π ρ
∑ k k k k
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
2
1 2 3 4
1 2 3 42 2 2
1 2 3 4, , ,
( ) ( )
[ ] ( ),
96
k k k k k k k k
k k k kS k k k kc V
⋅ ⋅λ
+ ψ ψ ψ ψ − 〈ψ ψ ψ ψ 〉 ∆ + + +
π ρ
∑ k k k k
k k k k
(59)
_______________________________________________
где введено обозначение k k kb b+−ψ = + , а также
( ) 1,∆ =k если 0=k , и ( ) 0,∆ =k если 0.≠k Вклад
фонон-фононного взаимодействия самосогласованных
фононов (59) в термодинамику системы может быть
учтен по теории возмущений с использованием диа-
граммной техники [7]. На основе гамильтониана фо-
1188 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11
Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов
нон-фононного взаимодействия (59) может быть по-
строена кинетика самосогласованных фононов [17,18].
Заметим, что учет кубических по градиентам вектора
деформации слагаемых в гамильтониане взаимодейст-
вия IH приведет к появлению в фонон-фононном га-
мильтониане (59) слагаемых, описывающих трехфо-
нонные процессы.
8. Заключение
Метод самосогласованного поля в рамках скаляр-
ной модели кристалла применен для описания фононов
в твердом теле. Учет фонон-фононного взаимодейст-
вия в приближении самосогласованного поля приводит
к появлению зависимости скорости таких фононов от
температуры. Введенные в предлагаемом подходе фо-
ноны могут быть названы «самосогласованными» или
«одетыми», в отличие от «голых» фононов теории Де-
бая. Построена термодинамика системы «самосогласо-
ванных» фононов. Вычислена фононная теплоемкость
и показано, что при низких температурах к зависимо-
сти 3T имеется степенная поправка, пропорциональ-
ная 7 .T Это, по-видимому, позволяет объяснить, по-
чему закон 3T для теплоемкости наблюдается только
при довольно низких температурах. Наблюдение в
эксперименте, наряду с кубической, зависимости 7T в
низкотемпературной теплоемкости может быть крите-
рием правильности предложенной теории.
При высоких температурах предсказывается откло-
нение от закона Дюлонга–Пти, пропорциональное T,
что наблюдается в эксперименте. Рассмотрено влияние
фонон-фононного взаимодействия на температуру
плавления.
Поскольку в данной работе вводится представление о
различных типах квазичастиц-фононов, а именно «го-
лых» (или «дебаевских») и «одетых» (или «самосогла-
сованных»), сделаем общее замечание о квазичастичном
описании многочастичных систем. Представление о
квазичастицах является по своей сути приближенным,
поскольку если бы была возможность точно решить
многочастичную задачу, то необходимость во введении
понятия о квазичастицах не возникала бы. Однако, по-
скольку многочастичная задача заведомо точно решена
быть не может, представление о квазичастицах, несо-
мненно, носит фундаментальный характер, хотя само
введение квазичастиц для той или иной системы неод-
нозначно. Может быть задан вопрос: «Какие из различ-
ным образом определенных квазичастиц являются наи-
более “реальными”?» Очевидно, что такими наиболее
«реальными» следует считать те квазичастицы, которые
максимально хорошо описывают данную систему в мо-
дели идеального газа этих квазичастиц. Модель самосо-
гласованного поля строится таким образом, что квадра-
тичный гамильтониан модели выбирается наиболее
близким к точному гамильтониану системы [5–7], сле-
довательно, квазичастицы, возникающие в рамках такой
модели, максимально хорошо описывают данную сис-
тему. Для дальнейшего улучшения описания следует
учитывать взаимодействие квазичастиц. Сделанное за-
мечание полностью относится к «самосогласованным»
фононам, с помощью которых, как было показано, уда-
ется описывать более тонкие эффекты, чем с помощью
фононов в дебаевском приближении.
1. A. Einstein, Ann. Phys. 22, 180, 800 (1906); ibid 35, 679
(1911).
2. P. Debye, Ann. Phys. 39, 789 (1912).
3. M. Born and Th. von Karman, Zs. Phys. 13, 297 (1912); ibid
14, 15 (1913).
4. А.М. Косевич, Основы механики кристаллической ре-
шетки, Наука, Москва (1972).
5. Ю.М. Полуэктов, УФЖ 50, 1303 (2005) [arXiv.org cond-
mat arXiv: 1303.4913].
6. Ю.М. Полуэктов, ФНТ 28, 604 (2002) [Low Temp. Phys.
28, 429 (2002)].
7. Ю.М. Полуэктов, УФЖ 52, 578 (2007) [arXiv.org cond-
mat arXiv: 1306.2103].
8. Ю.М. Полуэктов, Известия вузов. Физика 47, 74 (2004);
там же 52, 30 (2009).
9. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Статистическая физика,
Часть I, Наука, Москва (1976).
10. Дж. Займан, Принципы теории твердого тела, Мир,
Москва (1966).
11. Дж. Рейсленд, Физика фононов, Мир, Москва (1975).
12. Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Наука,
Москва (1978).
13. Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела, Том 2,
Мир, Москва (1979).
14. И.П. Базаров, Статистическая теория кристалли-
ческого состояния, Изд-во Моск. ун-та (1972).
15. K. Clusius, Zeit. Phys. Chem. B 31, 459 (1936).
16. Ю.М. Полуэктов, ФНТ 34, 459 (2008) [Low Temp. Phys.
34, 368 (2008)].
17. Дж. Займан, Электроны и фононы, Изд-во иностр. лит.,
Москва (1962).
18. В.Л. Гуревич. Кинетика фононных систем, Наука, Москва
(1980).
Self-consistent description of a system of interacting
phonons
Yu.M. Poluektov
A method of self-consistent description of a pho-
non system, which generalizes the Debye model to ac-
count for the phonon–phonon interaction, has been
proposed. The notion of “self-consistent” phonons is
introduced, whose speed depends on temperature and
is determined by solving a nonlinear equation. The
Debye energy is also a function of temperature within
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11 1189
http://arxiv.org/
http://arxiv.org/list/cond-mat/recent
http://arxiv.org/list/cond-mat/recent
http://arxiv.org/
http://arxiv.org/list/cond-mat/recent
http://arxiv.org/list/cond-mat/recent
Ю.М. Полуэктов
this approach. The thermodynamics of a gas of “self-
consistent” phonons is built. It is shown, that at low
temperatures there exists an additional term to the cu-
bic-law temperature dependence of the specific heat,
which is proportional to the seventh power of tempera-
ture. This apparently explains why the cubic law for
the specific heat is observed only at rather low tem-
peratures. At high temperatures the theory predicts a
linear in temperature deviation from the Dulong–Petit
law, which is observed experimentally. A modification
of the melting criterion due to accounting for the pho-
non–phonon interaction is considered.
PACS: 63.20.–e Phonons in crystal lattices;
63.20.Ry Anharmonic lattice modes;
05.30.Jp Boson systems.
Keywords: phonon, specific heat, phonon–phonon in-
teraction, Debye energy, melting, quasiparticle.
1190 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 11
1. Введение
2. Формулировка модели
3. Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов
4. Термодинамика газа самосогласованных фононов
5. Теплоемкость
5.1. Низкие температуры
5.2. Высокие температуры
6. Температура плавления
7. Взаимодействие самосогласованных фононов
8. Заключение
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-128239 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T21:22:32Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Полуэктов, Ю.М. 2018-01-07T14:18:07Z 2018-01-07T14:18:07Z 2015 Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов / Ю.М. Полуэктов // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 11. — С. 1181–1190. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 63.20.–e, 63.20.Ry, 05.30.Jp https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/128239 Предложен метод самосогласованного описания фононной системы, обобщающий модель Дебая с учетом фонон-фононного взаимодействия. Введено представление о «самосогласованных» фононах, скорость которых зависит от температуры и определяется в результате решения нелинейного уравнения. Энергия Дебая в рамках предложенного подхода также является функцией температуры. Построена термодинамика газа «самосогласованных» фононов. Показано, что при низких температурах к кубическому закону в температурной зависимости теплоемкости появляется поправка, пропорциональная седьмой степени температуры. Это, по-видимому, объясняет причину, по которой кубический закон для теплоемкости наблюдается только при довольно низких температурах. При высоких температурах теория предсказывает линейное по температуре отклонение от закона Дюлонга–Пти, наблюдаемое экспериментально. Рассмотрена модификация критерия плавления вследствие учета фонон-фононного взаимодействия. Запропоновано метод самоузгодженого опису фононної системи, який узагальнює модель Дебая з урахуванням фонон-фононної взаємодії. Введено представлення про «самоузгоджені» фонони, швидкість яких залежить від температури і визначається в результаті рішення нелінійного рівняння. Енергія Дебая в рамках запропонованого підходу також є функцією температури. Побудовано термодинаміку газу «самоузгоджених» фононів. Показано, що при низьких температурах до кубічного закону в температурній залежності теплоємності існує добавка, пропорційна сьомої степені температури. Це, очевидно, пояснює причину, по якій кубічний закон для теплоємності спостерігається тільки при досить низьких температурах. При високих температурах теорія пророкує лінійне по температурі відхилення від закону Дюлонга–Пті, що спостерігається в експерименті. Розглянуто модифікацію критерію плавлення внаслідок урахування фононфононної взаємодії. A method of self-consistent description of a phonon system, which generalizes the Debye model to account for the phonon–phonon interaction, has been proposed. The notion of “self-consistent” phonons is introduced, whose speed depends on temperature and is determined by solving a nonlinear equation. The Debye energy is also a function of temperature within this approach. The thermodynamics of a gas of “selfconsistent” phonons is built. It is shown, that at low temperatures there exists an additional term to the cubic-law temperature dependence of the specific heat, which is proportional to the seventh power of temperature. This apparently explains why the cubic law for the specific heat is observed only at rather low temperatures. At high temperatures the theory predicts a linear in temperature deviation from the Dulong–Petit law, which is observed experimentally. A modification of the melting criterion due to accounting for the phonon–phonon interaction is considered. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Квантовые эффекты в полупpоводниках и диэлектриках Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов Self-consistent description of a system of interacting phonons Article published earlier |
| spellingShingle | Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов Полуэктов, Ю.М. Квантовые эффекты в полупpоводниках и диэлектриках |
| title | Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов |
| title_alt | Self-consistent description of a system of interacting phonons |
| title_full | Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов |
| title_fullStr | Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов |
| title_full_unstemmed | Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов |
| title_short | Самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов |
| title_sort | самосогласованное описание системы взаимодействующих фононов |
| topic | Квантовые эффекты в полупpоводниках и диэлектриках |
| topic_facet | Квантовые эффекты в полупpоводниках и диэлектриках |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/128239 |
| work_keys_str_mv | AT poluéktovûm samosoglasovannoeopisaniesistemyvzaimodeistvuûŝihfononov AT poluéktovûm selfconsistentdescriptionofasystemofinteractingphonons |