Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I.
Рассмотрены последовательные соединения в комплексы сложных восстанавливаемых систем с марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени их обслуживания. Число обслуживаемых элементов сложных систем возрастает обратно пропорционально интенсивности их отказов так, ч...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12842 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 73-84. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859988410159071232 |
|---|---|
| author | Макаричев, А.В. |
| author_facet | Макаричев, А.В. |
| citation_txt | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 73-84. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрены последовательные соединения в комплексы сложных восстанавливаемых систем с марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени их обслуживания. Число обслуживаемых элементов сложных систем возрастает обратно пропорционально интенсивности их отказов так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания ограничена сверху величиной, меньшей единицы, с дисциплиной обслуживания требований в порядке их возникновения. Найдено асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов из множества неисправных состояний.
Розглянуто послідовні сполучення у комплекси складних вiдновлюваних систем з маркiвським потоком вiдмовлень елементiв та iндивiдуальною функцiєю розподiлу часу їхнього обслуговування. Число елементiв складних систем, що обслуговуються, зростає зворотньо пропорцiйно iнтенсивностi їхніх вiдмовлень так, що сумарне навантаження на систему обслуговування, обмежене зверху величиною, меншою за одиницю з дисципліною обслуговування вимог у порядку їхнього надходження. Знайдено асимптотичний розподiл часу від моменту вiдмови до виходу комплексів із чисельних станів несправності.
Series connections into sets of complex restorable systems with Markovian failure flows of elements and individual distribution function of the time of their maintenance have been considered. The number of maintained elements of complex systems increase in inverse proportion of their failures intensity in such a way that the total load on the maintenance system is bounded on the top by the value lower than 1, with discipline of meeting requirements in order of their appearance. Asymptotic time distribution from the moment of failure to the escape of a set of complex restorable systems from multiple fault conditions was found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:29:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À. Â. Ìàêàðè÷åâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 61078, Õàðüêîâ, óë. Ïåòðîâñêîãî, 25,
òåë. (057) 7073737, Å-mail: amakarichev@mail.ru)
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè
ñ ìîìåíòà îòêàçà äî âûõîäà êîìïëåêñîâ
ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì èç ìíîæåñòâ
íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé. I
Ðàññìîòðåíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ñîåäèíåíèÿ â êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñ-
òåì ñ ìàðêîâñêèì ïîòîêîì îòêàçîâ ýëåìåíòîâ è èíäèâèäóàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
âðåìåíè èõ îáñëóæèâàíèÿ. ×èñëî îáñëóæèâàåìûõ ýëåìåíòîâ ñëîæíûõ ñèñòåì âîçðàñòàåò
îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè èõ îòêàçîâ òàê, ÷òî ñóììàðíàÿ íàãðóçêà íà ñèñòåìó
îáñëóæèâàíèÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó âåëè÷èíîé, ìåíüøåé åäèíèöû, ñ äèñöèïëèíîé îáñëóæè-
âàíèÿ òðåáîâàíèé â ïîðÿäêå èõ âîçíèêíîâåíèÿ. Íàéäåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà äî âûõîäà êîìïëåêñîâ èç ìíîæåñòâà íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé.
Ðîçãëÿíóòî ïîñë³äîâí³ ñïîëó÷åííÿ ó êîìïëåêñè ñêëàäíèõ âiäíîâëþâàíèõ ñèñòåì ç ìàð-
êiâñüêèì ïîòîêîì âiäìîâëåíü åëåìåíòiâ òà iíäèâiäóàëüíîþ ôóíêöiºþ ðîçïîäiëó ÷àñó ¿õíüîãî
îáñëóãîâóâàííÿ. ×èñëî åëåìåíòiâ ñêëàäíèõ ñèñòåì, ùî îáñëóãîâóþòüñÿ, çðîñòຠçâîðîòíüî
ïðîïîðöiéíî iíòåíñèâíîñòi ¿õí³õ âiäìîâëåíü òàê, ùî ñóìàðíå íàâàíòàæåííÿ íà ñèñòåìó îáñëó-
ãîâóâàííÿ, îáìåæåíå çâåðõó âåëè÷èíîþ, ìåíøîþ çà îäèíèöþ ç äèñöèïë³íîþ îáñëóãîâóâàííÿ
âèìîã ó ïîðÿäêó ¿õíüîãî íàäõîäæåííÿ. Çíàéäåíî àñèìïòîòè÷íèé ðîçïîäië ÷àñó â³ä ìîìåíòó
âiäìîâè äî âèõîäó êîìïëåêñ³â ³ç ÷èñåëüíèõ ñòàí³â íåñïðàâíîñò³.
K ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïîñëåäîâàòåëüíûå ñîåäèíåíèÿ â êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâ-
ëèâàåìûõ ñèñòåì.
Ðàññìîòðèì êîìïëåêñ N, â êîòîðîì ðàáîòàþò N îäíîòèïíûõ ñëîæíûõ
âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç n ýëåìåíòîâ. Êàæäûé ýëåìåíò ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè ìîæåò îòêàçàòü.  ìîìåíò åãî îòêàçà â îäíîé èç ñëîæ-
íûõ ñèñòåì âîçíèêàåò òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå, êîòîðîå íåìåäëåííî
ïîñòóïàåò â ðåìîíòíûé îðãàí (ÐÎ), ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ïàðó P C d� ( , ),
ãäå C — ñòðóêòóðà, d — äèñöèïëèíà îáñëóæèâàíèÿ. Ðåìîíòíûé îðãàí
îñóùåñòâëÿåò âîññòàíîâëåíèå (ðåìîíò èëè çàìåíó íîâûì, èäåíòè÷íûì
èñõîäíîìó). Âîññòàíîâëåííûé ýëåìåíò çàíèìàåò ñâîå ìåñòî â ñëîæíîé
ñèñòåìå, â êîòîðîé ïðîèçîøåë îòêàç, à òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå íå-
ìåäëåííî ïîêèäàåò ÐÎ.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 73
���������
�
��������
� �������
Ïðîöåññ îáñëóæèâàíèÿ íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ êîìïëåêñà N â ìîìåíò
âðåìåíè t è j-é ñëîæíîé ñèñòåìû ñîîòâåòñòâåííî îïèøåì ñëåäóþùèìè
ôîðìóëàìè:
x t x t x t x tN( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))� 1 2 , x t x t x tj j
n
j( ) ( ( ),..., ( ))�
1
,
ãäå x t x t x
i
j
i
j
i
j� �� �( ) ( ) — äëèíà òðåáîâàíèÿ, ò.å. âðåìÿ åãî îáñëóæèâàíèÿ
ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé åäèíèöå; x t
i
j�( ) è x t
i
j�( ) — âûðàáîòàííàÿ è îñòàòî÷-
íàÿ äëèíà òðåáîâàíèÿ íà îáñëóæèâàíèå i-ãî ýëåìåíòà j-é ñëîæíîé ñèñòåìû
êîìïëåêñà, i n�1 2, , ..., , j N�1 2, , ..., ; x t
i
j ( ) �0, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t i-é
ýëåìåíò j-é ñëîæíîé ñèñòåìû èñïðàâåí; x t x t x t
i
j
i
j
i
j( ) ( ( ), ( ))� � � , åñëè ýòîò
ýëåìåíò íåèñïðàâåí.
Ñîñòîÿíèå êîìïëåêñà â ìîìåíò âðåìåíè t îïèøåì ñîâîêóïíîñòüþ v t( ) �
� ( ( ), ( ), ..., ( ))e t e t e tN1 2 èç N äâîè÷íûõ âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ îïðå-
äåëÿåò ñîñòîÿíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà:
e t e t e t e tj j j
n
j( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))�
1 2
, j N�1 2, , ..., .
Çäåñü e t
i
j ( ) �0, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t i-é ýëåìåíò j-é ñëîæíîé ñèñòåìû
êîìïëåêñà íàõîäèòñÿ â èñïðàâíîì ñîñòîÿíèè; e t
i
j ( ) �1, åñëè â ìîìåíò
âðåìåíè t îí íàõîäèòñÿ â íåèñïðàâíîì ñîñòîÿíèè, i n�1 2, , ..., , j N�1 2, , ..., .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîòîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ, âîçíèêàþùèé â êàæäîé
ñëîæíîé ñèñòåìå, ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò äâóì óñëîâèÿì.
1. Åñëè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t j-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà íàõî-
äèòñÿ â ñîñòîÿíèè e j , òî âåðîÿòíîñòü îòêàçà íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè
( , ]t t h� èñïðàâíîãî i-ãî ýëåìåíòà j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà ïðè
h� 0 ñîñòàâëÿåò � i
je N h o h( ) ( )� �1 .
2. Â êàêîì áû èç ñîñòîÿíèé e tj ( ) íè íàõîäèëàñü j-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà
êîìïëåêñà â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t, âåðîÿòíîñòü îòêàçà äâóõ è
áîëåå ýëåìåíòîâ ýòîé ñèñòåìû íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]t t h� ðàâíà o h( )
ïðè h� 0.
Åñëè ñîñòîÿíèÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ k-é è l-é ñëîæíûõ ñèñòåì ñîâïàäàþò,
ò.å. e ek l� , òî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ â ýòèõ
ñèñòåìàõ îäèíàêîâû: äëÿ ëþáîãî i ïðè âñåõ 1� � �k l N � i
ke N( ) � �1
� �� i
le N( ) 1.
Ïóñòü� �N e N
e
j
j
� ��1 1max ( ) , ãäå� ( )e Nj �1, j N�1 2, , ..., , — ñóììàðíàÿ
èíòåíñèâíîñòü (èíòåíñèâíîñòü îòêàçà õîòÿ áû îäíîãî èç èñïðàâíûõ ýëå-
ìåíòîâ j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, íàõîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè e j ),
� �( ) ( )
:
e N e Nj
i e
i
j
i
j
�
�
�� 1
0
1.
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
Äëèíû òðåáîâàíèé (ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ èëè ðàçëè÷íûõ îòêàçîâ îäíîãî è
òîãî æå ýëåìåíòà) åñòü íåçàâèñèìûå ïîëîæèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
Îáîçíà÷èì G xi ( ) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû òðåáîâàíèÿ ïî îá-
ñëóæèâàíèþ i-ãî ýëåìåíòà j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, i n�1 2, , ..., ,
j N�1 2, , ..., . Åå n-é ìîìåíò îáîçíà÷èì
m x dG xn
i n
x
i
( ) ( )�
�
0
.
Ïóñòü G x0( ) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû ïåðâîãî âîçíèêøåãî â
j-é ñëîæíîé ñèñòåìå òðåáîâàíèÿ íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè,
G x G x
i
n
i
i0
1
0
0
( )
( )
( )
( )�
�
�
�
,
mn
( )0 — åå n-é ìîìåíò,
m x dG xn
n
x
( ) ( )0
0
0�
� ,
� 0 — íà÷àëüíàÿ íàãðóçêà íà ÐÎ òðåáîâàíèé íà îáñëóæèâàíèå ýëåìåíòîâ
ñëîæíûõ ñèñòåì êîìïëåêñà N,
� �� �0 1
0
1
1
00 0( ) ( )( ) ( )m m
i
n
i�
�
.
Îáîçíà÷èì G x G x
i n
i( ) min ( )
, ...,
�
�1
ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû, ìàæîðèðóþùåé ïî âåðîÿòíîñòè äëèíû âñåõ òðåáîâàíèé èç j-é ñëîæ-
íîé ñèñòåìû, åå n-é ìîìåíò
m x dG xn
n
x
�
�
0
( ) è � �� m
1
, j N�1 2, , ..., .
Îòêàçû ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ñëîæíîé ñèñòåìû íà ïåðèîäå ðåãåíåðà-
öèè êîìïëåêñà ìîãóò ïðèâåñòè âñþ ñëîæíóþ ñèñòåìó ê îòêàçó. Ìíîæåñòâî
E ej j�{ }, j N�1 2, ,..., , âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé j-é ñëîæíîé ñèñòåìû äå-
ëèòñÿ íà äâà íåïóñòûå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà èñïðàâíûõ E j
� è
íåèñïðàâíûõ E j
� ñîñòîÿíèé j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà. Ïðåäïîëà-
ãàåì òàêæå, ÷òî E E E N
� � �� � �1 2 ... .
Ïóñòü e ej
i
n
i
j�
�
1
— ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ â j-é ñëîæíîé
ñèñòåìå è min
e E
j
j j
e s
�
� �1, j N�1 2, ,..., . Åñëè ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ
â êîìïëåêñå íå ïðåâîñõîäèò s�1, òî ýòà ñèñòåìà èñïðàâíà. Îòêàç êîìïëåêñà
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 75
íàñòóïàåò, åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îêàæóòñÿ íåèñïðàâíûìè k
èç N âõîäÿùèõ â íåãî ñëîæíûõ ñèñòåì ñ íîìåðàìè, îáðàçóþùèìè àðèô-
ìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñ øàãîì åäèíèöà. Ïîëîæèì, sk
1. Ìíîæåñòâî
E v�{ }âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé êîìïëåêñà ñîñòîèò èç äâóõ íåïóñòûõ íå-
ïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ èñïðàâíûõ E� è íåèñïðàâíûõ E� ñîñòîÿíèé
êîìïëåêñà. Îòêàçàâøèå ýëåìåíòû îáñëóæèâàþòñÿ â ÐÎ â ïîðÿäêå ïîñòóï-
ëåíèÿ (ñîãëàñíî äèñöèïëèíå d1 èç êëàññà êîíñåðâàòèâíûõ äèñöèïëèí).
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîõîäèìûõ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì v t( ) ñîñòîÿ-
íèé êîìïëåêñà îò íà÷àëà ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè äî ìîìåíòà åãî ïåðâîãî
îòêàçà íà ýòîì ïåðèîäå îáðàçóåò ïóòü � �{ , , ..., }v v vr1 2 , ãäå v El
� ïðè l r�
è v Er
� .
Ïóòü � íàçîâåì l1-, l2-, ..., lk -ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì, åñëè
ïåðâûé îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè íàñòóïèë â ðåçóëüòàòå
îòêàçà l1, l2, ..., lk -é ñëîæíûõ ñèñòåì, â ìîìåíò îòêàçà â êàæäîé èç ýòèõ k
ñëîæíûõ ñèñòåì áûëè íåèñïðàâíû ðîâíî s ýëåìåíòîâ è áîëüøå îòêàçîâ
ýëåìåíòîâ äî ýòîãî ìîìåíòà â ýòèõ ñëîæíûõ ñèñòåìàõ íå áûëî (1 1� l ,
l l l l k Nk2 1 11 1� � � � � �, ..., ). Ìíîæåñòâî òàêèõ ïóòåé îáîçíà÷èì �c
l l lk1 2...
.
Ïóòü� íàçîâåì k-ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì, åñëè äëÿ íåêîòîðûõ l1,
l2, ..., lk ýòîò ïóòü ÿâëÿåòñÿ l1-, l2-, ..., lk -ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì.
Êëàññ k-ñëàáîìîíîòîííûõ ìèíèìàëüíûõ ïóòåé îáîçíà÷èì �c( )k .
Ïåðåõîä ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà v t( ), õàðàêòåðèçóþùåãî ñîñòîÿíèå êîìï-
ëåêñà â ìîìåíò âðåìåíè t, èç ìíîæåñòâà íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé E� â
ìíîæåñòâî èñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé E� íàçîâåì âîññòàíîâëåíèåì êîìïëåêñà.
Âðåìÿ îò i-ãî âîññòàíîâëåíèÿ êîìïëåêñà äî åãî (i + 1)-ãî îòêàçà îáîçíà÷èì
� i
� , à âðåìÿ îò i-ãî îòêàçà êîìïëåêñà äî åãî i-ãî âîññòàíîâëåíèÿ — ÷åðåç� i
� .
Òðåáóåòñÿ ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìî-
ìåíòà îòêàçà äî âûõîäà òàêèõ êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ
ñèñòåì èç ìíîæåñòâ íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìî-
ãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îöåíêè íàäåæíîñòè è îïåðàòèâíîé ãîòîâíîñòè
ýëåêòðîííûõ ñðåäñòâ íàáëþäåíèÿ è ïîääåðæêè òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ.
Îòêàç êîìïëåêñà â ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íàçîâåì îáû÷íûì, åñëè îí
ïðîèçîøåë ïî ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè â ðåçóëüòàòå îòêàçà
k ñëîæíûõ ñèñòåì ýòîãî êîìïëåêñà è íà ýòîì ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè â
êàæäîé èç ýòèõ k ñëîæíûõ ñèñòåì îòêàçàëè è áûëè âîññòàíîâëåíû ðîâíî
ïî s ýëåìåíòîâ â êàæäîé ñèñòåìå è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â ýòèõ
ñëîæíûõ ñèñòåìàõ íå áûëî, à â îñòàëüíûõ ( )N k� ñëîæíûõ ñèñòåìàõ êîìï-
ëåêñà íà ýòîì ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàçàëè è áûëè âîññòàíîâëåíû íå
áîëåå, ÷åì ïî îäíîìó ýëåìåíòó â êàæäîé èç ( )N k� ñëîæíûõ ñèñòåì.
Ââåäåì ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ:
A — íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë îòêàç êîìïëåêñà;
U — íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà;
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
U
l l lk1 2...
— íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë îáû÷íûé îòêàç êîìï-
ëåêñà â ðåçóëüòàòå îòêàçà l1-, l2-, ..., lk -é åãî ñëîæíûõ ñèñòåì (1 1 2� �l l,
� � � � � �l l l k Nk1 11 1,..., ).
Ïóñòü q x P U x
l l l l l lk k
0
1 2 1 2... ...
( ) { , }�
�� — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèî-
äå ðåãåíåðàöèè â ðåçóëüòàòå îòêàçà l1-, l2-, ..., lk -é ñëîæíûõ ñèñòåì ïðîè-
çîéäåò îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà è âðåìÿ åãî ïðåáûâàíèÿ â ìíîæåñòâå
íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé áóäåò áîëüøå, ÷åì x.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà ïðîèçîøåë ïî 1, 2, ..., k-
ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè �. Ðàññìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ
ñîñòîÿíèå i-é ñëîæíîé ñèñòåìû íà ýòîì ïóòè, i k�1 2, ,..., . Ïóñòü 0 1 2, , ,...e ei i
..., es
i — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé i-é ñèñòåìû äî ìîìåíòà åå îòêàçà.
Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáðàçóåò ìîíîòîííûé ìèíèìàëüíûé ïóòü � i , ïî
êîòîðîìó i-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà èç ñîñòîÿíèÿ{ }0 ïðèõîäèò ê îòêàçó è� �� i ) �
�
�� � � � � �i i
i
i s
ie e
s1 2
0 01 1) ) ... ) , i k�1, ..., , ãäå i1, i2, ..., is — íîìåðà ïîñëåäîâà-
òåëüíî îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ i-é ñëîæíîé ñèñòåìû íà ïóòè� i . Ìíîæåñòâî
ìîíîòîííûõ ìèíèìàëüíûõ ïóòåé, ïî êîòîðûì i-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà ìîæåò
îòêàçàòü, êàê è ðàíåå, îáîçíà÷èì �0
i .
Ïóñòü B U x x x x P U x v x x
j j j
sk
j
s
sk1 2 1
1 2 1 1
...
( , , , ..., , ) ( , , ( )�
� k x x� �1 ) —
óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ê ìîìåíòó âðåìåíè x1 íå çàêîí÷èòñÿ ïå-
ðèîä ðåãåíåðàöèè, îòêàçàâøèé â ìîìåíò âðåìåíè x1 ýëåìåíò j1 íå çàâåð-
øèò ñâîå îáñëóæèâàíèå ê ìîìåíòó âðåìåíè x x xsk � �1 è â ìîìåíò âðåìåíè
xsk ïðîèçîéäåò îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíå-
ðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìîìåíòû x x xsk1 2, ,..., (0 1� �x
� � �x xsk2 ... ) ïîñëåäîâàòåëüíî îòêàçàëè ýëåìåíòû j j jsk1 2, ,..., èç ïåðâûõ k
ñëîæíûõ ñèñòåì.
Îáîçíà÷èì q x
j j j
k
sk
0
1 2
1 2
...
( , , ..., , )� � � âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáû÷íûé îò-
êàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîéäåò ïî òàêèì 1, 2, ..., k-ñëà-
áîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì ïóòÿì, ÷òî îòêàç i-é ñëîæíîé ñèñòåìû ïðî-
èçîéäåò ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè � i (i k�1 2, , ..., ), à ïåðåñòà-
íîâêà j j jsk1 2, ,..., îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k
ñëîæíûõ ñèñòåì, è âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ êîìïëåêñà â íåèñïðàâíîì ñîñòîÿíèè
áóäåò áîëüøå, ÷åì x.
Ïóñòü �e ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà e âûäåëåíèåì ïåðâûõ k êîìïîíåíò, ò.å.
�e îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì. Íàáîð j j jsk1 2, ,...,
îïðåäåëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé � � � �0 1 2, , ,...,e e esk , êîòîðûå ïðî-
õîäèò ïîäêîìïëåêñ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì äî îòêàçà âñåãî êîìïëåêñà
ïî 1, 2, k-ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè. Ïóñòü � ( )� �e N 1 — ñóì-
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 77
ìàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì,
íàõîäÿùèõñÿ â ñîñòîÿíèè �e ,
� �( ) ( )� ��
� �
� e N e N
r
k
i
n
i
r1
1 1
1.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå � � � � � �{( , ..., ) : ... }x x x x xsk sk1 1 20 . Ïóñòü
J U j j j xN sk( , , ,..., , )1 2 �
� �� �
�... exp( ) ( , , ,..., , )
...
�
aN B U x x x x dx
j j j
sk
sk1
1 2 1
1 2 dx dxsk2... .
Ëåììà 1. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
q x
N
J U j
j j j
k
i
i
k
sk N
sk
0
1 2
1 2
1
1
...
( , , ..., , )
( )
( , ,� � �
� �
� �
�
..., , )j xsk .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ââåäåííûì îáîçíà÷åíèÿì ïî ôîðìóëå
ïîëíîé âåðîÿòíîñòè
q x
j j j
k
sk
0
1 2
1
...
( , ..., , )� � �
� � � � � ��
� � �... ( ) exp[ ( ) ] ( ) exp[ (
�
� � � �j jN N x e N
1 2
0 01 1
1 1
1 � ��
� e N x x1
1
2 1) ( )]...
... ( ) exp[ ( ) ( )]� �j sk sk sk sksk
e N e N x x� � � � ��
�
�
�
�1
1
1
1
1
� �B U x x x dx dx dx
j j
sk sk
sk1
1 1 2
...
( , , ..., , ) ...
� �
�� �( )
( , , ..., , )
i
i
k
sk N sk
N
J U j j x1
1 ,
÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåììà 1 äîêàçàíà.
Ïóñòü B x x P x v x x xsk sk� � ��( , ) { , ( ) }1 1 1 1�
� — óñëîâíàÿ âåðîÿò-
íîñòü òîãî, ÷òî â êîìïëåêñå N0
1,��G ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íå çàêîí÷èòñÿ äî
ìîìåíòà âðåìåíè x1 è òðåáîâàíèå, âîçíèêøåå â ìîìåíò âðåìåíè x1, íå
çàâåðøèò ñâîå îáñëóæèâàíèå â ÐÎ ê ìîìåíòó âðåìåíè x xsk � 1 ïðè óñëîâèè,
÷òî ýòîò ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìîìåíò
âðåìåíè x1 âîçíèêëî òðåáîâàíèå â ÐÎ êîìïëåêñà (v x( )1 — âðåìÿ ïðåáû-
âàíèÿ â ÐÎ òðåáîâàíèÿ, âîçíèêøåãî â ìîìåíò âðåìåíè x1 îò íà÷àëà ïå-
ðèîäà ðåãåíåðàöèè).
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
Ëåììà 2. Äëÿ ëþáîãî x � 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
B U x x x x B x x
j j j
sk sk
sk1 2
1 2 1
...
( , , , ..., , ) ( , )� � .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç îïðåäåëåíèÿ
B U x x x x B x x
j j j
sk
j j jsk sk1 2 1 2
1 2 1 2
... ...
( , , , ..., , ) ( , , .� .., )xsk .
Èç ëåììû 2 [1] ñëåäóåò
B x x x B x x
j j j
sk sk
sk1 2
1 2 1
...
( , , ..., ) ( , )� � .
Èç äâóõ ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâ è òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà
ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû 2. Îíà äîêàçàíà.
Îáîçíà÷èì T� ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äëèíû ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè
êîìïëåêñà N0
1,��G ,
T
m
�
�
� � � �
� �
�
1
0 1( )
.
Ñòàöèîíàðíîå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ òðåáîâàíèÿ â ÐÎ ýòîãî êîìïëåêñà ïðè
äèñöèïëèíå îáñëóæèâàíèÿ d1 îáîçíà÷èì v� .
Ëåììà 3. Ïóñòü ��1è msk � �. Òîãäà
0
1 1 2
1 2� � � �
� � �
x x x
sk sk
s
sk
B x x dx dx dx
E v
...
... ( , ) ...
[ ]
�
�
k
sk
T
�
�
� �
1
1( )!
� .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñäåëàåì â ðàññìàòðèâàåìîì êðàòíîì èíòåãðàëå
çàìåíó ïåðåìåííûõ: t x xks1 1� � , t x x t x xks ks2 1 1 1 2 1� � � �� �, ..., , t x� 1. Ïîñ-
ëå ýòîé çàìåíû ïåðåìåííûõ èñêîìûé èíòåãðàë èìååò âèä
t t t tsk
P t v t t dtdt
1 2 1 0 0
1 1
�
� �
... ,
... { , ( ) } ...� � � dtsk� �1
�
�
�
� � �
t t
sk
tsk
dt dt P t v t
1 1 0
1 1
0... ,
... ... { , ( )� � � t dt1} .
Èç ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ ðåãåíåðèðóþùèõ ïðîöåññîâ [3, 4] ñëåäóåò, ÷òî
t
P t v t t dt P v t T
�
�
0
1 1{ , ( ) } { }� � � � � .
Ñ ó÷åòîì ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ è ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèé èñêîìûé èíòåãðàë
ïðèíèìàåò âèä
t t t
sk
sk
P v t dt dt T
1 2 1
1 1 1
�
�
� �
�
...
... { } ...� �
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 79
�
�
�
�
� �
�
t
sk sk
t
sk
P v t dt T
E v
sk
1 0
1
2
1 1
1
2 1
[ ]
( )!
{ }
[ ]
( )
� �
�
!
,T� � �
òàê êàê ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � � è ��1. Ëåììà 3 äîêàçàíà.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
� ( ) {( , ..., ) : ... }z x x x x zsk sk� � � � �1 10 ,
�
�
( ) ... ... )
( )!
( )
z dx dx
z
sk
z
sk
sk
� �� � 1 .
Ëåììà 4. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � �
... ( , , , ..., , ) ...
...
�
� � �B U x x x x dx dx dx
j j j
sk sk
sk1 2
1 2 1 2 J U j j xN sk( , , ..., , )1 0�
ðàâíîìåðíî ïî x � 0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî îïðåäåëåíèþ
... ( , , , ..., , ) ...
...
�
� � �B U x x x x dx dx dx
j j j
sk sk
sk1 2
1 2 1 2 J U j j xN sk( , ,..., , )1 �
� � �� �
�... [ exp( )] ( , , ,..., ,
...
�
1 1
1 2
1 2aN B U x x x x
j j j
sk
sk ) ...dx dx dxsk1 2 .
Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî �
0 è çàôèêñèðóåì. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ
âûáðàííîãî �
0 ñóùåñòâóåò z z� ( )� òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî z z� ( )�
... ( , ) ...
\ ( )� � z
sk skB x x dx dx dx� � ��
�
1 1 2
2
. (1)
Èç íåðàâåíñòâà 1 11� � ��exp( )aN è ëåììû 2 äëÿ ëþáîãî x � 0 âûòåêàþò
íåðàâåíñòâà
[ exp( )] ( , , , ..., , )
...
1 1
1 2
1 2� � ��aN B U x x x x
j j j
sk
sk
� �B U x x x x B x x
j j j
sk sk
sk1 2
1 2 1
...
( , , , ..., , ) ( , )� . (2)
Èç (1), (2) è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà äëÿ ëþáîãî x � 0ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
... [ exp( )] ( , , ..., , )
\ ( )
...
� � z
j j
skaN B U x x x dsk� � � �1 1
1
1 x dxsk1
2
...� �
�
. (3)
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
Ïî îïðåäåëåíèþ a x zsk� �� � . Äëÿ âûáðàííîãî z z� ( )� ñóùåñòâóåò òàêîå
N N z� ( ( ))� , ÷òî äëÿ ëþáîãî N N z
( ( ))�
0 1 1
2
1 1� � � � � � �� �exp( ) exp( )
( )
aN zN
z
�
�
�
.
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà 0 11
1� �B U x x x
j j
sk
sk...
( , , ..., , ) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ
ëþáîãî N N z
( ( ))� ïðè ëþáîì x � 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
... [ exp( )] ( , , ..., , )
( )
...
� z
j j
skaN B U x x x dxsk� � � �1 1
1 1
1 ... dxsk� �
�
2
. (4)
Èç (3) è (4) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N z
( ( ))� è ëþáîãî x � 0âûïîëíåíî
íåðàâåíñòâî
... [ exp( )] ( , , ..., , ) ...
...
�
� � � �1 1
1 1
1aN B U x x x dx
j j
sk
sk dxsk� � �.
Ëåììà 4 äîêàçàíà.
Ïóñòü
� ��� 1��
�
�
!
"
k
N
, � �( ) ( )0 0 1� � ��
�
�
!
"
k
N
,
B x x x P x v x x x x
j
sk
j
sk0 1 0 1 0 1 1
1� � ��
� �( , , ) ( , ( ) )� è B x x x
j
sk0 1
1 ( , , ) �
�
� �P x v x x x xj
sk( , ( ) )�
0 1 0 1 1 — ñîîòâåòñòâåííî óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè
òîãî, ÷òî, íà÷àâøèñü â ìîìåíò âðåìåíè x �0, ïåðèîä ðåãåíåðàöèè â
êîìïëåêñàõ N� �( )0 0� G
è N� �( )0 0G
íå çàêîí÷èòñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè x1 è
âîçíèêøåå â ìîìåíò âðåìåíè x1 â ÐÎ òðåáîâàíèå, òèï êîòîðîãî ñîâïàäàåò c
íîìåðîì ýëåìåíòà j1, îáîçíà÷àåìîãî ÷åðåç j, íå çàâåðøèò ñâîå îáñëóæè-
âàíèå â ÐÎ äî ìîìåíòà âðåìåíè x xsk � ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíå-
ðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0è â ìîìåíò âðåìåíè x1 â ÐÎ âîçíèêëî
òðåáîâàíèå c íîìåðîì j ýëåìåíòà j1 (0 1� �x xsk ); v xj
0 1
�( ) è v xj
0 1( ) — ñîîò-
âåòñòâåííî âðåìåíà ïðåáûâàíèÿ òðåáîâàíèÿ j-ãî òèïà, ïîñòóïèâøåãî â
ìîìåíò âðåìåíè x1 â ÐÎ êîìïëåêñîâ N� �( )0 0� G
è N� �( )0 0G
.
Ëåììà 5. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
... ( , ,..., , ) ... ...
...
� �
� � � ��B U x x x dx dx B
j j
sk sk
sk1
1 1 0
j
sk skx x x dx dx1
1 1 0
� �( , , ) ... .
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 81
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî �
0. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò,
÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî z z� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî z z� ( )�
... ( , ) ...
\ ( )� � z
sk skB x x dx dx dx� � ��
�
1 1 2
5
. (5)
Ñîãëàñíî ëåììå 2 äëÿ ëþáîãî x � 0 ñóùåñòâóþò íåðàâåíñòâà
B U x x x B x x
j j
sk sk
sk1
1 1
...
( , , ..., , ) ( , )� � ,
B x x x B x x
j
sk sk0 1 1
1� �( , , ) ( , )� .
(6)
Èç (5), (6) è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x
0
... ( , , ..., , ) ...
\
...
� �� �z
j j
sk skB U x x x dx dxsk� � �1
1 1
5
�
,
... ( , , ) ...
\� �� �z
j
sk skB x x x dx dx� �
� �
0 1 1
1
5
�
.
(7)
Ñîãëàñíî àêñèîìå íåïðåðûâíîñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ âûáðàííîãî �
ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî l l� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî l l� ( )�
P z l
z
( ( ) )
( )
�
�
�
�
�
�
5
,
ãäå���
( )z — ÷èñëî ñîáûòèé ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì�� , âîç-
íèêøèõ íà îòðåçêå [ , ]0 z .
Ïóñòü Rl
� — ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïåðâûå l òðåáî-
âàíèé ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì �� ïîñòóïèëè èç ðàçëè÷íûõ
ñèñòåì. Èç ëåììû 2 [2] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âûáðàííîãî � ñóùåñòâóåò òàêîå
íàòóðàëüíîå ÷èñëî N N� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )�
P R
z
l( )
( )
�
�1
5
�
�
.
Ïóñòü A z l Rl� �
�
�{ ( ) }�� , � �� � �
�
{ ( ) }� z l è I A( ) — èíäèêàòîð cëó÷àé-
íîãî ñîáûòèÿ A. Î÷åâèäíî,
B U x x x P U x v x x x x
j j
sk
j
sk
sk1
1 1 1 1
...
( , , ..., , ) ( , , ( )�
� �� ) �
�
� � �P U I x v x I x x xj
sk( , ( ) , ( ) ( ) )� � �� �1 1 1
�
� �P U I x v x I x x xj
sk( , ( ) , ( ) ( ) )� � �� �1 1 1 . (8)
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
Àíàëîãè÷íî
B x x x P x v x x x x
j
sk
j
sk0 1 0 1 0 1 1
1� � ��
� � �( , , ) ( , ( ) )�
�
� � �� �P I A x v x I A x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� 0 1 0 1 1
�
� �� �P I A x v x I A x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� 0 1 0 1 1 . (9)
Èç ëåììû 4 [2] ñëåäóåò, ÷òî
P U I x v x I x x xj
sk( , ( , ) ( ) , ( ) ( ) )� # $ � �� �
� � �1 1 1
�
� �� �P I A x v x I A x x xj
sk( ( , ) ( ) , ( ) ( ) )� # $0 1 0 1 1 . (10)
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî N N� ( )� è ëþáîãî x � 0
P U I x v x I x x x P
z
j
sk( , ( ) , ( ) ( ) ) ( )
( )
�
�
� � �
�
� � �
� � � �1 1 1
5
(11)
è
P I A x v x I A x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� 0 1 0 1 1
� �
� � �
� � � ��P A P P R
z
l( ) ( ) ( )
( )
�
�
�
2
5
�
, (12)
èç (8) — (12) äëÿ ëþáîãî N N� ( )� è ëþáîãî x � 0 ïîëó÷àåì
B U x x x B x x x
z
j j
sk
j
sk
sk1 1
1 0 1
3
5
...
( , , ..., , ) ( , , )
( )
� ��
�
. (13)
Èç ñâîéñòâà èíòåãðàëà è (13) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x � 0
... ( , ,..., , ) ... ...
( )
...
(� �z
j j
sk skB U x x x dx dxsk� � �1
1 1
z
j
sk skB x x x dx dx
)
( , , ) ...� �
� �
0 1 1
1
� �� �
�
... ( , ,..., , ) ( , ,
( )
...
� z
j j
sk
j
skB U x x x B x x xsk1 1
1 0 1 ) ...dx dxsk1 �
� �� �...
( )
...
( )�
�
z
sk
z
dx dx
3
5
3
5
1
� �
. (14)
Èç (7) è (14) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )� è ëþáîãî x � 0
... ( , , ..., , ) ... ...
...
� �
� � � ��B U x x x dx dx B
j j
sk sk
sk1
1 1 0
j
sk skx x x dx dx1
1 1
� �( , , ) ...
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 83
� �� �... ( , , ..., , ) ...
\ ( )
...
� � z
j j
sk skB U x x x dx dxsk1
1 1
� �� �
�
... ( , , ) ...
\ ( )� � z
j
sk skB x x x dx dx
0 1 1
1
� �� �... ( , ,..., , ) ... ...
( )
...
� �z
j j
sk skB U x x x dx dxsk1
1 1
( )
( , , ) ...
z
j
sk skB x x x dx dx� �
� �
0 1 1
1
� � � �
� � �
�
5 5
3
5
.
Ëåììà 5 äîêàçàíà.
(Ïðîäîëæåíèå ñòàòüè ñì. â ñëåäóþùåì íîìåðå)
Series connections into sets of complex restorable systems with Markovian failure flows of ele-
ments and individual distribution function of the time of their maintenance have been considered.
The number of maintained elements of complex systems increase in inverse proportion of their
failures intensity in such a way that the total load on the maintenance system is bounded on the
top by the value lower than 1, with discipline of meeting requirements in order of their appear-
ance. Asymptotic time distribution from the moment of failure to the escape of a set of complex
restorable systems from multiple fault conditions was found.
1. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì. —
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2004. — 26, ¹ 2. — Ñ. 57—77.
2. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ
âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ïðè ðàçëè÷íûõ äèñöèïëèíàõ îáñëóæèâàíèÿ. — Òàì æå. —
2003. — 25, ¹ 2. — Ñ. 83—97.
Ïîñòóïèëà 12.01.10;
ïîñëå äîðàáîòêè 31.05.10
ÌÀÊÀÐÈ×Å Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìà-
òåìàòèêè Õàðüêîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî àâòîìîáèëüíî-äîðîæíîãî óíèâåðñèòåòà. Â 1981 ã.
îêîí÷èë Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Ëîìîíîñîâà. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — âîïðîñû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òåîðèè âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì, îïòè-
ìèçàöèÿ õàðàêòåðèñòèê íàäåæíîñòè êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì.
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12842 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:29:51Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаричев, А.В. 2010-10-25T09:25:18Z 2010-10-25T09:25:18Z 2010 Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 73-84. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12842 519.21 Рассмотрены последовательные соединения в комплексы сложных восстанавливаемых систем с марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени их обслуживания. Число обслуживаемых элементов сложных систем возрастает обратно пропорционально интенсивности их отказов так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания ограничена сверху величиной, меньшей единицы, с дисциплиной обслуживания требований в порядке их возникновения. Найдено асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов из множества неисправных состояний. Розглянуто послідовні сполучення у комплекси складних вiдновлюваних систем з маркiвським потоком вiдмовлень елементiв та iндивiдуальною функцiєю розподiлу часу їхнього обслуговування. Число елементiв складних систем, що обслуговуються, зростає зворотньо пропорцiйно iнтенсивностi їхніх вiдмовлень так, що сумарне навантаження на систему обслуговування, обмежене зверху величиною, меншою за одиницю з дисципліною обслуговування вимог у порядку їхнього надходження. Знайдено асимптотичний розподiл часу від моменту вiдмови до виходу комплексів із чисельних станів несправності. Series connections into sets of complex restorable systems with Markovian failure flows of elements and individual distribution function of the time of their maintenance have been considered. The number of maintained elements of complex systems increase in inverse proportion of their failures intensity in such a way that the total load on the maintenance system is bounded on the top by the value lower than 1, with discipline of meeting requirements in order of their appearance. Asymptotic time distribution from the moment of failure to the escape of a set of complex restorable systems from multiple fault conditions was found. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Точность, надежность, диагностика Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. Макаричев, А.В. Точность, надежность, диагностика |
| title | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. |
| title_full | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. |
| title_fullStr | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. |
| title_full_unstemmed | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. |
| title_short | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. I. |
| title_sort | асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний. i. |
| topic | Точность, надежность, диагностика |
| topic_facet | Точность, надежность, диагностика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12842 |
| work_keys_str_mv | AT makaričevav asimptotičeskoeraspredelenievremenismomentaotkazadovyhodakompleksovsložnyhvosstanavlivaemyhsistemizmnožestvneispravnyhsostoâniii |