Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя
Предложена трехмерная интегральная модель вращающегося магнитного поля (ВМП) электромагнитного перемешивателя, построенная на основе разложения ВМП на три симметричные составляющие (СС). При моделировании первой СС применено векторное интегральное уравнение для плотности токов намагниченности, котор...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12844 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 93-112. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859653986444902400 |
|---|---|
| author | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| author_facet | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| citation_txt | Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 93-112. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложена трехмерная интегральная модель вращающегося магнитного поля (ВМП) электромагнитного перемешивателя, построенная на основе разложения ВМП на три симметричные составляющие (СС). При моделировании первой СС применено векторное интегральное уравнение для плотности токов намагниченности, которое сводится к системе скалярных уравнений, преобразуемых с учетом симметрии первой СС относительно координатных плоскостей. Областью определения полученных интегральных уравнений является восьмая часть поверхности магнитопровода, лежащая в первом октанте.
Запропоновано тривимірну інтегральну модель обертового магнітного поля електромагнітного перемішувача, побудовану на основі розкладання обертового магнітного поля на три симетричні складові (СС). При моделюванні першої СС використано векторне інтегральне рівняння для щільності струмів намагніченості, яке зводиться до системи трьох скалярних рівнянь, перетворюваних з урахуванням симетрії першої СС щодо координатних площин.Областю визначення одержаних інтегральних рівнянь є восьма частина поверхні магніто-провода, яка лежить у першому октанті.
A three-dimensional integral model of a rotating magnetic field for electromagnetic stirrer is offered. The decomposition of the rotating magnetic field on three symmetric components (SÑ) lies in the basis of the model. To simulate the first SÑ the vector integral equation for the magnetized currents density is used, which is reduced to the system of three scalar equations. These equations are transformed taking into account symmetry of the first SÑ in relation to co-ordinate planes.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:37:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669
Â. Ô. Åâäîêèìîâ*, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, À. À. Êó÷àåâ**, ä-ð òåõí. íàóê,
Å. È. Ïåòðóøåíêî*, êàíä. òåõí. íàóê, Â. À. Êó÷àåâ***
* Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû,
(Óêðàèíà, 03115, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. 424-91-60, E-mail: ypetrushenko@mail.ru),
**Ôèçèêî-òåõíîëîãè÷åñêèé èí-ò ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ ÍÀÍ Óêðàèíû,
(Óêðàèíà, 03680, Êèåâ-142, ÃÑÏ, áóëüâ. Âåðíàäñêîãî, 34/1,
òåë. (044) 424-20-50, E-mail: alexander-kuchaev@svitonline.com),
*** Îáùåñòâî ñ îãðàíè÷åííîé îòâåòñòâåííîñòüþ «ËÀÌÈ»
(Óêðàèíà, Êèåâ, E-mail: vitalku07@yandex.ru)
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ
Ïðåäëîæåíà òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ÂÌÏ)
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ, ïîñòðîåííàÿ íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ ÂÌÏ íà òðè ñèì-
ìåòðè÷íûå ñîñòàâëÿþùèå (ÑÑ). Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïåðâîé ÑÑ ïðèìåíåíî âåêòîðíîå èíòå-
ãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè, êîòîðîå ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå
ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé, ïðåîáðàçóåìûõ ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïåðâîé ÑÑ îòíîñèòåëüíî êîîð-
äèíàòíûõ ïëîñêîñòåé. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ïîëó÷åííûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ
âîñüìàÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà, ëåæàùàÿ â ïåðâîì îêòàíòå.
Çàïðîïîíîâàíî òðèâèì³ðíó ³íòåãðàëüíó ìîäåëü îáåðòîâîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ åëåêòðîìàãí³ò-
íîãî ïåðåì³øóâà÷à, ïîáóäîâàíó íà îñíîâ³ ðîçêëàäàííÿ îáåðòîâîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ íà òðè
ñèìåòðè÷í³ ñêëàäîâ³ (ÑÑ). Ïðè ìîäåëþâàíí³ ïåðøî¿ ÑÑ âèêîðèñòàíî âåêòîðíå ³íòåãðàëüíå
ð³âíÿííÿ äëÿ ù³ëüíîñò³ ñòðóì³â íàìàãí³÷åíîñò³, ÿêå çâîäèòüñÿ äî ñèñòåìè òðüîõ ñêàëÿðíèõ
ð³âíÿíü, ïåðåòâîðþâàíèõ ç óðàõóâàííÿì ñèìåò𳿠ïåðøî¿ ÑÑ ùîäî êîîðäèíàòíèõ ïëîùèí.
Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ îäåðæàíèõ ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü º âîñüìà ÷àñòèíà ïîâåðõí³ ìàãí³òî-
ïðîâîäà, ÿêà ëåæèòü ó ïåðøîìó îêòàíò³.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ýëåêòðîìàãíèòíûé ïåðåìåøèâàòåëü, ìàãíèòíîå ïîëå, èíòåãðàëü-
íàÿ ìîäåëü.
 ñâÿçè ñ âíåäðåíèåì ýíåðãîñáåðåãàþùèõ òåõíîëîãèé, ïîâûøåíèåì ïðîèç-
âîäèòåëüíîñòè ìàøèí íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê (ÌÍËÇ) è êà÷åñòâà
çàãîòîâîê âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ íîâîãî è óëó÷øåíèÿ êîíñò-
ðóêöèé ñóùåñòâóþùåãî ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ, îäíèì èç âèäîâ
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå ïåðåìåøèâàòåëè (ÝÌÏ) [1, 2]. Ê ÷èñëó
ìåð, ïîçâîëÿþùèõ óñêîðèòü ðàçðàáîòêó ÝÌÏ, îòíîñèòñÿ ïðèìåíåíèå ìàòå-
ìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â ïðîöåññå èõ ïðîåêòèðîâàíèÿ. Ìîäåëèðîâàíèå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 93
�������������
�
�
��
���
���
�����
�����
ïîçâîëÿåò ðàçðàáîò÷èêàì èçáåæàòü íå òîëüêî ãðîìîçäêèõ ðàñ÷åòîâ, íî è
çíà÷èòåëüíîé ÷àñòè äîðîãîñòîÿùåãî ôèçè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà, çàìåíèâ
åãî ìàòåìàòè÷åñêèì.
Êîíñòðóêòèâíûå îñîáåííîñòè ÝÌÏ òàêîâû, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå,
ãèäðîäèíàìè÷åñêèå è òåïëîâûå ïîëÿ â íèõ ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííî òðåõ-
ìåðíûìè [3]. Ïîýòîìó â îñíîâó ïàêåòà ïðîãðàìì äëÿ ðàñ÷åòîâ ÝÌÏ äîëæ-
íû áûòü ïîëîæåíû òðåõìåðíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, Íàâüå—
Ñòîêñà è Ôóðüå.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ ýòèõ ñèñòåì íåîáõîäèìî ðåøàòü
êðàåâûå çàäà÷è â íåîãðàíè÷åííîé íåîäíîðîäíîé îáëàñòè, ñîäåðæàùåé
ãåîìåòðè÷åñêè ñëîæíûå ôåððîìàãíèòíûå (ìàãíèòîïðîâîä) è ïðîâîäÿùèå
(êîðïóñ, îáå÷àéêà, ãèëüçà, æèäêàÿ ñòàëü) òåëà.
Ñëîæíîñòü óêàçàííûõ çàäà÷, ñ îäíîé ñòîðîíû, è íåîáõîäèìîñòü ðàç-
ðàáîòêè ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçóåìûõ íà äîñòóïíûõ ÝÂÌ ïðîãðàìì, ñ äðóãîé
ñòîðîíû, ïîáóæäàåò èñêàòü òàêèå ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòèõ
ñèñòåì, ïðè êîòîðûõ âî âíîâü ïîëó÷åííûõ ñèñòåìàõ äîñòàòî÷íî ïðîñòî è ñ
ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ ó÷èòûâàëàñü áû ñïåöèôèêà ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé â
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
94 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
5 1
2
3
Z
X Y
1
4
Z
X Y
XOZ
XOY
YOZ
1
2
Ðèñ. 1. Ñõåìà êîíñòðóêöèè ñèñòåìû êðèñòàëëèçàòîð ÌÍËÇ—ÝÌÏ: 1 — çàãîòîâêà êðóãëîãî
ñå÷åíèÿ; 2 — êðèñòàëëèçàòîð; 3 — òðåõôàçíàÿ îáìîòêà ÝÌÏ; 4 — ìàãíèòîïðîâîä; 5 —
ïîãðóæíîé ñòàëåðàçëèâî÷íûé ñòàêàí
Ðèñ. 2. ßâíîïîëþñíûé òðåõôàçíûé ÝÌÏ: 1 — ìàãíèòîïðîâîä, 2 — òðåõôàçíàÿ îáìîòêà
ýëåêòðîìàãíèòà
ÝÌÏ. Îäíèì èç òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ ñâåäåíèå êðàåâûõ çàäà÷ ê
ýêâèâàëåíòíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì (ÈÓ). Äîñòàòî÷íî ïîëíî ýòîò
ïîäõîä ðåàëèçîâàí äëÿ äâóìåðíûõ çàäà÷ [4—7].
 ïðåäëàãàåìîé òðåõìåðíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè âðàùàþùåãîñÿ ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ ÝÌÏ ïåðåõîä îò óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ê ýêâèâàëåíòíîé
ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÈÓ) âûçâàí òåì, ÷òî â ÝÌÏ ñóùåñò-
âóþò ñèëüíûå ïîëÿ ðàññåèâàíèÿ. Ñ ïîìîùüþ ÑÈÓ ýòè ïîëÿ ìîæíî ó÷è-
òûâàòü ñîîòâåòñòâóþùèì âûáîðîì ïîòåíöèàëîâ, íàïðèìåð êîìáèíàöèåé
íüþòîíîâà ïîòåíöèàëà è ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü îñíîâàíà íà ðàçëîæåíèè ðåçóëüòèðóþùåãî
âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ÂÌÏ) íà òðè ñèììåòðè÷íûå ñîñòàâ-
ëÿþùèå (ÑÑ) [5]. Îäíà èç íèõ ìîäåëèðóåòñÿ, äâå äðóãèå ïîëó÷àþòñÿ
ïîâîðîòîì ìîäåëèðóåìîé ÑÑ âîêðóã îñè ñèñòåìû íà 120� ïî ÷àñîâîé
ñòðåëêå èëè ïðîòèâ è óìíîæåíèåì ïîëó÷åííîé êàðòèíû ïîëÿ íà ñîîòâåòñò-
âóþùèé ìàñøòàáíûé êîýôôèöèåíò.
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ÑÑ èñïîëüçóåòñÿ êîíöåïöèÿ ñâÿçàííûõ òîêîâ íà-
ìàãíè÷åííîñòè (ÒÍ). Âåêòîðíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (ÂÈÓ) äëÿ ïëîò-
íîñòè ÒÍ ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå òðåõ ñêàëÿðíûõ, êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü
ïðåîáðàçóþòñÿ ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ÑÑ îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ ïëîñ-
êîñòåé XOY , YOZ, XOZ. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ïîëó÷åííûõ ÈÓ ÿâëÿåòñÿ
âîñüìàÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà, ëåæàùàÿ â ïåðâîì îêòàíòå.
Êîíñòðóêòèâíîå èñïîëíåíèå ñèñòåìû êðèñòàëëèçàòîð ÌÍËÇ —
ÿâíîïîëþñíûé ÝÌÏ. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàí îáùèé âèä ñèñòåìû êðèñòàëëè-
çàòîð ÌÍËÇ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ — ÝÌÏ. Îñü Z äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
XYZ ñîâìåùåíà ñ îñüþ ñèñòåìû, à îñè X è Y — ñ îñÿìè ñèììåòðèè îáìîòêè
îäíîé èç ôàç, íàïðèìåð ïåðâîé. ÝÌÏ ñîñòîèò èç ìàãíèòîïðîâîäà è òðåõ-
ôàçíîé îáìîòêè. Ïðèíöèï äåéñòâèÿ ñèñòåìû òàêîé æå, êàê è ó àñèíõðîííîãî
äâèãàòåëÿ. Òðåõôàçíàÿ îáìîòêà ñîäåðæèò òðè ôàçíûå îáìîòêè, ñîåäèíåííûå
çâåçäîé èëè òðåóãîëüíèêîì. Êàæäàÿ ôàçíàÿ îáìîòêà ñîñòîèò èç äâóõ îäèíà-
êîâûõ ÷àñòåé, ðàñïîëîæåííûõ íà ïðîòèâîïîëîæíûõ ïîëþñàõ ìàãíèòîïðî-
âîäà. ×èñëî âèòêîâ â êàæäîé ôàçíîé îáìîòêå 2W. Àêòèâíûå ïëîñêîñòè
îáìîòîê ïåðåñåêàþòñÿ ïî îñè Z è îáðàçóþò óãîë 120° (ðèñ. 2).
Áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè òîêè â âèòêàõ îáìîòêè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ôàçíûå òîêè îáðàçóþò ñèììåòðè÷íóþ òðåõôàçíóþ ñèñòåìó. Åñëè ñ÷èòàòü
ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèå òîêîâ â ôàçíûõ îáìîòêàõ îò íà÷àëà ê êîíöó,
òî ôàçíûå òîêè èìåþò âèä
i t I tm1( ) sin� � , i t I tm2
2
3
( ) sin� ��
�
�
��
�
, i t I tm3
2
3
( ) sin�
�
�
�
��
�
,
ãäå� ��2 f ; f — ÷àñòîòà òîêîâ; I m — àìïëèòóäà ôàçíûõ òîêîâ.
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 95
Ðàñ÷åòíàÿ ìîäåëü. Îáìîòêó ðåàëüíîãî ÝÌÏ, èìåþùóþ âèä âèíòî-
âîé ëèíèè, â ðàñ÷åòíîé ìîäåëè çàìåíèì ñèñòåìîé çàìêíóòûõ ñîîñíûõ
âèòêîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè
îáìîòêè, è ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè XOY . Î÷åâèäíî, â òàêîé
ìîäåëè ìàãíèòíîå ïîëå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè XOY (ñì.
ðèñ. 2). Ïîýòîìó åãî ðàñ÷åò äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü â ïîëóïðîñòðàíñòâå
z � 0. Âèòêè îáìîòêè áóäåì ãðóïïèðîâàòü â æãóòû. Æãóò — ýòî íåêîòîðîå
÷èñëî ïëîòíî óëîæåííûõ âèòêîâ. Áóäåì ñ÷èòàòü äèàìåòð ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ æãóòà íàñòîëüêî ìàëûì, ÷òî çàìåíà îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî
òîêàì â æãóòå íà èíòåãðèðîâàíèå ïî îñè æãóòà, ïî êîòîðîé ïðîòåêàåò
ïîëíûé òîê æãóòà, íå ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîé ïîãðåøíîñòè. Íå óìàëÿÿ
îáùíîñòè çàäà÷è, à ïðåñëåäóÿ öåëü óïðîñòèòü çàïèñü ÈÓ, êàæäóþ ïîëî-
âèíó ôàçíîé îáìîòêè, çàìåíÿåì îäíèì æãóòîì.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàãíèòíîå ïîëå ÝÌÏ áåç íàëè÷èÿ çàãîòîâêè,
ãèëüçû êðèñòàëëèçàòîðà, îáå÷àéêè, íàðóæíîãî è âíóòðåííåãî êîðïóñîâ
êðèñòàëëèçàòîðà, îáøèâêè ÝÌÏ. Îäíàêî ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÝÌÏ
äîëæíà áûòü âûïîëíåíà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïðè äîáàâëåíèè óêàçàííûõ
êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè íå ìåíÿëèñü. Ýòî-
ìó òðåáîâàíèþ óäîâëåòâîðÿåò ïðåäëîæåííàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü, â îñíîâå
êîòîðîé ëåæèò ÂÈÓ äëÿ ïëîòíîñòè ÒÍ íà ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà.
Íåêîòîðûå îáîñíîâàíèÿ ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ðàñ÷åòà ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ ÝÌÏ ñ ïîìîùüþ ÂÈÓ. Äëÿ ðàñ÷åòà ìàãíèòíûõ ïîëåé â íåîä-
íîðîäíûõ ñðåäàõ ÷àñòî ïðèìåíÿþò ÈÓ îòíîñèòåëüíî ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ
[8], êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûìè êàê äëÿ äâóìåðíûõ, òàê è äëÿ òðåõìåð-
íûõ ïîëåé. Îäíàêî, åñëè íå ïðèáåãàòü ê êàêèì-ëèáî ïðåîáðàçîâàíèÿì,
âîñïîëüçîâàòüñÿ êîíöåïöèåé ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ íå âñåãäà âîçìîæíî. Ýòî
îòíîñèòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ê ÝÌÏ.
Ñóùåñòâåííî ðàñøèðÿåò îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ êîíöåïöèè ìàãíèòíûõ
çàðÿäîâ ìåòîä ñâåäåíèÿ âèõðåâûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé ê ïîòåíöèàëüíûì [9].
Âìåñòå ñ òåì, ïðèìåíåíèå ýòîãî ýôôåêòèâíîãî ìåòîäà ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì
äîïîëíèòåëüíîé çàäà÷è ìèíèìèçàöèè îáúåìîâ, çàíèìàåìûõ ìàãíèòíûìè
ìàññàìè.  ðÿäå ñëó÷àåâ ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿ ââåäåíèåì îáúåìíûõ ìàãíèò-
íûõ ìàññ â îáëàñòè, çàíÿòîé òîêàìè, ïðîñòûõ è äâîéíûõ ìàãíèòíûõ ñëîåâ
íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêîâ è íà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè â îáëàñòè, íå
çàíÿòîé òîêàìè.
Ê ïîñòðîåíèþ óíèâåðñàëüíûõ àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì ðàñ÷åòà ìàãíèò-
íûõ ïîëåé è ïàðàìåòðîâ ÝÌÏ ñ ëþáîé êîíñòðóêöèåé ìàãíèòîïðîâîäà è
îáìîòîê ñ ó÷åòîì ìàññèâíûõ êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ (çàãîòîâêà, êðèñ-
òàëëèçàòîð, îáå÷àéêà, êîæóõ ÝÌÏ, êîðïóñ ÌÍËÇ) âåäåò èñïîëüçîâàíèå
êîíöåïöèè ñâÿçàííûõ ÒÍ è ñîîòâåòñòâóþùèõ ÈÓ [10], êîòîðûå äëÿ êðàò-
êîñòè áóäåì íàçûâàòü òîêîâûìè â îòëè÷èå îò óïîìÿíóòûõ âûøå çàðÿ-
äîâûõ. Òîêîâûå ÈÓ â òðåõìåðíûõ è íåêîòîðûõ äâóìåðíûõ ïîëÿõ — âåê-
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
96 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
òîðíûå. Ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ èõ îïèñàíû â ëèòåðàòóðå ïðèìå-
íèòåëüíî ê òðàíñôîðìàòîðàì òîêîâ [11].
Òîêîâîå ÈÓ äëÿ ÝÌÏ. Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ÝÌÏ, ó êîòîðî-
ãî â îáúåìå ìàãíèòîïðîâîäà V
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü �
ïîñòîÿííà.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:V0 èV � — îáúåìû îáìîòîê è îêðóæàþùåãî ìàãíèòî-
ïðîâîä è îáìîòêè ïðîñòðàíñòâà; îáúåì îáìîòîê ðàâåí ñóììå îáúåìîâ
ôàçíûõ îáìîòîê,
V V V Vk
k
k k
k
0 0
1
3
0 0
1
3
� � � � ��
� �
� �( ),
ãäå V k0 , �V k0 , ��V k0 — îáúåì îáìîòêè k-é ôàçû, ïåðâîé è âòîðîé ïîëîâèíû
îáìîòêè k-é ôàçû, k �1 2 3, , ; S — ïîâåðõíîñòü ìàãíèòîïðîâîäà; �0 —
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü â îáúåìàõV0 èV � ; �0( , )Q t — âåêòîð ïëîòíîñòè
òîêà â òî÷êå Q îáìîòêè.
Ïðè âûâîäå òîêîâîãî ÈÓ áóäåì èñõîäèòü èç óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè
S, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè B:
n
B B
Q
Q t Q t
,
( , ) ( , )�
�
�
�
�
�
� �� � �
0 0
0,
(1)
ãäå nQ — íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå Q, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå
êîòîðîé ïðèíÿòî èç îáúåìàV
â îáúåìV � ; B
�( , )Q t è B
( , )Q t — çíà÷åíèÿ
âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè B â Q òî÷êå ñî ñòîðîíû îáúåìîâ ñîîòâåòñò-
âåííî V �èV
.
Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà ñðåä âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè
B èñïûòûâàåò ñêà÷îê:
B B n
�
�( , ) ( , ) [ ( , ), ]Q t Q t Q t Q� �0 , (2)
ãäå � ( , )Q t — âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà íàìàãíè÷åííîñòè â òî÷êå Q S� .
Ñîîòíîøåíèå (2) ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùèì äâóì:
B B
n� � �( , ) ( , )
[ ( , ), ]
Q t Q t
Q t Q0 0
2
� �
,
B B
n
�
( , ) ( , )
[ ( , ), ]
Q t Q t
Q t Q0 0
2
� �
,
(3)
ãäå B
0( , )Q t — âåêòîð èíäóêöèè íà ãðàíèöå S, îáóñëîâëåííûé âñåìè
òîêàìè �0 è�, çà èñêëþ÷åíèåì ýëåìåíòà òîêà� ( , )Q t dsQ . Ïîäñòàâëÿÿ (3) â
ñîîòíîøåíèå (1), ïîëó÷àåì
n
2
B n nQ Q QQ t Q t
�
�
�
0
0 0( , ) [ [ ( , ), ]]
�
�
�
�
�
� � � ,
(4)
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 97
ãäå
�
�
�
�
�
1
1
.
Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî âåêòîðíîé àëãåáðû è ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî âåêòîð
� ( , )Q t ëåæèò â êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå Q ïëîñêîñòè, ïðå-
îáðàçóåì âòîðîå ñëàãàåìîå â ðàâåíñòâå (4) ê ñëåäóþùåìó âèäó:
� �( , ) [ [ ( , ), ]]Q t Q tQ Q� n n . (5)
Ïîäñòàâëÿÿ (5) â (4), ïîëó÷àåì
� �
�
�
( , ) ( , )Q t Q tQ�
�
�
�
�
�
� �n
2
B
0
0 0.
(6)
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè â ëþáîé òî÷êå
ïðîñòðàíñòâà, â òîì ÷èñëå è íà ãðàíèöå S, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþ-
ùåì âèäå:
B B B B B B( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t Q t Q t Q t Q t Q t� � � � � �� �0 0 0� � , (7)
ãäå
B
r
0
0
34
0
( , )
( , )]
Q t
M t
r
dv
V
QM
QM
M� �
�
�
��[
; B
r
�
�
�
�
( , )
( , )]
Q t
M t
r
ds
S
QM
QM
M� �0
34
[
;
� �
�
�
�
�B
r
0
0
34
1
3
0
( , )
( , )]
Q t
M t
r
dv
k
kV
QM
QM
M
�
�
��[
;
�� �
�
�
��
�B
r
0
0
34
1
3
0
( , )
( , )]
Q t
M t
r
dv
k
kV
QM
QM
M
�
�
��[
;
rQM — ðàäèóñ-âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç òî÷êè Q â òî÷êó M è ðàâíûé
ðàññòîÿíèþ ìåæäó òî÷êàìè Q è M. Ïîäñòàâëÿÿ (7) â (6), ïîëó÷àåì ñëå-
äóþùåå òîêîâîå ÈÓ äëÿ âåêòîðà ïëîòíîñòè ÒÍ íà ïîâåðõíîñòè S ìàãíè-
òîïðîâîäà ÝÌÏ:
�
�
�
� �
�
��
( , )
[ [ ( , )]] [ [ (
Q t
M t
r
ds
MQ QM
QMS
M
Q QM� �
�2 23
n r n r , )]]t
r
dv
QMV
M3
0
� ,
Q S� . (8)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
Äëÿ êðàòêîñòè çàïèøåì ÂÈÓ (8) â îïåðàòîðíîé ôîðìå:
2�
�
� � �
��( , )Q t D Dss so� , Q S� . (9)
Çäåñü
D
M t
r
dsss
S
QM
QM
M�
�
� �
[ Qn [r ( , )]]
3
, Q S� ,
D
M t
r
dvso
V
QM
QM
M�
�
�
�� �
0
3
[ [Qn r ( , )]]
, Q S� .
(10)
Âûøå áûëî ïðèíÿòî äîïóùåíèå î òîì, ÷òî êàæäàÿ ïîëîâèíà îáìîòêè
ÿâëÿåòñÿ æãóòîì ñ äîñòàòî÷íî ìàëûì äèàìåòðîì ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Ïðè ýòîì äîïóùåíèè (10) ïðèíèìàåò âèä
D
M t
r
dvso
V
QM
QM
M
k V
QM�
� �
�
� �� �� � �
�
0 0
3
1
3[ [ [ [Q Qn r n r( , )]] ( , )]]M t
r
dv
QM
M3
�
� � � ��
� �
� �W D W D
k
Sk k
k
Sk k
1
3
1
3
i i .
(11)
Çäåñü
� �
�
�D
M t
r
dlSk k
L
QM k
QM
M
k
i
n r i
0
3
[ [Q ( , )]]
, Q S� ,
�� �
��
�D
M t
r
dlSk k
L
QM k
QM
M
k
i
n r i
0
3
[ [Q ( , )]]
, Q S� ;
�L k0 è ��L k0 — îñåâûå ëèíèè ïåðâîãî è âòîðîãî æãóòîâ îáìîòêè k-é ôàçû;
i k M t( , ) — ìãíîâåííûé âåêòîð òîêà â òî÷êå M îñåâîé ëèíèè L L Lk k k0 0 0� � � ��
îáìîòêè k-é ôàçû, i lk k kM t M i t( , ) ( ) ( )� , ãäå l k M( ) — îðò êàñàòåëüíîé ê
ëèíèè L k0 â òî÷êå M, õàðàêòåðèçóþùèé ïðîòåêàíèå òîêà â ïðîñòðàíñòâå.
Åãî íàïðàâëåíèå ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà i tk ( ) â
îáìîòêå k-é ôàçû.
Ïîäñòàâèâ (11) â (9), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ÂÈÓ äëÿ ÝÌÏ:
2
1
3
1
3�
�
� � �
( , )Q t D W D W Dss
k
Sk k
k
Sk k� �
��
� �
� �i i , Q S� . (12)
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 99
Ðàçëîæåíèå âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ñèììåòðè÷íûå
ñîñòàâëÿþùèå. Â îñíîâå ïðåäëîæåííîé ìîäåëè ëåæèò ðàçëîæåíèå ðå-
çóëüòèðóþùåãî ÂÌÏ íà òðè ÑÑ [5]. Ïåðâàÿ ÑÑ ñîçäàåòñÿ òîêîì â îáìîòêå
ïåðâîé ôàçû ïðè íóëåâûõ òîêàõ â îáìîòêàõ âòîðîé è òðåòüåé ôàç. Àíà-
ëîãè÷íî âòîðàÿ è òðåòüÿ ÑÑ ñîçäàþòñÿ òîêàìè â îáìîòêàõ ñîîòâåòñòâåííî
âòîðîé è òðåòüåé ôàç. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÂÌÏ â ïðîñò-
ðàíñòâå â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ìîäåëèðóåòñÿ â ýòîò ìîìåíò ïåðâàÿ ÑÑ.
Ïîëå âòîðîé ÑÑ ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîì ïåðâîé ÑÑ âîêðóã îñè ñèñòåìû íà
120° ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è óìíîæåíèåì ïîëó÷åííîé êàðòèíû ïîëÿ íà
îòíîøåíèå çíà÷åíèÿ òîêà âî âòîðîé îáìîòêå â äàííûé ìîìåíò ê çíà÷åíèþ
òîêà â ïåðâîé îáìîòêå. Ïîëå òðåòüåé ÑÑ ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîì ïåðâîé ÑÑ
âîêðóã îñè ñèñòåìû íà 120° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè è óìíîæåíèåì ïîëó-
÷åííîé êàðòèíû ïîëÿ íà îòíîøåíèå çíà÷åíèÿ òîêà â òðåòüåé îáìîòêå â
äàííûé ìîìåíò ê çíà÷åíèþ òîêà â ïåðâîé îáìîòêå.
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïåðâîé ÑÑ èñïîëüçóåì ÂÈÓ (12) äëÿ ïåðâîé ÑÑ:
2
1 1 1 1 1 1
�
�
� � �
( , )Q t D WD WDSS S S� � ��i i , Q S� . (13)
Âûäåëåíèå èç èñõîäíîãî ÂÈÓ (13) ÂÈÓ ñî ñêàëÿðíûì ÿäðîì. Îäèí
èç ïóòåé óïðîùåíèÿ ÂÈÓ (13) ñîñòîèò â âûäåëåíèè èç íåãî ÂÈÓ ñî ñêà-
ëÿðíûì ÿäðîì. Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì îïåðàòîð
D
M t
r
dsSS
S
Q QM
QM
M�
�
1
1
3
� �
[ [n r ( , )]]
, Q S� ,
(14)
âîñïîëüçîâàâøèñü èçâåñòíûì âåêòîðíûì òîæäåñòâîì [ [ ]] ( )a bc b ac�
c ab( ). Ïðèìåíèâ åãî ê ÷èñëèòåëþ ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ (14),
ïîëó÷èì
[ [n r r n n rQ QM QM Q Q QMM t M t M t� � �1 1 1( , )]] ( ( , )) ( , ) ( )�
. (15)
Ïîäñòàâèâ (15) â (14), çàïèøåì
D
M t
r
ds
r
M tSS
S
QM Q
QM
M
S
Q QM
QM
�
�
�1
1
3 3 1�
� �
r n n r( (( , )) )
( , ) dsM . (16)
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì îïåðàòîðû �DS1 1i è ��DS1 1i :
� � �
�
�D
M t
r
dlS
L
Q QM
QM
M1 1
1
3
01
i
n r i[ [ ( , )]]
�
� �
� �
L
QM Q
QM
M
L
Q QM
QM
M t
r
dl
r
M t
01 01
1
3 3 1
r n i n r
i
( (( , )) )
( , ) dl M , Q S� , (17)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
�� � �
��
�D
M t
r
dlS
L
Q QM
QM
M1 1
1
3
01
i
n r i[ [ ( , )]]
�
�� ��
� �
L
QM Q
QM
M
L
Q QM
QM
M t
r
dl
r
M
01 01
1
3 3 1
r n i n r
i
( (( , )) )
( , )t dl M , Q S� . (18)
Ïîäñòàâëÿÿ (16)—(18) â (13), ïîëó÷àåì:
2
1 3 1
1�
�
� �
�
( , )
)
( , )
( , )
Q t
r
M t ds
M t
S
Q QM
QM
M
S
QM Q
�� �
( (n r r n )
( , )
r
ds Q t
QM
M3 1= F ,
Q S� , (19)
ãäå
F
r n i n r
1
1
3
01 01
( , )
( , )) )
Q t W
M t
r
dl W
L
QM Q
QM
M
L
Q QM�
�
� �
� �
( (
r
M t dl
QM
M3 1i ( , )
�
�� ��
� �W
M t
r
dl W
r
L
QM Q
QM
M
L
Q QM
QM
01 01
1
3 3 1
r n i n r
i
( (( , )) )
( , )M t dl M .
Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (19) èòåðàöèîííûì ìåòîäîì ïî ñõåìå
2
1 3 1
�
�
� �j
S
Q QM
QM
j
MQ t
r
M t ds( , )
)
( , )
��
(n r
�
�
F
r n
1
1
1
3
( , )
( , ))
Q t
M t
r
ds
S
QM Q
j
QM
M
( �
, Q S� ,
íà êàæäîì øàãå ðåøàåòñÿ ÂÈÓ ñî ñêàëÿðíûì ÿäðîì.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (19) ñîïðÿæåíî ñ
áîëüøèì îáúåìîì èçáûòî÷íûõ âû÷èñëåíèé. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî òåì, ÷òî â
ïîëå ïåðâîé ÑÑ èìåþò ìåñòî ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ
ïëîñêîñòåé, êîòîðûå â óðàâíåíèè (19) íå ó÷òåíû. Ïîýòîìó ïðåæäå ÷åì
÷èñëåííî ðåøàòü óðàâíåíèå (19) åãî íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü ñ ó÷åòîì
óêàçàííûõ ñèììåòðèé.
Ïðåîáðàçîâàíèå ÂÈÓ (19) ê ñèñòåìå ñêàëÿðíûõ ÈÓ â äåêàðòîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïðåäñòàâèì â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòî-
ðû, âõîäÿùèå â ÂÈÓ (19),
� � � �1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t Q t Q t Q tx x y y z z� � �e e e ,
i e e e1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )M t i M t i M t i M tx x y y z z� � � , (20)
n e e eQ n x n y n zQ Q Q� � �� !( ) ( ) ( ) ,
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 101
ãäå
� !n Q x n Q y n Q zQ Q Q( ) cos ( , ), ( ) cos ( , ), ( ) cos ( , )� � �n e n e n e ,
r e e e rQM M Q x M Q y M Q z QM QMx x y y z z r�
�
�
�( ) ( ) ( ) 0 ,
r
r
e e eQM
QM
QM
r x r y r z
r
Q M Q M Q M0 � � � �� !( , ) ( , ) ( , ) , (21)
� r
M Q
QM
Q M
x x )
r
( , ) �
(
, r
M Q
QM
Q M
y y
r
( , ) �
( )
, ! r
M Q
QM
Q M
z z
r
( , ) �
( )
.
Ïîäñòàâëÿÿ (20), (21) â (19), ïîëó÷àåì ñèñòåìó òðåõ ñêàëÿðíûõ ÈÓ
2
1 0 1
�
�
� �
x
S
x MQ t P Q M M t dl( , ) ( , ) ( , )
��
�
� �
�
S
n x n y n z
QM
r
Q M t Q M t Q M t
r
� � � ! �
�
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
1 1 1
2
( )
( , )Q M dsM �
�F Q tx1 ( , ), Q S� , (22)
2
1 0 1
�
�
� �
y
S
y MQ t P Q M M t dl( , ) ( , ) ( , )
��
�
� �
�
S
n x n y n z
QM
r
Q M t Q M t Q M t
r
� � � ! �
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
1 1 1
2
( )
( , )Q M dsM �
�F Q ty1 ( , ), Q S� , (23)
2
1 0 1
�
�
� �
z
S
z MQ t P Q M M t dl( , ) ( , ) ( , )
��
�
� �
�
S
n x n y n z
QM
r
Q M t Q M t Q M t
r
� � � ! �
!
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
1 1 1
2
( )
( , )Q M dsM �
�F Q tz1 ( , ), Q S� , (24)
ãäå
F Q t W
Q i M t Q i M t Q i M
x
n x n y n z
1
1 1 1
( , )
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ,
�
� �� ! t
rQML
)
2
01�
� "
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
" �
�
�� �r M x M
L
Q M dl W P Q M i M t dl( , ) ( , ) ( , )1
01
� �
��
W
Q i M t Q i M t Q i M t
r
n x n y n z
QML
� !( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
1 1 1
2
01
� �� r MQ M dl( , )
�
��
�W P Q M i M t dlx M
L
�( , ) ( , )1
01
;
F Q t W
Q i M t Q i M t Q i M
y
n x n y n z
1
1 1 1
( , )
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ,
�
� �� ! t
rQML
)
2
01�
� "
" �
�
� �r M y M
L
Q M dl W P Q M i M t dl( , ) ( , ) ( , )
01
� �
��
W
Q i M t Q i M t Q i M t
r
n x n y n z
QML
� !( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
1 1 1
2
01
� � r MQ M dl( , )
�
��
�W P Q M i M t dly M
L
�( , ) ( , )
01
;
F Q t W
Q i M t Q i M t Q i M
z
n x n y n z
1
1 1 1
( , )
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ,
�
� �� ! t
rQML
)
2
01�
� "
" �
�
�! �r M z M
L
Q M dl W P Q M i M t dl( , ) ( , ) ( , )1
01
� �
��
W
Q i M t Q i M t Q i M t
r
n x n y n z
QML
� !( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
1 1 1
2
01
� �! r MQ M dl( , )
�
��
�W P Q M i M t dlz M
L
�( , ) ( , )1
01
;
P Q M
r
Q QM
QM
�( , )
)
�
(n r
3
.
Ïðåîáðàçîâàíèå ñèñòåìû ÈÓ (22)—(24) ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî
êîîðäèíàòå x ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðâîé ÑÑ. Ââåäåì êîýôôèöèåíòû ñèì-
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 103
ìåòðèè: a — êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé ñîîòíîøåíèÿ ñèììåòðèè â
ïðîåêöèè íà îñü x çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà òîêà â îáìîòêå ïåðâîé
ôàçû i x1 :
i Q a i Qx x x x1 1( ) ( )� , i Q a i Qx y y x1 1( ) ( )� , i Q a i Qz z z z1 1( ) ( )� . (25)
Çäåñü Q — òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè xQ , yQ , zQ ; Qx— òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè
xQ , yQ , zQ ; Q y — òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè xQ ,
yQ , zQ ; Q z — òî÷êà ñ
êîîðäèíàòàìè xQ , yQ ,
zQ .
Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ çàïèøåì äëÿ � x :
� �x x x xQ a Q( ) ( )� , � �x y y xQ a Q( ) ( )� , � �x z z xQ a Q( ) ( )� ; (26)
b — êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé ñîîòíîøåíèÿ ñèììåòðèè â ïðîåêöèè
íà îñü y çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà òîêà â îáìîòêå ïåðâîé ôàçû i y1 ,
i Q b i Qy x x y1 1( ) ( )� , i Q b i Qy y y y1 1( ) ( )� , i Q b i Qy z z y1 1( ) ( )� . (27)
Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ � y èìåþò âèä
� �y x x yQ b Q( ) ( )� , � �y y y yQ b Q( ) ( )� , � �y z z yQ b Q( ) ( )� ; (28)
c — êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé ñîîòíîøåíèÿ ñèììåòðèè â ïðîåêöèè
íà îñü z çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà òîêà â îáìîòêå ïåðâîé ôàçû i z1 ,
i Q c i Qz x x z1 1( ) ( )� , i Q c i Qz y y z1 1( ) ( )� , i Q c i Qz z z z1 1( ) ( )� . (29)
Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ � z :
� �z x x zQ c Q( ) ( )� , � �z y y zQ c Q( ) ( )� , � �z z z zQ c Q( ) ( )� . (30)
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: S x — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S, ëåæàùàÿ
â ïîëóïðîñòðàíñòâå x # 0, ò.å. S x — ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê M x , åñëè
òî÷êà M ïðèíàäëåæèò S. Êîíòóð ��L01 ëåæèò â ïîëóïðîñòðàíñòâå x # 0, ò.å. ��L01
— ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê M x , åñëè òî÷êà M ïðèíàäëåæèò �L01.
Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (25)—(30) óðàâíåíèÿ (22)—(24) ïðåîáðàçóþò-
ñÿ ê âèäó
2
1
�
�
�
x
Q t( , )
�
� �
S S
x
x
x M n
S S
x
x
x
x x
P Q M M t ds Q A Q M M( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ,� � �
1 1
t dsM) �
� �
� � � ! �n
S S
x
y
y M n
S S
x
zQ A Q M M t ds Q A Q M
x x
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )
1 1z MM t ds( , ) �
�F Q tx
x
1 ( , ), Q S S x�
, (31)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
2
1
�
�
�
y
Q t( , )
�
� �
S S
x
y
y M n
S S
x
x
x
x x
P Q M M t ds Q B Q M M( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ,� � �
1 1
t dsM) �
� �
� � � ! �n
S S
x
y
y M n
S S
x
zQ B Q M M t ds Q B Q M
x x
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )
1 1z MM t ds( , ) �
�F Q t
x
y
1
( , ), Q S S x�
, (32)
2
1
�
�
�
z
Q t( , )
�
� �
S S
x
z
z M n
S S
x
x
x
x x
P Q M M t d s Q G Q M M( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ,� � �
1 1
t d sM) �
� �
� � � ! �n
S S
x
y
y M n
S S
x
zQ G Q M M t ds Q G Q M
x x
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )
1 1z MM t ds( , ) �
�F Q tx
z
1 ( , ), Q S S x�
, (33)
ãäå
F Q t W Q A Q M i M t dlx
x
n
L
x
x
x M1 1
01
( , ) ( ) ( , ) ( , )�
�
��
� �
� �W Q A Q M i M t dl W Q A Q Mn
L
x
y
y M n
L
x
z !( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ,
01 01
1
) ( , )i M t dl
z M1
�
�
�
�W P Q M i M t dl
L
x
x
x M
01
1
( , ) ( , ) ,
P Q M P Q M a P Q Mx
x
x x( , ) ( , ) ( , )� �
0 0
, A Q M
Q M
r
a Q M
r
x
x r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
� �
2 2
,
A Q M
Q M
r
b Q M
r
x
y r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
� �
2 2
, A Q M
Q M
r
c Q M
r
x
z r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
� �
2 2
;
F Q t W Q B Q M i M t dl
x
y
n x
x
x M
L
1 1
01
( , ) ( ) ( , ) ( , )�
�
��
�
�W Q B Q M i M t dl W Q B Q M in x
y
y M
L
n x
z
z !( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) (1 1
01
M t dl M
L
, ) �
�
�
01
�
�
�W P Q M i M t dl
L
x
y
y M
01
1( , ) ( , ) ,
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 105
P Q M P Q M b P Q Mx
y
x x( , ) ( , ) ( , )� �
0 0
, B Q M
Q M
r
a Q M
r
x
x r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
2 2
,
B Q M
Q M
r
b Q M
r
x
y r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
2 2
, B Q M
Q M
r
c Q M
r
x
z r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
2 2
;
F Q t W Q G Q M i M t dlx
z
n x
x
x M
L
1 1
01
( , ) ( ) ( , ) ( , )�
�
��
�
�W Q G Q M i M t dl W Q G Q M in x
y
y M
L
n x
z
z !( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) (1 1
01
M t dl M
L
, ) �
�
�
01
�
�
�W P Q M i M t dl
L
x
z
z M
01
1( , ) ( , ) ,
P Q M P Q M c P Q Mx
z
x x( , ) ( , ) ( , )� �
0 0
, G Q M
Q M
r
a Q M
r
x
x r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
! !
2 2
,
G Q M
Q M
r
b Q M
r
x
y r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
! !
2 2
, G Q M
Q M
r
c Q M
r
x
z r
QM
x r x
QM x
( , )
( , ) ( , )
� �
! !
2 2
.
Ïðåîáðàçîâàíèå óðàâíåíèé (31)—(33) ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî
êîîðäèíàòå y ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðâîé ÑÑ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
( )S S x y
— ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S S x
, ëåæàùàÿ â ïîëóïðîñòðàíñòâå y M # 0;
( )S S x
( )S S x y
— ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S, ÿâëÿþùàÿñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì
ìåñòîì òî÷åê M, ó êîòîðûõ x M � 0 è y M � 0; �L y01 — ÷àñòü êîíòóðà �L01,
ëåæàùàÿ â ïîëóïðîñòðàíñòâå y M # 0; �
�L L y01 01 — ÷àñòü êîíòóðà �L01, ÿâ-
ëÿþùàÿñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì òî÷åê M, ó êîòîðûõ x M � 0 è y M � 0.
 ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé (31)—(33) ñ ó÷åòîì ñèììåò-
ðèè ïî êîîðäèíàòå y ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðâîé ÑÑ ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ
ÑÈÓ:
2
1 1
�
�
� �
x
S S S S
xy
xx
x MQ t P Q M M t ds
x x y
( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
�
�
� �
�� �n
S S S S
xy
xx
x MQ A Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
� �
� �n
S S S S
xy
yy
y MQ A Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
� �
�! �n
S S S S
xy
zz
z MQ A Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
106 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
�F Q txy
xx
1 ( , ), Q S S S Sx x y�
( ) ( ) , (34)
2
1 1
�
�
� �
y
S S S S
xy
yy
y MQ t P Q M M t ds
x x y
( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
�
�
� �
�� �n
S S S S
xy
xx
x MQ B Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
� �
� �n
S S S S
xy
yy
y MQ B Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
� �
�! �n
S S S S
xy
zz
z MQ B Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
�F Q t
xy
yy
1
( , ), Q S S S Sx x y�
( ) ( ) , (35)
2
1 1
�
�
� �
z
S S S S
xy
zz
z MQ t P Q M M t ds
x x y
( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
�
�
� �
�� �n
S S S S
xy
xx
x MQ G Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
� �
� �n
S S S S
xy
yy
y MQ G Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
� �
�! �n
S S S S
xy
zz
z MQ G Q M M t ds
x x y
( ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1
�F Q txy
zz
1 ( , ), Q S S S Sx x y�
( ) ( ) , (36)
ãäå
F Q t W Q A Q M i M t dlxy
xx
n
L L
xy
xx
x
y
1 1
01 01
( , ) ( ) ( , ) ( , )�
�
�
�� M
�
�
�W Q A Q M i M t dln
L L
xy
yy
y M
y
( ) ( , ) ( , )
01 01
1
�
�
�
�W Q A Q M i M t dln
L L
xy
zz
z M
y
! ( ) ( , ) ( , )
01 01
1
�
�
�
�W P Q M i M t dl
L L
xy
xx
x M
y01 01
1
( , ) ( , ) ,
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 107
P Q M P Q M a P Q Mxy
xx
x
x
y x
x
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
A Q M A Q M a A Q Mxy
xx
x
x
y x
x
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
A Q M A Q M b A Q Mxy
yy
x
y
y x
y
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
A Q M A Q M c A Q Mxy
zz
x
z
y x
z
y( , ) ( , ) ( , )� � ;
F Q t W Q B Q M i M t d l
xy
yy
n
L L
xy
xx
x
y
1 1
01 01
( , ) ( ) ( , ) ( , )�
�
�
�� M
�
�
�W Q B Q M i M t d ln
L L
xy
yy
y M
y
( ) ( , ) ( , )
01 01
1
�
�
�
�W Q B Q M i M t d ln
L L
xy
zz
z M
y
! ( ) ( , ) ( , )
01 01
1
�
�
�
�W P Q M i M t d l
L L
xy
yy
y M
y01 01
1
( , ) ( , ) ,
P Q M P Q M b P Q Mxy
yy
x
y
y x
y
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
B Q M B Q M a B Q Mxy
xx
x
x
y x
x
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
B Q M B Q M b B Q Mxy
yy
x
y
y x
y
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
B Q M B Q M c B Q Mxy
zz
x
z
y x
z
y( , ) ( , ) ( , )� � ;
F Q t W Q G Q M i M t dlxy
zz
n
L L
xy
xx
x
y
1 1
01 01
( , ) ( ) ( , ) ( , )�
�
�
�� M
�
�
�W Q G Q M i M t dln
L L
xy
yy
y M
y
( ) ( , ) ( , )
01 01
1
�
�
�
�W Q G Q M i M t dln
L L
xy
zz
z M
y
! ( ) ( , ) ( , )
01 01
1
�
�
�
�W P Q M i M t dl
L L
xy
zz
z M
y01 01
1
( , ) ( , ) ,
P Q M P Q M c P Q Mxy
zz
x
z
y x
z
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
G Q M G Q M a G Q Mxy
xx
x
x
y x
x
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
G Q M G Q M b G Q Mxy
yy
x
y
y x
y
y( , ) ( , ) ( , )� � ,
G Q M G Q M c G Q Mxy
zz
x
z
y x
z
y( , ) ( , ) ( , )� � .
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
108 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
Ïðåîáðàçîâàíèå óðàâíåíèé (34)—(36) ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî
êîîðäèíàòå z ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðâîé ÑÑ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
[( ) ( ) ]S S S Sx x y z
— ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ( ) ( )S S S Sx x y
, ëåæàùàÿ â
ïîëóïðîñòðàíñòâå z # 0; S S S S S S S S Sx x y x x y z
1 �
[( ) ( ) ] [( ) ( ) ] —
÷àñòü ïîâåðõíîñòè S, ëåæàùàÿ â ïåðâîì îêòàíòå ñèñòåìû êîîðäèíàò x, y, z;
åñëè M S� 1, òî x M � 0, y M � 0, z M � 0; ( )�
�L L y z01 01 — ÷àñòü êîíòóðà �
L01
�L y01 , ëåæàùàÿ â ïîëóïðîñòðàíñòâå z # 0; L L L L Ly y z01 01 01 01 01
* ( ) ( )� �
�
�
� —
÷àñòü êîíòóðà �L01, ëåæàùàÿ â ïåðâîì îêòàíòå ñèñòåìû êîîðäèíàò x, y, z;
åñëè M L� 01
* , òî x M � 0, y M � 0, z M � 0.
 ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé (34)—(36) ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè
ïî êîîðäèíàòå z ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðâîé ÑÑ ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ ÑÈÓ:
2
1 1
1
�
�
� �
x
S
xyz
xxx
x MQ t P Q M M t ds( , ) ( , ) ( , )
��
� ��� �n
S
xyz
xxx
x MQ A Q M M t ds( ) ( , ) ( , )
1
1
�n
S
xyz
yyy
y MQ A Q M M t ds( ) ( , ) ( , )
1
1� �
� ��! �n
S
xyz
zzz
z MQ A Q M M t ds( ) ( , ) ( , )
1
1
F Q txy
xxx
1 ( , ), Q S� 1, (37)
2
1 1
1
�
�
� �
y
S
xyz
yyy
y MQ t P Q M M t ds( , ) ( , ) ( , )
��
� ��� �n
S
xyz
xxx
x MQ B Q M M t d s( ) ( , ) ( , )
1
1
�n
S
xyz
yyy
y MQ B Q M M t ds( ) ( , ) ( , )
1
1� �
� ��! �n
S
xyz
zzz
z MQ B Q M M t ds( ) ( , ) ( , )
1
1
F Q t
xyz
yyy
1
( , ), Q S� 1, (38)
2
1 1
1
�
�
� �
z
S
xyz
zzz
z MQ t P Q M M t ds( , ) ( , ) ( , )
��
� ��� �n
S
xyz
xxx
x MQ G Q M M t ds( ) ( , ) ( , )
1
1
�n
S
xyz
yyy
y MQ G Q M M t ds( ) ( , ) ( , )
1
1� �
� ��! �n
S
xyz
zzz
z MQ G Q M M t ds( ) ( , ) ( , )
1
1
F Q txyz
zzz
1 ( , ), Q S� 1, (39)
ãäå
F Q t W Q A Q M i M t dlxy
xxx
n
L
xyz
xxx
x M1 1
01
1
( , ) ( ) ( , ) ( , )�
��
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 109
�W Q A Q M i M t dln
L
xyz
yyy
y M ( ) ( , ) ( , )
01
1
1
��W Q A Q M i M t dln
L
xyz
zzz
z M! ( ) ( , ) ( , )
01
1
1
� �W P Q M i M t dl
L
xyz
xxx
x M
01
1
1
( , ) ( , ) ,
P Q M P Q M a P Q Mxyz
xxx
xy
xx
z xy
xx
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
A Q M A Q M a A Q Mxyz
xxx
xy
xx
z xy
xx
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
A Q M A Q M b A Q Mxyz
yyy
xy
yy
z xy
yy
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
A Q M A Q M c A Q Mxyz
zzz
x
zz
z x
zz
z( , ) ( , ) ( , )� � ;
F Q t W Q B Q M i M t dl
xyz
yyy
n
L
xyz
xxx
x M1 1
01
( , ) ( ) ( , ) ( , )
*
�
��
�W Q B Q M i M t dln
L
xyz
yyy
y M ( ) ( , ) ( , )
*
01
1
��W Q B Q M i M t dln
L
xyz
zzz
z M! ( ) ( , ) ( , )
*
01
1
� �W P Q M i M t d l
L
xyz
yyy
y M
01
1
*
( , ) ( , ) ,
P Q M P Q M b P Q Mxyz
yyy
xy
yy
z xy
yy
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
B Q M B Q M a B Q Mxyz
xxx
xy
xx
z xy
xx
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
B Q M B Q M b B Q Mxyz
yyy
xy
yy
z xy
yy
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
B Q M B Q M c B Q Mxyz
zzz
xy
zz
z xy
zz
z( , ) ( , ) ( , )� � ;
F Q t W Q G Q M i M t dlxyz
zzz
n
L
xyz
xxx
x M1 1
01
( , ) ( ) ( , ) ( , )
*
�
��
�W Q G Q M i M t dln
L
xyz
yyy
y M ( ) ( , ) ( , )
*
01
1
��W Q G Q M i M t dln
L
xyz
zzz
z M! ( ) ( , ) ( , )
*
01
1
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
110 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
� �W P Q M i M t dl
L
xyz
zzz
z M
01
1
*
( , ) ( , ) ,
P Q M P Q M c P Q Mxyz
zzz
xy
zz
z xy
zz
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
G Q M G Q M a G Q Mxyz
xxx
xy
xx
z xy
xx
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
G Q M G Q M b G Q Mxyz
yyy
xy
yy
z xy
yy
z( , ) ( , ) ( , )� � ,
G Q M G Q M c G Q Mxyz
zzz
xy
zz
z xy
zz
z( , ) ( , ) ( , )� � .
Âûâîäû. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ñêàëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
(31)—(33) ýêâèâàëåíòíà òîêîâîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ (13) äëÿ
ïåðâîé ñèììåòðè÷íîé ñîñòàâëÿþùåé âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ. Â íåé ó÷òåíû ñèììåòðèè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ïåðâîé ñèììåòðè÷íîé ñîñòàâëÿþùåé îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ
ïëîñêîñòåé XOY , XOZ, YOZ. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû åñòü îäíà
âîñüìàÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà S, ëåæàùàÿ â ïåðâîì îêòàíòå.
Ïîðÿäîê ìàòðèö, àïïðîêñèìèðóþùèõ èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû â óðàâ-
íåíèÿõ (37)—(39) ñóùåñòâåííî íèæå ïîðÿäêà ìàòðèö, àïïðîêñèìèðóþ-
ùèõ èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû â èñõîäíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé (22)—(24).
Ïðåäëîæåííàÿ òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ðàçðàáà-
òûâàåìûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ áîëåå ñëîæíûõ ìîäåëåé, à èìåííî: òðåõ-
ìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäè-
íàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð—ÝÌÏ, à òàê æå òðåõìåðíàÿ
èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè-
÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð—äâà ñîîñíûõ ÝÌÏ.
A three-dimensional integral model of a rotating magnetic field for electromagnetic stirrer is of-
fered. The decomposition of the rotating magnetic field on three symmetric components (SÑ) lies
in the basis of the model. To simulate the first SÑ the vector integral equation for the magnetized
currents density is used, which is reduced to the system of three scalar equations. These equations
are transformed taking into account symmetry of the first SÑ in relation to co-ordinate planes.
1. Lehman A., Sjoden O., Kuchaev A. Electromagnetic Equipment for Noncontacting Treat-
ment of Liquid Metal in Metallurgical Processes // Magnetohydrodynamics. — 2006. — 42,
No. 2 — 3. — Ð. 3—10.
2. Miki Y. Applications of MHD to Continuous Casting of Steel // Proc. the 5th Int. Symposium on
Electromagnetic Processing of Materials. — Sendai, Japan, 27 June—1 July, 2006. — P. 26—
30.
3. Tallb��ack G. R., Lavers J. D., Beitelman L. S. Simulation and Measurement of EMS Induced
Fluid Flow in Billet/Bloom Casting Systems // Proc. Int. Congress Electromagn. Process of
Materials. Lyon, 14—17 October, 2003. — Lyon, 2003. — P. 33—36.
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 111
4. Íàéäåê Â. Ë., Äóáîäåëîâ Â. È., Åâäîêèìîâ Â. Ô. è äð. Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôå-
ðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â
ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð-èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ
çàãîòîâîê // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2004. — 26, ¹ 1. — Ñ. 30—52.
5. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Ïåòðóøåíêî Å. È. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ñèììåòðè÷íûõ
ñîñòàâëÿþùèõ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðåâûõ òîêîâ â ñå÷åíèè ñèñòåìû êðèñòàëëèçàòîð—
èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü // Òàì æå. — 2005. — 27, ¹ 1. — Ñ. 73—96.
6. Äóáîäåëîâ Â. È., Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êîíäðàòåíêî È. Ï. è äð. Áëî÷íûé àëãîðèòì
ðåàëèçàöèè äâóìåðíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðå-
âûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â êðèñòàëëèçàòîðå ñ èíäóêöèîííûì ïåðå-
ìåøèâàòåëåì // Òàì æå. — 2005. — 27, ¹ 4. — Ñ. 57—74.
7. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êó÷àåâ À. À., Ïåòðóøåíêî Å. È., Êàñüÿí Ã. È. Äâóìåðíàÿ èíòå-
ãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè-
÷åñêèõ óñèëèé â êðèñòàëëèçàòîðå ñ ÿâíîïîëþñíûì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïåðåìåøèâà-
òåëåì // Òàì æå. — 2010. — 32, ¹ 1. — Ñ. 53—75.
8. Òîçîíè Î. Â. Ìåòîä âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ â ýëåêòðîòåõíèêå. — Ì. : Ýíåðãèÿ, 1975. —
296 ñ.
9. Äåìèð÷àí Ê. Ñ., ×å÷óðèí Â. Ë. Ðàñ÷åò âèõðåâûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé íà îñíîâå èñïîëüçîâà-
íèÿ ñêàëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà // Ýëåêòðè÷åñòâî. — 1982. — 4, ¹ 1. — Ñ. 7—14.
10. Ïåòðóøåíêî Å. È. Ê ðàñ÷åòó òðåõìåðíûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ñðå-
äàõ ñ ïîìîùüþ âåêòîðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
1983. — 5, ¹ 5. — Ñ. 27—32.
11. Ìîäåëèðîâàíèå íà ÝÂÌ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ëèíåéíîãî îäíîýëåìåíòíîãî
òðàíñôîðìàòîðà òîêà íà îñíîâå âåêòîðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ / Å. È. Ïåòðó-
øåíêî, À. È. Ïàøêî, Í. Ë. Òðîôèìóê, Ã. À. Ôèëèïïîâà; ÀÍ ÓÑÑÐ. Èí-ò ïðîáëåì
ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå — Ïðåïðèíò. — Êèåâ, 1986. — 46 ñ.
Ïîñòóïèëà 15.02.10
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè-
ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõ-
íè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû è óñòðîéñòâà äëÿ ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ
ñèñòåì.
ÊÓ×ÀÅ Àëåêñàíäð Àíäðååâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. îòäåëà ÌÃÄ Ôèçèêî- òåõíî-
ëîãè÷åñêîãî èí-òà ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ ÍÀÍ Óêðàèíû.  1978 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé èí-ò èíæå-
íåðîâ ãðàæäàíñêîé àâèàöèè. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðî-
ìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì ìàòå-
ìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåð-
ãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1960 ã. îêîí÷èë Íîâî÷åðêàññêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé
èí-ò, à â 1963 ã. — Ðîñòîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëè-
ðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÊÓ×ÀÅ Âèòàëèé Àëåêñàíäðîâè÷, èíæåíåð-êîíñòðóêòîð Îáùåñòâà ñ îãðàíè÷åííîé îòâåòñòâåí-
íîñòüþ «ËÀÌÈ».  2002 ã. îêîí÷èë Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «ÊÏÈ».
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
112 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12844 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:37:01Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. 2010-10-25T09:31:01Z 2010-10-25T09:31:01Z 2010 Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 93-112. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12844 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669 Предложена трехмерная интегральная модель вращающегося магнитного поля (ВМП) электромагнитного перемешивателя, построенная на основе разложения ВМП на три симметричные составляющие (СС). При моделировании первой СС применено векторное интегральное уравнение для плотности токов намагниченности, которое сводится к системе скалярных уравнений, преобразуемых с учетом симметрии первой СС относительно координатных плоскостей. Областью определения полученных интегральных уравнений является восьмая часть поверхности магнитопровода, лежащая в первом октанте. Запропоновано тривимірну інтегральну модель обертового магнітного поля електромагнітного перемішувача, побудовану на основі розкладання обертового магнітного поля на три симетричні складові (СС). При моделюванні першої СС використано векторне інтегральне рівняння для щільності струмів намагніченості, яке зводиться до системи трьох скалярних рівнянь, перетворюваних з урахуванням симетрії першої СС щодо координатних площин.Областю визначення одержаних інтегральних рівнянь є восьма частина поверхні магніто-провода, яка лежить у першому октанті. A three-dimensional integral model of a rotating magnetic field for electromagnetic stirrer is offered. The decomposition of the rotating magnetic field on three symmetric components (SÑ) lies in the basis of the model. To simulate the first SÑ the vector integral equation for the magnetized currents density is used, which is reduced to the system of three scalar equations. These equations are transformed taking into account symmetry of the first SÑ in relation to co-ordinate planes. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Применение методов и средств моделирования Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя Article published earlier |
| spellingShingle | Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. Применение методов и средств моделирования |
| title | Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя |
| title_full | Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя |
| title_fullStr | Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя |
| title_full_unstemmed | Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя |
| title_short | Трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя |
| title_sort | трехмерная интегральная модель магнитного поля электромагнитного перемешивателя |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12844 |
| work_keys_str_mv | AT evdokimovvf trehmernaâintegralʹnaâmodelʹmagnitnogopolâélektromagnitnogoperemešivatelâ AT kučaevaa trehmernaâintegralʹnaâmodelʹmagnitnogopolâélektromagnitnogoperemešivatelâ AT petrušenkoei trehmernaâintegralʹnaâmodelʹmagnitnogopolâélektromagnitnogoperemešivatelâ AT kučaevva trehmernaâintegralʹnaâmodelʹmagnitnogopolâélektromagnitnogoperemešivatelâ |