Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн
Показано, что требования конечности, однозначности и определенности волновой функции и плотности тока вероятности с необходимостью приводят к тому, что волновые функции электрона при приближении к магнитной струне должны по модулю убывать быстрее, чем корень квадратный расстояния до струны (магнитно...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2002
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/128715 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн / И.М. Дубровский // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 11. — С. 1183-1194. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-128715 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1287152025-02-09T11:36:53Z Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн Exact solution of the problem of an electron in a magnetic field consisting of a uniform field and arbitrarily arranged magnetic strings parallel to the uniform field Дубровский, И.М. Низкотемпеpатуpный магнетизм Показано, что требования конечности, однозначности и определенности волновой функции и плотности тока вероятности с необходимостью приводят к тому, что волновые функции электрона при приближении к магнитной струне должны по модулю убывать быстрее, чем корень квадратный расстояния до струны (магнитной струной называют бесконечно тонкий соленоид с конечным магнитным потоком). Получен энергетический спектр электрона, в общем случае совпадающий со спектром в отсутствие струн. Найден общий вид собственных функций основного состояния и оператор, действием степеней которого можно получить собственные функции возбужденных состояний. В случае, когда имеется только одна струна с магнитным потоком, не кратным удвоенному кванту потока, в энергетическом спектре появляется еще одна эквидистантная последовательность собственных значений. Она сдвинута по отношению к основной на долю интервала, равную положительной дробной части частного от деления магнитного потока на величину удвоенного кванта. Эта последовательность начинается от уровня, номер которого равен числу остальных магнитных струн. Получены также волновые функции для этих особых состояний. It is shown that the requirements of finiteness, single-valuedness, and definiteness of the wave function and probability current density necessarily lead to the fact that as a magnetic string is approached the wave functions of the electron must decrease in modulus more rapidly than the square root of the distance from the string (a magnetic string is an infinitely thin solenoid carrying a finite magnetic flux). The energy spectrum of an electron is obtained. In general the spectrum is identical to the spectrum in the absence of strings. The general form of the eigenfunctions of the ground state and an operator whose powers give the eigenfunctions of the excited states are found. When there is only one string with magnetic flux which is not a multiple of twice the flux quantum another equidistant sequence of eigenvalues appears in the energy spectrum. This sequence is shifted with respect to the main sequence by a fraction equal to the positive fractional part of the quotient obtained by dividing the magnetic flux by twice the flux quantum. This sequence starts from a level whose number equals the number of the remaining magnetic strings. The wave functions for these special states are also obtained. Показано, що вимоги скінченності, однозначності і визначенності хвильової функції та густини струму ймовірності з необхідністю призводять до того, що хвильові функції електрона при наближенні до магнітної струни повинні по модулю спадати швидче, ніж квадратний корінь з відстані до струни (магнітною струною називають нескінчено тонкий соленоїд з скінченим магнітним потоком). Одержано енергетичний спектр електрона, який у загальному випадку співпадає зі спектром у відсутності струн. Знайдено загальний вигляд власних функцій основного стану і оператор, діючи ступенями якого можна одержати власні функції збуджених станів. У випадку, коли існує тільки одна струна з магнітним потоком, що не є кратним подвоєному кванту потоку, у енергетичному спектрі виникає ще одна еквідістантна послідовність власних значень. Вона зсунута по відношенню до основної на частку інтервала, що дорівнює додатній дробовій частині частки від ділення магнітного потоку на величину подвоєного кванта. Ця послідовність починається від рівня, номер якого дорівнює кількості інших магнітних струн. Одержано також хвильові функції для цих особливих станів. 2002 Article Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн / И.М. Дубровский // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 11. — С. 1183-1194. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 03.65.Bz, 03.65.Ge https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/128715 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм |
| spellingShingle |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Дубровский, И.М. Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн Физика низких температур |
| description |
Показано, что требования конечности, однозначности и определенности волновой функции и плотности тока вероятности с необходимостью приводят к тому, что волновые функции электрона при приближении к магнитной струне должны по модулю убывать быстрее, чем корень квадратный расстояния до струны (магнитной струной называют бесконечно тонкий соленоид с конечным магнитным потоком). Получен энергетический спектр электрона, в общем случае совпадающий со спектром в отсутствие струн. Найден общий вид собственных функций основного состояния и оператор, действием степеней которого можно получить собственные функции возбужденных состояний. В случае, когда имеется только одна струна с магнитным потоком, не кратным удвоенному кванту потока, в энергетическом спектре появляется еще одна эквидистантная последовательность собственных значений. Она сдвинута по отношению к основной на долю интервала, равную положительной дробной части частного от деления магнитного потока на величину удвоенного кванта. Эта последовательность начинается от уровня, номер которого равен числу остальных магнитных струн. Получены также волновые функции для этих особых состояний. |
| format |
Article |
| author |
Дубровский, И.М. |
| author_facet |
Дубровский, И.М. |
| author_sort |
Дубровский, И.М. |
| title |
Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн |
| title_short |
Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн |
| title_full |
Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн |
| title_fullStr |
Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн |
| title_full_unstemmed |
Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн |
| title_sort |
точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2002 |
| topic_facet |
Низкотемпеpатуpный магнетизм |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/128715 |
| citation_txt |
Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн / И.М. Дубровский // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 11. — С. 1183-1194. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT dubrovskijim točnoerešeniezadačiobélektronevmagnitnompolesostoâŝemizodnorodnogopolâiparallelʹnyhemuproizvolʹnoraspoložennyhmagnitnyhstrun AT dubrovskijim exactsolutionoftheproblemofanelectroninamagneticfieldconsistingofauniformfieldandarbitrarilyarrangedmagneticstringsparalleltotheuniformfield |
| first_indexed |
2025-11-25T21:48:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:48:42Z |
| _version_ |
1849800606049370112 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11, ñ. 1183–1194
Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è îá ýëåêòðîíå â ìàãíèòíîì
ïîëå, ñîñòîÿùåì èç îäíîðîäíîãî ïîëÿ è
ïàðàëëåëüíûõ åìó ïðîèçâîëüíî ðàñïîëîæåííûõ
ìàãíèòíûõ ñòðóí
È. Ì. Äóáðîâñêèé
Èíñòèòóò ìåòàëëîôèçèêè èì. Ã. Â. Êóðäþìîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
áóë. Âåðíàäñêîãî, 36, ã. Êèåâ, 03680, Óêðàèíà
E-mail: lodub@dildub.kiev.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 4 ìàðòà 2002 ã.
Ïîêàçàíî, ÷òî òðåáîâàíèÿ êîíå÷íîñòè, îäíîçíà÷íîñòè è îïðåäåëåííîñòè âîëíîâîé
ôóíêöèè è ïëîòíîñòè òîêà âåðîÿòíîñòè ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî âîëíîâûå
ôóíêöèè ýëåêòðîíà ïðè ïðèáëèæåíèè ê ìàãíèòíîé ñòðóíå äîëæíû ïî ìîäóëþ óáûâàòü
áûñòðåå, ÷åì êîðåíü êâàäðàòíûé ðàññòîÿíèÿ äî ñòðóíû (ìàãíèòíîé ñòðóíîé íàçûâàþò
áåñêîíå÷íî òîíêèé ñîëåíîèä ñ êîíå÷íûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì). Ïîëó÷åí ýíåðãåòè÷åñêèé
ñïåêòð ýëåêòðîíà, â îáùåì ñëó÷àå ñîâïàäàþùèé ñî ñïåêòðîì â îòñóòñòâèå ñòðóí. Íàéäåí
îáùèé âèä ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ è îïåðàòîð, äåéñòâèåì ñòåïåíåé
êîòîðîãî ìîæíî ïîëó÷èòü ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé.  ñëó÷àå, êîãäà
èìååòñÿ òîëüêî îäíà ñòðóíà ñ ìàãíèòíûì ïîòîêîì, íå êðàòíûì óäâîåííîìó êâàíòó ïîòîêà,
â ýíåðãåòè÷åñêîì ñïåêòðå ïîÿâëÿåòñÿ åùå îäíà ýêâèäèñòàíòíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Îíà ñäâèíóòà ïî îòíîøåíèþ ê îñíîâíîé íà äîëþ èíòåðâàëà,
ðàâíóþ ïîëîæèòåëüíîé äðîáíîé ÷àñòè ÷àñòíîãî îò äåëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà íà âåëè÷èíó
óäâîåííîãî êâàíòà. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íà÷èíàåòñÿ îò óðîâíÿ, íîìåð êîòîðîãî ðàâåí
÷èñëó îñòàëüíûõ ìàãíèòíûõ ñòðóí. Ïîëó÷åíû òàêæå âîëíîâûå ôóíêöèè äëÿ ýòèõ îñîáûõ
ñîñòîÿíèé.
Ïîêàçàíî, ùî âèìîãè ñê³í÷åííîñò³, îäíîçíà÷íîñò³ ³ âèçíà÷åííîñò³ õâèëüîâî¿ ôóíêö³¿ òà
ãóñòèíè ñòðóìó éìîâ³ðíîñò³ ç íåîáõ³äí³ñòþ ïðèçâîäÿòü äî òîãî, ùî õâèëüîâ³ ôóíêö³¿
åëåêòðîíà ïðè íàáëèæåíí³ äî ìàãí³òíî¿ ñòðóíè ïîâèíí³ ïî ìîäóëþ ñïàäàòè øâèä÷å, í³æ
êâàäðàòíèé êîð³íü ç â³äñòàí³ äî ñòðóíè (ìàãí³òíîþ ñòðóíîþ íàçèâàþòü íåñê³í÷åíî òîíêèé
ñîëåíî¿ä ç ñê³í÷åíèì ìàãí³òíèì ïîòîêîì). Îäåðæàíî åíåðãåòè÷íèé ñïåêòð åëåêòðîíà, ÿêèé
ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ñï³âïàäàº ç³ ñïåêòðîì ó â³äñóòíîñò³ ñòðóí. Çíàéäåíî çàãàëüíèé
âèãëÿä âëàñíèõ ôóíêö³é îñíîâíîãî ñòàíó ³ îïåðàòîð, ä³þ÷è ñòóïåíÿìè ÿêîãî ìîæíà
îäåðæàòè âëàñí³ ôóíêö³¿ çáóäæåíèõ ñòàí³â. Ó âèïàäêó, êîëè ³ñíóº ò³ëüêè îäíà ñòðóíà ç
ìàãí³òíèì ïîòîêîì, ùî íå º êðàòíèì ïîäâîºíîìó êâàíòó ïîòîêó, ó åíåðãåòè÷íîìó ñïåêòð³
âèíèêຠùå îäíà åêâ³ä³ñòàíòíà ïîñë³äîâí³ñòü âëàñíèõ çíà÷åíü. Âîíà çñóíóòà ïî â³äíî-
øåííþ äî îñíîâíî¿ íà ÷àñòêó ³íòåðâàëà, ùî äîð³âíþº äîäàòí³é äðîáîâ³é ÷àñòèí³ ÷àñòêè â³ä
ä³ëåííÿ ìàãí³òíîãî ïîòîêó íà âåëè÷èíó ïîäâîºíîãî êâàíòà. Öÿ ïîñë³äîâí³ñòü ïî÷èíàºòüñÿ
â³ä ð³âíÿ, íîìåð ÿêîãî äîð³âíþº ê³ëüêîñò³ ³íøèõ ìàãí³òíèõ ñòðóí. Îäåðæàíî òàêîæ
õâèëüîâ³ ôóíêö³¿ äëÿ öèõ îñîáëèâèõ ñòàí³â.
PACS: 03.65.Bz, 03.65.Ge
1. Ââåäåíèå
Ìàãíèòíîé ñòðóíîé íàçûâàþò áåñêîíå÷íî òîí-
êèé ñîëåíîèä ñ êîíå÷íûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì. Ïî-
ñêîëüêó íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòðóíû
âñþäó, êðîìå åå ëèíèè, ðàâíà íóëþ, âçàèìîäåéñò-
âèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñî ñòðóíîé — ÷èñòî êâàí-
òîâûé ýôôåêò, íå èìåþùèé êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà
© È. Ì. Äóáðîâñêèé, 2002
(ýôôåêò Ààðîíîâà—Áîìà). Çàäà÷à î òàêîì âçàè-
ìîäåéñòâèè âîçíèêàåò ïðè ðàññìîòðåíèè ýëåêòðî-
íà â êðèñòàëëå, ñîäåðæàùåì âèíòîâóþ äèñ-
ëîêàöèþ, ìåòîäîì ýôôåêòèâíîãî ãàìèëüòîíèàíà.
Ýôôåêòèâíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â ïëîñêîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé äèñëîêàöèîííîé ëèíèè, ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî. Òîãäà ëèíåéíûå ïî äå-
ôîðìàöèè ÷ëåíû îïèñûâàþò â ãàìèëüòîíèàíå ìàã-
íèòíóþ ñòðóíó (ñîâïàäàþùóþ ñ äèñëîêàöèîííîé
ëèíèåé) ñ ìàãíèòíûì ïîòîêîì, ïðîïîðöèîíàëü-
íûì êîìïîíåíòå êâàçèèìïóëüñà âäîëü äèñëîêàöè-
îííîé ëèíèè. Ýòà çàäà÷à, à òàêæå îáîáùåíèå åå íà
ñëó÷àé ïðèñóòñòâèÿ îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ,
ïàðàëëåëüíîãî ñòðóíå, íåîäíîêðàòíî ðàññìàòðèâà-
ëèñü (ñì. [1–3]) è èíòåðåñíû òåì, ÷òî îïèñûâàþò
ïðîñòåéøèé ñëó÷àé âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíà ñî
ñäâèãîâîé äåôîðìàöèåé êðèñòàëëà, â êîòîðîì ïå-
ðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ. Âî âòîðîì ðàçäåëå íàñòîÿ-
ùåé ðàáîòû ýòè èññëåäîâàíèÿ áóäóò äîïîëíåíû
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ñòðó-
íîé ïëîñêîñòè, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ ýëåêòðîí. Áó-
äóò òàêæå ðàññìîòðåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ
ñòðóíà ìîæåò ïðèáëèæåííî îïèñûâàòü âëèÿíèå íà
ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà íåîäíîðîäíîñòè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ìàëîãî ðàäèóñà.
Ýâðèñòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ î âëèÿíèè ñòðóíû
íà ñîñòîÿíèÿ äâóìåðíîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìàã-
íèòíîì ïîëå, à òàêæå î âçàèìîäåéñòâèè â ãàçå
äâóìåðíûõ êîìïîçèòíûõ, ò. å. èìåþùèõ ýëåêòðè-
÷åñêèé çàðÿä è ñâÿçàííóþ ñ íèì ìàãíèòíóþ ñòðó-
íó, ÷àñòèö, èãðàþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â òåî-
ðèè êâàíòîâîãî ýôôåêòà Õîëëà [4]. Â ñâÿçè ñ
ýòèì ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ ïîëó÷åííîå â
ðàçä. 4 òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î çàðÿæåííîé ÷àñ-
òèöå â ìàãíèòíîì ïîëå, ñîñòîÿùåì èç îäíîðîäíî-
ãî ïîëÿ è ìíîãèõ, ïðîèçâîëüíî ðàñïîëîæåííûõ
ñòðóí. Ýòà ìîäåëü îïèñûâàåò òàêæå ýëåêòðîí â
êðèñòàëëå ñ ïàðàëëåëüíûìè âèíòîâûìè äèñëîêà-
öèÿìè â ìàãíèòíîì ïîëå. Êàê îòìå÷àëîñü â [1],
êâàíòîâàíèå â òàêîé ñèñòåìå íåëüçÿ ïðîâåñòè ïî
ïðàâèëàì Áîðà—Çîììåðôåëüäà, õîòÿ ñîîòâåòñò-
âóþùàÿ êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ òî÷íî.
Ïðèìå÷àòåëüíî òàêæå, ÷òî òî÷íîå ðåøåíèå ïîëó-
÷åíî äëÿ íåóïîðÿäî÷åííîé, íå èìåþùåé íèêàêîé
ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè ñèñòåìû. Ðåøåíèå
ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ïðåîáðàçîâàíèþ ãà-
ìèëüòîíèàíà, îïèñàííîìó â ðàçä. 3. Äëÿ ýòîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ íåîáõîäèìû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
â òî÷êå, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò ñòðóíà, ïîëó-
÷åííûå â ðàçä. 2.
2. Ýëåêòðîí â ïîëå îäíîé ñòðóíû
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â ñëó÷àå îäíîé ñòðóíû
ñ ìàãíèòíûì ïîòîêîì F
� �H �( )r � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2 2 2 2 2
2
� �
p
eHy
c
eFy
c x y
x
( )
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
p
eHx
c
eFx
c x y
p Ey z2 2 2 2
2
2
� ( )
� �( ) (r r)
(1)
ëåãêî ðåøàåòñÿ ïóòåì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â
öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ñ îñüþ, ñîâïàäàþ-
ùåé ñ ëèíèåé ñòðóíû [2,3]. Çäåñü e — ìîäóëü çà-
ðÿäà ýëåêòðîíà è ó÷òåíî, ÷òî çàðÿä îòðèöàòåëåí;
H — íàïðÿæåííîñòü îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî
ïîëÿ, ïàðàëëåëüíîãî îñè Z; F ìîæåò áûòü ïîëî-
æèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé â çàâè-
ñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòðóíû
îòíîñèòåëüíî îäíîðîäíîãî ïîëÿ; � — ìàññà ýëåê-
òðîíà. Èñêëþ÷èì èç ðàññìîòðåíèÿ äâèæåíèå
âäîëü îñè Z è äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî
äâóìåðíóþ çàäà÷ó. Â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
( ,r �� ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä
�( exp ( expr) � �
�
�
�
�
�
�im
r
l
��
2
22
� � � �
� �� � �
� �
�
�
�
�
�
�
r
E r
l
�
�
� �
��
�
1
2
1
2
2
, ; , (2)
ãäå ��a c x, ; ) — âûðîæäåííàÿ ãèïåðãåîìåòðè÷å-
ñêàÿ ôóíêöèÿ, m — ëþáîå öåëîå ÷èñëî, íîðìèðî-
âî÷íûé ìíîæèòåëü çäåñü è äàëåå äëÿ êðàòêîñòè
áóäåì îïóñêàòü,
�
�
�
eH
c
, l
c
eH
2 2
�
�
, � � �m
F
F2 0
, F
c
e0 �
��
. (3)
Äëÿ êîíå÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè â íà÷àëå êî-
îðäèíàò (â òî÷êå, ãäå íàõîäèòñÿ ñòðóíà) è îäíî-
çíà÷íîñòè åå ïðè îáõîäå ýòîé òî÷êè èç äâóõ
ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé âûðîæäåííîãî ãèïåð-
ãåîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âûáðàíà ôóíêöèÿ
�� �a c x, ; , è m äîëæíî áûòü öåëûì ÷èñëîì.
Ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå ìíîæåñòâà ôóíêöèé
�E m r, ,( )� îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèé çàäà÷è â
îòñóòñòâèå ìàãíèòíîé ñòðóíû [5] â òîì, ÷òî îíî
âñåãäà âêëþ÷àåò èëè ôóíêöèþ ñ � �� � 0 ïðè m � 0,
åñëè F F2 0 — öåëîå ÷èñëî, èëè äâå ôóíêöèè ñ
� �0 1� �� .  ïåðâîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ íå èìååò ïðå-
äåëà ïðè r � 0 è ïîýòîìó íå ìîæåò áûòü âîëíîâîé
ôóíêöèåé. Âî âòîðîì ñëó÷àå îáå ôóíêöèè èìåþò
îñîáåííîñòü ãðàäèåíòà ïðè r � 0. Ðàçëè÷íûå àâ-
òîðèòåòíûå èñòî÷íèêè ïî-ðàçíîìó ôîðìóëèðóþò
òðåáîâàíèÿ ê íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíûõ âîëíî-
âîé ôóíêöèè. Òàê, àâòîðû ìîíîãðàôèé [6,7] ñ÷è-
òàþò, ÷òî ïåðâûå ïðîèçâîäíûå âîëíîâîé ôóíêöèè
1184 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11
È. Ì. Äóáðîâñêèé
îñòàþòñÿ íåïðåðûâíûìè è îãðàíè÷åííûìè âî
âñåì ïðîñòðàíñòâå, ïðè÷åì íå ïðèâîäÿòñÿ ôèçè-
÷åñêèå àðãóìåíòû äëÿ îáîñíîâàíèÿ ýòîãî òðåáîâà-
íèÿ. Â [7] óêàçàíî, ÷òî ýòîãî òðåáîâàíèÿ äîñòà-
òî÷íî äëÿ îãðàíè÷åííîñòè è íåïðåðûâíîñòè
ïëîòíîñòè òîêà âåðîÿòíîñòè. Â ìîíîãðàôèè [8]
äîïóñêàþò, ÷òîáû ïðîèçâîäíûå ñòðåìèëèñü ê áåñ-
êîíå÷íîñòè «íå ñëèøêîì ñèëüíî».  [5] óêàçûâà-
åòñÿ, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíûõ ìîæåò
èìåòü èñêëþ÷åíèÿ, îáóñëîâëåííûå êîíêðåòíîé
ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷åé.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
F
F
a
2 0
� � �, a — öåëîå, 0 1� �� . (4)
Àçèìóòàëüíàÿ êîìïîíåíòà ïëîòíîñòè òîêà â ñî-
ñòîÿíèè (2) èìååò âèä
� � � �j
e r
l
r
r
eH
c
r�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
exp
2
2
2 2
2
� . (5)
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè � �0 2 1� �� âûðàæåíèå (5) ïðè-
âîäèò ê ôèçè÷åñêè áåññìûñëåííîìó ðåçóëüòàòó
— áåñêîíå÷íîìó èëè íåíóëåâîìó çíà÷åíèþ àçè-
ìóòàëüíîãî òîêà ïðè r � 0. Ïðè � �1 2 2� �� óðàâíå-
íèå (5) äàåò ôèçè÷åñêè äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ
òîêà âåðîÿòíîñòè âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, õîòÿ ãðà-
äèåíò ôóíêöèè èìååò îñîáåííîñòü ïðè r � 0. Ïî-
ýòîìó ïðèìåì ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà âîç-
ìîæíûå çíà÷åíèÿ m, íå ó÷òåííûå â [2,3]. Ïðè
� � 0 çíà÷åíèÿ m a� � . Åñëè � — íå öåëîå ÷èñëî,
ò.å. � � 0, òî âñåãäà åñòü òàêîå m, ÷òî � �� � 1 2, è ñî-
ñòîÿíèå ñ òàêèì çíà÷åíèåì m íóæíî èñêëþ÷èòü èç
÷èñëà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Ïðè
� � 1 2 m a� � , à ïðè � 1 2 ÷èñëî m a� � �1 . Ýòè
ïðàâèëà îòáîðà ôèçè÷åñêè äîïóñòèìûõ ñîñòîÿ-
íèé ìîæíî îáúåäèíèòü ãðàíè÷íûì óñëîâèåì: â
òî÷êå, ãäå íàõîäèòñÿ ìàãíèòíàÿ ñòðóíà, âîëíîâàÿ
ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ, ïðè÷åì ïðè ïðèáëèæåíèè ê
ýòîé òî÷êå åå ìîäóëü óáûâàåò áûñòðåå, ÷åì r1 2.
(Îòìåòèì, ÷òî îãðàíè÷èòüñÿ óñëîâèåì îáðàùåíèÿ
ôóíêöèè â íóëü íåëüçÿ è ïî äðóãîé ïðè÷èíå:
ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå, îïðåäåëÿåìîå òàêèì
óñëîâèåì, íå çàìêíóòî. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü ôóíêöèé r n1 ïðèíàäëåæèò ýòîìó
ìíîãîîáðàçèþ, íî åå ïðåäåë — íåò.) Òàêèå óñëî-
âèÿ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ è â ñëó÷àå ìíîãèõ
ñòðóí, êîòîðûé áóäåò ðàññìîòðåí äàëåå. Ïî ýòîé
ïðè÷èíå ñïèí íå âçàèìîäåéñòâóåò ñ ìàãíèòíûìè
ñòðóíàìè, è åãî ó÷åò íå ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñà.
Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð îïðåäåëÿþò ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ íà âíåøíåé ãðàíèöå îáëàñòè îïðåäåëå-
íèÿ. Åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñ÷èòàòü áåñêîíå÷-
íîé, òî äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè ñîáñòâåííûõ ôóíê-
öèé íåîáõîäèìî ïðèíÿòü
� �
� �
� �
� �
E
N
��
� � 1
2
, (6)
ãäå N — íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî. Òîãäà ñîá-
ñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþùèå
ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì (2), èìåþò âèä
� �
E NNm � �
� ��
�
��
�
��
� � 1
2
. (7)
Âûðîæäåííûå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè â
(2) ïðè ýòîì ñâîäÿòñÿ ê îáîáùåííûì ïîëèíîìàì
Ëàãåððà L r lN
�
( )2 2 .
Êâàíòîâûå ÷èñëà N è m íå èíòåðïðåòèðóþòñÿ
íåïîñðåäñòâåííî â òåðìèíàõ êëàññè÷åñêîãî äâè-
æåíèÿ ýëåêòðîíà. Äëÿ ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòà-
öèè ïîëó÷àåìûõ â äàëüíåéøåì ðåçóëüòàòîâ è ñî-
ïîñòàâëåíèÿ èõ ñ êâàçèêëàññè÷åñêèì îïèñàíèåì
óäîáíî â ýòîì ðåøåíèè ïåðåéòè ê ââåäåííûì â !1"
êâàíòîâûì ÷èñëàì n è k, îïðåäåëÿþùèì ñîîòâåò-
ñòâåííî ýíåðãèþ è ðàññòîÿíèå öåíòðà êëàññè÷å-
ñêîé îðáèòû îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Èç ðåøåíèÿ
êëàññè÷åñêîé çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ
äëÿ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ Cx( ,p r) , Cy( ,p r) —
äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò öåíòðà îðáèòû, ÷åðåç äå-
êàðòîâû êîîðäèíàòû è èìïóëüñû êëàññè÷åñêîé
÷àñòèöû, îáîáùåííûå íà ñëó÷àé ìàãíèòíîé ñòðó-
íû:
C p
F
H
x
x y
x
x y� � �
�
�
1
2 22 2�� �
,
C p
F
H
y
x y
y
y x� �
�
�
1
2 22 2�� �
.
(8)
Ïåðåõîäÿ ê îïåðàòîðàì, ìîæíî çàïèñàòü îïåðà-
òîð êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ öåíòðà êëàññè÷åñêîé îð-
áèòû îò ìàãíèòíîé ñòðóíû:
� � �
�
�
R C C l i
F
Fx y
2 2 2 2
0
1
2
� � � �
#
#
�
�
�
��
�
� �
H . (9)
Î÷åâèäíî,
�
R2 êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì è
ôóíêöèÿ (2) ÿâëÿåòñÿ åãî ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé,
à ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå èìååò
âèä
� �
R l Njm
2 2
2
1
2
� �
�
�
�
�
��
�
� �
. (10)
Ââåäåì êâàíòîâûå ÷èñëà ýíåðãèè n è ðàññòîÿíèÿ
öåíòðà îðáèòû îò íà÷àëà êîîðäèíàò k:
� �
n N
m a m a
� �
� � �
2
0,
� �
k N
m a m a
� �
� � �
2
0, (11)
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11 1185
Ýëåêòðîí â ìàãíèòíîì ïîëå, ñîñòîÿùåì èç îäíîðîäíîãî ïîëÿ è ìàãíèòíûõ ñòðóí
1186 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11
È. Ì. Äóáðîâñêèé
n k m a� � � ,
� �
N k
n k n k
� �
� � �( )
2
.
Ýòè ÷èñëà ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå íåîòðè-
öàòåëüíûå çíà÷åíèÿ çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àåâ,
ïðåäóñìîòðåííûõ âûâåäåííûìè âûøå ïðàâèëàìè
îòáîðà. Ïðèâåäåì âûðàæåíèÿ äëÿ ýíåðãèè, ðàñ-
ñòîÿíèÿ öåíòðà îðáèòû îò íà÷àëà êîîðäèíàò, à
òàêæå ðàäèóñà ëàðìîðîâñêîé îðáèòû r0 ÷åðåç
êâàíòîâûå ÷èñëà n è k:
� �E n n knk � � � ��
�
�
��
�� $ �
1
2
,
� �r l n n k0
2 2 1
2
� � � ��
�
�
��
$ � , (12)
� �R l k n knk
2 2 1
1
2
� � � � �%
&
'
(
)
*
[$ "� , � �$ x
x
x
�
�
%
&
'
1 0
0 0
;
;
.
Îòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü êëàññè÷åñêóþ èíòåðïðå-
òàöèþ ïðàâèë îòáîðà. Ïðè n k� ëèíèÿ îðáèòû
ïðîõîäèëà áû ÷åðåç òî÷êó, ãäå ðàñïîëîæåíà ñòðó-
íà, åñëè � � 0, èëè âáëèçè, îõâàòûâàÿ åå, åñëè
� � 1 2. Åñëè � 1 2, òî îðáèòà ñ m a n k� � � � �1
ïðîõîäèëà áû âáëèçè ñòðóíû, íå îõâàòûâàÿ åå.
Òàêèå îðáèòû îêàçûâàþòñÿ çàïðåùåííûìè.
(«Âáëèçè» îçíà÷àåò, ÷òî � �r R l0
2 2 2 2� � ). Îðáèòû
ñ n k� íå îõâàòûâàþò ñòðóíó, ýíåðãåòè÷åñêèå
óðîâíè ñîñòàâëÿþò îáû÷íûé ñïåêòð Ëàíäàó è âû-
ðîæäåíû ïî k. Ïðè n k îðáèòû îõâàòûâàþò ñòðó-
íó, ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè òîæå ýêâèäèñòàíòíû,
íî ñäâèíóòû ïî îòíîøåíèþ ê óðîâíÿì Ëàíäàó íà
��� è âûðîæäåíû ïî âñåì çíà÷åíèÿì k n� . Òàêèå
ñîñòîÿíèÿ â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü îñî-
áûìè. Îäíàêî ïîëíîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó ðàñ-
ïðåäåëåíèåì ýëåêòðîííîé ïëîòíîñòè è êëàññè÷å-
ñêîé îðáèòîé íåò. Êîîðäèíàòû öåíòðà îðáèòû (8)
íå êîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, ïîýòîìó åñëè ìî-
äóëü ðàäèóñà-âåêòîðà öåíòðà îïðåäåëåí (12), òî
åãî àçèìóò îêàçûâàåòñÿ ïîëíîñòüþ íåîïðåäåëåí-
íûì.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îäíîé ñòðóíû
ýòîò àçèìóò íåñóùåñòâåí äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòå-
ãðàëà äåéñòâèÿ Ir è ìîìåíòà èìïóëüñà ýëåêòðîíà
îòíîñèòåëüíî îñè M:
I p drr r� �+
1
2�
�
�
r l
R l
0
2 2
2 2
%
&
,
',
, p
xp yp
x y
r
x y
�
�
�2 2
,
M xp ypy x� � �
� � �r
l
R
l
F
F
0
2
2
2
2
02
� � .
(13)
Çäåñü âåðõíåå çíà÷åíèå Ir ñîîòâåòñòâóåò îðáèòàì,
íå îõâàòûâàþùèì ìàãíèòíóþ ñòðóíó. Ïðèìåíÿÿ
ê Ir è M ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ Áîðà—Çîììåð-
ôåëüäà:
I Nr � ��
�
�
�
�
1
2
, M m� � , (14)
è ó÷èòûâàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ýíåðãèè êâàäðà-
òó ðàäèóñà îðáèòû, ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó
(7). Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðàâèëüíîãî ðå-
çóëüòàòà íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü êâàçèêëàññè-
÷åñêîå êâàíòîâàíèå äëÿ êàæäîé ñòåïåíè ñâîáîäû
îòäåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè. ×àñòî èñ-
ïîëüçóåìîå êâàíòîâàíèå ïîëíîãî àäèàáàòè÷åñêîãî
èíâàðèàíòà
1
2
1
2� �
�pxdx p dy I Mdy r+ +� � � �
�
�
%
&
,
'
,
(
)
,
*
,
� ��
�
�
�
�
� � �
r l
r
l
F
F
n
0
2 2
0
2
2
02
1
2 (15)
ïðèâîäèò ê ôèçè÷åñêè áåññìûñëåííîìó ðåçóëüòà-
òó: ïðè � �a n� - �� 1 2 è a � 0 îêàçûâàåòñÿ r0
2 0� .
Åñëè � � 0, ò.å. ìàãíèòíûé ïîòîê ñòðóíû ðàâåí
öåëîìó ÷èñëó óäâîåííûõ êâàíòîâ ïîòîêà, òî ýíåð-
ãåòè÷åñêèé ñïåêòð îòëè÷àåòñÿ îò ñïåêòðà â îòñóò-
ñòâèå ñòðóíû òîëüêî èñêëþ÷åíèåì ñîñòîÿíèé ñ
n k� . Âîëíîâûå ôóíêöèè ïðè ýòîì îòëè÷àþòñÿ
òåì, ÷òî â ìíîæèòåëÿõ, çàâèñÿùèõ îò r, êâàíòîâîå
÷èñëî ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ m çàìåíÿåòñÿ
íà � � �m a.
 ñëó÷àå íåñêîëüêèõ ñòðóí êîëè÷åñòâî âîç-
ìîæíûõ âàðèàíòîâ çíà÷åíèé êâàíòóåìûõ èíòåãðà-
ëîâ äåéñòâèÿ áûñòðî óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ðîñòîì ÷èñ-
ëà ñòðóí. Êàêîé èìåííî âàðèàíò îñóùåñòâëÿåòñÿ,
çàâèñèò îò ðàäèóñà ëàðìîðîâñêîé îðáèòû è îò
îáåèõ êîîðäèíàò åå öåíòðà, êîòîðûå íå ìîãóò
íàáëþäàòüñÿ îäíîâðåìåííî. Ïîýòîìó ïîëó÷èòü
ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ïóòåì êâàíòîâàíèÿ èíòå-
ãðàëîâ äåéñòâèÿ â ñëó÷àå íåñêîëüêèõ ñòðóí íåâîç-
ìîæíî. Â ðàáîòå [1] áûëà ïðåäëîæåíà ãèïîòåçà
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðà â ýòîì ñëó÷àå, íî, êàê
áóäåò ïîêàçàíî íèæå, îíà ïðèâîäèò ê íåïðàâèëü-
íûì ðåçóëüòàòàì.
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ðàññìîòðèì ñî-
ñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â ïîëå ñîëåíîèäà ñ êîíå÷íûì
ðàäèóñîì r1 è íàïðÿæåííîñòüþ ïîëÿ âíóòðè íåãî
Hi è îäíîðîäíîì âíå ñîëåíîèäà ïîëå He . Ââåäåì
áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííóþ x è ýíåðãèþ .:
x
r eH
c
e�
2
2 �
, .
�
�
E c
eHe�
. (16)
Âîëíîâûå ôóíêöèè âíå è âíóòðè ñîëåíîèäà
èìåþò âèä
� �� e im
x
x� ��
�
�
�
exp exp( )φ
2
2� � �
� �/ � �
� �
�
�
�
��
�
.
� �
�
1
2
1, ; x , (17)
� �
� � � �
� �
� �
� �i im
x
x
m mm� 0
�
�
��
�
�
�
�
��
�
� �
0 � 0 �0exp expφ
1
1
1 .
12
2 � � � �
1
2
1, ; ,0 �
�
�
��
�
m x1 (18)
ãäå 1 � H Hi e ñ ó÷åòîì çíàêà (íàïðàâëåíèå He áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì),
�
�
�
� � � � � �m
F
F
m
e r
c
H Hi e2 20
1
2
�
( ) m x
H
H
m x m xi
e
� �
�
�
��
�
� � � � �1 1 11 1( )1 2. (19)
Ñøèâàíèå çíà÷åíèé ôóíêöèé (17) è (18) ïðè x x� 1 îïðåäåëÿåò îòíîøåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè íèõ è,
êðîìå òîãî, òðåáóåò, ÷òîáû
� �
m m m� 0 � 0
1
1
1sgn . (20)
Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âû÷èñëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè. Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíîé
ïî � ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè, êàê ñëåäóåò èç (20). Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíîé
ïî r ìîæíî çàìåíèòü íà íåïðåðûâíîñòü ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé ïî x:
� � � �
� �
� �
� � �
0
� � � �
01
1
�
2 2 1
m
x x
�
�
/
/
1
2 2 1
. (21)
Îíî îïðåäåëÿåò ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé .. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé áóäåì
ñ÷èòàòü áåñêîíå÷íîé. Ïîñêîëüêó � �/ a c x, ; ~~ x a� ïðè x� 3, ðåøåíèå (17), (18) óäîâëåòâîðÿåò
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà áåñêîíå÷íîñòè è â íóëå ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà
âûðîæäåííûõ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. [5]), ìîæíî çàïèñàòü
� � � �
� � � �
� �
� � � �
0
� � �
� ��
�
��
�
� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
1 1
2
3
2
1
1
1
1
.
1
.
1
1
x
m m
m m
m x, ;
� �
� �
� � � �
� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
1
1
m m
m x
1
2
1
1
1, ;
,
� �
� �
� �
� �
0
�
� �
� �
� �
� ��
�
��
�
� �
� �
�
�
/
/
/.
� �
.
� �
.
� �
�1
2 1
2
3
2
1
1
1
x
x, ;
� �
� �
�
��
�
� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/ .
� �
�
1
2
1
1
1, ;
.
x
(22)
Ðàâåíñòâî (21) — ñëîæíîå òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå, çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðîâ ñîëåíîèäà Hi è x1.
Ïðîùå ðàññìîòðåòü åãî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ñîëåíîèäà ìàëîãî ðàäèóñà, íî ñ êîíå÷íûì ìàãíèòíûì
ïîòîêîì:
x x1 10� � 3 � �, ,1 4 1 const. (23)
Òîãäà âìåñòî (21) ïðèáëèæåííî ïîëó÷èì
� � � � � �
� �
5
/
m( )4
�
.
� �
.
� �
.
� �
� � � �
� ��
�
��
�
� �
� ��
�
��
�
� �
�
2
1
2
1
2
� �
� �
� �
�
�
�
�
��
�
� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
3
2
1
1
2
1
1
1
1
, ;
, ;
�
.
� �
�
x
x/
�
�
�
�
�
�
�
, (24)
ãäå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11 1187
Ýëåêòðîí â ìàãíèòíîì ïîëå, ñîñòîÿùåì èç îäíîðîäíîãî ïîëÿ è ìàãíèòíûõ ñòðóí
� � � �
� �
� �
� �
� �
5
�
�
m
m m m
m m
m
m m
m
( )4
4
4
�
�
�
� �
� �
�
�
�
��
�
� �
�
2
1
2
3
2
1
1
2
1
, ;
, ; 4
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 . (25)
Ñïåêòð çíà÷åíèé . ïîëó÷àåòñÿ èç (24), åñëè ïîëîæèòü
� �
� �
� �
� � �.
� �
6
1
2
N , (26)
ãäå N — ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èëè íóëü, � �6 � 1. Òîãäà (ñì. [9]), åñëè � — íå öåëîå ÷èñëî,
/
7� �
7� �
7� �
7
( , ; ) ;� � � 8
�
� �
�
� �
N x
N N x
6 �
�
�
�
6
�
1 1
1( )
7( )
( )
� � 8
� �
N
N
N
6
6
1 1
!
. (27)
Èç (24) èìååì
� � � � � �
� � � � � �
6
� 4 �
� � 4 �
�
�
� � �
� � �
( ) ) ( )
( ( ) )
1 2
2
1
N
m
m
x
N N
7� 5
7� � 7� 5
( )
! )
. (28)
Èñõîäÿ èç àñèìïòîòèêè �� �a c x, ; ïðè x� 3 è x� 0, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî 5m( )4 - 0, ïîýòîìó çíàìåíàòåëü
(28) íå èìååò íóëåé è 6 âñåãäà ìàëî â ìåðó ìàëîñòè � �x1
�
. Åñëè � — öåëîå ÷èñëî è � � 0, òî
� �
� �
� � � �
� �/� �� � � 8 �
�
� �
�
�
�
�
�
�
N x
N N
x
N6 �
�
�
6 �
�
, ;
!
!
!
!1 1 11
1
( )
( )
( ) ,
� � � �� � � � � �� �
� � � �� � � � � �� �
6
� 4 �
� � 4 �
�
�
� �
� �
x N
N
m
m
1 2
1 2
!
! ! !
5
5
. (29)
Ôîðìóëà (29) ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì ñëó÷àåì
(28), êîãäà � ñòðåìèòñÿ ê öåëîìó ÷èñëó, òàê ÷òî
(28) — îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ âñåõ � � 0. Ìîæíî ïî-
êàçàòü, ÷òî ïðè � � 0 âåëè÷èíà � �6 9 �
�ln x1
1, ò.å.
ýòîò ñëó÷àé íå ìîæåò áûòü îïèñàí êàê ïðåäåë
(28). Ñøèòûå âûðîæäåííûå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ òî÷êè ñøèâàíèÿ
x1, à ñëåäîâàòåëüíî, è 6 áóäóò ïåðåõîäèòü â ñîîò-
âåòñòâóþùèå ïîëèíîìû Ëàãåððà ïðè âñåõ m ðàâ-
íîìåðíî ïî x, êðîìå ñëó÷àÿ � � 0.
Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèÿ â ïîëå ìàãíèòíîé
ñòðóíû ïðè � �� - 1 2 íà íåîãðàíè÷åííîé ïëîñêîñòè
ïðèáëèæåííî îïèñûâàþò ñîîòâåòñòâóþùèå ñî-
ñòîÿíèÿ â ïîëå ñîëåíîèäà ìàëîãî ðàäèóñà. Êà÷å-
ñòâåííîå îòëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî óðîâíè
ýíåðãèè â ïîëå ñîëåíîèäà íå âûðîæäåíû, õîòÿ è
îáðàçóþò òåñíûå ãðóïïû âáëèçè óðîâíåé Ëàíäàó
è íà ðàññòîÿíèè ��� îò íèõ, à â ïîëå ñòðóíû êàæ-
äûé óðîâåíü Ëàíäàó ðàñùåïëåí íà äâà âûðîæ-
äåííûõ óðîâíÿ. Ýòî ïðîèñõîäèò îòòîãî, ÷òî
ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî êëàññè÷åñêîé îð-
áèòîé, îõâàòûâàþùåé ñîëåíîèä, íî è òåì, ÷òî
âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ âíóòðè ñîëåíîèäà íå ðàâíà
íóëþ.
3. Ôàêòîðèçàöèÿ ãàìèëüòîíèàíà
Ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå, êî-
òîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ îäíî-
ðîäíîãî ïîëÿ è I ïàðàëëåëüíûõ åìó ìàãíèòíûõ
ñòðóí ñ ïîòîêàìè Fi , ðàñïîëîæåííûìè â òî÷êàõ
z i ix iy� ( , )4 4 ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ìàã-
íèòíîìó ïîëþ (i I�1 2, ,..., ), èìååò âèä
� �
� �H � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
:1
2 2 1
2
�
�p
eHy
c
a wx i i iy
i
I
� �� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
:�
p
eHx
c
a wy i i ix
i
I
2 1
2
� , (30)
ãäå
w
x
x y
ix
ix
ix iy
�
�
� � �
4
4 4( ) ( )
,
2 2
w
y
x y
iy
iy
ix iy
�
�
� � �
4
4 4( ) ( )2 2 (31)
— êîìïîíåíòû âåêòîðà w i . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî
div w i � 0 âñþäó, ãäå èìåþò ñìûñë ïðîèçâîäíûå
îò åãî êîìïîíåíò.  òî æå âðåìÿ ïîòîê w i ÷åðåç
1188 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11
È. Ì. Äóáðîâñêèé
ëþáóþ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå z i , ãäå íà-
õîäèòñÿ ñòðóíà, ðàâåí 2�. Ïîýòîìó
div ( )w r zi
ix iy
i
w
x
w
y
�
#
#
�
#
#
� �2�; . (32)
Ôàêòîðèçàöèÿ ýòîãî ãàìèëüòîíèàíà ïðîèçâî-
äèòñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ îïåðàòîðîâ, ÿâëÿþùèõñÿ
îáîáùåíèåì îïåðàòîðîâ, ââåäåííûõ â [10,11], íà
ñëó÷àé ïðèñóòñòâèÿ ñòðóí:
� ��
� �
�
�< � �
#
#
�
�
�
�
< �
#
#
�
�
��
�
< < <i
x
i i
y
i
l
x iy
2
� �< � <
�
:i a w iwi i
i
N
ix iy� �
1
( ). (33)
Êîììóòàòîð [ , ]
� �
� �� � , â îòëè÷èå îò [10,11], ñòðîãî
ãîâîðÿ, íå âñþäó ðàâåí ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå (ñì.
(32)):
[ , ]
� �
�� � ��� � � � �2
� �� � � �
�
:4 2
1
� � ; 4 ; 4� a x yi i
i
N
xi yi( ) ( ), (34)
íî ïðè ó÷åòå òîãî, ÷òî âîëíîâûå ôóíêöèè äîëæ-
íû, êàê ïîêàçàíî âûøå, èìåòü íóëè â òî÷êàõ, ãäå
íàõîäÿòñÿ ñòðóíû, ãàìèëüòîíèàí (30), êàê è â
[10,11], ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå
� � �
�H � �� �
1
2
1
2�
� � �. (35)
Ââåäåì ïåðåìåííûå è îáîçíà÷åíèÿ (ñì. [11]):
z x iy< � < , 4 4 4i ix iyi< � < ,
w w iw
zi ix iy
i
< � < �
�
1
� �4
.
(36)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå z< íå
ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, ïîñêîëüêó îíè êîì-
ïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå. Äâå íåçàâèñèìûõ êîì-
ïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ ââîäèëè áû ÷åòûðå íåçàâè-
ñèìûõ äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ âìåñòî x è y.
Ââåäåì îïåðàòîðû:
#
#
�
#
#
#
#
�
�
��
�
<z x
i
y
1
2
� . (37)
Ýòî íå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî êîìïëåêñíîé ïåðå-
ìåííîé, à ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îïåðàòîðîâ äèô-
ôåðåíöèðîâàíèÿ ïî êîîðäèíàòàì.  ÷àñòíîñòè,
ôóíêöèè, ê êîòîðûì áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ ýòè îïå-
ðàòîðû, ìîãóò íå óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì Êîøè
—Ðèìàíà. Èç îïðåäåëåíèé (36) è (37) ìîæíî ïî-
ëó÷èòü
#
#
�
�
�
�
� �
<
<z
z, 1,
#
#
�
�
�
�
� �
<z
z, � 0, (38)
ïîýòîìó äåéñòâèå îïåðàòîðîâ (37) íà ôóíêöèè îò
ïåðåìåííûõ z< ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äèôôå-
ðåíöèðîâàíèå ïî íåçàâèñèìûì äåéñòâèòåëüíûì
ïåðåìåííûì. (Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ïðîèçâîä-
íûå # < # <w z , ïðîïîðöèîíàëüíûå ;-ôóíêöèÿì,
íî, êàê óæå îòìå÷àëîñü, ýòî íåñóùåñòâåííî â ïðî-
ñòðàíñòâå ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé.) Îïåðàòî-
ðû
�
�< â ýòèõ ïåðåìåííûõ èìåþò âèä
�
� � �
� � �
�
�
4< <
�
� �
#
#
�
�
�
�
�
�
�
:i
z l
z
a
z
i i
ii
N
2
1
2
1
. (39)
Èç (34) è (35) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ôóíêöèé,
èìåþùèõ íóëè â òî÷êàõ, ãäå ðàñïîëîæåíû ñòðó-
íû, ìîæíî çàïèñàòü
[
� �
�
�H, p� �� �] �� , [ ]
� �
�
�H, � ��� �� . (40)
Îòñþäà ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ φ —
ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ãàìèëüòîíèàíà, ñîîòâåòñò-
âóþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ E, òî ôóíêöèÿ
�
�<φ òîæå áóäåò ñîáñòâåííîé, ñîîòâåòñòâóþùåé
çíà÷åíèþ E < ��, åñëè òîëüêî îíà óäîâëåòâîðÿåò
âñåì óñëîâèÿì, êîòîðûå íàëàãàþòñÿ íà ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.
 ñëó÷àå ìíîãèõ ñòðóí â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å
òàêæå ìîæíî íàéòè èíòåãðàëû äâèæåíèÿ äëÿ òðà-
åêòîðèé, íå ïåðåñåêàþùèõ ñòðóíû, ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå êîîðäèíàòàì öåíòðà êëàññè÷åñêîé îðáèòû.
Îíè àíàëîãè÷íû (8) ñ çàìåíîé Fw Fwx y, íà
ñîîòâåòñòâóþùèå ñóììû F w F wi ix i iy,:: . Ïðè
ïåðåõîäå ê êâàíòîâîé ìåõàíèêå èì òàêæå ñîîò-
âåòñòâóþò îïåðàòîðû, êîììóòèðóþùèå ñ ãàìèëü-
òîíèàíîì â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé, êîòîðûå îáðà-
ùàþòñÿ â íóëü â òî÷êàõ, ãäå íàõîäÿòñÿ ñòðóíû,
íî íå êîììóòèðóþùèå îäèí ñ äðóãèì. Èç íèõ
ìîæíî ïîñòðîèòü îïåðàòîðû
� � � �
�C C iC
i
zx y� < � < �< <��
� (41)
è ýðìèòîâ îïåðàòîð êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ öåíòðà
îðáèòû îò ëþáîé òî÷êè ( , )= =x y
� � �
R C C lx y
2 21
2
( , ) ( ) ( )= = = =� � � �� � � � , (42)
êîììóòèðóþùèé ñ ãàìèëüòîíèàíîì. Èç êîììóòà-
öèîííûõ ñîîòíîøåíèé
[ , ]
� � �
R C l C2 2
� �� , [ , ]
� � �
R C l C2 2
� �� � (43)
ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð
�
R x y
2( , )= = èìååò äèñêðåò-
íûé ñïåêòð ñ øàãîì l2, è ïîâûøàþùèì ñîáñò-
âåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðîì äëÿ ìíîæåñòâà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11 1189
Ýëåêòðîí â ìàãíèòíîì ïîëå, ñîñòîÿùåì èç îäíîðîäíîãî ïîëÿ è ìàãíèòíûõ ñòðóí
ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ
�
C� , à ïîíèæàþ-
ùèì —
�
C�.
4. Ðåøåíèå çàäà÷è â ñëó÷àå ìíîãèõ ñòðóí
Çàìåíèì èñêîìûå âîëíîâûå ôóíêöèè, ïðåäñòà-
âèâ
� � �
�
�
�
�
� �exp
z z
l2 2
>, (44)
ãäå íà÷àëî êîîðäèíàò z z� �� � 0 âûáðàíî ïðîèç-
âîëüíî, è ââåäåì îïåðàòîðû
�
� �
� � �
P i
z
a
z
i i
ii
N
<
�
� �
#
#
�
�
�
�
�
�
�
:2
1
�
4
. (45)
Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè > èìååò âèä
1
2
2 1
22�
> > �> >
� � � �
�P P
i
l
z P E� � � ���
�
�
��
� � ,
èëè (46)
1
2
2 1
22�
> � >
� � �
�P
i
l
z P E� � ���
�
�
��
� ��
�
�
�
.
Èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (34), (40) ëåã-
êî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ φ ÿâëÿåòñÿ ðåøå-
íèåì óðàâíåíèÿ (46) ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì
E0, òî ôóíêöèÿ ( )
�
�P i z l� �� 2 2 φ òîæå ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì E0 � ��, åñëè
îíà óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Êàê
ìîæíî îæèäàòü èç ïðåäûäóùèõ ðàçäåëîâ ýòîé
ñòàòüè, íà íåîãðàíè÷åííîé îäíîðîäíîé ïëîñêîñòè
ñïåêòð çàäà÷è äîëæåí ñîñòîÿòü èç îäíîé èëè íå-
ñêîëüêèõ ýêâèäèñòàíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
âûðîæäåííûõ óðîâíåé. Îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ïðè
ýòîì äîëæíî èìåòü ýíåðãèþ �� 2.
Ðàññìîòðèì çàäà÷è äëÿ íåîãðàíè÷åííîé ïëîñ-
êîñòè ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå ñòðóí. Åñëè φ — ôóíê-
öèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ò.å. E0 2� �� ,
òî äåéñòâèå îïåðàòîðà
�
P� ïåðåâîäèò φ â ôóíêöèþ,
òîæäåñòâåííî ðàâíóþ íóëþ, ò.å. φ — ñîáñòâåííàÿ
ôóíêöèÿ
�
P� ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì.
Ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ E0, åñëè
�
P�φ îáðàùàåòñÿ â
íóëü âî âñåõ òî÷êàõ, ãäå íàõîäÿòñÿ ñòðóíû, òî
îíà ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé (46) ñ ñîáñò-
âåííûì çíà÷åíèåì E0 � ��. Îïåðàòîð
�
P� ìîæåò
òàêæå ïåðåâåñòè ôóíêöèþ φ â ôóíêöèþ, íå óäîâ-
ëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì. Òîãäà, åñëè óðîâåíü E0
íå âûðîæäåí, òî îí ÿâëÿåòñÿ íèæàéøèì óðîâíåì
ñïåêòðà îñîáûõ ñîñòîÿíèé, åñëè æå îí âûðîæäåí,
òî, âîçìîæíî, íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
ïðèíàäëåæàùèõ åìó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ïåðå-
âîäèòñÿ îïåðàòîðîì
�
P� â ôóíêöèþ, óäîâëåòâî-
ðÿþùóþ óñëîâèÿì, ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì
E0 � ��. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çà-
äà÷è äîñòàòî÷íî íàéòè ïîëíóþ ñèñòåìó ôóíêöèé
îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáñò-
âåííûõ çíà÷åíèé Ëàíäàó è âñå âîçìîæíûå íè-
æàéøèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ
îñîáûõ ñîñòîÿíèé.
Ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ â òî æå âðåìÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïå-
ðàòîðà
�
P� ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì.
Ðåøàÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà, ïîëó÷àåì
� �
�
P z z i
a
i
N i i
� � � �
�
�
�
�
%
&
,
',
(
)
,
*,
?@� ( )4
�
2
1
0, (47)
ãäå ��z�) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ îò z�. Åå ñëå-
äóåò âûáðàòü òàê, ÷òîáû ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ãà-
ìèëüòîíèàíà óäîâëåòâîðÿëà âñåì íåîáõîäèìûì
óñëîâèÿì: à) íå èìåëà ïîëþñîâ; á) óäîâëåòâîðÿëà
áû ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ýêñïîíåíöèàëüíîãî óáû-
âàíèÿ ïðè � �z r< � � 3, ò.å. ôóíêöèÿ >� �z z� �, ìî-
æåò ðàñòè íå áûñòðåå êîíå÷íîé ñòåïåíè r; â) ñòðå-
ìèëàñü áû ê íóëþ ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå, ãäå
íàõîäèòñÿ ñòðóíà, áûñòðåå, ÷åì A1 2 (A — ðàññòîÿ-
íèå îò ñòðóíû); ã) áûëà îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà
âñþäó ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ôàçîâîãî ìíî-
æèòåëÿ. Ïîñëåäíèå äâà óñëîâèÿ íàëàãàþò îïðåäå-
ëåííûå òðåáîâàíèÿ íà ïîêàçàòåëè ñòåïåíè â ïà-
ðàõ ñîìíîæèòåëåé âèäà ( ) ( )z zi
s
i
t
� � � �� �4 4 .
Ïåðåõîäÿ ê îáû÷íûì ïåðåìåííûì è ïåðåíåñÿ íà-
÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó ( , )4 4ix iy , ïîëó÷àåì
( ) ( ) ( ) ( )z z x iy x iyi
s
i
t s t
� � � �� � � 0 � 0 0 � 0 �4 4
� � 0 0 �exp [ ( ) ( )i s t r s t� " . (48)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü s t� äîëæíà áûòü
öåëûì ÷èñëîì, à ñóììà s t� - 1 2. Åñëè s è t — ïî-
ëóöåëûå, òî s t� è s t� — öåëûå ÷èñëà è äîëæíî
âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå s t� - 0. Íà ïåðâîì ýòàïå
ðåøåíèÿ ìîæíî îòêàçàòüñÿ è îò ýòîãî òðåáîâàíèÿ,
à çàòåì, åñëè ïîëó÷åííûå âîëíîâûå ôóíêöèè
ïðèíàäëåæàò âûðîæäåííîìó óðîâíþ, ïîñòðîèòü
èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè, êîòîðûå îáðàùàþòñÿ â
íóëü â íóæíûõ òî÷êàõ. Íî ëèêâèäèðîâàòü òî÷êè
âåòâëåíèÿ ïóòåì ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íåîäíî-
çíà÷íûõ ôóíêöèé íåëüçÿ.
Òîãäà èñêîìàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà èìåòü âèä
>� � 4
�
x y T z z i
a
i
N i i
, ( ) ( )� � �� � �
�
�
�
@ 2
1
� �� �
�
�
( )z i
a
i
i i
4
B
�
2 , ãäå B $ �i i ��
�
�
�
1
2
, (49)
1190 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11
È. Ì. Äóáðîâñêèé
à T z( )� — ïðîèçâîëüíàÿ öåëàÿ ôóíêöèÿ, êîòî-
ðàÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå êîíå÷íîé
èëè áåñêîíå÷íîé ñõîäÿùåéñÿ ñóììû ïî ñòåïåíÿì
z�. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåí-
íûõ ôóíêöèé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ íà íåîãðàíè-
÷åííîé ïëîñêîñòè ìîãóò áûòü âûáðàíû ôóíêöèè
> k, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (49) ïðè
T z zk
k( )� �� è ìèíèìàëüíûõ öåëûõ Bi . Ñòåïåíè
z�, ðàññìàòðèâàåìûå êàê ôóíêöèè ( , )x y èëè
( ,r ��, ò.å. � �z ik rk k
� � �exp � , îðòîãîíàëüíû â êðó-
ãå ëþáîãî ðàäèóñà, ïîýòîìó è ôóíêöèè > k ïðè
ôèêñèðîâàííîì íàáîðå öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ
÷èñåë Bi îðòîãîíàëüíû ñ âåñîì, à çíà÷èò, ëèíåé-
íî íåçàâèñèìû. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âûñøèõ
óðîâíåé ìîæíî ïîëó÷èòü èç ôóíêöèé îñíîâíîãî
ñîñòîÿíèÿ ñ ïîìîùüþ äåéñòâèÿ ñòåïåíåé îïåðàòî-
ðà [ ]
�
�P i z l s
� �� 2 2 . Äåéñòâèå îïåðàòîðà
�
P� íà
ôóíêöèþ âèäà (49) ïðè T z zk
k( )� �� ïðèâîäèò ê
óìíîæåíèþ åå íà ìíîãî÷ëåí
2
2
1
k
z z
i i
ii
N
� � ��
�
�
�
: B �
4
. (50)
Ïîýòîìó, ÷òîáû ïðè ýòîì íå íàðóøàëèñü òðåáî-
âàíèÿ ê ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì, íåîáõîäèìî äåé-
ñòâîâàòü íà ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ôóíêöèé (49),
êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ ïðè óìíîæåíèè èõ íà ñîîò-
âåòñòâóþùóþ ñòåïåíü ïîëèíîìà ( )zi i
i
N
� ��@
�
4
1
,
ò.å. óâåëè÷èòü íà s âåëè÷èíû Bi , ÷òîáû, äåéñòâóÿ s
ðàç ïîâûøàþùèì îïåðàòîðîì, íå íàðóøèòü ñîîò-
âåòñòâèÿ ôóíêöèè óñëîâèÿì â òî÷êàõ, ãäå íàõîäÿò-
ñÿ ñòðóíû.
Íàéäåííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà
ýíåðãèè íå ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè
îïåðàòîðà
�
R2, è ïîýòîìó êâàíòîâîå ÷èñëî k íå
ñâÿçàíî íåïîñðåäñòâåííî ñ îïðåäåëåíèåì ðàññòîÿ-
íèÿ öåíòðà îðáèòû îò êàêîé-ëèáî òî÷êè. Ïî-
ñêîëüêó îïåðàòîð êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ öåíòðà îð-
áèòû îò íà÷àëà êîîðäèíàò èëè ëþáîé äðóãîé
òî÷êè, êàê è â ñëó÷àå îäíîé ñòðóíû, êîììóòèðóåò
ñ ãàìèëüòîíèàíîì, òî, â ïðèíöèïå, ìîæíî íàéòè
ñèñòåìó ôóíêöèé, êîòîðûå áóäóò ñîáñòâåííûìè
äëÿ îáîèõ îïåðàòîðîâ. Îäíàêî â ðàññìàòðèâàå-
ìîì ñëó÷àå ýòî îêàçûâàåòñÿ òðóäíîðàçðåøèìîé
çàäà÷åé.
Ïåðåõîäÿ ê âîïðîñó îá îñîáûõ ñîñòîÿíèÿõ,
âûáåðåì íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êå, ÷åðåç êîòî-
ðóþ ïðîõîäèò îäíà èç íåöåëî÷èñëåííûõ ñòðóí.
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå
> 4 4� � �
�
�
�
�
�
�
�� � � � � �
�
� � � �@z z z zS S
i
S
i
S
i
N
i i( ) ( )
1
� � � � � �� �� � � �f z z V z z f u, , , (51)
ãäå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ u z z( , )� � —
ïðîèçâåäåíèå ñîìíîæèòåëåé âèäà � �z i< <� 4 . Äåé-
ñòâèå îïåðàòîðîâ
�
P< íà > èìååò âèä
�
� �
�
P Vf i z Vf V
u
z
f< <� � �
#
#
0
�
�
�
�
�� ( ) , (52)
ãäå
� � � �
�
�
4
�
<
�
�
�
�
�
�
:
2 21 S a
z
S a
z
i i i
ii
N
�
� �
�
�
� �
. (53)
 òî÷êàõ ( , )4 4i i� � , ÷åðåç êîòîðûå ïðîõîäÿò
öåëî÷èñëåííûå ñòðóíû (� i � 0), âîçüìåì Si< �
� �ai 2. Òîãäà ñëàãàåìûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì
ñòðóíàì, âûïàäóò èç ñóìì �< . Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ
> áóäåò îäíîçíà÷íîé ïðè îáõîäå ýòèõ òî÷åê, íî íå
áóäåò îáðàùàòüñÿ â íóëü íà öåëî÷èñëåííûõ ñòðó-
íàõ. Ïîñëåäíåå óñëîâèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ ïóòåì
ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âûðîæäåííûõ ôóíêöèé
(ñì. (48) è íèæå). Òî÷êè âåòâëåíèÿ íå ìîãóò
áûòü óñòðàíåíû ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé êîìáèíà-
öèè íåîäíîçíà÷íûõ ôóíêöèé. Ïîýòîìó ïàðû ïî-
êàçàòåëåé äëÿ òî÷åê, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ íåöåëî-
÷èñëåííûå ñòðóíû, â òîì ÷èñëå è äëÿ íà÷àëà
êîîðäèíàò, ìîãóò áûòü â îäíîì èç äâóõ âàðèàíòîâ:
A) S
a
i
i i
� � �
� �
2
, S
a
i i
i i
� � �
�
B
�
2
;
(54)
B) S
a
i i
i i
� � �
�
B
�
2
, S
a
i
i i
� �
� �
2
,
ãäå � �B $ �i i� �1 2 . Òîãäà êàæäîé èç íåöåëî÷èñ-
ëåííûõ ñòðóí ñîîòâåòñòâóåò ñëàãàåìîå âèäà
( ) ( )B � 4i i< �< <z i â îäíîé èç ñóìì.
Îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñî-
áûõ ñîñòîÿíèé äîëæíî èìåòü ýíåðãèþ áîëüøóþ
�� C, è ïðè ýòîì îïåðàòîð
�
P� , ïîíèæàþùèé
ýíåðãèþ, äîëæåí ïðåîáðàçîâûâàòü ýòó ôóíêöèþ
òàê, ÷òî îíà ïåðåñòàåò óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíè-
ÿì. Ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò ôóíêöèÿ (51), åñëè
âûáðàòü õîòÿ áû îäíó ïàðó ïîêàçàòåëåé â âèäå Â.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòó ôóíêöèþ â óðàâíåíèå (46), ïîñëå
ñîêðàùåíèÿ íà V ïîëó÷àåì
� � �
#
#
�
#
#
#
# #� � �
�
�
� � �
� 0 � 0 � 0 �f
u
z
f
u
z
f
u
z z
f2 2 4
2
� 00 � � 0 �
� �
�
�
�
�
4 2 4
2 2
#
#
#
#
�
#
#
u
z
u
z
f
z
l
f
z
l
u
z
f
� � ��
�
�
�
2
22
� �
�
�
E f . (55)
Àíàëèç ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî îíî ìî-
æåò èìåòü ðåøåíèå, òîëüêî åñëè êðîìå íåöåëî-
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11 1191
Ýëåêòðîí â ìàãíèòíîì ïîëå, ñîñòîÿùåì èç îäíîðîäíîãî ïîëÿ è ìàãíèòíûõ ñòðóí
÷èñëåííîé ñòðóíû â íà÷àëå êîîðäèíàò ñóùåñòâóåò
åùå íå áîëåå îäíîé íåöåëî÷èñëåííîé ñòðóíû â
ëþáîé òî÷êå ( , )4 41 1� � . Òîãäà, åñëè ïîëîæèòü
�
B �
4
1
4�
� � � �
�
�
�
�
�
2
21 1
1 1z z
,
�
B � 6 � 4
�
� �
� � ��
�
� �
�
2
20 0 1
2z z
u
z z
l
;
)
, (56)
ïîëó÷èì
16 6 1 6
ul
f
l
f
l
f
l
f
u
l
f
l
f
u
l
f
2 2 2 2 2 2 2
1
� 0 � 0 � 0 � 00 � � 0 �
� � ��
�
�
�
� �
2 22�
�
E f,
(57)
� �u f u u f
E
u f2 1
1
2
000 � � � � 0 � � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
� �6 1
�
6 16
�
.
Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå
f u uk
k
k
�
�
3
:� D
0
, (58)
ãäå � — êîðíè îïðåäåëÿþùåãî óðàâíåíèÿ
� �� � 6 1 162 0� � � � . (59)
×òîáû f x y( , ) áûëî îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé, íåîá-
õîäèìî, ÷òîáû õîòÿ áû îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ
(59) áûë öåëî÷èñëåííûì.  îáùåì ñëó÷àå ýòî
âîçìîæíî ïðè 16 � 0. Ñëåäîâàòåëüíî, îñîáûå ñî-
ñòîÿíèÿ âîçìîæíû, òîëüêî åñëè îäíà èç âñåõ
ñòðóí áóäåò íåöåëî÷èñëåííîé, à èìåííî òà ñòðó-
íà, â êîòîðîé áûëî âûáðàíî íà÷àëî êîîðäèíàò.
Ïðè 1 � 0 è 41 0� óðàâíåíèå (57) ñòàíîâèòñÿ óðàâ-
íåíèåì äëÿ âûðîæäåííîé ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé
ôóíêöèè è èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñëåäóåò
f
z z
l
n
r
l
L
r
l
n
� ��
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
1� , ;6 6 ,
E n� � ��
�
�
�
�� 6
1
2
.
(60)
Çäåñü n — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èëè íóëü,
ïîýòîìó ñïåêòð (60) îïèñûâàåò áåñêîíå÷íóþ ýê-
âèäèñòàíòíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Íèæàéøåå
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå
âûðîæäåíî. Ëþáîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ñ
n N� � 0 ñîîòâåòñòâóþò åùå N ñîáñòâåííûõ
ôóíêöèé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç êàæäîãî èç
ñîñòîÿíèé (60) ñ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè n N L� �
(0 � �L N) ïðè äåéñòâèè íà íèõ îïåðàòîðà
( )
�
�P i z l L
� �� 2 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäûé óðî-
âåíü âûðîæäåí ñ êðàòíîñòüþ n � 1. Ýòèì ìîæíî
âîñïîëüçîâàòüñÿ, ÷òîáû ïîëó÷èòü ëèíåéíûå êîì-
áèíàöèè ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîìó óðîâ-
íþ, êîòîðûå îáðàùàþòñÿ â íóëü âî âñåõ òî÷êàõ,
ãäå íàõîäÿòñÿ öåëî÷èñëåííûå ñòðóíû. Åñëè èìå-
þòñÿ M öåëî÷èñëåííûõ ñòðóí, òî íèæàéøèì
óðîâíåì, äëÿ êîòîðîãî ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, ÿâ-
ëÿåòñÿ ( )M � 1 -êðàòíî âûðîæäåííûé (êðîìå ñëó-
÷àåâ ñïåöèàëüíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñòðóí, êîòîðûå
ñòàíóò ÿñíû èç äàëüíåéøåãî). Äëÿ ýòîãî íåîáõî-
äèìî ñîñòàâèòü èç (M � 1)-îé ôóíêöèè ëèíåéíóþ
êîìáèíàöèþ, êîòîðàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü â M òî÷-
êàõ z i< <� 4 . Èç ïîëó÷åííîé ñèñòåìû M ëèíåé-
íûõ óðàâíåíèé äëÿ êîýôôèöèåíòîâ êîìáèíàöèè
ìîæíî îäíîçíà÷íî âûðàçèòü M êîýôôèöèåíòîâ
÷åðåç îäèí èç íèõ, êîòîðûé çàòåì îïðåäåëèòü èç
óñëîâèÿ íîðìèðîâêè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè êðîìå
îäíîé íåöåëî÷èñëåííîé èìååòñÿ M öåëî÷èñëåí-
íûõ ñòðóí, òî, êàê áû îíè íè áûëè ðàñïîëîæåíû
(êðîìå ðàñïîëîæåíèÿ, îáðàùàþùåãî â íóëü îïðå-
äåëèòåëü ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé),
ñïåêòð îñîáûõ ñîñòîÿíèé îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé
(60) è íà÷èíàåòñÿ ñ n M� , ïðè÷åì íèæàéøåå ñî-
ñòîÿíèå íå âûðîæäåíî, à åãî ñîáñòâåííàÿ ôóíê-
öèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííîé ëèíåéíîé êîìáèíàöè-
åé ôóíêöèé ñ n M� è ðàçëè÷íûìè L (0 � �L M).
Ïîëó÷åííûå òî÷íûå ðåçóëüòàòû îïðîâåðãàþò
ãèïîòåçó, ïðåäëîæåííóþ ðàíåå àâòîðîì (ñì. [1],
ñòð. 148), è â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðîòèâîðå÷àò
èíòóèòèâíî îæèäàåìûì ðåçóëüòàòàì. Òàê, íàïðè-
ìåð, õîòÿ íèæàéøåå èç îñîáûõ ñîñòîÿíèé â ñëó-
÷àå îäíîé íåöåëî÷èñëåííîé ñòðóíû ñ � - 1 2 (ñì.
(2), (12)) ëîêàëèçîâàíî âáëèçè íåå â îáëàñòè ñ
ðàäèóñîì ïîðÿäêà R r l00 0 1 2 1 2� � � �( )� ,
ïîÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíî õîòÿ áû îäíîé öåëî-
÷èñëåííîé ñòðóíû íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò íå-
öåëî÷èñëåííîé äåëàåò ñóùåñòâîâàíèå ýòîãî ñî-
ñòîÿíèÿ íåâîçìîæíûì. Ýòî ñëåäñòâèå òðåáîâàíèÿ
îáðàùåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëü â òî÷êå, ãäå
íàõîäèòñÿ öåëî÷èñëåííàÿ ñòðóíà. Îíî õàðàêòåð-
íî äëÿ âñåõ çàäà÷, ãäå â îòñóòñòâèå ýòîãî òðåáîâà-
íèÿ èìååòñÿ äèñêðåòíûé ñïåêòð ñ íåâûðîæäåí-
íûì íèæàéøèì ñîñòîÿíèåì. Íàïðèìåð, â çàäà÷å
î çàðÿæåííîé ÷àñòèöå â ïîëå ïðèòÿãèâàþùåãî êó-
ëîíîâñêîãî öåíòðà îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ïðè îáû÷-
íûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè
ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò, íî óñëîâèþ îáðàùå-
íèÿ åãî â íóëü â êàêîé-ëèáî óäàëåííîé òî÷êå
óäîâëåòâîðèòü íåâîçìîæíî. Ïðè÷èíà íå â òîì,
÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ íå
ìîæåò èìåòü íóëåé, êàê èíîãäà ñ÷èòàþò. Ôóíê-
öèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â òðåõìåðíîé çàäà÷å ñ
ïîòåíöèàëîì U A r B r� �2 ïðîïîðöèîíàëüíà r s ,
1192 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11
È. Ì. Äóáðîâñêèé
ãäå s mA� � �2 1 4 1 22� (ñì. [5], çàäà÷à ê § 36).
Íî òðåáîâàíèå òî÷íîãî îáðàùåíèÿ âîëíîâîé
ôóíêöèè â íóëü â òî÷êå, íàðóøàþùåé ñèììåòðèþ
íåâîçìóùåííîé çàäà÷è, ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñèëüíûì.
Êàê ïîêàçàíî â ïåðâîì ðàçäåëå ýòîé ðàáîòû, îíî
ñâÿçàíî ñ ïðèðîäîé ìàãíèòíîé ñòðóíû.  îòëè÷èå
îò íåå ;-îáðàçíûé îòòàëêèâàþùèé ïîòåíöèàë, êàê
ëåãêî ïîêàçàòü, äîïóñêàåò êîíå÷íîå çíà÷åíèå âîë-
íîâîé ôóíêöèè â òî÷êå, ãäå îí îòëè÷åí îò íóëÿ, è
ïðèâîäèò ê òåì ìåíüøåìó ñäâèãó îñíîâíîãî ñî-
ñòîÿíèÿ, ÷åì äàëüøå îí íàõîäèòñÿ îò öåíòðà. Åùå
áîëåå ñèëüíûì âîçìóùåíèåì ÿâëÿåòñÿ íåöåëî÷èñ-
ëåííàÿ ñòðóíà. Êàê ïîêàçàíî, âêëþ÷åíèå îäíîé
òàêîé ñòðóíû, äàæå íà ðàññòîÿíèè, çíà÷èòåëüíî
ïðåâûøàþùåì ðàäèóñ ëîêàëèçàöèè îñîáûõ ñî-
ñòîÿíèé, óíè÷òîæàåò âñå îñîáûå ñîñòîÿíèÿ èç-çà
òðåáîâàíèÿ îäíîçíà÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè
ïðè îáõîäå ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó â îá-
ëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Èç-çà ýòîãî â ñëó÷àå íåñêîëü-
êèõ âèíòîâûõ äèñëîêàöèé îñîáûå ñîñòîÿíèÿ âî-
îáùå íåâîçìîæíû, òàê êàê «ìàãíèòíûå ïîòîêè» â
ýòîì ñëó÷àå îäèíàêîâû äëÿ âñåõ ñòðóí. Ýòîò ýô-
ôåêò, î÷åâèäíî, ñîõðàíèòñÿ è äëÿ ñîëåíîèäîâ êî-
íå÷íîãî ðàäèóñà.
Âûâîäû
1. Ïîêàçàíî, ÷òî ïîñòàíîâêà çàäà÷è î âçàèìî-
äåéñòâèè ýëåêòðîíà ñ ìàãíèòíîé ñòðóíîé äîëæíà
áûòü äîïîëíåíà ãðàíè÷íûì óñëîâèåì: âîëíîâûå
ôóíêöèè ïðè ïðèáëèæåíèè ê ñòðóíå äîëæíû ïî
ìîäóëþ óáûâàòü áûñòðåå, ÷åì êîðåíü êâàäðàòíûé
ðàññòîÿíèÿ äî ñòðóíû.
2. Ïðèíèìàÿ ýòè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, â ñëó÷àå
ìíîãèõ ïðîèçâîëüíî ðàñïîëîæåííûõ ñòðóí ìîæíî
ïðåäñòàâèòü ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà â âèäå ñóì-
ìû ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ è ïðîèçâåäåíèÿ
äâóõ ñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ. Ðåçóëüòàòû äåéñò-
âèÿ êàæäîãî èç ýòèõ îïåðàòîðîâ íà ïðîèçâîëüíóþ
ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ ãàìèëüòîíèàíà — òàêæå
ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ãàìèëüòîíèàíà, ñîîòâåòñò-
âóþùèå óâåëè÷åííîìó èëè óìåíüøåííîìó íà îäèí
êâàíò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, åñëè òîëüêî îíè
óäîâëåòâîðÿþò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Êâàíò ýíåð-
ãèè îïðåäåëÿåòñÿ ëàðìîðîâñêîé ÷àñòîòîé â îäíî-
ðîäíîì ïîëå. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ñïåêòð ãàìèëü-
òîíèàíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó èëè íåñêîëüêî
ýêâèäèñòàíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
3. Ïîëó÷åí îáùèé âèä ôóíêöèé îñíîâíîãî ñî-
ñòîÿíèÿ. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå äðóãèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ãëàâíîé
(ñîâïàäàþùåé ñî ñïåêòðîì â îäíîðîäíîì ïîëå)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äåéñò-
âèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíåé îïåðàòîðà, ïîâû-
øàþùåãî ýíåðãèþ.
4. Ïîêàçàíî, ÷òî äîïîëíèòåëüíàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìîæåò áûòü
òîëüêî îäíà. Îíà ïîÿâëÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òî-
ãäà, êîãäà òîëüêî îäíà èç ñòðóí èìååò ìàãíèòíûé
ïîòîê íå êðàòíûé óäâîåííîìó êâàíòó ïîòîêà.
Ñäâèã ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî îñ-
íîâíîé ñîñòàâëÿåò äîëþ êâàíòà ýíåðãèè, ðàâíóþ
ïîëîæèòåëüíîé äðîáíîé ÷àñòè ÷àñòíîãî îò äåëå-
íèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà ñòðóíû íà óäâîåííûé
êâàíò ïîòîêà. Íèæàéøèé óðîâåíü ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè îñîáûõ ñîñòîÿíèé ñäâèíóò íà ýòó âåëè÷èíó
îò óðîâíÿ ãëàâíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íîìåð êî-
òîðîãî ðàâåí ÷èñëó îñòàëüíûõ ñòðóí.
5. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòè ðåçóëüòàòû íå ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû ìåòîäîì êâàçèêëàññè÷åñêîãî êâàíòîâà-
íèÿ, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à
èìååò òî÷íîå ðåøåíèå.
1. È. Ì. Äóáðîâñêèé, Òåîðèÿ ýëåêòðîííûõ ÿâëåíèé â
äåôîðìèðîâàííûõ êðèñòàëëàõ, ÐÈÎ ÈÌÔ, Êèåâ
(1999).
2. Â. Ê. Òêà÷åíêî, ÆÝÒÔ 77, 1032 (1979).
3. Ñ. Â. Èîðäàíñêèé, À. Å. Êîøåëåâ, ÆÝÒÔ 91, 326
(1986).
4. Ð. Á. Ëàôëèí, ÓÔÍ 170, 292 (2000).
5. Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö, Êâàíòîâàÿ ìå-
õàíèêà. Íåðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ, Ôèçìàòèç,
Ìîñêâà (1963).
6. À. Ìåññèà, Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, ò. 1, Íàóêà,
Ìîñêâà (1978).
7. Ë. Øèôô, Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, Èçä-âî èíîñòð.
ëèò., Ìîñêâà (1959).
8. Ä. È. Áëîõèíöåâ, Îñíîâû êâàíòîâîé ìåõàíèêè,
Âûñøàÿ øêîëà, Ìîñêâà (1961).
9. Ã. Áåéòìåí è À. Ýðäåéè, Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå
ôóíêöèè. Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèè
Ëåæàíäðà, Íàóêà, Ìîñêâà (1965).
10. M. H. Johnson and B. A. Lippman, Phys. Rev. 76,
828 (1949).
11. À. Feldman and A. H. Kahn, Phys. Rev. B1, 4584
(1970).
Exact solution of the problem about an electron
in a magnetic field consisting of uniform field
and arbitrarily disposed magnetic strings
parallel to it
I. M. Dubrovskii
It is shown that the requirements of finite-
ness, uniqueness, and definiteness of the wave
function and the density of probability flux
necessitate that as a string is approached the
wave function of an electron should decrease
modulo faster than the square root of the dis-
tance to the string (the infinitely thin sole-
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11 1193
Ýëåêòðîí â ìàãíèòíîì ïîëå, ñîñòîÿùåì èç îäíîðîäíîãî ïîëÿ è ìàãíèòíûõ ñòðóí
noid with a finite magnetic flux is named a
magnetic string). An energy spectrum of an
electron is obtained. In the general case it co-
incides with that in the absence of strings. A
general view of the eigenfunctions of the
ground state is found. The eigen functions of
the upper states can be obtained by acting on
these functions with the operator that is de-
rived too. In the case where there is only one
string with a magnetic flux not multiple of
the doubled quantum one, the energy spec-
trum displays yet another equidistant sequence
of the eigenvalues. It is displaced from the
common one by a fraction of the interval that
equals the positive fractional part of the quo-
tient of the magnetic flux by the doubled
quantum. This sequence originates close to the
level the number of which is equal to the
quantity of other strings. The wave functions
of these peculiar states are obtained.
1194 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 11
È. Ì. Äóáðîâñêèé
|