Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость
Развит метод последовательных приближений для решения смешанных граничных задач, возникающих при моделировании процесса распространения возмущений в идеальной неоднородной жидкости. Рассмотрена двумерная задача с переменной во времени частью границы, на которой приложены внешние воздействия. Конкрет...
Збережено в:
| Дата: | 2001 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2001
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1288 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость / А. Г. Багдоев, С. Г. Саакян // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 3. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592523976015872 |
|---|---|
| author | Багдоев, А.Г. Саакян, С.Г. |
| author_facet | Багдоев, А.Г. Саакян, С.Г. |
| citation_txt | Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость / А. Г. Багдоев, С. Г. Саакян // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 3. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Развит метод последовательных приближений для решения смешанных граничных задач, возникающих при моделировании процесса распространения возмущений в идеальной неоднородной жидкости. Рассмотрена двумерная задача с переменной во времени частью границы, на которой приложены внешние воздействия. Конкретные выкладки проведены для случая неоднородной по глубине жидкости с экспоненциальным изменением плотности. Построены решения в двух приближениях относительно малого параметра, связанного с показателем экспоненты. Решение представлено в виде квадратур. Проведен асимптотический анализ решений для оценки характера поведения давления и скорости частиц жидкости вблизи края площадки нагружения. Показано влияние неоднородности на физические характеристики волнового процесса.
Розвинуто метод послідовних наближень для розв'язання змішаних граничних задач, що виникають при моделюванні процесу розповсюдження збурень в ідеальній неоднорідній рідині. Розглянуті двовимірні задачі зі змінною в часі скінченною частиною поверхні, до якої прикладено зовнішні зусилля. Конкретні розв'язки наведено для випадку неоднорідної по глибині рідини з експоненціальною зміною густини. Побудовані розв'язки з точністю до двох наближень відносно малого параметру, пов'язаного з показником експоненти. Розв'язки представлені у вигляді квадратур. Проведено асимптотичний аналіз розв'язків з метою визначення характеру поведінки функції тиску та швидкості частинок рідини поблизу границі області, до якої прикладено зовнішнє навантаження. Показано вплив неоднорідності рідини на вказані характеристики хвильового процесу.
A method of successive approximations for the solution of mixed boundary problems, arising at modeling of the disturbances propagation process in ideal non-uniform liquid, is developed. The two-dimensional problems are considered with changing in time boundary part, where the external forces are applied. The numerical examples are derived for case of liquid that is non-uniform on depth with exponential change of density. The solution in two approximations with respect to a small parameter related with the non-homogeneity parameter are developed. The solutions are given in form of integrals. Asymptotic analysis of the solutions is carried out to study specific features of the pressure and liquid particle velocity distribution near edges of a loaded area. The influence of a non-homogeneity on specified physical characteristics of the wave process is shown.
|
| first_indexed | 2025-11-27T16:54:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 3 { 9��� 539.1 ������������� ��������� ��������� ���������������������. �. �������, �. �. �������áâ¨âãâ ¬¥å ¨ª¨ ��� �ଥ¨¨, �ॢ �®«ã祮 24.01.1999 � �¥à¥á¬®â८ 2.07.2001� §¢¨â ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¦¥¨© ¤«ï à¥è¥¨ï ᬥè ëå £à ¨çëå § ¤ ç, ¢®§¨ª îé¨å ¯à¨ ¬®-¤¥«¨à®¢ ¨¨ ¯à®æ¥áá à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®§¬ã饨© ¢ ¨¤¥ «ì®© ¥®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®áâ¨. � áᬮâॠ¤¢ã¬¥à- ï § ¤ ç á ¯¥à¥¬¥®© ¢® ¢à¥¬¥¨ ç áâìî £à ¨æë, ª®â®à®© ¯à¨«®¦¥ë ¢¥è¨¥ ¢®§¤¥©á⢨ï. �®ªà¥â륢몫 ¤ª¨ ¯à®¢¥¤¥ë ¤«ï á«ãç ï ¥®¤®à®¤®© ¯® £«ã¡¨¥ ¦¨¤ª®á⨠á íªá¯®¥æ¨ «ìë¬ ¨§¬¥¥¨¥¬ ¯«®â®áâ¨.�®áâ஥ë à¥è¥¨ï ¢ ¤¢ãå ¯à¨¡«¨¦¥¨ïå ®â®á¨â¥«ì® ¬ «®£® ¯ à ¬¥âà , á¢ï§ ®£® á ¯®ª § ⥫¥¬ íªá¯®¥âë.�¥è¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤à âãà. �஢¥¤¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© «¨§ à¥è¥¨© ¤«ï ®æ¥ª¨ å à ªâ¥à ¯®¢¥-¤¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï ¨ ᪮à®á⨠ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ªà ï ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï. �®ª § ® ¢«¨ï¨¥ ¥®¤®à®¤®á⨠䨧¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¢®«®¢®£® ¯à®æ¥áá .�®§¢¨ãâ® ¬¥â®¤ ¯®á«÷¤®¢¨å ¡«¨¦¥ì ¤«ï ஧¢'ï§ ï §¬÷è ¨å £à ¨ç¨å § ¤ ç, é® ¢¨¨ª îâì ¯à¨ ¬®¤¥«î-¢ ÷ ¯à®æ¥áã ஧¯®¢á¥ï §¡ãà¥ì ¢ ÷¤¥ «ì÷© ¥®¤®à÷¤÷© à÷¤¨÷. �®§£«ïãâ÷ ¤¢®¢¨¬÷à÷ § ¤ ç÷ §÷ §¬÷®î ¢ç á÷ áª÷祮î ç áâ¨®î ¯®¢¥àå÷, ¤® 类ù ¯à¨ª« ¤¥® §®¢÷è÷ §ãᨫ«ï. �®ªà¥â÷ ஧¢'離¨ ¢¥¤¥® ¤«ï ¢¨¯ ¤-ªã ¥®¤®à÷¤®ù ¯® £«¨¡¨÷ à÷¤¨¨ § ¥ªá¯®¥æ÷ «ì®î §¬÷®î £ãá⨨. �®¡ã¤®¢ ÷ ஧¢'離¨ § â®ç÷áâî ¤® ¤¢®å ¡«¨¦¥ì ¢÷¤®á® ¬ «®£® ¯ à ¬¥âàã, ¯®¢'ï§ ®£® § ¯®ª §¨ª®¬ ¥ªá¯®¥â¨. �®§¢'離¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥÷ ã ¢¨£«ï¤÷ª¢ ¤à âãà. �஢¥¤¥® ᨬ¯â®â¨ç¨© «÷§ ஧¢'離÷¢ § ¬¥â®î ¢¨§ ç¥ï å à ªâ¥àã ¯®¢¥¤÷ª¨ äãªæ÷ù â¨áªã â 袨¤ª®áâ÷ ç á⨮ª à÷¤¨¨ ¯®¡«¨§ã £à ¨æ÷ ®¡« áâ÷, ¤® 类ù ¯à¨ª« ¤¥® §®¢÷èõ ¢ â ¦¥ï. �®ª § ® ¢¯«¨¢¥®¤®à÷¤®áâ÷ à÷¤¨¨ ¢ª § ÷ å à ªâ¥à¨á⨪¨ 墨«ì®¢®£® ¯à®æ¥áã.A method of successive approximations for the solution of mixed boundary problems, arising at modeling of the distur-bances propagation process in ideal non-uniform liquid, is developed. The two-dimensional problems are considered withchanging in time boundary part, where the external forces are applied. The numerical examples are derived for case ofliquid that is non-uniform on depth with exponential change of density. The solution in two approximations with respectto a small parameter related with the non-homogeneity parameter are developed. The solutions are given in form ofintegrals. Asymptotic analysis of the solutions is carried out to study speci�c features of the pressure and liquid particlevelocity distribution near edges of a loaded area. The in
uence of a non-homogeneity on speci�ed physical characteristicsof the wave process is shown.���������§ã票¥ § ª®®¬¥à®á⥩ à á¯à®áâà ¥¨ï¢®§¬ã饨© ¢ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠á⨬㫨àã¥â-áï ¡®«ì訬 ª®«¨ç¥á⢮¬ ¯à¨ª« ¤ëå § ¤ ç. � -ç¨â¥«ìë© ¨â¥à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á«ãç © £¥¥à -樨 ¢®§¬ã饨© ¢ ¯à®æ¥áᥠ㤠à ⥫ ® ¢®-¤ã [1 {3]. �ਠí⮬ ¢ ¦ãî à®«ì ¨£à îâ à §-«¨çë¥ ä ªâ®àë, ¢ª«îç ï ä®à¬ã ⥫ , ¥£® ¨¥à-æ¨®ë¥ á¢®©á⢠¨ ç «ìãî ᪮à®áâì. �।¨¨å ®¤¨¬¨ ¨§ ¢ ¦¥©è¨å ïîâáï ¨§¬¥¥¨¥ ¢®¢à¥¬¥¨ ¯«®é ¤ª¨ ª®â ªâ , ¢¥«¨ç¨ë ª®â ªâ-ëå £à㧮ª ¨ ᢮©á⢠¦¨¤ª®á⨠¯® £«ã¡¨¥. �â¨ä ªâ®àë ¯à¥¤®¯à¥¤¥«ïîâ á«®¦®á⨠¢ ¬ ⥬ â¨-ç¥áª®¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¨ ¯à®æ¥áá à á¯à®áâà ¥¨ï¢®§¬ã饨© ¢ãâਠ¦¨¤ª®áâ¨. �¬¥® à §à ¡®â-ª¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¯¯ à â ¤«ï ®¯¨á ¨ï í⮣®¯à®æ¥áá ¨ ¯®á¢ïé¥ ¤ ï à ¡®â .� áᬠâਢ ¥âáï ¤¢ã¬¥à ï § ¤ ç ® ¯à®¨ª -¨¨ ¢ ¥®¤®à®¤ãî ¯® £«ã¡¨¥ ¦¨¤ª®áâì äà®â ¢®§¬ã饨©, ¢ë§¢ ëå ¥áâ 樮 ன £àã§-ª®© ¯®¢¥àå®áâ¨. � â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ ¨§¬¥-ï¥âáï ¥ ⮫쪮 ¢¥«¨ç¨ £à㧪¨, ® ¨ à §¬¥à
¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï. �¥ ®¡« á⨠¯à¨«®¦¥¨ï¤ ¢«¥¨ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï «¨ç¨¥ ¦¥á⪮© ªàëè-ª¨, ¯à¥¯ïâáâ¢ãî饩 ¤¢¨¦¥¨î ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯à -¢«¥¨¨ ®à¬ «¨ ª ¯®¢¥àå®áâ¨. � ª¨¥ ®£à ¨ç¥-¨ï ¬®£ãâ ç áâ¨ç® ¬®¤¥«¨à®¢ âì á«ãç © «¨-ç¨ï «¥¤®¢®£® ¯®ªà®¢ ¢ âãàëå ãá«®¢¨ïå. �ª®-à®áâì à áè¨à¥¨ï ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï ¢ ç «¥¯à®æ¥áá áç¨â ¥âáï ᢥà姢㪮¢®© á ¯®á«¥¤ãî騬㬥ì襨¥¬ ¤® ¤®§¢ãª®¢ëå § 票©.� áᬮâ८ à¥è¥¨¥ ¤«ï â¥å ¬®¬¥â®¢ ¢à¥-¬¥¨, ª®£¤ ᪮à®áâì äà®â ï¥âáï ¤®§¢ãª®-¢®© á ¯à®¨§¢®«ìë¬ § ª®®¬ ¨§¬¥¥¨ï ¢® ¢à¥-¬¥¨. �®«ãç¥ ï ᬥè ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç à¥-è ¥âáï ¬¥â®¤ ¬¨ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨ ᢥà-⮪ [4 {8].�ç¥â ¢«¨ï¨ï ¥®¤®à®¤®á⨠¦¨¤ª®á⨠¯à®¢¥-¤¥ ¢ à ¬ª å âà ¤¨æ¨®ëå ¯®¤å®¤®¢ ⥮ਨ ¢®§-¬ã饨©. � ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ®â-®á¨â¥«ì® ¯ à ¬¥âà ¥®¤®à®¤®á⨠¯®«ãç¥ë§ ç¥¨ï ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï (¯®â¥æ¨ « ) ¯®¢¥àå®-á⨠¢¥ ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï ¨ ®à¬ «ì®© ª £à -¨æ¥ ᪮à®á⨠ç áâ¨æ ¯®¢¥àå®á⨠í⮩ ¯«®-é ¤ª¨.c
�. �. � £¤®¥¢, �. �. � ªï, 2001 3
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 3 { 9
�¨á㮪. � à⨠å à ªâ¥à¨á⨪ ¢ § ¤ 祮 à á¯à®áâà ¥¨¨ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ᦨ¬ ¥¬ãî ¦¨¤ª®áâì1. ������������ ��������� ��-����� áᬠâਢ ¥âáï ¤¢ã¬¥à ï § ¤ ç ® à á¯à®-áâà ¥¨¨ ¢®§¬ã饨© ¢ ¨¤¥ «ì®© ᦨ¬ ¥¬®©¦¨¤ª®áâ¨, £¥¥à¨à㥬ëå ¨§¬¥¥¨¥¬ ¤ ¢«¥¨ï ¯®¢¥àå®áâ¨. �¨¤ª®áâì § ¯®«ï¥â ¨¦îî ¯®-«ã¯«®áª®áâì. �áì x ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥¢®§¬ã饮©£à ¨æ¥© ¦¨¤ª®áâ¨, ®áì y ¯à ¢«¥ ¢¥à⨪ «ì-® ¢¨§. �¨¤ª®áâì ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¥®¤®à®¤®©á § ¤ ®© äãªæ¨¥© ¨§¬¥¥¨ï ¯«®â®á⨠¯® £«ã-¡¨¥ �=�(y).�§ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨬®¦® ¯®«ãç¨âì ¤«ï ¢®§¬ã饮£® ¤ ¢«¥¨ï p@2p@t2 = a2�@2p@x2 + @2p@y2 �� a2 @p@y�1� @�@y�; (1)£¤¥ a=const { ᪮à®áâì §¢ãª , ¢ëç¨á«¥ ï ¯® § -ç¥¨î ¯«®â®á⨠¯®¢¥àå®áâ¨; t { ¢à¥¬ï. �¯®á«¥¤ãîé¨å ¢ëª« ¤ª å 㤮¡® ¢¬¥áâ® ¤ ¢«¥¨ï p¨á¯®«ì§®¢ âì äãªæ¨î, «®£¨çãî ¯®â¥æ¨ «ã᪮à®á⥩ ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠':p = ��(0)@'@t : (2)�祢¨¤®, çâ® íâ äãªæ¨ï â ª¦¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥âãà ¢¥¨î (1). �ᯮ«ì§ãï ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï�@vy@t = �@p@y ;¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¤«ï ®à¬ «ì®© ª ¯®¢¥àå®áâ¨áª®à®á⨠ç áâ¨æë á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥:vy = �(0)�(y) @'@y : (3)
�ਠà áᬮâ२¨ íªá¯®¥æ¨ «ì®£® § ª® ¨§-¬¥¥¨ï ¯«®â®áâ �̈(y) = �(0)eky¨§ à ¢¥á⢠(3) á«¥¤ã¥â á®®â®è¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥-«¥¨ï ᪮à®á⨠¯®¢¥àå®á⨠y=0:vy = @'@y : (4)�¢¥¤¥¨¥¬ ®¢®© ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ �='e�ky=2 ¨§ãà ¢¥¨ï (1) 室¨¬@2�@t2 = a2�@2�@x2 + @2�@y2 �� a2k24 �: (5)�ਠí⮬ ®à¬ «ì ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¢ëç¨-á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥v = @�@y + k2�:�¡®§ ç ï ¤«¨ã ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï ª ª 2l(t),£à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¯®¢¥àå®á⨠y=0 ¯à¥¤áâ -¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ � = �1(x; t); jxj < l(t);v = 0; jxj > l(t): (6)�®âï ¢ § ¤ ç¥ ¯à®¨ª ¨ï ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¤¢¥ â®ç-ª¨ à §¤¥« £à ¨çëå ãá«®¢¨© x=�l(t), ¢ à ¡®â¥à áᬮâà¥ë «¨èì ⥠¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨, ª®£¤ ®â-áãâáâ¢ã¥â ¢§ ¨¬®¥ ¢«¨ï¨¥ ¢®§¬ã饨© ªà -ïå ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï. �®ç¥¥, ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï,çâ® ¨¬¥îâáï ¤®§¢ãª®¢®© (dl(t)=dt<a ¯à¨ t>t0) ¨á¢¥à姢㪮¢®© (dl(t)=dt>a ¯à¨ t<t0) ०¨¬ë ¨§-¬¥¥¨ï ¤«¨ë ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï. �«ï ¢â®-ண® á«ãç ï ¯®« £ ¥¬ l(t)= l1(t), ¤«ï ¯¥à¢®£® {l= l2(t).� ª ¢¨¤® ¨§ à¨á㪠, å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯®«ï¢¡«¨§¨ x= l2(t) ¬®¦¥â ¢«¨ïâì ᢥà姢㪮¢ ï ç áâ좮§¬ã饨© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ªà¨¢®© x=�l1(t). �â-¬¥â¨¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â¯®«ã祮 ¨¦¥, á®åà ï¥â 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«. �®á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢áî¤ã ¯à ¢¥¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ AB.� áᬮâਬ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ t>t0 ¨ â®çª¨ x, t¢ ¯«®áª®á⨠(x0; t0), ¤«ï ª®â®àëå å à ªâ¥à¨á⨪¨¯¥à¥á¥ª îâ ¤®§¢ãª®¢ãî ç áâì äà®â , ¨¬¥®,x= l2(t). �ਠk=0 (â. ¥. ¤«ï ®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®-áâ¨) à¥è¥¨¥ ¤ ®© § ¤ ç¨ á®¢¯ ¤ ¥â á à¥è¥¨¥¬§ ¤ ç¨ ® ªàë«¥ [8].�«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®ª § ⥫ï íªá¯®¥âë k § -¤ ç ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥ ¬¥â®¤®¬ ᢥà⮪ [4, 7],4 �. �. � £¤®¥¢, �. �. � ªï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 3 { 9®¤ ª® ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¯à¨ í⮬ ª¢ ¤à âãàë ¤®¢®«ì-® á«®¦ë, çâ® § âàã¤ï¥â 䨧¨ç¥áª¨© «¨§ à¥-襨ï. �®í⮬㠢 ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâà¨-¢ âì á«ãç ©, ª®£¤ ¯ à ¬¥âàë ¦¨¤ª®á⨠⠪®¢ë,çâ® ¢¥«¨ç¨ ka ¬ « . � «¨§ ¢®«®¢®£® ¯®«ï¯à®¢¥¤¥¬, ¯à¨¨¬ ï ¢® ¢¨¬ ¨¥ «¨èì ¡¥áª®¥ç-® ¬ «ë¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . �®£¤ ¢ ãà ¢¥¨¨ (4)¬®¦® ®¯ãáâ¨âì á« £ ¥¬®¥ á k2a2 ¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨¨ v ãà ¢¥¨¥@2v@t2 = a2�@2v@x2 + @2v@y2 �: (7)� â ª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¢®§¬ãé î饥 ¢«¨ï¨¥ ¥-®¤®à®¤®á⨠á®åà ï¥âáï ⮫쪮 ¢ £à ¨çëåãá«®¢¨ïå ¯à¨ y=0, ª®â®àë¥ ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤@v@y = f(x; t) + k2 v; x < l2(t);v = 0; x > l2(t); (8)£¤¥ f(x; t) = 1a2 @2�1@t2 � @2�1@x2 ;�1(x; t) = � 1�(0) tZF (x) p1(x; t0)dt0:�¤¥áì äãªæ¨ï p1(x; t0) { § ¤ ®¥ ¤ ¢«¥¨¥ £à -¨æ¥. � ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï äãªæ¨¨ v £à ¨ç ï§ ¤ ç «®£¨ç ⨯«®áª®© § ¤ ç¥ ® âà¥é¨¥¢ ¨§®âய®© ã¯à㣮© á।¥ [4 {7]. �«¨ï¨¥ ¥-®¤®à®¤®á⨠¦¨¤ª®á⨠¥áª®«ìª® ãá«®¦¨«® £à -¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ § áç¥â á¢ï§¨ § 票© ¨áª®¬®©äãªæ¨¨ ¨ ¥¥ ®à¬ «ì®© ¯à®¨§¢®¤®©.2. ����������� ���������� ���-������ �������� �� ����������������������¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7) ¯à¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨-ïå (8) ¬®¦® ¨áª âì ¬¥â®¤®¬, ®¯¨á ë¬ ¢ [6{8].�®£« á® [8], ¤«ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ ¯à¨ y=0 ¬®¦®§ ¯¨á âì ¨â¥£à « �®áᨮv = � a� ZZ �@v=@y�y=0pT dx0dt0;T = a2(t � t0)2 � (x� x0)2; (9)£¤¥, ¨áå®¤ï ¨§ £à ¨çëå ãá«®¢¨© (8), ¯à¨ x<l2(t)á¯à ¢¥¤«¨¢® @v@y!y=0 = f(x0; t0) + k2 v(x0; t0): (10)
�ਠí⮬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢ á®®â®è¥¨¨ (9), ¨á-å®¤ï ¨§ à áá㦤¥¨©, ¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ [5,8], ¢ ª®â®-àëå à áᬮâà¥ë «®£¨çë¥ § ¤ ç¨ ® âà¥é¨¥¨ ªàë«¥ ¢ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å�0 = at0 � x0; �0 = at0 + x0;�0 = at� x; �0 = at+ x; (11)¤®«¦® ¢¥áâ¨áì ¯® § èâà¨å®¢ ®© ®¡« á⨠s0(á¬. à¨á㮪), ¢ ¯à¥¤¥« å�a(�0) < �0 < �0; �1(�0) < �0 < �0: (12)�¤¥áì § 票¥ �a ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®çª¥ ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï å à ªâ¥à¨á⨪¨ �0=�0=at2+l2(t2) á ªà¨¢®©x0= l2(t0):�a(�0) = at2 � l(t2); at+ x = at2 + l2(t2); (13) �0=�1(�0) { ¯¥à¥á¥ç¥¨î å à ªâ¥à¨á⨪¨ �0 == at1�x1 á ªà¨¢®© x1= l1(t1):�1(�0) = l1(t1) + at1; �0 = at1 � l1(t1): (14)�®, çâ® ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢ á®®â®è¥¨¨ (9) á«¥¤ã¥â¯à®¢®¤¨âì ¯® ®¡« á⨠s0, ¢ë⥪ ¥â ¨§ £à ¨ç®£®ãá«®¢¨ï v=0 ¯à¨ x>l2(t) [5,8]. �ਠí⮬, ®¡®§ -ç ï @v@y!y=0 = �1(�0; �0);¬®¦® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî饥 à ¢¥á⢮:�2(�0)Z�1(�0) �1(�0; �0)p�0 � �0 d�0 + �0Z�2(�0) �1(�0; �0)p�0 � �0 d�0 = 0; (15)£¤¥ �2(�0) = l2(t02) + at02; l2(t02) � at02 = �0: (16)�âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ®â«¨çë¬ ®â ã«ï ¢ ¢ëà ¦¥-¨¨ (9) ¡ã¤¥â «¨èì ¢ª« ¤ ¨â¥£à « ¯® ®¡« á⨠s0.� «®£¨ç®¥ § ª«î票¥ ¡ë«® ¯®«ã祮 ¢ [5] ¤«ïá«ãç ï t1=0, k=0 ¨ ¢ [8] ¤«ï k=0.�஢¥¤ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢ ä®à¬ã«¥ (9) «®-£¨ç® [8], á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï (10) ¯®«ã稬 ¯à¨x<l2(t) ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ᪮à®á⨠ç -áâ¨æ ¯«®é ¤ª¥ £à㦥¨ïV (�0; �0) = v(x0; t0);V�(�0; �0) = � 12� �0Z�a(�0) d�0p�0 � �0�� �0Z�1(�0) f1(�0; �0) + kV�(�0; �0)=2p�0 � �0 d�0; (17)�. �. � £¤®¥¢, �. �. � ªï 5
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 3 { 9£¤¥ f1(�0; �0)=f(x0; t0). �¤¥ªá \¬¨ãá" 㪠§ë¢ -¥â â®, çâ® äãªæ¨ï ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨x>l2(t). � á«ãç ¥ ®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®á⨠k=0 ¨§á®®â®è¥¨ï (17) ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 à¥è¥¨¥:V 0� = � 12� �0Z�a(�0) d�0p�0 � �0 �0Z�1(�0) f1(�0; �0)p�0 � �0 d�0: (18)� ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® k¨§ ¨â¥£à « (17) ¯®«ã稬 § ¬ªã⮥ à¥è¥¨¥ ¤«ïv, ¯à¨ç¥¬ ¯®¤ § ª®¬ ¨â¥£à « á«¥¤ã¥â ¯®«®¦¨âìV�(�0; �0)=V 0�(�0; �0), £¤¥ § 票¥ ᪮à®á⨠¢ ã-«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©V�(�0; �0) � V 0�(�0; �0) == � 12� �0Z�a(�0) d�00p�0 � �00 �0Z�1(�00) f1(�00; �00)p�0 � �00 d�00: (19)�¤¥áì ®¡« áâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ®£à ¨ç¥ å à ª-â¥à¨á⨪ ¬¨ �00=�0, �00=�0, �00=�a(�0), £¤¥�a(�0) = at03 � l2(t03); �0 = at03 + l2(t003);�1(�00) = l1(t01) + at01; �00 = at01 � l1(t01):�®à¬ã« (19) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï â®ç¥ª ¨â¥£à¨à®-¢ ¨ï (�0; �0) ¢ (17), ¤«ï ª®â®àëå å à ªâ¥à¨áâ¨-ª �00=�0 ¯¥à¥á¥ª ¥â ªà¨¢ãî x0= l2(t0), â. ¥. ¤«ï�0>�e= l2(�t)+c�t (á¬. à¨á㮪). �«ï â®ç¥ª (�0; �0),¤«ï ª®â®àëå ® ¯¥à¥á¥ç¥â ªà¨¢ãî x0= l1(t0) ¢®¡« á⨠x0<l2(�t), â. ¥. ¤«ï �0<�e, ¢ (19) 㦮 ¨-⥣à¨à®¢ âì ¯® �00 ¢ ¯à¥¤¥« å �1(�0)<�00<�0, £¤¥�1(�0) = c�t3 � l1(�t3); �0 = c�t3 + l1(�t3):� ª¨¬ ®¡à §®¬, ä®à¬ã« (17) ¤ ¥â ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì-®© â®çª¨ (x; t), 室ï饩áï ¯à ¢¥¥ å à ªâ¥à¨-á⨪¨ AB, § 票¥ v�(x; t)=V�(�0; �0) ãç á⪥ £à㦥¨ï, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï ¬ «ëå k § 票¥ ᪮à®-á⨠¯®¤ § ª®¬ ¨â¥£à « V 0�(�0; �0) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï¢ëà ¦¥¨¥¬ (19).�«ï x� l2(t) ¢®¢ì ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â®è¥-¨¥ (17), ª®â®à®¥ ¬®¦® ã¯à®áâ¨âì, ¯à¨¢¥¤ï ¯à¨x<l2(t) ª ¢¨¤ãv(x; t) = � 2�s l(t2) � x1 + _l2(t)=a�� xZl1(t01)(f�x0; t+ x0a � xa�++k2V 0�(�0; �0 + 2x0)) dx0px� x0 : (20)
�®«ã祮¥ à¥è¥¨¥ ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìãî ª®à¥-¢ãî ®á®¡¥®áâì ¤«ï ᪮à®á⨠ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠¯«®é ¤ª¥ ª®â ªâ ⮫쪮 ¤«ï £à ¨ç®© äãªæ¨¨�1(x0; t0), £« ¤ª®© ¢ â®çª¥ x0= l2(t0). � á«ãç ¥ à §-à뢮© ¯® ¯à®¨§¢®¤®© äãªæ¨¨ �1(x0; t0) ¢ â®ç-ª¥ x0= l2(t0) ¨â¥£à « (20) ¯à¨¢®¤¨â ª § ¢ë襮©®æ¥ª¥ ᨣã«ïà®á⨠¢ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ᪮à®á⥩ç áâ¨æ ¯à¨ x= l2(t), ¯à¨ç¥¬ ®á®¡¥®áâì ¢ v(x; t)®¡ãá«®¢«¥ á« £ ¥¬ë¬ áf(x0; t0) = 1a2 @2�1@t02 � @2�1@x02 :�᫨ ¨á¯®«ì§®¢ âì íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨áª®à®áâ¨, â® ¤«ï á« £ ¥¬®£® ¯à¨ ã«¥¢®© á⥯¥¨k ¯®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ç áâï¬ ¯®«ãç ¥¬ á«¥-¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥:v0(x; t) = � 1� ZZ �1(x0; t0)T 3=2 dx0dt0: (21)�«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᪮à®á⨠¢ â®çª å, ¡«¨§ª¨å ªªà î ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï x� l2(t), ¯®á«¥ ®¤®-ªà ⮣® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ãv0�(x0; t0) = 12�q1 + _l2(t)=apl2(t) � x �� xZl1(t01) �1(x0; t� x=a+ x0=a)(x � x0)3=2 dx0: (22)�®¦¨â¥«ì ¢¥ ¨â¥£à « ᮤ¥à¦¨â ª« áá¨ç¥áªãॢãî ᨣã«ïà®áâì. �⬥⨬, çâ® ¢ á«ãç ¥®â«¨ç®© ®â ã«ï äãªæ¨¨ �1(x0; t0) ª®æ¥ ¨-â¥à¢ « x= l2(t) ¨â¥£à « ¤ ¥â ¢ª« ¤ ¢ 㢥«¨ç¥-¨¥ ᨣã«ïà®áâ¨. �«ï í⮣® á«ãç ï £à㦥¨ï¬®¦® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãîéãî ®æ¥ªã ¤«ï ¯®«ï ᪮-à®á⥩:v0 = � 12� 1� _l22(t)=a2q1 + _l2(t)=a(l2(t)� x)3=2�� xZl1(t01) �1(x0; t� x=a+ x0=a) dx0px� x0 : (23)�ਢ¥¤¥ë¥ ®æ¥ª¨ ®â®áïâáï ⮫쪮 ª ¥§ ¢¨-áï饬㠮⠯®ª § â¥«ï ¥®¤®à®¤®á⨠¦¨¤ª®á⨯¥à¢®¬ã á« £ ¥¬®¬ã, áâ®ï饬㠢 䨣ãàëå ᪮¡-ª å ¢ ®¡é¥¬ ¢ëà ¦¥¨¨ (20) ¤«ï ᪮à®á⨠¯®¤ ¯«®-é ¤ª®© £à㦥¨ï. �â® ª á ¥âáï ¢â®à®£® á« -£ ¥¬®£®, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯¥à¢®© á⥯¥¨ k, ⮬®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¢¡«¨§¨ x= l2(t) ¢ á«ãç ¥ £à -¨ç®£® ãá«®¢¨ï á ¥ã«¥¢ë¬ § 票¥¬ ¤ ¢«¥¨ï¢ ª®æ¥ ¨â¥à¢ « ®® ¤ ¥â ®á®¡¥®áâì ¯®à浪 p�0 � �a(�0) �p�x + l2(t):6 �. �. � £¤®¥¢, �. �. � ªï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 3 { 9� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ áâ àè¨å ¯®à浪 å à §«®¦¥¨ïå à ªâ¥à ᨣã«ïà®á⨠¢ ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¢¡«¨§¨ªà ï ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï ¥ § ¢¨á¨â ®â k.�®«ãç¥ë¥ á®®â®è¥¨ï á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¤«ï â¥åâ®ç¥ª (x; t), ¤«ï ª®â®àëå å à ªâ¥à¨á⨪ �0=�0¯¥à¥á¥ª ¥â ¯à ¢ãî ¢¥â¢ì ᢥà姢㪮¢®© ç á⨠£à -¨ç®© ªà¨¢®© x0= l1(t0). �«ï â¥å ¦¥ â®ç¥ª, ¤«ï ª®-â®àëå ® ¯¥à¥á¥ç¥â «¥¢ãî ¢¥â¢ì x0=�l1(t0), á«¥-¤ã¥â ¢ 㪠§ ëå á®®â®è¥¨ïå § ¬¥¨âì l1(t0) �l1(t0) ¨ ¢®®¡é¥ áç¨â âì ¢® ¢á¥å, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨¯®á«¥¤ãîé¨å ä®à¬ã« å, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ \¯¥à¥¤¥©ªà®¬ª¨" á«¥¤ã¥â ¡à âì x0=�l1(t0) [8].3. �������� ���������� ��� ����-�� ���������à㣮© ¢ ¦®© 䨧¨ç¥áª®© å à ªâ¥à¨á⨪®©¯à®æ¥áá à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®§¬ã饨© ¢ ¥®¤®-த®© ¦¨¤ª®á⨠ï¥âáï ¤ ¢«¥¨¥ ¯®¤ ¦¥á⪨¬íªà ®¬ ¢¥ ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï. �«ï ⮣®, çâ®-¡ë ©â¨ 㪠§ ®© ç á⨠£à ¨æë y=0 § -ç¥¨ï ¯®â¥æ¨ « , ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ¬¥â®¤ ᢥà-⮪ [4, 7]. �¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票¥ =@�=@y ¨ ¯à¥¤-áâ ¢¨¬ ¤¢¥ ¨áª®¬ë¥ äãªæ¨¨ ¢ ¢¨¤¥� = �+(t; x) + ��(t; x); = +(t; x) + �(t; x):�¯à¥¤¥«¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � ¯« á ¯® ¢à¥¬¥¨ tª ª �L(x; y; s) = 1Z0 e�st0�(x; y; t0)dt0:�ç¨âë¢ ï, çâ® ¢ ¯à¨ï⮬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¤«ï ¨á-ª®¬®© äãªæ¨¨ �(x; y; t) á¯à ¢¥¤«¨¢® ª« áá¨ç¥áª®¥¢®«®¢®¥ ãà ¢¥¨¥ (7), ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ®© ¯®� ¯« áã äãªæ¨¨ ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ �L = 1Z�1 e�i�1x�i�y�LF d�1;£¤¥ �LF { ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ �ãàì¥ ®â �L(x; 0; s) ¯®ª®®à¤¨ ⥠x. �ਠí⮬ ¤«ï ¯ à ¬¥âà � ¯®«ã-ç ¥¬ § 票¥ �= ips2=a2+�21. � £à ¨æ¥ ¯®-«ã¯«®áª®á⨠¨¬¥îâ ¬¥áâ® á®®â®è¥¨ï�LF = SLF LF ;SLF = � 1ps2=a2 + �21 : (24)
�ᯮ«ì§ãï ¨§¢¥áâãî ä ªâ®à¨§ æ¨î äãªæ¨¨SLF =SLF+SLF� [7],SLF+ = 1ps=a � i�1 ;SLF� = � 1ps=a+ i�1 ; (25)¨ ¢¢¥¤ï ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¥ äãªæ¨¨ PLF�=1=SLF�,¬®¦®, «®£¨ç® [4, 7], ¯®«ãç¨âì à¥è¥¨ï ¤«ï¯®â¥æ¨ « ¢¥ ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï ¨ ᪮à®á⨢ãâਠ¥¥:�+ = S+ �� f(S� �� + � P+ ����)��H(x� l2)g; � = �P� �� f(S� �� + � P+ ����)��H(l2 � x)g; (26)£¤¥ H(x) { ¥¤¨¨ç ï äãªæ¨ï �¥¢¨á ©¤ ; l2 == l2(t). �¢¥§¤®çª¨ ®¡®§ ç îâ ᢥà⪨ ¯® x0, t0.�¤¥áì ��=�1(t; x) ¨ +(t; x) § ¤ îâáï £à ¨çë-¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ (6), ¯à¨ç¥¬ +=�k�+=2, £¤¥ �+¯®¤«¥¦¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î. �ਠí⮬ ¯¥à¢®¥ à ¢¥-á⢮ (26) ¤ ¥â ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥-¤¥«¥¨ï�+(t; x) = � a2�k ZZ �+(t0; x0)pT dx0dt0��S+ �� f(P+ �� ��)H(x� l2)g: (27)�« £ ¥¬®¥ ¢¥ ¨â¥£à « , ª®â®à®¥ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ª ª �1+(t; x), ï¥âáï, ¯®-áãâ¨,ã«¥¢ë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ à¥è¥¨ï, ¥§ ¢¨áï騬 ®â¯®ª § â¥«ï ¥®¤®à®¤®á⨠k. � ᮮ⢥âá⢨¨ á¯à®æ¥¤ãன ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¦¥-¨© § 票¥ ¯®â¥æ¨ « ¢¥ ¯«®é ¤ª¨ £à㦥-¨ï ¯®«ã稬, § ¬¥¨¢ ¢ ¯®¤ëâ¥£à «ì®¬ ¢ëà -¦¥¨¨ ä®à¬ã«ë (27) �+(t0; x0) �1+(t0; x0). �ãª-樨 S+, P+ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë ¨§ ¢ëà ¦¥-¨© (25) ¢ १ã«ìâ ⥠¯à¨¬¥¥¨ï ®¡à âëå ¯à¥-®¡à §®¢ ¨© ¯® � ¯« áã ¨ �ãàì¥ [7]:S+(t; x) = �H(x) �(t� x=a)p�px ;P+(t; x) = 12p� �(t� x=a)H(x)x�3=2: (28)� áᬮâਬ ¯®«ã祮¥ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¤«ïç á⮣® á«ãç ï á®á।®â®ç¥®© £à㧪¨, ª®£¤ �1 = �0� = ��(x� �)H(t � � ): (29)�. �. � £¤®¥¢, �. �. � ªï 7
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 3 { 9�â® ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ¯®«ãç¨âì ¡®«¥¥ 㤮¡®¥ ¢ë-à ¦¥¨¥ ¤«ï �1+(t; x). � í⮬ ç á⮬ á«ãç ¥ ¤«ï¢ãâ॥© ᢥà⪨ ¢® ¢â®à®¬ á« £ ¥¬®¬ ¢ á®®â-®è¥¨¨ (27) ¨¬¥¥¬P+ �� �0� = � 12p� H(x� �)(x� �)3=2��H�t� � � xa + �a�: (30)�ਠí⮬ ¯®â¥æ¨ « ¯®¤ ¦¥á⪨¬ íªà ®¬ ¤«ï ®¤-®à®¤®© ¦¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «®¬�10+ = � 12� 1Z�1 H(x0)H(x� x0 � �)px0 ��H(t � � � x=a+ �=a)(x� x0 � �)3=2 ��Hfx� x0 � l2(t� x0=a)gdx0:�®á«¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¤«ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ å®-¤¨¬ ¥ ¢ëà ¦¥¨¥�10+=� 1� H(t���x=a+�=a)x�� px�l2(t0)pl2(t0)�� : (31)�«ï ¯à®¨§¢®«ì®© £à ¨ç®© äãªæ¨¨��=�1(t; x), ¯®«ì§ãïáì [4], ¯®«ãç ¥¬ ¨â¥-£à «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥�1+(t; x) = px� l2(t0)�pa �� tZ0 �1f�; x� (t � � )ag d�pt0 � � (t� � ) ; (32)£¤¥ ãç⥮ á®®â®è¥¨¥, á¯à ¢¥¤«¨¢®¥ å à ª-â¥à¨á⨪¥l2(t0)� x+ a(t � � ) = a(t0 � � ): (33)� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ®¡à é î饩áï ¢ ã«ì äãª-樨 �1(t; x) ¢ â®çª¥ x= l2(t) ¯®«ãç ¥¬ ¨§¢¥á⮥¯®¢¥¤¥¨¥ �1+(t; x) ¢¡«¨§¨ x= l2(t) ¯à¨ ¯®¤å®¤¥ ªâ®çª¥ á® áâ®à®ë íªà ¨à®¢ ®© ¯®¢¥àå®áâ¨.�¤ ª® ¤«ï ç á⮣® á«ãç ï à ¢®¬¥à®£® à á¯à¥-¤¥«¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï ¯® ¯®¢¥àå®á⨠�1=const ¨§ (32) 室¨¬ �1+(t; x) = 2��1arctgr t0t� t0 ; (34)®âªã¤ ¯à¨ x� l2(t), t= t0 á«¥¤ã¥â �1+(t; x)=�1.
�«ï ¥®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥®â®á¨â¥«ì® k ¨§ á®®â®è¥¨© (27) ¨ (32) á«¥¤ã¥â�+(t; x) = �1+(t; x)�� k4� �0Z�a(�0) d�0p�0 � �0 �0Z�1(�0) �1+(t0; x0)p�0 � �0 d�0; (35)£¤¥ �1+(t; x) § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (32). �⥣à¨à®-¢ ¨¥ ¢® ¢â®à®¬ á« £ ¥¬®¬ ¯à ¢®© ç á⨠¢ë¡à ®¯® ®¡« á⨠s0 (á¬. à¨á㮪), ¯®áª®«ìªã, ᮣ« á®á®®â®è¥¨î (9), ¢ ®¤®à®¤®© ¦¨¤ª®áâ¨, à¥è¥-¨¥ ¤«ï ª®â®à®© á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì ¢ ¨â¥£à «,á¯à ¢¥¤«¨¢® v0(t; x)=0 ¯à¨ x>l2(t) ¨v � @�@y ;v0(t; x) = � a�� 1a2 @2@t2 � @2@x2��� ZZ �(t0; x0)pT dx0dt0: (36)�â® ¯®§¢®«ï¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì á®®â®è¥¨¥ (15) ¤«ïã¯à®é¥¨ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à «®¢.� ª ¢¨¤® ¨§ ä®à¬ã«ë (35), ¤«ï x� l2(t) ¯®-«ãç ¥¬ ¨§¢¥áâë© å à ªâ¥à ¯®¢¥¤¥¨ï ¢¡«¨§¨ªà ï: �+(t; x)�px�l2(t). �«ï x� l2(t) ¢ á«ãç ¥�1=const ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ä®à-¬ã«ë (35) à ¢® �1, ¢â®à®¥ {�k��1p�0 + �1(�0)q�0 � �a(�0):� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥®¤®à®¤®áâ즨¤ª®á⨠¥ ¢«¨ï¥â à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯®â¥æ¨- « ¢¡«¨§¨ ªà ï ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï. � á«ã-ç ¥ �1=Bft�F (x)g ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (32) ®á®¡¥®áâì¯à¨ x= l2(t), t0� t ¬®¦¥â ¤ âì ⮫쪮 § 票¥� � t. �¡«¨§¨ ¢¥à奣® ¯à¥¤¥« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï¨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â®è¥¨¥� � Ffl2(t)� (t� � )ag � _Ffl2(t)gfa� _l2(t)g(t � � ):�«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨â¥£à « ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ (32)¡ã¤¥â á室ï騬áï, § ç¨â �1+(t; x)�px�l2(t).�®ç® â ª ¦¥, ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® á« £ ¥¬®¥ ák ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (35) ¨¬¥¥â ¯®à冷ª px�l2(t), ¯®-᪮«ìªã ¨â¥£à « ¯® �0 ª®¥ç¥. �âáî¤ ¢¨¤®,çâ® ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯®¢¥¤¥¨ï v, 㪠§ ®£® ¢ ª®æ¥¯à¥¤ë¤ã饣® à §¤¥« , ¥®¤®à®¤®áâì áãé¥á⢥-® ¢«¨ï¥â ¯®¢¥¤¥¨¥ ¯®â¥æ¨ « �+(t; x) ¢¡«¨§¨ªà ï ¯«®é ¤ª¨ £à㦥¨ï ¯®¢¥àå®áâ¨.8 �. �. � £¤®¥¢, �. �. � ªï
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 3 { 9����������� §¢¨â ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ᬥè ëå £à ¨çëå§ ¤ ç, ¢®§¨ª îé¨å ¯à¨ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¨ ¯à®æ¥á-á à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®§¬ã饨© ¢ ¥®¤®à®¤®©¯® £«ã¡¨¥ ¨¤¥ «ì®© ¦¨¤ª®áâ¨. �à¨ à §à ¡®âª¥¬¥â®¤ áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¨á¯®«ì§®¢ ë à¥-§ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ ª« áá¨ç¥áª¨å § ¤ ç å â¥-®à¨¨ ã¯à㣮á⨠¨ § ¤ ç å ®¡â¥ª ¨ï ªàë« . �â-¬¥â¨¬, çâ® ¤ ë© ¬¥â®¤ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®-¢ ¯à¨ à áᬮâ२¨ § ¤ ç¨ ® ¯à®¨ª ¨¨ § -â㯫¥ëå ⥫ ¢ ¦¨¤ª®áâì á ¤®§¢ãª®¢®© ᪮à®áâì¨¦¥¨ï â®ç¥ª £à ¨æë ᬮ祮© ¯®¢¥àå®áâ¨.�ᮢ®¥ ¬¥áâ® ¢ à ¡®â¥ ®â¢¥¤¥® «¨§ã ¢ë-à ¦¥¨© ¤«ï ᪮à®á⨠ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠¯«®-é ¤ª¥ £à㦥¨ï ¨ ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩(¤ ¢«¥¨ï) ¯®¤ ¦¥á⪨¬ íªà ®¬ ¢¥ ¯«®é ¤ª¨ -£à㦥¨ï. �®áª®«ìªã ®¡é¨¥ à¥è¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥-ë ¢ ¢¨¤¥ ¤®¢®«ì® á«®¦ëå ª¢ ¤à âãà, § ç¨-⥫쮥 ¢¨¬ ¨¥ 㤥«¥® ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ ®æ¥-ª ¬ ¨áª®¬ëå ¢¥«¨ç¨ ¢¡«¨§¨ ªà ï ¯«®é ¤ª¨ -£à㦥¨ï. �ਠí⮬ ¨§ã祮 ¢«¨ï¨¥ å à ªâ¥-à à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï ¯«®é ¤ª¥ £à㦥-¨ï å à ªâ¥à ᨣã«ïà®á⨠¢ ¢ëà ¦¥¨¨ ¤«ï᪮à®á⨠ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ªà ï ¯«®é ¤ª¨.�áâ ®¢«¥®, çâ® ¥®¤®à®¤®áâì ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯¥à-¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¥ ¢«¨ï¥â å à ªâ¥à ᨣã«ïà-
®á⨠¢ ¢ëà ¦¥¨¨ ¤«ï ᪮à®áâ¨. �¤ ª® à á¯à¥-¤¥«¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¯®¤ ¦¥á⪨¬ íªà ®¬ áãé¥á⢥-® § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥âà ¥®¤®à®¤®á⨠¦¨¤ª®-áâ¨.1. �ã¡¥ª® �. �. �¡ 㤠ॠã¯à㣮© ®¡®«®çª¨ ®¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠// �®¯®¢÷¤÷ �� ����.�¥à. �.{ 1974.{ N 2.{ �. 164{167.2. � £®¬®ï �. �. �¤ à ¨ ¯à®¨ª®¢¥¨¥ ⥫ ¢¦¨¤ª®áâì.{ �.: �§¤-¢® �®áª. ã-â , 1986.{ 172 á.3. � ¢à¨«¥ª® �. �. �¥à⨪ «ìë© ¥á¨¬¬¥âà¨çë©ã¤ à ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ® ¯®¢¥àå®áâìᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠// �ªãáâ. ¢÷á.{ 2000.{ 3,N 1.{ �. 10{22.4. � à ©ª¨ �. �., �«¥¯ï �. �. �«®áª ï § ¤ ç ®¤¨ ¬¨ª¥ âà¥é¨ë ¢ ã¯à㣮¬ ⥫¥ // �§¢¥áâ¨ï�� ����. ���.{ 1979.{ N 4.{ �. 54{73.5. �ª¨ �., �¨ç à¤á �. �®«¨ç¥á⢥ ï ᥩᬮ«®£¨ï:¢ ¤¢ãå ⮬ å.{ �.: �¨à, 1980.{ 880 á.6. �®áâ஢ �. �. �¥ãáâ ®¢¨¢è ïáï âà¥é¨ ¯à®-¤®«ì®£® ᤢ¨£ // ���.{ 1966.{ 30, ¢ë¯. 6.{�. 1048{1050.7. �®àã稪®¢ �. �. �¥â®¤ë ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ⥮ਨã¯à㣮áâ¨.{ �.: � 㪠, 1986.{ 328 á.8. �à ᨫì騪®¢ �. �. �®ª®¥ ªàë«® ¢ ᦨ¬ ¥¬®¬¯®â®ª¥.{ �.: � 㪠, 1978.{ 223 á.
�. �. � £¤®¥¢, �. �. � ªï 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1288 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T16:54:17Z |
| publishDate | 2001 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Багдоев, А.Г. Саакян, С.Г. 2008-07-24T15:57:37Z 2008-07-24T15:57:37Z 2001 Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость / А. Г. Багдоев, С. Г. Саакян // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 3. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1288 539.1 Развит метод последовательных приближений для решения смешанных граничных задач, возникающих при моделировании процесса распространения возмущений в идеальной неоднородной жидкости. Рассмотрена двумерная задача с переменной во времени частью границы, на которой приложены внешние воздействия. Конкретные выкладки проведены для случая неоднородной по глубине жидкости с экспоненциальным изменением плотности. Построены решения в двух приближениях относительно малого параметра, связанного с показателем экспоненты. Решение представлено в виде квадратур. Проведен асимптотический анализ решений для оценки характера поведения давления и скорости частиц жидкости вблизи края площадки нагружения. Показано влияние неоднородности на физические характеристики волнового процесса. Розвинуто метод послідовних наближень для розв'язання змішаних граничних задач, що виникають при моделюванні процесу розповсюдження збурень в ідеальній неоднорідній рідині. Розглянуті двовимірні задачі зі змінною в часі скінченною частиною поверхні, до якої прикладено зовнішні зусилля. Конкретні розв'язки наведено для випадку неоднорідної по глибині рідини з експоненціальною зміною густини. Побудовані розв'язки з точністю до двох наближень відносно малого параметру, пов'язаного з показником експоненти. Розв'язки представлені у вигляді квадратур. Проведено асимптотичний аналіз розв'язків з метою визначення характеру поведінки функції тиску та швидкості частинок рідини поблизу границі області, до якої прикладено зовнішнє навантаження. Показано вплив неоднорідності рідини на вказані характеристики хвильового процесу. A method of successive approximations for the solution of mixed boundary problems, arising at modeling of the disturbances propagation process in ideal non-uniform liquid, is developed. The two-dimensional problems are considered with changing in time boundary part, where the external forces are applied. The numerical examples are derived for case of liquid that is non-uniform on depth with exponential change of density. The solution in two approximations with respect to a small parameter related with the non-homogeneity parameter are developed. The solutions are given in form of integrals. Asymptotic analysis of the solutions is carried out to study specific features of the pressure and liquid particle velocity distribution near edges of a loaded area. The influence of a non-homogeneity on specified physical characteristics of the wave process is shown. ru Інститут гідромеханіки НАН України Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость Pressure penetration in compressible inhomogeneous fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость Багдоев, А.Г. Саакян, С.Г. |
| title | Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость |
| title_alt | Pressure penetration in compressible inhomogeneous fluid |
| title_full | Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость |
| title_fullStr | Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость |
| title_full_unstemmed | Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость |
| title_short | Проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость |
| title_sort | проникновение давления в сжимаемую неоднородную жидкость |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1288 |
| work_keys_str_mv | AT bagdoevag proniknoveniedavleniâvsžimaemuûneodnorodnuûžidkostʹ AT saakânsg proniknoveniedavleniâvsžimaemuûneodnorodnuûžidkostʹ AT bagdoevag pressurepenetrationincompressibleinhomogeneousfluid AT saakânsg pressurepenetrationincompressibleinhomogeneousfluid |