Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature

We show with a direct numerical analysis that a dilute Bose gas in an external potential - which is choosen for simplicity as a radial parabolic well - undergoes at certain temperature Tc a phase transition to a state supporting macroscopic fraction of particles at the origin of the phase space (r=0...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Физика низких температур
Date:2001
Main Author: Kulik, I.O.
Format: Article
Language:English
Published: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2001
Subjects:
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129021
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature / I.O. Kulik // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 9-10. — С. 1179-1182. — Бібліогр.: 17 назв. — англ.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859718131240402944
author Kulik, I.O.
author_facet Kulik, I.O.
citation_txt Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature / I.O. Kulik // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 9-10. — С. 1179-1182. — Бібліогр.: 17 назв. — англ.
collection DSpace DC
container_title Физика низких температур
description We show with a direct numerical analysis that a dilute Bose gas in an external potential - which is choosen for simplicity as a radial parabolic well - undergoes at certain temperature Tc a phase transition to a state supporting macroscopic fraction of particles at the origin of the phase space (r=0,p=0). Quantization of particle motion in a well wipes out sharp transition but supports a distribution of radial particle density ρ(r) peacked at r=0 (a real-space condensate) as well as the phase-space Wigner distribution density W(r, p) peaked at r=0 and p=0 below the crossover temperature Tc* of order of Tc. Fixed-particle-number canonical ensemble which is a combination of the fixed-μ condensate part and the fixed-m excitation part is suggested to resolve the difficulty of large fluctuation of the particle number (δN~N) in the Bose-Einstein condensation problem treated within the orthodox grand canonical ensemble formalism.
first_indexed 2025-12-01T08:13:03Z
format Article
fulltext ��� ������� �� ����� ��������� ��������������� �"!"!$#"�&%(' ��)*�� �+�,-'/.102#�! 35476�8�859":�;<8�8�=�> ? @ A B C D E F G H I J K H L G L M N O G N J H P Q M N Q N H O Q I R P G S M J G T H J H P I M U P G V K G W H P R W G X R I Q Y Z [ F G H I J K H L G L M N O G N J H P Q M N Q N H O Q I R P G S M J G T H J H P I M U P G V K G W H P R W G \^]`_badc�egfh_ ij]kimlbnhop]qnger_ s�tulvnwtxny_wobt�a�z{s�]}|~l ej]�� _�e �g�~��� � � ����� �b�/�g���`��� ���-�b���{�<��� � � �*��� � ¡�¢¤£"�x¥¦¢�§�¨�©�ª¬«�­¯® °d­u±�²(®´³�µ¶�x¥&¢7·-¥�®¤¸¶�¹¡º­¯®´¢�«/±�²(®´³�µ���¥&¢�±/»-¥¼µ¶� ¡���½¼¾¬¿�À�À ±�Á ¦¡dµ��d«Ã�Ä�Å$ƹÇ�È�É/Ê&Ë È´Ç Ê¼ÌÎÍ Ï�Ð�Ñ Ò¦Ç�ÈÓÊ Ï�Ð&ÔxÑ Ï�Õ&Ë�Ñ Ô´Ö ×�Ø�Ù¬ØxÚ Û¼Ø�ÜÞÝà߬á{â¯ã5ä/弿¼æ&â ç è<éuê&ë&ì�ì<í�î�êÞïñð�í�òdèxó�î"ô/õ/ö<è¬ò¯íÓó�ï¶÷1ï�ô/ï¼÷�ø/é�í�é-îdê/ï�î"ï*ð�í ÷´õ&îuè*ù�ë�éuè<ú&ï�é7íÓôÎï�ô�èxû/î�è�òdô/ï¶÷1ü&ë î�è�ô&î¯íÓï ÷$ý ì$ê�íÓóxê{í�é ó¬ê/ë¼ë¼édèxôÿþºë ò é�í�ö<ü�÷´í ó¹íÓî�ø ï�é ï�ò�ï�ð�íÓï¶÷ ü/ï¹ò�ï � ë ÷´íÓó�ì$è¹÷´÷ ý õ/ô/ð/èxòdú ë�èxé ï¼îmó�èxòdîuï¼í�ô îuè¬ö<ü/èxòdï¼î�õ/òdè � � ����� �� � �������� ����������������� �� ������ ������ ���������� �!"��#����� #$�����%#'&(� ��#)����� �*��&+����������#�,-�$ .�/�.�����0���)�� 1���2��&3�����"��� 4�5 605 7�4�8$6�9 : = ; <= = > ?A@3B.C�D�E�F�G�H�D�F�G�I�EJI K+L�D�M F�G�N�O%P0Q"I�F�G-IRESG�EJD�T.P�O�O3T"G�L�P)U.I�C�F.U�V�D�M LJF�M�D/E�U�G�F�G�IREJW�C�FXU�C�L�L�I�M�F U.D�YZG�U�F M�G�W�C�F�G�I�E I�K[M�D�YZG�D�O�L�D�M�F�G�N/O\P]Y�P)E�U�G�F_^ ρ( ` ) a�b$c�d)e�b$f�c�g h = i j�clk�b$c�m-n\o�a�c�d/b]d)p q f�b)q�o�c/g�b�rJcRo2s.b�mtm[c�o2g�u�b]a�u�c/o�b)n\o�a�c�d/bv�w�x q b/kyf w o�g k w�z�{ g w pRq|f b�q�o w g\} ~ ( � � � ) ���������)����� � = � �/��� � = � ���/�(�����_���J�)�������������$�����)�"���$����� � ��� �  ∗ ¡ ¢¡�£�¤�¥)£+¡ ¢ ¦ § ¨ª©¬«%­ ®�¯�°\±�²�³�´ «%µ/¶%®)°\·�¸�¹"º�®$³+µ)²�·�»�·Z«�µ/²�¶¼®$·�½ ®$¹"ºZ¶%®.¾À¿Z«�µ)¿*«�½+²"µ$»�¹"ºZ«�·�²�´�«�» ·�»�Á´�¿�®"Á�«�­�®$¯�° à Ä$Å�Æ�Ç�È)Æ�É�Ê�Ë È Ì Ê�Í�Ë�Ê�Æ�Ç�Ë�Î�È]Ï�Ð%Ñ�È�Ç Ò µ Ó)Ô�Õ�Ö-×_Ø�× Ö%Ù�ÚÜÛ�Ø�Ý�×�Ö�Þ�Þ�ß�à�à�Ó�Þ�×�Ó�áÜ×�ÙSÝ�Ó$Þ Ù â-ã ÓJ×�ä�Ó*áZÖ-å�å�Ö%Õ$ßZâ-×_æÜÙ�å�â%Ø�Ý à ÓSå�â%ß�Õ$× ß�Ø�×�Ö�Ù�ÚçÙ1åè× ä�Óé ê�ë�ì�í�î/ï%ð.ñ�ò�ó"ô�ð)ë.õ δö ∼ ö ÷Àø�ùyú û ü�ýÂþ�ÿ�ü�� � ø�ù�ÿ ú�ü/ø�ù��$þ�ù���ü)ù�ÿ���ú�ø�þ�ù� � �þ��� %ü�� ú� �ü���ú ü����"ø�ú�ûZø�ùyú�û�ü.þ� �ú û þ���þ����� ���ù�� ���/ù�þRùZø����� ü�ù ÿ ü����� \ü��\þ� ����� tø%ÿ���� � �"!$# % &�')(�&�*+(�,.- /103254607298 :6;<2�87:=8>:6?A@CB�: D�29EGF�HI8JDLK�2�H�8NM�B�F�OQP�:38 R S7T9U6V�W�X�YIZ=U\[�V�T�T]X�T�^6X�_6Z Z `JV�abT3c d1ceagf�hjilknm�opY�VQqAW)U6Y�r�T�VsX t u�v3wxuzy|{s})~��1u�v�y|�7}����=������y|uI� vQ� �1�������s�6{s���6�6uI���s������y�uI�6v��=� �������=���A� �A���6���J���6�������I���I���b�$�6�����=���Q�I���7�����|���z�6�6��������� � ¡�¢=¢ £�¤6¥�¦n§�¨�©�ª�«6§�¡�©6¬g­ ®6¡�¯°¨�£�§�¦Jª�¥I¨|¥I¢ ¦>±²§�ªQ£�©�¡�©9¦3¨�³I´°¢�µ ¶ ·�¸9¹Lº6¸�»p¼I½p¾�¿�¾�·s¸�¹�À�Á�¹�¾)Â6 ¸�»1Ã3¸�º6¾�Â7Ä=¹�¾�Á|¼IÄ ½JÀ�Å�Ä�Än¿Æ¸�»Q¾�Á�Ä6Ç�¼ÈÅ ÉJÊ�Ë Ì6Í�ÎpÏ�Ð6ÑlÒnÓ�Ô�ÕCÖ�Êj×JÕ6Ø�Ù|ÔzÚQÙ|Í�Ê�Ë6ÎxÛÜÎ�Ø�Ø�ÍsØ�Ú�Ø9Õ7ÙAÍ�Ø�É6ÔIØ�ݲΠÞ�ß)à.á6âjã9ä3åçæ�è²é�ê�ê$ë�ì í èïî7ðòñ<óné�ôsæ�õ�öb÷ ø$ùúæ9ô�éIõ�ñ)êJñ�÷6ñ)êIðJë�é�ë û ñ�ôsö�êIð°ë�é�ùAé�ê�ñ�ôQñ�÷6óüësí6ù<æ�ö|é�ùAæ�ëAí ý æ�ô�ê�ñ û6û é�÷ þCè²éIö�ìCö|ì3æ ÿ�������� �� ��� ����������� �������������� �����"!# ����$�� �%"& ���� ('*)�+�,-)/.10 ����� #23�����#45���6��!7��!8��9� ��:��!����;����!�<��=!��=!"4�ÿ"�" ��!" ��>��� ���?!�@���!����:�A�� B�C���D ��EAÿ��:���� 5���F �G ����\ÿ��"��� �����!8��< HJI=K�I=HML�HON�PJQ�R�SUT"N"Q S�K"Q�I=V�W�S�K�S�XZY�[]\^Q�R"SUT�V�X�Q�I`_aW�S:bcN�P d�e�f�dhg�i�j�k�l�m:k�n�f�d�m�ope�f�q�mrf�s=n�jpt�m�u�jGv�w=k�m�d�w ihm:k�m�uZx�y]z {}|5~��"������~������"�(�?����~�����������������~�� ���}�=�U~;�}�����-�J~��"�������?� ���:~��=�Z����~�������������������~������"��~������"���=��|���|1������~���������� ��� ��~������:�c����~��������$����~�� ����� ~������ �������A��|���� ���>���}��|����"�"� ��� �J~��:������������� ������~�����������������~������`�a���:�J�"��~��}���"���"��� ���=�(��� ���������a��� ���=��~����$����~����������C�"������� �����������"¡"�:�c� ���}���:��~ � � |5��� ¢ £∗ ¤¦¥�§©¨�¥6§�ªM«�¬�­�¥?®�«�¯ °�®:¯±«�¬M²3«�ª�®�³=¨�«�´�°"®�´�ª�µ�­�§ «�´ ­ ®�¶J·"®:¯�µ�­�¸�¯�® ¹ £ º »½¼ ·?®:¯�§=¶}®�´"­�µ"¾]¯�®:µ�¾=§�¿�µ�­�§�«�´ «"¬À² » ¨�«"´�°"®�´�ª µ�­�§`«?´ §=¶ ³ ·Á¾`§ ®�ª3¨�«�´�¬�§=´�®:¶�®�´�­3«�¬]µM°�§>¾�¸�­�®ÀÂ�µaªÃ¤J§�­�¥�§>´�ª�«�¶M®�¯�®*Â1§ «�´ «�¬�ª ·�µ�¨�® §=´Uµ(Äa­�¯�µ�·ÁÅ�¨�«�«�¾C®�°UÆ�Çȧ�­�ª¦§�´�­ ®�¯ µÉ¨�­�§©«�´(¤¦§`­�¥ µ�´8Ä�«�·�­�§ ¨�µ"¾¦¶�«�¾=µ�ª�ª�®�ª�Å#¨�¯�®�µ�­ ®�°FÆ�Çʾ=µ�ª�®:¯ §=¯�¯�µ�°�§=µ�­�§`«?´Ë*ÌÎÍ5Ï µ�´�°p¬�§�´�µ�¾Z¾CÇʨ�«a«�¾�®:°Ð­ «Ê¶¦§ ¨�¯�«a¤¦µ�Ñ�®#¯�µ�´"Â�®6­�®:¶ ³ ·?®:¯�µ�­ ¸�¯ ®�Æ�Ç�µ�´�®�Ñ�µ�·"«�¯�µ�­�§�Ñ�®�¨�«�«�¾`§=´� Ë/Ì"ÌÉÏ º ²Ã«�ª�®�Â�µ�ª-§=´ µÒ­�¯�µ�·Ó¶¦µ�ÇÔÆ�®8¨�«"´�ª�§=°"®�¯ ®�°�§>´�­�®:¯�µ�¨�­�§=´"Â�¤J§©­�¥Õ­ ¤}« ­�¥�®�¯ ¶Jµ�¾�¯�®�ª�®�¯ Ñ"«�§�¯�ª�ÖJ­�¥�®r¬�§>¯ ª�­$«�´"®F¯ ®�·�¯�®:ª�®�´"­�§=´?Â×­�¥"® ­�¥�®�¯ ¶Jµ�¾�®:´�Ñ�§=¯�«�´�®:¶�®�´�­�Ø*¤¦µ�¾Z¾`ª�Ö�Æ5¾=µ�¨:Ù"Æ�«�°�Çh¯�µ�°�§=µ�­�§`«?´ µ�­Ê­�®:¶J·"®�¯�µ�­ ¸�¯�® ¹ Ú Û×Ü�Ý�Þàß�á�â�ã"Ý�ÞÕã"Ý�á8ä�å�á8ã�æ"ä�ç�â�Ü�è é ã�è=Üaß�ß�á:ß3Ü�äêä á é æ"á�ë�Ü�ä ì�ë�á í î ï ï ð ñ ò�óÃô�õöõ�÷"ø�ùZú=ù�û�ü�ù�ø�ýþ ù�ÿ���ü ù`û�ø���ù������ �� ��ü���ù��aú�õ:ÿ � ( � � � � � ) ��������� �!��"#�!$%�&��'���()�*&+-,�.%/�0214365879* +%1;:=<?>!/�/2@&.A/�5B14.�CD5�E�F�>�1#.G*�/ H I H�J = K L M N O P + Q R S T U V W X Y[Z \D]6^�_�^ ` a b cAdfe#]�^gcAh6e;^�_#iBj=e#c%k hle;^�_4mon=d�e;k�d�dpcAh6e�^rqs_;iut�vwBx�y;y�z�{;|6x�}�~ �A}u���;xfwBx6��| �A�A}������%�#�����?z�~ �%���!���u}�~ � � ������;�6�B�B�4�%���u�%�2���%�#���?��  �%¡£¢¥¤§¦�¨��©�ª���&«!«����¬¨­«�� �#�-�D� �A� ®¯�°%±�²³±#´6µª¶�µu·�¸B¹s¸B±4°%º6»£±4°½¼©µ�¸u¾�¾�¶�º!¹s°%¼�¸B±#°%º�»2¿­º ¶ À Á ÂÄÃ Å Æ Ç È É = − Ê − Ê É τ É Ë Ì=Í&Î Ï#Ð�Ñ�Ò£Ï#Ð6ÑÔÓÖÕ ×-Ø�Ï#Ù%Õ ÒÛÚ­Õ�ÜÝÏ4Ð6ÑDÑ�Þ6Ø�Ù­×AÙ%ß�Ü�Ù%Ø�àáÓ�Ï4âBÏ�Ñ�ãDÙA×­×�ß�Ñ ä åGæ4ç�æÄè éBê ë ì�í#î�ï�ï ð ñ òsóõôAöD÷;ø;ùsúsû üþý�ÿ���� �����=ôAø�� ø� røAý� GöÄÿ �[ö����6ý����=ý�ÿ½÷4ø� BÿAý������=ô�� ��ô ÷����� !��"#� �Bý�ý;ÿ�� �#"©ö$ ø%�=ý'&�÷;ø�� ö�� (*)�+-,�(/.$0�132�4�576$,/8 0/9�,:0�;<4$57=�>$?�(�8 9#0�@ A#B<CED�FHG FJI$K-L�D�INMEOQP$R/S�T$U�LWV#XYX[Z]\�ME^�T#S%R*G_FYD � = τ �− � � �� + τ �− � � � � τ �− � + τ − � �� �� ������������������ "!$#&%'�"�� (� τ )− * +�,.-�/�0&-10�/32"+$0�4�57682(092":�;<6=5>,�;>/?$@1A3B>@&C�?DA3E F GIHKJMLONQPSR�TVU$W7J(TQWYX3UZJ�[�\]NQX�X3^�_`U$W7R τ a− b c c τ d− d efhgji]k�l�m8npo$qYrts u −∼ u v w xy{z}|�~��t�M�Z���O|>~3~(�D�Q|7��|Q���1�������$�`|��(�D�&zj�1��|��3�(�D�7�Z�8�>z��>�����V�$~ ε = � � � � + � � � Ω � � � � ����� �¡ Y¢t£�¢¥¤" �¢¦¤§ Y¢t£�¨`©1ª�«�¬®­>¨¡¯D°`±1©�¤�¢t¬Y¤§¯�­7² Ω = − ³ ´$µ ¶ · ¶¸�¹�º"»1¼¾½p¿�À�Á�ÂÄÃ�À>¿�º"¸$º§¸DÅ�ÁÄÆ�ÇpÁ1È�º§¸$Å�ÁÊÉQÀ>¹"¹3ÇpË.¸�Á7½ÄÌ"¼t¿�Å9¹"Ã�¸�ÁÅ�ÆKîÀ>¿3º"¸$È7ÍO¼>¹�Î Ï = ∫ Ð Ñ Ð Ò ( Ó π Ô−) Õ Ö=× ( Ø − Ù (µ−ε) Ú Û ) Ü ÝQÞ®ß à¡áYâtã�â ä− å�æ`çéè=ê>ëYìtí]îZæ¦ì�ï&ë®æ3ð§ê>ëYðtñóòõô÷ötø.å$ì>ê7èóù1ï1ð�ötë1ð"å�ê7è µú�û¦ü�ý�þ(ý>ÿ��.ú��1ý>ü��3ÿ���� ��� ¦þ���û���þ"ú�û���������ý�������þ§ú���� � = ∫ � � � � ( � π �−) ! " (ε−µ) # $ − % & '�(�) *,+.-0/1- 2 3�465�7�8�9.:<;>=.80?6@BADC�E�?F5G3�HJIK8�4�LNMOA�5�8�?P3�9�5�8RQS?�E TU�VXWZY[W]\B^�_`UGa�^cb.V�_F^ed�UGV�WBYBf`WBg h i�Y�b j kl^m_F^ed�^�V�\B^ n = ( o π) p ( q π r−)s ( t ulv ) w x y    z v u Ω y    { x y × × ∫| ∞ } ~ �.} ∫� ∞ � � ��� �� � � + � � −ζ − � � ����� �,�.�0�1� ζ � � �����0�Z�0�P�����J�c �¡�¢���£�¢G���J�1¤P��£¥�� . <¦1¡Z .¦����e¢��§�¨�©lª�«<¬�¨�­B«�®Kª�¬G¬`¯<«.¨�°�¬�± ²´³�µK¶J·¸³�¹0ºP»�¹�¼�½¾³�¿<¼1¹ZÀ`Á.¶ÂÁ.¶�Á.ÃĹ0¼1¶ÂÅB½Jµ�¿<¹�¶�Æ ζ Ç ½�ÁÈGÉeÊ�Ë�È�Ì�Í�ÎÐÏNÑÓÒÕÔ�Ö]ÑÓרÊÙÊ�Ú.Û�ÜFÛ�Ì�ÝZÜ1ÛlÞ<É�ßBË�ÈGÚ�Û�È`ÉeÊ´Ê�Û0àPá�Û�Ü�ɾÊ�â<Ü1Ûã = ã ä å æBçeè�ç�é�êPë�ì�ç�æîíFé�ï�êðè�ñ.çóòeïZì.æ<ëôè�ëXïZì ζ = õ è�ñ.ö<÷ øúù�û<ù�üJø ý þ ÿ = �−Ω(� � ζ( � )) � � � = � �� � �−Ω� � � � � ����� ������� � ζ(! ) "$#&%('*),+-".) /�0 1�1,23)4%507698:1�;4%5".<*1>=@?A)CB.<EDF G H I ζ J K�LNM O$P�QRK S*T:MCUWVYX[Z\K�J X[]�O.V(^@V5^�K_VYX*V5MCUWP`T:Lba`K Jc`dfe`g hji(k.lnm.o p q r s`tvuxwzyC{}|�~n�5s � = � � ��� � = � �x�x�������4�� ���j���j���$�x� ��� �j�*� � � =    � − � � � � ��    �   ¡�¢�£ ¤�¥_¦4§*¨:©(ª¬«`­R®(¯*« ° = ± ­ ² = ³ ´¬µ(¶ µY·¹¸$´[º*»*µ[¶x¼½¼.»n¾_· ¿À�Á: Ã`ÄjÁ:ÅNƽÅÈÇ4É Ê: Ã�Ë�É�Âx̽Ì.ÍÏÎfÂCÃ`ÐÑÄ(Ê*ÇÒÐ*Ç Ó(ËÕÔ�Â4Ä5Ë.Ö*Ã7Ì.Ç� Ð�Ë$ÃC× ØjÙÛÚÝÜ�Þ�ß&à3á�ânãäà�å�âçæ�è4è�é`Þ7êìë�í�ê æ*î`è`ßïÚ>æ`è ð9î�ñòÙxóôê õ�ön÷¬ø(ù.úCû�ü�ùzý�öþõ`ö ÷(ö4ÿ���û ù ú��_üCû½û���� �� ��� ���� ù�� ε = �−Ω ( � � + � � + � � + � � � ) � � = !�" #%$ & & ' (*),+.-�/102),+3-�4%57698;:�<>=�8.07<?4�-A@B4C-,DE<F02<G4C-�/IH*JLKNMPO,Q�/N5R+ ST,U�VBWYX[Z�\ ] = ∑^ = _ ∞ ` a η b ced − f gihBj,k lnm>o2p q r = ∑r s t u v w x y = z { δ | } + ~ � + ~ � � ~ = � � ( � + � )( � + � ) �.��� η = �B��� ((µ � − µ)� � ) � � = �−Ω� � � µ � �����2�%���E ;¡>¢��£�¤�¥2¦,§�¨.¦�§.©�ª>¨.«;¬®­C£i¥e§Y¯C¥2ª�«;¬ «B¥ ° = ± (µ ² = ³ ⁄ ´ µ−Ω) ¶·�¸�¹>ºE»7¼?¸�½¾¸i¿ÁÀ*Â*îÄiÅ�Æ�Ç�È7É%¸%Ê�ÈI»2É,ËÍÌ%Ë.Î,ËY½�Ì,Ë.½%ÏPË µ( Ð )Ñ.Ò�ÓFÔ*Õ3Ö;×AØ9Ó>Ù7ÚÜÛÞÝ.ßeàiá7áRà%â%ã.ßåä�ãBÙ�Ø�ãBã.æÜÛ;çGèéàiáeÙêç�Ó�æ%ã.Û�ß ë ã.ì%ãYæ ë ã.æ%ÝBãíÛBä�à%â%ãîÙ2Ú%ãÞÝ.ßeàiá7áRà%â%ã.ßåÙ�ã.ènì%ãYß7ÛBÙeïEßeã ð ñ∗ òó.ô�õ÷ö,ø�ó.ùBú2ûFù.ó%üýüÿþ����.ø�����ó;ü�� �� ��;ü ��� ú���óBú�ú����nö��.ø�ó.ú��Eø�������������! "��$#&% ' (∗ )+* ���-,/.10��-�-,32�# ' ( 4 �526 +��,87&�90�";:6< ��,#�%>=���,?2 ) @ � *5A B C D E FGIH�J?K�L M!N�O6P�O-Q�R�L K/S9P�LTR�K�JULWV X�K�L Y�Q�L RZO\[�] J�O-RUR�O-P9KU^�J�Y�X�_`^aUb�ced?f�gih�jlk�c-m/g$n a/ceo&h�p q�r�h�gsn t&pud�v�w5x�y�z|{}g$o p h�q�n r&~�U���$�+���-���U� �/�l���&�������-���s����� �&�����$�+�!�+� ∑� � + � � + � � � + � � = � ∏� = � � � � �� (   ¡ ) ¢ £ ¤ ¥ ¦ § = = ∑¨ = © ª « ¬ − ­ ® ¯ ° ± ² ³ ´µ           ∑¶ = · ¸ ¹ º»      ¼ ½ ¾      ¿ À�Á�ÁàÄ;ÅÇÆ-ÈIÉ Ê�Ë�Ì5Í�Î}Ï Ð�Ñ�Ò�Ó\ÔUÕ+Í�Ö5Õ×Ï ÑUÒ Ø�ÙÚÕ Í/Î�Ó�Í�Û+Ñ/ÕTÜ\Û+Í>ÝÞÔUÛ�Ø�Ñ�Û×Ï Ô�Ü�Ùߨ�Ñ�ÒÇÜ5Í�ÙÚÔ�Ýà á â�ã ä å É æ/ç â/ã è å é æUç â/ã ê å ë æ�ç â�ã ì å í æUç â�ã î å ï æ/Ê ð-ð�ñ\ò óõô ö�ô ÷�øúù�ô öU÷�ô ÷�ûýü-þ�ÿ�� þ�� ø������ ��\ò5ò�ð ��������� õù���� � � � ð�ò ��������� � = � � � � ����� � ��� � = � � � � � �������������� ����� ��!�"$# % �&� �'�)( � = * + ( , ) = - − . ä π / 0 1 ∑ = ã ∞ 2 31 ( � )4 � 5 ∑6 = ã ∞ η - ( 3 + 1 7 )8 − 9 : ; 4=< > �?(�%=�@� 4BA � � � A � � �C� � �=� �ED � ��� A � � "F�=� A � �&��!�% � � � � ρ( � ) = G π � 1 + ( � ) � � � � �H� � % A � ��I�#E��� ��� %=�@� A :KJ � D�� � L M∗ � ρ( � ) �=� A # DN� " A � A � � � ���OI �QP �RIS%�I � � A I �)DTD � �U���������(V� � � A �R�W� � A � IX# D � � %���� � A � ��IX# ��� � � %����Y� � ����� � A � A � � �E���� �)DRZ A # � ���[� � ������� A � � � : > � �\I � � � � � �^] A %����_� � ������� ZA � � �`� A �������_I � ���a� P # D ����� � �b� � ���c��� �=D % � � � � ��]X� �E�d Z #�� �Qe ��� � ���$� ��� A � � "f��� A � ����!�% � � � �g� > �h( : * � � A � ��Ii#���� � Z� %j�@�k�@����%���� A ] � � I � ! � ��� ��� !�� Db� � L M ã :l �Xm ��� �c� ��IX# ��� � � %����E� �)DTD � P ��� � ���O# � � � �h� D � A � ! � � �� ����� � ���E��� A �Q� ��� � ��� A � :�n ��� e&� �'� � I � IS��� � %�I Z � �o� �&�=� Z� � � �k��� A � �\�h!�% � � � � ] %���� � � � � ; � ����pF�b(������q�=� A � �&��!�% � � � �] %j� � � � � �sr ut=v < � A �����H� �R���R�)( � � � D %�� w ( x � , ) = y ã π � ã � −z ä . {ä � − . ä 0 . {ä � ; * < ��������� � ã = ( |−} � Ω) â 0 1 � A � ��� m ��� �^Z # � �R� �f� A ��� DTDR��� � � �� IS# D � � %j� �~��� � # � � � ! ��D ���i�S� DTD :n �E��� %�� A � � � ���@��I � �'� A ��� � � ��� � � Ii# D " � ��� � ! � � ���� A % D�� A �X� � � � � � ] ��� � Z A # � ��� J � A ��������� A � ���R�f� � �=� ��� A � Z� � � � :jn ��� J �[� � ������� A � � � � � � ��I�# ��� � � %����i��� % �)D A r ov L ã = * : * |−1 � + 1 0 � � ; �G < n ��� � � �^� � (��~�E�^� A � � " ��] # � � � �R� D � A ��� � ��� DRDj� ! � � �� � ��� � ���E�^� A ��� � � � � �^IX# �^� �Q� %������ A +__ ∼ y � �_� � �k� -o�&- �_ =    L � Ω    â 0 1 ∼ � ã y â 0 � ( L } L ã ) â 0 1 : ; � < �_ � A � � � � ] �R� ��Ii��� � � � ���N% A ; Ii� � �C� � ����% A �E] ( � A � � % A� D�� %=� < :�� � ��� DR��� � A �&�W� � �kI����=�RI � D � % � � � %jI�� � ����% A � ã� � � � �����'�)( �&� �_ ∼ � � y â 0 � ( L } L M ) â 0 1 :�J " # % �&� ���E(L ∼ L M∗ � A ��� ] ������� � ! � � �q�i���&� � ����� � L �^]�� � � � �&����� � ]� ��� J ��� � ������� A � � � � � � ��IX# ��� �Q� %���� ; �G < :�n ������� ]T� �@���� ���f#������ � IS��� � �s������� A ��% A�A �R�)(�� A e % A �X� �E� J ��� � � Z����� A � � � � ��IS� ��� � �=� A I�r )v : � P � ��# ��� � � � �=�R� �S� � � # � � �� � ������� A � � � � � � � ��%j� A ! � � ���R� � � �fI � Ii��� � %�I � ���`�R� � ����� � � �H���R� ��� � A # � � � A � ���=� ] ������� � � A � �&� � P # Db� ��� � � �!���� � ��� � � �^]�� ���W��� D % � � Db� � ZR� ��IX# ��� � � %���� J � A �X( � A �R�� ��� �ED A # � ������� � ��� DTD � � �=� ��� A � � ��������I �)� �R�)( � �=�?(V� Z����� A � � "C( D�� !=% DR� � ] � � � � � � ��� � � P � A � �R�E(���� � � � � � A # � Z� � �)DTD "O��� A # ��� A ���¡ o� P ��� �H� � � � � A ¢ �'� � ���c�@��(�� � � � ] A � m �� � Ii# � � � ! D � ���W� ��� � �����&I �)D � � � ] �R�E��IS��� � � � ����% A �_ :� � � ���X(�� � ���$� � � � ����� �)D ��� A ��Ii! D �k�i���N���£�i� A � ]@� �� � � ��!�� ���¤� � � A ���������R� (�� � �E�¥��%�IS!���� ��] # � � � �¦� D �¥� A � �o�] � P ��� :=n ���iIS� � � A � % � ��� ]�D %=� � % � � � � � ��] # � � � �N� D ��� %�I Z!����O�R� � A �\� � � α � A 〈δ+ α 1 〉 = + α( + α + ) :§� � � � � � Z ����� A � � ����!�"¨# % �&� �'�)( 〈 + α= ã 〉 = y ã �i�©�&� � ����� � µ −∼ −∼ ε ã − L } y ã � �=� 〈δ ª �1 〉 â 0 1 −∼ y ã :jn �=� A IS� � � A ��% (�� ]�D %�� � % � � � � � � ] # � � � ��� D ��� %VI¥!���� δ y ∼ y � � L « ¬ ­ ã � � ��%V����� �)D � A � �N��#�� � # ��� � " ��]�� ���XI � ��� D r �®�v :� � � � � � � ����� �)D ��� A ��IS! D �E�¤���=�h���¯!�� �&� ��� ] � � A �&�� P # �����RIS��� � A ��� � �°��� D % � �±( � A � A �R� � � � # A � � � ��� � (��� �)D %�� �^] � � �=� ��� A � � �k# � # % DR� � � � �$� A (V�h������!�" 〈 + ã 〉 = ∑² { = � à + ã ∑³ ² α ´ ′ - −β ∑ α> { (ε α − ε µ ) ² α δ∑ α ¶ { ² α ç à − ² µ ∑² { = ã à ∑³ ² α ´ ′ � −β ∑ α¶ { (ε α − ε µ ) ² α δ∑ α ¶ { ² α ç à − ² { · ; t < �X� �����    + α    ′ IS� � � A � ��D�D � � � � � � �E]f�)DTD A �H� � ����%�IS!���� A� P ����# � ª ã � β = � L :�n �E� � ����� � (�� � ����� A %=��� A �\��� � A Ä`Å Æ�È`é Ê�¸ Ñ�¹�Ï Ñ�Ò=¹5Í�Ö\Ù�Ï Õ�ºi¹�Ï Ù+ÕTÛ×Ï »\Ü5Õ+ÏÇÔUÖ ρ( . ) = ¼ π . ä ² ( ½ ) ÝWÔ�Û à = â/ãUã�ãÑUÖu¹1Ø�Ñ�Û8Ï ÔUÜ5Ù6Õ+Í�Î�Ó\Í�Û+Ñ�Õ+Ü5Û+Í�Ù/á ¾ 0 ¾ ¿hÀ = ã5Ê 1 å É æUçúã-Ê Á å é æ�ç3â�Ê Â1å ë æUç1 Ê ã3å í æUÊ Ä;ÅÇÆ-ÈZë Ê�Ã-Ï ¹5Í$Ø\Ï Í@Ä Ô�Ý3Ó5Ñ/Û+Õ×Ï ÐUÒÇÍX¹�Ï ÙTÕ+Û×Ï »5Ü\Õ+ÏÇÔUÖ�á É Å ¾ = �)ÆÈÇ ¾ ¿ µ çé Å ¾ = ��ÆÈÉ ¾ ¿ µ ç ë Å ¾ = Ê Æ ¼ ¾ ¿ µ ç í Å ¾ = Ç)ÆÈ� ¾ ¿ µ Ê ó�ô ö/ô ÷�øúù�ô ö/÷�ô ÷Uûýü�þ-ÿ �5þ��Wø � � � ��5ò-ò�ð ������� Uù�� ��� ���\ð/ò ð\ðUñ�ð � � � A � �)� A � � � �)( D " ]�D %�� � % � � � A � ��� � �����@� ]T� ����� � �C!��A %�! A � � � % � ���±��� � � � � A (�� � ���±� � � � �=��� �)D � �)D %��C� � �\�@� ZA # � ���=�b�E( ���`� � � #�#�� � #���� � � �$��� � ��� � �E] ��� ��IX��� �)D # � Z� ��� � � �)D µ = µà − � { :jn �����@� ]T� �@�X���~����� ���N��� 〈 + ã 〉 ≅ ∑² { = � à ª ã � � − ² { ∑� { = ã à � à − ² { � ; ® < ��������� � ² = � −βΩ � � Ω� � A � �E���\I � ��"E� � Ii���O# � � ��� � � �)D��] (j� � �=�f� � � � �=�h� �ED ��� A ��IS! D ��r )v :n �E�°��% � � � � � " � ² = � −β à � A � � � � P # � ����� � � �)DTD "A I �)DTD~]T� �c� %jI�!���� �^] # � � � �¦� D � A + A I �)DTD ��� � � � � � �E�J � A � Z � � ������� A � � � ] � � � � � � �g� + « y � :�n � ���&� ]T� ���������� � �f��� � �E(E�X� P #���� A�A � � � ; ® < �&� 〈 + ã 〉 ≅ ∑² { = � { à + ã � −βΩ� −� µ ∑² µ =à µ � � −βΩ � − � µ : ; �� < n ���f� % � � � � � " Ω ² � ASA � � � �)( D "�# � ��� ��� � � + = y ã � ��% A (V�h���R�^( 〈 + ã 〉 −∼ y ã � ����� A �'Ii� DR� � D "g� 〈δ + ã1 〉 â 0 1 ∼ √ � � � � ����� � � � � 〈δ+ ã1 〉 â 0 1 ∼ y ã � A �R� � �E� � � � � � � �oP (V� � �=�� � � � ����� �)D ��� A ��IS! D � :£� ���������g� � � y ¬ ¬ y ã ; � � �\�@� ZA # � ���=�b�E( �&� L L ã < ���Y�i����� ���N�^� ]T� � � � � � �����&I � � " Z � � I���� # �)� ��� � � �ED Ωà � � �)D %�� Ωà −∼ − y L � �=� � à −∼ � à :jn �=� A � (���� � A �¥� � � � � � ��� D % A � � �$�@� � ��� ���$�R� � ��� ]@] ������� � � � "��R����� ] : 4 � � �Q��� � � � �����&I � ��"�� � IX�h�#=� � # ��� � �N� A � ] J � A �f� � ���E��� A � � ���'� �f� � � #s��� � � ] � P ����&� �\�)D ��%�Ii!���� �^] # � � � �h� D � A � ���q�����@" A �RIX� DR� � �&�X� � � A ���R�� ��� � � � � � � �^P (V� � �=�k� � � � ����� �)D ��� A ��IS! D ����� � � �i] � P ���� � ��� � (E�$� %jI�!=��� �^] # � � � ��� D � A :Un ��� � ! � ������� A % Db� A � ��� � � � A � A � ��� � ��� � � �f� � � �i� A �H� � ��IS��� ��� � ���i� ��� J � A �������� A � ���R�k� � ������� A � � � � � � ��Ii#���� � � %j�@� L ã � A A � IS�i��� � � �� � � � �=��� �)Dg� ���f�R� � ����(�� � ���¤� � � � ����� �)D ��� A ��Ii! D � A r 4 v :� ��� � ��� D % A � � ��� � � � # � � �&� � ������� � ����# %V��# � A � � ]� D %����'� � � �R�)(��R� � �=���&� � � � � " � ���a#�� � #���� � ��� A � ]§Db� � Z� ��IX# ��� � � %���� A �H� � � �^] � ���'� � �)D J � A ��( � A �^] ] ����� � � A � m ���] �'��� � ��# � � � �N� D �a��%�Ii!���� A " A � ��I A :�� � P #���� A�A I�"C��� ��#(�� � � � � %���� ���� � ��] :�JY:�n � � � �\� � ]T� � A � �RIS% DR� � �R�^(���� A � % A ZA � � � A � ���$��� D # : â�Ê�� Ê��3Ê��!Ñ�Ö�¹5Ñ/Ü�Ñ�Ö�¹��;Ê��9Ê���ÏWÝWÙ+Ì\ÏÇÕ���ç ��������Å�����Å M ���� "!$#��8Å M � ç�Ø�Ô�Ò+Êâ�ç&%�Í�Û(' Ñ/Î�ÔUÖ�ç�) Í@Ä+*�Ô Û(,6å�â.-uÁ0/5æUÊ1 Ê+1ZÊ+2�Ü5Ñ/Ö�'�ç ��������Å���� Å M �3�5476 M !8� ² Å M � ç59 ÏÇÒ ÍTº�ç:)�Í@Ä;*;ÔUÛ(,å�â.-uÁ0/5æUÊ/ Ê=<�Ê>23ÊZË�Ñ�ÛTÕ+Í�Û/ç ?@�A�8�(��Å M �3�B� ²8C �D�E�&��Å�����Å M �3� ¾ !86 . GF C # ² � Å M � ç%!Û×Í�Ö5Õ+ÏÇÐ�ÍH2�ÑUÒÞÒ+çI)�Í@ÄKJ�Í�Û+Ù+ÍTº6å 1 ãUã-â�æUÊÂ�ÊB�9ÊB23ÊB<�Ö ¹\Í�ÛTÙ+Ô�Ö�ç=J-Ê�¸ÚÊH�!Ö5Ù+Ì\Í�Û�çH�9Ê�¸�ÊB�6Ñ�Õ+Õ Ì\Í@ÄßÙ/ç>Ë`ÊB�;Ê 9 Ï Í�Î�Ñ/Ö�ç\ÑUÖu¹L� Ê&<IÊ!Ë�ÔUÛ+Ö5Í/Ò Ò+ç � M ÅE6 ² M 6 M8N0O ç�â.-uÁ å�â.-0-8P-æ/ÊP�Ê�1ZÊ@Q;ÊR�ßÑ�Ø5Ï Ù/ç��9ÊRS ÊR� Í�ÄÚÍ�Ù/ç�� ÊD<IÊTJ�Ô�Ý ÝÞÍ�çR�$Ê�¸�ÊD<�Ö ¹�Û�Í@ÄÚÙ/çÑ/Ö ¹U9 ÊT1;Í�Õ+Í�Û×ÒWÍ�ç G!$#3��È&VB6�W\ÈTX�6Y�(� Ê Z8[ ç&P 1 ã 1 å/â\-8-0P5æ�Ê�\Ê]9 Ê^%�Í�Õ Û8Ï Ð�Ì�ç_�9Ê^23ÊH< Öu¹5Í�Û×ÙTÔ�Ö�çBJ-Ê�¸�Ê^��Ö\ÙTÌ�Í/Û/çZÑ/Ö ¹`�ýÊB<IÊË�ÔUÛ+Ö5Í/Ò�ÒTç "!$#��8ÈaV>6�W5ÈTX�60�b� Ê Z8[ ç /u/ P 1 å/â\-8-0P5æ�Ê /\Ê�c ÊD��Ñ�Ò ÝWÔUØ�Ô-ç�Ã�Ê�dÚÏ ÔUÛ.'õÏ Ö\Ï+çD� Ê�% Êe%�Ï ÕTÑ/Í�Ø�Ù(,-ÏÇÏ ç�Ñ/Ö ¹iÃ�Ê^Ã5ÕTÛ×Ï Ö3' Ñ/Õ×Ï ç V>6�W5Èa4 F C ÈT G!$#3��È ZIf çQÂ�� / åUâg-Y-h-Ãæ�ÊÁ�Êi9 Êj1ýÍ�Õ+Õ+Í�Û×ÒWÍ�çj�3Ê�Ã�Êj�ßÜ-ÝWÛ+Í/Í�ç3Ñ�Ö�¹k��Êj�9Ê�Ã5Õ+Ñ/Î�Ó5Í�Û(lm1ýÜ\ÛTÖ�ç 47� 6 Å ² Æ ç . Fon Å ² ÆK� ²8Cqp�²8C 6 . ����� ²8C Å ² Æsr F �g6$t�u`Å ² ����6UÅ ² ? F ² vC 6 ² �g�&��6w� çx%�ÛTÍ�Ó\Û×Ï Ö5Õzy�y3y!Ê ÒWÑ/Ö-Ò+Ê '�ÔUØ&{ÚÑ&»5Ù\{ÚÐ�ÔUÖ�¹0lWÎ�Ñ�Õ.{B-8-\ã�Â\ã / Âå�â.-0-8--æUÊ -�Ê=�;ÊG<�Ê�Ë�Ô Û+Ö\Í/ÒWÒ+ç|J�Êg¸�Ê=��Ö�Ù×ÒWÍ�Û/ç;ÑUÖu¹ ËÚÊ}� ÊG9 Ï Í�Î�Ñ/Ö�ç u 8 z 6 . Å v 6 ² �A� Å ²�~ Å�� �T��6H�]� FH Å M r F �g6�t�uÚÅ ² ����6�Å ² ? F ²8C 6 ² �g�&� Å F ² çG%�Û+Í lÓ5Û×Ï Ö\ÕRy�y3y�Ê Ò Ñ/Ö-Ò+Ê ' Ô�Øa{ÚÑ\»�Ù\{�Ð�Ô�Ö ¹�lÞÎ�Ñ/Õ\{=-h-5ã / â8ão- åUâg-Y-h-Ãæ/Êâ�ã\Ê�)IÊj��Ê�Q�ÑUÒÇÑ8�×Ù$ÑUÖu¹k� ÊjQ�Í�Û('�Í�Î�Ñ/Ö�ç "!$#��8ÈiV>6�W5È �"�Y� ç 1u/ P0-å�â.-0-\Á-æUÊâ â�Ê|9 Ê}1ýÍ�Õ+Õ+Í�Û×ÒWÍ6Ñ/Ö ¹�)IÊRJ-Ê;Ø�Ñ/ÖK��Û+Ü5Õ Í/Ö�ç }!$#0��È=V>6�W Ê �}�h[ çg�$P��å�â.-0-u�5æUÊâ 1 Ê�%;Ê^)�Ñ�Ø�Í\��çj�3ÊjQ Ï Õ+ÔUÜ�,�çj� ÊLd�Ñw�N¹5Ñ\çL��Ê���¹3��ÏÇÑ�Ù(��Í\,�ç3ÑUÖu¹�1úʸR��Ñ���Í@ÄÚÙb,�Ï ç G!$#3��È&VB6�W\ÈTX�6Y�(��È Z8O ç�â�/�Á0- å/â\-8-3/ æ�Êâ / ÊTc�ÊTQ�Û+ÔUÙ+Í�Ö5Ù/ç�J�Ê&� Ê���Í�Ø�Û�Í�Í�Ù+Í�ç!Ñ/Ö ¹j� Ê�c Ê��!Í�ÎIÎ�Í�Ö5Ù/ç "!h#3�8ÈeV}6hW Ê � �8� ço�8/8-8P å�â.-0-0/5æUÊâ�Â�Ê]*úÊ3Ë�Ñ�Ù+Õ×Ï Ö�çHJ-Ê_��ÑUÒÞÏ?»�ÑUÛR¹�çZÑ/Ö ¹eË;Ê3Ë�ÔUÌ5Í�Ö3lE��Ñ/Ö5Ö�Ô�Üu¹Y�×Ï ç X��8�g6 .? F8F �WÅ ² Æq� ²8C ¾ . � zuz Å ² Æ F\� àU6\�T� . �0�i�B� Fu � ç Ï Ö�á�<�Õ Ô�Î�Ù�Ï Ö ��Ò Í�Ð/Õ Û×ÔUÎ�Ñ�' Ö\Í�Õ×Ï Ð�c�Ï Í/Òȹ5Ù/ç�ËÚÊ}Ë�Ô�Ì Í/Ö0lE��Ñ�Ö\Ö5ÔUÜ�¹o�TÏZå�Í@¹�Ê æ�çG9 Ô�Û�ÒȹÃ5Ð/Ï Í�Ö5Õ×ÏÇÝ Ï Ð\ç�Ã-Ï Ö3' Ñ/Ó5Ô�ÛTÍ åUâ.-0-\Â-æ/ÊâwP�Ê^��Ê�Ã�Êid�Û�Ñ&¹5Ù+Õ Í@º�Ö�Ñ/Ö ¹`��Ê^�9Ê�¸�º0��Ì\Ï�,�ç ¾ � n �A6.� F$�L� ² �E6�Æ . �0� �g���� �7� ²8C . F C � M �A� çH<�ÊBJ�Í/Ý ÝWÛ+ÍTºeå�Í@¹�Ê æ�çH< Ð�Ñ\¹�ÊU%!Û+Í�Ù+Ù/ç])�Í@Ä *;ÔUÛ(,�å/âw-h-�Â\æUÊâ��\ÊT��ÊT%�Êa9 Ï '�Ö�Í�Û/ç "!h#3�8ÈaVB6�W Ê [0� ç�/�Â0- å�â.- /\1 æ/Êâ$/\ÊT�sÊTc�Ï Í�Ûb��ç � 6���W ÈT "!$#��8ÈY� M ��� M0O ç�Â0/3åUâ\-8-0P5æ�Ê ð-ð�ñ�� óõô ö�ô ÷�øúù�ô öU÷�ô ÷�ûýü-þ�ÿ�� þ�� ø������ ��\ò5ò�ð ��������� õù���� � � � ð�ò
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129021
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0132-6414
language English
last_indexed 2025-12-01T08:13:03Z
publishDate 2001
publisher Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
record_format dspace
spelling Kulik, I.O.
2018-01-15T13:15:33Z
2018-01-15T13:15:33Z
2001
Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature / I.O. Kulik // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 9-10. — С. 1179-1182. — Бібліогр.: 17 назв. — англ.
0132-6414
PACS: 64.60.-i
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129021
We show with a direct numerical analysis that a dilute Bose gas in an external potential - which is choosen for simplicity as a radial parabolic well - undergoes at certain temperature Tc a phase transition to a state supporting macroscopic fraction of particles at the origin of the phase space (r=0,p=0). Quantization of particle motion in a well wipes out sharp transition but supports a distribution of radial particle density ρ(r) peacked at r=0 (a real-space condensate) as well as the phase-space Wigner distribution density W(r, p) peaked at r=0 and p=0 below the crossover temperature Tc* of order of Tc. Fixed-particle-number canonical ensemble which is a combination of the fixed-μ condensate part and the fixed-m excitation part is suggested to resolve the difficulty of large fluctuation of the particle number (δN~N) in the Bose-Einstein condensation problem treated within the orthodox grand canonical ensemble formalism.
en
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
Физика низких температур
Статьи, посвященные столетию со дня рождения Л. В. Шубникова
Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature
Article
published earlier
spellingShingle Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature
Kulik, I.O.
Статьи, посвященные столетию со дня рождения Л. В. Шубникова
title Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature
title_full Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature
title_fullStr Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature
title_full_unstemmed Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature
title_short Real-space condensation in a dilute Bose gas at low temperature
title_sort real-space condensation in a dilute bose gas at low temperature
topic Статьи, посвященные столетию со дня рождения Л. В. Шубникова
topic_facet Статьи, посвященные столетию со дня рождения Л. В. Шубникова
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129021
work_keys_str_mv AT kulikio realspacecondensationinadilutebosegasatlowtemperature