Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения
Дана постановка задачи о параметрических колебаниях упругой трехслойной пьезооболочки, состоящей из среднего ортотропного диэлектрического или металлического слоя и двух пьезоэлектрических слоев. На основе механических гипотез Кирхгоффа-Лява и адекватных им гипотез относительно электрических полевых...
Gespeichert in:
| Datum: | 2001 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2001
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1292 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения / О.В. Карнаухова, В.И. Козлов, А.О. Рассказов // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 1. — С. 31-43. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860067276092342272 |
|---|---|
| author | Карнаухова, О.В. Козлов, В.И. Рассказов, А.О. |
| author_facet | Карнаухова, О.В. Козлов, В.И. Рассказов, А.О. |
| citation_txt | Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения / О.В. Карнаухова, В.И. Козлов, А.О. Рассказов // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 1. — С. 31-43. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Дана постановка задачи о параметрических колебаниях упругой трехслойной пьезооболочки, состоящей из среднего ортотропного диэлектрического или металлического слоя и двух пьезоэлектрических слоев. На основе механических гипотез Кирхгоффа-Лява и адекватных им гипотез относительно электрических полевых величин получены определяющие уравнения для усилий и моментов для различных случаев расположения электродов, типа поляризации и электрических граничных условий. Указано, как с использованием этих уравнений, универсальных уравнений движения, кинематических соотношений и механических граничных условий записать нелинейные и линеаризованные уравнения, описывающие параметрические колебания оболочек произвольной конфигурации. Линеаризованные уравнения описывают области динамической неустойчивости (ОДН). На границе ОДН имеет место гармоническое движение. Это позволяет свести задачу исследования главной ОДН к задачам на собственные значения и статической устойчивости для предварительно нагруженных пьезооболочек. С целью решения таких задач развит метод конечных элементов. Подробно рассмотрена задача о параметрических колебаниях трехслойной цилиндрической пьезопанели указанной структуры. Для шарнирного закрепления ее торцов получено аналитическое решение. Сопоставление конечно-элементного и аналитического решений свидетельствует о высокой точности первого. Решена задача о параметрических колебаниях механически нагруженной пьезооболочки с короткозамкнутыми и разомкнутыми электродами. Обнаружено существенное влияние электрических граничных условий на размеры ОДН, что может быть использовано для контроля колебаний оболочек. Получено конечно-элементное решение задачи о параметрических колебаниях цилиндрической пьезопанели с жестким защемлением торцов. Анализ численных результатов свидетельствует о существенном влиянии механических граничных условий как на размеры, так и на расположение главной ОДН.
Дано постановку задачі про параметричні коливання пружної тришарової п'єзооболонки, що складається з середнього ортотропного діелектричного або металевого шару та двох п'єзоелектричних шарів. На основі механічних гіпотез Кірхгофа-Лява й адекватних їм гіпотез про електричні польові величини одержані визначальні рівняння для зусиль і моментів для різних випадків розміщення електродів, типу поляризації та електричних граничних умов. Вказано, як з використанням цих рівнянь, універсальних рівнянь руху, кінематичних співвідношень і механічних граничних умов записати нелінійні й лінеаризовані рівняння, які описують параметричні коливання оболонок довільної конфігурації. Лінеаризовані рівняння описують області динамічної нестійкості (ОДН). На межі ОДН має місце гармонічний рух. Це дозволяє звести задачу дослідження головної ОДН до задач на власні значення і статичну стійкість для попередньо навантажених п'єзооболонок. Для розв'язання таких задач розвинуто метод скінченних елементів. Детально розглянуто задачу про параметричні коливання тришарової циліндричної п'єзопанелі вказаної структури. Для шарнірного закріплення торців одержано її аналітичний розв'язок. Порівняння скінченно-елементного й аналітичного розв'язків свідчить про високу точність першого. Розв'язано задачу про параметричні коливання механічно навантаженої п'єзооболонки з короткозамкнутими й розімкнутими електродами. Виявлено суттєвий вплив електричних граничних умов на розміри ОДН, що може бути використано для контролю параметричних коливань оболонок. Одержано скінченно-елементний розв'язок задачі про параметричні коливання циліндричної п'єзопанелі з жорстким закріпленням торців. Аналіз чисельних результатів свідчить про суттєвий вплив механічних граничних умов як на розміри, так і на розміщення головної ОДН.
The problem of parametrical vibrations of elastic three-layer shells composed from middle orthotropic dielectric or metal layer and two piezoelectrical layers is studied. On the basis of the mechanical Kirchoff-Love hypothesis and adequate assumptions for an electrical field the constitutive equations for forces and moments are obtained for varying electrode positions, type of polarization and electrical boundary conditions. It is shown how nonlinear and linearizated equations describing the parametrical vibrations of the arbitrary shaped shells can be obtained if the constitutive equations, universal equations of motion, kinematical equations and boundary conditions are used. The linearizated equations describe an area of dynamic unstability (ADU). On the boundary of ADU the harmonic motion occurs. This gives an opportunity to reduce the problem of investigations of the main ADU to solving the eigen value problems and the problem of static stability. Method of finite elements is developed to solve these problems. The problem of parametrical vibrations of a three-layered cylindrical piezopanel is considered in detail. The analytical solution of the problem is obtained for the case of simply supported edges. Correlation of an analytical and finite-element solutions demonstrate high accuracy of the first. The problem of parametrical vibrations under harmonic mechanical load is solved for the open-circuted and short-circuted conditions. The essential influence of the electrical boundary conditions on the size of ADU that can be used for control of the parametrical vibrations of the shells is shown. The finite-element solution of the problem of parametrical vibrations of cylindrical piezopanel with clamped edges is obtained. The numerical results point to essential influence of mechanical boundary conditions on the size and position of ADU.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:08:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43��� 534.12+534.143:539.3��������������� ��������� ����������������������������� �������� ���������. �. �����������, �. �. ��������, �. �. ������������ªà ¨áª¨© âà ᯮàâë© ã¨¢¥àá¨â¥â, �¨¥¢���áâ¨âãâ ¬¥å ¨ª¨ ¨¬. �. �. �̈ ¬®è¥ª® ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 1.11.2000� ¯®áâ ®¢ª § ¤ ç¨ ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå ã¯à㣮© âà¥åá«®©®© ¯ì¥§®®¡®«®çª¨, á®áâ®ï饩 ¨§ á।¥£®®àâ®âய®£® ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¨«¨ ¬¥â ««¨ç¥áª®£® á«®ï ¨ ¤¢ãå ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨å á«®¥¢. � ®á®¢¥ ¬¥å ¨ç¥áª¨å£¨¯®â¥§ �¨à壮ää {�ï¢ ¨ ¤¥ª¢ âëå ¨¬ £¨¯®â¥§ ®â®á¨â¥«ì® í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ¯®«¥¢ëå ¢¥«¨ç¨ ¯®«ãç¥ë ®¯à¥-¤¥«ïî騥 ãà ¢¥¨ï ¤«ï ãᨫ¨© ¨ ¬®¬¥â®¢ ¤«ï à §«¨çëå á«ãç ¥¢ à ᯮ«®¦¥¨ï í«¥ªâத®¢, ⨯ ¯®«ïਧ 樨¨ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨©. �ª § ®, ª ª á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ íâ¨å ãà ¢¥¨©, 㨢¥àá «ìëå ãà ¢¥¨©¤¢¨¦¥¨ï, ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© ¨ ¬¥å ¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© § ¯¨á âì ¥«¨¥©ë¥ ¨ «¨¥ ਧ®¢ -ë¥ ãà ¢¥¨ï, ®¯¨áë¢ î騥 ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï ®¡®«®ç¥ª ¯à®¨§¢®«ì®© ª®ä¨£ãà 樨. �¨¥ ਧ®¢ ë¥ãà ¢¥¨ï ®¯¨áë¢ îâ ®¡« á⨠¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¥ãá⮩稢®á⨠(���). � £à ¨æ¥ ��� ¨¬¥¥â ¬¥áâ® £ ମ¨ç¥áª®¥¤¢¨¦¥¨¥. �â® ¯®§¢®«ï¥â ᢥá⨠§ ¤ çã ¨áá«¥¤®¢ ¨ï £« ¢®© ��� ª § ¤ ç ¬ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¨ áâ â¨ç¥-᪮© ãá⮩稢®á⨠¤«ï ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® £à㦥ëå ¯ì¥§®®¡®«®ç¥ª. � 楫ìî à¥è¥¨ï â ª¨å § ¤ ç à §¢¨â ¬¥â®¤ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢. �®¤à®¡® à áᬮâॠ§ ¤ ç ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå âà¥åá«®©®© 樫¨¤à¨ç¥áª®©¯ì¥§®¯ ¥«¨ 㪠§ ®© áâàãªâãàë. �«ï è à¨à®£® § ªà¥¯«¥¨ï ¥¥ â®à殢 ¯®«ã祮 «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥. �®-¯®áâ ¢«¥¨¥ ª®¥ç®-í«¥¬¥â®£® ¨ «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨© ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ¢ë᮪®© â®ç®á⨠¯¥à¢®£®. �¥è¥ § ¤ ç ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå ¬¥å ¨ç¥áª¨ £à㦥®© ¯ì¥§®®¡®«®çª¨ á ª®à®âª®§ ¬ªãâ묨 ¨ à §®¬ªã-â묨 í«¥ªâத ¬¨. �¡ à㦥® áãé¥á⢥®¥ ¢«¨ï¨¥ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© à §¬¥àë ���, ç⮬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ® ¤«ï ª®âà®«ï ª®«¥¡ ¨© ®¡®«®ç¥ª. �®«ã祮 ª®¥ç®-í«¥¬¥â®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® ¯ -à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨ á ¦¥á⪨¬ § 饬«¥¨¥¬ â®à殢. � «¨§ ç¨á«¥ëå à¥-§ã«ìâ ⮢ ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® áãé¥á⢥®¬ ¢«¨ï¨¨ ¬¥å ¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© ª ª à §¬¥àë, â ª ¨ à ᯮ«®¦¥¨¥ £« ¢®© ���.� ® ¯®áâ ®¢ªã § ¤ ç÷ ¯à® ¯ à ¬¥âà¨ç÷ ª®«¨¢ ï ¯à㦮ù âà¨è ஢®ù ¯'õ§®®¡®«®ª¨, é® áª« ¤ õâìáï § á¥à¥¤-쮣® ®àâ®âய®£® ¤÷¥«¥ªâà¨ç®£® ¡® ¬¥â «¥¢®£® è àã â ¤¢®å ¯'õ§®¥«¥ªâà¨ç¨å è à÷¢. � ®á®¢÷ ¬¥å ÷ç¨å£÷¯®â¥§ �÷à壮ä {�ï¢ © ¤¥ª¢ â¨å ù¬ £÷¯®â¥§ ¯à® ¥«¥ªâà¨ç÷ ¯®«ì®¢÷ ¢¥«¨ç¨¨ ®¤¥à¦ ÷ ¢¨§ ç «ì÷ à÷¢ï-ï ¤«ï §ãᨫì ÷ ¬®¬¥â÷¢ ¤«ï à÷§¨å ¢¨¯ ¤ª÷¢ ஧¬÷é¥ï ¥«¥ªâத÷¢, ⨯㠯®«ïਧ æ÷ù â ¥«¥ªâà¨ç¨å £à ¨ç-¨å 㬮¢. �ª § ®, ïª § ¢¨ª®à¨áâ ï¬ æ¨å à÷¢ïì, ã÷¢¥àá «ì¨å à÷¢ïì àãåã, ª÷¥¬ â¨ç¨å á¯÷¢¢÷¤®è¥ì ÷¬¥å ÷ç¨å £à ¨ç¨å 㬮¢ § ¯¨á ⨠¥«÷÷©÷ © «÷¥ ਧ®¢ ÷ à÷¢ïï, ïª÷ ®¯¨áãîâì ¯ à ¬¥âà¨ç÷ ª®«¨¢ ﮡ®«®®ª ¤®¢÷«ì®ù ª®ä÷£ãà æ÷ù. �÷¥ ਧ®¢ ÷ à÷¢ïï ®¯¨áãîâì ®¡« áâ÷ ¤¨ ¬÷ç®ù ¥áâ÷©ª®áâ÷ (���). � ¬¥¦÷��� ¬ õ ¬÷áæ¥ £ ମ÷稩 àãå. �¥ ¤®§¢®«ïõ §¢¥á⨠§ ¤ çã ¤®á«÷¤¦¥ï £®«®¢®ù ��� ¤® § ¤ ç ¢« á÷ § -ç¥ï ÷ áâ â¨çã áâ÷©ª÷áâì ¤«ï ¯®¯¥à¥¤ì® ¢ â ¦¥¨å ¯'õ§®®¡®«®®ª. �«ï ஧¢'ï§ ï â ª¨å § ¤ ç ஧¢¨ã⮬¥â®¤ áª÷ç¥¨å ¥«¥¬¥â÷¢. �¥â «ì® ஧£«ïãâ® § ¤ ç㠯஠¯ à ¬¥âà¨ç÷ ª®«¨¢ ï âà¨è ஢®ù 樫÷¤à¨ç®ù¯'õ§®¯ ¥«÷ ¢ª § ®ù áâàãªâãà¨. �«ï è à÷ண® § ªà÷¯«¥ï â®àæ÷¢ ®¤¥à¦ ® ùù «÷â¨ç¨© ஧¢'燐ª. �®à÷¢ïïáª÷祮-¥«¥¬¥â®£® © «÷â¨ç®£® ஧¢'離÷¢ á¢÷¤ç¨âì ¯à® ¢¨á®ªã â®ç÷áâì ¯¥à讣®. �®§¢'ï§ ® § ¤ ç㠯஠¯ -à ¬¥âà¨ç÷ ª®«¨¢ ï ¬¥å ÷ç® ¢ â ¦¥®ù ¯'õ§®®¡®«®ª¨ § ª®à®âª®§ ¬ªã⨬¨ © ஧÷¬ªã⨬¨ ¥«¥ªâத ¬¨.�¨ï¢«¥® áãââõ¢¨© ¢¯«¨¢ ¥«¥ªâà¨ç¨å £à ¨ç¨å 㬮¢ ஧¬÷ਠ���, é® ¬®¦¥ ¡ã⨠¢¨ª®à¨áâ ® ¤«ï ª®âà®«î¯ à ¬¥âà¨ç¨å ª®«¨¢ ì ®¡®«®®ª. �¤¥à¦ ® áª÷祮-¥«¥¬¥â¨© ஧¢'燐ª § ¤ ç÷ ¯à® ¯ à ¬¥âà¨ç÷ ª®«¨¢ ï樫÷¤à¨ç®ù ¯'õ§®¯ ¥«÷ § ¦®àá⪨¬ § ªà÷¯«¥ï¬ â®àæ÷¢. � «÷§ ç¨á¥«ì¨å १ã«ìâ â÷¢ á¢÷¤ç¨âì ¯à® áãââõ¢¨©¢¯«¨¢ ¬¥å ÷ç¨å £à ¨ç¨å 㬮¢ ïª à®§¬÷à¨, â ª ÷ ஧¬÷é¥ï £®«®¢®ù ���.The problem of parametrical vibrations of elastic three-layer shells composed from middle orthotropic dielectric or metallayer and two piezoelectrical layers is studied. On the basis of the mechanical Kircho� {Love hypothesis and adequateassumptions for an electrical �eld the constitutive equations for forces and moments are obtained for varying electrodepositions, type of polarization and electrical boundary conditions. It is shown how nonlinear and linearizated equationsdescribing the parametrical vibrations of the arbitrary shaped shells can be obtained if the constitutive equations, universalequations of motion, kinematical equations and boundary conditions are used. The linearizated equations describe anarea of dynamic unstability (ADU). On the boundary of ADU the harmonic motion occurs. This gives an opportunityto reduce the problem of investigations of the main ADU to solving the eigen value problems and the problem of staticstability. Method of �nite elements is developed to solve these problems. The problem of parametrical vibrations of athree-layered cylindrical piezopanel is considered in detail. The analytical solution of the problem is obtained for the caseof simply supported edges. Correlation of an analytical and �nite-element solutions demonstrate high accuracy of the �rst.The problem of parametrical vibrations under harmonic mechanical load is solved for the open-circuted and short-circutedconditions. The essential in
uence of the electrical boundary conditions on the size of ADU that can be used for controlof the parametrical vibrations of the shells is shown. The �nite-element solution of the problem of parametrical vibrationsof cylindrical piezopanel with clamped edges is obtained. The numerical results point to essential in
uence of mechanicalboundary conditions on the size and position of ADU.���������áá«¥¤®¢ ¨î ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨©ã¯à㣨å ⮪®áâ¥ëå í«¥¬¥â®¢ ª®áâàãªæ¨© ¯®á¢ï饮 ¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ à ¡®â ®â¥ç¥-á⢥ëå ¨ § àã¡¥¦ëå ãç¥ëå-¬¥å ¨ª®¢.�« áá¨ç¥áª¨¥ १ã«ìâ âë ¢ í⮩ ®¡« á⨠®âà ¦¥-ë ¢ ¨§¢¥áâëå ¬®®£à ä¨ïå [1{ 4], ¡®«¥¥ ¯®§¤¨¥c
�. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢, 2001 31
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43¨áá«¥¤®¢ ¨ï { ¢ [5 {8].� à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥-᪨å ⮪®áâ¥ëå í«¥¬¥â®¢ ¢ «¨â¥à âãॠ¯à ª-â¨ç¥áª¨ ¥ à áᬠâਢ «¨áì. �¥à¢ë¥ १ã«ìâ âë¢ í⮩ ®¡« á⨠¡ë«¨ ¯®«ãç¥ë ¢ ¬®®£à 䨨 [9],¢ ª®â®à®© à áᬮâà¥ë § ¤ ç¨ ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥-áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå ®¤®á«®©ëå ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨åã¯à㣨å ⥫: áâ¥à¦ï, ¯àאַ㣮«ì®© ¯« áâ¨ë¨ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨. �®áâ ®¢ª § ¤ ç ®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå ⮪®áâ¥ëå ã¯àã-£¨å ¨ ¢ï§ª®ã¯àã£¨å ¯ì¥§®í«¥¬¥â®¢ á ãç¥â®¬ £¥®-¬¥âà¨ç¥áª®© ¥«¨¥©®á⨠¤ ¢ áâ âìïå [10,12].�¤¥áì ¦¥ à¥è¥ë «¨¥ ਧ®¢ ë¥ § ¤ ç¨ ® à á-ç¥â¥ ®¡« á⥩ ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¥ãá⮩稢®á⨠®¤-®á«®©ëå ã¯àã£¨å ¨ ¢ï§ª®ã¯àã£¨å ¯ì¥§®í«¥ªâà¨-ç¥áª¨å áâ¥à¦¥©, ¯àאַ㣮«ìëå ¯« á⨠¨ æ¨-«¨¤à¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª. � à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ -¨ï ¢ï§ª®ã¯à㣮£® ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª®£® áâ¥à¦ï áãç¥â®¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¥«¨¥©®á⨠à áᬮâà¥-ë ¢ áâ âì¥ [11].�ਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨©â®ª®áâ¥ëå ¯ì¥§®í«¥¬¥â®¢ ¢®§¨ª ¥â àï¤ ¢®-¯à®á®¢, âॡãîé¨å á¯¥æ¨ «ì®£® à áᬮâ२ï.�¤¨ ¨§ ¨å ®â®áïâáï ª ®¡« á⨠âà ¤¨æ¨®®©ã¯à㣮áâ¨, ¤à㣨¥ ¦¥ á¢ï§ ë ᮠᯥæ¨ä¨ç¥áª¨¬¨®á®¡¥®áâﬨ ¯®¢¥¤¥¨ï ¯ì¥§®¬ â¥à¨ «®¢. �à¥-¤¨ ¨¡®«¥¥ ¨â¥à¥áëå á ⥮à¥â¨ç¥áª®© ¨ ¯à¨-ª« ¤®© â®ç¥ª §à¥¨ï ¯à®¡«¥¬ á«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âìá«¥¤ãî騥:1) ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ®¡« á⥩ ¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¥ãá⮩-稢®á⨠¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ¢® ¢à¥-¬¥¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®© £à㧪¨;2) ¨§ã票¥ ¢«¨ï¨ï í«¥ªâà¨ç¥áª®£® £à㦥¨ï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯ì¥§®í«¥¬¥-⮢ ¯à¨ ¬¥å ¨ç¥áª®¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¬ £àã-¦¥¨¨ ¨ ¢®§¬®¦®á⨠ã¯à ¢«¥¨ï ¯ à ¬¥âà¨-ç¥áª¨¬¨ ª®«¥¡ ¨ï¬¨ á ¯®¬®éìî ¯ì¥§®í«¥ª-âà¨ç¥áª¨å á¥á®à®¢ ¨ ªâã â®à®¢;3) ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢«¨ï¨ï í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨ç-ëå ãá«®¢¨© ®¡« á⨠¥ãá⮩稢®á⨠¯ -à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨© ¯à¨ ¬¥å ¨ç¥áª®¬ £à㦥¨¨ (íâ® â ª¦¥ á¢ï§ ® á ¢®¯à®á®¬® ¢®§¬®¦®á⨠ã¯à ¢«¥¨ï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨-¬¨ ª®«¥¡ ¨ï¬¨ á ¯®¬®éìî ¨§¬¥¥¨ï ⨯ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨©);4) ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢«¨ï¨ï à §¬¥é¥¨ï í«¥ªâத®¢¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨ «¨¡® ¯® ¥¥ ¯«®é ¤¨ ®¡« á⨠¥ãá⮩稢®áâ¨.�®§¨ª îâ â ª¦¥ âà ¤¨æ¨®ë¥ ¢®¯à®áë ® ¢«¨ï-¨¨ «¨¥©®© ¨ ¥«¨¥©®© ¢ï§ª®áâ¨, £¥®¬¥âà¨ç¥-᪮© ¥«¨¥©®áâ¨, ᨫ ¨¥à樨 ¨ â.¯.
� áâ®ï饩 áâ âì¥ ¤ ¯®áâ ®¢ª § ¤ 種 ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå âà¥åá«®©ëå ¯ì¥-§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª, á®áâ®ïé¨å ¨§ á।¥-£® ®àâ®âய®£® ¯ áᨢ®£® á«®ï ¨ ¤¢ãå ᨬ¬¥-âà¨ç® à ᯮ«®¦¥ëå ®â®á¨â¥«ì® ¥£® ¯ì¥§®-í«¥ªâà¨ç¥áª¨å á«®¥¢, ¯®«ïਧ®¢ ëå ¯® ⮫é¨-¥. �।¯®« £ ¥âáï, çâ® ¤®ªà¨â¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ª¢ §¨áâ â¨ç¥áª®© § ¤ -ç¨ í«¥ªâà®ã¯à㣮áâ¨, â. ¥. ¢ ¯à¥¥¡à¥¦¥¨¨ á¨-« ¬¨ ¨¥à樨. �।¨© á«®© ¬®¦¥â ¡ëâì ¨§£®-⮢«¥ ¨§ ¬¥â «« «¨¡® ª®¬¯®§¨â®£® ¬ â¥à¨ « .� ¢¥è¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠®¡®«®çª¨ ®áïâáï ¡¥á-ª®¥ç® ⮪¨¥ í«¥ªâதë. � ª¨¥ ¦¥ í«¥ªâத묮£ãâ ¡ëâì à §¬¥é¥ë ¬¥¦¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ¨ ¯ì¥-§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ. �«ï à¥è¥¨ï «¨¥ ਧ®¢ -®© § ¤ ç¨ ®¡ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ®¡« á⥩ ¤¨ ¬¨ç¥áª®©¥ãá⮩稢®á⨠(���) ¯à¨¬¥ï¥âáï ¬¥â®¤ ª®¥ç-ëå í«¥¬¥â®¢ (���). �ਠí⮬ ¨á¯®«ì§ã¥âáïâ®â ä ªâ, çâ® £à ¨æ¥ £« ¢®© ��� ¨¬¥îâ ¬¥-áâ® áâ 樮 àë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ç áâ®-âë !=2
, £¤¥
{ ᮡá⢥ ï ç áâ®â ¨§£¨¡ë媮«¥¡ ¨©. �â® ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ᢥá⨠¨á室-ãî § ¤ çã ª à¥è¥¨î ¤¢ãå § ¤ ç ᮡá⢥-ë¥ § ç¥¨ï ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® à áâïã⮩ ¨ ᦠ-⮩ ®¡®«®çª¨. ��� ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ã⥬ ¯¥à¥¡®à § 票© ¯à¥¤¢ à¨â¥«ìëå ãᨫ¨©. � ª ï ¬¥â®-¤¨ª ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¬®®£à 䨨 [5], £¤¥ ¯à¨ à¥è¥-¨¨ 㪠§ ëå § ¤ ç ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¨á-¯®«ì§®¢ ¬¥â®¤ ¤¨áªà¥â®© ®à⮣® «¨§ 樨 ¤«ï§ ¬ªãâëå ¢ ®ªà㦮¬ ¯à ¢«¥¨¨ ®¡®«®ç¥ª ¢à -饨ï. � í⮬ á«ãç ¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ-áï ¢ ¢¨¤¥ à冷¢ �ãàì¥ ¯® ®ªà㦮© ª®®à¤¨ â¥.� áâ®ï饩 áâ âì¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¬¥â®¤¨ª ,®á®¢ ï ���, ª®â®à ï § ç¨â¥«ì® à á-è¨àï¥â ¢®§¬®¦®á⨠¨áá«¥¤®¢ ¨ï ���. �®¤à®¡-® à áᬠâਢ ¥âáï § ¤ ç ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®-«¥¡ ¨ïå âà¥åá«®©®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥-«¨ á è à¨àë¬ § ªà¥¯«¥¨¥¬ ªà ¥¢. �«ï â -ª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ᨬ-¯â®â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢ ¥«¨¥©®© ¬¥å ¨ª¨ ¯®«ã-祮 «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥. �®¯®áâ ¢«¥¨¥ -«¨â¨ç¥áª®£® ¨ ª®¥ç®-í«¥¬¥â®£® à¥è¥¨© ᢨ-¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ¢ë᮪®© â®ç®á⨠¨ íä䥪⨢®-á⨠¨á¯®«ì§®¢ ëå ¯®¤å®¤®¢. �áá«¥¤®¢ ® ¢«¨-逸 í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ¨ ¬¥å ¨ç¥áª¨å £à ¨çëåãá«®¢¨© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï 樫¨¤à¨-ç¥áª®© ¯ ¥«¨. �ਠí⮬ à áᬮâà¥ë ¤¢ ªà ©-¨å á«ãç ï í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨©: § -ª®à®ç¥ë¥ ¨ à §®¬ªãâë¥ í«¥ªâதë, â ª¦¥ ¬¥-å ¨ç¥áª¨¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï, ®â¢¥ç î騥 è à-¨à®¬ã ¨ ¦¥á⪮¬ã § 饬«¥¨î â®à殢 ®¡®«®ç-ª¨. �¡ à㦥® áãé¥á⢥®¥ ¢«¨ï¨¥ í«¥ªâà¨ç¥-áª¨å ¨ ¬¥å ¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© å à ª-â¥à¨á⨪¨ ���.32 �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 431. ���������� ������� áᬮâਬ âà¥åá«®©ãî ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áªã®«®çªã ⮫騮© h, á®áâ ¢«¥ãî ¨§ á।¥£®¯ áᨢ®£® á«®ï ⮫é¨ë h0 ¨ ¤¢ãå ¯ì¥§®í«¥ªâà¨-ç¥áª¨å á«®¥¢ á â®«é¨ ¬¨ h1 ¨ h2 ᮮ⢥âá⢥-®. �¢¥¤¥¬ á¢ï§ ãî á ®¡®«®çª®© ª®®à¤¨ âãîá¨á⥬ã (�; �;
), ¢ ª®â®à®© � ¨ � ᮮ⢥âáâ¢ã-îâ ª®®à¤¨ âë¬ «¨¨ï¬, ¨¤ã騬 ¢ ¯à ¢«¥¨-ïå £« ¢ëå ªà¨¢¨§,
{ â®«é¨ ï ª®®à¤¨ -â . � áá¨¢ë© á«®© ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ áç¨â ¥âáï ®à-â®âயë¬, â ª çâ® ®, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¬®¦¥â¨¬¥âì á«®¨áâãî áâàãªâãàã. �®¤®¡ë¥ ª®áâàãª-樨 è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ᮢ६¥®© â¥å¨-ª¥ ¤«ï ã¯à ¢«¥¨ï ª®«¥¡ ¨ï¬¨ ⮪®áâ¥ëå í«¥-¬¥â®¢ ¨§ ¯ áᨢëå ¬ â¥à¨ «®¢ [13, 14]. �ਬ®¤¥«¨à®¢ ¨¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨© 㪠-§ ëå í«¥¬¥â®¢ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¬¥å ¨ç¥áª¨¥ £¨¯®-⥧ë �¨à壮ää {�ï¢ [15, 16] ¢ ᮢ®ªã¯®á⨠᤮¯®«¨â¥«ì묨 £¨¯®â¥§ ¬¨ ® ¬ «®á⨠⠣¥-æ¨ «ìëå á®áâ ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¯à殮®áâ¨í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¨ ¨¤ãªæ¨¨ ¯® áà ¢¥¨î á ¨å®à¬ «ì묨 á®áâ ¢«ïî騬¨ ¨ ¯®áâ®ïá⢥ ®à-¬ «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ¢¥ªâ®à ¨¤ãªæ¨¨ ¯® ⮫-騥 ¯ì¥§®í«¥¬¥â [17]. �ਠí⮬ ãà ¢¥¨ï á®-áâ®ï¨ï ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå ¨ ¯ áᨢëå á«®¥¢ ¨¬¥î⢨¤ k�� = kB11(
)("1 +
�1)++ kB12(
)("2 +
�2) � k
31(
) kE
;k�� = kB12(
)("1 +
�1)++ kB22(
)("2 +
�2) � k
31(
) kE
;k��� = kB66(
)("12 +
�12);kD
= k
33(
) kE
+ k
31(
)���("1 + "2) +
(�1 + �2)�;k = 0; 1; 2: (1)�¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï âà ¤¨æ¨®ë¥ ®¡®§ -票ï 䨧¨ç¥áª¨å ¯®«¥© ¨ ¬ â¥à¨ «ìëå ª®áâ â(á¬., ¯à¨¬¥à, [15{ 17]). �«ï ¯ áᨢ®£® á«®ï ¯®-« £ ¥¬ 0
31=0, ¥á«¨ ® ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨©, ¨ ¤®¯®«-¨â¥«ì® 0
33!1, ¥á«¨ ® ¬¥â ««¨ç¥áª¨©. �à¨í⮬ ¢¥«¨ç¨ë 0Bij ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ¨§¢¥áâë¬ä®à¬ã« ¬ ⥮ਨ ¨§®âயëå ®¡®«®ç¥ª [15,16].�«ï ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå ¯®«ïਧ®¢ ëå ¯® ⮫騥
á«®¥¢ ¨¬¥¥¬ [17]kB11(
) = kB22(
) = 1= kS11(
)�1� k�2(
)�;kB12(
) = k�(
) kB11(
);kB66(
) = �1� k�(
)� kB11(
);k
33 = k"T33�1� kk2p(
)�;k
31 = kd31(
)= kSE11(
)�1� k�2(
)�;kk2p = 2kd231(
)=k"T33(
) kSE11�1� k�(
)�: (2)� áᬮâਬ ¯¥à¢ë© á«ãç © à ᯮ«®¦¥¨ï í«¥ª-âத®¢: ¬¥¦¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ á«®ï-¬¨ ¥á¥ë ¡¥áª®¥ç® ⮪¨¥ í«¥ªâதë. � ª¨¥¦¥ í«¥ªâà®¤ë ¨¬¥îâáï ¨ ¢¥è¨å ¯®¢¥àå®áâï审®«®çª¨. � ª ¦¤®¬ã ¨§ á«®¥¢ ¯à¨«®¦¥ ¨§¬¥ï-îé ïáï ¯® £ ମ¨ç¥áª®¬ã § ª®ã à §®áâì ¯®-â¥æ¨ «®¢ 0V k cos!t, k=0; 1; 2. �®£« á® [17], ¨-¤ãªæ¨ï kD
¯®áâ®ï ¯® ⮫騥 ¯ì¥§®á«®¥¢, â ªçâ® kD
= kC(�; �): (3)�ਠí⮬kE
= 1k
33(
)� kC� k
31(
)[("1+"2)+
(�1+�2)] : (4)�⥣à¨àãï ¢ëà ¦¥¨¥ (4) ¯® ⮫騥 ¯ì¥§®á«®-¥¢, ¨¬¥¥¬kC = 1kv0 �� 0V k + kv1("1 + "2) + kv2(�1 + �2)�;k = 0; 1; 2: (5)�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨¥ (5) ¢ ä®à¬ã«ã (4), ¯®«ã-祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï kE
{ ¢ ãà ¢¥¨ï (1), å®-¤¨¬ k�� = kB11(
)("1 +
�1)++ kB12(
)("2 +
�2) + k�0;k�� = kB12(
)("1 +
�1)++ kB22(
)("2 +
�2) + k�0;k��� = kB66(
)("12 +
�12); (6)�. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢ 33
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43£¤¥ k�0 = k
31k
33(
)�� k
31(
) � kv1kv0 �("1 + "2)++� k
31(
) � kv2kv0�(�1 + �2) + kV 0kv0 �:�⥣à¨àãï ãà ¢¥¨ï (6) ¯® ⮫騥 ®¡®«®ç-ª¨, ãç¨âë¢ ï à ᯮ«®¦¥¨¥ í«¥ªâத®¢ ¨ áç¨-â ï 0V 0=0, ¯®«ãç ¥¬ ®¯à¥¤¥«ïî騥 ãà ¢¥¨ï ¤«ïâà¥åá«®©®© ¯ì¥§®®¡®«®çª¨:N1 = C11"1 + C12"2++K11�1 +K12�2 + 0N;N2 = C12"1 + C22"2++K12�1 +K22�2 + 0N;M1 = K11"1 +K12"2++D11�1 +D12�2 + 0M;M2 = K12"1 +K22"2++D12�1 +D22�2 + 0M;S = C66"12 +K66�12;H = K66"12 +D66�12: (7)
�¤¥áì ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ï0N = 1v11v0 1V 0 + 2v12v0 2V 0 ; 0M = 1v21v0 1V 0 + 2v22v0 2V 0 ;(C66;K66; D66) = Z(h) B66(
) � (1;
;
2)d
;Cij = Z(h) Bij(
)d
+ 1v3 + 2v3 � 1v211v0 � 2v212v0 ;Kij = Z(h) Bij(
)
d
+ 1v4 + 2v4 � 1v1 1v21v0 � 2v1 2v22v0 ;Dij = Z(h) Bij(
)
2d
+ 1v5 + 2v5 � 1v221v0 � 2v222v0 ;i; j = 1; 2: (8)
£¤¥ kv0 = Z(hk) 1k
33d
;kv(1;2) = Z(hk) k
31 � (1;
)k
33 d
;kv(3;4;5) = Z(hk) k
231 � (1;
;
2)k
33 d
: (9)� áᬮâਬ ¢â®à®© á«ãç ©, ª®£¤ ¬¥¦¤ã ¯ á-á¨¢ë¬ ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬ ¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ á«®-ﬨ í«¥ªâà®¤ë ®âáãâáâ¢ãîâ. � ¢¥è¨¬¨ í«¥ª-âத ¬ ¯®¤¢¥¤¥ à §®áâì ¯®â¥æ¨ «®¢ 0V cos !t.�®£¤ ®à¬ «ì ï á®áâ ¢«ïîé ï ¨¤ãªæ¨¨ ¯®áâ®-ï ¯® ¢á¥© ⮫騥 ®¡®«®çª¨:kD
= C(�; �): (10)�ਠí⮬kE
= 1k
33(
) �C� k
31(
)��("1+"2)+
(�1+�2)�: (11)�⥣à¨àãï ãà ¢¥¨¥ (11) ¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨h, 室¨¬C = 1v0 �� 0V + v1("1 + "2) + v2(�1 + �2)�: (12)�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨¥ (12) ¢ ä®à¬ã«ã (11), ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï kE
{ ¢ ãà ¢¥¨ï (1),¯à¨å®¤¨¬ ª á®®â®è¥¨ï¬ ⨯ (6), ®¤ ª®k�0 = k
31k
33(
)�� k
31(
) � v1v0�("1 + "2)++ � k
31(
) � v2v0 �(�1 + �2) + 0Vv0�: (13)�⥣à¨àãï ¢ëà ¦¥¨¥ (6) ¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨,¯®«ãç ¥¬ ®¯à¥¤¥«ïî騥 ãà ¢¥¨ï ¤«ï âà¥åá«®©-34 �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43®© ¯ì¥§®®¡®«®çª¨ ¢¨¤ (7), £¤¥0N = v1v0 0V ; 0M = v2v0 0V ;(C66;K66; D66) = Z(h) B66 � (1;
;
2)d
;Cij = Z(h) Bij(
)d
+ v3 � v21v0 ;Kij = Z(h) Bij(
)
d
+ v4 � v1v2v0 ;Dij = Z(h) Bij(
)
2d
+ v5 � v22v0 ;i; j = 1; 2: (14)� ãà ¢¥¨ïå (13) ¨ (14)v0 = Z(h) 1k
33 d
;v(1;2) = Z(h) k
31 � (1;
)k
33 d
;v(3;4;5) = Z(h) k
231 � (1;
;
2)k
33 d
: (15)�«ï á«ãç ï ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå á«®¥¢, ¨¬¥îé¨å ®¤¨- ª®¢ãî ⮫é¨ã, ®¤¨ ª®¢ë¥ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥-᪨¥ ᢮©á⢠¨ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ ¯à ¢«¥¨ï ¯®-«ïਧ 樨 2
31=� 1
31 ( 1
31�0), ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî-騥 ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª¨å å à ª-â¥à¨á⨪ ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï:1) ¯à¨ «¨ç¨¨ í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ¨¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ, ª ª®â®àë¬ ¯®¤¢¥¤¥-ë à §®á⨠¯®â¥æ¨ «®¢ 0V 1= 0V 2= 0V , 0V 0=0,Cij = h0 0Bij + 2h1 1Bij;Dij = eDij � 12 1
2311
33h1(h1 + h0)2;0M = 1
31(h1 + h0) 0V ;Kij = 0; 0N = 0; (16)
2) ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ í«¥ªâத®¢Cij = h0 0Bij + 2h1� 1Bij + 1
2311
33�;Dij = eDij � 12 1
2310
33 h21(h0 + h1)2 0
33h0 1
33 + 2h1 0
33 ;0M = 1
31h1(h0 + h1) 0
33h0 1
33 + 2h1 0
33 V0;Kij = 0; 0N = 0: (17)�¤¥áì ¨ ¤ «¥¥eDij = h3012 0Bij + �23 1Bij + 1
2311
33�����h02 + h1�3 � �h02 �3�:�᫨ ¦¥ ¯ì¥§® ªâ¨¢ë¥ á«®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë¥â®«é¨ë, ®¤¨ ª®¢ë¥ ᢮©á⢠¨ ®¤¨ ª®¢ãî ¯®-«ïਧ æ¨î ( 1
31= 2
31), å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯ì¥§®®¡®-«®çª¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® á«¥¤ãî騬 ä®à¬ã« ¬:1) ¯à¨ «¨ç¨¨ í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ¨¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ0N = 2
131 0V 1; 0M = 0; (18) Cij;Kij; Dij¨¬¥îâ ¢¨¤ (16);2) ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ í«¥ªâத®¢Cij = h0 0Bij + 2h1� 1Bij + 1
2311
33���4 1
2311
33 h21 0
33 1
33h0 1
33 + 2h1 0
33 ;0N = 2 1
311
33 h21 0
33 1
33h0 1
33 + 2h1 0
33 0V ;Dij = eDij; Kij = 0; 0M = 0: (19)� ª ¢¨¤® ¨§ ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¢ëè¥ ä®à¬ã«, -«¨ç¨¥ ¨«¨ ®âáãâá⢨¥ í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áᨢ-ë¬ ¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ ¢«¨ï¥â ¦¥áâ-ª®áâë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®¡®«®çª¨ ¨ í«¥ªâà¨ç¥-áªãî £à㧪ã.�. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢ 35
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43�§ ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ãà ¢¥¨© (7) ¢¨¤®, çâ® ¯®ä®à¬¥ ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ á ®¯à¥¤¥«ïî騬¨ ãà ¢¥¨-ﬨ â¥à¬®ã¯à㣮á⨠®¡®«®ç¥ª, å®âï ¨ ®¯¨áë¢ îâᮢ¥à襮 ¤à㣮© 䨧¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá. �â ä®à-¬ «ì ï «®£¨ï ¯®§¢®«ï¥â ¯¥à¥¥á⨠¬®£¨¥ ¨§à¥§ã«ìâ ⮢, ¯®«ãç¥ëå ¢ â¥à¬®ã¯à㣮á⨠®¡®-«®ç¥ª, § ¤ ç¨ ® ª®«¥¡ ¨ïå ¯ì¥§®®¡®«®ç¥ª.�áâ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï { ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ á®®â®-è¥¨ï ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï («¨¥©ë¥ ¨«¨ ¥«¨-¥©ë¥), â ª¦¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï { ®áïâ ã¨-¢¥àá «ìë© å à ªâ¥à, ¥ § ¢¨áï騩 ®â ®¯à¥¤¥«ï-îé¨å ãà ¢¥¨©, ¨ ¨¬¥îâ ¨§¢¥áâë© ¨§ ⥮ਨ®¡®«®ç¥ª ¢¨¤ [15, 16]. �«ï ¢ï§ª®ã¯à㣮£® ¬ â¥à¨- « ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ áâ âìïå [10, 11]. �«ï â -ª®£® ¬ â¥à¨ « ¢ ¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ëè¥ á®®â®è¥¨-ïå (7) ¥®¡å®¤¨¬® ®¯¥à æ¨î 㬮¦¥¨ï § ¬¥¨â쮯¥à â®à®¬ �®«ìâ¥àà [9]. �ਠ®¯à¥¤¥«¥¨¨ £à -¨æ ��� á«¥¤ã¥â ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¨¥ ਧ®¢ -묨 á®®â®è¥¨ï¬¨ [10, 11]. � ¤ «ì¥©è¥¬ ®¨¡ã¤ãâ ª®ªà¥â¨§¨à®¢ ë ¯à¨ à áᬮâ२¨ § ¤ -ç¨ ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå 樫¨¤à¨ç¥áª®©¯ì¥§®®¡®«®çª¨.�ਠ®æ¥ª¥ ¢«¨ï¨ï ⨯ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨ç-ëå ãá«®¢¨© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯à¨¬¥å ¨ç¥áª®¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¬ £à㦥¨¨ ¥®¡å®-¤¨¬® ¯®«ãç¨âì ®¯à¥¤¥«ïî騥 ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¤¢ãåªà ©¨å á«ãç ¥¢: ª®£¤ í«¥ªâà®¤ë § ª®à®ç¥ë ¨ª®£¤ ®¨ à §®¬ªãâë. � ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ «¨-稨 í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áᨢ묨 ¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢-묨 ᫮ﬨ ¦¥á⪮áâë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®¯à¥-¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (16) ¨ (18), ¢ ª®â®àëå á«¥-¤ã¥â ¯®«®¦¨âì 0V k=0, (k=0; 1; 2), ¯à¨ ¨å ®â-áãâá⢨¨ { ¯® ä®à¬ã« ¬ (19). �® ¢â®à®¬ á«ã-ç ¥ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ®¯à¥¤¥«ïîé¨å á®®â®è¥¨© ¤«ïâà¥åá«®©®© ¯ì¥§®®¡®«®çª¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«®¦¨âìkD
=0 ¯à¨ «¨ç¨¨ í«¥ªâத®¢ ¨ C(�; �)=0 ¯à¨¨å ®âáãâá⢨¨. � ®¡®¨å á«ãç ïå íâ® ¯à¨¢®¤¨â ªá®®â®è¥¨ï¬ Kij = 0;Cij = h0 0Bij + 2h1� 1Bij + 1
2311
33�;Dij = h3012 0Bij + 23� 1Bij + 1
2311
33�;����h02 + h1�3 ��h02 �3�;i; j = 1; 2: (20)
2. �������-���������� ���������������� ��� ���������-������ ��������� ���������-��� ������������������ ���-����� ��������� áᬮâਬ á«ãç © ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®£® ¬¥å ¨ç¥-᪮£® ¨«¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® £à㦥¨ï ¯ì¥§®í«¥ª-âà¨ç¥áª¨å âà¥åá«®©ëå ®¡®«®ç¥ª ¢à 饨ï. �।-¯®« £ ¥¬, çâ® ¤®ªà¨â¨ç¥áª®¥ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®¥á®áâ®ï¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ©¤¥® á ¨á¯®«ì§®¢ ¨-¥¬ ¡¥§¬®¬¥â®© ª¢ §¨áâ â¨ç¥áª®© ⥮ਨ. � -¬¥â¨¬, çâ® ¨á¯®«ì§ã¥¬ë© ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¬¥â®¤ ª®-¥çëå í«¥¬¥â®¢ ¯®§¢®«ï¥â ¡¥§ ®á®¡ëå § âà㤥-¨© à ááç¨âë¢ âì ��� ¨ ¤«ï ¬®¬¥â®£® ¤®ªà¨-â¨ç¥áª®£® á®áâ®ï¨ï. � ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ १ã«ì-â ⮢, ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¢ ¬®®£à 䨨 [2], ¤«ï à á-ᬮâà¥ëå á«ãç ¥¢ ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ãà ¢¥¨© ¤®-ªà¨â¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ «¥£ª® ¬®¦¥â ¡ëâì ©¤¥-® «¨â¨ç¥áª¨ ¤«ï ®¡é¥£® á«ãç ï ®¡®«®ç¥ª ¢à -饨ï. �ਠà áç¥â¥ ¬®¬¥â®£® ¤®ªà¨â¨ç¥áª®£®á®áâ®ï¨ï á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ���. � à ¡®-â å [10, 11] ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¥«¨¥©ë¥ ¨ «¨¥ à¨-§®¢ ë¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¢ï§ª®ã¯àã£¨å ¯ì¥§®í«¥ª-âà¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª ¢à 饨ï. �®á«¥¤¨¥ ¨§ ¨å¤ îâ ¨ä®à¬ æ¨î ®¡ ���. � ª ¨§¢¥áâ®, ãç¥â¢ï§ª®á⨠¯à¨¢®¤¨â ª ¥à¥ «ìë¬ ¬¨¨¬ «ì묧 ç¥¨ï¬ ¯ à ¬¥âà ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¤«ï ¥£« ¢ëå��� [2]. �®í⮬㠮ᮢ®© ¨â¥à¥á ¯à¨ ¨áá«¥¤®-¢ ¨¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨© ¯à¥¤áâ ¢«ïî⣫ ¢ë¥ ���. � ¤ «ì¥©è¥¬ ®£à ¨ç¨¬áï à áç¥-⮬ £« ¢ëå ���, £à ¨æ å ª®â®àëå ॠ«¨§ã-¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥, ª®£¤ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ ¢¨¤¥ui = u0i(�; �) cos !2 t+ u00i (�; �) sin !2 t;i = 1; 2; 3: (21)�®¤áâ ¢¨¢ ¢ëà ¦¥¨ï (21) ¢ «¨¥ ਧ®¢ ë¥ãà ¢¥¨ï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨©, ¯®«ã-稬 ¤¢¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ á¨áâ¥¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëåãà ¢¥¨© á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ £à ¨ç묨 ãá«®-¢¨ï¬¨. � à ¬¥âà ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¢å®¤¨â ¢ í⨠á¨áâ¥-¬ë á à §ë¬¨ § ª ¬¨. �¥è ï ¤«ï ª ¦¤®© ¨§ ¨å§ ¤ çã ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¤«ï à §«¨çëå§ ç¥¨© ¯ à ¬¥âà ¢®§¡ã¦¤¥¨ï, ¯®«ãç ¥¬ £à -¨æë £« ¢®© ���. � ¥¥ â ª ï ¬¥â®¤¨ª ¡ë« ¨á¯®«ì§®¢ ¢ [5]. �ਠí⮬ § ¤ ç¨ á®¡á⢥-ë¥ § 票ï à¥è «¨áì ¬¥â®¤®¬ ¤¨áªà¥â®© ®à-⮣® «¨§ 樨. �ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ��� áãé¥á⢥-® à áè¨àï¥â ¢®§¬®¦®á⨠⠪®£® ¯®¤å®¤ , ¯®§¢®-«ïï, ¯à¨¬¥à, 室¨âì £à ¨æë ®¡« á⥩ ¤¨ -¬¨ç¥áª®© ¥ãá⮩稢®á⨠¥§ ¬ªãâëå ®¡®«®ç¥ª¢à é¥¨ï ¯à¨ á«®¦ëå ⨯ å £à ¨çëå ãá«®¢¨©.36 �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43�«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ -¨ïå ®¡®«®ç¥ª ¢à 饨ï ��� ¨á¯®«ì§ã¥¬ «¨¥ -ਧ®¢ ®¥ ®â®á¨â¥«ì® ¥ª®â®à®£® ¤®ªà¨â¨ç¥-᪮£® á®áâ®ï¨ï ¢ ਠ樮®¥ ãà ¢¥¨¥�E = 0: (22)� ¯®á«¥¤¥¬ á®®â®è¥¨¨ äãªæ¨® « ¨¬¥¥â á«¥-¤ãî騩 ¢¨¤:E = 12 ZF "C11"2� + 2K11"��� + 2D11�2�++2C12"�"� + 2K12("��� + "���)++2D12���� + C22"2� + 2K22"���++D22�2� + 2C66"2�� + 4K66"�����++2D66�2�� + 2e��@2u@t2 u+ @2v@t2 v + @2w@t2 w�++( 0N��2� + 0N��2� + 0N������)#dF; (23)£¤¥ "� = @u@� + wR1 ;"� = 1r @v@' + cos �r u+ wR2 ;"�� = 12( @v@� + 1r @u@' � cos �r v);�� = �@2w@�2 ;�� = � 1r2 @2w@'2 � cos �r @wr@'++ 1R2 1r @v@' � cos �rR2 v;�� = �@w@� + uR1 ;�� = � @wr@' + vR2 ;e� = h0�0 + 2h1�1;R1, R2 { à ¤¨ãáë £« ¢ëå ªà¨¢¨§ ¯®¢¥àå®á⨮¡®«®çª¨; � { 㣮« ¬¥¦¤ã ®à¬ «ìî ª ¯®¢¥àå®á⨨ ®áìî ¢à 饨ï; �=r' { ®ªàã¦ ï ª®®à¤¨ â .�à ¢¥¨ï (22), (23) ¤ îâ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¢¯¥à¥¬¥é¥¨ïå ¤«ï ®¡®«®çª¨, ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® -£à㦥®© ãᨫ¨ï¬¨ 0N�, 0N� , 0N��.
�¨à®ª®¥ ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯à¨ ¨áá«¥¤®-¢ ¨¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨© ¯®«ã稫 â¥å-¨ç¥áª ï ⥮à¨ï ®¡®«®ç¥ª [15], ᮣ« á® ª®â®à®© ¢á®®â®è¥¨ïå ¤«ï ªà¨¢¨§ ¨ 㣫®¢ ¯®¢®à®â á«¥-¤ã¥â á®åà ïâì «¨èì á« £ ¥¬ë¥, ᮤ¥à¦ 騥 ®à-¬ «ì®¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨¥. �«ï à¥è¥¨ï ¢ ਠ樮-®© § ¤ ç¨ (22), (23) ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¢ ਠâ ���,¨§«®¦¥ë© ¢ à ¡®â å [18, 19]. � §®¡ì¥¬ ¯®¢¥àå-®áâì ®¡®«®çª¨
=0 n 㧫®¢ë¬¨ â®çª ¬¨ mç¥âëà¥å㣮«ìëå ¤¢¥ ¤æ â¨ã§«®¢ëå ¨§®¯ à ¬¥-âà¨ç¥áª¨å í«¥¬¥â®¢. �ਠí⮬ ¯à®£¨¡ ®¡®«®çª¨¢ ¯à¥¤¥« å í«¥¬¥â ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¡¨ªã¡¨ç¥-᪨¬¨ ¯®«¨®¬ ¬¨ �ନâ w = 4Xi=1 Liwi + 4Xi=1 Li+4�@w@��i++ 4Xi=1 Li+8� @wr@'�i + 4Xi=1 Li� @2wr@'@��i; (24) â £¥æ¨ «ìë¥ á®áâ ¢«ïî騥 ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¨£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë { �¨à¥¤¨¯®¢ë¬¨ ¯®-«¨®¬ ¬¨ âà¥â쥩 á⥯¥¨u = 12Xi=1 Siui; v = 12Xi=1 Sivi;� = 12Xi=1 Si�i; ' = 12Xi=1 Si'i: (25)�¤¥áì wi, ui, . . . , 'i { ᮮ⢥âá⢥® § 票ﯥ६¥é¥¨©, ¯à®¨§¢®¤ëå ¨ ª®®à¤¨ â ¢ 㧫®-¢ëå â®çª å; Li, Si { ¯¯à®ªá¨¬¨àãî騥 äãªæ¨¨,¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ [18, 19]. �§ á®®â®è¥¨© (24), (25)á«¥¤ã¥â, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë© í«¥¬¥â ¨¬¥¥â 40á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë. �¯¯à®ªá¨¬¨àãï ãᨫ¨ï N�, N� ,N�� ªã¡¨ç¥áª¨¬¨ ¯®«¨®¬ ¬¨ Si ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ë-à ¦¥¨ï (24), (25) ¢ ¢ ਠ樮®¥ ãà ¢¥¨¥ (22),¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®¬¯®¥â ¢¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥é¥¨©¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬㠤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©¢â®à®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨© ¢à¥¬¥¨¢ ¬ âà¨ç®¬ ¢¨¤¥:M �U (t) +KU (t)++(Nn�P� + Nn�P� + Nn��P��)U (t) = 0: (26)� âà¨æë M , K, P�, P�, P�� ïîâáï ᨬ¬¥-âà¨ç묨 ¨ ¨¬¥îâ «¥â®çãî áâàãªâãàã, å -à ªâ¥àãî ¤«ï ���. �室ï騥 ¢ á®®â®è¥-¨ï (26) § 票ï ãᨫ¨© Nn� , Nn� , Nn�� ¢ á®-®â¢¥âáâ¢ãîé¨å 㧫®¢ëå â®çª å { ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥äãªæ¨¨ á ¯¥à¨®¤®¬ !. �।áâ ¢«¥¨¥ à¥è¥-¨ï ¢ ¢¨¤¥ ¢ëà ¦¥¨© (24) { (26) ¯®§¢®«ï¥â § ¤ -çã ®¯à¥¤¥«¥¨ï £« ¢ëå ��� ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤ �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢ 37
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43Nn� =Nn� =N0+N1 cos!t, Nn��=0, ᢥá⨠ª à¥è¥-¨î ®¡®¡é¥®© § ¤ ç¨ á®¡áâ¢¥ë¥ § 票ï:�K � (!2 )2M + (N0 � N12 )(P� + P�)���eU�w; u; : : : ; @2w@�@�� = 0: (27)�¥â «ìë© «¨§ ¬¥â®¤®¢ à¥è¥¨ï ª®¥ç®-í«¥¬¥âëå § ¤ ç ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¯à¨-¢¥¤¥ ¢ [20]. � ¤ ®© à ¡®â¥ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᮡ-á⢥ëå ç¨á¥« ¨ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨á¯®«ì-§ã¥âáï «£®à¨â¬, ®á®¢ ë© ¬¥â®¤¥ å®à¤.3. ������ ������� ��� ��������-��� ������������������ �����-��������� �������ਠà áç¥â¥ £« ¢ëå ��� ¯àאַ㣮«ì®©¢ ¯« ¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨ 0�x�a,0�y�b ᨬ¬¥âà¨ç®© ¯® ⮫騥 áâàãªâãàë ¡ã-¤¥¬ ¨á室¨âì ¨§ â¥å¨ç¥áª®© ⥮ਨ ®¡®«®ç¥ª.�â ⥮à¨ï è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¬¥å ¨ª¥ ®¡®-«®ç¥ª ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ -¨© [3,15,16]. � áᬮâਬ ¤¢¥ § ¤ ç¨:1) § ¤ çã ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå 樫¨-¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨, ¢®§¡ã¦¤ ¥¬®© ¯®¤¢¥-¤¥®© ª í«¥ªâத ¬ à §®áâìî ¯®â¥æ¨ «®¢0V cos !t;2) § ¤ çã ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå ⮩ ¦¥¯ ¥«¨, ¢®§¡ã¦¤ ¥¬®© ¬¥å ¨ç¥áª®© £àã§-ª®©, ¯à¨ § ª®à®ç¥ëå ¨ à §®¬ªãâëå í«¥ª-âத å.� ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® â®àæ 审®«®çª¨ § ¤ ë ã«¥¢ë¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï. �ਠí⮬¤«ï ¢á¥å à áᬮâà¥ëå á«ãç ¥¢ à §¬¥é¥¨ï í«¥ª-âத®¢ ¤®ªà¨â¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®ä®à¬ã«¥ 0N1 = 0N2 = 0N: (28)�᫨ ¦¥ â®àæë y=0, y=b ᢮¡®¤ë, â® ¡¥§-¬®¬¥â®¥ ¤®ªà¨â¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáïá®®â®è¥¨ï¬¨0N1 = �1� C11C12� 0N; 0N2 = 0: (29)�ਠ¬¥å ¨ç¥áª®¬ £à㦥¨¨ â®àæ å ®¡®«®ç-ª¨ § ¤ ë ¨§¬¥ïî騥áï ¯® £ ମ¨ç¥áª®¬ã § -ª®ã ãᨫ¨ï 0N1, 0N2 (¯ãáâì 0N1= 0N2= 0N ). � ª ¯à¨í«¥ªâà¨ç¥áª®¬, â ª ¨ ¯à¨ ¬¥å ¨ç¥áª®¬ £à㦥-¨¨ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå®á®£® £à㦥-¨ï 0N = N0 +N1 cos!t;
¤«ï ®¤®®á®£® {0N1 = N0 + N1 cos !t:�®£« á® â¥å¨ç¥áª®© ⥮ਨ, ãà ¢¥¨ï ¤¢¨-¦¥¨ï ¨ ¥à §à뢮á⨠¤¥ä®à¬ 権 ¨¬¥îâ ¢¨¤ [3,6,15] @N1@x + @S@y = 0;@N2@y + @S@x = 0;N2R + @2M1@x2 + 2@2H1@x@y++@2M2@y2 + eN � e�@2w@t2 = 0;@2"1@y2 + @2"2@x2 � 2@2"12@x@y = � 1R @2w@x2 : (30)�¤¥áì ¤«ï ¤¢ãå®á®£® £à㦥¨ïeN = 0N�@2w@x2 + @2w@y2 �; (31) ¤«ï ®¤®®á®£® { eN = 0N1@2w@x2 : (32)�¢¥¤¥¨¥¬ äãªæ¨¨ ãᨫ¨© � â ª®©, çâ®N1 = h@2�@y2 ; N2 = h@2�@x2 ; S = �h @2�@x@y ; (33)⮦¤¥á⢥® 㤮¢«¥â¢®àïîâáï ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ãà ¢-¥¨ï (30). � §à¥è¨¢ ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï (7) ®â-®á¨â¥«ì® ¤¥ä®à¬ 権 "1, "2, "12, á ¨á¯®«ì§®¢ -¨¥¬ á®®â®è¥¨© (33), ¨§ ãà ¢¥¨© (30) ¯®«ã-稬 á«¥¤ãîéãî á¨á⥬ã:D11 @4w@x4 � 2�D12 +D66� @4w@x2@y2++D22 @4�@y4 � hR @2�@x2 + eN + e� �w = 0;A11@4�@x4 � 2�A12 + A66� @4�@x2@y2++A22 @4�@y4 + 1hR @2w@x2 = 0: (34)�¤¥áì A11 = C22� ; A12 = C12� ;A22 = C11� ; A66 = 1C66 ;� = C11C22 � C212:38 �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43�«ï è à¨à®£® § ªà¥¯«¥¨ï ªà ¥¢8>><>>: w = 0; @2w@x2 = 0;v = 0; @u@x = 0 ¯à¨ x = 0; a;8>><>>: w = 0; @2w@y2 = 0;u = 0; @v@y = 0 ¯à¨ y = 0; b: (35)�⨠ãá«®¢¨ï ⮦¤¥á⢥® 㤮¢«¥â¢®àïîâáï ¯à¨¢ë¡®à¥ à¥è¥¨ï ¢ ¢¨¤¥w = wmn(t) sin kmx sin pny;� = �mn(t) sin kmx sin pny;km = m�a ; pn = n�b : (36)�®¤áâ ¢¨¢ ¢ëà ¦¥¨ï (36) ¢ á®®â®è¥¨ï (34), ¯®-«ã稬 ãà ¢¥¨¥e� �wmn(t) + [pmn � 0Nmn(t)]wmn(t)++hk2mR �mn(t) = 0;kmn�mn � k2mhRwmn = 0; (37)£¤¥ kmn=A11k4m�2(A12+A66)k2mp2n+A22p4n;pmn=D11k4m�2(D12+D66)k2mp2n+D22p4n: (38)�ਠí⮬ ¤«ï ¤¢ãå®á®£® £à㦥¨ï0Nmn = 0N1Nmn; Nmn = k2m + p2n; (39) ¤«ï ®¤®®á®£® {0Nmn = 0NNmn; Nmn = k2m: (40)�᪫îç ï �mn ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï (37) ¨ ¯®¤-áâ ¢«ïï ¥£® ¢ ¯¥à¢®¥ ¨§ (37), ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥� âì¥: �w +
2mn(1� 2�mn cos !t)wmn = 0: (41)
�¤¥áì ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ï
2mn = !2mn�1� N0Nkr�;!2mn = 1e��pmn + k4mR2kmn�;Nkr = 1Nmn�pmn + k4mR2kmn�;�mn = N12(Nkr � N0) : (42)�« ¢ ï ��� á®á।®â®ç¥ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ç áâ®-âë !mn = 2
mn; (43)£¤¥
mn { ᮡá⢥ ï ç áâ®â ¨§£¨¡ëå ª®«¥¡ -¨© á ãç¥â®¬ ¢«¨ï¨ï ç «ìëå ãᨫ¨© N0.�ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢ ¥«¨-¥©®© ¬¥å ¨ª¨ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠢ëà ¦¥-¨î ¤«ï £« ¢®© ���:!mn = 2
mn(1� �mn) 12 : (44)�ਠ¤à㣨å ⨯ å £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¥ 㤠¥âáﯮ«ãç¨âì áâ®«ì ¯à®á⮥ à¥è¥¨¥. � í⮬ á«ãç ¥¨á¯®«ì§ã¥¬ á«¥¤ãî騩 ¯®¤å®¤. � ª ¨§¢¥áâ® [2],á ¤®áâ â®ç® ¢ë᮪®© â®ç®áâìî ¬®¦® áç¨â âì,çâ® £« ¢ ï ��� ®£à ¨ç¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬¨ à¥-襨ﬨ ¢¨¤ w = w1(x; y) cos !t2 + w2(x; y) sin !t2 ;� = �1(x; y) cos !t2 + �2(x; y) sin !t2 : (45)�®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¦¥¨ï ¢ ãà ¢¥¨ï (34) ¨¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ cos !t=2, sin!t=2,¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©:D11 @4w1@x4 + 2�D12 +D66� @4w1@x2@y2++D22 @4w1@y4 � hR @2�@x2 � e��!2�2w1 = 0;A11@4�1@x4 + 2�A12 + A66� @4�1@x2@y2++A22@4�1@y4 + 1hR @2w1@x2 = 0: (46)�. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢ 39
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43� ¡«. 1. �à ¢¥¨¥ «¨â¨ç¥áª®£® ¨ ª®¥ç®-í«¥¬¥â®£® à¥è¥¨©� «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ �¥è¥¨¥ ���h0�102 m;n
�103; �æ Nk �10�5; �=¬
�103; �æ Nk �10�5; �=¬1,1 1,3604 39.2045 1.3604 39.20461,2 0,5739 2.8702 0.5739 2.87030.00 1,3 0.3808 0.6378 0.3808 0.63781,4 0.4637 0.5587 0.4638 0.55871,5 0.6695 0.7629 0.6695 0.76301,1 1.5076 38.0672 1.5076 38.06731,2 0.6355 2.7822 0.6355 2.78230.05 1,3 0.4186 0.6096 0.4186 0.60961,4 0.5061 0.5260 0.5061 0.52601,5 0.7292 0.7155 0.7292 0.71561,1 1.7316 36.9230 1.7316 36.92311,2 0.7294 2.6957 0.7295 2.69580.10 1,3 0.4785 0.5856 0.4785 0.58561,4 0.5757 0.5006 0.5758 0.50071,5 0.8287 0.6795 0.8288 0.67961,1 2.1305 35.7684 2.1305 35.76831,2 0.8964 2.6050 0.8965 2.60500.15 1,3 0.5820 0.5542 0.5820 0.55421,4 0.6921 0.4628 0.6921 0.46281,5 0.9931 0.6243 0.9932 0.6244�ਠè à¨à®¬ § ªà¥¯«¥¨¨ ®¡®«®çª¨ £à ¨çë¥ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤8>><>>: w1 = 0; @2w1@x2 = 0;v1 = 0; @u1@x = 0 ¯à¨ x = 0; a;8>><>>: w1 = 0; @2w1@y2 = 0;u1 = 0; @v1@y = 0 ¯à¨ y = 0; b: (47)� ãà ¢¥¨ïå (46) ¤«ï ¤¢ãå®á®£® £à㦥¨ïeN = �N0 + N12 ��@2w@x2 + @2w@y2 �; (48) ¤«ï ®¤®®á®£® {eN = �N0 + N12 �@2w@x2 : (49)� «®£¨ç ï á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¯®«ãç ¥âáï ¨ ¤«ïw2(x; y), �2(x; y), ¯à¨ í⮬ ¢ á®®â®è¥¨ïå (46) {(49) á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì N0+N1=2 N0�N1=2.�ਠ䨪á¨à®¢ ®¬ § 票¨ ¯ à ¬¥âà ¢®§¡ã-¦¤¥¨ï ç áâ®â ï è¨à¨ £« ¢®© ��� ®¯à¥¤¥«ï-
¥âáï ä®à¬ã«®©�! = 2
�(1 + �) 12 � (1� �) 12 �: (50)�«ï ¤àã£¨å ¢¨¤®¢ § ªà¥¯«¥¨ï â®à殢 £à ¨çë¥ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ áâ ¤ àâë© ¢¨¤.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¡« á⥩ ¤¨ ¬¨ç¥-᪮© ¥ãá⮩稢®á⨠᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨î ¤¢ãå § -¤ ç ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¯à¨ à §«¨çëå § -票ïå ¯ à ¬¥â஢ N0 ¨ N1.4. ��������� ������������� ��������-���������� �������.������ ������������®«ã稬 «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ -ç¨ (46), (47) ¤«ï w1 ¨ «®£¨ç®¥ à¥è¥¨¥¤«ï w2. � ®¡®¨å á«ãç ïå à¥è¥¨¥ ¢ë¡¨à ¥â-áï ¢ ¢¨¤¥ (45). �®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨ï (36) ¢ãà ¢¥¨ï (46), 室¨¬ á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ç áâ®â®©¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨© !mn, ᮡá⢥®©ç áâ®â®© ¨§£¨¡ëå ª®«¥¡ ¨©
mn ¨ ¯ à ¬¥â஬¢®§¡ã¦¤¥¨ï �mn, ®¯à¥¤¥«ïîéãî £à ¨æë £« ¢-®© ���. �¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® íâ® á®®â®è¥¨¥á®¢¯ ¤ ¥â á ¢ëà ¦¥¨¥¬ (44). � ª¨¬ ®¡à §®¬,¯à¨ è à¨à®¬ § ªà¥¯«¥¨¨ â®à殢 ®¡®«®çª¨à¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ á â®ç®áâìî ¤® O(�2)40 �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43ᮢ¯ ¤ ¥â á «¨â¨ç¥áª¨¬ à¥è¥¨¥¬ (44), ¯®-«ãç¥ë¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ ¬¥â®¤®¬. �§ ®¡é¨åá®®¡à ¦¥¨© á«¥¤ã¥â, çâ® â ª®© ¦¥ १ã«ìâ â¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¨ ¯à¨ ¤àã£¨å £à ¨çëåãá«®¢¨ïå, ¯®áª®«ìªã ¢ à §«®¦¥¨¨ (45) 㤥ন¢ -¥âáï ®¤ £ ମ¨ª . � 楫ìî ®æ¥ª¨ â®ç®á⨯।« £ ¥¬®£® ¢ ਠâ ��� à áᬮâਬ § ¤ ç㮯।¥«¥¨ï ��� è à¨à® ®¯¥à⮩ âà¥åá«®©®©¥§ ¬ªã⮩ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨. �¡®«®çª á®áâ ¢«¥ ¨§ ¤¢ãå ®¤¨ ª®¢® ¯®«ïਧ®¢ ë墥è¨å ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨å á«®¥¢ ¨ ¢ãâà¥-¥£® í«¥ªâய஢®¤ï饣® á«®ï. �᫨ ª ¢¥è¨¬¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬ á«®ï¬ ¯®¤¢¥¤¥ à §®áâì ¯®-â¥æ¨ «®¢ V =V0 cos !t, â® N0=0, N1=2V0 1
31.� â ¡«. 1 ¯à¨¢¥¤¥ë § ç¥¨ï ¯ï⨠¨§£¨¡ëåç áâ®â
mn=!mn=2 ¨ ªà¨â¨ç¥áª¨å ᨫ Nk ¤«ïà §«¨çëå â®«é¨ ¢ãâ॥£® á«®ï, ¯®«ãç¥-ëå ¢ १ã«ìâ ⥠«¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ¨¢ëç¨á«¥ëå á ¯®¬®éìî ���.� ª ¢¨¤® ¨§ â ¡«¨æë, § 票ï å à ªâ¥à¨á⨪���, ©¤¥ë¥ à §«¨ç묨 ¬¥â®¤ ¬¨, å®à®è®á®£« áãîâáï ¬¥¦¤ã ᮡ®©, ç⮠ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ®¤®áâ â®ç®© â®ç®áâ¨ à §à ¡®â ®£® ¢ ਠâ ���. � â ¡«. 2 ¯à¥¤áâ ¢«¥ë § ç¥¨ï ªà¨â¨ç¥-᪨å ç áâ®â !0 ¨ !00 ᢮¡®¤® ®¯¥à⮩ á«®¨á⮩¯ ¥«¨ (h=0:0005 ¬) ¤«ï à §«¨çëå § 票© -£à㦥¨© N1, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¢ ¤¢ãå ¯à ¢«¥¨ïå.� áç¥âë ¯à®¢®¤¨«¨áì ¤«ï ®¡®«®çª¨, á®áâ ¢«¥-®© ¨§ ®¤¨ ª®¢® ¯®«ïਧ®¢ ëå ¢¥è¨å á«®-¥¢ ¯ì¥§®ª¥à ¬¨ª¨ ⨯ ���â��-2 ¨ ¢ãâ॥£®¤îà «î¬¨¨¥¢®£® á«®ï á® á«¥¤ãî騬¨ å à ªâ¥à¨-á⨪ ¬¨ ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨:d31 = �1:6 � 10�10 �«=�;S11 = 12:5 � 10�12 ¬2=�; S12 = 4:2 � 10�12 ¬2=�;"33 = 21000"0; "0 = 8:454 � 10�12 �=¬;Ea = 7:3 � 1010 �=¬2; �a = 0:34;�1 = 7500 ª£=¬3; �a = 2790 ª£=¬3;a = 0:3 ¬; R = 0:2 ¬; h = 0:0015 ¬;' = �=2; b = 'R:� ª ¢¨¤® ¨§ â ¡«. 2, å à ªâ¥à¨á⨪¨ ��� ®¡®-«®çª¨ á 㪠§ 묨 í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬¨ £à ¨çë-¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ áãé¥á⢥® à §«¨ç îâáï ¬¥¦¤ã á®-¡®©, ç⮠ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ®¡ ¨å § ¬¥â®¬ ¢«¨ï¨¨ ���.� ª ç¥á⢥ ¢â®à®£® ¯à¨¬¥à ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï¯à¥¤« £ ¥¬®£® ¯®¤å®¤ à áᬮâਬ § ¤ çã ® ¯ à -¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå á«®¨á⮩ ¯ ¥«¨ á ¦¥áâ-ª® § 饬«¥ë¬¨ ªà ﬨ. � à¨á. 1 ¯®ª § ® ¨§-
� ¡«. 2. �«¨ï¨¥ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© £à ¨æë £« ¢®© ���N�10�5, � ª®à®ç¥ë¥í«¥ªâதë � §®¬ªãâë¥í«¥ªâதë�=¬ !0 ª�æ !00 ª�æ !0 ª�æ !00 ª�æ0.00 0.8373 0.8373 0.9151 0.91510.05 0.8543 0.8199 0.9306 0.89920.10 0.8709 0.8022 0.9460 0.88310.15 0.8873 0.7841 0.9611 0.86660.20 0.9034 0.7655 0.9754 0.84990.25 0.9191 0.7465 0.9905 0.83280.30 0.9346 0.7270 1.0049 0.81540.35 0.9499 0.7069 1.0191 0.79750.40 0.9649 0.6863 1.0331 0.77930.45 0.9797 0.6651 1.0469 0.76060.50 0.9942 0.6431 1.0606 0.7415¬¥¥¨¥ ¬¨¨¬ «ì®© ¨§£¨¡®© ç áâ®âë ¨ ¬¨¨-¬ «ì®£® ªà¨â¨ç¥áª®£® ãᨫ¨ï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â⮫é¨ë á।¥£® á«®ï. �à¨¢ë¥ 1, 2 ᮮ⢥âáâ¢ã-îâ à¥è¥¨î § ¤ ç¨ ¤«ï ᢮¡®¤® ®¯¥à⮩ ®¡®«®ç-ª¨, ªà¨¢ë¥ 3, 4 { à¥è¥¨î ¤«ï ®¡®«®çª¨ á ¦¥áâ-ª® § 饬«¥ë¬¨ â®àæ ¬¨. � ª ¢¨¤® ¨§ ä®à¬ã«(43), (44), £« ¢ ï ��� ã¯¨à ¥âáï ᢮¨¬ ®áâà¨-¥¬ ¢ â®çªã, ᮢ¯ ¤ îéãî á 㤢®¥ë¬ § 票¥¬¬¨¨¬ «ì®© ¨§£¨¡®© ç áâ®âë. �®í⮬㠨§ -«¨§ ªà¨¢ëå 1, 3 á«¥¤ã¥â, çâ® á ¨§¬¥¥¨¥¬ ⮫é¨-ë á।¥£® á«®ï ¨¬¥¥â ¬¥áâ® áãé¥áâ¢¥ë© á¤¢¨££« ¢®© ��� ¯® ç áâ®â®© ®á¨ ª ª ¤«ï è à¨à®-£®, â ª ¨ ¤«ï ¦¥á⪮£® § ªà¥¯«¥¨ï â®à殢 ®¡®-«®çª¨.�« ¢ë¥ ��� á«®¨á⮩ ¯ ¥«¨ ᮠ᢮¡®¤® ®¯¥à-â묨 (ªà¨¢ë¥ 1) ¨ á ¦¥á⪮ § 饬«¥ë¬¨ ªà ï-¬¨ (ªà¨¢ë¥ 2) ¨§®¡à ¦¥ë à¨á. 2. �¤¥áì ¯® ®á¨ ¡áæ¨áá ®â«®¦¥ë § ç¥¨ï ªà¨â¨ç¥áª®© ç áâ®â뢮§¡ã¦¤¥¨ï, ¯® ®á¨ ®à¤¨ â { ¡¥§à §¬¥àë© ¯ -à ¬¥âà �. � ª ¢¨¤® ¨§ à¨á. 2, è¨à¨ ��� ®¡®-«®çª¨ á ¦¥á⪮ § 饬«¥ë¬¨ ªà ﬨ § ç¨â¥«ì-® ¯à¥¢®á室¨â è¨à¨ã ��� è à¨à® ®¯¥à⮩¯ ¥«¨.5. ����������� à ¡®â¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¯®áâ ®¢ª § ¤ ç¨ ® ¯ -à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨ïå âà¥åá«®©®© ã¯à㣮©¯ì¥§®®¡®«®çª¨ ¢à 饨ï, á®áâ ¢«¥®© ¨§ á।-¥£® ¯ áᨢ®£® ®àâ®âய®£® ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®£®¨«¨ ¬¥â ««¨ç¥áª®£® á«®ï ¨ ¤¢ãå ¯ì¥§® ªâ¨¢ëåá«®¥¢, ¬¥¦¤ã ª®â®à묨 ¬®£ãâ ¡ëâì à §¬¥é¥ë¡¥áª®¥ç® ⮪¨¥ í«¥ªâதë. �«ï à áç¥â £« ¢-�. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢ 41
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 43
�¨á. 1. � ¢¨á¨¬®áâì ¬¨¨¬ «ì®© ç áâ®âë (1, 3)¨§£¨¡ëå ª®«¥¡ ¨© ¨ ¬¨¨¬ «ì®£®ªà¨â¨ç¥áª®£® ãᨫ¨ï (2, 4)®â ⮫é¨ë á।¥£® á«®ï:1,2 { ᢮¡®¤® ®¯¥àâë¥ â®àæë,3,4 { ¦¥á⪮ § 饬«¥ë¥ â®àæë
�¨á. 2. �« ¢ë¥ ��� 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨:1,2 { ᢮¡®¤® ®¯¥àâë¥ â®àæë,3,4 { ¦¥á⪮ § 饬«¥ë¥ â®àæ뮩 ®¡« á⨠¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¥ãá⮩稢®á⨠(���)¯à¥¤«®¦¥ ã¯à®é¥ ï ¬¥â®¤¨ª , ®á®¢ ï ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¬¥â®¤®¬ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢ ᮡ-á⢥ëå ç áâ®â ¨§£¨¡ëå ª®«¥¡ ¨© á ãç¥â®¬¯à¥¤¢ à¨â¥«ì®£® £à㦥¨ï à áâ¢ î饩 ¨á¦¨¬ î饩 ᨫ®©.�ਠè à¨à®¬ § ªà¥¯«¥¨¨ â®à殢 樫¨¤à¨-ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨ ¯®«ã祮 «¨â¨ç¥áª®¥ à¥-襨¥ ¤«ï à §«¨çëå á«ãç ¥¢ à ᯮ«®¦¥¨ï í«¥ª-âத®¢. � ® ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ «¨â¨ç¥áª¨å ¨ª®¥ç®-í«¥¬¥âëå à¥è¥¨©, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ãî饥® ¢ë᮪®© â®ç®á⨠à áᬮâ८£® ¢ ਠ⠬¥-⮤ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢.
�áá«¥¤®¢ ® ¢«¨ï¨¥ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨çëåãá«®¢¨© £à ¨æë £« ¢®© ®¡« á⨠¤¨ ¬¨ç¥-᪮© ¥ãá⮩稢®á⨠¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨©æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨ ¯à¨ ¥¥ ¬¥å ¨ç¥áª®¬ £à㦥¨¨. �ਠí⮬ à áᬮâà¥ë ¤¢ ªà ©-¨å á«ãç ï: § ª®à®ç¥ë¥ ¨ à §®¬ªãâë¥ í«¥ªâà®-¤ë. �஢¥¤¥ë¥ à áç¥âë å à ªâ¥à¨á⨪ ���¤«ï è à¨à® ¨ ¦¥á⪮ § ªà¥¯«¥ëå â®à殢 ¯ì¥-§®¯ ¥«¨ ¯®ª §ë¢ îâ áãé¥á⢥®¥ ¢«¨ï¨¥ ¬¥å -¨ç¥áª¨å £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¨å ¯ à ¬¥âàë.�§¢¥áâ®, çâ® ¤«ï ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ¬ â¥à¨- «®¢ ªà¨â¨ç¥áª®¥ § 票¥ ¯à殮®áâ¨ í«¥ª-âà¨ç¥áª®£® ¯à®¡®ï ¯à¥¢®á室¨â § ç¥¨ï ¯àï-¦¥®áâ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¨¬¥-îâ ¬¥áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï. �«¥¤®¢ -⥫ì®, à ¡®â®á¯®á®¡®áâì ¯ì¥§®®¡®«®çª¨ ¬®¦¥â¡ëâì ¯®â¥àï ¢ १ã«ìâ ⥠¢®§¨ª®¢¥¨ï â ª¨åª®«¥¡ ¨©.1. �®£¤ ®¢¨ç �. �. �¥«¨¥©ë¥ § ¤ ç¨ ¤¨ ¬¨ª¨æ¨«¨¤à¨ç¥áª¨å ª®¬¯®§¨æ¨®ëå ®¡®«®ç¥ª.{ �¨£ :�¨ â¥, 1987.{ 295 á.2. �®«®â¨ �. �. �¨ ¬¨ç¥áª ï ãá⮩稢®áâì ã¯àã-£¨å á¨á⥬.{ �.: �®áâ¥å¨§¤ â, 1956.{ 600 á.3. �®«ì¬¨à �. �. �¥«¨¥© ï ¤¨ ¬¨ª ¯« á⨠¨®¡®«®ç¥ª.{ �.: � 㪠, 1972.{ 432 á.4. �¬¨¤â �. � à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï.{ �.: �¨à,1978.{ 336 á.5. �¥å ¨ª ª®¬¯®§¨â®¢: ¢ ¤¢¥ ¤æ ⨠⮬ å. �®¬ 9.�¨ ¬¨ª í«¥¬¥â®¢ ª®áâàãªæ¨© / �ã¡¥ª® �. �.¨ ¤à..{ �.: ���, 1999.{ 384 á.6. �ã¡¥ª® �. �., �®¢ «ìç㪠�. �., �®¤ç ᮢ �. �.�¥«¨¥©ë¥ ª®«¥¡ ¨ï 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª.{�.: �ëé 誮« , 1989.{ 208 á.7. �ã¡¥ª® �. �., �®¢ «ìç㪠�. �. �¥«¨¥©ë¥ § ¤ -ç¨ ª®«¥¡ ¨© ⮪®áâ¥ëå ®¡®«®ç¥ª (�¡§®à) //�ਪ«. ¬¥å.{ 1998.{ 34, N 8.{ �. 3{31.8. Popov A. A., Thompson J. M. T., McRobic F. A. Lowdimensional models of shell vibrations. Parametrical-ly excited vibrations of cylindrical shells // J. SoundVib.{ 1998.{ 209, N 1.{ P. 163{186.9. �¥å ¨ª á¢ï§ ëå ¯®«¥© ¢ í«¥¬¥â å ª®áâàãª-権: ¢ ¯ï⨠⮬ å. �®¬ 4. �«¥ªâà®â¥à¬®¢ï§ª®-ã¯à㣮áâì / � à ã客 �. �., �¨à¨ç®ª �. �.{ �.:� ãª. ¤ã¬ª , 1988.{ 320 á.10. �'ïâ¥æ쪨© �. �., � à ã客 �. �. � à -¬¥âà¨ç÷ ª®«¨¢ ï ⮪®áâ÷¨å ¥«¥¬¥â÷¢ §¯'õ§®¥«¥ªâà¨ç¨å ¬ â¥à÷ «÷¢ // �÷ᨪ �¨ù¢á쪮£®ã÷¢¥àá¨â¥âã. �¥à÷ï ä÷§.-¬ â. ãª.{ �¨ù¢, 1995.{�. 136{146.11. �'ïâ¥æ쪨© �. �., � à ã客 �. �. � à -¬¥âà¨ç÷ ª®«¨¢ ï ⮪®áâ÷¨å ¥«¥¬¥â÷¢ §¢'離®¯àã¦¨å ¯'õ§®¥«¥ªâà¨ç¨å ¬ â¥à÷ «÷¢ //�÷ᨪ �¨ù¢á쪮£® ã÷¢¥àá¨â¥âã. �¥à÷ï ä÷§.-¬ â. ãª.{ �¨ù¢, 1996.{ �. 77{88.12. �ïâ¥æª¨© �. �., � à ã客 �. �. �áá«¥¤®¢ ¨¥¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ¨© ¢ï§ª®ã¯à㣮£® ¯ì¥§®-í«¥ªâà¨ç¥áª®£® áâ¥à¦ï á ãç¥â®¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©¥«¨¥©®á⨠// �ਪ«. ¬¥å.{ 1998.{ 34, N 11.{�. 92{96.42 �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 1. �. 31 { 4313. Rao S. S, Sunar M. Piesoelectricity and its use indisturbance sensing and control of structure: A sur-vey // Appl. Mech. Review.{ 1994.{ 47, N 4.{ P. 113{123.14. Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material sys-tems: Applications of functional materials // Appl.Mech. Review.{ 1998.{ 51, N 8.{ P. 505{521.15. �¬¡ àæã¬ï �. �. �¥®à¨ï ¨§®âயë审®«®ç¥ª.{ �.: � 㪠, 1960.{ 266 á.16. �¬¡ àæã¬ï �. �. �¡é ï ⥮à¨ï ¨§®âயë审®«®ç¥ª.{ �.: � 㪠, 1974.{ 446 á.17. �¥å ¨ª á¢ï§ ëå ¯®«¥© ¢ í«¥¬¥â å ª®áâàãª-権: ¢ ¯ï⨠⮬ å. �®¬ 5. �«¥ªâà®ã¯à㣮áâì / �à¨ç¥ª® �. .�, �«¨âª® �. �., �ã«ì£ �. �.{ �.:� ãª. ¤ã¬ª , 1989.{ 280 á.18. � á᪠§®¢ �. �., �®§«®¢ �. �. �¨á«¥®¥ ¨áá«¥-¤®¢ ¨¥ ¥®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨© ®¡®«®çª¨¢à é¥¨ï ¯à¨ ¥®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ £à㦥¨¨ //�ਪ«. ¬¥å.{ 1998.{ 34, N 5.{ �. 68{75.19. Bhimaraddi A., Carr A. J., Moss P. T. A shear de-formable �nite element for the analysis of generalshells of revolution // Comput. Struct.{ 1989.{ 31,N 3.{ P. 299{308.20. � ⥠�., �¨«á® �. �¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë «¨§ ¨ ¬¥â®¤ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢.{ �.: �âன¨§¤ â,1982.{ 448 á.
�. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. � á᪠§®¢ 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1292 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:08:57Z |
| publishDate | 2001 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Карнаухова, О.В. Козлов, В.И. Рассказов, А.О. 2008-07-24T16:01:04Z 2008-07-24T16:01:04Z 2001 Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения / О.В. Карнаухова, В.И. Козлов, А.О. Рассказов // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 1. — С. 31-43. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1292 534.12+534.143:539.3 Дана постановка задачи о параметрических колебаниях упругой трехслойной пьезооболочки, состоящей из среднего ортотропного диэлектрического или металлического слоя и двух пьезоэлектрических слоев. На основе механических гипотез Кирхгоффа-Лява и адекватных им гипотез относительно электрических полевых величин получены определяющие уравнения для усилий и моментов для различных случаев расположения электродов, типа поляризации и электрических граничных условий. Указано, как с использованием этих уравнений, универсальных уравнений движения, кинематических соотношений и механических граничных условий записать нелинейные и линеаризованные уравнения, описывающие параметрические колебания оболочек произвольной конфигурации. Линеаризованные уравнения описывают области динамической неустойчивости (ОДН). На границе ОДН имеет место гармоническое движение. Это позволяет свести задачу исследования главной ОДН к задачам на собственные значения и статической устойчивости для предварительно нагруженных пьезооболочек. С целью решения таких задач развит метод конечных элементов. Подробно рассмотрена задача о параметрических колебаниях трехслойной цилиндрической пьезопанели указанной структуры. Для шарнирного закрепления ее торцов получено аналитическое решение. Сопоставление конечно-элементного и аналитического решений свидетельствует о высокой точности первого. Решена задача о параметрических колебаниях механически нагруженной пьезооболочки с короткозамкнутыми и разомкнутыми электродами. Обнаружено существенное влияние электрических граничных условий на размеры ОДН, что может быть использовано для контроля колебаний оболочек. Получено конечно-элементное решение задачи о параметрических колебаниях цилиндрической пьезопанели с жестким защемлением торцов. Анализ численных результатов свидетельствует о существенном влиянии механических граничных условий как на размеры, так и на расположение главной ОДН. Дано постановку задачі про параметричні коливання пружної тришарової п'єзооболонки, що складається з середнього ортотропного діелектричного або металевого шару та двох п'єзоелектричних шарів. На основі механічних гіпотез Кірхгофа-Лява й адекватних їм гіпотез про електричні польові величини одержані визначальні рівняння для зусиль і моментів для різних випадків розміщення електродів, типу поляризації та електричних граничних умов. Вказано, як з використанням цих рівнянь, універсальних рівнянь руху, кінематичних співвідношень і механічних граничних умов записати нелінійні й лінеаризовані рівняння, які описують параметричні коливання оболонок довільної конфігурації. Лінеаризовані рівняння описують області динамічної нестійкості (ОДН). На межі ОДН має місце гармонічний рух. Це дозволяє звести задачу дослідження головної ОДН до задач на власні значення і статичну стійкість для попередньо навантажених п'єзооболонок. Для розв'язання таких задач розвинуто метод скінченних елементів. Детально розглянуто задачу про параметричні коливання тришарової циліндричної п'єзопанелі вказаної структури. Для шарнірного закріплення торців одержано її аналітичний розв'язок. Порівняння скінченно-елементного й аналітичного розв'язків свідчить про високу точність першого. Розв'язано задачу про параметричні коливання механічно навантаженої п'єзооболонки з короткозамкнутими й розімкнутими електродами. Виявлено суттєвий вплив електричних граничних умов на розміри ОДН, що може бути використано для контролю параметричних коливань оболонок. Одержано скінченно-елементний розв'язок задачі про параметричні коливання циліндричної п'єзопанелі з жорстким закріпленням торців. Аналіз чисельних результатів свідчить про суттєвий вплив механічних граничних умов як на розміри, так і на розміщення головної ОДН. The problem of parametrical vibrations of elastic three-layer shells composed from middle orthotropic dielectric or metal layer and two piezoelectrical layers is studied. On the basis of the mechanical Kirchoff-Love hypothesis and adequate assumptions for an electrical field the constitutive equations for forces and moments are obtained for varying electrode positions, type of polarization and electrical boundary conditions. It is shown how nonlinear and linearizated equations describing the parametrical vibrations of the arbitrary shaped shells can be obtained if the constitutive equations, universal equations of motion, kinematical equations and boundary conditions are used. The linearizated equations describe an area of dynamic unstability (ADU). On the boundary of ADU the harmonic motion occurs. This gives an opportunity to reduce the problem of investigations of the main ADU to solving the eigen value problems and the problem of static stability. Method of finite elements is developed to solve these problems. The problem of parametrical vibrations of a three-layered cylindrical piezopanel is considered in detail. The analytical solution of the problem is obtained for the case of simply supported edges. Correlation of an analytical and finite-element solutions demonstrate high accuracy of the first. The problem of parametrical vibrations under harmonic mechanical load is solved for the open-circuted and short-circuted conditions. The essential influence of the electrical boundary conditions on the size of ADU that can be used for control of the parametrical vibrations of the shells is shown. The finite-element solution of the problem of parametrical vibrations of cylindrical piezopanel with clamped edges is obtained. The numerical results point to essential influence of mechanical boundary conditions on the size and position of ADU. ru Інститут гідромеханіки НАН України Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения Parametric vibration of a three-layered piezoelectric shells of revolution Article published earlier |
| spellingShingle | Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения Карнаухова, О.В. Козлов, В.И. Рассказов, А.О. |
| title | Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_alt | Parametric vibration of a three-layered piezoelectric shells of revolution |
| title_full | Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_fullStr | Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_full_unstemmed | Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_short | Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_sort | параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1292 |
| work_keys_str_mv | AT karnauhovaov parametričeskiekolebaniâtrehsloinyhpʹezoélektričeskihoboločekvraŝeniâ AT kozlovvi parametričeskiekolebaniâtrehsloinyhpʹezoélektričeskihoboločekvraŝeniâ AT rasskazovao parametričeskiekolebaniâtrehsloinyhpʹezoélektričeskihoboločekvraŝeniâ AT karnauhovaov parametricvibrationofathreelayeredpiezoelectricshellsofrevolution AT kozlovvi parametricvibrationofathreelayeredpiezoelectricshellsofrevolution AT rasskazovao parametricvibrationofathreelayeredpiezoelectricshellsofrevolution |