Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор)

В обзоре в рамках теории акустического рассогласования между твердыми телами обсуждается роль электронов проводимости в формировании эффективной акустической прозрачности интерфейса между узкими металлическими пленками и диэлектрическими подложками с высокой теплопроводностью. Рассмотрены как стацио...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Физика низких температур
Date:	2016
Main Authors:	Безуглый, А.И., Шкловский, В.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2016
Subjects:	К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129277
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор) / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 8. — С. 809-840. — Бібліогр.: 95 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860242153241837568
author	Безуглый, А.И. Шкловский, В.А.
author_facet	Безуглый, А.И. Шкловский, В.А.
citation_txt	Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор) / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 8. — С. 809-840. — Бібліогр.: 95 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Физика низких температур
description	В обзоре в рамках теории акустического рассогласования между твердыми телами обсуждается роль электронов проводимости в формировании эффективной акустической прозрачности интерфейса между узкими металлическими пленками и диэлектрическими подложками с высокой теплопроводностью. Рассмотрены как стационарные, так и различные нестационарные режимы излучения фононов из нагреваемых током или короткими лазерными импульсами металлических пленок при низких температурах. Подробно обсуждается, как время энергетической релаксации электронов на фононах eτ и среднее время ухода фононов из пленки es τ могут быть найдены из эксперимента. Теоретическое рассмотрение этих задач проводится с использованием кинетических уравнений для фононной и электронной функций распределения. Рассмотрены стационарные режимы релаксационного и диффузионного теплоотводов от движущегося плоского фронта фазового превращения в пленочной геометрии. В большинстве случаев обсуждается связь между теоретическими результатами авторов обзора и существующей экспериментальной ситуацией. В огляді в рамках теорії акустичного неузгодженості між твердими тілами обговорюється роль електронів провідності в формуванні ефективної акустичної прозорості інтерфейсу між вузькими металевими плівками і діелектричними підкладками з високою теплопровідністю. Розглянуто як стаціонарні, так і різні нестаціонарні режими випромінювання фононів з металевих плівок, що нагріваються струмом або короткими лазерними імпульсами при низьких температурах. Детально обговорюється, як час енергетичної релаксації електронів на фононах eτ та середній час виходу фононів з плівки es τ можуть бути знайдені з експерименту. Теоретичний розгляд цих завдань проводиться з використанням кінетичних рівнянь для фононної та електронної функцій розподілу. Розглянуто стаціонарні режими релаксацїйного і дифузійного тепловідводів від рухомого плоского фронту фазового перетворення в плівковій геометрії. У більшості випадків обговорюється зв'язок між теоретичними результатами авторів огляду та існуючою експериментальною ситуацією. This review article is a discussion of the role played by conduction electrons in the formation of an effective acoustic transparency at the interface between narrow metal films and dielectric substrates with high thermal conductivity, within the framework of the acoustic mismatch between solids. We consider both steady and transient regimes of phonon radiation from metal films heated by electric current or short laser pulses, at low temperatures. We discuss in detail how the electron-phonon energy relaxation τ e and the average exit time of the phonons from the films τ es can be found using the experiment. A theoretical analysis of these problems is carried out using kinetic equations for the phonon and electron distribution functions. We examine the steady modes of relaxation and diffusion heat removal from the moving plane phase transition front in the film geometry. In most cases, we discuss the relationship between the theoretical results of the review authors and the existing experimental situation.
first_indexed	2025-12-07T18:31:01Z
format	Article
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8, c. 809–840 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор) А.И. Безуглый Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт» ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина E-mail: bezuglyj@kipt.kharkov.ua В.А. Шкловский Харьковский национальный университет, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина E-mail: shklovskij@univer.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 16 марта 2016 г., опубликована онлайн 24 июня 2016 г. В обзоре в рамках теории акустического рассогласования между твердыми телами обсуждается роль электронов проводимости в формировании эффективной акустической прозрачности интерфейса между узкими металлическими пленками и диэлектрическими подложками с высокой теплопроводностью. Рас- смотрены как стационарные, так и различные нестационарные режимы излучения фононов из нагревае- мых током или короткими лазерными импульсами металлических пленок при низких температурах. Подробно обсуждается, как время энергетической релаксации электронов на фононах eτ и среднее время ухода фононов из пленки esτ могут быть найдены из эксперимента. Теоретическое рассмотрение этих за- дач проводится с использованием кинетических уравнений для фононной и электронной функций рас- пределения. Рассмотрены стационарные режимы релаксационного и диффузионного теплоотводов от дви- жущегося плоского фронта фазового превращения в пленочной геометрии. В большинстве случаев об- суждается связь между теоретическими результатами авторов обзора и существующей экспериментальной ситуацией. В огляді в рамках теорії акустичного неузгодженості між твердими тілами обговорюється роль елект- ронів провідності в формуванні ефективної акустичної прозорості інтерфейсу між вузькими металевими плівками і діелектричними підкладками з високою теплопровідністю. Розглянуто як стаціонарні, так і рі- зні нестаціонарні режими випромінювання фононів з металевих плівок, що нагріваються струмом або короткими лазерними імпульсами при низьких температурах. Детально обговорюється, як час енергети- чної релаксації електронів на фононах eτ та середній час виходу фононів з плівки esτ можуть бути знай- дені з експерименту. Теоретичний розгляд цих завдань проводиться з використанням кінетичних рівнянь для фононної та електронної функцій розподілу. Розглянуто стаціонарні режими релаксацїйного і дифузійного тепловідводів від рухомого плоского фронту фазового перетворення в плівковій геометрії. У більшості випадків обговорюється зв'язок між теоретичними результатами авторів огляду та існуючою експериментальною ситуацією. PACS: 66.70.–f Неэлектронная теплопроводность и распространение тепловых импульсов в твердых телах: тепловые волны; 72.15.Lh Времена релаксации и средние длины свободного пробега; 73.50.–h Электронные транспортные явления в тонких пленках; 64.70.K– Переходы твердое тело–твердое тело. Ключевые слова: металлические пленки, нестационарный нагрев, электрон-фононная кинетика. © А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, 2016 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский Содержание 1. Введение .................................................................................................................................................. 810 2. Стационарный нагрев электронов при низких температурах ............................................................. 811 2.1. Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик ......................................................................................................................... 811 2.1.1. Механизм переноса тепла через границу металл–диэлектрик: качественные сооб- ражения ................................................................................................................................ 811 2.1.2. Краткое описание расчета скорости теплоотвода через интерфейс металл–ди- электрик ................................................................................................................................ 812 2.1.3. Обсуждение экспериментальной ситуации ........................................................................ 813 2.2. Фононная спектрометрия горячих электронов в металлических пленках ................................. 815 2.2.1. Связь потока тепла из тонкой металлической пленки со спектральной функцией электрон-фононного взаимодействия ................................................................................ 815 2.2.2. Возможности извлечения спектральной функции ЭФВ в эксперименте ......................... 815 2.3. Об энергетической релаксации электронов на фононах в тонких металлических пленках ..... 816 2.3.1. Двумерность ЭФВ в «грязных» тонких пленках: общие соображения ............................ 816 2.3.2. Асимптотические оценки времен релаксации .................................................................... 816 2.3.3. Анализ экспериментальных результатов ............................................................................ 817 3. Нестационарный нагрев электронов ..................................................................................................... 818 3.1. Двухтемпературная модель. Высокие температуры .................................................................... 818 3.2. Горячие электроны и неравновесные фононы при низких температурах .................................. 820 3.2.1. Релаксация электронной температуры после импульсного нагрева электронов ............ 822 3.2.2. Определение времен энергетической релаксации электронов при высокочас- тотном нагреве ..................................................................................................................... 824 3.2.3. Динамика фононного вклада в электропроводность пленки ............................................ 826 3.2.4. 3ω-отклик металлической пленки ....................................................................................... 830 3.3. Релаксация нетермализованных электронов и фононов .............................................................. 831 4. Движущийся плоский фронт фазового превращения: стационарные режимы релаксационного и диффузионного теплоотводов ............................................................................................................ 832 4.1. Вводные соображения .................................................................................................................... 832 4.2. Поверхностная тепловая автоволна: анализ температурного поля и скорости теплоотвода от ФФП ............................................................................................................................................ 833 4.3. Сравнение релаксационного и диффузионного теплоотводов .................................................... 834 4.4. Заключительные соображения ....................................................................................................... 835 5. Заключение .............................................................................................................................................. 836 Литература ................................................................................................................................................... 838 1. Введение Как известно, макроскопическое описание теплооб- мена нагретого тела с окружающей средой в рамках уравнения теплопроводности включает в себя гранич- ные условия, связывающие значения теплового потока Q и скачка температуры T∆ на границе контактирую- щих сред соотношением Ньютона =Q Tα∆ , где α — коэффициент, обычно определяемый эмпирически. Если основные носители тепла в граничащих сре- дах — фононы, то величину α можно рассчитать мик- роскопически, используя представления о рассогласо- вании акустических импедансов контактирующих сред. Впервые соответствующие расчеты для границы твердое тело–квантовая жидкость (применительно к НеII) были выполнены в классической работе Халатникова [1]. За- тем Литтл [2] аналогичным способом рассмотрел гра- ничное сопротивление контакта двух твердых тел (при низких температурах обычно называемое «сопротивле- нием Капицы» [3]). В последующие годы появление новых способов ге- нерирования и детектирования высокочастотных фо- нонов привело к активному развитию исследований теплового сопротивления граничащих сред (см., на- пример, [3]). Интерес одного из авторов к подобным вопросам был обусловлен отсутствием адекватного теоретиче- ского и экспериментального анализа условий теплоот- вода в выполненных к тому времени опытах по статике и динамике резистивных доменов в тонких оловянных и свинцовых сверхпроводящих пленках [4,5]. Как оказалось в дальнейшем, проведенное в разд. 2 обзора исследование задачи о тепловом сопротивлении границы металл–диэлектрик [6] интересно не только для вопросов, связанных со статикой и динамикой ре- зистивных доменов в тонких сверхпроводящих плен- ках, но и представляет самостоятельный интерес в свя- зи с известными экспериментами по распространению тепловых импульсов в твердых телах при низких тем- пературах [3]. Постановка теоретических вопросов, рассмотренных в обзоре, мотивировалась первоначально тем обстоя- тельством, что к моменту появления работы по выяс- нению причин гистерезиса критического тока тонких 810 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик сверхпроводящих пленок [7] было известно два, на пер- вый взгляд существенно различных, подхода к вычис- лению теплоотдачи от нагреваемого постоянным то- ком при низких температурах металлического образца. С одной стороны, прямое вычисление теплоотдачи от электронов к фононам (решетке), выполненное в из- вестной работе Каганова, Лифшица, Танатарова [8], приводило к зависимости теплового потока Q от темпе- ратур электронов eT и решетки T в виде 5 5= ( )eQ B T T− , где константа B определялась лишь параметрами элек- трон-фононного взаимодействия (ЭФВ) металла. С другой стороны, измеряемые в многочисленных экспериментах (см., например, [3]) значения теплового сопротивления границы металл–диэлектрик (сопро- тивление Капицы) при низких температурах хорошо соответствовали температурной зависимости вида 4 4= ( )eQ A T T− , рассчитанной для твердых диэлектри- ческих подложек Литтлом [2], где константа A опре- делялась лишь акустическими параметрами металла и подложки и вовсе не зависела от ЭФВ металла. Анализ причин такого качественного (а не только количественного) различия в описании теплоотвода от металлических образцов привел к предсказанию раз- мерного эффекта в теплоотдаче металлических слоев и пленок [6], связанного со специфической ролью элек- тронов проводимости в формировании теплового сопро- тивления границы металл–диэлектрик. Дальнейшее ис- следование этих вопросов привело к необходимости анализа кинетики взаимодействия электронов и фононов в сильном постоянном и однородном электрическом поле с учетом их рассеяния на примесях и границах образца в отсутствие межэлектронных столкновений [9–12]. В целом полученные в работах [9–12] результаты дают последовательную те3орию широко используе- мых в низкотемпературном эксперименте генераторов тепловых импульсов, они существенны при расчете теплонагревателей, работающих при низких и сверх- низких температурах, а также при изучении и практи- ческом использовании тепловых доменов в сверхпро- водящих пленках. В результате наши исследования привели, с одной стороны, к непротиворечивому объяснению большин- ства ранее непонятных особенностей указанных выше экспериментов, а с другой стороны — к ряду новых физических предсказаний, часть из которых уже по- лучила экспериментальные подтверждения и в ряде других экспериментальных групп как в нашей стране [13–15], так и за рубежом [16,17]. В разд. 3 рассмотрены различные нестационарные режимы излучения фононов из нагреваемых током или короткими лазерными импульсами металлических пленок при низких температурах. Исследуется поведе- ние электросопротивления металлических пленок в этих условиях. Обсуждается ряд способов нахождения вре- мен релаксации взаимодействующих электронов и фо- нонов в условиях нестационарного нагрева электронов. Теоретическое рассмотрение этих задач проводится с использованием кинетических уравнений для фонон- ной и электронной функций распределения. Раздел 4 посвящен актуальному для эксперимента вопросу о диффузионном теплоотводе от движущегося плоского фронта фазового превращения (ФФП) в пле- ночной геометрии. Здесь исследуются два предельных случая теплоотвода от ФФП в подложку: релаксацион- ный и диффузионный. В первом случае сопротивление теплового стока сосредоточено целиком на границе пленка–подложка, а теплосопротивлением последней пренебрегают. Во втором случае (диффузионный теп- лоотвод) ситуация обратная. Выявлены основные осо- бенности диффузионного теплоотвода и рассмотрено его сравнение с релаксационным теплоотводом. В Заключении (разд. 5) кратко формулируются ос- новные результаты разд. 2–4. Отметим, что содержа- ние обзора при изложении теоретических результатов определяется главным образом наличием оригинально- го материала авторов обзора, что однако не исключает достаточно подробного анализа наиболее интересных (как теоретических, так и экспериментальных) работ других авторов. 2. Стационарный нагрев электронов при низких температурах 2.1. Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик 2.1.1. Механизм переноса тепла через границу металл– диэлектрик: качественные соображения Исследование вопроса о тепловом сопротивлении границы металл–диэлектрик (М–Д) первоначально воз- никло у нас в связи с известными экспериментами по распространению тепловых импульсов в твердых телах при низких температурах [3]. Для экспериментального изучения такого сопротивления (равно как и для полу- чения самих тепловых импульсов) широко используется метод нагрева электрическим током тонких металличе- ских пленок, осажденных на массивные монокристал- лические подложки из диэлектрика. В таких экспери- ментах обычно измеряются величина и спектральная интенсивность излучаемого пленкой теплового потока Q в зависимости от температуры электронов eT и под- ложки T (температуру подложки в силу реализации баллистического режима распространения излучаемых пленкой фононов можно считать равной температуре гелиевой ванны). Температуру электронов eT непосред- ственно не измеряют, а вычисляют по изменению элек- тросопротивления пленки, пользуясь известной темпе- ратурной зависимостью последнего в равновесном слу- чае [18]. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 811 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский Получаемая в таких экспериментах зависимость = ( , )eQ Q T T обычно интерпретируется в терминах пред- ложенной Литтлом теории температурного скачка на границе двух твердых тел. Если e DT Θ ( DΘ — де- баевская температура металла), то результат Литтла можно записать в виде 4 4= ( )eQ A T T− , где величина A определяется только акустическими характеристиками металла и диэлектрика, как принято в теории акустиче- ского рассогласования. Если θ — угол падения фонона на границу раздела сред, то величина A пропорцио- нальна усредненной по углам прозрачности границы ( )α θ , имеющей смысл вероятности прохождения дан- ного фонона через границу раздела М–Д. При таком подходе электронный вклад в тепловое сопротивление границы М–Д отсутствует. Однако, как показано ниже, теория акустического рассогласования, не учитывающая электронных харак- теристик металла, справедлива лишь для достаточно массивных металлических образцов. В интересующем нас прежде всего обратном предельном случае тонких металлических пластин (пленок) — соответствующие оценки приведены ниже — роль электронов в форми- ровании температурного скачка на границе М–Д ста- новится определяющей. Вопрос о влиянии электронов на величину скачка Капицы между металлом и Hе II ранее рассматривался в известной работе Андреева [19]. Предложенный в [19] механизм такого влияния наибо- лее эффективен именно в случае сильного акустиче- ского рассогласования граничных сред (для границы металл–Не II вероятность 210−α ). Обсуждаемый ниже механизм влияния электронов на температурный скачок наиболее эффективен как раз в обратном пре- дельном случае высокой прозрачности ( 1α ). Чтобы пояснить физическую причину такого воз- растания электронного вклада с уменьшением толщины металлического слоя (конфигурация типа «сэндвич» Д1–М–Д2, см. рис. 1), рассмотрим качественно меха- низм переноса тепла через границу раздела М–Д. С этой целью прежде всего напомним, что в достаточно чис- тых металлах основными носителями тепла являются электроны, а не фононы. Однако перенос тепла через границу осуществляется только фононами в меру ее акустической прозрачности. Поэтому со стороны ме- талла вблизи границы существует переходный слой, в котором тепловая энергия, перенесенная электронами, трансформируется в поток фононов. Толщина этого слоя порядка длины свободного пробега теплового фонона по отношению к рассеянию на электронах ( )pe el T , где ( ) /pe e F el T T v 10–3–10–4 см при гелиевых темпера- турах. Интуитивно очевидно, что если ped l , где d — толщина металлической пластины, то детальная струк- тура этого переходного слоя несущественна для расче- та теплосопротивления границы М–Д, что и соответст- вует обычному подходу, игнорирующему электронный вклад. Если же ped l , a 1α , то большинство фоно- нов, излучаемых электронами металла, успевают уйти из пленки без перепоглощения внутри нее даже после нескольких последовательных отражений от ее границ. Таким образом, в отличие от предыдущего случая, спектральное распределение излучаемых пленкой фо- нонов в большей степени содержит информацию об электрон-фононном взаимодействии (ЭФВ) в металле, чем о величине α прозрачности границы М–Д. Последовательная формулировка этих качественных соображений на кинетическом уровне приводит к воз- можности количественного описания размерного эффек- та в теплоотдаче от тонких слоев металла в условиях баллистического распространения излучаемых пленкой фононов. Такой расчет, учитывающий конечную про- зрачность границы М–Д в духе теории акустического рассогласования [2], приводится ниже. 2.1.2. Краткое описание расчета скорости теплоот- вода через интерфейс металл–диэлектрик Рассмотрим металлическую пластину (пленку) тол- щиной d , находящуюся с обеих сторон в контакте с массивными диэлектриками Д1 и Д2, температуры ко- торых 1T и 2T известны (см. рис. 1). Пусть через образец течет постоянный электрический ток j, так что в еди- нице объема выделяется мощность 2= /P j σ, где σ — проводимость металла. Требуется найти величины те- пловых потоков 1Q и 2Q , если прозрачности границ раздела для фононов 1α и 2α известны. Последовательный теоретический расчет теплоот- дачи пластины при практически произвольном соот- ношении между ее толщиной d , величиной ( )pe el T и параметрами прозрачности оказывается возможным благодаря наличию в этой ситуации нескольких упро- щающих задачу физических обстоятельств. Рис. 1. Схематический вид конфигурации Д1–М–Д2 (диэлек- трик–металл–диэлектрик) типа «сэндвич», d — толщина ме- таллической пленки. Остальные обозначения — в тексте. 812 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик Одно из них связано с возможностью пренебречь неоднородностью электронной функции распределе- ния по толщине пленки в меру малости параметра / 1p eλ λ  , где pλ и eλ — коэффициенты теплопро- водности фононов и электронов. Если характерные энергии электронов таковы, что eλ формируется на длине столкновений электронов с примесями или гра- ницами кристаллитов пленки il , а pλ определяется рас- сеянием фононов на электронах, то предыдущее нера- венство эквивалентно условию ( / ) 1pe dl l  и обычно в эксперименте при e DT Θ выполняется с большим запасом. Здесь 1/2( )d e il l l — диффузионная длина, 2( )( / )e pe Dl l T TΘ — средняя длина свободного про- бега электрона с энергией Bk Tε по отношению к рассеянию на фононах ( Bk — постоянная Больцмана). Вторым важным упрощающим обстоятельством яв- ляется возможность ввести электронную температуру в случае, если 2 /e D FT Θ ε , когда формирование тем- пературного фермиевского распределения уже не мо- жет осуществляться за счет прямых межэлектронных соударений. Такое введение eT может быть обосновано как в пределе ped l [9,10], так и в пределе ped l за счет эффективных межэлектронных столкновений че- рез фононы. Поэтому утверждение о возможности вве- дения eT и в случае ped l можно считать достаточно надежной интерполяцией упомянутых выше предель- ных случаев, где оно доказывается строго. Оба эти об- стоятельства позволяют свести поставленную выше за- дачу к решению кинетического уравнения для фонон- ной функции распределения, после чего величина eT как функция Q и T определяется из уравнения тепло- вого баланса. Наконец, еще одно важное упрощение, которое особенно существенно в актуальном для нас случае хорошей прозрачности ( 1α ), связано с воз- можностью сформулировать простые граничные условия для фононной функции распределения. Как показано ниже, возможность баллистического распространения излучаемых пленкой фононов не только существенно упрощает учет отвода тепла от образцa, но и создает условия для возможной реализации размерного эффекта. Переходя к количественной формулировке задачи, выберем направление оси z перпендикулярно грани- цам раздела сред и пусть в плоскости –x y задача про- странственно однородна. В соответствии со сказанным выше запишем кинетическое уравнение для фононной функции распределения ( ,N zq ) (q — импульс фонона) в виде ˆ( / ) =zs N z N∂ ∂ ν . (1) Здесь zs — проекция скорости фонона на направление оси z, ˆNν — интеграл столкновений фононов с электро- нами, который в нашем случае, когда функция распре- деления электронов является равновесной фермиевской с температурой eT , приводится к виду [ ( ) ( )],pe en T N zν − где ( )en T — равновесная бозевская функция с темпера- турой eT , а peν имеет смысл частоты столкновения фонона с энергией ω с электронами. В рассматривае- мой нами простейшей модели электронов с квадратич- ным и изотропным законом дисперсии и дебаевской модели для фононов peν определяется величиной ЭФВ и пропорциональна ω ( /pe Fsν ω v , Fv — фермиев- ская скорость, s — скорость продольного звука). Опуская промежуточные вычисления и анализ функ- ций распределения с > 0zq и < 0zq , т.е. функций >N и <N , приведем окончательный результат для теплового потока 1Q (выражение для 2Q отличается лишь пере- меной индексов 1 и 2 и имеет обратный знак): 2 1 1 2 1 2 2 >0 = (1 )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )],e e qz Q x n T n T x n T n Tα γ −β − −α −∑ (2) где = exp( / )x d l− , = /z pel s ν , 2 1 2= / (1 )q zs xγ ω −β β и = 1β −α . Величина eT определяется из уравнения теплового баланса для электронов 1 2=Q Q Q− , где 2= /Q j d σ — полная плотность потока тепла, проходящего через границы металлической пластины. Обратимся теперь к важному для экспериментов с тепловыми импульсами [3] вопросу о тепловом излу- чении нагреваемой током металлической пленки в сре- ду с температурой T. Искомую связь между 1Q и eT , следующую из (2) при 1 2= =T T T , можно представить в компактном виде, вводя эффективную суммарную прозрачность границ: >0 = ( , ) [ ( ) ( )],q z e qz Q q d s n T n Tα ω −∑   (3) где 2 1 2 2 1 1 2= (1 )[ (1 ) (1 )] / (1 ).x x x xα − α +β +α +β −β β (4) Отметим, что в отличие от «затравочных» прозрач- ностей 1α и 2α , которые для упрощения формул счи- тались не зависящими от угла падения фонона на гра- ницу раздела, эффективная прозрачность α имеет угловую зависимость от q, связанную с величиной x . 2.1.3. Обсуждение экспериментальной ситуации Проанализируем выражения (3) и (4) подробнее, так как они содержат связь наблюдаемой в опыте зависи- мости ( )eT Q (см. статьи 12 и 13 в [3], а также более подробное изложение в [11]) с толщиной пленки и па- раметрами прозрачности. Предварительно определим зависящий от электронной температуры параметр ε по формуле 1 2 1 2= 2 / ( )(1 )pe ed l Tε β β −β β , так что eTε . Формулы, соответствующие обычной интерпрета- ции [3,18], игнорирующей электронный вклад в тепло- вое сопротивление границы, получаются из (3) и (4) при > 2ε . Действительно, в этом пределе 1 2=α α +α и при e DT Θ из (3) следует хорошо известный резуль- тат Литтла [2]: 4 4= ( )eQ A T T− , где величина A опреде- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 813 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский ляется только акустическими характеристиками метал- ла и диэлектрика так, как это принято в теории акусти- ческого рассогласования. Тепловой режим пленки в этом случае соответствует обычному «джоулеву» на- греву. В частности, спектр излучаемых пленкой фоно- нов является равновесным с температурой eT , так что максимуму его спектральной интенсивности отвечает энергия 2,8m eTω  . При = constQ eT не зависит от d. Рассмотрим обратный предельный случай, когда ( )pe ed l T , однако неравенство >d Λ , где = ( )eTΛ Λ — длина волны теплового фонона в металле, сохраняется, что позволяет не учитывать деформацию фононного спектра пленки (напомним, что в рассматриваемом на- ми «чистом» пределе / / 1pe Fl sΛ  v , так что ука- занное выше двойное неравенство может быть выпол- нено). Тогда если и 1ε , то величина eT не зависит от параметров прозрачности вообще. В этом пределе, ко- торый будем называть далее режимом электронного перегрева, большинство фононов, излучаемых электро- нами, успевает уйти из пленки, не перепоглощаясь внутри нее, и электроны и решетку можно описать с помощью двух различных температур: eT и T [8]. Как и в [8], 5 5= ( )eQ B T T− , где константа B связана с элек- тронными характеристиками металла. Заметим, что хо- тя последнюю формулу фактически можно написать сразу, пользуясь условием теплового баланса, что и бы- ло впервые сделано в работе [8], однако приведенный здесь ее вывод в рамках кинетического подхода позво- ляет выяснить пределы ее применимости в условиях стационарного нагрева электрическим током. Режим электронного перегрева в интересующей нас задаче реализуется в «чистом виде» лишь в том случае, когда параметр ε удовлетворяет неравенству 1ε . Отметим еще, что в работе [11] было показано, что если учесть зависимость коэффициентов прозрачности от угла падения фонона на границу раздела сред со- гласно формулам теории акустического рассогласова- ния Литтла [2], то можно описать количественно и все «промежуточные» возможности, реализующиеся меж- ду предельными ситуациями чисто электронного пере- грева ( 1ε ) и «джоулева» нагрева ( 1ε ) по мере роста рассеиваемой мощности P , а следовательно, и величины параметра Q . Любопытно отметить также, что в режиме электронного перегрева излучение фоно- нов из пленки неравновесно и максимуму его спек- тральной интенсивности отвечает энергия 3,9m eTω ≈ . Что же касается «джоулева» нагрева, то, несмотря на существование формулы 4 4= ( )eQ A T T− , нельзя все же считать, как это обычно делается [2], что фононы в пленке равновесны с температурой eT , ибо такая функция распределения обращает в нуль интеграл столкновений электронов с фононами, а следовательно, и передавае- мую фононам мощность P. Как показывает анализ вы- ражения для ( , )N q z в работе [11], фононная функция распределения в рассматриваемом режиме существен- но неоднородна на масштабе ( )pe el T . Поэтому в случае «джоулева» нагрева можно лишь утверждать, что функция распределения вылетающих из металла фоно- нов >N на границе пленки =z d соответствует равно- весным фононам с температурой eT . Простой анализ (3) показывает, что зависимость ( )eT Q в общем случае монотонна и «выпукла вверх». Примерный вид этих зависимостей при различных значениях прозрачности одной из границ представлен на рис. 2. Более пологие кривые соответствуют мень- шей прозрачности. Переход от закона 4T к 5T проис- ходит при 1ε . Важной особенностью кривых на рис. 2 является то, что зависимость 5 eQ T , соответст- вующая случаю чисто электронного подогрева, лежит на графике ниже остальных кривых (исключая участ- ки, где они практически совпадают). Это означает, что в пределе 1ε теплоотвод от пленки наиболее эффек- тивен (минимальное eT при данном Q), т.е. уже не мо- жет быть увеличен за счет улучшения акустического согласования металла и подложки. Следует отметить, что в эксперименте в ряде случа- ев [18,20] согласование пленки и подложки оказывает- ся лучше, чем это следует из теории акустического рассогласования (которой в нашем случае соответст- вуют участки кривых с > 2ε ). Для интерпретации та- ких результатов авторы работ [18,20] используют так называемую модель абсолютно черного тела (АЧТ) [20], не имеющую, вообще говоря, в случае 1α ≠ какого- либо теоретического обоснования. Как следует из ска- занного выше, действительно возможен режим, в кото- ром, пока 1ε , теплоотвод максимален и не зависит от коэффициентов прозрачности. Однако в противопо- ложность модели АЧТ в режиме электронного пере- Рис. 2. Схематический вид зависимостей электронной темпе- ратуры eT от величины теплового потока Q в диэлектрик при различных значениях акустической прозрачности α од- ной из границ М–Д. 814 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик грева величина теплоотвода определяется только па- раметрами металла, ответственными за величину ЭФВ. Сделаем еще одно замечание, которое может разъяс- нить результаты по «аномальной» прозрачности для пленок, напыленных при комнатной температуре [18]. Обычно исследуемая пленка напыляется на охлажден- ную подложку (для пленок In, Sn, Al это легко заметить по небольшому возрастанию температуры сверхпрово- дящего перехода) [18]. Такая «аморфизация» пленки может существенно затруднить выход фононов из нее и, следовательно, выполнение условия 1ε . Если же пленки по своей структуре близки к массивному ме- таллу (напылялись при комнатной температуре или хо- рошо отожжены) и затравочные прозрачности α не очень малы, то, как показывают оценки, выполнение условия 1ε легко достижимо, что и могло бы объяс- нить результаты [18] без привлечения модели АЧТ. 2.2. Фононная спектрометрия горячих электронов в металлических пленках 2.2.1. Связь потока тепла из тонкой металлической пленки со спектральной функцией электрон-фононного взаимодействия Ранее в работах [6,11,12] по стационарному тепло- отводу было теоретически рассмотрено тепловое излу- чение от нагреваемой током металлической пленки, осажденной на массивную монокристаллическую под- ложку из диэлектрика, находящуюся при гелиевых температурах. В зависимости от величины тока вычис- лялась нелинейная добавка к «остаточному» электро- сопротивлению пленки 0ρ и спектральное распреде- ление излучаемых ею в диэлектрик баллистических фононов. Оказалось, что в зависимости от соотноше- ния между толщиной пленки d и эффективной длиной eff = ( )pe el l Tα (α — средняя акустическая прозрач- ность границы металл–диэлектрик, ( )pe el T — средняя длина свободного пробега фонона по отношению к рассеянию на электронах), возможны два существенно различных режима фононного излучения из пленки. Если effd l , то тепловое излучение равновесно с температурой eT и его интенсивность зависит от вели- чины α, т.е. от свойств подложки. Если effd l (режим электронного перегрева), то практически каждый излученный горячими электрона- ми фонон покидает пленку без перепоглощения в ней. В этом режиме не зависящее от α спектральное рас- пределение излучаемых пленкой фононов ( , )eJ Tω опре- деляется только характеристиками электронов металла и оказывается пропорциональным спектральной функции электронного взаимодействия (ЭФВ) 2( ) = ( ) ( )S Fω α ω ω (где 2 ( )α ω — квадрат матричного элемента ЭФВ, F(ω) — плотность фононных состояний) [12,21]. Если P — мощность, выделяемая током плотностью j в единице объема пленки ( 2 0=P jρ ), a Q — полный поток фононов через границу М–Д, то 0= = ( ) ( ),eQ Pd Q T Q T− где 0 1 ( ) = ( , ), ( , ) = 2 (0) ( ) [exp ( / ) 1] .B Q T d J T J T N S k T ∞ − ω ω ω ω ω − ∫  (5) Здесь 0T — температура гелиевой ванны, (0)N — плотность электронных состояний на уровне Ферми. 2.2.2. Возможности извлечения спектральной функции ЭФВ в эксперименте Цель данного раздела — обсудить связанные с фор- мулой (5) возможности извлечения ( )S ω из данных по исследованию «грязных» металлических пленок в ре- жиме электронного перегрева. Если отвлечься от спо- соба экспериментального определения зависимости ( )eT P и (0)N (см. ниже), то, в принципе, извлечение ( )S ω реализуемо двояко. В первом случае, получив экспериментальную зави- симость 0( , )eP T T , можно численно «обратить» инте- гральное соотношение = /P Q d (см. формулу (5)) по- добно тому, как это предлагалось еще И.М. Лифшицем в работе [22], где обсуждалось восстановление спектра бозевских возбуждений по результатам измерения теп- лоемкости. Основная трудность на этом пути — некор- ректность такой обратной задачи. Другая возможность состоит в непосредственном измерении спектрального распределения излучаемых пленкой фононов ( , )eJ Tω с помощью подходящего фононного детектора [3], реали- зующего «спектрометрический» элемент предлагаемо- го метода, так как ( , ) ( )eJ T Sω ω (см. (5)). Остановим- ся теперь на способах экспериментального измерения ( )eT P и (0)N . Определение eT по величине нелиней- ной добавки ( )eTδρ к остаточному электросопротивле- нию пленки 0ρ , обычно принятое в опытах по генера- ции тепловых импульсов [3,13], в характерной для наблюдения электронного перегрева области достаточ- но низких температур малоэффективно из-за того, что 0.δρ ρ Однако в силу именно этого неравенства ока- зывается возможным использование шумовой термо- метрии [23], когда для измерения eT используются флуктуации напряжения на исследуемой пленке. Не- давно в работах Роукса с соавторами [17] этот метод был использован для экспериментального наблюдения перегрева электронов в пленках Cu толщиной 310 Å на подложках из сапфира. Предсказываемая теорией [8–10] зависимость 1/5 eT P (для электронов с квадра- тичным законом дисперсии, взаимодействующих с дебаевскими фононами) уверенно наблюдалась в ин- тервале температур 25–300 мК. Используя результаты своих измерений, авторы [17] определили константу a в выражении для времени энергетической релаксации Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 815 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский электронов на фононах 3=e eaT −τ для Cu по известной электронной теплоемкости =ec Tγ . Заметим, однако, что использование уже известной величины (0)Nγ  в этом случае не является необхо- димым. Электронную теплоемкость исследуемой плен- ки можно находить в опыте по ее остыванию, измеряя ( )eT t с помощью той же методики. Скорость такого остывания определяется уравнением 0/ = ( , ),e e ec dT dt dP T T− (6) где зависимость 0( , )eP T T известна из стационарного эксперимента [17]. Сравнение наблюдаемой и получен- ной интегрированием (5) зависимостей ( )eT t позволит найти (0)N . Такая «релаксационная» методика опре- деления (0)N не связана с конкретным видом элек- тронного спектра и, следовательно, пригодна для из- мерения γ в структурно-неупорядоченных («грязных») металлических пленках, где перенормировка (0)N за счет ЭФВ зависит от поведения ( )S ω при Dω ω [24]. В то время как для чистых металлов при 0ω→ 2( )S ω ω , теоретические оценки поведения ( )S ω в гряз- ном пределе существенно зависят от используемых мо- делей. Так, в [25,26] получено 3( )S ω ω , тогда как в [27] ( )S ω ω . Соответственно в наблюдаемых зависимо- стях 1/n eT P величина n должна изменяться от 6 до 4, а показатель p в температурной зависимости p e eT −τ  принимает значения от 4 до 2 ( = 2p n − ), так как 1 0 ( ) = 4 ( )sh( / )e BT d S k T ∞ −τ π ω ω ω∫  . (7) В массивных металлах для экспериментального оп- ределения eτ при =D DT Θ ω существуют различ- ные методы [24]. Величина eτ часто используется как феноменологический параметр в работах по слабой ло- кализации грязных металлических пленок и резистивно- му поведению сверхпроводящих пленок в существенно нелинейных режимах. Однако, как хорошо известно [24], для достаточно тонких пленок, особенно если они на- пыляются при низких температурах, eτ может сущест- венно изменяться (часто более чем на порядок [25]) по сравнению со случаем массивного металла за счет сильного изменения ( )S ω в интересующей нас «кине- тической» области частот Dω ω . Обычные способы экспериментальной оценки eτ по температурной зави- симости электро- и теплосопротивления таких пленок при достаточно низких температурах становятся непри- годными в силу малости указанных эффектов. Поэтому измерения 0( , )eP T T по методике работы [17] для гряз- ных пленок могут дать пока отсутствующую прямую информацию о ( )e Tτ . Кроме того, дополненные фо- нонной спектроскопией теплового излучения пленки эти данные содержат более детальную эксперименталь- ную информацию об ЭФВ таких пленок в той области частот ( Dω ω ), где традиционные методы туннель- ной [28] и микроконтактной [29] спектроскопии не претендуют на достаточную точность. 2.3. Об энергетической релаксации электронов на фононах в тонких металлических пленках 2.3.1. Двумерность ЭФВ в «грязных» тонких пленках: общие соображения Хотя с теоретической точки зрения вопрос об элек- трон-фононной релаксации в грязных 3D-металлах при низких температурах (когда 1ql  , где q — характер- ный волновой вектор фонона, l — длина свободного пробега электрона за счет рассеяния на примесях [30]) может считаться в основном завершенным (см., на- пример, [31]), сравнение выводов теории с результата- ми недавних экспериментов по определению зависи- мости ( )e Tτ в тонких металлических пленках [32–34] все еще остается весьма противоречивым. Ранее ряд противоречий в интерпретации экспериментов Бергма- на по измерению квантовых поправок к электросопро- тивлению тонких пленок устранили авторы работы [35], воспользовавшись представлением о двумерности ЭФВ в исследуемых пленках. Критерием такой двумерности является выполнение условия 2( )eD T dτ  , где D — коэффициент электронной диффузии, d — толщина пленки [35]. Однако расчеты, проведенные в [35], были числен- ными и не давали общего представления о характере за- висимости 1( , )e T l−τ в 2D-режиме (напомним, что в гряз- ном пределе в 3D-металле при 0T → 1 4( , )e T l T l−τ  [31]). Ниже (п. 2.3.2) мы приведем асимптотические оценки в 2D-режиме и далее (п. 2.3.3) рассмотрим ряд отно- сящихся к этому случаю экспериментов [17,36], ранее имевших иную интерпретацию. 2.3.2. Асимптотические оценки времен релаксации Для получения интересующих нас асимптотик в ка- честве исходного используем полученное в рамках модели желе выражение для 1 e −τ из работы [35]: / 1 3 3 2 0 = (2 / )( ) ( / ) ( ) / sh . TD e B b b b b b l m k T d s dx x f xt x Θ −τ ∑ ∫ (8) Здесь m — масса электрона; bs — скорость звука с поляризацией b , 3= /16 b b F i bd k sπρ , где iρ — плотность ионов, Fk — волновое число Ферми; = /b lt T Θ , а = /l b Bs k lΘ  имеет смысл температуры, при которой длина волны теплового фонона становится порядка l . Функции ,L Tf [35] в (8) удобно представить в виде 2 1/2( ) = 2 / [1 ( 1) ]Lf x x+ + , 2=T Lf f , откуда сразу сле- дует их монотонность (см. ниже). 816 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик Если l DT Θ Θ  , то, разлагая ( )bf xt в ряд по 2 << 1t , находим первые два члена разложения (8) в виде {1 3 3 3= (2 / )( ) [7 (3) / 2] / 2 /e B L L T Tl m k T d s d s−  τ ζ + −  }2 5 5[93 (5) / 8][ / ] / 4 /B L L T Tk Tl d s d s − ζ +  . (9) Основной вывод, следующий из (9): в нулевом по 2 1t  приближении 1 3 e T−τ  , т.е. частота энергетиче- ской релаксации электронов на фононах в грязном ( 1Tq l  ) 2D-металле 2 ( , )D e l Tν имеет низкотемпера- турное поведение вида pT с тем же значением = 3p , что и в чистом ( 1Tq l  ) 3D-металле, где для L-фоно- нов [31] 1 3 4 3= (7 (3) /12)( ) / = ( ),D e B L ek T mMs T−τ πζ ν (10) где M — масса иона. Учитывая, что 3= 9 / 4L D i i Fkρ ρ [35], где 3 3=D i FMkρ , для L-фононов имеем связь 2 2 3( , ) = ( / 3 ) ( ),D D e F el T k l Tν π ν (11) откуда видно, что при 210Fk l  численные значения 2 ( )D e lν и 3D eν одного порядка. Покажем, что выражение (9) качественно согласу- ется с результатами численного анализа экспериментов на основе формулы (8) в [35]. Такое согласие следует из нескольких взаимосвязанных обстоятельств. Во- первых, пользуясь монотонностью функций , ( )L Tf x легко показать, что для DT Θ 2 ( , )D e l Tν является монотонно убывающей функцией своих аргументов. Во-вторых, оказывается, что для l DTΘ Θ  имеем ( ) pT Tν  с = 2p для L-фононов и = 1p для T-фононов. И наконец, в силу отрицательного знака поправки к нулевому приближению в разложении (9) (относитель- ный порядок которой приближенно равен 23( / ) 1)lT Θ  очевидно, что с ростом T величина «эффективного» p, начиная со значения p = 3 для lT Θ , монотонно уменьшается, так что в промежуточной области темпе- ратур lT Θ вполне возможно 2p ≈ [35]. 2.3.3. Анализ экспериментальных результатов Проанализируем сначала уникальные по постановке и результатам эксперименты Роукса и др. [17], в кото- рых с помощью шумовой термометрии в диапазоне температур 25–320 мК непосредственно измерялась зависимость электронной температуры в пленке меди толщиной 310 Å от величины приложенного к пленке постоянного электрического поля. Извлекаемая из этих измерений температурная зависимость частоты энерге- тической релаксации электронов на фононах с высокой точностью следовала закону 1 3( ) =e T aT−τ , где величи- на a соответствовала значениям, измеренным при го- раздо более высоких температурах в чистых массивных образцах меди с помощью циклотронного и других ре- зонансных методов [17]. Авторы работы [17] трактуют измеренные их методом времена в тонкой пленке как соответствующие электрон-фононной релаксации в мас- сивном 3D-образце в чистом пределе. Более подробный анализ экспериментальных пара- метров с учетом полученных нами формул (9) и (11) показывает необоснованность таких выводов. Действи- тельно, для длины упругого рассеяния в образце Роук- са 200 Ål  (что следует из оценки = 3 / Fl D v и ис- пользуемых автором значений 410D  cм2/с и =Fv = 1,57·108 см/с). Тогда даже для максимальных темпе- ратур эксперимента mT = 0,3 К имеем 0,1 mTq l ≈ (здесь = / mT B mq k T s , и для пленки меди мы взяли мини- мальное значение s ≈ 2,3·105 см/с из [37], а также, как легко проверить, выполняется условие 2( )e mD T dτ  . Таким образом, во всем диапазоне исследуемых в ра- боте [17] температур с запасом удовлетворяются нера- венство 1Tq l  и условие двумерности ЭФВ, при вы- полнении которых справедливы формулы (9) и (11). Существенным отличием этих формул от формулы для чистого 3D-случая (10) является зависимость 2D eν от l . К сожалению, в опытах Роукса был исследован лишь один пленочный образец с фиксированной толщиной. Таким образом, для проверки предлагаемой нами ре- интерпретации экспериментов [17] желательно повто- рить их для различных значений l , чтобы получить предполагаемую нами зависимость a l∝ , тем более что, по-видимому, легко достижимое уменьшение l позволяет расширить диапазон исследуемых темпера- тур в сторону их повышения. Аналогичными соображениями можно, по-видимо- му, объяснить появление слагаемого вида 3 3A T (где 3A не зависит от T ) в выражении для частоты неупругой релаксации электронов в тонких грязных пленках алюминия, извлекаемого авторами работы [36] из экс- периментов по исследованию температурной и магни- тополевой зависимости квантовых поправок к электро- сопротивлению таких пленок по новой, согласованной с другими экспериментальными группами методике. Авторы работы [36] в разд. Va, анализируя по своей методике более ранние результаты Гершензона с соавт. и Гордона с соавт. (см. ссылки на эти работы соответ- ственно [67] и [58] в списке литературы статьи [36]), отмечают необычность появления для столь тонких ( 50 Åd  ) пленок характерной, по их мнению, лишь для чистого 3D-металла зависимости 3 e Tν  . С изло- женной в п. 2.2.2 точки зрения такая зависимость вполне объяснима, и, как и в предыдущем примере (см. анализ работы [17]), критерием правильности предла- гаемой нами интерпретации может служить дополни- тельное исследование наличия следующей из (9) зави- симости 3A l∝ . Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 817 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский 3. Нестационарный нагрев электронов 3.1. Двухтемпературная модель. Высокие температуры Во втором раздел обзора подробно проанализиро- вана кинетика электрон-фононной системы металличе- ской пленки при стационарном нагреве электронов. Обратимся к случаю нестационарного нагрева, который позволяет исследовать особенности динамики взаимо- действующих электронов и фононов. Первые система- тические эксперименты по нестационарному нагреву электронов относятся к 1980-м годам и представляют собой эксперименты двух типов. Один из них — им- пульсный нагрев ультракороткими (пикосекундными [38,39] и фемтосекундными [40–42]) лазерными им- пульсами, другой — осциллирующий нагрев модули- рованным электромагнитным излучением [34,43,44]. В экспериментах первого типа пленка облучается двумя последовательными лазерными импульсами, из кото- рых первый нагревает электроны, а второй зондирует систему. Меняя время запаздывания зондирующего им- пульса относительно нагревающего, можно получить информацию о динамике и характерных временах про- цесса энергетической релаксации в электрон-фононной системе. (Обычно измеряется временная зависимость коэффициента прохождения или коэффициента отра- жения зондирующего импульса. При этом переход от пикосекундной к фемтосекундной ширине импульсов увеличивает разрешающую способность измерений, в результате чего удается найти время электрон-фо- нонных столкновений.) В экспериментах второго типа время электрон-фононных столкновений находится по особенностям зависимости сопротивления пленки от частоты модуляции поглощаемого электромагнитного излучения (при фиксированной его мощности). Далее мы более детально рассмотрим физические процессы, характерные для экспериментов обоих типов. При этом основное внимание будет уделено их теоретическому описанию и той физической картине релаксации энер- гии в системе пленка–подложка, которая возникает на основе теоретического анализа. Основой для теоретического описания интересующих нас динамических процессов в системе взаимодейст- вующих электронов и фононов являются кинетические уравнения для электронной и фононной функций рас- пределения (ЭФР и ФФР). Предполагая нагрев пленки однородным по ее длине, запишем систему кинетиче- ских уравнений в следующем стандартном виде: ( ) = ( ) ( , ) ( ),z i ep ee f f f e t I f I f N I f t z ∂ ∂ ∂ + + + + ∂ ∂ ∂ p p p p p q pE p v (12) = ( , ) ( ),z pe pp N N s I N f I N t z ∂ ∂ + + ∂ ∂ q q q p q (13) где ось z считается перпендикулярной к поверхности пленки, = /z p zp∂ε ∂v и zs — проекция скорости фо- нона на ось z . В отличие от случая стационарного на- грева, в (12) электрическое поле E считается завися- щим от времени. Интегралы электрон-фононных и фонон-электронных столкновений (без процессов пе- реброса) можно записать как [45] 3 3( , ) = ( ) (2 ) ep d qI f N w q × π∫k q { (1 )[( 1) ( )qf f N+ +× − + δ ε − ε − ω +k q k q k q k  ( )] (1 )[ ( )q qN f f N− + + ++ δ ε − ε + ω − − δ ε − ε − ω +q k q k k k q q k q k  }( 1) ( )] ,qN− ++ + δ ε − ε + ωq k q k  (14) 3 3 2( , ) = ( ) (2 ) pe d kI f N w q × π∫k q [ (1 )( 1) (1 ) ] ( )].qf f N f f N+ + +× − + − − δ ε − ε − ωk q k q k k q q k q k  (15) Интегралы столкновений электронов с примесями ( iI ), между собой ( eeI ), а также интеграл фонон-фононных столкновений ( ppI ) мы не конкретизируем. В приве- денных выше формулах из соображений удобства электронные состояния в зоне проводимости характе- ризуются либо волновым вектором k , либо квазиим- пульсом p ( =p k ). Во многих экспериментальных работах по импульс- ному нагреву электронов релаксация электрон-фонон- ной системы анализируется в терминах двухтемпера- турной модели Каганова, Лифшица и Танатарова [8]. Суть этой модели состоит в том, что электроны и фо- ноны считаются термализованными, им приписывают- ся температуры eT и pT соответственно, после чего динамика электрон-фононной системы полностью ха- рактеризуется временной зависимостью этих темпера- тур. Из-за фундаментальной важности работы [8] как для эксперимента, так и для теории рассмотрим ее бо- лее подробно. В основе работы лежит простая модель металла, в которой закон дисперсии электронов счита- ется квадратичным и изотропным, т.е. энергия элек- тронов задается выражением 2= / 2p mεp , где m — эффективная масса. Заметим, что квадратичный изо- тропный закон дисперсии хорошо описывает металлы первой группы, такие, в частности, как Cu, Ag, Au, на которых часто проводят эксперименты по фемтосе- кундному нагреву электронов. Далее предполагается, что фононы имеют только продольную акустическую Этот подход аналогичен подходу Ландау к релаксации энергии нагретых электронов в плазме, где сильное различие масс электронов и ионов приводит к доминированию процессов термализации над переносом тепла от электронов к ионам [46]. 818 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик моду с линейным законом дисперсии = sqωq , где s — скорость продольного звука, q — модуль волнового вектора фонона. Для электрон-фононного взаимодей- ствия используется приближение деформационного по- тенциала, которое дает для функции ( )w q выражение 2 0 2( ) = ,q f w q s πµ ω ρ (16) где 0µ — константа деформационного потенциала, имеющая порядок энергии Ферми: 2= / 2F Fp mµ ε ; fρ — плотность пленки. Чтобы записать динамические уравнения для элек- тронной и фононной температур, нужно найти удель- ную мощность переноса тепла epP от нагретых элек- тронов к более холодным фононам. Эту величину удобно выразить через интеграл фонон-электронных столкновений: 3 3= ( , ). (2 ) ep q pe d qP I N fω π∫ q p (17) Для бозевской функции распределения = qN n ≡q 1[exp( / ) 1]q B pk T −≡ ω − и фермиевской функции 1 0= ( ) {exp [( ) / ] 1}p p F B ef f k T −ε ≡ ε − ε +p в [8] получе- но (справедливое при произвольных температурах) вы- ражение 2 2 5 0 3 7 4 ( ) ( , ) = [ ( ) ( )], 4 B D ep e p e p f m k P T T F T F T s µ Θ − π ρ (18) где DΘ — дебаевская температура, а функция ( )F T определена равенством /5 4 0 ( ) = . e 1 TD x D T x dxF T Θ    Θ −  ∫ (19) Из соотношений (18) и (19) следует, что при высоких температурах (по сравнению с дебаевской) 0= ( ),ep e pP g T T− тогда как в области низких темпера- тур 5 5 0= ( )ep e pP T TΣ − . Предельные значения констант 2 2 5 4 0 0 3 7 4= 16 B D f m k g s µ Θ π ρ , 2 2 5 5 0 0 3 7 4= 4 B f D m k s µ Σ π ρ не зависят от температур электронов и фононов и оп- ределяют силу электрон-фононного взаимодействия при высоких и низких температурах соответственно. В по- следнем равенстве число 5 24,9D ≈ представляет со- бой значение интеграла 1 1 0 = (e 1)k x kD x dx ∞ − −−∫ при = 5k . На основании результатов работы [8] можно запи- сать систему нелинейных динамических уравнений для электронной и фононной температур [47,48]. В про- странственно однородной ситуации, характерной для нагрева тонких пленок, система уравнений имеет вид ( ) = ( , ) ( ),e e e ep e p dT c T P T T W t d t − + (20) ( ) = ( , ),p p p ep e p dT c T P T T dt (21) где ec и pc — теплоемкости электронов и фононов, а ( )W t — удельная мощность тепловых источников, нагревающих электроны. Двухтемпературная модель (2ТМ) Каганова, Лиф- шица и Танатарова была обобщена Шкловским [12] и впоследствии Алленом [49] на случай произвольных за- конов дисперсии электронов и фононов. При этом ока- залось, что мощность теплообмена между электронной и фононной подсистемами выражается через спектраль- ную функцию Элиашберга 2 ( )Fα ω , хорошо известную в теории сверхпроводников с сильной связью [50]: 2 2 0 ( , ) = 2 (0) ( )( ) [ ( ) ( )].ep e p q q q q e q pP T T N d F n T n T ∞ π ω α ω ω −∫  (22) Здесь 2 3(0) = / ( )FN mp π  — плотность состояний на поверхности Ферми. Следующий важный шаг в разви- тии теории Каганова, Лифшица и Танатарова был сде- лан Алленом в уже упоминавшейся работе [49], где показано, что в высокотемпературном пределе, когда ( ) / ( )q q Bn T k T≈ ω , динамические уравнения 2ТМ сво- дятся к равенствам 23= ( ) = .p pe e p e B c dTdT T T T dt k d t λ〈ω 〉 − − π γ  (23) Здесь 2 2= ( / 3) (0) BN kγ π — коэффициент, входящий в электронную теплоемкость =e ec Tγ . Из (23) следует, что скорость остывания электронов выражается через константу электрон-фононной связи 2 0 ( )= 2 Fd ∞ α ω λ ω ω∫ . (24) Усредненный по спектру фононов квадрат фононной частоты равен 2 2 2 2 0 0 ( ) ( )= .F Fd d ∞ ∞ α ω α ω 〈ω 〉 ω ω ω ω ω∫ ∫ (25) При высоких температурах, когда фононная тепло- емкость постоянна, из (23) нетрудно получить следу- ющее уравнение для электронной температуры [51]: 22 2 2 3 (1 ) = 0.e e e e e B p d T dT dT T T dt k c d td t   γ + + λ〈ω 〉 +  π   (26) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 819 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский Начальные условия к уравнению (26) следуют из ра- венств 2 2 0( / 2)[ (0) ] =e BT Tγ −  и (0) =p BT T , где 0 — энергия импульса, поглощенная электронами в едини- це объема, BT — начальная температура решетки, сов- падающая с температурой термостата. В уравнении (26) 2λ〈ω 〉 является единственным не- известным параметром, определяющим динамику ре- лаксации электронной температуры. Это означает, что для любого металла величину 2λ〈ω 〉 можно получить, если использовать ее как подгоночный параметр при согласовании теоретической зависимости ( )eT t с из- меренной в эксперименте. Такая процедура позволи- ла Брорсону и др. [51] найти константы электрон- фононной связи для ряда металлов и соединений. Так они получили Cu = 0,08 0,01λ ± , Au = 0,13 0,02λ ± , Cr = 0,13 0,02λ ± , W = 0,26 0,04λ ± , V = 0,80 0,06λ ± , Nb = 1,16 0,11λ ± , Ti = 0,58 0,05λ ± , Pb = 1,45 0,16λ ± , NbN = 0,95 0,06λ ± , V Ge3 = 0,83 0,13λ ± . Эти значения (за исключением NbNλ и V Ge3 λ ) оказались очень близ- ки к значениям, найденным из других экспериментов. Аналогичный подход был использован для определе- ния λ в сверхпроводящих соединениях 2 3 7–δYBa Cu O [52] и 1 2 2Ba(Fe Co ) Asx x− [53]. Полученные значения YBCO = 0,9 0,4λ ± и BFA 0,12λ ≈ оказались довольно малыми, что можно понимать как свидетельство не в пользу фононного механизма сверхпроводимости в этих соединениях. Помимо конкретных результатов, из работы Брор- сона и др. [51] можно также извлечь общий вывод, что 2ТМ дает вполне адекватное описание релаксации электронов, нагретых до температур 3(0) 10eT  К. Вместе с тем при более слабых нагревах, когда 2(0) 10e BT T−  К и 300BT  К, использование 2ТМ приводит к качественно неверной температурной зави- симости времени электрон-фононной энергетической релаксации ( )e Tτ (см., например, [54,55]). Таким обра- зом, возникает вопрос о пределах применимости 2ТМ. Ответ на этот вопрос прост: 2ТМ применима, если вре- мя термализации электронов eeτ меньше времени элек- трон-фононной энергетической релаксации eτ , а время термализации фононов (за счет фонон-фононного взаи- модействия) ppτ меньше времени фонон-электронных столкновений peτ . Поскольку термализация электронов происходит вследствие электрон-электронных столк- новений, 2/ ( )ee F B ek Tτ ε [56]. При высоких темпе- ратурах e DT Θ время 0= ( ) /e e ec T gτ , или по поряд- ку величины 2/ ( )e e B DT kτ Θ . Таким образом, при высоких температурах электроны будут термализова- ны, если их температура 1/3> ( / )e D F B DT kΘ ε Θ , т.е. 310eT  К. Можно показать, что фононы в металле термализованы, если их температура p DT Θ . Следо- вательно, условия применимости 2ТМ выполняются для экспериментов [51] и не выполняются для экспе- риментов [54,55]. В отличие от фононов, которые термализуются толь- ко при температурах выше дебаевской, электроны мо- гут термализоваться также и при низких температурах, в области кельвиновых и субкельвиновых температур. Действительно, из 2ТМ следует, что в чистых металлах при e DT Θ время электрон-фононной энергетиче- ской релаксации 3 0= / (5 )e eTτ γ Σ . Сравнив его с eeτ , нетрудно получить, что <ee eτ τ , если <eT T  2 / 1B D Fk Θ ε  К. При этом в грязных пленках, где рассеяние на примесях усиливает электрон-электрон- ное и ослабляет электрон-фононное взаимодействие, условие <ee eτ τ выполняется в более широкой области 10eT  К [43]. Подводя итог, можем сказать, что рассмотренная в настоящем разделе 2ТМ применима только при доста- точно высоких температурах: 1/3> ( / )e D F DT Θ ε Θ и p DT Θ . При анализе низкотемпературной энергети- ческой релаксации электрон-фононной системы (см. следующий раздел) можно ввести зависящую от вре- мени электронную температуру ( )eT t , но фононы сле- дует описывать фононной функцией распределения, подчиняющейся уравнению Больцмана (13). Наконец, в промежуточной области температур и электроны, и фононы нужно описывать соответствующими уравне- ниями Больцмана (12) и (13). Особенности энергетиче- ской релаксации при промежуточных температурах рассмотрены в разделе 3.3. 3.2. Горячие электроны и неравновесные фононы при низких температурах Интерес к релаксации энергии электронов в низко- температурной области имеет важный прикладной ас- пект, поскольку металлическая пленка при низких температурах может использоваться как высокочувст- вительный приемник излучения [57–59]. Высокая чув- ствительность таких приемников, называемых боломет- рами на горячих электронах, достигается за счет малой электронной теплоемкости, низкого уровня шумов и большого времени релаксации (постоянной времени). Удобной моделью для описания низкотемпературной кинетики электрон-фононной системы является исполь- зованная Кагановым, Лифшицом и Танатаровым [8] модель с изотропным квадратичным законом диспер- сии электронов и линейным законом дисперсии фоно- нов. Термализация электронов значительно упрощает интеграл электрон-фононных столкновений (15), кото- рый при 1= {exp [( ) / ] 1}p F B ef k T −ε − ε +p принимает вид ( ) = { [ ( )] ( , )}.pe q q eI N n T t N z tν −q q (27) Здесь 1( ) = [exp ( / ) 1]q q Bn T k T −ω − — бозевская функ- ция распределения. В приближении потенциала дефор- мации частота фонон-электронных столкновений дает- ся формулой 820 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик 2 2 0 3= 2 q q f m s µ ν ω π ρ . (28) Заметим, что формула (28) получена на основании ра- венства (16) и относится к случаю чистой пленки, где длина свободного пробега электрона l много больше длины волны тепловых фононов Tλ ( = 2 /T s Tλ π ). Чтобы феноменологически учитывать перенормировку электрон-фононного взаимодействия в грязных метал- лах с Tl λ , далее будем рассматривать случай произ- вольной степенной зависимости матричного элемента электрон-фононного взаимодействия от фононной час- тоты [32,60]: 2 1 2 ( ) ( ) = , r r q f w q s +πµ ω ρ   (29) где число r не обязательно является целым, а rµ — феноменологический параметр, который определяется доминирующим типом дефектов (неподвижные или ко- леблющееся вместе с кристаллической решеткой), а также длиной свободного пробега электронов. При этом 2 2 1 4= ( ) . 2 rr q q f m s +µ ν ω π ρ   (30) Переход к чистому случаю осуществляется простой заменой = 0r и 0=rµ µ . Можно показать, что выраже- ние (29) приводит к степенной частотной зависимости функции Элиашберга 2 2( ) r qF +α ω ∝ ω и, как следствие, к степенной температурной зависимости времени электрон-фононных столкновений (3 )r e T − +τ ∝ . В экс- периментах были получены зависимости ( )e Tτ , близ- кие как к 4T − [57,61,62], так и к 2T − [32,34,58,59,63]. Как показано в работе [64], в грязных пленках рассея- ние электронов на точечных дефектах ослабляет элек- трон-фононное взаимодействие, что приводит к соот- ношению 4 e T l−τ ∝ . Зависимость же 2 e T −τ ∝ может быть следствием сильного рассеяния электронов на массивных дефектах, которые не «увлекаются» коле- баниями решетки [65]. В дальнейшем будем полагать r произвольным числом не меньшим минус единицы. Микроскопическое описание энергетической релак- сации в тонкопленочной системе не будет полным, если явно не учесть обмен фононами между пленкой и подложкой. При выполнении условий хорошего тепло- отвода, когда вылетевшие из пленки в подложку фоно- ны не возвращаются назад, нетрудно написать условие на границе пленки и подложки, исходя из следующих соображений. Если фонон с волновым вектором ′q налетает из пленки на границу с подложкой, то он с вероятностью α проходит в подложку и с вероятно- стью = 1β −α зеркально отражается от границы, пере- ходя в состояние с волновым вектором q (см. рис. 3). Кроме того, в состояние с волновым вектором q при- ходят фононы из подложки. Таким образом, при = 0z для ФФР выполняется условие (0, ) = ( ) (0, ),q BN t n T N t′α +βq q (31) которое является одним из граничных условий к урав- нению (13). Другое граничное условие — условие зер- кального отражения фононов на свободной границе пленки: ( , ) = ( , ),N d t N d t′q q (32) где z -компоненты волновых векторов падающего и зеркально отраженного фонона имеют противополож- ные знаки. В модели акустического рассогласования [2,66,67] вероятность α зависит от угла падения фоно- на и акустических импедансов пленки и подложки: 1 2 1 2 2 1 4 cos cos ( ) = . ( cos cos ) ZZ Z Z ′ θ θ α θ ′θ + θ (33) Здесь =Z sρ ( =Z s′ ′ ′ρ ) — акустический импеданс пленки (подложки); углы падения и преломления свя- заны соотношением 1 2sin = sins s′ θ θ . Решение уравнения (13) с интегралом фонон-элек- тронных столкновений (27) и граничными условиями (31), (32) находится с помощью преобразования Фурье по времени [68]. Для фононов с положительной и от- рицательной z -компонентой волнового вектора имеем соответственно 1( , ) = [1 (0)] exp [ / ] ( )q z q BN z t z s n T−α −βχ − ν +q [ 1 /2 ][ ( )] exp [ ( )] t z d q e q qdt n T t t t τ+ − −∞ ′ ′ ′+ ν −ν − β∫ , (34) Рис. 3. Зеркальное отражение фононов на свободной границе пленки ( =z d ) и преломление фононов на границе пленка– подложка ( = 0z ). Предполагается, что вылетевшие из пленки в подложку фононы распространяются в подложке баллисти- чески и не возвращаются назад в пленку. Такая картина ха- рактерна для монокристаллических подложек с высокой теп- лопроводностью и достаточно узких пленок. Фононы, налетающие на границу = 0z из подложки, изображаются штриховой линией; ρ ( ′ρ ) и s (s′) — плотность и скорость продольного звука для пленки (подложки) соответственно. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 821 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский 1( , ) = [1 (0)] exp [ (2 ) / \| \|] ( )q z q BN z t d z s n T− ′ α −βχ − − ν +q [ /2 ][ ( )] exp [ ( )] t z d q e q qdt n T t t t τ+ −∞ ′ ′ ′+ ν −ν − β∫ . (35) В этих выражениях (0) = exp ( 2 / \| \|)q zd sχ − ν и = \| \| ( ) / 2zs t t d′τ − . Как и ранее, считается, что вектор q имеет положительную z -компоненту, а вектор ′q — отрицательную. Квадратные скобки в показателе сте- пени β обозначают целую часть числа. Уравнение для электронной температуры следует из условия теплового баланса ( ) = ( ) ( ) .e e e ep dT c T W t P t dt − 〈 〉 (36) Здесь ( )W t — удельная мощность источников тепла, ( )epP t〈 〉 — усредненная по толщине пленки удельная мощность, передаваемая от электронов к фононам. Эта мощность выражается через интеграл фонон-электрон- ных столкновений 3 3 0 1= [ ( , )]. (2 ) d ep q pe d qP dz I N z t d 〈 〉 ω π∫ ∫ q (37) Вычислив ( )epP t〈 〉 , приходим к нелинейному интегро- дифференциальному уравнению для электронной тем- пературы: 3 3 >0 ( ) = ( ) 2 { ( ( )) ( ) (2 ) e e e q q q e q B qz dT d qc T W t n T t n T dt − ω ν − − π∫  [ ][ ( ( )) ( )] exp [ ( )] (1 { })}, t q e q B q qdt n T t n T t t τ −∞ ′ ′ ′− − ν −ν − β −α τ∫ (38) где [τ] и {τ} обозначают соответственно целую и дроб- ную части τ. Заметим, что фононный вклад в урав- нении (38) состоит из двух слагаемых. Первое из них (локальное по времени) описывает излучение неравно- весных фононов в момент времени t , второе (инте- гральное по времени) учитывает поглощение неравно- весных фононов, излученных в более ранние моменты времени <t t′ . Уравнение (38), полученное Безуглым и Шкловским в работе [68], является основой для анали- за нестационарной кинетики электрон-фононной сис- темы металлической пленки при низких температурах. 3.2.1. Релаксация электронной температуры после импульсного нагрева электронов Нелинейное интегродифференциальное уравнение (38) описывает динамику электронной температуры в общем случае, т.е. при произвольной величине и вре- менной зависимости мощности тепловыделения ( )W t . В этом разделе рассмотрим случай, когда электроны нагреваются в момент времени = 0t лазерным им- пульсом, длительность которого много меньше време- ни электрон-фононной релаксации eτ . После такого нагрева электронная подсистема сначала термализуется за время eeτ , а затем релаксирует. Температура, кото- рая устанавливается после термализации, дается равен- ством 2 0(0) = 2 /e BT T + γ , где 0 — энергия, поглощен- ная электронами. При произвольной толщине пленки уравнение (38) может быть решено численными мето- дами. Вместе с тем в предельных случаях эффективно тонких и эффективно толстых пленок можно получить аналитические выражения для ( )eT t . Так, в случае эффективно тонких пленок, когда неравновесные фо- ноны в основном покидают пленку, не взаимодействуя с электронами, можно пренебречь интегральным по вре- мени слагаемым в (38). В результате получаем диффе- ренциальное уравнение 5 51( (0)) = ( ), 5 r r e e B dT dt r + +θ τ θ − θ − θ + (39) где введены безразмерные температуры = ( ) / (0)e eT t Tθ и = / (0)B B eT Tθ , и время энергетической релаксации 5 7 4 2 2 3 5 1 4 (0)( ) = . 3(5 ) e e r r e N sT r D m T + + π ρ τ + µ  (40) Из (39) следует, что на ранней стадии релаксации, ко- гда (0)e BT T , остывание электронов описывается зависимостью 1 33( ) = 1 , 5 ( (0)) r e e r tt r T + + θ + + τ  (41) которая обобщает результат работы [8] на случай про- извольных r . На поздней стадии релаксации, когда температура электронов приближается к температуре термостата, * Если ввести эффективную толщину пленки eff = /d d 〈α〉 , где /2 0 = ( ) sin (2 ) d π 〈α〉 α θ θ θ∫ , то пленки будут эффективно тонки- ми, если eff ( )ped l T . Фонон-электронная длина свободного пробега ( ) / ( )pel T s Tν , где ( )Tν определяется формулой (30) с =q Bk Tω . В противоположном пределе eff ( )ped l T пленки будут эффективно толстыми. 822 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик так что ( )e B BT t T T−  , релаксация становится экспо- ненциальной ( ) exp [ / ( )].e B e BT t T t T− ∝ − τ (42) Заметим, что в случае эффективно тонких пленок ха- рактерные времена релаксации на ранней и поздней стадиях определяются временем электрон-фононных столкновений eτ , взятым при температурах (0)eT и BT соответственно. В эффективно толстых пленках процесс релакса- ции энергии, поглощенной электронами в момент = 0,t имеет три физически различных этапа (не считая этапа термализации). Этими этапами являются излуче- ние неравновесных фононов, термализация электрон- фононной системы и остывание термализованной электрон-фононной системы вследствие обмена фоно- нами между пленкой и подложкой. На первом этапе, длительность которого порядка ( (0))e eTτ , горячие электроны только излучают неравновесные фононы. Поскольку ( (0))e eTτ много меньше времени фонон- электронных столкновений peτ и среднего времени ухода фононов из пленки esτ , неравновесные фононы не успевают ни перепоглотиться фононами, ни уйти из пленки в подложку, т.е. они просто накапливаются в пленке. Динамика температуры электронов на первом этапе описывается формулой (41). Рассмотрим второй этап, на котором происходит термализация электрон-фононной системы. Процесс термализации в эффективно толстых пленках описыва- ется уравнением (38), в котором нужно положить = 0α и = 1β , чтобы исключить уход фононов из пленки в подложку. Рассмотрим случай = 1r − , который часто встречается в эксперименте (см. [32,34,58,59,63]) и ко- торый допускает точное решение. В этом случае частота фонон-электронных столкновений не зависит от модуля волнового вектора фонона: 2 2 4 1= / (2 ).q fm s−ν ν ≡ µ π ρ Это упрощающее обстоятельство позволяет прийти к следующему уравнению для безразмерной температуры: 4 4 4 4 ( ) 0 4 = [ ( ) ] [ ( ) ] e , x x x B B d x x dx d x ′− −θ ′ ′ζθ − θ − θ + θ − θ∫ (43) где =x tν и = ( (0)) / ( (0))e e p ec T c Tζ . Фононная теплоем- кость в модели с одной акустической ветвью колеба- ний дается выражением 2 4 3 3 3( ) = (2 /15)( / )p Bc T k T sπ  . Интегродифференциальное уравнение (43) можно преобразовать в обычное дифференциальное уравнение 4 4 24 = ( ) 2 (1 ).B d d x θ ζθ − θ − θ + ζ − θ (44) Заметим, что в случае теплоизолированной пленки релаксация электрон-фононной системы состоит всего из двух этапов (излучения неравновесных фононов и термализации электронов и фононов), причем уравне- ние (44) описывает оба этапа. Чтобы найти температу- ру термализации, нужно положить / = 0d d xθ . Полу- чившееся уравнение имеет два корня: 2 2 4 1,2 = 2 ,Bθ −ζ ± ζ + ζ + θ (45) первый из которых дает безразмерную температуру термализации th 1=θ θ ( 1 > 0)θ . Решение уравнения (43) с начальным условием (0) = 1θ может быть записано следующим образом: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 (1 ) (1 )exp [ ( / 2 )( ]) ( ) = . 1 (1 )exp [ ( / 2 )( )] xx x θ − θ − θ − θ − ζ θ − θ θ − θ − − θ − ζ θ − θ (46) Вид функции ( )xθ определяется двумя параметрами: ζ и Bθ . Чтобы выяснить, какая область значений ζ наи- более актуальна для эксперимента, введем температу- ру eqT , при которой теплоемкость электронов равна фононной теплоемкости: eq eq( ) = ( )e ec T c T . Для обычных металлов eq 1T  К, и значит, начальные сильные на- гревы eq(0)eT T гораздо легче реализовать в экспе- рименте, чем случай, когда eq(0)B eT T T  . Таким образом, поскольку 2 eq= ( / (0))eT Tζ , в эксперименте скорее будет реализован предел 1ζ , чем 1ζ . На- помним также, что при сильных начальных нагревах параметр 1Bθ  . Как видно из (44) и (46), при малых ζ температура ( )xθ сначала быстро уменьшается с харак- терным временем ( (0)) = /e eTτ ζ ν , а затем выходит на стационарное значение 1/4 th (2 )θ ≈ ζ за время 1/2 th / .t ζ ν Заметим, что это время значительно меньше, чем время фонон-электронных столкновений 1=pe −τ ν . Графики ( )xθ для различных значений ζ и = 0Bθ представлены на рис. 4. Из этого рисунка хорошо видно, что время электрон-фононной релаксации ( (0))e eTτ можно нахо- дить по наклону кривой ( )eT t в точке = 0t : 1 =0 (0) ( ) ( (0)) = . 4 e e e e t T dT t T d t −   τ −     (47) При произвольных r в формуле (47) нужно заменить 4 на 5r + . Рассмотрим, наконец, последний (третий) этап ре- лаксации электрон-фононной системы в эффективно толстой пленке. На этом этапе термализованная элек- трон-фононная система медленно теряет свою энергию вследствие ухода более энергичных фононов из пленки в подложку и прихода из подложки фононов с мень- шей энергией. Чтобы описать третий этап, удобно сна- чала преобразовать уравнение (38) при условии, что поглощаемая пленкой мощность ( )W t существенно меняется на временах много больших, чем peτ . В этом случае можно записать ( ( )) ( ( )) ( )q e q e q e e d n dT n T t n T t t t dT d t ′ ′≈ − − , что значительно упрощает уравнение (38), сводя его к Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 823 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский [ ( ) ( )] = ( )e e e p e dT c T c T W t dt + − 3 3 >0 [ ( ( )) ( )] (2 ) z q q e q B qz sd q n T t n T d α − ω − π∫  . (48) Для температур eqBT T фононная теплоемкость в процессе релаксации всегда будет много больше элек- тронной теплоемкости. Если ввести плотность энергии фононов 3 3( ) = ( ), (2 ) p q q d qT n Tω π∫  (49) уравнение (48) сведется к следующему динамическому уравнению для p : ( ) 1= ( ) [ ( ( )) ( )],p p p B es d t W t T t T dt − − τ    (50) где среднее время ухода фононов из пленки = 4 /es d sτ 〈α〉 , а /2 0 = ( )sin(2 )d π 〈α〉 α θ θ θ∫ . Чтобы описать релаксацию избыточной энергии пленки при th>t t в уравнении (50) следует положить ( ) = 0W t . Получим 0 0( ) ( ) = e , t t esp p Bt T − − τ−   (51) причем 0 tht t . Напомним, что 0 — это энергия, по- глощенная при = 0t . Из соотношения (51) очевидно, что в нелинейном режиме на третьем этапе экспонен- циально релаксирует энергия системы, а не ее темпе- ратура. 3.2.2. Определение времен энергетической релаксации электронов при высокочастотном нагреве Наряду с экспериментами по релаксации быстро на- гретых электронов имеется другой важный тип неста- ционарных экспериментов — исследование отклика ме- таллической пленки на осциллирующий нагрев [34,69]. Преимуществом таких экспериментов является то, что характерные времена релаксации электронов eτ и esτ довольно просто связаны с особенностями частотной зависимости амплитуды осцилляций электронной тем- пературы, т.е. с особенностями амплитудно-частотной характеристики пленки. В экспериментальных работах [34,69] анализ ре- зультатов высокочастотных экспериментов основан на двухтемпературном приближении, которое хорошо опи- сывает тонкие пленки, но не применимо для эффектив- но толстых пленок, где существенно перепоглощение электронами неравновесных фононов. В теоретической работе авторов данного обзора [70] представлен мик- роскопический подход, пригодный для описания дина- мики электрон-фононной системы в пленках произволь- ной толщины. Один из новых результатов, вытекающих из такого рассмотрения, состоит в том, что при высо- ких частотах источника тепла болометрический отклик эффективно толстых пленок определяется временем электрон-фононных столкновений eτ . Таким образом, для измерения времени eτ нет необходимости исполь- зовать только эффективно тонкие пленки. 3.2.2.1. Линейный отклик электронной температу- ры на осцилляции теплового источника. В статье [70] рассмотрен отклик электронной температуры на осцил- ляции теплового источника малой амплитуды. Пред- полагается, что удельная мощность теплового источ- ника задана соотношением 0 1( ) = e i tW t W W − ω+ и при этом 1 0W W . В рамках линейного отклика электрон- ная температура имеет вид 0 1( ) = e i t eT t T T − ω+ , где средняя температура 0T определяется постоянным на- гревом 0W , а амплитуда осциллирующей добавки к средней температуре мала, 1 0\| \|T T , и в общем случае Рис. 4. Релаксация электронной температуры при термализа- ции электрон-фононной системы эффективно толстой пленки в случае = 1r − и = 0BT . На верхнем рисунке время измеря- ется в единицах peτ , а на нижнем рисунке — в единицах ( (0)) =e e peTτ ζτ . На обоих рисунках кривые (снизу вверх) соответствуют следующим значениям параметра ζ : 0,02; 0,1; 0,3; 1; 3. На нижнем рисунке все кривые в точке = 0t имеют один и тот же наклон; в согласии с (39) при 0t → они асимп- тотически приближаются к штриховой прямой, имеющей наклон –1/4. 824 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик является комплексной величиной. Уравнение для 1T сле- дует из (38) и имеет вид 3 0 1 1 3 0>0 ( ) = 2 (2 ) q e q q qz dnd qi c T T W dT − ω − ω ν × π∫  12 [1 ( )] , 2 ( ) [1 ( )] z q q q si T i d i  α ν −χ ω− ω × + ν − ω ν − ω −βχ ω  (52) где ( ) = exp [ 2 ( )/ \| \|]q zd i sχ ω − ν − ω . Из уравнения (52) вытекает, что в области частот, низких по сравнению с частотой фонон-электронных столкновений, т.е. когда 0( )Tω ν , выражение для ам- плитуды линейного отклика эффективно толстой плен- ки может быть записано следующим образом: 1 1 1 0 0 0= { [ ( ) ( )] ( ) / }e p p esT W i c T c T c T −− ω + + τ . (53) Формула (53) отражает то обстоятельство, что при низких частотах фононы в толстых пленках находятся в тепловом равновесии с электронами. При этом ди- намика их общей температуры определяется временем 0 0= [1 ( ) / ( )]es es e pc T c T′τ τ + , которое больше, чем esτ , вследствие вклада электронов в тепловую инерцию пленки. Совершенно иная ситуация складывается в области высоких частот. При 0( )Tω ν имеем 1 1 1 1 0 0= [ / ( )][ ( )] .e eT W c T i T− −− ω+ τ (54) Таким образом, высокочастотный отклик эффективно толстой пленки определяет время электрон-фононной релаксации 0( )e Tτ . Отметим, что в области высоких частот фононы являются термостатом для электронов и не вносят вклад в тепловую инерцию пленки. Поскольку в тонких пленках фононы являются тер- мостатом независимо от частоты теплового источника, выражение (54) описывает также отклик эффективно тонкой пленки при всех частотах. Для наглядности на рис. 5 схематически изображена зависимость амплиту- ды осцилляций электронной температуры от частоты теплового источника в случае эффективно толстой и эф- фективно тонкой пленки. Видно, что в случае эффективно толстых пленок эта зависимость имеет два плато. Отношение высот низко- частотного и высокочастотного плато не зависит от 1W и равно /es peτ τ , где peτ — время фонон-электронных столкновений. Таким образом, время фонон-электрон- ных столкновений peτ можно найти, предварительно определив время esτ из сравнения зависимости (53) с экспериментом. Наконец, время электрон-фононных столкновений eτ можно определить, сравнив высоко- частотный отклик толстой пленки с формулой (54). Времена eτ и esτ могут быть также получены из из- мерений частотной зависимости сдвига фазы колебаний электронной температуры*. Из формул (53) и (54) сле- дует, что для эффективно толстых пленок при 0( )Tω ν величина сдвига фазы 0 0= arctg { [1 ( ) / ( )]},T es e pc T c Tϕ ωτ + а в случае тонких пленок 0= arctg [ ( )]T e Tϕ ωτ . 3.2.2.2. Нелинейный отклик электронной темпера- туры на осцилляции теплового источника. Уравнение для электронной температуры (38) — удобный исход- ный пункт для вычисления нелинейного отклика элек- тронной температуры на осцилляции теплового источ- ника. Отметим, что ранее нелинейный отклик тонкой пленки был найден численными методами в рамках двухтемпературного подхода [71]. Не будем ограничи- ваться случаем эффективно тонких пленок и приведем полученные в [70] аналитические результаты для не- линейного отклика как эффективно тонких, так и эф- фективно толстых пленок. Пусть пленка нагревается переменным током 0= sinj j tω , и, соответственно, удельная мощность теп- ловыделения дается выражением 0( ) = (1 cos 2 ).W t P t− ω (55) Здесь 2 0 0= / 2P j σ , где σ — проводимость пленки, ко- торую при низких температурах можно считать не за- Рис. 5. Схематическая зависимость амплитуды осцилляций электронной температуры 1\| \|T от частоты теплового источни- ка ω . Сплошная линия соответствует эффективно толстой, штрихпунктирная — эффективно тонкой пленке из того же материала. Считается, что частота фонон-электронных соуда- рений 0( )Tν удовлетворяет неравенству 1 0 0( ) ( ).es eT T−′τ ν τ  В точках 1( )es −′τ и 1 e −τ амплитуда 1\| \|T уменьшается в 2 по отношению к амплитуде 1\| \|T на соответствующем плато. Частота фонон-электронных столкновений 0( )Tν определяется формулой (30) при 0=q Bk Tω . Мы учли равенство / = /p pe e ec cτ τ . * Сдвиг фазы Tϕ определяется равенством 1 1= \| \| ei TT T ϕ . Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 825 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский висящей от температуры. Пусть нагрев пленки относи- тельно невелик, т.е. ( )e B BT t T T−  . В этом случае электронную температуру можно найти методами тео- рии возмущений, представив eT в виде ряда 1 2=e BT T T T+ + + , где 0 i iT P∝ . В каждом порядке теории возмущений поправку iT удобно записать в ви- де суммы ее среднего значения и осциллирующей компоненты: ( ) = ( )i i iT t T T t+  . Сначала рассмотрим эффективно толстые пленки. Для возмущений первого порядка, 2 1 1 1( ) = e i tT t T T − ω+  , имеем постоянную компоненту 1 0= / ( ).es p BT P c Tτ (56) Выражения для комплексной амплитуды 1T различ- ны в низкочастотной и высокочастотной областях. Так, в области частот ( )BTω ν значение 1T дается выра- жением 1 1 0= [ / ( )]{1 2 [1 ( ) / ( )]} .es p B es e B p BT P c T i c T c T −− τ − ωτ + (57) В случае высоких частот, ( )BTω ν , имеем 1 1 0= [ ( ) / ( )][1 2 ( )] .e B e B e BT P T c T i T −− τ − ωτ (58) Во втором порядке теории возмущений нас будет интересовать постоянная компонента 2T , которая, в отличие от 1T , существенно зависит от частоты ω. Как оказывается, особенности зависимости 2 ( )T ω непосред- ственно связаны с временами релаксации электрон-фо- нонной системы. Для эффективно толстой пленки уравнение для 2T имеет вид 2 2 2 1 1 3 1= \| \| , 2 2B T T T T  − +     (59) что приводит к следующему результату в низкочастот- ной области: { } 2 2 0 2 2 2 2 2 3 1= 1 . 2 ( ) 2 1 4 [1 ( ) / ( )] es B p B es e B p B P T T c T c T c T   τ  − + + ω τ +    (60) Видно, что при нагреве металлической пленки перемен- ным током постоянная добавка к электронной темпера- туре существенно зависит от частоты. Рассмотрим те- перь зависимость 2 ( )T ω более детально. Если 1 ( ),es BT−τ ν эта зависимость имеет вид сглаженной ступеньки и, соответственно, производная 2 /dT dω представляет со- бой выпуклую кривую. Максимум этой кривой дости- гается при частоте 1= {2 3 [1 ( ) / ( )]} .es es e B p Bc T c T −ω τ + Таким образом, по положению низкочастотного мак- симума esω в эксперименте можно найти среднее вре- мя ухода фононов из пленки. Заметим, что esω опреде- ляет esτ без подгоночных параметров. В случае высоких частот ( )BTω ν 2 2 2 0 2 2 2 2 2 3 ( ) 1= . 2 ( ) 2 ( ) [1 4 ( )] es e B B p B e B e B P T T T c T c T T  τ τ − +  + ω τ  (61) Из (61) следует, что в высокочастотной области мак- симум производной 2 /dT dω достигается при 1= {2 3 ( )}e e BT −ω τ , т.е. по положению высокочастот- ного максимума можно определить время электрон-фо- нонных столкновений при температуре термостата BT . Обратимся к тонким пленкам. Нелинейный отклик эффективно тонкой пленки интересен тем, что харак- терное время релаксации электронов ( )e BTτ можно найти не только по частотной дисперсии 2 ( )T ω , но и из разности 2 2( ) (0)T T∞ − . Действительно, для эффектив- но тонкой пленки 2 2 2 1 1 2 1( ) = ( \| ( ) \| ), 2B T T T T ω − + ω (62) где амплитуда 1T определяется формулой (58). Соот- ветственно, кривая 2 /dT dω имеет максимум при 1= {2 3 ( )}e e BT −ω τ . Вычислим разность 2 2( ) (0)T T∞ − . Из выражения (62) следует, что 2 2 2 0 2 2 1 2 ( )1( ) (0) = \| (0) \| = . ( ) e B B B e B P T T T T T T c T τ ∞ −  (63) Эта величина весьма чувствительна к температуре термостата BT , так как с понижением BT она растет как (9 2 )r BT − + . Таким образом, в эффективно тонких пленках время электрон-фононных столкновений ( )e BTτ можно найти и по частотной дисперсии нелинейного отклика 2 ( )T ω , и из разности 2 2( ) (0)T T∞ − . В первом случае ( )e BTτ находится без подгоночных параметров, а во втором случае имеется один подгоночный параметр: средняя удельная поглощаемая мощность 0P . 3.2.3. Динамика фононного вклада в электропроводность пленки Одна из целей настоящего обзора — выяснить, как из эксперимента можно получить микроскопические времена энергетической релаксации металлической пленки. В предыдущих разделах было показано, что искомые времена eτ и esτ определяют динамику релак- сации электронной температуры при импульсном на- греве электронов, а также частотную зависимость ам- плитуды и фазы ( )eT t при осциллирующем нагреве пленки. Заметим, однако, что сама по себе электронная Параметрами разложения являются 0 /es p BP c Tτ для толстых пленок, низких частот и 0 /e e BP c Tτ — в остальных предельных случаях. 826 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик температура не является величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте, и для ее измерения нужно выбрать подходящий термометр. В работах [68,72] по- казано, что в качестве такого термометра можно исполь- зовать электропроводность пленки, поскольку, с одной стороны, фононный вклад в электропроводность суще- ственно зависит от eT , а с другой — измерения элек- тропроводности могут быть выполнены с высокой точностью. Представим себе стандартную экспериментальную ситуацию, когда через пленку пропускается малый (из- мерительный) ток фиксированной величины и измеря- ется возникающее на пленке напряжение. В отсутствие нагрева ( = 0W ) электроны и фононы в пленке нахо- дятся в термодинамическом равновесии и имеют об- щую температуру BT . При этом напряженность элек- трического поля в пленке 0E определяется равенством 0 ph 0= [ ( )]Bj T Eσ +σ . Здесь j — плотность измеритель- ного тока, 2 0 0= /in e mσ τ — проводимость пленки при нулевой температуре ( 0n — плотность свободных элек- тронов, e — заряд электрона, iτ — среднее время меж- ду электрон-примесными столкновениями), ph ( )BTσ — фононный вклад в проводимость пленки при BT . Отме- тим, что этот вклад отрицателен и связан с фононным вкладом в удельное сопротивление пленки ph ( )BTρ простым соотношением 2 ph ph 0( ) = ( ) /B BT Tρ −σ σ . Пусть в пленке выделяется мощность ( )W t . Нагрев пленки приводит к нестационарной добавке к ее сопротивле- нию и, следовательно, к нестационарному электриче- скому полю 0( ) >E t E . Поскольку измерительный ток фиксирован, 0 ph 0 0 ph[ ( )] = [ ( )] ( )BT E t E tσ +σ σ +σ , отку- да с учетом малости ph\| \|σ следует, что нестационар- ная добавка к электрическому полю, 1 0( ) ( )E t E t E≡ − , дается равенством 1 0 ph ph 0( ) = [ ( ) ( )] /BE t E T tσ −σ σ . (64) Соотношение (64) показывает, что зависимость ( )eT t может быть получена из измерений напряжения на пленке, если установить связь ( )eT t с ph ( )tσ . Как известно, плотность тока определяется анизо- тропной по импульсам p частью ЭФР. В случае силь- ного рассеяния на примесях ЭФР имеет малую ани- зотропную часть и может быть записана как 0 1= ( ) ( )p pf f ε + εp pf , где изотропная часть ЭФР — это фермиевская функция с температурой ( )eT t : 1 0 ( ) = 1 exp ( ) p F p B e f k T t −  ε − ε   ε +       . Уравнение для 1f следует из кинетического уравнения Больцмана для ЭФР (12), если это уравнение умножить на p и провести интегрирование по углам (подроб- ности вывода см. в [68]). В итоге получаем равенство (1)01 1 0 12 3( ) = ( , , ). 4 ep p i dOfe t I f N t m p ∂∂ + − + ∂ ∂ε τ π∫ p q f fE p f (65) В последнем слагаемом по углам интегрируется произ- ведение вектора p и линеаризованного по малой до- бавке 1f интеграла электрон-фононных столкновений 3 (1) 0 1 1 13( , , ) = [ ( ) ( ) ], (2 ) ep k k d kI f N B B′ ′ ′ ′ ′ ε − ε π∫q k k kkf k f kf (66) где k и ′k — волновые векторы электронов, =′ +k k q, 0 –= ( ){[1 ( ) ] ( )k k k qB w q f N′ ′ ′ ′− ε + δ ε − ε + ω +kk k k  0[ ( ) ] ( )}.k k k qf N′ ′ ′−+ ε + δ ε − ε − ωk k  (67) Поскольку частота электрон-примесных столкнове- ний 1 i −τ много больше частоты электрон-фононного рассеяния 1 e −τ , в уравнении (65) вклад рассеяния на фононах и производную по времени можно рассматри- вать как возмущение. Это значит, что решение уравне- ния (65) можно представить в виде (0) (1) 1 1 1= +f f f , где (0) 0 1 = ( ) ,i p e f t m τ ∂ − ∂ε f E (68) (0) (1) (0)(1) 1 01 12 3 = ( , , ) 4 pi ep i dO I f N tp ∂τ − τ π ∂∫ q f f p f , (69) причем (0) (1) 1 1\| \| \| \|f f . На основании последнего нера- венства мы заменили в (69) 1f на (0) 1f . Согласно соот- ношению (68), анизотропная часть ЭФР много меньше изотропной, если /i F eeEp m Tτ  , т.е. если энергия, которую электрон получает от электрического поля за время свободного пробега, мала по сравнению с eT . В (69) второе слагаемое мало по сравнению с первым в меру малости параметра 1iωτ  , поэтому не будем учитывать его в дальнейшем. Из (68) и (69) видно, что (1) (0) (0) 1 1 1\| \| ( / ) \| \| \| \|i eτ τf f f  . Приведенные выше силь- ные неравенства представляют собой условия приме- нимости теории возмущений для вычисления анизо- тропной части ЭФР. С учетом (68) и (69) выражение для усредненной по толщине пленки плотности тока имеет вид 2 3 3 0 3 3 0 1 2= ( ) ( ) ( ) (2 ) (2 ) d ie d k d qt dz w q m d τ σ − ×    π π∫ ∫ ∫j E q Ek  {0 0[ ( ) ] ( )q k k q k f f N− + ∂ × ω − ε + δ ε − ε + ω + ∂ε q k q  }0[ ( ) ] ( ) .k q k qf N ++ ε + ω + δ ε − ε − ωq k q  (70) Выражение (70) определяет вклад в электропровод- ность пленки, связанный с рассеянием электронов на фононах, имеющих неоднородную и нестационарную Полагаем ph 0\| ( ) \|BTσ σ , как это обычно бывает в эксперименте. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 827 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский функцию распределения ( , )N z tq , представленную фор- мулами (34) и (36). Этот вклад удобно разделить на две части: (1) (2) ph ph ph=σ σ +σ , где первая часть 2 2 2 (1) 55 ph 3 7 6 (5 ) ( ) = ( ) 12 rr i r e r D e t T t s +++ τ µ σ − π ρ (71) связана с рассеянием электронов на фононах, находя- щихся в равновесии с электронами, а вторая 12 2 (2) 3 2 ph 4 2 0 0 ( ) = ( ) (1 ){ ( ( )) ( ) 8 i q e q B e t dqq w q du u n T t n T ∞τ σ − − − π ∫ ∫  ( ) [ ] 0 [ ( ( )) ( )] e (1 { })} t t tq q e q B qdt n T t n T ′−ν − τ′ ′− − ν β −α τ∫ (72) учитывает отклонение функции распределения фоно- нов от равновесной (переменная интегрирования = cosu θ, где θ — угол падения фонона). Заметим, что выражение (71) обобщает известное соотношение Бло- ха–Грюнайзена для фононного вклада в удельное со- противление, 5 ph eTρ ∝ , на случай грязных пленок. Формулы (71) и (72) дают ph ( )tσ при произвольной зависимости электронной температуры от времени. Сложность выражения (72) прежде всего связана с его общностью, т.к. оно справедливо при произволь- ной толщине пленки и произвольной зависимости eT от времени. Значительные упрощения возникают в случае тонких пленок, когда можно пренебречь пере- поглощением неравновесных фононов, вследствие чего ( , ) ( )q BN z t n T≈q . Для тонких пленок имеем следующее выражение для фононного вклада в проводимость: 2 2 2 5 ph 3 7 6( ) = 12 r i rD e t s + τ µ σ − × π ρ { }5 5 5(5 ) (4 )[ ( ) ] .r r r B e Br T r T t T+ + +× + + + − (73) Формула (73) записана таким образом, чтобы явно вы- делить вклад в проводимость пленки, который опреде- ляется нагревом электронов относительно «холодных» фононов, имеющих температуру термостата BT (по- следнее слагаемое в фигурных скобках). Заметим, что адиабатическое следование ph ( )tσ за электронной тем- пературой, т.е. отсутствие запаздывания между прово- димостью пленки и ( )eT t , непосредственно связано с тем, что фононы, излученные в более ранние моменты времени, уходят из тонкой пленки, не перепоглощаясь электронами. Для построения и анализа графиков 1( )E t интере- сующую нас добавку к электрическому полю удобно записать через безразмерную температуру: 22 5 5 1 0 (4 ) (0) ( ) = [ ( ) ]. 3(5 ) ( (0)) r ri e B e e D r T E t E t r T + + + π τ θ − θ + τ Θ  (74) Множитель 2[ (0) / ]e DT Θ связан с известной концеп- цией неэффективности вклада электрон-фононных стол- кновений в сопротивление пленки при низких темпера- турах. 3.2.3.1 Импульсный нагрев электронов. При им- пульсном нагреве электронов в тонкой пленке зависи- мость ( )tθ задается уравнением (39). В случае сильного нагрева, когда на начальной стадии релаксации выпол- няется неравенство ( ) Btθ θ , нестационарная компо- нента электрического поля в пленке имеет вид 22 1 0 (4 ) (0) ( ) = 3(5 ) ( (0)) i e e e D r T E t E r T  + π τ × + τ Θ  (5 ) (3 )31 . 5 ( (0)) r r e e r t r T + − + + × + + τ  (75) Если же первоначальный нагрев электронов мал, так что разность ( ) B Btθ − θ θ , зависимость 1( )E t имеет экспоненциальный характер: 1 0 ph 0 (0) ( ) = (4 ) ( ) exp . ( ) e B B e B T tE t r T E T T   + σ ρ − τ  (76) Здесь ph ( )BTρ — фононный вклад в удельное сопро- тивление металла при температуре термостата: 22 ph 2 0 ( ) = . 3 ( ) B B De B TmT n e T  π ρ  Θτ   (77) Таким образом, измерение 1( )E t в случае слабого на- грева при различных BT дает важную информацию о температурной зависимости времени электрон-фонон- ных столкновений в тонкой пленке и соответственно о частотной зависимости функции Элиашберга 2 ( )Fα ω при частотах много меньших дебаевской частоты. Для частного случая = 1r − уравнение (39) интегри- руется, что позволяет представить относительную ве- личину компоненты электрического поля в явном виде: 4 2 21 1 1 ( ) ( ) = = [ ch sh ] . (0) 2 ( ) 2 ( )B B e B e B E t t te t E T T −θ θ + τ τ (78) Выражение (78) справедливо при произвольном значе- нии начального нагрева тонкой пленки, т.е. при любом значении < 0Bθ . Графики 1( )e t для =Bθ 0,2; 0,5 и 0,9 представлены на рис. 6. 3.2.3.2 Осциллирующий нагрев электронов. Рассмот- рим ситуацию, когда пленка нагревается осциллирую- щим источником тепла с плотностью 0 1( ) = cosW t W W t+ ω ( 0 1W W ). В этом случае электронная температура имеет вид 0 1( ) = { e }i t eT t T T − ω+ℜ , где 1T — малая 1 0(\| \|T T ) комплексная амплитуда, пропорциональная 1W . Как следствие, вклад (2) (2) (2) 0 1ph ( ) = ( )t tσ σ +σ , где по- стоянная компонента 828 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик 12 2 (2) 3 2 0 4 2 0 0 = ( ) (1 ) 8 ie dqq w q du u ∞τ σ − × π ∫ ∫  0 [1 (0)] [ ( ) ( )], 2 [1 (0)] q q B q su n T n T d α −χ × − ν −βχ (79) а осциллирующая компонента 12 2 0(2) 3 2 1 4 2 00 0 ( ) ( ) = ( ) (1 ) 8 qi dn Te t dqq w q du u dT ∞τ σ − × π ∫ ∫  1 2 [1 ( )] e . 2 ( ) [1 ( )] qi t q q suiT i d i − ω   ν α −χ ω− ω ×ℜ +  ν − ω ν − ω −βχ ω   (80) Аналогичное расщепление (1) ph ( )tσ на постоянную (1) 0σ и осциллирующую (1) 1 ( )tσ части дает (1) (1) 00 ph( ) = ( )t Tσ σ и (1) 0ph(1) 11 0 ( ) ( ) = ( ) d T t T t dT σ σ . Индуцированная нагревом добавка к электрическо- му полю также состоит из постоянной и осциллирую- щей компонент: (1) (1) (2) 0 0 0ph= [ ( ) ]BE E Tσ −σ −σ и (1) (2) 0 1 1= [ ( ) ( )]E E t t− σ −σ соответственно. В эффективно толстых пленках при частотах 0( )Tω ν основной вклад в ( )E t дает рассеяние элек- тронов на термализованных фононах с температурой ( )eT t . В этом случае (1) (2) 1 1\| \|σ σ и 2 2 2 2 45 1 0 03 7 6 2 20 (5 ) cos ( ) ( ) = . 12 ( ) ( ) rr i r e p es r D e W tE t E T s c c ++ − + τ µ ω −ϕ π ρ σ ′+ ω + τ   (81) Сдвиг фаз = arctg ( )es′ϕ ωτ . Заметим, что запаздывание ( )E t относительно источника тепла определяется пол- ной теплоемкостью пленки e pc c+ . В высокочастотной области вклады (1) 1\| \|σ и (2) 1σ од- ного порядка: (1) (2) 1 1= (5 )rσ − + σ . Отсюда с учетом формулы (54) получаем 2 2 2 45 03 7 6 0 (4 )(5 ) ( ) = 12 rr i r B r r D e E t E T s +++ + τ µ × π ρ σ   1 2 2 0 0 cos ( ) , ( ) ( )e e W t c T T− ω −ϕ × ω + τ (82) где сдвиг фаз = arctg ( )eϕ ωτ . В случае эффективно тонких пленок осциллирую- щая компонента электрического поля ( )E t дается ра- венством (82) как при низких, так и при высоких час- тотах. Соотношения (81) и (82) связывают частотную за- висимость амплитуды колебаний напряжения на плен- ке ( )E ω с микроскопическими временами энергети- ческой релаксации eτ и esτ . В случае эффективно толстой пленки эта частотная зависимость имеет две характерные особенности: при частотах 0( )Tω ν ам- плитуда колебаний напряжения пропорциональна 2 2 1/2[ ( ) ]es − −′ω + τ , где = (1 / )es es e pc c′τ τ + , а при 0( )Tω ν она пропорциональна 2 2 1/2( )e − −ω + τ . Таким образом, сопоставив полученную в эксперименте зави- симость E от частоты теплового источника ω с фор- мулами (81) и (82), можно найти как среднее время ухода фононов из эффективно толстой пленки esτ , так и время электрон-фононных столкновений eτ . В экспе- рименте [69] по зависимости ( )E ω были найдены вре- мена esτ для пленки YBCO на различных подложках (MgO, Al2O3, LaAlO3, NdGaO3, ZrO2). Зная esτ , легко найти сопротивление Капицы = / ( )K es pR c dτ . Для исследованных материалов сопротивление Капицы оказалось порядка 10–3 К·см2/Вт при температуре экс- перимента =BT 90 К. Заметим, что при такой темпера- туре e pc c и можно не различать es′τ и esτ . В отличие от эффективно толстых пленок, частот- ная зависимость E для тонкой пленки определяется множителем 2 2 1/2( )e − −ω + τ , а значит, в экспериментах на тонких пленках можно найти только время элек- Рис. 6. Релаксация нормированной добавки к электрическому полю в тонкой пленке после импульсного нагрева электронов в линейном (верхний рисунок) и логарифмическом (нижний рисунок) масштабах. Кривые слева направо соответствуют сильному, умеренному и слабому нагревам: =Bθ 0,2; 0,5 и 0,9. Из нижнего рисунка ясно видно, что все кривые имеют одинаковый наклон при больших временах. Этот наклон равен –1 (т.е. 1 / ( )e BT− τ в размерных единицах). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 829 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский трон-фононных столкновений eτ . Отметим, что экспе- римент [34] на тонкой ниобиевой пленке, которая на- гревалась высокочастотным полем, показал хорошее согласие с формулой (82) (см. рис. 7). Измерения ам- плитуды колебаний напряжения при различных темпе- ратурах среды позволили установить, что для изученных пленок ниобия частота электрон-фононных столкнове- ний имеет квадратичную зависимость от температуры: 2( )e T T −τ ∝ . Согласно (81) и (82), времена esτ и eτ могут быть также найдены по частотной зависимости сдвига фаз ϕ между колебаниями напряжения на пленке и колеба- ниями источника тепла. 3.2.4. 3ω-отклик металлической пленки В предыдущих разделах обзора представлены раз- личные способы измерения времен энергетической релаксации eτ и esτ в условиях нестационарного на- грева электронов. В настоящем разделе, где приведены результаты работы [73], показано, что хорошо извест- ный 3ω-метод (см., например, [74,75] и цитируемую там литературу) также может быть использован для экспериментального определения этих времен. Сущ- ность 3ω-метода заключается в измерении компоненты напряжения, имеющей частоту 3ω, при пропускании через проводник тока, осциллирующего с частотой ω. Причина возникновения отклика на утроенной частоте состоит в том, что переменный ток приводит к осцил- ляциям температуры проводника с частотой 2ω, и, как следствие температурной зависимости сопротивления, и напряжение на проводнике приобретает 3ω-компо- ненту 3 ( )V tω . Не будем конкретизировать температурную зави- симость удельного сопротивления ( )Tρ , поскольку ее явный вид не является существенным для вычисления 3ω-отклика. Отметим только, что такая зависимость найдена в [68,72] для случая, когда ( )Tρ определяется рассеянием электронов на фононах. При слабом нагреве 3 3 3 0 1 1( ) = 2 ( )th e , 4 ( ) 2 ( ) i tLV t j L k − ω ω   ′ρρ ℑ − η ω  ω η ω   (83) где = ( )BTρ ρ , == ( / )' T TB d dTρ ρ , а L представляет со- бой длину участка пленки между потенциальными контактами. В (83) также входят комплексный коэф- фициент теплоотвода 3 3 >0 ( ) ( ) = 2 ( ) 2 (2 ) q B e B q q Bqz dn Td qk i c T dT ω − ω − ω ν × π∫  2 [1 (2 )]2 2 2 ( 2 ) [1 (2 )] z q q q si i d i  α ν −χ ωω × − ν − ω ν − ω −βχ ω  (84) и имеющий размерность длины комплексный параметр ( ) = / ( )e kη ω ω ; e — электронная теплопровод- ность. Смысл параметра ( )η ω довольно прост: на рас- стоянии \| ( ) \|η ω от границы утрачивается ее влияние на переменную компоненту электронной температуры. Границами в нашем случае являются потенциаль- ные контакты, температура которых равна температуре термостата. Из выражения (83) следует, что пленки можно разделить на длинные ( \| ( ) \|L η ω ) и короткие ( \| ( ) \|L η ω ). В важном для нас случае длинных пленок имеем 3 3 3 0 1 1( ) = e . 4 ( ) i tV t j L k − ω ω  ′ρρ ℑ  ω  (85) В разд. 3.1 эффективная толщина пленки опреде- лена как eff = /d d 〈α〉. Напомним, что при eff ped l излученные электронами неравновесные фононы в ос- новном поглощаются в пленке. Напротив, при eff ped l неравновесные фононы уходят в подложку без перепо- глощения электронами. Этим двум режимам теплоот- вода соответствуют времена энергетической релаксации esτ и eτ . Ниже покажем, что эти времена могут быть найдены из 3ω-отклика эффективно толстых и эффек- тивно тонких пленок. В случае эффективно толстых пленок и частот ( )BTω ν коэффициент ( ) = 2 ( ) /e p p esk i c c cω − ω + + τ . Отсюда, в частности, следует, что пленки с длиной /e es pL cτ  являются длинными при всех частотах. Для длинных пленок и ( ) = 2 ( ) /e p p esk i c c cω − ω + + τ из формулы (85) следует, что 3 0 3 2 2 2 2 ( ) = sin (3 ), 8( ) / [4( ) ]e p p e p es j L V t t c c c c c ω ′ρρ − ω −ϕ + ω + + τ (86) Рис. 7. Относительная величина амплитуды колебаний напря- жения на тонкой ниобиевой пленке V∆ в функции частоты. Экспериментальные точки взяты из работы [34]. Величина V E∆ ∝  , поэтому, согласно (82), зависимость ( ) / (0) =V f V∆ ∆ 2 1/2= [1 (2 ) ]ef −+ π τ (сплошная кривая). Согласие теоретиче- ской кривой с экспериментом достигается при =eτ 9,5 нс; =BT 1,5 К. 830 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик где сдвиг фаз ϕ определяется равенством tg = 2 (1 / )es e pc cϕ ωτ + . Таким образом, среднее время ухода фононов из пленки esτ может быть найдено как по частотной зависимости амплитуды 3ω-отклика, так и по сдвигу фаз ϕ . Перейдем к высоким частотам ( )BTω ν . В этом случае ( ) = 2 /e e ek i c cω − ω + τ . Подстановка ( )k ω в (85) приводит к выражению 3 0 3 2 2 ( ) = sin (3 ), 8 ( ) 1/ (4 )e B e j L V t t c T ω ′ρρ − ω −ϕ ω + τ (87) где сдвиг фаз ϕ определяется равенством tg = 2 eϕ ωτ . Заметим, что из (87), в частности, следует, что асим- птота 3ω-отклика при ω→∞ дает электронную тепло- емкость. В то же время в области частот 1 e −ω τ по зависимости 3 ( )V ω ω можно найти время электрон- фононной энергетической релаксации eτ . Кроме того, время eτ также может быть найдено по сдвигу фаз ϕ . Теперь обратимся к эффективно тонким пленкам. Можно показать, что как при низких, так и при вы- соких частотах удельный коэффициент теплоотвода имеет вид ( ) = ( 2 1/ )e ek c iω − ω+ τ , и для длинных пле- нок /e e eL cτ  ) вычисление 3ω-отклика дает фор- мулу (87). 3.3. Релаксация нетермализованных электронов и фононов Наиболее сложной для теоретического анализа яв- ляется область температур электронов, удовлетворяю- щих неравенствам 1/3 B D F D e D F B D k T k    Θ ε Θ Θ   ε Θ      , и температур решетки B DT Θ . При таких температу- рах, которые будем называть промежуточными, в общем случае нельзя ввести ни электронную, ни фононную температуру. Поскольку в области промежуточных температур время электрон-электронных столкновений eeτ больше, чем время электрон-фононных соударений eτ , электроны не успевают прийти в тепловое равновесие до начала энергетической релаксации. Иными словами, существенная часть поглощенной энергии перетекает от электронов к решетке одновременно с процессом термализации электронной подсистемы. Представлен- ная картина отчетливо наблюдается в экспериментах по фотоэмиссии электронов из пленок золота, облу- ченных фемтосекундным лазерным импульсом [76,77]. В этих экспериментах непосредственные измерения ди- намики ЭФР показали, что распределение электронов отличается от фермиевского на протяжении времени tht  1 пс. По оценкам авторов, в течение этого време- ни фотовозбужденный электрон испытывает несколько десятков столкновений с фононами, каждый раз теряя энергию B Dk Θ . Поскольку для золота = 165DΘ К, а начальная энергия электрона ≈ 2 эВ, существенная часть энергии электронов передается решетке в про- цессе термализации. Экспериментальные результаты, принципиально важ- ные для понимания особенностей кинетики электрон- фононной системы металлической пленки в области про- межуточных температур, получены в работах [54,55]. В этих работах на основании исследований динамики коэффициента отражения зондирующего лазерного им- пульса была найдена температурная зависимость вре- мени eτ , в течение которого в пленках Ag и Au релак- сирует избыточная энергия электронов, возбужденных ультракоротким (150 фс) лазерным импульсом (см. рис. 8). Оказалось, если начальная температура пленки ( BT ) находится в интервале 10–50 К, время eτ слабо зависит от температуры, что в корне противоречит предсказанному 2ТМ быстрому росту eτ при пониже- нии температуры. Причина такого противоречия — нетермализованность электронов в условиях экспери- мента. Это подтверждается и численными расчетами релаксации начального распределения электронов в рамках представленной в [54,55] нетермической моде- ли, основанной на нелинейном уравнении Больцмана для ЭФР. В предположении, что фононы имеют посто- янную температуру (из-за относительно большой фо- нонной теплоемкости) численный расчет дал темпера- турную зависимость ( )e Tτ , хорошо согласующуюся с экспериментом и не показывающую никакого роста при понижении температуры. Рис. 8. Температурная зависимость времени энергетической релаксации. Сплошная линия — зависимость ( )e Tτ , полу- ченная из 2ТМ, точки — результаты эксперимента [54,55]. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 831 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский На качественном уровне интерпретация экспери- ментов [54,55] дана в работе [78], где авторы про- яснили, почему измеренное время eτ оказалось мень- ше, чем время релаксации, даваемое 2ТМ, и почему измеренное eτ слабо зависит от температуры, тогда как 2ТМ дает в низкотемпературной области зависимость 3 e T −τ ∝ . Основная причина состоит в том, что в про- цесс релаксации начального распределения электро- нов, слабо отличающегося от фермиевского, вовлека- ется значительно меньше фононных состояний, чем при релаксации существенно нетермического распре- деления. Действительно, если ЭФР близка к ферми- евской функции с температурой DT Θ , то в релак- сации участвуют фононы с волновыми векторами max< /Bq q k T s . Число таких фононов пропорцио- нально 3T , что и дает 2/ ( )( / )e B Dk T Tτ Θ . Если же функция распределения электронов сильно отличается от фермиевской, то в процессе релаксации участвуют все фононные состояния с max< /B Dq q k sΘ  . В ре- зультате время релаксации / ( )e B Dkτ Θ , т.е. оно зна- чительно уменьшается и становится не зависящим от температуры. Поскольку дебаевская температура золота равна 165 К, а серебра 225 К, оценка времени релаксации дает порядок 0,1 пс, причем для серебра величина eτ будет несколько меньше, чем для золота. Эти каче- ственные черты релаксации согласуются с эксперимен- том [54,55], где при низких температурах наблюдались значения 0,54 псeτ ≈ для Au и 0,49 псeτ ≈ для Ag. После публикации экспериментальной работы [54], где было показано, что 2ТМ неприменима для опи- сания ситуации, когда процессы термализации и энер- гетической релаксации электронов идут параллельно друг другу, был опубликован ряд теоретических статей [79,80–82], в которых авторы пытались описать такую параллельную кинетику аналитическими методами. Несмотря на эти значительные усилия, к настоящему времени количественное согласие с экспериментом в первую очередь достигается все же численным реше- нием кинетического уравнения Больцмана, которое на равных основаниях включает столкновения электронов как между собой, так и с фононами [54,55,83,84]. 4. Движущийся плоский фронт фазового превращения: стационарные режимы релаксационного и диффузионного теплоотводов 4.1. Вводные соображения Во втором разделе обзора рассматривались задачи стационарного теплоотвода от однородно нагретых металлических пленок в диэлектрические подложки с высокой (а в теоретическом расчете — идеальной) те- плопроводностью. В таком случае было естественно считать, что фононы, излученные из пленки в подлож- ку, в пленку не возвращаются, т.е. все сопротивление теплоотвода сосредоточено на интерфейсе М–Д. В этом разделе рассмотрим другой эксперименталь- но важный класс стационарных задач теплоотвода в подложки с конечной теплопроводностью от движуще- гося плоского фронта фазового превращения (ФФП) в пленочной геометрии (см. рис. 9). Примерами таких ФФП, во-первых, могут быть сверхпроводники с транс- портным (т.е. заданным внешними источниками) током, в которых за счет диссипации энергии тока в нормаль- ном состоянии возможны волны переключения из сверх- проводящей в нормальную фазу [85–88]. Во-вторых, это метастабильные жидкости и твердые тела, прежде всего так называемые замороженные метастабильные состояния (ЗМС) [89], типичным примером которых являются аморфные фазы (стекла), а также конфигура- ционно замороженные жидкокристаллические, поли- морфные, сегнетоэлектрические и другие структурные фазовые переходы первого рода. В этих объектах даже в отсутствие внешних источников тепла среда является термически активной вследствие термодинамической неравновесности исходной метастабильной фазы. Ее релаксация в стабильную фазу осуществляется путем необратимого (в отличие от волны переключения) пе- ремещения ФФП и связанной с ним температурной не- однородности в виде «волны релаксации» [88]. В связи с этим появились многочисленные экспериментальные исследования кинетики существенно неизотермических, самоподдерживающихся за счет тепловыделения на фронте превращения режимов быстрого («взрывного») распространения фронта кристаллизации (ФК) в стеклах различной природы — металлических, полупроводни- ковых, диэлектрических [91]. Наиболее изученным на опыте является фактически одномерный случай, когда плоский ФК распространяется вдоль достаточно тон- кого слоя или пленки аморфного вещества, нанесенно- го обычно на массивную подложку. Такая «пленочная» постановка эксперимента по неизотермическому рас- пространению ФК, кроме возможности реализовать его перемещение с постоянной скоростью, имеет еще то преимущество, что толщина исследуемой пленки явля- ется дополнительным внешним «управляющим пара- метром». К тому же, пленочная геометрия (см. рис. 9) допускает визуализацию процесса превращения и не- Рис. 9. Плоский фронт фазового превращения в «пленочной» геометрии; u — скорость фронта, d — толщина пленки. 832 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик посредственное измерение температурного профиля связанного с ФК «теплового домена». Такие измерения содержат информацию о «собственной» кинетике пере- мещения ФК в области больших скоростей (порядка м/с и более), где неизотермические эффекты в силу всегда конечной скорости теплоотвода неустранимы в прин- ципе. Поэтому интерпретация таких измерений оказы- вается неизбежно связанной с адекватным опыту опи- санием теплоотвода от пленки в подложку. В данном разделе исследуются два предельных слу- чая теплоотвода от ФК в подложку: релаксационный и диффузионный. В первом случае сопротивление теп- лового стока сосредоточено целиком на границе плен- ка–подложка, а теплосопротивлением последней пренеб- регают. Во втором случае (диффузионный теплоотвод) ситуация обратная. В этой связи напомним, что общепринятый (и наибо- лее простой) способ учета отвода тепла в подложку со- стоит в дополнении известного уравнения теплопровод- ности «релаксационным» членом вида 0= ( / )( ),W d T Tα − где W — мощность теплового стока единицы объема с локальной температурой T , α — так называемый ко- эффициент теплоотдачи, d — толщина пленки, а 0T — фиксированная температура подложки («термостата»). Величину α обычно считают феноменологическим подгоночным параметром и не обсуждают его связь с характеристиками пленки и подложки. Основным преимуществом такого способа теплоотдачи является возможность не решать так называемую «внешнюю» тепловую задачу, связанную с распределением поля температур в подложке. Поэтому в условиях такого «релаксационного» теплоотвода задача о распростра- нении плоского ФФП в пленке сводится к одномерной. Не останавливаясь на обсуждении условий физиче- ской адекватности такого описания теплоотвода (см. п. 4.3), отметим, что на опыте обычно реализуется слу- чай «диффузионного» теплоотвода, когда температура ФФП определяется двумерным распределением тепла в подложке, а 0T задается только на бесконечности. Цель этого раздела — показать существование и ос- новные особенности стационарных (автоволновых) ре- жимов неизотермического распространения ФФП пер- вого рода в условиях диффузионного теплоотвода от пленки вещества в метастабильном состоянии. 4.2. Поверхностная тепловая автоволна: анализ температурного поля и скорости теплоотвода от ФФП Рассмотрим сначала следующую задачу: пусть в плен- ке толщиной d , нанесенной на подложку, занимающую полупространство >z d , вдоль оси x (см. рис. 9) с по- стоянной скоростью u распространяется плоский ФФП с теплотой превращения на единицу объема пленки Q . Необходимо найти ( , , )x z tΘ — температурное поле движущегося ФФП, отсчитанное от 0T — температуры подложки при z →∞ ( 0= ( )T TΘ − ). Пусть для простоты температуропроводности пленки и подложки совпада- ют и равны κ . Считая, что вдоль оси y задача одно- родна, уравнение теплопроводности в системе отсчета, связанной с подложкой, имеет простой вид (см. фор- мулу (1) в работе [90]). Используя функцию Грина для полупространства и интегрируя ее с источниками урав- нения теплопроводности, можно получить уравнение для ( , , )x z tΘ в виде 2 1/2 1/2 0 ( )( , , ) = exp 44( ) R QT d x x xx z R lxl x  + Θ − ×  π    ∫   1/2 1/2erf erf (4 ) (4 ) z d z d lx lx     + − × −              . (88) Здесь = /l uκ , =x x R− — расстояние вдоль оси x, от- считываемое от положения ФФП =R ut ( > 0t ) в сис- теме покоя ФФП. Интересуясь лишь стационарным (т.е. установившимся) температурным полем, следует устремить R →∞. В исследуемой нами стационарной задаче имеются два параметра размерности длины (d и l ) и в зависи- мости от величины параметра = /d lµ соответственно два существенно различных вида температурного поля. Случай 1µ (быстрые, практически адиабатические режимы) удобно анализировать исходя из формулы (88). Для изучения второго случая ( 1µ , медленные, близ- кие к изотермическим режимы) более удобным оказы- вается другое, эквивалентное (88) представление ( , ),x zΘ  которое получается так же, как и (88), но при другом порядке интегрирования функции Грина (см. форму- лу (4) в [90]). Экспериментальному наблюдению наиболее досту- пен температурный профиль ФФП вдоль направления его перемещения, т.е. поле температур на поверхности пленки ( = 0z ) в системе покоя. Тогда в пределе 1µ при = 0z имеем > ( ) exp( / )x x lΘ ∝ −  при > 0x , что при- водит к отличному от нуля экспоненциально малому затуханию теплового поля «вперед», тогда как «назад» оно спадает степенным образом: < 1/2 1/2( ) ( \| \|) \| \| .Qx T d l x x− −Θ ≈ π ∝   (89) Примерный вид изотерм теплового поля ФФП в систе- ме покоя при 1µ представлен на рис. 10. Его харак- терная черта — сильное сгущение изотерм впереди ФФП и большое их разрежение в «тепловом хвосте» превращения. Иными словами, из-за наличия при 1µ сильного конвективного сноса тепла «назад» поле тем- ператур в этом пределе оказывается существенно ани- зотропным, так что в основной области его локализа- ции изотермы практически параллельны оси x (т.е. grad gradx zΘ Θ ). Простая оценка величины этой ани- зотропии получается, если заметить, что при = constz Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 833 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский существует максимум температурного поля ( , )x zΘ  , ко- торый для >>z d расположен на расстоянии 2\| \| = / 2mx z l (см. рис. 10), с температурой в нем = ( , ) = ( / 2 1/ )m m Qx z T d z zΘ Θ ∝ . (90) Сопоставление оценок (89) и (90) показывает, что ани- зотропия каждой изотермы растет по мере ее удаления от ФФП. Отметим еще, что зависимость от u в форму- ле (89) связана с ее «кинематическим» происхождени- ем, тогда как независимость от u в (90) является след- ствием диффузионного характера распространения теп- ла по оси z . Обратимся теперь к зависимости усредненной по толщине пленки температуры ФФП fΘ от его скоро- сти перемещения u . Пользуясь формулой (88) при = 0x и R →∞, a также тем, что искомую зависимость можно представить в виде 0= = ( / ),f f QT T T uΘ − Ψ v (91) 0 1 0 ( ) = (2 / ) ( ) ( ) 1/dx K x K µ   Ψ µ π + µ − µ    ∫ , (92) где = /QT Q c — температурный эффект кристаллиза- ции (Q — теплота превращения), 0T — начальная тем- пература, а конкретный вид функции ( )Ψ µ зависит от механизма теплоотвода и геометрии ФК (см. табл. IV в обзоре [91]). Отметим, что из физических соображений следует, что (0) = 0Ψ , ( ) = 1Ψ ∞ , > 0′Ψ , < 0′′Ψ . Пара- метр v в [91] характеризует скорость теплоотвода от ФК, а его связь с теплофизическими характеристиками дана в табл. IV обзора [91]. Так, для релаксационного теп- лоотвода 1/2= 2( / )r θκ τv , а для диффузионного = / .d dκv 4.3. Сравнение релаксационного и диффузионного теплоотводов Обратимся сначала к сравнению релаксационного и диффузионного теплоотводов с точки зрения их экспе- риментальной реализации. Первый случай (см. п. 4.1) физически предполагает бесконечную теплопровод- ность подложки, так что все теплосопротивление стока реализуется в виде локализованного на границе плен- ка–подложка температурного скачка T∆ , пропорцио- нального величине теплового потока Q ( =Q Tα∆ ). Несмотря на очевидную модельность такого описания теплоотвода, имеется ряд экспериментальных ситуаций, где оно вполне адекватно, например, при достаточно низких (значительно меньше дебаевской) температурах, когда теплопроводность массивной подложки может быть сделана достаточно большой и определяющий вклад в теплосопротивление стока для фононов дейст- вительно вносит граница раздела сред. В ряде случаев для α можно получить подтверждаемую на опыте [20] теоретическую оценку вида = csα α , где c — теплоем- кость единицы объема пленки, s — средняя скорость звука в ней, а α — средняя вероятность прохождения фонона через границу раздела пленка–подложка. Ве- личина α , как известно [2], зависит от степени акусти- ческого рассогласования граничащих сред, определяе- мого отношением 1 1 2 2/s sρ ρ , где ρ — плотность среды, s — скорость звука. Экспериментально уже при температурах порядка дебаевской и выше почти всегда реализуется случай диффузионного теплоотвода, когда основной вклад в теплосопротивление стока вносит конечная теплопро- водность подложки, а тепловой скачок на границе пленка–подложка пренебрежимо мал. В этом предель- ном случае необходимо решать уже двумерную задачу о распределении температурных полей в подложке с условиями непрерывности как для теплового потока, так и для температуры на границе раздела сред. В случае релаксационного теплоотвода коэффици- енту теплоотдачи α можно сопоставить характерное «время релаксации» температуры пленки = /dθτ α и соответствующий линейный масштаб 1/2= ( )l θκτ — дли- ну остывания неподвижного стационарного теплового источника (κ — температуропроводность пленки) [89]. Численное значение θτ можно определить в неза- висимом эксперименте по остыванию предварительно нагретой до температуры T пленки толщиной d , нане- сенной на достаточно массивную подложку с высокой теплопроводностью [20]. В случае диффузионного теплоотвода статическая двумерная задача в полупространстве для стационар- ного теплового источника, как можно легко показать, не имеет установившегося решения. В опыте по остыва- нию пленки на подложке с плохой теплопроводностью (кварцевое стекло, ситалл и т.п.) характерное время ос- тывания пленки, аналогичное θτ , отсутствует [20], так как в этом случае температура пленки уменьшается со временем не по экспоненциальному, а по степенному закону ( 1/2t−∝ ), типичному для задач диффузии. Ха- рактерный тепловой масштаб 2= /u uτ κ и соответст- вующее стационарное решение уравнения двумерной теплопроводности появляются лишь в случае переме- щения источника тепла с конечной скоростью 0u ≠ . Рис. 10. Схематический вид изотерм теплового поля поверх- ностной автоволны в быстрых режимах (система покоя ФФП); mx — абсцисса той точки поля, где при фиксирован- ном = mz z температура максимальна и равна ( )m zΘ (фор- мула (9)). 834 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик Как можно показать (см. формулу (88)), uτ имеет смысл времени установления стационарного решения при = constu . Для релаксационного теплоотвода время uτ имеет аналогичный смысл только для быстрых ( = /l u l⊥κ  , где l⊥ — «длина остывания» неподвиж- ного стационарного источника [89]) режимов переме- щения ФФП, тогда как для медленных (l l⊥ ) время установления перестает зависеть от скорости и по масштабу порядка θτ . С отмеченными выше особенностями одномерной (со стоком) и двумерной (сток на бесконечности) теп- ловых задач связано и существенное различие между температурными профилями теплового домена в слу- чаях релаксационного и диффузионного теплоотвода. В первом случае поле температур (в системе покоя ФФП) спадает экспоненциально по мере удаления от фронта: для медленных режимов на масштабе l⊥ по обе стороны ФФП, для быстрых — на длине >l l≈ (вперед), а назад — на длине < 2= /l u l l lθ ⊥τ ≈  [89]. Во втором случае сохраняется имеющее кинематиче- ское происхождение экспоненциальное спадание > ( )xΘ (на масштабе >l l≈ ), однако для < ( )xΘ характерный масштаб <l уже исчезает, уступая место медленно убы- вающему ( 1/2\| \|x −∝ ) диффузионному «хвосту» темпе- ратурного поля (см. формулу (89)). Сравним также изображенные на рис. 11 кривые диффузионного теплоотвода (92) и релаксационного 2 1/2( ) = / (1 )Ψ µ µ +µ при одинаковых значениях = / uµ v , где для релаксационного теплоотвода 1/2= 2( / )r θκ τv , а для диффузионного = /d dκv . Если 1µ (быстрые режимы), то перегрев ФФП выше для релаксационного теплоотвода: 21 1/ 2 (1 ) 2 / ( 1).r d−Ψ ≈ µ −Ψ ≈ πµ µ  Для случая 1µ (медленные режимы) ситуация об- ратная: \| ln \| /2 ( 1).r dΨ ≈ µ Ψ ≈ µ µ µ  Отметим существенную при определении критиче- ской толщины аморфных пленок различную зависи- мость параметра v от d. Поскольку 1/2 r d−∝v и 1,d d−∝v зависимость от толщины d в случае релаксационного теплоотвода более «вялая». 4.4. Заключительные соображения В разд. 4 исследованы автоволновые режимы неизо- термического распространения ФФП первого рода в пленке или слое метастабильного вещества с учетом двумерности теплоотвода в массивную подложку конеч- ной теплопроводности. В этом случае «тепловая инер- ция» ФФП определяется не столько одномерным тем- пературным профилем в самой пленке (что характерно для релаксационного теплоотвода), сколько связанным с ФФП двумерным распределением температуры в под- ложке, а теплосопротивлением границы пленка–под- ложка можно пренебречь (диффузионный теплоотвод). Получены формулы для стационарного (в системе покоя ФФП) двумерного температурного поля авто- волны. Исследован в предельных случаях быстрого и медленного режимов движения ФФП его поверхност- ный температурный профиль (характерные размеры и форма), а также скорость теплоотвода от ФФП. Дана оценка для времени установления его стационарного состояния. Применительно к распаду замороженных метаста- бильных состояний с кинетической зависимостью ар- рениусовского типа развит общий метод вычисления критических и сингулярных параметров [90,91]. С его использованием вычислено зависящее от 0T минималь- ное тепловыделение на ФФП необходимое для реали- зации бистабильных режимов распространения ФФП как в случае диффузионного, так и релаксационного теплоотвода. В этих двух предельных случаях в [90] проведено подробное сравнение автоволновых режимов. Выявлены следующие основные особенности диффу- зионного теплоотвода: а) медленно спадающий 1/2( \| \| )x −∝  поверхностный температурный профиль позади ФФП; б) время установления стационарного состояния в мед- ленных режимах растет с уменьшением скорости ФФП 21/ u∝ ; в) большая чувствительность критических па- раметров к изменению толщины пленки d ; г) возмож- ны обоснованные оценки влияния конечной толщины подложки на условия теплоотвода от ФФП. Кроме того, качественные соображения, основанные на упомяну- той в начале этого раздела большей тепловой инерци- онности диффузионного теплоотвода, показывают, что при исследовании нестационарных режимов переме- щения ФФП (не рассматривавшихся в данной разделе) следует ожидать появления ряда новых особенно- стей — прежде всего при анализе тепловой и морфоло- гической устойчивости стационарных режимов и вы- Рис. 11. Кривые теплоотвода для диффузионного (сплошная линия) и релаксационного (штриховая линия) теплоотводов. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 835 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский яснении возможности автоколебательных режимов дви- жения ФФП. Переходя к рассмотрению экспериментальной ситуа- ции, сразу отметим, что хотя в случае диффузионного теплоотвода теплофизические характеристики подложки уже явным образом определяют скорость отвода тепла от ФФП (формула (92)), это не усложняет, а по ряду причин даже упрощает постановку эксперимента по взрывной кристаллизации стекол и его сопоставление с теорией. Действительно, в низкотемпературных экспе- риментах (см. ссылки на работы [13,84] обзора [91]) использовались подложки из кварцевого стекла, т.е. выполнялись условия диффузионного теплоотвода. Воз- можная при таких температурах реализация релак- сационного теплоотвода с θτ  10–8 с и менее (при использовании монокристаллических кварцевых или сапфировых подложек [20]) может привести как к за- туханию стационарных режимов распространения ФФП из-за слишком большой скорости теплоотвода, так и предъявляет достаточно высокие требования к разре- шающей способности аппаратуры для регистрации тем- пературного профиля перемещающегося со скоростью u  103 см/с теплового домена относительно малых <( =l u θτ  10–5 см [91]) размеров. В случае диффузионного теплоотвода подобная ре- гистрация значительно упрощается, так как, согласно оценкам по формуле (88), наблюдаемые размеры теп- лового домена возрастают на несколько порядков в силу весьма медленного спадания < (\| \|)xΘ (формула (89)). Схематический вид температурного профиля такого теплового домена в быстром режиме представлен на рис. 12. Для него характерен экспоненциально крутой (на масштабе = /l uκ ) передний фронт, затем на длине 2 /dx d l  температура практически постоянна, а на- чиная с > dx x  — медленно ( 1/2\| \|x −∝  ) спадающий диф- фузионный хвост. Качественно аналогичный темпера- турный профиль фронта взрывной кристаллизации в аморфном германии наблюдался с помощью инфра- красного детектора (см. ссылку [67] в обзоре [91]). Од- нако полное отсутствие в этой работе теплофизических параметров пленки и подложки не позволяет провести количественное сравнение с полученными выше ре- зультатами. В заключение отметим, что результаты данной ра- боты могут быть использованы не только при анализе неизотермических экспериментов по кинетике различ- ных фазовых превращений первого рода в условиях диффузионного теплоотвода, но и в ряде прикладных задач. Так, результаты, изложенные в работах [90,91] могут служить для прогноза термической стабильности (по отношению к процессу взрывной кристаллизации) аморфных покрытий, получаемых в процессе воздей- ствия интенсивных потоков энергии и (или) частиц на поверхность кристалла (например, в процессе так назы- ваемого «лазерного глазурования» [92]). Выводы [90,91]) могут быть полезны для описания процессов быстрой кристаллизации сильно переохлажденных жидкостей в «кинетическом» [93] режиме, а также могут представ- лять интерес для исследования твердофазного поверх- ностного «пленочного» горения [94] в приближении узкой зоны реакции [95]. 5. Заключение Кратко сформулируем основные итоги рассмотре- ния стационарного теплоотвода (разд. 2 и 4). В разд. 2 рассматривался теплоотвод от металлических пленок и поведение их нелинейного электросопротивления при низких температурах. Основные результаты разд. 2 сформулированы ниже. 1. Предсказан размерный эффект в теплоотдаче и нелинейном электросопротивлении нагреваемых током металлических пленок, связанный со специфической ролью электронов в формировании теплового сопро- тивления границы металл–диэлектрик (М–Д). 2. Сформулировано представление о двух предель- ных (в изучаемой ситуации) режимах теплоотвода. Пусть α — вероятность прохождения фонона через границу М–Д, ( )pe el T — средняя длина свободного пробега фонона по отношению к рассеянию на элек- тронах с температурой eT , а d — толщина пленки. То- гда, если ( )pe ed l l T≡ α , то реализуется обычный джоулев нагрев, когда скачок температуры на границе пленка–подложка зависит от ее акустической прозрач- ности (и не зависит от электронных характеристик ме- талла). Если d l , то возможна реализация режима электронного перегрева, в котором решетка практиче- ски не нагревается, а нелинейные по напряженности электрического поля эффекты определяются только свойствами металла и не зависят от величины α, т.е. температурный скачок на границе не зависит от свойств подложки. 3. Для электронов с квадратичным законом диспер- сии, взаимодействующих с дебаевскими фононами, по- лучены замкнутые выражения для экспериментально наблюдаемых величин рассеиваемой мощности ( )eQ T Рис. 12. Примерный вид поверхностного температурного профиля автоволны в быстром режиме (диффузионный теп- лоотвод). 836 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивления ph ( )eR T при произвольных соотношениях между d и ( )el T . Полученные результа- ты показывают, что даже в режиме джоулева нагрева ( )ed l T>> зависимость ph ( )eR T не сводится к равно- весной (с температурой eT ), а содержит пропорцио- нальную ( / ) 1l d  добавку, связанную с неоднородно- стью фононной функции распределения в пленке на длине ( )pe el T . Эти результаты позволяют обосновать термометрию электронов в нагреваемых током метал- лических пленках. 4. Показано [9–11], что даже в отсутствие межэлек- тронных столкновений функция распределения горя- чих электронов в металлической пленке в характерной области энергий электрона незначительно отличается от фермиевской с некоторой эффективной, зависящей от величины электрического поля, температурой eT (см. формулу (5) в работе [9]), а нелинейная добавка к электросопротивлению практически не отличается от таковой, рассчитанной в температурном приближении. Поэтому температурное приближение, первоначально теоретически обоснованное лишь в случае выполнения критерия термализации, когда частота межэлектронных столкновений значительно больше частоты электрон- фононных столкновений (см. начало разд. 1 в работе [9]), в исследуемой ситуации имеет более широкую область применимости. 5. Обращается внимание на то, что в режиме элек- тронного перегрева (в отличие от джоулева нагрева) спектральное распределение излучаемых пленкой фо- нонов определяется только характеристиками электро- нов металла, что открывает возможность для диагно- стики ЭФВ металлических пленок. В этой связи теория горячих электронов формулируется для реальных за- конов дисперсии электронов и фононов [12] в терминах известных спектральных функций 2( ) ( ) ( )S Fω ≡ α ω ω и 2 tr( ) ( ) ( )g Fω ≡ α ω ω . Предложено использовать фонон- ную спектрометрию теплового излучения из нагревае- мых током пленок для экспериментального определе- ния ( )S ω в кинетическом ( Dω ω ) интервале энергий. 6. Перегрев электронов является причиной теплово- го гистерезиса критического тока в длинных сверхпро- водящих пленках [4], неустранимого даже при идеаль- ном акустическом согласовании пленки и подложки ( = 1α ). 7. Основные теоретические результаты этого раздела уже получили убедительное экспериментальное под- тверждение (размерный эффект и горячие электроны при низких температурах в работе [17], гистерезис кри- тического тока в режиме электронного перегрева в [16]). 8. Показано, что в «грязном» пределе время энерге- тической релаксации электронов на фононах eτ за счет двумерности электрон-фононного взаимодействия в тон- кой пленке имеет место низкотемпературное поведе- ние вида pT − c тем же значением = 3p , что и в чистом 3D-металле. В этой связи предлагается реинтерпрета- ция ряда известных экспериментов по определению ( )e Tτ в тонких пленках. В разд. 3 мы постарались дать ясную микроскопи- ческую картину динамических процессов, протекающих при низких температурах в электрон-фононной систе- ме металлической пленки вследствие ее нагрева либо импульсным, либо осциллирующим источником тепла. Для осциллирующего нагрева результаты представлены в виде выражений, описывающих частотно-зависимые линейный и нелинейный отклики электронной темпе- ратуры. Как оказалось, особенности частотной зависи- мости амплитуд этих откликов в случае эффективно тонких пленок определяют время электрон-фононной энергетической релаксации eτ . Отклик эффективно толстых пленок содержит также информацию о сред- нем времени ухода фононов из пленки в подложку esτ . Нужно отметить, что эти результаты в равной мере описывают динамику электронной температуры как в чистых, так и в грязных пленках. Важно также пони- мать, насколько полученные результаты зависят от предложенной Кагановым, Лифшицем и Танатаровым модели [8], в которой, в частности, не учитывается взаимодействие электронов с поперечными фононами. Вывод соответствующего анализа (см. [70,72]) следу- ющий: в случае слабого осциллирующего нагрева най- денные в этих работах специфические черты (особен- ности) частотной зависимости напряжения на пленках различной толщины и их связь с временами энергети- ческой релаксации eτ и esτ не зависят от принятой мо- дели. Это означает, что такие особенности должны быть экспериментально наблюдаемы и по таким осо- бенностям могут быть найдены времена eτ и esτ . В разд. 4 рассмотрены стационарные режимы релак- сационного и диффузионного теплоотводов от движу- щегося плоского фронта фазового превращения (ФФП). Отметим, что в предыдущих разделах обзора рассмат- ривались задачи стационарного теплоотвода от одно- родно нагретых металлических пленок в диэлектриче- ские подложки с высокой (а в теоретическом расчете — идеальной) теплопроводностью. В таком случае есте- ственно считать, что фононы, излученные из пленки в подложку, в пленку не возвращаются, т.е. все сопротив- ление теплоотвода сосредоточено на интерфейсе М–Д. В разд. 4 мы рассматривали другой экспериментально важный класс стационарных задач теплоотвода в под- ложки с конечной теплопроводностью от движущегося плоского ФФП в пленочной геометрии (см. рис. 9). В п. 4.1 достаточно подробно обсуждены примеры таких ФФП, которые соответствуют либо волнам переклю- чения, либо волнам релаксации [88]. В последнем слу- чае релаксация в стабильную фазу осуществляется пу- тем необратимого (в отличие от волны переключения) перемещения ФФП. В пп. 4.2–4.4 в основном обсуждается кинетика су- щественно неизотермических, самоподдерживающих- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 837 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский ся за счет тепловыделения на фронте превращения ре- жимов быстрого («взрывного») распространения с по- стоянной скоростью фронта кристаллизации (ФК) в стеклах различной природы [91]. Так как в области больших скоростей (порядка м/с и более), где неизо- термические эффекты в силу всегда конечной скорости теплоотвода неустранимы в принципе, то интерпрета- ция измерений динамики ФФП оказывается неизбежно связанной с адекватным опыту описанием теплоотвода от пленки в подложку. В п. 4.2 рассмотрено темпера- турное поле и скорость теплоотвода от движущейся с постоянной скоростью тепловой автоволны в условиях диффузионного теплоотвода. Выявлены следующие ос- новные особенности диффузионного теплоотвода: а) мед- ленно спадающий ( 1/2\| \|x −∝  ) поверхностный темпера- турный профиль позади ФФП; б) время установления стационарного состояния в медленных режимах растет с уменьшением скорости ФФП 21/ u∝ ; в) возможны обоснованные оценки влияния конечной толщины подложки на условия теплоотвода от ФФП. В п. 4.3 рассмотрено сравнение диффузионного и релаксационного теплоотводов, когда сопротивление теплового стока сосредоточено целиком на границе пленка–подложка, а теплосопротивлением последней пренебрегают. Показано, что для быстрых режимов перегрев ФФП выше для релаксационного теплоотво- да, тогда как для медленных — ситуация обратная. В п. 4.4 рассмотрена экспериментальная ситуация и от- мечено, что результаты разд. 4 могут быть использова- ны не только при анализе неизотермических экспери- ментов по кинетике различных фазовых превращений первого рода в условиях диффузионного теплоотвода, но и в ряде прикладных задач. Благодарности Отдельные результаты теоретических работ, пред- ставленных в обзоре, в свое время обсуждались В.А. Шкловским с А.Ф. Андреевым, Ю.М. Гальпериным, Г.Н. Гольцманом, Р.Н. Гуржи, И.М. Дмитренко, Я.Б. Зельдовичем, М.И. Кагановым, И.М. Лифшицем, А.М. Косевичем, М.Н. Кунчуром; авторы обзора весьма признательны за проявленные при этом внимание и интерес к работе. В.А. Шкловский благодарен за поддержку исследо- вательской и инновационной программе Марии Скло- довской-Кюри (грант 644348 (MagIC)) в рамках ЕС Горизонт 2020. Литература 1. И.М. Халатников, ЖЭТФ 22, 687 (1952). 2. A.W. Little, Can. J. Phys. 37, 334 (1959). 3. Физика фононов больших энергий, сб. статей, Мир, Москва (1976). 4. И.И. Еру, С.А. Песковацкий, А.В. Поладич, ФТТ 15, 1599 (1973). 5. И.И. Еру, В.А. Кащей, С.А. Песковацкий, В.С. Сулима, ФТТ 16, 3133(1974). 6. В.А. Шкловский, Письма в ЖЭТФ 26, 679 (1977). 7. В.А. Шкловский, ФТТ 17, 3076 (1975). 8. М.И. Каганов, И.М. Лифшиц, Л.В. Танатаров, ЖЭТФ 31, 232 (1956). 9. К.В. Маслов, В.А. Шкловский, ЖЭТФ 71, 1514 (1976). 10. К.В. Маслов, В.А. Шкловский, ЖЭТФ 78, 1221 (1980). 11. В.А. Шкловский, ЖЭТФ 78, 1281 (1980). 12. V.A. Shklovskij, J. Low Temp. Phys. 41, 375 (1980). 13. В.Г. Волоцкая, В.А. Шкловский, Л.Е. Мусиенко, ФНТ 6, 1033 (1980) [Sov. J. Low Temp. Phys. 6, 503 (1980)]. 14. В.Г. Волоцкая, Л.Е. Мусиенко, И.М. Дмитренко, Ю.В. Калекин, ФНТ 2, 500 (1976) [Sov. J. Low Temp. Phys. 2, 248 (1976)]. 15. V.G. Volotskaya, A. Boydsevich, L.S. Musienko, and Yu.V. Kalekin, Cryogenics 18, 557 (1978). 16. W.J. Skocpol, Nonequilibrium Effects in 1D Superconductors. Nonequilibrium Superconductivity. Phonons and Kapitsa Boundaries, K.S. Gray (ed.), N.Y.: Plenum (1981), p. 559. 17. M.L. Roukes, M.K. Preeman, R.S. Germain, R.C. Richardson, and M.B. Ketchen, Phys. Rev. Lett. 55, 422 (1985); M.L. Roukes, Ph.D. thesis, Cornell University, Ithaka, N.Y. (1985). 18. J.D.N. Cheeke, B. Hebral, and C. Martinon, J. Phys. (France) 34, 257 (1973). 19. А.Ф. Андреев, ЖЭТФ 43, 1535(1962). 20. Р. Гутфельд, Распространение тепловых импульcов, в кн.: «Физическая акустика», У. Мэзона (ред.), Мир, Москва (1973), т. 5, с. 267. 21. В.А. Шкловский, ФТТ 30, 1176 (1988). 22. И.M. Лифшиц, ЖЭТФ 26, 551 (1954). 23. R.A. Webb, R.P. Giffard, and J.С. Wheatley, J. Low Temp. Phys. 13, 383 (1973). 24. G. Grimvall, Physica Scripta 14, 63 (1976). 25. B. Keck and A. Schmid, J. Low Temp. Phys. 24, 611 (1976). 26. S.J. Boon, Solid State Commun. 34, 659 (1980). 27. L.V. Meisel and P.J. Cote, Phys. Rev. B 23, 5834 (1981). 28. W.Z. McMillan and J.M. Rowell, in: Superconductivity, R.D. Parks (ed.), New York (1969). 29. И.К. Янсон, ФНТ 9, 676 (1983) [Sov. J. Low Temp. Phys. 9, 343 (1983)]. 30. В.А. Шкловский, ФТТ 34, 2844(1992). 31. J. Rammer and А. Schmid, Phys. Rev. В 34, 1352 (1986). 32. G. Bergmann, W. Wei,Y. Zou, and R.M. Mueller, Phys. Rev. B 41, 7386 (1990). 33. J. Liu, T.L. Meisenheimer, and N. Giordano, Phys. Rev. B 40, 7386 (1989). 34. Е.М. Гершензон, М.Е. Гершензон, Г.Н. Гольцман, А.М. Люлькин, А.Д. Семенов, А.В. Сергеев, ЖЭТФ 97, 901 (1990). 35. D. Belitz and S.D. Sarma, Phys. Rev. B 36, 7701 (1987). 36. P. Sathanam, S. Wind, and D.E. Prober, Phys. Rev. B 35, 3188 (1987). 37. B. Lehr, H. Ulrich, and O. Weis, Z. Phys. B 48, 23 (1982). 838 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 http://dx.doi.org/10.1139/p59-037 http://dx.doi.org/10.1007/BF00117947 http://dx.doi.org/10.1016/0011-2275(78)90160-1 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.55.422 http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01973003402-3025700 http://dx.doi.org/10.1007/BF00654076 http://dx.doi.org/10.1007/BF00654076 http://dx.doi.org/10.1088/0031-8949/14/1-2/013 http://dx.doi.org/10.1007/BF00657170 http://dx.doi.org/10.1016/0038-1098(80)90949-7 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.23.5834 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.34.1352 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.41.7386 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.41.7386 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.40.7527 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.36.7701 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.35.3188 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик 38. G.L. Eesley, Phys. Rev. Lett. 51, 2140 (1983). 39. G.L. Eesley, Phys. Rev. B 33, 2144 (1986). 40. J.G. Fujimoto, J.M. Liu, E.P. Ippen, and N. Bloembergen, Phys. Rev. Lett. 53, 1837 (1984). 41. H.E. Elsayed-Ali, T.B. Norris, M.A. Pessot, and G.A. Mourou, Phys. Rev. Lett. 58, 1212 (1987). 42. R.W. Schoenlien, W.Z. Lin, J.G. Fujimoto, and G.L. Eesley, Phys. Rev. Lett. 58, 1680 (1987). 43. Е.М. Гершензон, М.Е. Гершензон, Г.Н. Гольцман, А.Д. Семенов, А.В. Сергеев, Письма в ЖЭТФ 36, 241 (1982). 44. Е.М. Гершензон, М.Е. Гершензон, Г.Н. Гольцман, А.Д. Семенов, А.В. Сергеев, ЖЭТФ 86, 758 (1984). 45. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Физическая кинетика, Наука, Москва (1979). 46. L.D. Landau, Phys. Zs. Sovjet. 10, 154 (1936); Л.Д. Ландау, ЖЭТФ 7, 203 (1937); Собрание трудов, Е.М. Лифшиц (ред.), Наука, Москва (1969), статья 23. 47. С.И. Анисимов, Я.А. Имас, Г.С. Романов, Ю.В. Ходыко, Действие излучения большой мощности на металлы, Наука, Москва (1970). 48. С.И. Анисимов, Б.Л. Капелиович, Т.Л. Перельман, ЖЭТФ 66, 776 (1974). 49. P.B. Allen, Phys. Rev. Lett. 59, 1460 (1987). 50. D.J. Scalapino, in: Superconductivity, R.D. Parks (ed.), Marcel Dekker, New York (1969), p. 449. 51. S.D. Brorson, A. Kazeroonian, J.S. Modera, D.W. Face, T.K. Cheng, E.P. Ippen, M.S. Dresselhaus, and G. Dresselhaus, Phys. Rev. Lett. 64, 2172 (1990). 52. S.V. Chekalin, V.M. Farztdinov, V.V. Golovlyov, V.M. Letokhov, Yu.E. Lozovik, Yu.A. Matveets, and A.G. Stepanov, Phys. Rev. Lett. 67, 3860 (1991). 53. B. Mansart, D. Boschetto, A. Savia, F. Rullier-Albenque, F. Bouquet, E. Papalazaron, A. Forget, D. Colson, A. Rousse, and M. Marsi, Phys. Rev. B 82, 024513 (2010). 54. R.H.M. Groeneveld, R. Sprik, and A. Lagendijk, Phys. Rev. B 45, 5079 (1992). 55. R.H.M. Groeneveld, R. Sprik, and A. Lagendijk, Phys. Rev. B 51, 11433 (1995). 56. Д. Пайнс, Ф. Нозьер, Теория квантовых жидкостей, Мир, Москва (1967). 57. M.E. Gershenson, D. Gong, T. Sato, B.S. Karasik, and A.V. Sergeev, Appl. Phys. Lett. 79, 2049 (2001). 58. B.S. Karasik, D. Olaya, J. Wei, S. Pereverzev, M.E. Gershenson, J.H. Kavamura, W.R. McGrath, and A.V. Sergeev, IEEE Transaction Appl. Supercond. 17, 293 (2007). 59. J. Wei, D. Olaya, B.S. Karasik, S.V. Pereverzev, A.V. Sergeev, and M.E. Gershenson, Nature Nanotechnol. 3, 496 (2008). 60. Е.М. Гершензон, Г.Н. Гольцман, А.И. Елантьев, Б.С. Карасик, С.Э. Потоскуев, ФНТ 14, 753 (1988) [Sov. J. Low Temp. Phys. 14, 414 (1988)]. 61. J.T. Karvonen, L.J. Taskinen, and I.J. Maasilta, Phys. Status Solidi (c) 1, 2799 (2004). 62. J.T. Karvonen, L.J. Taskinen, and I.J. Maasilta, J. Low Temp. Phys. 146, 213 (2007). 63. J.J. Lin and J.P. Bird, J. Phys.: Condens. Matter 14, R501 (2002). 64. A. Schmid, Z. Physik 259, 421 (1973). 65. A. Sergeev and V. Mitin, Phys. Rev. B 61, 6041 (2000). 66. S.B. Kaplan, J. Low Temp. Phys. 37, 343 (1980). 67. E.T. Swartz and R.O. Pohl, Rev. Mod. Phys. 61, 605 (1989). 68. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, ЖЭТФ 111, 2106 (1997). 69. A.V. Sergeev, A.D. Semenov, P. Kouminov, V. Trifonov, I.G. Gohgidze, B.S. Karasik, G.N. Gol'tsman, and E.M. Gershenzon, Phys. Rev. B 49, 9091 (1994). 70. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, ФНТ 39, 459 (2013) [Low Temp. Phys. 39, 357 (2013)]. 71. L.J. Taskinen, J.M. Kivioja, J.T. Karvonen, and I.J. Maasilta, Phys. Stat. Solidi C 1, 2856 (2004). 72. A.I. Bezuglyj and V.A. Shklovskij, Phys. Rev. B 89, 214303 (2014). 73. А.И. Безуглый, ФНТ 40, 692 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 537 (2014)]. 74. L. Lu, W. Yi, and D.L. Zhang, Rev. Sci. Instrum. 72, 2996 (2001). 75. C. Dames and G. Chen, Rev. Sci. Instrum. 76, 124902 (2005). 76. W.S. Fann, R. Storz, H.W.K. Tom, and J. Bokor, Phys. Rev. Lett. 68, 2834 (1992). 77. W.S. Fann, R. Storz, H.W.K. Tom, and J. Bokor, Phys. Rev. B 46, 13592 (1992). 78. K.H. Ahn, M.J. Graf, S.A. Trugman, J. Demsar, R.D. Averitt, J.L. Sarrao, and A.J. Taylor, Phys. Rev. B 69, 045114 (2004). 79. G. Tas and H.J. Maris, Phys. Rev. B 49, 15046 (1994). 80. V.E. Gusev and O.B. Wright, Phys. Rev. B 57, 2878 (1998). 81. E. Carpene, Phys. Rev. B 74, 024301 (2006). 82. V.V. Kabanov and A.S. Alexandrov, Phys. Rev. B 78, 174514 (2008). 83. C.-K. Sun, F. Vallee, L. Acioli, E.P. Ippen, and J.G. Fujimoto, Phys. Rev. B 50, 15337 (1994). 84. V.V. Baranov and V.V. Kabanov, Phys. Rev. B 89, 125102 (2014). 85. А. Вл. Гуревич, Р.Г. Минц, УФН 142, 61 (1984). 86. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, ФТТ 27, 2980 (1985). 87. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, ФНТ 12, 16 (1986) [Sov. J. Low Temp. Phys. 12, 9 (1986)]. 88. А.Г. Мержанов, Э.Н. Руманов, УФН 151, 553 (1987). 89. В.А. Шкловский, ДАН СССР 261, 1343 (1981); ЖЭТФ 82, 536 (1982). 90. В.А. Шкловский, Химическая физика 7, 271 (1988). 91. В.А. Шкловский, В.М. Кузьменко, УФН 157, 311 (1989). 92. В.А. Шкловский, Поверхность 6, 91 (1986). 93. А.А. Чернов, Современная кристаллография, Наука, Москва (1980), с. 84, 162. 94. С.А. Rodenberger and M.L. Sawyer, AIAA J. 10, 1151 (1972). 95. Я.Б. Зельдович, Г.И. Баренблатт, В.Б. Либрович, Г.М. Махвиладзе, Математическая теория горения и взрыва, Наука, Москва (1980), глава 4, с. 216. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 839 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.33.2144 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.59.1460 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.64.2172 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.67.3860 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.82.024513 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.45.5079 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.45.5079 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.51.11433 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.51.11433 http://dx.doi.org/10.1063/1.1407302 http://dx.doi.org/10.1038/nnano.2008.173 http://dx.doi.org/10.1002/pssc.200405326 http://dx.doi.org/10.1002/pssc.200405326 http://dx.doi.org/10.1007/s10909-006-9264-y http://dx.doi.org/10.1007/s10909-006-9264-y http://dx.doi.org/10.1088/0953-8984/14/18/201 http://dx.doi.org/10.1007/BF01397378 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.61.6041 http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.61.605 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.49.9091 http://dx.doi.org/10.1063/1.4801992 http://dx.doi.org/10.1002/pssc.200405307 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.89.214303 http://dx.doi.org/10.1063/1.4885062 http://dx.doi.org/10.1063/1.1378340 http://dx.doi.org/10.1063/1.2130718 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.2834 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.2834 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.46.13592 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.46.13592 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.69.045114 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.49.150 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.57.2878 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.74.024301 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.78.174514 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.50.15337 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.89.125102 http://dx.doi.org/10.2514/3.50341 А.И. Безуглый, В.А. Шкловский The role of the conduction electrons in the formation of a thermal boundary resistance of the metal-dielectric interface and resistivity of the metal films at low temperatures (Review Article) A.I. Bezuglyj and V.A. Shklovskij In a review in the framework of the theory of the acoustic mismatch between solids we discuss the role of the conduction electrons in the formation of an effective acoustic transparency of the interface be- tween narrow metal films and dielectric substrates with high thermal conductivity. We consider both sta- tionary and non-stationary regimes of the phonons ra- diation from metallic films heated by electric current or short laser pulses at low temperatures. We discuss- ed in detail how the energy relaxation of electrons by phonons eτ and the average exit time of the phonons from the film esτ can be found from the experiment. A theoretical analysis of these problems is carried out using the kinetic equations for the phonon and electron distribution functions. The stationary regimes of relax- ation and diffusion heat removal from the moving flat front phase transformation in the film geometry are considered. In most cases we discuss the connection between the theoretical results of the authors and the existing experimental situation. PACS: 66.70.–f Nonelectronic thermal conduction and heat-pulse propagation in solids; thermal waves; 72.15.Lh Relaxation times and mean free paths; 73.50.–h Electronic transport phenomena in thin films; 64.70.K– Solid-solid transitions. Keywords: metal films, non-stationary heating, elec- tron-phonon kinetics. 840 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 1. Введение 2. Стационарный нагрев электронов при низких температурах 2.1. Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик 2.2. Фононная спектрометрия горячих электронов в металлических пленках 2.3. Об энергетической релаксации электронов на фононах в тонких металлических пленках 3. Нестационарный нагрев электронов 3.1. Двухтемпературная модель. Высокие температуры 3.2. Горячие электроны и неравновесные фононы при низких температурах 3.2.3. Динамика фононного вклада в электропроводность пленки 3.2.4. 3-отклик металлической пленки 3.3. Релаксация нетермализованных электронов и фононов 4. Движущийся плоский фронт фазового превращения: стационарные режимы релаксационного и диффузионного теплоотводов 4.1. Вводные соображения 4.2. Поверхностная тепловая автоволна: анализ температурного поля и скорости теплоотвода от ФФП 4.3. Сравнение релаксационного и диффузионного теплоотводов 4.4. Заключительные соображения 5. Заключение Литература
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129277
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0132-6414
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:31:01Z
publishDate	2016
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
record_format	dspace
spelling	Безуглый, А.И. Шкловский, В.А. 2018-01-18T17:08:48Z 2018-01-18T17:08:48Z 2016 Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор) / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 8. — С. 809-840. — Бібліогр.: 95 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 66.70.–f, 72.15.Lh, 73.50.–h, 64.70.K– https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129277 В обзоре в рамках теории акустического рассогласования между твердыми телами обсуждается роль электронов проводимости в формировании эффективной акустической прозрачности интерфейса между узкими металлическими пленками и диэлектрическими подложками с высокой теплопроводностью. Рассмотрены как стационарные, так и различные нестационарные режимы излучения фононов из нагреваемых током или короткими лазерными импульсами металлических пленок при низких температурах. Подробно обсуждается, как время энергетической релаксации электронов на фононах eτ и среднее время ухода фононов из пленки es τ могут быть найдены из эксперимента. Теоретическое рассмотрение этих задач проводится с использованием кинетических уравнений для фононной и электронной функций распределения. Рассмотрены стационарные режимы релаксационного и диффузионного теплоотводов от движущегося плоского фронта фазового превращения в пленочной геометрии. В большинстве случаев обсуждается связь между теоретическими результатами авторов обзора и существующей экспериментальной ситуацией. В огляді в рамках теорії акустичного неузгодженості між твердими тілами обговорюється роль електронів провідності в формуванні ефективної акустичної прозорості інтерфейсу між вузькими металевими плівками і діелектричними підкладками з високою теплопровідністю. Розглянуто як стаціонарні, так і різні нестаціонарні режими випромінювання фононів з металевих плівок, що нагріваються струмом або короткими лазерними імпульсами при низьких температурах. Детально обговорюється, як час енергетичної релаксації електронів на фононах eτ та середній час виходу фононів з плівки es τ можуть бути знайдені з експерименту. Теоретичний розгляд цих завдань проводиться з використанням кінетичних рівнянь для фононної та електронної функцій розподілу. Розглянуто стаціонарні режими релаксацїйного і дифузійного тепловідводів від рухомого плоского фронту фазового перетворення в плівковій геометрії. У більшості випадків обговорюється зв'язок між теоретичними результатами авторів огляду та існуючою експериментальною ситуацією. This review article is a discussion of the role played by conduction electrons in the formation of an effective acoustic transparency at the interface between narrow metal films and dielectric substrates with high thermal conductivity, within the framework of the acoustic mismatch between solids. We consider both steady and transient regimes of phonon radiation from metal films heated by electric current or short laser pulses, at low temperatures. We discuss in detail how the electron-phonon energy relaxation τ e and the average exit time of the phonons from the films τ es can be found using the experiment. A theoretical analysis of these problems is carried out using kinetic equations for the phonon and electron distribution functions. We examine the steady modes of relaxation and diffusion heat removal from the moving plane phase transition front in the film geometry. In most cases, we discuss the relationship between the theoretical results of the review authors and the existing experimental situation. Отдельные результаты теоретических работ, представленных в обзоре, в свое время обсуждались В.А. Шкловским с А.Ф. Андреевым, Ю.М. Гальпериным, Г.Н. Гольцманом, Р.Н. Гуржи, И.М. Дмитренко, Я.Б. Зельдовичем, М.И. Кагановым, И.М. Лифшицем, А.М. Косевичем, М.Н. Кунчуром; авторы обзора весьма признательны за проявленные при этом внимание и интерес к работе. В.А. Шкловский благодарен за поддержку исследовательской и инновационной программе Марии Склодовской-Кюри (грант 644348 (MagIC)) в рамках ЕС Горизонт 2020. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор) The role of conduction electrons in the formation of thermal boundary resistance of the metal-dielectric interface and resistivity of metal films, at low temperatures (Review Article) Article published earlier
spellingShingle	Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор) Безуглый, А.И. Шкловский, В.А. К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы
title	Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор)
title_alt	The role of conduction electrons in the formation of thermal boundary resistance of the metal-dielectric interface and resistivity of metal films, at low temperatures (Review Article)
title_full	Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор)
title_fullStr	Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор)
title_full_unstemmed	Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор)
title_short	Роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (Обзор)
title_sort	роль электронов проводимости в формировании теплового сопротивления границы металл–диэлектрик и электросопротивление металлических пленок при низких температурах (обзор)
topic	К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы
topic_facet	К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129277
work_keys_str_mv	AT bezuglyiai rolʹélektronovprovodimostivformirovaniiteplovogosoprotivleniâgranicymetalldiélektrikiélektrosoprotivleniemetalličeskihplenokprinizkihtemperaturahobzor AT šklovskiiva rolʹélektronovprovodimostivformirovaniiteplovogosoprotivleniâgranicymetalldiélektrikiélektrosoprotivleniemetalličeskihplenokprinizkihtemperaturahobzor AT bezuglyiai theroleofconductionelectronsintheformationofthermalboundaryresistanceofthemetaldielectricinterfaceandresistivityofmetalfilmsatlowtemperaturesreviewarticle AT šklovskiiva theroleofconductionelectronsintheformationofthermalboundaryresistanceofthemetaldielectricinterfaceandresistivityofmetalfilmsatlowtemperaturesreviewarticle

Institution

Similar Items