Локализованные колебания углеродных нанолент
Рассмотрены колебания углеродных нанолент. Показано, что в нерастянутой углеродной наноленте локализация колебаний (образование бризеров) может происходить только на ее краях. Наибольшее число локализованных краевых колебаний следует ожидать у наноленты со структурой «кресло». Растяжение наноленты...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129281 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Локализованные колебания углеродных нанолент / А.В. Савин, Ю.С. Кившарь // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 8. — С. 892-901. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129281 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Савин, А.В. Кившарь, Ю.С. 2018-01-18T17:21:54Z 2018-01-18T17:21:54Z 2016 Локализованные колебания углеродных нанолент / А.В. Савин, Ю.С. Кившарь // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 8. — С. 892-901. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 61.46.–w, 63.20.Pw, 63.20.Ry https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129281 Рассмотрены колебания углеродных нанолент. Показано, что в нерастянутой углеродной наноленте локализация колебаний (образование бризеров) может происходить только на ее краях. Наибольшее число локализованных краевых колебаний следует ожидать у наноленты со структурой «кресло». Растяжение наноленты может приводить к появлению новых типов сильно локализованных колебаний. При растяжении в частотном спектре наноленты образуется щель, в которой лежат частоты этих колебаний. У наноленты со структурой «кресло» колебания могут локализоваться только на ее краях, а у наноленты со структурой «зигзаг» при ее сильном растяжении локализация колебаний может происходить не только у края, но и внутри ленты. Розглянуто коливання вуглецевих нанострічок. Показано, що в нерозтягнутій вуглецевій нанострічці локалізація коливань (утворення бризерів) може відбуватися тільки на її краях. Найбільше число крайових коливань, які локалізовані, слід чекати у нанострічці із структурою «крісло». Розтягування нанострічки може призводити до появи нових типів сильно локалізованих коливань. При розтягуванні в частотному спектрі нанострічки утворюється щілина, в якій лежать частоти цих коливань. У нанострічці із структурою «крісло» коливання можуть локалізуватися тільки на її краях, а у нанострічці із структурою «зигзаг» при її сильному розтягуванні локалізація коливань може відбуватися не лише на краю, але і усередині ленти. Vibrational modes of graphene nanoribbons are studied. It is demonstrated that in an unstretched graphene nanoribbon, localized vibrations (in the form of breathers) can occur only at the edges. The largest number of localized edge oscillations is expected for the nanoribbons with the armchair structure. Stretching of a nanoribbon can lead to the appearance of new types of strongly localized oscillations. When a nanoribbon is stretched, in its oscillatory spectrum a frequency gap appears in which the frequencies of the localized modes are located. An armchair nanoribbon can support localized modes only at its edges, while a highly stretched zigzag nanoribbon can support them both at the edges and inside the nanoribbon. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы Локализованные колебания углеродных нанолент Localized vibrations of graphene nanoribbons Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Локализованные колебания углеродных нанолент |
| spellingShingle |
Локализованные колебания углеродных нанолент Савин, А.В. Кившарь, Ю.С. К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы |
| title_short |
Локализованные колебания углеродных нанолент |
| title_full |
Локализованные колебания углеродных нанолент |
| title_fullStr |
Локализованные колебания углеродных нанолент |
| title_full_unstemmed |
Локализованные колебания углеродных нанолент |
| title_sort |
локализованные колебания углеродных нанолент |
| author |
Савин, А.В. Кившарь, Ю.С. |
| author_facet |
Савин, А.В. Кившарь, Ю.С. |
| topic |
К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы |
| topic_facet |
К 75-летию открытия теплового сопротивления Капицы |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Localized vibrations of graphene nanoribbons |
| description |
Рассмотрены колебания углеродных нанолент. Показано, что в нерастянутой углеродной наноленте
локализация колебаний (образование бризеров) может происходить только на ее краях. Наибольшее число локализованных краевых колебаний следует ожидать у наноленты со структурой «кресло». Растяжение наноленты может приводить к появлению новых типов сильно локализованных колебаний. При растяжении в частотном спектре наноленты образуется щель, в которой лежат частоты этих колебаний. У
наноленты со структурой «кресло» колебания могут локализоваться только на ее краях, а у наноленты со
структурой «зигзаг» при ее сильном растяжении локализация колебаний может происходить не только у
края, но и внутри ленты.
Розглянуто коливання вуглецевих нанострічок. Показано, що в нерозтягнутій вуглецевій нанострічці
локалізація коливань (утворення бризерів) може відбуватися тільки на її краях. Найбільше число крайових коливань, які локалізовані, слід чекати у нанострічці із структурою «крісло». Розтягування
нанострічки може призводити до появи нових типів сильно локалізованих коливань. При розтягуванні в
частотному спектрі нанострічки утворюється щілина, в якій лежать частоти цих коливань. У нанострічці
із структурою «крісло» коливання можуть локалізуватися тільки на її краях, а у нанострічці із структурою «зигзаг» при її сильному розтягуванні локалізація коливань може відбуватися не лише на краю, але і
усередині ленти.
Vibrational modes of graphene nanoribbons are studied. It is demonstrated that in an unstretched graphene nanoribbon, localized vibrations (in the form of breathers) can occur only at the edges. The largest number of localized edge oscillations is expected for the nanoribbons with the armchair structure. Stretching of a nanoribbon can lead to the appearance of new types of strongly localized oscillations. When a nanoribbon is stretched, in its oscillatory spectrum a frequency gap appears in which the frequencies of the localized modes are located. An armchair nanoribbon can support localized modes only at its edges, while a highly stretched zigzag nanoribbon can support them both at the edges and inside the nanoribbon.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129281 |
| citation_txt |
Локализованные колебания углеродных нанолент / А.В. Савин, Ю.С. Кившарь // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 8. — С. 892-901. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT savinav lokalizovannyekolebaniâuglerodnyhnanolent AT kivšarʹûs lokalizovannyekolebaniâuglerodnyhnanolent AT savinav localizedvibrationsofgraphenenanoribbons AT kivšarʹûs localizedvibrationsofgraphenenanoribbons |
| first_indexed |
2025-11-26T21:28:50Z |
| last_indexed |
2025-11-26T21:28:50Z |
| _version_ |
1850776783590260736 |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8, c. 892–901
Локализованные колебания углеродных нанолент
А.В. Савин
Институт химической физики им. Н.Н. Семенова РАН, ул. Косыгина, 4, г. Москва, 119991, Россия
E-mail: asavin@center.chph.ras.ru
Ю.С. Кившарь
Nonlinear Physics Centre, Research School of Physics and Engineering, Australian National University
Canberra ACT 0200, Australia
E-mail: yks124@physics.anu.edu.au
Статья поступила в редакцию 31 марта 2016 г., опубликована онлайн 24 июня 2016 г.
Рассмотрены колебания углеродных нанолент. Показано, что в нерастянутой углеродной наноленте
локализация колебаний (образование бризеров) может происходить только на ее краях. Наибольшее чис-
ло локализованных краевых колебаний следует ожидать у наноленты со структурой «кресло». Растяже-
ние наноленты может приводить к появлению новых типов сильно локализованных колебаний. При рас-
тяжении в частотном спектре наноленты образуется щель, в которой лежат частоты этих колебаний. У
наноленты со структурой «кресло» колебания могут локализоваться только на ее краях, а у наноленты со
структурой «зигзаг» при ее сильном растяжении локализация колебаний может происходить не только у
края, но и внутри ленты.
Розглянуто коливання вуглецевих нанострічок. Показано, що в нерозтягнутій вуглецевій нанострічці
локалізація коливань (утворення бризерів) може відбуватися тільки на її краях. Найбільше число крайо-
вих коливань, які локалізовані, слід чекати у нанострічці із структурою «крісло». Розтягування
нанострічки може призводити до появи нових типів сильно локалізованих коливань. При розтягуванні в
частотному спектрі нанострічки утворюється щілина, в якій лежать частоти цих коливань. У нанострічці
із структурою «крісло» коливання можуть локалізуватися тільки на її краях, а у нанострічці із структу-
рою «зигзаг» при її сильному розтягуванні локалізація коливань може відбуватися не лише на краю, але і
усередині ленти.
PACS: 61.46.–w Структура наноматериалов;
63.20.Pw Локализованные моды;
63.20.Ry Ангармонические моды решетки.
Ключевые слова: углеродные наноленты, краевые моды, локализованные нелинейные колебания.
1. Введение
Графен, являясь наноразмерным полиморфом угле-
рода, привлекает повышенное внимание специалистов
своими уникальными физическими свойствами, кото-
рые могут быть использованы в электронике [1,2], оп-
тике [2], спинтронике [3], в области транспортировки и
хранения водорода [4], в композитных материалах [5]
и во многих других отраслях. Замечательные свойства
графена делают его одним из ключевых объектов при
создании наноматериалов [6].
Ленты графена, подобно углеродным нанотрубкам,
являются низкоразмерными наноструктурами. Они от-
личаются от нанотрубок наличием краев, поэтому могут
демонстрировать много новых свойств, зависящих от их
ширины и структуры. Так, изучение электромагнитных
свойств нанолент показало существование в них крае-
вых мод [7], являющихся аналогами поверхностных
состояний в двухмерной структуре.
Поверхностные состояния являются модами, про-
странственно локализованными на поверхности мате-
риала. Эти состояния изучены во многих областях фи-
зики, включая электроны в кристаллах [9,10], поверх-
ностные фононы [8] и поляроны [11], оптические
поверхностные моды в волноводах [12,13]. В этой ра-
боте будут проанализированы свойства фононных мод,
© А.В. Савин, Ю.С. Кившарь, 2016
Локализованные колебания углеродных нанолент
локализованных на краях нанолент графена — свойст-
ва краевых фононных мод в двухмерной структуре.
Фононные краевые моды могут быть рассмотрены как
аналоги хорошо известных в электронной теории кри-
сталлов состояний Тамма [14].
Краевые фононные моды локализуются только в
одном направлении, перпендикулярном краю нанолен-
ты. Однако ангармонизм колебаний может приводить к
локализации энергии и вдоль края наноленты, т.е. к
существованию краевых солитонов, способных дви-
гаться вдоль края наноленты [15].
Физические и механические свойства графена за-
метно меняются при наличии деформаций [16–19].
Так, одноосное растяжение графена приводит к появ-
лению в частотном спектре колебаний щели, а растя-
жение вдоль направления «зигзаг» может приводить к
появлению сильно локализованных колебаний внут-
ренних валентных связей (дискретных бризеров) с час-
тотами, расположенными в щели спектра [20]. Растя-
жение наноленты со структурой «кресло» может
приводить только к образованию краевых дискретных
бризеров [21].
2. Модель углеродной наноленты
Рассмотрим прямоугольную полосу, вырезанную из
плоского листа графена вдоль направления «кресло»
[рис. 1(a)] и направления «зигзаг» [рис. 1(б)]. Структура
наноленты может быть получена путем продольного
повторения поперечной элементарной ячейки, состоя-
щей из K атомов (см. рис. 1). Будем использовать пока-
занную на рисунке нумерацию атомов углерода — каж-
дый атом нумеруется двухкомпонентным индексом
= ( , ),n kα где = 0, 1, 2,...n ± ± задает номер элементар-
ной ячейки, а = 1,2,...,k K — номер атома в элементар-
ной ячейке.
Элементарная ячейка наноленты со структурой
«кресло» имеет четыре краевых атома, а нанолента со
структурой «зигзаг» — два краевых атома. На рис. 1
краевые атомы показаны темными шариками. В реаль-
ности краевые атомы всегда химически модифициро-
ваны. Для простоты будем считать, что к ним присое-
динен атом водорода, т.е. краевые атомы являются
гидрогенной группой CH. Мы не будем учитывать
специфические химические свойства краевых атомов,
но учтем только эффективное изменение их массы —
внутренние атомы углерода имеют массу 0 = 12 ,pM m
а краевые — массу 1 = 13 ,pM m где масса протона
27= 1,6601 10pm −⋅ кг.
Гамильтониан наноленты имеет вид
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
= =1
1= ( , ) ,
2
K
n k n k n k n k
n k
H M P
+∞
−∞
+
∑ ∑ u u (1)
где Mα — масса атома с индексом = ( , )n kα (для
внутренних атомов 0= ,M Mα для краевых 1= ,M Mα
= ( ( ), ( ), ( ))x t y t z tα α α αu — вектор, задающий положе-
ние атома с индексом α в момент времени t. Слагае-
мое Pα описывает взаимодействие атома с индексом
α с его соседними атомами. Этот потенциал зависит
от изменения длины валентных связей, углов и изме-
нения двугранных углов между плоскостями, форми-
руемыми тремя соседними атомами. Потенциал
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
= ,P U U U U U
Ω Ω Ω Ω Ω
+ + + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (2)
где iΩ , индекс = 1, 2, 3, 4, 5i , задает набор всех воз-
можных взаимодействий с соседними атомами (см.
рис. 1).
Потенциал 1( , )U α βu u описывает энергию измене-
ния валентной связи между атомами α и β . Потенци-
ал 2 ( , , )U α β γu u u — энергию деформации угла между
валентными связями α βu u и .β γu u Потенциалы
Fig. 1. Схематический вид углеродной наноленты структуры
«кресло» (a) и структуры «зигзаг» (б). Индекс n нумерует
элементарные ячейки наноленты, индекс k — атомы в ячейке
(K — число атомов в элементарной ячейке). Точечные линии
показывают границы ячеек.
Fig. 2. Расположения атомов наноленты, соответствующие
i-му типу взаимодействия соседних атомов: i = 1, валентная
связь (а); i = 2, валентный угол (б); двугранные углы i = 3 (в),
i = 4 (г) и i = 5 (д).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 893
А.В. Савин, Ю.С. Кившарь
( , , , ),iU α β γ δu u u u = 3, 4, 5i , — энергию изменения
двугранных углов между плоскостями , ,α β γu u u и
, , .β γ δu u u
Мы используем следующий набор потенциалов
взаимодействия: потенциал валентной связи
2
1 1 2 1 0 0 2 1( , ) = {exp[ ( )] 1} , = | |,U ε −α ρ − ρ − ρ −u u u u
(3)
где энергия валентной связи 1 = 4,9632ε эВ, равновес-
ная длина связи 0 = 1,418ρ Å; потенциал валентного
угла
2
2 1 2 3 2 0( , , ) = (cos cos ) ,U ε ϕ − ϕu u u (4)
где 3 2 1 2 3 2 2 1cos = ( , )/(| | | |),ϕ − − − ⋅ −u u u u u u u u а рав-
новесное значение валентного угла 0 = 2 /3;ϕ π потен-
циал торсионного угла
1 2 3 4( , , , ) = (1 cos ),i i iU zε − ϕu u u u (5)
где 1 2 1 2cos = ( , )/(| | | |),ϕ ⋅v v v v вектора 1 2 1= ( )− ×v u u
3 2( ),× −u u 2 3 2 3 4= ( ) ( )− × −v u u u u , знак = 1iz для
= 3, 4i (равновесное значение торсионного угла ϕ = 0
и = 1iz − для индекса = 5i (угол 0 = ).ϕ π
Значения параметров потенциалов взаимодействия
1
0 = 1,7889 Å эВ,−α 2 = 1,3143 эВε и 3 = 0,499 эВε
можно найти из частотного спектра малоамплитудных
колебаний плоского листа графита [22]. Согласно ра-
боте [23], энергия 4ε близка к энергии 3,ε а энергия
5 4ε ε 5 4| / | < 1/20).ε ε Поэтому возьмем 4 3= ,ε ε а
5 = 0ε [т.е. последний член в сумме (2) может быть
опущен].
3. Дисперсионное уравнение
В равновесном состоянии ,0
( , ) = , =1{ } K
n k n k
+∞
−∞u все ато-
мы углерода лежат в плоскости наноленты, все валент-
ные связи имеют равновесную длину 0=ρ ρ и все уг-
лы между связями равны 0 = 2 /3.ϕ π Нанолента со
структурой «кресло» имеет продольный шаг 0= 3 ,xh ρ
ширину 0= 3( /2 1) /2.yD K − ρ Нанолента со структу-
рой «зигзаг» имеет продольный шаг 0= 3 ,xh ρ шири-
ну 0= (3 4)/4.yD Kρ −
Введем 3K-мерный вектор
0 0
( ,1) ( ,1) ( , ) ( , )= ( ,..., ),n n n n K n K− −u u u ux
описывающий смещения атомов n-ой ячейки из своих
положений равновесия. Тогда гамильтониан нанолен-
ты (1) можно записать в следующей форме:
1 1= [( , )/2 ( , , )],n n n n n
n
− ++∑ Mx x x x x (6)
где M — диагональная матрица масс атомов элемен-
тарной ячейки.
Гамильтониану (6) соответствует система уравне-
ний движения
1 2 1 11 2
= ( , , ) ( , , )n n n n n n n+ + − +− + +x xMx x x x x x x
2 13
( , , ).n n n− −+ x x x x (7)
Для малых смещений систему (7) можно записать в
виде системы линейных уравнений
* *
1 2 1 2 1 3 2 3 2= ,n n n n n n+ − + −− + + + +Mx B x B x B x B x B x
(8)
где матрицы 1 1 1 2 2 3 3
= ,+ +x x x x x xB 2 1 2 2 3
= ,+x x x xB
3 1 3
= ,x xB а матрицы частных производных
2
= (0, 0, 0), , = 1, 2, 3.
i j i j
i j∂
∂x x x x
Решение системы линейных уравнений (8) можно
записать в стандартной форме:
= exp ( ),n iqn i t− ωx Av (9)
где ω — частота фонона с безразмерным волновым
числом [0, ].q ∈ π Подставив выражение (9) в систему
(8), мы получим задачу на собственное значение:
2 * 2 * 2
1 2 2 3 3= [ e e e e ] .iq iq iq iq− −ω + + + +Mv B B B B B v (10)
Используя замену 1/2= ,−v M e задачу (10) можно пе-
реписать в форме
2 1/2 * 2 * 3 1/2
1 2 2 3 3= [ e e e e ] ,iq iq iq iq− − − −ω + + + +e M B B B B B M e
(11)
где e — нормированный собственный вектор, (e, e) = 1.
Таким образом, для нахождения дисперсионных
кривых ( )qω мы должны при каждом фиксированном
значении волнового числа 0 q≤ ≤ π найти все собст-
венные векторы эрмитовой матрицы (11) размера
3 3 .K K× В результате мы получим 3K ветвей
3
=1{ ( )} K
j jqω дисперсионной кривой, 2K ветвей будут
соответствовать колебаниям атомов в плоскости нано-
ленты (плоскостные фононы), а K ветвей — колеба-
ниям атомов, ортогональным к плоскости наноленты
(внеплоскостные фононы).
Как видно на рис. 3 и 4, частотный спектр малоам-
плитудных плоскостных колебаний углеродной нано-
ленты образует интервал [0, ],mω максимальная частота
которого ωm = 1600 см–1 практически не зависит от
структуры наноленты. Это значение хорошо согласуется
с экспериментальными данными для плоского графита
[24,25]. Частотный спектр внеплоскостных колебаний
образует интервал o[0, ],ω максимальная частота кото-
рого слабо зависит от типа наноленты. Для наноленты
со структурой «кресло» частота ωo = 900 см–1, а для
наноленты со структурой «зигзаг» ωo = 904 см–1.
894 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8
Локализованные колебания углеродных нанолент
4. Краевые моды
Решение задачи на собственные значения (11) пока-
зывает, что в наноленте могут существовать колеба-
тельные моды, локализованные на ее краях (краевые
фононы). Для нахождения таких мод необходимо рас-
смотреть достаточно широкие наноленты. Поэтому
возьмем число атомов в элементарной ячейке нанолен-
ты K = 120.
Пусть 3
=1= { } K
i iee — собственный вектор, являющий-
ся решением задачи (11), тогда данному колебанию бу-
дет соответствовать распределение энергии внутри эле-
ментарной ячейки 2 2
3( 1) 1 3( 1) 2=| | | |k k kp e e− + − ++ +
2
3( 1) 3| | ,ke − ++ где = 1,...,k K — номер атома в элемен-
тарной ячейке. Распределение энергии нормализовано
условием
=1
= ( , ) = 1.
K
k
k
p∑ e e
Введем параметр, характеризующий локализацию
энергии колебания в элементарной ячейке наноленты
2
=1
= 1/ .
K
k
k
d p∑ Этот параметр задает поперечную шири-
ну распределения энергии колебания в наноленте. Ес-
ли энергия колебания сосредоточена только на одном
атоме элементарной ячейки, то параметр d = 1, если же
равномерно на всех атомах, то d = K. В общем случае
1 < < .d K
Для определенности будем считать колебательную
моду локализованной, если ее параметр локализации
< 20.d Численный анализ всех собственных векторов
задачи (11) показал, что у наноленты, находящейся в
основном состоянии, локализация гармонической мо-
ды может происходить только у края наноленты, т.е.
все локализованные моды всегда оказываются краевы-
ми модами наноленты.
Как видно на рис. 3 и 4, краевые моды существуют
как у наноленты со структурой «кресло», так и у нано-
ленты со структурой «зигзаг». Локализоваться на краю
наноленты могут как плоскостные, так и внеплоскост-
ные колебания. Типичный вид краевых колебаний по-
казан на рис. 5 и 6. Более детальное описание краевых
мод дано в работе [14].
5. Продольная локализация краевых мод
Описанные выше краевые колебания всегда остаются
локализованными на краю полосы, фактически они яв-
ляются квазиодномерными возбуждениями наноленты.
Fig. 3. (Онлайн в цвете) Дисперсионные кривые углеродной
наноленты со структурой «кресло» с K = 120 атомами в эле-
ментарной ячейке. Структура 2K дисперсионных кривых,
соответствующих плоскостным колебаниям (а), структура K
дисперсионных кривых, соответствующих внеплоскостным
колебаниям атомов (б). Черные (толстые) кривые соответст-
вуют краевым колебаниям наноленты.
Fig. 4. (Онлайн в цвете) Дисперсионные кривые углеродной
наноленты со структурой «зигзаг» с K = 120 атомами в эле-
ментарной ячейке. Структурa 2K дисперсионных кривых,
соответствующих плоскостным колебаниям (а), структура K
дисперсионных кривых, соответствующих внеплоскостным
колебаниям атомов (б). Черные (толстые) кривые соответст-
вуют краевым колебаниям наноленты. Зеленый (серый) пря-
моугольник в (б) показывает участок дисперсионной кривой,
где возможно существование пространственно локализован-
ных нелинейных краевых мод (бризеров).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 895
А.В. Савин, Ю.С. Кившарь
Поэтому можно ожидать, что нелинейность этих коле-
баний может приводить к их продольной локализации с
образованием солитонов огибающих (бризеров).
Для проверки существования краевых бризеров рас-
смотрим наноленту фиксированной длины = 600N с
периодическими граничными условиями по n. Для на-
хождения пространственно локализованных состояний
мы численно проинтегрируем систему уравнений дви-
жения (7) (индекс 1 )n N≤ ≤ с начальным условием,
соответствующим продольно локализованной краевой
моде наноленты
( ) = exp( ),n nt A iqn i t− ωx e (12)
где = sech { [( /2) 1/2]},nA A n Nµ − + амплитуда > 0A ,
параметр > 0µ характеризует обратную ширину на-
чального возбуждения. Комплексный 3K-мерный век-
тор = r ii+e e e является решением задачи (11), соот-
ветствующим краевой моде с волновым числом
[0, ]q ∈ π и частотой ω .
Для системы уравнений движения (7) анзацу (12)
соответствуют начальные условия:
(0) = [ cos( ) sin( )],n n r iA qn qn−x e e
(0) = [ sin( ) cos( )],n n r iA qn qnω +x e e (13)
где = /2 1/2.n n N− −
Частота бризера должна отделяться от частоты со-
ответствующего краевого фонона. Поэтому в началь-
ном условии (12) нужно брать частоту ( ),qω соответ-
ствующую частоте краевой моды при данном значении
безразмерного волнового числа q.
Меняя значения начальной амплитуды A, обратной
ширины µ и анализируя динамику системы уравнений
(7) с начальным условием (13), можем либо найти про-
странственно локализованные состояния краевых мод,
либо сделать вывод о невозможности их существования.
Так, для наноленты со структурой «кресло» локализо-
ванное начальное состояние плоскостного краевого
колебания с волновым числом q = π, частотой ω =
= 268 см–1, обратной шириной = 0,5µ при амплитуде
Fig. 5. Краевые моды углеродной наноленты со структурой
«кресло»: (а) внеплоскостная мода, частота ω = 102 см–1, вол-
новое число q = π; (б) плоскостная мода, ω = 236 см–1, q = π.
Показаны смещения атомов на половине периода колебания.
Fig. 6. Краевые моды углеродной наноленты со структурой
«зигзаг»: (a) внеплоскостная мода, частота ω = 261 см–1, вол-
новое число q = π; (б) плоскостная мода, ω = 393 см–1, q = π.
Показаны смещения атомов на половине периода колебания.
896 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8
Локализованные колебания углеродных нанолент
A = 0,004 Å расплывается вдоль края ленты, при A =
0,008 Å приводит к образованию бризера, имеющего
частоту 267 см–1, а при A = 0,016 Å — к образованию
двух взаимодействующих бризеров (см. рис. 7).
Численное моделирование динамики показало, что
для наноленты со структурой «кресло» возможно пять
типов локализованных нелинейных колебаний. На рис. 8
выделены участки дисперсионных кривых краевых ко-
лебаний, где могут существовать бризеры. При =q π
имеется два типа стационарного бризера с частотами ω =
= 102 см–1 (внеплоскостное колебание) и ω = 268 см–1
(плоскостное колебание). Соответствующие им распре-
деления энергии колебаний в наноленте показаны на
рис. 9. Как видно на рисунке, здесь краевые колебания
локализованы не только поперек наноленты, но и вдоль
нее. Продольный диаметр локализованного колебания
примерно на два порядка превосходит поперечный диа-
метр. Частота внеплоскостного локализованного колеба-
ния на 1 см–1 выше, а частота плоскостного локализо-
ванного колебания на 1 см–1 ниже частоты соответ-
ствующей линейной краевой моды.
Fig. 7. Динамика локализованного состояния плоскостного
краевого колебания наноленты со структурой «кресло» (вол-
новое число q = π, частота ω = 268 см–1, обратная ширина
µ = 0,05) при начальной амплитуде A = 0,004 Å (a), 0,008 Å
(б), 0,016 Å (в). Показана зависимость от времени t распреде-
ления энергии колебания En в двух первых граничных слоях
атомов наноленты (k = 1, 2, 3, 4).
Fig. 8. (Онлайн в цвете) Дисперсионные кривые углеродной
наноленты со структурой «кресло» с K = 120 атомами в эле-
ментарной ячейке. Структура дисперсионных кривых, соот-
ветствующих плоскостным колебаниям (a), Структура дис-
персионных кривых, соответствующих внеплоскостным
колебаниям атомов (б). Черные (толстые) кривые соответст-
вуют краевым колебаниям наноленты. Зеленые (серые) пря-
моугольники показывают части дисперсионных кривых
краевых мод, где возможно существование пространственно
локализованных нелинейных мод (бризеров).
Fig. 9. Распределение в наноленте со структурой «кресло» ки-
нетической энергии E внеплоскостного (a) и плоскостного (б)
краевого бризера (волновое число q = π, частоты ω = 103 см–1 и
ω = 267 см–1). Здесь x — расстояние от левого конца нанолен-
ты, y — расстояние от края наноленты.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 897
А.В. Савин, Ю.С. Кившарь
Остальные три типа локализованных колебаний реа-
лизуются при волновом числе 0 < <q π и поэтому всег-
да являются двигающимися пространственно локализо-
ванными состояниями краевых колебаний наноленты.
Динамика таких бризеров показана на рис. 10. Первый
тип существует в окрестности точки (q = 0,4π, ω =
= 210 см–1), второй — в окрестности точки (q = 0,65π,
ω = 63 см–1). Оба типа описывают локализованные вне-
плоскостные колебания краевых атомов наноленты.
Третий тип существует в окрестности точки (q = 0,9π,
ω = 226 см–1) и соответствует плоскостному колебанию
краевых атомов наноленты.
В наноленте со структурой «зигзаг» возможен только
один тип локализованного нелинейного колебания —
внеплоскостные краевые колебания в окрестности точки
(q = 0,6π, ω = 157 см–1) (см. рис. 4).
Как видно на рис. 10, пространственно локализо-
ванные колебания двигаются вдоль наноленты с по-
стоянной скоростью, сохраняя свою форму. Их столк-
новения происходят упруго, без излучения фононов и
изменения скорости движения. Таким образом, эти
пространственно локализованные состояния краевых
колебаний обладают свойствами солитона — двигают-
ся с постоянной скоростью, сохраняют свою форму и
взаимодействуют друг с другом как упругие частицы.
6. Появление локализованных колебаний при
растяжении наноленты
Для нахождения основного состояния наноленты
при ее продольном удлинении 1xε ≥ нужно численно
решить задачу на минимум
1 2 3( ) = ( , , ) min,E →v v v v (14)
где 3K-мерный вектор =1= ( )K
k kv u задает положение
атомов углерода в элементарной ячейке равномерно
растянутой наноленты, имеющей продольный шаг
0= xh hε 0(h — продольный шаг нерастянутой нано-
ленты). Функция 1 1( , , )n n n− +v v v задает энергию
взаимодействия атомов n-ой элементарной ячейки с
атомами соседних ячеек. Вектора
1 =1 2 =1 1 =1= ( ) , = ( ) , = ( ) ,K K K
k x k k k k x khe h− +v u v u v u e
где xe — единичный вектор, направленный вдоль на-
ноленты (вдоль оси x).
Решение задачи (14) показывает, что нанолента со
структурой «кресло» сохраняет устойчивость при ее
равномерном удлинении 1,29,xε ≤ а со структурой
«зигзаг» — при 1,41.xε ≤
Растяжение наноленты всегда приводит к уменьше-
нию максимальной частоты плоскостных колебаний
mω и увеличению максимальной частоты внеплоско-
стных колебаний 0ω (см. рис. 3 и 11, 4 и 12).
При > 1xε растяжение наноленты со структурой
«кресло» приводит к появлению щели в частотном
спектре плоскостных колебаний (см. рис. 11(a)). В этой
щели лежит изолированная дисперсионная кривая
= ( ),e qω ω описывающая новый тип краевой моды
наноленты (при = 1xε такой моды нет). Нелинейность
этого колебания может приводить к его продольной
локализации, т.е. к образованию из моды краевого бри-
зера. Так, при удлинении = 1,2xε краевые бризеры
могут образовываться при волновом числе моды
> 0,4 .q π При <q π бризер будет двигаться вдоль
края наноленты как уединенная волна, сохраняя свою
Fig. 10. Динамика локализованного краевого колебания на-
ноленты со структурой «кресло»: внеплоскостное колебание,
q = 0,4π, ω = 210 см–1, A = 0,01 (а); внеплоскостное колеба-
ние, q = 0,65π, ω = 63 см–1, A = 0,01 (б); плоскостное колеба-
ние, q = 0,9π, ω = 226 см–1, A = 0,015 (обратная ширина µ =
0,05) (в). Показана зависимость от времени t распределения
энергии колебания En в двух первых граничных слоях атомов
наноленты (k = 1, 2, 3, 4).
898 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8
Локализованные колебания углеродных нанолент
Fig. 12. (Онлайн в цвете) Дисперсионные кривые растянутой
(удлинение εx = 1,25) углеродной наноленты со структурой
«зигзаг» с K = 120 атомами в элементарной ячейке. Структура
2K дисперсионных кривых, соответствующих плоскостным
колебаниям (a), Структура K дисперсионных кривых, соответ-
ствующих внеплоскостным колебаниям атомов (б). Черные
(толстые) кривые соответствуют краевым колебаниям нано-
ленты. Широкая зеленая (серая) линия 1 показывает область
существования дискретного бризера.
форму и энергию (см. рис. 13). При =q π краевой бри-
зер остается неподвижным локализованным краевым
колебанием растянутой наноленты. Данное стационар-
ное локализованное краевое колебание растянутой на-
ноленты впервые было рассмотрено в работе [21].
Для анализа стационарного локализованного коле-
бания удобно рассмотреть распределение в наноленте
кинетической энергии , , 0= / ,n k n kp e E где ,n ke — ус-
редненная по времени кинетическая энергия атома
( , ),n k а 0 ,
,
= n k
n k
E e∑ (величина , 0n kp ≥ задает долю
энергии колебания, приходящуюся на атом ( , ),n k пол-
ная сумма ,
,
= 1).n k
n k
p∑ Тогда число атомов, участвую-
щих в колебании, можно определить как 2
,
,
= 1/ .b n k
n k
N p∑
Численное моделирование динамики растянутой на-
ноленты показывает, что краевой стационарный бризер
имеет частотный спектр [826,9, 832,6] см–1. Увеличение
амплитуды колебания приводит к уменьшению его час-
тоты, т.е. существование бризера обусловлено мягким
ангармонизмом колебания. Зависимость энергии коле-
бания E, числа атомов bN , участвующих в колебании,
от его частоты ω , показана на рис. 14. Как видно на
рисунке, уменьшение частоты приводит к монотонному
росту энергии и уменьшению пространственного разме-
ра колебания. При увеличении частоты (при ее прибли-
жении к частоте соответствующей краевой моды)
( )eω ω π энергия колебания 0,E число атомов
колебания bN ∞ (в этом пределе локализованное
колебание переходит в нелокализованную краевую мо-
ду, имеющую частоту ( )).eω π Наиболее сильно бризер
локализован при частоте ω = 826,9 см–1. Здесь в колеба-
нии участвуют только = 7,1bN атомов углерода. Соот-
ветствующие движения атомов наноленты показаны на
рис. 15(a). Как видно на рисунке, основная энергия ко-
лебания сосредоточена на четырех краевых атомах од-
ной элементарной ячейки наноленты.
Растяжение наноленты со структурой «зигзаг» не
приводит сразу к появлению щели в частотном спектре
плоскостных колебаний наноленты. Щель в спектре
появляется только при достаточно большом удлинении
1,2.xε ≥ Растяжение данного типа наноленты не при-
водит к появлению новых краевых мод (см. рис. 4 и 12).
Fig. 11. (Онлайн в цвете) Дисперсионные кривые растянутой
(удлинение εx = 1,2) углеродной наноленты со структурой
«кресло» с K = 120 атомами в элементарной ячейке. Струк-
тура 2K дисперсионных кривых, соответствующих плоскост-
ным колебаниям (a), структура K дисперсионных кривых,
соответствующих внеплоскостным колебаниям атомов (б).
Черные (толстые) кривые соответствуют краевым колебани-
ям наноленты. Широкая зеленая (серая) линия 1 показывает
участок новой дисперсионной кривой краевой моды, где
возможно существование бризеров.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 899
А.В. Савин, Ю.С. Кившарь
Но здесь при сильном растяжении появляется новое
сильно локализованное колебание — дискретный бри-
зер, соответствующий локализованному колебанию од-
ной валентной связи, поперечной к направлению нано-
ленты (см. рис. 15(б)). Впервые существование такого
бризера в растянутом листе графена было показано в
работе [20].
Растяжение наноленты со структурой «зигзаг» про-
исходит за счет удлинения валентных связей, обра-
зующих зигзагообразные цепи вдоль наноленты, при этом связи, направленные поперек наноленты, остают-
ся нерастянутыми. В растянутой наноленте возникает
структура, в которой каждая нерастянутая (сильная)
поперечная связь окружена четырьмя растянутыми
(ослабленными) валентными связями (см. рис. 15(б)).
При удлинении наноленты > 1,2xε это создает усло-
вия для возможности существования высокоамплитуд-
ных локализованных колебаний поперечных связей.
Как показано на рис. 15(b), это колебание сводится к
периодическому изменению длины одной поперечной
валентной связи, которая может находиться как внутри
наноленты, так и у ее края.
Данный дискретный бризер имеет частотный
спектр, лежащий внутри щели частотного спектра
плоскостных колебаний наноленты (см. рис. 12). Так,
при = 1,25xε дискретный бризер имеет частотный
интервал [1185,0, 1028,3] см–1. Энергия бризера мо-
нотонно растет при уменьшении его частоты. При
максимальной частоте ω = 1185,0 см–1 энергия коле-
бания E = 1,65 эВ, в колебании участвуют = 12bN
атомов углерода. При минимальной частоте ω =
= 1028,3 см–1 энергия колебания E = 3,44 эВ, а в ко-
лебании участвуют только = 2,2bN атома углерода,
т.е. энергия колебания почти полностью сосредото-
чена на двух атомах, образующих поперечную (не-
растянутую) валентную связь.
Fig. 13. Динамика локализованного краевого колебания в
растянутой наноленте со структурой «кресло» (удлинение
εx = 1,2, волновое число q = 0,5π, частота ω = 835 см–1). Пока-
зана зависимость от времени t распределения энергии коле-
бания En в двух первых граничных слоях атомов наноленты
(k = 1, 2, 3, 4).
Fig. 14. Зависимость энергии E (a) и числа атомов Nb, участ-
вующих в колебании (б), от частоты ω для стационарного дис-
кретного краевого бризера растянутой наноленты со структу-
рой «кресло» (удлинение εx = 1,2, волновое число q = π).
Fig. 15. Смещения атомов растянутой наноленты со структу-
рой «кресло» для стационарного дискретного краевого бризера
(a), удлинение εx = 1,2, частота ω = 825 см–1, энергия колеба-
ния E = 0,368 эВ, число атомов, участвующих в колебании,
Nb = 7,1 (для наглядности амплитуды смещений атомов увели-
чены в два раза). Локализованное колебание поперечной ва-
лентной связи в растянутой наноленте со структурой «зигзаг»
(b), удлинение εx = 1,25, частота ω = 1185 см–1, энергия E =
= 1,653эВ, число колеблющихся атомов Nb = 12.
900 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8
Локализованные колебания углеродных нанолент
Таким образом, данный бризер всегда является
сильно локализованным высокоамплитудным колеба-
нием поперечной валентной связи сильно растянутой
наноленты со структурой «зигзаг».
7. Заключение
Полученные результаты показывают, что в нерастя-
нутой углеродной наноленте локализация колебаний
(образование бризеров) может происходить только на
ее краях. Наибольшее число локализованных краевых
колебаний следует ожидать у наноленты со структурой
«кресло». Растяжение наноленты может приводить к
появлению новых типов сильно локализованных коле-
баний. При растяжении в частотном спектре нанолен-
ты образуется щель, в которой лежат частоты этих ко-
лебаний. У наноленты со структурой «кресло» коле-
бания могут локализоваться только на ее краях, а у
наноленты со структурой «зигзаг» при ее сильном рас-
тяжении локализация колебаний может происходить
не только у ее края, но и внутри нее.
1. A.K. Geim and K.S. Novoselov, Nature Mater. 6, 183
(2007).
2. C. Soldano, A. Mahmood, and E. Dujardin, Carbon 48, 2127
(2010).
3. N. Tombros, C. Jozsa, M. Popinciucet, H.T. Jonkman, and
B.J. van Wees, Nature 448, 571 (2007).
4. D.C. Elias, R.R. Nair, T.M.G. Mohiuddin, S.V. Morozov, P.
Blake, M.P. Halsall, A.C. Ferrari, D.W. Boukhvalov, M.I.
Katsnelson, A.K. Geim, and K.S. Novoselov, Science 323,
610 (2009).
5. S. Stankovich, D.A. Dikin, G.H.B. Dommett, K.M.
Kohlhaas, E.J. Zimney, E.A. Stach, R.D. Piner, S.T. Nguyen,
and R.S. Ruoff, Nature 442, 282 (2006).
6. M.I. Katsnelson, Mater. Today 10, 20 (2007).
7. G. Lee and K. Cho, Phys. Rev. B 79, 165440 (2009), and
references therein.
8. A.A. Maradudin and G. Stegeman, in: Surface Phonons,
W. Kress and F.W. De Wette (eds.), Springer-Verlag, Berlin
(1991), p. 5.
9. I. Tamm, Phys. Z. Sowjetunion 1, 733 (1932).
10. W. Shockley, Phys. Rev. 56, 317 (1939).
11. V.M. Agranovich and D.L. Mills, Surface Polaritons, North
Holland, Amsterdam (1984).
12. I.L. Garanovich, A.A. Sukhorukov, and Yu.S. Kivshar, Phys.
Rev. Lett. 100, 203904 (2008).
13. A. Szameit, I.L. Garanovich, M. Heinrich, A.A. Sukhorukov,
F. Dreisow, T. Pertsch, S. Nolte, A. Tunnermann, and Yu.S.
Kivshar, Phys. Rev. Lett. 101, 203902 (2008).
14. A.V. Savin and Yu.S. Kivshar, Phys. Rev. B 81, 165418
(2010).
15. A.V. Savin and Yu.S. Kivshar, Europhys. Lett. 89, 46001
(2010).
16. M. Huang, H. Yan, C. Chen, D. Songb, T.F. Heinzb, and
J. Hone, PNAS 106, 7304 (2009).
17. R.M. Ribeiro, V.M. Pereira, N.M.R. Peres P.R. Briddon, and
A.H. Castro, Neto, New J. Phys. 11, 115002 (2009).
18. X. Li, K. Maute, M.L. Dunn, and R. Yang, Phys. Rev. B 81,
245318 (2010).
19. F.M.D. Pellegrino, G.G.N. Angilella, and R. Pucci, Phys.
Rev. B 81, 035411 (2010).
20. Л.З. Хадеева, С.В. Дмитриев, Ю.С. Кившарь, Письма в
ЖЭТФ 94, 580 (2011).
21. E.A. Korznikova, J.A. Baimova, and S.V. Dmitriev,
Europhys. Lett. 102, 60004 (2013).
22. A.V. Savin and Yu.S. Kivshar, Europhys. Lett. 82, 66002
(2008).
23. D. Gunlycke, H.M. Lawler, and C.T. White, Phys. Rev. B 77,
014303 (2008).
24. R. Al-Jishi and G. Dresselhaus, Phys. Rev. B 26, 4514
(1982).
25. T. Aizawa, R. Souda, S. Otani, Y. Ishizawa, and C. Oshima,
Phys. Rev. B 42, 11469 (1990).
Localized vibrations of graphene nanoribbons
A.V. Savin and Yu.S. Kivshar
Vibrational modes of carbon nanoribbons are stud-
ied. It is demonstrated that in an unstretched nanoribbon
localized oscillations (in the form of breathers) may oc-
cur only at its edges. The largest number of localized
edge oscillations is expected for the nanoribbons with
the “armchair” structure. Stretching of the nanoribbon
may lead to the generation of new types of strongly lo-
calized oscillations. At stretching, in the oscillatory
spectrum of the nanoribbon a frequency gap appears
where the frequencies of the localized modes are locat-
ed. An armchair nanoribbon can support localized
modes only at its edge, however the stretched “zigzag»
nanoribbon can support localized modes at both edges
and bulk of the structure.
PACS: 61.46.–w Structure of nanoscale materials;
63.20.Pw Localized modes;
63.20.Ry Anharmonic lattice modes.
Keywords: graphene nanoribbons, edge modes, local-
ized nonlinear vibrations.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 8 901
http://dx.doi.org/10.1038/nmat1849
http://dx.doi.org/10.1016/j.carbon.2010.01.058
http://dx.doi.org/10.1038/nature06037
http://dx.doi.org/10.1126/science.1167130
http://dx.doi.org/10.1038/nature04969
http://dx.doi.org/10.1016/S1369-7021(06)71788-6
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.79.165440
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.56.317
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.100.203904
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.100.203904
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.203902
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.81.165418
http://dx.doi.org/10.1209/0295-5075/89/46001
http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0811754106
http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/11/11/115002
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.81.245318
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.81.035411
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.81.035411
http://dx.doi.org/10.1209/0295-5075/102/60004
http://dx.doi.org/10.1209/0295-5075/82/66002
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.77.014303
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.26.4514
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.42.11469
1. Введение
2. Модель углеродной наноленты
3. Дисперсионное уравнение
4. Краевые моды
5. Продольная локализация краевых мод
6. Появление локализованных колебаний при растяжении наноленты
7. Заключение
|