Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице
Изучена структура основного состояния одномерной системы электронов на слаборазупорядоченной решетке-матрице (эпитаксиальной подложке). Показано, что при сколь угодно слабом беспорядке в позициях узлов решетки-матрицы дальние корреляции в электронной системе разрушаются. Получена аналитическая зави...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика низких температур |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129298 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице / В.В. Славин, А.А. Кривчиков // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 9. — С. 1000-1006. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129298 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Славин, В.В. Кривчиков, А.А. 2018-01-18T17:44:34Z 2018-01-18T17:44:34Z 2016 Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице / В.В. Славин, А.А. Кривчиков // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 9. — С. 1000-1006. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.10.–a, 05.20.–y, 64.60.Cn https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129298 Изучена структура основного состояния одномерной системы электронов на слаборазупорядоченной решетке-матрице (эпитаксиальной подложке). Показано, что при сколь угодно слабом беспорядке в позициях узлов решетки-матрицы дальние корреляции в электронной системе разрушаются. Получена аналитическая зависимость, связывающая величину разупорядочения решетки-матрицы и типичный размер электронной системы, на котором происходит разрушение дальнего порядка. Досліджено структуру основного стану одновимірної системи електронів на слабконевпорядкованій гратці-матриці (епітаксіальній підкладці). Показано, що при як завгодно малому безладді в позиціях вузлів гратці-матриці далекі кореляції в електронній системі руйнуються. Встановлено аналітичну залежність, що зв’язує величину невпорядкованості гратці-матриці і типовий розмір електронної системи, на якому відбувається руйнування далекого порядку. A study of the ground state of a one-dimensional electron system on a weakly disordered host-lattice (epitaxial substrate). It is shown that the long-range correlations in the electron system are destroyed at the position of the host-lattice sites in arbitrarily weak disorder. We have obtained an analytical dependence that links the value of the host-lattice disorder at which the destruction of long-range order occurs and the typical size of the electron system. Работа выполнена в рамках проекта № 4/16-H «Фундаментальные проблемы создания новых наноматериалов и нанотехнологий». ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Низкоразмерные и неупорядоченные системы Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице The ground state structure of a one-dimensional generalized Wigner crystal on a weakly disordered host-lattice Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице |
| spellingShingle |
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице Славин, В.В. Кривчиков, А.А. Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| title_short |
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице |
| title_full |
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице |
| title_fullStr |
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице |
| title_full_unstemmed |
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице |
| title_sort |
структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице |
| author |
Славин, В.В. Кривчиков, А.А. |
| author_facet |
Славин, В.В. Кривчиков, А.А. |
| topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The ground state structure of a one-dimensional generalized Wigner crystal on a weakly disordered host-lattice |
| description |
Изучена структура основного состояния одномерной системы электронов на слаборазупорядоченной
решетке-матрице (эпитаксиальной подложке). Показано, что при сколь угодно слабом беспорядке в позициях узлов решетки-матрицы дальние корреляции в электронной системе разрушаются. Получена аналитическая зависимость, связывающая величину разупорядочения решетки-матрицы и типичный размер
электронной системы, на котором происходит разрушение дальнего порядка.
Досліджено структуру основного стану одновимірної системи електронів на слабконевпорядкованій
гратці-матриці (епітаксіальній підкладці). Показано, що при як завгодно малому безладді в позиціях вузлів гратці-матриці далекі кореляції в електронній системі руйнуються. Встановлено аналітичну залежність, що зв’язує величину невпорядкованості гратці-матриці і типовий розмір електронної системи, на
якому відбувається руйнування далекого порядку.
A study of the ground state of a one-dimensional electron system on a weakly disordered host-lattice (epitaxial substrate). It is shown that the long-range correlations in the electron system are destroyed at the position of the host-lattice sites in arbitrarily weak disorder. We have obtained an analytical dependence that links the value of the host-lattice disorder at which the destruction of long-range order occurs and the typical size of the electron system.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129298 |
| citation_txt |
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла на слаборазупорядоченной решетке-матрице / В.В. Славин, А.А. Кривчиков // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 9. — С. 1000-1006. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT slavinvv strukturaosnovnogosostoâniâodnomernogoobobŝennogovignerovskogokristallanaslaborazuporâdočennoirešetkematrice AT krivčikovaa strukturaosnovnogosostoâniâodnomernogoobobŝennogovignerovskogokristallanaslaborazuporâdočennoirešetkematrice AT slavinvv thegroundstatestructureofaonedimensionalgeneralizedwignercrystalonaweaklydisorderedhostlattice AT krivčikovaa thegroundstatestructureofaonedimensionalgeneralizedwignercrystalonaweaklydisorderedhostlattice |
| first_indexed |
2025-11-27T07:13:19Z |
| last_indexed |
2025-11-27T07:13:19Z |
| _version_ |
1850806205213048832 |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 9, c. 1000–1006
Структура основного состояния одномерного
обобщенного вигнеровского кристалла
на слаборазупорядоченной решетке-матрице
В.В. Славин, А.А. Кривчиков
Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины
пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина
E-mail: slavin@ilt.kharkov.ua
Статья поступила в редакцию 13 апреля 2016 г., опубликована онлайн 25 июля 2016 г.
Изучена структура основного состояния одномерной системы электронов на слаборазупорядоченной
решетке-матрице (эпитаксиальной подложке). Показано, что при сколь угодно слабом беспорядке в по-
зициях узлов решетки-матрицы дальние корреляции в электронной системе разрушаются. Получена ана-
литическая зависимость, связывающая величину разупорядочения решетки-матрицы и типичный размер
электронной системы, на котором происходит разрушение дальнего порядка.
Досліджено структуру основного стану одновимірної системи електронів на слабконевпорядкованій
гратці-матриці (епітаксіальній підкладці). Показано, що при як завгодно малому безладді в позиціях вуз-
лів гратці-матриці далекі кореляції в електронній системі руйнуються. Встановлено аналітичну залеж-
ність, що зв’язує величину невпорядкованості гратці-матриці і типовий розмір електронної системи, на
якому відбувається руйнування далекого порядку.
PACS: 05.10.–a Вычислительные методы в статистической физике и нелинейной динамике;
05.20.–y Классическая статистическая механика;
64.60.Cn Превращения порядок–беспорядок.
Ключевые слова: вигнеровский кристалл, решетка-матрица, неупорядоченные системы.
1. Введение
Последние десятилетия низкоразмерные и слоистые
проводники вызывают значительный интерес исследо-
вателей благодаря ряду необычных транспортных и
термодинамических свойств. Во многих таких провод-
никах электронная и дырочная подсистемы хорошо
разделены в пространстве. В результате потенциал, об-
условленный положительными ионами, в проводящих
электронных слоях практически не зависит от коорди-
нат, и транспортные свойства определяются исключи-
тельно межэлектронным взаимодействием.
Еще один интересный подкласс таких проводников
составляют низкоразмерные решеточные системы, где
туннелирование носителей заряда между узлами ре-
шетки-матрицы подавлено благодаря взаимному куло-
новскому отталкиванию. В результате носители заряда
оказываются локализованными на узлах решетки-
матрицы, динамические эффекты в этом случае сильно
подавлены, что позволяет с высокой степенью точно-
сти описывать свойства данных систем в рамках клас-
сических моделей [1]. К этому классу относятся, напри-
мер, многие гетероструктуры типа MOSFET транзисто-
ров (metal-oxide-semiconductor field-effect transistors).
Основное состояние одномерного (1D) ансамбля
электронов на упорядоченной решетке-матрице впер-
вые было изучено в работах [2–4]. Было показано, что
для широкого класса потенциалов межчастичного от-
талкивания основное состояние имеет универсальную
структуру и зависит лишь от концентрации электронов
= .e
Nc
L
(1)
Здесь N и L — количество частиц (электронов) и уз-
лов решетки-матрицы соответственно. В основном
состоянии электрон с номером k имеет координату kx ,
определяемую формулой
0= ,k
e
kx a
c
+ φ
(2)
© В.В. Славин, А.А. Кривчиков, 2016
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла
где 0a — расстояние между узлами решетки-матрицы,
[] обозначает целую часть числа, а φ — произволь-
ная постоянная, соответствующая выбору начала ко-
ординат. Как следует из данной формулы, в основном
состоянии межэлектронные расстояния могут прини-
мать лишь два значения (в зависимости от φ и ec ):
1
1 1= , 1 .k k
e e
x x
c c+
− +
(3)
Таким образом, основное состояние в общем случае
не реализует минимум потенциальной энергии взаимо-
действия частиц. Это приводит, в частности, к довольно
нетривиальной нуль-температурной зависимости кон-
центрации частиц ec от химического потенциала µ,
которая представляет собой фрактальную структуру ти-
па чертовой лестницы [4].
Низкотемпературная термодинамика одномерного
обобщенного вигнеровского кристалла была рассмот-
рена в работе [5]. В [6] было показано, что двумерные
системы характеризуются эффективным снижением раз-
мерности, что позволяет найти их основное состояние,
обобщая описание одномерной модели Хаббарда [2].
Как было упомянуто выше, рассматриваемые сис-
темы интенсивно изучались как теоретически, так и
экспериментально. В предыдущей работе [10] нами ис-
пользовался достаточно эффективный численный метод
анализа структуры основного состояния одномерного
ансамбля электронов на неупорядоченной решетке-ма-
трице. Данный метод позволяет изучать системы до-
статочно большого размера (вплоть до 4 510 10N − час-
тиц). Тем не менее использование численных методов
имеет ряд ограничений. В частности, крайне сложно
получить асимптотические зависимости в пределе ма-
лой разупорядоченности. Причина заключается в том,
что при уменьшении параметра разупорядочения для
получения адекватных результатов необходимо одно-
временно увеличивать размеры изучаемой системы.
Это, в свою очередь, предъявляет все более жесткие
требования к вычислительным ресурсам.
В этой работе предложен аналитический метод ис-
следования 1D дискретных неупорядоченных систем,
позволяющий изучать их свойства в пределе слабого
разупорядочения решетки-матрицы.
2. Модель и гамильтониан
Рассмотрим 1D-систему отталкивающихся частиц
(электронов) на неупорядоченной решетке-матрице.
Гамильтониан такой системы может быть описан в
рамках расширенной модели Хаббарда. В пределе ма-
лой концентрации электронов и слабого перекрытия
волновых функций (интеграл перескока 1t ) можно
пренебречь кинетической энергией частиц, а также
эффектами, связанными с Ферми статистикой электро-
нов. В этом классическом пределе гамильтониан сис-
темы представляет собой сумму парных энергий взаи-
модействий электронов:
1= (| |) .
2
L
h h
n m n m
n m
H V r r n n
≠
−∑ (4)
Здесь L — число узлов решетки-матрицы (размер сис-
темы), h
mr — случайно расположенные узлы решетки-
матрицы (множество координат =1{ }h L
m mr определяется
данной реализацией), (| |) = ( )h h
n mV r r V r− — парный
потенциал отталкивания частиц. Как было показано в
работах [3,4], для термодинамической стабильности
системы требуется, чтобы ( )V r убывал степенным об-
разом при 1r так, что
(1 )( ) | | , 0,V r r − +σ σ >
nn , mn — классические числа заполнения ( nn , mn = 0, 1).
Поскольку электроны локализованы на узлах ре-
шетки-матрицы, с большой точностью можно считать,
что их координаты совпадают с h
mr . Как следствие, по-
тенциал взаимодействия электронов с решеткой-мат-
рицей выпадает из гамильтониана (4). Это означает,
что при изучении равновесных (термодинамических)
свойств таких систем конкретный вид данного потен-
циала не важен. Требуется лишь, чтобы он был не
слишком мал (точный критерий локализации электро-
нов приведен в [1]). С другой стороны, он должен быть
конечен, поскольку в противном случае электроны
будут «заморожены». При изучении же кинетических
свойств форма данного потенциала важна, поскольку
определяет масштаб времен релаксации.
Перейдем теперь от суммирования по узлам решет-
ки-матрицы h
mr к суммированию по координатам элек-
тронов e
mr . В этом случае гамильтониан приобретает
простой вид:
1= (| |),
2
N
e e
m n
m n
H V r r
≠
−∑ (5)
где N — количество электронов.
При изучении структуры основного состояния и спек-
тра низкоэнергетических возбуждений удобно разло-
жить (5) по малым смещениям частиц относительно по-
ложений, реализующих абсолютный минимум энергии
в отсутствие решетки-матрицы (см., например, [9,10]).
Очевидно, что абсолютному минимуму энергии соответ-
ствует эквидистантное распределение электронов —
одномерный вигнеровский кристалл с той же концен-
трацией частиц ec (1). Пусть 0a — среднее расстояние
между соседними узлами решетки-матрицы. Тогда пе-
риод соответствующего вигнеровского кристалла ра-
вен 0 0= / el a c и абсолютный минимум (5) реализуется
при 0=e
mr l m . Введем относительные смещения ms ко-
ординат электронов e
mr относительно e
mr :
= .e e
m m ms r r−
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 9 1001
В.В. Славин, А.А. Кривчиков
Поскольку 0 0| |ms a l , можно разложить (5) по
малому параметру 0/ms l , ограничившись квадратич-
ными слагаемыми. Следует отметить, что в данном
случае разложение производится по малым, но дис-
кретным переменным:
2
,
1 ( ) .
2
N
WC m n m n
m n
H H J s s
≠
≈ + −∑ (6)
Константа WCH равна энергии основного состояния
вигнеровского кристалла с концентрацией электронов
= /ec N L:
2
, 0 =|( ) |2 0
1= (| |) = (| ( ) |) = | .
2
e e
m n m n x m n l
VJ J r r J m n l
x
−
∂
− −
∂
В силу выпуклости ( )V r константы , > 0m nJ при m n≠ .
Опустив константу WCH , в приближении ближайших
соседей (6) приобретает вид
1
2
1 1
=1
= ( ) .
N
m m
m
H J s s
−
+−∑ (7)
Для удобства будем измерять энергию в единицах 2
1 0 .J a
В этом случае
1
2
1
=1
= ( ) ,
N
m m
m
H s s
−
+−∑ (8)
где переменные ms безразмерные.
В низкотемпературном пределе можно ограничить-
ся случаем, когда электрон с номером m ( = 1,2, , )m N
может занимать один из двух узлов решетки-матрицы,
прилегающих слева и справа к e
mr [9,10]. Обозначим
соответствующие смещения ms как ms+ и ms− . В рамках
изучаемой модели определим ms следующим образом:
= 1
=
= (1 ).
m m
m
m m
s A
s
s A
+ +
− −
− ξ
− − ξ
(9)
Здесь m
±ξ — случайные величины, равномерно распре-
деленные в интервале [0,1). Параметр A определяет
степень разупорядоченности системы. При произволь-
ном значении 0 < 1A ≤ гамильтониан (8) может быть
сведен к эффективному магнитному гамильтониану
одномерного спинового стекла во внешнем случайном
поле (см. [10]). Роль спиновых переменных играют ms .
Для этого перепишем ms в виде
1= (2 ) ( ) ,
2m m m m m ms A A A+ − + − + ξ + ξ σ + ξ − ξ
где mσ — стандартные изинговские переменные
( = 1mσ ± ). В результате (8) приобретает вид
1
1
=1 =1
= ,
N N
m m m m m
m m
H J h
−
+σ σ − σ∑ ∑ (10)
где ,m mJ h — случайные величины. Случай = 0A соот-
ветствует отсутствию беспорядка. Легко заметить, что
при этом значении параметра A переменные =m ms σ и
выражение (8) сводится к гамильтониану модели
Изинга с ферромагнитным взаимодействием, при = 1A
имеет место полное разупорядочение узлов решетки-
матрицы.
3. Структура основного состояния
Очевидно, что при = 0A основное состояние систе-
мы с гамильтонианом (8) представляет собой моно-
домен, состоящий либо из ms+ , либо ms− (основное со-
стояние двукратно вырождено). При 0A ≠ вырождение
снимается: энергии доменов, состоящих из спинов, на-
правленных вверх и вниз, становятся различными.
Энергии доменов длины l равны
2
1
=1
( ) = ( )
l
m m
m
l s s+ + +
+ε −∑ (11)
и
2
1
=1
( ) = ( )
l
m m
m
l s s− − −
+ε −∑ (12)
в зависимости он направления спинов. Их разность
( ) = ( ) ( )l l l+ −δε ε − ε (13)
является случайной (флуктуирующей) величиной.
Предположим, что домен, составленный из спинов,
направленных вверх, энергетически выгоден. В силу
случайности δε при увеличении длины l рано или
поздно такой домен неизбежно станет энергетически
невыгодным. Следует заметить, что образование доме-
на, составленного из спинов противоположного на-
правления, сопряжено с проигрышем энергии из-за
образования доменной стенки. Эта энергия также явля-
ется случайной:
2
1= ( ) .dw l ls s±
+ε − (14)
Если же > dw
+ −ε ε + ε , то образуется доменная стен-
ка и, следовательно, начинает формироваться домен,
составленный из спинов, направленных вниз. Затем
при некоторой длине домена выполняется неравенство
> dw
− +ε ε + ε , вновь образуется доменная стенка и
вновь формируется домен, составленный из спинов,
направленных вверх. Таким образом, условие образо-
вания доменной стенки
| ( ) | .dwlδε ≥ ε (15)
При 1A можно оценить среднюю длину домена .l
Флуктуация энергии парного взаимодействия равна
(см. (9))
2 2 2
0 1 1( ) ( ) .m m m ms s s s A+ + − −
+ +δ ≈ − ≈ − ≈
1002 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 9
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла
Следовательно,
2
0( ) = .l l A lδε δ (16)
Согласно (14),
( )2= 2 ( ) ,dw A + −ε − ξ + ξ (17)
тогда средняя энергия образования доменной стенки в
пределе 1A по порядку величины равна
2 2 2= 4 8 2 ( ) 4.dw A A〈ε 〉 − 〈ξ〉 + 〈ξ 〉 + 〈ξ〉 ≈ (18)
Подставляя (18) и (16) в (15), получаем
2 44, .A l l A−
Концентрация доменных стенок dom 1/c l может быть
записана в виде [9,10]
4
dom 0= ( / ) .c A A (19)
Основное состояние при произвольном значении па-
раметра A изучено численно в работах [9,10]. В ре-
зультате был определен коэффициент пропорциональ-
ности 0A . Было показано, что при сколь угодно слабом
беспорядке ( 0A ≠ ) дальний порядок в системе разру-
шается. Этот результат находится в полном согласии с
критерием устойчивости, сформулированным в рабо-
тах Ларкина [7], Имри и Ма [8].
4. Вычисление концентрации доменных стенок
В настоящей работе получена аналитическая зави-
симость dom ( )c A в пределе слабого разупорядочения,
т.е. при 1A . Согласно (11)–(13),
2
=1
( ) = ,
l
m
m
l A sδε ∑ (20)
где
2 2
1 1= ( ) ( ) .m m m m ms + + − −
+ +ξ − ξ − ξ − ξ (21)
В рассматриваемом пределе в (20) типичные значения
1l и, следовательно, можно воспользоваться цен-
тральной теоремой теории вероятности: при l →∞
функция распределения ( )lδε стремится к нормально-
му распределению с математическим ожиданием M и
дисперсией D . В силу симметрии ms , = 0M . Посколь-
ку слагаемые в (20) статистически зависимы (в каждое
слагаемое входят m
±ξ и 1m
±
+ξ ),
[ ] [ ] [ ]{ }4
1( ) = 2( 1) , ,m m mD l A lD s l K s s +δε + − (22)
где коррелятор
[ ], =K x y xy x y〈 〉 − 〈 〉〈 〉 .
Символом 〈 〉 обозначено усреднение по распределе-
нию ξ . Тогда
[ ]
22 2
1 1= ( ) ( ) =m m m m mD s + + − −
+ + ξ − ξ − ξ − ξ
2 2
1 1= ( ) ( )m m m m
+ + − −
+ +ξ − ξ + ξ − ξ −
2
1 1 1 22 ( )( ) = 2( )m m m m d d+ + − −
+ + − ξ − ξ ξ − ξ − ,
где
2 2
1 1 1= ( ) = ( ) =m m m md + + − −
+ +〈 ξ − ξ 〉 〈 ξ − ξ 〉
( )24 3 2= 2 8 6〈ξ 〉 − 〈ξ〉〈ξ 〉 + 〈ξ 〉 ,
2 2
2 1 1= ( )( ) = 4 [ ].m m m md D+ + − −
+ + ξ − ξ ξ − ξ ξ
В силу статистической независимости и эквива-
лентности распределений m
+ξ и m
−ξ
2 2
1 1( ) ( ) =k k k k
+ + − −
+ +〈 ξ − ξ − ξ − ξ 〉
2 2
1 2 1 2= ( ) ( ) = 0.k k k k
+ + − −
+ + + +〈 ξ − ξ − ξ − ξ 〉
Следовательно,
[ ] 2 2
1 1 1, = ( ) ( )m m k k k kK s s + + − −
+ + + ξ − ξ − ξ − ξ ×
2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) = 2( ),k k k k k k+ + − −
+ + + + × ξ − ξ − ξ − ξ −
где
2
1 1 1 2= ( )( ) =k k k kk + + + +
+ + + ξ − ξ ξ − ξ
2
1 1 2= ( )( ) =k k k k
− − − −
+ + + ξ − ξ ξ − ξ
( )22 4 3= 3 4 ,〈ξ 〉 + 〈ξ 〉 − 〈ξ 〉〈ξ〉
2
2 1 1 2= ( )( ) =k k k kk + + − −
+ + + ξ − ξ ξ − ξ
2 2
1 1 2= ( )( ) = 4 [ ].k k k k D− − + +
+ + + ξ − ξ ξ − ξ ξ
В работах [9,10] рассматривался случай равномерно
распределенных на интервале [0,1) случайных пере-
менных ξ . Здесь и далее также будем рассматривать
этот случай. Тогда
1
1
0
= = ( 1) .n nd n −〈ξ 〉 ξ ξ +∫ (23)
Следовательно,
[ ]1 2
1 1 1 1 7= , = , = 2 =
15 36 15 36 90md d D s −
,
[ ]1 2 1
1 1 1 1 1= , = , , = 2 = .
30 36 30 36 90m mk k K s s +
−
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 9 1003
В.В. Славин, А.А. Кривчиков
Введем
[ ]
0
( )
= .lim
l
D l
D
l→∞
δε
Согласно (22),
[ ] [ ]{ }
4
4
0 1= 2 , = .
10m m m
AD A D s K s s ++ (24)
Плотность вероятности для функции распределения
( )lδε приобретает вид
( ) ( )2
00
( )1( ) = exp .
22
l
f l
D lD l
δε δε −
π
(25)
Для вычисления средней длины доменов необходи-
мо вычислить совместную функцию распределения
доменов по длинам l и энергиям доменных стенок dwε .
Получить аналитическое выражение для такой функ-
ции возможно только в пределе 1A . Обратим вни-
мание на то, что слагаемые в (20) ограничены сверху:
| | 1ms ≤ . Энергии образования доменных стенок огра-
ничены снизу: согласно (17),
min 2= 4(1 ) .dw Aε − (26)
Из условия образования доменной стенки (15) следует
ограничение снизу на число слагаемых в (20):
min 2 2
=1
| | | | .
l
dw dw m
m
A s A lε ≤ ε ≤ δε ≤ ≤∑
Следовательно,
min 2 2 2
0 / = 4(1 ) / .dwl l A A A≥ ε −
Таким образом, при 0<l l вероятность образования до-
менной стенки равна нулю. Иными словами, сущест-
вует минимальная длина домена 0l . В пределе 1A
величина 0 1l . Это означает, что распределение ( )lδε
можно считать нормальным.
Найдем теперь распределение длин доменов при
фиксированной энергии образования доменной стенки
dwε (так называемое условное распределение). При
0 1l l≥ длину доменов можно считать непрерывной
переменной. Согласно (15), вероятность образования
домена длиной l равна
( ) ( )0| ( ) | = 1 | ( ) | < .dw dwP l lδε ≥ ε −Φ δε ε
Здесь ( )0 | ( ) | < dwlΦ δε ε — распределение модуля нор-
мально распределенной величины (так называемое по-
лунормальное распределение). Переход от нормально-
го к полунормальному распределению в данном случае
возможен, поскольку для (25) = ( ) = 0M l〈δε 〉 . Подста-
вив (25), запишем
( )
2
0
0 00
2| ( ) |< = exp =
2
dw
dwl d
D l D l
ε ε
Φ δε ε − ε π
∫
2 2
2
3/2
00
1= = = exp = 1 ( , ),
22
dw dw dw
dw
l
l
dx G l
x D xD x
∞ ε ε ε
ε − − ε π
∫
где
2
3/2
00 0
1( , ) = exp
22
l
dw dw
dwG l dx
D xD x
ε ε
ε − π
∫
— распределение Леви (Lévy distribution), которое пред-
ставляет собой устойчивое распределение с так назы-
ваемым «тяжелым хвостом» (heavy tail). Напомним, что
в данном случае dwε является параметром распределе-
ния. Таким образом,
( )
0
| ( ) | = ( , ) = ( , ) ,
l
dw dw dwP l G l g x dxδε ≥ ε ε ε∫
где
2
3/2
00
1( , ) = exp .
22
dw dw
dwg x
D xD x
ε ε
ε − π
(27)
Для того, чтобы найти распределение доменов по
длинам ( )w l , необходимо усреднить (27) по распреде-
лению энергий доменных стенок ( )dwρ ε :
0
( ) = ( , ) ( ) .dww l g l d
∞
ε ρ ε ε∫
Согласно (17), в пределе 1A функция ( )dwρ ε пред-
ставляет собой распределение суммы двух независи-
мых равномерно распределенных случайных чисел, т.е.
треугольное распределение Симпсона (Simpson distrib-
ution):
min max
min min mid
max min 2
max mid max
0 ( , ),
4( ) = ( ) [ , ),
( )
( ) [ , ],
dw dw
dw dw dw dw
dw dw
dw dw dw
ε∉ ε ε
ρ ε ε − ε ε∈ ε ε
ε − ε
ε − ε ε∈ ε ε
(28)
Здесь max = 4dwε (см. (14)), min max 2= (1 )dw dw Aε ε − (см. (26))
и mid max min max 2= ( ) / 2 = (1 / 2)dw dw dw dw A Aε ε + ε ε − + . Выпол-
нив интегрирование, получаем
min max mid
0 0 0
0 max min 2
Erf Erf 2Erf
2 2 2
( ) = 2
( )
dw dw dw
dw dw
D l D l D l
w l D
ε ε ε
+ −
− =
ε − ε
0
mid=0
Erf' .
2 2 x dw
D x
D l ε
′≈ −
1004 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 9
Структура основного состояния одномерного обобщенного вигнеровского кристалла
Здесь Erf ( )x — функция ошибок. В результате
mid mid 2
3/2
00
( ) 1( ) exp .
22
dw dww l
D lD l
ε ε
≈ − π
(29)
Как указано выше, данное выражение формально
справедливо лишь при 0>l l , но при интегрировании
по (29) основной вклад дают области 1l (что типично
для распределений с «тяжелым хвостом»), т.е. выбор
нижнего предела интегрирования в большой степени
произвольный. Более того, проведенное численное мо-
делирование показало, что распределение (29) хорошо
описывает вероятность образования доменных стенок
во всем диапазоне l (см. рис. 1). Следовательно, ниж-
ний предел интегрирования по (29) можно положить
равным нулю. Среднее по распределению отсутствует.
В то же время среднее гармоническое конечно:
11 mid 2
00
( )1 ( )= = = .
3
dww ll dl
l l D
−∞− ε
∫
Следуя [9,10], определим концентрацию доменных
стенок следующим образом:
dom
2= .
1
c
l +
Здесь предполагается, что минимальная длина домена
= 1l , ширина доменной стенки, очевидно, также рав-
на единице. Следовательно, максимальное значение
dom = 1c . При 1l
4
0 0
dom mid 2 max 2
6 62 3= [1 2 ].
801 ( ) ( ) [1 2 ]dw dw
D D Ac A
l A
≈ ≈ ≈ +
+ ε ε −
(30)
Полученное выражение можно сравнить с (19), ис-
пользованным для аппроксимации результатов чис-
ленного моделирования. Для этого ограничимся пер-
вым слагаемым в квадратных скобках:
4
dom
3 .
80
Ac ≈ (31)
Тогда
40
5= 2 2,272.
3
A ≈
Величина 0A находится в достаточно хорошем согла-
сии со значениями, численно определенными в [9,10].
В работе [9] получено значение 0 = 1,82A . Заметим, что
в [10] при параметре разупорядочения был введен мно-
житель 2 (см. выражение (35) в указанной работе) и,
следовательно, 0 = 2 0,888 = 1,776A ⋅ . Несколько завы-
шенное значение 0A и, следовательно, несколько зани-
женное значение концентрации доменных стенок свя-
зано с тем, что в (31) не учитываются флуктуации
энергии образования доменных стенок.
5. Выводы
В работе предложена эффективная магнитная мо-
дель, описывающая низкотемпературное поведение ан-
самбля электронов на одномерной решетке-матрице. В
рамках данной модели показано, что при сколь угодно
слабом разупорядочении позиций узлов решетки-мат-
рицы дальний порядок в основном состоянии разруша-
ется: система разбивается на ферромагнитные домены
случайной длины. Получена аналитическая зависи-
мость, связывающая типичный размер этих доменов с
параметром A , характеризующим разброс узлов решет-
ки-матрицы. В терминах исходной (электронной) мо-
дели это означает, что основное состояние представляет
собой фрагменты обобщенного вигнеровского кристал-
ла, состыкованные друг с другом в позициях, где в рам-
ках магнитной модели образуются доменные стенки.
Каждый такой фрагмент описывается формулой (2)
при некотором фиксированном значении фазы φ. В по-
зициях, где образуются доменные стенки, φ скачком
меняет свое значение. Иными словами, основное состоя-
ние одномерного ансамбля электронов на слаборазупо-
рядоченной решетке-матрице описывается формулой (2),
в которой фаза φ представляет собой случайную сту-
пенчатую функцию. Следовательно, типичная длина
домена l — среднее расстояние, на котором происхо-
дит «сбой фазы» φ.
Для проверки адекватности предложенной моде-
ли нами проведено сравнение аналитической зависи-
мости (30) с результатами численного моделирования
в [9,10]. Кроме того, было проведено дополнительное
моделирование в области 0,3A ≤ методом, описанным
в [10]. На вставке рис. 2 представлены результаты это-
го моделирования. Для наглядности данные приведены
в переменных 4
dom /c A как функция от A (т.е. зависи-
Рис. 1. Распределение доменов по длинам l. Точки — резуль-
тат численного моделирования. Сплошная линия — распре-
деление (29).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 9 1005
В.В. Славин, А.А. Кривчиков
мости (31) соответствует горизонтальная линия). Как
видно, с самого начала графика наблюдается отклоне-
ние от (31). Сплошная линия соответствует зависимо-
сти (30): 4
dom / = (3 / 80)(1 2 ).c A A+ Данная зависимость
хорошо аппроксимирует результаты численного моде-
лирования.
Как оказалось, выражение (30) достаточно хорошо
описывает зависимость domc от A во всем интервале
0 < < 1A (см. рис. 2). Данные, соответствующие > 0,3,A
взяты из работы [10]. Хорошее согласие результатов
численного моделирования и полученной аналитиче-
ской зависимости во всем диапазоне значений пара-
метра разупорядочения A означает, что нормальное
распределение длин доменов сохраняется вплоть до
1A , т.е., согласно (30), вплоть до 10l .
Компьютерное моделирование проводилось на вы-
числительном кластере ФТИНТ им. Б.И. Веркина НАН
Украины.
Работа выполнена в рамках проекта № 4/16-H
«Фундаментальные проблемы создания новых нанома-
териалов и нанотехнологий».
1. A.A. Слуцкин, Л.Ю. Горелик, ФНТ 19, 1199 (1993) [Low
Temp. Phys. 19, 852 (1993)].
2. J. Hubbard, Phys. Rev. B 17, 494 (1978).
3. P. Bak and R. Bruinsma, Phys. Rev. Lett. 49, 249 (1982).
4. С.Е. Бурков, Я.Г. Синай, Успехи Мат. Наук 38, 205
(1983).
5. V.V. Slavin and A.A. Slutskin, Phys. Rev. B 54, 8095
(1996).
6. A.A. Slutskin, V.V. Slavin, and H.A. Kovtun, Phys. Rev. B
61, 14184 (2000).
7. A.И. Ларкин, ЖЭТФ 58, 1466 (1970).
8. Y. Imry and S.K. Ma, Phys. Rev. Lett. 35, 1399 (1975).
9. V.V. Slavin, Phys. Status Solidi (b) 241, 2928 (2004).
10. L.A. Pastur, V.V. Slavin, and A.A. Krivchikov, Int. J. Mod.
Phys. C 25(8) 1450028 (2014).
The ground-state structure of one-dimensional
generalized Wigner crystal on weakly disordered
host-lattice
V.V. Slavin and A.A. Krivchikov
The ground-state structure of one-dimensional elec-
tron system on weakly disordered host-lattice (epitaxi-
al substrate) has been studied. It has been shown that
long-range correlations in electron system becomes
destroyed at arbitrary weak disorder in the positions of
host-lattice nodes. We have obtained analytical de-
pendency for typical length, where long-range correla-
tions becomes destroyed, on disorder parameter.
PACS: 05.10.–a Computational methods in statisti-
cal physics and nonlinear dynamics;
05.20.–y Classical statistical mechanics;
64.60.Cn Order-disorder transformations.
Keywords: Wigner crystal, host-lattice, disordered
systems.
Рис. 2. Зависимость domc от A. Кривые 1 и 2 — зависимости
4
dom = (3 / 80)(1 2 )c A A+ и 4
dom = 3 / 80c A (см. (30) и (31) соот-
ветственно). На вставке представлена зависимость 4
dom /c A
от A в области малого разупорядочения системы ( 0,3)A ≤ .
Сплошная линия — зависимость 4
dom / = (3 / 80)(1 2 )c A A+
(см. (30)). Точки — результаты численного моделирования.
1006 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 9
1. Введение
2. Модель и гамильтониан
3. Структура основного состояния
4. Вычисление концентрации доменных стенок
5. Выводы
|