Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой
В рамках феноменологического подхода, основанного на уравнении теплового баланса и зависимости
 критической температуры сверхпроводника от величины тока, теоретически исследовано воздействие высокочастотного тока большой амплитуды и произвольной формы на неизотермическое равновесие колеблюще...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129313 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 10. — С. 1154-1166. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860187030464495616 |
|---|---|
| author | Безуглый, А.И. Шкловский, В.А. |
| author_facet | Безуглый, А.И. Шкловский, В.А. |
| citation_txt | Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 10. — С. 1154-1166. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | В рамках феноменологического подхода, основанного на уравнении теплового баланса и зависимости
критической температуры сверхпроводника от величины тока, теоретически исследовано воздействие высокочастотного тока большой амплитуды и произвольной формы на неизотермическое равновесие колеблющейся межфазной границы в длинном сверхпроводнике. Введено усредненное самосогласованное температурное поле быстро осциллирующей неизотермической N/S границы (теплового кинка), позволяющее
выйти за пределы известной концепции среднеквадратичного нагрева и учесть влияние формы колебаний
тока. Применительно к экспериментам по воздействию СВЧ излучения большой мощности на вольтамперные характеристики (ВАХ) сверхпроводящих пленок проведена классификация и построены семейства ВАХ для неоднородных сверхпроводников, по которым пропускается ток, содержащий высокочастотную компоненту большой амплитуды. Ряд ВАХ имеет гистерезис тепловой природы.
В рамках феноменологічного підходу, заснованого на рівнянні теплового балансу і залежності критичної температури надпровідника від величини струму, теоретично досліджено вплив високочастотного
струму великої амплітуди і довільної форми на рівновагу неізотермічної міжфазної межі в довгому надпровіднику. Введено усереднене самоузгоджене температурне поле швидко осцилюючої неізотермічної
N/S межі (теплового кінка), що дозволяє вийти за межі відомої концепції середньоквадратичного нагріву
і врахувати вплив форми коливань струму. Стосовно до експериментів щодо впливу НВЧ випромінювання великої потужності на вольт-амперні характеристики (ВАХ) надпровідних плівок проведено класифікацію і побудовано сім’ї ВАХ для неоднорідних надпровідників, по яким пропускається струм, що
містить високочастотну компоненту великої амплітуди. Низка ВАХ має гістерезис теплової природи.
Within the framework of a phenomenological approach based on the heat balance equation and the current dependence of the critical temperature of the superconductor, the effect of high-frequency current of large amplitude and arbitrary waveform on the non-isothermal balance of an oscillating N/S interface in a long superconductor was studied. Self-consistent average temperature field of the rapidly oscillating non-isothermal N/S boundary (heat kink) was introduced, which allowed us to go beyond the well-known concept of mean-square heating and consider the effect of the current waveform. With regard to experiments on the effects of high-power microwave radiation on the current-voltage (IV) characteristics of superconducting films, their classification was performed and the families of IV curves of inhomogeneous superconductors carrying a current containing a high-frequency component of large amplitude. Several IV curves exhibited a hysteresis of thermal nature.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:04:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10, c. 1154–1166
Колебания неизотермической N/S границы
с высокой частотой и большой амплитудой
А.И. Безуглый1, В.А. Шкловский2
1Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт»
ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина
E-mail: bezuglyj@kipt.kharkov.ua,
2Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
E-mail: shklovskij@univer.kharkov.ua
Статья поступила в редакцию 11 июня 2016 г., опубликована онлайн 29 августа 2016 г.
В рамках феноменологического подхода, основанного на уравнении теплового баланса и зависимости
критической температуры сверхпроводника от величины тока, теоретически исследовано воздействие вы-
сокочастотного тока большой амплитуды и произвольной формы на неизотермическое равновесие колеб-
лющейся межфазной границы в длинном сверхпроводнике. Введено усредненное самосогласованное тем-
пературное поле быстро осциллирующей неизотермической N/S границы (теплового кинка), позволяющее
выйти за пределы известной концепции среднеквадратичного нагрева и учесть влияние формы колебаний
тока. Применительно к экспериментам по воздействию СВЧ излучения большой мощности на вольт-
амперные характеристики (ВАХ) сверхпроводящих пленок проведена классификация и построены семей-
ства ВАХ для неоднородных сверхпроводников, по которым пропускается ток, содержащий высокочастот-
ную компоненту большой амплитуды. Ряд ВАХ имеет гистерезис тепловой природы.
В рамках феноменологічного підходу, заснованого на рівнянні теплового балансу і залежності критич-
ної температури надпровідника від величини струму, теоретично досліджено вплив високочастотного
струму великої амплітуди і довільної форми на рівновагу неізотермічної міжфазної межі в довгому над-
провіднику. Введено усереднене самоузгоджене температурне поле швидко осцилюючої неізотермічної
N/S межі (теплового кінка), що дозволяє вийти за межі відомої концепції середньоквадратичного нагріву
і врахувати вплив форми коливань струму. Стосовно до експериментів щодо впливу НВЧ випроміню-
вання великої потужності на вольт-амперні характеристики (ВАХ) надпровідних плівок проведено кла-
сифікацію і побудовано сім’ї ВАХ для неоднорідних надпровідників, по яким пропускається струм, що
містить високочастотну компоненту великої амплітуди. Низка ВАХ має гістерезис теплової природи.
PACS: 74.25.N– Отклик на электромагнитные поля;
74.25.Sv Критические токи.
Ключевые слова: сверхпроводящие пленки, неизотермическая N/S граница, высокочастотные колебания.
1. Введение
Разрушение транспортным током сверхпроводимо-
сти в длинных сверхпроводниках — одно из тех явле-
ний, которые в одинаковой степени важны как с фунда-
ментальной точки зрения, так и для приложений. В
дальнейшем для определенности речь будет идти о
пленках из низкотемпературных сверхпроводников,
хотя основные результаты могут быть перенесены
(с соответствующей модификацией) на провода, ис-
пользуемые, в частности, для создания сверхпроводя-
щих магнитных систем.
Как оказалось, механизмы разрушения сверхпрово-
димости током довольно разнообразны и определяются
дефектной структурой образца [1], его геометрией, тем-
пературой и величиной магнитного поля. При темпера-
турах T, близких к критической температуре cT (факти-
чески, когда cT T− 0,1 К), увеличение тока в узких и
тонких пленках приводит к такому резистивному явле-
нию, как возникновение центров проскальзывания фазы
(ЦПФ) [2–4]. Заметим, что пленка является узкой, если
ее ширина { ( ), },w T ⊥ξ λ где ( )Tξ — длина когерент-
ности, а ⊥λ — эффективная длина, на которой изменя-
© А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, 2016
mailto:bezuglyj@kipt.kharkov.ua
Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой
ется перпендикулярное к пленке магнитное поле. Вели-
чина 2= 2 / ,L d⊥λ λ где Lλ — лондоновская глубина
проникновения, а d — толщина пленки; .Ld λ Фи-
зике процессов, происходящих в ЦПФ, посвящена об-
ширная литература (см., например, обзор [5]).
В пленках с шириной w ⊥λ [6] возникновение
резистивности связано с движением вихрей, которые
порождаются магнитным полем транспортного тока и
движутся от краев пленки к ее центру, где аннигили-
руют вследствие их противоположной циркуляции. В
связи с неоднородностью краев пленки такое движение
чаще всего реализуется в виде отдельных цепочек вих-
рей, каждая из которых порождается своим краевым
дефектом. При дальнейшем увеличении тока параметр
порядка на линии вихревой цепочки динамически по-
давляется [7], что может приводить к линии проскаль-
зывания фазы — двумерному аналогу ЦПФ (см. обзо-
ры [8,9] и цитируемую там литературу).
В интересующем нас случае более низких темпера-
тур ( cT T− 0,1 К) по пленке могут протекать значи-
тельные токи, и определяющую роль в разрушении
сверхпроводимости начинают играть эффекты джоулева
нагрева нормальных областей, которые часто называют-
ся тепловыми или нормальными доменами (ND) или
горячими пятнами (hotspot). Как правило, ND образуют-
ся в местах, где дефекты, сужения или вариации толщи-
ны пленки ослабляют ее сверхпроводящие свойства
[10,11]; с ростом тока ND увеличивают свою длину.
Характерной чертой такой резистивности является гис-
терезис вольт-амперные характеристики (ВАХ) тепло-
вой природы (см., например, [12]).
Таким образом, при разрушении постоянным током
сверхпроводимости в длинных образцах возможно по-
явление статических тепловых доменов, локализован-
ных на неоднородностях образца. Если же ток превы-
шает ток равновесия неизотермической N/S границы
eq ,I разрушение сверхпроводимости имеет вид бегу-
щей волны переключения между S и N фазами (тепло-
вого кинка). Наоборот, при уменьшении тока и сле-
дующем за этим восстановлении сверхпроводимости в
неоднородных сверхпроводниках тепловые домены
уменьшаются и исчезают, а в однородных сверхпровод-
никах волны переключения меняют свое направление.
Подобным неизотермическим состояниям неодно-
родных сверхпроводников посвящены обзоры [13,14],
в которых, однако, в основном рассматривается стати-
ка тепловых доменов и кинков, а их динамика обсуж-
дается лишь в случае достаточно малых и медленных
изменений протекающего через образец тока.
Вместе с тем интересен и противоположный пре-
дельный случай влияния быстрых и значительных из-
менений транспортного тока на усредненную по его
осцилляциям статику и динамику неизотермической N/S
границы, причем как с физической точки зрения (в свя-
зи с появлением экспериментальных способов визуали-
зации такой границы [15]), так и, по-видимому, с при-
кладной (вопросы тепловой стабилизации сверхпровод-
ников на переменном токе [16] и нелинейных свойств
сверхпроводящих пленок на СВЧ [17]). Обычно исполь-
зуемое в таких задачах приближение эффективного
(среднеквадратичного) нагрева [11], сводящее их к ана-
логичным задачам на постоянном токе путем тривиаль-
ной замены 2 1/2
eff ( ) ,J J J t→ ≡ 〈 〉 очевидным образом
пренебрегает вкладом реальной осцилляционной дина-
мики N/S границы в ее усредненные по таким осцилля-
циям характеристики (ток неизотермического равнове-
сия, характерный масштаб теплового размытия, сред-
нюю скорость поступательного перемещения кинка).
Действительно, исследование влияния на указанные
величины даже малой осциллирующей добавки к посто-
янному току, проведенное ранее для однородного
сверхпроводника в работе [18], показало, что в высоко-
частотном пределе, наряду с обычным среднеквадра-
тичным нагревом нормальной фазы, существует еще
несколько новых механизмов формирования теплового
поля N/S границы, связанных с ее осцилляционной ди-
намикой и дающих соответствующий вклад в ее усред-
ненные характеристики. Полученная в [18] физическая
картина быстрого движения осциллирующей N/S гра-
ницы в статическом температурном профиле постоян-
ной составляющей транспортного тока допускает обоб-
щение и на случай наличия одного лишь высокочастот-
ного тока большой амплитуды путем введения стацио-
нарного самосогласованного усредненного температур-
ного поля осциллирующей границы раздела фаз, что
позволяет свести сложную динамическую задачу о дви-
жении быстро осциллирующего кинка к значительно
более простой задаче о движении самосогласованного
усредненного профиля температуры. В общем плане
этот подход имеет сходные черты с методом решения
механической задачи о движении частицы в быстро ос-
циллирующем поле [19]. Перечислим основные задачи,
решаемые в настоящей работе.
1. В рамках феноменологического подхода, основан-
ного на уравнении теплового баланса и зависимости
критического тока однородного сверхпроводника от его
температуры, предложить новый способ самосогласо-
ванного расчета усредненных характеристик высокочас-
тотной осцилляционной динамики неизотермической
N/S границы, попутно выяснив границы применимости
концепции эффективного нагрева (разд. 2,3).
2. Конкретизировав зависимость ( )cT J в виде приня-
той в теории Гинзбурга–Ландау, получить величину тока
равновесия N/S границы в однородном сверхпроводнике
в зависимости от амплитуды и формы тока (разд. 3).
3. С использованием полученных в разд. 2 и 3 ре-
зультатов теоретически проанализировать возможные
виды вольт-амперных характеристик сверхпроводящих
пленок с неоднородностями при воздействии на них
высокочастотных токов большой интенсивности и
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10 1155
А.И. Безуглый, В.А. Шкловский
сравнить их с известными [17] экспериментальными
данными по ВАХ таких пленок на СВЧ.
2. Самосогласованное усредненное тепловое поле
Представление о самосогласованном усредненном
распределении температуры (тепловом поле), возни-
кающем при высокочастотных колебаниях N/S грани-
цы, нам будет удобно ввести на примере теплового
кинка в однородном сверхпроводнике. Известно
[18,20], что для кинка, движущегося с постоянной ско-
ростью ,v существуют два характерных масштаба
времени. Один из них — время однородной тепловой
релаксации пленки 0 ,τ а другой представляет собой
минимальное время перестройки теплового поля вбли-
зи движущейся N/S границы при изменениях тока
2 2 1
1 0= (1 /4 )T
−τ τ + v v [20]. Здесь характерная скорость
0= /T η τv , где η — тепловая длина [11]. Заметим,
что 0 1,τ τ когда .Tv v Если период колебаний
тока 0t значительно меньше, чем наименьшее из ха-
рактерных времен системы, т.е. 0 1t τ , в сверхпро-
воднике с тепловым кинком реализуется высокочас-
тотный динамический режим, в котором изменение
профиля температуры не успевает следовать за движе-
нием N/S границы, и ее положение определяется из
простого соотношения
[ ( )] = [ ( )],B cT x t T J t (1)
где T — усредненное тепловое поле. Хотя такое пред-
ставление о высокочастотном режиме первоначально
было получено в предположении о малости переменной
компоненты транспортного тока [18], т.е. для малых ам-
плитуд колебания кинка, его применимость можно рас-
пространить и на более широкую область значений пе-
ременной компоненты плотности тока 1J . Действи-
тельно, характерное время установления нового зна-
чения скорости кинка при изменении тока равно 0τ при
движении кинка в N область и равно 1τ при его движе-
нии в S область [20]. Следовательно, при частотах
1
1
−ω τ скорость не будет успевать подстраиваться под
мгновенное значение тока. Необходимо только иметь в
виду, что, в отличие от рассматриваемого в [18] случая
малых 1J , при больших 1J в выражении для 1τ под
скоростью v надо понимать не среднюю, а максималь-
ную за период скорость движения кинка. Поскольку при
1
1
−ω τ также выполняется неравенство 1
0 ,−ω τ из-
менением профиля температуры в системе дрейфа кинка
можно пренебречь по параметру 1
0( )−ωτ (см. Приложе-
ние). В результате мы приходим к уравнению (1) для
координаты N/S границы. Заметим, что в отличие от
случая малых 1J [18], когда зависимость ( )T x опреде-
лялась током 0J , при больших 1J средний профиль
температуры должен определяться самосогласованно,
так как, с одной стороны, этот профиль создается осцил-
лирующим кинком, а с другой стороны, он посредством
уравнения (1) определяет движение кинка. Задача вы-
числения самосогласованного среднего профиля темпе-
ратуры может быть решена в два этапа. Сначала полу-
чим выражения для локальной средней мощности тепло-
выделения на трех различных по состоянию участках
образца. Если область колебаний кинка в сопутствую-
щей системе отсчета заключена между Bx− и Bx+ , то при
< Bx x− (где сверхпроводимость всегда разрушена) сред-
нее тепловыделение определяется эффективным током
0
2 2
eff
0 0
1( < ) = ( ) .
t
BQ x x J J t d t
t
− ρ ≡ ρ∫ (2)
Здесь ρ — удельное сопротивление нормальной фазы.
Как и ранее [18], мы будем пренебрегать тепловыделе-
нием в сверхпроводнике за счет переменной компо-
ненты тока по сравнению с джоулевым нагревом нор-
мальной области и считать, что
( > ) = 0.BQ x x+ (3)
Среднее тепловыделение в промежуточной области с
координатами < <B Bx x x− + можно записать в виде ин-
теграла по интервалу времени, в течение которого точ-
ка x принадлежит N фазе. При этом будем считать,
что удельное сопротивление на SN границе скачком
меняется от нуля до ρ , тем самым учитывая резистив-
ные эффекты в наиболее простом виде:
2
0 ( )> [ ( )]
1( < < ) = ( )B B
T x T J tc
Q x x x J t d t
t
− + ρ∫ . (4)
Из выражения (4) видно, что усредненная мощность
тепловыделения в точке x фактически определяется
значением температуры ( ).T x Таким образом, самосо-
гласованное уравнение теплопроводности в системе
отсчета, движущейся со средней скоростью кинка ,v
имеет вид
( ) ( ) = ( ) ( ).d dT dTk T c T W T Q T
d x d x d x
+ −v (5)
Здесь ( )Q T определяется формулами (2), (3) и (4);
( )W T — средний теплоотвод в охладитель, а ( )k T и
( )c T — удельная теплопроводность и теплоемкость
пленки*. Отметим два существенных обстоятельства.
Во-первых, исходная нестационарная задача о движе-
нии N/S границы под действием быстро осциллирующе-
го тока большой амплитуды может быть сведена к хо-
рошо известному стационарному уравнению для
* Процедура усреднения исходного точного уравнения теплопроводности, вообще говоря, предполагает гладкость зависи-
мости c(T). Заметим, что достаточно гладкие зависимости c(T) наблюдаются в материалах с доминирующим фононным
вкладом в теплоемкость.
1156 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10
Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой
усредненного самосогласованного профиля температу-
ры. Во-вторых, вследствие самосогласования мощность
тепловых источников Q нелинейным образом зависит
от величины ( )T x , и уравнение (5) оказывается суще-
ственно нелинейным даже при постоянных c и k и
линейной аппроксимации для мощности теплотвода
0( ) = ( ),W T T Tα − (6)
где α — удельный коэффициент теплотвода, а 0T —
температура термостата.
Уравнение (5) позволяет известным способом [14]
получить условие нулевого дрейфа для быстро колеб-
лющегося кинка. Умножая уравнение (5) на ( )( / )k T dT d x
и интегрируя по координате x от −∞ до ,∞ получаем,
что средняя скорость кинка равна нулю при условии, что
0
( )[ ( ) ( )] = 0
TQ
T
k T W T Q T dT−∫ , (7)
где QT — температура однородного джоулева нагрева
нормальной области (наибольший корень уравнения
( ) ( )).W T Q T=
В общем случае величину скорости дрейфа кинка
v можно получить, решив аналитически или числен-
но уравнение (5) в трех областях < Bx x− , < <B Bx x x− + ,
> Bx x+ и сшивая решения и их производные на гра-
ницах. Процедура сшивки даст помимо скорости v
также и длину области колебаний N/S границы
= .B Bx x+ −δ − Графическое построение картины осцил-
ляции N/S границы в системе ее дрейфа представлено
на рис. 1.
3. Влияние формы колебаний тока на
неизотермическое равновесие N/S границы
Полученные в предыдущем разделе соотношения
справедливы при достаточно общих предположениях о
температурной зависимости теплоемкости ( )c T , теп-
лопроводности ( )k T и теплоотвода ( )Tα . Однако для
конкретности в дальнейшем мы будем рассматривать
приближение, в котором c и k не зависят от темпера-
туры, а теплоотвод пропорционален разности темпера-
тур пленки и термостата (6). Такие условия, с одной
стороны, достаточно хорошо выполняются в области
температур, близких к критической, а, с другой сторо-
ны, позволяют явным образом проанализировать влия-
ние формы колебаний тока на динамику теплового
кинка, а также (см. разд. 4) получить ВАХ неоднород-
ных сверхпроводников при фиксированных значениях
переменной компоненты тока.
В сделанных предположениях интегрирование по
частям условия равновесия кинка (7) приводит к сле-
дующему выражению:
2 0
2 2eff
0 eff
0 0
1 [ ( )] ( )
2
t
c
J
T J T J t J t d t
t
ρ
+ = α
∫ . (8)
Если воспользоваться соотношением ( ) =cT J
2/3(0)[1 ( / ) ],c cT J J= − следующим из теории Гинзбур-
га–Ландау*, то условие равновесия кинка (8) можно
свести к виду, содержащему интересующую нас зави-
симость тока от времени,
0
2 8/3
eff 0 2 2/3
0eff 0
2 (0) 12 [ (0) ] ( ) = 0.
t
c
c
c
T
J T T J t d t
tJ J
α
ρ − α − + ∫
(9)
Пусть периодическая зависимость плотности тока
от времени дается соотношениями
1 0 0
1 0 0
(4 / ) , 0 < (4 / ) < 1,
( ) =
(2 4 / ) , 1 < (4 / ) < 2
J t t t t
J t
J t t t t
ν
ν
−
(10)
и
( ) = ( ),J t J t− − (11)
* Использование приближения Гинзбурга–Ландау для Tc(J) оправдано тем обстоятельством, что при величинах теплоотвода
порядка 1 Вт см–2 K–1, характерных для пленок олова на диэлектрических подложках [17], ток равновесия кинка значитель-
но меньше критического тока Jc.
Рис. 1. Построение картины осцилляций теплового
кинка в однородной пленке для случая переменного
тока (схематически). Зависимость плотности тока от
времени (а). Зависимость критической температуры
пленки от времени: Tc(t) = Tc[J(t)] (б). Усредненное
самосогласованное температурное поле (в). Зависи-
мость координаты межфазной границы от времени (г).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10 1157
А.И. Безуглый, В.А. Шкловский
где параметр формы — число > 0.ν Степенной харак-
тер зависимости ( )J t весьма удобен для проводимого
анализа, поскольку он позволяет единым образом рас-
сматривать как широкие, близкие к прямоугольным
импульсы тока в случае малых значений параметра
формы ,ν так и импульсы в виде острых всплесков
при 1.ν Подстановка (10) и (11) в уравнение (9)
дает следующее условие равновесия кинка:
2 2/3
1 0 1/(2 1) = 2 [ (0) ] 2 ( ) (0)( / ) ,c c cJ T T K T J Jρ ν + α − − ν α
(12)
где ( ) = 3(2 1)/(8 3).K ν ν + ν +
При 0ν = уравнение (12) переходит в известное
условие равновесия кинка на постоянном токе. Причи-
на этого состоит в том, что тепловыделение и критиче-
ская температура зависят от абсолютной величины
тока, которая при = 0ν неизменна, так как колебания
тока в этом случае представляют собой последователь-
ность чередующихся прямоугольных импульсов, про-
тивоположных по полярности, но с одинаковой ампли-
тудой*. Большим значениям параметра ν соответст-
вуют более узкие и острые импульсы тока, что умень-
шает тепловыделение, и поэтому для сохранения рав-
новесия кинка необходимы большие значения 1.J
Иными словами, при фиксированной амплитуде коле-
баний тока устойчивость сверхпроводящего состояния
увеличивается с ростом .ν
Чтобы проанализировать влияние формы колебаний
тока на тепловую устойчивость сверхпроводящего со-
стояния при фиксированном тепловыделении в нор-
мальной области, т.е. при eff = const,J уравнение (12)
необходимо переписать в терминах eff =J 1/2
1 /(2 1) .J ν +
Как оказывается, в этом случае тепловая устойчивость
сверхпроводника уменьшается с ростом .ν Согласно
исследованному ранее по теории возмущений нелиней-
ному отклику [18], уменьшение устойчивости сверхпро-
водящего состояния может быть связано с дополни-
тельным к среднеквадратичному тепловыделением,
вызванным корреляцией между длиной греющейся об-
ласти и величиной тока (большей величине тока соот-
ветствует большая длина диссипативной области). Этот
эффект становится сильнее, если форма колебаний при-
нимает вид высоких и узких пиков, т.е. с увеличением
.ν Длина области колебаний кинка δ может быть дос-
таточно просто найдена в случае колебаний тока прямо-
угольной формы. В этом случае ( = 0)ν тепловыделение
и критическая температура не зависят от времени, а
профиль температуры совпадает с вычисленным ранее
[18] профилем, соответствующим кинку при постоян-
ном токе 1J . Для кинка, дрейфующего со скоростью ,v
зависимость ( )T x в сопутствующей системе отсчета
имеет вид:
____________________________________________________
2 2 1/2 2 2 1/22
1
0 2 2 1/2 2 2 1/2
[1 ( 4 ) ]exp { [( 4 ) ]/(2 )}, > 0,
( ) =
2 2 [1 ( 4 ) ]exp { [( 4 ) ]/(2 )}, < 0,
T T T
T T T
x xJ
T x T
x x
−
−
− + − + + ηρ − α − + + + + η
v v v v v v v
v v v v v v v
(13)
_______________________________________________
где 1/2( / ) ,kη = α 1/2
1 1= ( 2)/( 1) ,f f− −v а 2
1 1 1 0= / [ ( ) ].cf J T J Tρ α −
Начало координат выбрано таким образом, что темпера-
тура в точке = 0x равна 1( ).cT J Максимальное за пери-
од значение критической температуры (0)cT достигает-
ся при смене полярности тока. Подстановка этого
значения в (13) дает ширину области колебаний кинка
0
2 2 1/2 2 2 1/2
( )2
= ln 1 .
2[ (0)][( 4 ) ] ( 4 )
QT
Q cT T
T T
T T
−η δ + −+ − +
v v
v v v v v
(14)
Из уравнения (14) следует, что при малых скоростях
кинка амплитуда его колебаний имеет порядок тепло-
вой длины, а при больших скоростях амплитуда коле-
баний кинка увеличивается в ( / )Tv v раз. Выражение
(14) можно, по-видимому, использовать как оценочное
также для 1,ν т.е. для импульсов достаточно плав-
ной формы.
Остановимся теперь на вопросе о связи нашего рас-
смотрения нелинейного высокочастотного режима ко-
лебаний теплового кинка с приближением среднеквад-
ратичного нагрева. В рамках этого приближения счи-
тается [11], во-первых, что тепловое воздействие
переменного тока ( )J t на систему совпадает с воздей-
ствием на нее постоянного тока, равного по величине
eff ,J и, во-вторых, что при этом граница между N и S
фазами проходит через точки, температура которых
равна критической температуре сверхпроводника в
отсутствие тока. Перечисленные предположения при-
водят к следующему условию равновесия кинка:
2
eff 0= 2 [ (0) ],cJ T Tρ α − (15)
где 2 2
eff 1= /(2 1),J J ν + если зависимость тока от вре-
мени задается соотношениями (10) и (11).
Чтобы установить области значений параметров,
при которых приближение среднеквадратичного на-
* Мы пренебрегаем малыми термоэлектрическими поправками, приводящими к зависимости величины тока равновесия
кинка от его направления [21].
1158 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10
Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой
грева и развиваемое нами приближение самосогласо-
ванного усредненного теплового поля дают для вели-
чины тока равновесия кинка близкие результаты, ре-
шим уравнение (12), учитывая последний член в
правой части уравнения по теории возмущений. В этом
случае в нулевом приближении мы получаем ток рав-
новесия кинка в приближении среднеквадратичного
нагрева
(0) 1 1/2
01 = [2(2 1)(1 ) ] ,cJ J F −ν + − Θ (16)
а поправка первого порядка имеет вид
(1) (0)1 1/3
1 1= ( )(2 1) ( / ) ,c cJ J K F J J−− ν ν + (17)
здесь 0 0= / (0),cT TΘ а 2= / (0).c cF J Tρ α Условие мало-
сти отношения
(1) (0) 1/3 2/3
01 1| | / = ( )[(2 1)/4 ] (1 ) ,J J K F −ν ν + − Θ (18)
с одной стороны, оправдывает использование теории
возмущений, а с другой, показывает, при каких значе-
ниях параметров 0 ,θ F и ν наш подход дает малые
поправки к приближению среднеквадратичного нагрева.
В экспериментах [11] на пленках олова толщиной
около 1000 Å, напыленных на стеклянные или сапфи-
ровые подложки, величина теплоотвода (для темпера-
тур 0 > )T Tλ составляла по оценкам от 1,0 до
3,5 Вт·см–2K–1. Эти данные позволяют установить,
что значение параметра F было порядка 104. В этом
случае при 1ν и 0(1 ) 0,1− θ отношение (18) со-
ставляло приблизительно 0,1, и, таким образом, ис-
пользование приближения среднеквадратичного на-
грева для вычисления тока равновесия кинка оправ-
дано. Из формулы (18), однако, видно, что для заданного
материала пленки точность приближения среднеквадра-
тичного нагрева уменьшается как с улучшением тепло-
отвода, так и с увеличением температуры термостата. В
случае различных материалов точность этого приближе-
ния будет меньше для того материала, у которого крити-
ческое магнитное поле cH меньше, так как меньшему
значению cH соответствует меньшее значение cJ [22],
а значит и меньшее значение параметра F. Кроме того,
можно показать, что в уравнении (12) все слагаемые ста-
новятся одного порядка, если 1 0( ) .cT J T→ Иными сло-
вами, точность приближения среднеквадратичного на-
грева ухудшается, если амплитудное значение перемен-
ного тока приближается к 0= ( ).r cJ J T Как следует из
уравнения (14), при этом возрастает скорость кинка ,v а
вместе с ней и амплитуда его колебаний, что и приводит,
по-видимому, к нарушению приближения среднеквадра-
тичного нагрева, в котором N/S граница предполагается
неподвижной.
Что касается обсуждаемого в этой статье прибли-
жения самосогласованного усредненного поля, то бла-
годаря учету резистивности (хотя и весьма упрощен-
ному), оно позволяет изучать эффекты, связанные с
осцилляциями межфазной границы при высокочастот-
ных колебаниях тока. Кроме того, развиваемое прибли-
жение позволяет выйти за рамки приближения средне-
квадратичного нагрева и тем самым оценить пределы
применимости последнего.
4. Влияние высокочастотных токов большой
амплитуды на вольт-амперные характеристики
неоднородных пленок
В работе [12] были подробно изучены ВАХ пленок
как с протяженными, так и с локализованными неод-
нородностями. Участки пленки с существенно пони-
женными критическими параметрами (0)cT и ,cJ т.е.
неоднородности, для простоты считались нормаль-
ными при всех температурах 0> .T T Считалось так-
же, что величины теплопроводности, теплоемкости и
коэффициент теплоотвода в области неоднородности
могут отличаться от их значений в однородной части
пленки. Если длина неоднородности 2l существенно
превосходит собственную тепловую длину 2 ,η такая
неоднородность называлась протяженной. В противо-
положном случае 2l η неоднородность называлась
локализованной. В этом разделе мы рассмотрим
трансформацию полученных в [12] ВАХ неоднород-
ных пленок, вызванную высокочастотной компонентой
тока. Для простоты анализа в дальнейшем будем пола-
гать, что зависимость тока от времени имеет вид
0 1( ) = sin( ),J t J J t+ ω причем соотношение между ве-
личинами постоянной и переменной компоненты тока
будет считаться произвольным.
4.1. ВАХ пленок с протяженной неоднородностью
В качестве модели протяженной неоднородности
рассмотрим пленку, состоящую из двух полубесконеч-
ных частей, таких, что при температуре термостата 0T
область неоднородности ( < 0)x находится в нормаль-
ном состоянии, тогда как остальная часть пленки явля-
ется сверхпроводящей. Пусть при этом теплопровод-
ность, коэффициент теплоотвода и удельное сопро-
тивление в нормальной фазе равны 1k , 1α и 1,ρ для
> 0x и равны 2k , 2α и 2ρ для области, где < 0.x
В согласии с рассмотренной в предыдущих разде-
лах динамикой N/S границы, будем считать, что с уве-
личением тока 0J или тока 1J нормальный домен по-
является в первоначально сверхпроводящей области,
как только усредненная температура границы неодно-
родности ( = 0)x станет больше 0 1( ).cT J J+ Анало-
гично кинку граница возникшего нормального домена
осциллирует, и, таким образом, сам домен будет суще-
ствовать в течение той части периода колебаний, когда
температура в точке = 0x будет больше, чем критиче-
ская температура, т.е. когда (0) > [ ( )].cT T J t Дальней-
шая эволюция возникшего домена зависит от значения
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10 1159
А.И. Безуглый, В.А. Шкловский
параметра 2 1 1 2= / .µ ρ α ρ α Сформулируем вначале ка-
чественные результаты. Если > 1,µ неоднородность
нагревается в большей степени, чем однородная часть
пленки в нормальном состоянии, что позволяет назвать
ее «сильная неоднородность» [12]. Оказывается, что
для сильной неоднородности равновесие колеблющей-
ся N/S границы устойчиво для всех значений 0J и 1J
из области существования нормального домена, так
как для этих значений компонент тока скорость кинка
в однородной части пленки 0 1( , ) < 0.J Jv При этом с
увеличением 0J и/или 1J длина домена увеличивает-
ся, обращаясь в бесконечность, когда 0 1( , ) = 0.J Jv
В противоположном случае слабой неоднородности
( < 1,µ причем, как следует из дальнейшего, неравен-
ство должно выполняться с некоторым запасом) нагрев
неоднородной части пленки меньше, чем нагрев ее
однородной части, и температура (0)T достигает зна-
чения 0 1( )cT J J+ при токах, когда скорость кинка в
однородной части пленки 0 1( , ) > 0.J Jv Последнего
условия, однако, еще недостаточно для немедленного
разрастания нормального домена, поскольку из-за ко-
лебаний N/S границы нормальный домен существует
лишь некоторую часть периода и тепловыделение в
области колебаний межфазной границы мало. При по-
следующем увеличении 0J и/или 1J граница домена
достигает состояния неустойчивого равновесия и в
дальнейшем «отрывается» от неоднородности, что
приводит к разрастанию домена с постоянной скоро-
стью v. В результате вся пленка переходит в нормаль-
ное состояние.
Последовательное построение ВАХ неоднородных
пленок удобно проводить, изобразив на плоскости J0–J1
три характерные кривые: кривую зарождения нормаль-
ного домена, кривую нулевой скорости кинка в одно-
родной части пленки, а также кривую, проходящую че-
рез точки 0J и 1J , соответствующие значениям
компонент тока, при которых достигается граница ус-
тойчивости нормального домена.
Чтобы получить уравнение кривой зарождения нор-
мального домена, необходимо из уравнения теплопро-
водности найти зависимость ( )T x в том случае, когда
греется лишь неоднородность, и приравнять значение
температуры на границе неоднородности величине
0 1( ).cT J J+ В результате получается соотношение
2
2 eff 2 0 0 1/ (1 ) = ( ),cJ T T J Jρ α + µ + + (19)
где 2 2 2
eff 0 1= /2.J J J+ Сразу заметим, что положение
кривой зарождения нормального домена в плоскости
J0–J1 зависит от значений входящих в уравнение (19)
параметров.
Кривая, проходящая через точки с координатами
0 1( , ),J J соответствующими постоянной и переменной
компонентам тока равновесия кинка, задается уравнени-
ем (9). В случае гармонической формы колебаний тока
это уравнение принимает вид
2
1 eff 1 0= 2 [ (0) ]cJ T Tρ α − −
/2
8/31
0 12 2/3
eff /2
2 (0)
( sin )c
c
T
J J d
J J
π
−π
α
− + ϕ ϕ
π ∫ . (20)
При анализе устойчивости границы локализованно-
го возле неоднородности домена с учетом высокочас-
тотных осцилляции N/S границы мы предположим, что
критерий устойчивости такого домена (в соответствии
с [14]) совпадает с аналогичным критерием устойчиво-
сти стационарного домена, определяемого самосогла-
сованным температурным профилем. Тогда условие
[ ( ) ( )] 0,
(0)
d W x Q x d x
dT
∞
−∞
− ≥∫ (21)
физический смысл которого состоит в том, что при
флуктуационном увеличении температуры границы
неоднородности (0)T интегральная (вдоль всей плен-
ки) усредненная мощность теплоотвода превышает
интегральную усредненную мощность тепловыделения
и определяет область тепловой устойчивости домена.
Чтобы найти область устойчивости нормальных до-
менов вблизи протяженной неоднородности, заметим,
что при < 0x средняя мощность тепловыделения
2
2 eff( ) = ,Q x Jρ а средний теплоотвод 2 0( ) = [ ( ) ],W x T x Tα −
где распределение температуры ( )T x дается соответст-
вующим решением уравнения теплопроводности
2 2
0 2 eff 2 0 2 eff 2 2( ) = / [ (0) / ]exp ( / ).T x T J T T J x− ρ α + − − ρ α η
(22)
В области > 0x температурный профиль определя-
ется уравнением
2 2
1 1 0( / ) ( ) = ( ),k d T d x T T Q T+ α − (23)
в котором мощность тепловыделения задается выра-
жением (4). Условия непрерывности температуры и
теплового потока в точке = 0x приводят к уравнению
для (0)T
1/2 2 1/2
2 2 0 2 eff 2( ) [ (0) / ] = [2 ( (0)] ,k T T J S Tα − − ρ α − (24)
где введено обозначение [14]
1 1 0
0
( ) = [ ( ) ( )]
T
T
S T k T T Q T dTα − −′ ′ ′∫ . (25)
Использовав полученные соотношения, а также закон
Видемана–Франца, можно показать, что нормальный
1160 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10
Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой
домен вблизи протяженной неоднородности устойчив,
если выполняется неравенство
2 2
1 0 1 eff(1 ) [ (0) ] ( (0)) 0.T T J Q T−− µ α − + ρ − ≥ (26)
Перейдем теперь к построению ВАХ для пленки с
сильной неоднородностью. Для этого прежде всего
заметим, что поскольку ( (0))Q T не может превосхо-
дить 2
1 eff ,Jρ левая часть неравенства (26) всегда поло-
жительна, а значит, все доменные состояния при > 1µ
устойчивы. Таким образом, в случае сильной неодно-
родности в плоскости J0–J1 должны быть проведены
только две линии: линия зарождения домена (N) и ли-
ния равновесия кинка в однородной области пленки
(Е). Анализ уравнений (19) и (20) показывает, что при
> 1µ кривая зарождения нормального домена нахо-
дится между началом координат и кривой 0 1( , ) = 0J Jv
(см. рис. 2,(а)).
Детали построения ВАХ при фиксированном значе-
нии переменной компоненты тока 1J можно найти на
рис. 2. Заметим, что увеличение постоянной состав-
ляющей тока 0J при 1 = constJ соответствует движе-
нию изображающей точки 0 1( , )J J в плоскости J0–J1
вдоль прямой, параллельной оси абсцисс. Такие пря-
мые для 1 1< nJ J , 1 1 1< <n eqJ J J , 1 1> eqJ J помечены
на рис. 2(а) цифрами 1, 2, 3 соответственно. Пересече-
ния этих прямых с кривыми E и N позволяют для за-
данной величины переменной компоненты 1J найти
характерные значения постоянной компоненты, при
которых происходит зарождение нормального домена
и его распространение на всю длину пленки. Для зна-
чений 0 ,J находящихся между этими характерными
величинами, в пленке существует нормальный домен,
длина которого растет с ростом 0 ,J что приводит к
нелинейному участку на ВАХ (см. рис. 2,(б)). По-
скольку при > 1µ нормальные домены устойчивы,
вольт-амперные кривые не имеют гистерезисов. Если
уровень вводимой в пленку высокочастотной мощно-
сти настолько велик, что 1 1> ,nJ J но 1 1< ,eqJ J то
нормальный домен конечной длины существует в
пленке даже при 0 = 0.J Это приводит к ненулевому
наклону ВАХ при 0 = 0J (кривая 2). Увеличение вы-
сокочастотной мощности до значений 1 1> eqJ J при-
водит к полному переходу пленки с сильной неодно-
родностью в нормальное состояние, и ВАХ вырож-
дается в прямую, соответствующую закону Ома для
всей пленки. Семейство ВАХ, качественно подобное
изображенному на рис. 2(б), было получено экспери-
ментально [17].
Перейдем к построению ВАХ пленок со слабыми
неоднородностями ( < 1).µ Как оказывается, при этом в
некоторой узкой области значений параметра µ вбли-
зи = 1µ мы сталкиваемся с нетипичными или пере-
ходными ВАХ, соответствующими пересечению кри-
вых N и E в плоскости J0–J1. С уменьшением µ
пересечение этих кривых возникает при = 1µ и имеет
место вплоть до некоторого значения = 1 .µ − ∆µ Как
следует из уравнений (19) и (20), интервал ∆µ при
обычных величинах теплоотвода (1 Вт/см2·К) и тол-
щинах пленок порядка 1000 Å мал по сравнению с
единицей в силу большого значения параметра F и,
следовательно, составляет малую часть области воз-
можных значений параметра µ . В связи с этим мы не
будем останавливаться на построении нетипичных
ВАХ, соответствующих пересечению кривых в плос-
кости J0–J1, однако отметим, что, зная расположение
точек пересечения кривых (зависящее, в частности, и
от формы колебаний тока), построение нетипичных
ВАХ может быть проделано так же, как и типичных.
Итак, для < 1µ в типичном случае кривая равнове-
сия кинка Е расположена между началом координат и
кривой зарождения нормального домена N (рис. 3(а)).
Помимо этих двух кривых на рис. 3(а) прерывистой
линией изображена граница устойчивости нормально-
го домена, задаваемая соотношением (26). Увеличение
размеров нормального домена с ростом тока дает не-
линейные участки ВАХ в области малых напряжений
V . При уменьшении тока однородное нормальное со-
стояние в пленке остается устойчивым лишь до значе-
ний токов 0J и 1J , удовлетворяющих условию
0 1( , ) = 0.J Jv Дальнейшее уменьшение 0J приводит к
движению N/S границы в направлении неоднородно-
сти и в итоге к полному восстановлению сверхпрово-
димости. Такой физической картине соответствуют на
рис. 3(б) ВАХ для 1 = 0J (без номера) и характеристи-
Рис. 2. Случай сильной (µ > 1) протяженной неоднородности.
Схематический вид расположения на плоскости J0–J1 кривой
зарождения нормального домена вблизи неоднородности (N )
и кривой равновесия теплового кинка в однородной части
пленки (Е) (а). Семейство ВАХ в случае µ > 1 при различных
фиксированных значениях переменной компоненты тока J1
(б). Номера ВАХ соответствуют номерам фиксированных
значений J1 на рис. 2(а). Здесь и на последующих рисунках
ВАХ без номера соответствует J1 = 0.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10 1161
А.И. Безуглый, В.А. Шкловский
ка с номером 1. Обе они показывают гистерезис токов
разрушения и восстановления сверхпроводимости,
имеющий тепловую природу. Для характеристик с но-
мерами 2, 3 гистерезис возникает лишь при при первом
цикле изменений 0J . Поскольку для 1 1eq>J J умень-
шение 0J не приводит к восстановлению сверхпрово-
димости, последующие циклы будут давать обычный
закон Ома (ВАХ с номером 4).
При построении ВАХ для случая 1 = 0J [12] отме-
чалось, что если < 1/ 2µ , вблизи неоднородности мо-
жет возникать сверхпроводящий домен. Проблема воз-
никновения сверхпроводящей фазы в токовом
нормальном состоянии даже без учета тепловых эф-
фектов до сих пор является предметом исследований
(см., например, обзор [5]), поэтому используемый нами
критерий возникновения домена холодной фазы, воз-
можно, потребует своего уточнения. В настоящей ра-
боте, как и ранее [12], мы считаем, что сверхпроводя-
щий домен возникает с уменьшением тока вблизи
границы неоднородности в том случае, когда ее темпе-
ратура становится меньше, чем наибольшее в течение
периода значение критической температуры ( )cT J .
Уравнение, определяющее линию зарождения сверх-
проводящего домена, в этом случае имеет вид
0 1 0 12
1 eff 1 0
0 1
( ), > ,
/ =
(0), < .
c
c
T J J J J
J T
T J J
−
µρ α +
(27)
Нижняя граница токов для области существования
сверхпроводящего домена определяется условием
0 1( , ) = 0.J Jv Дальнейшее уменьшение тока приведет к
процессу восстановления сверхпроводимости, который,
начавшись в удаленной от неоднородности части плен-
ки, будет продвигаться к границе сверхпроводящего до-
мена, пока нормальная фаза не исчезнет полностью. Тот
факт, что восстановление сверхпроводимости начинает-
ся в удаленной части пленки (вблизи сверхпроводящих
«берегов»), связан с дополнительной устойчивостью
границы S домена из-за притока на нее тепла, выделив-
шегося на неоднородности. Это позволяет сделать вы-
вод, что максимальный размер сверхпроводящего доме-
на растет для более слабых неоднородностей, обращаясь
в бесконечность при = 0.µ На рис. 4(а) изображено ти-
пичное расположение характерных кривых в плоскости
J0–J1 для случая, когда возможно зарождение сверхпро-
водящего домена. По сравнению с предыдущим случаем
(см. рис. 3(а)) на рис. 4(а) добавляется линия зарождения
сверхпроводящего домена, обозначенная буквой S. Со-
ответствующие ВАХ изображены на рис. 4(б). Нелиней-
ные участки характеристик 1 и 2, реализующиеся при
увеличении тока 0J , связаны с возникновением и ростом
нормального домена вплоть до потери устойчивости.
Нелинейные участки этих характеристик (а также харак-
теристики для 1 = 0),J реализующиеся при уменьшении
тока 0J , связаны с зарождением сверхпроводящего до-
мена на границе с «холодной» неоднородностью и по-
следующим его ростом. Участок характеристики 2,
представленный прерывистой линией, может быть реа-
лизован лишь при первом разрушении сверхпроводяще-
го состояния пленки. Последующие циклы изменения
Рис. 3. Случай протяженной неоднородности (1/2 <µ < 1). Рас-
положение кривых N и E в случае 1/2 < µ < 1 (а). Прерывистая
линия показывает границу устойчивости нормального домена
при увеличении тока J0. Семейство ВАХ для 1/2 <µ < 1 (б).
Характеристика без номера соответствует J1 = 0. Участки
ВАХ с номерами 2 и 3, изображенные прерывистыми линия-
ми, реализуются лишь при первом разрушении сверхпроводи-
мости пленки. В дальнейших циклах изменения J0 пленка бу-
дет оставаться нормальной, чему соответствует омическая
ВАХ с номером 4.
Рис. 4. Случай протяженной неоднородности (µ 1/2). Кри-
вые зарождения нормального домена (N) и сверхпроводящего
домена (S) вблизи протяженной неоднородности (а). Прерыви-
стая линия показывает границу устойчивости нормального
домена. Часть семейства ВАХ в случае µ 1/2 для J1 < J1s (б).
Характеристики для J1 > J1s подобны характеристикам с номе-
рами 2, 3 и 4 на рис. 3
1162 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10
Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой
0J будут воспроизводить ту часть характеристики 2,
которая изображена сплошной линией.
В заключение отметим, что аналогичное построение
ВАХ на основании приближения среднеквадратичного
нагрева приведет к некоторому их сдвигу в область
больших токов 0 ,J поскольку в сторону больших то-
ков 0J сдвигаются характерные кривые на плоскости
J0–J1. Для < 1µ помимо сдвига ВАХ исчезают нели-
нейные участки при малых напряжениях, а также ис-
ключаются нетипичные случаи ВАХ. Причины этих
изменений ВАХ состоят в том, что, во-первых, в при-
ближении среднеквадратичного нагрева кривая неус-
тойчивости нормального домена совпадает с кривой
его зарождения, а, во-вторых, соответствующие харак-
терные кривые на плоскости J0–J1 не пересекаются в
отдельных точках, а сливаются целиком при значениях
параметра µ , равных 1 и 1/2.
4.2. ВАХ пленок с локализованной неоднородностью
Примером локализованной неоднородности может
служить пленка, содержащая небольшой участок с по-
ниженным значением критического тока (или просто
нормальный участок), размеры которого много меньше
масштаба, на котором меняется температура. В этом
случае для малых токов джоулево тепло выделяется
только на неоднородности, т.е. при | | < .x l С ростом
эффективного значения тока температура неоднород-
ности возрастает, и при условии
0 1( ) = ( )cT l T J J± + (28)
с обеих сторон от неоднородности симметрично воз-
никают два колеблющихся нормальных домена. Гра-
ница зарождения доменов может быть получена путем
решения уравнения теплопроводности, что дает
2
1 eff 1 0 0 1/2 = ( ),cJ T T J Jερ α + + (29)
где введенный в [12] параметр 2= 2 /lε µ η описывает
тепловую интенсивность неоднородности. Как и ранее,
индексы «1» и «2» относятся к величинам для одно-
родной части пленки и для неоднородности соответст-
венно. Аналогично [12] будем считать, что несмотря на
малость отношения 2/ ,l η параметр ε может быть по-
рядка единицы благодаря большим значениям µ . С
учетом этого обстоятельства уравнение для температу-
ры в начале координат принимает вид
2 1 1/2
1 eff 1 1/ = [8 ( (0))] ,J k S T−ερ α (30)
где ( (0))S T задается соотношением (25). При выводе
уравнения (30) мы пренебрегли различием между тем-
пературами ( )T l и (0)T , поскольку их разность квад-
ратична по малому параметру 2/ .l η В остальном вы-
вод уравнения (30) аналогичен выводу уравнения (24).
Условие устойчивости нормального домена, получае-
мое из (21), с точностью до 2
2( / )l η имеет вид
1 0[ (0) )] ( (0)),T T Q Tα − ≥ (31)
где (0)T задается соотношением (30), a ( )Q T — соот-
ношением (4). Учитывая, что 2
1 eff( (0))Q T J≤ ρ и
2
1 0 1 eff[ (0) )] ( /2) ,T T Jα − ≥ ε ρ можно сделать вывод об
устойчивости нормальных доменов в случае > 2.ε
Сравнив условие зарождения нормального домена (29) и
условие равновесия кинка в однородной области, можно
показать, что при > 1ε линия зарождения нормального
домена в плоскости J0–J1 расположена ближе к началу
координат, чем линия 0 1( , ) = 0.J Jv Таким образом, при
> 2ε ситуация аналогична случаю > 1,µ а значит и
ВАХ аналогичны изображенным на рис. 2(б).
Чтобы получить ВАХ для < 2,ε рассмотрим зави-
симость ( (0))S T в формуле (30). Она имеет N-образный
характер, т.е. содержит два экстремума, если
2
1 eff 1 0 1 0/ ( )cJ T J J Tρ α > − − (32)
при 0 1>J J либо
2
1 eff 1 0/ > (0)cJ T Tρ α − (33)
при 0 1<J J (рис. 5(б)). Эти экстремумы соответствуют
границам устойчивости нормального домена для ло-
кальной неоднородности, и их положение может быть
найдено из соотношения (31), если в нем взять знак
равенства.
Рассмотрим такие значения 1 1/ ,ρ α 0J и 1,J для ко-
торых, с одной стороны, ( (0))S T имеет N-образную
Рис. 5. Схематический вид кривых dS/dT и S(T) для фиксиро-
ванных значений J0, J1 и ρ2/α2. Номера кривых возрастают с
увеличением отношения ρ1/α1. Кривая 1 соответствует наи-
большему значению ρ1/α1, при котором S(T) монотонно воз-
растает; кривые 2, 3 и 4 соответствуют значениям ρ1/α1 для
которых v < 0, v = 0 и v > 0 (v — скорость теплового кинка
вне области теплового влияния неоднородности).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10 1163
А.И. Безуглый, В.А. Шкловский
форму, а с другой стороны, 0 1( , ) < 0J Jv (кривая 2 на
рис. 5(б)). При этом условия (32) или (33) в главном
приближении по малому параметру 1F − могут быть
записаны как 1 > 1f , где 2
1 1 eff 1 0= / [ (0) ].cf J T Tρ α − С
другой стороны, в том же приближении по 1F − усло-
вие 0 1( , ) < 0J Jv может быть записано в виде 1 < 2,f а
условие зарождения нормального домена (29) можно
представить в виде 1= 2/ .fε Объединяя все получен-
ные неравенства, можно сделать вывод, что кривой 2
на рис. 5(б) соответствуют 1 < < 2.ε На рис. 6 изобра-
жены характерные кривые в плоскости J0–J1 и ВАХ
для случая 1 2.≤ ε ≤
Рассмотрим, наконец, тот случай, когда срыв нор-
мального домена при увеличении тока происходит при
0 1( , ) 0.J J >v При этом 1 > 2f и < 1ε . На рис. 7(а) и
7(б) представлено построение ВАХ для 1.ε ≤
Необходимо отметить, что расположение характер-
ных кривых, приведенное на рис. 6(а) и 7(а), имеет ме-
сто, если условия 1 < < 2ε и < 1ε выполняются с неко-
торым запасом (что записывалось в виде 1 2).ε
Причина этого состоит в том, что при учете поправок,
возникающих в более высоком порядке по параметру
1,F − возможны пересечения кривых в плоскости J0–J1.
Так, при значении ε меньшем, но достаточно близком к
единице, возможно пересечение кривых зарождения нор-
мального домена и 0 1( , ) 0.J J =v Можно показать, что
это пересечение происходит, если (1 ) < < 1− ∆ε ε , где
1/3 2/3
0 (1 ) .F − −∆ε − Θ Таким образом, переходная об-
ласть мала при достаточно большом значении F и 0 ,Θ
не слишком близком к единице.
5. Заключение
Подведем итог. Ключевым моментом данной рабо-
ты является введение самосогласованного температур-
ного поля быстро осциллирующего теплового кинка,
что позволило свести исходную сложную нестацио-
нарную нелинейную задачу о движении неизотермиче-
ской N/S границы под действием переменного высоко-
частотного тока большой амплитуды и произвольной
формы к известной стационарной (и, конечно, нели-
нейной) задаче о равномерном движении теплового
кинка.
Такое сведение, в отличие от приближения эффек-
тивного нагрева, позволяет самосогласованно вычис-
лить величину тока равновесия неизотермической N/S
границы в зависимости от характеристик тока — его
амплитуды 1J и коэффициента формы ν (формула
(12)). Отметим также, что реализованная в таком подхо-
де возможность учета влияния формы тока на усред-
ненные характеристики такой существенно нелинейной
системы, как неизотермическая N/S граница, достаточно
интересна как сама по себе, так и в связи с эксперимен-
тальными возможностями использования теплового
домена как нелинейного элемента в СВЧ криоэлект-
ронике.
С физической точки зрения проведенный нами само-
согласованный учет осцилляций границы приводит к
эффективному «размытию» области тепловыделения на
границе раздела фаз (имеющей в отсутствие осцилляций
вид ступеньки). Поэтому, в связи с упоминавшимся во
Введении появлением новых способов визуализации
неизотермической N/S границы [15], уместно акценти-
Рис. 6. Случай локализованной неоднородности (1 ε 2).
Расположение кривых N и E в случае 1 ε 2 (а). Прерыви-
стой и штрихпунктирной линиями изображены границы ус-
тойчивости нормального домена при увеличении и уменьше-
нии тока J0 соответственно. Часть семейства ВАХ в случае
1 ε 2 для J1 < J1n. Участок ВАХ с номером 2. изобра-
женный прерывистой линией, реализуется лишь при первом
разрушении сверхпроводимости пленки (б).
Рис. 7. Случай локализованной неоднородности (ε 1). Рас-
положение кривых N и E, а также границ устойчивости нор-
мального домена при возрастании (– –) и убывании (– ⋅ –) то-
ка (а). Часть семейства ВАХ в случае ε 1 для J1 < J1eq (б).
Участок ВАХ с номером 2, изображенный прерывистой ли-
нией, реализуется лишь при первом разрушении сверхпрово-
димости пленки.
1164 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10
Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой
ровать внимание на тех случаях, когда упомянутое эф-
фективное тепловое размытие δ может превышать
обычную тепловую длину. Для покоящегося кинка это
случай 1ν (острые импульсы). Заметим, что при
этом переменная добавка к температуре также будет
отлична от нуля в области длиной ,δ η тогда как в
постановке эксперимента с постоянным током и высо-
кочастотным переменным точечным источником тепла
[23] переменная добавка к температуре наблюдалась
лишь на скиновой длине 1/2
0( ) .a
−η η ωτ На наш
взгляд, представило бы интерес экспериментальное изу-
чение исследованных нами особенностей осцилляцион-
ной динамики N/S границы на переменном токе мето-
дами, использованными в работах [15,23]. Наконец
отметим, что результаты разд. 4 могут быть использова-
ны при анализе экспериментов по влиянию СВЧ излу-
чения на ВАХ пленочных систем.
Приложение
В разд. 2 нас интересовала динамика распределения
температуры при самосогласованном изменении дли-
ны греющейся области. Ряд общих представлений о
формировании температурного поля в случае про-
странственных колебаний движущегося поступательно
теплового источника можно получить, если обратиться
к следующей вспомогательной задаче. Пусть в одно-
мерной системе распределение мощности тепловыде-
ления задано в виде движущейся ступеньки, т.e.
0( , ) = ( sin ),Q x t Q t x a tχ − + ωv где ( )xχ — функция
Хевисайда. Подобный нагрев можно осуществить, на-
пример, с помощью достаточно длинного нагревателя,
который одновременно с гармоническими колебания-
ми совершает поступательное движение со скоростью
.v В этом случае распределение температуры будет
подчиняться уравнению
2
0 02 ( ) = ( sin )T Tc k T T Q t x a t
t x
∂ ∂
− + α − χ − + ω
∂ ∂
v , (П.1)
где обозначения такие же, как и в основном тексте. Так
как движение нагревателя задано, это позволяет с по-
мощью известной функции Грина сразу написать вы-
ражение для установившейся при больших временах t
безразмерной температуры
0
1 ( ) sin ( )( , ) = e 1
2 2
u x t u a t ux t du
u
∞
− − − − ω − Θ − Φ ∫
v .
(П.2)
Здесь ( )xΦ — функция ошибок, а координата и время
измеряются в единицах η и 0τ соответственно. Ана-
лиз выражения (П.2) удобно проводить в сопутствую-
щей ( = )y x t− v системе. В этой системе температура
( , )y tΘ представляет собой сумму монотонной части
0 ( )yΘ , имеющей вид размытой ступеньки , и осцилли-
рующей с частотой ω добавки ( , ).y tΘ Чтобы выде-
лить осциллирующую компоненту, разложим темпера-
туру ( , )y tΘ в ряд Фурье
=
( , ) = ( )e in t
n
n
y t y
∞
− ω
−∞
Θ Θ∑ , (П.3)
____________________________________________________
где
20
0 0
| |1( ) = ( , )e = e 1 sgn( ) sgn( ) exp .
2 4 (1 ) 2 2
t
in t in n
n
n
y Vyy y t d t d y y
in V
π
ω ϕ ω Θ Θ ϕ − − − − − π π − ω
∫ ∫
v v (П.4)
_______________________________________________
В (П.4) введены обозначения =y siny a t= − ω и
2= 4 4 ,nV in+ − ωv причем нужная ветвь корня опре-
деляется условием > 0.nVℜ Отметим, что при = 0a
интегралы с 0n ≠ исчезают, и мы приходим к извест-
ному выражению для температурного поля бегущего
кинка (см., например, [18]).
Важным условием реализации рассмотренного в ста-
тье высокочастотного режима является малость относи-
тельной величины переменной составляющей темпера-
туры. Анализ выражения (П.4) показывает, что в
переменную составляющую температуры вносят вклад
второе и третье слагаемые в квадратных скобках. Первое
из них описывает изменение температуры в области ко-
лебаний | | < ,y a вызванное ее периодическим нагревом
за счет колеблющегося нагревателя. Этот вклад обратно
пропорционален частоте и уменьшается до нуля при
.y a→ ± Второй вклад в ( , ),y tΘ формально связанный
с третьим слагаемым, возникает вследствие суперпози-
ции температурных волн, приходящих в момент времени
t в точку с координатой .y Этот вклад доминирует над
первым вблизи границы области колебаний. Как следует
из (П.4), величина вклада имеет порядок 1 1/2( )a− −ω ω
при 1a ω и порядка 1( )a−ω ω , если 1.a ω В
первом случае, когда длина области колебаний много
больше скиновой длины для температурных волн
1/2 ,a
−η ω дополнительный к 1−ω малый множитель
1/2( )a −ω возникает из-за того, что в точку наблюдения
y приходят температурные волны из малой части об-
ласти колебаний размерами порядка .aη Во втором слу-
чае, когда длина затухания температурных волн ,a aη
в точку наблюдения приходят температурные волны,
излученные на всей длине области колебаний. Их фазы,
однако, таковы, что суперпозиция приводит к взаимному
погашению волн. Ненулевой остаток связан с набегом
фазы на длине a, имеющим порядок 1.a ω
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10 1165
А.И. Безуглый, В.А. Шкловский
В высокочастотном пределе отношение амплитуды
переменной компоненты температурного поля к его
постоянной компоненте мало независимо от координа-
ты y. Так, например, в области y a при больших
скоростях дрейфа ( 1,v 1),a v когда 0 ( )yΘ сама
является малой и по порядку величины составляет
2 1/2( ) ,a− −v v отношение 0/Θ Θ приближенно равно
2 5/4( / ) 1.ω v
Заметим, что в случае быстрых осцилляций тепло-
вого источника малость амплитуды переменной ком-
поненты температурного поля позволила нам пренеб-
речь ею и ввести (в разд. 2) представление о само-
согласованном усредненном поле температуры.
1. Y.L. Wang, L.R. Thoutam, Z.L. Xiao, B. Shen, J.E. Pearson,
R. Divan, L.E. Ocola, G.W. Crabtree, and W.K. Kwok,
Phys. Rev. B 93, 045111 (2016).
2. W.A. Little, Phys. Rev. 156, 396 (1967).
3. J.S. Langer and V. Ambegaokar, Phys. Rev. 164, 498 (1967).
4. W.J. Skocpol, M.R. Beasley, and M. Tinkham, J. Low Temp.
Phys. 16, 1456 (1974).
5. Б.И. Ивлев, Н.Б. Копнин, УФН 142, 435 (1984).
6. В.М. Дмитриев, И.В. Золочевский, Е.В. Безуглый, ФНТ
34, 1245 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 982 (2008)].
7. D.Y. Vodolazov and F.M. Peeters, Phys. Rev. B 76, 014521
(2007).
8. И.М. Дмитренко, ФНТ 22, 849 (1996) [Low Temp. Phys.
22, 648 (1996)].
9. И.В. Золочевский, ФНТ 40, 1111 (2014) [Low Temp. Phys.
40, 867 (2014)].
10. J.W. Bremer and V.L. Newhouse, Phys. Rev. Lett. 1, 282
(1958).
11. W.J. Skocpol, M.R. Beasley, and M. Tinkham, J. Appl. Phys.
45, 4054 (1974).
12. A.I. Bezuglyj and V.A. Shklovskij, J. Low Temp. Phys. 57,
227 (1984).
13. W.J. Skocpol, Nonequilibrium Effects in 1-D Super-
conductors, in: Honequilibrium Superconductivity, Phonons
and Kapitza Boundaries, K.E. Gray (ed.), Plenum, Hew
York (1981), chap. 18.
14. А.Вл. Гуревич, Р.Г. Минц, УФН 42, 61 (1984).
15. R. Eichele, L. Freytag , H. Seifert, R.P. Huebener, and J.R.
Clem, J. Low Temp. Phys. 52, 449 (1983).
16. B.A. Альтов, В.Б. Зенкевич, М.Г. Кремлев, В.В. Сычев,
Стабилизация сверхпроводящих магнитных систем,
Энергия, Москва (1975).
17. И.И. Еру, В.А. Кащей, С.А. Песковацкий, В.С. Сулима,
ФТТ 16, 3133 (1974).
18. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, ФТТ 27, 2980 (1985).
19. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Механика, Наука, Москва
(1973).
20. А.И. Безуглый, В.А. Шкловский, ФНТ 12, 16 (1986) [Sor.
J. Low Temp. Phys. 12, 9 (1986)].
21. А.Вл. Гуревич, Р.Г. Минц, Письма в ЖЭТФ 31, 52
(1980).
22. J. Bardeen, Rev. Mod. Phys. 34, 667 (1962).
23. L. Freytag, R.P. Huebener, and H. Seifert, J. Low
Temp. Phys. 60, 365 (1985).
Oscillations of non-isothermal N/S boundary with
a high frequency and large amplitude
A.I. Bezuglyj and V.A. Shklovskij
Within the framework of the phenomenological ap-
proach based on the heat balance equation and the de-
pendence of the critical temperature of the supercon-
ductor on the current value theoretically investigated
the impact of high-frequency current of high ampli-
tude and arbitrary shape on the non-isothermal balance
of the oscillating N/S interface in a long superconduc-
tor. We introduce a self-consistent average tempera-
ture field of rapidly oscillating non-isothermal N/S
boundary (heat kink), which allows to go beyond the
well-known concept of mean-square heating and con-
sider the impact of current waveform. With regard to
experiments on the effects of microwave high-power
radiation on the current-voltage characteristics (CVC)
of superconducting films, we give the classification of
the families of the CVC for inhomogeneous supercon-
ductors which carry a current containing a high fre-
quency component of large amplitude. Several charac-
teristics have hysteresis of thermal nature.
PACS:74.25.N– Response to electromagnetic fields;
74.25.Sv Critical currents.
Keywords: superconducting films, non-isothermal N/S
boundary, high frequency oscillations.
1166 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 10
1. Введение
2. Самосогласованное усредненное тепловое поле
3. Влияние формы колебаний тока на неизотермическое равновесие N/S границы
4. Влияние высокочастотных токов большой амплитуды на вольт-амперные характеристики неоднородных пленок
4.1. ВАХ пленок с протяженной неоднородностью
4.2. ВАХ пленок с локализованной неоднородностью
5. Заключение
Приложение
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129313 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:04:47Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Безуглый, А.И. Шкловский, В.А. 2018-01-18T18:04:06Z 2018-01-18T18:04:06Z 2016 Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой / А.И. Безуглый, В.А. Шкловский // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 10. — С. 1154-1166. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 74.25.N–, 74.25.Sv https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129313 В рамках феноменологического подхода, основанного на уравнении теплового баланса и зависимости
 критической температуры сверхпроводника от величины тока, теоретически исследовано воздействие высокочастотного тока большой амплитуды и произвольной формы на неизотермическое равновесие колеблющейся межфазной границы в длинном сверхпроводнике. Введено усредненное самосогласованное температурное поле быстро осциллирующей неизотермической N/S границы (теплового кинка), позволяющее
 выйти за пределы известной концепции среднеквадратичного нагрева и учесть влияние формы колебаний
 тока. Применительно к экспериментам по воздействию СВЧ излучения большой мощности на вольтамперные характеристики (ВАХ) сверхпроводящих пленок проведена классификация и построены семейства ВАХ для неоднородных сверхпроводников, по которым пропускается ток, содержащий высокочастотную компоненту большой амплитуды. Ряд ВАХ имеет гистерезис тепловой природы. В рамках феноменологічного підходу, заснованого на рівнянні теплового балансу і залежності критичної температури надпровідника від величини струму, теоретично досліджено вплив високочастотного
 струму великої амплітуди і довільної форми на рівновагу неізотермічної міжфазної межі в довгому надпровіднику. Введено усереднене самоузгоджене температурне поле швидко осцилюючої неізотермічної
 N/S межі (теплового кінка), що дозволяє вийти за межі відомої концепції середньоквадратичного нагріву
 і врахувати вплив форми коливань струму. Стосовно до експериментів щодо впливу НВЧ випромінювання великої потужності на вольт-амперні характеристики (ВАХ) надпровідних плівок проведено класифікацію і побудовано сім’ї ВАХ для неоднорідних надпровідників, по яким пропускається струм, що
 містить високочастотну компоненту великої амплітуди. Низка ВАХ має гістерезис теплової природи. Within the framework of a phenomenological approach based on the heat balance equation and the current dependence of the critical temperature of the superconductor, the effect of high-frequency current of large amplitude and arbitrary waveform on the non-isothermal balance of an oscillating N/S interface in a long superconductor was studied. Self-consistent average temperature field of the rapidly oscillating non-isothermal N/S boundary (heat kink) was introduced, which allowed us to go beyond the well-known concept of mean-square heating and consider the effect of the current waveform. With regard to experiments on the effects of high-power microwave radiation on the current-voltage (IV) characteristics of superconducting films, their classification was performed and the families of IV curves of inhomogeneous superconductors carrying a current containing a high-frequency component of large amplitude. Several IV curves exhibited a hysteresis of thermal nature. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур К 30-летию открытия высокотемпературной сверхпроводимости Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой High-frequency large-amplitude oscillations of a non-isothermal N/S boundary Article published earlier |
| spellingShingle | Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой Безуглый, А.И. Шкловский, В.А. К 30-летию открытия высокотемпературной сверхпроводимости |
| title | Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой |
| title_alt | High-frequency large-amplitude oscillations of a non-isothermal N/S boundary |
| title_full | Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой |
| title_fullStr | Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой |
| title_full_unstemmed | Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой |
| title_short | Колебания неизотермической N/S границы с высокой частотой и большой амплитудой |
| title_sort | колебания неизотермической n/s границы с высокой частотой и большой амплитудой |
| topic | К 30-летию открытия высокотемпературной сверхпроводимости |
| topic_facet | К 30-летию открытия высокотемпературной сверхпроводимости |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129313 |
| work_keys_str_mv | AT bezuglyiai kolebaniâneizotermičeskoinsgranicysvysokoičastotoiibolʹšoiamplitudoi AT šklovskiiva kolebaniâneizotermičeskoinsgranicysvysokoičastotoiibolʹšoiamplitudoi AT bezuglyiai highfrequencylargeamplitudeoscillationsofanonisothermalnsboundary AT šklovskiiva highfrequencylargeamplitudeoscillationsofanonisothermalnsboundary |