Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
Уравнение Смолуховского и его обобщения, описывающие слияния частиц, позволяют понять основные этапы формирования распределения галактик по массам (функции масс галактик), устанавливающиеся в результате слияний, и, тем самым, дать объяснение результатам многолетних наблюдений
 на космичеcком...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129352 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции / В.М. Конторович // Физика низких температур. — 2016. — Т. 43, № 1. — С. 41-56. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860130327325835264 |
|---|---|
| author | Конторович, В.М. |
| author_facet | Конторович, В.М. |
| citation_txt | Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции / В.М. Конторович // Физика низких температур. — 2016. — Т. 43, № 1. — С. 41-56. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Уравнение Смолуховского и его обобщения, описывающие слияния частиц, позволяют понять основные этапы формирования распределения галактик по массам (функции масс галактик), устанавливающиеся в результате слияний, и, тем самым, дать объяснение результатам многолетних наблюдений
на космичеcком телескопе имени Хаббла и крупных наземных телескопах.
Рівняння Смолуховського та його узагальнення, які описують злиття частинок, дозволяють зрозуміти
основні етапи формування розподіла галактик по масах (функції мас галактик), що встановлюються в
результаті злиття, і, тим самим, дати пояснення результатам багаторічних спостережень за допомогою
космічного телескопа імені Хаббла та великих наземних телескопах.
Smoluchowski equation and its generalizations, describing the merger of the particles, allow us to understand the main stages of the formation of galaxy mass functions, established as a result of mergers, and their evolution and thus provides an explanation for the results of long-term observations with the Hubble Space Telescope and large ground-based telescopes.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:44:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1, c. 41–56
Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
В.М. Конторович
Радиоастрономический институт НАН Украины
ул. Искусств, 4, г. Харьков, 61002, Украина
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина
пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61022, Украина
E-mail: vkont@rian.kharkov.ua; vkont1001@yahoo.com
Статья поступила в редакцию 30 июня 2016 г., опубликована онлайн 25 ноября 2016 г.
Уравнение Смолуховского и его обобщения, описывающие слияния частиц, позволяют понять основ-
ные этапы формирования распределения галактик по массам (функции масс галактик), устанав-
ливающиеся в результате слияний, и, тем самым, дать объяснение результатам многолетних наблюдений
на космичеcком телескопе имени Хаббла и крупных наземных телескопах.
Рівняння Смолуховського та його узагальнення, які описують злиття частинок, дозволяють зрозуміти
основні етапи формування розподіла галактик по масах (функції мас галактик), що встановлюються в
результаті злиття, і, тим самим, дати пояснення результатам багаторічних спостережень за допомогою
космічного телескопа імені Хаббла та великих наземних телескопах.
PACS: 05.20.Dd Кинетическая теория;
98.62.Ai Происхождение, формирование, эволюция, возраст и формирование звезды;
98.62.Dm Kinematics, dynamics, and rotation.
Ключевые слова: галактики: эволюция, слияния, большие красные смещения; уравнение коагуляции.
1. Введение
Долгое время считалось, что после своего образова-
ния в результате развития гравитационной неустойчи-
вости (из газового протогалактического облака), галак-
тики эволюционируют сугубо индивидуально. Такая
точка зрения, казалось бы, подтверждалась как «разбе-
ганием» галактик в расширяющейся Вселенной, так и
простейшими газокинетическими оценками, согласно
которым вероятность столкновения («типичных»,
«средних») галактик за хаббловское время пренебрежи-
мо мала — порядка ~10–4. В том, что эта оценка зани-
жена, легко убедиться, разделив число (пекулярных,
взаимодействующих) объектов в каталоге Воронцова–
Вельяминова и (или) Арпа и Мадоре — несколько сот
— на число «нормальных» объектов в каталоге Дрейера
(NGC — десяток тысяч). Тот же результат (10–2) мы
получим, подсчитав долю пекулярных галактик в ката-
логе Вокулера и др. (RC3). Еще существенней роль
слияний в более плотной Вселенной на больших крас-
ных смещениях. Наблюдательные данные последних
трех десятилетий, в особенности данные космического
телескопа Хаббла и крупнейших наземных телескопов,
дают убедительные доказательства этому.
Важнейшая динамическая характеристика галакти-
ки — ее масса — разумеется, претерпевает изменения
в процессе слияний. Устанавливается распределение
по массам — функция масс (ФМ), в свою очередь, оп-
ределяющая функцию светимости (ФС) галактик, —
величину, непосредственно измеряемую. Для того что-
бы перейти от ФС к ФМ, используют статистические
данные об отношении масса–светимость.
Если массивные галактики преимущественно обра-
зуются в результате слияния менее массивных галак-
тик, то этот процесс, несомненно, отражает их ФМ.
Вычислить такую функцию можно (если ограничиться
парными слияниями), решив описывающее ее кинети-
ческое уравнение коагуляции — уравнение Смолухов-
ского. Это уравнение имеет очень широкую область
применения, в частности, оно эффективно использова-
лось И.М. Лифшицем в работах по кинетике твердых
растворов [1]. Данный обзор посвящен применениям
этого уравнения для анализа ФМ галактик и их эволю-
ции. Он ориентирован на физиков, поэтому ссылки на
© В.М. Конторович, 2017
В.М. Конторович
различные астрономические применения ограничены
(см. обсуждение и ссылки в [2]).
2. Уравнение Смолуховского и взрывная эволюция
Кинетическое уравнение Смолуховского (УС), учи-
тывающее парные слияния*, имеет вид
1 212
( , ) [ cycle bicycle]1 2 | mm
f m t dm dm U f f
t
∂
= δ − −∫∂
,
(2.1)
где 1 1( , )f f M t= и так далее, ФМ, 1 2( )M M M Mδ ≡ δ − −
— дираковская δ-функция, выражающая закон сохра-
нения массы M при слияниях, cycle означает цикличе-
скую перестановку аргументов («масс» ) M, M1 и M2;
bicусle — двойную их перестановку в сравнении с пер-
вым слагаемым. Аналогично, в случае обобщенного
УС для распределения по массам и моментам (см. ни-
же), мы будем считать выполняющимся также закон
сохранения момента количества движения**.
В астрофизике традиционно используется УС с по-
стоянным коэффициентом коагуляции U для описания
слияния межзвездных облаков. В случае галактик
весьма существенной оказывается зависимость U от
масс, которая приводит, в частности, к взрывной эво-
люции ФМ, если показатель однородности коэффици-
ента коагуляции u (в простейшем случае )uU M∝
превышает единицу (см. обзоры [3–5]).
Это необычное поведение решения УС в случае, ко-
гда вероятность слияния растет быстрее первой степе-
ни массы (так звучит это условие в удобных для нас
терминах), было открыто в замечательной работе
В. Стокмайера [6], посвященной золь-гель переходу (в
которой он, между прочим, благодарит за обсуждение
Марию Гепперт-Майер), а затем последовательно пе-
реоткрывалось в других областях физики, геофизики,
метеорологии и т.п. (см. монографию [3] и ссылки в
ней, а также [7,8]).
В этом случае в системе происходит нечто близкое
к кинетическому фазовому переходу: за конечное вре-
мя tcr устанавливается квазистепенное M −αΦ ∝ рас-
пределение вплоть до формально бесконечных масс
(«взрывная» эволюция). У галактик на такое поведе-
ние, в связи с проблемой активности галактик и воз-
никновения квазаров, было впервые указано в работах
римской и харьковской групп [9,10].
Приведем в качестве иллюстрации, следуя [3], при-
меры точных решений, демонстрирующих взрывное
поведение. При вероятности слияний, пропорциональ-
ной произведению масс 1 2U cM M= (Стокмайер 1943,
Трубников 1971, МакЛеод 1972) начальное распреде-
ление, локализованное на малых массах порядка
*M M , при t ® tcr приводит к асимптотике (полное
решение и значение tcr приведено в [3])
2
* cr
3/4 1(2) 45/ 2cr
*
(0)( , ) e
2
M t
M ttMf M t M M
t
− − −
π
,
*
(2)
0
*
(0)( ) e
M
MMf M
MM
−
= , (2.2)
причем в точке «взрыва» crt t= распределение стано-
вится чисто степенным вплоть до бесконечных масс, а
второй момент распределения ( )2 2
0
( ) ( , )M t dM M f M t
∞
= ∫
расходится: ( ) ( )2
2
cr
(0)( )
1 /
MM t
t t
=
−
cr( ).t t< Возникающее
степенное распределение с показателем α = 5/2 соот-
ветствует постоянному потоку массы по спектру.
Приведем также в качестве иллюстрации важный
пограничный случай, когда вероятность слияния про-
порциональна сумме масс U(M1 + M2) = c(M1 + M1) и
показатель однородности u равен 1 (Головин 1968,
Трубников 1971) при начальном распределении вида
*/
0 0 *( ) ( / )e .M Mf M N M −= Асимптотика точного реше-
ния при t ® ∞, M ® ∞
2
*
3/2 (1 )
0 *
*
(1 )( , ) e
2
M
MN M
f M t
M M
− − τ − τ
= π τ
,
0
( )1 N t
N
τ ≡ − (2.3)
показывает переход к чисто степенной функции при
1τ → за счет стремления числа частиц ( )N t к нулю
при .t → ∞ Эта степень с показателем α = 3/2 отвечает
постоянному потоку числа частиц в область бесконеч-
ных масс. Можно считать такое поведение тоже
взрывным с cr ,t = ∞ что вполне отвечает погранично-
му значению показателя однородности u = 1. Получае-
мые асимтотики имеют вид функции Шехтера, в тер-
минах параметров которой обычно описывается
наблюдаемая ФС и которыми мы будем пользоваться
для описания ФМ.
* Выход за эти рамки требует использования значительно более изощренного математического аппарата, который примени-
тельно к интересующему нас кругу задач еще только развивается.
** Эти условия отнюдь не очевидны, но в определенной мере подтверждаются численными экспериментами [2].
42 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1
Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
3. Вероятность слияния галактик
Эта величина неоднократно обсуждалась в разных
приближениях и аналитически, и в численных экспе-
риментах. Поскольку за неупругость столкновения,
приводящую к слиянию, ответственны быстро убы-
вающие приливные силы в бесстолкновительной
звездной подсистеме галактик, для слияния необхо-
димо их тесное сближение (вплоть до перекрытия).
При большой относительной скорости галактики
пройдут друг сквозь друга даже при полном пересе-
чении. Сечение слияния* используем в виде σ =
2
1 2( ) (1 ) ( ),R R= π + + γ ϕ γ где 2 2/gγ ≡ v v — параметр
фокусировки, а ϕ(γ) ® 1 при γ ® ∞; ϕ(γ) ® 0 при
γ ®0. Простейший вариант критерия слияния, кото-
рым будем пользоваться в приводимых примерах
(влиянием собственных моментов будем пренебре-
гать), таков: 1) минимальное расстояние между стал-
кивающимися галактиками меньше суммы их радиу-
сов (R1+R2); 2) относительная скорость на бес-
конечности меньше скорости убегания vg. Последнее
означает выбор функции ϕ в сечении σ в виде ступень-
ки, что соответствует убыванию ϕ быстрее, чем γ–2. Это
приводит к следующему выражению для коэффициента
коагуляции ,U ≡ σv где черта означает усреднение по
скоростям:
( )( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 1 2
2
2 1 2
большые массы
малые массы
c M M M M
U
c M M
β β + +=
+
(3.1)
(см. ссылки в [2]). Здесь радиус галактики R связан с
массой M соотношением R = CMβ (β = 1/3 соответствует
постоянной плотности, β = 1/2 — наблюдаемым законам
Фабер–Джексона и Талли–Фишера); 2c = 1 2(9/2)(3 )π ×
2 3/ ,rmsG× v 1 2
2 2(3 ) / ,rmsc CG= π v где v — относитель-
ная скорость, а G — гравитационная постоянная. Для
функции U(M1, M2) удобно ввести ее степень однород-
ности u и показатели u1,2, описывающие ее асимптотики
при сильно отличающихся массах: 1 2
1 2
u uU M M∝
1 2 ,M M u1 + u2 = u. Очевидно, для (3.1) u1 =0,
u2 = u = 2 для bM M и 2 1u = + β для ,bM M
где 2 1/(1 )( / )b rmsM C G −β
v разделяет области больших и
малых масс.
4. «Взрывная» эволюция галактик
Достаточно подробное исследование взрывной эво-
люции в связи с образованием центральных массивных
cD-галактик в группах, эпохой рождения квазаров, эф-
фектом «покраснения» Бутчера–Эмлера галактик, при-
писываемого их взаимодействию, и т. п. было проведе-
но в работах римской и харьковской групп (см. [9,10]).
Появление при этом относительно крутой промежуточ-
ной асимптотики (α ≈ 2) легко может быть понято из
следующих аргументов. Оба полученные значения для
индексов (α ≈ 1,9 для u = 4/3 и α ≈ 2,1 для u = 3/2) нахо-
дятся между (u + 2)/2 и (u + 3)/2. ФМ с α = (u + 3)/2 со-
ответствует постоянному потоку массы вдоль спектра
до бесконечности, т.е. к cD-галактике в нашем случае.
(Решения с постоянным потоком сохраняющейся вели-
чины аналогично колмогоровским спектрам в теории
слабой турбулентности). Однако благодаря нелокально-
сти распределений с |u1 –u2| > 1 (расходимость интегра-
ла в УС на степенном распределении [11]), такое реше-
ние не реализуется точно. Нелокальность приводит к
существенной роли взаимодействий между галактиками
малых и больших масс. При этом число массивных га-
лактик приблизительно сохраняется, и постоянный по-
ток их числа по спектру соответствует (u + 2)/2. Так как
ни один из данных предельных случаев не реализуется в
точности, индекс расположен между этими значениями:
1,67 < α ≈ 1,9 < 2,17 (u = 4/3), 1,75 < α ≈ 2,1 < 2,25 (u =
= 3/2) и весьма близок к их среднему арифметическому
(как можно видеть из численного решения УС). Мы ог-
раничились здесь случаем больших масс. При малых
массах нелокальность еще существенней. В этом случае
естественной является попытка перехода к дифферен-
циальному в [12] уравнению от интегрального [12]. Ре-
шение, полученное методом характеристик, обладало
основными свойствами взрывной эволюции.
5. Взрывная эволюция далеких галактик
Представления о «далеких галактиках» долгое время
было весьма относительным. Сейчас ситуация в корне
отличается: наблюдения подводят нас к пределу, за ко-
торым галактик (и звезд) еще не существовало. Если во
времена первых наблюдений Э. Хаббла далекими счи-
тались галактики с красным смещением z < 0,003 (в
скоплении галактик Дева), а затем z < 0,006 (в скопле-
* Из численных экспериментов следуют условия слияния для скорости при сближении и прицельного параметра p (R —
сумма радиусов на уровне половинной массы): [(v/avg)2 + (p/bR2] ≤ 1, где коэффициент a близок к единице, а b варьиру-
ет в зависимости от наличия моментов и их взаимной ориентации в пределах порядка возле единицы, согласно данным
Аарсета и Фолла, Фаруки и Шапиро и других авторов. Критерий чувствителен к распределению вещества в галактиках.
Для сферических галактик равных масс импульсное приближение приводит к аналитическому критерию слияния Три-
мэйна. Обсуждение ряда деталей и ограничений можно найти в монографиях Горбацкого и Саслау и цитируемых в них
источниках, но в целом зависимости от параметров соударения и свойств галактик (в частности, от распределения в них
массы и углового момента) изучены еще недостаточно.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1 43
В.М. Конторович
нии галактик Волосы Вероники), то современные мето-
ды накопления слабых сигналов от далеких галактик*
позволили в глубоких «проколах» крупнейших телеско-
пов за десятки лет накопления достичь красных смеще-
ний, превышающих z = 10.
Значения индекса Шехтера α , определяющего на-
клон степенного участка ФС, полученные из этих на-
блюдений, показывает существенную зависимость от
красного смещения.
Модель иерархического скучивания в ее нынешнем
общепринятом виде приводит к автомодельным реше-
ниям. Между тем исследования далеких галактик пока-
зывают явно неавтомодельное поведение, в том числе
зависимость наклона α степенного участка шехтеров-
ской функции светимости
( ) ( )* *exp /M M M Mαϕ = ϕ − (5.1)
от красного смещения [18,19]. Под M в случае ФС по-
нимают так называемую звездную величину — лога-
рифм мощности излучения. Мы же, описывая с помо-
щью (5.1) функцию масс ФМ, будем понимать под M
массу галактики.
Наблюдаемая эволюция наклона ФС, понимаемого
как наклон ФМ галактик, может быть описана как ре-
зультат взрывной эволюции за счет слияний галактик. В
настоящее время именно слияния считаются ответст-
венными за эволюцию типов и масс галактик. Хотя в
действительности ситуация намного более сложна (см.
недавние обзоры [19, 20]), мы покажем, что наблюдае-
мые параметры ФМ получают здесь удовлетворитель-
ное объяснение.
Ниже мы приведем решения кинетического уравне-
ния Смолуховского, описывающего слияния, в диффе-
ренциальном приближении, когда основную роль иг-
рают слияния массивных галактик с маломассивными
(minor mergers). При этом наклон α ФМ массивных
галактик M α∝ (шехтеровский индекс) выражается
только через показатель однородности u вероятности
слияния как функции массы. Взрывная эволюция реа-
лизуется при u > 1, что заведомо выполняется для
слияния галактик. При эволюции начальной ФМ дос-
таточно общего вида это приводит к степенной асим-
птотике с α = –u, а при преобладающем влиянии лока-
лизованного по массам источника в УC — к индексу
( 1)/2uα = − + . Роль источника играют галактики, от-
щепляющиеся от глобального расширения Вселенной.
При этом на больших z = 6–8 показатель u определяет-
ся слияниями галактик небольших масс и близок к
u = 2. На малых z, когда сливаются более массивные
галактики, требуется учет гравитационной фокусиров-
ки, что при 0z → и использовании зависимости меж-
ду радиусом и массой вида ,R M∝ следующей из
законов Талли–Фишера и Фабер–Джексона**, приво-
дит к известному современному значению шехтеров-
ского индекса α = –1,25. Для промежуточных красных
смещений как эволюция ФМ за счет источника (в об-
ласти малых масс), так и эволюция начального распре-
деления по массам (в области достаточно больших
масс) приводят к шехтеровскому индексу α = –1,5, что
также согласуется с данными наблюдений (рис. 1).
В процессе эволюции упомянутые механизмы фор-
мирования ФМ (с учетом предполагаемого вклада тем-
ной материи) сменяют друг друга. При этом предпола-
гается, что взрывная эволюция на каждом этапе
успевает произойти за времена, меньшие хаббловского
времени эволюции Вселенной, а результирующая ФМ
служит начальным распределением для следующего
этапа. Условия, необходимые для этого, мы кратко
обсудим ниже.
Для u = 2 ниже приведено точное решение УC с ло-
кальным источником в широком интервале масс. В об-
щем случае произвольных значений u > 1 приведена
асимптотика решения УC на больших массах при време-
нах, близких к моменту «взрыва». Это позволяет качест-
венно объяснить наблюдательные данные для наклона
ФС при красных смещениях от z = 0 до z = 8 [18,19].
Полученная в рассматриваемом приближении ФМ
имеет вид, сходный с видом функции Шехтера, однако
* Успехи в наблюдениях галактик на больших z связаны в значительной мере с использованием многоцветной фотометрии
[13] и наблюдениями далеких галактик через гравлинзы [14]. Можно привести в качестве яркого примера наблюдения с
помощью гравлинзы слияния галактик при z = 2,9 [15,16].
** Этот показатель, как оказалось, сам зависит от красного смещения, что мы здесь не учитываем.
Рис. 1. Эволюция индекса наклона степенного участка ФС по
данным работ Боуенса, Иллингворса и их коллег [17,18] в
сверхглубоком поле Хаббла в зависимости от красного сме-
щения (с благодарностью авторам).
44 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1
Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
спад в сторону больших масс является не экспоненци-
альным, а корневым (последнее зависит от выбранной
модели). Нами получены значения максимальной мас-
сы, ограничивающей ФМ сверху, как функции времени
и параметров системы вблизи от момента «взрыва».
Данный подход позволяет в принципе получить также
значения моментов «взрывов», зависящие от началь-
ных условий, параметров взаимодействия и механизма
слияний. Проведенное нами рассмотрение ограничено
дифференциальным приближением и парными слия-
ниями (при которых учитывается зависимость вероят-
ности слияния от масс галактик). Несмотря на эти ог-
раничения, получаемые наклоны ФМ при взрывных
решениях удовлетворительно согласуются с наблюде-
ниями в широком диапазоне красных смещений.
Решение методом характеристик
Мы рассмотрим дифференциальный вариант УC
для слияний галактик с малым приращением массы.
Оно имеет вид [21,22]:
( ) ( ) ( ), , , ,uf M t C M f M t M t
t M
∂ ∂ + Π = φ ∂ ∂
( )2 2 2
0
,dM M f M tΠ ∫= . (5.2)
Здесь использовано выражение для вероятности слия-
ния галактик вида CMu/2, где показатель u > 1. Вели-
чина Π представляет собой суммарную массу мало-
массивных галактик 2( ),M M которая в процессе
слияний, по предположению, не претерпевает сущест-
венных изменений (ниже мы будем принимать
Const,Π = считая резервуар маломассивных галактик
«неисчерпаемым»). Существенно наличие источника φ
в УC, который описывает вклад массивных галактик,
отделяющихся от глобального расширения Вселенной
по мере развития гравитационной неустойчивости.
Поскольку под знаком производной по массе вхо-
дит искомая функция масс f, умноженная на Mu (ввиду
зависимости коэффициента коагуляции от массы),
удобно умножить уравнение на этот множитель и вве-
сти функции
( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,u uF M t M f M t M t M M tΦ = φ= .
Перепишем УC для R(M,t) в виде
( ) ( ) ( ), , ,uF M t C M F M t M t
t M
∂ ∂
+ Π = Φ
∂ ∂
(5.3)
и используем метод характеристик для его решения.
Уравнение в частных производных (5.3) при этом сво-
дится к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
/ , /udM dt C M dF dt= Π = Φ , (5.4)
произвольной функцией от независимых первых инте-
гралов, которой, как известно [23], и будет его решение.
Эту функцию найдем из начальных условий. Интегри-
рование первого дифференциального уравнения систе-
мы (5.4) дает первый интеграл a(M, t) = const, где
( ) ( ) ( ) ( )1
0
1, ,
( 1)
t
ua M t t t C dt t C t
u M −= τ + τ ≡ Π → Π ⋅∫
−
.
(5.5)
Для интегрирования второго уравнения системы сде-
лаем вначале предположение о локальном по массе
характере источника φ . А именно, будем считать
( ) ( )( ) ( ),M t M M t tΦ = δ − Φ , (5.6)
где Φ(t) — некоторая функция времени, вид которой
для нас не существенен. Такое предположение означа-
ет, что в момент времени t от расширения отделяется
галактика со вполне определенной массой ( )M t . Мас-
су M в (5.6) мы выразим через найденный выше пер-
вый интеграл a (5.5) как
( ) ( ) ( ) ( )( )
1
1
, ; , 1
u
M a t a t u a t
−
−
= µ µ = − − τ
. (5.7)
Это позволяет найти второй независимый интеграл
b(M,t) системы (5.4)
( , ) ( , ) const,b M t F K a t= − =
где K(a, t) равно
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ,
0
1
,
t
K a t dx a x M x x
dx t x a x M xn n dxn x xn
= δ µ − Φ =∫
−
= Φ θ − µ −∑ =
(5.8)
и, используя начальное условие
0( ,0) ( )f M f M= ,
построить общее решение УC. Относительно f0(M) мы
будем предполагать, что оно локализовано в области
малых масс. Входящая в решение функция θ(x) есть
ступенчатая функция Хэвисайда.
Решение для локализованного источника
В силу линейности УC решение (2.1) будет суммой
двух независимых слагаемых
( ) ( ) ( ), , ,in sf M t f M t f M t= + . (5.9)
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1 45
В.М. Конторович
Первое слагаемое fin выражается через начальное рас-
пределение f0(M) и содержит только интеграл a. Вто-
рое слагаемое fs связано с источником (ему соответст-
вует нулевое начальное условие) и содержит опи-
сывающую источник функцию ( ) ,M t которую мы
конкретизируем ниже:
( ) ( ) 1 1, 1 1
u
u uf M t u Min
−
− − = − τ + ×
( )
1
1 1
0 1 1u uf M u M
−
− −
× − τ +
,
( ) 1
1, ,
( 1)
u
uf M t M K ts
u M
−
−
= τ +
−
. (5.10)
Здесь nx — корни уравнения (см. определение функ-
ции к (5.8))
( ) ( ),a x M xµ = , (5.11)
определяющего нули δ-функции. Существенно, что
( )M t является монотонно растущей функцией време-
ни. Выбирая для простоты в качестве ( )M t линейную
функцию
( ) /M t t A= ,
мы получаем возможность для u = 2 построить точное
решение УC явно. Решение, как и следовало ожидать
для u > 1, носит «взрывной» характер: локализованное
вначале в области малых масс распределение f(M,t) дос-
тигает формально бесконечных масс за конечное время.
Точное решение при квадратичной зависимости
вероятности слияния от масс
В этом случае уравнение для корней аргумента
δ-функции становится квадратным CП·x2 – ax + A = 0
с корнями
2 2
cr
cr, 2
2
a a a
x a AC
C
± −
= ≡ Π± Π
. (5.12)
Вещественное решение существует при cr ,a a≥ при-
чем кратному корню соответствует касание гиперболы
(левая часть уравнения (5.11)) и прямой (правая часть
того же уравнения). Появление кратного корня под
знаком δ-функции математически недопустимо, и мы
не должны слишком близко приближаться к критиче-
скому значению параметра cr ,a a= при котором ре-
шение обращается в бесконечность. Ниже мы избавим-
ся от этого ограничения с помощью регуляризации,
заменив δ-функцию на функцию с конечной шириной.
В то же время для нас будут важны как раз малые зна-
чения разности cr ,a a− поскольку именно они соот-
ветствуют интересующим нас достаточно большим
массам и близости времени к моменту «взрыва».
Вклад в интеграл от δ-функции сложного аргумента
( )( )y xδ выражается, как известно, суммой по корням
аргумента (индекс нумерует корни)
( ) ( )
1
( )
i
i
xi
dyy x x
dx
−
δ = δ∑ .
Если ( )y x представляет собой квадратный трехчлен,
который запишем в виде ( ) ( )( ),y x x x x x+ −= − − где
x+ — корни уравнения y(x) = 0, то очевидно, что
2 2
cr
x x
dy x x a a
dx
±
+ −
=
∝= − − .
Не имеющий нулей множитель под знаком δ-функции
дифференцировать не следует, так как подстановка
корней обратит дополнительные слагаемые в нуль. Это
существенно упрощает вычисления.
Таким образом, решение при δ-функционном ис-
точнике и квадратном уравнении для ее корней приоб-
ретает вид:
( ) ( ) ( ) ( )cr2 2
cr
1,K a t x a a t x
a a
± ±
±
= Φ θ − θ −
−
∑ , (5.13)
где волна над Φ означает включение постоянных со-
множителей, возникающих в виде коэффициентов при
разности корней. Явное выражение см. в [22,24]. При
Рис. 2. Интересующая нас область больших масс m ≡ acrM > 2T,
2/T лежит выше прямой m = 2T между гиперболой a = acr и
вертикальной асимптотой этой же гиперболы T ≡ t/ttan = 2, со-
ответствующей моменту взрыва. В этой области вклад в ФМ
дают оба корня δ-функции [14].
46 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1
Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
малой разности cra a− под знаком корня в знаменате-
ле остается именно эта разность.
cr
1( , )K a t
a a
∝
−
. (5.14)
В общем случае асимптотика решения на больших
массах вблизи от момента взрыва имеет сходную
структуру.
Степенная асимптотика решения на больших массах
Полученное решение позволяет найти степенную
часть распределения, т.е. индекс функции Шехтера на
больших массах вблизи от момента «взрыва» cr ,t t=
если считать отношение масса–светимость постоян-
ным. Для этого заметим, что, как видно из той части
решения fin, которая обусловлена начальной ФМ, на
больших массах возникает степенная асимптотика
u
inf M −∝ . (5.15)
Физический смысл этой части решения очевиден:
оно соответствует постоянному потоку числа массив-
ных галактик вдоль спектра масс:
( ) ( )2 2 2 2
0
, 2 ,J J M t f dM M U M M f= = →∫
( ), Constuf M t CM→ Π = . (5.16)
Что касается части решения, связанной с источником fs,
то для определения индекса Шехтера достаточно рас-
смотреть источник в виде δ-функции. Существенной
особенностью асимптотики полученного решения при
малой разности cra a− является наличие квадратного
корня cra a− в знаменателе. Нас интересует только
эта асимптотика с подстановкой ( , )a a M t= согласно
(5.5), соответствующая большим массам и времени,
близкому к моменту взрыва, хотя в данном случае при
u = 2 и линейной правой части (5.11) можно выписать
полное решение. С учетом 1( , ) ,a M t M C t−= + Π имеем
для ( ( , ), )K a M t t при cr cr /t t a C→ ≡ Π
cr
cr
1 1
1( , ) ( )
K
a M t a C t t
M
∝ =
− − Π −
,
(5.17)
где crt соответствует вертикальной асимптоте гипербо-
лы (5.7) при cr .a a= Отсюда с учетом ( , )u
sf M K a t−∝
при достаточно больших массах и достаточной малости
crt t− следует степенная зависимость решения от массы
вида
3/2
sf M −∝ . (5.18)
В общем случае 2u ≠ для координат точки касания
и точек пересечения гиперболы (5.7) с кривыми, соот-
ветствующими правой части уравнения (5.11), полу-
чаются более сложные (трансцендентные) уравнения.
Однако в интересующей нас асимптотической области
вблизи от кратного корня (5.11) для малых величин
cr cra a a aδ ≡ − по-прежнему возникает квадратное
уравнение. Поэтому остаются в силе приведенные вы-
ше рассуждения, а выражение для ( , )K a t по-преж-
нему содержит в знаменателе корень из δa
cr
1( ( , ), )
( , )
K a M t t
a M t a
∝ =
−
1 ( 1)
cr
1
( 1) ( )uu M C t t− − −
=
− − Π −
. (5.19)
Отсюда следует, что вычисленный нами индекс
Шехтера определяется только зависимостью вероятно-
сти слияний от масс, т.е. только ее показателем одно-
родности u
1
2( ( , ), )
u
u
sf M K a M t t M
+−−= ∝ . (5.20)
Степень однородности вероятности слияний галак-
тик считается известной в двух предельных случаях.
Если массы галактик относительно невелики, то u = 2.
При достаточно больших массах необходимо учиты-
вать гравитационную фокусировку. В этом случае ве-
роятность слияний 1 2 1 2( )( ),M M R R∝ + + где R — ха-
рактерный радиус галактики. Поэтому становится су-
щественной зависимость радиуса галактики от ее мас-
сы: .R M β∝ Степень однородности в области боль-
ших масс, таким образом, равна u = 1 + β. В соот-
ветствии с наблюдательными законами* Фабер–Джек-
сона и Талли–Фишера β = 1/2.
Таким образом, для индекса Шехтера α получаем в
области больших z, где массы галактик невелики и влия-
ет начальная ФМ, –α = u = 2. Это значение совпадает с
наблюдениями при z = 6–8 (см. рис 1). В области проме-
жуточных z становится существенным вклад источника
на малых массах с u =2, что дает –α = (u + 1)/2 = 1,5. Для
той части распределения, которая формируется на-
чальной ФМ, на этих z мы оказываемся в области
достаточно больших масс, где уже должна сказывать-
ся гравитационная фокусировка. Это также приводит
к –α = u = 1 + β = 1,5 и приблизительно соответствует
наблюдениям для z = 3–5. Наконец, при малых крас-
* Это значение, возможно, отличается от приведенного при больших z. Появились сообщения о более сильной зависимости
радиуса от массы (см. ссылки в книге Комберга и Репина [38]).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1 47
В.М. Конторович
ных смещениях, когда источник порождает наибольшие
массы, α = (u + 1)/2 =1 + β/2 = 1,25, что в точности сов-
падает с хорошо известным индексом Шехтера [25].
6. Максимальные массы и регуляризация решения
Решение с δ-функцией обладает очевидным недос-
татком: оно отсутствует (формально обращается в бес-
конечность), если мы выходим на значение кратного
корня аргумента δ-функции. Между тем максимально
возможному значению массы при фиксированном t со-
ответствует как раз кратный корень. Формально найден-
ная ФМ при этом стремится к бесконечности. Таким
образом, ФМ, которая степенным образом убывает на
больших массах, проходит через минимум, положение
которого легко найти в простейших случаях. Так, при
u = 2 условие минимума реализуется при M = min ( )M t =
max3 ( )/4,M t= где max cr( ) 1/[ ( )]M t C t t= Π − — значение
«максимальной» массы*, при которой cra a= и найден-
ная ФМ обращается в бесконечность. Сама максималь-
ная масса, как и должно быть при взрывной эволюции,
обращается в бесконечность в момент «взрыва» crt t= .
На самом деле эта масса также ограничена, но это огра-
ничение связано с неприменимостью исходного линей-
ного УС (см. разд. 7) и выходом за рамки сделанных фи-
зических допущений вблизи от cr .t t=
Сказанное означает необходимость регуляризации
решения, что можно достичь тем или иным «размы-
тием» δ-функции. При этом учитывается физически
очевидное условие того, что отделение галактики от
общего расширения происходит не мгновенно (в силу
конечного времени нарастания гравитационной неус-
тойчивости). Это же условие удобно сформулировать в
терминах масс, положив, что в данный момент време-
ни от общего расширения отделяются галактики в ма-
лом, но конечном интервале значений масс M∆
вблизи ( )M t . Критическое значение параметра cra
при этом расщепляется на два cr cra a±→ cr cr ),(a a− +>
соответствующих касаниям гиперболы и двух прямых
( ),± ограничивающих ненулевую правую часть урав-
нения (5.11), где
( )(u 1)/
cr 1 2
uua AC AC
u
−± ∆
= Π Π
−
.
(6.1)
Решение с учетом регуляризации позволяет находить
максимальную массу распределения max ( )M t как
функцию времени (в данном рассмотрении мы ограни-
чиваемся собственным временем). Для упрощения
примем ( ) .tΦ = Φ Вклад в интеграл K дают участки,
на которых правая часть (2.11) отлична от нуля. Реше-
ние УC с источником в области cr cra a a− +> > (см.
рис. 3) имеет при этом вид для t t+
+> [22]
{ }cr cr
2( , )K a t a a a a+ −Φς
= − − −
∆
, (6.2)
где 2 2( / )/( / )d da d dtς = − µ µ при cr .a a= Отсюда при
0∆ → получаем прежний результат с особенностью,
соответствующей источнику в виде δ-функции:
cr
( , ) ACK a t
a a
Π
→ Φς
−
. (6.3)
При 0∆ ≠
cr cr
cr cr cr cr
2 2( , )
a a ACK a t
a a a a a a a a
− +
+ − + −
−ς Φ ς Φ ⋅ Π
= =
∆ − + − − + −
.
(6.4)
* При t ® tcr эта максимальная масса сама обращается в бесконечность, что является следствием взрывной эволюции, при
которой бесконечная масса достигается за конечное время.
Рис. 3. Случай четырех точек пересечения гиперболы с (±)
прямыми, ограничивающими ненулевой источник в УC при
cr .a a−> ∆ — ширина размытия по массе локализованного
источника. Значение интеграла cra a−= соответствует каса-
нию гиперболы с нижней прямой. Моменты t+
± соответст-
вуют пересечению гиперболы при cra a−> с верхней прямой
(+), моменты t−
± соответствуют пересечению гиперболы с
нижней ограничивающей прямой (–). Рассматриваемый слу-
чай допускает переход к ∆ = 0 [22].
48 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1
Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
При cra a−→ достигается наибольшее в этой области
crt t t− +
−> > ( cr cr /t a C± ±≡ Π ) значение массы и соответст-
вующее ему наибольшее значение ФМ
max max 1
1cr
2 1, ( )
[( 1) ( )]u
ACK M t
u C t t
−
− −
ς Φ Π
= =
∆
− Π ⋅ −
.
(6.5)
Таким образом, при конечном размытии ∆ мы по-
лучаем конечный результат для ФМ в точке, соответ-
ствующей максимальной массе для данной области.
Это значение ФМ зависит от величины размытия, ко-
торое становится, следовательно, измеряемым физиче-
ским параметром.
Перейдем теперь в область параметров, соответст-
вующих еще бóльшим массам, а именно, к случаю
двух пересечений crcra a a− +> > (см. рис. 4). При t t+
+>
cr
2K a a+ς ⋅Φ
= −
∆
.
(6.6)
Наибольшее значение массы max ( )M t соответствует
верхней границе области cr ,a a+= на которой ФМ об-
ращается в нуль. Это обращение в нуль, как видно из
(5.26), происходит корневым образом, на который на-
кладывается степенное убывание в силу связи
( , ).uf M F M t−= Таким образом, для ФМ получаем
аналог функции Шехтера, в которой экспоненциальное
убывание на больших массах заменяется модифициро-
ванным корневым. Максимальная масса равна
max 1
1cr
1( )
[( 1) ( )]u
M t
u C t t+ −
=
− Π −
. (6.7)
Корневая зависимость, однако, очевидно связана с
моделью регуляризации. Простейшее усреднение по
величине размытия ∆ изменит этот результат. Однако
локальный максимум в области самых больших масс,
отражающий физическую малость интервала масс,
отделяющихся в каждый момент от расширения [26],
возможно, является весьма общим и желательны поис-
ки такой немонотонности на наблюдаемых ФС.
Приведенные выражения явно описывают взрывное
поведение ФМ. При cr 0t t+→ − максимальная масса
max ( )M t стремится к бесконечности. Это свойство
взрывной эволюции, и чтобы получить конечные зна-
чения необходимо включить в рассмотрение ограничи-
вающие ее факторы (см. следующий раздел).
Мы получили решение, которое имеет вид модифи-
цированной функции Шехтера со степенным участком
на «легком» конце и корневым обращением в нуль на
«тяжелом».
Заметим, что как функция параметра a ФМ убывает
как 1/ ,a что делает актуальной как раз ту область наи-
меньших возможных значений параметра, которую мы
исследовали. Полученное решение подтверждает, что
взрывная эволюция ФМ за счет малых слияний (minor
mergers) в принципе может объяснить наблюдаемую
эволюцию ее легкого края вплоть до z = 8. Вычисление
остальных параметров ФМ требует привлечения значи-
тельно большего количества астрономических данных.
Наиболее важное требование к полученному решению:
время взрывной эволюции должно быть меньше хабб-
ловского. Этому критерию можно удовлетворить лишь
при определенных ограничениях на массы, радиусы и
скорости галактик с учетом преобладающего вклада
темной материи. В частности, средняя плотность массы,
заключенная в галактиках (гало), должна более чем на
два порядка превышать среднюю плотность вещества во
Вселенной. Таким образом, слияния происходят, по всей
видимости, в группах и протоскоплениях внутри гало
бóльших масштабов, а также в стенках, филаментах и
узлах крупномасштабной структуры.
Отметим характерное отличие вида найденной ФМ
от функции Шехтера: возникновение подъема на об-
щем спаде ФМ перед максимальными массами (рис. 5),
Рис. 4. Случай двух точек пересечения гиперболы с (±) пря-
мыми, ограничивающими ненулевой источник в УC при
cr cr .a a a− +> > Значения интеграла cra a±> соответствуют
касанию гиперболы с (±) прямыми. Моменты t+
± соответст-
вуют пересечению гиперболы при cra a−> с верхней прямой
(+), моменты t+
± соответствуют пересечению гиперболы с
верхней ограничивающей прямой (+) [22].
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1 49
В.М. Конторович
параметры которого связаны с масштабами гравитаци-
онной неустойчивости и коллапса при отделении от
общего расширения.
7. Разукрупнение (downsizing) с точки зрения
модели слияний [27]
В модели слияний галактик, построенной на основе
кинетического уравнения Смолуховского, учитывают-
ся только процессы (парных) слияний, т.е. процессы с
участием трех «частиц». Однако возникающая при
этом «взрывная» эволюция приводит к неограничен-
ному росту максимальной массы по мере приближения
к моменту «взрыва». Конечные результаты требуют
учета четырехчастичных процессов, вступающих в
игру вблизи от особенности и описывающих рассеяние
с передачей массы. При этом существенную роль на-
чинают играть процессы разукрупнения, при которых
масса наиболее массивных галактик может умень-
шаться. Рассмотрены простейшие модельные схемы,
описывающие разукрупнение. На этом пути предпола-
гается дать объяснение наблюдаемому явлению «даун-
сайзинга», когда с течением времени возрастание ха-
рактерной наибольшей массы сменяется ее убыванием.
Довольно необычный с точки зрения парадигмы
слияний, но уже давно обсуждаемый факт, что макси-
мальные массы галактик (параметр Шехтера *),M ко-
торые росли с уменьшением красного смещения на
больших удалениях, начинают, начиная с некоторого
красного смещения, убывать по мере приближения к
настоящему времени (см. рис. 6), казалось бы противо-
речит модели слияний. Покажем, что это не так.
В модели слияний галактик, построенной на основе
кинетического уравнения Смолуховского, учитывают-
ся только процессы (парных) слияний, т.е. процессы с
участием трех «частиц» (рис.7).
Получаемые решения позволяют найти наклоны
функции масс в широком диапазоне красных смеще-
ний [22], удовлетворительно объясняющие наблюда-
тельные данные сверхглубокого поля Хаббла [17,18]
(эволюцию наклонов вплоть до предельных красных
смещений). Однако возникающая при этом «взрывная»
эволюция приводит к неограниченному росту макси-
мальной массы по мере приближения к моменту
«взрыва» [22]. «Взрывная» особенность в решении
проявляет себя также в неограниченном росте ФМ по
мере приближения к моменту «взрыва» cr .t t= Асим-
птотика решения ( , )K M t вблизи от особенности (вне
физической области степенного поведения) имеет вид
max
( , )
1 1
( )
K M t
M M t
β
→
−
, max
cr
1( )
( )
M t
c t t
=
−
. (7.1)
Этого артефакта, связанного с использованием
мгновенного δ-образного источника в уравнении Смо-
луховского, удается избежать физически очевидной
регуляризацией [22], смысл которой состоит в учете
конечного времени нарастания гравитационной неус-
тойчивости, приводящей к отделению галактик от об-
щего расширения Вселенной. Математически это было
учтено размытием δ-функции в правой части УС и за-
меной ее П-образной ступенькой с конечной малой
Рис. 5. ФМ, устанавливающаяся в результате слияний с малым
приращением массы. Пунктиром показана особенность ФМ
при дельта-функционном источнике. Обращение ФМ в нуль
при M = Mmax1(t) связано с принятой ступенчатой моделью [22].
Рис. 6. Наблюдательные данные сверхглубокого поля Хаббла
[17,18], относящиеся к параметру Шехтера *,M в нашем
рассмотрении соответствующему характерной максимальной
массе. (C благодарностью авторам.)
Рис. 7. Процесс парных слияний, порождающий галактику с
массой М. Подобные процессы слияний за счет тройных
процессов приводят к УС (2.1).
50 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1
Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
шириной ∆. При этом значения ФМ остаются конеч-
ными и в области максимальных масс. Однако, по-
прежнему, сама максимальная масса в регуляризован-
ном решении также неограниченно нарастает при при-
ближении к моменту взрыва [22].
Как и в других аналогичных задачах с учетом трех-
частичных процессов (в нашем случае — процессов
слияний галактик), приводящих к взрывной эволюции,
конечные результаты возникают при учете четырех-
частичных процессов, вступающих в игру вблизи от
особенности, и в нашем случае описывающих рассея-
ние с передачей массы. При этом, в отличие от слия-
ний, при которых масса может только увеличиваться,
существенную роль начинают играть процессы рассея-
ния, при которых масса наиболее массивных галактик
может и уменьшаться (рис. 8, 9).
Ниже рассмотрена простейшая модельная схема, опи-
сывающая разукрупнение. На этом пути предполагается
дать объяснение наблюдаемому явлению «даунсайзин-
га» (рис. 3), когда с течением времени возрастание ха-
рактерной наибольшей массы сменяется ее убыванием.
Мы ограничиваемся дифференциальным приближе-
нием, описывающим малую передачу массы. Но теперь
кинетическое уравнение из линейного превращается в
нелинейное (квазилинейное), наиболее простая форма
которого состоит в возникновении в УC нелинейного
слагаемого ( / ),w w M−γ ∂ ∂ где коэффициент γ обозна-
чает вероятность процесса «неупругого» рассеяния. При
этом процесс рассеяния должен сопровождаться поте-
рей массы*.
Рассмотрим вначале вероятность слияний, пропор-
циональную 2.M В этом случае в простейшей модели
естественно выбрать такую же зависимость от массы и
вероятности рассеяния: 2 .Mγ = γ Для этого имеются
физические основания, которые мы здесь не обсуждаем.
Вводя переменную z = 1/M, перепишем квазилинейный
член 2 ( / )M w M−γ ∂ ∂ в виде ( / ).w zγ ∂ ∂ Хотя источник в
УC весьма существенен, упомянутая асимптотика (1)
удовлетворяет однородному кинетическому уравнению,
которым мы и ограничимся.
Интересующая нас задача** таким образом сводится
к решению дифференциального уравнения
( ) 0w wf w
x z
∂ ∂
+ =
∂ ∂
, (7.2)
где ( )f w w C= γ − Π линейна по функции масс w. Урав-
нение (7.2) представляет собой обобщенное уравнение
Хопфа и хорошо изучено. Решение задачи Коши этого
УC для функции масс ( , )w M t с квазилинейным членом,
имеющим коэффициент ( )f w [28], сводится к кубиче-
скому уравнению (x — время 0t t− , где 0t — момент
сшивки со взрывным решением, играющей роль на-
чального условия в задаче Коши, z = 1/M, где M — мас-
са галактики):
3 2 2
0 0
0
1 1( ) ( ) 0t t w C t t w
M M
γ − − − − Π ⋅ − + β =
.
(7.3)
Здесь γ — параметр нелинейности, CΠ — параметр,
вошедший от решения линейного УС, а именно, С —
коэффициент в вероятности слияний галактик 2CM ,
2 2 2
0
( )dM M w MΠ = ∫ — полная масса маломассивных
галактик, 0 max 0( )M M t≡ – максимальная масса галак-
тик в линейной теории в момент 0t , β — параметр
асимптотики решения линейной задачи (7.1), которое
используется в качестве начального условия при реше-
нии УC с нелинейным членом.
* Рассмотрим процесс рассеяния при столкновении галактик с близкими массами M и M – ε, в результате которого возни-
кают галактики с массами M – ε1 и M – ε2. Раскладывая соответствующий член в УC по малой передаче масс, получаем
w(M)w(M – ε) – w(M – ε1)w(M – ε2) ≈ (ε1 + ε2 – ε)(¶w/¶M)w(M); ε1 + ε2 – ε ≠ 0; ε1,2 << M.
** Используются обозначения справочника Зайцева и Полянина [32 ], задача 12.4.2.1 пункт2 (стр. 271)
Рис. 8. Процесс слияний с возникновением промежуточной
неустойчивой галактики, которая тут же распадается. (Эф-
фективное рассеяние за счет тройных процессов во втором
порядке.) При этом наибольшая масса у галактик может
уменьшаться, что и приводит к разукрупнению.
Рис. 9. Процесс прямого рассеяния за счет четверных процес-
сов с разукрупнением галактик. Через M на всех рисунках
обозначена масса наиболее массивной галактики. Процессы,
изображенные на рис. 3 и 4, при условиях малой передачи
массы приводят к рассмотренному нелинейному УС (7.2),
описывающему разукрупнение.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1 51
В.М. Конторович
При 0t t= ФМ ( , ),w M t как следует из (7.3), удов-
летворяет начальному условию (7.1)
2
2
0
0
( , ) 1 1w M t
M M
β
=
−
(7.4)
(соответствующему асимптотике нашего взрывного
решения линейного УC), причем момент 0t выбран
нами близким к cr ,t чтобы можно было воспользовать-
ся простой аналитической формой асимптотики (7.1)).
При M, близком к 0M — максимальной массе линей-
ного решения в момент 0t , — это большая величина.
(Без учета нелинейности она стремится к бесконечно-
сти при времени, стремящемуся к моменту взрыва
cr ).t t→
Нас интересует вещественное решение кубического
уравнения (3) для ( , )w M t на больших временах 0t t>>
как функция M, в частности, поведение новой нелиней-
ной «максимальной массы», которую еще предстоит
определить, и ее зависимость от времени t.
Ограничимся демонстрацией асимптотики решения
кубического уравнения (7.3) для ФМ при временах
0t t и массах 0M M . Для 0γ > имеется единст-
венное решение, соответствующее положительной фи-
гурной скобке в (3)
1 C t
Mw
t
− Π ⋅
=
γ ⋅
. (7.5)
При этом масса ограничена сверху условием (обраще-
ние в нуль фигурной скобки в (7.3))
max
1( )M t
C t
≤
Π ⋅
. (7.6)
Видно, что максимальная масса убывает с течением
времени, в чем и состоит явление даунсайзинга. В по-
лученном решении все величины конечны, что под-
тверждается численным расчетом. От взрывной эво-
люции сохранилось лишь локальное по массам на-
растание решения вблизи от бывшей особенности.
Заметим, что такое нарастание может свидетельство-
вать об этапе взрывной эволюции ФМ.
Таким образом, полное решение представляет собой
спадающую степенную функцию, типа функции Шех-
тера, которая перед спадом на больших массах начина-
ет возрастать при временах, близких ко времени
«взрыва». Вмешательство процессов разукрупнения
(рассеяния с уменьшением наибольшей массы) приво-
дит как к убыванию ФМ с ростом массы, которая про-
ходит через локальный максимум, так и к убыванию
максимальной массы с течением времени. Это вполне
соответствует наблюдаемому эффекту разукрупнения.
От зависимости 2M в вероятности слияний легко
перейти к любой степенной зависимости uM заменой
1 /( 1),uz M u−= − т.е. заменой в полученном решении
1 1 /( 1)uM M u− −→ − .
Мы решали предельно упрощенную модельную за-
дачу*. Но даже в такой постановке возникает явление
разукрупнения. В действительности, процесс разукруп-
нения должен описываться интегральным кинетическим
уравнением с учетом рассеяния с потерей массы.
Приложение
Преобразования Захарова в кинетическом
уравнении Смолуховского [29,30]
Исходим из кинетического уравнения Смолухов-
ского (2.1), описывающего парные слияния
1 2 1 212
( , ) [ cycle–bicycle]| mm
f m t dm dm U f f
t
∂
= δ −∫∂
,
(П.1)
где 1 1( , )f f m t≡ и так далее ФМ, 1 2( )m m m mδ ≡ δ − − —
дираковская δ-функция, выражающая закон сохранения
массы при слияниях, cycle означает циклическую пере-
становку аргументов («масс» ) m, m1, m2; bicус1е — двой-
ную их перестановку в сравнении с первым слагаемым.
В том случае, когда вероятность слияний является
однородной функцией масс с показателем однородно-
сти u:
1 2 1 2( | , ) ( | , )uU am am am a U m m m= , (П.2)
весьма эффективны преобразования Захарова, которые
впервые были им применены в связи с решением урав-
нений слабой турбулентности для волн на поверхности
жидкости.
Эти преобразования в терминах масс имеют вид**:
1 1 2 1 2
1 1 1
2 1 2 2 1
2 2 2
, , ,
, , .
m m mG m m m m m m
m m m
m m mG m m m m m m
m m m
= → → →
= → → →
(П.3)
* Процессы «неупругого» рассеяния были включены во взрывную эволюцию в момент, близкий к моменту «взрыва». Испо-
льзуется соответствующая асимптотика нерегуляризованного решения в качестве начального условия при решении УС с
учетом рассеяния.
** В случае обобщенного уравнения Смолуховского для функции распределения по массам и моментам вращения полезными ока-
зываются векторные преобразования Каца–Конторовича (см. [31], а также [32] и изложение в обзоре [33]), являющиеся нетривиаль-
ным обобщением преобразований Захарова на неодномерный случай. Как и преобразования Захарова, они образуют группу [34].
52 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1
Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
Они учитывают, что в интегральном кинетическом
уравнении одна из масс фиксирована.
Применение этих преобразований позволяет факто-
ризовать интеграл столкновений и найти точные сте-
пенные решения, соответствующие постоянному пото-
ку массы по спектру.
Преобразования рассматриваем как замены пере-
менных интегрирования в интегралах.
2
1 1 2 2 1 1
1 1 1 1 1
: , ,m m m m mG m m m m m m
m m m m m
→ → → =
2
2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2
: , .m m m m mG m m m m m m
m m m m m
→ → → =
(П.3а)
При этих преобразованиях пути интегрирования по
бесконечным лучам в 1 2,m m — плоскости (см. рис. П.1)
трансформируются в интегрирование по конечному от-
резку, а уравнение приобретает форму интегро-диф-
ференциального уравнения с интегрированием в конеч-
ных пределах с переменным верхним пределом:
С учетом x m x→ − симметрии оно приобретает
вид
_____________________________________________________
{ }
{ } ( )
/2
,
0
2 2
( , ) 2 ,|
( ) ( ) ( ) ( ) .
m
m x m x
u u
f m t dx U
t
m m m mxf m x f x f m x f m f f m
x x m x m x
−
+ +
∂
= ∫∂
= − − − − − −
(П.4)
Если допустить степенной вид решения ,sf m∝ то фигурная скобка факторизуется
{ } ( ) ( ) 1 , 2 2m mf m x f x u s
x m x
ν ν
= − − − ν = + + −
. (П.5)
_______________________________________________
Вклад в показатель ν дает якобиан преобразования,
вероятность слияния с учетом дельта-функции и квад-
ратичная комбинация функций масс в уравнении (П.1).
В силу сохранения массы значение 1ν = − обращает
угловую, а с ней и фигурную скобку в нуль. Возвраща-
ясь к исходному уравнению, мы видим, что получили
его стационарное решение.
1 , 1,sf m∝ ν = − 1
3
2
us +
= − . (П.6)
Нетрудно убедиться, что оно соответствует посто-
янному потоку массы P по спектру, причем, как это
ясно из физических соображений и из расчета (см.
[35]), поток направлен в сторону больших масс.
11/2
1
s
Pf c P m= . (П.7)
Распределения эти однако, как правило нелокальны,
т.е. соответствующие интегралы «столкновений» на
них расходятся. Оказывается, что такая расходимость
имеет место на малых массах. Это означает преоблада-
ние слияний с маломассивными галактиками. При этом
становится возможен переход к дифференциальному
кинетическому уравнению. Возникает дополнитель-
ный приближенный закон сохранения числа массив-
ных галактик и, соответственно, приближенное ста-
ционарное решение с постоянным потоком числа
массивных галактик по спектру. Остановимся на этом
более подробно.
Если допустить, что преобладает взаимодействие с
малыми массами в силу нелокальности интегралов, а
на тяжелом конце распределения спектр достаточно
Рис. П.1. Преобразования (П.1,П.2) переводят пути интегри-
рования по лучам I и II в путь по отрезку III.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1 53
В.М. Конторович
крутой, то тогда второй член в уравнении (П.4) дает
малый вклад и его можно опустить.
Фигурная скобка сводится к
{ } ( ) ( ) 1 mf m x f x
m x
ν
= − − −
, (П.8)
откуда видно, что она обращается в нуль при 0.ν =
Этому соответствует решение с постоянным пото-
ком числа массивных галактик по спектру:
0 0
2, 0,
2
s uf m s +
∝ ν = = − . (П.9)
Действительно, поток числа массивных галактик по
спектру можно представить в виде
0 ( )
m
stJ m dx I= −∫ . (П.10)
Здесь через stI обозначен «интеграл столкновений» —
правая часть кинетического уравнения, которому при-
дается, таким образом, вид уравнения непрерывности
0 ( )
0
J mf
t m
∂∂
+ =
∂ ∂
. (П.11)
На степенном распределении sf m∝ поток галак-
тик (П.10) тогда равен
( )01
0 0( ) ( )
m F
J m dx x F mν− ν ν
= − ν = −
ν∫ , (П.12)
где
( )
1/2
0 1 , 1
0
12 ( ) (1 ) 1| 1
F d U f f
ν
ς −ς
ν = ς ς − ς −∫ − ς
.
(П.13)
Поскольку решение с постоянным потоком, согласно
(П.8), соответствует 0,ν = а ( )0F ν при 0,ν = как вид-
но из (П.13), обращается в нуль, то необходимо рас-
крыть неопределенность в выражении для потока
(П.12). Следует также учесть при этом односторонний
предел 0,ν → + что соответствует интегрируемости
исходного уравнения. Используя правило Лопиталя,
получаем решение с постоянным потоком (массивных)
галактик. Поток стремится к константе, с помощью ко-
торой нормируем полученное распределение (см. [36])
0
0
0
F
J Q
ν=+
∂
→ = −
∂ν
. (П.14)
В итоге находим выражение для потока галактик,
являющееся функционалом распределения и вероятно-
сти слияний
( )
1/2
1| ,1
0
12 ( ) 1 ln 0
1x xQ dxU f x f x
x−= − >∫ −
. (П.15)
Используя определение потока, нормируем получен-
ное распределение
01/2
0
s
Qf c Q m= . (П.16)
Заметим, что проведенная процедура соответствует
источнику в УC вида ( ),Q mδ что легко проверить, ис-
пользуя представление δ-функции через степенную
функцию [37].
В силу существования дополнительного прибли-
женного интеграла начинают играть роль распределе-
ния с двумя потоками, что приводит к спектрам с из-
ломами и разными степенными асимптотиками на
легком и тяжелом концах спектра масс. Убедимся, что
полученные решения представляют собой асимптотики
решения с изломом при / 1.brP m Q
В исходном уравнении имелись расходимости как
на малых, так и на больших (бесконечных) массах. Эти
особенности частично компенсируют друг друга на
степенных решениях. После преобразования Захарова
уравнение упрощается в том смысле, что теперь име-
ется только одна сингулярная точка в нуле. Расклады-
вая вблизи нее, получаем
____________________________________________________
2
2
|0
0 0 0
2( , ) ( ) 2 ( ) ( )( ) ( ) ; ( ), ( 2 ).m m
uf m t f m u m m f m f xA f m f m dx f dx x A dx x f x t U
m m x x m x
+ ∂ ∂ + ∂
= − + − − = τ = ⋅∫ ∫ ∫ ∂τ ∂ ∂
(П.17)
_______________________________________________
Указанная выше компенсация учитывается здесь
автоматически. Для степенных распределений, регуля-
ризованных вблизи нуля в том смысле, что в интегра-
лах нуль заменен малой конечной величиной, прихо-
дим к уравнению
2
0
, ( , ) ,
/ , 2 .
A B m f m t
m
B dx x u s
µ
µ
∂Φ ∂Φ
− = + Φ Φ ≡
∂τ ∂
= µ = + +∫
(П.18)
54 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1
Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции
В силу сказанного, A и B — конечные величины, со-
держащие параметр обрезания. Ему нетрудно придать
физический смысл, так как не существует галактик ну-
левой массы. Формальное решение уравнения (П.18)
1/ ( / )Cm D C B AΦ = + = . (П.19)
имеет две степенные асимптотики, разделенные услови-
ем ,Cm D что соответствует / 1,brP m Q где brm —
масса излома спектра
2
11/ ( , );
1/ ( , ).
sCm f m Cm D
sD f m Cm D
Φ = ∝
Φ = ∝
(П.20)
Средний степенной индекс лежит между 1 2и s s и,
таким образом, в данной модели зависит от связи разме-
ров галактик с их массой, определяющей эти индексы*.
Эпилог
Черная дыра в центре, сложно устроенное ядро,
структурированная звездная и не менее сложная газо-
вая составляющая, дисковая и сфероидальные состав-
ляющие, спиральные рукава различных масштабов, и
многое другое. От всего этого мы отвлеклись, сосредо-
точив внимание только на одной важнейшей характе-
ристике галактики — ее массе. Лишь относительно
недавно стало ясно, что существеннейшую роль в эво-
люции играет взаимодействие галактик. Оно приводит,
в частности, к их активности, а увеличение массы и
изменение момента вращения (см., например, [39,40])
происходит главным образом путем слияний. Именно
этот процесс, вызываемый законом всемирного притя-
жения, мы обсуждали, считая его лежащим в основе
многочисленных следствий, определяющих свойства
галактик. При этом, в необозримом море исследований
мы ограничились лишь взрывной эволюцией.
Разумеется, подход, основанный на уравнении коа-
гуляции, свободен для критики. Однако с его помощью
удается удивительно простым образом навести поря-
док (возможно, иллюзорный) в наших самых общих
представлениях об эволюции ФС галактик вплоть до
эпохи их возникновения. Поэтому в заключение мы
можем лишь напомнить эпиграф Н.В. Гоголя к его
«Ревизору». Уравнение коагуляции проявило себя
вполне адекватным зеркалом.
Идея о существенной роли слияний галактик в воз-
никновении радиогалактик и квазаров одним из пер-
вых высказывалась Б.В. Комбергом, многочисленные
обсуждения с которым и неоценимая дружеская под-
держка определили наш интерес к этой области иссле-
дований. Автор благодарен А.В. Кацу за многолетнее
сотрудничество и разрешение использовать фрагменты
из совместных работ, а также А. Донец за помощь в
подготовке данной статьи.
1. И.М. Лифшиц, В.В. Слезов, ФТТ 1, 1401 (1959); ЖЭТФ
35, 479 (1958).
2. В.М. Конторович, Влияние слияний на динамические
свойства галактик, В материалах международной конфе-
ренции «Динамика гравитирующиx систем» под ред.
О.О. Железняка, С.А. Силича и П.И. Фомина, Украина,
Умань, 19–21 мая 1998; КФНТ, Приложение 2, (1999), c. 47
3. В.М. Волощук, Кинетическая теория коагуляции,
Гидрометеоиздат, Ленинград (1984).
4. M.H. Ernst, Kinetics of Cluster Formation at Irreversible
Aggregate, In: Fractals in Physics, L. Pietronero and
E. Tosatti (eds.), North-Holland, Amsterdam (1986), p.399.
5. A.V. Kats and V.M. Kontorovich, Astron. Astrophys. Trans.
2, 183 (1992).
6. W.H. Stockmayer, J. Chem. Phys. 11, 45 (1943).
7. Б.А. Трубников, ДАН СССР 196, 1316 (1971).
8. V.M. Kontorovich, D.S. Krivitsky, and A.V. Kats, Physica
D 87, 290 (1995).
9. A. Cavaliere, S. Colofrancesco, and N. Menci, Astrophys. J.
376, N 2, L37 (1991).
10. А.В. Кац, В.М. Конторович, Письма в астрон. журн. 17,
229 (1991).
11. Л.И. Винокуров, А.В. Кац, Физика атмосферы и океана
16, 601 (1980).
12. В.М. Конторович, А.В. Кац, Д.С. Кривицкий. Письма в
ЖЭТФ 55, 3 (1992)
13. C. Steidel, Proc. NAS USA 96, 42321 (1999)
14. А.В. Кац, В.М. Конторович, Радиофизика и радио-
астрономия 18, № 3, 220 (2013).
15. C. Borys, S. Chapman, M. Donahue, C. Borys, S. Chapman,
M. Donahue, G. Fahlman, M. Halpern, J.-P. Kneib,
P. Newbury, D. Scott, and G.P. Smith, MNRAS 352, 759
(2004).
16. A. Berciano Alba, L. Koopmans, M. Garrett, Alba
A. Berciano, L.V.E. Koopmans, M.A. Garrett, O. Wucknitz,
and M. Limousin, A&A, A54, 1 (2010.
* Реальное определение слабого конца ФС представляет большие трудности даже для близких (в космологическом смысле) объ-
ектов. Между тем от значения степенного индекса на слабом конце зависит важный вывод о вкладе малых галактик в общую
массу Вселенной. При s < –2 на слабом конце полная масса галактик расходится. Значению s = –2 соответствует логарифмиче-
ская расходимость. Уже ранние работы показали, что индекс Шехтера близок к –2, современные исследования продолжаются.
Поскольку данная статья написана для физиков, более подробно на этом мы не останавливаемся. Галактики сами по себе уже
являются сложнейшими объектами, наблюдения которых проводятся все ускоряющимися темпами (см. свежий обзор Б. Ком-
берга и С. Репина об исследовании галактик [38], где число упоминаемых работ столь велико, что авторы отказались от их тра-
диционного цитирования, не указывая, как правило, ни имен, ни названия, а только ссылку на архив или журнал).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1 55
http://journal.ri.kharkov.ua/index.php/ra/issue/view/74
http://journal.ri.kharkov.ua/index.php/ra/issue/view/74
http://journal.ri.kharkov.ua/index.php/ra/issue/view/74
В.М. Конторович
17. R.J. Bouwens, G.D. Illingworth, M. Franx, and H. Ford,
Ap.J, 670, 928 (2007); Arxiv: 0707.2080.
18. R.J. Bouwens, G.D. Illingworth, P.A. Oesch, I. Labbe, M.
Trenti, P. van Dokkum, M. Franx, M. Stiavelli, C.M. Carollo,
D. Magee, and V. Gonzalez, ApJ, 709L, 133 (2010); Arxiv:
1006.4360v4
19. R. Ellis and J. Silk, New Frontiers in Cosmology and Galaxy
Formation: Challenges for the Future. In: Structure
formation in Astrophysics, G. Chabrier (ed.), Cambridge
University Press (2008); astro-ph/0712286.
20. J. Silk and G. Mamon, Research in Astron. Astrophys, 12,
917 (2012); Arxiv:1207.3080.
21. В.М. Конторович, А.В. Кац, Д.С. Кривицкий. Письма в
ЖЭТФ 55, 3 (1992).
22. A.V. Kats and V. M. Kontorovich. Astrophysical Bulletin 68,
No. 3, 273 (2013); astro-ph/1309.0957.
23. В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений,
ГИФМЛ, Москва (1959).
24. A.V. Kats and V.M. Kontorovich, Advances in Astronomy
and Space Physics 3, 131 (2013).
25. B. Binggeli, A. Sandage, and G.A. Tammann, Ann. Rev.
Astron. Ap. 26, 509 (1988).
26. W.H. Press and P. Shechter, Astrophys. J. 187, No. 3, 425
(1974).
27. В.М. Конторович, ВАНТ 4 157 (2015); Arxiv:1507.00192.
28. В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин, Дифференциальные уравнения
с частными производными первого порядка. Справочник.
Физматлит, Москва (2003).
29. V.M. Kontorovich, Merging Galaxies in Compact Groups:
Analytical Theory, In : Small Galaxy Groups ASP Conference
Series, M. Valtonen and C. Flynn (eds.), 209, 423 (2000).
30. V.M. Kontorovich, Physica D 152, 676 (2001).
31. А.В. Кац, В.М. Конторович, ЖЭТФ 64, 15 (1973); ЖЭТФ
65, 206 (1973).
32. L.I. Vinokurov, A.V. Kats, and V.M. Kontorovich, J. Statist.
Phys. 38, 217 (1985).
33. Б.Б. Кадомцев, В.М. Конторович, Изв. ВУЗов. Радио-
физика 17, 511 (1974).
34. A.V. Kats and V.M. Kontorovich, Physica A 86, 471 (1977).
35. А.В. Кац, ЖЭТФ 71, 2104 (1976).
36. В.И. Карась, С.С. Моисеев, В.Е. Новиков, ЖЭТФ 71,
1421 (1976).
37. А.В. Кац, В.М. Конторович, Взаимосвязь равновесных и
потоковых слаботурбулентных распределений, в сб. Нели-
нейные волны, под ред. А.В. Гапонова-Грехова, Наука,
Москва (1979), с. 151.
38. Б.В. Комберг, С.В. Репин, Звездные острова Вселенной с
релятивистскими гейзерами в центрах. Галактики на
рабочем столе. Янус-К, Москва (2014).
39. А.В. Кац, В.М. Конторович, ВАНТ №4 (68), 137 (2010).
40. D.S. Krivitsky and V.M. Kontorovich, Astron. & Astrophys.
327, 921 (1997).
The evolution of galaxies in the mirror
of coagulation equation
V.M. Kontorovich
Smoluchowski equation and its generalizations, de-
scribing the merger of the particles, allow us to under-
stand the basic stages formation of galaxy mass func-
tions, established as a result of mergers, and their
evolution and, thus, provide an explanation for the re-
sults of long-term observations on the Hubble Space
Telescope and the large ground-based telescopes.
PACS: 05.20.Dd Kinetic theory;
98.62.Ai Origin, formation, evolution, age,
and star formation;
98.62.Dm Kinematics, dynamics, and rotation.
Keywords: galaxies: evolution, mergers, large red-
shifts; coagulation equation.
56 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 1
http://adsabs.harvard.edu/abs/2010ApJ...709L.133B
http://ufn.ru/ru/pacs/05.20.Dd/
1. Введение
2. Уравнение Смолуховского и взрывная эволюция
3. Вероятность слияния галактик
4. «Взрывная» эволюция галактик
5. Взрывная эволюция далеких галактик
Решение методом характеристик
Решение для локализованного источника
Точное решение при квадратичной зависимости вероятности слияния от масс
Степенная асимптотика решения на больших массах
6. Максимальные массы и регуляризация решения
7. Разукрупнение (downsizing) с точки зрения модели слияний [27]
Приложение
Преобразования Захарова в кинетическом уравнении Смолуховского [29,30]
Эпилог
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129352 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:44:11Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Конторович, В.М. 2018-01-19T13:52:50Z 2018-01-19T13:52:50Z 2017 Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции / В.М. Конторович // Физика низких температур. — 2016. — Т. 43, № 1. — С. 41-56. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.20.Dd, 98.62.Ai, 98.62.Dm https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129352 Уравнение Смолуховского и его обобщения, описывающие слияния частиц, позволяют понять основные этапы формирования распределения галактик по массам (функции масс галактик), устанавливающиеся в результате слияний, и, тем самым, дать объяснение результатам многолетних наблюдений
 на космичеcком телескопе имени Хаббла и крупных наземных телескопах. Рівняння Смолуховського та його узагальнення, які описують злиття частинок, дозволяють зрозуміти
 основні етапи формування розподіла галактик по масах (функції мас галактик), що встановлюються в
 результаті злиття, і, тим самим, дати пояснення результатам багаторічних спостережень за допомогою
 космічного телескопа імені Хаббла та великих наземних телескопах. Smoluchowski equation and its generalizations, describing the merger of the particles, allow us to understand the main stages of the formation of galaxy mass functions, established as a result of mergers, and their evolution and thus provides an explanation for the results of long-term observations with the Hubble Space Telescope and large ground-based telescopes. Автор благодарен А.В. Кацу за многолетнее
 сотрудничество и разрешение использовать фрагменты
 из совместных работ, а также А. Донец за помощь в
 подготовке данной статьи. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции The evolution of galaxies in the mirror of the coagulation equation Article published earlier |
| spellingShingle | Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции Конторович, В.М. К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица |
| title | Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции |
| title_alt | The evolution of galaxies in the mirror of the coagulation equation |
| title_full | Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции |
| title_fullStr | Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции |
| title_full_unstemmed | Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции |
| title_short | Эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции |
| title_sort | эволюция галактик в зеркале уравнения коагуляции |
| topic | К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица |
| topic_facet | К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129352 |
| work_keys_str_mv | AT kontorovičvm évolûciâgalaktikvzerkaleuravneniâkoagulâcii AT kontorovičvm theevolutionofgalaxiesinthemirrorofthecoagulationequation |