Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур

Найден спектр энергии, создаваемый вихревым клубком в противотоке нормальной и сверхтекучей компонент при различных температурах. Значения противотока изменялись в диапазоне от 0,3 см/c до 1,2 см/c, а значения температуры от 1,3 К до 1,9 К. Показано, что в зависимости от температуры на масштабах п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
Hauptverfasser:	Андрющенко, В.А., Кондаурова, Л.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2017
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129369
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур / В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 245-252. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129369
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1293692025-02-09T10:11:17Z Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур Energy spectra of counterflow quantum turbulence at different temperatures Андрющенко, В.А. Кондаурова, Л.П. К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица Найден спектр энергии, создаваемый вихревым клубком в противотоке нормальной и сверхтекучей компонент при различных температурах. Значения противотока изменялись в диапазоне от 0,3 см/c до 1,2 см/c, а значения температуры от 1,3 К до 1,9 К. Показано, что в зависимости от температуры на масштабах порядка межвихревых расстояний E(k) ~ k−α , где 1,3 < α < 1,4. На больших масштабах E(k) ~ k−¹. Показано, что при тепловых потоках, соответствующих режиму Гортера–Меллинка, плотность диссипации энергии пропорциональна кубу противотока нормальной и сверхтекучей компонент, т.е. диссипация энергии обусловлена трением между нормальной компонентой и вихревым клубком. Знайдено спектр енергії, що створюється вихоровим клубком в протитечії нормальної та надплинної компонент при різних температурах. Значення протитечії змінювалися в діапазоні від 0,3 см/c до 1,2 см/c, а значення температури від 1,3 К до 1,9 К. Показано, що залежно від температури на масштабах порядку міжвихорових відстаней E(k) ~ k−α , де 1,3 < α < 1,4. На великих масштабах E(k) ~ k−¹. Показано, що при теплових потоках, які відповідають режиму Гортера–Меллінка, щільність дисипації енергії пропорційна кубу протитечії нормальної і надплинної компонент, тобто дисипація енергії обумовлена тертям між нормальною компонентою та вихоровим клубком. The spectrum of the energy generated by the vortex tangle in counterflow of normal and superfluid components at different temperatures was obtained. The counterflow magnitude was varied from 0.3 cm/s to 1.2 cm/s and the temperature was varied from 1.3 K to 1.9 K. It was shown that E(k) ~ k−α at intervortex scale, where 1.3 < α < 1.4 depending on the temperature. At larger scales E(k) ~ k−¹ . It was obtained that change of the kinetic energy per unit mass is proportional to the cube of the counterflow of normal and superfluid components at Gorter–Mellink mode, thus the energy dissipation originate from friction between normal component of helium and vortex tangle. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-29-00093). 2017 Article Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур / В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 245-252. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 67.25.dk, 47.37.+q, 03.75.Kk https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129369 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
spellingShingle	К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица Андрющенко, В.А. Кондаурова, Л.П. Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур Физика низких температур
description	Найден спектр энергии, создаваемый вихревым клубком в противотоке нормальной и сверхтекучей компонент при различных температурах. Значения противотока изменялись в диапазоне от 0,3 см/c до 1,2 см/c, а значения температуры от 1,3 К до 1,9 К. Показано, что в зависимости от температуры на масштабах порядка межвихревых расстояний E(k) ~ k−α , где 1,3 < α < 1,4. На больших масштабах E(k) ~ k−¹. Показано, что при тепловых потоках, соответствующих режиму Гортера–Меллинка, плотность диссипации энергии пропорциональна кубу противотока нормальной и сверхтекучей компонент, т.е. диссипация энергии обусловлена трением между нормальной компонентой и вихревым клубком.
format	Article
author	Андрющенко, В.А. Кондаурова, Л.П.
author_facet	Андрющенко, В.А. Кондаурова, Л.П.
author_sort	Андрющенко, В.А.
title	Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур
title_short	Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур
title_full	Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур
title_fullStr	Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур
title_full_unstemmed	Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур
title_sort	энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2017
topic_facet	К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129369
citation_txt	Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур / В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 245-252. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT andrûŝenkova énergetičeskiespektrykvantovojturbulentnostiprinaličiiprotivotokadlârazličnyhtemperatur AT kondaurovalp énergetičeskiespektrykvantovojturbulentnostiprinaličiiprotivotokadlârazličnyhtemperatur AT andrûŝenkova energyspectraofcounterflowquantumturbulenceatdifferenttemperatures AT kondaurovalp energyspectraofcounterflowquantumturbulenceatdifferenttemperatures
first_indexed	2025-11-25T18:37:54Z
last_indexed	2025-11-25T18:37:54Z
_version_	1849788612266164224
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2, c. 245–252 Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН Сибирского отделения Российской академии наук пр. Академика Лаврентьева, 1, г. Новосибирск, 630090, Россия E-mail: louisa@ngs.ru Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, Россия Статья поступила в редакцию 1 августа 2016 г., опубликована онлайн 26 декабря 2016 г. Найден спектр энергии, создаваемый вихревым клубком в противотоке нормальной и сверхтекучей компонент при различных температурах. Значения противотока изменялись в диапазоне от 0,3 см/c до 1,2 см/c, а значения температуры от 1,3 К до 1,9 К. Показано, что в зависимости от температуры на мас- штабах порядка межвихревых расстояний E(k) ~ k–α, где 1,3 < α < 1,4. На больших масштабах E(k) ~ k–1. Показано, что при тепловых потоках, соответствующих режиму Гортера–Меллинка, плотность диссипа- ции энергии пропорциональна кубу противотока нормальной и сверхтекучей компонент, т.е. диссипация энергии обусловлена трением между нормальной компонентой и вихревым клубком. Знайдено спектр енергії, що створюється вихоровим клубком в протитечії нормальної та надплинної компонент при різних температурах. Значення протитечії змінювалися в діапазоні від 0,3 см/c до 1,2 см/c, а значення температури від 1,3 К до 1,9 К. Показано, що залежно від температури на масштабах порядку міжвихорових відстаней E(k) ~ k–α, де 1,3 < α < 1,4. На великих масштабах E(k) ~ k–1. Показано, що при теплових потоках, які відповідають режиму Гортера–Меллінка, щільність дисипації енергії пропорційна кубу протитечії нормальної і надплинної компонент, тобто дисипація енергії обумовлена тертям між но- рмальною компонентою та вихоровим клубком. PACS: 67.25.dk Вихри и турбулентность; 47.37.+q Гидродинамические аспекты сверхтекучести; квантовые жидкости; 03.75.Kk Динамические свойства конденсатов; коллективные и гидродинамические возбужде- ния, сверхтекучий поток. Ключевые слова: сверхтекучесть, вихревая структура, квантовая турбулентность. 1. Введение и мотивация Сверхтекучая или квантовая турбулентность при- влекает значительное внимание как экспериментато- ров, так и теоретиков. Под сверхтекучей турбулентно- стью понимается клубок переплетенных квантованных вихревых нитей в сверхтекучей компоненте гелия, ко- торый поддерживается силой взаимного трения между вихревыми нитями и нормальной компонентой жидко- го гелия. Эта турбулентность не имеет непосредствен- ного классического аналога. Однако экспериментально установлено, что определенные режимы турбулентно- го течения в сверхтекучей компоненте жидкого гелия удивительно похожи на турбулентное течение в клас- сической жидкости при высоких числах Рейнольдса. Это сходство существует несмотря на то, что сверхте- кучий гелий описывается двухжидкостной моделью. Причем, в сверхтекучей компоненте отсутствует вяз- кая диссипация, а вращающееся движение проявляется в виде набора дискретных квантованных вихревых ни- тей [1]. Существуют эксперименты по определению спек- трального характера течения сверхтекучей жидкости. Так, в работах [2,3], сверхтекучую жидкость пропус- кают через жесткие сетки. В области, находящейся за сетками, наблюдают установившиеся турбулентные дви- жения как в нормальной, так и сверхтекучей компо- нентах гелия. В работе [4] проводится теоретическое обсуждение этих экспериментов. В частности утвер- ждается, что характер свободного распада вихревого © В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова, 2017 В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова клубка является ключевым аргументом в пользу того, что хаотическая совокупность квантовых вихрей мо- жет имитировать классическую турбулентность, или, по крайней мере, воспроизвести некоторые основные свойства. Поскольку возможные механизмы диссипа- ции вихревой энергии, обсуждаемые там и в других источниках, реализуются на малых масштабах, то ес- тественно предположить, что распад турбулентности происходит вследствие стационарного потока энергии с масштабов порядка размера системы в малые мас- штабы и ее последующей диссипацией на этих малых масштабах. Таким образом, может возникать некото- рое подобие каскада Колмогорова, характерного для классической турбулентности несжимаемой жидкости. В то же время, в ряде экспериментальных [5–10] и численных работ [11–17] было показано, что вихревой клубок распадается при температурах, близких к абсо- лютному нулю. Однако при низких температурах нор- мальная компонента сверхтекучего гелия практически отсутствует, а следовательно, отсутствует и взаимное трение, являющееся наиболее очевидным механизмом диссипации энергии в жидкостях. Данный факт свиде- тельствует о наличии нескольких механизмов диссипа- ции энергии. Естественным образом, стоит ожидать и возможное отличие в характере энергетического спек- тра для различных ситуаций, а также на различных мас- штабах. Целью настоящей работы является исследование спектрального характера квантовой турбулентности в противотоке нормальной и сверхтекучей компонент ге- лия при различных температурах, а также определение возможных механизмов диссипации энергии. Спектры поля скорости для вихревого клубка вычислялись на основе конфигураций вихревых нитей, полученных в работе [18]. Кроме того, для анализа спектральных ха- рактеристик на масштабах межвихревых расстояний дополнительно была исследована динамика пар рекон- нектирующих вихревых петель. Для определения ха- рактера спектра энергии исследуемых систем мы ис- пользовали метод структурных функций, с успехом применяемый при исследовании классической турбу- лентности. Описание данного метода приведено в сле- дующем разделе. 2. Методы моделирования динамики вихревых нитей и определения энергетического спектра В качестве метода получения энергетического спек- тра системы был выбран метод структурных функций. Этот метод позволяет определить интенсивность дисси- пации и спектр энергии по известному полю скоростей. Поэтому предварительным этапом изучения энергети- ческих характеристик исследуемой системы было оп- ределение ее фазового портрета. Описанию алгоритма нахождения поля скоростей и его численной реализа- ции посвящены следующие два подраздела. Далее бу- дет описан метод структурных функций. 2.1. Алгоритм моделирования динамики вихревых нитей Моделирование динамики вихревых нитей прове- дено на основе метода вихревой нити. Суть метода заключается в том, что незначительное изменение ядра квантованных вихрей игнорируется, вихри аппрокси- мируются нитями с заданной структурой ядра. В рас- четах вихревая нить аппроксимируется набором прямых вихревых отрезков, размеры которых много меньше межвихревого расстояния. Согласно этому скорость точки вихревой нити определяется, в отсутствие нор- мальной компоненты, скоростью жидкости как целого плюс индуцированная скорость от всей вихревой сис- темы, которая находится из решения уравнения Био– Савара: 1 1 3 1 ( ) ( ) = , 4 \| \| B L d− ×κ π −∫ s s sV s s s (1) где 1,s s — радиус-векторы, проведенные из начала ко- ординат к точкам на вихревой нити, интегрирование ведется по всей конфигурации нитей L . Величиной κ обозначен квант циркуляции для поля скорости, рав- ный 4/h m , где h — постоянная Планка, 4m — масса атома гелия. Координатная система и параметризация вихревых нитей схематично представлена на рис. 1. При учете силы трения и противотока нормальной и сверхтекучей компонент гелия уравнение движения эле- мента вихревой нити принимает следующий вид: = ( ) [ ( )],L s B ns B ns B' ' '′+ + α × − −α × × −V V V s V V s s V V (2) где , ′α α — зависящие от температуры коэффициенты трения, 's — первая производная по параметру ξ , па- раметр ξ — длина дуги, другими словами, касательный вектор, sV — скорость сверхтекучей компоненты гелия, =ns n s−V V V — скорость противотока (разность ско- ростей нормальной и сверхтекучей компонент). При мо- Рис. 1. Координатная система. Вихревая нить задана в есте- ственной параметризации с натуральным параметром ξ. 246 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур делировании рассматривались случаи различных тем- ператур системы. Рассмотренные температуры и соот- ветствующие коэффициенты трения приведены в табл. 1. Таблица 1. Коэффициенты трения, соответствующие рас- смотренным температурам , КT 0 1,3 1,6 1,9 α 0 0,036 0,098 0,21 ′α 0 0,014 0,016 0,0009 Для оценки характера спектра энергии на масшта- бах порядка межвихревых мы рассмотрели динамику пар вихревых колец. В качестве начальной конфигура- ции системы выбирались два кольца одинакового диа- метра ( 3 0 = 10R − см), лежащих в плоскостях, накло- ненных относительно друг друга. Температура была равна 1,3 К. Начальное расстояние между центрами вихревых колец выбрано равным радиусу вихревых ко- лец, т.е. вихревые кольца были зацепленными. Качест- венно их динамика согласуется с динамикой незацеп- ленных вихревых колец, лежащих в одной плоскости, исследованной ранее в работе [19]. Однако количество возможных конфигураций и, соответственно, больше различных возможных особенностей в спектре энергии для непланарных вихрей, чем и мотивировано допол- нительное (по отношению к работе [19]) исследование. В настоящей работе использованы также конфигу- рации вихревого клубка, полученные в рамках описан- ного здесь алгоритма и его соответствующей реализа- ции (см., следующий подраздел), в [18]. В указанной работе были получены конфигурации вихревого клуб- ка в стационарном состоянии при температурах 1,3, 1,6, 1,9 К при различных значениях скоростей проти- вотока от 0,3 до 1,2 см/с. Расчеты были проведены при периодических граничных условиях в кубической об- ласти с размером ребра 0,1 см. Для определения полей скоростей, создаваемых по- лученными и используемыми вихревыми конфигура- циями, применялось уравнение Био–Савара (скорость сверхтекучего гелия не меняет вида энергетического спектра, см. раздел, посвященный вычислению струк- турных функций). 2.2. Вычислительная схема Для нахождения скорости, индуцированной вихре- выми нитями, необходимо вычислить интеграл (1). При вычислении скорости вихревой точки is этот интеграл можно представить в виде двух слагаемых: 3 ( ) ( ) = , 4 \| \| j i j B i i i j iL d− ×κ′ ′′β × + π −∫ s s s V s s s s s 1/4 0 2 = . 4 l l e a + −κ β π Первое слагаемое в данном выражении — наведен- ная скорость соседних элементов нити: l± — длины элементов нити, прилегающие к точке is (локальный вклад), 0a — радиус ядра вихревой нити, i′′s — вторая производная по параметру ξ . Интеграл вдоль отрезка 1j j+−s s берется, и его значение определяется выраже- нием 2 2 2( ) = . 4 4 j inl b c b a b c aac b κ +  − × π + +−   v s p q Здесь использованы следующие обозначения: = ,j i−p s s 1= j j+ −q s s , 2= \| \|a p , = 2b ⋅p q, 2= \| \|c q . В итоге пол- ная наведенная скорость определяется суммированием по всем элементам нити (нелокальный вклад), исклю- чая прилегающие отрезки: 1, ( ) = .j nl i nl j i j i≠ − ≠ ∑v s v В процессе моделирования происходит изменение расстояний между точками вихревых петель. Для под- держания точности вычисления производных на одном уровне используется специальная процедура. Суть проце- дуры заключается в следующем: если расстояние между точками становится в полтора и более раз меньше из- начально выбранного пространственного шага вдоль нити 0∆ξ , то промежуточная точка убирается, и, на- оборот, если расстояние между точками становится в полтора и более раз больше, чем 0∆ξ , то между ними вставляется еще одна точка. Точка вставляется на се- редине дуги окружности элементы вихревой нити: 1 1= \| \| = \| ( ) / 2 \| .i i i iR− ′ ′ +′′ ′′ ′′+s s s Координата точки определяется выражением 2 2 1= ( ) / 2 / 4 .i i i i i i iR l R R′ ′ ′ ′ ′+ +   ′′+ + − −    s s s s Динамика нитей усложняется еще тем, что при сво- ем движении сегменты вихревых нитей (нити) могут пересекаться (реконнектировать). Процессы реконнек- ции, в результате которых очень сильно изменяется топология вихревой структуры, не описываются ана- литически. В численных работах, начиная с работы Шварца, используются различные критерии реконнек- ций. Эти критерии основываются на физической ин- туиции и результатах численного моделирования. В ра- боте [18] было проведено сравнение расчетов при применении трех наиболее используемых критериев реконнекций. Показано, что физически обоснованным и менее вычислительно затратным критерием является энергогеометрический. Суть этого критерия состоит в том, что если вихревые точки сегментов нитей подхо- дили ближе пространственного шага вдоль нити 0∆ξ и при этом после реконнекций длина вихревых нитей уменьшается, а угол между ними больше 10 градусов, Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 247 В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова то процессы реконнекций осуществлялись. Указанный критерий был использован для моделирования дина- мики вихревого клубка. Для интегрирования уравнений движения по време- ни была использована схема Рунге–Кутты 4-го порядка точности. Более подробно детали, использованной ма- тематической модели и особенности ее численной реа- лизации, описаны в работе [18]. 2.3. Структурные функции и спектр энергии Для определения спектра поля скорости требуется нахождение структурной функции второго порядка, как описано, например, в работах [20–25]. Структурная функция второго порядка определяет- ся как изменение скорости между двумя точками про- странства, спроектированного на вектор l , соединяю- щий эти две точки (и нормированное на длину этого вектора l ): 2 \|\|( ) = ( ) ,llC l l〈δ 〉v (3) где ( )\|\|( ) = [ ( ) ( )] / .l lδ + − ⋅v r l v r lv Под угловыми скобками подразумевается усреднение по ансамблю, т.е. для всех возможных значений r. В теории Колмогорова (K41) [21,22] показано, что для однородной изотропной турбулентности 2/3 2/3( )llC l lε , где ε — плотность диссипации энергии. В общем слу- чае, используя преобразование Фурье, можно показать, что зависимости ( )llC l lα в пространстве координат соответствует зависимость 1( )E k k−α−∝ в пространст- ве волновых чисел. Таким образом, определение спектральных характе- ристик системы сводится к следующему алгоритму: вы- числяется интересующая конфигурация вихревых ни- тей, далее в окружающей области находится поле скоростей, соответствующее полученной конфигура- ции (см., например, рис. 2). К найденному полю скоро- сти применяется формула (3) и преобразование Фурье для перехода в пространство волновых векторов. Во всех приведенных далее расчетах поле значения скорости определялись в 25000 точках, выбранных случайным образом в области, занимаемой вихревым клубком. 3. Результаты и обсуждение Динамика вихревых нитей неразрывно связана с полями скоростей и их энергетическими характери- стиками. Поэтому для самосогласованного изложения, прежде чем переходить к описанию энергетических ха- рактеристик исследуемых систем, опишем их харак- терные свойства. 3.1. Характер динамики вихревых нитей Динамика вихревых петель определяется рядом фак- торов. Главным образом, это влияние элементов вих- ревых элементов друг на друга и сила трения между вихревыми нитями и нормальной компонентой гелия. Отсюда следует ограниченное число сценариев эволю- ции петель. Так, на практике реализуется либо сближе- ние петель и их последующая реконнекция, либо уско- ренное движение петель и их сжатие под действием трения. При наличии противотока петли будут повора- чиваться в плоскость, перпендикулярную направлению nsV , а также сжиматься или раздуваться в зависимости от угла между плоскостью петли и направлением nsV , в соответствии с уравнением (2). Если петли находятся близко друг к другу, то их взаимное влияние будет при- водить к деформации ближайших элементов петель с образованием пирамидальных структур (кинков) (по- дробнее см., например, [19]). Для оценки характера спектра на масштабах поряд- ка размеров петель мы рассмотрели несколько различ- ных конфигураций вихревых петель непосредственно перед реконнекциями (см. рис. 3). Соответствующие на- чальные условия приведены в разделе, описывающем алгоритм моделирования динамики вихревых нитей. Вы- бор конфигураций непосредственно перед реконнекци- ями мотивирован желанием оценить возможное влияние кинков на спектральные характеристики поля скорости системы. 3.2. Свойства вихревого клубка При нахождении энергетического спектра поля ско- рости были использованы вихревые конфигурации, полученные в работе [18]. Для понимания основных физических характеристик исследуемого объекта крат- ко опишем рассмотренные вопросы и некоторые ос- новные (касающиеся силы трения и структуры вихре- вого клубка) результаты работы [18]. В этой работе Рис. 2. (Онлайн в цвете) Пример поля скорости, создаваемого двумя вихревыми петлями. 248 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур было проведено детальное исследование средних ха- рактеристик вихревого клубка, а именно, были полу- чены зависимости плотности вихревого клубка, скоро- сти реконнекций, анизотропии, среднеквадратичных значений кривизны, скорости дрейфа и плотности силы трения от скорости противотока и температуры. Также была получена детальная статистическая информация об общих и локальных свойствах вихревой структуры: корреляционные функции ориентации вихревых нитей, распределение петель по их длинам, корреляции меж- ду длиной и среднеквадратичной кривизной петель, функции распределения кривизны нитей и т.д. Все величины рассчитывались в стационарном со- стоянии (плотность вихревых нитей флуктуирует во- круг некоторого постоянного значения), которое было достигнуто для системы при всех значениях темпера- тур и nsV . Характерные примеры вихревых конфигу- раций в стационарном состоянии для различных тем- ператур приведены на рис. 4. В работе проводилось исследование анизотропии вихревого клубка и характеризующих его индексов. Было показано, что с повышением температуры клубок становится более ориентированным в направлении, пер- пендикулярном к скорости противотока (становится более сплюснутым), также показано, что анизотропные индексы практически не зависят от скорости противо- тока. При анализе структуры вихревого клубка с помо- щью автокорреляционной функции, построенной для вихревой ориентации, было показано, что корреляция скоростей элементов вихревого клубка 1 2( ) ( )r r′ ′〈 〉s s па- дает до значений близких к нулевым на межвихревых расстояниях l. На основании этого в работе был сде- лан вывод о том, что конфигурация сегментов вихре- Рис. 3. Конфигурации вихревых петель перед реконнекциями для различных начальных углов между плоскостями петель: 30° (a), 45° (б), 60° (в), 90° (г). Рис. 4. Характерные структуры вихревых клубков при скорости противотока = 0,5nsV см/с и различных температурах T, К: 1,3 (a), 1,6 (б), 1,9 (в). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 249 В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова вых нитей напоминает случайное блуждание с длиной корреляции порядка межвихревого расстояния, т.е., что не существует когерентных вкладов вихревых ни- тей в поле скорости на расстояниях больше межвихре- вых. Также в работе [18] было сделано предположение, что энергетический спектр вихревого клубка ( )E k должен быть определен вкладами отдельных вихревых нитей от масштабов, где справедливо: 1kl вплоть до размера клубка. Еще один важный результат, полученный в [18], ка- сается силы трения. Так, было показано, что сила вза- имного трения пропорциональна скорости противотока в кубе, а полученный коэффициент пропорционально- сти напрямую связан с экспериментально используе- мой константой Гортера–Меллинка. Сравнение с экс- периментальными данными показало, что был получен правильный порядок и корректная зависимость кон- станты Гортера–Меллинка от температуры. 3.3. Спектр энергии вихревого клубка Согласно описанному выше алгоритму, были вы- числены структурные функции для различных конфи- гураций вихревых клубков. Для минимизации ошибок проводилось усреднение значений структурных функ- ций, полученных для десяти различных конфигураций, принадлежащих стационарному состоянию. Процедура усреднения проводилась для всех температур и скоро- стей противотока. Зависимости структурных функций от пространственного масштаба l при температуре = 1,6 КT для различных скоростей противотока пока- заны на рис. 5. Все зависимости, приведенные на рис. 5, имеют два характерных участка. На масштабах порядка и меньше межвихревых расстояний при увеличении l наблюда- ется рост значений структурных функций. На больших масштабах структурные функции имеют очень слабую зависимость от l , а именно 0,05( )llC l l . В дальнейших рассуждениях мы считаем llC независимой от l . Отме- тим, что характерные межвихревые расстояния, как было получено в работе [18], изменяются в пределах от 0,005 до 0,04 см в зависимости от скорости противото- ка и температуры. Увеличение температуры и скорости противотока приводит к уменьшению межвихревых рас- стояний. Для других температур зависимость структур- ных функций от l и nsV качественно похожи на зависи- мость, полученную для = 1,6 КT . Отличия заключа- ются в значениях структурных функций и некоторой разнице в наклоне кривых на межвихревых масштабах, которое мы опишем далее. Рассмотрим подробнее зависимости ( )llC l на масшта- бах порядка межвихревых. Во всех случаях, при фик- сированном значении температуры, зависимости струк- турных функций от l при различных nsV имели почти одинаковый наклон (см. рис. 5). Поэтому после полу- чения уравнений кривых для различных значений ско- ростей противотока было проведено усреднение по их наклонам. Эти результаты представлены на рис. 6, там же для сравнения приведены функции ( )llC l при = 0,5nsV см/с для различных температур. Наклоны аппроксимирующих кривых равны: 0,3, 0,35 и 0,4 для температур: = 1,3T , 1,6 и 1,9 К. Данные зна- чения соответствуют 1,3( )E k k− , 1,35( )E k k− и 1,4( )E k k− . Для установления возможных причин на- блюдения таких спектральных характеристик отдельно рассмотрены спектры, создаваемые вихревыми коль- цами на масштабах, соответствующих средним меж- вихревым расстояниям вихревого клубка. Полученные результаты изложены в следующем подразделе. Отдельно рассмотрим зависимости значений струк- турных функций от скоростей противотока. Как пока- зано на рис. 5, значения структурных функций на мас- штабах, бóльших, чем межвихревые, практически не зависят от l , но существенно увеличиваются при уве- Рис. 5. Зависимость структурной функции от l при = 1,6 КT для различных значений nsV , см/с: 0,3 (1), 0,4 (2), 0,5 (3), 0,6 (4), 0,7 (5), 0,8 (6), 0,9 (7), 1,0 (8), 1,1 (9), 1,2 (10). Рис. 6. Зависимость структурной функции от l при = 0,5nsV см/c для: = 1,3 КT — сплошная, = 1,6 КT — пунктирная, = 1,9 КT — точечная линии соответственно. Аппроксимации, построенные в области межвихревых рас- стояний, обозначены линией с длинными штрихами и штрих- пунктирным линиями. Аппроксимации строились при фик- сированных температурах путем усреднения наклонов ли- ний, полученных при различных nsV . 250 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур личении скорости противотока. Для выяснения ха- рактера этой зависимости были вычислены средние значения структурных функций llC на масштабах, бóль- ших межвихревых расстояний, для всех температур и скоростей противотока (см. рис. 7). Полученные зависимости хорошо аппроксимируются квадратичными функциями (см. сплошную, пунктир- ную и точечную линии на рис. 7). Как указывалось ранее, 2/3 2/3( )llC l lε , где ε — плотность диссипации энергии. В данном случае 2/3 0( )llC l lε и как следует из аппроксимаций 2( )ll nsC l V , т.е. 2/3 2 nsVε  или 3 nsVε . Таким образом, плотность диссипации энергии 3 nsV . В работе [18], как отмечалось ранее в разделе, посвященном свойствам клубка, сила трения между вихревым клубком и нормальной компонентой — 3 ns nsF V . Отсюда, можно предположить, что диссипа- ция энергии в системе связана с работой силы трения. 3.4. Спектр энергии вихревых петель На масштабах порядка межвихревых расстояний, характерных для вихревых клубков, были вычислены спектральные характеристики полей скоростей, созда- ваемых вихревыми конфигурациями, представленными на рис. 3. Результаты показаны на рис. 8. Полученные структурные функции имеют несколько характерных участков, протяженность которых зависит от конфигу- рации петель. Наклон аппроксимирующих кривых (см. сплошные линии на рис. 8) увеличивается с уменьше- нием угла между плоскостями начального расположения петель, т.е. для более пространственно скоррелирован- ных вихревых конфигураций. Значения углов наклона llC изменяются в диапазоне от 0,45 до 0,66, что соот- ветствует спектрам 1,45( )E k k− и 5/3( )E k k− . Отме- тим, что для петель, далеких от точки реконнекции и не имеющих характерных кинков, подобная зависи- мость в области больших значений l не наблюдается. Во всех рассмотренных случаях наличие кинков приводит к характерным особенностям в спектре энер- гии. Стоит ожидать, что при увеличении числа кинков спектр энергии должен иметь более крутой наклон. Очевидно, что их число существенно растет с увеличе- нием плотности вихревого клубка и числа реконнек- ций, которые, в свою очередь, растут с увеличением температуры. Поэтому при более высоких температу- рах на межвихревых масштабах должен наблюдаться больший наклон ( )E k , чем при более низких. Такой ха- рактер ( )E k и был получен для вихревых клубков в предыдущем разделе. 4. Заключение Изучены спектральные характеристики вихревых клубков в сверхтекучем гелии при различных темпе- ратурах и скоростях противотока. Показано, что на масштабах больше межвихревых расстояний наблюда- ется спектр близкий к 1( )E k k− . Стоит отметить, что подобный спектр характерен для прямой вихревой ни- ти. Рассмотренная нами система, т.е. сверхтекучая тур- булентность при наличии противотока, по своей сути является анизотропной, благодаря выделенному направ- лению скорости противотока. Наличие противотока приводит к поляризации клубка, что было установлено при анализе анизотропных индексов в работе [18], и сближает систему с системами, обладающими осевой симметрией, например, с прямой вихревой нитью. В данном случае сходство выразилось в характере спек- тра на больших масштабах. На масштабах порядка межвихревых расстояний спектр энергии имеет вид: ( )E k k−α , где 1,3 < < 1,4α . Причем большие значения α соответствуют большим температурам. На примере реконнектирующих вихре- вых петель, показано, что такое поведение может быть Рис. 8. Зависимость структурной функции от l для вихревых конфигураций, соответствующих рис. 3. Рис. 7. Зависимость среднего значения структурной функции (усреднение проводилось на масштабах больше межвихрево- го расстояния) от nsV для различных температур. Уравнения аппроксимирующих кривых и соответствующие значения коэффициента детерминации 2R : 2,0872 = 0,0143ll nsC V , 2 0,999R = , 1,9 КT = ; 2,0632 = 0,0075ll nsC V , 2 0,9914R = , 1,6 КT = ; 2,06 = 0,0025ll nsC V , 2 0,9971R = , 1,3 КT = . Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 251 В.А. Андрющенко, Л.П. Кондаурова связано с наличием характерных особенностей — кин- ков и увеличением их числа с ростом температуры. Кроме того, установлено, что плотность диссипации энергии пропорциональна кубу скорости противотока нормальной и сверхтекучей компонент гелия. Анало- гичную зависимость от скорости противотока имеет сила трения между вихревым клубком и нормальной компонентой гелия. Данный факт позволяет предполо- жить, что диссипация энергии в исследуемой системе, главным образом, связана с силой трения. Исследование выполнено за счет гранта Российско- го научного фонда (проект №14-29-00093). 1. R.J. Donnelly, Quantized Vortices in Helium II. Cambridge University Press, Cambridge (1991). 2. M.R. Smith, R.J. Donnelly, N. Goldenfeld, and W.F. Vinen, Phys. Rev. Lett. 71, 2583 (1993). 3. S.R. Stalp, L. Skrbek, and R.J. Donnelly, Phys. Rev. Lett. 82, 4831 (1999). 4. W.F. Vinen, Phys. Rev. B 61, 1410 (2000). 5. S.I. Davis, P.C. Hendry, and P.V.E. McClintock, Physica B 280, 43 (2000). 6. W. Schoepe, Phys. Rev. Lett. 92, 095301 (2004). 7. D.I. Bradley, D.O. Clubb, S.N. Fisher, A.M. Guenault, R.P. Haley, C.J. Matthews, G.R. Pickett, V. Tsepelin, and K. Zaki, Phys. Rev. Lett. 96, 035301 (2006). 8. P.M.Walmsley, A.I. Golov, H.E. Hall, A.A. Levchenko, and W.F. Vinen, Phys. Rev. Lett. 99, 65302 (2007). 9. V. Eltsov, R. de Graaf, R. Hanninen, M. Krusius, R. Solntsev, V. L’vov, A. Golov, and P. Walmsley, in: Progress in Low Temperature Physics: Quantum Turbulence of Progress in Low Temperature Physics, Elsevier (2009), vol. 16, p. 45. 10. W. Schoepe, J. Low Temp. Phys. 161, 526 (2010). 11. C. Nore, M. Abid, and M. Brachet, Phys. Fluids 9, 2644 (1997). 12. D.C. Samuels and C.F. Barenghi, Phys. Rev. Lett. 81, 4381 (1998). 13. M. Tsubota, T. Araki, and S.K. Nemirovskii, Physica B 284, 79 (2000). 14. T. Araki and M. Tsubota, J. Low Temp. Phys. 121, 405 (2000). 15. T. Araki, M. Tsubota, and S.K. Nemirovskii, Phys. Rev. Lett. 89, 145301 (2002). 16. M. Leadbeater, D.C. Samuels, C.F. Barenghi, and C.S. Adams, Phys. Rev. A 67, 015601 (2003). 17. S. Fujiyama, A. Mitani, M. Tsubota, D.I. Bradley, S.N. Fisher, A.M. Guenault, R.P. Haley, G.R. Pickett, and V. Tsepelin, Phys. Rev. B 81, 180512 (2010). 18. L. Kondaurova, V. L’vov, A. Pomyalov, and I. Procaccia, Phys. Rev. B 89, 014502 (2014). 19. V.A. Andryushchenko, L.P. Kondaurova, and S.K. Nemirovskii, J. Low Temp. Phys. 185, 377 (2016). 20. U. Frisch, Turbulence, Cambridge University Press, Cambridge (1995). 21. A.N. Kolmogorov, Dokl. Akad. Nauk SSSR 30, 299 (1941). 22. A.N. Kolmogorov, Dokl. Akad. Nauk SSSR 32, 19 (1941). 23. A.S. Monin and A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics, MIT Press, Cambridge, MA (1975), Pt. 2. 24. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, New York (1987). 25. M. Lesieur, Turbulence in Fluids. Fluid Mechanics and its Applications, Springer, Dordrecht (2008). Counterflow energy spectra of quantum turbulence at finite temperatures V.A. Andryushchenko and L.P. Kondaurova The spectrum of the energy generated by the vortex tangle in counterflow of normal and superfluid compo- nents at different temperatures was obtained. The counterflow magnitude was varied from 0.3 cm/s to 1.2 cm/s and the temperature was varied from 1.3 K to 1.9 K. It was shown that E(k) ~ k–α at intervortex scale, where 1.3 < α < 1.4 depending on the tempera- ture. At larger scales E(k) ~ k–1. It was obtained that change of the kinetic energy per unit mass is propor- tional to the cube of the counterflow of normal and superfluid components at Gorter–Mellink mode, thus the energy dissipation originate from friction between normal component of helium and vortex tangle. PACS: 67.25.dk Vortices and turbulence; 47.37.+q Hydrodynamic aspects of super- fluidity; quantum fluids; 03.75.Kk Dynamic properties of conden- sates; collective and hydrodynamic excita- tions, superfluid flow. Keywords: superfluidity, vortex structure, quantum turbulence. 252 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 1. Введение и мотивация 2. Методы моделирования динамики вихревых нитей и определения энергетического спектра 2.1. Алгоритм моделирования динамики вихревых нитей 2.2. Вычислительная схема 2.3. Структурные функции и спектр энергии 3. Результаты и обсуждение 3.1. Характер динамики вихревых нитей 3.2. Свойства вихревого клубка 3.3. Спектр энергии вихревого клубка 3.4. Спектр энергии вихревых петель 4. Заключение

Энергетические спектры квантовой турбулентности при наличии противотока для различных температур

Institution

Ähnliche Einträge