Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов

Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов

В рамках модифицированной периодической модели Андерсона, включающей обменное взаимодействие в подсистеме локализованных состояний, показано, что спиновые и зарядовые флуктуации в квазидвумерных интерметаллидах с редкоземельными ионами, находящимися в состоянии смешанной валентности, существенно вли...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Физика низких температур
Datum:2017
Hauptverfasser: Вальков, В.В., Злотников, А.О.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2017
Schlagworte:
К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129385
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов / В.В. Вальков, А.О. Злотников // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 233-244. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129385
record_format dspace
spelling Вальков, В.В.
Злотников, А.О.
2018-01-19T14:30:34Z
2018-01-19T14:30:34Z
2017
Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов / В.В. Вальков, А.О. Злотников // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 233-244. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.
0132-6414
PACS: 71.27.+a, 75.50.Ee, 75.30.Et, 75.40.Gb
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129385
В рамках модифицированной периодической модели Андерсона, включающей обменное взаимодействие в подсистеме локализованных состояний, показано, что спиновые и зарядовые флуктуации в квазидвумерных интерметаллидах с редкоземельными ионами, находящимися в состоянии смешанной валентности, существенно влияют как на спектр магнитных возбуждений, так и на область реализации антиферромагнитной фазы. Спектральные характеристики этой фазы находились методом диаграммной техники для операторов Хаббарда при использовании однопетлевого приближения, позволяющего учесть спин-зарядовые флуктуационные вклады в компоненты массового и силового операторов. Развитая теория позволила количественно описать зависимость температуры Нееля от давления, наблюдаемую в квазидвумерном антиферромагнитном интерметаллиде с тяжелыми фермионами CeRhIn₅.
В рамках модифікованої періодичної моделі Андерсона, що включає обмінну взаємодію в підсистемі локалізованих станів, показано, що спінові та зарядові флуктуації в квазідвовимірних інтерметалідах з рідкісноземельними іонами, які перебувають у стані змішаної валентності, істотно впливають як на спектр магнітних збуджень, так і на область реалізації антиферомагнітної фази. Спектральні характеристики цієї фази знаходили методом діаграмної техніки для операторів Хаббарда при використанні однопетльового наближення, що дозволяє врахувати спін-зарядові флуктуаційні вклади в компоненти масового й силового операторів. Розвинена теорія дозволила кількісно описати залежність температури Нееля від тиску, що спостерігається в квазідвовимірному антиферомагнітному інтерметаліді з важкими ферміонами CeRhIn₅.
In the framework of the modified periodic Anderson model with exchange interaction in the subsystem of localized states, it is shown that spin-charge fluctuations in quasi-two-dimensional intermetallic compounds with rare-earth ions in the mixed valence state significantly affect both the spectrum of magnetic excitations and the conditions at which the antiferromagnetic phase is realized. The spectral characteristics of the phase were obtained by the method of the diagram technique for Hubbard operators in the one-loop approximation, which allows to account for the spin-charge fluctuation contributions to the components of the mass and the force operators. The developed theory allowed to quantitatively describe the pressure dependence of the Néel temperature observed in a quasi-two-dimensional antiferromagnetic heavy-fermion intermetallic compound CeRhIn₅.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты #16-02-00073-а, #15-42-04372-р-сибирь-а), Правительства Красноярского края и Краевого фонда науки (доп. соглашение №07/16), а также Комплексной программы СО РАН II.2П (проект 0358-2015-0002). Один из авторов (А.О.З.) благодарит за поддержку в рамках стипендии Президента РФ для молодых кандидатов наук (СП-1370.2015.5).
ru
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
Физика низких температур
К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов
Manifestation of spin-charge fluctuations in the spectral and thermodynamic properties of quasi-two-dimensional rare-earth intermetallic compounds
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов
spellingShingle Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов
Вальков, В.В.
Злотников, А.О.
К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
title_short Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов
title_full Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов
title_fullStr Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов
title_full_unstemmed Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов
title_sort проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов
author Вальков, В.В.
Злотников, А.О.
author_facet Вальков, В.В.
Злотников, А.О.
topic К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
topic_facet К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
publishDate 2017
language Russian
container_title Физика низких температур
publisher Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format Article
title_alt Manifestation of spin-charge fluctuations in the spectral and thermodynamic properties of quasi-two-dimensional rare-earth intermetallic compounds
description В рамках модифицированной периодической модели Андерсона, включающей обменное взаимодействие в подсистеме локализованных состояний, показано, что спиновые и зарядовые флуктуации в квазидвумерных интерметаллидах с редкоземельными ионами, находящимися в состоянии смешанной валентности, существенно влияют как на спектр магнитных возбуждений, так и на область реализации антиферромагнитной фазы. Спектральные характеристики этой фазы находились методом диаграммной техники для операторов Хаббарда при использовании однопетлевого приближения, позволяющего учесть спин-зарядовые флуктуационные вклады в компоненты массового и силового операторов. Развитая теория позволила количественно описать зависимость температуры Нееля от давления, наблюдаемую в квазидвумерном антиферромагнитном интерметаллиде с тяжелыми фермионами CeRhIn₅. В рамках модифікованої періодичної моделі Андерсона, що включає обмінну взаємодію в підсистемі локалізованих станів, показано, що спінові та зарядові флуктуації в квазідвовимірних інтерметалідах з рідкісноземельними іонами, які перебувають у стані змішаної валентності, істотно впливають як на спектр магнітних збуджень, так і на область реалізації антиферомагнітної фази. Спектральні характеристики цієї фази знаходили методом діаграмної техніки для операторів Хаббарда при використанні однопетльового наближення, що дозволяє врахувати спін-зарядові флуктуаційні вклади в компоненти масового й силового операторів. Розвинена теорія дозволила кількісно описати залежність температури Нееля від тиску, що спостерігається в квазідвовимірному антиферомагнітному інтерметаліді з важкими ферміонами CeRhIn₅. In the framework of the modified periodic Anderson model with exchange interaction in the subsystem of localized states, it is shown that spin-charge fluctuations in quasi-two-dimensional intermetallic compounds with rare-earth ions in the mixed valence state significantly affect both the spectrum of magnetic excitations and the conditions at which the antiferromagnetic phase is realized. The spectral characteristics of the phase were obtained by the method of the diagram technique for Hubbard operators in the one-loop approximation, which allows to account for the spin-charge fluctuation contributions to the components of the mass and the force operators. The developed theory allowed to quantitatively describe the pressure dependence of the Néel temperature observed in a quasi-two-dimensional antiferromagnetic heavy-fermion intermetallic compound CeRhIn₅.
issn 0132-6414
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129385
citation_txt Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов / В.В. Вальков, А.О. Злотников // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 233-244. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT valʹkovvv proâvleniespinzarâdovyhfluktuaciivspektralʹnyhitermodinamičeskihsvoistvahkvazidvumernyhredkozemelʹnyhintermetallidov
AT zlotnikovao proâvleniespinzarâdovyhfluktuaciivspektralʹnyhitermodinamičeskihsvoistvahkvazidvumernyhredkozemelʹnyhintermetallidov
AT valʹkovvv manifestationofspinchargefluctuationsinthespectralandthermodynamicpropertiesofquasitwodimensionalrareearthintermetalliccompounds
AT zlotnikovao manifestationofspinchargefluctuationsinthespectralandthermodynamicpropertiesofquasitwodimensionalrareearthintermetalliccompounds
first_indexed 2025-11-26T01:42:50Z
last_indexed 2025-11-26T01:42:50Z
_version_ 1850603258939179008
fulltext Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2, c. 233–244 Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах квазидвумерных редкоземельных интерметаллидов В.В. Вальков, А.О. Злотников Институт физики им. Л.В. Киренского, Федеральный исследовательский центр «Красноярский научный центр Сибирского отделения Российской академии наук» Академгородок, 50-38, г. Красноярск, 660036, Россия E-mail: vvv@iph.krasn.ru Статья поступила в редакцию 1 августа 2016 г., опубликована онлайн 26 декабря 2016 г. В рамках модифицированной периодической модели Андерсона, включающей обменное взаимодей- ствие в подсистеме локализованных состояний, показано, что спиновые и зарядовые флуктуации в ква- зидвумерных интерметаллидах с редкоземельными ионами, находящимися в состоянии смешанной ва- лентности, существенно влияют как на спектр магнитных возбуждений, так и на область реализации антиферромагнитной фазы. Спектральные характеристики этой фазы находились методом диаграммной техники для операторов Хаббарда при использовании однопетлевого приближения, позволяющего учесть спин-зарядовые флуктуационные вклады в компоненты массового и силового операторов. Разви- тая теория позволила количественно описать зависимость температуры Нееля от давления, наблюдаемую в квазидвумерном антиферромагнитном интерметаллиде с тяжелыми фермионами CeRhIn5. В рамках модифікованої періодичної моделі Андерсона, що включає обмінну взаємодію в підсистемі локалізованих станів, показано, що спінові та зарядові флуктуації в квазідвовимірних інтерметалідах з рідкісноземельними іонами, які перебувають у стані змішаної валентності, істотно впливають як на спектр магнітних збуджень, так і на область реалізації антиферомагнітної фази. Спектральні характерис- тики цієї фази знаходили методом діаграмної техніки для операторів Хаббарда при використанні одно- петльового наближення, що дозволяє врахувати спін-зарядові флуктуаційні вклади в компоненти масово- го й силового операторів. Розвинена теорія дозволила кількісно описати залежність температури Нееля від тиску, що спостерігається в квазідвовимірному антиферомагнітному інтерметаліді з важкими ферміо- нами CeRhIn5. PACS: 71.27.+a Электронные системы с сильной корреляцией, тяжелые фермионы; 75.50.Ee Антиферромагнетики; 75.30.Et Обменные и сверхобменные взаимодействия; 75.40.Gb Динамические свойства (динамическая чувствительность, спиновые волны, спиновая диффузия, динамический скейлинг и т.д.). Ключевые слова: тяжелые фермионы, антиферромагнетизм, спин-зарядовые флуктуации, CeRhIn5, пе- риодическая модель Андерсона. 1. Введение Значительный интерес, проявляемый к свойствам тяжелофермионных антиферромагнетиков, обусловлен реализацией в них необычной сверхпроводимости, обнаружением квантовых фазовых переходов, а также наличием ярко выраженной конкуренции между тен- денцией к магнитному упорядочению и кондовскими флуктуациями. Квантовые фазовые переходы иниции- руются внешним или химическим давлением и сопро- вождаются качественными изменениями структуры ос- новного состояния и, соответственно, наблюдаемых ха- рактеристик. Например, в тяжелофермионных металлах CeCu6 x− Aux и YbRh2Si2 прохождение через кванто- вую критическую точку при изменении контрольных параметров, таких как уровень допирования x и маг- © В.В. Вальков, А.О. Злотников, 2017 В.В. Вальков, А.О. Злотников нитное поле, сопровождается разрушением дальнего антиферромагнитного (AFM) порядка [1]. В цериевых соединениях типа CePd2Si2, CeIn3 [2], CeRhIn5 [3], CePt2In7 [4] в окрестности предполагаемой квантовой критической точки под давлением наблюдается сверх- проводимость. Механизм возникновения магнитного упорядочения остается одним из основных вопросов физики тяжело- фермионных систем. Известно, что дальний AFM по- рядок, обусловленный косвенным обменным взаимо- действием Рудермана–Киттеля–Касуйа–Йосиды (РККИ), и кондовские флуктуации конкурируют друг с другом [5]. Поэтому редкоземельные соединения обычно описыва- ются в рамках модели Кондо, в которой тип основного состояния зависит от результата отмеченной выше кон- куренции: либо состояние с дальним магнитным поряд- ком (чаще всего антиферромагнитным), либо немагнит- ное металлическое состояние. При таком сценарии в квантовой критической точке одновременно с разруше- нием (возникновением) дальнего AFM порядка может устанавливаться (подавляться) режим Кондо и реа- лизовываться переход от локализованных к делокали- зованным электронам [6,7]. Следует отметить, что в системах с тяжелыми фермионами в квантовой крити- ческой точке наблюдаются аномальные особенности, такие как расходимость эффективной массы электро- нов и скачкообразное расширение поверхности Ферми. Эти аномалии не могут быть описаны в рамках теории квантовых фазовых переходов Герца–Миллиса для зон- ных магнетиков. В отмеченных сценариях конкуренции не учитыва- ется тот факт, что 4f-электроны в AFM фазе являются квазилокализованными и образуют когерентное тяже- лофермионное состояние. На существование такого состояния указывают экспериментальные данные, де- монстрирующие, что, например, в AFM фазе CeRhIn5 эффективная и циклотронная массы электронов значи- тельно превышают массу свободных электронов [8,9]. В работе [10] высказывалось предположение о реали- зации в этом соединении режима смешанной валент- ности. В этой связи представляется естественным, что формирование магнитного упорядочения следует опи- сывать в рамках периодической модели Андерсона при учете сильной связи между спиновыми и зарядовыми степенями свободы в режиме, когда затравочный лока- лизованный уровень и уровень Ферми близки друг к другу. Существенно, что такой подход позволяет опи- сать как сильную перенормировку электронной массы, так и изменение топологии поверхности Ферми в кван- товой критической точке без привлечения сценария, основанного на разрушении режима Кондо [11–13]. Следует отметить, что в работе [14] анализировался критерий Стонера на фоне состояния Кондо в системах с сильным орбитальным вырождением f-уровня. Исполь- зуя подход, основанный на введении вспомогательных фермионов для сохранения правильных коммутации- онных соотношений, было показано, что квантовые флук- туации приводят к реализации слабого антиферромагне- тизма в подсистеме коллективизированных электронов (типа волны спиновой плотности). При этом за счет гибридизации слабый антиферромагнетизм индуциро- вался и в локализованной подсистеме. Однако режим смешанной валентности при этом не рассматривался. Изучение условий формирования AFM упорядоче- ния в периодической модели Андерсона проводилось ранее в приближении Хартри–Фока [15], а также при использовании метода слейв-бозонов [16,17]. Следует, однако, подчеркнуть, что в отмеченных среднеполевых подходах температура Нееля NT оказывалась низкой только вблизи квантовых фазовых переходов по пара- метру гибридизации V между коллективизированными и локализованными электронами, или по параметру внутриатомного кулоновского отталкивания U локали- зованных электронов. Это означало, что даже незна- чительное изменение внешних условий (таких как дав- ление) способно индуцировать в системе квантовый фазовый переход из AFM в парамагнитную (PM) фа- зу. Между тем во многих тяжелофермионных соедине- ниях, несмотря на то, что NT не превышает нескольких кельвин, антиферромагнетизм является достаточно ус- тойчивым к давлению. Например, в CeRhIn5 с = 3,8 КNT при увеличении давления температура Нееля сначала растет, затем наблюдается линейный спад, и только при давлении около 20 кбар антиферромагнетизм раз- рушается. Альтернативный подход для описания магнетизма в рассматриваемых системах связан с расчетом динами- ческой магнитной восприимчивости. Магнитная воспри- имчивость, определенная в PM фазе, позволяет найти температуру неустойчивости по отношению к форми- рованию того или иного типа магнитного упорядоче- ния. Задача об определении динамической магнитной восприимчивости непосредственно в AFM фазе приво- дит к необходимости решения самосогласованных урав- нений, позволяющих найти как температурную зави- симость AFM параметра порядка, так и температуру Нееля. Ранее динамическая магнитная восприимчи- вость в PM фазе периодической модели Андерсона вычислялась с использованием метода расцепления для уравнений движения неприводимых функций Гри- на [18] и в рамках приближения хаотических фаз [19] в пределе слабого кулоновского взаимодействия. Теория возмущения по гибридизационному взаимодействию для вычисления динамической магнитной восприимчи- вости была предложена в работе [20]. Было показано, что в режиме смешанной валентности эффективное взаимодействие, обусловленное гибридизацией между локализованными и коллективизированными электро- нами, подавляет любые магнитные флуктуации. В пре- деле U →∞ была разработана методика вычисления 234 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах динамической магнитной восприимчивости на основе диаграммной техники для операторов Хаббарда в рам- ках модели Хаббарда и t J− -модели [21]. В работе [22] с использованием такого подхода была определена ди- намическая магнитная восприимчивость в PM фазе периодической модели Андерсона при U →∞. Многие цериевые соединения с тяжелыми фермиона- ми, например соединения группы CenTmIn3 2n m+ [23], обладают квазидвумерной (квази-2D) структурой, схе- матически представленной на рис. 1. Известно, что для квази-2D гейзенберговского антиферромагнетика тем- пература Нееля в приближении Тябликова определяет- ся выражением [ ]= / ln ( / )NT J J K cπ + , в котором J — параметр обмена между ближайшими ионами в плос- кости xy , параметр K задает величину обменного взаимодействия между ближайшими соседями вдоль оси z ( )K J , c — константа, зависящая от типа ре- шетки [24]. Приведенная формула свидетельствует об уменьшении температуры перехода по сравнению с пространственно изотропным случаем обменной связи. Для соединения CeRhIn5 на основе данных экспери- ментов по нейтронной спектроскопии были оценены параметры обмена между ионами Ce = 0,74J мэВ, = 0,1K мэВ [25]. В работе [25] также учитывался сла- бый обмен между следующими за ближайшими сосе- дями вдоль оси z , что позволило описать несоразмер- ную магнитную структуру при атмосферном давлении. Поскольку под действием давления AFM структура CeRhIn5 становится соразмерной [26], в этом случае дальними обменными параметрами можно пренебречь. Для редкоземельных интерметаллидов с магнитным упорядочением существенным является то обстоятель- ство, что в наиболее интересном случае реализации режима сильных электронных корреляций, а также когда энергия одноэлектронного возбуждения близка к уровню Ферми (ситуация смешанной валентности), процессы гибридизации разделяются на высокоэнерге- тические и низкоэнергетические [27]. К первым отно- сятся переходы, при которых из-за сильных корреля- ций энергия системы изменяется на величину много большую, чем параметр гибридизационного взаимодей- ствия. Наличие такой большой энергетической разности позволяет учесть отмеченное гибридизационное взаи- модействие по операторной форме теории возмущений в атомном представлении и получить эффективный гамильтониан, описывающий, в частности, обменную связь между квазилокализованными состояниями ред- коземельных ионов. Параметр такого взаимодействия определяется соотношением 4 3/J V U , где U — энергия внутриатомного отталкивания, V — интенсив- ность гибридизации между локализованными и кол- лективизированными электронами. Оставшиеся низко- энергетические гибридизационные вклады определяют свойства режима смешанной валентности. Следует от- метить, что в соединениях Ce115 (например, CeRhIn5) роль локализованных электронов играют 4f-электро- ны Ce, а коллективизированные состояния формиру- ются преимущественно p-электронами In. Принимая во внимание отмеченные выше особен- ности электронной структуры редкоземельных интер- металлидов, в данной работе на основе расширенной периодической модели Андерсона, в которой явно учи- тывается обменное взаимодействие между 4f-электро- нами, исследована AFM фаза квази-2D цериевых ин- терметаллидов с тяжелыми фермионами. Для получения уравнений самосогласования применена диаграммная техника для операторов Хаббарда. Вычисление попе- речной спиновой функции Грина осуществлялось в од- нопетлевом приближении, позволяющем получить вы- ражения для компонент массового и силового операторов при учете вкладов спин-зарядовых флуктуаций. Эффек- тивное взаимодействие между квазилокализованными электронами способствует формированию AFM состоя- ния, а гибридизационное взаимодействие между лока- лизованной и коллективизированной электронными под- системами рассматривается в качестве возмущения. Показано, что в таком подходе возможна реализация дальнего AFM порядка в режиме смешанной валент- ности. В результате численного решения уравнений самосогласования получена зависимость температуры Нееля от давления для квази-2D цериевых интерме- таллидов. Эта зависимость не только качественно со- гласуется с экспериментальными данными [3], но и количественно хорошо описывает результаты экспе- римента. Выяснено, что за разрушение антиферромаг- Рис. 1. Схематичное изображение квазидвумерной структуры соединений группы Ce115. Обозначения J, K определяют параметры обменного взаимодействия между различными ионами Ce. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 235 В.В. Вальков, А.О. Злотников нетизма ответственны низкоэнергетические гибриди- зационные процессы. При этом выделяются два вкла- да, влияющие на реализацию магнитного упорядочения: сверхобменное взаимодействие 4f-электронов стремит- ся установить дальний AFM порядок, а спин-зарядовые флуктуации, обусловленные низкоэнергетическими гиб- ридизационными процессами f- и p-электронов, могут как способствовать антиферромагнетизму, так и подав- лять его. Оценены парциальные вклады, обусловленные этими микроскопическими механизмами, в эффектив- ные параметры обменных взаимодействий соединения CeRhIn5. 2. Расширенная модель Андерсона в атомном представлении Гамильтониан расширенной периодической модели Андерсона, в которой учитывается сверхобменное взаимодействие между 4f-электронами и используется двухподрешеточное описание квази-2D электронной структуры, можно представить в виде    eff 0 mix exch= .+ +    (1) Первое слагаемое описывает невзаимодействующие локализованные и коллективизированные электроны:  † † 0 =1,2 = k jk k jkjk jk j k k α σ β σσ σ σ σ  ξ α α + ξ β β +  ∑ ∑ ∑ .F G jf jg f g X Yσσ σσ σ σ σ σ + ξ + ξ   ∑ ∑ (2) Оператор mix — оператор гибридизационного взаи- модействия между локализованными и коллективизи- рованными электронами:  { † mix , 1= ( ) ( ) 2 k k jk jkjk j k V W X Yσ σσ σ + α + +∑ }†( ) ( ) h.c.k k jk jkjkW V X Yσ σσ+ − β − + (3) Эффективная AFM связь между локализованными электронами определяется третьим слагаемым гамиль- тониана: exch 1 ˆ ˆ= 4fg jf jg jf jg j fg J N N − +    ∑∑ S S 1 ˆ ˆ . 4fg if jg if jg i j fg K N N ≠  + −    ∑∑ S S (4) Здесь для описания квазидвумерности редкоземель- ных интерметаллидов введено суммирование по ин- дексу j = 1, 2, который нумерует плоскости вдоль оси z в элементарной ячейке. Рассматривается AFM струк- тура G-типа. Операторы jkσα и jkσβ описывают бого- любовские квазичастицы, формирующиеся в коллек- тивизированной электронной подсистеме за счет пере- хода к двухподрешеточному представлению. Затравоч- ные энергии квазичастиц определяются выражениями =k k kαξ ξ + Γ и =k k kβξ ξ −Γ , где 0=k ktξ ε + −µ, 0ε — одноузельная энергия коллективизированного электро- на, µ — химический потенциал, функции kt и kΓ опре- деляются как фурье-образы интегралов перескока внутри одной подрешетки и между подрешетками соответст- венно. Предполагается, что перескоки возможны толь- ко в плоскости xy. Локализованные 4f-электроны, относящиеся к узлу l , описываются в атомном представлении с помощью операторов Хаббарда = | ; ; |nn lX n l l n′ ′〉〈 , где | ;n l〉 — одно из атомных состояний. Состояние | 0;l〉 определя- ет состояние без локализованных электронов на узле l . Состояние с одним электроном на узле, обладающим проекцией спина = ,σ ↑ ↓ , обозначается | ;lσ 〉 . Узлы, обозначаемые индексом f , относятся к F-подрешетке, для которой при наличии антиферромагнетизма = > 0z jfS R〈 〉 . Узлы G-подрешетки нумеруются индек- сом g и для них справедливо равенство =z jgS R〈 〉 − . Затравочная энергия 4f-электрона перенормируется при учете самосогласованного среднего поля 0=F Eσξ −µ − 0 0( ) / 4LJ K n hσ− + −η  , 0 0( ) / 2h J K R= + , =G F σ σξ ξ , где Ln — cреднее число локализованных электронов на узле, 0 = 4J J , 0 = 2K K . Зависящая от σ функция ση определяется обычным образом: = 1ση , если =σ ↑, и = 1ση − , если =σ ↓. В слагаемом mix величины kV и kW обозначают фурье-образы интегралов гибридизации в плоскости xy между электронами, находящимися в одной подрешет- ке и между подрешетками соответственно. Величина обменного взаимодействия между лока- лизованными электронами в плоскости xy задается па- раметром fgJ , а вдоль оси z — параметром fgK . Пред- полагается, что обменное взаимодействие реализуется только между ближайшими соседями. Это отражено посредством заключения индексов узлов f и g у знака суммы в угловые скобки. jmS — квазиспиновый век- торный оператор локализованной подсистемы, ком- поненты которого связаны с операторами атомного представления формулами =jm jmS X+ ↑↓, =jm jmS X− ↓↑, = ( / 2)z jf fS X σσ σσ η∑ . Оператор числа локализованных электронов на узле f определяется в виде ˆ =jf jfN X σσ σ∑ . 3. Массовый и силовой операторы для поперечной спиновой функции Грина Для нахождения спектра магнитных возбуждений при учете спин-зарядовых флуктуаций, а также для получения уравнения самосогласования в AFM фазе, воспользуемся диаграммной техникой для операторов Хаббарда [28,29]. Введем поперечную спиновую мацу- баровскую функцию Грина в атомном представлении: 236 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах , 1 1 0, ( ; ) = ( ) ( ) ( ) ,Aj Bj jm j m c D m m T X X S↑↓ ↓↑ τ⊥ ′′ ′ ′τ τ − τ τ β (5) с помощью которой будут описываться магнитные свойства системы. Зависящие от времени операторы Хаббарда записаны в представлении взаимодействия, Tτ — оператор упорядочения по времени. Обозначение « Aj» введено для того, чтобы показать, что хаббардов- ский оператор, стоящий на первом месте в опреде- лении функции Грина, относится к плоскости j элемен- тарной ячейки и принадлежит к той или иной подрешетке: =A F , если =m fR R , и =A G , если =m gR R . Аналогичным образом индекс « 1Bj » одно- значно определяет, к какой подрешетке и плоскости относится второй оператор функции Грина. Усредне- ние ведется по статистическому ансамблю, определяе- мому гамильтонианом 0 . Матрица рассеяния имеет обычный вид  int 0 ( ) = exp ( )S T d β τ    β − τ τ     ∫ , где оператор взаимодействия  int включает операторы гибридизационного и обменного взаимодействий, = 1/ Tβ — обратная температура. Фурье-преобразование и разложение по квазиим- пульсам мацубаровской функции Грина записывается в виде , ,( ) ( )1 1 , ( ; ) = e ( , ),Aj Bj Aj Bji im m l l l TD m m D i N ′− − ω τ−τ′ ⊥ ⊥ ω ′ ′τ τ ω∑ q R R q q (6) где liω — четные мацубаровские частоты. В дальней- шем используется четырехмерный вектор = ( , )lq iωq . Для сокращения записи вводится матричная функ- ция Грина D⊥ в блочном виде       1, 1 1, 2 2, 1 2 2 ( ) ( ) = , = . ( ) ( ) FF FG A B A BAB A B A BGF GG D q D qD D D D D q D qD D ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥⊥⊥ ⊥               (7) Эта функция может быть записана через произведение   =D G P⊥ ⊥ , где P — матрица для компонент силового оператора [30,31]. Уравнение Дайсона для матричной функции G⊥ имеет вид     (0) (0) = ,G G G G⊥ ⊥ ⊥ ⊥+ Σ (8) где функция  (0) G⊥ определяется через силовой оператор из уравнения      (0) (0) (0) (0) = .G G G PIG⊥ ⊥+  (9) Компоненты диагональной матричной функции  (0) G определяют затравочные квазиспиновые функции Грина для F- и G-подрешеток, Σ — матричный массо- вый оператор, Î — матрица, составленная из фурье- образов обменных интегралов. Если локализованный уровень полностью заполнен (уровень Ферми лежит выше f-уровня), то система близ- ка к поведению гейзенберговского антиферромагнетика. В этом случае дальний AFM порядок полностью опре- деляется эффективным обменным взаимодействием в локализованной подсистеме. В случае частичного запол- нения локализованного уровня (но близком к режиму, когда = 1Ln ) важными становятся ренормировки, свя- занные со спин-зарядовыми флуктуациями. Эти ренор- мировки проявляются в основных характеристиках ан- тиферромагнетика, таких как спектр спин-волновых возбуждений, AFM параметр порядка, температура Нее- ля. В дальнейшем в уравнениях (8), (9) вклады обмен- ного взаимодействия будут учитываться в простейшем беспетлевом приближении (приближение Тябликова). При этом в массовом и силовом операторах будут рас- сматриваться поправки только от гибридизационного взаимодействия в однопетлевом приближении [32]. На рис. 2, 3 приведены типы диаграмм для произ- вольных компонент j jA B матричных массового и си- лового операторов соответственно. Диаграммы полу- чены при использовании принципа топологической непрерывности [33]. Следует отметить, что выражения не зависят от номера j плоскости в квази-2D элемен- тарной ячейке, так как гибридизация возможна только в плоскости xy , и в дальнейшем данный индекс опус- кается. На рисунках сплошные линии с двумя стрелка- ми  или  обозначают пропагаторы в приближении Хаббард-I для локализованных электронов с проекцией спинового момента ↑ и ↓ соответственно в двухпод- решеточном представлении. Затравочные функции Гри- на f-электронов обозначены сплошными линиями с одной стрелкой  (). Сплошные линии с двумя тон- кими стрелками определяют любой из четырех пропа- гаторов для коллективизированных электронов, полу- ченных при переходе к боголюбовским операторам. Точка пересечения различных линий на диаграмме свидетельствует о наличии гибридизационного взаи- модействия. Символы , • обозначают хаббардовские концевые множители 00=A m mF X X σσ σ + для соответ- Рис. 2. Однопетлевые диаграммы для AB-компоненты мас- сового оператора поперечной спиновой функции Грина. Рис. 3. Однопетлевые диаграммы для AB-компоненты сило- вого оператора поперечной спиновой функции Грина. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 237 В.В. Вальков, А.О. Злотников ствующих направлений спина электрона, где узел m принадлежит подрешетке A . Общее число диаграмм для массового и силового операторов в однопетлевом приближении при учете двухподрешеточной структу- ры равно 64. Сопоставляя графикам аналитические выражения, получаем явный вид для компонент массового и сило- вого операторов: 0 ,0 0, 0( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 AB AB BA AB AB p Tq G q p L p G q p L p N ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓  Σ − + + −  ∑ (10) (0) 0 ,0 0( ) = ( ) ( ) ( ) 2 BAB AB BA B p TP q G q p G p F L p N ↑↓ ↓ ↑ ↑ δ − + −∑ (0) 0, 0 0( ) ( ) ( ) ,BAB AB BG q p G p F L p↓↑ ↑ ↓ ↓ − + −  (11) где 2 2 0 ,0 0 ,0( ) = ( ) ( ) ( ) ( )FFL p V W G p V W G pββαα σ σ σ σ σ+ + − −p p p p 2 2 0 ,0 0 ,0( )[ ( ) ( )],V W G p G pαβ βα σ σ σ σ− − +p p (12) 2 2 0 ,0 0 ,0( ) = ( ) ( ) ( ) ( )GGL p V W G p V W G pββαα σ σ σ σ σ+ + − +p p p p 2 2 0 ,0 0 ,0( )[ ( ) ( )],V W G p G pαβ βα σ σ σ σ+ − +p p (13) 2 2 0 ,0 0 ,0( ) = ( ) ( ) ( ) ( )GFL p V W G p V W G pββαα σ σ σ σ σ+ − − −p p p p 2 2 0 ,0 0 ,0( )[ ( ) ( )],V W G p G pαβ βα σ σ σ σ− − −p p (14) 2 2 0 ,0 0 ,0( ) = ( ) ( ) ( ) ( )FGL p V W G p V W G pββαα σ σ σ σ σ+ − − +p p p p 2 2 0 ,0 0 ,0( )[ ( ) ( )].V W G p G pαβ βα σ σ σ σ+ − −p p (15) В данных выражениях суммирование проводится по четырем импульсам = ( , )np iωp , где niω — нечетные мацубаровские частоты. Функции 0 ,0 ( )ABG pσ σ , 0 ,0 ( )G pνµ σ σ ( , = ,A B F G; , = ,ν µ α β) — пропагаторы для локализо- ванных и коллективизированных электронов соответ- ственно в приближении Хаббард-I, (0) 0 AG σ — затравоч- ные функции Грина для локализованных электронов из различных подрешеток. Видно, что в выражения для массового и силового операторов также входят пропа- гаторы 0, 0 ABGσ σ и затравочные функции (0) 0 AGσ , при оп- ределении которых в качестве производящего опера- тора выбирается оператор рождения локализованного фермиона Хаббарда со спином σ . Для вычисления дан- ного набора пропагаторов удобно воспользоваться со- отношением для функций Грина 0, 0 0 ,0( ) = ( ).AB BAD p D pσ σ σ σ− − (16) Введем обозначения: ( ) = ( ) ( ) / 2,AB AB ABd q q J P qΣ + δq (17) ( ) = ( ) / 2,AB ABK q P q Kδ q (18) где F G≡ , G F≡ . В компонентах FF и GG силового оператора учитываются затравочные концевые множи- тели и поправки, обусловленные гибридизационным взаимодействием: = 2FF FFP R P+ δ , = 2GG GGP R P− + δ . Учет массового и силового операторов приводит к следующему выражению для искомой обратной мат- рицы  1 G − ⊥ : ___________________________________________________  1 2 2 = .2 2 l FF FG FG FF FG l FF FF FG GF GG l GG GF GG GF GF l GG i h d K J R d K R K K i h d K R K J R d G J R d K R K i h d K K R K J R d K i h d − ⊥  ω − − − − − − −    − ω − − − − − −    − − ω + − −    − − − ω + −      q q q q q q q q     ______________________________________________ Тогда знаменатель функций Грина можно представить в виде ( ) = ( 2 )( 2 )l FF FG l GG GFq i h d K i h d K∆ ω − − − ω + − − +   ( )( )FF FG GG GFJ R K R K d J R K R K d + + + + + − − ×q q q q ( 2 ) ( 2 )l FF FG l GG GFi h d K i h d K× ω − − + ω + − + +   ( )( ) .FF FG GG GFK R J R K d K R J R K d + − + − − − + q q q q (19) 4. Спин-зарядовые ренормировки спектра магнитных возбуждений Спин-волновой спектр определяется полюсами ма- цубаровской функции Грина (5) после аналитического продолжения. Поэтому уравнение, определяющее спектр спин-волновых возбуждений в AFM фазе, задается выражением ( , ) = 0∆ ωq . Его важное свойство связано с выполнимостью теоремы Голдстоуна: ( = 0, = 0) = 0.∆ ωq Продемонстрируем существование голдстоуновско- го бозона в режиме смешанной валентности при разви- тых спиновых и зарядовых флуктуациях. Нетрудно 238 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах убедиться в справедливости следующих соотношений между компонентами массового и силового операто- ров: (0) = (0)AB ABΣ −Σ , (0) = (0)AB ABP Pδ −δ . С учетом этого получаем ( = 0, = 0) = (0) (0)FF FG∆ ω Σ −Σ −q 0 0 (0) (0) = 0. 2 FF FGJ K P P +   − δ − δ     (20) Существенно, что приведенное равенство получено без использования каких-либо приближений. В отсут- ствие обменного взаимодействия ( = 0J , = 0K ) выпол- нимость теоремы Голдстоуна следует из того, что, как показывают численные расчеты, для компонент массо- вого оператора имеет место равенство (0) = (0)FF FGΣ Σ , выполняемое для любых параметров. Это соответству- ет случаю, когда механизм AFM упорядочения связан только с низкоэнергетическими гибридизационными процессами (диаграммы на рис. 2). Если обменное взаимодействие отлично от нуля, то оно ренормирует затравочные энергии локализован- ных электронов из разных подрешеток F σξ , G σξ и (0) (0)FF FGΣ ≠ Σ . Тем не менее равенство (20) выпол- няется для любых параметров, поскольку в этом случае обращение правой части уравнения в нуль достигается за счет конечности вкладов компонент силового опера- тора. Отсюда следует вывод о важности учета силово- го оператора, происхождение которого связано с кине- матическим взаимодействием фермионов Хаббарда. При этом необходимо учитывать диаграммы одного порядка (например, только однопетлевые) как для мас- сового, так и для силового операторов в ансамбле хаб- бардовских фермионов, так как невыполнение этого требования приводило бы к нарушению теоремы Голд- стоуна. В дальнейшем при вычислении спектра спин-вол- новых возбуждений достаточно ограничиться учетом гибридизационных процессов между локализованными и коллективизированными электронами в однопетлевом приближении. При этом, чтобы не превысить точность вычислений, в выражениях для компонент массового и силового операторов в качестве энергии магнонов не- обходимо использовать энергию, определяемую без учета гибридизационных эффектов: 0( ) ( , ( ))AB AB iqΣ → Σ ωq q , 0( ) ( , ( ))AB AB iP q Pδ → δ ωq q , где 2 2 01,2 01,2 01,2 0 0( ) ( ), ( ) = ( ) ( ) .R J K J Kω = γ γ + − ±q qq q q (21) Слагаемые дисперсионного уравнения, содержащие произведение компонент массового и силового опера- торов, не учитываются. В результате спектр спин-вол- новых возбуждений при учете спин-зарядовых флук- туаций определяется аналитическим выражением 1,2 01,2 1,2= ( ) ,ω ω + δωq qq (22) в котором поправки к затравочному спектру задаются в виде 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 01,2 1 1= ( ) 2 2 ( )FF GG FG GFd d K K δω + ± + − ×  ωq q { 0 0 1,2 1,2 1,2 1,2( ) [ ( )]GG FF GF FGJ K R d d K K× + − ± − + }1,2 1,2 1,2 1,2( ) [ ( )] .FG GF FF GGJ K R d d K K+ ± − ± −q q (23) Здесь были введены следующие обозначения: 0 0= ( , ( )) ( , ( )) / 2,AB AB i AB i id J PΣ ω + δ ωqq q q q (24) 0= ( , ( )) / 2.AB i AB iK K Pδ ωq q q (25) Оказалось, что в случае, когда локализованная под- система электронов близка к полному заполнению ( 1Ln ≈ ), спектр спин-волновых возбуждений практиче- ски не зависит от интенсивности гибридизации и опре- деляется исходными выражениями для гейзенбергов- ского антиферромагнетика (21). Иная ситуация имеет место для AFM фазы, если уро- вень Ферми лежит в непосредственной близости от ло- кализованного уровня 0E и может происходить форми- рование тяжелых фермионов в магнитоупорядоченной фазе. Отмеченное состояние реализуется в CeRhIn5 вблизи атмосферного давления. Cпин-волновой спектр для главного направления AFM зоны Бриллюэна и концентрации 0,7Ln ≈ приведен на рис. 4. Введены обозначения: qα — компонента волнового вектора, Рис. 4. Спин-волновой спектр для квазидвумерной структуры при учете гибридизации локализованных электронов с коллек- тивизированными (сплошные линии) и затравочный спектр для локализованных электронов (штриховые линии) вдоль направления (111) антиферромагнитной зоны Бриллюэна. Концентрация квазилокализованных электронов 0,7Ln ≈ . Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 239 В.В. Вальков, А.О. Злотников = , ,x y zα ; aα — соответствующий параметр элемен- тарной ячейки. Штриховые линии определяют энергии магнонов 0 ( )iω q для квази-2D структуры без учета гибридизационных процессов между f- и p-элек- тронами. Сплошные линии — ветви iω q спин-волно- вого спектра при учете гибридизационного взаимодей- ствия с p-электронами. Параметры взаимодействий выбраны в виде 1= 0,3| |V t (эффективный одноузель- ный параметр гибридизации), 1= 0,004| |J t , = /10K J , где 1t — параметр перескока коллективизированных электронов между ближайшими узлами ( 1 < 0t ). Энер- гия f-уровня 0 1= 1,5E t , полная концентрация электро- нов = 1,2en . Из сравнения модельного закона дисперсии коллективизированных электронов kξ и дисперсион- ных зависимостей для p-электронов In в CeRhIn5 , по- лученных в рамках первопринципных расчетов [34], следует, что 1| | 0,1 0,3t − эВ. Выбранным параметрам соответствует спектр фермиевских возбуждений, пред- ставленный на рис. 5. Видно, что химпотенциал µ (штриховая линия) пересекает слабодисперсную зону тяжелых фермионов. Полученные результаты свидетельствуют о том, что в рассмотренном режиме низкоэнергетические гибри- дизационные процессы приводят к значительному рос- ту скорости спиновых волн κ для голдстоуновской мо- ды 1 =q qω κ (при малых q) и энергии магнонов. В свою очередь это приводит к увеличению величины AFM параметра порядка и температуры Нееля по сравнению со случаем полностью локализованных f-электронов. Модификацию спин-волнового спектра можно объ- яснить появлением дополнительного эффективного об- менного взаимодействия за счет низкоэнергетических гибридизационных процессов. Действительно, сравне- ние уравнения (8), содержащего массовый оператор, и уравнения (9), в котором учитывается обменное взаи- модействие между 4f-электронами, показывает, что компоненты массового оператора можно рассматри- вать как эффективное обменное взаимодействие. При этом компоненты силового оператора, обусловленные учетом гибридизации, перенормируют исходное зна- чение AFM параметра порядка и также влияют на энергетический спектр магнонов. Параметры эффективного обменного взаимодейст- вия между различными узлами решетки можно оце- нить по формулам ( ) , 01 1= e ( , ( )), / 2 i FGf g f gA N − Σ ω∑ q R R q q q (26) ( ) , 01 1= e ( , ( )), / 2 i FFf f f fA N − ′ ′ Σ ω∑ q R R q q q (27) где узлы, обозначаемые индексами ,f f ′, принадлежат F-подрешетке, а узлы с индексами g — G-подрешетке. Следует отметить, что эффективное взаимодействие возникает только между ионами, расположенными в плоскости xy, так как низкоэнергетические гибридиза- ционные процессы ограничиваются этой плоскостью. Таким образом, обменное взаимодействие вдоль оси z с параметром K определяет квазидвумерный характер исследуемых систем, а обменный параметр J в плос- кости xy ренормируется за счет гибридизационного взаимодействия. При этом за счет эффективного взаи- модействия в плоскости xy формируется обмен также между следующими за ближайшими соседями. Качественно характер влияния гибридизации между p- и f-электронами на характеристики AFM фазы (та- кие как скорость спиновых волн, AFM параметр по- рядка, температура Нееля) определяется знаками па- раметров ,f gA , ,f fA ′. Если , > 0f gA , , < 0f fA ′ , то гибридизационные процессы способствуют AFM упо- рядочению и спин-волновой спектр принимает вид, представленный на рис. 5. Если энергия магнонов уменьшается при учете гибридизации, то суммарная величина AFM обмена уменьшается за счет фрустра- ций, когда , < 0f gA и , > 0f fA ′ . Таким образом, суще- ственно, что параметры эффективного взаимодействия зависят от положения локализованного уровня, кон- центрации и температуры. 5. Зависимость температуры Нееля от давления в слоистых редкоземельных интерметаллидах Среднее значение z -проекции спина в подрешетке можно вычислить, воспользовавшись соотношениями 1 = / 2 ,L fR n X ↓↓− 〈 〉 1 1 1 = e ( ), 0. / 2 F Fi n f q TX D q N − ω δ↓↓ ⊥− δ → +∑ (28) Подставляя найденное выше выражение для попе- речной спиновой функции Грина и проводя суммиро- Рис. 5. Спектр фермиевских возбуждений для 0,7Ln ≈ . Уро- вень Ферми показан штриховой линией. 240 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах вание по мацубаровским частотам, находим уравнение самосогласования для параметра порядка: 2 1 1 2 2 1 2 1 22= cth 2 2 L J K R An hR T   − ω   +   ω ω −ω    ∑ q q q q qq q q  2 2 2 2 2 2 2 1 22 cth 2 J K R Ah T − ω  + +  ω ω −ω   q q q q q q q  2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) J K R C C+ + + Λ + × ω −ω ∑ q q q q q 1 1 2 1 1 2 2 ( ) ( )1 1 . exp( ) 1 exp( ) 1 −  Θ Θ × +  ω βω − ω βω −  q q q q q q (29) При записи этого уравнения использовались соотноше- ния ( , ) = ( , )AB ABΣ −ω −Σ ωq q , ( , ) = ( , )AB ABP Pδ −ω −δ ωq q . Для слагаемых, определяющих гибридизационные по- правки, введены обозначения: 0= ( )( ) 2 ( )i i i FG iGF i FG iGFA K K h K Kω + + − −q q  ( ) ( ), = 1, 2,i FF iGG i FG iGFJ R K K K R d d i− − − −q q (30) 2 1,2 2 2 1,2 2 1 2 = ( ) J K R C × ω ω −ω ∑ q q q q q q 1,2 01,2 0 0 1,2 1 ( ( ) ) 2 GG FFd J K P× + γ − − δ ± q 1,2 1,2 1 ( ) 2 FG FGK J K P ± − ± δ  q q (31) (здесь знак «+» соответствует функции 1C , знак «–» — функции 2C ), 01 1 12 2 2 1 1= ( )( )FF GGd dΛ − ω + −ω −ω ∑ q q q q 02 2 2 1 1( )( ) 2 ( )FF GG FF GGd d h d d− ω + + − −q  2 2 1 1 2 22 ( ) ( ) ( )FF GG FG GF FG GFh d d J R d d J R d d− − − − + − −q q  1 1 2 2( ) ( )FF GG FF GGK R K K K R K K − − + − q q , (32) 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2( ) = ( )FF GG FG GFd d K KΘ − ± − −q 1,2 1,2 1 ( )( ) 2 FG GFJ K P P− ± δ − δ +q q { }01,2 0 0 1,2 01,2 0 0 1,2 1 [ ( ) ] [ ( ) ] . 2 FF GGJ K P J K P+ γ + + δ + γ − − δq q (33) Рассматривая уравнение (29) в пределе 0R → , по- лучаем выражение для температуры Нееля: ( ) 22 10 0 2 2 2 1 2 1 24= 4 L N J K R AJ K n hT   −+   + ω ω −ω  ∑ q q q q q q q  22 2 2 2 2 2 2 1 24 J K R Ah − + + ω ω −ω  q q q q q q  ( ) 1 2 1 2 2 22 2 1 22 1 , 0 2 ( ) ( ) . T T RN hJ K R − → →  Θ Θ  + +   ω ωω −ω   ∑ q q q q qq q q q (34) При исследовании зависимости температуры Нееля NT от давления P будем считать, что рост давления приводит к увеличению энергии 0E 4f-электрона по- ложительного иона Ce за счет увеличения кулоновско- го взаимодействия с отрицательно заряженным окру- жением. Так как кулоновское взаимодействие (в том числе и межузельное) является наибольшим в данных системах, эффект увеличения 0E доминирует над уве- личением интенсивности гибридизации и перескоков с ростом давления. Экспериментальные данные для цериевых квази-2D тяжелофермионных антиферромагнетиков, таких как CeRhIn5 , указывают на то, что в достаточно широкой области давлений температура Нееля линейно умень- шается с ростом давления [3]. При критическом давле- нии температура Нееля обращается в нуль и происхо- дит разрушение дальнего AFM порядка. Отметим, что температура Нееля в данных материалах не превышает нескольких кельвин. На рис. 6 представлена зависимость температуры Нееля от затравочной энергии 4f-электрона (давления) для 1= 0,3 | |V t , 1= 0,004 | |J t , = /10K J . Точками по- Рис. 6. Зависимость температуры Нееля от затравочной энер- гии локализованных состояний (давления) при учете (точки) и без учета (сплошная линия) гибридизации. Цветом выделе- на область реализации антиферромагнитной (AFM) фазы, остальная область на рисунке соответствует парамагнитной (PM) фазе. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 241 В.В. Вальков, А.О. Злотников казана зависимость, полученная при численном реше- нии уравнения (29), с учетом низкоэнергетических гиб- ридизационных процессов между f- и p-электронами. Данная кривая отделяет области реализации AFM фазы и PM фазы. Cплошной линией приведена зависимость ( )NT P , полученная в предположении, что гибридиза- ционное взаимодействие в системе отсутствует. Видно, что в этом случае температура Нееля линейно умень- шается с ростом давления. Такое поведение связано с уменьшением концентрации 4f-электронов. Ренорми- рованная кривая также содержит линейный участок в области малых давлений. При этом величина темпера- туры Нееля увеличивается за счет гибридизации. Существенный результат заключается в том, что учет гибридизационного взаимодействия между лока- лизованными и коллективизированными электронами приводит к более быстрому разрушению AFM упоря- дочения с ростом давления. На рис. 6 видно, что после участка, на котором происходит незначительное умень- шение температуры Нееля при увеличении давления, реализуется критическая область, в которой дальний AFM порядок быстро разрушается. Подчеркнем, что без учета спин-зарядовых флуктуаций зависимость ( )NT P по-прежнему имела бы линейный характер. Таким об- разом, в развитой теории, учитывающей спин-зарядо- вые флуктуации, зависимость критической температуры AFM фазы от давления становится такой, какая на- блюдается экспериментально. Количественное согласие результатов с данными для CeRhIn5 достигается, если положить 1| | 0,14t ≈ эВ. Эта оценка является адекват- ной для тяжелофермионных систем. 6. Эффективное обменное взаимодействие при учете спин-зарядовых флуктуаций На рис. 7 приведена зависимость эффективного об- менного интеграла от номера координационной сферы csN , рассчитанная по формулам (26) и (27), при близ- кой к нулю температуре для двух случаев: 0 1= 1,5E t (точки) и 0 1= 1,21E t (квадраты). При этом исключен коэффициент, связанный с учетом концевого множи- теля. Отметим, что при реализации дальнего AFM упо- рядочения обменное взаимодействие в 1, 4 и 6 коорди- национных сферах квадратной решетки соответствует обмену между AFM подрешетками. Соответственно взаимодействие во 2, 3 и 5 сферах характеризует обмен внутри подрешетки. На рис. 7 видно, что для значения 0 1= 1,5E t обменный параметр 1A для первой коорди- национной сферы в несколько раз превышает обмен- ные параметры для других соседей. Суммарная вели- чина обменного взаимодействия между ближайшими ионами в плоскости xy будет определяться в виде eff 1=J J A+  . Учет обмена только между ближайшими соседями (с параметрами effJ в плоскости xy и K вдоль оси z ) в аналитической формуле для температуры Не- еля квази-2D гейзенберговского антиферромагнетика с частичным заполнением f-уровня приводит к оценке 10,003 | |NT t≈ , что хорошо согласуется с полученным численно значением при решении уравнения самосо- гласования. Таким образом, возникновение эффектив- ного обменного взаимодействия качественно объясняет модификацию спин-волнового спектра, продемонстри- рованную на рис. 4, и увеличение температуры Нееля. Следует, однако, подчеркнуть, что спин-зарядовые флук- туации в рассматриваемой системе приводят к фруст- рированным обменным взаимодействиям для = 3, 4.csN В критической области при 0 1= 1,21E t значения mmA ′ для ближайших и следующих за ближайшими со- седями незначительно отличаются друг от друга и име- ют один и тот же знак. Это указывает на усиление фрустраций в системе и подавление AFM упорядоче- ния за счет спин-зарядовых флуктуаций в подсистемах 4f- и p-электронов. Скорость спиновых волн в крити- ческой области уменьшается из-за этих флуктуаций. Спин-волновой спектр для 0 1= 1,21E t приобретает вид, характерный для случая, когда энергия спин-волновых возбуждений попадает в область стонеровских возбу- ждений. Отметим также, что для обоих рассмотренных слу- чаев возможна ситуация, когда параметр mmA ′ увели- чивается с ростом расстояния | |m m′−R R . В этой связи учет эффективного обменного взаимодействия между дальними соседями может быть существенен. Следует подчеркнуть, что проведенный анализ влия- ния спин-зарядовых флуктуаций на эффективные об- менные параметры носит качественный характер. Это связано с тем, что, во-первых, компоненты массового оператора зависят от температуры. Данное обстоятель- ство учитывается при решении уравнений самосогла- сования, однако выше в рассуждениях использовались значения параметров обмена при = 0T . Во-вторых, при Рис. 7. Зависимость интеграла эффективного обменного взаимодействия от номера координационной сферы csN для двух положений локализованного уровня: 0 1= 1,5E t (точки) и 0 1= 1,21E t (квадраты). 242 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Проявление спин-зарядовых флуктуаций в спектральных и термодинамических свойствах расчете интеграла mmA ′ явно не учитываются гибриди- зационные поправки в силовом операторе. Описанные в работе эффекты спин-зарядовых флук- туаций в слоистых тяжелофермионных антиферромаг- нетиках будут иметь место и в соединениях, обладающих трехмерным характером эффективных взаимодействий, таких как CeIn3. Однако при описании этих соединений нельзя ограничиваться учетом гибридизации и пере- скоков только в плоскости xy. Кроме того, в цериевых интерметаллидах большой интерес вызывает формиро- вание фазы сосуществования сверхпроводимости и ан- тиферромагнетизма вблизи квантовой критической точ- ки. В предложенной модели обменное взаимодействие между 4f-электронами способно индуцировать куперов- скую неустойчивость [35]. Тогда формирование сверх- проводимости вблизи квантовой критической точки может быть не связано с квантовыми флуктуациями, а объясняться тем, что антиферромагнетизм приводит к подавлению куперовских спариваний. Однако отме- ченные вопросы выходят за рамки данной статьи. Заключение В рамках периодической модели Андерсона мето- дом диаграммной техники для операторов Хаббарда развита теория, позволившая учесть спин-зарядовые флуктуации и исследовать взаимное влияние двух микроскопических механизмов формирования обмен- ного взаимодействия между f-электронами в квазидву- мерных цериевых тяжелофермионных интерметаллидах. Первый механизм, реализующийся при большой ве- личине внутриатомного кулоновского отталкивания, обусловлен высокоэнергетическими процессами гибри- дизации между коллективизированными p-электронами и f-электронами редкоземельных ионов. Интенсивность обменной связи, определяемой этим механизмом, не зависит от температуры, концентрации коллективизи- рованных носителей и положения химпотенциала. Для второго механизма, инициируемого низкоэнер- гетическими гибридизационными процессами между отмеченными группами электронов, ситуация качест- венно иная. Вклад этих процессов в величину резуль- тирующей обменной связи между ионами Ce сущест- венно зависит от положения уровня Ферми, энергии f- уровня и плотности электронных состояний. Этот вы- вод следует из анализа поведения намагниченности антиферромагнитной подрешетки и температуры Не- еля, полученного при учете вкладов спин-зарядовых флуктуаций. Продемонстрировано, что учет второго механизма имеет решающее значение для количест- венного описания экспериментальных данных, таких как зависимость температуры Нееля от давления, по- лученных для квазидвумерных цериевых систем (типа CeRhIn5). Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты #16-02-00073-а, #15-42-04372-р-сибирь-а), Пра- вительства Красноярского края и Краевого фонда нау- ки (доп. соглашение №07/16), а также Комплексной программы СО РАН II.2П (проект 0358-2015-0002). Один из авторов (А.О.З.) благодарит за поддержку в рамках стипендии Президента РФ для молодых канди- датов наук (СП-1370.2015.5). 1. Ph. Gegenwart, Q. Si, and F. Steglich, Nat. Phys. 4, 186 (2008). 2. N.D. Mathur, F.M. Grosche, S.R. Julian, I.R. Walker, D.M. Freye, R.K.W. Haselwimmer, and G.G. Lonzarich, Nature 394, 39 (1998). 3. T. Park and J.D. Thompson, New J. Phys. 11, 055062 (2009). 4. E.D. Bauer, H.O. Lee, V.A. Sidorov, N. Kurita, K. Gofryk, J.-X. Zhu, F. Ronning, R. Movshovich, J.D. Thompson, and T. Park, Phys. Rev. B 81, 180507 (2010). 5. S. Doniach, Physica B+C 91, 231 (1977). 6. P. Coleman, C. Pepin, Q. Si, and R. Ramazashvili, J. Phys.: Condens. Matter 13, R723 (2001). 7. Q. Si, S. Rabello, K. Ingersent, and J. L. Smith, Nature 413, 804 (2001). 8. H. Shishido, R. Settai, H. Harima, and Y. Önuki, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 1103 (2005). 9. G. Knebel, D. Aoki, J.-P. Brison, and J. Flouquet, J. Phys. Soc. Jpn. 77, 114704 (2008). 10. K. Miyake and S. Watanabe, J. Phys. Soc. Jpn. 83, 061006 (2014). 11. H. Watanabe and M. Ogata, Phys. Rev. Lett. 99, 136401 (2007). 12. S. Watanabe and K. Miyake, J. Phys. Soc. Jpn. 79, 033707 (2010). 13. В.В. Вальков, А.О. Злотников, ЖЭТФ 143, 941 (2013) [JETP 116, 817 (2013)]. 14. В.В. Тугушев, Е.А. Жуковский, ЖЭТФ 111, 600 (1997) [JETP 84, 330 (1997)]. 15. H. Leder and B. Mühlschlegel, Z. Physik B 29, 341 (1978). 16. B. Möller and P. Wölfle, Phys. Rev. B 48, 10320 (1993). 17. R. Doradziński and J. Spałek, Phys. Rev. B 58, 3293 (1998). 18. M.E. Foglio, J. Phys. C: Solid State Phys. 11, 4171 (1978). 19. P.S. Riseborough and D.L. Mills, Phys. Rev. B 21, 5338 (1980). 20. Y. Kuramoto, Z. Physik B 40, 293 (1981). 21. Y.A. Izyumov and B.M. Letfulov, J. Phys.: Condens. Matter 2, 8905 (1990). 22. В.В. Вальков, Д.М. Дзебисашвили, ТМФ 164, 309 (2010) [Theoretical and Mathematical Physics 164, 1089 (2010)]. 23. J.D. Thompson and Z. Fisk, J. Phys. Soc. Jpn. 81, 011002 (2012). 24. В.В. Вальков and А.Д. Федосеев, ТМФ 168, 417 (2011) [Theoretical and Mathematical Physics 168, 1216 (2011)]. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 243 http://dx.doi.org/10.1038/nphys892 http://dx.doi.org/10.1038/27838 http://stacks.iop.org/1367-2630/11/i%3D5/a%3D055062 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.81.180507 http://dx.doi.org/10.1016/0378-4363(77)90190-5 http://stacks.iop.org/0953-8984/13/i%3D35/a%3D202 http://stacks.iop.org/0953-8984/13/i%3D35/a%3D202 http://dx.doi.org/10.1038/35101507 http://dx.doi.org/10.1143/JPSJ.74.1103 http://dx.doi.org/10.1143/JPSJ.74.1103 http://dx.doi.org/10.1143/JPSJ.77.114704 http://dx.doi.org/10.1143/JPSJ.77.114704 http://dx.doi.org/10.7566/JPSJ.83.061006 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.136401 http://dx.doi.org/10.1143/JPSJ.79.033707 http://dx.doi.org/10.1134/S1063776113050129 http://dx.doi.org/10.1134/1.558121 http://dx.doi.org/10.1007%2FBF01324031 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.48.10320 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.58.3293 http://stacks.iop.org/0022-3719/11/i%3D20/a%3D013 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.21.5338 http://dx.doi.org/10.1007%2FBF01292845 http://stacks.iop.org/0953-8984/2/i%3D45/a%3D005 http://dx.doi.org/10.1007/s11232-010-0087-2 http://dx.doi.org/10.1007/s11232-010-0087-2 http://dx.doi.org/10.1143/JPSJ.81.011002 http://dx.doi.org/10.1007/s11232-011-0099-6 http://dx.doi.org/10.1007/s11232-011-0099-6 В.В. Вальков, А.О. Злотников 25. P. Das, S.-Z. Lin, N.J. Ghimire, K. Huang, F. Ronning, E.D. Bauer, J.D. Thompson, C.D. Batista, G. Ehlers, and M. Janoschek, Phys. Rev. Lett. 113, 246403 (2014). 26. M. Yashima, H. Mukuda, Y. Kitaoka, H. Shishido, R. Settai, and Y. Önuki, Phys. Rev. B 79, 214528 (2009). 27. В.В. Вальков, Д.М. Дзебисашвили, ТМФ 157, 235 (2008) [Theoretical and Mathematical Physics 157, 1565 (2008)]. 28. Р.О. Зайцев, ЖЭТФ 68, 207 (1975) [Sov. Phys. JETP 41, 100 (1975)]. 29. Р.О. Зайцев, Диаграммные методы в теории сверхпро- водимости и ферромагнетизма, Едиториал УРСС, Мо- сква (2004). 30. В.Г. Барьяхтар, В.Н. Криворучко, Д.А. Яблонский, ЖЭТФ 85, 601 (1983) [Sov. Phys. JETP 58, 351 (1983)]. 31. В.Г. Барьяхтар, В.Н. Криворучко, Д.А. Яблонский, Функ- ции Грина в теории магнетизма, Наукова думка, Киев (1984). 32. Р.О. Зайцев, ЖЭТФ 70, 1100 (1976) [Sov. Phys. JETP 43, 574 (1976)]. 33. S.G. Ovchinnikov and V.V. Val’kov, Hubbard Operators in the Theory of Strongly Correlated Electrons, Imperial Col- lege Press, London (2004). 34. S. Elgazzar, I. Opahle, R. Hayn, and P.M. Oppeneer, Phys. Rev. B 69, 214510 (2004). 35. В.В. Вальков, А.О. Злотников, Письма в ЖЭТФ 95, 390 (2012) [JETP Lett. 95, 350 (2012)]. Manifestation of spin and charge fluctuations in spectral and thermodynamic properties of quasi-two-dimensional rare-earth intermetallics V.V. Val’kov and A.O. Zlotnikov In the framework of the modified periodic Ander- son model including the exchange interaction in the subsystem of localized states, it is shown that the spin and charge fluctuations in the quasi-two-dimensional intermetallic compounds with rare-earth ions in the mixed valence state significantly affect both the spectrum of magnetic excitations and the conditions of imple- mentation of the antiferromagnetic phase. The spectral characteristics of the phase have been obtained by the method of the diagram technique for Hubbard op- erators using the one-loop approximation, allowing to take into account the spin-charge fluctuation contri- butions to the components of the mass and the strength operators. The developed theory allowed to quantita- tively describe the Néel temperature dependence on pressure observed in the quasi-two-dimensional an- tiferromagnetic intermetallic compound with heavy fermions CeRhIn5. PACS: 71.27.+a Strongly correlated electron sys- tems; heavy fermions; 75.50.Ee Antiferromagnetics; 75.30.Et Exchange and superexchange in- teractions; 75.40.Gb Dynamic properties (dynamic sus- ceptibility, spin waves, spin diffusion, dynam- ic scaling, etc.). Keywords: heavy fermions, antiferromagnetism, spin- charge fluctuations, CeRhIn5, periodic Anderson model. 244 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.113.246403 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.79.214528 http://dx.doi.org/10.1007/s11232-008-0130-8 http://dx.doi.org/10.1007/s11232-008-0130-8 http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/e/index/e/43/3/p574?a=list http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/r/index/e/58/2/p351?a=list http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/r/index/e/58/2/p351?a=list http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/e/index/e/43/3/p574?a=list http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.69.214510 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.69.214510 http://dx.doi.org/10.1134/S0021364012070089 1. Введение 2. Расширенная модель Андерсона в атомном представлении 3. Массовый и силовой операторы для поперечной спиновой функции Грина 4. Спин-зарядовые ренормировки спектра магнитных возбуждений 5. Зависимость температуры Нееля от давления в слоистых редкоземельных интерметаллидах 6. Эффективное обменное взаимодействие при учете спин-зарядовых флуктуаций Заключение

Ähnliche Einträge