Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
Показано, что в равновесных сверхпроводящих структурах с s-волновым типом спаривания однозначная часть фазы комплексного параметра порядка (квазисреднего) 〈ψ↑ ψ↓〉 трансформируется в продольную компоненту векторного потенциала, как и в абелевой модели Хиггса релятивистской теории поля. Рассмотрение...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика низких температур |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129425 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах / С.В. Куплевахский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 3. — С. 401-419. — Бібліогр.: 41 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129425 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Куплевахский, С.В. 2018-01-19T16:24:55Z 2018-01-19T16:24:55Z 2017 Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах / С.В. Куплевахский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 3. — С. 401-419. — Бібліогр.: 41 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 74.20.Fg, 11.15.Ex, 74.50.+r https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129425 Показано, что в равновесных сверхпроводящих структурах с s-волновым типом спаривания однозначная часть фазы комплексного параметра порядка (квазисреднего) 〈ψ↑ ψ↓〉 трансформируется в продольную компоненту векторного потенциала, как и в абелевой модели Хиггса релятивистской теории поля. Рассмотрение базируется на микроскопическом гамильтониане системы в присутствии внешнего статического магнитного поля и бесконечно малых источников куперовских пар. Предусмотрено наличие примесей и несверхпроводящих барьеров, а также учтена квантовая природа индуцированного электромагнитного поля. Квантование последнего осуществляется при условии A₀ = 0 (A₀ — скалярный потенциал), не нарушающем инвариантность относительно калибровочных преобразований, не зависящих от времени. Установлены точные соотношения, определяющие квазисреднее 〈ψ↑ ψ↓〉. Эти соотношения играют ключевую роль в изложенном в статье новом выводе уравнений среднего поля. На основании полученных результатов предложена новая физическая трактовка эффекта Джозефсона (без «разности фаз») и обсуждаются некоторые следствия. Показано, що в рівноважних надпровідних структурах з s-хвилевим типом спаровування однозначна частина фази комплексного параметра порядку (квазісереднього) 〈ψ↑ ψ↓〉 трансформується в подовжню компоненту векторного потенціалу, як і в абелевій моделі Хіггса релятивістської теорії поля. Розгляд базується на мікроскопічному гамільтоніані системи у присутності зовнішнього статичного магнітного поля і нескінченно малих джерел куперівських пар. Передбачено наявність домішок і ненадпровідних бар'єрів, а також враховано квантову природу індукованого електромагнітного поля. Квантування останнього здійснюється за умови A₀ = 0 (A₀ — скалярний потенціал), що не порушує інваріантність відносно калібрувальних перетворень, які не залежні від часу. Встановлено точні співвідношення, які визначають і квазісереднє〈ψ↑ ψ↓〉. Ці співвідношення грають ключову роль у новому виведенні рівнянь середнього поля, яке викладено у статті. На підставі отриманих результатів запропоновано нове фізичне трактування ефекту Джозефсона (без «різниці фаз») і обговорюються деякі наслідки. It is shown that in equilibrium superconducting structures with s-wave pairing, the unique part of the phase of the complex ordering parameter 〈 ψ↑ ψ↓ 〉 transforms into the longitudinal component of the vector potential as in the Abelian Higgs model of relativistic field theory. This analysis is based on a microscopic Hamiltonian of the system in the presence of an external static magnetic field and infinitely small Cooper pair sources. Impurities and nonsuperconducting barriers are assumed to be present, and the quantum nature of the induced electromagnetic field is taken into account. Quantization of the latter is done under the condition A₀ = 0 ( A₀ is the scalar potential) that the invariance with respect to time-independent gauge transformations is not broken. Exact relations determining the quasi-averages 〈 ψ↑ ψ↓ 〉 are established. These relations play a key role in the new derivation of the mean-field equations discussed in this article. A new physical treatment of the Josephson effect (without a “phase difference”) is proposed on the basis of these results and some of its consequences are discussed. Автор благодарит всех участников экспериментального семинара А.Н. Омельянчука и теоретического семинара Л.А. Пастура за конструктивное обсуждение. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах Higgs mechanism in superconducting structures Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах |
| spellingShingle |
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах Куплевахский, С.В. Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| title_short |
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах |
| title_full |
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах |
| title_fullStr |
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах |
| title_full_unstemmed |
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах |
| title_sort |
механизм хиггса в сверхпроводящих структурах |
| author |
Куплевахский, С.В. |
| author_facet |
Куплевахский, С.В. |
| topic |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| topic_facet |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Higgs mechanism in superconducting structures |
| description |
Показано, что в равновесных сверхпроводящих структурах с s-волновым типом спаривания однозначная часть фазы комплексного параметра порядка (квазисреднего) 〈ψ↑ ψ↓〉 трансформируется в продольную компоненту векторного потенциала, как и в абелевой модели Хиггса релятивистской теории поля.
Рассмотрение базируется на микроскопическом гамильтониане системы в присутствии внешнего статического магнитного поля и бесконечно малых источников куперовских пар. Предусмотрено наличие
примесей и несверхпроводящих барьеров, а также учтена квантовая природа индуцированного электромагнитного поля. Квантование последнего осуществляется при условии A₀ = 0 (A₀ — скалярный потенциал), не нарушающем инвариантность относительно калибровочных преобразований, не зависящих от
времени. Установлены точные соотношения, определяющие квазисреднее 〈ψ↑ ψ↓〉. Эти соотношения играют ключевую роль в изложенном в статье новом выводе уравнений среднего поля. На основании полученных результатов предложена новая физическая трактовка эффекта Джозефсона (без «разности фаз») и
обсуждаются некоторые следствия.
Показано, що в рівноважних надпровідних структурах з s-хвилевим типом спаровування однозначна
частина фази комплексного параметра порядку (квазісереднього) 〈ψ↑ ψ↓〉 трансформується в подовжню
компоненту векторного потенціалу, як і в абелевій моделі Хіггса релятивістської теорії поля. Розгляд
базується на мікроскопічному гамільтоніані системи у присутності зовнішнього статичного магнітного поля
і нескінченно малих джерел куперівських пар. Передбачено наявність домішок і ненадпровідних бар'єрів, а
також враховано квантову природу індукованого електромагнітного поля. Квантування останнього
здійснюється за умови A₀ = 0 (A₀ — скалярний потенціал), що не порушує інваріантність відносно
калібрувальних перетворень, які не залежні від часу. Встановлено точні співвідношення, які визначають і
квазісереднє〈ψ↑ ψ↓〉. Ці співвідношення грають ключову роль у новому виведенні рівнянь середнього поля,
яке викладено у статті. На підставі отриманих результатів запропоновано нове фізичне трактування ефекту
Джозефсона (без «різниці фаз») і обговорюються деякі наслідки.
It is shown that in equilibrium superconducting structures with s-wave pairing, the unique part of the phase of the complex ordering parameter 〈 ψ↑ ψ↓ 〉 transforms into the longitudinal component of the vector potential as in the Abelian Higgs model of relativistic field theory. This analysis is based on a microscopic Hamiltonian of the system in the presence of an external static magnetic field and infinitely small Cooper pair sources. Impurities and nonsuperconducting barriers are assumed to be present, and the quantum nature of the induced electromagnetic field is taken into account. Quantization of the latter is done under the condition A₀ = 0 ( A₀ is the scalar potential) that the invariance with respect to time-independent gauge transformations is not broken. Exact relations determining the quasi-averages 〈 ψ↑ ψ↓ 〉 are established. These relations play a key role in the new derivation of the mean-field equations discussed in this article. A new physical treatment of the Josephson effect (without a “phase difference”) is proposed on the basis of these results and some of its consequences are discussed.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129425 |
| citation_txt |
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах / С.В. Куплевахский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 3. — С. 401-419. — Бібліогр.: 41 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kuplevahskiisv mehanizmhiggsavsverhprovodâŝihstrukturah AT kuplevahskiisv higgsmechanisminsuperconductingstructures |
| first_indexed |
2025-11-25T22:46:37Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:46:37Z |
| _version_ |
1850573267782336512 |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3, c. 401–419
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
С.В. Куплевахский
Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины
пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина
E-mail: kuplevakhsky@ilt.kharkov.ua
Статья поступила в редакцию 17 мая 2016 г., после переработки 1 августа 2016 г.,
опубликована онлайн 24 января 2017 г.
Показано, что в равновесных сверхпроводящих структурах с s-волновым типом спаривания однознач-
ная часть фазы комплексного параметра порядка (квазисреднего) áψψ¯ñ трансформируется в продоль-
ную компоненту векторного потенциала, как и в абелевой модели Хиггса релятивистской теории поля.
Рассмотрение базируется на микроскопическом гамильтониане системы в присутствии внешнего стати-
ческого магнитного поля и бесконечно малых источников куперовских пар. Предусмотрено наличие
примесей и несверхпроводящих барьеров, а также учтена квантовая природа индуцированного электро-
магнитного поля. Квантование последнего осуществляется при условии A0 = 0 (A0 — скалярный потен-
циал), не нарушающем инвариантность относительно калибровочных преобразований, не зависящих от
времени. Установлены точные соотношения, определяющие квазисреднее áψψ¯ñ. Эти соотношения иг-
рают ключевую роль в изложенном в статье новом выводе уравнений среднего поля. На основании полу-
ченных результатов предложена новая физическая трактовка эффекта Джозефсона (без «разности фаз») и
обсуждаются некоторые следствия.
Показано, що в рівноважних надпровідних структурах з s-хвилевим типом спаровування однозначна
частина фази комплексного параметра порядку (квазісереднього) áψψ¯ñ трансформується в подовжню
компоненту векторного потенціалу, як і в абелевій моделі Хіггса релятивістської теорії поля. Розгляд
базується на мікроскопічному гамільтоніані системи у присутності зовнішнього статичного магнітного поля
і нескінченно малих джерел куперівських пар. Передбачено наявність домішок і ненадпровідних бар'єрів, а
також враховано квантову природу індукованого електромагнітного поля. Квантування останнього
здійснюється за умови A0 = 0 (A0 — скалярний потенціал), що не порушує інваріантність відносно
калібрувальних перетворень, які не залежні від часу. Встановлено точні співвідношення, які визначаютьі
квазісереднє áψψ¯ñ. Ці співвідношення грають ключову роль у новому виведенні рівнянь середнього поля,
яке викладено у статті. На підставі отриманих результатів запропоновано нове фізичне трактування ефекту
Джозефсона (без «різниці фаз») і обговорюються деякі наслідки.
PACS: 74.20.Fg Теория БКШ и ее развитие;
11.15.Ex Спонтанное нарушение калибровочной симметрии;
74.50.+r Эффекты близости, слабые связи, туннелирование, эффект Джозефсона.
Ключевые слова: сверхпроводимость, механизм Хиггса, эффект Джозефсона.
1. Введение: основные физические идеи
Концепция [1–3] «мягкой» генерации масс калибро-
вочных полей вследствие спонтанного нарушения ло-
кальной калибровочной симметрии (механизм Хиггса)
представляет собой один из краеугольных камней со-
временной теории элементарных частиц (см., например,
[4–6]). Хотя в физике высоких энергий фундаменталь-
ные идеи работ [1–3] нашли свое окончательное под-
тверждение лишь недавно (в результате эксперимен-
тального открытия бозона Хиггса [7,8]), хорошо извест-
но [4–6,9], что механизм Хиггса фактически реализуется
в физике низких энергий, а точнее, в явлении сверхпро-
водимости [10–14]. (Согласно определению [6], «a su-
perconductor is simply a material in which electromagnetic
gauge invariance is spontaneously broken».)
В качестве примера обычно приводят [4–6, 9] эффект
Мейсснера, заключающийся в непроникновении внеш-
© С.В. Куплевахский, 2017
mailto:kuplevakhsky@ilt.kharkov.ua
С.В. Куплевахский
него статического магнитного поля в глубь массивного
сверхпроводника, что может быть интерпретировано
как «приобретение фотоном массы». Более того, на этом
аналогия с ситуацией в физике высоких энергий не ис-
черпывается. В частности, недавно сообщалось [15] об
экспериментальном обнаружении в сверхпроводниках
низкоэнергетического аналога бозона Хиггса, существо-
вание которого предсказывалось в теоретических рабо-
тах [16,17]. (Следует, однако, иметь в виду, что в сверх-
проводниках отсутствует фундаментальное поле Хиггса,
а спонтанное нарушение электромагнитной симметрии
происходит динамически, путем формирования конден-
сата куперовских пар [12–14].)
Мы хотим обратить внимание еще на одну анало-
гию, ранее не замеченную в литературе, а именно:
трансформацию однозначной части фазы комплексно-
го параметра сверхпроводящего порядка («голдсто-
уновское» поле модели [1]) в продольную компоненту
статического магнитного поля (электромагнитного
поля модели [1]). Чтобы облегчить восприятие основ-
ной части статьи, мы позволим себе напомнить ключе-
вые положения абелевой модели [1], непосредственно
касающиеся предмета нашего рассмотрения.
Лагранжиан классической абелевой модели Хиггса
комплексного скалярного поля 1 2iΨ = Ψ + Ψ (заряд q),
взаимодействующего с электромагнитным полем Aµ =
0( , ),A= −A имеет следующий вид:
____________________________________________________
( ) ( ) ( ) ( )* 3 *, ,H H A d iqA t t iqA t tµ µ
µ µ µ
= Ψ Ψ ≡ ∂ − Ψ ∂ + Ψ − ∫ r r r r rL L
( ) ( ) ( ) ( )2 42 1 ,
16
M t t F t F tµν
µν
− Ψ − λ Ψ − π
r r r r (1)
_______________________________________________
где 2M — параметр (положительный или отрицатель-
ный), а F A Aµν µ ν ν µ= ∂ − ∂ — тензор электромагнитно-
го поля. (В этом разделе мы используем метрику и че-
тырехмерные обозначения книги [18], но полагаем
1.)c= = Лагранжиан (1) инвариантен относительно
локального калибровочного преобразования
( )* *
,
e , e , .iq iq
A A
t
µ µ µ
χ − χ
→ − ∂ χ
Ψ → Ψ Ψ → Ψ χ = χ r
(2)
Однако при 2 0M < основное состояние системы
[ )0
2
0 00, e , const 0,2
2
iMA φ
µ
−
≡ Ψ = φ = ∈ π
λ
(3)
этим свойством не обладает. Чтобы понять следствие
нарушения локальной калибровочной симметрии, удоб-
но перейти к полярному представлению для поля Ψ .
Выбирая основное состояние («вакуум») из условия
0 0φ = , запишем:
( ) ( ) ( )
0 ei tt t φ Ψ = Ψ + ρ
rr r
, (4)
где /qφ имеет смысл «голдстоуновского» поля. Подста-
новка (4) в (1) и переход к унитарной калибровке [5,6]
1A A
qµ µ µ→ − ∂ φ (5)
позволяют избавиться от голдстоуновского поля.
Считая «физические» поля ρ и Aµ малыми величи-
нами и проводя разложение лагранжиана (1) до чле-
нов второго порядка, находим соответствующие урав-
нения движения:
22 2
00, 4H Hm mµ
µ∂ ∂ ρ + ρ = ≡ λ Ψ , (6)
22 2 2
0, 8 .A AF m A m qνµ µ
ν∂ = ≡ π Ψ (7)
Уравнение (6) описывает массивный бозон Хиггса
( Hm — масса), а уравнение (7) представляет собой
уравнение Прока для массивного векторного поля
( Am — масса) [5].
Для разрешимости уравнения (7) относительно Aµ
требуется выполнение условия
0Aµ
µ∂ = , (8)
известного в классической электродинамике как «ка-
либровка Лоренца» [18]. Условие (8) позволяет исклю-
чить из рассмотрения скалярный потенциал 0A , не
являющийся динамической переменной. Таким обра-
зом, при спонтанном нарушении локальной калибро-
вочной симметрии векторное поле A , в дополнение к
двум независимым поперечным компонентам ( )⊥A
свободного поля, приобретает продольную компоненту
( )A
за счет фазы Ψ (голдстоуновского поля / ).qφ
В случае не зависящего от времени поля ( )=A A r
уравнение (7) и условие (8) превращаются в следующее:
2
Am∇ × ∇ × = −A A , (9)
∇ =A 0 . (10)
Уравнение (9) формально совпадает с основным урав-
нением феноменологической теории сверхпроводимо-
сти Лондонов [12,13] (при отождествлении 2 21/ ,A Lm → λ
где Lλ — лондоновская глубина проникновения). При
этом условие (10), означающее исчезновение продоль-
ной компоненты векторного потенциала, есть простым
402 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
следствием закона сохранения сверхпроводящего тока,
который в теории Лондонов имеет вид 2/(4 )L= − πλj A .
Хотя уравнение (9) корректно отражает наличие
эффекта Мейсснера, в целом, теория Лондонов не дает
адекватного описания других аспектов физики сверх-
проводимости.
В более уточненной феноменологической теории
Гинзбурга–Ландау [19], справедливой при температу-
рах T, близких к температурам сверхпроводящего пе-
рехода Tc, исходят из функционала свободной энергии
*[ , , ],GL GL= Ψ Ψ AF F где комплексное поле Ψ име-
ет смысл параметра сверхпроводящего порядка. Функ-
ционал GLF может быть формально получен из ла-
гранжиана (1) для случая не зависящих от времени
полей ( ( )Ψ = Ψ r и ( )).=A A r Полагая 2q e= (e —
заряд электрона) и определяя новые константы
( )
2
2,
4 8
c
Ma T T b
m m
λ
≡ − α = = ,
где m — «масса электрона», получаем:
*
*, , , ,
2 2GL H m m
Ψ Ψ Ψ Ψ = − =
A ALF
( ) ( )2
2 2 43 1 2 .
4 2 8V
bd e a
m
∇ ×
= ∇ − Ψ + Ψ + Ψ +
π
∫
A
r A
(11)
При заданной температуре cT T< функционал (11)
минимизируется равновесными значениями полей Ψ
(| | 0)Ψ ≠ и A, удовлетворяющими нелинейному диф-
ференциальному уравнению Гинзбурга–Ландау и урав-
нению Максвелла соответственно. При этом сверхпро-
водящий ток дается соотношением
( ) 2
2* * 2
2
ie e
m m
= − Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ − Ψj A . (12)
Как и в случае модели Хиггса (1), в соотношениях
(11) и (12) удобно перейти к полярному представлению
( )( ) | ( ) | e .iφΨ = Ψ rr r В односвязном сверхпроводнике
фаза ( )φ = φ r есть однозначная функция координат
( ),φ = φ и поэтому от нее можно избавиться, используя
статический аналог унитарной калибровки (5),
1
2e
→ − ∇φA A . (1)
Однако теперь, в отличие от модели Лондонов (9), за-
кон сохранения тока 0∇ =j не предполагает исчезно-
вения продольной части векторного потенциала, по-
скольку ( )Ψ r зависит от координат. Иными словами,
должна происходить трансформация 1
2e
− ∇φ → A
.
Нужно сказать, что нефизичность однозначной части
фазы параметра порядка теории Гинзбурга–Ландау от-
мечалась давно (см. [20]). Однако эта работа оставила
без ответа принципиальный вопрос: куда «исчезла» пе-
ременная φ после выполнения калибровочного преоб-
разования (13)? Приведенные нами соображения (ана-
логия с моделью [1]) требуют строгого обоснования в
рамках последовательной микроскопической теории
ввиду динамического характера нарушения электромаг-
нитной симметрии. Особо подчеркнем, что законность
использования преобразования (13) может быть доказа-
на только при учете квантовой природы индуцирован-
ного в сверхпроводнике электромагнитного поля, по-
скольку сама процедура квантования последнего
существенно зависит от выбора калибровочного усло-
вия. Кроме того, феноменологическая теория Гинзбур-
га–Ландау не в состоянии описать наиболее интересный
(с точки зрения предмета нашей статьи) случай сверх-
проводящих структур с джозефсоновской связью [14,21]
и заведомо неприменима при температурах cT T .
Развиваемая в последующих разделах микроскопиче-
ская теория свободна от указанных недостатков.
2. Исходная микроскопическая модель
Исходной точкой нашего рассмотрения служит
микроскопический гамильтониан в представлении Гей-
зенберга (см. вывод в Приложении A):
imp eme b BCS= + + + +H H H H H H , (14)
( ) ( ) ( )3 1
2e e
V
d ie t ie t
m
+
α
α
= ∇ + + ψ ×
∑∫ r A r A r rH
( ) ( ) ( )eie t ie tα × ∇ − − ψ A r A r r , (15)
( ) ( ) ( )3
,
ˆ b
b
V
d t U t+
α βαβα β
= ψ ψ ∑∫ r r r rH ,
( ) ( ) ( )3 imp
imp
,
ˆ
V
d t U t+
α βαβα β
= ψ ψ ∑∫ r r r rH ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 ,
2BCS
V
d g t t t t+ +
α −α −α α
α
= − ψ ψ ψ ψ∑∫ r r r r r rH
( ) ( ) ( )23 21
8em d t t = + ∇ × π ∫ r E r A rH ,
( ) ( ) ( ) ( ), .t t t t
t
∂
= − ∇ × =
∂
E r A r A r H r
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 403
С.В. Куплевахский
Здесь 0H — гамильтониан системы невзаимодейст-
вующих электронов во внешнем постоянном магнит-
ном поле eH :
, 0;e e e∇ × = ∇ =A H A (2)
,e m — заряд и масса электрона соответственно; V —
объем сверхпроводящей структуры. Полевые операто-
ры рождения ( )+
αψ и уничтожения ( )αψ электрона со
спином ,α =↑ ↓ удовлетворяют обычным антикомму-
тационным соотношениям
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3, ,
, , 0,
t t
t t t t
+
α β αβ+
+ +
α β α β+ +
ψ ψ = δ δ −′ ′
ψ ψ = ψ ψ =′ ′
r r r r
r r r r
где [ ],A B AB BA+ = + , а αβδ — символ Кронекера.
Вклады bH и impH описывают возможное при-
сутствие несверхпроводящих слоев (барьеров) [22] и
вмороженных примесей [23] соответственно. Если
соответствующие потенциалы ˆ bU и impÛ необмен-
ные, их зависимость от спиновых индексов сводится
к αβδ . Матричные элементы ˆ[ ] ( )b bU Uαβ αβ= r и
imp impˆ[ ] ( )U Uαβ αβ= r считаем гладкими функциями
координат: см. пример на рис. 1.
Член BCSH описывает эффективное электрон-
электронное притяжение, приводящее к спариванию
[11,14]. Параметр взаимодействия ( ),g g= r являю-
щийся гладкой функцией координат, отрицателен в
сверхпроводящих слоях и равен нулю в несверхпрово-
дящих барьерах (см. рис. 2).
Индуцированному электромагнитному полю
( )t=A A r соответствует гамильтониан emH . Соглас-
но разъяснению во Введении, поле A необходимо счи-
тать квантовым. Как явствует из формы emH , при
квантовании A нами принята калибровка 0 0,A = ис-
пользование которой требует пояснений. Действитель-
но, в нерелятивистских задачах физики конденсиро-
ванного состояния более употребительна поперечная
(кулоновская) калибровка 0∇ =A (см., например,
[25]). Однако поперечная калибровка полностью на-
рушает инвариантность относительно локальных ка-
либровочных преобразований, и потому совершенно
не пригодна для целей нашей статьи. Напротив, калиб-
ровка 0 0A = оставляет гамильтониан инвариантным
относительно не зависящих от времени локальных ка-
либровочных преобразований
( ) ( ) ( ) ,t t→ + ∇χA r A r r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e , e .ie iet t t tχ − χ+ +
α α α αψ → ψ ψ → ψr rr r r r
(17)
Кроме того, вопреки имеющимся в литературе [26]
утверждениям, калибровка 0 0A = отнюдь не приводит
к «потере» закона Гаусса (см. наше разъяснение ниже
и в Приложении Б).
В калибровке 0 0A = коммутационные соотноше-
ния для операторов электромагнитного поля имеют
следующий вид:
( ) ( ) ( ), 4 ,i
j ij
A
t A t i
t
∂ = − πδ δ −′ ′ ∂
r r r r
( ) ( ) ( ) ( ), , 0, , , , .ji
i j
AA
A t A t t t i j x y z
t t
∂ ∂ = = =′ ′ ∂ ∂
r r r r
(18)
Естественно, предполагается коммутативность опера-
торов электромагнитного поля с электронными опера-
торами +
αψ и αψ . Если индуцированное электромаг-
нитное поле достаточно быстро убывает на прост-
ранственной бесконечности, для оператора A справед-
ливо следующее разложение [27]:
⊥= +A A A
, (19)
где
( ) ( )30, 0, 0,d t t⊥ ⊥∇ = ∇ × = =∫A A rA r A r
( ) ( )31
4
t
t d⊥
∇ × ′
= ∇ × ′
π − ′∫r
A r
A r r
r r
,
( ) ( )31 .
4
t
t d
∇ ′
= − ∇ ′
π − ′∫r
A r
A r r
r r
Рис. 2. Пространственная зависимость параметра электрон-
электронного взаимодействия (g ≤ 0) и вспомогательной
функции gε (gε→0 → g), используемой в разд. 5.
Рис. 1. Пространственная зависимость матричного элемента
ˆ[ ]bU αβ . Здесь несверхпроводящий барьер предполагается
однородным вдоль координатных осей y и z, а λF — длина
Ферми (λF ∼ 1/pF). (Способ аналитического построения
функций типа ( )b bU U xαβ αβ= см. в книге [24].)
404 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
Учитывая коммутативность поперечных (⊥) компонент
операторов с продольными (||) компонентами, из ком-
мутационных соотношений (18) находим:
( ) ( ) ( ) 1, 4 ,i
j ij
i j
A
t A t i i
t r r
⊥
⊥
∂ ∂ ∂ = − πδ δ − +′ ′ ∂ ∂ ∂ −′ ′
r r r r
r r
( ) ( ) ( ) ( ), , 0,ji
i j
AA
A t A t
t t
⊥⊥
⊥ ⊥
∂ ∂ = =′ ′ ∂ ∂
r r r r
( ) ( ) 1, ,i
j
i j
A
t A t i
t r r
∂ ∂ ∂
= −′ ∂ ∂ ∂ −′ ′
r r
r r
( ) ( ) ( ) ( ), , 0,ji
i j
AA
A t A t t t
t t
∂∂ = =′ ′ ∂ ∂
r r r r
(20)
( ) ( ) ( ) ( ), , ji
i j
AA
A t A t t t
t t
⊥
⊥
∂∂ = =′ ′ ∂ ∂
r r r r
( ) ( ), , , , , .i
j
A
t A t i j x y z
t ⊥
∂
= =′ ∂
r r
Поскольку в гамильтониане H присутствует рав-
ное число электронных операторов рождения и унич-
тожения, существует очевидный интеграл движения –
полное число электронов N :
( )30, ,e
V
d t = ∫ r rN,H nN =
( ) ( ) ( )e t t t+
α α
α
= ψ ψ∑r r rn , (21)
где ( )e trn — плотность числа электронов. Оператор
N генерирует глобальные калибровочные преобра-
зования
( ) 00 0 0 0e , const :ieU U − χ= χ ≡ χ =N
( ) ( ) ( ) ( )01
0 0 0 0 e ,ieU t U tχ−
α αχ ψ χ = ψr r
(22)
( ) ( ) ( ) ( )01
0 0 0 0 e ,ieU t U t− χ+ − +
α αχ ψ χ = ψr r
( ) ( ) ( ) ( )1
0 0 0 0 ,U t U t−χ χ =A r A r
оставляющие гамильтониан H инвариантным. Ис-
пользуя уравнения движения для операторов в пред-
ставлении Гейзенберга, получаем закон сохранения
заряда,
( ) ( ) 0,ee t
t
t
∂
+ ∇ =
∂
r
j r
n
(23)
где
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
iet t t t t
m
+ +
α α α α
α
= ≡ ψ ∇ψ − ∇ψ ψ −
∑j j r r r r r
( ) ( ) ( ) ( )
2
e
e t t t
m
+
α α
− + ψ ψ
A r A r r r (24)
— оператор тока, и уравнения Максвелла
4
t
∂
∇ × = π +
∂
EH j , (25)
t
∂
∇ × = −
∂
HE . (26)
Из закона сохранения (23) и уравнения Максвелла
(25) находим
4 0ee ∇ − π = EH, n . (27)
Полученное условие, а также условие
[ ]4 0ee∇ − π =EN, n (28)
гарантируют наличие общей системы собственных
векторов у операторов H, N и 4 .ee∇ − πE n Для фи-
зически реализуемых состояний имеем
, ,, , , , ,k N i k N iN E n N N E n=N
, , ,, , , , ,k N i k N k N iN E n E N E n=H (29)
( ) ,4 , ,e k N ie N E n∇ − π =E n
( ),4 , , , .i k N i i ien N E n n n− π = r
Третье из соотношений (29) (уравнение связи) пред-
ставляет собой закон Гаусса, где in — заданная плот-
ность распределения заряда ионов. Динамический ин-
вариант 4 ee∇ − πE n генерирует локальное калибро-
вочное преобразование (17) с с-числовой функцией
( )χ = χ r :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 ,U U U U U Uψ ψ= χ = χ χ = χ χA A
[ ] ( ) ( )3exp ,
4
iU d t χ ≡ χ ∇ π ∫A r r E r
[ ] ( ) ( )3exp :e
V
U ie d tψ
χ ≡ − χ
∫ r r rn (30)
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 405
С.В. Куплевахский
[ ] ( ) [ ] ( ) ( )1
1 1 ,U t U t−χ χ = + ∇χA r A r r
[ ] ( ) [ ] ( ) ( )1
1 1 e ,ieU t U tχ−
α αχ ψ χ = ψrr r
[ ] ( ) [ ] ( ) ( )1
1 1 e ,ieU t U t− χ+ − +
α αχ ψ χ = ψrr r
где функция ( )χ = χ r задана во всем пространстве,
принадлежит классу 2C (непрерывна вместе со всеми
частными производными вплоть до второго порядка
включительно) и убывает при → ∞r . Сформулиро-
ванные математические условия обеспечивают одно-
значность функции ( )χ = χ r , что может быть пред-
ставлено в виде условия
( )1 0
2
d
Γ
∇χ⋅ =
π ∫ l
(31)
для произвольного замкнутого контура Γ .
Если система находится в нормальном состоянии
( ),cT T> для получения полного набора уравнений для
наблюдаемых величин будем производить усреднение
( ... )〈 〉 по большому каноническому ансамблю:
( ) 1... Tr ... , e T
Z
−µ−
≡ ρ ρ =
H N
,
,
,
Tr exp exp k N
k N
E N
Z
T T
− µ − µ
= − = − ∑H N ,
(32)
где µ — химический потенциал, Tr — след в про-
странстве действия всех операторов, Z — большая
статистическая сумма. Используя тождество для опе-
раторов в представлении Гейзенберга
( )( )0, Tr 0dOi O O
dt
= = ρ = H H, ,
немедленно находим:
4 , 0, 0,
c
π
∇ × = ∇ = ∇ =H j H j
0, 0,∇ × = =E E (33)
где ( )〈 〉 = 〈 〉H H r и ( )〈 〉 = 〈 〉j j r . Для согласования по-
следнего соотношения с законом Гаусса
4 4e ie en∇ − π = − πE n (34)
необходимо выполнение условия электронейтральности:
e in=n . (35)
Отметим еще полезное для дальнейшего соотношение
( )Tr Tr e
e e e
T Z
Z
δ δ δΩ
≡ ρ = − ρ = = − δ δ δ
j j
A A A
H
, (36)
где lnT ZΩ = − — термодинамический потенциал
( ( , , ; ))eT PΩ = Ω µ H .
Поскольку в нормальном состоянии обязан выпол-
няться закон Ома ,〈 〉 = σ〈 〉j E имеем также 0.〈 〉 =H
Таким образом, используя калибровочное преобразо-
вание (30), всегда можно добиться выполнения усло-
вия 0.〈 〉 =A
Как хорошо известно, сверхпроводящее состояние
( )cT T< характеризуется появлением аномального
среднего ↓ ↑〈ψ ψ 〉 *( )+ +
↓ ↑ ↓↑〈ψ ψ 〉 = 〈ψ ψ 〉 (параметра
сверхпроводящего порядка). Напомним [28], что ано-
мальное среднее не может быть вычислено путем ус-
реднения по большому каноническому ансамблю ρ .
Действительно, в силу инвариантности гамильтониана
H относительно калибровочных преобразований (22)
и (30) с произвольными 0χ и χ имеем
____________________________________________________
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )
1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0
1 1
1 1 1 1
1
1 1
Tr Tr
Tr exp( 2 )Tr 0;
Tr Tr
Tr exp( 2 ( ))Tr 0.
U U U U
U U i e
U U U U
U U i e
− −
↓ ↓↑ ↑
−
↓ ↓↑ ↑
− −
↓ ↓↑ ↑
−
↓ ↓↑ ↑
ψ ψ ρ = χ ψ ψ χ χ ρ χ =
= χ ψ ψ χ ρ = χ ψ ψ ρ =
ψ ψ ρ = χ ψ ψ χ χ ρ χ =
= χ ψ ψ χ ρ = χ ψ ψ ρ =
r r r r
r r r r
r r r r
r r r r r
(37)
_______________________________________________
Как было разъяснено Боголюбовым [28], для кор-
ректного определения подобных аномальных средних
(или квазисредних в терминологии [28]) необходимо
нарушить соответствующую непрерывную симметрию
путем введения в гамильтониан бесконечно малых «ис-
точников». Впоследствии этот прием был существенно
обобщен в квантовой теории поля и широко применялся
при исследованиях различных механизмов и типов спон-
танного нарушения симметрии [6]. (Отметим, что в тео-
рии ферромагнетизма «источники» имеют реальный фи-
зический смысл бесконечно малого внешнего магнитно-
го поля [29].)
3. Гамильтониан с источниками куперовских пар
и квазисредние
Поскольку в основополагающей работе [28] рассмат-
ривался лишь случай структурно-однородного сверх-
проводника в отсутствие электромагнитных взаимодей-
ствий, использование гамильтониана (14) требует
обобщения определения квазисреднего, а именно:
406 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
0
3 *
lim ,
1... Tr ... , exp , Tr exp ,
1 , ;
2
, 0, 4 0,
t t
t t
t t t e
V
e
Z
Z T T
d
e
+ +
↓ ↓↑ ↑↓↑ ηη →
η η
η η ηη
η
+ +
η ↓ ↑↓↑
η η
ψ ψ = ψ ψ ≡ ψ ψ
− µ − µ
≡ ρ ρ = − = −
= η ψ ψ + η ψ ψ ≡ +
≠ ∇ − π ≠
∫
r r r r r r
A A
A A
A A r r r r r r r A A A
E
H N H N
H H +
H N H , n
(38)
_______________________________________________
где «источник куперовских пар» ( )η = η r — гладкая
комплексная функция координат и || || max | ( ) |
V∈
η = η
r
r .
Отметим, что предельный переход || || 0η → в формуле
(38) выполняется после перехода к термодинамиче-
скому пределу.
Кроме того, в определении квантово-статистического
оператора ηρ , для удобства дальнейшего, явно указана
функциональная зависимость от оператора полного век-
торного потенциала .t e≡ +A A A Этот оператор входит
в определение eH (см. (15)). Только это слагаемое в
исходном гамильтониане H подвергается локальным
калибровочным преобразованиям.
Определению (38) можно придать несколько иную
форму, если разложить полевые операторы αψ по
полной системе нормированных собственных функций
оператора impe b+ +H H H (предварительно положив
0)=A :
( ) ( )n n
n
c uα αψ = ∑r r , (39)
где nc α — оператор уничтожения электрона в состоя-
нии nα . Имеем:
( ) ( ) ( ) ( )
,
n n n n
n n
u u c c′↓ ↓↑ ↑′
′
ψ ψ = ≡∑r r r r
( ) ( )
0 ,
lim n n n n
n n
u u c c′ ↓ ↑′ ηη → ′
≡ ∑ r r . (40)
Отсюда понятно наше требование гладкости потенциа-
лов, входящих в определение операторов bH и
imp :H в полярном представлении для квазисреднего
( ) ( ) ( ) ( ) ( )eiφ
↓ ↓↑ ↑ψ ψ = ψ ψ rr r r r , (41)
оно обеспечивает принадлежность фазы ( )φ = φ r к
классу 2C .
Хотя комплексная функция ( )η = η r в известном
смысле произвольна (см. разд. 3), она не может нару-
шать никаких симметрий гамильтониана, за исключени-
ем калибровочных. Например, если imp 0,b =H = H
( ) constg =r и 0,eA= =A «хорошим» квантовым чис-
лом будет импульс электрона k, и «источник куперов-
ских пар» равен комплексной константе 0eiφη = η , где
η и 0φ не зависят от координат. Отсюда
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0 lim c c↓ ↓ ↓↑ ↑ − ↑ ηη→
ψ ψ = ψ ψ = ∑ k k
k
r r .
Поскольку квазисреднее ↓ ↑〈ψ ψ 〉 дается предель-
ным значением среднего ,η↓ ↑〈ψ ψ 〉 полезно начать с
изучения свойств последнего. Прежде всего, устано-
вим законы преобразования η↓ ↑〈ψ ψ 〉 при унитарных
преобразованиях 1
0 0U U −
η ηρ → ρ и 1U U −
η ψ η ψρ → ρ
(см. определения (22) и (30)):
____________________________________________________
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )1 1
0 0 0 0 0 0 0 0Tr Trt tU U U U− −
η η↓ ↓ ↓↑ ↑ ↑η
ψ ψ = ψ ψ ρ = χ ψ ψ χ χ ρ χ = r r r r A r r A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]00
1
0 0 0 0 0 exp ( 2 )exp 2Tr exp( 2 )Tr ;t i e ti eU U i e−
η − χη − χ↓ ↓↑ ↑
= χ ψ ψ χ ρ = χ ψ ψ ρ r r A r r A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )1 1
1Tr tU U U U− −
ψ ψ ψ η ψ↓ ↓↑ ↑η
ψ ψ = χ ψ ψ χ χ ρ χ = r r r r A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]0
1
exp ( 2 )exp 2Tr exp( 2 ( ))Tr .t i e ti eU U i e−
ψ ψ η − χη − χ↓ ↓↑ ↑
= χ ψ ψ χ ρ − ∇χ = χ ψ ψ ρ − ∇χ r r A r r r A
(42)
_______________________________________________
Запишем источник в полярном представлении:
eiθη = η , где ( )η = η r и ( )θ = θ r . Используя аналог
(41) для ↓ ↑ η
ψ ψ и формулы (42), легко устанавлива-
ем принципиальное равенство: ( ) ( )φ = θr r . Таким об-
разом, фаза ↓ ↑ η
ψ ψ полностью определяется фазой
источника η . Отсюда немедленно следует важный
физический результат.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 407
С.В. Куплевахский
Определим «термодинамический потенциал в при-
сутствии источников»
lnT Zη ηΩ ≡ − , (43)
и вычислим вариационную производную / ( ) :ηδΩ δφ r
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
V
dη + +
↓↑ η
δΩ δη ′
= ψ ψ +′ ′ ′
δφ δφ∫
r
r r r
r r
( ) ( ) ( )
( )
*3 0
V
d ↓ ↑ η
δη ′
+ ψ ψ =′ ′ ′
δφ∫
r
r r r
r
.
С другой стороны, из соотношений (42) следует:
* 1, , ,
2e e eη η
Ω η η = Ω η − ∇φ
A A . (44)
Используя аналог (36), находим:
1 1 0
2 2ee e
ηη
η
δΩδΩ
= − ∇ = ∇ =
δφ δ
j
A
. (45)
Соотношение (45), представляющее собой закон сохра-
нения тока в присутствии источников, есть следствие
двух фактов: равенства θ = φ ; вхождение φ в функцио-
нальный аргумент ηΩ в виде ∇φ (отсутствие функ-
циональной зависимости от нулевой фурье-компоненты
3
0
1 ( ))
V
d
V
φ = φ∫ r r . Наличие закона сохранения (45) ука-
зывает на внутреннюю согласованность развиваемой
теории.
На основании определения (38) имеем
( ) ( ) ( )η
↓ ↑ η
δΩ
= ψ ψ
δ η
r r
r
. (46)
Выполняя функциональное преобразование Лежанд-
ра, перейдем от потенциала | |ηΩ | |
1[| |, ]
2e eη= Ω η − ∇φA к
«эффективному потенциалу» 1[| |, ]
2e eη↓ ↑Ω = Ω 〈ψ ψ 〉 − ∇φA
(ср. с определением «эффективного действия» в кванто-
вой теории поля [4,6,26]):
1 1, ,
2 2e ee eη↓ ↑ η
Ω ψ ψ − ∇φ = Ω η − ∇φ −
A A
( ) ( ) ( )3
V
d ↓ ↑ η
− ψ ψ η∫ r r r r . (47)
В силу общих свойств преобразований Лежандра [30]
варьирование (47) дает
( ) ( )
( ) .
↓ ↑ η
δΩ
= − η
δ ψ ψ
r
r r
(48)
Учитывая определение (38), в отсутствие источни-
ков (|| || 0)η → получим:
| | | |
0
| |
η↓ ↓↑ ↑
η↓ ↑ 〈ψ ψ 〉 = 〈ψ ψ 〉
δΩ
=
δ 〈ψ ψ 〉
. (49)
Иными словами, квазисреднее | |↓ ↑〈ψ ψ 〉 удовлетворяет
условию стационарности эффективного потенциала Ω .
Если бы функциональная зависимость Ω =
1[| |, ]
2e eη↓ ↑= Ω 〈ψ ψ 〉 − ∇φA была известна точно, мы
могли бы найти | |↓ ↑〈ψ ψ 〉 из условия стационарности
(49). Подстановка | |↓ ↑〈ψ ψ 〉 в эффективный потенциал
дала бы непосредственно измеримый термодинамиче-
ский потенциал сверхпроводящей структуры. Хотя оп-
ределение точной функциональной зависимости
1[| |, ]
2e e↓ ↑Ω = Ω 〈ψ ψ 〉 − ∇φA принципиально невоз-
можно, задача допускает простое решение в приближе-
нии среднего поля (см. разд. 5).
4. «Исчезновение» однозначной части фазы
квазисреднего (механизм Хиггса)
Как должно быть ясно из предыдущего, нулевая ком-
понента фазы 0φ среднего η↓ ↑〈ψ ψ 〉 без ущерба для
общности может быть положена равной нулю. (В модели
(1) это, очевидно, соответствует определенному выбору
«вакуума» (3).) Представим теперь фазу ( )φ = φ r сред-
него η↓ ↑〈ψ ψ 〉 в следующем виде: sφ = φ + φ , где
( )φ = φ r — однозначная функция, удовлетворяющая
условию
( )1 0
2
d
Γ
∇φ⋅ =
π ∫ l
(50)
для произвольного замкнутого контура VΓ ∈ , а
( )s sφ = φ r — неоднозначная функция, удовлетворяю-
щая на некоторых замкнутых контурах n VΓ ∈ условию
( )1 , 1, 2,
2
n
s d n n
Γ
∇φ ⋅ = = ± ±
π ∫ l
. (51)
(Напомним [12,13], что контуры nΓ типа существуют
в сверхпроводящих структурах с неодносвязной гео-
метрией и даже односвязных структурах в присутствии
вихрей Абрикосова.) Подчеркнем, что выбор функции
( )φ = φ r пока еще произволен: этот произвол отражает
инвариантность исходного гамильтониана H относи-
тельно локального калибровочного преобразования
1.U Напротив, функцию ( )s sφ = φ r следует считать
заданной.
408 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
Рассмотрим цепочку равенств
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
exp( ( ))Tr
exp( ( ))Tr
2 2 2 2
1exp( ( ))Tr
2 2 2
1Tr
2
t
t
t
t
i
i U U U U
e e e e
i U U
e e e
e
η↓ ↓↑ ↑η
− −
ψ ψ ψ η ψ↓↑
−
ψ ψ η↓↑
η↓↑
ψ ψ = − φ ψ ψ ρ =
φ φ φ φ = − φ ψ ψ ρ =
φ φ = − φ ψ ψ ρ − ∇φ =
= ψ ψ ρ − ∇
r r r r r A
r r r A
r r r A
r r A . φ
(52)
_______________________________________________
Определим функцию ( ),α = α r
заданную во всем
пространстве, достаточно быстро убывающую при
| |→ ∞r и совпадающую с φ для V∈r . Продолжим
преобразование (52):
1
1( ) ( ) Tr ( ) ( )
2
1Tr ( ) ( )
2 2 2
1Tr ( ) ( ) .
2
t
t
t s
e
U U
e e e
e
η↓ ↓↑ ↑η
−
η↓↑
η↓↑
ψ ψ = ψ ψ ρ − ∇φ =
α α = ψ ψ ρ − ∇φ =
= ψ ψ ρ − ∇φ
A A
r r r r A
r r A
r r A
(53)
Объясним проделанные выкладки. На первом этапе
использование унитарного преобразования Uψ под зна-
ком Tr (формулы (52)) позволило нам избавиться от
фазы φ источника η и среднего η↓ ↑〈ψ ψ 〉 . Однако в
гамильтониане eH вместо оператора tA появилась
комбинация 1
2t e
− ∇φA (см. определения (14) и (38)).
На втором этапе мы использовали унитарное преобразо-
вание UA , в результате в гамильтониане 0H вместо
комбинации 1
2t e
− ∇φA осталась лишь комбинация
1
2t se
− ∇φA с неоднозначной (физической) частью фазы.
Чтобы понять, куда «исчезла» однозначная часть
фазы φ из последней строки (53), рассмотрим величи-
ну ( ) ηA r , определяемую как среднее по квантово-
статистическому ансамблю 1
2t eη
ρ − ∇φ
A (см. по-
следнюю строку (52)). Имеем
____________________________________________________
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1
1
1Tr
2
1Tr
2 2 2 2 2
1Tr
2 2 2
1 1Tr
2
t
t
t s
t s
e
U U U U
e e e e e
U U
e e e
e
ηη
− −
η
−
η
η
≡ ρ − ∇φ =
α α α α = ρ − ∇φ =
α α = ρ − ∇φ =
= ρ − ∇φ +
A A A A
A A
A r A r A
A r A
A r A
A r A
( ) 1 .
2 2e eη∇α ≡ + ∇αA r
(54)
С другой стороны, мы еще не использовали остающуюся в выборе ( )φ = φ r калибровочную свободу. Учитывая
представление (19), запишем
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1Tr Tr
2 2t te e⊥ ⊥ η ηη η η
= + ≡ ρ − ∇φ + ρ − ∇φ =
A r A r A r A r A A r A
( ) ( )1 1 11 1Tr Tr
2 2 2 2 2 2 2 2t s tU U U U U U
e e e e e e e e
− − −
⊥ η η
α α χ χ χ χ = ρ − ∇φ + ρ − ∇φ =
A A A A A AA r A A r A
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1Tr ,
2 2 2t e e e⊥ ⊥ηη η η
= + ρ − ∇ φ − χ + ∇χ ≡ + + ∇χ
A r A r A A r A r
(55)
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 409
С.В. Куплевахский
где использована инвариантность 1 .U U −
⊥ ⊥=A AA A
Поскольку величинy | |( ) η〈 〉A r
можно представить в
виде градиента скаляра, всегда можно выбрать функ-
цию ( )χ = χ r
так, чтобы в последней строке (55) вы-
полнялось равенство | |
1( ) 0
2eη〈 〉 + ∇χ =A r
. (Такой вы-
бор χ означает полное устранение остававшейся
калибровочной свободы.)
Полученный только что результат следует сопоста-
вить с результатом последней строки (54), справедли-
вом при любом выборе φ . Отсюда находим
( ) ( ) 1
2e⊥η η= − ∇αA r A r
,
или, после перехода к пределу 0η → ,
( ) ( ) ( ) ( )1
2e⊥ ⊥= − ∇α ≡ +A r A r A r A r
. (56)
Формула (56) представляет собой основной резуль-
тат нашего рассмотрения. Она означает, что однознач-
ная часть фазы сверхпроводящего параметра порядка
«обменивается» на индуцируемую во всем пространст-
ве продольную компоненту векторного потенциала, в
полной аналогии с тем, что происходит в абелевой мо-
дели Хиггса (1).
Уточним теперь, в каком смысле понимается усред-
нение в формуле (56). Согласно введенным выше оп-
ределениям,
_____________________________________________________
( ) ( )
0
1lim Tr
2t seηη →
= ρ − ∇φ
A r A r A
1 1
1 1 2 2exp , Tr exp ,
2
t s t s
t s
e eZ
e Z T T
η η
η η
η
− ∇φ − µ − ∇φ − µ ρ − ∇φ = =
A A
A
H N H N
( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 1 1 ,
2 2 2t s t s
V
d
e e
+ +
η ↓ ↑↓↑
− ∇φ = − ∇φ + η ψ ψ + ψ ψ ∫A A r r r r r rH H
imp em
1 1 .
2 2t s e t s b BCSe e
− ∇φ = − ∇φ + + + +
A AH H H H H H (57)
Ввиду инвариантности A относительно глобального калибровочного преобразования 1
0 0( )U U − =A A в формуле
(57) можно поменять местами операции lim и Tr . В результате получим
( ) ( ) ( )
0
1 1Tr lim Tr ,
2 2t s t se eηη →
= ρ − ∇φ = ρ − ∇φ
A r A r A A r A
1 1
1 1 2 2exp , Tr exp ,
2
t s t s
t s
e eZ
e Z T T
− ∇φ − µ − ∇φ − µ ρ − ∇φ = − = −
A A
A
H N H N
(58)
______________________________________________
где гамильтониан 1
2t se
− ∇φ
AH определен по-
следней строкой (57).
Совершенно очевидно, что усреднение остальных
электродинамических операторов ( en , j , H и )E при
cT T< также сводится к усреднению по большому ка-
ноническому ансамблю 1
2t se
ρ − ∇φ
A . Поэтому
формулы (35)–(35) остаются в силе. В частности, во-
преки имеющимся в литературе утверждениям [31], из
строгого равенства 0=E однозначно следует отсут-
ствие каких-либо статических электрических потен-
циалов в равновесных сверхпроводящих структурах.
5. Приближение среднего поля
Как обычно [10–14], замкнутая система уравнений
теории сверхпроводимости может быть получена толь-
ко в приближении среднего поля. Точные результаты
разд. 3 и 4 позволяют дать строгий и последователь-
ный вывод этих уравнений. Начнем с приближения
среднего поля для величин 1
2t seη η
= − ∇φ
AH H
и 1
2t seη η
Ω = Ω − ∇φ
A .
410 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
Учитывая, что квантовые флуктуации индуциро-
ванного векторного потенциала A малы в меру мало-
сти отношения F
c
v
F(v — скорость Ферми, с — ско-
рость света), в слагаемом 1
2e t se
− ∇φ
AH
гамильтониана 1
2t seη
− ∇φ
AH произведем замену
:MF
e e e ⊥→ + → ≡ +A A A A A
H H , (59)
где средние определяются формулой (56). По-
скольку векторный потенциал внешнего поля eA
удовлетворяет условию поперечности 0e∇ =A , здесь
и далее считаем его включенным в определение ⊥A .
Опустим энергию электромагнитного поля emH . (При
этом считаем, конечно, что уравнения Максвелла (33)
выполняются.)
В слагаемом BCSH , прежде всего, заменим реаль-
ный параметр электрон–электронного взаимодействия
( )g g= r на вспомогательную функцию ( )g gε ε= r
(см. рис. 2), причем в уравнениях среднего поля будет
выполнен предельный переход 0ε → + . Далее рас-
смотрим элементарное тождество
+ + + +
↓ ↓ ↓ ↓↑ ↑ ↑ ↑↓ ↓↑ ↑ η η
ψ ψ ψ ψ = ψ ψ − ψ ψ ψ ψ − ψ ψ +
( ) 2
.+ +
↓ ↓ ↓↑ ↑ ↑↓↑ η η
+ ψ ψ + ψ ψ ψ ψ − ψ ψ (60)
Считая, что первый член в правой части (60) в некото-
ром смысле «мал», приходим к квадратичной (по элек-
тронным операторам рождения и уничтожения) ап-
проксимации для BCSH :
_____________________________________________________
( ) ( ) ( )
2
3
MF
MF
BCS BCS
V
d gε ↓ ↑ η
→ = ψ ψ −
∫ r r r rH H
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
MF
V
d g t t t t+ +
ε ↓ ↓↑ ↑↓↑η
− ψ ψ ψ ψ + ψ ψ ∫ r r r r r r r r . (61)
Чтобы определить среднее | | ,MF
η↓ ↑〈ψ ψ 〉 потребуем выполнения в приближении среднего поля соотношений
(46)–(49). Введем определения
ln , Tr exp
MF
MF MF MFT Z Z
T
η
η η η
− − µ
Ω = − =
H N
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
imp
1 1 .
2 2
MF MF MF
e s b BCS
V
d
e
+ +
↓ ↑η ↓↑
= − ∇φ + + + + η ψ ψ + ψ ψ ∫A r r r r r rH H H H H (62)
Соотношения (46)–(49) будут сохранены, если потенциал MF
ηΩ не зависит от | | ,MF
η↓ ↑〈ψ ψ 〉 :
( ) ( )
0
MF
MF
η
↓ ↑ η
δΩ
=
δ ψ ψr r
. (63)
Отсюда приходим к условию самосогласования:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
1 Tr exp
2
MF
MF
MF TZ
η+ + ε=
↓ ↓↑ ↑↓↑η
η ε=
− µ ψ ψ = ψ ψ + ψ ψ −
r r r r r r
H N
, (64)
где в правой части (64) мы перешли к пределу 0ε → + . (Из приведенного вывода условия самосогласования ясна
роль вспомогательной функции gε : эта функция необходима для возможности взятия вариационной производной
(63) во всей области V, включая несверхпроводящие барьеры.)
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 411
С.В. Куплевахский
Приведенные выше соображения позволяют установить равенство
0 0
1 1 1, , ,
2 2 2
MF MFMF MF MF
s s se e e↓ ↓↑ ↑η = η =
Ω ψ ψ − ∇φ = Ω ψ ψ − ∇φ = Ω − ∇φ
A A A
0
0 0ln , Tr exp
MF
MF MF MF MFT Z Z Z
T
η ε=
η = η =
− µ
Ω = − ≡ = −
H N , (65)
где 0| | | | ,MF MF
η η=↓ ↓↑ ↑〈ψ ψ 〉 ≡ 〈ψ ψ 〉 удовлетворяет условию самосогласования в отсутствие источников
(|| || 0),η →
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
1 Tr exp
2
MF
MF
MF TZ
η+ + ε=
↓ ↓↑ ↑↓↑
ε=
− µ ψ ψ = ψ ψ + ψ ψ −
r r r r r r
H N
. (66)
______________________________________________
Перед взятием следа по электронным полям в фор-
мулах (65) и (66) целесообразно несколько обобщить
только что полученные результаты. Введем с этой це-
лью вещественную непрерывную и неотрицательную
функцию ( )F F= r , где V∈r . Не выполняя пре-
дельный переход 0ε → + и отбрасывая условие само-
согласования (66), определим неравновесный эффек-
тивный потенциал
1,
2 sF
e
Ω = Ω − ∇φ
A формулой
0
1 1, ,
2 2
MF
s sF F
e eη =
Ω − ∇φ = Ω − ∇φ
A A . (67)
В состоянии термодинамического равновесия будем
иметь
( )
( ) ( ) ( )0, .
MF
F F
F
F ↓ ↑
=
δΩ
= = ψ ψ
δ
r r r
r
(68)
След по электронным полям, фигурирующий в оп-
ределении правой части (67), легко вычисляется мето-
дом функционального интегрирования [4–6,26,32,33].
В результате получим:
( ) ( )
231,
2 s
V
F d g F
e ε
Ω − ∇φ = − ∫A r r r
( )1
3 0
1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆTr ln Tr 1 1
2 4 g
T G H−
≡
− + + τ
, (69)
( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ; 1 ,gG H
ε
− ∂ τ − τ = − − δ − δ τ − τ′ ′ ′ ′ ∂τ
r r r r r
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
1 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 1 1
2 2 sg
iH e
mε
= −µτ − ∇ + ∇φ − τ τ +
r r A r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2
1 1ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1 ,
2 2
tU U g Fε+ + τ − − τ − τ σr r r r
( ) ( ) ( )imp 1ˆ ˆ ˆ , 0bU U U
T
≡ + < τ <r r r . (70)
Здесь ˆ ˆ,i iτ σ ( 1, 2,3)i = — матрицы Паули в простран-
стве Горькова–Намбу и в спиновом пространстве соот-
ветственно; 1̂ — единичная матрица 2 2× ; ˆ̂1 — еди-
ничная матрица 4 4× , а выражения ˆ ˆi kτ σ и ˆ ˆˆ ˆ1, 1i iτ σ
следует понимать как прямое произведение соответст-
вующих матриц:
2
1 2
2
0 0 0
ˆ ˆ0 0 0 0ˆ ˆ ,
ˆ 0 0 0ˆ 0
0 0 0
i
i
i
i
−
σ
τ σ ≡ ≡ − σ
3
1 0 0 0
ˆ ˆ1 0 0 1 0 0ˆˆ 1
ˆ ˆ 0 0 1 00 1
0 0 0 1
τ ≡ ≡ − −
−
и т.д.
Последний член в правой части (69) происходит из
необходимости симметризации электронных операто-
ров рождения и уничтожения перед взятием функцио-
нального интеграла (см. по этому поводу [33]).
Спектр интегрального (в смысле теории обобщенных
функций) оператора 1ˆ̂G− , определенного формулами
(70), не содержит нуль, и потому этот оператор имеет
однозначно определенный обратный оператор ˆ̂G , ядро
которого ( )ˆ̂ , '; 'G τ − τr r удовлетворяет условиям
412 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , ; , ; , ; 1 ,
V V
d d G G d d G G
β β
− −τ τ − τ τ − τ = τ τ − τ τ τ − τ = δ − δ τ − τ′ ′ ′ ′ ′ ′∫ ∫ ∫ ∫r r r r r r r r r r r r
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ˆ ˆ, ; , ;1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ; , , , , ; .
ˆˆ , ; , ;
t
G F
G G G
T F G+
τ − τ τ − τ′ ′ ′ ′ τ + = − τ τ − τ =′ ′ ′ ′ τ − τ − τ − τ′ ′ ′ ′
r r r r
r r r r r r
r r r r
(71)
______________________________________________
Условия (71) означают, что ядро ( )ˆ̂ , ;G τ − τ′ ′r r пред-
ставляет собой матричную термодинамическую функ-
цию Грина, удовлетворяющую уравнениям типа урав-
нений Горькова (первая строка (71)): см. [11].
Условие стационарности (68) теперь дает
( ) ( )2
ˆˆSp , ;0
2
TF i F = σ r r r , (72)
где Sp обозначает взятие следа по спиновым индек-
сам. Кроме того, варьирование (69) по A дает на-
блюдаемый ток:
( ) ( )
δΩ
= − =
δ
j r
A r
( ) ( )'
'
ˆlim Sp , ; 0
2
ie T G
m
+
→
= ∇ − ∇ − −′r r
r r
r r
( ) ( )
2
ˆSp , ; 0 .
e
T G
m
+− −
A r
r r (73)
Функции F̂ и Ĝ находятся из решения уравнений
(71), в которых предварительно следует перейти к пре-
делу 0ε → + . Таким образом, уравнения (71)–(73), до-
полненные уравнениями Максвелла 4∇ × = πH j ,
= ∇ ×H A и надлежащими граничными условия-
ми, образуют полную и замкнутую систему и позволя-
ют решить любую задачу теории равновесной сверх-
проводимости. В частности, использование формулы
(69), совместно с условием самосогласования (72), в
простейшем случае структурно-однородного сверх-
проводника в отсутствие примесей и электромагнит-
ных взаимодействий дает известное выражение [13]
для термодинамического потенциала, полученное ме-
тодом канонического преобразования Боголюбова [34].
6. Эффекты Джозефсона без «разности фаз»
Развитая в предыдущих разделах теория относилась в
равной степени как к структурно-однородным сверхпро-
водникам, так и к любым типам сверхпроводящих
структур, содержащих джозефсоновские контакты (при
условии, конечно, что корреляция между электронами с
антипараллельными спинами не будет нарушена внутри
несверхпроводящих барьеров: см. разд. 7). Однако прин-
ципиальный интерес представляет вопрос, что изменится
в интерпретации эффектов Джозефсона в отсутствие
привычной из литературы [14,21,35] «разности фаз».
Без существенного ограничения общности доста-
точно изучить односвязную джозефсоновскую струк-
туру при наличии внешних полей и токов. Более кон-
кретно, рассмотрим (рис. 3) плоско-параллельную джо-
зефсоновскую структуру, однородную вдоль оси z, с
малопрозрачным туннельным барьером толщины d
( [ /2, /2])x d d∈ − и ширины L ( [ /2, /2 ])y L L∈ − . Внеш-
нее магнитное поле eH приложено вдоль оси z. Вдоль
оси x пропускается транспортный ток I . Требуется
определить распределение магнитного поля внутри
барьера ( , ) (0, ) ( )x y y y〈 〉 = 〈 〉 ≡ 〈 〉H H H ( [ /2, /2])x d d∈ −
и максимальный транспортный ток ( ).c c eI I H= .
Если магнитное поле He и ток I слабо влияют на
функцию |F| (параметр сверхпроводящего порядка), с
достаточной точностью справедлива аппроксимация
[32]:
( ) ( ) ( )( )0
'
ˆ ˆ, ; , ; expn nG G ie d=
ω ≈ ω ⋅
∫
r
A A
r
r r r r l A l ,
(74)
где интегрирование ведется по прямой, соединяющей
Рис. 3. Геометрия плоско-параллельного туннельного джо-
зефсоновского контакта (схематически). Здесь He = (0, 0, He)
— внешнее магнитное поле, λ — глубина проникновения
поля в глубь сверхпроводящих берегов, d — толщина тун-
нельного барьера (d << 2λ), L — ширина барьера (0 < L ∞), I
= (I, 0, 0) — заданный транспортный ток.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 413
С.В. Куплевахский
точки r и .′r В силу геометрии задачи (0,0, ).H〈 〉 = 〈 〉H
Пусть магнитное поле H〈 〉 проникает в глубь сверх-
проводящих берегов (вдоль оси x) на глубину λ, опре-
деляемую как
( )
0 0
1 dx H x
H
+∞
λ = ∫ . (75)
Поскольку ( )
/2
/2
L
J
L
I dyj y
−
= ∫ , где ( ) ( )0,J xj y j y≡ —
джозефсоновский ток через контакт, начнем с вычис-
ления Jj . Используя (74) и методику работ [36,37],
находим
( )sin ,J cj j y= Φ
( ) ( )
( )
( )0
0
,
,
2 ,
x y
x
x y
y e d A y
−
Φ = − ξ ξ =∫
( ) ( )
( )
( )0
0
,
,
,
2 ,
x y
x
x y
y
d e A t y⊥
−
∂α ξ
= ξ − ∂ξ
∫ ,
( ) ( ) ( )
( )
( )0
0
,
0 0
,
, , 2 , ,
x y
x
x y
x y x y e d A y⊥
−
= α − α − − ξ ξ∫
(76)
где 0cj > — критический ток [14,21], и 0x λ (см.
рис. 3).
Чтобы найти зависимость 0 0 ( ) ,H H y〈 〉 = 〈 〉 восполь-
зуемся общим определением
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, , ,
, , .
y x
y x
H x y A x y A x y
x y
A x y A x y
x y⊥ ⊥
∂ ∂
= − =
∂ ∂
∂ ∂
= −
∂ ∂
(77)
Проинтегрируем (77) по интервалу 0 0( , )x x x∈ − , пред-
полагая, что 2 dλ :
( )
( )
( )
( )
0
0
,
0
,
, 2
x y
x y
d H y H y
−
ξ ξ ≈ λ =∫
( ) ( )0 0, ,y yA x y A x y⊥ ⊥= − − −
( )
( )
( )0
0
,
,
,
.
x y
x
x y
A y
d
y
⊥
−
∂ ξ
− ξ
∂∫ (78)
Учтем теперь, что в точках 0( , )x y и 0( , )x y− отсутст-
вует компонента сверхпроводящего тока, параллельная
туннельному барьеру, и, следовательно,
( ) ( )0 0, , 0y yA x y A x y= − = . (79)
Отсюда
( ) ( )0
0
,1, ,
2y
x y
A x y
e y⊥
∂α
=
∂
( ) ( )0
0
,1,
2y
x y
A x y
e y⊥
∂α −
− =
∂
. (80)
Теперь вычислим 1
2e y
∂Φ
∂
, используя (80):
( ) ( ) ( )0 0, ,1 1 1
2 2 2
x y x yy
e y e y e y
∂α ∂α −∂Φ
= − −
∂ ∂ ∂
( )
( )
( )0
0
,
,
,x y
x
x y
A y
d
y
⊥
−
∂ ξ
− ξ =
∂∫
( ) ( ) ( )
( )
( )0
0
,
0 0
,
,
, , .
x y
x
y y
x y
A y
A x y A x y d
y
⊥
⊥ ⊥
−
∂ ξ
= − − − ξ
∂∫
(81)
Сравнивая с формулой (78), приходим к результату
Джозефсона [35]:
( ) ( )
0
1
4
y
H y
e y
∂Φ
=
λ ∂
. (82)
(Наш вывод формулы (82) следует сравнить с тем, ко-
торый имеется в литературе [21,35].)
Подставляя (82) в уравнение Максвелла ∇ × 〈 〉 =H
4 ,= π〈 〉j получаем хорошо известное уравнение Фер-
рела–Прэйнджа [21]:
2
2
2 2
1 1sin ,
16J
cJ
d
e jdy
Φ
= Φ λ =
π λλ
, (83)
где Jλ — джозефсоновская глубина проникновения
магнитного поля вдоль туннельного барьера. Полное
и строгое решение этого уравнения при сформулиро-
ванных выше внешних условиях получено в работах
[38–40].
В случае «малых» контактов ( 2 )JL λ в отсутст-
вие внешнего поля собственным полем джозефсонов-
ского тока можно пренебречь [39], и выражение (76)
сводится к классическому результату Джозефсона
( ) ( )0 0sin ,0 ,0J cj j x x = α − α −
, (84)
интерпретируемому в терминах «разности фаз»
[14,21,35]. Если сверхпроводящая структура с тун-
нельным контактом имеет двухсвязную геометрию
(случай СКВИДа), общее выражение для джозефсо-
414 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
новского тока (76) остается в силе, однако теперь ве-
личина ( )yΦ имеет более сложную структуру:
( ) ( ) ( )0 0, ,y x y x yΦ = α − α − −
( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
,
0 0
,
2 , , ,
x y
x s s
x y
e d A y x y x y⊥
−
− ξ ξ + φ − φ −∫ , (85)
где ( ),s s x yφ = φ — неоднозначная функция коорди-
нат, определенная в разд. 4 и имеющая смысл внешне-
го условия.
7. Обсуждение и несколько заключительных
замечаний
В работе показано, что однозначная часть фазы па-
раметра сверхпроводящего порядка (квазисреднего)
↓ ↑〈ψ ψ 〉 трансформируется в определенную во всем
пространстве продольную компоненту векторного по-
тенциала индуцированного магнитного поля. Таким
образом, установлена полная аналогия между эффек-
том Мейсснера в физике сверхпроводимости [12–14] и
механизмом Хиггса [1] в физике высоких энергий [6].
Отправной точкой нашего рассмотрения (разд. 2)
служит микроскопический гамильтониан системы в
присутствии примесей, несверхпроводящих барьеров и
внешнего статического магнитного поля (14). (Обосно-
вание гамильтониана (14) дано в Приложении А.) Отли-
чительная особенность нашего подхода (по сравнению с
подходами, известными из литературы [10–14,21]) —
учет в гамильтониане (14) квантовой природы индуци-
рованного электромагнитного поля. Квантование по-
следнего осуществляется при условии 0 0A = 0(A —
скалярный потенциал), не нарушающем инвариантность
относительно калибровочных преобразований, не зави-
сящих от времени. (Сравнение калибровки 0 0A = с
«традиционной» нековариантной калибровкой 0∇ =A
дано в Приложении Б.)
В разд. 3 мы перешли от гамильтониана (14) к соот-
ветствующему гамильтониану с внешними «источни-
ками куперовских пар» (формулы (38)) и дали строгое
определение параметра сверхпроводящего порядка
↓ ↑〈ψ ψ 〉 как квазисреднего, обобщающее известное
определение Боголюбова для пространственно-одно-
родного случая [28]. В этом же разделе получено стро-
гое доказательство закона сохранения сверхпроводя-
щего тока (формула (45)) и показано, что величина
| |↓ ↑〈ψ ψ 〉 удовлетворяет условию стационарности
термодинамического потенциала (соотношение (49)).
Используя унитарные преобразования (30) под знаком
взятия следа, фигурирующего в определении квантово-
статистических средних ↓ ↑〈ψ ψ 〉 и A , мы получили
алгебраическое доказательство реализации механизма
Хиггса (разд. 4).
Строгие результаты разд. 2–4 послужили основой
для новой вариационной формулировки приближения
среднего поля в разд. 5. В формулы этого раздела вхо-
дят лишь имеющие физический смысл величины
| |↓ ↑〈ψ ψ 〉 , A и (1/2 ) ,se ∇φ а сам вариационный ме-
тод равным образом применим как для структурно-
однородных сверхпроводников, так и для систем, со-
держащих несверхпроводящие барьеры.
В разд. 6 предложена новая, теоретико-полевая, ин-
терпретация эффекта Джозефсона, не использующая
традиционное [14,21,35] понятие «разности фаз», и
рассмотрены некоторые примеры. Как следует их этих
примеров, несмотря на изменение физической интер-
претации (появление продольной компоненты индуци-
рованного векторного потенциала вместо «разности
фаз»), основные физические результаты, относящиеся
к джозефсоновским структурам с неферромагнитными
барьерами (расчеты критического тока [14,21], крити-
ческого поля проникновения джозефсоновскиж вихрей
[38–40], осцилляционных эффектов в СКВИДах [21] и
т.д.) остаются без изменений. (Особый случай джозеф-
соновских контактов с ферромагнитными барьерами,
когда возможно нарушение корреляции между элек-
тронами с антипараллельными спинами [41], требует
отдельного обсуждения.)
Однако наше рассмотрение ясно показывает, что
аргумент синуса в правой части формулы (76), являю-
щийся классической величиной по определению, имеет
чисто электромагнитное происхождение для любых
джозефсоновских структур, с барьерами произвольно-
го типа (в том числе, и ферромагнитного [41]). Кроме
того, в силу предполагаемой гладкости потенциалов
( )g g= r и ˆ ˆ ( )b bU U= r (разд. 2) для существования
линейного интеграла в определении величины ( )yΦ из
формул (76) необходимо и достаточно, чтобы параметр
сверхпроводящего порядка | |↓ ↑〈ψ ψ 〉 не обращался в
нуль нигде в области барьера. (Последнее утверждение
можно рассматривать как строгую математическую
формулировку необходимого и достаточного условия
существования джозефсоновской связи между берега-
ми контакта.)
Автор благодарит всех участников эксперименталь-
ного семинара А.Н. Омельянчука и теоретического
семинара Л.А. Пастура за конструктивное обсуждение.
Приложение А: «Классические» лагранжиан и
гамильтонианы
«Классический» лагранжиан сверхпроводящей струк-
туры с s-волновым типом спаривания в произвольной
калибровке определим следующими формулами:
( ) ( )3
imp em 0e b BCS i
V
e d A t n= + + + + + ∫ r r rL L L L L L ,
(A.1)
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 415
С.В. Куплевахский
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 * *
0
1 ,
2e e e
V
d i t ieA t t ie t ie t ie t ie t
t mα α α α
α
∂ = ψ + ψ − ∇ + + ψ ∇ − − ψ ∂
∑∫ r r r r A r A r r A r A r rL
(A.2)
( ) ( ) ( ) ( )3 imp*
imp
,
b
b
V
d t U U tα αβ αβ β
α β
+ = − ψ + ψ ∑∫ r r r r rL L , (A.3)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 * *1
2BCS
V
d g t t t tα −α −α α
α
= − ψ ψ ψ ψ∑∫ r r r r r rL . (A.4)
( ) ( ) ( )
2
23
em 0
1 .
8 V
t
d A t t
t
∂ = ∇ + − ∇ × π ∂
∫
A r
r r A rL (A.5)
_______________________________________________
Здесь ( )0 ,A Aµ = −A — классический 4-векторный
потенциал индуцированного электромагнитного поля;
αψ и *
αψ — «классические» грассмановы поля, удов-
летворяющие антикоммутационным соотношениям
( ) ( ) ( ) ( )* *, ,t t t tα β α β+ +
ψ ψ = ψ ψ =′ ′ r r r r
( ) ( )*, 0t tα β +
= ψ ψ =′ r r . (A.5)
Считаем, что поля Aµ и αψ , *
αψ заданы на конечном
временном интервале 1 2[ , ],t t t∈ причем выполняются
граничные условия
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1, ,A t A t t tµ µ α α= ψ = −ψr r r r
( ) ( )* *
2 1t tα αψ = −ψr r . (A.6)
Последний член в правой части формулы (A.1) описы-
вает электромагнитное взаимодействие с ионным
«фоном» в модели «желе» [13]. Все остальные обозна-
чения в формулах (A.1)–(A.5) ясны из сравнения с со-
ответствующими обозначениями разд. 2.
Плотность лагранжиана (подынтегральное выраже-
ние в формулах (A.1)–(A.5)) инвариантна относительно
глобального калибровочного преобразования
0 0* * 0e , e , , constie ieχ − χ
α α α αψ → ψ ψ → ψ → χ =A A .
(A.8)
Это свойство приводит к закону сохранения заряда:
0ee
t
∂
+ ∇ =
∂
j
n
, (A.9)
где
( ) ( ) ( )* ,e t t tα α
α
= ψ ψ∑r r rn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *
2
iet t t t t
m α α α α
α
= ψ ∇ψ − ∇ψ ψ −
∑j r r r r r
( ) ( ) ( ) ( )
2
* .e
e t t t
m α α
− + ψ ψ
A r A r r r (A.10)
В отсутствие последнего члена в правой части (A.1)
плотность лагранжиана инвариантна также относи-
тельно локального калибровочного преобразования
( )
* *
0 0
e , e ,
, , .
ie ie
A A t
t
χ − χ
α α α αψ → ψ ψ → ψ
∂χ
→ + ∇χ → − χ = χ
∂
A A r
(A.11)
В общем случае инвариантным относительно преобра-
зования (A.11) будет лишь действие
3
1
t
t
S dt= ∫ L (в силу
граничных условий (A.7)).
Найдем импульсы pψ ,
*
p
ψ
и 0Ap , pA , канониче-
ски сопряженные полям ψ , *ψ и 0A , A :
*
*
*
, 0;p i p
t t
α α
ψ α ψα α
= = ψ = ≡∂ψ ∂ψδ δ∂ ∂
L Lδ δ
0 0
0
10, ,
4 4Ap p AA t
tt
δ δ ∂ = ≡ = = ∇ + = − ∂ ∂ π ∂ πδδ
∂∂
A
A E
A
L L
(A.12)
где символы
t
α∂ψ
δ
∂
δ и *
t
α∂ψ
δ
∂
δ обозначают левую и
правую вариационные производные, соответственно
[5]. Используя (A.12) и определение
416 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
( ) ( ) ( ) ( )3 3
V V
t t
d p t d p t
t tα
α
ψ
α
∂ψ ∂
≡ + −
∂ ∂
∑∫ ∫ A
r A r
r r r rH L,
приходим к «классическому» гамильтониану в произ-
вольной калибровке:
imp eme b BCS= + + + + +H H H H H H
( ) ( ) ( ) ( ) ( )03
0 ,
4 e i
V
t A t
d e t n A t
∇
+ + − π
∫
E r r
r r r rn
(A.13)
( ) ( ) ( )3 *1
2e e
V
d ie t ie t
m α
α
= ∇ + + ψ ×
∑∫ r A r A r rH
( ) ( ) ( )eie t ie tα × ∇ − − ψ A r A r r , (A.14)
( ) ( ) ( ) ( )3 imp*imp
,
,b
b
V
d t U U tα αβ αβ β
α β
+ = ψ + ψ ∑∫ r r r r rH H (A.15)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 **1
2BCS
V
d g t t t tα −α −α α
α
= ψ ψ ψ ψ∑∫ r r r r r rH ,
(A.16)
( ) ( ) ( )23 2
em
1 ,
8
d t t = + ∇ × π ∫ r E r A rH
0 .A
t
∂
= −∇ −
∂
AE (A.17)
Полезно отметить, что при переходе к нековариант-
ной схеме квантования H можно не учитывать по-
следний член в правой части (A.13). Действительно,
первое слагаемое в квадратной скобке допускает ин-
тегрирование по частям, причем проинтегрированный
поверхностный член исчезает в силу предположении о
быстром убывании поля E на пространственной бес-
конечности. Остающееся выражение тождественно
равно нулю как в калибровке 0 0A = , так и в калиб-
ровке 0∇ =A (ввиду наличия операторного закона
Гаусса).
Приложение Б: Сравнение калибровочных условий
0∇ =A и 0 0A =
При использовании калибровки 0∇ =A к кванто-
вым уравнениям Максвелла (23)–(26) добавляется еще
закон Гаусса в операторной форме:
( )4 e ie n∇ = π −E n . (Б.1)
Уравнение (Б.1) позволяет исключить скалярный по-
тенциал 0A :
( ) ( ) ( )3
0
e i
V
d t n
A t e
− ′ ′ ′ =
− ′∫
r r r
r
r r
n
. (Б.2)
Соответственно, квантовый гамильтониан в этой ка-
либровке имеет вид
[ ]0 imp eme e b BCS∇ = ⊥= + + + + +A A AH H H H H H ,
(Б.3)
где
___________________________________________
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 ,
2e e e e
V
d ie t ie t ie t ie t
m
+
⊥ ⊥ α ⊥ α
α
+ = ∇ + + ψ ∇ − − ψ
∑∫A A r A r A r r A r A r rH (Б.4)
а электромагнитная энергия распадается на два слагаемых:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )223 2 3 3
em em
1 ,
8 2
e i e i
C
V V
t n t ned t t d d⊥ ⊥ ⊥
− − ′ ′ ≡ + = + ∇ × + ′ π − ′∫ ∫ ∫
r r r r
r E r A r r r
r r
n n
H H H
.
t
⊥
⊥
∂
= −
∂
A
E (Б.5)
______________________________________________
Операторы ⊥A и / ,t⊥∂ ∂A фигурирующие в формулах
(Б.4) и (Б.5), подчиняются коммутационным соотноше-
ниям двух первых строк (20). Остальные члены гамиль-
тониана (Б.3) такие же, как и в гамильтониане (14).
Покажем теперь, что используемый в этой статье
квантовый гамильтониан H в калибровке 0 0A =
(формула (14)) приводит к такому же значению боль-
шой статистической суммы (32), как и введенный выше
квантовый гамильтониан 0∇ =AH (формула (Б.3)). Бу-
дем исходить из определения уровней энергии , :k NE
, , ,, , , ,k N k N i k N iE N E n N E n= H ,
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 417
С.В. Куплевахский
где операторы, входящие в H , считаем независящи-
ми от времени (т.е. заданными в шредингеровском
представлении).
Разложим вектор-потенциал A и электрическое
поле E на поперечную и продольную составляющие
(ср. (19)):
,⊥ ⊥= + = +A A A E E E
,
где A = A(r) и E = E(r). Учитывая соотношение
( ) ( )3 0
V
d ⊥ =∫ rE r E r
и уравнение на собственные значения
( ) , ,4 , , 4 , ,e k N i i k N ie N E n en N E n∇ − π = − πE n ,
получаем:
, , ,, , , ,k N k N i k N iE N E n N E n= H ,
где
imp eme b BCS C⊥= + + + + +H H H H H H H ,
______________________________________________________
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 1 ,
2e e e
V
d ie ie ie ie
m
+
⊥ α ⊥ α
α
= ∇ + + + ψ ∇ − + − ψ
∑∫ r A r A r A r r A r A r A r r
H
( ) ( ) ( ) ( )3 imp
imp
,
b
b
V
d U U t+
α αβ αβ β
α β
+ = ψ + ψ ∑∫ r r r r rH H ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )31
2BCS
V
d g + +
α −α −α α
α
= − ψ ψ ψ ψ∑∫ r r r r r rH ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )223 2 3 3
em
1 ,
8 2
e i e i
C
V V
n ned d d⊥ ⊥ ⊥
− − ′ ′ + = + ∇ × + ′ π − ′∫ ∫ ∫
r r r r
r E r A r r r
r r
n n
H H
______________________________________________
Как видим, уровни энергии ,k NE могут быть представ-
лены как средние от нового гамильтониана H , в кото-
ром вместо продольной части энергии электрического
поля ( )3 2
V
d∫ rE r
присутствует кулоновская энергия
CH . Фигурирующая в определении eH продольная
переменная A
коммутирует со всеми операторами,
входящими в гамильтониан ,H и может быть устране-
на с помощью унитарного преобразования
[ ] ( ) ( )3exp ,eU ie d vψ ν == ∫ r r rn
( ) ( )31 , , 0
4 V
v d Uψ
∇ ′ = − =′ π − ′∫
A r
r r
r r
N .
Окончательно находим
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1
, , ,, , , ,k N k N i k N iE N E n U U U U N E n− −
ψ ψ ψ ψ= ν ν ν ν =H
, ,, , ,k N k NN E N E∇ == A 0H
где гамильтониан 0∇ =AH дается формулой (Б.3) (с не
зависящими от времени операторами).
Как было указано в разд. 2, калибровка 0 0A = пред-
почтительнее по физически соображениям. Действи-
тельно, если бы мы использовали условие 0∇ =A , во
все формулы разд. 5 вместо комбинации 1
2 se
− ∇φA
входила бы комбинация
1
2e⊥ − ∇φA , (Б.6)
содержащая нефизическую однозначную часть фазы φ
( )sφ = φ + φ . Кроме того, выражение (Б.6) противоре-
чило бы физической интерпретации эффекта Мейссне-
ра как «приобретение фотоном массы» [4–5,9], по-
скольку полный векторный потенциал содержал бы
лишь две независимые компоненты ( ).⊥〈 〉 = 〈 〉A A
Заметим, наконец, что условие электронейтрально-
сти (35) в калибровке 0∇ =A не получается автомати-
чески из усреднения 0 /A t= −∇ − ∂ ∂E A по большому
каноническому ансамблю. Выполнение этого условия
следует потребовать дополнительно, чтобы согласо-
вать результат с ситуацией при 0 0A = .
1. P.W. Higgs, Phys. Rev. Lett. 13, 508 (1964).
2. F. Englert and R. Brout, Phys. Rev. Lett. 13, 321 (1964).
3. G.S. Guralnik, C.R. Hagen, and T.W.B. Kibble, Phys. Rev.
Lett. 13, 585 (1964).
418 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
Механизм Хиггса в сверхпроводящих структурах
4. J.C. Taylor, Gauge Theories of Weak Interactiond, Cam-
bridge University Press, Cambridge (1976).
5. L.H. Ryder, Qantum Field Theory, Cambridgr University
Press, Cambridge (1985).
6. S. Weinberg, Quantum Theory of Fields, vol.1, 2, Cambridgr
University Press, Cambridge (1996).
7. G. Aad et al. (ATLAS Collab.), Phys. Lett. B 716, 1 (2012).
8. S. Chatrchyan et al. (CMS Collab.), Phys. Lett. B 716, 30
(2012).
9. Д.А. Киржниц, УФН, 125, 169 (1978).
10. J. Bardeen, L.N. Cooper, and J.R. Schrieffer, Phys. Rev. 108,
1175 (1957).
11. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский,
Методы квантовой теории поля в статистической
физике, Фивматгиз, Москва (1962).
12. J.R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Benjamin, New
York (1964).
13. P.G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys,
Benjamin, New York (1966).
14. А.В. Свидзинский, Пространственно-неоднородные
задачи теории сверхпроводимости, Наука, Москва (1982).
15. D. Sherman et al., Nature Phys. 11, 188 (2015).
16. P.B. Littlewood and C.M. Varma, Phys. Rev. B 26, 4883
(1982).
17. T. Cea et al., Phys. Rev. B 89, 174506 (2014).
18. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц, Теория поля, Наука, Москва
(1973).
19. В.Л. Гинзбуρг, Л.Д. Ландау, ЖЭТФ 20, 1064 (1950).
20. В.Л. Гинзбург, Г.Ф. Жарков, УФН 125, 19 (1978).
21. A. Barone and G. Paterno, Physics and Applications of the
Josephson Effect, Wiley, New York (1982).
22. S.V. Kuplevakhsky and S.V. Naydenov, Phys. Rev. B 56,
2764 (1997).
23. Yu.A. Izyumov and Yu.N. Skryabin, Phys. Status Solidi B
61, 9 (1974).
24. L.C. Young, Lectures on the Calculus of Variations and
Optimal Control Theiry, Saunders, Philadelphia (1969).
25. C. Kittel, Quantum Theiry of Solids. Wiley, New York
(1963).
26. P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, Benjamin,
London (1981).
27. P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4th
Ed, Clarendon, Oxford (1958).
28. Н.Н. Боголюбов, Квазисредние в задачах статисти-
ческой механики, Препринт R-1451, Дубна (1963).
29. R. Brout, Phase Transitions, University of Brussels, New
York (1965).
30. C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics,
University of Toronto, Toronto (1962).
31. S.J. Putterman, Superfluid Hydrodynamics, North-Holland,
Amsterdam (1974).
32. В.Н. Попов, Континуальные интегралы в квантовой
теории поля и статистической физике, Атомиздат,
Москва (1976).
33. Ф.А. Березин, УФН 139, 497 (1980).
34. Н.Н. Боголюбов, ДАН СССР 119, 224 (1958).
35. B.D. Josephson, Adv. Phys. 14, 419 (1965).
36. S.V. Kuplevakhsky, S.V. Naydenov, and A.A. Galiautdinov,
Phys. Rev. B 56, 7858 (1997).
37. S.V. Kuplevakhsky, A.V. Naduev, and S.V. Naydenov,
Superlattices and Microstructures 25, 819 (1999).
38. S.V. Kuplevakhsky and A.M. Glukhov, Phys. Rev. B 73,
024513 (2006).
39. S.V. Kuplevakhsky and A.M. Glukhov, Phys. Rev. B 76,
174515 (2007).
40. S.V. Kuplevakhsky and A.M. Glukhov, Fiz. Nizk. Temp. 36,
1253 (2010) [Low Temp. Phys. 36, 1012 (2010)].
41. С.В. Куплевахский, И.И. Фалько, ТМФ 67, 252 (1986);
ТМФ, 84, 146 (1990); ТМФ 86, 272 (1991).
The Higgs mechanism in superconducting structures
S.V. Kuplevakhsky
It is shown that in equilibrium superconducting
structures with s-wave-type pairing the single-valued
part of the complex order parameter (quasi-average)
áψψ¯ñ is transformed into the longitudinal component
of the vector potential as in the Abelian Higgs model
of the relativistic field theory. The consideration is
based on the microscopic Hamiltonian of the system in
the presence of an external static magnetic field and
infinitesimally small sources of Cooper pairs. The
presence of impurities and non-superconducting barri-
ers is envisaged and quantum nature of the induced
electromagnetic field is also taken into account. The
quantization of the latter is carried out under the con-
dition A0 = 0 (with A0 being the scalar potential),
which does not violate invariance with respect to
gauge transformations that do not depend on time. Ex-
act relations determining the quasi-average áψψ¯ñ are
established. These relations play a key role in a new
derivation of the mean-field equations that is presented
in the paper. On the basis of the obtained results, a
new physical interpretation of the Josephson effect
(without “phase differences») is proposed and some
consequences are discussed.
PACS: 74.20.Fg BCS theory and its development;
11.15.Ex Spontaneous breaking of gauge
symmetries;
74.50.+r Tunneling phenomena; Josephson
effects.
Keywords: superconductivity, Higgs mechanism, Jo-
sephson effect.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 419
1. Введение: основные физические идеи
2. Исходная микроскопическая модель
3. Гамильтониан с источниками куперовских пар и квазисредние
4. «Исчезновение» однозначной части фазы квазисреднего (механизм Хиггса)
5. Приближение среднего поля
6. Эффекты Джозефсона без «разности фаз»
7. Обсуждение и несколько заключительных замечаний
Приложение А: «Классические» лагранжиан и гамильтонианы
Приложение Б: Сравнение калибровочных условий и
|