Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника
Теоретически изучено прохождение терагерцевой электромагнитной волны поперечно-магнитной поляризации через одномерный фотонный кристалл конечной толщины, содержащий дефект в виде пластины слоистого сверхпроводника, сверхпроводящие слои которого ортогональны слоям фотонного кристалла. Получено аналит...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129521 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, Н.M. Maкаров, В.А. Ямпольский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 7. — С. 1059-1066. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859466838542385152 |
|---|---|
| author | Апостолов, C.C. Maкаров, Н.M. Ямпольский, В.А. |
| author_facet | Апостолов, C.C. Maкаров, Н.M. Ямпольский, В.А. |
| citation_txt | Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, Н.M. Maкаров, В.А. Ямпольский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 7. — С. 1059-1066. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Теоретически изучено прохождение терагерцевой электромагнитной волны поперечно-магнитной поляризации через одномерный фотонный кристалл конечной толщины, содержащий дефект в виде пластины слоистого сверхпроводника, сверхпроводящие слои которого ортогональны слоям фотонного кристалла. Получено аналитическое выражение для коэффициента прохождения и показано, что
прозрачность в запрещенной зоне фотонного кристалла может быть существенно усилена за счет резонансного возбуждения локализованных на дефекте мод.
Теоретично вивчено проходження терагерцової електромагнітної хвилі поперечно-магнітної поляризації
через одновимірний фотонний кристал кінцевої товщини, що містить дефект у вигляді пластини шаруватого надпровідника, надпровідні шари якого ортогональні шарам фотонного кристалу. Отримано аналітичний
вираз для коефіцієнта проходження та показано, що прозорість в забороненій зоні фотонного кристала може бути істотно посилена за рахунок резонансного збудження локалізованих на дефекті мод.
Transmission of a TM-polarized terahertz wave through a 1D photonic crystal of finite thickness containing a defect consisting of a layered-superconductor plate with the superconducting layers orthogonal to the layers of the photonic crystal is studied theoretically. An analytical expression for the transmittance is derived. It is shown that the transparency in the band gap of the photonic crystal can be significantly enhanced due to the resonant excitation of the modes localized on the defect.
|
| first_indexed | 2025-11-24T06:21:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 7, c. 1059–1066
Резонансная прозрачность фотонного кристалла
с дефектом в виде слоистого сверхпроводника
C.C. Апостолов1,2, Н.M. Maкаров1,3, В.А. Ямпольский1,2
1Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова НАН Украины, г. Харьков, 61085, Украина
E-mail: yam@ire.kharkov.ua
2Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, г. Харьков, 61022, Украина
3Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, Pue. 72000, México
Статья поступила в редакцию 31 января 2017 г., опубликована онлайн 25 мая 2017 г.
Теоретически изучено прохождение терагерцевой электромагнитной волны поперечно-магнитной по-
ляризации через одномерный фотонный кристалл конечной толщины, содержащий дефект в виде пла-
стины слоистого сверхпроводника, сверхпроводящие слои которого ортогональны слоям фотонного кри-
сталла. Получено аналитическое выражение для коэффициента прохождения и показано, что
прозрачность в запрещенной зоне фотонного кристалла может быть существенно усилена за счет резо-
нансного возбуждения локализованных на дефекте мод.
Теоретично вивчено проходження терагерцової електромагнітної хвилі поперечно-магнітної поляризації
через одновимірний фотонний кристал кінцевої товщини, що містить дефект у вигляді пластини шарувато-
го надпровідника, надпровідні шари якого ортогональні шарам фотонного кристалу. Отримано аналітичний
вираз для коефіцієнта проходження та показано, що прозорість в забороненій зоні фотонного кристала мо-
же бути істотно посилена за рахунок резонансного збудження локалізованих на дефекті мод.
PACS: 74.72.–h Купратные сверхпроводники;
78.67.Pt Мультислои, сверхрешетки, фотонные структуры, метаматериалы;
42.70.Qf Фотонные материалы с запрещенной зоной;
78.67.–n Оптические свойства низкоразмерных, мезоскопических и наноматериалов и структур.
Ключевые слова: фотонный кристалл, слоистый сверхпроводник, многослойные метаматериалы, оптиче-
ские свойства.
Наука и техника терагерцевых волн начала активно
развиваться начиная с 1960-х годов, когда стали доступ-
ны первые источники и приемники такого излучения. В
последнее время это бурно развивающееся направление
имеет большие перспективы использования в физике,
химии, астрономии, системах безопасности, медицин-
ской диагностике, контроле окружающей среды. Одним
из перспективных материалов для фотоники терагерце-
вого диапазона могут выступать высокотемпературные
сверхпроводники (см., например, [1,2]), имеющие слои-
стую структуру с сильной одноосной анизотропией, на-
пример, кристаллы Bi2Sr2CaCu2O8+δ или YBa2Cu3O7–δ.
Такие структуры состоят из тонких слоев сверхпро-
водника (с толщиной 0,2 нм для Bi2Sr2CaCu2O8+δ),
разделенных более толстыми слоями диэлектрика с
толщиной 1,5 нм. Экспериментальные исследования
проводимости поперек слоев, т.е. вдоль кристаллогра-
фической оси c (см., например, [3,4]), показали, что
сверхпроводящие слои в таких структурах электроди-
намически связаны между собой за счет внутреннего
эффекта Джозефсона, что привело к возникновению
названия для сильно анизотропной плазмы в слоистых
сверхпроводниках — джозефсоновская плазма, а возбу-
ждения в такой плазме стали называть джозефсонов-
скими плазменными волнами [1,5–11].
Как и волны в обычной плазме, джозефсоновские
плазменные волны распространяются при частотах,
превышающих пороговую частоту — джозефсонов-
скую плазменную частоту Jω . В работах [12–14] было
показано, что вдоль границы слоистого сверхпровод-
ника могут распространяться поверхностные колеба-
ния — джозефсоновские поверхностные плазменные
волны, подобно тому, как вдоль границы обычной
плазмы могут распространяться поверхностные плаз-
моны. Однако, в отличие от обычной плазмы, поверх-
ностные волны в слоистых сверхпроводниках могут
© C.C. Апостолов, Н.M. Maкаров, В.А. Ямпольский, 2017
mailto:yam@ire.kharkov.ua
C.C. Апостолов, Н.M. Maкаров, В.А. Ямпольский
распространяться с частотами не только ниже, но и
выше джозефсоновской плазменной частоты [12].
Аналогично поверхностным волнам в полубеско-
нечном слоистом сверхпроводнике, в пластинах слои-
стого сверхпроводника также могут распространяться
волны, которые локализованы на пластине и затухают
вне ее при удалении от поверхности. В работе [15] тео-
ретически изучены такие волны для случая, когда
сверхпроводящие слои параллельны, а в работе [16] —
перпендикулярны граням пластины. Поскольку про-
дольная abε и поперечная cε компоненты тензора эф-
фективной диэлектрической проницаемости, см. урав-
нение (1), могут иметь разные знаки в широком
диапазоне частот, дисперсия таких волн оказывается
аномальной [16]. Более того, сильная анизотропия мо-
жет приводить к отрицательному преломлению объем-
ных электромагнитных волн [12,17].
В настоящей работе мы теоретически исследуем про-
хождение терагерцевых волн через одномерный бинар-
ный фотонный кристалл с дефектом в виде пластины
слоистого сверхпроводника. Показано, что в бесконечном
кристалле с таким дефектом могут существовать волны,
локализованные на дефекте и распространяющиеся вдоль
него. Нами получены общие дисперсионные соотноше-
ния для этих волн. За счет резонансного возбуждения
локализованных на дефекте волн прозрачность фотонно-
го кристалла конечной толщины в запрещенной зоне мо-
жет быть существенно усилена. В работе получены ана-
литические выражения для коэффициента прохождения
поперечно-магнитной (ТМ) поляризованной волны, а для
случая резонансного усиления получен упрощенный ре-
зультат, показывающий влияние локализованных мод на
прохождение электромагнитной волны.
Статья построена следующим образом. Во втором
разделе обсуждается постановка задачи и геометрия
системы. В третьем разделе определяется распределение
электромагнитного поля в фотонном кристалле и де-
фектном слое, и на его основе вычисляются трансфер-
матрицы элементарной ячейки кристалла и ячейки с
дефектом. Четвертый раздел посвящен выводу диспер-
сионного соотношения для локализованных на дефекте
мод. И, наконец, в пятом разделе получены аналитиче-
ские выражения для коэффициента прохождения волн в
резонансном и нерезонансном случаях, а также прове-
дена численная симуляция для проверки полученных
результатов.
1. Постановка задачи
Мы исследуем прохождение электромагнитной
волны сквозь фотонный кристалл, который содержит
дефект в виде пластины слоистого сверхпроводника,
см. рис. 1. Фотонный кристалл состоит из двух чере-
дующихся, a и b , немагнитных диэлектрических слоев
c толщинами ad и bd и диэлектрическими проницае-
мостями aε и bε соответственно. Дефект c представля-
ет собой пластину толщиной cd , которая заменяет
один из b -слоев фотонного кристалла, и, в свою оче-
редь, состоит из чередующихся слоев изолятора и
сверхпроводника, расположенных под прямым углом к
слоям фотонного кристалла.
Система координат выбрана следующим образом: ось
x направлена перпендикулярно слоям фотонного кри-
сталла, ось z сонаправлена c кристаллографической осью
c и перпендикулярна слоям в слоистом сверхпроводнике,
а ось y параллельна всем указанным слоям.
При описании взаимодействия электромагнитной
волны частоты ω с дефектом мы будем считать про-
странственный масштаб изменения поля вдоль оси z
существенно бóльшим периода структуры слоистого
сверхпроводника. Это позволяет перейти к контину-
альному пределу и описывать электродинамику слои-
стого сверхпроводника в терминах эффективного тен-
зора диэлектрической проницаемости [17], который
имеет следующий вид:
2
2( ) = ( ) = 1 ,xx yy c
γ
ε Ω ε Ω ε − Ω
2
1( ) = 1 .zz c
ε Ω ε −
Ω
(1)
Здесь Ω — частота волны, нормированная на джозеф-
соновскую плазменную частоту Jω ,
= / ,JΩ ω ω (2)
1/2= (8 / )J c ceJ Dω π ε , cJ — максимальная плотность
джозефсоновского тока, cε и D — диэлектрическая про-
ницаемость и толщина слоев изолятора в слоистом
Рис. 1. Геометрия задачи. Фотонный кристалл, состоящий из
чередующихся диэлектрических слоев a и b, содержит дефект c
в виде пластины слоистого сверхпроводника, слои которого
перпендикулярны слоям фотонного кристалла. Стрелки схема-
тически показывают направление распространения волн с ам-
плитудами nA± , nB± и C± внутри слоев типа ,a b и c .
1060 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 7
Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника
сверхпроводнике; e — элементарный заряд. Кроме того,
электродинамика слоистого сверхпроводника характери-
зуется лондоновскими глубинами проникновения вдоль,
1/2= /c J ccλ ω ε , и поперек, abλ , сверхпроводящих слоев.
В дальнейшем мы предполагаем, что ab cλ << λ , т.е. па-
раметр анизотропии велик, = / 1c abγ λ λ >> .
В настоящей работе мы исследуем электромагнит-
ные волны TM-поляризации, электрическая E и маг-
нитная H, компоненты которых определяются сле-
дующим образом:
( , , ) = { ( ),0, ( )}exp[ ( )],x z zx z t E x E x i k z t−ωE
( , , ) = {0, ( ),0}exp[ ( )],y zx z t H x i k z t−ωH (3)
где zk обозначает z-проекцию волнового вектора k,
характеризующую угол распространения волны отно-
сительно слоев фотонного кристалла.
2. Трансфер-матрицы фотонного кристалла
с дефектом
2.1. Трансфер-матрица элементарной ячейки
фотонного кристалла
Мы начнем с вычисления трансфер-матрицы эле-
ментарной ячейки фотонного кристалла. Уравнения
Максвелла дают простое дифференциальное уравнение
для магнитного поля ( )yH x TM-поляризованной вол-
ны (3) в каждом из диэлектрических слоев, a и b ,
2 ,
2 , 2 2
, , , 02 = 0, = ,
a b
y a b
a b y a b a b z
d H
k H k k k
dx
+ ε − (4)
а также связь компонент ,a b
xE и ,a b
zE электрического
поля с полем ,a b
yH :
,
, , ,
, 0 , 0
1= , = .
a b
ya b a b a bz
x y z
a b a b
dHkE H E i
k k dxε ε
(5)
Здесь 0 = /k cω , а верхний индекс a или b у компонент
электромагнитного поля обозначает тип диэлектриче-
ского слоя. В дальнейшем мы полагаем, что x-про-
екции волнового вектора ak и bk в слоях a и b , соот-
ветственно, являются вещественными, 1/2
0 ,<z a bk k ε .
Общее решение уравнения (4) для магнитного поля
и выражения для компонент электрического поля внутри
n-й элементарной ( , )a b -ячейки представляются в виде
суперпозиции бегущих вперед и назад плоских волн:
= exp[ ( )]any n a an
H A ik x x+ − +
exp[ ( )],n a an
A ik x x−+ − − (6a)
0
= { exp[ ( )]a anz n a ana
k
E A ik x x
k
+− − −
ε
exp[ ( )]},n a an
A ik x x−− − − (6b)
внутри слоя na , при a bn n
x x x≤ ≤ , и
= exp[ ( )]bny n b bn
H B ik x x+ − +
exp[ ( )],n b bn
B ik x x−+ − − (6c)
0
= { exp[ ( )]b bnz n b bnb
k
E B ik x x
k
+− − −
ε
exp[ ( )]},n b bn
B ik x x−− − − (6d)
внутри слоя nb , при
1b an n
x x x
+
≤ ≤ . Здесь nA± и nB± —
комплексные амплитуды бегущих вперед ( )+ и назад
( )− волн. Координаты an
x и bn
x обозначают левые
границы слоев na и nb , соответственно, и n нумерует
ячейки, см. рис. 1. При этом
1
= , = .b a a a b bn n n n
x x d x x d
+
− − (7)
На границах соседних слоев = bn
x x и
1
= an
x x
+
тан-
генциальные компоненты электрического и магнитно-
го полей должны быть непрерывны,
1
1 1
( ) = ( ), ( ) = ( ),b a b an n n ny b y b y a y an n n n
H x H x H x H x+
+ +
1
1 1
( ) = ( ), ( ) = ( ).b a b an n n nz b z b z a z an n n n
E x E x E x E x+
+ +
(8)
Применяя эти граничные условия к решению (6), мы
можем записать связь между амплитудами в a и b сло-
ях с использованием трансфер-матриц:
( ) ( )
( ) ( )
= ,
ab ab
n n
ab ab
n n
B AQ Q
B AQ Q
+ +
++ +−
− −
−+ −−
(9a)
( ) ( )
1
( ) ( )
1
= .
ba ba
n n
ba ba
n n
A BQ Q
A BQ Q
+ +
+ ++ +−
− −
+ −+ −−
(9b)
Трансфер-матрица ( )ˆ abQ определяет прохождение вол-
ны от левой границы an
x слоя na до левой границы bn
x
слоя nb , а трансфер-матрица ( )ˆ baQ — от левой границы
bn
x слоя nb до левой границы
1an
x
+
слоя 1na + . Их эле-
менты могут быть записаны в виде
( ) 1= 1 exp ( ),
2
ab a b
a
b a
k
Q i
k++
ε
+ ϕ ε
(10a)
( ) 1= 1 exp( ),
2
ab a b
a
b a
k
Q i
k+−
ε
− − ϕ ε
(10b)
( ) 1= 1 exp ( ),
2
ba b a
b
a b
k
Q i
k−+
ε
− ϕ ε
(10c)
( ) 1= 1 exp ( ).
2
ba b a
b
a b
k
Q i
k−−
ε
+ − ϕ ε
(10d)
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 7 1061
C.C. Апостолов, Н.M. Maкаров, В.А. Ямпольский
Здесь aϕ и bϕ — сдвиги фазы волны, прошедшей слои
a и b соответственно,
, , ,= .a b a b a bk dϕ (11)
Недостающие в (10) элементы трансфер-матриц легко
получаются из приведенных перестановкой индексов,
a b↔ .
Уравнения (9) определяют взаимосвязь амплитуд
nA± и 1nA±
+ в двух последовательных, n-й и ( 1)n + -й,
элементарных ( , )a b ячейках,
1
1
= .n n
n n
A AQ Q
Q QA A
+ +
+ ++ +−
− −−+ −−+
(12)
Матрица ( ) ( )ˆ ˆ ˆ= ba abQ Q Q описывает прохождение волны
сквозь n-ю элементарную ( , )a b ячейку, т.е., от левой
границы an
x слоя na до левой границы
1an
x
+
слоя 1na + .
Ее элементы могут быть записаны в виде
= (cos sin )exp ( ),b b aQ i i++ +ϕ + α ϕ ϕ (13a)
= sin exp ( ),b aQ i i+− −α ϕ − ϕ (13b)
= sin exp ( ),b aQ i i−+ −− α ϕ ϕ (13c)
= (cos sin )exp ( ),b b aQ i i−− +ϕ − α ϕ − ϕ (13d)
где
1= .
2
b a a b
a b b a
k k
k k±
ε ε
α ± ε ε
(14)
Обратим внимание на то, что определитель матри-
цы Q̂ равен 1,
ˆdet = = 1.Q Q Q Q Q++ −− +− −+− (15)
Собственные числа трансфер-матрицы Q̂ могут
быть записаны в виде exp( )i± µ , где µ — так называе-
мая фаза Блоха. Она связана с элементами матрицы
следующим образом:
1cos = ( ) =
2
Q Q++ −−µ +
= cos cos sin sin .a b a b+ϕ ϕ −α ϕ ϕ (16)
Следует отметить, что правая часть уравнения (16)
всегда вещественна. В зависимости от ее значения фа-
за Блоха µ может быть чисто вещественной, если
| cos | < 1µ , чисто мнимой, если cos > 1µ , или комплекс-
ной с вещественной частью равной ±π, если cos < 1µ − .
Таким образом, возникает зонная структура спектра
( )µ ω : интервалы частот, где величина ( )µ ω веществен-
на, называются зонами прохождения волны, а интерва-
лы ω, где ( )µ ω становится комплексной, — спектраль-
ными щелями или зонами отражения.
2.2. Трансфер-матрица дефекта из слоистого
сверхпроводника
Как видно на рис. 1, мы рассматриваем бинарную
систему, в которой один из b -слоев, а именно слой 0b ,
заменен на пластину c слоистого сверхпроводника
толщины cd , чья электродинамика определяется силь-
но анизотропным тензором диэлектрической прони-
цаемости с компонентами (1). При этом мы будем
предполагать, что частота волны не слишком велика,
Jω << γω (Ω << γ).
Решая в пределе 1γ >> уравнения Максвелла для
ТМ-поляризованной волны,
0= ,
c
y c
zz z
dH
ik E
dx
− ε
0= ,c cxx
y x
z
k
H E
k
ε
(17)
0= ,
c
c cz
z x y
dEk E i k H
dx
+
где xxε и zzε определены уравнением (1), мы получаем
выражения для тангенциальных компонент электро-
магнитного поля в следующем виде:
= exp[ ( )] exp[ ( )],c
y c c c cH C ik x x C ik x x+ −− + − −
= { exp[ ( )] exp[ ( )]},c
z c c c cE C ik x x C ik x x+ −Ω
− − − − −
Ω ε
(18)
где
1 2= , = 1.c ck −λ Ω Ω Ω − (19)
На границах дефекта c с соседними a-слоями танген-
циальные компоненты электромагнитного поля долж-
ны быть непрерывны,
0 1
1 1
( ) = ( ), ( ) = ( ),a ac c
y c y c y a y aH x H x H x H x (20a)
0 1
1 1
( ) = ( ), ( ) = ( ),a ac c
z c z c z a z aE x E x E x E x (20b)
где
0
=c bx x и
1ax обозначают левые границы последо-
вательных слоев c и 1a соответственно, см. рис. 1. При
этом
0 1
= , = .c a a a c cx x d x x d− − (21)
Применяя граничные условия (20) к решениям (6) и
(18), получаем следующие матричные соотношения:
( ) ( )
0
( ) ( )
0
= ,
ac ac
ac ac
AQ QC
AQ QC
++
++ +−
−−
−+ −−
(22a)
( ) ( )
1
( ) ( )
1
= .
ca ca
ca ca
A Q Q C
A Q Q C
+ +
++ +−
− −
−+ −−
(22b)
1062 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 7
Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника
Элементы трансфер-матриц ( )ˆ acQ и ( )ˆ caQ могут
быть записаны в виде
( )
2
1= 1 exp ( ),
2
ac a c c
a
a
k
Q i++
λ Ωε
+ ϕ Ω ε
(23a)
( )
2
1= 1 exp ( ),
2
ac a c c
a
a
k
Q i+−
λ Ωε
− − ϕ Ω ε
(23b)
( )
2
1= 1 exp ( ),
2
ac a c c
a
a
k
Q i−+
λ Ωε
− ϕ Ω ε
(23c)
( )
2
1= 1 exp ( ),
2
ac a c c
a
a
k
Q i−−
λ Ωε
+ − ϕ Ω ε
(23d)
2
( ) 1= 1 exp ( ),
2
ca a
c
a c c
Q i
k++
Ω ε
+ ϕ λ Ωε
(23e)
2
( ) 1= 1 exp ( ),
2
ca a
c
a c c
Q i
k+−
Ω ε
− − ϕ λ Ωε
(23f)
2
( ) 1= 1 exp ( ),
2
ca a
c
a c c
Q i
k−+
Ω ε
− ϕ λ Ωε
(23g)
2
( ) 1= 1 exp ( ),
2
ca a
c
a c c
Q i
k−−
Ω ε
+ − ϕ λ Ωε
(23h)
где 1= =c c c c ck d d −ϕ λ Ω .
Трансфер-матрица ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ=c ca acQ Q Q описывает про-
хождение волны сквозь ячейку, содержащую дефект,
т.е. от левой границы
0ax слоя 0a до левой границы
1ax
слоя 1a ,
( ) ( )
01
( ) ( )
01
= .
c c
c c
AA Q Q
AA Q Q
++
++ +−
−−
−+ −−
(24)
Она имеет следующие компоненты:
( ) = (cos sin )exp ( ),c
c c aQ i i++ +ϕ + β ϕ ϕ (25a)
( ) = sin exp ( ),c
c aQ i i+− −β ϕ − ϕ (25b)
( ) = sin exp ( ),c
c aQ i i−+ −− β ϕ ϕ (25c)
( ) = (cos sin )exp ( ),c
c c aQ i i−− +ϕ − β ϕ − ϕ (25d)
где
2
2
1= .
2
a a c c
a c c a
k
k±
Ω ε λ Ωε
β ± λ Ωε Ω ε
(26)
Для этой трансфер-матрицы так же, как и для матрицы
Q̂, выполняется условие унимодулярности,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆdet = = 1.c c c c cQ Q Q Q Q++ −− +− −+− (27)
3. Собственные локализованные моды в фотонном
кристалле с дефектом
Прежде чем изучать прохождение волн сквозь фо-
тонный кристалл конечного размера, обратим внима-
ние на спектр локализованных мод в бесконечном фо-
тонном кристалле с дефектом. В дальнейшем будет
показано, что существенное усиление прозрачности в
запрещенной зоне фотонного кристалла будет наблю-
даться именно в тех условиях, когда происходит резо-
нансное возбуждение локализованных мод.
Для того чтобы вывести дисперсионное соотноше-
ние для локализованных мод на дефекте, предполо-
жим, что частота Ω соответствует запрещенной зоне
фотонного кристалла, т.е. фаза Блоха µ (см. уравнение
(16) и комментарий к нему) содержит мнимую часть, а
ее реальная часть равна mπ , где m — целое число,
= , > 0.m iµ π+ ψ ψ (28)
В этом случае собственные значения трансфер-
матрицы Q̂ становятся вещественными: exp ( ) =i± µ
= ( 1) exp ( )m− ψ , а их абсолютные значения не равны 1.
В этом случае электромагнитное поле локализованных
мод экспоненциально убывает при удалении от дефек-
та, т.е. можно считать, что амплитуды полей в слоях,
отстоящих на 1n >> элементарных ячеек от дефекта, в
exp ( )nψ меньше амплитуд полей вблизи дефекта,
1 0| | | | | | exp ( ).n nA A A n± ± ±
+ − − ψ (29)
Амплитуды nA±
− и 1nA±
+ связаны между собой с по-
мощью трансфер-матриц элементарной ячейки и де-
фекта:
1 ( )
1
ˆ ˆ ˆ= .n nn c n
n n
A A
Q Q Q
A A
+ +
+ −
− −
+ −
(30)
Применим к этому соотношению жорданово разложе-
ние трансфер-матрицы Q̂,
1ˆ ˆ ˆˆ= ,Q S S− Λ (31)
где Λ̂ — матрица собственных значений и Ŝ — матри-
ца трансформации,
ee 0 ˆˆ = , = .
e0 e
ii
ii
Q Q
S
Q Q
− µµ
++ +−
− µ− µ
−− +−
−
Λ
− −
(32)
Введя вектора
ˆ= ,n n
n n
A
S
A
+ +
− −
(33)
мы можем переписать для них соотношение переноса
(30) в виде
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 7 1063
C.C. Апостолов, Н.M. Maкаров, В.А. Ямпольский
1
1
ˆˆ ˆ= =n nn n
n n
+ +
+ −
− −
+ −
Λ Λ
2
2
e
= ,
e
i n
n
i n
n
+µ
−++ +−
−− µ
−−+ −−
(34)
где
( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆ= .cSQ S− (35)
Обратим внимание на то, что для амплитуд ±
должно выполняться соотношение, аналогичное усло-
вию (29),
1 0| | | | | | exp ( ).n n n± ± ±
+ − − ψ (36)
Соотношения (28) и (34) показывают, что затухание
амплитуды по закону (36) возможно только в случае,
когда элемент exp (2 )n−− ψ равен нулю, т.е. при
= 0.−− (37a)
Последнее равенство представляет собой дисперсион-
ное соотношение для собственных локализованных
мод. Элемент −− может быть записан в явном виде:
= {e (cos cos sin sin )
sin
i
a c a c
i − µ
−− +ϕ ϕ −β ϕ ϕ −
µ
[cos cos ( )sin sin ]}.b c b c+ + − −− ϕ ϕ + α β −α β ϕ ϕ (37b)
Обратим внимание на то, что в запрещенной зоне
фотонного кристалла, когда = m iµ π + ψ , элемент −−
является вещественным числом.
4. Резонансная прозрачность
В этом разделе мы изучим прохождение электромаг-
нитной волны через фотонный кристалл конечной тол-
щины с дефектом. Будем предполагать, что он состоит из
2 1N + элементарных ( , )n na b ячеек, нумерованных
= ,1 , ,n N N N− − , а в центральной ячейке слой 0b заме-
нен на дефект c в виде слоистого сверхпроводника, см.
рис. 1. Предположим также, что остальное пространство,
вне фотонного кристалла, заполнено диэлектриком типа
a. Как уже было сказано ранее, мы будем предполагать,
что волна в диэлектрике типа a является распростра-
няющейся, т.е. x-проекция волнового вектора ak — ве-
щественна, и 0<z ak kε .
4.1. Коэффициент прохождения
Пусть на фотонный кристалл падает волна единичной
амплитуды, т.е. = 1NA+
− . Тогда коэффициент =NA r−
−
определяет комплексную амплитуду отраженной от фо-
тонного кристалла волны. Аналогично, величина
1 =NA t+
+ представляет собой комплексную амплитуду
волны, прошедшей сквозь фотонный кристалл. Условие
1 = 0NA−
+ указывает на отсутствие источников волн
справа от фотонного кристалла.
Амплитуды NA±
− и 1NA±
+ связаны между собой по-
средством трансфер-матриц элементарной ячейки Q̂ и
ячейки с дефектом ( )ˆ cQ согласно уравнению (30) с за-
меной n на N . Таким образом, комплексные амплиту-
ды t и r удовлетворяют соотношению
( )1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ= , = ,
0
N c Nt
M M Q Q Q
r
(38)
из которого можно выразить величины t и r через эле-
менты трансфер-матрицы M̂ всего фотонного кри-
сталла:
1= , = .
Mt r
M M
−+
−− −−
− (39)
При выводе этих выражений мы воспользовались тем,
что ˆdet = 1M . Следовательно, коэффициент прохожде-
ния волны (transmittance) через кристалл равен:
2
2
1=| | = .
| |
T t
M−−
(40)
Поскольку все трансфер-матрицы в рассматриваемой
здесь задаче, включая матрицу M̂ , удовлетворяют усло-
вию обратимости времени ( *=M M−− ++ и *=M M−+ +− ),
коэффициент прохождения T никогда не превышает 1.
Действительно, с помощью равенства ˆdet = 1M нетрудно
убедиться, что 2 2| | = 1 | | > 1M M−− −++ .
Теперь мы выведем явное выражение для M−− . Для
этой цели мы снова применим жорданово разложение,
см. уравнения (32) и (33),
1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ= .N NM S S− Λ Λ (41)
Тогда M−− можно представить в виде
2
21 e= [( e )
2 sin
iN
iNM S S
i
µ
− µ
−− −+ ++ −−
−
+ +
µ
( ) ( ) ( ) 2] e .c c c iNS Q S Q Q µ
++ −− −+ ++ −−+ − + (42)
Обратим внимание на то, что в выражении (42) вы-
делено слагаемое, содержащее −− , которое определя-
ет спектр локализованных мод. Как мы увидим в сле-
дующем подразделе, это слагаемое оказывается очень
важным в эффекте усиления прозрачности фотонного
кристалла в запрещенной зоне.
4.2. Возбуждение локализованных мод
В этом подразделе мы изучим усиление коэффици-
ента прохождения в запрещенной зоне фотонного кри-
сталла за счет возбуждения локализованных на дефекте
мод. Ограничимся диапазоном частот, соответствую-
щих запрещенным зонам кристалла, где фаза Блоха
имеет вид (28). В этом случае в отсутствие дефекта
коэффициент прохождения T экспоненциально мал,
( ) exp ( 4 ) 1T N N∝ − ψ << . Тем не менее, как будет показа-
но ниже, благодаря наличию дефектного слоя коэффици-
ент прохождения испытывает резонансное усиление за
1064 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 7
Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника
счет возбуждения собственной локализованной моды и
может достигать значений порядка 1.
Пусть параметры падающей волны близки к резо-
нансным значениям, т.е. | | 1−− << . Тогда мы можем
упростить уравнение (42), подразумевая, что
exp ( 2 )iN−− − µ может быть порядка 1,
2 ( )e Im [ ]
.
2( 1) sh ( 1) sh
N c
m m
S i S QM
ψ
++ −− ++ −−
−− ≈ − −
− ψ − ψ
(43)
Второе слагаемое в этом выражении является чисто
мнимым, тогда как первое слагаемое содержит ком-
плексность только в S++ ,
= ( 1) shmS++ − − ψ +
(sin cos cos sin ),a b a bi ++ ϕ ϕ +α ϕ ϕ (44)
( )Im[ ] = ( sin cos cos sin )c
b c b cS Q++ −− + +α ϕ ϕ −β ϕ ϕ +
( 1) e (sin cos cos sin ).m
a c a c
ψ
++ − ϕ ϕ +β ϕ ϕ
Принимая во внимание это соображение, получаем для
коэффициента прохождения следующий результат:
1 2 21 [ e ]
4
NT − ψ
−−≈ +
( ) 2 2
2
{2Im [ ] [ e ]Im }
.
4sh
c NS Q Sψ
++ −− −− +++
+
ψ
(45a)
Вдали от резонанса, когда | | exp (2 ) 1N−− ψ >> , ко-
эффициент прохождения экспоненциально мал,
2
4
2
4sh e ,
| |
NT
S
− ψ
++ −−
ψ
≈
(45b)
а в непосредственной близости от резонанса, при
( )
2
2
2Im [ ]Im
e ,
| |
c
NS Q S
S
− ψ++ −− ++
−−
++
≈ − (45c)
коэффициент прохождения значительно возрастает и в
максимуме может достигать значений порядка 1:
2
max 2 ( )
| |
.
Im [ ]c
ST
S Q
++
++ −−
≈ (45d)
4.3. Численная симуляция
На рис. 2 представлены результаты численной симу-
ляции прохождения волны через фотонный кристалл ко-
нечной толщины с дефектом в виде слоистого сверхпро-
водника. Фотонный кристалл состоит из 2 1 = 15N +
элементарных ячеек, из которых все, кроме централь-
ной, состоят из вакуумного ( = 1aε ) слоя толщиной
= 7a cd λ и слоя стекла толщиной = 6b cd λ с диэлек-
трической проницаемостью = 3,8bε . Центральная
ячейка содержит дефект — состоит из вакуумной про-
слойки толщиной = 7a cd λ и пластины слоистого
сверхпроводника толщиной = 6c cd λ с диэлектриче-
ской проницаемостью слоев изолятора = 16cε . Волна в
вакууме распространяется под углом θ к оси x , т.е.
= = ( / ) cosx a ak k cε ω θ и = ( / )sinz ak cε ω θ. Цветом
на рис. 2 обозначена величина коэффициента прохож-
дения T (чем темнее область — тем больше величина
T ) в функции угла падения θ и частоты = / JΩ ω ω в
областях, соответствующих запрещенным зонам фо-
тонного кристалла, т.е. когда | cos | > 1µ . Разрешенные
зоны фотонного кристалла, соответствующие | cos | < 1µ ,
обозначены серой заливкой. Черные линии в запрещен-
ных зонах — дисперсионные кривые (37). Красная
штриховая прямая показывает интервал изменения час-
тоты, для которого построен рис. 3.
На рис. 3 представлена зависимость коэффициента
прохождения от Ω для фотонного кристалла с дефек-
том (сплошная синяя линия) и для фотонного кристал-
ла без дефекта (штриховая красная линия), содержа-
щих одинаковое количество ячеек 2 1 = 15N + . Угол
падения = 1,4θ , и диапазон по частотам соответствует
красной штриховой линии на рис. 2. В запрещенной
зоне имеются два пика, соответствующие двум дис-
персионным кривым, пересекаемым красной штрихо-
вой линией на рис. 2, возникающие за счет возбужде-
ния локализованных мод.
Рис. 2. (Онлайн в цвете) Зависимость коэффициента прохож-
дения T от угла падения θ и частоты = / JΩ ω ω в областях,
соответствующих запрещенным зонам фотонного кристалла.
Разрешенные зоны фотонного кристалла обозначены серой
заливкой. Черные линии в запрещенных зонах соответствуют
дисперсионным кривым (37). Параметры: = 7a cd λ , = 6b cd λ ,
= 6c cd λ , = 1aε , = 3,8bε , = 16cε .
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 7 1065
C.C. Апостолов, Н.M. Maкаров, В.А. Ямпольский
5. Выводы
В настоящей работе изучено прохождение терагерце-
вой электромагнитной волны TM-поляризации через фо-
тонный кристалл конечной толщины, содержащий де-
фект в виде пластины слоистого сверхпроводника,
сверхпроводящие слои которого ортогональны слоям
фотонного кристалла. С помощью метода трансфер-
матриц получены дисперсионные соотношения для лока-
лизованных на дефекте собственных мод, а также найде-
ны аналитические выражения для коэффициента прохо-
ждения волны. Показано, что в случае, когда частота и
угол падения волны отвечают дисперсионным соотноше-
ниям для собственных волн, падающая волна возбуждает
локализованные на дефекте моды, что приводит к резо-
нансному усилению коэффициента прохождения. Для
параметров, близких к резонансным, получено упрощен-
ное аналитическое выражение для коэффициента прохо-
ждения и проведено численное моделирование.
1. S. Savel’ev, V.A. Yampol’skii, A.L. Rakhmanov, and F.
Nori, Rep. Prog. Phys. 73, 026501 (2010).
2. X. Hu and S.-Z. Lin, Supercond. Sci. Technol. 23, 053001
(2010).
3. R. Kleiner, F. Steinmeyer, G. Kunkel, and P. Müller, Phys.
Rev. Lett. 68, 2394 (1992).
4. R. Kleiner and P. Müller, Phys. Rev. 49, 1327 (1994).
5. L.N. Bulaevskii, M.P. Maley, and M. Tachiki, Phys. Rev.
Lett. 74, 801 (1995).
6. C.C. Homes, T. Timusk, R. Liang, D.A. Bonn, and W.N.
Hardy, Phys. Rev. Lett. 71, 1645 (1993).
7. Y. Matsuda, M.B. Gaifullin, K. Kumagai, K. Kadowaki, T.
Mochiku, and K. Hirata, Phys. Rev. B 55, R8685 (1997).
8. K. Kadowaki, I. Kakea, M.B. Gaifullin, T. Mochiku, S.
Takahashi, T. Koyama, and M. Tachiki, Phys. Rev. B 56,
5617 (1997).
9. I. Iguchi, K. Lee, and E. Kume, Phys. Rev. B 61, 689 (2000).
10. H.B. Wang, P.H. Wu, and T. Yamashita, Phys. Rev. Lett. 87,
17002 (2001).
11. N. Kameda, M. Tokunaga, T. Tamegai, M. Konczykowski,
and S. Okayasu, Phys. Rev. B 69, 180502(R) (2004).
12. V.A. Golick, D.V. Kadygrob, V.A. Yampol’skii, A.L.
Rakhmanov, B.A. Ivanov, and F. Nori, Phys. Rev. Lett. 104,
187003 (2010).
13. S. Savel’ev, V. Yampol’skii, and F. Nori, Phys. Rev. Lett.
95, 187002 (2005).
14. V.A. Yampol’skii, D.R. Gulevich, S. Savel’ev, and F. Nori,
Phys. Rev. B 78, 054502 (2008).
15. T.M. Slipchenko, D.V. Kadygrob, D. Bogdanis, V.A.
Yampol’skii, and A.A. Krokhin, Phys. Rev. B 84, 224512
(2011).
16. C.C. Апостолов, В.И. Гавриленко, З.A. Майзелис, В.А.
Ямпольский, ФНТ 43, 360 (2017) [Low Temp. Phys. 43,
296 (2017)].
17. A.L. Rakhmanov, V.A. Yampol’skii, J.A. Fan, F. Capasso,
and F. Nori, Phys. Rev. B 81, 075101 (2010).
Resonant transparency of a photonic crystal with a
defect of layered superconductor
S.S. Apostolov, N.M. Makarov, and V.А. Yampolskii
The transmission of a terahertz electromagnetic
wave of the transverse magnetic polarization through a
1D photonic crystal of finite thickness containing a de-
fect is theoretically studied. The defect is a plate of the
layered superconductor with the superconducting lay-
ers orthogonal to the layers of the photonic crystal. An
analytical expression for the transmission coefficient
is derived. We show that the transparency in the band
gap of the photonic crystal can be significantly en-
hanced due to the resonant excitation of the
eigenmodes localized near the defect.
PACS: 74.72.–h Cuprate superconductors;
78.67.Pt Multilayers; superlattices; photonic
structures; metamaterials;
42.70.Qs Photonic bandgap materials;
78.67.–n Optical properties of low-dimen-
sional, mesoscopic, and nanoscale materials
and structures.
Keywords: photonic crystal, layered superconductor,
metamaterials, optical properties.
Рис. 3. (Онлайн в цвете) Зависимость коэффициента прохож-
дения T от частоты = / JΩ ω ω для фотонного кристалла с
дефектом (сплошная синяя линия (1)) и для фотонного кри-
сталла без дефекта (штриховая красная линия (2)). Зеленой
пунктирной линией (3) изображена эта зависимость согласно
уравнению (45а). Серой заливкой обозначены разрешенные
зоны фотонного кристалла. Угол падения = 1,4θ , остальные
параметры те же, что и на рис. 2.
1066 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 7
1. Постановка задачи
2. Трансфер-матрицы фотонного кристалла с дефектом
2.1. Трансфер-матрица элементарной ячейки фотонного кристалла
2.2. Трансфер-матрица дефекта из слоистого сверхпроводника
3. Собственные локализованные моды в фотонном кристалле с дефектом
4. Резонансная прозрачность
4.1. Коэффициент прохождения
4.2. Возбуждение локализованных мод
4.3. Численная симуляция
5. Выводы
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-129521 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T06:21:20Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Апостолов, C.C. Maкаров, Н.M. Ямпольский, В.А. 2018-01-19T20:38:57Z 2018-01-19T20:38:57Z 2017 Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, Н.M. Maкаров, В.А. Ямпольский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 7. — С. 1059-1066. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 74.72.–h, 78.67.Pt, 42.70.Qf, 78.67.–n https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129521 Теоретически изучено прохождение терагерцевой электромагнитной волны поперечно-магнитной поляризации через одномерный фотонный кристалл конечной толщины, содержащий дефект в виде пластины слоистого сверхпроводника, сверхпроводящие слои которого ортогональны слоям фотонного кристалла. Получено аналитическое выражение для коэффициента прохождения и показано, что прозрачность в запрещенной зоне фотонного кристалла может быть существенно усилена за счет резонансного возбуждения локализованных на дефекте мод. Теоретично вивчено проходження терагерцової електромагнітної хвилі поперечно-магнітної поляризації через одновимірний фотонний кристал кінцевої товщини, що містить дефект у вигляді пластини шаруватого надпровідника, надпровідні шари якого ортогональні шарам фотонного кристалу. Отримано аналітичний вираз для коефіцієнта проходження та показано, що прозорість в забороненій зоні фотонного кристала може бути істотно посилена за рахунок резонансного збудження локалізованих на дефекті мод. Transmission of a TM-polarized terahertz wave through a 1D photonic crystal of finite thickness containing a defect consisting of a layered-superconductor plate with the superconducting layers orthogonal to the layers of the photonic crystal is studied theoretically. An analytical expression for the transmittance is derived. It is shown that the transparency in the band gap of the photonic crystal can be significantly enhanced due to the resonant excitation of the modes localized on the defect. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Сверхпроводящие и мезоскопические структуры. К 70-летию со дня рождения А.Н. Омельянчука Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника Resonant transparency of a photonic crystal containing layered superconductor as a defect Article published earlier |
| spellingShingle | Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника Апостолов, C.C. Maкаров, Н.M. Ямпольский, В.А. Сверхпроводящие и мезоскопические структуры. К 70-летию со дня рождения А.Н. Омельянчука |
| title | Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника |
| title_alt | Resonant transparency of a photonic crystal containing layered superconductor as a defect |
| title_full | Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника |
| title_fullStr | Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника |
| title_full_unstemmed | Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника |
| title_short | Резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника |
| title_sort | резонансная прозрачность фотонного кристалла с дефектом в виде слоистого сверхпроводника |
| topic | Сверхпроводящие и мезоскопические структуры. К 70-летию со дня рождения А.Н. Омельянчука |
| topic_facet | Сверхпроводящие и мезоскопические структуры. К 70-летию со дня рождения А.Н. Омельянчука |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/129521 |
| work_keys_str_mv | AT apostolovcc rezonansnaâprozračnostʹfotonnogokristallasdefektomvvidesloistogosverhprovodnika AT makarovnm rezonansnaâprozračnostʹfotonnogokristallasdefektomvvidesloistogosverhprovodnika AT âmpolʹskiiva rezonansnaâprozračnostʹfotonnogokristallasdefektomvvidesloistogosverhprovodnika AT apostolovcc resonanttransparencyofaphotoniccrystalcontaininglayeredsuperconductorasadefect AT makarovnm resonanttransparencyofaphotoniccrystalcontaininglayeredsuperconductorasadefect AT âmpolʹskiiva resonanttransparencyofaphotoniccrystalcontaininglayeredsuperconductorasadefect |